Questões de Derivadas

Colegiado de Engenharia Agronômica 2ª Avaliação Cálculo I Derivadas 1 30 pontos Produtores da região centrooeste do Brasil especialistas em produção de batatas estimam que no primeiro dia do mês de julho a saca da batata pode ser vendida a R 200 Após esta data o preço de venda por saca de batata cai a uma taxa de 2 centavos por dia Nesse sentido os produtores perceberam que a receita de vendas em reais é dependente do dia do mês em que a colheita é realizada Sabendo disto a receita R das vendas em julho foi modelada matematicamente pela expressão Rx 150x² x 160 onde x representa o número de dias para colheita após o primeiro dia do mês de julho Em que dia do mês de Julho os produtores devem realizar a colheita da produção de batatas para maximizar a receita de vendas Use os conhecimentos de derivadas para solucionar o problema Calcule faça as relações adequadas e interprete o resultado na linguagem do problema Lembrese um ponto crítico tem várias classificações 2 40 pontos Calcule as derivadas das funções nos pontos indicados a y x² 4x em x1 b fx 3x 1x 6x 1 em x1 c y 2x² 1 x1 x² em x1 d fx 3x⁵ 1 2 x⁴ em x2 3 30 pontos Um estudo ambiental realizado em determinado rio revela que daqui a t anos co ncentração de mercúrio na água será Ct 005t² 01t 34 partes por milhão ppm Qual será a taxa de variação da concentração de mercúrio com o tempo daqui a um ano dedt 005t² 01t 34 dedt 010t 01 dedt 0052t 011 0 dedt 020 ppm ano RESOLUÇÕES 12 de maio de 2024 01 Questão 1 Produtores da região centrooeste do Brasil especialistas em produção de batatas estimam que no primeiro dia do mês de julho a saca de batata pode ser vendida a R2 re ais Após esta data o preço da venda por saca de batata cai a uma taxa de 2 centavos por dia Nesse sentido os produtores perceberam que a receita de vendas em reais é depen dente do dia do mês em que a colheita é realizada Sabendo disto a receita R das vendas em julho foi modelada matematicamente pela expressão Rx 1 50x2x160 onde x representa o número de dias para a colheita após o primeiro dia do mês de julho Em que dia do mês de Julho os produtores devem realizar a colheita da produção de batatas para maximizar a receita de vendas Use os conhecimentos de derivadas para solucionar o problema Calcule faça as relações adequadas e interprete o resultado na linguagem do problema Lembrese um ponto crítico tem várias classificações SOLUÇÃO Para encontrar o dia do mês de julho em que os produtores devem realizar a colheita para maximizar a receita de vendas primeiro precisamos encontrar os pontos críticos da função de receita Rx x2 50 x 160 Em seguida identificaremos se esses pontos críticos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada 1 Encontrando os pontos críticos Para encontrar os pontos críticos calculamos a primeira derivada da função de receita e igualamos a zero Rx dR dx 2x 50 1 Agora igualamos a zero e resolvemos para x 2x 50 1 0 2x 50 1 2x 50 1 2x 50 x 25 Então o único ponto crítico é x 25 representando 25 dias após o primeiro dia de julho 2Classificando os pontos críticos Agora precisamos verificar se x 25 é um máximo ou mínimo Para isso calcula mos a segunda derivada da função de receita Rx d2R dx2 2 50 12 de maio de 2024 Como a segunda derivada é constante e negativa isso indica que a função é côncava para baixo em todo o seu domínio 3Interpretação dos resultados Como a segunda derivada é negativa o ponto crítico x 25 é um máximo da fun ção de receita Isso significa que a receita é maximizada quando a colheita é realizada 25 dias após o primeiro dia de julho Portanto os produtores devem realizar a colheita da produção de batatas no dia 26 de julho para maximizar a receita de vendas 02 Questão 2 Calcule as derivadas das funções nos pontos indicados afx x2 4x em x 1 SOLUÇÃO Para calcular a derivada da função fx x2 4x em x 1 usaremos a regra da derivada da soma e a regra da potência Vamos calcular passo a passo 1 Derivada da função fx fx x2 4x A regra da potência nos diz que para derivar xn onde n é uma constante obtemos nxn1 Portanto aplicando a regra da potência a derivada de x2 é d dxx2 2x21 2x E a derivada de 4x é d dx4x 4 Agora somamos as derivadas f x 2x 4 2Calculando a derivada em x 1 12 de maio de 2024 Substituímos x 1 na derivada que acabamos de encontrar f 1 21 4 2 4 6 Portanto a derivada da função fx x2 4x em x 1 é 6 bfx 3x 1 x6x 1 SOLUÇÃO Podemos reescrever a função fx 3x 1 x6x1 para facilitar a aplicação da regra da potência Vamos fazer isso e calcular a derivada passo a passo 1 Derivada da função fx Primeiro reescrevemos a função fx 3x 1 x6x 1 Expandindo temos fx 18x2 3x 6x x 1 x fx 18x2 3x 6 1 x Agora podemos derivar a função usando a regra da potência Para 18x2 aplicamos a regra da potência d dx18x2 36x Para 3x é simplesmente d dx3x 3 Para 6 é uma constante então sua derivada é zero Para 1 x reescrevemos como x1 e aplicamos a regra da potência d dxx1 1x11 x2 Portanto a derivada da função fx é f x 36x 3 x2 12 de maio de 2024 2 Calculando a derivada em x 1 Substituímos x 1 na derivada que acabamos de encontrar f 1 361 3 12 f 1 36 3 1 f 1 34 Portanto a derivada da função fx 3x 1 x6x 1 em x 1 é 34 cfx 2x21 x 1x2 em x 1 SOLUÇÃO Vamos utilizar a regra do quociente d dxfx gx f xgx fxgx gx2 Calculando f x d dx2x2 1 4x Calculando gx aplicando a regra do produto e a regra da cadeia d dxx1 x2 1 2 1 1 x2 1 2 x 1 2 1 1 x2 1 2 2x 1 x2 x2 1 x2 Substituindo os resultados temos f x 4x x 1 x2 2x2 1 1 x2 x2 1x2 x 1 x22 f x 4x2 1 x2 2x2 1 1 x2 x2 1x2 x21 x2 Para x 1 temos f 1 4 12 1 12 2 12 1 1 12 12 112 121 12 f 1 4 2 2 1 2 2 8 2 1 2 2 5 2 4 12 de maio de 2024 dfx 3x5 12 x4 em x 2 SOLUÇÃO Para calcular a derivada da função y 3x5 12 x4 em x 2 usaremos a re gra do produto Vamos proceder passo a passo 1Derivada da função y Vamos derivar a função usando a regra do produto yx 3x5 12 x4 3x5 12 x4 Para derivar 3x5 1 utilizamos a regra da potência 3x5 1 15x4 Para derivar 2 x4 também usamos a regra da potência 2 x4 0 4x3 4x3 Substituímos essas derivadas na equação da derivada da função yx 15x42 x4 3x5 14x3 2 Calculando a derivada em x 2 Substituímos x 2 na derivada que acabamos de encontrar y2 15242 24 325 1423 y2 15162 16 332 148 y2 24014 96 132 y2 3360 9532 y2 3360 3040 y2 640 Portanto a derivada da função y 3x5 12 x4 em x 2 é 640 12 de maio de 2024 03 Questão 3 Um estudo ambiental realizado em determinado rio revela que daqui a t anos a concentração de mercúrio na água será Ct 005t² 01t 34 partes por milhão ppm Qual será a taxa de variação da concentração de mercúrio com o tempo daqui a um ano Para encontrar a taxa de variação da concentração de mercúrio com o tempo daqui a um ano precisamos calcular a derivada da função de concentração Ct 005t² 01t 34 em relação ao tempo t Em seguida substituiremos t 1 na derivada resultante para encontrar a taxa de variação Vamos calcular a derivada da função Ct em relação a t utilizando a regra da potência e a regra da soma dCdt ddt 005t² ddt 01t ddt 34 Para 005t² usamos a regra da potência ddt 005t² 005 2t 01t Para 01t a derivada é simplesmente o coeficiente ddt 01t 01 Como 34 é uma constante sua derivada em relação a t é zero Agora somamos essas derivadas dCdt 01t 01 Agora substituímos t 1 na derivada que acabamos de encontrar dCdt t1 011 01 dCdt 01 01 dCdt 02 Portanto a taxa de variação da concentração de mercúrio com o tempo daqui a um ano será 02 partes por milhão por ano ppmano 12 de maio de 2024