Regras do Produto e Quociente em Cálculo de Derivadas - Guia Completo

CÁLCULO LIMITES DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL E DERIVADAS Cristiane da Silva Regra do produto e do quociente Objetivos de aprendizagem Ao final deste texto você deve apresentar os seguintes aprendizados Identificar situações em que as regras de produto e quociente podem ser usadas Aplicar as regras na derivação de produtos e quocientes de funções Utilizar as regras de produto e quociente em problemas aplicados Introdução As regras de derivação vêm como um facilitador para resolução de cálculos de forma mais eficiente Ao longo da leitura você será orientado sobre possibilidades de resolução que são mais práticas e chegam à mesma conclusão por meio de técnicas que você já domina como a da potência Neste capítulo você verá mais duas regras importantes de derivação e desenvolverá técnicas para derivar produtos e quocientes de funções Além disso você encontrará aplicações práticas que fazem parte de diferentes áreas de estudo como da economia da saúde da engenharia para que os conceitos estudados façam sentido com a realidade em que vivemos Uso das regras de produto e quociente Nesta seção daremos um passo à frente ao estudar as regras de produto e quociente A seguir cada uma delas está definida de acordo com Anton Bivens e Davis 2014 Derivada do produto Poderíamos pensar que a derivada do produto de duas funções seja o produto de suas derivadas mas isso não é correto Vejamos um exemplo para elucidar essa questão Considere as funções fx x e gx x² cujo produto de suas derivadas é fxgx 1 2x 2x Todavia seu produto é hx fxgx x3 e a derivada do produto hx 3x2 Isso mostra que a derivada do produto não é igual ao produto das derivadas A relação correta conforme Leibniz é expressa pelo seguinte teorema Se f e g forem diferenciáveis em x então o produto f g também será e Outra forma de representar a regra do produto é f g f g g f Demonstração da regra do produto Essa prova da regra do produto envolve um passo importante que é somar e subtrair a quantidade fx hgx ao numerador na definição da derivada Isso se chama artifício de prova pois ao somar e subtrair a mesma quantidade não estamos alterando o resultado de nossa fórmula ao mesmo tempo que obtemos uma expressão para Regra do produto e do quociente 2 colocar em evidência e chegar ao resultado que desejamos Assim temos ANTON BIVENS DAVIS 2014 p 164 Somandose e subtraindose ao numerador o termo fx h gx No último passo fx h fx quando h 0 Isso porque f é contínua em x e gx gx quando h 0 pois gx não envolve h e portanto permanece constante A derivada do produto de duas funções é o produto da primeira função vezes a derivada da segunda somada com o produto da segunda função vezes a derivada da primeira Derivada do quociente A derivada de um quociente é dada pelo seguinte teorema Se f e g forem diferenciáveis em x e gx 0 então o quociente fg será diferenciável em x e 3 Regra do produto e do quociente Outra forma de representar a regra do quociente é ANTON BIVENS DAVIS 2014 p 165166 Demonstração da regra do quociente Sendo assim a derivada do quociente de duas funções é o denominador vezes a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador tudo dividido pelo quadrado do denominador Regra do produto e do quociente 4 Derivação de produto e quociente de funções Nesta seção veremos a aplicação das regras de derivação de produtos e quo cientes de funções Uma dica importante é que em algumas funções algébricas uma simplificação inicial evita o uso dessas regras permitindo que possamos resolvêlas de modo mais simples Observe um exemplo a seguir Segundo Anton Bivens e Davis 2014 p 166 é mais fácil derivar reescrevendo essa função como Simplificando teremos Assim podemos usar a regra da potência para derivar É mais simples do que utilizar a regra do quociente na primeira expressão Veja Vejamos a seguir exemplos do uso das regras de derivação de produto e quociente de funções 5 Regra do produto e do quociente Exemplo 1 Encontre se y 4x² 17x³ x ANTON BIVENS DAVIS 2014 p 164165 Solução Exemplo 2 Encontre se ANTON BIVENS DAVIS 2014 p 165 Solução Exemplo 3 Encontre yx para ANTON BIVENS DAVIS 2014 p 166 Solução Regra do produto e do quociente 6 Exemplo 4 Dada a curva y 2x 12x² x 1 HOFFMANN et al 2015 p 113 a determine y b determine a equação da reta tangente à curva no ponto x 1 c determine todos os pontos da curva nos quais a tangente é horizontal Solução a De acordo com a regra do produto temos b O valor de y para x 1 é E portanto o ponto de tangência é 10 A inclinação em x 1 é Substituindo na fórmula pontoinclinação descobriremos que a equação da reta tangente no ponto 10 é ou c Para que uma tangente seja horizontal é preciso que a inclinação seja zero ou seja devemos ter y 0 Expandindo a expressão da derivada e combinando termos obtemos 7 Regra do produto e do quociente Resolvendo a equação y 0 encontramos Somando 3 a ambos os membros e dividindo por 12 Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros Fazendo e na expressão de y obtemos e Assim a tangente é horizontal nos pontos Exemplo 5 Calcule a derivada da função HOFFMANN et al 2015 p 116 Solução A regra do quociente pode ser empregada mas é mais simples e mais rápido escrever a função na forma e usar a regra da potência termo a termo para obter Regra do produto e do quociente 8 Exemplo 6 Encontre a derivada de hx 3x²5x 1 ROGAWSKI 2008 p 120 Solução Pela regra do produto Exemplo 7 Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico de no ponto x 1 ROGAWSKI 2008 p 122 Solução Primeiramente calculamos a derivada usando a regra do quociente Em x 1 temos Uma equação da reta tangente em é 9 Regra do produto e do quociente Problemas aplicados Veremos agora as regras estudadas em problemas aplicados para que você possa perceber a importância do estudo da derivada em diferentes áreas de interesse Aplicação 1 A potência que uma bateria consegue fornecer a um aparelho como um celular depende da resistência interna dela Para uma bateria de voltagem V e resistência interna r a potência total fornecida a um aparelho de resistência R é ROGAWSKI 2008 p 123 a Calcule supondo que V e r sejam constantes V é uma constante Regra do quociente Temos e como r é uma constante Regra do produto e do quociente 10 Fatorando R r obtemos b Encontre o valor de R no qual a tangente ao gráfico de P por R é horizontal A reta tangente é horizontal quando a derivada é nula Assim igualamos a derivada a zero e resolvemos para R Essa equação somente está satisfeita se o numerador for nulo ou seja se R r A Figura 1 a seguir mostra que o ponto em que a reta tangente é horizontal é o máximo do gráfico Isso prova um resultado importante em projetos de circuitos a potência máxima é obtida quando a resistência da carga aparelho é igual à resistência interna da bateria Figura 1 Gráfico de potência por resistência Fonte Adaptada de Rogawski 2008 P R r 11 Regra do produto e do quociente Aplicação 2 Suponha que uma empresa tenha interesse em fazer um reservatório de água espécie de tanque feito com tijolo e cimento revestido de cerâmica sem tampa tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da lar gura Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de material para produzir o reservatório de volume de 36 m³ SANTANA 2010 p 3233 Solução Indicandose a largura por x o comprimento por 3x e a altura por y obtémse a representação do reservatório de água conforme Figura 2 a seguir Figura 2 Representação do reservatório de água Fonte Adaptada de Santana 2010 y x 3x O volume dessa caixa é dado por V 3xxy 3x2y e então A área total da caixa é A 3xx 2xy 2 3xy Logo ela é dada por Regra do produto e do quociente 12 Substituindo y na área Para encontrar o valor máximo ou mínimo é preciso derivar a área e igualar a zero Assim Para calcular a altura é só substituir a medida x em Logo y 476 metros As dimensões que permitem a máxima economia de material para um tanque de volume 36m3 são aproximadamente comprimento largura e altura respectivamente 756 metros 252 metros e 476 metros Aplicação 3 Suponha que a concentração de medicamento no sangue de um paciente t 0 horas após a ingestão de um comprimido seja dada por Nesse caso a taxa de variação da concentração pode ser calculada por meio do uso da fórmula de potência e quociente 13 Regra do produto e do quociente Portanto Note que a derivada existe somente no intervalo aberto 0 Além disso ela se anula exatamente em t 2 cujo sinal apresenta o seguinte comportamento Sendo C a taxa de variação da concentração o estudo de sinal anterior nos permite intuir que a função C cresce no intervalo 02 pois a sua taxa de variação é positiva Analogamente a função C deve ser decrescente no intervalo 2 Desse modo a concentração começa valendo zero antes da ingestão do comprimido cresce nas duas primeiras horas e decresce a partir de então Seu gráfico pode ser expresso conforme Figura 3 Figura 3 Representação da concentração de medicamento no sangue Fonte Cálculo 2019 p 4 2 38 Observe que no instante t 2 a reta tangente ao gráfico de C é horizontal Esse é exatamente o instante em que a concentração do medicamento é máxima Regra do produto e do quociente 14 Neste capítulo você retomou conhecimentos sobre o estudo da derivada aprofundando duas regras bemimportantes do produto e do quociente Além das definições e notações você acompanhou aplicações práticas de seu uso e exemplos resolvidos de seu cálculo ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo 10 ed Porto Alegre Bookman 2014 2 v 1352 p CÁLCULO 1 a regra do produto e do quociente para derivadas Brasília Departamento de Matemática Universidade de Brasília 2019 5 p Disponível em httpmatunbbr calculo1mTextosModulo1Semana5regraprodutopdf Acesso em 2 out 2019 HOFFMANN L D et al Cálculo um curso moderno e suas aplicações 11 ed Rio de Janeiro LTC 2015 680 p ROGAWSKI J Cálculo volume 1 Porto Alegre Bookman 2008 624 p SANTANA A M Aplicação das derivadas Orientador Reginaldo Tudeia dos Santos 2010 48 f Trabalho de Conclusão de Curso Graduação em Matemática Universidade Federal de Rondônia JiParaná 2010 15 Regra do produto e do quociente Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para esta Unidade de Aprendizagem Na Biblioteca Virtual da Instituição você encontra a obra na íntegra Conteúdo saGaH SOLUÇÕES EDUCACIONAIS INTEGRADAS