Prova Final Calculo I FATEC - Pontos Criticos e Variação de Funções

FATEC MIGUEL REALE CÁLCULO I prof dr HENRIQUE FURIA SILVA PROVA FINAL 16122023 httpwwwfatecitaqueraedubr Av Miguel Ignácio Curi 360 São Paulo SP 011 20564347 TODAS AS RESPOSTAS DEVEM SER DETALHADAMENTE JUSTIFICADAS ESCREVENDO PEQUENOS TEXTOS APRESENTAR OS RESULTADOS NOS VALORES EXATOS SEM APROXIMAÇÕES CÓPIAS DE TEXTOS SERÃO PUNIDAS COM A REPROVAÇÃO NA DISCIPLINA PARA TODOS OS ENVOLVIDOS Uma função definida pelo parâmetro 𝑚 0 foi especificada para o desenho de uma pista de skate 𝑥 ℝ 𝑦 𝐻𝑚𝑥 1 250 𝑚 4 𝑥5 15 𝑥4 100 𝑥3 190 𝑥2 600 𝑥 8 O parâmetro 𝑚 0 é a dezena correspondente à sua idade1 em anos O gráfico fora de escala construído com computador é apresentado abaixo 1 Exemplo se sua idade é igual a 45 anos então 𝑚 4 Se sua idade terminar em 0 adote 𝑚 1 𝑓𝑛𝑥 𝑎0 𝑎1 𝑥 𝑎2 𝑥2 𝑎3 𝑥3 𝑎𝑛1 𝑥𝑛1 𝑎𝑛 𝑥𝑛 𝑝 𝑞 ℚ 𝑝 é um divisor de 𝑎0 que é o termo independente 𝑞 é um divisor de 𝑎𝑛 que é o coeficiente do termo de maior grau 1 Pontos críticos Siga o seguinte roteiro para obter os pontos de máximo e de mínimo locais a Mostre que a derivada da função 𝐻 é a função dada por 𝑥 ℎ𝑚𝑥 20 𝑞 𝑥4 3 𝑥3 15 𝑥2 19 𝑥 30 b Obtenha as raízes da função ℎ𝑚 c Obtenha as coordenadas dos pontos 𝐹 𝐺 𝐻 𝐼 d Explicar quais desses pontos são pontos de máximo e de mínimo locais da função 𝐻𝑚 justifi cando detalhadamente suas afirmações com um pequeno texto e Determinar os trechos em que a função 𝐻 decresce e os trechos em que a função 𝐻𝑚 cresce 𝑓𝑛𝑥 𝑎0 𝑎1 𝑥 𝑎2 𝑥2 𝑎3 𝑥3 𝑎𝑛1 𝑥𝑛1 𝑎𝑛 𝑥𝑛 𝑝 𝑞 ℚ 𝑝 é um divisor de 𝑎0 que é o termo independente 𝑞 é um divisor de 𝑎𝑛 que é o coeficiente do termo de maior grau 2 Variação da função Siga o seguinte roteiro para obter o comportamento local e global da função a Apresentar os limites da função nos extremos do domínio explicando com um pequeno texto as justificativas para os resultados obtidos b Mostre que 𝑥 2 é uma raiz da função 𝐻 c Efetue a divisão de polinômios apresentada abaixo 𝑥4 3 𝑥3 15 𝑥2 19 𝑥 30 𝑥 2 d A partir do resultado obtido no item anterior explique detalhadamente para concluir que 𝐻𝑚𝑥 𝐻𝑚𝑥 1 250 𝑚 𝑥 2 4 𝑥4 23 𝑥3 54 𝑥2 298 𝑥 4 e Utilize o computador para mostrar que o polinômio 4 𝑥4 23 𝑥3 54 𝑥2 298 𝑥 4 não possui raízes racionais f Do item anterior se conclui que o polinômio 𝐻𝑚 possui apenas uma raiz racional 𝑥1 0 g Com isto todas as outras raízes do polinômio 𝐻𝑚 são números irracionais obtidos por meio de uma combinação de radicais 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝑥5 ℚ Explique qual seria o procedimento adotado para obter uma estimativa para as outras raízes Considerando m2 temos yH2x1500 4x5 15x4 100 x3 190x2 600x 8 1a Calculando a derivada de H2x temos h2x 1500 20x4 60x3 300 x2 380x 600 20500 x4 3x3 15x2 19x 30 Logo considerando q2025 500 segue que h2x 207 x4 3x3 15x2 19x 30 b h2x 125 x4 3x3 15x2 19x 30 0 x4 3x3 15x2 19x 30 0 Aplicando BirstRuffini Logo x1 é raiz e x4 3x3 15x2 19x 30 x1x3 4x2 11x 30 Logo x2 é raiz e x3 4x2 11x 30 x2x2 2x 15 Por Bhaskara segue que x2 2x 150 x 2 82 X5 X3 Portanto todas as raízes de h2x são 3 1 2 5 c Note que B é raiz de H2x F H são pontos de máximo e G I são pontos de mínimo Como já calculamos os pontos críticos com a segunda derivada determinamos os pontos de máximo e mínimo H2x h2x 125 4x3 9x2 30x 19 H23 125 427 99 303 19 125 80 165 0 Logo o ponto 3 H23 3 431500 é ponto de máximo H21 125 4 9 30 19 3625 0 1 H21 1 321500 é ponto de mínimo H22 125 32 36 60 19 95 0 2 264125 é ponto de máximo H25 125 500 225 150 19 14425 0 5 1617500 é ponto de mínimo Logo F 3 431500 G 1 321500 H 2 264125 I 5 1617500 d Já explicado na letra c Lembre que se x é ponto crítico então x é ponto de máximo se fx 0 e de mínimo se fx 0 d Pelo gráfico e pelos pontos calculados anteriormente temos Região de decrescimento de F até G e de H até I ou seja 3 1 U 2 5 Região de crescimento de até F de G até H e de I até 3 U 1 2 U 5 2a lim x H2x lim x 1500 4x5 15x4 100x3 190x2 600x 8 1500 lim x x5 4 15x 100x2 190x3 600x4 8x5 4500 lim x x5 Analogamente lim x H2x 4500 lim x x5 b H22 1500 432 1516 1008 1904 6002 8 0 Logo 2 é raiz de H2x c x4 3x3 15x2 19x 30 x 2 x3 x2 17x 15 x4 2x3 x3 15x2 19x 30 x3 2x2 17x2 19x 30 17x2 34x 15x 30 15x 30 0 Logo x4 3x3 15x2 19x 30 x2x3 x2 17x 15 d 4x5 15x4 100x3 190x2 600x 8 x 2 4x5 8x4 23x4 100x3 190x2 600x 8 22x4 46x3 54x3 190x2 600x 8 54x3 108x2 298x2 600x 8 298x2 596x 4x 8 4x 8 0 Logo H2x 1500 4x5 15x4 100x3 190x2 600x 8 1500 x24x4 23x3 54x2 298x 4 e Pelo teorema das raízes racionais o polinômio 4x4 23x3 54x2 298x 4 tem uma raiz racional da forma pq se p e q são divisores de 4 Logo as possíveis raízes racionais são 1 12 14 2 4 que não são raízes do polinômio f Como H2x 1500 x24x4 23x3 54x2 298x 4 e já foi mostrado que o polinômio 4x4 23x3 54x2 298x 4 não tem raiz racional se H2x tem raiz racional ela deve ser raiz do polinômio x2 Portanto a única raiz racional de H2x é x1 2 g O método mais adequado para aproximar as outras raízes é o Método de Newton