Resolução de Integrais Duplas e Aplicações em Coordenadas Polares

1 Calcule as seguintes integrais duplas Justifique suas respostas Esboce as regiões de integração O item a vale 5 0 e os itens b e c valem 2 5 cada um a D y x2 1 dA onde D xy ℝ2 0 x 4 0 y x b D x y2 dA onde D ℝ2 é a região limitada por x 0 e x 1 y2 c D 5x 9y dA onde D ℝ2 é a região acima do eixo x limitada pelo círculo x2 y2 9 e pelas retas y x e y x Sugestão Para o item c use coordenadas polares Questão 1 Esboço Temos a seguinte integral 𝑦 𝑥2 1 𝑑𝑦 𝑥 0 𝑑𝑥 4 0 Calculando obtemos 1 𝑥2 1 𝑦𝑑𝑦 𝑥 0 𝑑𝑥 4 0 1 𝑥2 1 𝑦2 2 0 𝑥 𝑑𝑥 4 0 1 𝑥2 1 𝑥 2 0 2 𝑑𝑥 4 0 1 𝑥2 1 𝑥 2 𝑑𝑥 4 0 1 4 2𝑥 𝑥2 1 𝑑𝑥 4 0 Seja 𝑢 𝑥2 1 𝑑𝑢 2𝑥𝑑𝑥 Assim a integral fica 1 4 2𝑥 𝑥2 1 𝑑𝑥 4 0 1 4 𝑑𝑢 𝑢 17 1 1 4 ln 𝑢1 17 1 4 ln 17 ln 1 1 4 ln 17 0 𝟏 𝟒 𝐥𝐧 𝟏𝟕 Questão 2 Esboço Temos a seguinte integral 𝑥𝑦2𝑑𝑥 1𝑦2 0 𝑑𝑦 1 1 Calculando obtemos 𝑦2 𝑥𝑑𝑥 1𝑦2 0 𝑑𝑦 1 1 𝑦2 𝑥2 2 0 1𝑦2 𝑑𝑦 1 1 𝑦2 1 𝑦22 0 2 𝑑𝑦 1 1 𝑦2 1 𝑦2 2 𝑑𝑦 1 1 1 2 𝑦2 𝑦4𝑑𝑦 1 1 1 2 𝑦3 3 𝑦5 5 0 1 2 2 1 3 1 5 1 3 1 5 5 3 15 215 Questão 3 Esboço Temos a seguinte integral 5𝑥 9𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦 Passando para coordenadas polares temos 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑟2 Assim a integral fica 5𝑥 9𝑦𝑟𝑑𝑟 2 0 𝑑𝜃 3 4𝜋 𝜋 4 5𝑟 cos𝜃 9𝑟 sin 𝜃𝑟𝑑𝑟 2 0 𝑑𝜃 3 4𝜋 𝜋 4 5 cos 𝜃 9 sin 𝜃𝑟2 𝑑𝑟 2 0 𝑑𝜃 3 4𝜋 𝜋 4 5 cos 𝜃 9 sin 𝜃 𝑟2 𝑑𝑟 2 0 𝑑𝜃 3 4𝜋 𝜋 4 5 cos𝜃 9 sin 𝜃 𝑟3 3 0 2 𝑑𝜃 3 4𝜋 𝜋 4 23 3 5 cos 𝜃 9 sin𝜃𝑑𝜃 3 4𝜋 𝜋 4 8 3 5 sin𝜃 9 cos 𝜃𝜋 4 3𝜋 4 8 3 5 sin3𝜋 4 9 cos 3𝜋 4 5 sin𝜋 4 9 cos 𝜋 4 8 3 5 2 2 9 2 2 5 2 2 9 2 2 8 3 9 2 2 9 2 2 8 3 92 832 𝟐𝟒𝟐 Questão 1 Esboço Temos a seguinte integral 0 4 0 x y x 21 d yd x Calculando obtemos 0 4 1 x 21 0 x y dydx 0 4 1 x 21 y 2 2 0 x dx 0 4 1 x 21 x 20 2 dx 0 4 1 x 21 x 2dx 1 4 0 4 2 x x 21 dx Seja ux 21 du2 xdx Assim a integral fica 1 4 0 4 2x x 21 dx1 4 1 17 du u 1 4 ln u1 17 1 4 ln 17ln 1 1 4 ln 170 1 4 ln 17 Questão 2 Esboço Temos a seguinte integral 1 1 0 1y 2 x y 2d x d y Calculando obtemos 1 1 y 2 0 1y 2 xdxdy 1 1 y 2 x 2 2 0 1y 2 dy 1 1 y 2 1y 220 2 dy 1 1 y 2 1y 2 2 dy 1 2 1 1 y 2y 4 dy 1 2 y 3 3 y 5 5 0 1 2 2 1 31 5 1 31 5 5 3 15 215 Questão 3 Esboço Temos a seguinte integral 5 x9 y dxdy Passando para coordenadas polares temos xr cosθ yrsinθ dxdyrdrdθ x 2 y 2r 2 Assim a integral fica π 4 3 4 π 0 2 5x9 y rdrdθ π 4 3 4 π 0 2 5r cos θ9r sinθrdrdθ π 4 3 4 π 0 2 5cosθ9sinθ r 2drdθ π 4 3 4 π 5cos θ9sinθ 0 2 r 2drdθ π 4 3 4 π 5cos θ9sinθ r 3 3 0 2 dθ 2 3 3 π 4 3 4 π 5cosθ9sinθ dθ 8 35sinθ9cosθ π 4 3 π 4 8 35sin 3π 4 9cos 3 π 4 5sin π 4 9cos π 4 8 35 2 2 9 2 2 5 2 2 9 2 2 8 39 2 2 9 2 2 8 392 8 32 242