Sistema Linear e Matrizes

MAPA ETAPA 1 SISTEMA LINEAR E MATRIZES Um sistema dinâmico é um modelo matemático que descreve a evolução de um sistema ao longo do tempo Ele é caracterizado por um conjunto de variáveis de estado que mudam em resposta a regras ou equações específicas Sistemas dinâmicos são usados para modelar uma ampla variedade de fenômenos naturais e artificiais desde a mecânica clássica até a economia e a biologia Considere o sistema a seguir E1 x 4y E2 2x 3y a Qual a matriz que representa o sistema formado pelas equações E1 e E2 b Qual o determinante da matriz de a c Qual a matriz inversa da matriz de a ETAPA 2 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Uma transformação linear é uma função entre espaços vetoriais que mantém a estrutura aditiva e multiplicativa desses espaços Essas transformações são fundamentais em muitas áreas da matemática e física fornecendo uma maneira de modelar e analisar fenômenos lineares de maneira sistemática e estruturada Considerando o sistema da ETAPA 1 como uma transformação linear T xy E1 E2 a Qual a transformação de 12 b Qual a transformação de 11 c Qual a transformação de 34 d Qual o Núcleo da TL e sua dimensão e Qual a imagem da TL e sua dimensão ETAPA 3 AUTOVALORES E AUTOVETORES Um autovalor é um número escalar associado a uma matriz ou a uma transformação linear Especificamente se A é uma matriz nn então um escalar λ é um autovalor de A se existir um vetor não nulo v tal que a aplicação da matriz A sobre o vetor v resulta em um múltiplo escalar desse vetor a Quais os autovalores da Transformação Linear da Etapa 2 b Quais os autovetores da Transformação Linear da Etapa 2 c Sabendo que para ser estável todos os autovalores devem ser negativos o sistema é estável ou instável ETAPA 1 SISTEMA LINEAR E MATRIZES a Podemos representar o sistema formado pelas equações E1 e E2 da seguinte forma 𝐸1 𝐸2 1 4 2 3 𝑥 𝑦 Então seja A a matriz do sistema temos que 𝐴 1 4 2 3 b Podemos calcular o determinante da matriz A da seguinte forma 𝐴 1 4 2 3 1 3 4 2 3 8 11 c Considere que 𝐴1 dada por 𝐴1 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 seja a matriz inversa de A Dessa forma temos 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 1 4 2 3 1 0 0 1 𝑎 2𝑏 4𝑎 3𝑏 𝑐 2𝑑 4𝑐 3𝑑 1 0 0 1 Daí temos os seguintes sistemas de equações 𝑎 2𝑏 1 4𝑎 3𝑏 0 e 𝑐 2𝑑 0 4𝑐 3𝑑 1 Isolando 𝑎 na primeira equação do primeiro sistema ficamos com 𝑎 2𝑏 1 𝑎 1 2𝑏 𝐼𝐼 Substituindo II na segunda equação do primeiro sistema de equações segue que 4 1 2𝑏 3𝑏 0 4 8𝑏 3𝑏 0 4 11𝑏 0 11𝑏 4 𝑏 4 11 Então 𝑎 1 2 4 11 𝑎 1 8 11 a 1 8 11 11a 11 8 11a 3 a 3 11 De forma análoga para o segundo sistema de equações podemos isolar 𝑐 na primeira equação 𝑐 2𝑑 0 𝑐 2𝑑 𝐼𝐼 Substituindo II na segunda equação do sistema segundo sistema de equações segue que 4 2𝑑 3𝑑 1 8𝑑 3𝑑 1 11𝑑 1 𝑑 1 11 Com isso 𝑐 2 1 11 𝑐 2 11 Dessa forma a matriz 𝐴1 é 𝐴1 3 11 4 11 2 11 1 11 ETAPA 2 TRANSFORMAÇÔES LINEARES a T1 2 pode ser obtido fazendo 𝑇1 2 1 4 2 3 1 2 𝑇1 2 1 1 4 2 2 1 3 2 𝑇1 2 1 8 2 6 𝑇1 2 9 4 Ou seja T1 2 9 4 b T1 1 pode ser obtido fazendo 𝑇1 1 1 4 2 3 1 1 𝑇1 1 1 1 4 1 2 1 3 1 𝑇1 1 1 4 2 3 𝑇1 1 5 1 Ou seja T1 1 5 1 c T3 4 pode ser obtido fazendo 𝑇3 4 1 4 2 3 3 4 𝑇3 4 1 3 4 4 2 3 3 4 𝑇3 4 3 16 6 12 𝑇3 4 13 18 Ou seja T3 4 13 18 d Para calcular o núcleo da transformação linear devemos encontrar todos os vetores v tais que Tv 0 0 Dessa forma segue que 𝑇𝑥 𝑦 0 1 4 2 3 𝑥 𝑦 0 0 1 𝑥 4 𝑦 2 𝑥 3 𝑦 0 0 𝑥 4𝑦 2𝑥 3𝑦 0 0 Igualando os termos correspondentes obtemos o seguinte sistema de equações 𝑥 4𝑦 0 2𝑥 3𝑦 0 Para determinarmos as soluções podemos começar isolando x na primeira equação 𝑥 4𝑦 0 𝑥 4𝑦 Substituindo 𝑥 4𝑦 na segunda equação 2 4𝑦 3𝑦 0 8𝑦 3𝑦 0 11𝑦 0 𝑦 0 Com isso segue que 𝑥 4 0 0 Portanto 𝐾𝑒𝑟𝑇 0 0 Por fim note que o núcleo da transformação linear contém apenas o vetor nulo isso implica que a sua dimensão é 0 Simbolicamente dim𝑘𝑒𝑟 𝑇 0 e Perceba que 𝑇𝑥 𝑦 1 4 2 3 𝑥 𝑦 𝑇𝑥 𝑦 𝑥 4𝑦 2𝑥 3𝑦 𝑇𝑥 𝑦 𝑥 2𝑥 4𝑦 3𝑦 𝑇𝑥 𝑦 𝑥 1 2 𝑦 4 3 Ou seja a imagem da transformação linear é o conjunto gerado pelos vetores 1 2 e 4 3 Podemos representar esse fator da seguinte forma 𝐼𝑚𝑇 1 2 4 3 Além disso note que o conjunto dos geradores da imagem da transformação linear contém dois vetores linearmente independentes já que o vetor 4 3 não é um múltiplo de 1 2 ou seja não existe um número real 𝛼 tal que 4 3 𝛼1 2 Portanto a dimensão da imagem da transformação linear é 2 Simbolicamente dim𝐼𝑚𝑇 2 ETAPA 3 AUTOVALORES E AUTOVETORES a Podemos determinar os autovalores da transformação linear obtendo as soluções da seguinte equação det𝐴 𝜆 𝐼 0 Sendo que 𝐴 1 4 2 3 𝑒 𝐼 1 0 0 1 Dessa forma segue que det 1 4 2 3 𝜆 1 0 0 1 0 det 1 4 2 3 𝜆 0 0 𝜆 0 det 1 𝜆 4 2 3 𝜆 0 1 𝜆3 𝜆 2 4 0 3 𝜆 3𝜆 𝜆2 8 0 𝜆2 2𝜆 11 0 Para determinarmos as soluções dessa equação quadrática podemos aplicar a fórmula de Bhaskara dada por 𝑥 𝑏 𝑏2 4𝑎𝑐 2𝑎 Neste caso 𝑎 1 𝑏 2 𝑒 𝑐 11 Então 𝜆 2 22 4 1 11 2 1 𝜆 2 4 44 2 𝜆 2 48 2 𝜆 2 43 2 Com isso os autovalores da transformação linear são 𝜆1 2 43 2 1 23 e 𝜆2 2 43 2 1 23 b Para determinarmos o autovetor x y associado ao autovalor 𝜆1 devemos resolver a seguinte equação 𝐴 𝜆1 𝐼 𝑥 𝑦 0 0 Com isso segue que 1 4 2 3 1 23 1 0 0 1 𝑥 𝑦 0 0 1 4 2 3 1 23 0 0 1 23 𝑥 𝑦 0 0 1 1 23 4 0 2 0 3 1 23 𝑥 𝑦 0 0 2 23 4 2 2 23 𝑥 𝑦 0 0 2 23𝑥 4𝑦 2𝑥 2 23𝑦 0 0 Daí 2 23𝑥 4𝑦 0 2𝑥 2 23𝑦 0 Dividindo ambas as equações por 2 1 3𝑥 2𝑦 0 𝑥 1 3𝑦 0 Agora multiplicando ambos os lados da segunda equação por 1 3 obtemos 1 3𝑥 1 31 3𝑦 0 1 3𝑥 2𝑦 0 Isso significa que as duas equações do sistema são equivalentes Com isso isolando x na segunda equação ficamos com 𝑥 1 3𝑦 Com isso segue que 𝑥 𝑦 1 3𝑦 𝑦 𝑦 1 3 1 Isto é 1 3 1 é o autovetor associado ao autovalor 1 23 Da mesma forma para o autovalor 𝜆2 1 1 23 4 2 3 1 23 𝑥 𝑦 0 0 2 23 4 2 2 23 𝑥 𝑦 0 0 2 23𝑥 4𝑦 2𝑥 2 23𝑦 0 0 Com isso segue que 2 23𝑥 4𝑦 0 2𝑥 2 23𝑦 0 Agora perceba que se isolarmos x em qualquer uma das duas equações vamos obter 𝑥 1 3𝑦 Então 𝑥 𝑦 1 3𝑦 𝑦 𝑦 1 3 1 Isto é 1 3 1 é o autovetor associado ao autovalor 1 23 c Dados os autovalores 𝜆1 1 23 e 𝜆2 1 23 note que 𝜆2 1 23 1 346 246 Ou seja 𝜆2 0 Portanto o sistema é instável ETAPA 1 SISTEMA LINEAR E MATRIZES a Podemos representar o sistema formado pelas equações E1 e E2 da seguinte forma E1 E2 1 4 2 3 x y Então seja A a matriz do sistema temos que A 1 4 2 3 b Podemos calcular o determinante da matriz A da seguinte forma A 1 4 2 313423811 c Considere que A 1 dada por A 1 a b c d seja a matriz inversa de A Dessa forma temos a b c d 1 4 2 3 1 0 0 1 a2b 4 a3b c2d 4 c3d 1 0 0 1 Daí temos os seguintes sistemas de equações a2b1 4 a3b0 e c2d0 4 c3d1 Isolando a na primeira equação do primeiro sistema ficamos com a2b1a12bII Substituindo II na segunda equação do primeiro sistema de equações segue que 4 12b3b048b3b0411 b011b4b 4 11 Então a12 4 11a1 8 11a18 11 11a11811a3a 3 11 De forma análoga para o segundo sistema de equações podemos isolar c na primeira equação c2d0c2dII Substituindo II na segunda equação do sistema segundo sistema de equações segue que 4 2d 3d18d3d111d1d1 11 Com isso c2 1 11 c 2 11 Dessa forma a matriz A 1 é A 1 3 11 4 11 2 11 1 11 ETAPA 2 TRANSFORMAÇÔES LINEARES a T1 2 pode ser obtido fazendo T 12 1 4 2 3 1 2T 12 114 2 213 2T 12 18 26T 12 9 4 Ou seja T1 2 9 4 b T1 1 pode ser obtido fazendo T 11 1 4 2 3 1 1T 11 1141 213 1T 11 14 23 T 11 5 1 Ou seja T1 1 5 1 c T3 4 pode ser obtido fazendo T 3 4 1 4 2 3 3 4 T 3 4 134 4 2334T 3 4 316 612 T 3 4 13 18 Ou seja T3 4 13 18 d Para calcular o núcleo da transformação linear devemos encontrar todos os vetores v tais que Tv 0 0 Dessa forma segue que T x y 0 1 4 2 3 x y 0 0 1 x4 y 2 x3 y 0 0 x4 y 2x3 y 0 0 Igualando os termos correspondentes obtemos o seguinte sistema de equações x4 y0 2x3 y0 Para determinarmos as soluções podemos começar isolando x na primeira equação x4 y0x4 y Substituindo x4 y na segunda equação 24 y 3 y08 y3 y011 y0y0 Com isso segue que x400 Portanto Ker T 00 Por fim note que o núcleo da transformação linear contém apenas o vetor nulo isso implica que a sua dimensão é 0 Simbolicamente dim ker T0 e Perceba que T x y 1 4 2 3 x yT x y x4 y 2 x3 yT x y x 2 x 4 y 3 yT x y x 1 2 y 4 3 Ou seja a imagem da transformação linear é o conjunto gerado pelos vetores 1 2 e 4 3 Podemos representar esse fator da seguinte forma ℑT 1243 Além disso note que o conjunto dos geradores da imagem da transformação linear contém dois vetores linearmente independentes já que o vetor 4 3 não é um múltiplo de 1 2 ou seja não existe um número real α tal que 4 3 α 12 Portanto a dimensão da imagem da transformação linear é 2 Simbolicamente dim ℑ T 2 ETAPA 3 AUTOVALORES E AUTOVETORES a Podemos determinar os autovalores da transformação linear obtendo as soluções da seguinte equação det Aλ I 0 Sendo que A 1 4 2 3e I 1 0 0 1 Dessa forma segue que det 1 4 2 3λ 1 0 0 10det 1 4 2 3 λ 0 0 λ0det 1λ 4 2 3λ0 1λ 3λ 2403λ3 λ λ 280 λ 22 λ110 Para determinarmos as soluções dessa equação quadrática podemos aplicar a fórmula de Bhaskara dada por xbb 24ac 2a Neste caso a1b2e c11 Então λ22 24 1 11 21 λ2444 2 λ248 2 λ24 3 2 Com isso os autovalores da transformação linear são λ124 3 2 123 e λ2243 2 123 b Para determinarmos o autovetor x y associado ao autovalor λ1 devemos resolver a seguinte equação Aλ1 I x y 0 0 Com isso segue que 1 4 2 3123 1 0 0 1 x y 0 0 1 4 2 3 123 0 0 123 x y 0 0 1123 40 20 3123 x y 0 0 223 4 2 223 x y 0 0 223 x4 y 2x223 y 0 0 Daí 223 x4 y0 2x223 y0 Dividindo ambas as equações por 2 13 x2 y0 x13 y0 Agora multiplicando ambos os lados da segunda equação por 13 obtemos 13 x13 13 y013 x2 y0 Isso significa que as duas equações do sistema são equivalentes Com isso isolando x na segunda equação ficamos com x13 y Com isso segue que x y 13 y y y 13 1 Isto é 131 é o autovetor associado ao autovalor 123 Da mesma forma para o autovalor λ2 1123 4 2 3123 x y 0 0 223 4 2 223 x y 0 0 223 x4 y 2x223 y 0 0 Com isso segue que 223 x4 y0 2x223 y0 Agora perceba que se isolarmos x em qualquer uma das duas equações vamos obter x13 y Então x y 13 y y y 13 1 Isto é 131 é o autovetor associado ao autovalor 123 c Dados os autovalores λ1123 e λ2123 note que λ21231346246 Ou seja λ20 Portanto o sistema é instável