Funciones 4 Geometría Analítica

Ejercicio: Indica con una "P" si la función es par, con una "I" si es impar y una "N" si no es par ni impar para las siguientes funciones. a) y = 2x^2 => par "P" b) y = 3x => "I" impar f(x) = f(-x) | f(-x) = -f(x) f(1) = 3(1) = 3 | f(-1) = 3(-1) = -3 f(-1) = 3(-1) = -3 | f(1) = 3(1) = 3 -3 = -(3) -3 = -3 c) y = |x| f(x) = f(-x) | f(-x) = -f(x) => "P" par. d) y = 5 => "P" par f(x) = 5 | f(-255) = 5 f(255) = 5 | 5 /= -5 f(-255) = 5 e) y = 1/x => "I" impar f(x) = f(-x) | f(-x) = -f(x) f(1) = f(-1) 1 /= -1 f(-1) = -f(1) -1 = -(1) f) y = 1/x^2 => "P" par g) y = |x-2| e) y = ³√(8x²) - (2x)\ny es irracional\nf) y = (-√3 x² + 4x - 6)²\n= 3 ... + 16 ... + 36\ny es entera\ng) y = √(2x) + 7\ny es irracional Función Par\nf(x) = f(-x)\nf(x) = x²\nf(2) = (2)² = 4\nf(-2) = (-2)² = 4\nfunción es par. Función impar\nf(-x) = -f(x)\nsi f(x) = x³\nf(-2) = (-2)³ = -8\nf(2) = (2)³ = +8\n-8 = -(+8)\n-8 = -8\nf.es impar g) y = |x - 2| + x - 2 - -x + 2 "P" f(x) = f(-x) f(1) = f(-1) -1 ≠ -3 "I" f(-x) = -f(x) f(-1) = -f(1) -3 = -(-1) -3 ≠ 1 "N" no es par ni impar Función paramétrica Ejercicio.- Sea la función F: R → R ; tal que y = f(x) definida paramétricamente por: | 2t t < -1 x = | -t - 1 -1 ≤ t < ∞ | | t^2 - 2 t < 0 y = | | t t ≥ 0 Determine la expresión cartesiana de F con sus correspondientes reglas de correspondencia Solución Con los intervalos. | x = 2t t < -1 ① { { ➤ -∞ < t < -1 y = | y = t^2 - 2 t < 0 ② de ① x = 2t despejo t t = x/2 sustituyo en ② y = (x/2)^2 - 2 = x^2/4 - 2 ... ③ ahora en el otro intervalo x = -t - 1 \(4)\ -1 \leq t < \infty y = t^2 - 2 \rightarrow t < 0 \(5)\ -1 \leq t < 0 de la ec. \(4)\ despejo t x = -t - 1 t = -x - 1 en \(5)\ y = (-x-1)^2 - 2 = (x+1)^2 - 2 \(6)\ por último, para t \geq 0 x = -t - 1 \(7)\ y = t \(8)\ de \(7)\ despejo t x = -t - 1 t = -x - 1 en \(8)\ y = -x - 1 \(9)\ y = f(x) Las reglas de correspondencia, en su expresión cartesiana son: \[y = f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^2}{4} - 2 & -\infty < x < -1 \\ (x+1)^2 - 2 & -1 \leq x < 0 \\ -x - 1 & 0 \leq x < +\infty \end{array} \right.\] 0 \ -1 1 \ -1 -1 \ -2 3 \ -3 -1 \ -4 Ejercicio. Dadas las ecuaciones x = t + 2 y = t^2 + 3t indicar si determinan paramétricamente una función. En caso afirmativo obtener el dominio y recorrido. Solución. x = t + 2 ... (1) Dx = R y = t^2 + 3t ... (2) Dy = R Dx ∩ Dy = R Para cada valor de t hay un valor para "x" y "y" (x, y) de una función. Sí es función. Resolviendo (1) y (2) para eliminar el parámetro "t" de (1): x = t + 2 despejo t t = x - 2 substituyo en (2) y = t^2 + 3t y = (x - 2)^2 + 3(x - 2) = x^2 - 4x + 4 + 3x - 6 = x^2 - x - 2 y = x^2 - x - 2 (4) ec. cartesiana en forma explícita. y = x^2 - x - 2 (x - 1/2)^2 (x - 1/2)(x - 1/2) x^2 - 1/2x - 1/2x + 1/4 x^2 - x + 1/4 y = x^2 - x + 1/4 (-2 - 1/4) y = (x - 1/2)^2 - 9/4 y = ( x - 1/2 )^2 - 9/4 ( x - 1/2 )^2 = y + 9/4 es un parábola con vértice V(1/2, -9/4) abre hacia arriba. D_F = ℝ R_F = {y | y ≥ -9/4} Ejercicio.- Sea la función F : A -> B tal que y = f(x), donde: A = { x | x ∈ ℝ ; -π/2 < x < π/2 } B = { y | y ∈ ℝ ; -∞ < y < 1/2 } f(x) = { tan x -π/2 < x ≤ 0 { sen x 0 < x < π/2 Determinar la función F es invertible y, en caso afirmativo, obtener la función inversa. La función es inyectiva x ∈ (-π/2, 0] tan x_1 = tan x_2 x_1 = x_2 x ∈ (0, π/2) sen x_1 = sen x_2 x_1 = x_2 si x_1 ∈ (-π/2, 0] tan x_1 ≠ sen x_2 x_2 ∈ (0, π/2) F sí es invertible Para invertir la función. y = tan x x = tan y => y = arctan(x) -∞ < x ≤ 0 y = sen x x = sen y => y = arcsen x 0 < x < 1 f^{-1}(x) = \begin{cases} arctan x & -∞ < x ≤ 0 \\ arcsen x & 0 < x < 1 \end{cases} gráfica de f^{-1} Ejercicio: Un poste de alumbrado público tiene en su extremo superior, a 5 metros de altura, una luminaria. Una persona de 1.7 m de estatura se aproxima al poste caminando por la acera. Determine una expresión que represente el tamaño de la sombra de la persona sobre el piso (h) en función de la distancia horizontal (d) del poste a la persona. 5 / (h+d) = 1.7 / h 5h = 1.7(h + d) 5h = 1.7h + 1.7d 5h - 1.7h = 1.7d 3.3h = 1.7d h = \frac{1.7}{3.3} d h = 0.52 d \text{ [unidades de longitud]}