Trabalho de Calculo 2 - Resolucao de Integrais e Area entre Funcoes

Calculo 2 푇푟푎푏푎푙ℎ표 1 20102022 Data de entrega 27102022 Atencao A tarefa deve pode ser realizada em dulpa trios ou quartetos e somente uma tarefa por grupo sera entregue para correcao A tarefa somente sera recebida se for entregue no formato descrito a seguir i Capa de acordo com o modelo fornecido no arquivo CapaTrab1pdf basta preen cher ii O presente arquivo contendo os enunciados das questoes deve ser anexado ao trabalho iii O desenvolvimento da resposta de cada questao proposta deve ser transcrito a caneta azul ou preta em papel branco sem pauta com caligrafia legıvel e de forma organizada Nao utilizar qualquer outra cor de caneta ou lapis iv Nao serao aceitas folhas arrancadas de caderno ou rascunhos v Nao serao aceitas tarefas entregues apos o prazo vi As questoes devem ser resolvidas em ordem Resolva as 4 integrais utilizando a tecnica que julgar mais adequada Questao 1 푙푛2푥 3푥4 푙푛22푥 푑푥 Questao 2 휋4 0 푠푒푐8휃 푑휃 Questao 3 푥3 9 푥2 푑푥 Questao 4 2푥 5 푥푥2 1 푑푥 Questao 5 Encontre a area entre 푓 푥 3 2 4 푥2 e 푔푥 3푥 ln2x 3x4ln²2x dx 13 ln2x x4ln²2x dx usando a substituição u 2x du2 dx Então teremos 13 lnu du2 u24ln²u 13 lnu du u4ln²u usando uma nova substituição v lnu dv duu Então 13 v4v² dv usando uma nova substituição w 4 v² dw 2v dv dw2 v dv Então ficamos 13 12 1w dw lnw substituindo wv e u temos ln2x 3x4ln²2x dx 16 ln4 ln²2x c 2 ₀π4 sec⁸θ dθ ₀π4 sec²θ sec⁶θ dθ ₀π4 sec²θ secθ³ dθ Sabemos que sec²θ 1 tg²θ então ₀π4 sec²θ 1 tg²θ³ dθ Usando a substituição u tgθ tgπ41 du sec² dθ tg0 0 logo ₀¹ 1u²³ du ₀¹ 1 3u² 3u⁴ u⁶ du ₀¹ 1 3u² 3u⁴ u⁶ u u³ 3u⁵5 x⁷7₀¹ 1 1 35 17 Assim ₀π4 sec⁸θ dθ 9635 x³ 9 x² dx usando a substituição u 9 x² dx du 2x dx du2 x dx Então teremos x² 9 x² x dx du2 podemos fazer x² 9 u 9 x² logo u 9 2u du 12 u 9 u du 12 1 9u du 12 1 9u du u 9 lnu substituindo o valor de u x³ 9 x² dx 12 9 x² 9 lnx² 9 c 2x 5 x x2 1 dx 2x x x2 1 dx 5 x x2 1 dx 2x x x2 1 dx 2 x2 1 dx 2 1 x2 1 dx Pela definição sabemos que 1 x2 1 dx arc tgx Então 2 x2 1 dx 2 arc tgx 5 x x2 1 dx 5 1 x x2 1 dx 5 1x x x2 1 dx 5 1x x x2 1 1x dx ln x x x2 1 dx u x2 1 du 2x dx du2 x dx 1 2u du 12 ln x2 1 logo 2x 5 x x2 1 dx 2 arc tgx 5 ln x 12 ln x2 1 c fx 32 4 x2 e gx 3x Esboçando o gráfico das funções Precisamos achar os limites da integração 32 4 x2 3x 32 x2 12x Vemos que se elevando os dois lados ao quadrado 32 x22 12x2 18 x4 144x Assim temos x 0 e x 2 então A 3x 32 4 x2 dx 2 x32 x3 22 02 A 42 22 22 A 22 ua