Trabalho de Calculo

Curso Superior em Engenharia Mecânica Disciplina Cálculo I Professor Sandro Azevedo Carvalho Extraordinário Aproveitamento de Estudos Seção 1 Questão 1 Um modelo para o decaimento radiativo é dado pela função 𝑀𝑡 𝑀0𝑒𝑘𝑡 em que 𝑀 é a massa de um isótopo 𝑡 é o tempo 𝑀0 é a massa inicial e 𝑘 é uma constante positiva que depende da meiavida do isótopo Uma amostra de 100 g de um isótopo radioativo decai para 50 g em 10 segundos a Qual é a massa do isótopo aos 15 segundos b Calcule a melhor aproximação em um número inteiro de meses para o tempo que leva até a massa do isótopo ser reduzida a apenas 1 de sua massa inicial c Use um software para fazer o gráfico da função para 𝑡 0 Questão 2 Um projétil é disparado para cima a partir de uma altura inicial de 42 pés com velocidade inicial de 180 péss Sua altura ℎ em pés em função do tempo 𝑡 em segundos é dada por ℎ𝑡 16𝑡2 80𝑡 42 a Calcule a altura do projétil aos 3 segundos b A altura máxima alcançada pelo projétil em pés é c Use um software para fazer o gráfico da função para 0 𝑡 547909 Questão 3 Uma doença foi detectada em uma plantação de modo que a área afetada pela doença foi modelada pela função 𝐴𝑡 2 𝑡 5 ln𝑡 1 em que 𝐴 é a área em hectares e 𝑡 é o tempo em semanas a Calcule a área infectada após 3 semanas b Qual é o limite de 𝐴𝑡 quando t0 c Use um software para fazer o gráfico da função para 𝑡 0 Curso Superior em Engenharia Mecânica Disciplina Cálculo I Professor Sandro Azevedo Carvalho Extraordinário Aproveitamento de Estudos Questão 4 Em um experimento de laboratório concluiuse que a temperatura 𝑇 em C de um objeto varia em função do tempo 𝑡 em minutos de acordo com a função 𝑇𝑡 120𝑡 80 4𝑡 10 a Qual será a temperatura de equilíbrio quando decorrer um longo período de tempo 𝑡 b Use um software para fazer o gráfico da função para 𝑡 0 Questão 5 Uma cultura de bactérias 𝐵 em milhares varia em função do tempo 𝑡 em dias de acordo com a função 𝐵𝑡 15000 10 50 𝑒005𝑡 a Calcule a melhor aproximação para o número inteiro de bactérias na cultura em 50 dias b Quando passar um longo período de tempo t qual será a população de bactérias na cultura c Use um software para fazer o gráfico da função para 𝑡 0 Questão 6 O comportamento de um sistema massa mola subamortecido é descrito pela função unidades no SI 𝑥𝑡 𝑒02𝑡 cos𝑡 𝜋 2 a Qual deve ser o comportamento estacionário t desse sistema b Use um software para fazer o gráfico da função para 𝑡 0 Curso Superior em Engenharia Mecânica Disciplina Cálculo I Professor Sandro Azevedo Carvalho Extraordinário Aproveitamento de Estudos Seção 2 Questão 1 Determine o ponto de interseção das retas tangentes ao gráfico da função 𝑓𝑥 1 1 3𝑥2 3 𝑥2 nos pontos de ordenada igual a 2 Questão 2 Uma partícula sujeita a influências externas se move em linha reta de modo que sua posição 𝑠 em metros em função do tempo 𝑡 em segundos e dada por 𝑠𝑡 100 1 5𝑒05𝑡 Determine a velocidade e a aceleração instantâneas da partícula em 𝑡 5 𝑠 Questão 3 Quando uma empresa produz 𝑝 peças de uma máquina por semana o custo total e a receita total semanais em são dadas respectivamente por 𝐶𝑝 3000 40𝑝 e 𝑅𝑝 150𝑝 025𝑝2 Se a produção semanal está aumentando a uma taxa instantânea de 10 peças por semana qual será a taxa de variação instantânea do lucro total semanal quando o número de peças produzidas é de 200 peças Questão 4 Determine a interseção da reta tangente à curva de equação 𝑦2 sen𝑥𝑦 9 no ponto 𝑃03 com o eixo das abscissas Questão 5 A velocidade de um sinal 𝑠 em número de sinais por minuto enviado através de um cabo submarino depende da razão entre o diâmetro externo do núcleo e o diâmetro do fio de cobre revestido Chame essa razão de y Assim 𝑠𝑦 𝑎𝑦2 ln 1 𝑦 em que 𝑎0 é uma constante característica do modelo Nestas condições 𝑠 atinge seu máximo valor para que valor de 𝑦 E qual é o valor máximo da velocidade do sinal Curso Superior em Engenharia Mecânica Disciplina Cálculo I Professor Sandro Azevedo Carvalho Extraordinário Aproveitamento de Estudos Seção 3 Questão 1 Calcule as integrais a 𝑥3 12 𝑑𝑥 1 0 b 𝑥 2 0 𝑒𝑥2𝑑𝑥 Questão 2 Calcule a área da região plana pintada em que os eixos estão em metros Questão 3 Calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região plana em torno do eixo das abscissas eixos em centímetros Questão 4 Considere uma barra retilínea de comprimento 𝐿 do ponto 𝑥 0 ao ponto 𝑥 𝐿 no eixo das abscissas O centro de massa de uma barra pode ser obtido por 𝑥 𝑥𝜇𝑥 𝑑𝑥 𝐿 0 𝜇𝑥 𝐿 0 𝑑𝑥 em que 𝜇𝑥 é a densidade por unidade de comprimento da barra Calcule o centro de massa de uma barra de 22 cm sabendo que a densidade por unidade de comprimento em cada ponto da barra é dada por 𝜇𝑥 𝑥 1 gcm CÁLCULO I Seção 1 Questão 01 Mt M0 ekt A M10 M0 ek 10 50 100 e10k e10k 05 10 k ln 05 ln 2 k 110 ln 2 M15 M0 ek 15 M15 100 e15 ln 2 10 M15 100 eln 2 15 M15 100 2 2 1002 22 M15 25 2 M15 35 g B Mt M0 e110 ln2 t 001 M0 M0 eln 2t10 001 2t10 t10 66 t 66 segundos C1 Questão 02 ht 16t2 80t 42 A1 h3 16 32 80 3 42 h3 16 9 80 3 42 h3 144 240 42 h3 138 m B1 hmáx Vértice em y da função hmáx Δ4 a hmáx 802 4 16 42 4 16 hmáx 6400 2688 64 hmáx 9088 64 hmáx 142 m C1 QUESTÃO 03 At 2 t 5lnt1 A A3 2 3 5ln31 A3 2 3 51386 A3 2 3 693 A3 593 hectares B lim t0 At lim t0 2 t 5lnt1 2 5ln1 2 lim t0 At 2 C QUESTÃO 04 Tt 120t 80 4t 10 A lim t Tt lim t 120t 80 4t 10 tt lim t 120t t 80 t 4t t 10 t lim t 120 0 4 0 30 lim t Tt 30 B QUESTÃO 05 Bt 15000 10 50e⁰⁰⁵ᵗ A B50 15000 10 50e⁰⁰⁵50 B50 15000 10 50e²⁵ B50 15000 10 500082 B50 15000 141 B50 1064 B lim t Bt lim t 15000 10 50e⁰⁰⁵ᵗ lim t 15000 10 501e⁰⁰⁵ᵗ lim t 15000 10 1500 lim t Bt 1500 C Questão 06 xt e02t cos t π2 A limt xt limt e02t cos t π2 limt 1 e02t cos t π2 0 função que tende a zero função com valor limitado limt xt 0 B Seção 2 Questão 01 Ponto de tangência yp 2 2 1 1 3x² 3 x² 1 1 3x² 3 x² 3 x² 1 3x² 2x² 2 x1 1 x2 1 m fx 1 1 3x²3 x² 6x 3 x² 1 3x² 2 x 3 x²² 18x 6x³ 2x 6x³ 3 x²² 16x 3 x²² Reta tangente em 12 m 6 1 31²² m 6 6 m 1 y 2 1 x 1 y x 1 Reta tangente em 12 m 6 1 3 1²² m 1 y 2 1 x 1 y x 1 Ponto de intercessão y1 y1 x 1 x 1 2x 0 x 0 y 1 Ponto de intercessão 01 Questão 02 Velocidade st vt st 100115e05t 100055e05t15e05t2 250e05t15e05t2 v5 250e2515e252 v5 2052199 v5 1032 ms Aceleração vt at vt st 250e05t15e05t2 25005e05t15e05t2 e05t215e05t05e05t15e05t4 a5 204 11831434 a5 216 ms² Questão 03 Lucro Lp Rp Cp Lp 550p 025p2 3000 40p Lp 510p 025p2 3000 dpdt 10 dLdt dLdp dpdt 510 05p10 dLdt 1100 5p dLdt200 1100 5200 dLdt 100 reais por semana Questão 04 Para a reta tangente m dydx 2ydydx ycosxy 0 2m cosxy 2m cos03 m 12 y 3 12x 0 y x2 3 Intercessão com y 0 0 x2 3 x 6 Intercessão 60 Questão 05 sy ay2 ln1y ay2 lny Para sy máximo sy 0 sy a2yln y y2 1y sy a2yln y y sy ay2ln y 1 sy 0 y0 risco de cancelamento condição de existência da função ou 2ln y 1 0 2ln y 1 ln y 12 y e12 y 06 Velocidade de sinal máxima Smáx Se12 a 1e ln e12 a2e Smáx a544 SEÇÃO 3 Questão 01 A01 x3 12 dx 01 x6 2x3 1 dx 01 x6 dx 01 2x3 dx 01 1 dx x7 701 2x4 401 x01 17 12 1 914 B02 xex2 dx Faça x2 u du 2x dx dx du2x 04 eu x du2x 04 12 eu du 12 eu04 e4 12 Questão 02 Área pintada Área abaixo de g Área abaixo de f S SG SF S 0π4 cos x dx 0π4 sen x dx S sen x0π4 cos x0π4 S 22 0 22 1 S 2 1 m2 Questão 03 V π 13 Fx2 dx V π 13 116 x14 dx faça u x1 du dx V π16 24 u4du V πu5165 42 V π1024165 π32165 V 64π5 2π5 V 62π5 cm3 V 3896 cm3 QUESTÃO 04 x 022 x x1 dv022 x1 dx V x13223 x x13223 022 x13223 x13223 220 x x132 25 x152 220x132 220 x 2332 25 2352 12332 1 x 144271093 x 1292 cm