Cálculo das Questões

QUESTÃO 01 Considere a função fx x3 2x 4 x2 1 A derivada de fx pode ser calculada utilizando a regra do quociente que afirma que a função hx uxvx é dada por hx uxvx vxux vx² PORQUE A derivada do numerador ux x3 2x 4 e ux 3x2 2 e a derivada do denominador vx x2 1 e vx 2x Verifique se as duas asserções estão corretas ou se a segunda é justificativa da primeira explique QUESTÃO 02 Um estudante do curso de Engenharia Civil está analisando a taxa de variação do momento fletor em uma viga cuja expressão é dada pela função Mx 3x² 4 2x 5 Ao derivar esta função ele obteve Mx 6x2x 5 3x² 42 Está correto o procedimento aplicado acima Justifique procedendo com o cálculo QUESTÃO 03 Durante o desenvolvimento de um projeto de engenharia civil um engenheiro está analisando a variação da área de uma fundação retangular à medida que as dimensões da fundação comprimento e largura mudam com o tempo A área At da fundação em função do tempo t é dada pela seguinte expressão At 3t² 5t 2 t² 4t 1 Onde t é o tempo em dias e At representa a área da fundação em metros quadrados O engenheiro precisa calcular a taxa de variação da área da fundação em relação ao tempo Para isso ele utiliza a regra do quociente para derivar a função At Com base nisso julgue as sentenças abaixo em verdadeira ou falsa a A derivada de At representando a taxa de variação da área da fundação em relação ao tempo é At 6t 5t² 4t 1 3t² 5t 22t 4 t² 4t 1² b A taxa de variação da área da fundação será positiva para t 0 o que indica que a área está aumentando ao longo do tempo c A fórmula para a derivada foi corretamente aplicada no primeiro item levando em consideração o numerador e o denominador da função At QUESTÃO 04 Em uma obra de construção civil os engenheiros monitoram a quantidade de concreto que está sendo despejada em uma fundação A quantidade de concreto Vt em metros cúbicos é dada pela função Vt 100t t 5 onde t é o tempo em horas Com isso qual é a quantidade máxima de concreto que pode ser despejada na fundação quando o tempo t for muito grande ou seja quanto o tempo tender para o infinito QUESTÃO 05 Resolva o limite a seguir lim x2 4 x 2 x2 QUESTÃO 06 Na área de otimização e análise de funções é comum utilizarmos a regra da cadeia para calcular derivadas compostas Vamos considerar um exemplo de movimento de um corpo Suponha que a posição de um objeto no tempo seja dada pela função st 3t2 2t5 onde t representa o tempo A partir dessa função podemos querer saber a taxa de variação da posição do objeto em relação ao tempo ou seja a velocidade Para isso aplicamos a regra da cadeia para derivar a função de posição Seja ut 3t2 2t Então a função de posição pode ser reescrita como st ut5 Qual é a velocidade do objeto no tempo t isto é a derivada de st em relação a t QUESTÃO 07 Na construção civil um dos aspectos essenciais no planejamento de obras envolve a análise do comportamento de estruturas sujeitas a variações de temperatura carga e materiais Suponha que uma construtora esteja desenvolvendo um novo projeto de ponte que será composta por diferentes camadas de materiais como concreto e aço A espessura de cada camada de material pode variar dependendo da temperatura ambiente e das pressões exercidas sobre a estrutura durante o processo de construção Durante o processo de construção da ponte a variação da temperatura provoca mudanças na expansão térmica de cada material A espessura da camada de concreto em função da temperatura T em graus Celsius pode ser representada pela função gT 2T3 3T2 4T 1 enquanto a espessura da camada de aço é dada por gT 5T2 7T 2 Seja hT fgT a função que descreve a espessura total da estrutura da ponte em função da temperatura A questão pode ser para calcular a taxa de variação da espessura total da ponte em relação à temperatura ou seja a derivada de hT em função de T utilizando a regra da cadeia Determine a expressão para a derivada hT que representa a taxa de variação da espessura total da ponte em função da temperatura QUESTÃO 08 Em um projeto de engenharia civil a carga Fx aplicada em uma viga de concreto armado pode ser representada pela fórmula Fx 3x4 5x3 2x2 x 7 onde x é a distância em metros ao longo da viga a Calcule a taxa de variação da carga Fx em relação à distância x usando a regra da potência b Explique o que significa a derivada que você calculou na parte a ou seja como a carga da viga muda à medida que a distância x vai mudando QUESTÃO 09 Em uma análise de vibração de um sistema estrutural um engenheiro civil precisa calcular como a função de deslocamento gx sen2x3 4x varia em relação ao tempo onde x representa o tempo e a função descreve a posição de uma parte da estrutura ao longo desse tempo A derivada dessa função ajudará o engenheiro a entender a velocidade de movimentação da estrutura Qual é a derivada de gx sen2x3 4x QUESTÃO 10 O estudo das derivadas é fundamental para entender o comportamento das funções A derivada de uma função em termos simples mede a taxa de variação de uma função em relação a uma variável Em muitos casos a função pode ser expressa como o quociente de duas outras funções Nesse contexto a regra do quociente é uma ferramenta essencial A regra do quociente afirma que se tivermos uma função fx gxhx onde gx e hx são funções diferenciáveis então a derivada de fx é dada pela fórmula fx gxhx gxhx hx2 Essa regra permite calcular a derivada de funções que são expressas como o quociente de duas outras funções sendo especialmente útil em problemas que envolvem frações algébricas Considerando a função fx 2x2 3x x2 4x calcule a derivada de fx utilizando a regra do quociente Mostre todos os passos do cálculo e explique o processo