Trigonometria no Triângulo Retângulo - Relações e Razões Trigonométricas

A trigonometria no triângulo retângulo corresponde ao estudo das relações entre os lados e ângulos do triângulo retângulo um polígono formado por um ângulo reto 90 e dois ângulos agudos menores que 90 Tais relações referemse por exemplo a seno cosseno tangente A trigonometria ao contrário do que se pensa não é restrita apenas ao triângulo retângulo Essa área da matemática penetra vários campos da geometria e vai do triângulo acutângulo até às esferas trigonometria esférica Em relação aos lados do triângulo retângulo eles são identificados da seguinte forma Hipotenusa lado maior e oposto ao ângulo de 90 Catetos lados que formam o ângulo de 90 Definição de seno cosseno e tangente 𝑠𝑒𝑛𝑜 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑛𝑜 cos 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑔 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 Para o ângulo 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑎 𝑐 cos 𝛼 𝑏 𝑐 𝑡𝑔 𝛼 𝑎 𝑏 Para o ângulo 𝛽 𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑏 𝑐 cos 𝛽 𝑎 𝑐 𝑡𝑔 𝛽 𝑏 𝑎 MATEMÁTICA 3º ANO TURMA 3º A 3º B 3º C 3º D 3º E 3º F 3º G 3º H PROFESSORA ADRIANO MAUÉS CLÁUDIA DIAS ROSIANE BRITO PERÍODO OUTUBRONOVEMBRO DEVOLUÇÃO 11112022 SEXTA ALUNO A RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO T GOVERNO DO ESTADO DO PARÁ SECRETARIA EXECUTIVA DE EDUCAÇÃO ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO MÉDIO RUI BARBOSA Razões Trigonométricas para Ângulos Notáveis Todo ângulo tem as suas razões trigonométricas mas existem três ângulos que mais utilizamos que são 30º 45 e 60 também conhecidos por ângulos notáveis Ao trabalharmos com exercícios sobre trigonometria vamos nos deparar com diversas questões que exigem conhecimento acerca das razões trigonométricas seno cosseno e tangente de ângulos notáveis A partir delas podemos encontrar as razões trigonométricas de outros ângulos Como esses ângulos aparecerem com frequência podemos construir uma tabela com seus valores Exemplos resolvidos 1ª Uma pipa é presa a um fio esticado que forma um ângulo de 45º com o solo O comprimento do fio é 80 𝑚 determine a altura da pipa em relação ao solo Dado 2 141 Resolução Primeiro tiramos as informações fornecidas pelo problema â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 45 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑥 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 80 𝑚 Como procuramos a altura que a pipa se encontra do solo devemos achar o valor do cateto oposto ao ângulo de 45 Logo a relação que devemos usar é o seno já que temos o valor do ângulo da hipotenusa e procuramos o valor 𝑥 do cateto oposto ao ângulo 𝑠𝑒𝑛 𝛼 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑠𝑒𝑛 45 𝑥 80 2 2 𝑥 80 2𝑥 80 2 𝑥 80 2 2 𝑥 40 2 𝑥 40 141 𝑥 564 𝑚 Logo a altura da pipa é 546 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 2ª Um paraquedista salta de um avião quando este se encontra a 1800 𝑚 de altura Devido à velocidade do avião e da ação do vento o paraquedista salta do ponto 𝑃 mas cai no ponto 𝐴 conforme indica a figura A que distância do ponto 𝐵 o paraquedista vai cair Dados 𝑡𝑔 30 0577 Resolução Primeiro tiramos as informações fornecidas pelo problema â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 30 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑥 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 1800 𝑚 Como procuramos a distância que o paraquedista caiu do ponto B a única relação que podemos utilizar com as informações que temos é a tangente 𝑡𝑔 30 𝑥 1800 0577 𝑥 1800 𝑥 1800 0577 𝑥 10386 𝑚 Logo o paraquedista cairá no ponto 𝐴 à 10386 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 do ponto 𝐵 3ª O ângulo de elevação do pé de uma árvore ao topo de uma encosta é de 60 Sabendose que a árvore está distante 50 𝑚 da base da encosta que medida deve ter um cabo de aço para ligar a base da árvore ao topo da encosta Resolução Primeiro tiramos as informações fornecidas pelo problema 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 60 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 50 𝑚 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑎 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑥 Como procuramos a distância que o paraquedista caiu do ponto B a única relação que podemos utilizar com as informações que temos é o cosseno 𝑐𝑜𝑠 60 50 𝑥 1 2 50 𝑥 𝑥 2 50 𝑥 100 𝑚 Logo o comprimento do cabo de aço será de 100 𝑚 4ª Na construção de um telhado foram usadas telhas francesas e o caimento do telhado é de 20 em relação ao plano horizontal Sabendo que em cada lado da casa foram construídos 6 𝑚 de telhado e que até a laje do teto a casa tem 3 𝑚 de altura determine a que altura se encontra o ponto mais alto do telhado dessa casa Use 𝑠𝑒𝑛 20 034 cos 20 094 𝑡𝑔 20 036 Resolução â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 20 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑎𝑜 â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑥 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 6 𝑚 𝑠𝑒𝑛 20 𝑥 6 034 𝑥 6 𝑥 6 034 𝑥 204 𝑚 Como se procura o ponto mais alto do telhado devemos somar o valor encontrado com a altura do chão até a laje 204 3 504 𝑚 Logo o ponto mais alto do telhado se encontra a 504 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 do chão FAÇA AS RESOLUÇÕES APROVEITANDO O RESTANTE DESSA PRIMEIRA FOLHA E USE O VERSO FAÇA CÁLCULO EM TODAS AS QUESTÕES 1ª 05pt Qual a altura ℎ do poste representado na figura abaixo Considere 𝑠𝑒𝑛 37 0602 𝑐𝑜𝑠 37 0799 𝑡𝑔 37 0754 2ª 05pt A uma distância de 40 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 uma torre é vista sob um ângulo de 40 como mostra a figura Determine a altura ℎ da torre 3ª 10pt Um navio navegando em linha reta vai de um ponto 𝐵 até um ponto 𝐴 Quando o navio está no ponto 𝐵 é possível observar um farol situado num ponto 𝐶 de tal forma que o ângulo 𝐴𝐶𝐵 60 Sabendo que o ângulo 𝐶𝐴𝐵 é reto e que a distância entre os pontos 𝐴 e 𝐵 é de 9 𝑚𝑖𝑙ℎ𝑎𝑠 calcule a distância em milhas Faça 3 173 a Do ponto 𝐴 ao farol b Do ponto 𝐵 ao farol MATEMÁTICA 3º ANO TURMA 3º A 3º B 3º C 3º D 3º E 3º F 3º G 3º H PROFESSORA ADRIANO MAUÉS CLÁUDIA DIAS ROSIANE BRITO PERÍODO OUTUBRONOVEMBRO DEVOLUÇÃO 11112022 SEXTA ALUNO A ATIVIDADES NÃO PRESENCIAIS NOTA 20 PTS T Nº GOVERNO DO ESTADO DO PARÁ SECRETARIA EXECUTIVA DE EDUCAÇÃO ESCOLA ESTADUAL DE ENSINO MÉDIO RUI BARBOSA