Cap 4 - Resultantes de Sistemas de Forças

4\nRESULTANTES DE SISTEMAS DE FORÇAS\nOBJETIVOS DO CAPÍTULO\n• Discutir o conceito de momento de uma força e mostrar como calcular esse momento em duas e três dimensões.\n• Apresentar um método para obtenção do momento de uma força em relação a um eixo específico.\n• Definir o momento de um binário.\n• Apresentar métodos para a determinação das resultantes de sistemas de forças não concorrentes.\n• Mostrar como converter uma carga distribuída simples em uma força resultante e seu ponto de aplicação.\n4.1 MOMENTO DE UMA FORÇA – FORMULAÇÃO ESCALAR\nO momento de uma força em relação a um ponto O a um eixo torque uma medida da tendência dessa força provocar a rotação de um corpo em torno do ponto de ação da força. Por exemplo, considere a força horizontal F, que age perpendicularmente ao cabo da árvore inglesa é está localizada a uma distância d, do ponto O (Figura 4.1a). Pode-se observar que essa força tende a provocar um giro do tubo em torno do eixo z. Quanto maior a força e a distância d, maior é a tendência de rotação. Essa tendência de rotação provocada pela força F, algumas vezes é chamada de momento, considerando momento de uma força ou simplesmente momento (MO).\nObserve que o eixo do momento (e) é perpendicular ao plano sobrepondo o ponto O.\nConsiderando agora a aplicação da força F, a árvore inglesa da Figura 4.1b. Essa força não provocará rotação, pois esta linha de ação da força passa pelo ponto O, em relação ao eixo O.\n\nFIGURA 4.1 Figura 4.1\nVamos agora generalizar a discussão anterior e considerar a força F e o ponto O, que estão situados no plano sombreado (Figura 4.2a). O momento MO em relação ao ponto O, ou ainda em relação a um eixo que passa por O perpendicular ao plano, é uma quantidade vetorial, uma vez que depende de um sistema de módulo, direção e sentido para ser determinado.\nIntensidade. A intensidade do Mo é:\nM0 = Fd (4.1)\nonde d é denominado braço do momento e e é a distância perpendicular do ponto O até a linha de ação da força. As unidades da intensidade do momento são dadas pelo produto de força por distância, por exemplo, N m ou lb · p:\nDireção e Sentido. A direção e o sentido de Mo devem ser determinados pela “regra da mão direita”. Para a aplicação dessa regra, os dedos da mão direita devem ser curvados da forma que acompanham o sentido de rotação do fator, assim que pode-se girar em torno do ponto O, como ilustrado na Figura 4.2a. O polegar, então, se orienta ao longo do eixo do momento, determinando a direção e o sentido do vetor momento, que nesse caso é dirigido para cima e perpendicular ao plano sombreado contendo F e e.\nO vetor Mo é representado em três dimensões por uma seta envolvida em outro formato circular, para distinguir-lo do vetor força (Figura 4.2a).\nNa conversão mais mecânica, entretanto, existem as forças capilares, por exemplo, Figura 4.2b pode-se ver em duas dimensões, Então, nesse caso, o vetor Mo é...\n FIGURA 4.3\nvando em que direção a força ‘orbital’ em torno do ponto O (anti-horário na Figura 4.2b). Em duas dimensões, vamos nos referir à obtenção do momento de uma força em torno de um ponto (O). Lembre-se, no entanto, de que o momento sempre é uma relação a um eixo que é perpendicular ao plano contendo F e e que intercepta o plano no ponto (O) (Figura 4.2a).\nMomentos Resultantes de um Sistema de Forças Capilanares. Se um sistema de forças se situa em um plano x-y, em relação ao ponto O & direcionado ao longo do eixo x, como se vê na Figura 4.3. Consequentemente, o momento resultante M do sistema pode ser determinado adicionando-se os momentos de todas as forças algebricamente, uma vez que os momentos vetores são colineares. Podemos escrever essa soma vetorial simbolicamente como:\nI + Mr = ΣF d (4.2)\nA seta indica no sentido anti-horário dessa equação significar, convencionalmente, que o momento de qualquer força é positivo se aponta ao longo do eixo z + e negativo se estiver direcionado ao longo do eixo -z.\nOs exemplos a seguir ilustram algumas aplicações numéricas descritas nas equações 4.1 e 4.2. Cap. 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FORÇAS 99\nFig. 4.4a M0 = (100 N)(2 m) = 200 N · m ⃗\nResposta 100 N\nFig. 4.4b M0 = (50 N)(0.75 m) = 37.5 N · m ⃗\nResposta\nFig. 4.4c M0 = (40 lb)(4 pés + 2 cos 30° pés) = 229 lb · pés ⃗\nResposta\nFig. 4.4d M0 = (60 lb)(1 sen 45° pés) = 42.4 lb · pés ⃗\nResposta O\nFig. 4.4e M0 = (7 kN)(4 m - 1 m) = 21 kN · m ⃗\nResposta\n2 m\n2 pés\n50N\n0.75 m\na\n2 cos 30° pés\n(b)\n(c)\n(d)\n4 m\n2 m\n7 kN\nFIGURA 4.4\nEXEMPLO 4.2\nDetermine os momentos da força de 800 N que atua sobre a estrutura na Figura 4.5 em relação aos pontos A, B, C e D.\nSOLUÇÃO (ANÁLISE ESCALAR)\nEm geral, M = Fd, onde d é o braço de momento ou a distância perpendicular do ponto não eixo do momento até a linha de ação da força. Consequentemente:\nMA = 800 N(2.5 m) = 2.000 N · m ⃗\nResposta\nMB = 800 N(1.5 m) = 1.200 N · m ⃗\nResposta\nMC = 800 N(0) = 0 (a linha de ação de F passando por C)\nResposta\nMD = 800 N(1 m) = 400 N · m ⃗\nResposta\nAs setas do formato curvo em cada uma das equações indicam os sentidos de rotação dos momentos, que são definidos pelos sentidos de circulação da força em torno de cada ponto. \nFIGURA 4.5 100 ESTÁTICA\nEXEMPLO 4.3\nDetermine o momento resultante das quatro forças que atuam na has mostrada na Figura 4.6 em relação ao ponto O.\nSOLUÇÃO\nSupondo que momentos positivos atuam na direção +k, isto é, no sen do anti-horário, temos:\n+MRO = ΣFd\n+MRO = -50 N(2 m) + 60 N(0) + 20 N(3 cos 30° m)\n-MRO = -334 N · m = 334 N · m ⃗\nResposta\nPara esses cálculos, note que as distâncias dos braços dos momentos pa as forças de 20 N e 40 N formam estabelecidas pelo prolongamento das linhas de ação de cada uma delas (linhas tracejadas).\nFIGURA 4.6 4.2 PRODUTO VETORIAL\nO momento de uma força será formulado com o uso de vetores cartesi nos na próxima seção. Antes disso, porém, é necessário ampliar nos conhecimento de álgebra vetorial introduzindo a técnica de produto vetorial.\nO produto vetorial de dois vetores A e B produz o vetor C, que e escre como:\nC = A × B\ne poder ser lido como 'C é igual ao produto vetorial de A e B'.\nIntensidade. A intensidade de C é definida como o produto das intensid des de A e B e o seno do ângulo θ entre os dois vetores, prolongando-os, necessário, de modo que suas origens se localizem no mesmo ponto (0° ≤ 180°). Assim, C = AB sen θ.\nDireção e sentido. O vetor C tem direção perpendicular ao plano conte do A e B, de modo que se sentido é determinado pela regra da mão direita, isto é, curvando os dedos da mão direita e direcionando-os do vetor A para vetor B, o polegar indicará o sentido do vetor C, podemos expre\nC = A × B = (AB sen θ)uC\nFIGURA 4.7 102 ESTÁTICA\n\nEsses resultados não devem ser memorizados; deve-se compreender com clareza como cada um deles é obtido como o uso da regra da mão direita e a definição do produto vetorial. Um esquema simples, apresentado na Figura 4.11, é útil para a obtenção dos mesmos resultados quando for necessária. S O círculo é construído de acordo com a figura, então o produto vetorial de dois vetores unitários consecutivos no sentido anti-horário fornece o vetor unitário com sinal positivo; por exemplo, i × j = k. Repetindo o movimento porém no sentido horário, obtém-se um vetor unitário negativo; por exemplo i × k = -j.\n\nConsiderando agora o produto vetorial de dois vetores quaisquer A e B, os quais são expressos na forma de vetores cartesianas. Assim, temos:\n\nA × B = (A1i + A2j + A3k) × (B1i + B2j + B3k)\n = A2B3(i × k) + A3B1(j × i) + A1B2(k × j)\n + A3B2(i × j) + A1B3(k × k)\n + A2B1(j × i) + A2B3(k × k) + A1B2(i × j)\n\nEfetuando as operações de produto vetorial e considerando os termos obtidos:\n\nA × B = (A2B3 − A3B2)i − (A1B3 − A3B1)j + (A1B2 − A2B1)k (4.4)\n\nEssa equação também pode ser escrita na forma mais compacta do determinante de uma matriz como:\n\n(4.5)\n\nEntão, para obter o produto vetorial de duas vetores cartesianos A e B, é necessário enumerar de maneira que a primeira linha representem os componentes x, y, z dos dois vetores A e B, respectivamente.\n\nUm determinante com três linhas e três colunas pode ser organizado usando-tres determinantes menores. Cada um deles deve ser multiplicado por um dos elementos da primeira linha. Há quatro elementos para cada determinante menor; por exemplo:\n\nPara o elemento i:\n\nPara o elemento j:\n\nPara o elemento k:\n\nAdicionando resultados e observando que o elemento j deve ser acompanhado do sinal negativo, chega-se à forma expandida do A × B dada na Equação 4.4. 103\n\n4.3 MOMENTO DE UMA FORÇA - FORMULAÇÃO VETORIAL\n\nO momento de uma força F em relação a um ponto O, ou mais exatamente, em relação ao eixo de momento que passa por O perpendicularmente ao plano, contendo O e F, segundo pode ser expresso na forma de um produto vetorial:\n\nM_O = r × F (4.6)\n\nNesse caso, r representa um vetor posição traçado de O até qualquer ponto sobre a linha de ação de F.\n\nVamos mostrar agora que foi o momento M_O quando obtido por esses produto vetorial, em sua intensidade, sua direção e seu sentido bem determinados.\n\nIntensidade. A intensidade do produto vetorial é definida pela Equação 4.3 como M_O = rF sen θ. O ângulo θ é medido entre as direções de r e F. Para definir esse ângulo, deve ser tratado como um vetor deslizante, de modo que a pessoa seja representada corretamente (Figura 4.12b). Uma vez que o braço de momento r = sen θ, então:\nM_O = rF sen θ = F(r sen θ) = Fd\n\nem concordância com a Equação 4.1.\n\nDireção e Sentido. A direção e o sentido do M_O na Equação 4.6 são determinados pela regra da mão direita, tendo a aplicação do produto vetorial. Desse modo, deslocando ao longo da linha traçada e curvando os dedos da mão direita para a F, o produto vetorial F, o polegar foi direcionado para cima, ou seja, fica perpendicular ao plano contorno e r, que está na mesma direção do eixo e. Portanto, o momento de F, o momento de r em relação ao ponto O (Figura 4.12b) note que essa seta que circula o vetor momento indicam o sentido de rotação provocado pela força. Lembrando que o produto vetorial não é comutativo, é importante manter a ordem de r para F na Equação 4.6. 104 ESTÁTICA\n\nB ou no C, e o mesmo momento M_O = r_B × F deve ser obtido. Como resultado, F apresenta a propriedade de um vetor deslizante e pode, devido a esse ato, agir em qualquer ponto sobre uma linha de ação e ainda produzir o mesmo momento em relação ao ponto O. Esse resultado é devido ao princípio da transmissibilidade, propriedade que será discutida na Seção 4.7.\n\nFormulação Vetorial Cartesianas. Fixando os eixos coordenados x, y, z, o vetor posição r e a força F podem ser expressos como vetores cartesianos (Figura 4.14). Aplicando a Equação 4.5, temos:\n\nM_O = r × F = [i j k]\n [F_x F_y F_z]\n\nonde:\n r_x, r_y, r_z representam os componentes x, y, z do vetor posição traçado do ponto O até qualquer ponto sobre a linha de ação de F.\n F_x, F_y, F_z representam os componentes x, y, z do vetor força.\n\nDesenvolvendo o determinante de acordo com a Equação 4.4, temos:\nM_O = (r_yF_z − r_zF_y)i − (r_xF_z − r_zF_x)j + (r_xF_y − r_yF_x)k (4.8)\n\nO significado físico desses três componentes do momento se torna evidente ao se analisar a Figura 4.14a. Por exemplo, o componente i de M_O é obtido dos momentos de F_x, F_y e F_z em relação ao eixo x. Note que F_r não reage e tende a rotação em relação ao eixo x, uma vez que mais forte é paralela a esse eixo. A linha de ação de F, passa por um ponto E, e mostra que de fato a forma expandida do determinante da Equação 4.8 representa o momento de F em relação ao ponto O. Uma vez que M_O tinha sido determinado, verifique que sua direção será sempre perpendicular ao plano sombreado que contêm os dois vetores F e F na Figura 4.14b.\n\nSerá mostrado no Exemplo 4.4 que o uso do produto vetorial no cálculo do momento tem uma clara vantagem em relação à formulação escalar na resolução de problemas em três dimensões. Isso ocorre porque, em geral, ... Cap. 4 RESULTANTES DE SISTEMAS DE FORÇAS 105\n\nmais fácil encontrar o vetor r para a força do que determinar o comprimen-to do braço do momento, que deve ter direção perpendicular à linha de ação da força.\n\nMomento Resultante de um Sistema de Forças. Se um corpo está sujeito à ação de um sistema de forças (Figura 4.15), o momento resultante das forças em relação ao ponto O pode ser determinado pela soma vetorial por meio de aplicações sucessivas da Equação 4.6. Essa resultante pode ser escrita simbolicamente como\n\nMr = Σ(r × F)\n(4.9)\n\ncomo pode ser visto na Figura 4.15.\n\nFigura 4.15\n\nEXEMPLO 4.4\n\nO poste da Figura 4.16 está sujeito a uma força de 60 N na direção de C para B. Determine a intensidade do momento criado pela força em relação ao suporte em A.\n\nB F=60 N\n\nA\n\n(1 m)\n\n(2 m)\n\n(2 m)\n\n(3 m)\n\n(a) Figura 4.16\n\nSOLUÇÃO (ANÁLISE VETORIAL)\n\nComo mostra a Figura 4.16b, cada um dos dois vetores posição podem ser usados para a solução, já que MA = rB × F ou MA = rC × F. Os vetores posição são representados como:\n\nrB = (1i + 3j + 2k) m e rC = (3i + 4j) m