Mecanica dos Fluidos Michel Darze 1 1

ENGENHARIA CIVIL\nDISCIPLINA: INTRODUÇÃO A MECÂNICA DOS FLUIDOS\nPROF. MICHEL SAHADÉ DARZÉ\n\n DEFINIÇÃO DE FLUIDO E A LEI DA VISCOSIDADE DE NEWTON\n\nUm fluído é uma substância que se deforma continuamente quando submetida a uma tensão de cisalhamento, não importando o quanto pequena possa ser esta tensão.\n\nForça de Cisalhamento : componente tangencial da força na superfície.\n\nTensão do Cisalhamento : Força de Cisalhamento / Área\n\nModelo : Duas placas planas paralelas, bem próximas, com uma substância entre elas, sendo a placa superior móvel e a inferior fixa. As placas são suficientemente longas de forma a se poder desprezar efeitos de borda.\n\nSe a força T movimental a placa móvel com velocidade V constante, não importando o quão pequeno seja o módulo de F, então a substância entre as placas é um fluido.\n\n- Uma substância plástica sofre deformação proporcional à força apenas quando a tensão de cisalhamento for superior a uma tensão de escoamento.\n- Se colocássemos ar (substância sólida) entre as placas o atrito estático (atrito de Coulomb) exigiria uma força finita para causar movimento contínuo.\n\nDescrição do Fenômeno :\n\n- Camadas de fluido junto às fronteiras ficam agarradas às mesmas (efeito comprovado em laboratório). A camada superior de fluido tem velocidade U (mesma velocidade da fronteira, não há escoamento) e a camada inferior tem velocidade zero.\n- A velocidade \"u\" varia linearmente de U a zero, ao longo da camada de fluido de espessura t.\n- Todas as partículas se movem paralelamente a placa;\n A experiência mostra que :\n\n\\( \\tau = \\mu \\frac{dU}{dy} \\) com \\( \\mu \\) fator de proporcionalidade que depende do fluido\n\n\\( u \\) : velocidade de deformação angular (vel. com que o ângulo \"bad\" reduz)\n\\( \\frac{du}{dy} \\) mais geral pois é válido quando a velocidade angular é \\( \\frac{du}{dy} \\) variável em relação a outra adjacente.\n\nSubstituindo-se na equação (1), vem que:\n\n\\( \\tau = \\mu \\frac{du}{dy} \\)\n\nLei da Viscosidade de Newton\n\n\\( \\mu \\) : Viscosidade do Fluído (Viscosidade Absoluta)\n\n\\( \\mu = \\frac{d\\tau}{du} \\) ; \\( \\mu \\) = relação entre a tensão de cisalhamento e a velocidade de deformação angular.\n\n- Fluidos Newtonianos : \\( \\mu = \\) constante\n- Fluidos não Newtonianos : \\( \\mu = \\) variável\n- Fluído Perfeito ou Ideal : \\( \\mu = 0 \\)\n PROPRIEDADE DOS FLUIDOS\nUNIDADES DE FORÇA, MASSA, COMPRIMENTO E TEMPO\nUm Sistema de Unidades da Mecânica é dito coerente quando a unidade de força provoca aceleração unitária na unidade de massa.\nF = m.a 2ª Lei de Newton\nEm unidades coerentes:\nSistema Internacional: 1 N = 1Kg·m·s²\nSistema Inglês: 1 lbf = 1slug·ft·s² ou lb = libra força\nSistema Métrico mks: 1Kgf = 1kg·1m·s²; 1Kgf = 9.8N; 1lbf = 9.8Kg\nPRESSÃO\nP = F/A\nA força normal agindo sobre uma superfície plana, dividida pela área dessa superfície, é a pressão nidia.\nPressão do fluido no invólucro — Reação da parede do invólucro no fluido.\nS.I.: N/m² (Pascal); Sist. Inglês: 1 lb/ft² ou psi (psi)\nMASSA ESPECÍFICA, PESO ESPECÍFICO, DENSIDADE\nMassa Específica: massa por unidade de volume. (ρ )\nPeso Específico: peso por unidade de volume. (γ )\nγ = ρ·g com: g = aceleração da gravidade (9.8m/s²) tomando como exemplo a água:\nS.I: γ = 9806 N/m³; ρ = 1000 m³;\nmks: γ = 1000 Kgf/m³; ρ = 102.04 um.m/m³ VISCOSIDADE\nPropriedade pela qual o fluido oferece resistência ao cisalhamento. Chamado de Viscosidade Absoluta ou Dinâmica, para diferenciá-lo da Viscosidade Cinemática.\nSe não há movimento relativo entre as camadas de fluido e entre o fluido e a fronteira sólida, a viscosidade não se manifesta. Na Estática dos Fluidos não existem forças de cisalhamento e todos os esforços são normais às superfícies.\nNum dado líquido a viscosidade decrese com a temperatura e não sofre alterações para pressões moderadas ( no âmbito normal da engenharia civil considerar-se a viscosidade constante com a pressão).\nPara pressões muito elevadas a viscosidade não tem bem definida variação com a pressão.\nμ = τ /du / dy\nDa Análise Dimensional tem-se:\nμ = F·L² / T²·(M·L/T) = M·L/T²·L\nS.I.: N·s/m² ou Kg/m·s\nSistema Inglês: 1 lb/slug·ft·s ou cgs: dim·s ou 8 cm²/cms\nVISCOSIDADE CINEMÁTICA\nν = μ / ρ com ρ = massa específica (M/L³)\nν = M·L²·T⁻¹ / M·L² / T = L² / T\nS.I.: m²/s; Sist. Inglês: ft²/s; cgs: cm²/s = stoke\n- Parâmetro utilizado no número adimensional de Reynolds- que é utilizado largamente para caracterização e modelação matemática do escoamento dos fluidos.\n- Varia preponderantemente com a temperatura. PRESSÃO DE VAPOR\n- Pressão exercida no espaço pelas moléculas de vapor. Esta atividade molecular depende da temperatura. A pressão de vapor é um tensão de vapor e cresce com a temperatura do fluido.\n- Quando a pressão numa líquido iguala a tensão de vapor, ocorre ebulição.\n- Assim, a ebulição entra em ebulição, a pressão atmosférica ( 101.3 Kpa ), para a temperatura de 100°C e 101.3 Kpa ou 1 atm.\n100°C e 101.3 KPa; a tensão de vapor da água é de 2.45 KPa.\nTENSÃO SUPERFICIAL\nPropriedade dos fluidos que resulta na formação de uma película na superfície dos mesmos. A formação desta película pode ser explicada como base na energia de superfície.\nA tensão superficial da água varia de 0.074N/m para 20°C até 0.059N/m para 100°C. Esta característica está associada a formação de gotas, capilaridade e na formação dos incisos.\nMÓDULO DE ELASTICIDADE VOLUMÉTRICA\nParâmetro que expressa a compressibilidade de um fluido.\nSe um fluido é submetido a um acrescimento de pressão dP o sem volume V sofre uma redução dV.\nO módulo de elasticidade volumétrica é dado por:\nK = - dp/dV / V como e a dimensional, K tem unidade de pressão.\nPara água a 20°C, K=2.2GPa. • ESTÁTICA DOS FLUIDOS\n• Estudo da pressão e sua variação no interior de um fluido estático;\n• Estudo das forças de pressão em superfícies finitas.\nNa estática dos fluidos não há desenvolvimento de tensões tangenciais. Agiram apenas forças normais.\n\nNum fluido em movimento as pressões normais não serão iguais em qualquer direção em torno de um ponto, pela ação das tensões de cisalhamento advindas dos efeitos viscosos.\n\nNum fluido ideal (viscosidade nula) em movimento as pressões são iguais em todas as direções de um ponto.\n\n• EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DA ESTÁTICA DOS FLUIDOS\n\nForças que agem num elemento fluido em repouso:\n• Forças de contato (pressão)\n• Forças de campo (peso)\nPressão igual a \"P\", no centro do elemento cúbico:\n\n(y) (x, y, z)\n(p) (x, y, z)\n\nResultado das forças na direção \"y\":\n\n(0x = (P - \u2202P / \u2202y) dx dy dz - (P + \u2202P / \u2202y) dx dy dz\n = - \u2202P/ \u2202y dy dx dz\n(0y = - \u2202P/ \u2202x\n\nAnalogamente:\n(0x = -\u2202P / \u2202x dy dz MANÔMETROS\nManômetros são dispositivos para medir pressão nos fluidos. Os manômetros \"de coluna de fluido\" utilizam colunas de líquidos para determinar a pressão num determinado ponto ou a diferença de pressão entre dois pontos.\nBarômetro de Mercúrio: Pressão atmosférica em coluna da fluido.\nExemplos de Manômetros:\nO mais simples dos manômetros são os Piezômetros, fig. (a). Estes são capazes de medir a pressão num ponto sempre que esta for maior que a pressão atmosférica (o zero cefeutivo). Pressões inferiores à pressão atmosférica não podem ser medidas pelos piezômetros.\nPara medir pressões negativas, o tubo do manômetro deverá ter a forma indicada na fig. (b).\nPara maiores pressões efetivas, positivas ou negativas, é utilizando um segundo líquido manométrico, de maior peso específico, fig. (c). Manômetro da figura (a):\nPressão efetiva em A: PA = γh1, pode ser expressa como altura \"h\" do fluido.\nPressão absoluta em A: PA = PA*m + P atm.\n\nManômetro da figura (b):\nPressão efetiva em A: PA = γh.\nPressão absoluta em A: PA = PATM - γh.\n\nManômetro da figura (c):\nPressão efetiva em A: PA = γ1h2 = γ2h1 - γ1h2.\nPressão absoluta em A: PA + γ1h2 = PATM; γ1h2 = PA + γ2h1 - γ1h2.\n\nMANÔMETRO DIFERENCIAIS\nPermitem determinar a diferença de pressão entre os pontos A e B. FORÇAS EM SUPERFÍCIES PLANAS\n-SUPERFÍCIES HORIZONTAIS\nF = ∫PdA = P∫dA = PA\nForças elementares: P.dA; - paralelas; - normais à superfície; - de mesmo sentido; - soma escalar dará F.\nLinha de ação da resultante: ponto onde é nulo o momento das forças distribuídas em relação a um eixo qualquer que passa no ponto (centro de pressões).\nMomento da força resultante, aplicado no centro de pressões, em relação a um eixo qualquer é igual ao momento das forças distribuídas em relação ao mesmo eixo.\nEm relação ao eixo y:\nP.A = ∫PdA\nx* = dist. eixo y a resultante.\nx = dist. ponto genérico ao eixo y\nx* = 1/A ∫xdA = x\n\nx*: dist. do eixo y ao centro da gravidade ou centróide.\nFazendo em relação ao eixo x:\ny* = 1/d ∫ydA u y\n\nConclusão: Numa superfície horizontal, sujeita a pressão estática de um fluido, a resultante das forças de pressão passará pelo centro de gravidade da superfície. SUPERFÍCIES INCLINADAS\n\nSf = p g A = y h dA = y y sen θ dA\nF = ρ g A = y sen θ y A = y h dA\n\ncomo: y = 1 A { ∫ydA } ⇒ { ∫ydA = y A . F = y sen θ y A = y h dA}\n\nPco = y h . F = ρc A \n\nPodemos girar uma superfície em torno de um eixo passando pelo centro de gravidade: \nqu a intensidade da resultante será a mesma, desde que a superfície permaneça submersa.\n\nForças elementares normais à superfície → resultante também normal à superfície.\n\nCENTRO DAS PRESSÕES\nA linha de ação da resultante passa pelo centro de pressões (xp, yp).\nNuma superfície inclinada, diferente da superfície horizontal, o centro das pressões não coincide com o centro de gravidade.\n\nIgualamos os momentos xp·F e yp·F da resultante, o somatório dos momentos das forças distribuídas (elementares), em relação aos eixos “x” e “y”.\n\nxp = [ ∫ x p dA ]\n\nyp = [ ∫ y p dA ]\n xp = 1 F { ∫ x p dA }\n\nyp = 1 F { ∫ y p dA }\n\ndA = 1\r\n r y A sen θ \n\nxp = { ∫ x y sen θ dA }\n\n y =\n y A dA\n\nIy: produto de inércia \nIw: produto de inércia em relação aos eixos centrais paralelos aos eixos x e y.\n\nxp = y A ⇒ xp = Iy y A + x\n\ny = 1 iy A\n\nIy = { ∫ y2 dA ⇒ y = 1/y A }\n\n1I1: Momento do 2º ordem de uma área em relação no eixo x. \nUtilizando-se as propriedades dos momentos de inércia, para eixos paralelos:\nIx = Ig + y2 A = y y ou y - y = Ig/yA\nIg: Momento de inércia de uma área em relação a um eixo paralelo ao eixo x, que passa no centro de gravidade.\nIg é sempre positivo, logo yp - y será sempre positivo, pelo que se conclui que o centro das pressões estará sempre abaixo do centro de gravidade.\nLembrar que y e y - y são distâncias medidas no plano da superfície. PRISMA DE PRESSÕES\n\nSf = 𝚤 A y h m 𝚤 V = V\n\nPrisma de pressões: Volume prismático cuja base é a superfície dada e a altura, em qualquer ponto, é igual a y h (ver figura).\n\nPonto de aplicação da força:\n\nxp = 1 F { ∫ x y p dA = 1 V A { ∫ y h dA = 1 V } h dV }\n\nyp = 1 F { ∫ y p dA = 1 V A { ∫ y h dA = 1 V } y dA }\n\nxp, yp: coordenadas do Centro de Gravidade do Prisma de Pressões.\n\nA linha de ação da resultante passará pelo centro de gravidade do prisma de pressões. EMPUJO HIDROSTÁTICO - PRINCÍPIO DE ARQUÍMEDES\nForça resultante exercida por um fluido em repouso num corpo nele submerso ou flutuando.\n\nSE = (P2 - P1)S.(y12 - y11)S\nSE = y.h.S = y.SV\nE = m.y.V\n\nE: força de baixo para cima igual ao peso do fluido deslocado.\n\nLinha de ação do empuxo : calculam-se os momentos em relação a um eixo \"O\", qualquer, igualando-se os momentos das forças cerceiras ao momento da resultante em relação ao mesmo eixo.\n\ng.y.VxL = y. \u2211xdV \u2192 xL = I/y \u2211xdV \u2192 xL = x\n\nSendo:\n\u2022 x : distância de um ponto qualquer do corpo ao eixo;\n\u2022 xL' : distância do eixo à linha de ação da resultante;\n\u2022 x : distância ao centro de gravidade do volume ao eixo.\n\nConclusão : O empuxo age no centro de gravidade do volume deslocado, que é chamado Centro de Carena. CACTÉRÍSTICAS E DEFINIÇÕES DOS ESCOAMENTOS\n\n* Escoamento de um fluido real :\n\u2022 Natureza do escoamento é complexa;\n\u2022 Leis básicas de difícil formulação;\n\u2022 Manejo matemático difícil;\n\u2022 Necessários recursos experimentais/empíricos.\n\n* Escoamentos :\n\u2022 Real ou ideal;\n\u2022 Turbulento ou laminar;\n\u2022 Reversível ou irreversível;\n\u2022 Permanente ou variável;\n\u2022 Uniforme ou não uniforme;\n\u2022 Rotacional ou irrotacional.\n\n* Fluido Ideal ou Perfeito :\n\u2022 Sem atrito / viscosidade;\n\u2022 Incompressível;\n\u2022 Escoamento reversível.\n\n* Fluido Real :\n\u2022 Atritos viscosos - tensões de cisalhamento;\n\u2022 Camada limite : camada cuja velocidade em relação à fronteira é afetada pelas tensões de cisalhamento com a parede;\n\u2022 Perdas irreversíveis.\n\n* Escoamento Turbulento :\n\u2022 Muito frequente na prática;\n\u2022 Partículas movem-se em trajetórias irregulares;\n\u2022 Transferência da quantidade de movimento entre as camadas;\n\u2022 Escalas macroscópicas e microscópicas;\n\n* Escoamento Laminar :\n\u2022 Partículas movem-se em camadas ou lâminas;\n\u2022 Cada camada desliza sobre a outra;\n\u2022 Governado pela Lei de Newton da Viscosidade, que relaciona tensões de cisalhamento com taxa de deformação angular :\n\t\t\t\t\t\tr = \u03bc \u2027du/dy Nos Escoamentos Turbulentos, tanto a viscosidade como a fluidez contribuem para tensões de cisalhamento.\n\n\t\t\t\t\t\t\tr = \u03b7 du/dy\n\n\t\t\t\t\t\t\tn : Viscosidade turbulhonar ( não depende só do fluido mas também do movimento e da massa específica )\n\n* Escoamento em Regime Variável :\n\t\t\t\t\t\t\t\tdp/dt = 0; dp/dx = 0; dv/dt = 0;\n\n* Escoamento em Regime Permanente :\n\t\t\t\t\t\t\t\tdp/dx = 0; dp/dt = 0; dv/dt = 0;\n\nObs: Para a definição do escoamento permanente levada a escoamentos turbulentos deve-se considerar valores médios das grandezas ( velocidade, pressão, etc.).\n\n* Escoamento em Regime Uniforme :\n\t\t\t\t\t\t\t\tdv/dx = 0;\n\n* Escoamento em Regime não Uniforme (Permanentemente Variado) :\n\t\t\t\t\t\t\t\tdv/dx != 0;\n\n* Escoamento Rotacional ou Irrotacional :\n\n* Escoamento Unidimensional, Bidimensional ou Tridimensional :\n\nLinha de corrente:\n- Tangente em todos os pontos aos vetores velocidade;\n- Num escoamento permanente como não há variação da direção do vetor velocidade em cada ponto, no tempo, a trajetória da partícula coincide com a linha de corrente.\n\nTubo de corrente/Tubo de Fluxo :\n- Constituído por todas as linhas de corrente que passam por um invólucro. PRINCÍPIOS BÁSICOS DA DINÂMICA DOS FLUIDOS\n\n> Princípio da conservação da massa;\n> Princípio da quantidade de movimento;\n> Princípio da conservação de energia.\n\nDedução do Teorema de Reynolds\n\nSistema : caracteriza-se por uma massa definida de matéria, distinta de todo o restante que é chamado meio. A fronteira do sistema é uma superfície fechada que pode variar com o tempo, desde que contenha sempre a mesma massa.\n\nVolume de Controle : região do espaço limitada por fronteiras ( superfície de controle ). As fronteiras imaginárias podem coincidir com a superfície do invólucro do escoamento assim como pode haver escoamento através da superfície de controle.\n\ndV - infinitésimo de volume\nρ - massa específica\nE - grandeza extensa a ser observada no interior do volume de controle (massa; quantidade de movimento; energia) Ec : grandeza \"E\" no volume de controle\nEs : grandeza \"E\" no sistema de controle\n\nE_t = \\int_{V_c} \\rho E dV\nE_p = \\int_{S_c} \\rho E dS\n\nt = t_0 + \\Delta t\n\\bar{v}_{c} = \\frac{V_c}{A_c}\nE_{C}(t) = E_{C}(t_0) + E_{C}(t + \\Delta t)\na primeira equação da variação\n\ndE_C = \\lim_{\\Delta t \\to 0} E_C(t + \\Delta t) - E_C(t)\\text{ }= E_C(t + \\Delta t) - E_C(t)\n\ndN_f = \\lim_{\\Delta V \\to 0}E_f(t + \\Delta t) - E_f(t)\n\ndE_C/dt = \\frac{E_f(t + \\Delta t)-E_f(t)}{\\Delta t} Para E = massa => e = 1\ndE M\ndt =\ndM dt = 0\nPara E = quantidade de movimento => e = v\ndE\ndt = d(Mv) = ΣF a\n• PRINICÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA [Equação da Continuidade]\ndE dt =\n∂ ∂t∫ M(ρv)xdv + ∫ (ρv)n ds\nPara conservação de massa: [B = massa\ne = 1 (massa por unidade de massa)\ndM dt =\n∫\n∫\n∫\nA taxa de variação da massa no volume de controle é igual ao saldo dos fluxos de massa através da superfície de controle.\n• Para Fluido Incompressível :\ndM\ndt = 0 = ∂ ∂t ∫ (n v + ρ \n)dsz ⇒ ∂v/∂z = 0\nSe o Volume de Controle for fixo e indeformável :\n∫ (v)n ds = 0; como Q = ∫v dt,\n(vazão em volume ou vazão) ⇒ ΣQ = 0\n• Escoramento em regime permanente:\n∂ ∂t (ρv)e = 0 = ∫ (ρ\ndM\ndt = ∫ (ρ (v .n))ds. Aplicando-se ao caso particular abaixo considerando-se regime permanente :\ndM\ndt = ∫ ρ (v1n1) ds1 + ∫ ρ (v2n2) ds2 + ∫ ρ (v3n3) ds3 = 0\n\nVolume de controle\n\ndM\ndt = -p1v1S1 + p2v2S2 = 0\n\nm = ρ Av = vazão em massa\nQ = V S = vazão\n\nPara fluidos incompressíveis:\nρ1 = ρ2\nQ = Q1 = Q2\nQ = A1V1 = A2V2 EQUAÇÃO INTEGRAL DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO PARA UM VOLUME DE CONTROLE INercial\n\nPara E = quantidade de movimento => e = v\ndE dt = d(Mv) = ΣF r\nQuantidade de movimento por unidade de massa: (ρv/rho)\ndE dt = d(Mv) = ΣF r\n2ª Lei de Newton\n\nEm que:M = massa,V = velocidade,Fex = forças externas.\ndE\ndt =\n\ndM\ndt =\n\ndM\ndt =\n\ndE\ndt = ΣF a =\n\ndt = ΣF a = ρV + ∫ (ρ(v \n.n)) ds.\nPara regime Permanente : ΣF a = -f,\nρv (v .n) ds. PRINCÍPIOS DA CONSERVAÇÃO DA ENERGIA Primeira lei da termodinâmica De acordo com a primeira lei da termodinâmica a diferença entre o calor fornecido ao sistema QH e o trabalho realizado pelo sistema W depende somente dos estados inicial e final do mesmo. A diferença dos estados, sendo independente do processo entre os estados inicial e final é uma propriedade do sistema, a energia E: QH-W=E2-E1 A energia por unidade de massa: e=pe/p de\n\nde\ndQ dt = \int_{}^{}p edV + \int_{}^{}e pdV; dQ\n\nO trabalho realizado pelo sistema sobre o meio pode ser dividido em duas partes: o trabalho das forças de pressão aplicadas nas partes móveis da fronteira e o trabalho das tensões de cisalhamento, como o conjugado que age num eixo em rotação. Na ausência de efeitos nucleares, elétricos, magnéticos e de tensão superficial a energia \"e\" de uma substância pura é a soma das energias potencial, cinética e interna. A energia interna por unidade de massa \"u\" é função das forças e espaçamento intermoleculares; (depende da pressão p, da temperatura T e da massa específica p)! e= gx + \frac{v^2}{2} + \mu Exemplo de Aplicação: Ampliação Brusca (ver figura) Hipóteses Simplificativas: Regime Permanente; Fluido Incompressível; Conduto Rígido; Desprezar Perdas de Carga; Desprezar Forças de Atrito. De\nd\n\ndp=pf \mathrm{V}\nDesprezando os termos na equação geral, vem que: R_x = P_1 - P_5= P_s1 - P_s5 = P_5 - P_1;\nR_x = P_1 S_1 - P_s1 -\rho Q V_1 + \rho Q V_2 Q= Q_1 = Q_2 substituindo na equação anterior:\n\[\dot{m} = \rho V_2 + \rho V_3\] TEOREMA DE DANIEL BERNOUILLI (1700-1782) Equação Fundamental da Dinâmica: pode ser deduzida através da 1ª lei da termodinâmica ou da 2ª lei de Newton. 2ª Lei de Newton \n\sum F = m a = \frac{d(m v)}{dt} (01) \n\sum F_a = somatório das forças externas. a: aceleração das partículas m: massa das partículas Fluidos perfeitos: Compressibilidade e viscosidade nulas.\ndA = elemento infinitesimal de area normal a linha de corrente. Como o fluido não tem viscosidade, não se desenvolvem tensões tangenciais, pelo que as forças de contato só têm componentes normais.\nForças de contato: (desprezando-se infinitesimais de ordem superior correspondentes à variação da área dA ao longo do comprimento do trecho dos filetes).\nPdA\left(-\frac{\partial p}{\partial x} ds\right) dA = -\frac{\partial p}{\partial y} dA\nForça peso na direção do movimento : \gamma ds dA \cos \beta. Aplicando-se a equação (01), vem que:\n\frac{\partial p}{\partial d} ds dA \cos \beta = -\frac{Y}{g} ds dA \frac{dV}{dt} (02) \n\left(\gamma ds dA\right) = peso do volume elemento cos β = dz ds\n\nz : elevação em relação a um referencial de nível.\n\n1 g ∂P ∂z \n ———— dz ds + 1 dv g dt = 0 (03)\n\nρ ∂x ∂s \n\n1 P ∂z 1 ∂v ∂v\n ———— + \n— = 0 (04)\n\nρ ∂s g ∂t ∂x\n\n1 ∂P ———— dz + 1 ∂v ∂v\nρ ∂x g ∂x + ρ ∂y ∂y\n\nEQUAÇÃO DE EULER NUMA LINHA DE CORRENTE\n\nEm Regime Permanente e desprezando-se forças de inércia, tem-se :\n\n1 ∂P ∂v ∂v \n—— + ρ ——— = 0\nρ ∂s ∂x ∂t\n\nIndicando que uma diminuição de velocidade é acompanhada por um aumento da pressão e vice-versa.\n\ndv ∂v ∂v ∂v ∂v\n— = — + — + — 为== (5)\n\ndt ∂t ∂t ∂t ∂t\n\ndv (v2) 1 ∂v (v2)\n—— = — ρ + — = 0\n∂x ∂x 2 ∂y\n\ndonde vem que:\n\ndv ∂v 1 ∂v (v2) 1 ∂v (v2)\n—— = — *—— + —\n∂x ∂x 1 ∂x 2 ∂x\n\nSubstituindo as relações anteriores na equação 03, vem que:\n\n1 ∂P dz 1 ∂v (v2) = 0\n—— + ——— = 0\nρ ∂x g ∂x 2 FLUIDOS REAIS\n\nNum escoamento de fluido real existem atritos rugosos e, portanto, tensões tangenciais são desenvolvem. Com isso existe perda de energia ao longo da trajetória, resultante do trabalho das forças resistentes (tangenciais). Da equação 05, vem que:\n\nEQUAÇÃO DE BERNOULLI NUMA LINHA DE CORRENTE, PARA LÍQUIDOS INCOMPRIMÍVEIS E CONDUTOS RÍGIDOS, EM REGIME VARIÁVEL\n\n∂P∂v ∂v\n— + — = -J - 1 dv (07)\nρg ∂s 2g ∂a\n\ndiscretizando-se a derivada :\n\nz2 = z1 + P1 y2 1 v2 {2g} = -J - 1 - ∂s\n∂g ∂d\n\nEQUAÇÃO DE BERNOULLI NUMA LINHA DE CORRENTE, PARA LÍQUIDOS INCOMPRIMÍVEIS E CONDUTOS RÍGIDOS, EM REGIME PERMANENTE\n\ndx dy 1 P y2 = -J - ou \n—— + - = -J (08)\n∂x g ∂g\ndiscretizando-se a derivada :\n\nz1 + P y2 1 v2\n—— + — + — = -J\ng g 7∂g\n\ndonde vem:\n\nJ = perda de carga por unidade de comprimento da trajetória e por unidade de peso do fluido (= metro coluna fluido/m). (perda de carga por unidade de percurso ou perda de carga :::: tiraria). O sinal negativo de 'J' indica que 'H' (energia_total) diminui ao longo da trajetória. Disgrama que representa o total de energia por unidade de peso de fluido e suas parcelas, ao longo de uma trajetória, expressas em altura de coluna de fluido.\n\nEnergia Total ( H ) = ( z + P/y + v²/2g ) => Linha de Energia\nCota Piezométrica = ( z + P/y ) => Linha Piezométrica;\n\nTEOREMA DE BERNOULLI GENERALIZADO PARA TUBOS DE FLUXO\n\nNos escoamentos em condutos livres ou forçados utiliza-se o método da análise \"unidimensional\". O escoamento todo é considerado com um grande tubo de corrente com velocidade média \"V\", em cada seção transversal. A energia cinética por unidade de peso do fluido v²/2g, não é, entretanto, a média de v²/2g. Consider-se um tubo de fluxo retilíneo ( figura a seguir ) num movimento uniforme. Em qualquer seção transversal a cota piezométrica é constante em todos os pontos, resultando numa linha piezométrica comum às diferentes trajetórias ( válida a distribuição hidrostática de \"pressões\" ). Como a velocidade não é igual nas diferentes trajetórias, a cada uma corresponde uma linha de energia, a uma distância v²/2g da linha piezométrica, medida na vertical. É necessário computar-se um fator de correção \"α\" para v²/2g, tal forma que v²/2g seja igual a energia cinética média por unidade de peso do fluido que passa na seção. Energia cinética que passa na seção transversal por unidade de tempo:\n\nEₓ = mV²/2gΔt = ρV²/2gΔl Δt uma vez que: V = dL/dt\n\nEₓ = ρVdA \n\nEₓ = ρgV/2g; um que v² = energia cinética por unidade de peso\n\n\\[ \\alpha = \\frac{V²}{V'²} = \\frac{V^2}{2g} \\]\n\nα = Coeficiente de Energia Cinética ou de Coriolis: relação entre as potências cinéticas referentes ao escoamento real e o escoamento ideal ( tubo de fluxo unidimensional caracterizado pela velocidade média do escoamento real ).\n\nNuma seção com velocidade uniforme: α = 1; Escoamento laminar em condutos : α = 2. \nEscoamento turbulento em condutos: α = 1,01 a 1,1.\nCom isto o Teorema de Daniel Bernoulli, Generalizado para um Tubo de Fluxo, fica:\n\n\\[ \\frac{\\partial ( p + \\frac{P}{\\gamma} + \\frac{V^2}{2g})}{\\partial t} = -J \\] => \\[ z_1 + \\frac{P_1}{\\gamma} + \\alpha_1 \\frac{V_1^2}{2g} \\newline z_2 + \\frac{P_2}{\\gamma}+ \\alpha_2 \\frac{V_2^2}{2g} = perdas_{t-x}\\] Coeficiente da Quantidade de Movimento ou Coeficiente de Boussinesq\n\n\\[ \\rho V^2 A = \\beta pV^2A \\]\n\nV = velocidade média\nv = velocidade na linha de corrente\nβ = 1 (prático)\n\nLinha Piezométrica e Linha de Energia - Piezômetro e Tubo de Pitot\n\nSituação 1: introdução de um piezômetro tangente à trajetória. Não modifica a pressão no ponto \"P\" pois mantém-se inalterada a trajetória. O ponto \"q\" situa-se próximo do ponto \"P\", mas no interior do piezômetro. \n\n\\[ P_1 + ( z_1 - z_p ) = P_P \\]\n\\[ \\frac{P_2 + ( z_2 - z_p )}{\\gamma} = P_p \\]\n\nConcluindo: a cota atingida pelo N.A. no piezômetro é a cota piezométrica efetiva na base do tubo, é, a distância vertical ( z_s - z_p ) representa a altura piezométrica efetiva.\n\nSituação 2: introdução de um Tubo de Pitot. O ponto \"q\" situa-se próximo do ponto \"P\", mas no interior do tubo ( ponto de estagnação ).\n\nConcluindo: a carga cinética em \"P\" é a diferença entre as pressões nos pontos \"P\" e \"q\". P/y é médio pelo piezômetro e a carga cinética em \"P\" se transforma em energia. • EQUAÇÃO DE EULER NA DIREÇÃO NORMAL À LINHA DE CORRENTE\nSegundo Lei de Newton aplicada na direção normal a uma linha de correntes.\n\nP = pressão no centro do elemento infinitesimal de comprimento \"ds\".\n\n−(P−\u003d2 ∂P∂n dsn+ − ∂P∂n2 ) ds.dx + −γds.dn.dxcosβ = ρds.dn.dxa\n\n∂P∂n − γ.cosβ = ρ.a. como cosβ = ∂x∂n e como a = \u003d V²R (aceleração centrípeta), vem que :\n\n∂P∂n − ρR \u003d ∂∂n(P + γz) = ρV²R\n\nSe R → ∞, linhas de fluxo planas e paralelas :\n\n∂∂n (P+γz) = 0 ⇒ P + γz = cte, ⇒ é válida a distribuição hidrostática de pressões. O CONCEITO DE CAMADA LIMITE\n• Introduzido por Prandtl, em 1904.\n\nPrandtl mostrou que muitos escoramentos viscosos podem ser analisados dividindo-os em duas regiões distintas:\n\n- perto da fronteira sólida, onde os efeitos da viscosidade são importantes;\n- no restante do escoamento, onde os efeitos da viscosidade são negligenciáveis, e o escoamento pode ser tratado como não viscoso;\n\nA condição de não deslocamento resulta em-velocidade junto à placa.\n\nAo longo do escoamento externo sobre uma placa plana, na região adjacente à fronteira as tensões de cisalhamento estão presentes - Camada Limite. Nesta região o campo de velocidades do escoamento sofre alteração (gradiente de velocidade) devido às tensões de cisalhamento do origem viscosa.\n\nFora da Camada Limite o gradiente de velocidade é nulo, resultando em tensões de cisalhamento nulas (escoamento não-viscoso).\n\nComo as linhas de corrente se afastam da fronteira sólida no escoamento viscoso, concluímos que a borda da camada limite não é uma linha de corrente e existe escoamento para dentro da camada limite.