Resistência dos Materiais em Estruturas 2

DESCRIÇÃO\nAplicação das equações matemáticas e dos princípios físicos no estudo da torção de eixos circulares (maciços ou tubulares) e de paredes finas não circulares.\n\nPROPÓSITO\nNo dimensionamento de estruturas mecânicas, o fenômeno da torção é recorrente. Dessa forma, o conhecimento das relações matemáticas é fundamental para o desenvolvimento do aluno.\n\nPREPARAÇÃO\nAntes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphone/computador.\n\nOBJETIVOS\n\nMÓDULO 1\nReconhecer as deformações de torção para seções circulares ou tubulares\n\nMÓDULO 2\nFormular o dimensionamento de barras sujeitas à torção\n\nMÓDULO 3\nCalcular a transmissão de potência MÓDULO 4\nCalcular a torção de tubos de seção fechada não circular e parede fina\n\nINTRODUÇÃO\nAPRESENTAÇÃO DO EFEITO DE TORÇÃO SOBRE EIXOS E SUAS APLICAÇÕES\n\nAVISO: Orientações sobre unidades de medida\n\nORIENTAÇÕES SOBRE UNIDADES DE MEDIDA\nEm nosso material, unidades de medida e números são escritos juntos (ex.: 25km) por questões de tecnologia e didáticas. No entanto, o Inmetro estabelece que deve existir um espaço entre o número e a unidade (ex.: 25 km). Logo, os relatórios técnicos e demais materiais escritos por você devem seguir o padrão internacional de separação dos números e das MÓDULO 1\n➤ Reconhecer as deformações de torção para seções circulares ou tubulares\n\nAS DEFORMAÇÕES DE TORÇÃO PARA SEÇÕES CIRCULARES OU TUBULARES\n\nINTRODUÇÃO\nA primeira parte do estudo da torção tomará duas premissas:\nAs estruturas são circulares (macias ou tubulares).\nO carregamento sobre a estrutura é tal que as deformações são elásticas, ou seja, temporárias.\nA partir das premissas adotadas, serão apresentadas as principais expressões matemáticas aplicáveis.\n\nTORQUE SOBRE EIXOS CIRCULARES\nO torque é o momento que tende a fazer um elemento estrutural rotacionar em torno de seu eixo longitudinal. A figura 1 apresenta um eixo circular maciço em que um par de torques (de mesmo módulo e sentidos opostos) atua em suas extremidades.\n\nFigura 1 – Par de torques aplicado em eixo circular.\n\nA atuação dos torques no eixo da figura 1 provoca o deslocamento entre as seções vizinhas.\n\nDICA\nEsse efeito, denominado de cisalhamento, está associado à deformação de cisalhamento \u003c\n\nSupondo uma malha desenhada sobre o eixo, com linhas longitudinais e circulares, quando o par de torques atua sobre a estrutura, há uma deformação dessas linhas.\n\nLinhas circulares\nMantém a forma.\n\nLinhas longitudinais\nApresentam-se na forma helicoidal (espiral).\n\nObserve a figura 2: Figura 2 – Deformação de um eixo sob torção.\n\nA deformação por cisalhamento em cada seção reta do eixo varia linearmente ao longo do raio, sendo seu valor máximo na periferia da seção. Matematicamente, a expressão da deformação cisalhante a uma distância \u003c\ndo centro do círculo de raio c é dada pela equação 1.\n\ngamma = \u003c / c * \u003cmaxima\n\n(1)\n\nAtenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nATENÇÃO\nA equação 1 é válida para eixos circulares maciços ou tubulares. Para os tubos, a partir da parede interna, ou seja,\n\n\u003c >= raio interno.\n\nEXEMPLO\nSeja um tubo maciço de seção circular e diâmetro 100mm. Suponha que esse eixo esteja engastado e, na extremidade livre, atue um torque de intensidade 200kN.m. Considere que, em consequência do torque, a deformação cisalhante máxima seja de 0,002rad. Em uma seção reta do eixo, a um ponto situado a 20mm do centro, determina a deformação cisalhante.\n\nA deformação ao longo do raio tem variação linear, ou ainda, é proporcional à distância ao centro, conforme a equação 1:\n\ngamma = \u003c / c * \u003cmaxima\n\nAtenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nO diâmetro d é 100mm. Logo, o raio c vale 50mm. A distância \u003c vale 20mm. Substituindo na equação, tem-se:\n\n\u003c = 20 / 50 = 0,002 = 0,0008rad\n\nAtenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal TENSÃO DE CISALHAMENTO ASSOCIADA AO TORQUE APLICADO\n\nUm eixo circular, maciço ou tubular, está submetido a uma série de torques externos e em equilíbrio estático.\n\nAdotando a hipótese que as deformações sejam elásticas, a lei de Hooke para o cisalhamento é válida, ou seja, a equação 2 pode ser aplicada:\n\t\nτ = G * γ\n\n(2)\n\nAtenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nOnde:\n\nτ – Tensão cisalhante.\n\nG – Módulo de elasticidade do material ao cisalhamento.\n\nγ – Deformação cisalhante.\n\nPor meio de manipulações algébricas entre as equações 1 e 2, é possível escrever a equação 3, que mostra como a tensão cisalhante varia ao longo do raio, em uma dada seção interna do eixo.\n\nτ = \u003c / c * τmaxima\n\n(3)\n\nAtenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal\n\nOnde:\n\nc – Raio da seção.\n\n\u003c – Distância do centro.\n\nA partir da análise da equação 3, é possível inferir que a tensão cisalhante varia ao longo do raio linearmente, sendo nula no centro da seção reta circular. DICA\nA figura 3 mostra, esquematicamente, a atuação das tensões cisalhantes nas seções retas de um eixo circular maciço e de um eixo tubular.\n\nFigura 3 - Distribuição da tensão cisalhante ao longo do raio.\n\nAnalisando a figura 3, é fato que:\nEixo circular\na tensão cisalhante no eixo circular maciço varia linearmente, desde zero (no centro) até o valor máximo, na periferia.\n\nEixo tubular\na região \"oca\" apresenta tensão cisalhante nula e, a partir do raio interno (c_interno), a tensão varia linearmente até atingir seu valor máximo em (c_ext)\n(raio externo).\nAssim, para o eixo tubular, as equações 2 e 3 são aplicáveis a partir do raio interno. Também é possível observar na figura 3 a coincidência no sentido do torque (T) atuante na seção e no sentido da representação das tensões cisalhantes. ATENÇÃO\nPara a seção tubular de raio interno (c_interno) e raio externo (c_externo),\na tensão cisalhante atuante na seção de estudo varia segundo a função a seguir:\n\n\tτ = {\n\t0, \quad 0 ≤ ρ < c_interno\n\t(c_interno/c_ext) * τ_máxima, \quad c_interno ≤ ρ ≤ c_externo\n\t}\n\nAtenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.\n\nEXEMPLO\nConsidere um eixo circular maciço de raio 80mm, em equilíbrio sob a ação de torques externos. Em uma dada seção de estudo, o torque atuante apresenta intensidade de 15kNm. A tensão cisalhante máxima na seção é de 48MPa. Determine as tensões de cisalhamento no centro da seção circular e em um ponto afastado 30mm do centro.\n\nAdmitindo que o regime plástico não tenha sido atingido, a tensão cisalhante varia, ao longo do raio, segundo a equação 3, ou seja,\n\n\tτ = (ρ / c) * τ_máxima → τ = (0 / 80) * 48 = 0\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t0\n\n\tτ = (ρ / c) * τ_máxima → τ = (30 / 80) * 48 = 18MPa.\n\nAtenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal. EXEMPLO\nUm eixo tubular é utilizado para transmitir potência de um motor para um sistema mecânico. Considere que o eixo apresenta raios interno e externo iguais a 50mm e 90mm. Na condição de potência igual a 60kW, em uma dada seção, a tensão cisalhante máxima na seção é de 45MPa. Determine as tensões de cisalhamento:\na) No centro da seção tubular.\nb) A 40mm do centro.\nc) Na parede interna do tubo.\nd) Na parede externa do tubo.\nInicialmente, será adotada a premissa que a transmissão de potência ocorre no regime elástico. Dessa forma, a tensão cisalhante varia, ao longo do raio, da seguinte maneira:\n\n\tτ = {\n\t0, \quad 0 ≤ ρ < c_interno\n\t(c_interno/c_ext) * τ_máxima, \quad c_interno ≤ ρ ≤ c_externo\n\t}\n\nAtenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.\na) Logo, no centro\n\t(ρ = 0)\na tensão cisalhante é igual a zero.\n\nb) Para\n\tρ = 40 mm(0 ≤ ρ < 50 mm),\na tensão cisalhante é nula.\n\nNa parede interna,\n\tρ = 50 mm(50 mm ≤ ρ ≤ 90 mm),\na tensão cisalhante é\n\t(ρ / c) * τ_máxima = (50 / 90) * 25MPa.\n\nNa parede externa, a tensão cisalhante é a máxima, ou seja,\n\t45MPa.\n\nAtenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal.\nMÃO NA MASSA\nTEORIA NA PRÁTICA\nEm uma empresa de engenharia, um projeto prevê que um eixo tubular será utilizado como elemento estrutural submetido à torção de um torque T. Um estagiário ficou designado a determinar uma função matemática para estabelecer a tensão de cisalhamento atuante na parede do tubo, ao longo do OA, considerando o eixo x mostrado no croqui da seção reta do tubo. Os valores de projeto são a tensão máxima atuante (τ_máxima), os raios interno (r) e externo (R). Solução\n\nCÁLCULO DE UMA FUNÇÃO QUE DETERMINA A TENSÃO CISALHANTE AO LONGO DA PAREDE DE UM TUBO SOB TORÇÃO\n\nVERIFICANDO O APRENDIZADO\n\nMÓDULO 2\n\n• Formular o dimensionamento de barras sujeitas à torção