Matriz autovalores e Vetores

A 73 13 7 103 5 3 9 2 1 1 1 2 73 73 1 83 a Encontre o polinômio característico de A b Determine os autovalores de A sendo que 2 é uma raiz de multiplicidade 2 do polinômio característico de A c Determine uma base para o autoespaço Vλ associado a cada autovalor λ de A d Decida se a matriz A é diagonalizável e A partir das bases dos autoespaços determine uma base ortonormal para A f Escreva uma matriz P formada por autovetores linearmente independentes de A g Encontre a matriz inversa de P denotada por P1 h Calcule o produto de matrizes P1AP Agora vamos com calma pois precisaremos de uma conta bem grandinha vou usar uma técnica chamada II 73 λ 7 103 73 λ92 721 1031λ5 10391 257 21λ73λ 2λ2 4λ III 73 λ 13 103 73 λ3 λ2 1321 10315 1033λ1 2173λ 2513 2λ2 8 IV 73 λ 13 7 73 λ3 λ1 λ 1391 715 73 λ1 9173 λ 1λ513 λ3 53 λ2 83 λ 283 Logo det 73103 λ2 43 λ 323 73 2 λ2 4 λ 1 2 λ2 8 73 λλ3 53 λ2 83 λ 283 λ4 λ3 6 λ2 4 λ 8 Polinômio característico Se 2 é raíz de multiplicidade 2 consigo dividir por 2² Autovalores são as raízes do polinômio característico 73 13 7 103 5 5 9 2 1 1 3 2 73 73 1 83 v1 v2 v3 v4 0 0 0 0 v13 v23 7 v3 10 v43 0 5 v1 5 v2 9 v3 2 v4 0 v1 v2 3 v3 2 v4 0 73 v1 73 v2 v3 2 v43 0 v1 v2 v42 v2 v2 v3 12 v4 v4 v4 t1100 s120121 V2 1100 120121 V1 731 13 7 103 5 31 9 2 1 1 11 2 73 73 1 831 v1 v2 v3 v4 0 0 0 0 103 13 7 103 5 2 9 2 1 1 0 2 73 73 1 113 v1 v2 v3 v4 0 0 0 0 103 v1 13 v2 7 v3 103 v4 0 5 v1 2 v2 9 v3 2 v4 0 v1 v2 2 v4 0 v1 v1 v2 v1 v3 v4 v4 v1 73 v1 73 v2 v3 113 v4 0 Logo t 1 1 1 1 V1 1 1 1 1 V2 732 13 7 103 5 32 9 2 1 1 12 2 73 73 1 832 v1 v2 v3 v4 0 0 0 0 133 13 7 103 5 1 9 2 1 1 1 2 73 73 1 143 v1 v2 v3 v4 0 0 0 0 133 v1 v23 7 v3 103 v4 0 5 v1 v2 9 v3 2 v4 0 v1 v2 v3 2 v4 0 73 v1 73 v2 v3 143 v4 0 v1 v4 v2 3 v4 v3 0 v4 v4 Logo t1 3 0 1 V1 1 3 0 1 Como em cada autovalor a multiplicidade geométrica dimensão dos autoespaços associados é igual a multiplici dade algébrica multiplicidade no polinômio característico A deve ser diagonalizável Para isso usaremos o algoritmo de GramSchimidt para os autovetores de A μ3 v3 projum1v3 projum2v3 1 1 0 0 μ1 v3 μ1 μ1 μ1 μ2 v2 μ2 μ2 μ2 15 135 1235 435 e3 μ3 μ3 sqrt21030 sqrt210210 2 sqrt21035 2 sqrt210105 μ4 v4 projum1v4 projum2v4 projum3v4 μ4 14 14 0 12 e4 μ4 μ4 14 14 0 12 sqrt 142 142 122 sqrt66 sqrt66 0 sqrt63 Base ortonormal e1 e2 e3 e4 Vamos usar P com colunas sendo v1 v2 v3 v4 P 1 1 1 12 3 1 1 0 0 1 0 12 1 1 0 1 1 1 1 12 1 0 0 0 3 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 12 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 L4 L1 L2 L2 3 L1 1 1 1 12 1 0 0 0 0 4 2 32 3 1 0 0 0 1 0 12 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 L4 L4 L1 1 1 1 12 1 0 0 0 0 4 2 32 3 1 0 0 0 1 0 12 0 0 1 0 0 2 1 32 1 0 0 1 L2 L24 1 1 1 12 1 0 0 0 0 12 12 34 34 14 0 0 0 1 0 12 0 0 1 0 0 2 1 32 1 0 0 1 L1 L1 L2 1 0 1 18 14 14 0 0 0 1 12 34 14 0 0 0 1 0 12 0 1 0 0 2 1 32 1 0 0 1 L3 L3 L2 1 0 1 18 14 14 0 0 0 1 12 34 14 0 0 0 0 12 34 14 0 1 0 0 2 1 32 1 0 0 1 L4 L4 2 L2 1 0 1 18 14 14 0 0 0 1 12 34 14 0 0 0 0 12 34 14 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 12 18 14 0 0 0 1 12 38 34 14 0 0 0 0 12 14 34 14 1 0 0 0 0 34 12 12 0 1 L3 2 L3 1 0 12 18 14 0 0 0 1 12 38 34 14 0 0 0 0 1 14 32 12 2 0 0 0 0 34 12 12 0 1 L1 L1 L32 1 0 0 14 12 12 0 0 0 1 12 38 34 14 0 0 0 0 1 14 32 12 2 0 0 0 0 34 12 12 0 1 L2 L2 L22 1 0 0 14 12 12 0 0 0 1 0 12 0 0 1 0 0 0 1 14 32 12 2 0 0 0 0 34 12 12 0 1 L4 43 L4 1 0 0 14 12 12 0 0 0 1 0 12 0 0 1 0 0 0 1 14 32 12 2 0 0 0 0 1 23 23 0 43 L1 L1 L44 1 0 0 14 12 12 0 0 0 1 0 12 0 0 1 0 0 0 1 14 32 12 2 0 0 0 0 1 23 23 0 43 1 0 0 0 13 13 1 13 0 1 0 0 13 13 1 23 0 0 1 0 43 13 2 13 0 0 0 1 23 23 0 43 L2 L2 L42 1 0 0 0 13 13 1 13 0 1 0 0 13 13 1 23 0 0 1 14 32 12 2 0 0 0 0 1 23 23 0 43 L3 L3 R44 1 0 0 0 13 13 1 13 0 1 0 0 13 13 1 23 0 0 1 0 43 13 2 13 0 0 0 1 23 23 0 43 p1 13 13 1 13 13 13 1 23 43 13 2 13 23 23 0 43 h Calcule o produto de matrizes P1AP P1A 13 13 1 13 13 13 1 23 43 13 2 13 23 23 0 43 a 73 13 7 103 5 3 9 2 1 1 1 2 73 73 1 83 23 23 2 23 13 13 1 23 83 23 4 23 43 43 0 83 multiplicando por P 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 Que é a matriz A diagonalizada