Prova de Cálculo Diferencial e Integral I - EFB105

EFB105 Diurno Pág 1 de 6 ENGENHARIA CICLO BÁSICO DIURNO 2022 2o semestre Prova PSUB Disc EFB105 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Curso Engenharia Ciclo Básico Série 1a PSUB 2022 GABARITO Q1 Total de 20 pontos Seja a função 𝑓𝑥 𝑥22 𝑥2 para a qual Dom 𝑓 2 2 Sabese que 𝑓 é contínua em todo o seu domínio O gráfico de 𝑓 não exibe quaisquer assíntotas lim 𝑥2 𝑓𝑥 lim 𝑥2 𝑓𝑥 Ao lado é exibido o gráfico da função 𝑓𝑥 Além disso caso ache necessário assuma 2 141 2 3 115 𝑓 2 3 11 𝑓074 065 a 05 Investigue a simetria da função 𝑓 Com base em sua resposta analise também a simetria das funções 𝑓 e 𝑓 Solução Para investigar a simetria de 𝑓 calculemos 𝑓𝑥 𝑓𝑥 𝑥22 𝑥2 𝑥22 𝑥2 𝑓𝑥 𝑥 Dom 𝑓 𝑓 é par Sabemos que ❶ Se 𝑓 é par então 𝑓 é ímpar ❷ Se 𝑓 é ímpar então 𝑓 é par Sendo assim podemos afirmar que 𝑓 é ímpar e que 𝑓 é também par vide gráfico de 𝑓 𝑓 X Par Ímpar Não há simetria 𝑓 Par X Ímpar Não há simetria 𝑓 X Par Ímpar Não há simetria b 075 Investigue a existência de pontos críticos para a 𝑓 Em caso afirmativo classifiqueos Determine também os intervalos de crescimento e decrescimento de 𝑓 Solução Para investigar a existência de pontos críticos é preciso calcular a derivada 𝑓 𝑓𝑥 2𝑥2 𝑥2 𝑥2 2𝑥 22 𝑥2 2𝑥 2 𝑥2 𝑥2 22 𝑥2 2𝑥 22 𝑥2 𝑥2 22 𝑥2 EFB105 Diurno Pág 2 de 6 𝑥4 2𝑥2 𝑥2 2 𝑥2 𝑥4 3𝑥2 2 𝑥2 para 2 2 Logo 𝑥 2 são pontos críticos Isso é confirmado pelas condições lim 𝑥2 𝑓𝑥 e lim 𝑥2 𝑓𝑥 fornecidas no enunciado e que indicam a presença de retas tangentes ao gráfico de 𝑓 que são verticais nesses pontos Os demais pontos críticos surgem da condição 𝑓𝑥 0 𝑓𝑥 0 𝑥4 3𝑥2 0 𝑥 0 𝑥 23 Os pontos críticos 𝑥 2 são os pontos extremos do Dom 𝑓 Logo não podem ser classificados como máximos ou mínimos locais Para classificar os demais pontos críticos devemos investigar as trocas de sinais na função 𝑓 reescrita a seguir 𝑓𝑥 𝑥4 3𝑥2 2 𝑥2 1 2 𝑥2 𝑔𝑥ℎ𝑥 O sinal de 𝑓𝑥 depende exclusivamente dos sinais das funções 𝑔𝑥 𝑥 linear e ℎ𝑥 4 3𝑥2 quadrática côncava para baixo Uma vez que 𝑓 é par basta investigar esses sinais para 𝑥 0 2 Nesse intervalo 𝑔𝑥 0 Com relação a função ℎ𝑥 temos ℎ𝑥 0 para 𝑥 0 2 3 ℎ𝑥 0 para 𝑥 2 3 2 Usando a simetria de 𝑓 concluímos que 𝑓 é crescente em 2 2 3 0 2 3 𝑓 é decrescente em 2 3 0 2 3 2 Analisando a troca de sinais concluímos que 𝑥 2 3 são pontos de máximo locais 𝑥 0 é ponto de mínimo local c 075 Reúna todas as informações dos itens anteriores e esboce o gráfico de 𝑓 no sistema de eixos coordenados a seguir Solução Aos resultados dos itens anteriores devemos acrescentar as informações sobre a concavidade do gráfico de 𝑓 A partir do gráfico de 𝑓 fornecido no enunciado concluímos que o gráfico de 𝑓 é côncavo para baixo em 2 074 074 2 côncavo para cima em 074 074 EFB105 Diurno Pág 3 de 6 Q2 Total de 20 pontos Duas pessoas A e B estão em um elevador No mesmo instante em que a pessoa A chega ao seu andar desejado e começa a se afastar do elevador a uma velocidade constante de 15 ms a pessoa B permanece dentro do compartimento que inicia uma subida com velocidade constante de 6 ms Determine a taxa de variação da distância entre as duas pessoas 10 segundos depois da pessoa A chegar ao andar desejado a 10 Faça um diagrama detalhado para representar e interpretar o enunciado do problema Extraia a relação matemática equação ou modelo que será utilizada para determinar a taxa solicitada Solução Pela descrição do enunciado podemos construir o diagrama a seguir que representa uma situação 𝑡 segundos após a saída da pessoa A do elevador Andar de destino da pessoa A A B x y D x y dxdt 15 ms dydt 60 ms A partir do diagrama concluise que a distância entre as pessoas pode ser expressa por 𝐷2 𝑥2 𝑦2 Diferenciandose esta expressão com relação ao tempo temos 2𝐷 𝑑𝐷 𝑑𝑡 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝐷 𝑑𝑡 1 𝐷 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑡 1 b 10 Determine a taxa de variação da distância entre as duas pessoas 10 segundos depois da pessoa A chegar ao andar desejado Explicite todas as passagens matemáticas Solução Decorridos 10 segundos da chegada de A ao andar desejado temos 𝑥 10 𝑑𝑥 𝑑𝑡 10 15 15 m e 𝑦 10 𝑑𝑦 𝑑𝑡 10 6 60 m 2 Consequentemente 𝐷2 𝑥2 𝑦2 152 602 3825 𝐷 3825 1517 m 3 Substituindose 2 e 3 em 1 temos 𝑑𝐷 𝑑𝑡 1 1517 15 15 60 6 1 1517 765 2 51 217 ms Q3 Total de 20 pontos Considere as informações 𝑦 𝑥13 1 𝑥 1 e 𝑥 1 𝑦 0 a 05 No Sistema A de eixos coordenados esboce a região formada pelas informadas acima b 05 No Sistema B de eixos coordenados esboce o sólido formado pela região obtida no item anterior em torno do eixo 𝑦 1 EFB105 Diurno Pág 4 de 6 c 10 Escreva as integrais não as resolva que determinar o volume do sólido encontrado no item anterior utilizando ❶ O Método das Cascas Cilíndricas ❷ O Método dos Discos Faça os esboços necessários para demonstrar o desenvolvimento da sua solução Solução ❶ Método das Cascas Cilíndricas Para esse método devemos descrever a curva 𝑦 𝑥 1 3 1 no formato 𝑥 𝑦 13 Assim 𝑑𝑉 2𝜋 raio altura espessura 2𝜋 1 𝑦 1 𝑦 13 𝑑𝑦 com 0 𝑦 2 𝑉 𝑑𝑉 𝑏 𝑎 2𝜋1 𝑦1 𝑦 13𝑑𝑦 2 0 2𝜋 1 𝑦1 𝑦 13𝑑𝑦 2 0 ❷ Método dos Discos Temos 𝑑𝑉 𝜋 raio externo2 raio interno2 espessura 𝜋 𝑥 1 3 2 2 12 𝑑𝑥 com 1 𝑥 1 𝑉 𝑑𝑉 𝑏 𝑎 𝜋 𝑥 1 3 2 2 12 𝑑𝑥 1 1 𝜋 𝑥 1 3 2 2 12 𝑑𝑥 1 1 Q4 Total de 20 pontos Determinar o valor exato da integral 𝐼 ln1 𝑥 tg 𝑥 𝑑𝑥 1 0 é uma tarefa bastante trabalhosa No entanto podemos calcular 𝐼𝑛 𝑓𝑛𝑥 𝑔𝑛𝑥 𝑑𝑥 1 0 𝐼 ln1 𝑥 tg 𝑥 𝑑𝑥 1 0 em que 𝑓𝑛𝑥 e 𝑔𝑛 são os Polinômios de Taylor de ordem 𝑛 centrados em 𝑥0 0 que aproximam as funções 𝑓𝑥 ln 1 𝑥 e 𝑔𝑥 tg 𝑥 respectivamente e com a precisão requerida para o problema Use Polinômios de Taylor de ordem 3 para aproximar as funções 𝑓𝑥 e 𝑔𝑥 A seguir calcule ln1 𝑥 tg 𝑥 𝑑𝑥 1 0 𝐼3 𝑓3𝑥 𝑔3𝑥 𝑑𝑥 1 0 Sistema A Sistema B EFB105 Diurno Pág 5 de 6 Lembretes Para valores de 𝑥 próximos de zero temos as séries ln1 𝑥 𝑥 𝑥2 2 𝑥3 3 𝑥4 4 𝑥5 5 1𝑛1 𝑥𝑛 𝑛 𝑛1 tg 𝑥 𝑥 1 3 𝑥3 2 15 𝑥5 17 315 𝑥7 não há uma fórmula fechada Solução Temos que ln1 𝑥 tg 𝑥 𝑑𝑥 1 0 𝐼3 𝑓3𝑥𝑔3𝑥 𝑑𝑥 1 0 𝑥 𝑥2 2 𝑥3 3 𝑥 𝑥3 3 𝑑𝑥 1 0 𝑥6 9 𝑥5 6 2 3 𝑥4 𝑥3 2 𝑥2 𝑑𝑥 1 0 1 63 𝑥7 1 36 𝑥6 2 15 𝑥5 1 8 𝑥4 1 3 𝑥3 0 1 1 63 1 36 2 15 1 8 1 3 277 840 Q5 Total de 20 pontos Calcule as integrais a 125 𝑒𝑠𝑥 sen𝛽𝑥 𝑑𝑥 0 com 𝛽 ℝ e 𝑠 ℝ Solução Tratase de uma integral imprópria do Tipo I intervalos de integração infinitos A integral 𝑒𝑠𝑥 sen𝛽𝑥 𝑑𝑥 0 representa a Transformada de Laplace da função temporal 𝑓𝑡 sen 𝛽𝑡Primeiramente vamos calcular a primitiva 𝑒𝑠𝑥sen𝛽𝑥 𝑑𝑥 1 𝛽 𝑒𝑠𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑠 𝛽 𝑒𝑠𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑑𝑥 1 𝛽 𝑒𝑠𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑠 𝑒𝑠𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑑𝑥 Neste ponto vamos calcular 𝑒𝑠𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑑𝑥 1 𝛽 𝑒𝑠𝑥sen𝛽𝑥 𝑠 𝛽 𝑒𝑠𝑥sen𝛽𝑥 𝑑𝑥 Substituindo em 𝑒𝑠𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑑𝑥 1 𝛽 𝑒𝑠𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑠 1 𝛽 𝑒𝑠𝑥sen𝛽𝑥 𝑠 𝛽 𝑒𝑠𝑥sen𝛽𝑥 𝑑𝑥 1 𝛽 𝑒𝑠𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑠 𝛽 sen𝛽𝑥 𝑠2 𝛽2 𝑒𝑠𝑥sen𝛽𝑥 𝑑𝑥 1 𝑠2 𝛽2 𝑒𝑠𝑥sen𝛽𝑥 𝑑𝑥 1 𝛽 𝑒𝑠𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑠 𝛽 sen𝛽𝑥 𝐶 𝑒𝑠𝑥sen𝛽𝑥 𝑑𝑥 𝛽 𝑠2 𝛽2 𝑒𝑠𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑠 𝛽 sen𝛽𝑥 𝐶 Integração por Partes 𝑢 𝑒𝑠𝑥 𝑑𝑢 𝑠𝑒𝑠𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑣 sen𝛽𝑥 𝑑𝑥 𝑣 1 𝛽 cos 𝛽𝑥 Integração por Partes 𝑤 𝑒𝑠𝑥 𝑑𝑤 𝑠𝑒𝑠𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑧 cos 𝛽𝑥 𝑑𝑥 𝑧 1 𝛽 sen 𝛽𝑥 EFB105 Diurno Pág 6 de 6 Temos então 𝑒𝑠𝑥 sen𝛽𝑥 𝑑𝑥 0 lim 𝑡 𝑒𝑠𝑥 sen𝛽𝑥 𝑑𝑥 𝑡 0 lim 𝑡 𝛽 𝑠2 𝛽2 𝑒𝑠𝑥 cos 𝛽𝑥 𝑠 𝛽 sen𝛽𝑥 0 𝑡 𝛽 𝑠2 𝛽2 lim 𝑡𝑒𝑠𝑥 cos 𝛽𝑥0 𝑡 𝑠 𝛽 lim 𝑡𝑒𝑠𝑥sen 𝛽𝑥0 𝑡 𝛽 𝑠2 𝛽2 lim 𝑡 𝑒𝑠𝑡 0 cos 𝛽𝑡 cos 𝛽𝑡1 1 1 𝑠 𝛽 lim 𝑡 𝑒𝑠𝑡 0 sen 𝛽𝑡 sen 𝛽𝑡1 0 0 𝛽 𝑠2 𝛽2 b 075 𝑥22 𝑥23𝑥2 𝑑𝑥 Solução Começamos por uma divisão polinomial 𝑥2 2 𝑥2 3𝑥 1 3𝑥 𝑥2 3𝑥 2 1 3𝑥 𝑥 1𝑥 2 Assim podemos escrever 𝑥2 2 𝑥2 3𝑥 2 𝑑𝑥 1 3𝑥 𝑥 1𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 3 𝑥 𝑥 1𝑥 2 𝑑𝑥 Agora empregamos a expansão em frações parciais 𝑥 𝑥 1𝑥 2 𝐴 𝑥 1 𝐵 𝑥 2 𝐴𝑥 2 𝐵𝑥 1 𝑥 1𝑥 2 Se 𝑥 1 temos 1 𝐴 𝐴 1 Por outro lado se 𝑥 2 temos 2 𝐵 Então 𝑥 𝑥 1𝑥 2 1 𝑥 1 2 𝑥 2 Voltando à integral 𝑥 3 1 𝑥 1 2 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑥 3 ln𝑥 1 2 ln𝑥 2 𝐶