Fisica 3 Poli 2004 P3

P3 Física III Escola Politécnica - 2004 FGE 2203 - GABARITO DA P3 1 de julho de 2004 Questão 1 Considere um toróide de seção quadrada de lado a e raio interno R, conforme a figura, que possui N espiras enroladas, e por onde passa uma corrente I. Ele se en- contra no vácuo. (1,0 ponto) (a) Calcule o vetor campo magnético no interior do toróide (\mathbf{B}_0) e o coeficiente de auto-indutância L. Agora, o toróide é preenchido com um material de suscetibilidade magnética \chi_m. (0,5 ponto) (b) Determine o vetor intensidade magnética \mathbf{H} no interior do toróide. (0,5 ponto) (c) Determine o campo magnético (\mathbf{B}) no interior do toróide na presença do material. (0,5 ponto) (d) Determine o vetor magnetização \mathbf{M} no material. Solução (a) O campo \mathbf{B}_0 em um ponto dentro do solenóide depende, aproximadamente, apenas da distância r entre este ponto e o centro do solenóide. Fora do solenóide o campo é aproximadamente nulo. Usando a lei de Ampère e escolhendo para o caminho C um círculo de raio r, concêntrico com o toróide, obtemos: \oint_C \mathbf{B}_0 \cdot d\ell = 2\pi r B_0 = \mu_0 NI \implies \mathbf{B}_0 = \frac{\mu_0 NI}{2\pi r}\hat{\mathbf{\theta}} O fluxo através de uma espira é \Phi^{(1)} = \int \mathbf{B}_0 \cdot d\mathbf{S} = \frac{\mu_0 NI}{2\pi} \int_R^{R+a} \frac{1}{r}dr = \frac{\mu_0 NI a}{2\pi} \ln \left(\frac{R+a}{R}\right) A auto-indutância é dada por L = \frac{N \Phi^{(1)}}{I} = \frac{\mu_0 N^2 a}{2\pi} \ln \left(\frac{R+a}{R}\right) (b) O vetor intensidade magnética é dado por \mathbf{H} = \frac{\mathbf{B}_0}{\mu_0} = \frac{NI}{2\pi r}\hat{\mathbf{\theta}} (c) O campo \mathbf{B} dentro do material é \mathbf{B} = \mu \mathbf{H} = \mu_0(1 + \chi_m) \mathbf{H} = (1 + \chi_m) \mathbf{B}_0 \iff \mathbf{B} = \mu_0(1+\chi_m) \frac{NI}{2\pi r}\hat{\mathbf{\theta}} (d) A magnetização dentro do material é \mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H} = \frac{\chi_m NI}{2\pi r}\hat{\mathbf{\theta}} Questão 2 Considere um capacitor de placas paralelas de área A separadas por uma distância 3d. Uma chapa metálica de espessura d, área A e carga nula é inserida entre as placas, conforme a figura. As placas do capacitor possuem cargas +Q e -Q distribuídas uniformemente. (0,5 ponto) (a) Determine a distribuição de carga na chapa metálica. Justifique sua resposta. (0,5 ponto) (b) Determine o vetor campo elétrico nas regiões I, II e III, conforme a figura. (0,5 ponto) (c) Determine a diferença de potencial elétrico entre as placas do capacitor. (0,5 ponto) (d) Determine a capacitância do sistema. Solução (a) Para que o campo elétrico no interior do condutor seja nulo, a carga induzida na superfície superior da chapa deve ser igual a +Q e a carga induzida na superfície inferior deve ser igual a -Q, ambas uniformemente distribuídas. (b) O campo elétrico no capacitor plano pode ser calculado com a Lei de Gauss e vale E = \frac{Q}{\varepsilon_0 A}, dentro do capacitor, e E = 0, fora dele. As distribuições de carga nas superfícies da placa metálica criam um campo igual e oposto ao do capacitor de modo que o campo dentro da placa é zero. (c) A diferença de potencial é (veja a figura) \Delta V = \int_\gamma \vec{E} \cdot d\vec{l} = \frac{Q}{\varepsilon_0 A} d + 0 + \frac{Q}{\varepsilon_0 A} d = \frac{2Qd}{\varepsilon_0 A} (d) A capacitância é dada por C = \frac{Q}{\Delta V} = \frac{Q \varepsilon_0 A}{2Qd} = \frac{\varepsilon_0 A}{2d} Questão 3 Considere o circuito representado na figura abaixo, onde L, C e R são a indutância, a capacitância e a resistência dos diferentes componentes. A e B são duas chaves que servem para abrir ou fechar o circuito. No instante t = 0 o capacitor está carregado com carga Q_0. A chave B está aberta e a chave A é então fechada. (0.5 ponto) (a) Escreva a equação diferencial que representa o circuito fechado, em termos da carga na placa superior do capacitor (Q(t)). (1.0 ponto) (b) Qual é a expressão da carga em função do tempo e em termos de Q_0, L e C ? Agora, no instante t = 2 \pi \sqrt{LC} a chave A é aberta e a B é fechada. (0.5 ponto) (c) Escreva a equação diferencial que representa o circuito fechado. (0.5 ponto) (d) Determine a carga na placa superior do capacitor (Q(t)) em função do tempo. Solução (a) A equação do circuito é L \frac{dI}{dt} = \frac{Q}{C} Para o capacitor descarregando I = -dQ/dt. Assim, \frac{d^2 Q}{dt^2} + \omega_0^2 Q = 0 ; \omega_0^2 = \frac{1}{CL} (b) A solução geral da equação acima é Q = A \cos(\omega_0 t + \phi) =\Rightarrow I = -dQ/dt = A \omega_0 \sen(\omega_0 t + \phi) No instante t = 0, Q(0) = A \cos(\phi) = Q_0 e I(0) = A \omega_0 \sen(\phi) = 0 Portanto, \phi = 0, A = Q_0 e Q = Q_0 \cos(\omega_0 t) (c) Para o circuito RC temos RI = \frac{Q}{C} No instante t = 2\pi\sqrt{LC} = T (um período) o capacitor está novamente com a carga máxima Q_0. Com o capacitor descarregando I = -dQ/dt e -R \frac{dQ}{dt} = \frac{Q}{C} =\Rightarrow \frac{dQ}{dt} = -\frac{1}{RC}Q (d) A equação acima pode ser integrada \frac{dQ}{Q} = -\frac{1}{RC} dt =\Rightarrow \int_{Q_0}^{Q} \frac{dQ}{Q} = -\int_{T}^{t} \frac{1}{RC} dt =\Rightarrow \ln \frac{Q}{Q_0} = -\frac{1}{RC} (t - T) =\Rightarrow Q(t) = Q_0 e^{-(t - 2\pi\sqrt{LC})/RC} Questão 4 Um solenoide ideal com diâmetro D e comprimento L possui N1 espiras. Um anel de raio a, formado por N2 espiras é posicionado de modo que seu eixo seja coincidente com o do solenoide. A resistência deste anel é de R2 ohms. (1,0 ponto) (a) Determine a mútua indutância M12 do sistema quando a > D/2 e quando a < D/2. (1,0 ponto) (b) Uma corrente I1(t) = I0 cos(ωt) é passada pelo solenoide. Determine a corrente induzida na espira quando a > D/2. (1,0 ponto) (c) No caso do item b, se o eixo do anel for deslocado de uma distância d < (a - D/2) paralelamente ao eixo do solenoide, haverá mudança na corrente induzida no anel? Justifique sua resposta em termos da lei de Faraday. Solução (a) Campo do solenoide: B = μ0 N1/L I1e̅z Fluxo através das N2 espiras Φ = B × (área de uma espira) × N2 Φa<D/2 = μ0 N1/L × N2 πa² Φa>D/2 = μ0 N1/L × N2 π(D / 2)² Logo M12(a < D/2) = Φ / I = μ0 N1 N2 / L πa² M12(a > D/2) = Φ / I = μ0 N1 N2 / L π(D² / 4) (b) Usando a lei de Faraday ε = -dΦ/dt = -M12 dI/dt e Ianel = ε / R2 Como dI/dt = -ωI0 sen(ωt) teremos Ianel(t) = (μ0 N1 N2 / L R2) ω I0 D² / 4 sen(ωt) (c) Como d < [a - D/2] o fluxo gerado pelo solenoide no anel não sofrerá alteração com respeito ao caso do item b, logo I(t) não se alterará.