Física 3 - Poli - P1 2008

Física III Escola Politécnica - 2008 FGE 2203 - GABARITO DA P1 10 de abril de 2008 Questão 1 Dois bastões finos 1 e 2, idênticos, de comprimento 2a, têm densidade linear de carga λ constante. Os bastões estão sobre o eixo x, separados por uma distância d > 2a, conforme mostra a figura. (a) (1,5 ponto) Calcule o campo elétrico produzido pelo bastão 1 sobre um ponto P do eixo x com abscissa x > a. (b) (1.0 ponto) Calcule a força que o bastão 1 exerce sobre o bastão 2. Solução da questão 1 (a) O campo produzido pela carga dq do bastão 1 no ponto P é dE = dEz = dq 1 = λ dx' ________________ 4πε0 (x - x')² 4πε0 (x - x')² O campo total em P é E = λ ʃ dx' = λ 1 |a = λ [1 - 1 ] ____ -a (x - x')² ___ -a (x - a) (x + a) 4πε0 a 4πε0 Ê = λ [1 - 1 ] î ____ 4πε0 (x - a) (x + a) (b) O força sobre o elemento de carga dq2 com abscissa x do bastão 2 é igual a dF = Eλdq2 = Eλdx A força total sobre o bastão 2 é F = ʃ Eλdx = λ² [ʃ dx [1 - 1 ]] = λ² ln (____ - ) ______________ ___(x - a)(x + a)d - a) 4πε0 d - a |d+a F = λ² ln (______ ) î _______ d² d² - 4a² i4πε0 Questão 2 Um cilindro isolante, infinito, com raio R tem uma densidade volumétrica de carga uniforme igual a ρ. (a) (1.0 ponto) Calcule o vetor campo elétrico dentro do cilindro. (b) (0,5 ponto) Calcule o vetor campo elétrico fora do cilindro. (c) (1,0 ponto) Considere um cubo de lado L > R com centro no eixo do cilindro e com as faces ABCD e EFGH perpendiculares ao eixo do cilindro, conforme a figura ao lado. Qual é fluxo do campo elétrico através de toda a superfície do cubo? Qual é o fluxo através da face ABCD? Qual é o fluxo através da face ABFF? Solução da questão 2 (a) Dentro do cilindro tomamos como superfície gaussiana um cilindro de raio r < R, altura h e coaxial com o cilindro infinito. Lei de Gauss ∮_S \vec{E} ⋅ d\vec{A} = \frac{q_{in}}{ε_0} \vec{E} tem simetria cilíndrica: \vec{E} = E(r)\hat{e}_r. ∮_S \vec{E} ⋅ d\vec{A} = \int_{sup. lateral} E(r)dA = E(r) 2πrh = \frac{q_{in}}{ε_0} = \frac{ρπr^2 h}{ε_0} \implies \vec{E} = \frac{ρr}{2ε_0}\hat{e}_r (b) Fora do cilindro tomamos também uma superfície gaussiana cilíndrica ∮_S \vec{E} ⋅ d\vec{A} = \int_{sup. lateral}E(r)dA = E(r) 2πrh = = \frac{q_{in}}{ε_0} = \frac{ρπR^2 h}{ε_0} \implies \vec{E} = \frac{ρ}{2ε_0} \frac{R^2}{r} \hat{e}_r (c) Pela lei de Gauss, o fluxo total através do cubo é Φ_{total} = ∮_{cubo} \vec{E} ⋅ d\vec{A} = \frac{q_{in}}{ε_0} = \frac{πR^2 Lρ}{ε_0} Na face ABCD, \vec{n} \perp \vec{E} \implies Φ_{ABCD} = 0. Na face ABEF Φ_{ABEF} = \frac{1}{4}Φ_{total} = \frac{πR^2 Lρ}{4ε_0} Questão 3 Um fio de comprimento d, carregado com densidade linear de carga variável λ(z) = λ_0z, está situado sobre o eixo z, como mostra a figura. Determine: (a) (1,0 ponto) o potencial elétrico no ponto P sobre o eixo y; (b) (0,5 ponto) a componente E_y do campo elétrico num ponto P sobre o eixo y com coordenada y > 0; (c) (1,0 ponto) o trabalho para levar uma carga q da posição y = d até a posição y = 2d. Solução da questão 3 (a) O potencial dV no ponto P devido ao elemento de carga dq = λ(z)dz = λ_0zdz é \frac{dq}{4πε_0 r} = \frac{λ_0zdz}{4πε_0\sqrt{y^2 + z^2}} O potencial devido a todo o bastão é V = \frac{λ_0}{4πε_0} \int_0^d \frac{zdz}{\sqrt{y^2 + z^2}} = \frac{λ_0}{4πε_0} \sqrt{y^2 + d^2} - |y| \right) (b) A componente y do campo elétrico é dada por E_y = -\frac{∂V}{∂y} = \frac{λ_0}{4πε_0} \left(y \frac{1}{\sqrt{y^2 + d^2}} - 1\right) (c) O trabalho para levar a carga q de y = d até y = 2d é igual à variação de energia potencial da carga. W_{d→2d} = q(V(2d) - V(d)) = \frac{qλ_0}{4πε_0}\left(\sqrt{4d^2 + d^2} - 2d - \sqrt{d^2 + d^2} + d\right) W_{d→2d} = \frac{qλ_0}{4πε_0}\left(\sqrt{5} - \sqrt{2} - 1\right) Questão 4 Considere um capacitor de placas paralelas de área A separadas por uma distância d. (a) (1,0 ponto) Entre as placas do capacitor há um campo elétrico E = σ/ε₀, onde σ é a densidade superficial de carga nas placas. A partir de E, calcule a diferença de potencial entre as placas e deduza a expressão da capacitância para o capacitor de placas paralelas. Dê sua resposta em termos de ε₀, d e A. Este capacitor é carregado com um bateria até que a diferença de potencial entre as placas seja igual a V. Em seguida, a bateria é desconectada e as placas do capacitor são separadas até uma distância 2d. (b) (0,5 ponto) Calcule a razão V'/V, onde V' é a diferença de potencial entre as placas após elas serem afastadas. (c) (1,0 ponto) Calcule o trabalho gasto para separar as placas. Solução da questão 4 (a) Como o campo é constante entre as placas a diferença de potencial V é dada por V = Ed = σd/ε₀ A capacitância por definição é igual a C = Q/V = σA/σd/ε₀ = C = ε₀A/d (b) Quando afastamos as placas, as cargas nas placas não mudam. Portanto, o campo elétrico E = σ/ε₀ = Q/(Aε₀) também não muda. ⊢ V' = E'2d = E2d = V/d ⊢ V'/V = 2 (c) O trabalho realizado para afastar as placas é igual à variação de energia do capacitor. W = E₉ - Eᵢ = 1/2 C'V'² - 1/2 CV² = 1/2 ε₀A/2d (2V)² - 1/2 ε₀A/d V² ⊢ W = ε₀AV²/2d Formulário F⃗ = qq'(r⃗ - r⃗')/4πε₀|r⃗ - r⃗'|³ ; F⃗ = qE⃗, E⃗ = q(r⃗ - r⃗')/4πε₀|r⃗ - r⃗'|³ ; E⃗ = 1/4πε₀ ∮ dq/r² ê p = qd, τ⃗ = p⃗ × E⃗, U = -p⃗ · E⃗, Φᵉ = ∮ E⃗ · dA⃗, ∮ E⃗ · dA⃗ = qint/ε₀ V = q/4πε₀|r⃗ - r⃗'|, Vᵦ - Vₐ = -∫ₐᵦ E⃗ · dℓ⃗, V = 1/4πε₀ ∫ dq/r V = 1/4πε₀ ∑ⱼ qᵢ/rᵢ ; U = 1/4πε₀ ∑ᵢ<ⱼ qᵢqⱼ/rᵢⱼ ; E⃗ = -∇V = ∂V/∂x î – ∂V/∂y ĵ – ∂V/∂z k̂ C = Q/V, U = Q²/2C = CV²/2 = QV/2, u = ε = ε₀/2 E² Algumas integrais ∫ dx/ax + b = 1/a ln(ax + b) ; ∫ dx/(ax)² = 1/a ax + b ; ∫ x dx/√ax² + b = √ax² + b/a NO LIMIT LOVE & FRIENDSHIP