Apostila de Conceitos Teóricos e Exercícios Propostos de Eletromagnetismo

Universidade Federal de Uberlândia UFU Faculdade de Engenharia Elétrica FEELT Apostila de Conceitos Teóricos Apostila de Conceitos Teóricos Apostila de Conceitos Teóricos Apostila de Conceitos Teóricos e Exercícios Propostos e Exercícios Propostos e Exercícios Propostos e Exercícios Propostos Curso de Graduação Prof Dr Geraldo Caixeta Guimarães Prof Dr Geraldo Caixeta Guimarães Prof Dr Geraldo Caixeta Guimarães Prof Dr Geraldo Caixeta Guimarães Versão 2010 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO SSUUM MÁÁRRIIO O i SUMÁRIO INTRODUÇÃO GERAL iii FORMULÁRIO GERAL v Capítulo I ANÁLISE VETORIAL 01 11 CONCEITOS GERAIS 01 12 O PRODUTO ESCALAR OU PRODUTO INTERNO 01 13 O PRODUTO VETORIAL OU PRODUTO EXTERNO 02 14 SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS 03 141 Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas 03 142 Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas 04 143 Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 04 144 Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 04 145 Elementos diferenciais de linha área e volume nos 3 sistemas de coordenadas 05 15 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 06 Capítulo II LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 09 21 LEI DE COULOMB 09 22 INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 09 23 CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO VOLUMÉTRICA CONTÍNUA DE CARGAS 10 24 CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO LINEAR CONTÍNUA DE CARGAS 10 25 CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO SUPERFICIAL CONTÍNUA DE CARGAS 11 26 LINHA DE FORÇA E ESBOÇO DE CAMPO 12 27 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13 Capítulo III DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 15 31 DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO D 15 32 A LEI DE GAUSS 15 33 APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS GAUSSIANA 15 34 DIVERGÊNCIA 17 35 TEOREMA DA DIVERGÊNCIA 18 36 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 19 Capítulo IV ENERGIA E POTENCIAL 21 41 ENERGIA TRABALHO PARA MOVER UMA CARGA PONTUAL EM UM CAMPO ELÉTRICO 21 42 DEFINIÇÃO DE DIFERENÇA DE POTENCIAL VAB E POTENCIAL V 21 43 O POTENCIAL DE UMA CARGA PONTUAL 21 44 O POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS DISTRIBUÍDAS 22 441 VAB de uma reta com ρL constante 22 442 VAB de um plano com ρs constante 22 45 GRADIENTE DO POTENCIAL V 23 46 O DIPOLO ELÉTRICO 24 47 ENERGIA NO CAMPO ELETROSTÁTICO 25 471 Energia trabalho para uma distribuição discreta de cargas 25 472 Energia trabalho para uma distribuição contínua de carga 25 48 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 26 Capítulo V CONDUTORES DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 29 51 CORRENTE I E DENSIDADE DE CORRENTE J 29 52 CONTINUIDADE DA CORRENTE 30 53 CONDUTORES METÁLICOS RESISTÊNCIA R 30 54 O MÉTODO DAS IMAGENS 31 ai CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J SUMARIO i 55 A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELETRICOS POLARIZACAO P 32 56 CONDICOES DE CONTORNO PARA MATERIAIS DIELETRICOS PERFEITOS 33 57 CAPACITANCIA 34 58 EXEMPLOS DE CALCULO DE CAPACITANCIA 34 59 EXERCICIOS PROPOSTOS 39 Capitulo VI EQUACOES DE POISSON E DE LAPLACE 45 61 IMPORTANCIA DAS EQUACOES DE POISSON E LAPLACE 45 611 Equacao de Poisson 45 612 Equagao de Laplace 45 62 TEOREMA DA UNICIDADE 46 63 EXEMPLOS DE SOLUCAO DA EQUAGAO DE LAPLACE 46 64 EXEMPLO DE SOLUGAO DA EQUACAO DE POISSON 50 65 SOLUCAO PRODUTO DA EQUACAO DE LAPLACE 51 66 EXERCICIOS PROPOSTOS 54 Capitulo VII CAMPO MAGNETICO ESTACIONARIO 59 71LEIDEBIOTSAVART 59 72 LEI CIRCUITAL DE AMPERE CAMPO MAGNETICO ESTACIONARIO 59 73 ROTACIONAL 62 74 TEOREMA DE STOKES 64 75 FLUXO MAGNETICO E DENSIDADE DE FLUXO MAGNETICO B 64 76 POTENCIAIS ESCALAR E VETOR MAGNETICOS 65 77 EXERCICIOS PROPOSTOS 67 Capitulo VITT FORCAS E CIRCUITOS MAGNETICOS MATERIAIS E INDUTANCIA 71 81 FORCA SOBRE UMA CARGA EM MOVIMENTO 71 82 FORCA SOBRE UM ELEMENTO DIFERENCIAL DE CORRENTE 71 83 FORCA ENTRE ELEMENTOS DIFERENCIAIS DE CORRENTE 72 84 TORQUE EM UMA ESPIRA INFINITESIMAL PLANA 72 85 A NATUREZA DOS MATERIAIS MAGNETICOS 73 86 MAGNETIZACAO E PERMEABILIDADE MAGNETICA 73 87 CONDICOES DE CONTORNO PARA O CAMPO MAGNETICO 74 88 CIRCUITO MAGNETICO 75 89 ENERGIA DE UM CAMPO MAGNETOSTATICO 77 810 AUTOINDUTANCIA E INDUTANCIA MUTUA 77 811 EXERCICIOS PROPOSTOS 80 Capitulo IX CAMPOS VARIAVEIS NO TEMPO E AS EQUACOES DE MAXWELL 85 91 A LEI DE FARADAY 85 911 Fem devido a um campo que varia dentro de um caminho fechado estacionario 86 912 Fem devido a um campo estacionario e um caminho mével 87 913 Fem total devido a um campo variavel e um caminho mével 88 92 CORRENTE DE DESLOCAMENTO 88 93 EQUACOES DE MAXWELL EM FORMA PONTUAL OU DIFERENCIAL 90 94 EQUACGOES DE MAXWELL EM FORMA INTEGRAL 90 95 EXEMPLOS DE CALCULO DA INDUGAO ELETROMAGNETICA 91 96 EXERCICIOS PROPOSTOS 94 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 99 Anexo I SOLUCAO DE EQUACAO DIFERENCIAL POR SERIE INFINITA DE POTENCIAS 100 Anexo II CURVAS BH DE VARIOS MATERIAIS FERROMAGNETICOS 102 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO IINNTTRRO ODDUUÇÇÃÃO O G GEERRAALL iii INTRODUÇÃO GERAL Importância do Curso de Eletromagnetismo Este curso deve ser encarado com bastante seriedade devido sua indiscutível importância no currículo de Engenharia Para facilitar a aprendizagem ele é iniciado apresentando os fundamentos matemáticos necessários para então considerar os aspectos físicos da disciplina A teoria básica dos campos elétricos da densidade de fluxo elétrico a Lei de Gauss os potenciais e correntes elétricas todos da Eletrostática e Eletrodinâmica são apresentados em seqüência até se chegar nas formulações da Equações de Poisson e Laplace Já dentro do Magnetismo considerase primeiramente a teoria básica dos campos magnéticos abordando importantes princípios como a Lei de BiotSavart e a Lei Circuital de Ampère Vários conceitos do Eletromagnetismo são então introduzidos culminando com o estudo dos campos baseados nas equações de Maxwell o qual justifica as aproximações que conduzem a teoria de circuitos elétricos Todos os conceitos aqui apresentados devem formar a base para a construção de novos alicerces de conhecimento como aqueles relacionados às disciplinas que tratam de máquinas elétricas aterramentos elétricos linhas de transmissão propagação de ondas antenas etc Metodologia Adotada O curso foi esquematizado da forma mais simples possível para ser ministrado através de aulas expositivas com diálogos discussões demonstrações incluindo soluções de exercícios e sempre que possível com interpretação e aplicação prática de cada resultado O conteúdo programático do curso é disposto de tal maneira que os assuntos mais difíceis são abordados no seu final sendo os capítulos colocados numa forma seqüencial e lógica para auxiliar a aprendizagem Além dos livros indicados abaixo foi preparada esta apostila intitulada Conceitos Teóricos e Exercícios Propostos de Eletromagnetismo a qual tem o objetivo de servir de roteiro de aulas teóricas e fonte suplementar de exercícios reduzindo o tempo utilizado na exposição de assuntos e transcrição de enunciados de exercícios no quadro permitindo assim que mais tempo seja dedicado a explicação e aplicação prática de conceitos da disciplina Uma outra apostila de Exercícios Resolvidos de Eletromagnetismo também foi preparada contendo numerosos exemplos numéricos e literais de cada capítulo do programa visando com isto facilitar o entendimento e a autoaprendizagem do aluno Vários recursos didáticos poderão ser empregados no curso como quadro e giz equipamentos audiovisuais microcomputador e datashow Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO Li INTRODUCAO GERAL iv e Sao também selecionados estudantes monitores com objetivo de vY Prestar atendimento aos alunos auxiliandoos na solugao de listas de exercicios Y Corrigir as listas de exercicios que forem entregues pelos alunos Y Auxiliar o professor na corregao de testes aplicados durante o curso Y Auxiliar 0 professor na supervisao da aplicagao de provas eou testes Formas de Avaliacao e Sao realizadas 3 provas do tipo sem consulta com quest6es abertas ou dissertativas isto 6 nao sao incluidas questdes do tipo teste de multipla escolha e Sao também aplicados 3 testes rapidos 30 minutos no maximo distribuidos ao longo do periodo podendo estes ocorrem de surpresa a critério do professor e E preparado um total de 9 listas de exercicios relativas aos 9 capitulos com 4 exercicios cada uma indicados previamente para cada aluno de acordo com a matéria lecionada nestes capitulos tomando como base o livro texto referéncia 1 e o livro de exercicios adotado referéncia 2 Os exercicios sao definidos pelo professor de tal maneira que nenhum aluno tenha os mesmos quatro exercicios de seu colega Cada lista devera ser entregue até no maximo uma semana apos 0 encerramento das aulas correspondentes ao capitulo da lista e Para ser aprovado na disciplina cada aluno devera cumprir os seguintes requisitos v Freqiéncia minima de 75 nas aulas ministradas a qual é verificada através de chamada oral eou assinatura de lista de presenga em sala de aula v Soma total das notas obtidas nas diversas avaliagdes igual ou superior a 60 pontos de um total de 100 pontos os quais sao distribuidos segundo o quadro abaixo SS Segunda Prova CapitulosVe VI 20 Terceira Prova Capitulos VlalX 80 faTestes Rapides 4 pontos cadaum 12 9 Listas de Exercicios pontos cada uma 18 Total 100 ai CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO i FORMULARIO GERAL y FORMULARIO GERAL 1 DIVERGENCIA ow WD aD CARTESIANAS Vep442Z Ox oy Oz 19D 12D ad cuinpricas Vept 41 9 p op pap a 2 D 0sen 0D oD ESFERICAS Gepu tI Pr 1 senDg 1 Mo ror rsen 06 rsen odo 2 GRADIENTE OV OV OV 7 CARTESIANAS VV Ox ayy o fe OV ldV OV CILINDRICAS VV 2p 2 ape a OV l1dV 1 ov ESFERICAS VV a a or art r 08 Het rsen do 9 3 LAPLACIANO CARTESIANAS VV ov ov av ax ay az CILINDRICAS VV 12 pov 1 av av pap op p a6 dz ESFERICAS VV 12fp w t 2f 0 1 ov art ar rsend0 00 r2sen26 oo 4 ROTACIONAL 5 OH oH CARTESIANAS VXH oH ay a Se S i 4 Sty Hs a dy dz Oz ox Ox dy oH oH OpH oH CILINDRICAS VXH Jon Me Ap OM oH ay ii alpHy aH a p db az dz Op p op do ESFERICAS 5 oH 8 OrH ox Horen ate jf 1 ate AFMo 1AloHte aH rsenO 00 ao rrsenO do or rl or 00 rf CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO i FORMULARIO GERAL vi 5 EQUACOES DE MAXWELL Forma Pontual Forma Integral OB VxE2 EedLedS WD ee oD VxH HedLI e 6 CONDICOES DE CONTORNO ENTRE 2 MEIOS Componentes tangenciais Ey Eo Hy Hy k Componentes normais Dai Diz Ps Ba Bro 7 PERMISSIVIDADE DO ESPACO LIVRE woe sys 12 107 Permissividade elétrica do vacuo 8854x10 36n Fm Permeabilidade magnética do vacuo 4X 107 Hm 8 FORMULAS IMPORTANTES DO ELETROMAGNETISMO Lei de Gauss f De dS O oma Teorema da Divergéncia f DedS Soot V D dv Equaciio de Poisson VV f Equacio de Laplace VV0 Lei de BiotSavart f BR onde tal Kas Jav 4nmR Lei Circuital de Ampere fHedLI a Teorema de Stokes fHedL fy Vx He dS ai CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO i FORMULARIO GERAL vii 9 OUTRAS FORMULAS DO ELETROMAGNETISMO DcEP BuHM PyE MyH DcE BpH EEEy UWHrUo W Deka 1 Be EF hot v Wa 5 JB Hav fem yf Fg QE ot Fy aly x B fem fEedL F F Fy QE xB fem vxBaL 8 eas 8 t dF 1dLxB b Beds dT xdF IdSxB L dm IdS I ow dT dmxB L I BVxA N My ae Hvv j CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO FORMULÁRIO GERAL viii 10 FÓRMULAS DE DERIVADAS u e v são funções de x c a e n são constantes arbitrárias 1 0 dx a d 2 c dx c x d 3 n 1 n c n x dx c x d 4 x 2 1 x dx d 5 dx du u n 1 u dx d n n 1 n 6 dx dv dx du v dx u d 7 dx c du dx cu d 8 dx v du dx u dv dx u v d 9 2 v dx u dv dx v du v u dx d 10 dx du n u dx u d n 1 n 11 dx a du a dx a d u u ln 12 dx u dv u dx du vu dx u d v v 1 v ln 13 dx du du df dx f u d 14 1 0 a a dx du u log e dx log u d a a 15 dx du u 1 u dx d ln 16 dx cosu du dx sen u d 17 dx sen u du dx cosu d 18 dx sec u du dx tgu d 2 19 dx cosec u du dx cotgu d 2 20 dx secu tgu du dx secu d 21 dx cosecu cotgu du dx cosecu d 22 dx du u 1 1 dx arcsenu d 2 23 dx du u 1 1 dx arccosu d 2 24 dx du u 1 1 dx arctgu d 2 25 dx du u 1 1 dx arccotgu d 2 26 dx du 1 u u 1 dx arcsecu d 2 27 dx du 1 u u 1 dx arccosecu d 2 28 dx du du dy dx dy Regra de Chain 29 z dz F y dy F x dx F dF Diferencial total de y z F x 30 y F x F dx dy 0 F x y CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO FORMULÁRIO GERAL ix 11 FÓRMULAS DE INTEGRAIS u e v são funções de x C a e n são constantes arbitrárias 1 f x dx dx f x d 2 C v dx u dx v dx u 3 C a u dx a u dx 4 1 n C 1 n u du u n 1 n 5 C u u du ln 6 C e e du u u 7 1 0 a a C a a a du u u ln 8 C cosu sen u du 9 C sen u cosu du 10 C secu C cosu tg u du ln ln 11 C cosecu C sen u cotgu du ln ln 12 C tg u secu secu du ln C 4 2 tg u π ln 13 C cotg u cosecu cosecu du ln C 2 tg u ln 14 C 4 2u sen 2 u sen2 u du 15 C 4 2u sen 2 u cos2 u du 16 C tg u sec2 u du 17 C cotg u cosec2 u du 18 C u tg u tg2 u du 19 C u cotg u cotg2 u du 20 C secu secu tg u du 21 C cosecu cosecu cotg u du 22 C a a arctg u 1 a u du 2 2 23 C a u a u 2a 1 a u du 2 2 ln 24 C u a u a 2a 1 u a du 2 2 ln 25 C a arcsen u u a du 2 2 26 C a a u u a u du 2 2 2 2 ln 27 C a u u a u du 2 2 2 2 ln 28 C a a arcsec u 1 a u u du 2 2 29 C u a u a a 1 a u u du 2 2 2 2 ln 30 C u u a a a 1 u a u du 2 2 2 2 ln 31 C a u u a 1 a u du 2 2 2 2 32 2 32 2 2 2 2 u 2 a u du u a C a 2 arcsen u a 2 33 2 2 2 2 a u 2 u du a u C a u u 2 2 ln 34 v du u v u dv Integração por partes Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo I ANALISE VETORIAL 1 Capitulo I ANALISE VETORIAL 11 CONCEITOS GERAIS e Grandeza Escalar Representada por um numero real positivo ou negativo Ex Tensao ou potencial corrente carga tempo massa volume temperatura pressao etc Grandeza Vetorial Representada por uma magnitude direcao e sentido Ex Densidade de corrente velocidade aceleragao forga torque etc Atencao No curso de Eletromagnetismo nao sera feita distingao entre a magnitude mddulo intensidade e valor absoluto de um vetor A magnitude de um vetor é um valor sempre positivo Campo Escalar Cada ponto da regiao é representado por um escalar Ex Campo de potenciais campo de temperaturas campo de press6es etc Notacio Seja xy z 100 definindo um campo escalar Se potencial temos uma superficie equipotencial esférica Se temperatura temos uma superficie isotérmica esférica Se pressao temos uma superficie isobarica esférica e Campo Vetorial Cada ponto da regiao equivale a um vetor Ex Campo elétrico campo magnético campo gravitacional etc Notacao Seja E3a 4a 5a definindo um campo vetorial Se E campo elétrico temos uma regido onde o campo elétrico é uniforme possuindo mddulo igual a 52 e direcd4o fixa definida pelos vetores unitarios também chamados de versores a a a Atencao No curso de Eletromagnetismo adotase a seguinte notacdo para vetores A ou A sendo que seu modulo pode ser representado por Al ou A ou simplesmente A 12 O PRODUTO ESCALAR OU PRODUTO INTERNO O produto escalar entre 2 vetores A e B é definido como AeB AB cosO 6 menor Angulo entre A e B A é Propriedades do produto escalar a AeBBeA propriedade comutativa B b AB0 ALB o produto escalar entre 2 vetores perpendiculares é nulo ja2 c AeAAl A Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo I ANALISE VETORIAL 2 i Aplicagdo do produto escalar obtencio da componente ou projecdo de um vetor ex B numa dada direao ex o vetor A ou 0 eixo x ver figuras A projecio ou componente escalar do vetor B sobre 0 vetor A é B A I B Ba Ba a vetor unitdrio na diregdo de A A A projecao ou componente vetorial do vetor B sobre A é B AA B Baja B 24 al Jal A projecao escalar B do vetor B sobre 0 eixo x é B a vetor unitario do eixo x i I A projecio vetorial B do vetor B sobre 0 eixo x é 8 1 a BR x B Ba Ba Ja B ii Aplicagado do produto escalar obtencgao do angulo compreendido entre 2 vetores quaisquer ow kone AB O angulo compreendido entre 2 vetores A e B é obtido por cos 8 ial Bi A A A a o 2 B B B Angulo agudo Angulo reto Angulo obtuso se cosé for positivo secos forzero secos for negativo 133 O PRODUTO VETORIAL OU PRODUTO EXTERNO Sea AxB O produto vetorial entre 2 vetores A e B é definido como a B an AxB AB sen8a 8 menor angulo entre A e B 8 A onde 4 vetor unitdrio versor normal ao plano formado pelos vetores A e B cuja direcio e sentido é obtida pela regra do sacarolhas m4o direita indo de A para B Propriedades do produto vetorial a AXBBxA propriedade naiocomutativa b AxB0 AB o produto vetorial entre 2 vetores paralelos é nulo c AXA0 Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo I ANALISE VETORIAL 3 i Aplicacao do produto vetorial AxBN Obtencao do vetor ou versor normal a um plano formado por 2 vetores A e B M eB eg NAxB vetor normal foo BD isc 1 i 8 a8 26 N AxXB fo etatatatMsteletsteletsteletatatetatats a wn versor normal I a eas I laa AxB ii Aplicacgado do produto vetorial Obtenao da area de um paralelogramo ou triangulo cujos lados séo as magnitudes dos vetores A e B A Re S paralelogramo Base x Altura BI Asen6 lA x B er GW ERS Striangulo 5 S paralelogramo AxB JNO es B Exercicio Demonstrar que o volume de um paralelepipedo pode ser obtido através do produto misto vol Ax Be C sendo Al Bi e ic respectivamente o comprimento a largura e a altura do paralelepipedo 14 SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS CILINDRICAS E ESFERICAS 141 Representacao de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas z Peay P0 92 P69 roe Oe I I I 1z 1z y 1 I f I I I p I I 1 x me ee 4 Y x x x a Coordenadas cartesianas bh Coordenadas cilindricas e Coordenadas esféricas Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo I ANALISE VETORIAL 4 142 Transformacoes entre os 3 sistemas de coordenadas Quadro das transformacées entre os trés sistemas de coordenadas SISTEMA Cartesiano X pcosd x rsencoso yy y pseno y rsen send Z2 ZZ z rcosO oy p p Cilindrico p Ke 4y p0 i p rsen otanyx O0o2n o Z2 zZ rcos0 ZZ Esférico f222 f22 ryx y z r20 rp z r20 r otanxyzosen tanpz OOx 80 o o tanyx Oo2n P Osgs2n 1o6 143 Vetores unitarios nos 3 sistemas de coordenadas z z z As a a ag ay os P Pp a P I i l a ee ral ay 1 p uf Wa 1z 1Z I a me p 5 y SL ft so x ny x x a a Coordenadas cartesianas b Coordenadas cilindricas e Coordenadas esféricas 144 Produtos escalares entre vetores unitarios nos 3 sistemas de coordenadas Coordenadas cartesianas e cilindricas Coordenadas cartesianas e esféricas as one ene 0 aye oe eww 8 1 ete ee asf coe see 0 Nota O produto escalar entre o vetor unitario a ou a 0 vetor unitario a ou ag do sistema de coordenadas esféricas é dado pelo coseno do Angulo formado entre o vetor unitdrio esférico a ou ag e sua projecao no plano xy multiplicado pelo coseno do Angulo formado por esta projecao e o vetor unitdrio a ou ay Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo I ANALISE VETORIAL 5 Exercicio Completar o quadro abaixo relativo ao produto escalar entre vetores unitdrios dos sistemas de coordenadas cilindricas e esféricas art faye past 145 Elementos diferenciais de linha area e volume nos 3 sistemas de coordenadas z dy z z dx fic 1 od SUPE ae a Q Sh dl pore deh dr Aan Ra ees Be wat Tp A Pr dow Le I 1 ae le J 1 ry eel Px y2z ie l 1 ae Qx dx y dy z dz hy dp x Pt diagonal principal x x a Coordenadas cartesianas b Coordenadas cilindricas e Coordenadas esféricas Quadro dos elementos diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas Linha dL Area dS Volume dv Cartesiano dL dxa dya dza dS dydza dv dx dydz dS dxdza dS dxdya Cilindrico dL dpa pdoa dza dS pdodza dv pdpdodz dS dpdza dS pdpdoa Esférico dL dra rd0ag rsen Odoa dS r sen OdOdoa dv r sen OdrdOdo dS rsen drda dS rdrd0a Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo I ANALISE VETORIAL 6 15 EXERCICIOS PROPOSTOS 11 As superficies que delimitam um volume sao definidas por p5 e p10 0279 e b 709 z2ez 20 Determinar a O volume determinado pelas superficies em questao utilizando integracao b O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume Respostas a Volume 3752 b PQ 2159 12 Um vetor E ap g a esta aplicado no ponto Px 0 y 1 z 1 da superficie plana X y Z 2 Determinar a o vetor E no sistema de coordenadas cartesianas b o Angulo que o vetor E faz com o vetor normal a superficie plana c as duas componentes vetoriais de E normal e tangencial a superficie plana Respostas a E a ay a b07053 li 1 c En f ay 4 e Er 54a ay 24 13 Um vetor A com médulo igual a 10 esta orientado do ponto Pr 5 8 74 6 74 a origem de um sistema de coordenadas cartesianas Expressar este vetor em a coordenadas esféricas no ponto P b coordenadas cartesianas no ponto P Respostas a A 10ar b A Sax Say 52 ar 14 Dado o vetor A ax ay 4 aplicado ao ponto Px V3 y 1 z 2 determinar a As coordenadas esféricas r 8 e do ponto P b O Angulo que A faz com a superficie esférica centrada na origem que passa por P c O Angulo B que A faz com a superficie cnica coaxial com 0 eixo z que passa por P d O Angulo Y que A faz como semiplano radial partindo do eixo z que passa por P Respostas a Pr 22 6 45 150 b 75 c B 1239 d y 14206 15 Um vetor A de médulo igual 8 esta situado sobre a linha reta que passa pelos pontos Pr 10 6 30 0 e Qr 20 8 60 90 e orientado no sentido de P a Q Determinar a O vetor A expresso em coordenadas cartesianas b O Angulo que o vetor A faz com o vetor normal a superficie plana z 0 c O mddulo da projecao do vetor A sobre a superficie plana z 0 Respostas a A 22lax 767ay 059az b 8575 c Proj A 798 Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo I ANALISE VETORIAL 7 16 Transformar o vetor E 5x a para coordenadas esféricas nos seguintes pontos a Ar 4 8 30 o 120 b Bx V2 y V2z22 S SV3 Sv3 5SV2 5V2 Respostas a E ay 5V3 5 53 5 b E 5V2 2 5V2 5 5ag 4 4 2 2 2 17 Sejam dados os pontos Ar 1 8 73 0 76 e Br 3 0 72 74 Os quais representam 2 vértices extremos da porgao de um volume esférico formado com estes pontos Determinar usando integragao quando possivel 0 seguinte a O volume total vol da porao de volume esférico formado b Os vetores normais de drea S So Sy que saem da superficie da porgéo de volume esférico nas diregdes dos vetores unitarios a ag e ag respectivamente c O comprimento do segmento AB diagonal principal da porgao de volume esférico d O vetor AB localizado em A e dirigido de A para B expresso em coordenadas esféricas 13 3 ge RM g 20 Respostas a vol b S a Sg 4o S a c AB 22318 p 36 7 Sr Fg Ar Se Z Ae Sy Ags d AB13713 ax 16883 ay 05a7 15093 a 14487 ag 07786 ag 18 Sejam dados os dois pontos Ar 10 8 45 0 e Br 10 8 60 90 Determinar a A distancia d entre os dois pontos medida em linha reta b A distancia d entre os dois pontos medida ao longo da superficie esférica r 10 Respostas a d 1137 unidades de comprimento b d 1209 unidades de comprimento 19 a Se os vetores Axa 3ay3a B2ayay2a e Caayza representam os lados de um paralelepipedo retangulo quais os valores de X Y e Z b Determinar 0 volume do paralelepipedo retangulo formado acima Respostas a x 15 y 10 z 05 unidades de comprimento b vol 2025 unidades de volume 110 Sejam 2 pontos em coordenadas esféricas 506030 e 50300120 Determinar a A distancia entre os 2 pontos medida em linha reta b A distancia entre os 2 pontos medida ao longo da superficie esférica r 5 c O Angulo entre as 2 linhas que se estendem da origem até os 2 pontos d A area compreendida entre estas 2 linhas e o circulo de raio r 5 Respostas a AB 532 unidades de comprimento b AB 561 unidades de comprimento c 6434 1123 rad d drea 1404 unidades de 4rea Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo I ANALISE VETORIAL 8 111 Um circulo centrado na origem com raio de 2 unidades situase sobre o plano xy Determinar o vetor unitario situado sobre o plano xy que é tangente ao circulo no ponto P V3 JL 0 e esta apontado no sentido de crescimento do eixo y a Em coordenadas cartesianas b Em coordenadas esféricas 1 VBE Respostas a aaay baay 2 2 112 Determinar uma expressao para calcular a distancia entre dois pontos PP0z e QP205Z2 em fungao das coordenadas cilindricas dos pontos a fn2 22 2 Resposta d pj P2 2P4P2 cos 0 zo 21 113 Demonstrar que cos sen cos usando produtos escalares sendo angulo entre o versor a coord esférica e 0 versor a coord cartesiana 6 Angulo entre o versor a coord cartesiana e o versor a coord esférica o Angulo entre o versor a coord cartesiana e o versor a coord cilindrica Resposta Sugestao Observar que a a sena cosO e que a a cosa Ap acosd a ea 0 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIII LLEEII DDEE CCO OUULLO OM MBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAM MPPO O EELLÉÉTTRRIICCO O 9 Capítulo II LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 21 LEI DE COULOMB Força de uma carga Q1 sobre uma carga Q2 12 2 12 o 2 1 2 a R 4 Q Q F πε N onde R 12 vetor orientado de Q1 a Q2 a 12 versor orientado de Q1 a Q2 Notas O módulo de 2 F depende dos valores das cargas pontuais da distância entre elas e do meio Adotase vácuo como o meio neste caso e em todas as análises posteriores até o capítulo 5 A orientação de 2 F ou sentido de 2 F depende apenas dos sinais das 2 cargas pontuais 22 INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO Força de uma carga pontual Q1 sobre uma carga de prova positiva QP situada num ponto P 1P 2 1P o P 1 P a R 4 Q Q F πε Campo elétrico gerado pela carga pontual Q1 no ponto P definição 1P 2 1P o 1 P P a R 4 Q Q F E πε Unidade NC ou Vm Nota A orientação do campo elétrico E depende apenas do sinal da carga que o produz Q1 Assim as linhas de força do campo elétrico saem ou divergem das cargas positivas e entram ou convergem para as cargas negativas Campo elétrico gerado por n cargas pontuais m n m 1 2 m o m a r r 4 Q E r πε Vm onde Qm mésima carga pontual m r posição da mésima carga pontual r posição do ponto onde se quer o campo m m m r r r r a versor da mésima carga pontual CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIII LLEEII DDEE CCO OUULLO OM MBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAM MPPO O EELLÉÉTTRRIICCO O 10 23 CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO VOLUMÉTRICA CONTÍNUA DE CARGAS Definindo dv ρv dQ densidade volumétrica de carga em Cm3 temos que dQ ρvdv Assim a fórmula para calcular o campo elétrico num ponto P no vácuo de um volume de cargas é πε R 2 o a R 4 dQ E Vm FÓRMULA GERAL sendo aR versor orientado de dQ ao ponto P saindo R distância de dQ ao ponto P εo permissividade elétrica do vácuo Fm Nota Genericamente ρv dv ρS ds ρL dL dQ para volume superfície linha ponto 24 CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO LINEAR CONTÍNUA DE CARGAS Definindo dL ρL dQ densidade linear de carga em Cm temos que dQ ρLdL Demonstrar que a fórmula que fornece o campo elétrico num ponto P no vácuo devido a uma filamento retilíneo com carga uniformemente distribuída ver figura é expressa por πε ρ ρ ρ a 2 E o L sendo ρL densidade linear de carga Cm valor constante ρ menor distância direção normal da linha ao ponto P m ρ a versor normal à linha orientado para o ponto P Solução Posicionando o eixo z sobre o filamento e o plano xy sobre o ponto P para facilitar a solução ver figura temos dz dQ ρL ρ ρ a za R z e 2 z2 R ρ 2 2 z R z a a z R R a ρ ρ ρ Substituindo na fórmula geral acima obtemos ρ ρ ρ ρ πε ρ ρ ρ ρ ρ πε ρ E E z 4 a za dz z z a a z z 4 dz z E z 2 32 2 o z L 2 2 z 2 2 o L Por simetria Ez 0 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIII LLEEII DDEE CCO OUULLO OM MBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAM MPPO O EELLÉÉTTRRIICCO O 11 Fazendo a substituição trigonométrica ver triângulo ao lado α ρ tg z α α ρ d dz sec2 e levando na expressão acima e desenvolvendo ρ ρ ρ α α πε ρ ρ α ρ ρ α α ρ πε ρ ρ π απ π απ a d os 4 a d 4 E E 2 2 2 2 o L 2 3 2 2 o L c tg sec 2 2 ρ π απ ρ π απ ρ πε ρ α πε ρ a 1 1 4 a 4 E E 2 2 o L 2 2 o L sen Daí chegamos finalmente a ρ ρ πε ρ ρ a 2 E E o L Logo para uma linha com carga uniformemente distribuída a magnitude de E é inversamente proporcional à distância ρ e a direção de E é radial normal à linha 25 CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO SUPERFICIAL CONTÍNUA DE CARGAS Definindo dS ρS dQ densidade superficial de carga em Cm2 temos que dQ ρS dS Demonstrar que a fórmula que fornece o campo elétrico num ponto P no vácuo devido a uma superfície plana com carga uniformemente distribuída ver figura é expressa por n o s a 2 E ε ρ sendo ρS densidade superficial de carga Cm2 constante n a versor normal ao plano orientado para o ponto P Solução Observando a figura temos ρ ρ ρ φ ρ d d dS dQ s s zaz a R ρ ρ e 2 2 z R ρ 2 2 z R z za a R R a ρ ρ ρ Substituindo na fórmula geral acima obtemos 2 2 z 2 2 o s z za a z 4 d d 0 2 0 E ρ ρ ρ πε ρ ρ ρ φ ρ π φ ρ z 2 3 2 2 o z s s 2 E E z 4 d d za a 0 2 0 E ρ πε ρ φ ρ ρ ρ ρ ρ π φ ρ ρ CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIII LLEEII DDEE CCO OUULLO OM MBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAM MPPO O EELLÉÉTTRRIICCO O 12 Por simetria 0 E ρ 2 3 2 2 o z s 2 32 2 o z s z z d 0 2 a z z d 0 d 2 0 4 za E E ρ ρ ρ ρ ε ρ ρ ρ ρ φ ρ π φ πε ρ Fazendo a substituição trigonométrica ver triângulo ao lado α ρ ztg α α ρ d z d sec2 e levando na expressão acima e desenvolvendo α α π α ε ρ α α α π α ε ρ α α α α π α ε ρ d 2 0 2 a d 2 0 2 a z z d z z 2 0 2 za E E o z s o z s 2 3 2 2 2 o z s z sen sec tg tg sec tg 2 z o s 2 0 o z s z 1 a 0 2 2 a E E ε ρ α ε ρ π α cos z o s z a 2 E E ε ρ De uma forma mais geral fazendo n z a a n o s n a 2 E E ε ρ Logo para o plano com carga uniformemente distribuída a magnitude de E é independente da distância z do plano a P e a direção de E é normal ao plano 26 LINHA DE FORÇA E ESBOÇO DE CAMPO Obtenção da equação da linha de força de E no plano xy Para um ponto na linha de força no plano xy temos y y x x E a E a E y x ya x a L onde L E 2 vetores em paralelo Fazendo L dL obtemos y x dya dx a dL Como E dL obtemos dy E dx E y x Logo basta resolver esta equação diferencial para obter a equação da linha de força no plano xy Nota Para uma linha de força de E no espaço tridimensional obtémse a expressão dz E dy E dx E z y x Atenção Resolvese duas a duas segundo as projeções em xy yz e zx Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo II LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELETRICO 13 27 EXERCICIOS PROPOSTOS 21 Uma linha infinita possui uma distribuigao de carga com densidade py 100 nCm e esta situada no vacuo sobre a reta y 5 m e z0 Uma superficie plana infinita possui uma distribuicio de carga com densidade ps am VCm e esté situada no vacuo sobre o plano z 5 m Determinar 0 valor da constante para que 0 campo elétrico resultante no ponto P555 néo possua componente no eixo z Resposta 4 22 Dado um campo Ep0 E p0a Egp0ay em coordenadas cilindricas as equacdes das linhas de forga em um plano z constante sao obtidas resolvendo a equacao diferencial Ep E9 dpp do a Determinar a equacdo da linha de forga que passa pelo ponto Pp 2 30 z 0 para o campo E p sen2 p cos2oay b Determinar um vetor unitério passando pelo ponto Pp 2 30 z 0 que seja paralelo ao plano z 0 e normal a linha de fora obtida no item anterior 1 3 Respostas a 7 8cos20 b a ay Ba 23 Duas linhas infinitas de carga com mesmas densidades lineares uniformes py k VCm estao colocadas sobre o plano z 0 As duas linhas se cruzam no ponto 2 1 0 sendo que uma é paralela ao eixo x e a outra paralela ao eixo y Determinar exatamente em que posicao no plano z 0 devera ser colocada uma carga pontual Q k nC para que 0 campo elétrico resultante na origem se anule 4 4 2 Resposta P v5 WS 0 5 5 24 Determinar a forga que atua sobre uma carga pontual Q em P00a devido a presenga de uma outra carga Qo a qual esta uniformemente distribuida sobre um disco circular de raio a situado sobre o plano z0 Resposta F 2102 2 V2a ATE a 25 Seja um campo elétrico dado por E 5e2 sen 2y ax cos2y ay v m Determinar a A equacao da linha de forga que passa pelo ponto Px05 y710 z0 b Um vetor unitario tangente a linha de forga no ponto P Respostas a cos2y eX 12 oy x 05 Incos 2y 0606 b ar 05878ax 08090ay 26 O segmento reto semiinfinito z 0 x y 0 esta carregado com py 15 nCm no vacuo Determine E nos pontos a Pa 0 0 1 b Pg d 2 3 Respostas a Ex 1348a Vm b Ep 486a 972a 360a Vm Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo Il LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELETRICO 14 27 Duas bolas dielétricas iguais de diametro bem pequeno pesando 10 g cada uma podem deslizar livremente numa linha plastica vertical Cada bola é carregada com uma carga negativa de uC Qual é a distancia entre elas se a bola inferior for impedida de se mover Resposta d 300 mm 28 Duas cargas pontuais de 2 C cada uma estao situadas em 1 0 0 me 1 0 0 m Onde deveria ser colocada uma carga de 1 C de modo que 0 campo elétrico se anule no ponto 0 10 Resposta Em x 0 y 016 m z 0 29 a Uma carga com densidade uniforme py K Cm pK Areor2 esté distribufda sobre um pedaco de condutor 3 circular de raio r 2 m posicionado sobre o plano y 1 m conforme mostra a figura abaixo ao B tL Plan y1 Determinar 0 campo elétrico E resultante na origem b Repetir o item a supondo porém que toda a 5 A x carga seja concentrada no ponto 020 2 Ky3 K Respostas a E KV3 5 Vm b Eay Vm SIE 12 210 Uma carga é distribuida uniformemente com densidade p 10 182 Cm sobre uma lamina retangular finita de 1 mm x 1 m estando centrada na origem sobre o plano z 0 e com os lados paralelos aos eixos x e y Usando aproximag6es de senso comum estimar o valor do campo elétrico E nos seguintes pontos do eixo z a z0001 mm b z1cm c z100m 01 107 Respostas a Ela Vm b Ea Vm c E on tt Vm TU TU 211 Quatro cargas pontuais iguais a 3 WC localizamse no vacuo nos quatro vértices de um quadrado de 5 cm de lado Determine 0 médulo da forga que age em cada carga Resposta 619N 212 Uma carga pontual de nC localizase na origem no vacuo Determine a equacao da curva no plano z 0 para o qual E 1 Vm Resposta 808x7 2 y ou p 2998coso 213 Trés cargas pontuais Q 2Q e 3Q ocupam respectivamente os vértices A B e C de um triangulo equilatero de lado Uma das cargas tem a maxima forca exercida sobre ela e uma outra tem a minima fora Determinar a razdo entre as magnitudes destas 2 forgas Resposta Razao 182 sendo as magnitudes das forgas maxima e minima iguais respectivamente a 794k e 436k onde k Q4n E P CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIIIII DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXO O EELLÉÉTTRRIICCO O LLEEII DDEE G GAAUUSSSS EE DDIIVVEERRG GÊÊNNCCIIAA 15 Capítulo III DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 31 DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO D É o fluxo por área produzido por cargas livres e é independente do meio onde estas estão situadas Fórmula geral π ε R 2 o a R 4 dQ E D Unidade Cm2 onde dQ ρL dL ρsds ρvdv dependendo da configuração de cargas 32 A LEI DE GAUSS O fluxo elétrico líquido que atravessa qualquer superfície fechada é igual a carga total interna envolvida por esta superfície A expressão matemática é dada por Ψ S interna total Q D d S Unidade C onde ρ vol v interna dv Q Nota No SI int total Q Ψ 33 APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS GAUSSIANA Gaussiana def É uma superfície especial com as seguintes propriedades i É uma superfície fechada ii Em cada um de seus pontos D é tangencial ou D é normal Assim se 0 D dS D dS Neste caso D é tangencial à gaussiana se D dS D dS D dS Neste caso D é normal à gaussiana iii Em todos os pontos onde D dS a magnitude de D é constante Cálculo de D aplicando a lei de Gauss e gaussiana para os seguintes casos especiais a Carga pontual Q Para uma gaussiana esférica de raio R Sgaussiana Qint D dS Lei de Gauss Como D dS e D cte em todos pontos da gaussiana D área da esfera Q D 4πR2 Q Logo R2 4 Q D π CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIIIII DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXO O EELLÉÉTTRRIICCO O LLEEII DDEE G GAAUUSSSS EE DDIIVVEERRG GÊÊNNCCIIAA 16 Em forma vetorial R2 aR 4 Q D π D é inversamente proporcional ao quadrado da distância b Filamento retilíneo com ρL dQ dL constante Para uma gaussiana cilíndrica de raio ρ Sgaussiana Qint D dS Lei de Gauss D área lateral do cilindro ρL L D 2πρL ρL L Logo πρ ρ D 2 L Em forma vetorial πρ ρ ρ a 2 D L D é inversamente proporcional à distância c Cabo coaxial com os condutores central Q e externo Q com ρρρρs constante Aplicando a lei de Gauss para uma gaussiana cilíndrica de raio ρ ver figura Sgaussiana Qint D dS temos as seguintes situações i Se ρ a D 0 pois a carga interna é nula ii Se ρ b D 0 pois a carga interna líquida é nula blindagem eletrostática iii Se a ρ b gaussiana tracejada D 2π ρ L Q Daí obtemos L 2 Q D πρ Sendo a carga uniformemente distribuída com densidade superficial de carga ρS no condutor central podemos reaplicar a lei de Gauss obtendose D 2π ρ L ρS 2π a L πρ ρ ρ ρ 2 D L sa onde a a π ρ π ρ 2 L 2 Q S Q dS dQ L s sendo ρL a densidade linear de carga no condutor central Em forma vetorial ρ ρ πρ ρ ρ ρ a 2 a D L sa D é inversamente proporcional à distância Nota Observar a semelhança com a fórmula de D para a linha obtida acima CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIIIII DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXO O EELLÉÉTTRRIICCO O LLEEII DDEE G GAAUUSSSS EE DDIIVVEERRG GÊÊNNCCIIAA 17 34 DIVERGÊNCIA Seja A um vetor qualquer expresso por z z y y x x A a A a A a A aplicado ao vértice Axyz do pequeno volume retangular da figura acima dado por x y z v Definindo divergência de um vetor A ou div A com notação matemática A como v A dS lim A S 0 v Nota O resultado desta operação é um escalar onde representa o operador vetorial nabla ou del Para a superfície que envolve o pequeno volume retangular da figura acima temos A dS A dS DCGH ABFE BCGF ADHE EFGH ABCD S S S S S S S Cálculo da 1a e da 2a integral do 2o membro fluxo de A na direção x y z A x A xdydz a dS A x a dS A x x y y y y z z z z x ABCD x x SABCD y z x x A A x y z x A x xdydz A x dS A X x x x y y y y z z z z SEFGH Somando estas duas integrais obtemos o fluxo líquido de A na direção x como x y z x A dS A x S S EFGH ABCD Similarmente a estas duas integrais obtemos os fluxos líquidos de A nas direções y e z como x y z y A dS A y S S BCGF ADHE x y z z A dS A z S S DCGH ABFE CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIIIII DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXO O EELLÉÉTTRRIICCO O LLEEII DDEE G GAAUUSSSS EE DDIIVVEERRG GÊÊNNCCIIAA 18 Somando as 3 expressões anteriores obtemos o fluxo total líquido que sai do pequeno volume x y z z A y A x A dS A z y x S Substituindo esta última expressão na equação que define a divergência e simplificando obtemos z A y A x A A z y x Se A é substituído pelo vetor densidade de fluxo elétrico D e aplicado a definição de divergência v 0 v S 0 v dv dQ v Q lim v D dS lim D ρ Assim obtemos uma importante equação da eletrostática v D ρ 1a equação de Maxwell da eletrostática onde ρv representa a fonte de fluxo divergência de D Notas D 0 A região é fonte de fluxo ou a carga líquida da região é positiva D 0 A região é sorvedoura de fluxo ou a carga líquida da região é negativa D 0 A região não é fonte nem sorvedoura de fluxo ou a carga líquida é nula 35 TEOREMA DA DIVERGÊNCIA Da lei de Gauss temos que int S Q D dS Mas sabemos que dv Q v vol int ρρρρ E também D v ρ Logo juntando todas as expressões obtemos S vol D dv D dS Teorema da divergência de Gauss sendo S a área que envolve o volume vol ou vol o volume envolvido pela área S Notas 1 O teorema da divergência pode ser aplicado a qualquer campo vetorial 2 O operador vetorial é somente definido em coordenadas cartesianas pela expressão z y x z a y a x a Logo não existe uma expressão para em coordenadas cilíndricas nem em esféricas CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIIIII DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXO O EELLÉÉTTRRIICCO O LLEEII DDEE G GAAUUSSSS EE DDIIVVEERRG GÊÊNNCCIIAA 19 36 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 31 Seja ρV α r Cm3 de r 0 a r R em coordenadas esféricas Determinar Dem todo o espaço Resposta r 5 r 2 a D α Cm2 para 0 r R e r 2 2 r 5 R 2 R a D α Cm2 para r R 32 Uma carga com densidade linear uniforme ρL k ηCm está distribuída sobre o semieixo positivo de z No plano z 0 uma outra carga com densidade superficial ρS k2πρ ηCm2 é distribuída Determinar o fluxo elétrico total que atravessa o cilindro ρ a m cujas bases estão situadas sobre os planos z a e z a a 0 Resposta ΨT 2ka ηC 33 O plano z0 contém uma distribuição superficial uniforme de carga com ρS 10 ηCm2 Determinar a quantidade de linhas de fluxo que atravessa o triângulo formado pelos pontos A 020 B 202 e C 202 Resposta Ψ 20 ηC 34 Determinar o fluxo elétrico líquido total que sai da porção de um cilindro definido por 0 ρ 2 0 φ π2 0 z 3 devido as seguintes condições a uma carga distribuída no interior da porção do cilindro com densidade volumétrica de carga dada por ρv 4xyz2 Cm3 sendo que ρv 0 no exterior da porção de cilindro b a mesma quantidade de carga do item anterior porém sendo toda ela concentrada na origem Respostas a 72 C b 9 C 35 Seja 2 v 6x ρ µCm3 na região 1 x 1 m e ρv 0 fora desta região Determinar a A densidade de fluxo elétrico D na região 0 x 1 m b A densidade de fluxo elétrico D na região x 1 m c A densidade de fluxo elétrico D na região 1 x 0 m d A densidade de fluxo elétrico D na região x 1 m Respostas a 2x3 x a D µCm2 b 2ax D µCm2 c 2x3 x a D µCm2 d 2ax D µCm2 36 Determinar o fluxo total que atravessa um cubo de lado a 1 m centrado na origem e arestas paralelas aos eixos coordenados para cada uma das seguintes situações a Uma carga pontual Q 20 ηC situada na origem b Uma linha infinita de cargas com densidade ρL 20 ηCm situada sobre o eixo x Repetir a questão e calcular o fluxo que atravessa a face superior do cubo nas duas situações Respostas a ΨT 20 ηC b ΨT 20 ηC e a 3 ΨT 10 ηC b ΨT 5 ηC CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIIIII DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXO O EELLÉÉTTRRIICCO O LLEEII DDEE G GAAUUSSSS EE DDIIVVEERRG GÊÊNNCCIIAA 20 37 Seja z 8z 1 v ρ Cm3 para 0 z 1 z 8z 1 v ρ Cm3 para 1 z 0 e ρv 0 para o restante do espaço Determinar D em todo o espaço usando a Lei de Gauss Respostas D 0 para z 1 z 2 3 1 3z 2z 3 4 a D Cm3 para 1 z 0 z 2 3 1 3z 2z 3 4 a D Cm3 para 0 z 1 D 0 para z 1 38 Determinar o quantidade de fluxo elétrico devido a uma carga pontual Q na origem que passa através das superfícies esféricas definidas por a raio r estendendo de θ 30o a θ 60o e de φ 0o a φ 360o b raio 2r estendendo de θ 0o a θ 90o e de φ 0o a φ 90o Respostas a 0183Q 1 4 Q 3 ψ b ψ Q8 39 Seja uma distribuição de carga no espaço onde ρV Kr Cm3 para r 2R e ρV 0 para r 2R sendo K uma constante positiva a Determinar a carga total contida dentro da esfera de raio r R b Determinar a densidade de fluxo elétrico que sai da superfície esférica r R Respostas a 2 int 2 KR Q π b ra 2 D K 310 Uma carga pontual Q 24π µC está localizada na origem uma carga de densidade 24 s1 ρ µCm2 está distribuída na superfície esférica r a 05 m e uma carga de densidade 24 2 ρs µCm2 está distribuída na superfície esférica r b 1 m Determinar D em todas as regiões Resposta 2 ar r D 6 µCm2 para r 05 m D 0 para 05 r 1 m 2 ar r D 24 µCm2 para r 1 m 311 Uma linha infinita de carga uniformemente distribuída com densidade C m ρL 1 está colocada sobre o eixo y Determinar o fluxo elétrico total que atravessa as seguintes superfícies a a porção do plano z 1 m limitada por 1 x 1 m e 1 y 1 m b a esfera de raio r 1 m centrada na origem Respostas a ψ 05 C b ψ 2 C 312 a Calcular a carga total em todo o espaço se a densidade volumétrica de carga é expressa em coordenadas esféricas como 3 2 3 v 1r a ρ sendo a uma constante b Qual é o raio da esfera centrada na origem com densidade volumétrica de carga constante ρv 8 que contém a mesma carga total do item anterior Respostas a 3 T 3 4 Q a π b 2a r 1 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV EENNEERRG GIIAA EE PPO OTTEENNCCIIAALL 21 Capítulo IV ENERGIA E POTENCIAL 41 ENERGIA TRABALHO PARA MOVER UMA CARGA PONTUAL EM UM CAMPO ELÉTRICO Observando a figura e adotando L a como um vetor unitário na direção de L d temse dL F dL a F dL a a F dL F dL F dW E L E L L E E aplicada L Substituindo FE QE chegase a QE dL dW Integrando obtémse o trabalho energia necessário para mover uma carga Q desde o início ponto B até o final ponto A de uma trajetória sob a ação do campo elétrico E dado por E dL Q W A Final Início B onde EdL 0 pois o trabalho do campo eletrostático depende apenas das posições inicial e final da trajetória Nota Na eletrostática o campo elétrico é conservativo 42 DEFINIÇÃO DE DIFERENÇA DE POTENCIAL VAB E POTENCIAL V A diferença de potencial VAB entre 2 pontos A e B é definida como sendo o trabalho necessário para movimentar uma carga pontual unitária positiva desde B tomado como referência até A Q VAB W A B AB E dL V FÓRMULA GERAL Como o campo elétrico E é conservativo na eletrostática temse para 3 pontos A B e C VAB VAC VBC Os potenciais absolutos VA e VB são obtidos adotandose uma mesma referência zero de potencial Se por exemplo VC 0 podese escrever VAB VA VB 43 O POTENCIAL DE UMA CARGA PONTUAL Supondose a carga na origem temse aplicando a fórmula geral A B A r AB r r 2 B r 0 Q V E dL a dr a 4 r πε AB A B 0 A B Q 1 1 V V V 4 r r πε CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV EENNEERRG GIIAA EE PPO OTTEENNCCIIAALL 22 Se B VB 0 A 0 A Q V 4 r πε potencial absoluto Escrevendo de forma genérica o potencial absoluto devido a uma carga pontual Q fora da origem é 0 Q V 4 R πε sendo R a distância da carga pontual Q ao ponto desejado 44 O POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS DISTRIBUÍDAS Para uma carga distribuída com referência zero no infinito 0 dQ 4 R V πε onde dQ ρL dL ρsds ρvdv dependendo da configuração de cargas r r R R distância escalar de dQ ao ponto fixo P onde se quer obter V 441 VAB de uma reta com ρρρρL constante Partindo de A B AB E dL V obtemos A B L AB 0 V a d a 2 ρ ρ ρ ρ ρ ρ πε ρ L B AB 0 A V ln 2 ρ ρ πε ρ 442 VAB de um plano com ρρρρs constante Partindo de A B AB E dL V obtemos A B z s AB z z z 0 V a dz a 2 ρ ε s AB B A 0 V z z 2 ρ ε Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo IV ENERGIA E POTENCIAL 23 45 GRADIENTE DO POTENCIAL VV O gradiente de uma funcdo escalar ex V é a definido matematicamente por GV dv an ay VV ay resultado vetor a ooo dN fo Re Vay Va onde dV dN e ay sao mostrados na figura I dN dL cosé dL dVV Vy vv 2V5 dv GaG w dN dLcos SS FT COE Naya Mo Dai GdLcos8dV GedLdV CODED DAO Ene onde Direcao Direcao qualquer normal GGa Gyay Ga Gay dL dxa dyay dza dLay dV Ov ax May tay Ox oy dz sendo dL vetor comprimento diferencial medido numa direa4o qualquer dN dLcos menor distancia entre as 2 superficies equipotenciais V e Vo Assim obtemos a expressao do gradiente em coordenadas cartesianas Vv Vv GVV 5 a rr Ox oy dz Propriedades do gradiente de uma fungao escalar V a VV énormal a V b VV aponta no sentido do crescimento de V Logo VV é um vetor que da a maxima variac4o no espaco de uma quantidade escalar médulo do vetor e a diregao em que este maximo ocorre sentido do vetor Se V fungao potencial elétrico entao E estd apontado no sentido decrescente de V Exemplo Utilizando gradiente determinar a expressio de E para uma carga pontual na origem Solucao O potencial de uma carga pontual na origem no vacuo é V 2 TE T Tomando o gradiente de V em coordenadas esféricas sabendose que V fr ov 1 Q efazendo EVV EA8 2 a E 4 or Ane r ANE pr CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV EENNEERRG GIIAA EE PPO OTTEENNCCIIAALL 24 46 O DIPOLO ELÉTRICO É um sistema com 2 cargas pontuais iguais e simétricas figura c bem próximas tal que d r sendo d a distância separação entre as cargas e r a distância do centro do dipolo a um ponto P desejado Cálculo do potencial no ponto P devido ao dipolo na origem P 0 1 0 2 Q Q V 4 r 4 r πε πε P 0 1 2 Q 1 1 V 4 r r πε 2 1 P 0 1 2 r r Q V 4 r r πε Sendo d r fazemos θ dcos r r 1 2 e 2 1 2 r r r Daí p 2 0 Qdcos V 4 r θ πε Campo elétrico no ponto P devido ao dipolo elétrico na origem r 3 0 Qd E 2cos a sen a 4 r θ θ θ πε obtido de V E Definindo momento de dipolo elétrico como p Qd onde d é o vetor cuja magnitude é a distância entre as cargas do dipolo e cuja direção e sentido é de Q para Q r p 2 0 p a V 4 r πε Notas a Com o aumento da distância o potencial e o campo elétrico caem mais rápidos para o dipolo elétrico do que para a carga pontual b Para o dipolo elétrico fora da origem o potencial é dado por R p 2 0 p a V 4 R πε onde aR versor orientado do centro do dipolo ao ponto desejado R distância do centro do dipolo ao ponto desejado CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV EENNEERRG GIIAA EE PPO OTTEENNCCIIAALL 25 47 ENERGIA NO CAMPO ELETROSTÁTICO 471 Energia trabalho para uma distribuição discreta de cargas WE trabalho total para trazer 3 cargas Q1 Q2 Q3 do e fixálas nos pontos 1 2 3 nesta ordem WE W1 W2 W3 WE 0 Q2 V21 Q3 V31 Q3 V32 i Nota V21 potencial no ponto 2 devido à carga Q1 no ponto 1 V21 V21 Se as 3 cargas forem fixadas na ordem inversa isto é fixando Q3 Q2 Q1 nos pontos 3 2 1 temos WE W3 W2 W1 WE 0 Q2 V23 Q1 V12 Q1 V13 ii i ii 2WE Q1 V1 Q2 V2 Q3 V3 3 3 2 2 1 1 E Q V Q V 2 Q V 1 W Para N cargas N i 1 i i E Q V 2 1 W J 472 Energia trabalho para uma distribuição contínua de carga Para uma região com distribuição contínua de carga substituímos Qi da fórmula acima pela carga diferencial dQ ρvdv e a somatória se transforma numa integral em todo o volume de cargas ρ vol v E Vdv 2 1 W J Podese demonstrar que o trabalho pode ser também expresso em função de D eou E como D E dv 2 1 W vol E ou 2 E 0 vol 1 W E dv 2 ε ou 2 E 0 vol 1 D W dv 2 ε Nota A densidade de energia do campo elétrico no vácuo pode ser obtida pelas expressões 2 2 E 0 0 dW 1 1 1 D D E E dv 2 2 2 ε ε Jm3 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV EENNEERRG GIIAA EE PPO OTTEENNCCIIAALL 26 Ex 1 Calcular a energia WE armazenada num pedaço de cabo coaxial de comprimento L e condutores interno e externo de raios a e b respectivamente supondo que a densidade superficial de carga uniforme no condutor interno é igual a ρρρρs Supondo uma gaussiana cilíndrica no interior do dielétrico vácuo de raio a ρ b e aplicando a lei de Gauss int S Q D dS obtemos ρ ρ π ρ πρ a a s s D L 2 L D 2 Substituindo na equação de energia obtida acima 2 L 2 2 s E 0 0 vol z 0 0 1 D 1 W dv d d dz 2 2 π φ ρ ρ ρ ρ ρ φ ε ε b a a 2 2 s E 0 1 W 2 L 2 ρ ρ π ε b a a ln Daí obtemos finalmente 2 2 s E 0 L W π ρ ε a b ln a Ex 2 Calcular a energia WE armazenada num capacitor de placas paralelas no vácuo sendo V a diferença de potencial entre as placas iguais de área S e separadas por uma distância d Supor o campo elétrico entre as placas uniforme desprezando os efeitos de bordas Da equação de energia obtida acima e sabendo que V E d obtemos 2 2 0 E 0 1 V W E dv dv 2 2 d ε ε 2 0 E S 1 W V 2 d ε Tomando a expressão da capacitância do capacitor de placas paralelas ideal cap 5 teremos 2 E 2 CV 1 W onde 0S C d ε 48 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 41 Três cargas pontuais idênticas de carga Q são colocadas uma a uma nos vértices de um quadrado de lado a Determinar a energia armazenada no sistema após todas as cargas serem posicionadas Resposta 2 4 8 Q W o 2 E πε a J 42 Seja uma carga distribuída ao longo da porção z 1 m do eixo z com densidade linear de carga ρL kz ηCm Determinar a O potencial em um ponto qualquer sobre o plano z 0 b O potencial em um ponto do eixo z situado a uma altura h 2 m do plano z 0 Respostas a VA 0 b VB 1775 kV Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo IV ENERGIA E POTENCIAL 27 43 Um quadrado de vértices A000 BO10 C110 e DU00 possui uma distribuicado linear uniforme de carga com densidade py 10 pCm ao longo do lado AB uma carga pontual Q pC no vértice C uma carga pontual Q 10 pC no vértice D Determinar no centro P do quadrado a O potencial elétrico devido a cada uma das trés cargas b O potencial elétrico total devido as trés cargas Respostas a Vp 00127 V Vp2 0127 V VL 01584 V b Ver 0044 V 44 Um campo elétrico é dado em coordenadas cilindricas por iy fe m Conhecidos os pontos A304 B5130 e C1568 expressos em coordenadas cartesianas determinar a A diferenga de potencial Vp b O potencial Va se a referéncia zero de potencial esta no ponto B c O potencial V4 se a referéncia zero de potencial esta no ponto C d O potencial Va se areferéncia zero de potencial esta no infinito Respostas a Vag 2615 V b Va 2615 V c Va 2714 V d Va 3333 V 45 Uma superficie esférica no espaco livre definida por r 4 cm contém uma densidade superficial de carga de 20 uwCm Determinar o valor do raio ra em centimetros se a regiao compreendida entre as esferas de raios r 6 cmerra contém exatamente 1 mJ de energia Resposta ra 654 cm 46 Ocampo potencial no vacuo é expresso por V kp a Determinar a quantidade de carga na regiao cilindrica apbeOzl b Determinar a energia armazenada na regiao cilindrica apbe 0zl 1 1 1 1 1 Respostas a Q 27k b Wp 1ek b a 2 a be 47 Uma linha de cargas uniforme de 2 m de comprimento com carga total de 3 nC esta situada sobre 0 eixo z com o ponto central da linha localizado a 2 m da origem Num ponto P sobre 0 e1xo x distante 2 m da origem pedese a Determinar o potencial elétrico devido a linha de cargas b Determinar o potencial elétrico se a carga total for agora concentrada no ponto central da linha c Calcular e comentar sobre a diferenga percentual entre os dois valores de potencial obtidos Respostas a Vp 963 V b Veo 955 V Cc Veo VpzX 100Vepg 083 Uma carga concentrada produz um potencial menor do que esta mesma carga distribuida caso sejam iguais as distancias dos centros destas cargas ao ponto desejado 48 Uma carga Qo 10 UC esta colocada no centro de um quadrado de lado m e vértices A B C D Supondo o meio o vacuo determinar o trabalho necessario para a Mover a carga Qa 10 uC do infinito até fixala no vértice A do quadrado b Mover também a carga Qg 20 UC do infinito até fixala no vértice B do quadrado CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIVV EENNEERRG GIIAA EE PPO OTTEENNCCIIAALL 28 c Finalmente mover também a carga QC 30 µC do infinito até fixála no vértice C do quadrado Respostas a WA 1271 J b WB 4340 J c WC 0327 J 49 a Determinar o potencial VP no ponto P2 0 0 devido a uma carga total Q 2 nC distribuída uniformemente ao longo do eixo y de y 0 até y 2 m b Supondo que a mesma carga total Q 2 nC seja agora concentrada num ponto determinar em que posição esta deverá ser colocada ao longo do eixo y para produzir o mesmo potencial VP no ponto P2 0 0 obtido no item a Respostas a VP 79324 V b y 1072 m 410 a Determinar a fórmula para o cálculo da diferença de potencial entre 2 pontos quaisquer A e B devido a uma carga pontual Q no vácuo Supor a carga na origem b Determinar a fórmula para o cálculo da diferença de potencial entre 2 pontos quaisquer A e B devido a uma carga distribuída uniformemente numa linha infinita com densidade ρL no vácuo c Uma carga com densidade linear constante ρL está distribuída sobre todo o eixo z e uma carga pontual Q está localizada no ponto 1 0 0 Sejam os pontos A4 0 0 B5 0 0 e C8 0 0 Se VAB VBC 1 volt determinar os valores numérico de ρL e de Q O meio é o vácuo Respostas a πε B A o r 1 r 1 4 Q VAB b A B o L ln 2 ρ ρ πε ρ VAB c 8681 L ρ pCm Q 180004 pC 411 Sabendose que 2 2 2 y 4ln x 20z 2x y V V no vácuo determine o valor das seguintes grandezas no ponto P6 25 3 a V b E c D d ρv Respostas a 135 P V V b z y x P 20a 72 5 a 611 a E Vm c z y x P 177a 642a 541a D pCm2 d ρv 88 5 pCm3 412 Um dipolo z 1 p 20a nCm localizase na origem no vácuo e um segundo dipolo z 2 50a p nCm localizase em 0 0 10 Determine V e E no ponto médio entre os dipolos Resposta VM 25 2 V z M 4 32a E Vm CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VV CCO ONNDDUUTTO ORREE CONDUTORES DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 51 CORRENTE I E DENSI A corrente elétrica convencional representa o movimento de cargas positivas e é expressa por dt I dQ 0 Unidade de corrente Cs ou A A densidade de corrente de convecção volume nuvem de cargas com densidade volumétrica v J ρv Unidade de densidade de corrente Am Para um condutor com densidade de carga dos elétrons velocidade de arrastamento drift speed E v J e e e d µ ρ ρ Definindo σ ρeµe como condutividade do condutor em Sm obtemos finalmente E J σ densidade de corrente de condução A tabela a seguir mostra as expressões para cálculo da condutividade que o sinal menos é compensado pelo valor negativo da densidade volumétrica de carga negativa Líquido ou gás Condutor Semicondutor µ mobilidade da carga sempre m ρ densidade volumétrica de carga h e elétron Relação entre corrente e densidade de corrente ver figura A corrente dI que atravessa uma área dS é dada por ver figura J dS dI N de onde tem θ θ cos cos J dS dS J dI J dS dI Daí s J d S I CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO EESS DDIIEELLÉÉTTRRIICCO OSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA Capítulo V CONDUTORES DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA CORRENTE I E DENSIDADE DE CORRENTE J convencional representa o movimento de cargas positivas e é expressa por Unidade de corrente Cs ou A densidade de corrente de convecção J uma grandeza vetorial representa o movimento de um volume nuvem de cargas com densidade volumétrica ρv em Cm3 numa velocidade Unidade de densidade de corrente Am2 m densidade de carga dos elétrons ρv ρe onde os elétrons se deslocam com velocidade de arrastamento drift speed E v v e d µ µe mobilidade dos elétrons tem ρeµe E como condutividade do condutor em Sm obtemos finalmente densidade de corrente de condução Forma pontual da Lei de Ohm A tabela a seguir mostra as expressões para cálculo da condutividade σ de vários meios O sinal menos é compensado pelo valor negativo da densidade volumétrica de carga negativa Meio Condutividade σσσσ Sm Líquido ou gás σ ρ µ ρ µ Condutor σ ρe µe Semicondutor σ ρe µe ρh µh mobilidade da carga sempre m2V s densidade volumétrica de carga Cm3 lacuna ou buraco do inglês hole elétron Relação entre corrente e densidade de corrente ver figura A corrente dI que atravessa uma área dS é dada por ver figura de onde temse dS J N dI 29 CONDUTORES DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA convencional representa o movimento de cargas positivas e é expressa por uma grandeza vetorial representa o movimento de um numa velocidade v em ms onde os elétrons se deslocam com mobilidade dos elétrons temse como condutividade do condutor em Sm obtemos finalmente Forma pontual da Lei de Ohm de vários meios Observe sinal menos é compensado pelo valor negativo da densidade volumétrica de carga negativa CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VV CCO ONNDDUUTTO ORREE 52 CONTINUIDADE DA CORR A corrente através de uma superfície igual a razão do decréscimo de cargas região princípio da continuidade dt dQ s J dS I i onde dt dQi razão taxa de acréscimo incremento de cargas no tempo dentro da superfície Aplicando o teorema da divergência à expressão acima obtemos t J v ρ A corrente ou carga por segundo que sai de decréscimo de carga p 53 CONDUTORES METÁLICOS Definição de resistência de um condutor qualquer σ s a b ab dS E dL E I V R Para um condutor que possui seção reta uniforme cilíndrico da figura com área S e comprimento E dS E dL E I V R s 0 ab σ σ ℓ Exemplo Calcular R para o condutor em forma de cunha da figura para ρ ρφ E k h I S I J k d dz k d k R h 0 0 b a σ ρ φ ρ σρ ρ φ ρ ρ CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO EESS DDIIEELLÉÉTTRRIICCO OSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA CONTINUIDADE DA CORRENTE A corrente através de uma superfície fechada fluxo de cargas positivas para fora da superfície é de cargas positivas ou acréscimo de cargas negativas no interior da continuidade Matematicamente expressamos como Forma integral da equação da continuidade razão taxa de acréscimo incremento de cargas no tempo dentro da superfície ivergência à expressão acima obtemos Forma pontual da equação da continuidade A corrente ou carga por segundo que sai diverge de um pequeno volume é igual a razão de decréscimo de carga por unidade de volume em cada ponto CONDUTORES METÁLICOS RESISTÊNCIA R de um condutor qualquer Ω parâmetro positivo seção reta uniforme condutor cilíndrico da figura com área S e comprimento ℓ ES E σ ℓ S R σ ℓ Calcular R para o condutor em forma de cunha da figura para J ou I no sentido radial σ σρ ρ k a J h ln h k ln k a b b a σφ ρ ρ φ ρ σ ρ ρ 30 fluxo de cargas positivas para fora da superfície é ou acréscimo de cargas negativas no interior da Forma integral da equação da continuidade razão taxa de acréscimo incremento de cargas no tempo dentro da superfície Forma pontual da equação da continuidade de um pequeno volume é igual a razão ou I no sentido radial CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VV CCO ONNDDUUTTO ORREE 54 O MÉTODO DAS IMAGENS Aplicação Na solução de problemas envolvendo um plano condutor aterrado pela substituição deste por uma superfície equipotencial mais as Exemplo Calcular o campo elétrico Aplicando o método das imagens temos 2 1 E E E onde 1 E e 2 E são os campos no ponto P devido respectivamente a carga objeto carga original e a carga imagem Assim 1 2 2 o 2 R 2 1 o 1 a R 4 Q a R 4 Q E πε πε onde 1 1 R R R a 1 sendo R 2 2 R R R a 2 sendo Substituindo os valores temos 10 4 10 2 a a 2 36 10 4 10 10 E z y 9 9 π π π z y a 10 10 90 a a 2 2 90 E Daí z y 4035a 2897a E CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO EESS DDIIEELLÉÉTTRRIICCO OSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA O MÉTODO DAS IMAGENS Na solução de problemas envolvendo um plano condutor aterrado pela substituição deste por uma superfície equipotencial mais as cargas imagens como ilustra a figura Calcular o campo elétrico E no ponto P011 m para a configuração mostrada abaixo Aplicando o método das imagens temos são os campos no ponto P devido respectivamente a carga objeto carga original e a carga imagem aR2 z y 1 a a R o vetor distância orientado de Q sendo z y 2 3a a R o vetor distância orientado de Q valores temos 10 3a a 10 36 10 10 10 z y 9 9 π z y z y z y 3a 2 85 a a 3182 a 3a a z Vm Nota Conferir o sentido de E na figura 31 Na solução de problemas envolvendo um plano condutor aterrado pela substituição cargas imagens como ilustra a figura no ponto P011 m para a configuração mostrada abaixo o vetor distância orientado de Q1 Q a P o vetor distância orientado de Q2 Q a P na figura CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VV CCO ONNDDUUTTO ORREE 55 A NATUREZA DOS MATER Polarização P é definido como sendo o momento elétrico total por unidade de volume isto é lim p v 1 lim P v v n i 1 i 0 v onde n é o número de dipolos elétricos por unidade de volume A lei de Gauss relaciona a densidade de fluxo elétrico dS D Q Por analogia podese também relacionar o campo sendo esta carga chamada de carga de polarização dS P QP A lei Gauss em termos da carga total ε dS E Q o T onde QT Q QP soma da carga livre com a carga de polarização εo 88541012 permissividade elétrica do vácuo Substituindo as cargas pelas suas expressões com integrais obtemos a seguinte expressão geral que relaciona os 3 campos D E e P P E D o ε Para um material linear homogêneo e isotrópico mesma propriedade em todas as direções tem E P χeεo Cm2 sendo χe é a suscetibilidade elétrica do material constante é relacionada com a permissividade elétrica relativa εR grandeza também adimensional através da expressão 1 R e ε χ Combinando estas 3 últimas equações obtém E D ε onde ε εRεo sendo ε a permissividade elétrica absoluta CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO EESS DDIIEELLÉÉTTRRIICCO OSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS POLARIZAÇÃO P é definido como sendo o momento elétrico total por unidade de volume isto é v p lim total 0 Unidade Cm2 mesma unidade de é o número de dipolos elétricos por unidade de volume v A lei de Gauss relaciona a densidade de fluxo elétrico D com a carga elétrica livre Nota D sai ou diverge da carga livre positiva se também relacionar o campo P com uma carga QP que produz este campo carga de polarização Nota P sai ou diverge da carga de polarização carga total QT lei de Gauss generalizada é expressa por soma da carga livre com a carga de polarização permissividade elétrica do vácuo unidade Fm Substituindo as cargas pelas suas expressões com integrais obtemos a seguinte expressão geral que P para qualquer tipo de meio Nota No vácuo P 0 Para um material linear homogêneo e isotrópico mesma propriedade em todas as direções tem suscetibilidade elétrica do material constante adimensional permissividade elétrica relativa ou constante dielétrica do material grandeza também adimensional através da expressão Combinando estas 3 últimas equações obtémse permissividade elétrica absoluta do material dada em Fm 32 POLARIZAÇÃO P é definido como sendo o momento elétrico total por unidade de volume isto é mesma unidade de D carga elétrica livre Q isto é positiva que produz este campo carga de polarização negativa ressa por unidade Fm Substituindo as cargas pelas suas expressões com integrais obtemos a seguinte expressão geral que Para um material linear homogêneo e isotrópico mesma propriedade em todas as direções temse constante adimensional χ lêse csi Esta ou constante dielétrica do material CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VV CCO ONNDDUUTTO ORREE Relações usando as densidades volumétricas de carga livre polarização ρP e de carga total ρ dv Q v ρv dv Q P v P ρ dv Q T v T ρ 56 CONDIÇÕES DE CONTORN Condição de contorno para as componentes tangenciais Para o pequeno percurso fechado retangular da figura pode 0 dL E retângulo Fazendo h 0 tendendo a fronteira obtemos 0 L E L E t2 1t E Condição de contorno para as componentes normais Para o pequeno cilindro da figura pode interna cilindro Q D dS Fazendo h 0 tendendo a fronteira obtemos i Para a fronteira com carga S D S D S n2 n1 ρ ii Para a fronteira sem carga n2 n1 D D Neste caso D Relação de contorno se o meio 2 for um Componentes tangenciais Componentes normais D CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO EESS DDIIEELLÉÉTTRRIICCO OSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA Relações usando as densidades volumétricas de carga livre ρv ou simplesmente ρT D ρ v P P ρ T oE ρ ε CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA MATERIAIS DIELÉTRICOS PERFEITOS componentes tangenciais Para o pequeno percurso fechado retangular da figura podese aplicar válida para o campo E conservativo tendendo a fronteira obtemos t2 1t E E t2 1t E E Et é contínuo Condição de contorno para as componentes normais Para o pequeno cilindro da figura podese aplicar Lei de Gauss ndo a fronteira obtemos carga ρS 0 S S S n2 n1 D D ρ Neste caso D carga ρS 0 Neste caso Dn é contínuo Relação de contorno se o meio 2 for um condutor perfeito σ2 E2 D2 Componentes tangenciais E 1t 0 D 1t 0 as comp tangenciais se anulam s Dn1 ρ 1 s n1 E ε ρ existem somente comp normais 33 ou simplesmente ρ de carga de LÉTRICOS PERFEITOS conservativo Neste caso Dn é descontínuo 2 0 as comp tangenciais se anulam existem somente comp normais CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VV CCO ONNDDUUTTO ORREE 57 CAPACITÂNCIA Qualquer dispositivo formado por 2 condutor forma um capacitor figura cuja ε dL E dS E V Q C s o 58 EXEMPLOS DE CÁLCULO Análise do capacitor de placas planas paralelas dza a E dSa a E V Q C z z 0 d z z S 0 o ε Observe também as fórmulas Vo Ed S S Q E D ρ ε onde os campos E e D são considerados constantes no dielétrico do capacitor ideal Ex 1 Carregase um capacitor de placas pla constante Desconsiderando os efeitos de bordas capacitor ideal determinar as variações instantâneas sofridas por W a O espaço livre entre as placas é substituído por um dielétrico com b A fonte de tensão é removida com as placas afastadas tal que d Solução do caso 1a ver figura abaixo CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO EESS DDIIEELLÉÉTTRRIICCO OSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA Qualquer dispositivo formado por 2 condutores separados por um dielétrico forma um capacitor figura cuja capacitância é definida como F parâmetro positivo EXEMPLOS DE CÁLCULO DE CAPACITÂNCIA Análise do capacitor de placas planas paralelas d E 0 S E z z ε d S C ε onde os campos E e D são considerados constantes no dielétrico do capacitor ideal se um capacitor de placas planas paralelas no espaço livre com uma fonte de tensão constante Desconsiderando os efeitos de bordas capacitor ideal determinar as variações instantâneas sofridas por WE D E C Q V e ρs quando O espaço livre entre as placas é substituído por um dielétrico com εR A fonte de tensão é removida com as placas afastadas tal que d2 3d ver figura abaixo V2 V1 V mesma fonte de tensão E2 E1 E Vd D2 3 D1 D εR ε0 E C2 3 C1 C εR ε0 Sd ρS2 3 ρS1 ρS DN D Q2 3 Q1 Q ρS S W2 3 W1 W 12 C V2 ou W 12 34 onde os campos E e D são considerados constantes no dielétrico do capacitor ideal nas paralelas no espaço livre com uma fonte de tensão constante Desconsiderando os efeitos de bordas capacitor ideal determinar as variações R 3 3d1 mesma fonte de tensão ou W 12 εRε0 E2 vol CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VV CCO ONNDDUUTTO ORREE Solução do caso 1b ver figura abaixo Ex 2 Determinar C de um capacitor coaxial Para uma Gaussiana cilíndrica de raio a Qint erna D dS 2 Q D Q L D2 πρ πρ ρ περ ε L a 2 Q D E ρ περ a b ab o L a 2 Q V V V L ln 2 Q V o a b o ρ πε lnb a L 2 V Q C o πε Ex 3 Determinar C de um capacitor esférico Para uma gaussiana esférica de raio a r b Qint erna D dS 2 2 r 4 Q D Q D4 r π π r2 ar 4 Q D E πε ε πε a r b 2 ab o a r 4 Q V V πε V r 1 4 Q V o a b o CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO EESS DDIIEELLÉÉTTRRIICCO OSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA ver figura abaixo Q2 Q1 fonte de tensão removida ρS2 ρS1 ρS QS D2 D1 D DN ρS E2 E1 E Dε0 C2 C13 C εR ε0 Sd V2 3V1 V QC ou V E d W2 3 W1 W 12 C V2 ou W 12 capacitor coaxial de raios a e b a b Para uma Gaussiana cilíndrica de raio a ρ b e comprimento L L Q πρ ρ ρ ρ d a a a L ln b 2 Q πε capacitor esférico de raios a e b a b Para uma gaussiana esférica de raio a r b r r dr a a πε b 1 a 1 4 Q o 35 fonte de tensão removida V QC ou V E d ou W 12 εRε0 E2 vol CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VV CCO ONNDDUUTTO ORREE b 1 a 1 4 V Q C o πε Se b Ex 4 Determinar C de uma linha de transmissão com dois fios infinitos paralelos Seja uma configuração condutora constituída por 2 fios infinitos paralelos situados em um meio de permissividade ε conforme mostrado na figura abaixo Foi visto no capítulo 4 que a diferença de potencial entre 2 pontos A e B devido com carga uniformemente distribuída é dada por A B L AB ln 2 V ρ ρ πε ρ Para os 2 fios infinitos paralelos da figura com cargas simétricas com densidade linear uniforme o potencial do ponto Px y 0 em relação a um ponto qualquer O referência no plano x 0 é L 1 0 L PO ln 2 ln 2 V πε ρ ρ ρ πε ρ onde ρ1 e ρ10 ρ0 são as menores distâncias do fio 1 carga aos pontos P e O respectivamente ρ2 e ρ20 ρ0 são as menores distâncias do fio 2 carga Da figura temse 2 2 1 y a x ρ 2 2 2 y a x ρ Substituindo 03 e 04 em 02 e fazendo V 2 2 2 2 L y a x y a x ln 2 V πε ρ Seja V V1 constante uma superfície equipotencial Então o lugar geométrico dos pontos no espaço em que V V1 é obtido fazend V 4 2 2 2 2 e y a x y a x L 1 ρ πε onde k1 é uma constante arbitrária dependente de V 1 L 1 ln k 4 V πε ρ CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO EESS DDIIEELLÉÉTTRRIICCO OSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA Se b a 4 C πε capacitância do capacitor esférico isolado linha de transmissão com dois fios infinitos paralelos Seja uma configuração condutora constituída por 2 fios infinitos paralelos situados em um meio conforme mostrado na figura abaixo Foi visto no capítulo 4 que a diferença de potencial entre 2 pontos A e B devido com carga uniformemente distribuída é dada por ρA e ρB são as menores distâncias do fio aos pontos A e B Para os 2 fios infinitos paralelos da figura com cargas simétricas com densidade linear uniforme o potencial do ponto Px y 0 em relação a um ponto qualquer O referência no plano x 0 é 1 2 L 2 0 ln 2 ln ρ ρ πε ρ ρ ρ são as menores distâncias do fio 1 carga aos pontos P e O respectivamente são as menores distâncias do fio 2 carga aos pontos P e O respectivamente stituindo 03 e 04 em 02 e fazendo VPO V com a referência V0 0 implícita obtém 2 2 2 2 L 2 2 y a x y a ln x 4 πε ρ constante uma superfície equipotencial Então o lugar geométrico dos pontos no é obtido fazendo k1 é uma constante arbitrária dependente de V1 e expressa por 36 apacitância do capacitor esférico isolado linha de transmissão com dois fios infinitos paralelos Seja uma configuração condutora constituída por 2 fios infinitos paralelos situados em um meio Foi visto no capítulo 4 que a diferença de potencial entre 2 pontos A e B devido a um fio infinito são as menores distâncias do fio aos pontos A e B 01 Para os 2 fios infinitos paralelos da figura com cargas simétricas com densidade linear uniforme o potencial do ponto Px y 0 em relação a um ponto qualquer O referência no plano x 0 é 02 são as menores distâncias do fio 1 carga aos pontos P e O respectivamente aos pontos P e O respectivamente 03 04 0 implícita obtémse 05 constante uma superfície equipotencial Então o lugar geométrico dos pontos no 06 07 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VV CCO ONNDDUUTTO ORREE Desenvolvendo a expressão 06 temos 2 2 2 1 x y a 2ax k x 1 2ax k 1 k x 1 1 2 y a 1 k 1 2ax k x 2 2 1 1 2 2 2 1 1 k 2a y 1 k 1 a k x A equação 08 representa uma circunferência centrada em 1 k 1 a k h x 1 1 e 0 y e raio 1 k 2a k b r 1 1 De 09 podese isolar k1 do seguinte modo a ak h k h 1 1 a h a k1 h a h a h k1 Substituindo 11 em 10 a h a h 2a 1 a h a b h a h a h 2a a h b 2a a h a h a h b 2 2 a h a h b2 2 2 2 a h b 2 2 b h a Substituindo agora 12 em 11 e racionalizando o denominador 2 2 2 2 1 h h b h h b h h k ou 2 2 2 1 b b h h k CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO EESS DDIIEELLÉÉTTRRIICCO OSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA Desenvolvendo a expressão 06 temos 2 2 2 y a 2ax x 0 1 k y a 1 2 2 0 2 1 1 1 k k a A equação 08 representa uma circunferência centrada em 0 do seguinte modo Substituindo agora 12 em 11 e racionalizando o denominador 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b h h b h h b h h b h h b h b h 37 08 09 10 11 12 2 2 2 2 2 b b h h 13 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VV CCO ONNDDUUTTO ORREE Substituindo 13 em 07 b b h ln h 4 V 2 2 L 1 πε ρ De 14 podemos obter a capacitância de um capacitor formado por um condutor cilíndrico no potencial V V1 e um plano condutor no potencial V 0 separados por uma distância h ver figura abaixo Esta pode ser obtida pela definição de capacitância por 0 V L V Q C 1 L o ρ C Para b h obtém se a capacitância de um capacitor formado por um fio condutor de raio muito pequeno e igual a b e um plano condutor separados por uma distância h C A expressão 15 também permite cilíndricos nos potenciais V1 e 2h ver figura abaixo Esta capacitância obtida pela definição e da aplicação do método das i metade do valor encontrado em 15 isto é 2 V V L V Q C 1 1 L o ρ ρ Para b h obtém se a capacitância de um capacitor formado por 2 fios condutores de raios muito pequenos e iguais a b separados por uma distância 2h transmissão C CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO EESS DDIIEELLÉÉTTRRIICCO OSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA b b h ln h 2 2 2 L 2 2 πε ρ De 14 podemos obter a capacitância de um capacitor formado por um condutor cilíndrico no e um plano condutor no potencial V 0 separados por uma distância h ver figura abaixo Esta pode ser obtida pela definição de capacitância por πε b b h h ln L 2 C 2 2 h obtém se a capacitância de um capacitor formado por um fio condutor de raio muito pequeno e igual a b e um plano condutor separados por uma distância h ln 2h b L 2 C πε A expressão 15 também permite obter a capacitância do capacitor formado por 2 condutores V1 cargas simétricas separados um do outro por uma distância Esta capacitância obtida pela definição e da aplicação do método das imagens corresponde a metade do valor encontrado em 15 isto é 2 C V 2 L 1 L πε b b h h ln L C 2 2 Para b h obtém se a capacitância de um capacitor formado por 2 fios condutores de raios muito pequenos e iguais a b separados por uma distância 2h configuração de uma linha de ln 2h b L C πε 38 14 De 14 podemos obter a capacitância de um capacitor formado por um condutor cilíndrico no e um plano condutor no potencial V 0 separados por uma distância h ver 15 h obtém se a capacitância de um capacitor formado por um fio condutor de raio muito 16 obter a capacitância do capacitor formado por 2 condutores cargas simétricas separados um do outro por uma distância magens corresponde a 17 Para b h obtém se a capacitância de um capacitor formado por 2 fios condutores de raios configuração de uma linha de 18 Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo V CONDUTORES DIELETRICOS E CAPACITANCIA 39 59 EXERCICIOS PROPOSTOS 51 Uma carga esta distribuida com densidade linear de carga py mz nCm ao longo do segmento que se estende do ponto 00a ao ponto 003a sendo a 0 Sabendo que sobre o plano z 0 existe um plano condutor bastante grande pedese a Determinar a densidade superficial de carga na origem b Se esta carga linearmente distribuida fosse concentrada em um ponto determinar a posiao no eixo z que ela deveria ser colocada para obter a mesma solucao de a 2 3 Respostas a Ps O02 nCm b z 5 un a 15722a m a 52 Suponha que o plano z 1 m separa o espaco em duas regides com dielétricos de permeabilidades relativas gp 2 e Epo 4 A regiao 1 contém uma carga pontual de 10 nC situada na origem Determinar a partir das condigdes de contorno para materiais dielétricos perfeitos Dn Daz e Eu Ey 0 seguinte a O campo elétrico na regiao 1 aplicado ao ponto 0 2 1 b O campo elétrico na regiao 2 aplicado ao ponto 0 2 1 c O angulos formados pelos dois campos com a direcdo normal ao plano z 1 Respostas a E 95 2 a Vm b E 4a a Vm c 8 6344 e 82 7596 53 A regiao 1 definida por 0 74 rad contém um material dielétrico de permissividade relativa g 2 enquanto que a regidao 2 definida por 74 72 rad contém outro material dielétrico de permissividade relativa g2 4 Sabendose que a densidade de fluxo elétrico na regiaio 1 é dada por D 3a 4a 5a nCm determinar na regio 2 a Dy b Du c Dy d P Respostas a D 4a b D 6a 10a c D 6a 4a 10a d P 454 3a 754 54 A superficie de separacgao entre dois dielétricos é expressa pela equagao do plano dada por sty 1 O dielétrico 1 contém a origem e possui permissividade relativa p 2 e o dielétrico 2 possui pemissividade relativa p2 4 Na regiao do dielétrico 2 existe um campo elétrico uniforme expresso por E2 a 3a Determinar os seguintes parametros usando as condigédes de contorno quando necessario a n2versor normal ao plano do lado da regiao 2 b E2nc E2t d Ein e Et 1 1 Respostas a an2 GB 4a 3ay 12a b Ean 7q 4a 3a12a 1 2 c Eat Bb 9ax 36ay 12az d Ein BR 4ax 3ay 12az 1 e E1t B 9ax 36ay 12a Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo V CONDUTORES DIELETRICOS E CAPACITANCIA 40 55 Seja um condutor plano no potencial zero situado uma distancia h do eixo de um condutor 2 42 cilindrico de raio b no potencial Vj expresso por V Pi yy EO V sendo pr TUE o médulo da densidade de carga em Cm no cilindro no plano ou na linha equivalente de cargas supondo uniforme e a permissividade elétrica do meio Determinar a A capacitancia a partir da definigao entre o condutor plano e o condutor cilfndrico acima b A capacitancia entre dois condutores cilindricos paralelos mesmo raio b e potenciais simétricos V com seus eixos separados por uma distancia 2h c Repetir os itens a e b supondo b h 27 L L Respostas a C ATEN b C in Vn 6 innVi 0 0 2me L L c C ec In2hb In2hb 56 a Determinar a expressdo que fornece a diferenga de potencial Vag entre 2 pontos A e B no espaco livre devido a uma linha infinita de carga com densidade linear constante pr b Uma linha infinita de carga esta paralela a um plano condutor Determinar 0 potencial V no ponto P eqiiidistante entre o plano condutor com V 0 e a linha com p 1007 Cm c Para a mesma configuragao do item b determinar a magnitude do campo elétrico resultante E neste mesmo ponto P 4 Respostas a Vap PL In PB b Vp 50 In3 5493 V c E 400 Vm 2TE Pa 3h Nota h distancia da linha infinita ao plano condutor 57 Uma configuracgao de carga é constituida por duas cargas pontuais Q Q e Qo Q situadas em 0 a 0 e 2a a 0 respectivamente e um plano condutor aterrado V 0 em y Determinar em fungao de Q ae o a O potencial elétrico no ponto Pa a 0 b O vetor campo elétrico no ponto Pa a 0 c O vetor forga resultante sobre a carga Q 2 25 2 4 Respostas a Vp0 b Ep 255 5 c F2 Qe W2 49 Gq ay SOZE ga 647a 58 Um condutor de cobre condutividade o 58 107 Sm tem a forma de uma cunha truncada de dimensées 2 p 12 cm 0 0 30 0z4 cm 4 ae Se E 10 ap Vm no interior do condutor determinar p a A corrente total que atravessa o condutor b A resisténcia do condutor c O valor do potencial no centro do condutor em relagdo a uma de suas extremidades Respostas a I 12147 A b R 1475 uQ c Vpp 054107 V ou Vp 125107 V CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VV CCO ONNDDUUTTO ORREE 59 A região entre as placas planas de um capacitor de placas paralelas é constituída por 3 camadas diferentes de dielétricos dispostas como na figura abaixo dielétrico S área a comprimento Determinar a As capacitâncias individuais dos três capacitores formados C total resultante CT b As diferenças de potencial existentes nos dielétricos 1 e 2 isto é V c As magnitudes dos campos elétricos nos três dielétricos isto é E d As magnitudes das densidades de fluxo nos três dielétricos isto é D Respostas a C C 2 1 b V V 2 1 d D D 2 1 510 Um arco carregado com carga distribuída com densidade constante um círculo de raio a Sabendo apoiadas sobre um plano condutor porém isoladas deste determinar o campo elétrico obtido no centro do círculo formado pelo arco Resposta y o L a E πε a ρ 511 A capacitância de um capacitor coaxial de comprimento L e condutores interno e externo de raios a e b respectivamente é dada pela expressão πε a b ln L 2 C onde ε representa a permissividade elétrica do meio entre os condutores Seja agora a configuração obtida com três cilindros condutores coaxiais todos de espessura desprezível comprimento L e raios dielétrico de permissividade dielétrico de permissividade CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO EESS DDIIEELLÉÉTTRRIICCO OSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA A região entre as placas planas de um capacitor de placas paralelas é constituída por 3 camadas diferentes de dielétricos dispostas como na figura abaixo ε comprimento Determinar acitâncias individuais dos três capacitores formados C1 C2 As diferenças de potencial existentes nos dielétricos 1 e 2 isto é V1 e V As magnitudes dos campos elétricos nos três dielétricos isto é E1 E2 As magnitudes das densidades de fluxo nos três dielétricos isto é D1 a S 2 εo a S C o 3 ε e a S 2 C o T ε 2 V c 2a E1 V 4a E2 V e 3a E3 V 2a εoV e a V D o 3 ε Um arco carregado com carga distribuída com densidade constante ρL representa a metade de Sabendose que este arco está em pé com apenas suas extremidades apoiadas sobre um plano condutor porém isoladas deste determinar o campo elétrico obtido no centro do círculo formado pelo arco Nota Adotouse o plano condutor situado sobre y 0 A capacitância de um capacitor coaxial de comprimento L e condutores interno e externo de respectivamente é dada pela expressão representa a permissividade elétrica do meio entre os condutores Seja agora a configuração obtida com três cilindros condutores coaxiais todos de espessura desprezível comprimento L e raios a 2a e 4a Entre os condutores interno e central existe um elétrico de permissividade ε1 εo e entre os condutores central e externo existe um dielétrico de permissividade ε2 2εo 41 A região entre as placas planas de um capacitor de placas paralelas é constituída por 3 ε permissividade do e C3 e a capacitância e V2 2 e E3 1 D2 e D3 representa a metade de com apenas suas extremidades apoiadas sobre um plano condutor porém isoladas deste determinar o campo elétrico E situado sobre y 0 A capacitância de um capacitor coaxial de comprimento L e condutores interno e externo de representa a permissividade elétrica do meio entre os condutores Seja agora a configuração obtida com três cilindros condutores coaxiais todos de espessura Entre os condutores interno e central existe um e entre os condutores central e externo existe um Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo V CONDUTORES DIELETRICOS E CAPACITANCIA 42 a Determinar os valores das trés capacitancias obtidas com esta configuraao b Se uma tensao V é aplicada entre os condutores interno e externo determinar as tensOes que surgirao entre os condutores interno e central V e entre os condutores central e externo V2 ambas tomadas em porcentagem de V 2neL 4neL 4neL Respostas a C 2 C 2 C In2 In2 31In2 b V 6667 de V e V2 3333 de V 512 A figura mostra uma concha de metal semiesférica de raio b 1 m cheia de 4gua do mar condutividade o 4 Sm Uma bola de metal de raio a 01 m flutua no centro da concha ficando a metade mergulhada na agua Pedese a Determinar a resisténcia total entre a bola e a concha b Se uma voltagem Vo 1 volt for aplicada entre os dois condutores calcular far acorrente resultante Ai aeana MaDe uirinean e a densidade de corrente na regiao entre a bola e a eee HEC concha supondo fungao somente de r CHEE RECS PESO By campo elétrico na regiao entre a bola e a concha UES ES NRA STS 1 1 1 hee eee ee eee Respostas a R 0358Q0 276a b 0444 O11 b1279 A Ja Am Ea Vim r rr 513 A figura mostra dois blocos infinitos de dielétricos perfeitos e paralelos rodeados pelo espaco livre onde na regiio 3 E6a Vm e P18a pCm Se P244 pCm Determinar Ey a Ep3 4 1 b r2 Qem PC 2 eg cone o eee eo c Ey EEE EEE d a diferenga de potencial através das regioes 2 Sem FQ uN nein 3 pe RBI EEE BIDLEQogggnsgiiggggiggeggiggnggigggsgicecigcccs Respostas a R3 1339 b eR 1512 eore c E 8004a Vm 8 d V V2 V3 0106 0300 0406 V 514 Uma esfera de raio a éfeitade um dielétrico homogéneo com permissividade elétrica r constante A esfera esta centrada na origem no espaco livre Os campos de potencial no interior e exterior da esfera séo expressos respectivamente por 3rE cos aE p 1 Vint e Vay r E cos 8 R cos E constante Ep 2 re p 2 a Mostrar que E é uniforme isto 6 possui médulo constante b Mostrar que E Ea para ra c Mostrar que estes campos obedecem a todas as condigdes de fronteira do dielétrico emra Atencao Cuidado para nao esquecer o sinal negativo das express6es acima CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VV CCO ONNDDUUTTO ORREE Respostas a ε 3E E R o int b o ext cos E E c De Eext De Eint Logo de N D 515 Um capacitor coaxial de raio interno contém duas camadas dielétricas sendo uma na região 1 definida por outra na região 2 definida por a Determinar a capacitância do capacitor coaxial b Determinar Dρ e Eρ em c na região 2 próximo a fronteira com a região 1 sabendo referência e V 100 volts em Respostas a C C C C C 2 1 1 2 b D1 10746 nCm 516 Dado a φ ρ 2 a 10 J 4 sen a a região do plano x 0 limitada por 0 b a região do plano y 0 limitada por 0 Atenção O problema é mais fácil de resolver em co Fazer uma figura ilustrativa para facilitar a visualização Respostas a I 20 mA b 517 Sabendo as equações D isotrópico a Demonstrar as seguintes relações para a polarização na fronteira entre 2 dielétricos perfeitos P P 1 R 2 R 1t t2 ε ε partindo das condições de contorno normal b Determinar a constante dielétrica ou permissividade elétrica relativa qual a densidade de fluxo elétrico é quatro vezes a polarização Atenção Empregar somente as fórmulas dadas acima para resolver os dois itens Respostas a Demonstração b CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO EESS DDIIEELLÉÉTTRRIICCO OSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA θ θ θ sen a cos a 2 r portanto 2 3E E R o int ε o z r E a sen a cos a θ θ θ pois cos a a r z Vext e ra r R R o ext sen cos a 2 3E E θ ε ε Vint e ra r R o int sen a 2 cos a 3E E θ θ ε θ N2 N1 D N N int R ext E E ε e de T T1 E E Um capacitor coaxial de raio interno a 2 cm raio externo b 4 cm e comprimento L 1 m contém duas camadas dielétricas sendo uma na região 1 definida por a outra na região 2 definida por c ρ b com εR2 4 Sendo c 3 cm pede Determinar a capacitância do capacitor coaxial em ρ c na região 1 próximo a fronteira com a região 2 e em na região 2 próximo a fronteira com a região 1 sabendose que V 0 em referência e V 100 volts em ρ a 20255 pF 77351pF 27441 27441 77351 10746 nCm2 E1 6068 kVm D2 10746 nCm φ ρ φ 2 a a cos Am2 determinar a corrente que cruza 0 limitada por 0 y 2 cm e 0 z 1 cm na direção 0 limitada por 0 x 2 cm e 0 z 1 cm na direção O problema é mais fácil de resolver em coordenadas cilíndricas Fazer uma figura ilustrativa para facilitar a visualização 20 mA b I 20 mA P oE ε e E D ε para um dielétrico linear homogêneo e Demonstrar as seguintes relações para a polarização na fronteira entre 2 dielétricos 1 1 e 1 1 P P R1 2 R R2 1 R 1 n n2 ε ε ε ε partindo das condições de contorno normal n2 n1 D D e tangencial rminar a constante dielétrica ou permissividade elétrica relativa qual a densidade de fluxo elétrico é quatro vezes a polarização Empregar somente as fórmulas dadas acima para resolver os dois itens a Demonstração b εR 43 43 2 constante θ cos e θ θ sen a az T N ext ext E E a θ θ T N int int E E 2 T T T int ext E E 4 cm e comprimento L 1 m ρ c com εR1 2 e pedese na região 1 próximo a fronteira com a região 2 e em ρ se que V 0 em ρ b 10746 nCm2 E2 3034 kVm determinar a corrente que cruza 1 cm na direção ax 1 cm na direção ay cilíndricas para um dielétrico linear homogêneo e Demonstrar as seguintes relações para a polarização na fronteira entre 2 dielétricos e tangencial t2 1t E E rminar a constante dielétrica ou permissividade elétrica relativa εR do material no Empregar somente as fórmulas dadas acima para resolver os dois itens CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VV CCO ONNDDUUTTO ORREE CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO EESS DDIIEELLÉÉTTRRIICCO OSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA Anotações do Capítulo V 44 Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO i Capitulo VI EQUACOES DE POISSON E DE LAPLACE 45 Capitulo VI EQUACOES DE POISSON E DE LAPLACE 61 IMPORTANCIA DAS EQUACOES DE POISSON E LAPLACE Veja no quadro abaixo uma comparacgao de 2 procedimentos usados para a determinagao da capacitancia de um capacitor Os passos do primeiro sao baseados nos conceitos tedricos dos capitulos 2 até 5 os quais dependem inicialmente do conhecimento da distribuicgéo de carga grandeza esta de dificil obtengao pratica Por outro lado o segundo procedimento apresenta uma situagao mais realistica a qual requer primeiramente a obtengao do potencial através das equacdes de Poisson ou Laplace Estas equag6es e este novo procedimento sao abordados neste capitulo Quadro Procedimentos para caélculo da Capacitancia de um Capacitor Procedimento I Antigo Procedimento II Novo P Considerase conhecida a expressado da densidade Considerase conhecida a expressdo que fornece o a superficial de carga Ps de um dos condutores do potencial V em todos os pontos do capacitor Etapa capacitor Nota Se a carga deste condutor nao for incluindo a diferenca de potencial Vo entre os 2 positiva trabalhar com o mddulo de Ps condutores i Calculase a carga do condutor Calculase o vetor E no dielétrico Qf ps dS Evv i Calculase o vetor D no dielétrico Calculase o vetor D no dielétrico v1 5 DdSQ Gauss DeE Calculase 0 vetor E no dielétrico Calculase a densidade Ps em um condutor de iii ED le preferéncia o condutor Positivo D ID Ps N na superficie condutora Calculase a ddp Vo entre os condutores Calculase a carga total no condutor escolhido iv ALL Q Ps dS B Calculase finalmente a capacitancia do capacitor Calculase finalmente a capacitancia do capacitor v C Q C Q Vo Vo 611 Equacao de Poisson VeD Py DeE VleVvp VleVvp EVV Se a permissividade for constante obtemos VVV Pv oy Poisson E E 612 Equacao de Laplace Se ainda a densidade volumétrica py for nula dielétrico perfeito obtemos Laplace Nota V VV divergéncia do gradiente divgrad Laplaciano ou nabla 2 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVII EEQ QUUAAÇÇÕ ÕEESS DDEE PPO OIISSSSO ONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 46 62 TEOREMA DA UNICIDADE Se uma resposta do potencial satisfaz a equação de Laplace ou a equação de Poisson e também satisfaz as condições de contorno então esta é a única solução possível 63 EXEMPLOS DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE A seguir serão mostrados vários exemplos de solução da Equação de Laplace para problemas unidimensionais isto é onde V é função somente de uma única variável Os tipos de exemplos possíveis são 1 V fx sendo x coordenada cartesiana válido também para V fy e V fz 2 V fρ sendo ρ coordenada cilíndrica 3 V fφ sendo φ coordenada cilíndrica válido também se φ é coordenada esférica 4 V fr sendo r coordenada esférica 5 V fθ sendo θ coordenada esférica Ex1 Cálculo de V fx sendo x coordenada cartesiana 0 2V 0 x V 2 2 0 dx d V 2 2 Integrando 1a vez A dx dV Integrando 2a vez B Ax V onde A e B são as constantes de integração que são determinadas a partir de condições de contorno ou de fronteira estabelecidas para a região em análise Condições de contorno x constante superfície plana Sejam 2 2 1 1 x x em V V x x em V V Substituindo acima obtemos A e B como 1 2 1 2 x x V V A e 1 2 1 2 1 2 x x V x V x B Logo 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 x x V x V x x x x V V V Suponha agora que as condições de contorno sejam estabelecidas da seguinte maneira d x x em V V V 0 x x em 0 V V 2 o 2 1 1 Assim temos d V A o e B 0 d x V V o 0 x d Lf CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VI EQUACOES DE POISSON E DE LAPLACE 47 Etapas de calculo da capacitancia C do capacitor de placas formado V i EVVa d V Gi Dcb2q d eco eV iil Ps D D D dd eV iv Q ps dSpS ES eV Sd S v C Q 2 Mesmo resultado obtido na secao 58 Vy Vy d Ex2 Calculo de V fp sendo p coordenada cilindrica 1 V Vv0 toto 0 p0 pdp dp Integrando 1 vez p W A dp Rearrajando e integrando 2 vez V A Inp B Condic6es de contorno pconstante superficie cilindrica V0 empb refer aera De P b a meme VV em pa Q Rd Dai obtémse A e B e substituindo acima Se NV Vy SSS Inbp we VV pb Rn Inba a P Mt Etapas de cdlculo da capaciténcia C do om Capacitor capacitor coaxial formado ep axle Va 2 Bvyq ete Pip Vo dG op Inba bp Inba p 8 V i Debe1 Inba p eco eV ii p D densidade superficial no condutor interno c carga Q pa a Inba eV iv dS p S 2naL vy Q kpsdS p alnba 27eL v C Q Mesmo resultado obtido na secgao 58 Ex 2 Vv Inba CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVII EEQ QUUAAÇÇÕ ÕEESS DDEE PPO OIISSSSO ONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 48 Ex 3 Cálculo de V fφφφφ sendo φφφφ coordenada cilíndrica 0 2V 0 d 1 d V 2 2 2 φ ρ ρ 0 Fazendo ρ 0 0 d d V 2 2 φ Integrando 1a vez A d dV φ Rearrajando e integrando 2a vez B A V φ Condições de contorno φ constante superfície semiplana radial nascendo em z φ α φ V em V 0 em 0 V o Daí obtémse A e B e substituindo acima α φ Vo V Nota Calcular a capacitância do capacitor formado por dois planos finitos definidos por φ 0 a ρ b 0 z h Adotar V 0 φ α a ρ b 0 z h Adotar V Vo Desprezar os efeitos das bordas Resposta a α ln b ε C h Ex 4 Cálculo de V fr sendo r coordenada esférica 0 dr dV dr r d r 1 0 V 2 2 2 r 0 Integrando 1a vez A dr r2 dV Rearranjando e integrando 2a vez B r A V Condições de contorno r constante superfície esférica a V em r V refer b 0 em r V o b a CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVII EEQ QUUAAÇÇÕ ÕEESS DDEE PPO OIISSSSO ONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 49 Daí obtémse A e B e substituindo acima b 1 a 1 b 1 r 1 V V o Etapas de cálculo da capacitância C do capacitor esférico formado i r 2 o r a r 1 b 1 a 1 V r a V V E ii r 2 o a r 1 b 1 a 1 V E D ε ε iii 2 o r a n s a 1 b 1 a 1 V D ε ρ densidade superficial no condutor interno c carga Q iv π ε s ρ 2 2 o s 4 a a 1 b 1 a 1 V ds Q v b 1 a 1 4 V Q C o πε Mesmo resultado obtido na seção 58 Ex 3 Ex 5 Cálculo de V fθθθθ sendo θθθθ coordenada esférica 0 2V 0 d dV sen d d sen r 1 2 θ θ θ θ r 0 θ 0 θ π Fazendo r 0 θ 0 e θ π 0 d dV sen d d θ θ θ Integrando 1a vez A d dV sen θ θ Rearrajando e integrando 2a vez B 2 Aln tg V θ Condições de contorno θ constante superfície cônica θ α θ π V em V 2 em 0 V o α π2 Daí obtémse A e B e substituindo acima 2 ln tg 2 V ln tg V o α θ CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVII EEQ QUUAAÇÇÕ ÕEESS DDEE PPO OIISSSSO ONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 50 Nota Calcular a capacitância do capacitor formado por dois cones finitos definidos por θ π2 0 r r1 0 φ 2π Adotar V 0 θ α 0 r r1 0 φ 2π Adotar V Vo Desprezar os efeitos das bordas Resposta 2 tg r 2 C 1 α πε ln 64 EXEMPLO DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE POISSON Exemplo A região entre dois cilindros condutores coaxiais com raios a e b conforme mostrado na figura abaixo contém uma densidade volumétrica de carga uniforme ρV Se o campo elétrico E e o potencial V são ambos nulos no cilindro interno determinar a expressão matemática que fornece o potencial V na região entre os condutores assumindo que sua permissividade seja igual à do vácuo Solução Equação de Poisson o v 2 V 1 V ε ρ ρ ρ ρ ρ Integrando pela 1a vez ρ ρ ε ρ ρ ρ ε ρ ρ ρ A 2 V A 2 V o v 2 o v 01 Porém sabese que E E ρ ρ ρ ρ V V V V E a E E 02 Substituindo 02 em 01 temos ρ ρ ε ρ ρ A 2 V o v E 03 1a Condição de Contorno Obtenção de A 0 E para ρ a 04 Substituindo 04 em 03 temos 2 o v o v 2 A A 2 0 a a a ε ρ ε ρ 05 Substituindo 05 em 01 temos ρ ε ρ ρ ε ρ ρ 2 o v o v 2 2 V a 06 Integrando pela 2a vez B 2 2 2 V 2 o v 2 o v ρ ε ρ ρ ε ρ a ln 07 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVII EEQ QUUAAÇÇÕ ÕEESS DDEE PPO OIISSSSO ONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 51 2a Condição de Contorno Obtenção de B V 0 para ρ a 08 Substituindo 08 em 07 temos a a a a a a ln ln 2 o v 2 o v 2 o v 2 o v 2 4 B B 2 2 2 0 ε ρ ε ρ ε ρ ε ρ 09 Substituindo 09 em 07 temos a a a a ln 2 4 ln 2 4 V 2 o v 2 o v 2 o v 2 o v ε ρ ε ρ ρ ε ρ ρ ε ρ V ln 2 4 V 2 o v 2 2 o v ρ ε ρ ρ ε ρ a a a 10 65 SOLUÇÃO PRODUTO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE Suponha o potencial seja função das variáveis x e y de acordo com a seguinte expressão XY fx f y V onde X fx e Y fy 01 Aplicando a equação de Laplace obtemos 0 2V 0 y V x V 2 2 2 2 02 01 02 0 y Y X x X Y 2 2 2 2 03 Dividindo 03 por XY 0 y Y Y 1 x X X 1 2 2 2 2 Separando os termos somente dependentes de x dos termos somente dependentes de y escrevemos 2 2 2 2 dy d Y Y 1 dx d X X 1 04 Como X fx e Y fy então para que a equação 04 seja verdadeira cada um dos membros de 04 deve resultar em uma mesma constante Chamando esta constante de α2 temos 2 2 2 dx d X X 1 α 05 2 2 2 dy d Y Y 1 α 06 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVII EEQ QUUAAÇÇÕ ÕEESS DDEE PPO OIISSSSO ONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 52 Reescrevendo 05 e 06 temos X dx d X 2 2 2 α 07 Y dy d Y 2 2 2 α 08 Solução da equação 07 pelo Método de Dedução Lógica Basta responder a seguinte pergunta Qual é a função cuja segunda derivada é igual a própria função multiplicada por uma constante positiva Solução 1 Função trigonométrica hiperbólica em seno ou coseno Assim h x B h x A X α α sen cos 09 Solução 2 Função exponencial Assim x x B e A e X α α 10 Solução da equação 08 pelo Método de Dedução Lógica Basta responder a seguinte pergunta Qual é a função cuja segunda derivada é igual a própria função multiplicada por uma constante negativa Solução 1 Função trigonométrica em seno ou coseno Assim y D y C Y α α sen cos 11 Solução 2 Função exponencial complexa Assim j y j y D e C e Y α α 12 Nota Veja no Anexo I a solução da equação diferencial 07 por série infinita de potências Solução final da equação 01 Substituindo 09 e 11 em 01 obtemos finalmente y D y h x C B h x A XY V α α α α sen cos sen cos 13 sendo que as constantes A B C e D são determinadas pelas condições de contorno do problema Exemplo Calcule o potencial na região interna da calha retangular da figura São conhecidos todos os potenciais nos contornos metálicos da calha Observe que temos neste caso V fx fy Partir da expressão 13 obtida acima Solução Pela figura temos as condições de contorno i V 0 em x 0 ii V 0 em y 0 iii V 0 em y d 0 x c iv V Vo em x c 0 y d CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVII EEQ QUUAAÇÇÕ ÕEESS DDEE PPO OIISSSSO ONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 53 Aplicando as condições i e ii em 13 obtemos A C 0 e chamando BD V1 chegamos a y h x V y h x BD XY V 1 α α α α sen sen sen sen 14 e aplicando a condição iii V 0 em y d temos d h x V 0 1 α α sen sen 210 n d n π α 15 Substituindo α de 15 em 14 d y n d h n x V V 1 π π sen sen 16 Para a condição iv é impossível escolher um n ou V1 de modo que V Vo em x c para cada 0 y d Portanto devese combinar um número infinito de campos de potenciais com valores diferentes de n e valores correspondentes de V1 isto é V1n Assim genericamente devemos ter d n y d h n x V V 1n 0 n π π sen sen 0 y d 17 Aplicando agora a última condição de contorno iv V Vo em x c 0 y d obtemos d n y d h n c V V 1n n 0 o π π sen sen 0 y d 18 ou d n y b V n n 0 o π sen 0 y d 19 onde d h n c V b 1n n π sen 20 A equação 19 pode representar uma série de Fourier em seno para fy Vy Vo em 0 y d região de interesse e fy Vy Vo em d y 2d repetindo a cada período T 2d O gráfico desta função é mostrado na figura abaixo Sendo a função ímpar o coeficiente bn é dado por d dy fy sen n y T 2 b T y 0 n π n0123 ou d dy sen n y V d 1 d dy V sen n y d 1 b o d 2 y d o d y 0 n π π Resolvendo as integrais obtemos n ímpar para n 4V b o n π 21 e n par para bn 0 Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VI EQUACOES DE POISSON E DE LAPLACE 54 Substituindo b de 21 em 20 e isolando V chegamos a AV Vin 22 nic nt senh d Finalmente substituindo 22 em 17 obtemos a expressao para 0 potencial como ce AV V Fro seg h O son DY 0xc0yd 23 nl h nic d d impar nv sen a ou senh nm sen nny 4Vo d d V YY O0xc0yd 24 T nl nic impar 1 Sen h a 66 EXERCICIOS PROPOSTOS 61 Num meio uniforme de permissividade existe uma distribuigdéo de cargas com densidade volumétrica pyr k ocupando uma regiao esférica oca definida em coordenadas esféricas por a r b Assumindo que o potencial seja zero em r a determinar pela equacao de LaplacePoisson 0 campo elétrico Er e o potencial Vr dentro das regides a Orsa b asrsb c rab Nota Podese usar a Lei de Gauss para obter a segunda condicio de contorno para E Respostas a Er 0 e Vr 0 3 2 3 2 k a k r a 3a b Elr r Jar e Vir Bt li LE r 3 3 3 3 2 2 k bo k 3 c Br J Jae vipa fee 32 38 3 r2 3 r 2 2 62 Na regiao interna entre os planos z 0 e z 2a foi colocada uma carga uniformemente distribuida com densidade volumétrica py Na regiao externa aos planos 0 meio é somente o vacuo Determinar a distribuigdo de potenciais para a A regiao interna entre os planos definida por 0 z 2a Nota A primeira condicao de contorno é obtida fixando a referéncia de potencial zero em z 0 A segunda condiao de contorno é obtida verificando onde o campo elétrico é nulo baseandose na simetria da configuraao de cargas b A regiao externa entre os planos definida por z 2 2a Nota As condigdes de contorno devem ser obtidas partindo dos resultados do item anterior Z a Respostas a V 2 a b V a Py z 2a Eo 2 Eo Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VI EQUACOES DE POISSON E DE LAPLACE 55 63 Dados os campos de potencial V3xy V e V 52r Toso V pedese a Verificar se estes campos de potencial satisfazem a Equacao de Laplace b Determinar para cada campo de potencial acima a densidadevolumétricade carga no ponto P05 15 10 no espago livre Respostas a V satisfaz dielétrico perfeito e V nao satisfaz a Equacdo de Laplace b py 0 dielétrico perfeito para V e py 28397 pCm para V 64 Seja V Alntg0 2 B a expressao algébrica para o calculo do potencial elétrico no dielétrico entre dois cones condutores coaxiais sendo 8 o angulo medido a partir do eixo dos cones e A e B duas constantes Sejam estes cones condutores definidos por 8 60 e 8 120 separados por um espaco infinitesimal na origem O potencial em Pr1 6 60 d 90 é 50 V e o campo elétrico em Qr2 8 90 d 120 é S50agVm Determinar a O valor do potencial V no ponto Q b A diferenga de potencial V entre os dois cones c O Angulo no qual o potencial elétrico é nulo Respostas a Va 493 V b V 10986 V c 8 8718 65 Suponha que o espaco livre seja preenchido com uma carga distribuida com densidade volumétrica de carga py keox Cm Sejam os valores do quadro abaixo e k 6 10 Pedese Vx V Ex Vm a Determinar as expressdes matemiaticas de a a ee ee Vx e Ex PS b Completar os valores de Vx e Ex no pO 1200 quadro PSs kx3 kx Respostas a Vx 1500x e Ex 1500 b VoxV ExVm P1500 66 A figura mostra um capacitor de placas Lee x paralelas com dois dielétricos regides de é permissividades relativas p Ep2 xid Pedese a Os valores das diferengas de potenciais ML y Vio e V2 nas 2 regides em fungao da Re ale tensdo da bateria V n b As express6es matematicas de Vx e Ve V2x nas 2 regides determinadas a partir eee Vig da equacgaéo de Laplace e condicgdes de contorno apropriadas x0 V 2V V V Respostas a Vig 2 e Von b Vj x 2 x ec V5x 2 2x d p Ww 20 x 3 2x aq Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VI EQUACOES DE POISSON E DE LAPLACE 56 67 Um capacitor é constituido de duas placas planas condutoras situadas em 0 0 e O a As placas sao limitadas pelos cilindros p ae p be pelos planos z 0 ez h Se a diferenga de potencial entre as placas condutoras for Vo pedese a Determinar a expressao matematica do potencial V na regiao partindo da equagao de Laplace b Determinar a express4o matematica da capacitancia c Dizer se é possivel obter a mesma expressao da capacitancia do item anterior partindo da Lei de Gauss empregando uma superficie gaussiana Justificar sua resposta d Determinar a separagao que conduz a mesma capacitancia do item b quando as placas sao colocadas numa posicaéo paralela com o mesmo dielétrico entre elas Nota Assumir a permissividade do dielétrico como sendo a do vacuo Vv Eoh b Respostas a V2 b CIn a a a c Nao é possivel obter uma superficie gaussiana para a solucao pela Lei de Gauss pois em qualquer plano radial cte D nao é constante D f p apesar de ser normal a estes planos d d baaInba 68 Num dispositivo 0 potencial elétrico é fungéo somente da variavel z possuindo uma regiao com densidade volumétrica de carga py Pzz1 e condicdes de fronteira dadas por E 0 em z0 e VOem zzZ Determinar para qualquer ponto nesta regiao a O potencial elétrico V b Ocampo elétrico E Respostas a V Po 3 73 b E Po 2 a 6 Zi 2 Zi 69 a Desenvolver as equagdes de Poisson e Laplace para um meio linear homogéneo e isotrépico b Sendo v campo vetorial qualquer e f campo escalar qualquer demostrar a seguinte identidade vetorial V f V Vf ev V vf Sugestao Usar o sistema de coordenadas cartesianas para facilitar sua demonstraao c De que maneira deve a permissividade elétrica variar em um meio naohomogéneo sem carga de modo que a equagao de Laplace continue valida Sugestao Iniciar pelo desenvolvimento do item a supondo variando espacialmente com a distancia Usar também a identidade vetorial do item b Respostas a Equacao de Poisson VvV p Equagao de Laplace py 0 Vv0 b Demonstraao c Fazendo na identidade vetorial acima f e V VV e tomando VV 0 Laplace obtémse Vee E0 logo Ve L E ea permissividade elétrica deve variar somente numa direcéo perpendicular ao campo elétrico E 610 a Demonstrar partindo da equagaéo de Laplace que a capacitancia C de um capacitor esférico formado por 2 superficies condutoras esféricas de raios a e b b a separadas Says ar eet Ane por um dielétrico de permissividade elétrica é dada por C T 1 ab CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVII EEQ QUUAAÇÇÕ ÕEESS DDEE PPO OIISSSSO ONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 57 b Determinar a capacitância CESFERA de um capacitor esférico isolado formado por uma esfera de cobre de raio 9 cm no vácuo c Se uma camada de um dielétrico uniforme com εR 3 de espessura d é colocada envolvendo a esfera de raio 9 cm do item b determinar d tal que a nova capacitância total equivalente seja 2 CESFERA Atenção Note que a configuração final é de 2 capacitores esféricos dispostos em série Respostas a Demonstração b CESFERA 4πεoa 10 pF b c d 27 cm 611 Dada a equação diferencial de segunda ordem 0 X 2xX X considere uma solução na forma de série infinita de potências e calcule os valores numéricos dos coeficientes a2 até a6 desta série sendo a0 1 e a1 2 Atenção Como X é função somente de x fazer 0 n nxn X a Respostas a2 12 a3 13 a4 18 a5 112 a6 7240 612 Sabendose que uma solução produto para a Equação de Laplace em duas dimensões é dada por 1 1 1 V X Y onde 1 X e 1 Y são funções somente de x e y respectivamente verificar se cada uma das 5 funções dadas a seguir satisfaz ou não à equação de Laplace justificando sua resposta a 1 1 a Y X V b 1 b V Y c y X Y V 1 1 c d 1 1 d V 2X Y e 2 2 1 1 e y x X Y V Respostas a e b não satisfazem a Equação de Laplace Observe que 1 2X e 1 2Y não são solucionáveis já que não se sabe suas expressões matemáticas Assim não se pode afirmar que 0 Y X 1 1 2 para a e nem que 0 Y1 2 para b c d e e satisfazem a Equação de Laplace já que 0 X Y 1 1 2 dado e também 0 2 y e 0 2 2 y x 2 2 2 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVII EEQ QUUAAÇÇÕ ÕEESS DDEE PPO OIISSSSO ONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 58 Anotações do Capítulo VI Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO i Capitulo VII CAMPO MAGNETICO ESTACIONARIO 59 Capitulo VII CAMPO MAGNETICO ESTACIONARIO 71 LEI DE BIOTSAVART dL RP O campo magnético dH produzido pelo elemento de a o corrente continua JdL no ponto P ver figura é R dH Elemento de corrente dL e IdLXap H4 IdLxap i ponto P no plano da pagina dH AMR 7 ATR2 Am Campo magnético orientado para dentro da pagina onde IdLKdSJdv ver figura dy K a densidade superficial de corrente Am bf PA AP dx dL P i dl cyt 2 J J as densidade volumétrica de corrente Am 7 tot tet x IJIdLKd8Jdv Exemplo Calcular o campo magnético H num ponto P I K dy J dx dy devido a um filamento retilineo infinito com corrente Z Idzaxpa za Idzpa Solucdio dH ARE NPE Ta EAP dL 4 02 2p 4 02 2p T TU Z 1 Z te ih Na 1D 400 dz Ip Zag R Ha Tle 0 2 An 252 2 i 4 AR po z p Z co p Sa 4 x a ag x Ape 2719 i 72 LEI CIRCUITAL DE AMPERE CAMPO MAGNETICO ESTACIONARIO A integral de linha de H ao longo de qualquer percurso fechado é exatamente igual a corrente enlagada pelo percurso A expressao matemiatica é dada por HedLI I corrente total enlacgada sentido convencional Amperiana def E um percurso caminho especial com as seguintes propriedades i Eum percurso fechado ii Em cada um de seus pontos Hé tangencial ou H é normal ao percurso Assim se HldLHdL0 Neste caso H 6 normal a amperiana se HdLHedLHdL Neste caso H 6é tangencial 4 amperiana iii Em todos os pontos onde HdL a magnitude de H 6 constante Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VII CAMPO MAGNETICO ESTACIONARIO 60 Calculo de H aplicando a lei circuital de Ampére e amperiana para alguns casos especiais z a Condutor retilineo com corrente I Amperiana circular os de rao p H dL Tentacada 2n 2m Lieto Ppdoa 4 a Hop do I ay H I IT i dL 27 271 x b Pelicula plana com corrente com densidade superficial uniforme K Ka H dLb Tentacada B CC D A L 4 Smperiana J f f JHdL Kdy H retangular A BC OD 0 B HL0HL0KL JH K 2 P y y x y x LL Age Nota Forma geral para obtencaio do campo H devido a Of JU Of fl uma pelicula plana o com corrente uniforme E xe Js Cc DD HKxa H independe da distancia x H 2 onde a é versor normal ao plano orientado para o lado que se deseja obter H Ex Acima do plano da fi ior H4k a xa 1KCa1ka i x Acima do plano da figura anterior 5 xa Xa 5 Kx ay J 5 xay Hy Atencao Provar que 0 campo magnético H na regiao entre 2 superficies infinitas condutoras e paralelas com densidades de corrente uniformes iguais e de sentidos opostos é dado por H 0 nas regides externas as 2 superficies c Linha de transmissao coaxial com corrente total I uniformemente distribuida no condutor central e I no condutor externo fHdL Tentacada Onde H Hay e dL pddia Para uma amperiana circular de raio p tal que L pa Hy 1 on no condutor central 2ta opin qT mo apb H no dielétrico Or 7 pe Ne np Aaa Ic p eee bpc Hy condutor externo wis 4 2p C2 p he Amperiana ohn fg circular de pc Hy 0 fora blindagem magnética l rain p Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VII CAMPO MAGNETICO ESTACIONARIO 61 d Solendide de comprimento cocom uma distribuigao superficial de corrente K K ade m BP c on Anperiana reiang ular H 5 ot fr dL d s a W oy espiras Y KKa j a e fa x lr D Solendide com A yr distribuicéo superficial Vista em corte de um solendide Y circular de corrente de N espiras com corrente Para 0 solendide infinitamente longo e a amperiana retangular ABCD temos B Cc D A d SHdL Teniacaaa Hedb KdL Hd000Kd A B Cc D 0 Portanto HK Se o solenoide for de comprimento finito d com N espiras nas quais flui uma corrente I temos NI MN K a Bem dentro do solendide e Toréide ideal com distribuigdéo superficial de corrente KKa em ppa z0 sendo 0 raio médio e ao raio da secao transversal do anel toroidal fHdL Tenlagada Lei circuital de Ampére Z Amperiana circular de raion p Para uma amperiana circular de raio 9 tal que Fore as els as tae PPoa Hy 0 fora do anel oes 1 Se Po 4 Leg Po4PPota Hy K p SF lq Po a Anel toroidal de raio médio 9 e raio de Vetorialmente Ho K p Ag secao reta e corrente uniformemente distribuida com densidade superfical E PPota Hy 0 fora do anel Se este tordide possuir N espiras nos quais flui uma corrente I temos NI NM Ky 5 H ar 86 Bem dentro do tordide 2np a 2np Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VII CAMPO MAGNETICO ESTACIONARIO 62 73 ROTACIONAL Seja um vetor ou campo vetorial qualquer expresso por A A xa tAyay Aa Definicao A componente do rotacional de A na direcgado da normal versor a de uma area AS é dado por AedL rotAe a lim AedL Asoo AS onde dL representa o vetor diferencial de comprimento integrado ao longo do perimetro da area AS Para determinar uma expresséo matematica para o rotacional no sistema de coordenadas cartesianas seja 0 vetor A aplicado no vértice da area AS AyAz que se situa mais proximo da origem ou vértice da figura mostrada ao lado Neste caso pela definicado acima temos Ay a AZ AedL z otAea jim 1234 tee aydz0 AyAz Acfl ee farBezay ORAS Bix dy oo Desenvolvendo separadamente AedL temos Ay 12341 x 3 4 4 Calculo da componente do rotacional fAedL f f f AedL de A nadirecdo do versor 4 4 12341 1 2 3 4 ae JA dA JAedLAAy A Ay Az Ay Az Ay A Az 12341 dy dz dA OA aA Reale 22 ayay Zz Ant a AY A a 12341 oy az e ae A x Fat ghee Substituindo acima obtemos no limite a componente do aa Bg ay Zz a rotacional de A na direcao do eixo x Ant Pz axf i Ax fot ea 28x As rotAJea Oy On Calculo da componente do rotacional y de A nadirecaéo do versor 4 ay Semelhantemente obtemos as componentes do rotacional de A nas diregdes dos eixos y e Z isto é y dA dA ly A rotAjea ver figura A y Oz Ox gura 1 Ay rot AJea ver figura fo a A A ox oy ver fig pe As dy dA Combinando os 3 componentes na forma vetorial Ay ax Ax chegamos ao vetor que representa o rotacional de A Calculo da componente do rotacional sendo expresso por de A nadirecdo do versor a44 Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VII CAMPO MAGNETICO ESTACIONARIO 63 dA OA dA OA Ay dA rotA a fa fa dy Oz Oz Ox Ox dy Para o vetor campo magnético H Ha HyaHa e usando a notagao de rotacional com o vetor nabla podese escrever rotH VxH Em coordenadas cartesianas e somente neste sistema de coordenadas o rotacional de um vetor pode ser obtido através do seguinte determinante ay ay a VxHd0x ddy ddz H Hy H Nota Ver no FORMULARIO GERAL as outras expressdes do rotacional VxH nos sistemas de coordenadas cilindricas e esféricas Aplicando novamente a definigaéo do calculo da componente do rotacional na direao do eixo x porém agora para o vetor campo magnético e considerando a lei circuital de Ampére obtemos HedL Al rot Fi a lim 24 jim I AyAz0 AyAz AyAz0 AyAz onde Al corrente envolvida pelo percurso 12341 ou corrente que atravessa a area AS AyAz De maneira andloga obtémse rot Hi ay Jy roti aJ Dai concluimos que o rotacional do vetor campo magnético resulta na magnetostatica no vetor densidade de corrente ou seja Forma pontual da lei circuital de Ampére Propriedades do operador rotacional 1 A divergéncia do rotacional de qualquer funcdo ou campo vetorial é sempre nula VelVxAJ0 Seja por exemplo AH Da expressao VxHJ chegamos a Vej0 2 O rotacional do gradiente de qualquer funcdo ou campo escalar é sempre nulo VxVf0 Seja por exemplo f V Da expressao EVV chegamos a VxE 0 Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VII CAMPO MAGNETICO ESTACIONARIO 64 74 TEOREMA DE STOKES Contorne da AS Pela definicgao de rotacional temos omen 2 superficie fHedLas 6 4 ANS VxHea ag Wxtiea Ae fHedLy VxHea AS as fHedL yy VxHe aS as Somando a circulagaéo de todos os AS da superficie S chegamos na expressao matematica do teorema de Stokes fHleal Vxi a8 C S Notas 1 O contorno C envolve a superficie S Os vetores dL de C e dS devem satisfazer a regra da mao direita com o polegar apontando dS os outros dedos apontando dL 2 O teorema de Stokes é valido para qualquer campo vetorial e nado somente 0 campo H 75 FLUXO MAGNETICO E DENSIDADE DE FLUXO MAGNETICO B A densidade de fluxo magnético B é definida para o vacuo de permeabilidade magnética UL sendo lo 4 x10 Hm e o campo magnético H como Unidade Wbm Nota B é definido em outros meios somente a partir da secdo 86 desta apostila O fluxo magnético que atravessa uma area S é obtido integrando B sobre a rea S isto é bBedS Unidade Wb ExemploCalcular o fluxo magnético entre o condutor interno raio p a e 0 condutor externo raio p b de uma linha coaxial de comprimento L no vacuo a I x Solucao Hay naregiaio apb 271 L 2Tp é Bds ft p Hoa ap aza Mia WL b é In Wb 2m a wo 1 Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VII CAMPO MAGNETICO ESTACIONARIO 65 Analogias entre as equacées da eletrostatica e da magnetostatica 1 Densidade de fluxo elétrico 1 Densidade de campo magnético D E no vacuo B UH no vacuo 2 Fluxo elétrico 2 Fluxo magnético 3 Lei de Gauss da eletrostatica 3 Lei de Gauss da magnetostdtica Wr f DedS Qin f BedS0 4 Divergéncia da densidade de fluxo elétrico 4 Divergéncia da densidade de fluxo magético TeDp eB0 5 Rotacional do campo elétrico 5 Rotacional do campo magnético VxE0 VxHJ 6 Circulagado do campo elétrico 6 Circulagdo do campo magnético f EedL0 f HedLI Jeds 76 POTENCIAIS ESCALAR E VETOR MAGNETICOS O potencial escalar magnético Vm é definido analogamente ao potencial eletrostatico a partir de Unidade de Vm A ou Aespira Esta expressiio é definida somente na regido onde J 0 Por qué Outras express6es obtidas por analogia com 0 potencial eletrostatico VVin 0 em J0 Equacdao de Laplace para materiais homogéneos magnetizdveis Vinab HedL Depende de percurso especifico para ir de b até a O potencial vetor magnético A éum campo vetorial tal que BVxA que satisfaz VeB0 Unidadede A Wbm Outras expresses obtidas por analogia com 0 potencial eletrostatico pul dL dL A Comparar com V jeu Note que a direcdo de A éamesma de dL 4mR 4reR VA uy Comparar com a Equacdo de Poisson VV Pv E Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VII CAMPO MAGNETICO ESTACIONARIO 66 Exemplo Para a regido entre o condutor interno raio p a e o condutor externo raio p b da linha ou cabo coaxial do exemplo anterior calcular L a Vm por HVV a Plo b Vip J HedL h Ref aa c A por VxAB May Solucio I I 10Vin dV I I a HVV ay ay R V 04C 2719 p oo do 27 27 I Adotando V0 em 0 referéncia obtemos C0 T Seja um ponto Pa p b 6 74 z situado na regiao entre os condutores dielétrico do cabo coaxial Este pode ser atingido de varias maneiras partindo da referéncia mantendo os mesmos valores de p e z e deslocandose de um angulo 2n7m74 isto é 0 74 9n4 17724 no sentido antihorario ou 6 774 1574 no sentido horario Assim 0 potencial Vmp com relagao a referéncia de potencial zero em 0 possui multiplos valores em P dependendo do percurso usado para chegar até P Por exemplo It I 9x I 7n Vp ou Vip ou Vp ete me sala me al me al 4 Dai podese concluir que o potencial escalar magnético representa um campo ndo conservativo Lembrese que o potencial eletrostatico entre 2 pontos nao depende do percurso ou caminho entre estes representando assim um campo conservativo b Adotando V0 em 60 referéncia 0 potencial no ponto Pa p b 0 z é Poo o J I I Vane Hedl Voy Lacepats1 bog Ref o0 27p 21 a 21 oA oA I A ec VxAB P ag UWay 0A 4 to dz Op 2711p op 2mp I d I Integrando Joa f A F npc 21 p 27 a ul ul b Tomando A0 em p b referéncia obtemos Cnb A In 27 2m Op I be Vetorialmente A Aa Vina z 2m p Atencao Note que A tem o mesmo sentido de a sentido da corrente no condutor central pois p b Também A decresce com o aumento de p desde p a até pb Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO Ly Capitulo VII CAMPO MAGNETICO ESTACIONARIO 67 77 EXERCICIOS PROPOSTOS 71 a Demonstrar que 0 campo magnético H num ponto P devido a um filamento retilineo de comprimento finito extremidades A e B com corrente J no sentido indicado é dado por I H sena Sena ag sendo P 470 AS Q Q Angulos positivos medidos conforme indicados G ay vetor unitario que define o sentido do campo no pto P P menor distancia na perpendicular do ponto P ao segmento b AB ou ao seu prolongamento A N B b A partir da expressao de H acima determinar seus valores nos pontos C0 4 0 D3 4 0 e E3 4 0 se o filamento for colocado sobre 0 eixo x com suas extremidades A e B posicionadas respectivamente em 3 0 0 e 3 0 0 c A partir da expressao de H acima determinar seus valores nos mesmos pontos CDeE com o filamento sobre 0 eixo x porém agora com sua extremidade A posicionada na origem e sua extremidade B estendendo ao infinito Respostas a Demonstracao 3 3113 31V13 b Hc a Am Hp a Am HE a Am 40a 2082 2082 I I I c Hc a Am Hp a Am Hg a An loz 102 40 72 Um filamento de corrente muito longo esta situado sobre a reta x 5 e z 0 possuindo uma corrente de 20m A orientada no sentido positivo do eixo y Determinar 0 campo magnético H na forma vetorial nos seguintes pontos a O000 b P005 c QS05 d S555 Respostas a Ho 2a Am b Hp ax az Am c Hg 2a x Am d Hs 2a x Am 73 Uma corrente filamentar I no vacuo sobre 0 eixo z flui no sentido positivo do eixo Seja um percurso retangular ABCDA sobre o plano z 0 com vértices nos pontos Aaa0 Baa0 Caa0 e Daa0 Determinar para este percurso e utilizando 0 menor caminho os seguintes valores a Vas 3 b Vinsc C Vincp 3 d Vinpa 3 e Vmasp Vmpc Vmcb Vmpa Concluir a respeito do valor obtido f Vmac por 2 caminhos via B e depois via D Comparar os valores e concluir a respeito I I I I Respostas a Vinap 1 b Vingc 1 Cc Vincp 1 d VDA 1 e Vmap Vmpc Vmcp Vmpa corrente enlagada I I f Vmac 5 Vmacr 5 Logo o sistema nao é conservativo 74 Encontre a indugao magnética no centro de um triangulo equilatero de lado a conduzindo uma corrente I Oy Resposta B 27 a Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VII CAMPO MAGNETICO ESTACIONARIO 68 75 Um tordide no espaco livre com secao transversal retangular é formado pela intersegao dos planos z0 e z3 cm e os cilindros p5 cm e p75 cm Uma densidade superficial de corrente flui na superficie interna do tordide sendo dada por Kint 300a Am Determinar a O valor total da corrente Itota na superficie interna do tordide b As densidades superficiais de corrente forma vetorial nas outras 3 superficies do tordide identificandoas por K ext K topo e K pase c Ocampo magnético H dentro do tordide d O fluxo magnético total que circula dentro do tordide 15 Respostas a Tota 30 A b Kext 200az Am Ktopo ap Am p 15 15 Kbase pf Am Cc H p Am d D otal 023 uWb 76 Calcular 0 campo magnético H no ponto P I es TTEETT da figura admitindo que os fios sao muito longos a 1 i I Resposta H az E 2a 2 ry 2 2 2 77 Dado H yzax 2x lyzay x 1zaz a Determinar H e dL ao longo do contorno quadrado indo de P0 2 0 a AO 2b 0 a BO 2b b a CO 2 b a PO 2 0 b Determinar VxH fHeak c Mostrar que xn lim em P AS0 AS 2 3 2p4 Respostas a fH edL 8b 4b 37 b VXH 2x ly ax 2yzz7 ay 2yz2 az c Demonstragao Notar que AS b e que em P x 0 y 2 z 0 78 Seja uma espira circular de raio p a situada no plano z0 na qual circula uma corrente J no sentido antihorario Determinar no ponto P00h a O campo magnético H b O potencial magnético Vm supondo a referéncia de potencial zero no infinito la la I h Respostas a H a a b V 14 12 2 22 m ac a an 02 2 0 Vn a Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VII CAMPO MAGNETICO ESTACIONARIO 69 79 Determinar no ponto P da figura abaixo as contribuigdes para a intensidade do campo magnético H causadas por I sentido antihorario para a A secao semicircular de raio a Y b Os 2 condutores horizontais de comprimento J c O condutor vertical de comprimento 2a BP d Repetir o item b supondo a 2a 4 e Repetir 0 item c supondo a Respostas a H I a b H Vv a c H la a 7 a7 AG TS AZ 4a 2nav i a 2nlV I a d H e A 4 2Ta 2nl 1017 710 Dado H end ag 180rcos8 Ag No espago livre determinar sen a V x H 3 z b a corrente que sai da superficie c6nica 8 300 o 27 r 0 r2 usando um dos lados do teorema de Stokes r pe fy r c usando o outro lado do teorema de Stokes verificar o resultado anterior 180cos20 30r Respostas a VXH cone a 360cos8 ag iig senO senO y b I lado VxHedS 1 3603n1959 A c 2 lado HedL 1 360V3n1959 A x 711 Trés superficies infinitas de corrente localizamse no vacuo da seguinte maneira 100a Am em z0 50a Am em z4m e 50a Amem z4m a Sendo V0em P1 23 ache Vm em Q15 26 37 b Sendo A0 em P1 23 ache A em Q15 26 37 Sugestiio Use a componente apropriada de B VX A e0 seu conhecimento acerca da direcao do vetor A Respostas a V 50y 100 V9 30 A b A S0pz 150 Ja Ag 440a Wbm 712 Partindo da identidade vetorial VxVxAVVeAV2A e utilizando coordenadas cartesianas mostre VA VAa VAa VAa podendo A ser um vetor qualquer Resposta Demonstracao 713 Demonstre que o potencial vetor magnético para dois fios compridos retos e paralelos que I conduzem a mesma corrente I em sentidos opostos é A Hetil onde ry e r sao nm Y as distancias dos fios ao ponto desejado e a 0 vetor unitario paralelo aos fios Resposta Demonstracao CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIII CCAAM MPPO O M MAAG GNNÉÉTTIICCO O EESSTTAACCIIO ONNÁÁRRIIO O 70 Anotações do Capítulo VII Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO i Capitulo VIII FORCAS E CIRCUITOS MAGNETICOS MATERIAIS E INDUTANCIA 71 Capitulo VIII FORCAS E CIRCUITOS MAGNETICOS MATERIAIS E INDUTANCIA 81 FORCA SOBRE UMA CARGA EM MOVIMENTO BMX x Unidade da forga N F a a Se ambos os campos elétrico e magnético estao presentes a Q forga sobre uma carga pontual Q chamada forca de Lorentz é os RO FQExB em N ou f pExB em Nm a eR 82 FORCA SOBRE UM ELEMENTO DIFERENCIAL DE CORRENTE dF dQxBIdtxB1vatxB dF IdLxB xB x ar Para um condutor retilineo com B cte obtemos FILxB x x fx x iM ox lox Médulo da forga F FBILsenO onde o Angulo entre os t dL vetores L e B Sentido da forca F Regra do produto vetorial indo de L para B Nota Caso os vetores L e B sejam perpendiculares 8 90 podese usar a conhecida Regra dos 3 dedos da mao esquerda para obter o sentido de F Assim com o dedo indicador apontando B e0 dedo médio apontando L ou J obtémse o dedo polegar apontando o sentido de F ExemploDeterminar as forgas de repulsdo entre 2 condutores filamentares retilineos longos e paralelos separados por uma distancia d por onde fluem correntes J iguais e opostas Solucao Os sentidos das forgas estao indicados na figura As duas forgas possuem mesmo méddulo o qual é obtido do RB E seguinte modo no vacuo z I 2nd I F ow I d Logo FuIL Ny 2nd L 2nd Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VIII FORCAS E CIRCUITOS MAGNETICOS MATERIAIS E INDUTANCIA 72 83 FORCA ENTRE ELEMENTOS DIFERENCIAIS DE CORRENTE Densidade do fluxo magnético no ponto 2 devido ao elemento diferencial de corrente no ponto 1 dB pdH 7 Ry AIdL 4ntR Tjdty ap 2 Ponto 1 2 Ponto 2 Relembrando a forca diferencial em um elemento diferencial de corrente é expressa por dF IdLxB Substituindo B por dB e IdLIdL a quantidade diferencial da forca diferencial no elemento diferencial de corrente no ponto 2 tornase daF LdL x dB Substituindo dB LdL xa daB 1dL xp en ATR 15 LI dL xa LI dL Xap daF ip 12 db x F Fypn 124 hg Re 4m Riz 4m Rip Nota A segunda integral necessdria para obter 0 campo magnético em 2 devido a corrente no ponto 1 Pelo demonstrado é melhor dividir 0 problema de calcular a forga magnética em duas partes primeiro calculase 0 vetor campo magnético e depois calculamos a forga 84 TORQUE EM UMA ESPIRA INFINITESIMAL PLANA Para a espira infinitesimal retangular da figura e da definicao de torque T 7XF obtémse dT I1dSxB Unidade de T Nm z Definindo 0 momento magnético diferencial da espira como dS 9 zB dim IdS Unidade de m Am 4 pas et 3 foes y podemos escrever o torque na espira como sendo fn dT dmxB a ee De uma maneira geral para B constante em toda drea S temos x dy ds TISxBmxB dim Notas Ogg PEN e As equag6des acima sao também validas para qualquer forma de Sc T espira de corrente como por exemplo a espira circular Espira plana e O torque na espira T atua de tal maneira a alinhar o momento magnético mm produzido pela espira com 0 campo magnético externo B Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VIII FORCAS E CIRCUITOS MAGNETICOS MATERIAIS E INDUTANCIA 73 85 A NATUREZA DOS MATERIAIS MAGNETICOS MM orbital oe TH wicleo Existem 3 tipos de momentos magnéticos em um atomo causados por M spin 1 Rotagao spin do elétron em torno de seu pr6prio eixo Mgpin 7 Ad A f 2 Rotagao do nticleo em torno de seu préprio eix0 M yricleo se wicleo eae 2 Velden 7 eléiron 3 Movimento circular 6rbita do elétron em torno do ntcleo m ATOMO Dependendo da combinacao desses momentos magnéticos podese classificar 6 tipos diferentes de material conforme mostrado na seguinte tabela CLASSIFICACAO MOMENTOS PB be ALGUNS EXEMPLOS DO MATERIAL MAGNETICOS VALORES USUAIS E COMENTARIOS 1 Diamagnético mm 0 BinBa Url HHe NaCl Cu Au Si Ge S orb spin Bint Bap Url grafite gases inertes 2 Paramagnético Mor 4 M spin pequeno Bin Bap Lp 1 K O Al Be tungsténio terras Bin Bap UrRl raras varios sais 3 Ferromagnético spin lA orb Bint Bap br 1 Fe Co Ni ligas Dominios 10Up 10 magnéticos fortes 4 Antiferromagnético lim in S LM orb Bint Bapi Upel Oxido de magnésio Momentos P adjacentes se opdem e cancelam 5 Ferrimagnético lim S in Bint Bapi Upl Ferrites Momentos adjacentes spin or 10pp 10 desiguais paralelos e opostos 6 Superparamagnético lim S in Bint Bapi Upl Fitas magnéticas de gravacao spin orb 1Ug10 Matriz ndo magnética 86 MAGNETIZACAO E PERMEABILIDADE MAGNETICA Magnetizaciio M é definido como sendo o momento magnético total por unidade de volume isto é 7 1 nav M total M lim Ym lim Unidade Am mesma unidade de H Av0 AV j Av0 Av onde n éo0 numero de dipolos magnéticos por unidade de volume Av A lei circuital de Ampére relaciona o campo magnético H com acorrente de conducio I que produz este campo isto é 1 HedL Por analogia podese também relacionar 0 campo M com umacorrente In que produz este campo sendo esta corrente chamada de corrente de magnetizacdao Ln MedL A lei circuital de Ampére em termos da corrente total 7 é expressa por B Uo onde Ir 1 1 soma das correntes de conducao e de magnetizacao lo 42x10 permeabilidade magnética do vacuo unidade Hm Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VIII FORCAS E CIRCUITOS MAGNETICOS MATERIAIS E INDUTANCIA 74 Substituindo as correntes pelas suas expressdes com integrais obtemos a seguinte expressdo geral que relaciona os 3 campos BHeMem qualquer tipo de meio 7 HM BpHM Andlogaa DeEP Mo Para um meio linear e isotrdépico podese relacionar M linearmente com H por MH Andlogaa P XeEoE sendo Xm chamada de susceptibilidade magnética constante adimensional Substituindo M na expresso geral e arranjando os termos obtemos a conhecida relaciio onde UUpU permeabilidade magnética absoluta unidade Hm Up 1m permeabilidade magnética relativa constante adimensional Nota Por analogia com VxH J podese chegar a VxM Jin e Vx Bu Jy 87 CONDICOES DE CONTORNO PARA O CAMPO MAGNETICO Meio 1 Bui jAL Fronteira entre By Hu meios lineares f homogéneos e FAs fz isotrépicos SSB Mg ees II Ro Ap Meio 2 Batic pug cc Ronen Aplicando a lei de Gauss do campo magnético ao pequeno cilindro da figura e fazendo Ah0 fBedS0 ByASByAS0 Logo a componente normal da densidade de fluxo magnético é continua isto é nao se altera Aplicando a lei circuital de Ampére ao pequeno circuito fechado da figura fazendo Ah0 temos HedlTentacada HyALHyALKAL Logo a componente tangencial do campo magnético sofre uma descontinuidade de K isto é altera se de K quando existe uma distribuicao superficial de corrente na fronteira entre os 2 meios Em forma vetorial a expressao para 0 campo magnético acima é dada por A H yx dni2 K Nota 4 versor normal a fronteira dirigido da regido 1 para a 2 Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VIII FORCAS E CIRCUITOS MAGNETICOS MATERIAIS E INDUTANCIA 75 Se nao existe distribuicdo de corrente na fronteira isto é se K 0 obtémse Logo a componente tangencial do campo magnético é continua isto é nao se altera quando nao existe uma distribuicdo superficial de corrente K na fronteira entre os 2 meios 88 CIRCUITO MAGNETICO A analise de circuitos magnéticos é feita por analogia com circuitos elétricos de corrente continua constante O quadro abaixo indica a analogia entre as equagoes desses circuitos 1 Intensidade de campo elétrico 1 Intensidade de campo magnético EVV HVV 2 Diferenca de potencial elétrico 2 Diferenca de potencial magnético BL BL A A 3 Lei de Ohm forma pontual 3 Densidade de fluxo magnético JoE BnH 4 Corrente elétrica 4 Fluxo magnético IJeds Beds 5 Resisténcia R 5 Relutancia KR L oS US 6 Lei de Ohm 6 Lei de Ohm para circuitos magnéticos 7 Lei de Kirchhoff das malhas 7 Lei circuital de Ampére fEedL 0 fHedh Tentacada OU fHedLl NI ExemploSeja um tordide de nucleo de ar de area de secao reta ap S6 cm raio médio r 15 cm envolvido por um 5 Lhe CoS enrolamento com N 500 espiras onde circula uma corrente J 4 A Calcular a intensidade do campo magnético H no interior do toréide is cite elétn a q f Solucao 1 Usando a equagao do circuito elétrico andlogo bh as Tordide com Fmm NJ bHL 5 cary nucleo de ar 2 5 MoS HoS 4nx10 x6x107 CTT Fmm NI 500x4 6 N espi O a 16x10 Wb espiras i RK KR 125x10 Ad 6 pao 10X10 967x103 Wbm SS 6x107 Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VIII FORCAS E CIRCUITOS MAGNETICOS MATERIAIS E INDUTANCIA 76 B 267x10 Uo 442x107 Circuito elétrico Solucao 2 Usando a lei circuital de Ampére analogo fHedL Tentacada Hx2a1 NI H s H 2004 9120 Aespm 21m 2nx15x107 1 Frm NI ExemploSeja um tordide de nticleo de acosilicio figura abaixo de area de seco reta S 6 cm raio médio rm 15 cm com um entreferro 2 mm o qual esta envolvido por um enrolamento com N 500 espiras Calcular a corrente que deve circular no enrolamento para que a densidade de fluxo magnético em todo 0 nucleo seja B 1 Wbm au fT yo TLR af pe SB igl fFearba de thagnetidacsp 1p wr i ret AAaCAap a yi 7A Sse i SEE Tordide com oP m 96 Sanne dS A Kee tT 2TtTy ot ft tt ttt Nespas Ji ti tt i 40 00 0 200 400 600 00 1000 H Aesp Solucao rm Escrevendo a equacao do circuito elétrico analogo Fmm NI Ko P Ky P Fi aro ou Fmm NI Vi aco Vimar Circuito elétrico ou analogo Fmm NI HagoLaco HarLar Rar Dai l Hacolaco HaLay N Fmm NI Fazendo Baco B 1 Wbm e levando na curva do acosilicio ver figura acima obtemos aco 200 Aespm Fazendo BB 1 Wbm obtemos Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VIII FORCAS E CIRCUITOS MAGNETICOS MATERIAIS E INDUTANCIA 77 B H 79577x105 Aespm 7 MU 4x10 Logo 5 Ie 200 x 22x 015 0002 79577 10 x0002 356 A 500 Nota Se desejarmos considerar 0 aumento da drea da secao transversal por onde passa o fluxo no ar devido ao espalhamento de fluxo quando 0 mesmo passa do ferro para 0 ar utilizase o fator de espraiamento k fazendo S kS sendo k 1 89 ENERGIA DE UM CAMPO MAGNETOSTATICO A energia total armazenada no campo magnetostatico no qual B é relacionado linearmente com H é obtida por 1 35 1 Wa F ho Be Hdv J Andloga a Wp F hoiP Edv 5 B Notas a Fazendo ByH ou H obtemos U 1 5 1 B Wu F holt dv ou Wu a ho b A densidade de energia em Jm é dada por 2 OW pee dv 2 2 2u 810 AUTOINDUTANCIA E INDUTANCIA MUTUA Autoindutancia ou indutdncia propria ou simplesmente indutdncia L de um circuito fechado espira ou bobina é definida como a razao entre o fluxo total enlagado pelo circuito A e a corrente J que produz este fluxo Ver figura A N Unidade Henry H AN Enlace de fluxo totalA T De q i On riii ft ERE eg ptt ea cosa seg ee CE BS BA PPAL d iii Mit yee 1 TTS all wane ns A Autoindutancia da espira L 7 Autoindutancia da bobina L 4 Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VIII FORCAS E CIRCUITOS MAGNETICOS MATERIAIS E INDUTANCIA 78 Nota A equacao da indutancia pode também ser obtida a partir da energia no campo magnético Wy devido acorrente J que flui no circuito fechado Assim temos 2W 1 LH wy LI I 2 Indutaéncia miitua M entre 2 circuitos fechados é definida como a razao entre o fluxo total enlacgado pelos 2 circuitos e a corrente que produz este fluxo Ver figura Fluxa A HN Ayo N mituo ae elt M Unidade Henry H ty t Q Fluxo at maituo Nota Em termos de energia mutua temos in tile BVEEIE l vos 1 ee i I 12 vol 12 vol oot PA Fluxo disperso onde 1 a lade 0 Qe elo By Hy campo que resulta de J com J 0 1 titi P H campo que resulta de J com J 0 Lit Na obtengaéo de Mo o lado direito da expressao fluxe acima nao varia pois o produto escalar é mute comutativo Indutancia mx 9 hobi Portanto itancia mene nN obinas M Iz 2 12 a Exemplo A figura mostra 2 solendides coaxiais de raios r e fr fy f2 COM Ny e Ng espirasm Determinar em Hm as autoindutancias L e Ly e as indutancias mituas M2 e Mo Solucéo Da secao 72 e sendo N n espiras n n espirasm Zz NI a f H te nla bem dentro do solendide a 45 2 H0 fora do solendide eS Assim para 0 solendide interno temos Sree rf Nii na para pr oo i ee a 0 para p Sees Snemae Similarmente para o solendide 2 externo temos NoJI A ay nI4 para Ppry 2r 0 para pr 2 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIIIII FFO ORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTO OSS M MAAG GNNÉÉTTIICCO OSS M MAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 79 a Cálculo de L1 e M12 em Hm supondo I2 0 1 1 1 I I I 1 1 1 1 1 1 n N L Φ Φ Λ ℓ onde 2 1 1 0 1 1 0 1 1 1 r n H S B S π µ µ Φ 1I Logo 2 1 2 1 0 1 r n L π ℓ µ Hm 1 1 1 I I I 12 2 12 2 12 12 n N M Φ Φ Λ ℓ onde 2 1 1 0 1 1 0 1 1 1 12 r n H S B S π µ µ Φ Φ 1I Logo 2 1 2 1 0 12 r n n M π µ ℓ Hm b Cálculo de L2 e M21 em Hm supondo I1 0 2 2 2 I I I 2 2 2 2 2 2 n N L Φ Φ Λ ℓ onde 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 r n H S B S π µ µ Φ I2 Logo 2 2 2 2 0 2 r n L π ℓ µ Hm 2 2 2 I I I 21 1 21 1 21 21 n N M Φ Φ Λ ℓ onde 2 1 2 0 2 1 0 2 1 21 r n H S B S π µ µ Φ I2 Logo ℓ ℓ 12 2 1 0 1 2 21 M r n n M π µ Hm Atenção Adotando agora n1 50 espirascm e n2 80 espirascm r1 2 cm e r2 3 cm para os 2 solenóides coaxiais da figura calcular os valores numéricos de L1 e L2 e M12 e M21 mH m 39 5 L 2 50 10 4 L 1 2 2 7 1 π π mH m 227 4 L 3 80 10 4 L 2 2 2 7 2 π π mH m 63 2 M M 2 50 80 10 4 M M 21 12 2 7 21 12 π π Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VIII FORCAS E CIRCUITOS MAGNETICOS MATERIAIS E INDUTANCIA 80 811 EXERCICIOS PROPOSTOS 81 Assumese que o material ferromagnético da figura possui permeabilidade constante igual fl a UW Sendo S Sz 83 S a area da probly nn nnn tithe ce none ong Pope secao reta em qualquer parte do nticleo 41 Y Y coy Vf lds fy e 3 os comprimentos médios do brago N CE if NC i T yj T i y esquerdo bracgo central e braco direito i yf y respectivamente com 3 2 fe f i i 7 7 determinar ne a A indutancia Lz da bobina de N2 espiras do braco central b A indutancia mitua M2 entre as duas bobinas 2 N5uS N Nous 2 IN2H Respostas a Ly b M P Lo 7 Ma a 82 Um condutor retilineo muito longo estendese sobre 0 eixo y possuindo uma corrente I no sentido indicado Um condutor de forma retangular rigida com corrente I no sentido ABCDA é posicionado no plano xy ao lado do condutor retilineo conforme mostrado na figura Determinar a a a Os vetores forgas sobre cada um dos lados do condutor retangular I B b O vetor forga resultante sobre 0 condutor retangular Z c O fluxo total devido a I que atravessa o condutor retangular b d A indutancia mitua entre os 2 condutores TInb II Respostas a FAB Mollt2 3 Fpc Moll jy 2ay A Dx 27 a 270 md TInb Fop Ho 2 ay 4a II TInb Fpa Hott2 14 2ay b Fr Mott 20 a 20 4a Ib b c 0 Ind d My In2 20 20 83 Duas placas infinitas formadas de materiais magnéticos homogéneos lineares e isotrdpicos de espessuras 3 e 4 mm localizamse no vacuo conforme a figura abaixo Se a tem a diregao indicada e H a 2a 3a kAm na regiao 1 ache o angulo entre o campo vetorial H e o vetor unitario a nas regioes 1 2 3 e 4 1 He t a Respostas 3 mm 2 Lips 2 0 84 3670 8 5614 4 mm 3 Upy 3 03 6591 4 He Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VIII FORCAS E CIRCUITOS MAGNETICOS MATERIAIS E INDUTANCIA 81 84 Um condutor filamentar infinito situase sobre 0 eixo z e conduz uma corrente I no sentido aUm segmento reto de condutor sdlido se estende de Pa 1 0 a Ppé 1 0 Determinar a O campo magnético H gerado pelo condutor infinito em um ponto genérico sobre o segmento condutor b O valor diferencial de forga dF que surge devido ao campo magnético H do item a atuando em um ponto genérico no segmento condutor quando este conduz uma corrente Iz no sentido a c O torque resultante T Sobre 0 segmento condutor em relacao ao ponto Po 0 1 0 I xa a Respostas a H EC ar 2m x 1 IInxdx b dF 2128 a 2m x 1 L LI c Ttotal arctg ay 85 Um eletroima com a armadura de ferro em forma de U a O produz forga suficiente para manter uma barra de ferro TI suspensa Seja Ur 1800 para o ferro da armadura e da Cb oh barra e os ampéresespiras aplicados a bobina NI 1 Armadura kA O comprimento médio total ao longo da de ferro armadura e da barra é de 1 m com uma secao transversal de 01 m Uma lamina de cobre de 1 mm entre a armadura e a barra previne o contato ferroaferro Adotando Ucobre Ho determinar Lamina a fluxo magnético produzido pelo eletroima de cobre b A massa da barra de ferro g 98 ms Respostas a 00492 Wb b m P7U gS 19656 Kg 86 Uma espira condutora circular de raio a esta localizada sobre o plano z 0 e nela circula uma corrente I na diregaéo ay Para um campo uniforme B B la ai V2 calcular a magnitude mddulo e a diregao vetor unitario do torque na espira IT qa2 3 8 45 Respostas i TaB ap ay ayV2 87 Seja uma bobina solenoidal solendide de N espiras com nticleo de ar raio da secao reta igual a ae comprimento do ntcleo igual a a Determinar usando a Lei Circuital de Ampére a expressao que fornece 0 campo magnético resultante no interior do solendide b Determinar utilizando a definigao de indutancia a expressdo que fornece a indutancia propria da bobina solenoidal Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VIII FORCAS E CIRCUITOS MAGNETICOS MATERIAIS E INDUTANCIA 82 2 2 N2z Respostas a Ha b p 88 Um tordide que possui secado transversal quadrada é limitado pelas superficies z0 z 20 mm p 30 mm e p 50 mm A superficie em p 30 mm conduz uma corrente distribuida cuja densidade superficial 6 K 10a kAm Determinar a As densidades superficiais de correntes correspondentes as outras trés superficies isto é K p50 Kz0 Kz20 b O campo magnético H no interior do tordide c A energia total armazenada Wy no interior do tordide cuja permeabilidade relativa é Up 20 Respostas a K 950 6a kAm K 0 35 Am e K 20 a Am p p b A5 Am c Wy 726 mJ p Aco fundido 89 A figura mostra uma bobina com N 400 espiras enrolada num ntcleo de material ferromagnético formado com 2 materiais crepe diferentes 1 ferro fundido e 2 aco fundido sen ote Bn Determinar a corrente I na bobina se a 7 ples densidade de fluxo magnético no ferro fundido SED N ESPON le pay é By 055T PCey ae Nota Ver em anexo as curvas BH destes HV pgs fe materiais Ey Pye Ty Se Resposta I 241 A ll Yo if 4em 222pefgd Ferro fundido 2 4m 4 4cm 10 cm 2 cm 810 Determinar 0 médulo da intensidade de campo magnético no interior de um material para o qual a adensidade de fluxo magnético é 4 mWbm ea permeabilidade relativa é 1008 b asuscetibilidade magnética é 0006 e a magnetizacao é 19 Am c temos 81x107 dtomosm cada dtomo possui um momento de dipolo de 4x10 Am Xm 10 Respostas a H 3160 Am bH3170 Am c H3240 Am 811 Em um certo material magnético H SpA Am e 4x10 Hm Determinar para p 2 m a J b Jin c Jr Respostas aJ 80a Am7 b J 1746a Am c Jp 2546a Am CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIIIII FFO ORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTO OSS M MAAG GNNÉÉTTIICCO OSS M MAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 83 Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo VIII FORCAS E CIRCUITOS MAGNETICOS MATERIAIS E INDUTANCIA 84 812 a Usando a lei circuital de Ampére demonstrar que 0 campo magnético H produzido por uma lamina de corrente com densidade superficial de corrente K uniforme é expresso por iRxa 2 N sendo ay versor normal a lamina orientado para 0 lado desejado b Uma espira retangular condutora esta z posicionada sobre o plano z O conforme mostra a figura ao lado sendo seus vértices em A120 B320 C360 e D160 Uma 3 pequena corrente I circula no sentido anti 2 E hordrio na espira que esta submetida a uma 1 12 456 densidade de fluxo magnético B produzido por 7 y 2 laminas de corrente K4004 Am em 5 z3me K 3004 Am em y 0 no 3 RB espaco livre Determinar x Ky i b1 O campo vetorial total B sobre a espira devido as 2 laminas de corrente b2 As forgas resultantes sobre os 4 lados da espira e forga total resultante b3 O torque total resultante T em relagao ao centro da espira usando a formula TfxF Nota Supor as forcas aplicadas nos centros de cada lado da espira b4 O torque total resultante T usando a formula T1SxB Respostas a Demonstracao b1 B 200d 150p4 b2 F0 Fyp 400ua Fop Fo 600U4 Fyc b3 T 1600p 4 1200u4 b4 T 1600u 4 1200n ay igual ao obtido no item anterior CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo VVIIIIII FFO ORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTO OSS M MAAG GNNÉÉTTIICCO OSS M MAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 85 Anotações do Capítulo VIII Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO i Capitulo IX CAMPOS VARIAVEIS NO TEMPO E AS EQUACOES DE MAXWELL 85 Capitulo IX CAMPOS VARIAVEIS NO TEMPO E AS EQUACOES DE MAXWELL 91 A LEI DE FARADAY Havera uma forca eletromotriz fem ou tensdo induzida em qualquer uma das seguintes situaées 1 Umcaminho fechado estacionario enlagado por um fluxo magnético variavel no tempo 2 Um caminho fechado se movimenta com relagao a um fluxo magnético estacionario 3 Um caminho fechado moével enlagado por um fluxo magnético variavel no tempo 1 2 oy Espira B a diminuindo a Condutor it fom v B fem 0 A lei de Faraday quantifica esta fem estabelecendo que ela é proporcional a taxa de variagao de fluxo que atravessa o caminho fechado que no precisa ser condutor sendo expressa por db fem he Vv para um caminho fechado 01 ou db fem NG V para um caminho fechado com N espiras bobina 02 Nota O sinal menos das equagées acima provém da lei de Lenz a qual indica que a fem esta numa diregao ou possui uma polaridade tal a produzir um fluxo magnético de oposiao a variacao do fluxo original A fem induzida é definida como uma tensao induzida num caminho fechado sendo expressa por fem fEedL 03 Substituindo BedS em 01 e igualando com 03 S d fem 4EedL BedsS 04 C dt s onde C contorno da 4rea S ao redor do qual a integral de linha é calculada S 4rea limitada pelo contorno C onde a integral de superficie é calculada Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo IX CAMPOS VARIAVEIS NO TEMPO E AS EQUACOES DE MAXWELL 86 z Nota Na equacao 04 o sentido de dL deve sempre ds concordar com o sentido de dS de acordo com a regra da crescente mao direita ou do sacarolhas ver figura ao lado Os dedos Bit indicam a diregéo do caminho fechado ou de dL eo Ath ES polegar indica a diregao de dS Adotase para a fem o NE te mesmo sentido de dL Se o valor da fem for negativo entao x E jem dL seu sentido real ver figura é o contrario daquele de dL ent Vamos agora separar a andlise da fem em 3 partes calculando 1 a contribuiao para a fem total por um campo magnético que varia dentro de um caminho fechado estacionario fem variacional ou de transformador 2 acontribuigao para a fem total por um caminho ou contorno que se move sob a acdo de um campo magnético constante fem de velocidade ou de gerador 3 afem total correspondendo a soma de 1 e 2 911 Fem devido a um campo que varia dentro de um caminho fechado estacionario Passando a derivada para dentro da integral de superficie do lado direito de 04 obtemos 0B oe fem4 EedL Ty eds Equagao de Maxwell forma integral 05 S Usando o teorema de Stokes e transformando a integral de linha fechada em integral da superficie envolvida pela linha 2 2 oB Oe J VxEedSj edsS S 5 ot Igualando os integrandos chegamos a 0B VxE Equagao de Maxwell forma pontual 06 Notas a As equagdes 05 e 06 chamadas de equagdes de Maxwell nas formas integral e pontual respectivamente sao obtidas da lei de Faraday aplicada a um caminho ou circuito fechado b Se B naoé fungao do tempo as equacoes 05 e 06 reduzem as equagoes eletrostaticas EedL0 VxE0 Exemplo Seja um campo magnético simples o qual aumenta exponencialmente com o tempo dentro de uma regiao cilindrica p b e expresso por B Bea sendo By uma constante Determinar a fem e o campo elétrico E induzidos num contorno circular espira de raio p a a b ver figura abaixo situado no plano z 0 Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo IX CAMPOS VARIAVEIS NO TEMPO E AS EQUACOES DE MAXWELL 87 Solucao Tomando E Eyaq adotando o sentido antihorario z na espira e aplicando a equacao 05 obtemos dst fem 2TaE 4 kBe Ta Espira Eo cente Logo obtemos na espira de raio p a ae oN fem kBe ta sentido real é horario QoS dL Ey lig eg sentido real é horario x 2 0 Genericamente as expressdes de fem e E para qualquer p p b sao dadas por 1 fem kBenp E 5 Boe pag Nota Refaga este exercicio usando a equacao de Maxwell na forma pontual 06 912 Fem devido a um campo estaciondrio e um caminho movel Zz RB uniforme EB po PG 1 i s d fem fee Barra x movel O fluxo que atravessa a superficie contida pelo caminho fechado em um tempo t é BSByd A partir da lei de Faraday fem adotada no sentido antihorario obtemos db dy m gy 5 a fe dt at Se 07 Para uma carga Q movendose a uma velocidade em um campo magnético B temse F B FQvxB 0 YB 08 onde En representa um campo elétrico de movimento que gera fem v Q Assim temos fem EedL xBedL 09 No caso do condutor que se move sob a agao do campo magnético figura acima obtemos d fem 4 E dL Vx Be dxaJ vBdx equacao 07 acima 0 Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo IX CAMPOS VARIAVEIS NO TEMPO E AS EQUACOES DE MAXWELL 88 913 Fem total devido a um campo varidvel e um caminho movel Se a densidade de fluxo magnético esta também variando com o tempo entéo nds devemos incluir ambas as contribui6es a fem de transformador 05 e a fem de movimento 09 resultando em 8 0B fem Bedb SedS xBe aL 10 S Nota Tanto a expresso 10 acima pode ser usada em qualquer situacao para calcular a fem como também podese usar a expressao 01 Se 0 circuito envolver N espiras sob a acao do fluxo o valor final da fem deve ser multiplicado por N 92 CORRENTE DE DESLOCAMENTO A forma pontual da lei circuital de Ampére VxHJ 11 apesar de adequada para aplicacéo em situagdes com campos magnéticos estaciondrios é inadequada para aplicacdo em condiées varidveis no tempo Demonstracao da validade desta afirmativa Tomando a divergéncia de ambos os lados de 11 VeVxHVeJ Mas sabemos que divrotH 0 resultando VeJ0 12 Porém a equacao da continuidade seao 52 afirma que op VejJ 13 13 Para que haja igualdade entre 12 e 13 é necessario que op Vv 0 ot 0 qual representa uma limitac4o irreal para campos variaveis no tempo Tornando a expressao 11 compativel para qualquer situacdao Adicionando um termo desconhecido G a 11 temos VxHJG 14 Tomando novamente a divergéncia de ambos os lados VeVxHVeJVeG Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo IX CAMPOS VARIAVEIS NO TEMPO E AS EQUACOES DE MAXWELL 89 Fazendo divrotH 0 resulta em VejJVeG0 Da equacao da continuidade 13 6G dpy OP V e G rv Tv ot ot De p V eD temos VeGe aleD ved ot ot Dai chegamos a 0D G 15 5 Substituindo 15 em 14 chegamos finalmente a OD a VxHJ Ot Lei circuital de Ampére forma pontual 16 Fazendo oD j2 17 d 17 sendo Jy chamada de densidade de corrente de deslocamento Substituindo 17 em 16 VxHJJ 18 Semelhantemente a corrente de conduc4o podese determinar a corrente de deslocamento por Iy igedSaf sees 19 R 5 ot Integrando 16 sobre uma superficie S para obtencao da forma integral da lei circuital de Ampere D J VxHedSf JedSf OD a8 S 5 ot Aplicando o teorema de Stokes ao primeiro membro da express4o acima chegamos a oD os a HedL I oe edS Lei circuital de Ampére forma integral 20 S Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo IX CAMPOS VARIAVEIS NO TEMPO E AS EQUACOES DE MAXWELL 90 93 EQUACOES DE MAXWELL EM FORMA PONTUAL OU DIFERENCIAL As quatro equagoes basicas de Maxwell sao as seguintes OB 1 VxE vi Lei de Faraday forma pontual 21 Oo 2 VxHJ ve JJy Lei de Ampére forma pontual 22 3 VeD Py Lei de Gauss do cpo elétrico forma pontual 23 4 VeB0 Lei de Gauss do cpo magnético forma pontual 24 Equacoes auxiliares 5 DeE 25 6 BuH 26 7 JoE 27 8 Jpv 28 Equacgoes envolvendo campos de polarizacao e magnetizaao 9 DeEP 29 10 BpA M 30 Para materiais lineares 11 PyE 31 12M H 32 Equacao da forga de Lorentz 13 f fr fu p E VX B forga por unidade de volume 32 94 EQUACOES DE MAXWELL EM FORMA INTEGRAL As quatro equagoes basicas de Maxwell sao as seguintes 8 0B 1 EedL at eds Lei de Faraday forma integral 33 8 oD 2 HedL at eds Lei de Ampére forma integral 34 3 DedSJ pydv Lei de Gauss do cpo elétrico forma integral 35 4 f BedS0 Lei de Gauss do cpo magnético forma integral 36 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIXX CCAAM MPPO OSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNO O TTEEM MPPO O EE AASS EEQ QUUAAÇÇÕ ÕEESS DDEE M MAAXXW WEELLLL 91 Condições de contorno entre 2 meios ou regiões quaisquer Componentes tangenciais 5 Et1 Et2 37 6 Ht1 Ht2 k Se k 0 então Ht1 Ht2 38 Componentes normais 7 Dn1 Dn2 ρS Se ρS 0 então Dn1 Dn2 39 8 Bn1 Bn2 40 Condições de contorno entre 2 regiões se a região 2 for condutora perfeita σ Componentes tangenciais 9 Et1 0 41 10 Ht1 k 42 Componentes normais 11 Dn1 ρS 43 12 Bn1 0 44 95 EXEMPLOS DE CÁLCULO DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA Como visto na seção 91 quando um circuito se movimenta v 0 e B varia com o tempo 0 t B a fem induzida total representada nas figuras pelo símbolo ν no circuito é dada por t dS B s B d v ℓ t m fem fem fem caso geral 45 sendo femm e femt as fems de movimento e de transformador respectivamente A equação 45 será usada nos exemplos a seguir que apresentam grau de dificuldade crescente Exemplo 1 Espira sem movimento e com variação de B ver figura Seja t B cos B 0 ω na espira fixa de área A da figura Fazendo v 0 em 1 obtemos A B sen t t dS B s 0 ω ω femt fem V Nota S d tomado no mesmo sentido de B CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIXX CCAAM MPPO OSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNO O TTEEM MPPO O EE AASS EEQ QUUAAÇÇÕ ÕEESS DDEE M MAAXXW WEELLLL 92 Exemplo 2 Espira com movimento e sem variação de B ver figura Seja a espira formada com o condutor deslizante conforme figura Se 0 t B B constante Substituindo em 45 obtemos ℓ ℓ vB v B d femm fem V Nota ℓ d tomado de acordo com S d ou B Exemplo 3 Espira com movimento e com variação de B ver figura anterior Na figura anterior faça t B cos B 0 ω Assim v 0 e 0 t B na equação 45 acima Cálculo da femm devido a velocidade do condutor fem de movimento 1a parcela de 45 v B cos t vB v B d 0 ω ℓ ℓ ℓ femm Nota ℓ d de acordo com S d ou B Cálculo da femt devido a variação temporal de B fem de transformador 2a parcela de 45 B sen t A B sen t t dS B s 0 0 ω ω ω ω x femt ℓ Cálculo da fem total t sen B t cos vB 0 0 ω ω ω ℓ ℓ x fem fem fem t m ω δ ω t sen v B 2 2 0 x fem ℓ onde ωx δ v tan 1 e x comprimento instantâneo da espira Exemplo 4 Tira condutora móvel sem variação de B 0 t B ver figura Seja a espira fixa formada com a tira deslizante da figura Se 0 t B B constante Substituindo em 45 obtemos ℓ ℓ vB v B d m fem Nota ℓ d tomado de acordo com S d ou B Aplicação Gerador de disco de Faraday CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO CCaappííttuulloo IIXX CCAAM MPPO OSS VVAARRIIÁÁVVEEIISS NNO O TTEEM MPPO O EE AASS EEQ QUUAAÇÇÕ ÕEESS DDEE M MAAXXW WEELLLL 93 Exemplo 5 Tira móvel com variação de B Na figura anterior faça t B cos B 0 ω Cálculo da femm devido ao movimento da tira 1a parcela de 45 cos t vB vB v B d 0 ω ℓ ℓ ℓ femm Cálculo da femt devido a variação temporal de B 2a parcela de 45 sen t B sen t A B t dS B s 0 1 0 ω ω ω ω ℓ x femt Cálculo da fem total t sen B t cos vB 0 1 0 ω ω ω ℓ ℓ x fem fem fem t m ω δ ω t sen v B 2 1 2 0 x fem ℓ onde v tan 1 1 ωx δ Exemplo 6 Espira rotativa sem variação de B gerador CA ver figura Seja a figura representativa de um gerador CA elementar com uma única espira onde temos a vista em perspectiva com a espira em posição vertical b vista da seção transversal perpendicular ao eixo com a espira numa posição qualquer Seja θ o ângulo entre v e B medido no sentido antihorário sendo θ 0 para a espira na posição vertical considerar como instante t 0 Se 0 t B B constante De 45 e ℓ d tomado de acordo com S d regra do sacarolhas θ 2vB sen v B d ℓ ℓ femm Como θ ωt e v ωR 2 R Bsen t ω ω ℓ femm Como 2Rℓ A área da espira BAsen t ω femm ω Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo IX CAMPOS VARIAVEIS NO TEMPO E AS EQUACOES DE MAXWELL 94 Exemplo 7 Espira rotativa com variacao de B figura anterior Seja BBoy senot na figura anterior sendo a freqiiéncia w de oscilagdo deste campo igual a velocidade angular de rotagdo da espira Quando t0B0 e 0 espira na posicio vertical De 45 e d consistente com dS regra da mao direita ou do sacarolhas obtemos fem 20R 0 By sen wt OR By 1 cos 2at fem 20R By cos wt OR By 1 cos 2at fem fem fem 20R Bp cos2ot Notas sobre o exemplo 7 a A componente CC estaciondria ou independente do tempo da fem existente tanto em fem como em fem desapareceu na fem total v b A fem total é fungao do dobro da freqiiéncia angular w expressa em rads que representa tanto a freqiiéncia de rotagao da espira como também a freqiiéncia de variagao temporal do campo magnético EXERCICIOS PROPOSTOS 91 Partindo das equagdes de Maxwell no espaco livre vacuo determinar a O campo magnético H a partir de E A cos at nya b O campo elétrico E a partir de B ycos t nzay sentnza Nota A ensdao constantes e nU A AW Respostas a H on cos t ny cos nya cos t ny cos ota U n b E ay cos t nz cos nza cos t nzcos ota U n 92 a Uma espira quadrada de lado 1 m tem seu plano normal a um campo magnético B Determinar a fem maxima induzida na espira nas seguintes condigées al A espira é mantida estacionaria enquanto 0 campo magnético varia de acordo com B Bocos2mft sendo f 159 Hz e Bo 3 mT a2 Ocampo é mantido fixo em B Bo 3 mT enquanto a espira gira a uma rotacao constante f 159 rots cortando o fluxo magnético devido a B b Na figura ao lado a corrente induzida no circuito II a direita sera no sentido horario ou antihorario quando a chave do circuito I é fechada Justificar sua resposta 4 com os conceitos ja estudados s Respostas a1 femmax 3 V a2 femMmax 3 V Circuito I Circuito Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo IX CAMPOS VARIAVEIS NO TEMPO E AS EQUACOES DE MAXWELL 95 b Quando a chave é fechada uma corrente flui no sentido horario no Circuito I produzindo um fluxo que entra no laco do Circuito I e sai no lago do Circuito II Pela Lei de Lenz a corrente induzida no laco do Circuito II deve produzir um fluxo em oposicao ao fluxo indutor isto é entrando no laco do Circuito II Entao a corrente induzida no Circuito II deve fluir no sentido horario 93 a Junto a uma superficie condutora perfeita temos os campos de uma onda eletromagnética expressos por E 8 Vm e H28 107 Am Determinar os valores das densidades de carga e de corrente na superficie do condutor b Em uma certa regidio do espacgo livre o campo elétrico vale Et E senBz cost a sendo E 0 valor maximo do campo elétrico a frequéncia rads t o tempo s B um parametro radm e z a distancia m b1 Determinar 2 express6es para Ht nesta regiaio partindo das equacdes de Maxwell b2 A partir destas 2 expressdes de Ht calcular também o valor numérico de Respostas a Pps 85 Cm e K 28107 Am E E b1 H Eo cos Bzsen ota e H Fo Yo cos zsen ot ay oo B b2 2 1 3x108 ms velocidade da luz Bo Mo 94 Duas bobinas A e B de 300 e 600 espiras respectivamente sao colocadas lado a lado Pela bobina A fazse circular uma corrente de 15 A produzindo um fluxo de 012 mWb nesta bobina e um fluxo de 009 mWb na bobina B Calcular a A autoindutancia da bobina A b A indutancia mitua entre as bobinas A e B c O valor médio da fem induzida em B quando se interrompe a corrente de A num tempo de 02 s Respostas a La 24mH bM36mH c femg 027 V 95 Um condutor retilineo longo conduz uma corrente expressa por 1m i 100 sen400t onde t o tempo OTs ielefanica Determinar a fem por unidade de comprimento induzida por este condutor sobre uma linha telefOnica préxima constituida por dois cabos paralelos ao condutor conforme mostra 0 jj esquema fem mV I Resposta 277 cos 400t I i 100 sen4not condutor 96 Uma bobina primario de 2000 espiras esta enrolada sobre um nticleo de ar de 100 cm de comprimento e 2 cm de diametro Outra bobina secundario esta enrolada sobre a bobina primaria Admitindo que a corrente na bobina primaria varia de 0 a 10 A em 001 segundo e que nao haja fluxo disperso determine a O numero de espiras que a bobina secundaria deve possuir para que a fem induzida nesta seja de 2 V Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo IX CAMPOS VARIAVEIS NO TEMPO E AS EQUACOES DE MAXWELL 96 b O valor médio da fem induzida na bobina secundaria admitindo que ela possui 1100 espiras e o nucleo é de ferro apresentando uma permeabilidade relativa constante e igual a 115 Respostas a Nz 2533 espiras b fem2 100 V 97 Uma espira quadrada possui os vértices em 0 0 0 02 0 0 02 02 0 e 0 02 0 em t 0 A espira é um condutor perfeito exceto em um de seus lados onde existe um pequeno resistor de 100 Q e est4 se movendo através do campo B 5 cos6 108t2y a uT com uma velocidade constante de 40 a ms Calcular a A tensao induzida fem na espira em fungao do tempo b A poténcia dissipada Pr no resistor em fungao do tempo c O torque T produzido na espira em funao do tempo Respostas a fem 310 cos610t 04 cos610t uv b Pp 1421 cos 610t785 W c T0 98 Num fio infinito situado sobre o eixo y circula uma corrente I no sentido a Uma espira quadrada de lado a situase no plano xy com seu lado paralelo e préximo do fio mantido inicialmente a uma distancia h do fio Calcular a fem induzida na espira se a A espira permanece imovel e a corrente do fio é I Imsenat b A espira se afasta do fio com velocidade constante e igual a v e a corrente do fio é II constante I t h 2 Respostas a fem Lo macost sy ava b fem Holma Qn h 2nhha 99 Um anel de 3 voltas com 05 m7 de area situado no ar tem um campo magnético uniforme normal ao plano do anel a Se a densidade de fluxo variar de 5 mTs qual é a fem que aparece nos terminais do anel b Se a fem nos terminais do anel for de 100 mV qual sera a taxa de variagéo do campo magnético dB Respostas a fem 75 mV b or 666 mTs 910 Calcular o valor maximo da corrente no fio 1I0cos 5000t A infinito da figura a fim de que o valor eficaz da corrente na resisténcia de 005 Q da espira T retangular seja igual a 01 A 0052 Resposta I 1373 A 30cm lcm Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo IX CAMPOS VARIAVEIS NO TEMPO E AS EQUACOES DE MAXWELL 97 911 A figura abaixo mostra um condutor retilineo longo e estreito de comprimento conectado através de fios condutores flexiveis a um voltimetro e executando um movimento harmdénico simples no plano yz sendo submetido a um campo magnético varidvel dado por B Byax COS t a O eixo z é uma posicao de equilibrio do condutor 0 qual vibra no plano yz entre y b e y b com uma velocidade dada por V Vypax COSt ay a Determinar a fem induzida no condutor desprezando a contribuiao dos fios flexiveis TU b Indicar na figura o sentido da corrente resultante no instante t 50 segundos tz 4 h I OMIIN W4 DR v B f fem I HHO Respostas a fem Vinax Bmaxcos20t MB y4 Senwt b Sentido antihorario 912 Considere uma regiao cilindrica infinitamente longa contendo um B z campo alternado dado em coordenadas cilfndricas como i BB coswta4 empa e B0 em pasendo By e Q constantes e a freqiiéncia angular Isto significa que B é espacialmente constante sobre a area do circulo de raio p e oscila harmonicamente no tempo como acontece com um solendide infinito ideal onde circula corrente alternada Determinar 0 campo elétrico induzido E devido a este campo magnético alternado B na regiao a p a isto é internamente a regido cilindrica ou ao solendide infinito ideal de raio a b p a isto é externamente a regido cilindrica ou ao solendide infinito ideal de raio a 1 4 Respostas a Ey 5 Bo sentQ para p a 1 a b Ey 5 Bo sen tOQ para pa p Wi CONCEITOS TEORICOS E EXERCICIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO J Capitulo IX CAMPOS VARIAVEIS NO TEMPO E AS EQUACOES DE MAXWELL 98 913 A figura ao lado mostra uma barra condutora formada por trés segmentos situada sobre dois trilhos condutores paralelos conectados a um voltimetro Toda a configuracgdo esta submetida a uma densidade de fluxo magnético B Calcular a fem induzida em cada uma das seguintes situagées a B2a wT V6a mis b B2e a uT V0 ms c B2e a UT v6a ms Dizer também qual 0 sentido da corrente induzida em cada situacao justificando sua resposta Respostas Para concordar com o vetor B adotase o sentido antihorario para a fem e portanto para a corrente resultante Apds 0 calculo da fem chegase a a fem12 wV Logo a corrente sera no sentido horario b fem09 e Ot uv Logo a corrente sera no sentido antihorario c fem03 e Ot uV Logo a corrente sera no sentido horario Barra deslizante YA 4B iit 7 foo Trilho fixe fo 1 v scm 2 z li 3cm Trilha fixe 1 x 5cm i 35cm CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS BBIIBBLLIIO OG GRRÁÁFFIICCAASS 99 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1 HAYT JR Willian BUCK JA Eletromagnetismo McGrawhill Interamericana 7a Edição 2008 Livro texto 2 EDMINISTER Joseph Eletromagnetismo Coleção Schaum Editora Bookman 2 a Edição 2006 Livro de Exercícios 3 GUIMARÃES GC Apostila de Exercícios Resolvidos de Eletromagnetismo ano 2001 4 QUEVEDO CP Eletromagnetismo Edições Loyola São Paulo 1993 5 COREN RL Basic Engineering Electromagnetics PrenticeHall International Editions 1989 6 KRAUS JD Electromagnetics McGraw Hill 1999 7 MARTINS N Introdução à Teoria da Eletricidade e do Magnetismo Editora Edgard Blücher Ltda 1973 8 REITZ JR MILFORD FJ CHRISTY RW Fundamentos da Teoria Eletromagnética Editora Campus 1982 9 KIP AF Fundamentos de Eletricidad y Magnetismo McGrawHill 1972 10 SCHWARZ SE Electromagnetics for Engineers Saunders College Publishing 1990 11 SHADOWITZ A The Electromagnetic Field Dover Publications Inc New York 1975 12 MACEDO A Eletromagnetismo Editora Guanabara SA Rio de Janeiro 1988 13 ULABY Fawwaz T Eletromagnetismo para Engenheiros Editora Artmed Bookman 2007 14 PAUL Clayton R Eletromagnetismo para Engenheiros Editora LTC 2006 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS BBIIBBLLIIO OG GRRÁÁFFIICCAASS 100 Anotações Gerais CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO AAnneexxoo II SSO OLLUUÇÇÃÃO O DDEE EEQ QUUAAÇÇÃÃO O DDIIFFEERREENNCCIIAALL PPO ORR SSÉÉRRIIEE IINNFFIINNIITTAA DDEE PPO OTTÊÊNNCCIIAASS 101 Anexo I SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL POR SÉRIE INFINITA DE POTÊNCIAS Este anexo pretende mostrar que a solução da equação diferencial 01 abaixo ou da equação 07 da seção 65 resolvida naquele lugar pelo Método da Dedução Lógica pode ser feita por um método mais longo porém mais potente e abrangente a Substituição por Série Infinita de Potências X dx d X 2 2 2 α 01 Supondo que a solução procurada X seja representada por uma série infinita de potências de x 0 n anxn X 02 Substituindo 02 em 01 efetuando as derivações obtémse α 0 n n n 2 0 n n n 2 a x 1 a x n n 03 Se as duas séries infinitas de potências são iguais estão os coeficientes correspondentes de mesma potência de x das duas séries devem ser iguais termo a termo Assim 0 2 2 a 2 1 a α 1 2 3 a a 2 3 α n 2 n 2 a 1 a 2 n n α 04 Os coeficientes pares podem ser expressos em função do coeficiente 0 a enquanto que os coeficientes ímpares podem ser escritos em função de 1 a conforme mostra o quadro Coeficientes pares Coeficientes ímpares 0 2 0 2 2 2 a 2 1 a a α α α α α 1 3 1 2 3 a 3 2 a 3 a 0 4 2 2 4 4 a 3a 4 a α α α α α 1 5 3 2 5 a 5 4 a 5 a 0 6 4 2 6 6 a 6 5 a a α α α α α 1 7 5 2 7 a 7 6 a 7 a 0 n n n a a α n par α α 1 n n a n a n ímpar Substituindo estes coeficientes de volta na série de potências original 02 obtémse CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO AAnneexxoo II SSO OLLUUÇÇÃÃO O DDEE EEQ QUUAAÇÇÃÃO O DDIIFFEERREENNCCIIAALL PPO ORR SSÉÉRRIIEE IINNFFIINNIITTAA DDEE PPO OTTÊÊNNCCIIAASS 102 α α α n ímpar 1 n n n 1 n par 0 n n n 0 x n a x n a X ou α α α n ímpar 1 n n 1 n par 0 n n 0 n x a n x a X 05 Reconhecendo que a primeira e a segunda série do segundo membro de 05 são respectivamente o coseno hiperbólico e o seno hiperbólico expressos por 06 e 07 α α α α 4 x 2 x 1 n x x cosh 4 2 n par 0 n n 06 α α α α α 5 x 3 x x n x x senh 5 3 n ímpar 1 n n 07 chegase a equação 08 a senh x a cosh x X 1 0 α α α 08 Fazendo A a0 e α a B 1 chegase a solução final 09 mostrada abaixo B senh x A cosh x X α α 09 Devese observar que as constantes A e B são calculadas em termos das condições de contorno estabelecidas para o problema As funções hiperbólicas de 09 podem ser escritas em termos de exponenciais ou seja 2 e e x cosh x x α α α 10 2 e e x senh x x α α α 11 Assim substituindo 10 e 11 em 09 obtémse a expressão final 12 em termos de exponenciais onde foram selecionadas novas constantes arbitrárias A e B x x B e A e X α α 12 Atenção O aluno deve exercitar a utilização do método aqui apresentado Substituição por Série Infinita de Potências resolvendo agora a equação diferencial 08 da seção 65 mostrada novamente em 13 Y dy d Y 2 2 2 α 13 CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO AAnneexxoo IIII CURVAS BH DE VÁRIOS MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS 103 Anexo II CURVAS BH DE VÁRIOS MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS Este anexo tem o objetivo de apresentar as curvas de magnetização ou curvas BH de quatro materiais ferromagnéticos diferentes a serem utilizadas em problemas do capítulo VIII ou seja A Curva de magnetização do ferro fundido B Curva de magnetização do aço fundido C Curva de magnetização do açosilício D Curva de magnetização da liga ferroníquel Figura 1 Curvas B H para H 400 Am Atenção para as divisões usadas na figura 1 Eixo B eixo vertical 002 T por cada divisão menor divisão Eixo H eixo horizontal 5 Am por cada divisão menor divisão D C B A CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO AAnneexxoo IIII CURVAS BH DE VÁRIOS MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS 104 Figura 2 Curvas B H para H 400 Am Atenção para as divisões usadas na figura 2 Eixo B eixo vertical 002 T por cada divisão menor divisão Eixo H eixo horizontal 50 Am por cada divisão menor divisão B C D B C D A