Física 3 - Poli - Prec 2008

Questão 2\nA densidade de corrente em um condutor cilíndrico muito longo de raio a é dada por\n\\mathbf{J} = J_0 \\hat{k}, onde J_0 é uma constante, conforme mostra a figura.\n\n(a) (0,5 ponto) Determine a corrente I através do condutor.\n\n(b) (1,0 ponto) Usando a lei de Ampère, calcule o campo magnético dentro e fora do condutor\n\nPerfurase um buraco cilíndrico muito longo de raio b no condutor. O eixo do buraco é paralelo ao eixo do condutor. A distância entre os eixos é igual a d (veja a figura abaixo).\nA densidade de corrente \\mathbf{J} é mantida constante.\n\n(c) (1,0 ponto) Usando idéias de superposição, calcule o campo magnético em pontos do eixo do buraco. Física III\nEscola Politécnica - 2008\nFGE 2203 - GABARITO DA PR\n31 de julho de 2008\nQuestão 1\nUm cilindro condutor longo de raio a e densidade linear de carga +λ está cercinado por uma casca cilíndrica coaxial condutora de raio b e densidade linear de carga -λ. O espaço entre eles está preenchido por um isolante com constante dielétrica κ, conforme mostra a figura.\n\n(a) (1,0 ponto) Calcule o campo elétrico em todo o espaço.\n\n(b) (1,0 ponto) Calcule a diferença de potencial entre o cilindro condutor de raio a e a casca cilíndrica condutora de raio b.\n\n(c) (0,5 ponto) Determine a capacitância por unidade de comprimento do sistema. Solução da questão 1\n(a) Dentro do condutor o campo é zero.\n\\mathbf{E} = \\mathbf{0} \\ para \\ 0 < r < a\n\nNa região que contém o dielétrico usamos o teorema de Gauss e tomamos como superfície gaussiana S um cilindro de raio r e altura h, coaxial com o cilindro de raio a e a casca cilíndrica. Se não houvesse o dielétrico,\n\\int_S \\mathbf{E_0} \\cdot \\mathbf{dA} = \\frac{q_{in}}{\\epsilon_0} \\rightarrow E_0 2 \\pi r h = \\frac{\\lambda}{\\epsilon_0} \\rightarrow \\mathbf{E_0} = \\frac{\\lambda}{2 \\pi \\epsilon_0 r} \\hat{r}\n\nDevido ao dielétrico o campo elétrico fica reduzido por um fator κ:\n\\mathbf{E}(r) = \\frac{\\lambda}{2 \\pi \\epsilon_0 k r} \\ para \\ a < r < b\n\nNa região r > b a lei de Gauss e argumentos de simetria fornecem\n\\mathbf{E} = \\mathbf{0} \\ para \\ r > b\n\n(b) A ddp V entre o cilindro e a casca é\nV = -\\int_C \\mathbf{E} \\cdot d\\mathbf{l} = -\\int_a^b E(r) dr = -\\int_a^b \\frac{\\lambda}{2 \\pi \\epsilon_0 k r} dr \\rightarrow V = -\\frac{\\lambda}{2 \\pi \\epsilon_0 k} \\ln \\left( \\frac{b}{a} \\right)\n\n(c) A capacitância para um comprimento \\ell do sistema é dada por\nC = \\frac{|Q|}{|V|} = \\frac{\\lambda}{|V|} = \\frac{\\lambda}{2 \\pi \\epsilon_0 k} \\ln \\left( \\frac{b}{a} \\right) \\rightarrow C = \\frac{2 \\pi \\epsilon_0 k}{\\ln \\left( \\frac{b}{a} \\right)} Dois anéis condutores concêntricos, não coplanares, estão dispostos conforme a figura. O anel 1 tem raio a, é composto por N espiras e é percorrido por uma corrente I(t) = I0 cos(ωt), sendo I0 e ω constantes. O anel 2 tem raio b, é muito menor do que o anel 1 (b << a) e tem apenas uma espira com resistência R. O plano do anel 2 forma um ângulo θ com o plano do anel 1.\n(a) (1,0 ponto) Calcule a fem induzida no anel 2 pelo anel 1 (Aproxim e o campo magnético que age sobre o anel 2 pelo campo magnético produzido pelo anel 1 no seu centro: B1 = μ0 I0/2a).\n(b) (1,0 ponto) Determine a indutância mútua entre os anéis.\n(c) (0,5 ponto) Calcule o torque τ sobre o anel 2. A corrente I é dada por |I| = J0πa²\n(b) A lei de Ampère é ∮C →B · d→l = μ0Itotal.\nDevido à simetria cilíndrica, é conveniente escolher como contornos C círculos de raio r centrados no eixo de simetria do cilindro.\nFora do condutor (r > a), a corrente Itotal é a calculada no item (a) \n⇒ ∮ →B · d→l = B2πr = μ0Itotal = μ0J0πa²\n⇒ →B = μ0J0a²/2r →\nhat{k}\nDentro do condutor (r < a), a corrente Itotal é J0πr²\n⇒ ∮ →B · d→l = B2πr = μ0Itotal = μ0J0πr²\n⇒ →B = μ0J0r/2 →\nhat{k}\n(c) Pelo princípio de superposição, o campo magnético no cilindro com o buraco é igual ao campo produzido por um cilindro de raio a sem buracos, com uma densidade de corrente →J, somado ao campo produzido por um cilindro de raio b com uma densidade de corrente −→J , preenchendo o buraco.\nComo o campo produzido pelo cilindro de raio b no seu próprio eixo é zero (veja o item (b)), o campo no eixo do buraco é o produzido apenas pelo cilindro de raio a a uma distância d de seu eixo:\n∮ →B · d→l = B2πd = μ0Itotal = μ0J0πd² \n⇒ →B = μ0J0d/2 →\nhat{k} O fluxo magnético no anel 2, produzido pelo anel 1 é\nΦ21 ≈ Nμ0I0/2a cos(ωt)πb² cos θ\nΦ21 = Nμ0I0/2a cos(ωt)πb² cos θ \n⇒ ε = −dΦ21/dt = Nμ0I0/2a ωsen(ωt)πb² cos θ\n(b) A indutância mútua M é dada por\nM = Φ21/I = Nμ0I0πb² cos θ/2aI\nM = Nμ0πb² cos θ/2a\n(c) O torque pode ser calculado através de →τ = →m × →B1, onde →m = I2A2 →n é o momento magnético do anel 2. O vetor área A2 = πb² →n e I2 = ε/R assim\n→τ = →m × →B1 = (I2πb² →n) × (→B1k) = I2πb²B1sen θ →r\nτ = (Nμ0I0/2aR ωsen(ωt)πb² cos θ) πb²(Nμ0I0/2a cos(ωt)) sen θ\nτ = (Nμ0I0/2a)² ω sen(2ωt) sen(2θ)/4R Questão 4\nUm capacitor descarregado e um resistor são ligados em série a uma bateria como vemos na figura. Em t=0 a chave é ligada.\n(a) (0,5 ponto) Escreva a equação diferencial para a corrente no circuito depois da chave ser fechada.\n(b) (1,0 ponto) Determine a corrente I(t) no circuito (lembre que I(0) = ε/R).\n(c) (1,0 ponto) Calcule a carga q(t) no capacitor em função do tempo. Quanto vale q(0)? Solução da questão 4\n(a) Percorrendo a malha do circuito obtemos\nε - RI - q/C = 0 ⇒ d/dt(ε - RI - q/C) = 0 ⇒ 0 - 1/C dq/dt - R dI/dt = 0\nComo dq/dt = I,\n[\\frac{dI}{dt} + \\frac{I}{C} = 0]\n(b) A equação diferencial do item (a) pode ser reescrita como\ndI/dt = -I/RC ⇒ I(t) = Ae^{-t/RC},\nonde A é uma constante. Lembrando que I(0) = ε/R obtemos\nI(t) = ε/R e^{-t/RC}\n(c) A carga e a corrente estão relacionadas através da expressão\ndq/dt = I(t) = \\frac{ε}{R} e^{-t/RC}\nEm t = 0, q = 0\n⇒ ∫[0 to q]{dq} = \\frac{ε}{R} ∫[0 to t]{e^{-t/RC} dt} = -\\frac{ε}{R} RC e^{-t/RC}|^t_0\n[q(t) = Cε(1 - e^{-t/RC}) = Q_m(1 - e^{-t/RC})] Formulário\nVB-VA = - ∫[A to B]{E·dl} = 1/(4πε0) ∫[dq/r]; E = -∇V; Φe = ∫[E·dA]/ε0,\nu = ε0E²/2, C = Q/V,\nu = Q²/2C, CV²/2 = ε/ε0·E²/2, E = σ/ε₀, u = ε/ε₀E², τ = dq/dt, J = n|q|v_d.\nρ(T) = ρ0[1 + α(T-T0)], dR = ρ dL, R = ε - Ir, P = VI = I²R = V²/R.\nF̅ = qE̅ + qv̅ × B̅, ΦB = ∫[B̅ ·dA], F = qE̅ ·dA, dF = Idl = ib,\u00b7 = μH̅, U = -μH̅, dB = μ₀I₀dχ/4π, F = μ₀I₀I₂/2πr,\nB̅₀ = μ₀H̅, B̅ = B₀ + B̅₀ + μ₀(1 + χ_m)H̅ = (1 + χ_m)B̅₀,\nu = (1 + χ_m)μ₀ = Kmμ₀, ε = -dΦ/dt = d/dt E̅ ·B̅ ·dA.\nΦ_total = NΦ_espira = LI,\nΦ_total[21] = N₂Φ_espira = M21I₁, u = B²/2μ₀, U = L/I²/2 = B²/2μ.