Leisenoscossenos

Lei dos Senos e Lei dos Cossenos:\n\nLei dos Cossenos\nConsideremos um triângulo de lados a, b e c. Temos duas possibilidades: ou o triângulo é acutângulo ou é obtusângulo. Vejamos:\n\nTriângulo Obtusângulo\nTomemos um triângulo Obtusângulo qualquer, conforme abaixo\n\nPodemos escrever\n\nm = b.cos(180° - α) = b.(-cosα) = -b.cosα\nh = b.cos(180° - α) = b.cosα\n\nUtilizando o teorema de Pitágoras obtemos\n\na² = h² + (c + m)² = b².cos²α + e² + 2.e.(-h.cosα) + b².sen²α\nE então\n\na² = b² + c² - 2.b.c.cosα (1)\n\nTambém podemos escrever\n\nm = c.cosβ - c\nh = a.senβ\nE teremos\n\nb² = m² + h² = c².cos²β - 2.c.cosβ + c² + a².sen²β\nPortanto,\nb² = a² + c² - 2.a.c.cosβ (2) As expressões (1), (2), (3), (4), (5) e (6) nos demonstram a Lei dos Cossenos que afirma que:\n\nEm qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses lados e do cosseno do ângulo determinado por eles.\n\na² = b² + c² - 2.b.cosα\nb² = a² + c² - 2.a.cosβ\nc² = a² + b² - 2.a.b.cosγ Lei dos Senos\n\nSe tomarmos um triângulo ABC qualquer, saímos da Geometria que sempre é possível inscrevê-lo numa circunferência, conforme a figura abaixo:\n\nSe tracejarmos uma reta que passa pelo vértice B e pelo centro da circunferência, a interseção desta reta com a circunferência nos fornece o ponto D. Usando novamente resultados da geometria temos que:\n\nO ΔBDC é retângulo\nO ângulo ∠BAC é congruente ao ângulo ∠(BAC) pois os dois determinam a mesma corda na circunferência traçada.\n\nEntão\n\nsin(∠BAC) = sinα = a/2R → 2R = a/sinα\n\nUtilizando a mesma construção para os outros lados do triângulo temos que:\n\n2R/sinβ 2R/sinγ Com estes resultados, demonstramos a chamada Lei dos Senos que afirma que:\n\nEm qualquer triângulo, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.\n\na b\n---- = ----\n sin α sin β\n c\n----\n sin γ 2r 21) Calcular os tr\u00eas \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo que tem lados com medidas 2, \\u221a6, 0 \\u221a3 + 1.\nResposta: 45\u00b0, 60\u00b0 e 75\u00b0.\n22) (EPUSP-56) Os lados de um tri\u00e2ngulo s\u00e3o dados pelas express\u00f5es:\na = x + t, b = z + t, c = -r + l. Demonstre que um dos \u00e2ngulos do tri\u00e2ngulo mede 120\u00b0.\n11) Um observador colocado a 25m de um pr\u00e9dio v\u00ea um edif\u00edcio sob certo \u00e2ngulo. Afastando-se em linha reta mais 50 m, nota que o \u00e2ngulo de visualiza\u00e7\u00e3o \u00e9 metade do anterior. Qual \u00e9 a altura do edif\u00edcio?\nResposta: 25/\\u221a3 m.\n12) Num tri\u00e2ngulo qualquer, suponha conhecidos o per\u00edmetro p, a medida dos \u00e2ngulos adjacentes (\\u03b2 e \\u03b3) e um lado de medida a. Expresse a medida do lado x em fun\u00e7\u00e3o dos \u00e2ngulos \\u03b2 e \\u03b3 e do per\u00edmetro.\nResposta: x = (p/(\\u03b2 + \\u03b3 + 180)) * a.\n13) No tri\u00e2ngulo abaixo, calcule a medida de x.\nResposta: \\u221a7. 14) No tri\u00e2ngulo da figura abaixo s\u00e3o dados. \\u03b1 = 4, b = 3/2, e C = 45\u00b0. Calcule a medida c.\nRespostas: \\u221a70.\n15) Dois lados de um tri\u00e2ngulo medem 8 m e 12 m e formam entre si um \u00e2ngulo obtuso de 120\u00b0. Qual \u00e9 a medida do terceiro lado?\nResposta: \\u221a19 m\n16) (FEI-77) Calcular c sabendo que, \\u03b1 = 4, b = 3/2, c = 45\u00b0.\nResposta: \\u221a70.\n17) Na figura abaixo um observador est\u00e1 no ponto A e quer saber a dist\u00e2ncia entre o ponto onde ele est\u00e1 e uma \u00e1rvore situada do outro lado do rio. O observador se locomove de A para B, de onde avista tamb\u00e9m a \u00e1rvore (no ponto P).\n\nQual \u00e9 a dist\u00e2ncia do A a P sabendo que a dist\u00e2ncia de A a B \u00e9 de 2 km, a medida do \u00e2ngulo \\u2220 BAP \u00e9 igual a 120\u00b0 e a medida do \u00e2ngulo \\u2220 ABP \u00e9 igual a 45\u00b0?\nResposta: Aproximadamente 5459 m.\n18) (MAPOFEI - 76) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 8 cm e 12 cm e formam um \u00e2ngulo de 60\u00b0. Calcular o comprimento das diagonais.\nResposta: diagonal menor=\\u221a7, diagonal maior=\\u221a19 m.\n19) Dois lados de um tri\u00e2ngulo medem \\u221a3 cm e 4 m. O \u00e2ngulo entre estes lados mede 30\u00b0. Qual \u00e9 a medida do terceiro lado deste tri\u00e2ngulo?\nResposta: \\u221a7 m.\n20) Calcular o lado c de um tri\u00e2ngulo ABC sendo dados \\u2220 A = 120\u00b0, b = 1 1/2 = 2.\nResposta: c = -1/6.\\u221a. Referências\n\nDante, L. Roborto. Matemática: Contexto e aplicações. Volume 1. Ed. 3. Impressão 1. Editora Ática. São Paulo, 2003.\n\nIozzi, Gelson (e outros). Fundamentos de Matemática Elementar. Volume 3. Ed Atual. São Paulo. 1977.