Capítulo 06

MAKRON\n\nBooks\n\nControladores de Tensão CA\n\n6.1 INTRODUÇÃO\n\nSe uma chave com tiristor for conectada entre a rede de alimentação CA e a carga, o fluxo de potência poderá ser controlado através da variação do valor eficaz da tensão CA aplicada à carga; e esse tipo de circuito de potência é conhecido como controlador de tensão CA. As aplicações mais comuns de controladores de tensão CA são: aquecimento industrial, mudança de derivação (do inglês tap) de transformador sob carga, controle de iluminação, controle de velocidade de máquinas de indução polifásicas e controle de eletromáquinas CA. Para a transferência de potência, dois tipos de controle normalmente são utilizados:\n\n1. controle liga-desliga ou tudo-ou-nada (do inglês on-off);\n\n2. controle do ângulo de fase.\n\nNo controle liga-desliga, as chaves com tiristores conectam a carga à rede de alimentação CA (fonte) por alguns ciclos da tensão de entrada e então desconectam por outros poucos ciclos. No controle de fase, as chaves com tiristores conectam a carga à fonte CA durante uma porção de cada ciclo da tensão de entrada.\n\nOs controladores de tensão CA podem ser classificados em dois tipos: (1) controladores monofásicos e (2) controladores trifásicos. Cada tipo pode ser subdividido em (a) controle unidirecional ou de meia-onda e (b) controle bidirecional ou de onda completa. Há várias configurações de controladores trifásicos, dependendo das conexões das chaves com tiristores. Como a tensão de entrada é CA, os tiristores são comutados pela rede; e os tiristores de controle de fase, que são relativamente baratos e mais lentos que os chaveamento rápido, são normalmente utilizados. Para aplicações de até 400 Hz, quando há TRIACs disponíveis para alcançar as especificações de tensão e corrente para uma aplicação particular, eles são mais comumente utilizados. As técnicas de comutação de tiristores são discutidas no Capítulo 7.\n\nDevido à comutação natural ou pela rede, não há necessidade de circuitos de comutação adicionais, tornando os circuits dos controladores de tensão CA muito simples. Devido à natureza das formas de onda de saída, a análise para a obtenção das derivações de expressões explícitas para os parâmetros de performance dos circuitos não é simples, em especial para conversores de ângulo de fase controlado com cargas RL. Por questões de simplificação, cargas resistivas são consideradas neste capítulo para se comparar as performances das várias configurações. Entretanto, as práticas práticas são que RL devem ser consideradas no projeto e na análise de controladores de tensão CA.\n\n6.2 PRINCÍPIO DO CONTROLE LIGA-DESLIGA\n\nO princípio do controle liga-desliga pode ser explicado com um controlador monofásico de onda completa, como mostrado na Figura 6.1a. A chave com tiristores conecta a rede de alimentação CA ao carga durante um tempo ti; a chave é desligada através da indicação da tensão CA de entrada, quando esta é zero. Os pulsos de gatilho para os tiristores T1 e T2 e as formas de onda para as tensões de entrada e saída são mostrados na Figura 6.1b.\n\nEsse tipo de controle é utilizado nas aplicações que têm alta inércia mecânica e constante de tempo térmica elevada (por exemplo, aquecimento industrial e controle de velocidade de máquinas elétricas). Devido ao chaveamento com tensão e corrente zero dos tiristores, os harmônicos gerados pela ação de chaveamento são reduzidos.\n\nPara uma tensão de entrada senoidal, vs = Vm sen ωt = √2 Vs sen ωt. Se a tensão de entrada for conectada à carga durante n ciclos e desconectada durante m ciclos, a tensão eficaz de saída (ou da carga) pode ser encontrada a partir de onde k = n/(m + n) e k é chamado ciclo de trabalho (do inglês duty cycle). Vs é a tensão eficaz de fase. As configurações do circuito para o controle liga-desliga são similares àquelas do controle de fase, e a análise de performance também é similar. Por essas razões, as técnicas de controle de fase são apenas discutidas e analisadas neste capítulo.\n\nFigura 6.1\n\nControle\n\nliga-desliga.\n\nExemplo 6.1\n\nUm controlador de tensão CA como o da Figura 6.1a tem uma carga resistiva de R = 10 Ω e a tensão eficaz de entrada é Vs = 120V, 60Hz. A chave com tiristores é ligada durante n = 25 ciclos. Determinar (a) a tensão eficaz (rms) de saída Vo, (b) o fator de potência de entrada PF e (c) a corrente média e eficácia dos tiristores.\n\nSolução: R = 10 Ω, Vs = 120V, Vm = √2 × Vs = 169.7V e k = n/(n + m) = 25/100 = 0.25.\n\n(a) A partir da Eq. (6.1), o valor eficaz da tensão de saída é\n\nVo = Vs √k = Vs √(n/(m + n)) = 120 √(25/10) = 60V\n\ne a corrente eficaz da carga é Io = Vo/R = 6² × 10 = 360W. Como a corrente de entrada é\n VA = V_s I_s = V_s I_o = 120 × 6 = 720 W O fator de potência de entrada é PF = \\frac{P_a}{RA} = \\frac{n}{m + n} = \\sqrt{k} = \\sqrt{0,25} \\cdot \\frac{360}{720} = 0,5 (indutivo) (6.2) (c) A corrente máxima no tiristor é I_m = \\frac{V_m}{R = 169,7/10 = 16,97 A. A corrente média dos tiristores é I_A = \\frac{n}{2 \\pi (m + n)} \\int_{0}^{\\pi} I_m sen(\\omega t) d(\\omega t) = 16,97/\\pi × 0,25 = 1,33 A A corrente eficaz dos tiristores é I_R = \\frac{n}{2 \\pi (m + n)} \\int_{0}^{2\\pi} I_m sen^2 (\\omega t) \\left[\\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{n}{m + n}}I_m \\sqrt{k}\\right]^{1/2} = 16,97\\sqrt{\\frac{n}{m + n}} = 4,24 A Notas: 1. O fator de potência e a tensão de saída variam com a raiz quadrada do ciclo de trabalho. O fator de potência é baixo em valores baixos do ciclo de trabalho, k, e isso é mostrado na Figura 6.1c. 2. Se T for o período da tensão de entrada, (m + n)T será o período do controle liga-desliga; (m + n)T deve ser menor que a constante de tempo mecânico ou térmica da carga e normalmente é menor que 15 (não devendo, portanto, ser em horas ou dias). A soma de m e n é em geral de cerca de 100. 3. Se a Eq. (6.2) for utilizada para determinar o fator de potência com m e n em dias, isso levará a um resultado erroneo. Por exemplo, se m = 3 dias e n = 3 dias, a Eq. (6.2) dá PF = [3/(3 + 3)]^{1/2} = 0,707, o que fisicamente não é possível, porque o controlador ficar ligado por 3 dias e desligado por 3 dias, o fator de potência será dependendo do ângulo de impedância da carga θ. 6.3 PRÍNCIPIO DO CONTROLE DE FASE O princípio do controle de fase pode ser explicado a partir da Figura 6.2a. O fluxo de potência para a carga é controlado atrasando-se o ângulo de disparo do tiristor T1. A Figura 6.2b ilustra os pulsos de gatilho do tiristor T1 e as formas de onda para as tensões de entrada e saída. Devido à presença do diodo D1, a faixa de controle é limitada e a tensão de saída rms efetiva somente pode ser variada entre 70% e 100%. A tensão de saída e a corrente de entrada são assimétricas e contêm uma componente CC. Se houver um transformador de entrada, ela pode causar um problema de saturação. Esse circuito é um controlador monofásico de meia-onda e é apropriado apenas para cargas resistivas de baixa potência, tais como aquecimento e iluminação. Como o fluxo de potência é controlado durante o semiciclo positivo da tensão de entrada, esse tipo é também conhecido como controlador unidirecional. Se vs = Vm sen ωt = √2 Vs sen ωt for a tensão de entrada e o ângulo de disparo do tiristor T1 for ωt = α, a tensão eficaz de saída será encontrada a partir de Vo = \\[ \\frac{1}{2\\pi} \\int_{0}^{\\pi} \\sqrt{2}V_s^2 sen^2\\omega t \\; d(\\omega t) + \\frac{1}{2\\pi} \\int_{\\pi}^{2\\pi} \\sqrt{2}V_s^2 sen^2\\omega t \\; d(\\omega t) \\] = V_s\\left[\\frac{1}{2\\pi}\\left(2\\pi - \\alpha + \\frac{sen 2\\alpha}{2}\\right)\\right]^{1/2} O valor médio da tensão de saída será V_médio = \\frac{1}{2\\pi} \\left[\\int_{0}^{\\alpha} \\sqrt{2}V_s sen\\omega t \\;d(\\omega t) + \\int_{\\pi}^{2\\pi} \\sqrt{2}V_s sen\\omega t \\;d(\\omega t)\\right] = \\frac{\\sqrt{2}V_s}{2\\pi}\\left[(cos \\alpha - 1)\\right] Se α variar de 0 a π, Vo oscilará de Vs a V_s\\sqrt{2} e V_médio, de 0 a -√2 Vs/π. Exemplo 6.2 Um controlador de tensão CA monofásico como o da Figura 6.2a tem uma carga resistiva de R = 10 Ω e a tensão de entrada é Vs = 120V, 60Hz. O ângulo de disparo do tiristor T1 é α = π/2. Determinar (a) o valor eficaz da tensão de saída Vo, (b) o valor de potência de entrada PE e (c) a corrente média de entrada. Solução: R = 10 Ω, Vs = 120 V, α = π/2 e Vm = √2 × 120 = 169,7 V. (a) A partir da Eq. (6.5), o valor eficaz da tensão de saída é Vo = 120 \\sqrt{\\frac{3}{4}} = 103,92 V (b) A corrente eficaz de carga é , I_o = \\frac{V_o}{R} = \\frac{103,92}{10} = 10,392 A A potência da carga é P_o = I_o^2 R = 10,392^2 \\times 10 = 1079,94 W Como a corrente de entrada é a mesma que a da carga, a potência aparente é VA = V_s I_s = Vs I_o = 120 × 10,392 = 1247,04 VA O fator de potência de entrada é PF = \\frac{P_o}{VA} = \\frac{V_o}{V_s}\\left[\\frac{1}{2\\pi}\\left(2\\pi - \\alpha + \\frac{sen 2\\alpha}{2}\\right)\\right]^{1/2} = \\frac{\\sqrt{3}}{4}= 0,866 (indutivo) (c) A partir da Eq. (6.6), a tensão média de saída é Vmedió = - 120 x √2 / 2pi = - 27 V e a corrente média de entrada é ID = Vmedió / R = - 27 / 10 = - 2,7 A Nota: O sinal negativo de ID significa que a corrente de entrada durante o semiciclo positivo é menor que o do semiciclo negativo. Se houver um transformador de entrada, o seu núcleo poderá saturar. Normalmente, o controle unidirecional não é utilizado na prática.\n6.4 CONTROLADORES MONOFÁSICOS BIDIRECIONAIS COM CARGAS RESISTIVAS\nO problema da corrente de entrada CC pode ser evitado utilizando-se controle bidirecional (ou em onda completa), e um controlador monofásico de onda completa com carga resistiva é mostrado na Figura 6.3a. Durante o semiciclo positivo de tensão de entrada, o tiristor T2 controla o fluxo de potência durante o semiciclo negativo de tensão de entrada. Os pulsos de disparo de T1 e T2 são defasados de 180°. As formas de onda para T1 e T2 são mostradas na Figura 6.3b. Se vs = √2 Vs, sen t for a tensão de entrada e os ângulos de disparo dos tiristores T1 e T2 forem iguais (α1 = α2 = α), a tensão eficaz de saída pode ser encontrada a partir de\n Vo = { 2 / (2π) ∫^π_α 2Vs sen²(ωt d(ωt) }^{1/2}\n = { 4V²s / (4π) ∫^π_α (1 - cos 2ωt) d(ωt) }^{1/2} \n = Vs [ 1 / π (π - α + sen 2α) / 2 ]^{1/2}\nVariando-se α de 0 a π, Vo poderá variar de Vs a 0.\nO circuito de disparo para os tiristores T1 e T2 da Figura 6.3a tem de ser isolado. É possível ter um cátodo comum para T1 e T2 adicionando-se dois diodos, como mostra a Figura 6.4. O tiristor T1 e o diodo D1 conduzem juntos durante o semiciclo positivo; e o tiristor T2 e o diodo D2 conduzem durante o semiciclo negativo. Como este circuito pode ter um terminal comum para os sinais de gatilho de T1 e T2, é necessário apenas um circuito isolado, mas ao custo de dois diodos de potência. Devido aos dois dispositivos de potência estarem conduzindo ao mesmo tempo, as perdas de condução dos dispositivos aumentam e a eficiência é reduzida. Um controlador monofásico de onda completa também pode ser implementado com um tiristor e quatro diodos, como mostrado na Figura 6.5a. Os quatro diodos agem como uma ponte retificadora. A tensão sobre o tiristor T1 e sua corrente são sempre unidirecionais. Com uma carga resistiva, a corrente no tiristor cai a zero devido à comutação natural em todo semiciclo, como mostrado na Figura 6.5b. Entretanto, se houver uma grande indutância no circuito, o tiristor T1 pode não ser desligado em todo o semiciclo da tensão de entrada, sendo possível uma perda do controle. Ele necessitará da detecção do cruzamento com o zero da corrente de carga a fim de garantir o desligamento do tiristor em condução, antes do disparo do próximo. Três dispositivos de potência conduzem ao mesmo tempo e a eficiência também é reduzida. O retificador em ponte e o tiristor (ou o transistor) agem como uma chave bidirecional, que está comumente disponível como um único dispositivo com uma perda de condução relativamente baixa.\nExemplo 6.3\nUm controlador de tensão CA monofásico de onda completa como o da Figura 6.3a tem uma carga resistiva de R = 10 Ω e a tensão de entrada igual a Vs = 120 V (rms), 60 Hz. Os ângulos de disparo dos tiristores T1 e T2 são iguais a: α1 = α2 = α = π/2. Determinar (a) a tensão eficaz de saída Vo (b) o fator de potência de entrada PF, (c) a corrente média dos tiristores IA e (d) a corrente eficaz dos tiristores IR.\nSolução: R = 10 Ω, Vs = 120 V, α = π/2 e vm = √2 x 120 = 169,7 V.\n(a) A partir da Eq. (6.8), a tensão eficaz de saída é Vo = 120 / √2 = 84,85 V. (b) O valor eficaz da corrente de carga I_o = V_s/V_R = 84,85/10 = 8,485 A e a potência da carga é P_o = L 2R = 8,485² × 10² = 719,95 W. Como a corrente de entrada é a mesma que a carga, a potência aparente nominal de entrada é\n\nVA = V_s I_s = V_s I_o = 120 × 8,485 = 1018,2 W\n\nO fator de potência de entrada é\n\nPF = P_o/VA = V_o/V_s = [1/π (π - α + sen 2α/2)]^{1/2}\n\n= 1/√2 719,95/1018,2 = 0,707 (indutivo)\n\n(6.9)\n\n(c) A corrente média do tiristor é\n\nI_A = 1/2πR ∫[0 to π] V_s sen ωt d(ωt)\n\n= √2 V_s/2πR (cos α + 1)\n\n(6.10)\n\n= √2 × 120/2π × 10 = 2,7 A\n\n(d) O valor eficaz da corrente no tiristor é\n\nI_K = [1/2πR ∫[0 to π] 2V_s² sen² ωt d(ωt)]^{1/2}\n\n= [2V_s²/4πR² ∫[0 to π] (1 - cos 2ωt) d(ωt)]^{1/2}\n\n= V_s/√2R [1/π (π - α + sen 2α/2)]^{1/2}\n\n(6.11)\n\n= 120/2 × 10 = 6 A 6.5 CONTROLADORES MONOFÁSICOS COM CARGAS INDUTIVAS\n\nA Seção 6.4 trata dos controladores monofásicos com cargas resistivas. Na prática, a maioria das cargas, até um certo ponto, é indutiva. Um controlador de onda completa com uma carga RL é mostrado na Figura 6.6a. Supor que o tiristor T_1 seja disparado durante o semiciclo positivo e conduza a corrente de carga. Devido à indutância no circuito, a corrente no tiristor T_1 não cai a zero em ωt = π, quando a tensão de entrada começa a ficar negativa. O tiristor T_1 continuará a conduzir até que sua corrente i_1 caia a zero em ωt = β. O ângulo de condução do tiristor T_1 é θ = β - α e depende do ângulo de disparo α e do ângulo do fator de potência da carga θ. As formas de onda para corrente no tiristor, pulses de gatilho e tensão de entrada são mostradas na Figura 6.6b.\n\nSe v_s = √2 V_s sen ωt for a tensão instantânea de entrada e o ângulo de disparo do tiristor T_1 for α, a corrente no mesmo i_1 poderá ser encontrada a partir de\n\ndi_1/dt + Ri_1 = √2 V_s sen ωt\n\n(6.12)\n\nA solução da Eq. (6.12) é da forma\n\ni_1 = √2 V_s/Z sen(ωt - θ) + A_1e^{-(R/L)t}\n\n(6.13) onde a impedância da carga é Z = [R² + (ωL)²]^{1/2} e o ângulo da carga θ = tan^{-1}(ωL/R).\n\nA constante A_1 pode ser determinada a partir da condição inicial: em t = 0, α, i_1 = 0. A partir da Eq. (6.13), A_1 é encontrada como\n\nA_1 = -√2 V_s/Z sen(θ - α)e^{R/L(α/ω)}\n\n(6.14)\n\nA substituição de A_1 da Eq. (6.14) na Eq. (6.13) dá\n\ni_1 = √2 V_s/Z [sen(ωt - θ) - sen(ωt - θ)e^{R/L(α/ω - 1)}]\n\n(6.15)\n\nO ângulo β, quando a corrente i_1 cai a zero e o tiristor T_1 é desligado, pode ser encontrado a partir da condição i_1(ωt = β) = 0 na Eq. (6.15) e é dado pela relação\n\nsen(β - θ) = sen(α - θ)e^{(R/L)(α - β)/ω}\n\n(6.16)\n\nO ângulo β, que também é conhecido como ângulo de extinção, pode ser determinado a partir dessa equação transcendental, sendo que esta requer um método iterativo de solução. Uma vez que β seja conhecido, o ângulo de condução do tiristor T_1 pode ser encontrado a partir de\n\nδ = β - α\n\n(6.17)\n\nA tensão eficaz de saída é\n\nV_o = [2/2π ∫[β to α] 2V_s² sen² ωt d(ωt)]^{1/2}\n\n(6.18)\n\n= [4V_s²/4π ∫[β to α] (1 - cos 2ωt)d(ωt)]^{1/2} Cap. 6 Controladores de tensão CA 247\n\n= Vs [ 1 π ( β - α + sen 2α 2 - sen 2β 2 ) ]^{1/2}\n\nA corrente eficaz do tiristor pode ser encontrada a partir da Eq. (6.15) como\n\nIR = [ 1 2π ∫ β α i^2 d(ωt) ]^{1/2}\n\n= Vs [ 1 α ∫ β α (sen(ωt - θ) - sen(α - θ) e^{(R/L)(α/α - 1)}^2 d(ωt) ]^{1/2} (6.19)\n\ne a corrente eficaz de saída pode então ser determinada através da combinação da corrente eficaz de cada tiristor como\n\nIo = (I^2K + I^2R)^{1/2} = √2 IR (6.20)\n\nO valor médio da corrente no tiristor também pode ser encontrado a partir da Eq. (6.15) como\n\nIA = [ 1 2π ∫ β α i d(ωt) ]\n\n= √2 Vs 2πZ [ β α (sen(ωt - θ) - sen(α - θ) e^{(R/L)(α/α - 1)} d(ωt) ] (6.21)\n\nOs sinais de gatilho dos tiristores para um controlador com carga resistiva podem ser pulsos curtos. Entretanto, esses pulsos de curta duração não são apropriados para cargas indutivas. Isso pode ser explicado com base na Figura 6.6b. Quando o tiristor T2 é disparado em ωt = π + α, o tiristor T1 ainda está conduzindo devido à indutância da carga. Quando a corrente no tiristor T1 cai a zero e este é desligado em ωt = β = α + δ, o pulso de gatilho do tiristor T2 já cessou (caiu a zero) e, consequentemente, T2 não será disparado. Como resultado, apenas o tiristor T1 operará, causando formas de onda assimétricas de tensão e corrente de saída. Essa dificuldade pode ser resolvida utilizando-se sinais de gatilho contínuos com uma duração de π - α, como mostrado na Figura 6.6c. Tão logo o corrente de T1 caia a zero, o tiristor T2 (como os pulsos de gatilho como os mostrados na Figura 6.6c) seria disparado. Entretanto, um pulso de gatilho contínuo aumenta as perdas de chaveamento dos tiristores e requer um transformador de isolamento maior para o circuito de disparo. Na prática, um trem de pulsos (do inglês train of pulses) com curtas durações, como mostrado na Figura 6.6d, normalmente é utilizado para superar esses problemas. 248 Eletrônica de Potência - Circuitos, Dispositivos e Aplicações Cap. 6\n\nA Eq. (6.15) indica que a tensão da carga (e corrente) será senoidal se o ângulo de disparo, α, for menor que o ângulo da carga, θ. Se α for maior que θ, a corrente da carga será descontínua e não-senoidal.\n\nNotas:\n1. Se α = 0, a partir da Eq. (6.16),\n\nsen(β - θ) = sen(β - α) = 0 (6.22)\n\ne\n\nβ - α = δ = π (6.23)\n\n2. Como o ângulo de condução, δ, não pode exceder π e a corrente de carga tem de passar por zero, o ângulo de disparo não pode ser menor que 0 e a faixa de controle do ângulo de disparo é\n\n0 ≤ α ≤ π (6.24)\n\n3. Se α ≤ θ, e os pulso de gatilho dos tiristores são de longa duração, a corrente de carga não muda com α, mas ambos os tiristores conduzem por π. O tiristor T1 seria disparado em ωt = 0 e o tiristor T2 em ωt = π + θ.\n\nExemplo 6.4\nO controlador monofásico de onda completa da Figura 6.6a alimenta uma carga RL. A tensão de entrada é Vs = 120 V, 60 Hz. A carga é tal que L = 6.5 mH e R = 2.5 Ω. Os ângulos de disparo dos tiristores são iguais: α1 = α2 = π/2. Determinar (a) o ângulo de condução do tiristor T1, (b) a tensão eficaz de saída Vo, (c) a corrente eficaz do tiristor IK, (d) a corrente eficaz de saída Io e (e) a corrente média de um dos tiristores IA e (f) o fator de potência de entrada PF.\n\ne = tan^{-1}(ωL/R) = 44,43°. Cap. 6 Controladores de tensão CA 249\n\n(f) A potência de saída Po = 21,3^2 × 2,5 = 1134,2 W e a potência aparente de entrada e VA\n= 120 × 21,3 = 2556 W; portanto,\n\nPF = Po VA = 1134,200 2556 = 0,444 (indutivo)\n\nNota: A ação de chaveamento dos tiristores torna as equações para as correntes não-lineares. Um método numérico de solução para ângulo de condução e as correntes do tiristor é mais eficiente que as técnicas clássicas. Um programa de computador é utilizado para resolver esse exemplo. Os estudantes devem ser incentivados a verificar os resultados desse exemplo e apreciar a utilidade da solução numérica, especialmente na resolução de equações não-lineares de circuitos tiristorizados.\n\n6.6 CONTROLADORES TRIFÁSICOS DE MEIA-ONDA\n\nO diagrama do circuito de um controlador trifásico de meia-onda (ou unidirecional) é mostrado na Figura 6.7 com uma carga resistiva conectada em estrela. O fluxo de corrente para a carga é controlado pelos tiristores T1, T3 e T5; e os diodos fornecem o caminho de retorno para a carga. A sequência de disparo dos tiristores é T1, T3, T5. Para a corrente fluir através do controlador de potência, pelo menos um tiristor tem de conduzir. De todos os dispositivos formam diodos, estes conduzirão ao mesmo tempo se o ângulo de condução for maior que a de catodo e se ele for disparado. Uma vez que um tiristor inicia sua condução, ele só é desligado se sua corrente cair a zero.\n\nSe Vs for o valor eficaz da tensão de fase de entrada e se forem definidas as tensões instantâneas de fase de entrada como\n\nFigura 6.7 Controlador trifásico unidirecional. A expressão para a tensão eficaz de fase de saída depende da faixa do ângulo de disparo. A tensão eficaz de saída para uma carga conectada em estrela pode ser encontrada como se segue. Para 0 ≤ α < 90°:\n\nV0 = \\[\\frac{1}{2\\pi} \\int_{0}^{2\\pi} v^{2}_{an} d(\\omega t)]^{1/2}\n\n= \\sqrt{6} V_s \\left[ \\frac{1}{2\\pi} \\int_{0}^{2\\pi} \\frac{sen^{2}(\\omega t)}{3} d(\\omega t) + \\int_{\\frac{\\pi}{2}}^{\\frac{\\pi}{2} + \\pi} sen^{2}(\\omega t) d(\\omega t)\\right]^{1/2}\n\n= \\sqrt{3} V_s \\left[ \\frac{\\pi - \\alpha}{3} + \\frac{sen 2\\alpha}{8} \\right]^{1/2}\n\nPara 90° ≤ α < 120°:\n\nV0 = \\sqrt{6} V_s \\left[ \\frac{1}{2\\pi} \\int_{0}^{2\\pi} \\frac{sen^{2}(\\omega t)}{3} d(\\omega t) + \\int_{\\frac{\\pi}{2}}^{\\frac{\\pi}{2} + \\pi} sen^{2}(\\omega t) d(\\omega t) \\right]^{1/2} dispositivos conduzirem; e a zero, se o terminal a estiver aberto (ou como um circuito aberto). Para 60° ≤ α < 120°, em qualquer instante de tempo, apenas um tiristor estará conduzindo e o caminho de retorno será compartilhado por um ou dois diodos. Para 120° ≤ α < 210°, apenas um tiristor e um diodo conduzem ao mesmo tempo.\n\nFigura 6.8\nFormas de onda para o controlador trifásico unidirecional.\n\ng1\n\n\n\n\n\n\nE\n5 1\n5\n6 1\n\n\n\n\n\n\n\n\n5\n5\n6 1\n\n\n\n\n\n\n\nE\nan\nV\nan max\n\n\n\n\n\n\n\not\n\not\n\n(a) Para α = 60°\n(b) Para α = 150°\n\n\n\n\n\nA\nT A\nv an\nR\n\nA\ne R\n\n\n(van)\n\na\n\n\n\nA\nT\nai\n\n(a)\nTrês dispositivos conduzindo\n(b) Dois dispositivos conduzindo O ângulo de extinção β de um tiristor pode ser atrasado além de 180° (por exemplo, β de T1 é 210° para α = 30°, como mostrado na Figura 6.8). Para α = 60°, o ângulo de extinção é atrasado para 180° como mostrado na Figura 6.8a. Isso se deve ao fato de uma tensão de saída poder depender da tensão de linha de entrada. Quando vAB tornar-se zero em ωt = 150°, a corrente do tiristor T1 poderá continuar a fluir até que vCA se torne zero em ωt = 210° e um ângulo de disparo de α = 210° dá tensão de saída (e potência) zero.\n\nOs pulsos de gatilho dos tiristores devem ser contínuos, por exemplo, o pulso de T1 deve terminar em ωt = 210°. Na prática, os pulsos de gatilho consistem de duas partes. O primeiro pulso de T1 começa em qualquer lugar entre 0° e 150° e termina em ωt = 150°, o segundo pulso, que pode começar em ωt = 150°, sempre termina em ωt = 210°. Isso permite que a corrente flua através do tiristor T1 durante o período 150° ≤ α ≤ 210° e aumenta a faixa de controle da tensão de saída. A faixa do ângulo de disparo é\n\n0 ≤ α ≤ 210° Cap. 6 Controladores de tensão CA 253\n\nPara 120° ≤ α < 210°:\nVα = √3 Vs { 1 / (2π) ∫ π (7π / 4 sen2α / 4 d(ωt) + 2π / (3π / 2 - 2n/3 + α) + 7π / 4 sen2α / 4 d(ωt)) }^{1/2}\n\n= √3 Vs { 1 / π [ 24 - α / 4 + √3 sen2α / 16 - √3 cos2α / 16 ] }^{1/2}\n\nNo caso da conexão da carga em triângulo, a tensão de fase de saída seria a mesma que a tensão de linha. Entretanto, a corrente de fase da carga dependeria do número de dispositivos que conduzissem ao mesmo tempo. Se três dispositivos conduzissem, as correntes de linha e de fase fluiriam na relação normal do sistema trifásico, como mostrado na Figura 6.10a. Se a corrente na fase α for iαb = Imsen(ωt), a corrente de linha será iα = iαb = √3 Im sen(ωt - π/6). Se dois dispositivos conduzissem ao mesmo tempo, um terminal da carga poderia ser considerado em circuito aberto, como mostrado na Figura 6.10b, e iα = iαc = -iαb / 2. A corrente de linha da carga seria iα = iab - iac = (3Im / 2) sen(ωt) = 1,5Im sen(ωt).\n\nFigura 6.10 Carga resistiva conectada em triângulo. 254 Eletrônica de Potência - Circuitos, Dispositivos e Aplicações Cap. 6\n\nFigura 6.11 Arranjo alternativo do controlador trifásico unidirecional.\n\nExemplo 6.5\n\nO controlador trifásico unidirecional na Figura 6.7 alimenta uma carga resistiva conectada em estrela de R = 10 Ω e a tensão de linha de entrada de 208 V (rms), 60 Hz. O ângulo de disparo é α = π/3. Determinar (a) a tensão de fase eficaz de saída Vα (b) o fator de potência PF e (c) as expressões para a tensão de saída instantânea da fase a.\n\nSolução: VL = 208 V; Vs = VL/√3 = 208/√3 = 120 V; α = π/3 e R = 10 Ω.\n\n(a) A partir da Eq. (6.28), a tensão eficaz de saída é Ve = 110,86 V.\n\n(b) A corrente eficaz da carga ia = Il = 11,086 A e a potência de saída é\n\nPo = 3I^2 R = 3 × 11,086^2 × 10 = 3686,98W.\n\nComo a carga está conectada em estrela, a corrente de fase é igual a corrente de linha, Il = Ia = 11,086 A. A potência aparente de entrada é\n\nVA = 3Vs Il = 3 × 120 × 11,086 = 3990,96 VA.\n\nO fator de potência é\n\nPF = Po / VA = 3686,98 / 3990,96 = 0,924 (indutivo)\n\n(c) Se a tensão de fase de entrada for tomada como referência e vAB = 120√2 sen(ωt + π/6), as tensões instantâneas de linha de entrada serão\n\nvAB = 208√2 sen(ωt / 6); vBC = 294,2 sen(ωt - π/2); vCA = 294,2 sen(ωt - 7π / 6). Cap. 6 Controladores de tensão CA 255\n\nA tensão instantânea de fase de saída, van, que depende do número de dispositivos conduzindo, pode ser determinada a partir da Figura 6.8a, como se segue:\n\nPara 0 ≤ ωt < π/3: van = 0\nPara π/3 ≤ ωt < 4π/6: van = vAN = 169,7 sen(ωt)\nPara 4π/3 ≤ ωt < π: van = vAN = 169,7 sen(ωt)\nPara π < ωt < 4π/3: van = vAB / 2 = 147,1 sen(ωt + π/6)\nPara 5π/3 ≤ ωt < 2π: van = vAN = 169,7 sen(ωt)\n\nNota: O fator de potência desse controlador depende do ângulo de disparo α.\n\n6.7 CONTROLADORES TRIFÁSICOS DE ONDA COMPLETA\n\nOs controladores unidirecionais, que contêm corrente de entrada CC e maior conteúdo harmônico devido à natureza assimétrica da forma de onda de tensão de saída, normalmente não são utilizados em acionamentos de máquinas CA; em geral é utilizado um controle trifásico bidirecional. O diagrama do circuito de um controlador trifásico de onda completa (ou bidirecional) é mostrado na Figura 6.12 com uma carga resistiva conectada em estrela. A operação desse controlador é similar àquelacida pelos tiristores T2, T4 e Tb em vez de diodos. A sequência de disparo dos tiristores é T1, T2, T3, T4, T5 e T6.\n\nFigura 6.12 Controlador trifásico bidirecional.\n\nSe forem definidas as tensões instantâneas de fase de entrada como vAN = √2 Vs sen ωt\nvBN = √2 Vs sen \n\t\t(ωt - 2π/3)\nvCN = √2 Vs sen \n\t\t(ωt - 4π/3)\n\nas tensões instantâneas de linha de entrada serão\nvAB = √6 Vs sen \n\t\t(ωt + π/6)\nvBC = √6 Vs sen \n\t\t(ωt - π/2)\nvCA = √6 Vs sen \n\t\t(ωt - 7π/6)\n\nAs formas de onda para tensões de entrada, ângulos de condução dos tiristores e tensões de fase de saída são mostradas na Figura 6.13 para α = 60° e α = 120°. Para 0 ≤ α < 60°, imediatamente antes do disparo de T1, dois tiristores conduzem. Uma vez que T1 seja disparado, três tiristores conduzem. Um tiristor corta (desliga) quando sua corrente tenta inverter-se. As condições se alternam entre condução de dois e três tiristores.\n\nPara 60° ≤ α < 90°, apenas dois tiristores conduzem em qualquer instante.\nPara 90° ≤ α < 150°, apesar de dois tiristores conduzirem em qualquer instante, há períodos em que nenhum tiristor está ligado. Para α ≥ 150°, não há período em que haja condução de dois tiristores e a tensão de saída torna-se zero em α = 150°. A faixa do ângulo de disparo é\n0 ≤ α < 150°\n(6.31) Cap. 6 Controladores de tensão CA\n\nFigura 6.13\nFormas de onda para o controlador bidirecional trifásico.\n\nDe forma similar aos controladores de meia-onda, a expressão para a tensão eficaz de fase de saída depende da faixa dos ângulos de disparo. A tensão eficaz de saída para uma carga conectada em estrela pode se encontrada como se segue. Para 0 ≤ α < 60°:\n\nVe = \n\n= √6 Vs \n\t{2 \ over 2π}\int_0^{x/2}\ s^{2} van d(\omega t)\nl\n\n= √6 Vs \n\t{∫ (√3 sen² α / α }\n+\ \frac{π² + α}{4}\ sen² \ α d(\omega t)\n+\ \frac{2π/3 }{4} sen² α d(\omega t)\n\n(6.32) Eletrónica de Potência – Circuitos, Dispositivos e Aplicações Cap. 6\n\nPara 60° ≤ α < 90°:\nVo = √6 Vs { 2 \over 2π } [5π/6 - π/3 + α sen² α d(\omega t) ] + [5π/6 - π/3 + α sen² α d(\omega t) ]1/2\n\n= √6 Vs \n\t{1\ over π}\left[ \frac{πα}{6}\ + \frac{α}{4} + \frac{sen\ 2α}{8} \right] ^{1/2}\n\nPara 90° ≤ α < 150°:\nVo = √6 Vs \{ 2 \over 2π } [ sen² α 36 ] + [\left.\frac{sen² α + π/4 + α \right)\ | 1/sen² /2{int2 as\over\ π\ 12\ 16\ 16} ] \]^{1/2}\n\n= √6 Vs {\ {2 \over π\ }\left[ \frac{5α + (1/4)}{ 16} \right]\ ] 1/2\n\nOs dispositivos de potência de um controlador bidirecional trifásico podem ser conectados juntos, como na Figura 6.14. Esse arranjo é conhecido em inglês como tie control e permite a montagem de todos os tiristores como uma única unidade.\n\nFigura 6.14\nArranjo para o controle bidirecional trifásico, conhecido como tie control. Exemplo 6.6\nRepetir o Exemplo 6.5 para o controlador bidirecional trifásico da Figura 6.12.\nSolução: VL = 208 V, Vs = √(208/√3) = 120 V, α = π/3 e R = 10 Ω.\n(a) A partir da Eq. (6.32), a tensão eficaz de fase de saída é Vo = 100,9 V.\n(b) A corrente eficaz de fase da carga é Ila = 100,9/√3 = 10,09 A e a potência de saída é\nPo = 3/√3 R Ila^2 = 3 × 10,09^2 × 10 = 3054,24 W\nComo a carga está conectada em estrela, a corrente de fase é igual à corrente de linha, Il = Ila = 10,09 A. A potência aparente de entrada é\nVA = 3√3VL = 3 × 120 × 10,09 = 3632,4 VA\n\nO fator de potência é\nPF = Po / VA = 3054,24 / 3632,4 = 0,84 (indutivo)\n\n(c) Se a tensão de fase de entrada for tomada como referência e tor vABN = 120√2 sen ωt, as tensões instantâneas de linha de entrada serão\n\nvAB = 208 √2 sen (ωt + π/6) = 294,2 sen (ωt + π/6)\nvBC = 294,2 sen (ωt - π/2)\nvCA = 294,2 sen (ωt - 7π/6)\n\nA tensão instantânea de fase de saída, van, que depende do número de dispositivos conduzindo, pode ser determinada a partir da Figura 6.13a, como se segue:\nPara 0 ≤ ωt < π/3: van = 0\nPara π/3 ≤ ωt < 2π/3: van = vAB/2 = 147,1 sen (ωt + π/6)\nPara 2π/3 ≤ ωt < π: van = vAC/2 = 147,1 sen (ωt - 7π/6 - π)\nPara π ≤ ωt < 4π/3: van = 0\nPara 4π/3 ≤ ωt < 5π/3: van = vAB/2 = 147,1 sen (ωt + π/6)\nPara 5π/3 ≤ ωt < 2π: van = vAC/2 = 147,1 sen (ωt - 7π/6 - π)\n\nNota: O fator de potência, que depende do ângulo de disparo α, em geral é baixo, se comparado àquele do controlador de meia-onda. 6.8 CONTROLADORES BIDIRECIONAIS TRIFÁSICOS CONECTADOS EM TRIÂNGULO\nSe os terminais de um sistema trifásico forem acessíveis, os elementos de controle (ou dispositivos de potência) e carga podem ser conectados em triângulo, como mostrado na Figura 6.15. Como a corrente de fase em um sistema trifásico normal é somente 1/√3 da corrente de linha, as correntes nominais dos tiristores serão menores que aquelas que ocorreriam caso os tiristores (ou elementos de controle) fossem colocados na linha.\n\nSuponha que as tensões instantâneas de linha sejam:\nvAB = vab = √2 Vs sen ωt\nvBC = vbc = √2 Vs sen (ωt - 2π/3)\nvCA = vac = √2 Vs sen (ωt - 4π/3)\n\nAs tensões de linha de entrada, correntes de linha e fase e sinais de gatilho dos tiristores são mostradas na Figura 6.16 para α = 120° e uma carga resistiva.\n\nPara cargas resistivas, a tensão eficaz de fase de saída pode ser determinada a partir de\n\nVo = [ 1 / (2π) α ∫(2π/α)vab d(ωt) ]^{1/2} = [ 2 / (2π) ∫ π/α Vs^2 sen ωt d(ωt) ]^{1/2}\n= Vs [ 1 / π ( π - α + sen 2ω) ]^{1/2} \n\nA tensão de saída máxima seria obtida quando α = 0 e a faixa de controle do ângulo de disparo seria\n0 ≤ α ≤ π\nAs correntes de linha, que podem ser determinadas a partir das correntes de fase, seriam\nii = iab - ica iib = iic - iab\nic = ica - ibc\n\nPode-se notar a partir da Figura 6.16 que as correntes de linha dependem do ângulo de disparo e podem ser descontínuas. O valor eficaz das correntes de linha e fase para os circuitos da carga podem ser determinados por solução numérica ou análise de Fourier. \n\nSe Il for o valor eficaz do n-ésimo componente harmônico da corrente de uma fase, o valor eficaz da corrente de fase pode ser encontrado a partir de\n\nIab = (i1^2 + i3^2 + i5^2 + i7^2 + i9 + i11 + ... + i1m)^{1/2} \n\nDevido à conexão em triângulo, os componentes harmônicos múltiplos ímpares de três (isto é, aqueles de ordem m = 3m, onde m é um número ímpar inteiro) das correntes de fase fluirão através do triângulo e não aparecerão na linha. Isto se deve ao fato de os harmônicos de sequência zero estarem em fase em todas as três fases da carga. A corrente eficaz de linha torna-se\n\nIl = √3 (i1^2 + i5^2 + i7^2 + i9^2 + i11 + ... + i2lin)^{1/2}\n\nComo resultado, o valor eficaz da corrente de linha não seguiria a relação normal do sistema trifásico de tal modo que\nIl < √3 Iab 262 Eletrônica de Potência – Circuitos, Dispositivos e Aplicações Cap. 6\nFigura 6.16 Formas de onda para o controlador conectado em triângulo.\nvAB\nvBC\nvCA\nvAB\nvBC\n0\nπ\n2π\n3π\nωt\n0\n1\n2\n3\nωt\n0\n1\n2\n3\nωt\nia\n0\nπ\n2π\n3π\nωt\n0\n1\n2\n3\nωt\n0\n1\n2\n3\nωt\n0\nπ\n2π\n3π\nωt\nPara α = 120° Cap. 6 Controladores de tensão CA 263\nUma forma alternativa de controladores conectados em triângulo que requer apenas três tri­stores e simplifica o circuito de controle é mostrada na Figura 6.17. Esse arranjo também é conhecido como controlador conectado em polígono (do inglês polygon-connected controller).\nExemplo 6.7\nUm controlador bidirecional trifásico conectado em triângulo como o da Figura 6.15 tem uma carga resistiva de R = 10 Ω. A tensão de linha é Vs = 208 V (rms), 60 Hz e o ângulo de disparo é α = 2π/3. Determinar (a) a tensão eficaz de fase de saída Vab (b) as expressões para as correntes instantâneas ia, ib e ic; (c) a corrente eficaz de fase de saída ia e a corrente eficaz de um dos tri­stores IR.\nSolução: Vl = Vs = 208 V, α = 2π/3, R = 10 Ω e o valor máximo da corrente de fase é Imax = √2 × 208/10 = 29,4 A.\n(a) A partir da Eq. (6.35), Vo = 92 V.\n(b) Supondo iab como o fator de referência e ia = Im sen ωt, as correntes instantâneas são\nPara 0 ≤ ωt < π/3: iab = 0\nica = Im sen(ωt − 4π/3)\nia = 0\nPara π/3 < ωt < 2π/3:\nIab = ica = ia = 0\nPara 2π/3 < ωt < π:\niab = Im sen ωt\nica = 0\nia = iab − ica = Im sen ωt\nPara π < ωt < 4π/3:\niab = 0\nica = Im sen(ωt − 4π/3)\nia = 0\nPara 4π/3 < ωt < 5π/3:\niab = ica = ia = 0\nPara 5π/3 < ωt < 2π:\niab = Im sen ωt\nica = 0\nia = iab − ica = Im sen(ωt − 4π/3) 264 Eletrônica de Potência – Circuitos, Dispositivos e Aplicações Cap. 6\n(c) Os valores eficazes de iab e ia são determinados por integração numérica utilizando-se um programa de computador. Os estudantes devem ser estimulados a verificar os resultados.\nIab = 9,32 A\nIL = Ia = 13,18 A\nIab 13,18\n9,32 1,414 * √3\nd) A potência de saída é\nPe = 3/4IR = 3 × 9,32² × 10 = 2605,9 A potência aparente é\nVA = 3√3Iab = 3 × 208 × 9,32 = 5815,7\nO fator de potência é\nPF = Po/VA = 2605,9/5815,7 = 0,448 (indutivo)\n(e) A corrente no tiristor pode ser determinada a partir da corrente de fase:\nIR = Iab/√2 = 9,32/√2 = 6,59 A\nNotas:\n1. Vo = Iab R = 9,32 × 10 = 93,2 V, ao passo que a Eq. (6.35) dá 92 V. A diferença se deve ao arredondamento da solução numérica.\n2. Para o controlador de tensão CA da Figura 6.17, a corrente de linha ia não está relacionada com a corrente de fase Iab por um fator de √3. Isso se deve a des­cobri­da corrente da carga na presença do controlador de tensão CA. a vantagem da ação de chaveamento muito rápida. A mudança pode ser controlada para ocorrer sob condições de carga e de maneira suave. O diagrama do circuito de um variador de derivação de transformador monofásico é mostrado na Figura 6.18. Apesar de um transformador poder ter múltiplos enrolamentos secundários, apenas dois são mostrados, por questões de simplificação.\n\nFigura 6.18\nVariador de derivação de transformador monofásico.\n\nAs relações de espiras do transformador de entrada são tais que, se a tensão instantânea primária for\n\nvp = √2 Vs sen ωt = √2 Vp sen ωt\n\nas tensões secundárias instantâneas serão\n\nv1 = √2 V1 sen ωt\ne\nv2 = √2 V2 sen ωt\n\nUm variador de derivações é mais comumente utilizado para cargas de aquecimento resistivo. Quando apenas os tiristores T3 e T4 são alternadamente disparados com um ângulo de disparo α = 0, a tensão da carga é mantida a um nível reduzido de Vo = V1. Se for requerida a tensão total na saída, apenas os tiristores T1 e T2 serão disparados alternadamente, com um ângulo de disparo de α = 0, e a tensão total será vo = V1 + V2.\n\nOs pulsos de disparo dos tiristores podem ser controlados para variar a tensão da carga. O valor eficaz da tensão da carga, Vo pode ser variado dentro de três faixas possíveis: 0 < Vo < V1\n0 < Vo < (V1 + V2)\ne\nV1 < Vo < (V1 + V2)\n\nFigura 6.19\nFormas de onda para o variador de derivações de transformador.\n\nFaixa de controle 1: 0 ≤ Vo ≤ V1. Para variar a tensão da carga dentro dessa faixa, os tiristores T1 e T2 são desligados. Os tiristores T3 e T4 podem operar como\n\nv1\n\n0\n\nπ\n\n2π\n\not\n\n(a)\n\n(b)\n\n(c)\n\n−√2V1\n\n√2(V1 + V2)\n\ni = v/R\n\nπ + α\n\n(d)\n\n0\n\nπ\n\nπ + α\n\nii = v/R\n\n(d)\n\n√2V1\n\n0\n\nπ\n\n2π\n\not\n\n(e)\n\n√2\n\n0\n\nπ\n\n2π \n\not\n um controlador de tensão monofásico. A tensão instantânea da carga ve e a corrente da carga io são mostradas na Figura 6.19c para uma carga resistiva. A tensão eficaz da carga, que pode ser determinada a partir da Eq. (6.8), é\n\nVo = V1 [ 1/π ( π − α + sen 2α/2 ) ]1/2\n\n(6.41)\ne a faixa do ângulo de disparo é 0 ≤ α ≤ π.\n\nFaixa de controle 2: 0 ≤ Vo ≤ (V1 + V2). Os tiristores T1 e T2 operam. Os tiristores T3 e T4 são desligados. Os tiristores T1 e T2 operam como um controlador de tensão monofásico. A Figura 6.19d mostra a tensão da carga vo e sua corrente io para uma carga resistiva. A tensão eficaz da carga pode ser encontrada a partir de\n\nVo = (V1 + V2) [ 1/π ( π − α + sen 2α/2 ) ]1/2\n\n(6.42)\ne a faixa do ângulo de disparo é 0 ≤ α ≤ π.\n\nFaixa de controle 3: V1 < Vo < (V1 + V2). O tiristor T3 é disparado em ωt = 0 e a tensão secundária v1 aparece sobre a carga. Se o tiristor T1 for disparado em ωt = α, o tiristor T3 será reversamente polarizado, devido à tensão secundária v2 e T3 será desligado. A tensão que aparece sobre a carga é (v1 + v2). Em ωt = π, T4 é autocontrolado e T4 é disparado. A tensão secundária v1 aparece sobre a carga até que T2 seja disparado em ωt = π + α. Quando T2 é disparado em ωt = π + α, T4 é desligado devido à tensão reversa v2 e a tensão da carga é (v1 + v2). Em ωt = 2π, T2 é acoplado, T3 é disparado novamente e o ciclo é repetido. A tensão vo e a corrente io instantâneas da discussão anterior, para a faixa de controle 2. A tensão eficaz da carga pode ser encontrada a partir de\n\nVo = [ 1/2π ∫(0 to 2π) v2 d(ωt) ]1/2 268\n\nEletrónica de Potência - Circuitos, Dispositivos e Aplicações Cap. 6\n\n= \\[ \\frac{1}{2 \\pi} \\int_{0}^{\\alpha} 2V_{2} \\sqrt{2} \\sin^{2}(\\omega t) d(\\omega t) + \\int_{\\alpha}^{\\pi} 2(V_{1} + V_{2})^{2} \\sin^{2}(\\omega t) d(\\omega t) \\]^{1/2}\n\n= \\[ \\frac{V_{f}}{\\pi} \\left( \\alpha - \\sin 2\\alpha \\right) + \\frac{(V_{1} + V_{2})^{2}}{\\pi} \\left( \\pi - \\alpha - \\sin 2\\alpha \\right) \\right]^{1/2}\n\nPara cargas RL, o circuito de gatilho de um variador de derivações sincro necessita de um projeto cuidadoso. Suponha que os tiristores T_{1} e T_{2} estejam desligados, enquanto T_{3} e T_{4} são disparados durante o semiciclo alternado no cruzamento com zero da corrente de carga. A corrente de carga então seria\n\n= \\[ i_{0} = \\frac{\\sqrt{2} V_{1}}{Z} \\sin(\\omega t - \\theta) \\]\n\no onde Z = \\[ R^{2} + (\\omega L)^{2} ]^{1/2} \\theta = \\tan^{-1}(\\frac{\\omega L}{R}) \\]\n\nA corrente instantânea da carga i_{0} é mostrada na Figura 6.20a. Se então T_{1} for disparado em \\( \\omega t = \\alpha \\), onde \\( \\alpha < 0 \\), o segundo enrolamento do transformador será curto-circuitado porque o tiristor T_{3} ainda estará conduzindo uma corrente devido a carga induzida. Portanto, o circuito de controle deve ser projetado da forma que T_{1} não seja disparado até que T_{3} seja designado a i_{0} = 0. De forma similar, T_{2} não deve ser disparado até que T_{3} se desligue e i_{0} = 0. As formas de onda da tensão v_{0} e corrente i_{0} sobre a carga são mostradas na Figura 6.20b para \\( \\alpha > 0 \\).\n\nFigura 6.20\nFormas de onda de tensão e corrente para carga RL.\n\n(b) Variador sincrono\n Cap. 6 Controladores de tensão CA\n\nExemplo 6.8\n\nO circuito da Figura 6.18 é controlado como um variador de derivações sincro. A tensão primária é 240 V (rms), 60 Hz. As tensões secundárias são V_{1} = 120 V e V_{2} = 120 V. Se resistência da carga for R = 10 \\Omega e a tensão eficaz da carga por 180 V, determinar (a) o ângulo de disparo dos tiristores T_{1} e T_{2}, (b) a corrente eficaz dos tiristores T_{3} e T_{4} e (d) o fator de potência de entrada PF.\n\nSolução: \\[ V_{s} = 180 V, V_{p} = 240 V, V_{1} = 120 V, V_{2} = 120 V e R = 10 \\Omega. \\]\n\n(a) O valor necessário do ângulo de disparo ou parâmetro V_{0} = 180 V pode ser encontrado a partir da Eq. (6.43) da duas formas: (1) plotando-se V_{0} em função de \\( V_{1} \\) e encontrando-se o valor necessário de \\( \\alpha \\) utilizando-se um método iterativo de solução. Um programa de computado é utilizado para resolver a Eq. (6.43) para por interação, e dá-se \\( \\alpha = 98^{\\circ} \\).\n\n(b) A corrente eficaz dos tiristores T_{1} e T_{2} pode ser encontrada a partir da Eq. (6.42): \n\\[ I_{R1} = \\left[ \\frac{1}{2 \\pi R^{2}} \\int_{0}^{\\alpha} 2(V_{1} + V_{2})^{2} \\sin^{2}(\\omega t) d(\\omega t) \\right]^{1/2} \\]\n\n= \\[ \\frac{V_{1}}{\\sqrt{2} R} \\left[ \\frac{1}{\\pi} (\\alpha - \\sin 2\\alpha) \\right]^{1/2} \\]\n\n= 10,9 A\n\n(c) A corrente eficaz dos tiristores T_{3} e T_{4} é encontrada a partir de\n\\[ I_{R3} = \\left[ \\frac{1}{2 \\pi R^{2}} \\int_{0}^{\\alpha} 2V_{2} \\sin(\\omega t) d(\\omega t) \\right]^{1/2} \\]\n\n= \\[ \\frac{V_{1}}{\\sqrt{2} R} \\left[ \\frac{1}{\\pi} (\\alpha - \\sin 2\\alpha) \\right]^{1/2} \\]\n\n= 6,5 A\n\n(d) A corrente eficaz do segundo (superior) enrolamento secundário é\n\\[ I_{2} = \\sqrt{2} I_{R1} = 154,4 A. A corrente eficaz do primeiro (inferior) enrolamento secundário, que é a corrente eficaz total dos tiristores T_{1}, T_{2}, T_{3} e T_{4}, \\]\n\n= \\[ I_{1} = \\sqrt{(\\sqrt{2} I_{R1})^{2} + (\\sqrt{2} I_{R3})^{2}} = 17,94 A \\]\n\nA potência aparente do primário, ou do secundário, é VA = V_{1} I_{1} + V_{2} I_{2} = 120 \\times 17,94 + 12 \\times 15,4 = 4000,8; P_{o} = V_{2}^{2} R = 3240 W, e o fator de potência