Fundamentos da Análise Estrutural - 3ª Edição

Fundamentos da análise estrutural 3a edição Kenneth M Leet Professor emérito Universidade Northeastern ChiaMing Uang Professor Universidade da Califórnia San Diego Anne M Gilbert Conferencista Universidade de Yale Tradução João Eduardo Nóbrega Tortello Revisão Técnica Pedro V P Mendonça Departamento de Engenharia de Estruturas Universidade Federal de Minas Gerais Versão impressa Desta obra 2009 2010 Fundamentos da análise estrutural Terceira edição ISBN 9788577260591 A reprodução total ou parcial deste volume por quaisquer formas ou meios sem o consentimento escrito da editora é ilegal e configura apropriação indevida dos direitos intelectuais e patrimoniais dos autores 2009 McGrawHill Interamericana do Brasil Ltda Todos os direitos reservados Av Brigadeiro Faria Lima 201 17º andar São Paulo SP CEP 05426100 2009 McGrawHill Interamericana Editores SA de C V Todos os direitos reservados Prol Paseo de la Reforma 1015 Torre A Piso 17 Col Desarrollo Santa Fe Delegación Álvaro Obregón CP 01376 México D F Tradução da terceira edição em inglês de Fundamentals of structural analysis Publicada pela McGrawHill uma unidade de negócios da McGrawHill Companies Inc 1221 Avenue of the Americas New York NY 10020 2008 by The McGrawHill Companies Inc ISBN 9780073132952 Coordenadora Editorial Guacira Simonelli Editora de Desenvolvimento Mel Ribeiro Produção Editorial Josie Rogero Supervisora de Préimpressão Natália Toshiyuki Preparação de Texto Lumi Casa de Edição Design de Capa John Joran Imagem de Capa Vince Streano TY Lin International Diagramação Casa de Idéias Esse material foi impresso na Gráfica Santa Marta João PessoaPB L477f Leet Kenneth M Fundamentos da análise estrutural recurso eletrônico Keneth M Leet ChiaMing Uang Anne M Gilbert tradução João Eduardo Nóbrega Tortello revisão técnica Pedro V P Mendonça 3 ed Dados eletrônicos Porto Alegre AMGH 2010 Editado também como livro impresso em 2009 ISBN 9788563308344 1 Engenharia Análise estrutural I Uang ChiaMing II Gilbert Anne M III Título CDU 624 Catalogação na publicação Ana Paula M Magnus CRB10Prov00910 A McGrawHill tem forte compromisso com a qualidade e procura manter laços estreitos com seus leitores Nosso principal objetivo é oferecer obras de qualidade a preços justos e um dos caminhos para atingir essa meta é ouvir o que os leitores têm a dizer Portanto se você tem dúvidas críticas ou suges tões entre em contato conosco preferencialmente por correio eletrônico mhbrasilmcgrawhillcom e nos ajude a aprimorar nosso trabalho Teremos prazer em conversar com você Em Portugal use o endereço servicoclientesmcgrawhillcom IniciaisEletronicoindd iv IniciaisEletronicoindd iv 140610 154441 140610 154441 vii Kenneth Leet tem doutorado em Engenharia de Estruturas pelo Massa chusetts Institute of Technology Como professor de Engenharia Civil na Universidade Northeastern deu cursos de graduação e pósgraduação sobre projeto de concreto armado análise estrutural fundações placas e cascas e cursos de avaliação final sobre projetos abrangentes de engenha ria por mais de 30 anos Em 1992 recebeu o prêmio Excellence in Tea ching da Universidade Northeastern Também foi membro por 10 anos do corpo docente da Universidade de Drexel em Filadélfia EUA Além de ser o autor da primeira edição deste livro sobre análise estrutural publicado originalmente pela Macmillan em 1988 também é autor do livro Fundamentals of reinforced concrete publicado pela McGrawHill em 1982 e agora em sua terceira edição Antes de lecionar foi engenheiro supervisor de construções do Corps of Army Engineers engenheiro de campo da Catalytic Construction Company e projetista de estruturas em várias empresas de engenharia estrutural Também foi consultor de estruturas em vários órgãos governa mentais e empresas privadas incluindo o Departamento de Transportes dos EUA a Procter Gamble a Teledyne Engineering Services e o Departamento de Pontes de Filadélfia e de Boston Como membro da American Arbitration Association do American Concrete Institute da ASCE e da Boston Society of Civil Engineers o professor Leet participou ativamente de comunidades profissionais por muitos anos ChiaMing Uang é professor de Engenharia de Estruturas da Universi dade da Califórnia San Diego UCSD Graduouse em Engenharia Civil pela National Taiwan University e tem mestrado e doutorado em Enge nharia Civil pela Universidade da Califórnia Berkeley Suas áreas de pesquisa incluem análise sísmica e projeto de estruturas de aço compos tas e de madeira O professor Uang é coautor do livro Ductile design of steel structures da McGrawHill Em 2004 recebeu o prêmio UCSD Academic Senate Distinguished Teaching Award Também recebeu os prêmios ASCE Ray mond C Reese Research Prize em 2001 e Moisseiff Award em 2004 O s A u tO res viii Os autores Anne M Gilbert PE é professora assistente de Engenharia de Estrutu ras da Escola de Arquitetura da Universidade de Yale Também é enge nheira de projetos sênior da Spiegel Zamecnik Shah Inc engenheiros de estruturas de New Haven Conn e Washington DC É graduada em arquitetura pela Universidade da Carolina do Norte em Engenharia Civil pela Universidade Northeastern e tem mestrado em Engenharia Civil pela Universidade de Connecticut É especializada em projeto estrutural de hospitais laboratórios uni versidades e prédios residenciais preparação de desenhos e especifica ções avaliação sísmica renovação de estruturas em áreas de alta ativi dade sísmica e administração de construções Sua experiência em projetos arquitetônicos inclui o projeto de prédios comerciais e residen ciais assim como a reabilitação de conjuntos residenciais populares ix s u már iO Prefácio xv Capítulo 1 Introdução 3 11 Visão geral do texto 3 12 O processo do projeto relação da análise com o projeto 5 13 Resistência e utilidade 7 14 Desenvolvimento histórico dos sistemas estruturais 8 15 Elementos estruturais básicos 11 16 Montando elementos básicos para formar um sistema estrutural estável 20 17 Análise por computador 23 18 Preparação dos cálculos 24 Resumo 25 Capítulo 2 Cargas de projeto 27 21 Código de construção e de projeto 27 22 Cargas 28 23 Cargas permanentes 29 24 Sobrecargas 36 25 Cargas de vento 43 26 Forças de terremoto 59 27 Outras cargas 63 28 Combinações de carga 64 Resumo 65 Capítulo 3 Estática das estruturas reações 73 31 Introdução 73 32 Forças 74 33 Apoios 81 34 Idealizando estruturas 85 35 Diagramas de corpo livre 86 36 Equações de equilíbrio estático 88 37 Equações de condição 94 38 Influência das reações na estabilidade e determinação de estruturas 97 x Sumário 39 Classificando estruturas 106 310 Comparação entre estruturas determinadas e indeterminadas 110 Resumo 112 Capítulo 4 Treliças 123 41 Introdução 123 42 Tipos de treliças 126 43 Análise de treliças 127 44 Método dos nós 128 45 Barras zero 132 46 Método das seções 134 47 Determinação e estabilidade 142 48 Análise de treliças por computador 148 Resumo 151 Capítulo 5 Vigas e pórticos 167 51 Introdução 167 52 Escopo do capítulo 172 53 Equações de cortante e de momento 173 54 Diagramas de cortante e de momento 180 55 Princípio da superposição 198 56 Esboçando a forma defletida de uma viga ou pórtico 202 57 Grau de indeterminação 207 Resumo 211 Capítulo 6 Cabos 225 61 Introdução 225 62 Características dos cabos 226 63 Variação da força no cabo 227 64 Análise de um cabo suportando cargas gravitacionais verticais 228 65 Teorema geral dos cabos 229 66 Estabelecendo a forma funicular de um arco 232 Resumo 235 Capítulo 7 Arcos 241 71 Introdução 241 72 Tipos de arcos 241 73 Arcos triarticulados 244 74 Forma funicular de um arco que suporta carga uniformemente distribuída 245 Resumo 250 xi Sumário Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas 257 81 Introdução 257 82 Linhas de influência 257 83 Construção de uma linha de influência 258 84 O princípio de MüllerBreslau 266 85 Uso das linhas de influência 269 86 Linhas de influência de vigas mestras suportando sistemas de piso 272 87 Linhas de influência de treliças 278 88 Cargas móveis para pontes de rodovias e estradas de ferro 283 89 Método do aumentodiminuição 286 810 Momento de carga móvel máximo absoluto 291 811 Cortante máximo 295 Resumo 296 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos 309 91 Introdução 309 92 Método da integração dupla 309 93 Método dos momentos de áreas 317 94 Método da carga elástica 336 95 Método da viga conjugada 340 96 Ferramentas para projeto de vigas 349 Resumo 352 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões 363 101 Introdução 363 102 Trabalho 364 103 Energia de deformação 366 104 Deflexões pelo método do trabalhoenergia trabalho real 368 105 Trabalho virtual treliças 370 106 Trabalho virtual vigas e pórticos 387 107 Somatório finito 399 108 Princípio de Bernoulli dos deslocamentos virtuais 401 109 Lei de MaxwellBetti das deflexões recíprocas 404 Resumo 408 xii Sumário Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade 421 111 Introdução 421 112 Conceito de redundante 421 113 Fundamentos do método da flexibilidade 422 114 Concepção alternativa do método da flexibilidade fechamento de uma lacuna 426 115 Análise usando liberações internas 436 116 Recalques de apoio mudança de temperatura e erros de fabricação 443 117 Análise de estruturas com vários graus de indeterminação 448 118 Viga sobre apoios elásticos 455 Resumo 458 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão 469 121 Introdução 469 122 Ilustração do método da inclinaçãodeflexão 469 123 Deduzindo a equação da inclinaçãodeflexão 471 124 Análise de estruturas pelo método da inclinaçãodeflexão 478 125 Análise de estruturas livres para se deslocar lateralmente 494 126 Indeterminação cinemática 504 Resumo 505 Capítulo 13 Distribuição de momentos 513 131 Introdução 513 132 Desenvolvimento do método da distribuição de momentos 514 133 Resumo do método da distribuição de momentos sem translação de nó 519 134 Análise de vigas pela distribuição de momentos 520 135 Modificação da rigidez do membro 528 136 Análise de pórticos livres para deslocar lateralmente 543 137 Análise de pórtico não contraventado para carga geral 549 xiii Sumário 138 Análise de pórticos de vários pavimentos 554 139 Membros não prismáticos 555 Resumo 566 Capítulo 14 Estruturas indeterminadas linhas de influência 575 141 Introdução 575 142 Construção de linhas de influência usando distribuição de momentos 576 143 Princípio de MüllerBreslau 580 144 Linhas de influência qualitativas para vigas 582 145 Posicionamento da sobrecarga para maximizar as forças em prédios de vários andares 588 Resumo 598 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas 603 151 Introdução 603 152 Análise aproximada para carga gravitacional em uma viga contínua 605 153 Análise aproximada para carga vertical em um pórtico rígido 611 154 Análise aproximada de uma treliça contínua 615 155 Estimando deflexões de treliças 621 156 Treliças com diagonais duplas 623 157 Análise aproximada para carga gravitacional de um pórtico rígido de vários pavimentos 626 158 Análise para carga lateral em pórticos não contraventados 635 159 Método do portal 638 1510 Método da viga em balanço 646 Resumo 651 Capítulo 16 Introdução ao método da rigidez geral 659 161 Introdução 659 162 Comparação entre os métodos da flexibilidade e da rigidez 660 163 Análise de uma viga indeterminada pelo método da rigidez geral 665 Resumo 678 xiv Sumário Capítulo 17 Análise matricial de treliças pelo método da rigidez direta 683 171 Introdução 683 172 Matrizes de rigidez de membro e da estrutura 688 173 Construção da matriz de rigidez de membro para uma barra individual de treliça 688 174 Montagem da matriz de rigidez da estrutura 690 175 Solução do método da rigidez direta 693 176 Matriz de rigidez de membro de uma barra de treliça inclinada 697 177 Transformação de coordenadas de uma matriz de rigidez de membro 709 Resumo 710 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta 715 181 Introdução 715 182 Matriz de rigidez da estrutura 717 183 A matriz 2 2 de rigidez rotacional de um membro sob flexão 718 184 A matriz 4 4 de rigidez de membro em coordenadas locais 729 185 A matriz 6 6 de rigidez de membro em coordenadas locais 739 186 A matriz 6 6 de rigidez de membro em coordenadas globais 748 187 Montagem de uma matriz de rigidez da estrutura método da rigidez direta 750 Resumo 753 Apêndice Revisão das operações básicas com matrizes 757 Glossário 769 Respostas dos problemas de numeração ímpar 772 Créditos 777 Índice remissivo 778 xv Pr eF á ciO Este livro introduz os estudantes de Engenharia e Arquitetura nas téc nicas básicas necessárias para analisar a maioria das estruturas e os elementos dos quais a maior parte delas é composta incluindo vigas pórticos arcos treliças e cabos Embora os autores suponham que os leitores tenham concluído cursos básicos de estática e resistência dos materiais examinamos brevemente as técnicas fundamentais desses cursos na primeira vez que as mencionamos Para esclarecer a discus são utilizamos muitos exemplos cuidadosamente escolhidos para ilus trar as diversas técnicas analíticas apresentadas e quando possível selecionamos exemplos confrontando os engenheiros com a prática profissional da vida real Características deste texto 1 Tratamento de cargas ampliado O Capítulo 2 é dedicado a uma ampla discussão das cargas que incluem peso próprio e sobre carga áreas de influência e forças sísmicas e eólicas As especifi cações de vento e terremoto atualizadas correspondem à edição mais recente do padrão ASCE Simplificamos as cláusulas mais complexas do código de construção nacional norteamericano mais recente ANSIASCE destinado a engenheiros profissio nais para fornecer aos leitores um entendimento básico de como os prédios de vários pavimentos pontes e outras estruturas respon dem aos terremotos e ao vento 2 Novos problemas propostos Um número significativo dos pro blemas é novo ou foi revisado para esta edição no Sistema Inter nacional e unidades americanas e muitos são típicos de análise encontrados na prática As muitas opções permitem ao instrutor escolher aqueles adequados a uma classe ou a uma ênfase em particular 3 Problemas de computador e aplicações Os problemas de com putador alguns novos nesta edição proporcionam aos leitores um entendimento mais aprofundado do comportamento estrutural de treliças pórticos arcos e outros sistemas estruturais Esses proble Os sites com conteúdo online descritos neste livro estão em inglês e poderão sofrer alte rações ao longo do tempo pois são atualizados sempre que são publicadas novas edições dos livros Caso não consiga ter acesso a algum recurso informado neste livro entre em contato com a McGrawHill Interamericana do Brasil pelo email divulgacaobrasil mcgrawhillcom xvi Prefácio mas cuidadosamente personalizados ilustram aspectos significativos do comportamento estrutural que no passado os projetistas expe rientes precisavam de muitos anos de prática para entender e analisar corretamente Os problemas de computador são identificados com um ícone de tela de computador e começam no Capítulo 4 do livro Esses problemas podem ser resolvidos usandose a versão educa tiva do software comercial RISA2D disponível em inglês para os usuários no centro de aprendizado online do texto Contudo qual quer software que produza formas deformadas assim como diagra mas de cortante momento e carga axial pode ser usado para solucionálos Uma visão geral sobre o uso do software RISA2D e um exercício dirigido escrito pelo autor também estão disponíveis no centro de aprendizado online 4 Leiaute melhorado dos exemplos de problemas O conteúdo dos exemplos é mais bem apresentado pois são mostrados em uma página ou duas adjacentes circundadas com linhas para que os estudantes possam ver o problema completo sem virar a página 5 Discussão ampliada do método da rigidez geral O Capítulo 16 sobre o método da rigidez geral oferece uma transição clara dos métodos de análise clássicos para os que utilizam formulações matriciais para análise no computador de acordo com o que está discutido nos capítulos 17 e 18 6 Ilustrações realistas e representadas completamente As ilustra ções do texto fornecem um quadro realista dos elementos estrutu rais reais e um claro entendimento de como o projetista modela ligações e condições de contorno Fotografias complementam o texto ilustrando exemplos de falhas em prédios e pontes 7 A precisão das soluções dos problemas foi cuidadosamente verificada Os autores verificaram as soluções dos problemas várias vezes mas gostariam que os leitores indicassem quaisquer ambiguidades ou erros As correções podem ser enviadas para o professor ChiaMing Uang cmuucsdedu 8 Centro de aprendizado online Este texto oferece um centro de aprendizado na internet disponível em inglês para os usuários no endereço wwwmhhecomleet3e O site oferece várias ferramen tas um banco de imagens da arte do texto links úteis da web o software educativo RISA2D e muito mais Conteúdo e sequência dos capítulos Apresentamos os assuntos deste livro em uma sequência cuidadosamente planejada para facilitar o estudo da análise pelo estudante Além disso adequamos as explicações no nível dos estudantes em estágio inicial do curso de Engenharia Essas explicações são baseadas nos muitos anos de experiência dos autores no ensino da análise xvii Prefácio O Capítulo 1 fornece um panorama histórico da Engenharia de Estruturas desde as primeiras estruturas de pilares e vergas até os edifícios altos e pontes de cabo atuais e uma breve explicação da correlação entre análise e projeto Também descrevemos as carac terísticas fundamentais das estruturas básicas detalhando tanto as vantagens como as desvantagens O Capítulo 2 sobre cargas foi descrito anteriormente no item 1 da seção Características deste texto Os Capítulos 3 4 e 5 abordam as técnicas básicas necessárias para determinar forças nas barras de treliças e o cortante e momento em vigas e pórticos Os métodos apresentados nesses capítulos são utilizados para resolver quase todos os problemas do restante do texto Os Capítulos 6 e 7 correlacionam o comportamento dos arcos e cabos e examinam suas características especiais de atuar geralmente em tensão normal direta e usar os materiais com eficiência O Capítulo 8 aborda métodos de posicionamento de sobrecarga em estruturas estaticamente determinadas para maximizar a força interna em uma seção específica de uma viga pórtico ou em bar ras de uma treliça Os Capítulos 9 e 10 fornecem métodos utilizados para calcular as deformações de estruturas para verificar se uma estrutura não é excessivamente flexível e analisar estruturas estaticamente inde terminadas pelo método das deformações consistentes Os Capítulos 11 12 e 13 apresentam vários métodos clássicos de análise de estruturas estaticamente indeterminadas Embora as estruturas estaticamente indeterminadas mais complexas agora sejam analisadas por computador certos métodos tradicionais por exemplo distribuição do momento são úteis para estimar as forças em vigas e pórticos hiperestáticos e para estabelecer as propriedades iniciais das barras para a análise no computador O Capítulo 14 amplia o método de linha de influência introduzido no Capítulo 8 para a análise de estruturas estaticamente indeter minadas Os engenheiros utilizam as técnicas desses dois capítu los para projetar pontes e outras estruturas sujeitas a cargas móveis ou a sobrecargas cuja posição na estrutura possa mudar O Capítulo 15 examina métodos de análise aproximados utilizados para estimar o valor das forças em pontos selecionados de estru turas hiperestáticas Com os métodos aproximados os projetistas podem verificar a precisão dos estudos feitos por computador ou conferir os resultados de longas análises mais tradicionais feitas manualmente descritas em capítulos anteriores Os Capítulos 16 17 e 18 apresentam os métodos matriciais de aná lise O Capítulo 16 amplia o método da rigidez geral para uma variedade de estruturas simples A formulação matricial do método da rigidez é aplicada na análise de treliças Capítulo 17 e de vigas e pórticos Capítulo 18 xviii Prefácio AGrADECIMEnTos Como autor principal gostaria de agradecer as muitas horas de edição e apoio de minha esposa Judith Leet há mais de 40 anos sua ajuda é inestimável Gostaria de lembrar meu último editor David E Johnstone da Mac millan e agradecer sua valiosa ajuda na primeira edição deste livro Também quero agradecer a Richard Scranton Saul Namyet Robert Taylor Marilyn Scheffler e Anne Gilbert pela ajuda na primeira edição e a Dennis Bernal que escreveu o Capítulo 18 todos à época da Uni versidade Northeastern Pela ajuda na primeira edição da McGrawHill agradecemos a Amy Hill Gloria Schiesl Eric Munson e Patti Scott da McGrawHill e a Jeff Lachina da Lachina Publishing Services Pela ajuda na segunda e terceira edições agradecemos a Amanda Green Suzanne Jeans Jane Mohr e Gloria Schiesl da McGrawHill a Rose Kernan da RPK Editorial Services Inc e a Patti Scott que editou a segunda edição Também queremos agradecer a Bruce R Bates da RISA Technolo gies por fornecer uma versão para o estudante do avançado programa de computador RISA2D com suas muitas opções para apresentar resultados Gostaríamos de agradecer ainda aos seguintes revisores pelos seus comentários e conselhos muitos apreciados Ramzi B AbdulAhad Universidade de Tennessee Abi Aghayere Rochester Institute of Technology Lawrence C Bank Universidade de Wisconsin Madison David M Bayer Universidade da Carolina do Norte Charlotte Robert Barnes Universidade Auburn Jerry Bayless Universidade de Missouri Rolla Charles Merrill Bowen Universidade Estadual de Oklahoma F Necati Catbas Universidade da Flórida Central William F Cofer Universidade Estadual de Washington Ross Corotis Universidade de Colorado Boulder Richard A DeVries Faculdade de Engenharia de Milwaukee Asad Esmaeily Universidade Estadual de Kansas Fouad Fanous Universidade Estadual de Iowa James Hanson Instituto de Tecnologia RoseHulman Yue Li Universidade Tecnológica de Michigan Daniel Linzell Universidade Estadual da Pensilvânia Donald Liou Universidade da Carolina do Norte Charlotte John D McNamara Universidade Estadual do Novo México Thomas Miller Universidade Estadual de Oregon Jim Morgan Texas AM University Husam Najm Universidade Rutgers xix Prefácio Duc T Nguyen Old Dominion University Malcolm H Ray Worcester Polytechnic Institute T T Soong Universidade Estadual de Nova York em Buffalo Bozidar Stojadinovic Universidade da Califórnia Berkeley Michael Symans Rensselaer Polytechnic Institute George Turkiyyah Universidade de Washington John W van de Lindt Universidade Estadual do Colorado Shien Jim Wang Universidade de Kentucky Jerry Wekezer Florida State University Nadim Wehbe Universidade Estadual de Dakota do Sul Kenneth Leet Professor emérito Universidade Northeastern ChiaMing Uang Professor Universidade da Califórnia San Diego Anne M Gilbert Professora assistente Universidade de Yale xxii L a almofada de borracha sintética L b F F rachadura PrOgrama DE artE altamEntE rEalista As ilustrações do texto fornecem uma imagem realista dos elementos estruturais reais matErial COmPlEmEntar O texto oferece um centro de apren dizado online na internet no en dereço wwwmhhecomleet3e O site oferece várias ferramentas em inglês como links úteis a versão educativa do software RISA2D um exercício dirigido escrito pelo autor etc Ponte do Brooklyn Inaugurada em 1883 a um custo de US 9 milhões esta ponte foi proclamada a oitava maravilha do mundo O vão central que chega a mais de 40 metros de altura sobre o rio East estendese por aproximadamente 490 metros entre as torres Projetada em parte por avaliação de engenharia e em parte por meio de cálculos a ponte é capaz de suportar mais de três vezes a carga projetada original As enormes torres de alvenaria são apoiadas em caixões pneumáticos de mais de 30 por 50 metros em planta Em 1872 o coronel Washington A Roebling diretor do projeto ficou paralítico devido a acidente de des compressão enquanto supervisionava a construção de um dos pilares submersos Com invalidez perma nente dirigiu o restante do projeto na cama com a ajuda de sua esposa e da equipe de engenharia C A P Í T U L O Introdução 11 Visão geral do texto Como engenheiro ou arquiteto envolvido no projeto de prédios pontes e outras estruturas você será obrigado a tomar muitas decisões técnicas sobre sistemas estruturais Essas decisões incluem 1 sele cionar uma forma estrutural eficiente econômica e atraente 2 avaliar sua segurança ou seja sua resistência e rigidez e 3 planejar sua edificação sob cargas de construção temporárias Para projetar uma estrutura você vai aprender a pôr em prática uma análise estrutural que estabelece as forças internas e deslocamentos em todos os pontos produzidos pelas cargas de projeto Os projetistas determinam as forças internas nos membros importantes para dimen sionar tanto os membros como as ligações entre eles Além disso avaliam os deslocamentos para garantir uma estrutura resistente que não apresente deslocamento ou vibração excessivos sob carga de modo que sua função seja prejudicada Análise de elementos estruturais básicos Durante os cursos anteriores de estática e resistência dos materiais você desenvolveu alguma formação em análise estrutural quando cal culou as forças de barras em treliças e construiu diagramas de cisalha mento e momento para vigas Agora você vai expandir sua base em análise estrutural aplicando de maneira sistemática uma variedade de técnicas para determinar as forças e deslocamentos de diversos ele mentos estruturais básicos vigas treliças pórticos arcos e cabos Esses elementos representam os componentes básicos utilizados para formar sistemas estruturais mais complexos Além disso à medida que você trabalhar nos problemas de análise e examinar a distribuição das forças em vários tipos de estruturas entenderá mais como as estruturas são solicitadas e deformadas pelo carregamento Gradualmente você também desenvolverá uma percep ção clara sobre qual configuração estrutural é a mais adequada para uma situação de projeto em particular 1 4 Capítulo 1 Introdução À medida que você desenvolver uma percepção quase intuitiva sobre o comportamento de uma estrutura também aprenderá a avaliar com alguns cálculos simples os valores aproximados das forças nas seções mais importantes da estrutura Essa habilidade será muito útil para você e permitirá 1 verificar a precisão dos resultados de uma análise feita por computador de estruturas grandes e complexas e 2 estimar as for ças de projeto preliminares necessárias para dimensionar os componen tes individuais de estruturas de vários membros durante a fase inicial do projeto quando a configuração experimental e as proporções da estrutura são estabelecidas Analisando estruturas bidimensionais Conforme você pode ter observado ao assistir a construção de um prédio de andares múltiplos a estrutura quando está totalmente exposta é um sistema tridimensional complexo composto de vigas colunas lajes paredes e contraventamentos Embora a carga aplicada em um ponto específico de uma estrutura tridimensional solicite todos os membros adjacentes normalmente a maior parte da carga é transmitida por inter médio de certos membroschave diretamente para outros membros de apoio ou para a fundação Uma vez entendidos o comportamento e a função dos vários compo nentes da maioria das estruturas tridimensionais normalmente o proje tista pode simplificar a análise da estrutura real subdividindoa em sub sistemas bidimensionais menores que atuam como vigas treliças ou pórticos Esse procedimento também reduz significativamente a comple xidade da análise pois as estruturas bidimensionais são muito mais fáceis e rápidas de analisar do que as estruturas tridimensionais Visto que com poucas exceções por exemplo cúpulas geodésicas construídas com barras tubulares leves os projetistas normalmente analisam uma série de estruturas bidimensionais simples mesmo quando estão projetando as estruturas tri dimensionais mais complexas dedicaremos uma grande parte deste livro à análise de estruturas bidimensionais ou planares aquelas que transmitem as forças situadas no plano da estrutura Uma vez que você entenda claramente os tópicos básicos abordados neste texto terá aprendido as técnicas fundamentais necessárias para analisar a maioria dos prédios pontes e sistemas estruturais normal mente encontrados na prática profissional Evidentemente antes de projetar e analisar com segurança serão necessários alguns meses de expe riência em projetos reais em um escritório de engenharia para compreender melhor o processo de um projeto completo da perspectiva profissional Para aqueles que pretendem se especializar em estruturas o domínio dos assuntos deste livro fornecerá os princípios estruturais básicos necessários em cursos de análise mais avançados que abordam por exemplo métodos matriciais ou placas e cascas Além disso como o projeto e a análise estão intimamente relacionados você vai utilizar novamente muitos dos procedimentos analíticos deste texto em cursos mais especializados em projetos com aço concreto armado e pontes 5 Seção 12 O processo do projeto relação da análise com o projeto 12 O processo do projeto relação da análise com o projeto O projeto de qualquer estrutura seja o arcabouço de um veículo espacial um prédio alto uma ponte pênsil uma plataforma de perfuração de petróleo no mar um túnel etc normalmente é executado em etapas alternadas de projeto e análise Cada etapa fornece novas informações que permitem ao projetista passar para a fase seguinte O processo conti nua até que a análise indique que não é mais necessária nenhuma altera ção no tamanho dos membros As etapas específicas do procedimento estão descritas a seguir Projeto conceitual Um projeto começa com a necessidade específica de um cliente Um construtor por exemplo pode autorizar uma empresa de engenharia ou arquitetura a preparar planos de um complexo esportivo para abrigar um campo de futebol oficial assim como lugares para 60 mil pessoas esta cionamento para 4 mil carros e espaço para as instalações básicas Em outro caso uma cidade pode contratar um engenheiro para projetar uma ponte sobre um rio de 600 metros de largura e suportar certo volume de tráfego por hora O projetista começa considerando todas as disposições e sistemas estruturais que possam atender aos requisitos do projeto Frequente mente os arquitetos e engenheiros consultam uma equipe nesse estágio para estabelecer as disposições que proporcionam sistemas estruturais eficientes além de satisfazer os requisitos arquitetônicos funcionais e estéticos do projeto Em seguida o projetista prepara esboços de natureza arquitetônica mostrando os principais elementos estruturais de cada pro jeto embora nesse ponto os detalhes do sistema estrutural sejam geralmente incompletos Projeto preliminar Na fase do projeto preliminar o engenheiro seleciona vários sistemas estruturais do projeto conceitual que parecem ser mais promissores e dimensiona seus componentes principais Esse dimensionamento prelimi nar dos membros estruturais exige um entendimento do comportamento estrutural e conhecimento das condições de carga peso próprio aciden tal vento e outras que provavelmente afetarão o projeto Nesse ponto o projetista experiente pode fazer alguns cálculos aproximados para estimar as proporções de cada estrutura em suas seções críticas Análise de projetos preliminares Neste estágio as cargas precisas que a estrutura suportará não são conhe cidas pois o tamanho exato dos membros e os detalhes arquitetônicos do projeto não estão finalizados Utilizando os valores estimados da carga o engenheiro realiza uma análise dos diversos sistemas estruturais sob consi 6 Capítulo 1 Introdução deração para determinar as forças nas seções críticas e os deslocamentos em qualquer ponto que influenciem a resistência da estrutura O peso real dos membros não pode ser calculado até que a estrutura seja dimensionada exatamente e certos detalhes arquitetônicos serão influenciados pela estrutura Por exemplo o tamanho e o peso do equi pamento mecânico não podem ser determinados até que o volume da construção seja estabelecido o qual por sua vez depende do sistema estrutural Contudo o projetista sabe da experiência passada com estru turas semelhantes como estimar valores para a carga que sejam aproxi mações razoáveis dos valores finais Redefinição das estruturas Usando os resultados da análise dos projetos preliminares o proje tista recalcula as proporções dos principais elementos de todas as estru turas Embora cada análise tenha sido baseada em valores de carga esti mados as forças estabelecidas neste estágio provavelmente são indicativas do que uma estrutura em particular deve suportar portanto é improvável que as proporções mudem significativamente mesmo depois que os deta lhes do projeto final forem estabelecidos Avaliação de projetos preliminares Em seguida os diversos projetos preliminares são comparados com relação ao custo disponibilidade de materiais aparência manutenção tempo de construção e outras considerações pertinentes A estrutura que melhor atende aos critérios estabelecidos pelo cliente é escolhida para um maior refinamento na fase de projeto final Fases finais de projeto e análise Na fase final o engenheiro faz pequenos ajustes na estrutura esco lhida para melhorar sua economia ou aparência Agora o projetista avalia cuidadosamente os pesos próprios e considera as posições específicas da carga acidental que maximizarão as tensões nas seções críticas Como parte da análise final a resistência e a rigidez da estrutura são avaliadas para todas as cargas significativas e combinações de carga permanente e acidental incluindo vento neve terremoto mudança de temperatura e recalques Se os resultados do projeto final confirmarem que as propor ções da estrutura são adequadas para suportar as forças primitivas o projeto estará terminado Por outro lado se o projeto final revelar certas deficiências por exemplo certos membros são solicitados demais a estrutura é incapaz de resistir eficientemente às cargas de vento laterais membros são excessivamente flexíveis ou os custos estão acima do orça mento o projetista terá de modificar a configuração da estrutura ou considerar um sistema estrutural alternativo Aço concreto armado madeira e metais como o alumínio são todos analisados da mesma maneira As diferentes propriedades dos materiais são levadas em consideração durante o processo de projeto Quando os membros são dimensionados os projetistas consultam nor 7 Seção 13 Resistência e utilidade mas técnicas de projeto as quais levam em conta as propriedades espe ciais de cada material Este texto se preocupa principalmente com a análise das estruturas conforme detalhado anteriormente Na maioria dos cursos de engenharia o projeto é estudado em outras disciplinas contudo como os dois assun tos são tão intimamente relacionados abordaremos necessariamente alguns problemas de projeto 13 Resistência e utilidade O projetista deve dimensionar as estruturas de modo que não apre sentem falhas nem deformem excessivamente sob quaisquer condições de carregamento Os membros são sempre projetados com uma capaci dade significativamente maior do que a exigida para suportar as cargas de serviço previstas as cargas reais ou as cargas especificadas pelas normas técnicas de projeto Essa capacidade adicional também deter mina um fator de segurança contra uma sobrecarga acidental Além disso limitando o nível de solicitação o projetista fornece indireta mente algum controle sobre as deformações da estrutura A tensão máxima permitida em um membro é determinada pela resistência à tra ção ou compressão do material ou no caso de membros de compressão delgados pela tensão sob a qual um membro ou um componente de um membro flamba Embora as estruturas precisem ser projetadas com um fator de segu rança adequado para reduzir a probabilidade de falha a um nível aceitável o engenheiro também precisa garantir que a estrutura tenha rigidez sufi ciente para funcionar de forma adequada sob todas as condições de carre gamento Por exemplo as vigas de piso não devem se deslocar excessiva mente ou vibrar sob carga acidental Deslocamentos muito grandes das vigas podem produzir rachadura de paredes de alvenaria e tetos de arga massa ou danificar equipamento que venha a ficar desalinhado Os pré dios altos não devem balançar demasiadamente sob cargas de vento senão o prédio poderá causar náusea nos moradores dos andares superio res Os movimentos excessivos não apenas incomodam os moradores que ficam preocupados com a segurança da estrutura mas também podem levar à rachadura das paredes de vedação e janelas exteriores A Foto 11 mostra um moderno prédio de escritórios cuja fachada foi construída com grandes painéis de vidro do chão ao teto Logo depois de construído o edifício cargas de vento maiores do que as previstas fizeram muitos pai néis rachar e cair com perigo evidente para os transeuntes Após uma investigação completa e mais testes todos os painéis originais foram removidos Para corrigir as deficiências do projeto a estrutura do prédio foi reforçada e a fachada reconstruída com painéis de vidro temperado mais grosso As áreas escuras na Foto 11 mostram os painéis de compen sado utilizados temporariamente para envolver o prédio durante o período em que os painéis originais foram removidos e substituídos pelos de vidro temperado mais durável Foto 11 Danos causados pelo vento Logo depois que as janelas de vidro térmico foram colo cadas neste edifício de escritórios começaram a cair e dispersar espalhando vidro quebrado sobre os transeuntes Antes que o prédio pudesse ser ocupado a estrutura teve de ser reforçada e todos os painéis de vidro originais precisaram ser substituídos por vidro temperado mais grosso procedimentos dispendiosos que atrasaram a inauguração do prédio por vários anos 8 Capítulo 1 Introdução 14 Desenvolvimento histórico dos sistemas estruturais Para mostrar uma perspectiva histórica da engenharia de estruturas apresentaremos brevemente a evolução dos sistemas estruturais desde os projetos de tentativa e erro usados pelos egípcios e gregos antigos até as configurações altamente sofisticadas empregadas atualmente A evolução das formas estruturais está intimamente relacionada com os materiais disponíveis o estado da tecnologia da construção o conhecimento do projetista sobre o comportamento estrutural e muito depois a análise e a habilidade dos trabalhadores de construção Para suas notáveis façanhas de engenharia os antigos construtores egíp cios usaram pedras retiradas de pedreiras ao longo do Nilo para construir templos e pirâmides Como a resistência à tração da pedra um material frágil é baixa e altamente variável devido a uma profusão de rachaduras e vazios internos os vãos das vigas nos templos precisavam ser curtos ver Figura 11 para evitar falhas por flexão Como esse sistema de coluna e verga vigas de rocha maciça distribuídas igualmente sobre colunas de pedra relativamente grossas possuía capacidade limitada para cargas horizontais ou verticais excêntricas as construções tinham de ser relativa mente baixas Para dar estabilidade as colunas precisavam ser grossas uma coluna delgada cai mais facilmente do que uma grossa Os gregos muito interessados em refinar a aparência estética da coluna de pedra usaram o mesmo tipo de construção com coluna e verga no Parthenon cerca de 400 aC templo considerado um dos exemplos mais elegantes de construção em pedra de todos os tempos Figura 12 Até o início do século XX muito tempo depois de a construção com coluna e verga ter sido superada pelos pórticos de aço e concreto armado os arquitetos continuavam a impor a fachada do clássico templo grego na entrada dos prédios públicos A tradição clássica dos gregos antigos exer ceu influência por vários séculos depois do declínio de sua civilização Construtores talentosos os engenheiros romanos fizeram uso amplo do arco frequentemente empregandoo em vários níveis em anfiteatros aquedutos e pontes Foto 12 A forma curva do arco possibilita um afastamento das linhas retangulares e permite vãos livres muito mais longos do que na construção com coluna e verga de alvenaria A estabi lidade do arco de alvenaria exige 1 que sua seção transversal inteira seja solicitada em compressão sob todas as combinações de carga e 2 que os encontros ou blocos de base tenham resistência suficiente para absorver o grande empuxo na base do arco Os romanos também desen volveram em grande parte por tentativa e erro um método para confi nar um espaço interior com uma cúpula de alvenaria que pode ser observada no Panteão ainda existente em Roma Durante o período gótico das grandes construções de catedrais Char tres Notre Dame o arco foi refinado pelo corte de material excedente e seu formato tornouse bem mais alongado O teto abobadado uma forma tridimensional do arco também apareceu na construção de catedrais Elementos de alvenaria em arco chamados arcobotantes foram usados junto com pilares grossas colunas de alvenaria ou paredes para transmi tir o empuxo dos tetos abobadados para o chão Figura 13 A engenharia Figura 11 Antiga construção de coluna e verga encontrada em um templo egípcio Figura 12 Frente do Parthenon com colunas afuniladas e estriadas para decoração 9 treliça do teto arcobotante abóbada de pedra clerestório coluna de pedra maciça nave lateral nave central nave lateral pilar de alvenaria Foto 12 Os romanos foram os pioneiros no uso de arcos para pontes prédios e aquedutos Pont du Gard Aqueduto romano construído em 19 aC para transportar água pelo vale do Gardon até Nimes Os vãos dos arcos de primeiro e segundo níveis são de aproximadamente 16 a 24 metros Próximo a Remoulins França Figura 13 Corte transversal simplificado mos trando os principais elementos estruturais da cons trução gótica Arcos de alvenaria exteriores cha mados de arcobotantes eram utilizados para estabilizar a abóbada de pedra sobre a nave central O empuxo da abóbada é transmitido por meio dos arcobotantes para robustos pilares de alvenaria no exterior da construção Normalmente os pilares se alargam em direção à base da construção Para que a estrutura seja estável a alvenaria precisa ser solicitada em compressão por toda parte As setas mostram o fluxo das forças 10 Capítulo 1 Introdução desse período era extremamente empírica baseada no que os pedreiros mestres aprendiam e passavam para os seus aprendizes essas habilidades eram passadas de geração em geração Embora catedrais e palácios suntuosos tenham sido construídos durante muitos séculos na Europa por mestres construtores não ocorreu nenhuma mudança significativa na tecnologia da construção até a produção do ferro fundido em quantidades comerciais em meados do século XVIII A intro dução do ferro fundido possibilitou aos engenheiros desenhar prédios com vigas delgadas porém fortes e colunas com seções transversais compactas permitindo o projeto de estruturas mais leves com vãos livres mais longos e áreas de iluminação maiores As paredes resistentes e maciças exigidas para a construção de alvenaria não eram mais necessárias Posteriormente o aço com alta resistência à tração e à compressão permitiu a construção de estru turas mais altas e finalmente levou aos arranhacéus atuais No final do século XIX o engenheiro francês Eiffel construiu muitas pontes de aço de vãos longos além de sua inovadora Torre Eiffel o marco internacionalmente conhecido de Paris Foto 13 Com o desenvolvi mento dos cabos de aço de alta resistência os engenheiros foram capazes de construir pontes pênseis de vãos longos A ponte VerrazanoNarrows na entrada do porto de Nova York uma das mais longas do mundo tem vão de quase 1 300 metros entre as torres A adição de reforço de aço no concreto permitiu aos engenheiros transformar concreto simples um material frágil como a pedra em mem bros estruturais resistentes e maleáveis O concreto armado assume a forma dos moldes temporários em que é derramado e possibilita a cons trução de uma grande variedade de configurações Como as estruturas de concreto armado são monolíticas significando que agem como unidade contínua elas são estaticamente indeterminadas Até que métodos aprimorados de análise estaticamente indeterminada permitissem aos projetistas prever as forças internas na construção de concreto armado o projeto permaneceu semiempírico isto é cálculos simplificados eram baseados no comportamento observado e em testes assim como nos princípios da mecânica Com a introdução no início dos anos 1920 do método da distribuição de momentos por Hardy Cross os engenheiros conseguiram uma técnica relativamente simples para analisar estruturas contínuas À medida que os projetistas se tornaram familiariza dos com a distribuição de momentos puderam analisar pórticos estatica mente indeterminados e o uso do concreto armado como material de construção aumentou rapidamente A introdução da soldagem no final do século XIX facilitou a ligação de membros de aço eliminou as placas pesadas e as cantoneiras exigi das pelos métodos de rebitagem anteriores e simplificou a construção de pórticos de aço de nós rígidos Nos últimos anos o computador e a pesquisa da ciência dos mate riais produziram grandes alterações na capacidade dos engenheiros de construir estruturas para fins específicos como os veículos espaciais A introdução do computador e o subsequente desenvolvimento das matri zes de rigidez para vigas placas e elementos de casca permitiram aos projetistas analisar muitas estruturas complexas rápida e precisamente Estruturas que até os anos 1950 exigiam das equipes de engenheiros Foto 13 A Torre Eiffel construída em ferro forjado em 1889 domina a linha do horizonte de Paris nesta fotografia antiga Precursora da edifi cação moderna com estrutura de aço a torre se eleva a uma altura de 300 m a partir de uma base quadrada de 1006 m A base larga e o eixo afuni lado apresentam uma eficiente forma estrutural para resistir às grandes forças de tombamento do vento No topo da torre onde as forças do vento são maiores a largura da construção é menor 11 Seção 15 Elementos estruturais básicos meses para a análise agora podem ser avaliadas com mais precisão em questão de minutos por um único projetista usando um computador 15 Elementos estruturais básicos Todos os sistemas estruturais são compostos de vários elementos estruturais básicos vigas colunas tirantes treliças e outros Nesta seção descreveremos as principais características desses elementos bási cos para que você aprenda como utilizálos mais eficientemente Tirantes cabos de suspensão barras axialmente carregadas em tração Como todas as seções transversais das barras axialmente carregadas são tracionadas de modo uniforme o material é usado com máxima eficiência A capacidade de tensionar membros é uma função direta da resistência à tração do material Quando as barras são construídas de materiais com alta resistência como as ligas de aço até as barras de seções transversais peque nas têm capacidade de suportar cargas grandes ver Figura 14 Como característica negativa as barras de seções transversais pequenas são muito flexíveis e tendem a vibrar facilmente sob cargas móveis Para reduzir essa tendência à vibração a maioria das normas técnicas de constru ção determina que certos tipos de barras tracionadas devem ter uma quanti dade mínima de rigidez à flexão impondo um limite superior em seu índice de esbeltez lr em que l é o comprimento da barra e r é o raio de giração Por definição r 2I A em que I é o momento de inércia e A é a área da seção transversal Se a direção da carga inverte repentinamente uma condi ção produzida pelo vento ou por um terremoto uma barra tracionada esbelta flambará antes que possa oferecer qualquer resistência à carga Colunas barras axialmente carregadas em compressão As colunas também transmitem carga em compressão direta muito eficientemente A capacidade de uma barra em compressão é uma função de seu índice de esbeltez lr Se lr é grande a barra é esbelta e falhará por flambagem quando as tensões forem baixas frequentemente sem muito aviso Se lr é pequeno o membro é compacto Como os membros compactos falham por excesso de carregamento por esmagamento ou escoamento sua capacidade para carga axial é alta A capacidade de uma coluna esbelta também depende da contenção fornecida em suas extremidades Por exemplo uma coluna esbelta em balanço engas tada em uma extremidade e livre na outra suportará uma carga equiva lente a um quarto daquela suportada por uma coluna idêntica com as duas extremidades articuladas Figura 15b e c Na verdade colunas suportando carga axial pura só ocorrem em situações idealizadas Na prática a ligeira curvatura inicial das colunas ou uma excen tricidade da carga aplicada cria momentos de flexão que devem ser levados em conta pelo projetista Além disso em estruturas em concreto armado ou elementos soldados nas quais as vigas e colunas são conectadas por ligações tirantes T T W F F a b c d Pc P M 4Pc Figura 14 Tanque de armazenamento químico apoiado por tirantes tracionados suportando a força T Figura 15 a Coluna carregada axialmente b coluna em balanço com carga de flambagem Pc c coluna biarticulada com carga de flambagem 4Pc d vigacoluna 12 Capítulo 1 Introdução rígidas as colunas transmitem carga axial e momento fletor Esses membros são chamados de vigascolunas veja a Figura 15d Vigas cisalhamento e momento de flexão criados por cargas As vigas são membros delgados carregados perpendicularmente ao seu eixo longitudinal ver Figura 16a Quando a carga é aplicada a viga se deforma em uma curva suave Em uma seção típica de uma viga desenvolvemse forças internas de cisalhamento V e momento fletor M Figura 16b A não ser em vigas curtas e extremamente carregadas as tensões de cisalhamento τ produzidas por V são relativamente pequenas mas as tensões normais de flexão longitudinais produzidas por M são grandes Se a viga tem comportamento elástico as tensões normais de flexão em uma seção transversal compressão na parte superior e tração na parte inferior variam linearmente a partir de um eixo horizontal pas sando pelo centroide da seção transversal As tensões de flexão são dire tamente proporcionais ao momento fletor e variam em amplitude ao longo do eixo da viga As vigas rasas delgadas são relativamente ineficientes na transmissão da carga pois o braço entre as forças C e T que constitui o momento interno é pequeno Para aumentar o tamanho do braço frequentemente é removido material do centro da seção transversal e concentrado nas superfícies supe rior e inferior produzindo uma seção em forma de I Figura 16c e d Treliças planas todos os membros axialmente carregados Treliça é um elemento estrutural composto de barras delgadas cujas extremidades são supostamente conectadas por articulações sem atrito Se treliças de nós articulados são carregadas apenas nos nós desenvolvese um carregamento axial em todas as barras Assim o material é usado com máxima eficiência Normalmente as barras da treliça são montadas em padrão triangular a configuração geométrica estável mais simples Figura 17a No século XIX geralmente as treliças recebiam seus nomes como homenagem aos projetistas que estabeleciam uma configu ração específica de barras ver Figura 17b O comportamento de uma treliça é semelhante ao de uma viga pois a alma sólida que transmite o cisalhamento é substituída por uma série de barras verticais e diagonais Eliminando a alma sólida o projetista mesa c alma mesa d alma de compensado a P RA RB b braço de alavanca T C M V par interno tensões normais de flexão t c mesa c alma a RA RB b braço de alavanca T C M V RA par interno tensões normais de flexão t c mesa c alma mesa d alma de compensado RB braço de alavanca par interno Figura 16 a A viga deforma em uma curva suave b forças internas cisalhamento V e momento fletor M c seção de aço em forma de I d viga I de madeira laminada colada 13 Seção 15 Elementos estruturais básicos pode reduzir significativamente o próprio peso da treliça Como as tre liças são muito mais leves do que as vigas de mesma capacidade são mais fáceis de erigir Embora a maioria das ligações de treliça seja for mada pela soldagem ou pelo aparafusamento das extremidades das barras em uma placa de conexão ou ligação Figura 18a uma análise da treliça baseada na suposição de ligações articuladas produz um resul tado aceitável Embora as treliças sejam muito rígidas em seu plano específico são muito flexíveis quando carregadas perpendicularmente a esse plano Por isso as cordas de compressão das treliças devem ser estabilizadas e ali nhadas por meio de contraventamento cruzado Figura 18b Por exem plo nos prédios os sistemas de teto ou piso ligados aos nós da corda superior servem como apoios laterais para evitar a flambagem lateral desse membro Figura 17 a Montagem de elementos triangu lares para formar uma treliça b dois tipos comuns de treliça com nomes dados em homena gem ao projetista original painel corda inferior corda superior diagonal montante a treliça Pratt treliça Warren b 14 Capítulo 1 Introdução Arcos membros curvos fortemente solicitados em compressão direta Normalmente os arcos são solicitados em compressão sob seu peso próprio Devido ao uso eficiente do material os arcos têm sido construí dos com vãos de mais de 600 metros Para estar em compressão pura um estado de tensão eficiente o arco deve ser projetado de modo que a resul tante das forças internas de cada seção passe pelo centroide Para deter minado vão e elevação existe somente uma forma de arco na qual a solicitação direta ocorrerá para um sistema de forças em particular Para outras condições de carga desenvolvemse momentos fletores que podem produzir grandes deslocamentos em arcos delgados A escolha da forma de arco apropriada por parte dos antigos construtores nos períodos romano e gótico representou um entendimento bastante sofisticado do comportamento estrutural Como os registros históricos relatam muitas falhas de arcos de alvenaria obviamente nem todos os construtores enten deram a ação do arco Como a base do arco cruza os apoios extremos chamados de encontros ou pegões em um ângulo agudo a força interna nesse ponto exerce um empuxo horizontal assim como vertical sobre os encon tros Quando os vãos são grandes as cargas são pesadas e a inclinação Figura 18 a Detalhe da ligação aparafusada b ponte de treliça mostrando o contraventa mento cruzado necessário para estabilizar as duas treliças principais a b corda inferior treliça treliça contraventamento do portal diagonal da treliça longarina contraventamento cruzado da corda superior todos os painéis contraventamento cruzado da corda inferior todos os painéis transversinas balancim chapa de piso assentada em longarinas não mostradas a b corda inferior treliça treliça entamento longarina contraventamento cruzado da corda superior todos os painéis contraventamento cruzado da corda inferior todos os painéis transversinas chapa de piso assentada em longarinas não mostradas barras da treliça chapa de ligação 15 Seção 15 Elementos estruturais básicos do arco é rasa o componente horizontal do empuxo é grande A não ser que existam paredes de rocha naturais para absorver o empuxo horizontal Figura 19a devem ser construídos encontros maciços Figura 19b ou as extremidades do arco devem ser interligadas por um tirante Figura 19c ou o encontro deve ser apoiado em estacas Figura 19d Cabos membros flexíveis solicitados em tração por cargas transversais Os cabos são membros relativamente delgados e flexíveis compostos por um grupo de fios de aço de alta resistência trançados mecanicamente Trefilando barras de liga de aço por meio de moldes processo que alinha as moléculas do metal os fabricantes são capazes de produzir fios com resistência à tração que chega a 186 GPa Como os cabos não têm nenhuma rigidez à flexão só podem transmitir força de tração direta obviamente eles se deformariam sob menor força compressiva Devido à sua alta resistência à tração e maneira eficiente de transmitir carga por tração direta as estruturas a cabo têm força para suportar as grandes cargas de estruturas de vão longo com mais economia do que a maioria dos outros elementos estruturais Por exemplo quando as distâncias dos vãos ultrapassam 600 metros os projetistas normalmente escolhem pon tes pênseis ou estaiadas ver Foto 14 Os cabos podem ser usados para construir tetos assim como torres estaiadas Sob o próprio peso uma carga uniforme atuando ao longo do arco do cabo o cabo assume a forma de catenária Figura 110a Se o cabo suportar uma carga distribuída uniformemente sobre a projeção hori zontal de seu vão assumirá a forma de parábola Figura 110b Quando a flecha a distância vertical entre a corda do cabo e o cabo na metade do vão é pequena Figura 110a o formato do cabo produzido pelo próprio peso pode ser bem próximo de uma parábola encontro encontro tirante pista b a rocha rocha T T arco H H estaca inclinada estaca inclinada d c R R Figura 19 a Um arco com extremidades fixas suporta a pista sobre um desfiladeiro onde pare des de rocha fornecem um apoio natural para o empuxo do arco T b encontros grandes destina dos a suportar o empuxo do arco c tirante adi cionado na base para suportar o empuxo horizon tal fundações projetadas apenas para reação vertical R d fundação colocada sobre estacas estacas inclinadas usadas para transferir o com ponente horizontal do empuxo para o chão Figura 110 a Cabo na forma de catenária sob o próprio peso b cabo parabólico produzido por uma carga uniforme c diagrama de corpo livre de uma seção de cabo suportando uma carga ver tical uniforme o equilíbrio na direção horizontal mostra que a componente de tração horizontal H no cabo é constante V2 T2 2 L2 a b w L2 corda do cabo flecha T T parábola V1 H V2 T2 T1 H 1 2 L2 a b w c w L2 corda do cabo flecha T T parábola 16 Foto 14 a Ponte Golden Gate Baía de São Francisco Inaugurada em 1937 o vão principal de mais de 1 280 metros era o mais longo daquela época e manteve esse título por 29 anos O projetista principal foi Joseph Strauss que anteriormente colaborou com Ammann na ponte George Washington em Nova York b ponte do rio Rhine em Flehe próximo a Dusseldorf Alemanha Projeto de torre única A linha única de cabos é ligada ao centro do piso da ponte e existem três faixas de rolamento em cada lado Essa disposição depende da rigidez à torção da estrutura do piso da ponte para obter uma esta bilidade global a b 17 Seção 15 Elementos estruturais básicos Devido à falta de rigidez à flexão os cabos passam por grandes alterações na forma quando cargas concentradas são aplicadas A falta de rigidez à flexão também torna muito fácil pequenas forças perturbadoras por exemplo o vento causarem oscilações tremor em tetos e pontes apoiados por cabos Para utilizar eficientemente cabos como membros estruturais os engenheiros inventaram diversas técnicas para minimizar as deformações e vibrações produzidas por sobrecarga As técnicas para enrijecer cabos incluem 1 prétensiona mento 2 uso de cabos ancorados e 3 adição de peso próprio extra ver Figura 111 Como parte dos sistemas de cabo devem ser projetados apoios para absorver as reações das extremidades do cabo Onde existe rocha sólida disponível os cabos podem ser ancorados de forma econômica cimen tando a ancoragem na rocha ver Figura 112 Se não houver rocha dis ponível devem ser construídas fundações pesadas para ancorar os cabos No caso de pontes pênseis são necessárias torres grandes para suportar o cabo do mesmo modo que um poste suporta um varal de roupas cabos tracionados pilares blocos de concreto fundação torre cabos ancorados T T T T fixações a b c T T T T cabo teto apoiado Figura 111 Técnicas para enrijecer cabos a torre estaiada com cabos prétensionados com apro ximadamente 50 de sua resistência à tração máxima b rede de cabos tridimensional cabos ancorados estabilizam os cabos inclinados para cima c teto em cabo coberto por blocos de con creto para manter o cabo tracionado a fim de eliminar as vibrações Cabos apoiados por pila res maciços colunas em cada extremidade T fixação barra com olhal cabo argamassa especial grout rocha Figura 112 Detalhe de uma ancoragem de cabo na rocha 18 Capítulo 1 Introdução Pórticos rígidos solicitados por carga axial e momento Exemplos de pórticos rígidos estruturas com nós rígidos aparecem na Figura 113a e b As barras de um pórtico rígido que normalmente suportam carga axial e momento são chamadas de vigaspilares Para que uma ligação seja rígida o ângulo entre as barras vinculadas a essa ligação não deve mudar quando carregado Em estruturas de concreto armado as ligações rígidas são simples de construir devido à natureza monolítica do concreto vertido Contudo as ligações rígidas fabricadas com vigas de aço com mesas Figura 16c geralmente exigem enrijecedores para trans ferir as forças intensas nas mesas entre as barras que compõem a ligação ver Figura 113c Embora as ligações possam ser formadas por rebita gem ou aparafusamento a soldagem simplifica muito a fabricação de ligações rígidas em pórticos de aço Placas ou lajes carga transmitida por flexão As placas são elementos planares cuja profundidade ou espessura é pequena comparada ao comprimento e à largura Normalmente elas são usadas como pisos em prédios e pontes ou como paredes de tanques de armazenamento O comportamento de uma placa depende da posição dos apoios ao longo das bordas Se placas retangulares são apoiadas em bordas opostas elas se flexionam em curvatura única ver Figura 114a Se os apoios são contínuos em torno das bordas ocorre flexão de curvatura dupla Como as chapas são flexíveis por causa da pequena espessura a dis tância que podem vencer sem se deformar excessivamente é relativamente pequena Por exemplo as lajes de concreto armado podem abranger aproximadamente de 36 a 48 metros Se os vãos são grandes normal mente as lajes são apoiadas em vigas ou reforçadas pela adição de nervu ras Figura 114b Se a ligação entre uma laje e sua viga de apoio é projetada adequada mente os dois elementos agem em conjunto condição chamada de ação composta para formar uma viga T Figura 114c Quando a laje atua como a mesa de uma viga retangular a rigidez da viga aumenta por um fator aproximadamente igual a 2 Corrugando as placas o projetista pode criar uma série de vigas altas chamadas placas dobradas que podem vencer longos vãos No aero porto Logan em Boston EUA uma placa dobrada de concreto proten dido do tipo mostrado na Figura 114d se estende por mais de 82 metros para atuar como teto de um hangar Cascas finas elementos de superfície curvos tensões atuando principalmente no plano do elemento As cascas finas são superfícies curvas tridimensionais Embora sua espessura seja muitas vezes pequena é comum terem alguns centíme tros no caso de uma casca de concreto armado elas podem vencer grandes vãos devido à resistência e rigidez inerentes à forma curva Cúpulas esféricas que são comumente utilizadas para cobrir praças de a enrijecedores c b d a enrijecedores c b d b d b d Figura 113 Estruturas com nós rígidos a pórtico rígido de um andar b viga Vierendeel cargas transmitidas por tração direta e flexão c detalhes de uma ligação soldada no canto de um pórtico rígido de aço d detalhe do reforço do canto do pórtico de concreto em b 19 Seção 15 Elementos estruturais básicos esporte e tanques de armazenamento são dos tipos mais comuns de cascas construídas Sob cargas uniformemente distribuídas as cascas desenvolvem tensões no plano chamadas tensões de membrana que suportam a carga externa eficientemente Figura 115 Além das tensões de mem brana que normalmente têm magnitude pequena também se desen volvem tensões de cisalhamento perpendiculares ao plano da casca momentos fletores e momentos de torção Se a cobertura tiver bordas que possam equilibrar as tensões de membrana em todos os pontos ver Figura 116a e b a maior parte da carga será transmitida pelas tensões de membrana Mas se as bordas da casca não puderem forne cer reações para as tensões de membrana Figura 116d a região da casca próxima às bordas se deformará Como essas deformações criam cisalhamento normal à superfície da casca assim como momentos devese engrossar a casca ou fornecer um elemento de borda Na maioria das cascas o cisalhamento e os momentos da borda diminuem rapidamente com a distância da borda A capacidade das cascas finas de abranger grandes áreas desobstruídas sempre despertou grande interesse dos engenheiros e arquitetos Contudo o alto custo para moldar a casca os problemas acústicos a dificuldade de produzir um teto impermeável e problemas de flambagem com tensões baixas têm restringido seu uso Além disso as cascas finas não são capa zes de suportar cargas intensamente concentradas sem a adição de nervu ras ou outros tipos de enrijecedores a c mesa conector de cisalhamento alma b d laje laje viga típica viga de aço flexão de curvatura simples flexão de curvatura dupla Figura 114 a Influência das bordas na curvatura b sistema de viga e laje c laje e vigas atuam como uma unidade À esquerda a laje de concreto se funde com a viga para formar uma viga T à direita o conector de cisalhamento une a laje de concreto à viga de aço produzindo uma viga composta d teto de placa dobrada Figura 115 Tensões de membrana atuando em um pequeno elemento de casca Ty Ty Tx Tx W V V V V 20 Capítulo 1 Introdução 16 Montando elementos básicos para formar um sistema estrutural estável Prédio de um andar Para ilustrar como o projetista combina os elementos estruturais bási cos descritos na Seção 15 em um sistema estrutural estável discutire mos em detalhes o comportamento de uma estrutura simples conside rando a estrutura de um andar tipo caixa da Figura 117a Essa construção representando um pequeno estabelecimento de armazenagem consiste em pórticos de aço estrutural cobertos com painéis leves de metal corru gado Por simplicidade ignoramos as janelas portas e outros detalhes arquitetônicos Na Figura 117b mostramos um dos pórticos de aço localizado imediatamente dentro da parede da extremidade indicada como ABCD na Figura 117a do prédio Aqui a plataforma do teto de metal é apoiada na viga CD que se estende entre duas colunas de ligação localizadas nos cantos do prédio Como mostrado na Figura 117c as extremidades da viga são conectadas nas partes superiores das colunas por parafusos que passam pela mesa inferior da viga e uma chapa de topo soldada na parte superior da coluna Como esse tipo de conexão não pode transmitir momento eficientemente entre a extremidade da Figura 116 Tipos de cascas comumente cons truídas a cúpula esférica apoiada continua mente É fornecida a condição de contorno da ação de membrana b cúpula modificada com apoios próximos entre si Devido às aberturas a condição de membrana é um pouco alterada nas bordas Devese engrossar a casca ou fornecer vigas de borda nas aberturas c paraboloide hiperbólico Geratrizes em linha reta formam esta casca São necessárias vigas de borda para fornecer reação para as tensões de membrana d cúpula com apoios distantes entre si Forças de membrana não podem se desenvolver nas bordas São necessárias vigas de borda e espes samento da casca em torno do perímetro e cúpula com um anel de compressão no topo e um anel de tração na parte inferior Esses anéis for necem reações para as tensões de membrana As colunas devem suportar somente carga vertical f casca cilíndrica a b c vigas de borda seção AA A A Flambagem com ruptura de lado a lado esse tipo de falha é evitado pela adição de nervuras de reforço ou tornando a casca mais grossa e d f anel de compressão anel de tração viga de borda 21 Seção 16 Montando elementos básicos para formar um sistema estrutural estável a c b d e f flamba tracionada V V P P P V P A 0 B C D V F 0 w A D C D C B 2 wL 2 wL 2 wL 2 wL L L w Posição dos pórticos contraventados no prédio ver Figura 117b mostrados com linhas tracejadas Todos os outros membros estruturais foram omitidos A B C D A B C D telhado isolamento plataforma do teto viga chapa de topo coluna tubular vista posterior detalhe A vista frontal plataforma do teto ver detalhe A viga coluna placa de base parafuso de ancoragem contraventamento C B A D viga e o topo da coluna o projetista supõe que ele atua como uma arti culação de diâmetro pequeno Como essas junções aparafusadas não são rígidas membros leves adicionais geralmente barras circulares ou cantoneiras de aço são dispostos diagonalmente entre colunas adjacentes no plano do pórtico e servem para estabilizar ainda mais a estrutura Sem esse reforço diagonal Figura 117b a resistência do pórtico às cargas laterais seria pequena e a estrutura não teria rigidez Os projetistas inserem contraventamento semelhante nas outras três paredes e às vezes no plano do teto O pórtico é ligado à fundação por meio de parafusos que passam por uma placa de base leve de aço soldada na parte inferior da coluna As extremidades inferiores dos parafusos chamados parafusos de ancoragem são engastadas nas bases de concreto localizadas imedia Figura 117 a Visão tridimensional do prédio a seta indica a direção na qual a plataforma do teto se estende b detalhes do pórtico com con traventamento com ligações aparafusadas c detalhes das ligações entre viga e coluna d modelo idealizado do sistema estrutural transmi tindo cargas gravitacionais do teto e modelo da viga CD f modelo idealizado de sistema de tre liça para transmitir carga lateral atuando à direita A barra diagonal DB se deforma e é ineficiente 22 Capítulo 1 Introdução tamente sob a coluna Normalmente os projetistas supõem que uma conexão aparafusada simples desse tipo atua como um apoio de pino isto é a conexão impede que a base da coluna se desloque vertical e horizontalmente mas não tem rigidez suficiente para evitar a rotação frequentemente os estudantes de engenharia presumem erronea mente que uma placa de base plana aparafusada em uma base de con creto produz uma condição de extremidade fixa mas não levam em consideração a grande perda de restrição rotacional induzida mesmo por pequenas deformações de curvatura da placa Embora a conexão aparafusada tenha capacidade de aplicar uma pequena porém incerta quantidade de restrição rotacional na base da coluna normalmente o projetista a trata de forma conservadora como um pino sem atrito Contudo normalmente é desnecessário obter uma cone xão mais rígida pois é cara e a rigidez adicional pode ser fornecida de forma mais simples e econômica aumentando o momento de inércia das colunas Se os projetistas quiserem produzir um apoio fixo na base de uma coluna para aumentar sua rigidez devem utilizar uma placa de base grossa e reforçada e a fundação deve ser maciça Projeto de pórtico para carga gravitacional Para analisar esse pequeno pórtico sob a ação de carga gravitacional o projetista presume que o peso do teto e de qualquer carga acidental vertical por exemplo neve ou gelo é suportado pela plataforma do teto atuando como uma série de pequenas vigas paralelas no pórtico mostrado na Figura 117d Esse pórtico é ideali zado pelo projetista como uma viga conectada nas colunas por uma ligação presa com pinos O projetista despreza o contraventamento diagonal como um membro secundário supostamente inativo quando a carga vertical atua Como supostamente nenhum momento se desenvolve nas extremida des da viga o projetista a analisa simplesmente como uma barra biapoiada com uma carga uniforme ver Figura 117e Como as reações da viga são aplicadas diretamente sobre as linhas de centro das colunas o projetista presume que a coluna transmite apenas compressão direta e se comporta como um membro de compressão carregado axialmente Projeto para carga lateral Em seguida o projetista verifica as cargas laterais Se uma carga lateral P produzida pelo vento por exemplo é aplicada no topo do teto ver Figura 117f o projetista pode supor que uma das diagonais atuando junto com a viga de teto e com as colunas forma uma treliça Se as diagonais são membros leves e flexíveis ape nas a diagonal que vai de A a C que alonga e desenvolve forças de tração à medida que a viga se desloca para a direita é presumida como efetiva Supõese uma deformação na diagonal oposta BD pois ela é delgada e colocada em compressão pelo movimento lateral da viga Se a direção do vento invertesse a outra diagonal BD se tornaria efetiva e a diagonal AC deformaria Conforme ilustramos nesse problema simples sob determinados tipos de cargas alguns membros entram em ação para transmitir as car gas para os apoios Desde que o projetista saiba como escolher um caminho lógico para essas cargas a análise pode ser bastante simplifi cada pela eliminação de membros não efetivos 23 Seção 17 Análise por computador 17 Análise por computador Até o final dos anos 1950 a análise de alguns tipos de estruturas inde terminadas era um procedimento longo e maçante A análise de uma estrutura com muitas ligações e barras uma treliça espacial por exemplo poderia exigir muitos meses de cálculos de uma equipe de engenheiros estruturais experientes Além disso como muitas vezes eram necessárias várias suposições sobre o comportamento estrutural para simplificação a precisão dos resultados finais era incerta Atualmente estão disponíveis programas de computador que podem analisar a maioria das estruturas rapida e precisamente Ainda existem algumas exceções Se a estrutura tem uma forma incomum e complexa um recipiente de contenção nuclear de paredes grossas ou o casco de um submarino a análise por computador ainda pode ser complicada e demorada A maioria dos programas de computador para análise de estruturas é escrita para produzir uma análise de primeira ordem isto é eles presu mem 1 que o comportamento é linear e elástico 2 que as forças dos membros não são afetadas pelas deformações mudança na geometria da estrutura e 3 que nenhuma redução na rigidez à flexão é produzida nas colunas por forças de compressão Os métodos clássicos de análise abordados neste livro produzem uma análise de primeira ordem conveniente para a maioria das estruturas como treliças vigas contínuas e pórticos encontradas na prática da enge nharia Quando é utilizada uma análise de primeira ordem as normas técnicas para o projeto estrutural fornecem os procedimentos empíricos necessários para ajustar as forças que podem ser subestimadas Embora sejam mais complicados de usar os programas de segunda ordem que levam em conta o comportamento inelástico mudanças na geometria e outros efeitos que influenciam a magnitude das forças nos membros são mais precisos e produzem uma análise mais fiel Por exem plo arcos longos e delgados sob cargas móveis podem passar por mudanças na geometria que aumentam significativamente os momentos de flexão Para estruturas desse tipo é essencial uma análise de segunda ordem Normalmente os engenheiros utilizam programas de computador preparados por equipes de especialistas em estruturas que também são hábeis programadores e matemáticos Obviamente se o projetista não estabelecer uma estrutura estável ou se uma condição de carga importante for negligenciada a informação fornecida pela análise não será adequada para produzir uma estrutura útil e segura Em 1977 a falha da grande treliça espacial tridimensional ver páginas 72 e 682 que apoiava o teto de aproximadamente 90 por 110 metros do Hartford Civic Center Arena é um exemplo de projeto estrutural em que os projetistas confiaram em uma análise incompleta feita por computador e não produziram uma estrutura segura Dentre os fatores que contribuíram para esse desastre estavam dados imprecisos o projetista subestimou o peso próprio do teto em mais de 680 mil kg e a incapacidade do programa de computador de prever a carga de flambagem das barras sob compressão na treliça Em outras palavras havia no programa a suposição de que a estrutura era estável suposição essa presente na maioria dos antigos programas de computador utilizados para analisar estruturas Logo depois 24 Capítulo 1 Introdução que uma tempestade de inverno depositou uma pesada carga de neve enso pada pela chuva e pelo gelo no teto a flambagem de certas barras delga das sob compressão na treliça do teto causou o desmoronamento repen tino do teto inteiro Felizmente a falha ocorreu horas depois que 5 mil espectadores de um jogo de basquete tinham deixado o prédio Se a falha tivesse ocorrido horas antes quando o prédio estava ocupado centenas de pessoas teriam morrido Embora não tenha havido nenhuma perda de vida o lugar ficou inutilizado por um tempo considerável e foi necessá rio muito dinheiro para limpar os destroços reprojetar o prédio e recons truir a praça de esportes Embora o computador tenha reduzido o número de horas de cálculos necessárias para analisar estruturas o projetista ainda precisa ter um dis cernimento básico sobre todos os tipos de falha em potencial para avaliar a confiabilidade das soluções geradas pelo computador A preparação de um modelo matemático que represente adequadamente a estrutura conti nua sendo um dos aspectos mais importantes da engenharia de estruturas 18 Preparação dos cálculos A preparação de um conjunto de cálculos bem definido e completo para cada análise é responsabilidade importante de cada engenheiro Um conjunto de cálculos bem organizado não somente reduzirá a pos sibilidade de erros mas também fornecerá informações fundamentais caso a resistência de uma estrutura existente precise ser investigada no futuro Por exemplo talvez o proprietário de um prédio queira determi nar se um ou mais andares podem ser adicionados à estrutura existente sem solicitar em excesso o arcabouço estrutural e as fundações Se os cálculos originais são completos e o engenheiro pode determinar as cargas de projeto as tensões admissíveis e as hipóteses nas quais a aná lise e o projeto original foram baseadas a avaliação da resistência da estrutura modificada fica facilitada Ocasionalmente uma estrutura falha no pior caso vidas são perdi das ou se mostra insatisfatória em serviço por exemplo pisos afundam ou vibram paredes racham Nessas situações os cálculos originais serão examinados com cuidado por todos os envolvidos para estabelecer a res ponsabilidade do projetista Um conjunto de cálculos desleixado ou incompleto pode causar danos à reputação de um engenheiro Como os cálculos exigidos para resolver os problemas propostos neste livro são semelhantes aos feitos por engenheiros profissionais em escritó rios de projeto os estudantes devem considerar cada tarefa como uma oportunidade de aprimorar os conhecimentos necessários para produzir cálculos de qualidade profissional Com esse objetivo em mente são ofe recidas as seguintes sugestões 1 Formule o objetivo da análise em uma frase curta 2 Faça um esboço claro da estrutura mostrando todas as cargas e dimensões Use um lápis apontado e uma régua para desenhar as linhas Figuras e números claros e organizados têm uma aparência mais profissional 25 Seção 18 Preparação dos cálculos 3 Inclua todas as etapas de seus cálculos Cálculos não podem ser facilmente verificados por outro engenheiro a não ser que todas as etapas sejam mostradas Escreva uma ou duas palavras dizendo o que está sendo feito conforme for necessário para esclarecimento 4 Verifique os resultados de seus cálculos por meio de uma checagem estática isto é escrevendo equações de equilíbrio adicionais 5 Se a estrutura for complexa verifique os cálculos fazendo uma análise aproximada consultar Capítulo 14 6 Verifique se a direção das deformações é coerente com a direção das forças aplicadas Se uma estrutura é analisada por computador os deslocamentos dos nós parte dos dados de saída podem ser representados em escala em um gráfico para produzir uma visão clara da estrutura deformada Resumo Para iniciar nosso estudo da análise estrutural examinamos a relação entre planejamento projeto e análise Nesse processo correlacionado o engenheiro de estruturas primeiramente estabelece uma ou mais configurações iniciais das formas estruturais possíveis estima os pesos próprios seleciona as cargas de projeto importantes e analisa a estrutura Analisada a estrutura os membros principais são redimensionados Se os resultados do projeto confirmarem que as suposições iniciais estavam corretas o projeto está concluído Se houver grandes diferenças entre as proporções iniciais e finais o projeto será modificado e a análise e o dimensionamento serão repetidos Esse processo continua até que os resultados finais confirmem que as proporções da estrutura não exigem mais modificações Examinamos também as características dos elementos estruturais comuns que compõem prédios e pontes típicos Eles incluem vigas treliças arcos pórticos com ligações rígidas cabos e cascas Embora a maioria das estruturas seja tridimensional o projetista que desenvolve um entendimento do comportamento estrutural muitas vezes pode dividir a estrutura em uma série de estruturas planares mais simples para análise O projetista é capaz de escolher um modelo simplificado e idealizado que represente precisamente os fundamentos da estrutura real Por exemplo embora a alvenaria exterior ou janelas e painéis de parede de um prédio ligados ao arcabouço estrutural aumentem a rigidez da estrutura normalmente essa interação é desprezada Como a maioria das estruturas é analisada por computador os engenheiros de estruturas devem desenvolver uma compreensão do comportamento estrutural para que com alguns cálculos simples possam verificar se os resultados da análise feita pelo computador são razoáveis As falhas estruturais não somente envolvem altos custos mas também podem resultar em lesões nas pessoas ou perda de vidas O forte terremoto de 1999 magnitude 77 ocorrido em ChiChi Taiwan fez que os andares superiores dos prédios de apartamentos mostrados na foto desabassem como um conjunto Embora as colunas de apoio do prédio fossem projetadas para forças sísmicas a ligação de paredes divisórias de concreto rígido e tijo los às colunas dos andares superiores invalidou o objetivo do projetista e causou a falha dos segmentos mais flexíveis das colunas dos andares inferiores quando o bloco superior do prédio se deslocou lateral mente como um todo C A P Í T U L O Cargas de projeto 21 Código de construção e de projeto Código é um conjunto de especificações e padrões técnicos que controlam os principais detalhes da análise projeto e construção de prédios equipamentos e pontes O objetivo dos códigos é produzir estruturas seguras e econômicas para proteger o público de projetos e construções de baixa qualidade ou inadequados Existem dois tipos de código Um deles chamado código estrutural é escrito por engenheiros e outros especialistas interessados no projeto de uma classe de estrutura específica por exemplo prédios pontes em rodovias ou usinas nucleares ou na utilização correta de um material específico aço concreto armado alumínio ou madeira Normalmente os códigos estruturais especificam as cargas de projeto as tensões admissíveis para vários tipos de barras as hipóteses de projeto e os requisitos dos materiais Exemplos de códigos estruturais frequente mente utilizados por engenheiros de estruturas 1 Standard Specifications for Highway Bridges Especificações padrão para pontes em rodovias da American Association of State Highway and Transportation Officials AASHTO que abrange o projeto e a análise de pontes em rodovias 2 Manual for Railway Engineering Manual de engenharia de estradas de ferro da American Railway Engineering and Mainte nance of Way Association Arema que abrange o projeto e a análise de pontes em vias férreas 3 Building Code Requirements for Reinforced Concrete ACI 318 Requisitos do código de construção para concreto armado do American Concrete Institute ACI que abrange a análise e o pro jeto de estruturas de concreto 4 Manual of Steel Construction Manual de construção com aço do American Institute of Steel Construction AISC que abrange a análise e o projeto de estruturas de aço 5 National Design Specifications for Wood Construction Especifi cações nacionais de projeto para construção com madeira da American Forest Paper Association AFPA que abrange a análise e o projeto de estruturas de madeira 2 28 Capítulo 2 Cargas de projeto O segundo tipo de código chamado código de construção é estabe lecido para abranger a construção em determinada região frequente mente uma cidade ou um estado O código de construção contém dis posições pertinentes aos requisitos arquitetônicos estruturais mecânicos e elétricos O objetivo do código de construção também é proteger o público informando sobre a influência das condições locais na constru ção Essas disposições de particular interesse para o projetista de estru turas abordam tópicos como as condições do solo pressões admissí veis sobrecargas pressões do vento cargas de neve e gelo e forças de terremoto Atualmente muitos códigos de construção adotam as dispo sições do Standard Minimum Design Loads for Buildings and Other Structures Cargaspadrão de projeto mínimas para prédios e outras estruturas publicado pela American Society of Civil Engineers ASCE ou o mais recente International Building Code Código de construção internacional do International Code Council À medida que novos sistemas se desenvolvem novos materiais tornamse disponíveis ou ocorrem falhas repetidas de sistemas aceitos o conteúdo dos códigos é revisto e atualizado Nos últimos anos o grande volume de pesquisa sobre comportamento estrutural e materiais resultou em frequentes alterações nos dois tipos de código Por exem plo o ACI Code Committee publica um adendo anual e produz uma edição revisada do código nacional a cada seis anos A maioria dos códigos estabelece cláusulas para o projetista diver gir dos padrões prescritos caso possa mostrar por meio de testes ou estudos analíticos que tais mudanças produzem um projeto seguro 22 Cargas As estruturas devem ser dimensionadas de modo que não falhem nem deformem excessivamente sob carga Portanto o engenheiro deve tomar muito cuidado ao prever as cargas prováveis que uma estrutura deve suportar Embora as cargas de projeto especificadas pelos códi gos geralmente sejam satisfatórias para a maioria das construções o projetista também deve decidir se essas cargas se aplicam à estrutura específica que está sob consideração Por exemplo se o formato de uma construção é incomum e causa velocidades de vento maiores as forças do vento podem divergir significativamente do mínimo pres crito por um código de construção Nesses casos o projetista deve fazer testes com túnel de vento em modelos para estabelecer as forças de projeto apropriadas O projetista também deve tentar prever se a função de uma estrutura e consequentemente as cargas que ela deve suportar mudará no futuro Por exemplo se existe a possibilidade de que um equipamento mais pesado possa ser introduzido em uma área originalmente projetada para uma carga menor o projetista pode optar por aumentar as cargas de projeto especificadas pelo código Normal mente os projetistas diferenciam dois tipos de carga carga perma nente e sobrecarga 29 Seção 23 Cargas permanentes 23 Cargas permanentes A carga associada ao peso da estrutura e seus componentes perma nentes pisos tetos tubulações e outros é chamada carga perma nente Como o peso próprio deve ser usado nos cálculos para dimen sionar as barras mas não é conhecido precisamente até que as barras sejam dimensionadas sua magnitude deve ser estimada inicialmente Depois que as barras são dimensionadas e os detalhes arquitetônicos finalizados o peso próprio pode ser calculado mais precisamente Se o valor calculado do peso próprio é aproximadamente igual ou ligei ramente menor à estimativa inicial a análise está concluída Mas se existe uma grande diferença entre os valores estimados e calculados do peso próprio o projetista deve revisar os cálculos usando o valor aperfeiçoado Ajuste da carga permanente para instalações e paredes divisórias Na maioria dos prédios o espaço imediatamente abaixo de cada piso é ocupado por uma variedade de tubos de instalações diversas e apoios para aparelhos incluindo dutos de ventilação tubulações de água e esgoto conduítes elétricos e luminárias Em vez de tentar levar em con sideração o peso e a posição real de cada item os projetistas acrescen tam de 0479 kNm2 a 0718 kNm2 10 lbft2 a 15 lbft2 ao peso do sistema de piso para garantir que a resistência do piso das colunas e de outras peças estruturais seja adequada Normalmente os projetistas tentam posicionar as vigas justamente sob as paredes pesadas de alvenaria para transferir seu peso direta mente para os apoios Se um proprietário exige flexibilidade para mover paredes ou divisórias periodicamente a fim de reconfigurar o espaço do escritório ou laboratório o projetista pode adicionar uma margem de segurança apropriada ao peso próprio do piso Se as divi sórias são leves pode ser um peso próprio adicional de 0479 kNm2 10 lbft2 ou menos Em uma fábrica ou laboratório que abrigue equi pamento de teste pesado a margem de segurança pode ser três ou quatro vezes maior Distribuição da carga permanente em sistemas de piso em lajes e vigas Muitos sistemas de piso consistem em uma laje de concreto armado apoiada em uma grade retangular de vigas As vigas de apoio reduzem o vão da laje e permitem ao projetista reduzir a espessura e o peso do sistema de piso A distribuição da carga em uma viga de piso depende da configuração geométrica das vigas que formam a grade Para desen volver a percepção de como a carga de uma região específica de uma laje é transferida para as vigas de apoio examinaremos os três casos 30 Figura 21 Conceito de área de influên cia a laje quadrada todas as vigas de borda suportam uma área triangular b duas vigas de borda dividem a carga igualmente c carga em uma largura de 1 pé da laje da Figura b d as áreas de influência das vigas B1 e B2 aparecem sombreadas todas as linhas diagonais têm inclinação de 45 e a figura supe rior mostra a carga mais provável na viga B2 da Figura d a figura inferior mostra a distribuição de carga simplifi cada na viga B2 f carga mais provável na viga B1 da Figura d g distribuição de carga simplificada na viga B1 y x a L wL 2 L wL2 8 wL1 6 wL2 8 Ls 2 A B 45 A B Ls 2 L LB L2 L1 Ls 1 viga laje área de influência da viga B1 B1 B1 CL CL CL e presumida presumida simplificada d wL1 3 wt wL1 3 wt c b w wLs 2 wLs 2 L1 3 L1 3 B1 B1 RB2 RB2 RB2 RB2 B2 B3 B3 B2 L1 6 L1 6 L1 3 L2 RB2 RB2 L2 f g L1 L1 3 L1 3 L1 6 L1 6 simplificada L1 RB2 RB2 L1 3 L1 3 31 Seção 23 Cargas permanentes mostrados na Figura 21 No primeiro caso as vigas de borda suportam uma laje quadrada uniformemente carregada ver Figura 21a A partir da simetria podemos inferir que cada uma das quatro vigas ao longo das bordas externas da laje suporta a mesma carga triangular De fato se uma laje com a mesma área de armadura de reforço uniformemente distribuída nas direções x e y fosse carregada até a ruptura com uma carga uniforme grandes rachaduras se abririam ao longo das diagonais principais confirmando que cada viga suporta a carga em uma área triangular A área da laje suportada por uma viga em particular é denominada área de influência da viga No segundo caso consideramos uma laje retangular suportada nos lados opostos por duas vigas paralelas Figura 21b Nesse caso se imaginarmos uma faixa de laje de 1 pé de largura uniformemente carre gada atuando como uma viga abrangendo a distância Ls entre duas vigas de borda B1 e B2 Figura 21b poderemos ver que a carga na laje se divide igualmente entre as vigas de borda de apoio isto é cada pé de viga suporta uma carga uniformemente distribuída de wLs2 Figura 21c e a área de influência de cada viga é uma área retangular que se estende a uma distância de Ls2 da viga até a linha central da laje Para o terceiro caso mostrado na Figura 21d uma laje suportando uma carga uniformemente distribuída w é apoiada em uma grade retan gular de vigas A área de influência para uma viga interior e uma exte rior aparece sombreada na Figura 21d Cada viga interior B2 ver Figura 21d suporta uma carga trapezoidal A viga de borda B1 que é carregada nos pontos que dividem seu vão em três partes pelas reações das duas vigas interiores também suporta quantidades menores de carga de três áreas triangulares da laje Figura 21f Se a relação do lado maior para o menor de um painel é de aproximadamente 2 ou mais as distribuições de carga reais na viga B2 podem ser simplifica das pela suposição conservadora de que a carga total por pé wt wL13 está uniformemente distribuída pelo comprimento inteiro ver Figura 21e produzindo a reação RB2 No caso da viga B1 podemos simplificar a análise supondo que a reação RB2 das vigas B2 uniforme mente carregadas é aplicada como uma carga concentrada na terça parte do vão ver Figura 21g A Tabela 21a lista os pesos unitários de vários materiais de cons trução comumente usados e a Tabela 21b contém os pesos dos com ponentes frequentemente especificados na construção civil Utilizare mos essas tabelas nos exemplos e problemas Os exemplos 21 e 22 apresentam os cálculos da carga permanente 32 Capítulo 2 Cargas de projeto E x E m P L O 2 1 E x E m P L O 2 2 Um teto revestido de feltro asfáltico de três camadas e cascalho sobre uma placa de isolamento de 2 polegadas de espessura é apoiado em vigas de concreto armado prémoldado de 18 polegadas de profundidade com mesas de 3 pés de largura ver Figura 22 Se o isolamento pesa 3 lbft2 e o revestimento de feltro pesa 5 1 2 lbft2 determine a carga perma nente total por pé de comprimento que cada viga deve suportar Solução O peso da viga é o seguinte Mesa Alma Isolamento 3 lbft2 3 ft 1 ft 9 lbft Revestimento 5 lbft 2 3 ft 1 ft 165 lbft Total 3205 lbft arredondado para 0321 kipft 1 2 10 12 ft 14 12 ft 1 ft 150 lb ft3 145 lb ft 4 12 ft 36 12 ft 1 ft 150 lb ft3 150 lb ft A planta estrutural do pavimento de um pequeno prédio aparece na Figura 23a O piso consiste em uma laje de concreto armado de 5 pole gadas de espessura apoiada em vigas de aço ver Seção 11 na Figura 23b As vigas estão ligadas entre si e às colunas de canto por meio de cantoneiras ver Figura 23c Admitese que as ligações com cantoneiras fornecem o equivalente a um apoio de pino para as vigas isto é elas podem transmitir carga vertical mas nenhum momento Um forro de placa acústica com peso de 15 lbft2 é suspenso da laje de concreto por apoios próximos entre si e pode ser tratado como uma carga uniforme adicional na laje Para levar em conta o peso dos dutos tubulações con duítes etc localizados entre a laje e o forro e suportados por tirantes presos à laje acrescentase carga permanente adicional de 20 lbft2 Inicialmente o projetista estima o peso das vigas B1 em 30 lbft e das vigas mestras B2 de 24 pés nas linhas de coluna 1 e 2 em 50 lbft Esta beleça a magnitude da distribuição de carga permanente na viga B1 e na viga mestra B2 Solução Vamos supor que toda carga entre as linhas centrais do painel nos dois lados da viga B1 a área de influência é suportada pela viga B1 ver área sombreada na Figura 23a Em outras palavras conforme discutido ante riormente para calcular as reações aplicadas pela laje na viga tratamos a laje como uma série de vigas de 1 pé de largura com apoios simples e próximas entre si apoiadas sobre as vigas de aço nas linhas de colunas A e B e entre B e C ver área hachurada na Figura 23a 36 36 10 feltro de três camadas com revestimento de cascalho isolamento rígido de 2 viga T 14 4 Figura 22 Seção transversal de vigas de con creto armado 33 Seção 23 Cargas permanentes a wL 2 3 8 24 25 1 1 2 2 C painel L C painel L 4 4 c b a b B2 B2 B2 B3 B1 B1 B3 c d 1 A B D 2 1 C A 1 2 B B B C laje de 5 forro suspenso Seção 22 Seção 11 A 2 B duto L 8 d e f w w wL 2 wL 2 wL 2 L 8 viga B1 wD 071 kipft Rf 8875 kips Rb 8875 kips A D 2 viga B2 Rd 9475 kips Ra 9475 kips wD 005 kipft 8875 kips 8875 kips 24 8 25 8 8 viga B1 e f g h Metade da carga wL2 irá para cada viga de apoio Figura 23d e a reação total da laje aplicada por pé de viga de aço é igual a wL 8w ver Figura 23e Carga permanente total aplicada por pé na viga B1 Peso da laje Peso do forro 2 8 ft 12 lbft Peso dos dutos etc 2 8 ft 160 lbft Peso estimado da viga 30 lbft Total 702 lbft arredondado para 071 kipft 1 ft 1 ft 5 12 ft 8 ft 150 lb ft3 500 lb ft 15 lbft 20 lbft Esboços de cada viga com suas cargas aplicadas aparecem na Figura 23e e f As reações 8875 kips das vigas B1 são aplicadas como cargas concentradas na terça parte do vão da viga mestra B2 na linha de coluna 2 Figura 23f A carga uniforme de 005 kipft é o peso estimado da viga mestra B2 Figura 23 Determinação da carga permanente da viga e da viga mestra 34 Capítulo 2 Cargas de projeto TABELA 21 Pesos próprios típicos para projeto a Pesos de material Substância Peso lbft3 kNm3 Aço 490 770 Alumínio 165 259 Concreto armado Peso normal 150 236 Peso leve 90120 141189 Tijolo 120 189 Madeira Pinheirodosul 37 58 Abeto Douglas 34 53 b Pesos de componente de construção Componente Peso lbft2 kNm2 Forros Argamassa de gesso em malha de metal suspensa 10 048 Painel de fibra acústica sobre lã de rocha e perfil U 5 024 Pisos Laje de concreto armado por polegada de espessura Peso normal 12 1 2 060 Peso leve 610 029048 Revestimentos Feltro com piche de três camadas e cascalho 5 1 2 026 Isolamento de 2 polegadas 3 014 Paredes e divisórias Placa de gesso espessura de 1 polegada 4 019 Tijolo por polegada de espessura 10 048 Bloco de concreto vazado espessura de 12 polegadas Agregado pesado 80 383 Agregado leve 55 263 Bloco vazado de argila espessura de 6 polegadas 30 144 Suportes verticais de 2 3 4 pol espaçados de 16 polegadas parede de gesso de 1 2 polegada nos dois lados 8 038 35 Seção 23 Cargas permanentes Áreas de influência de colunas Para determinar carga permanente transmitida para uma coluna a partir de uma laje de piso o projetista pode 1 determinar as reações das vigas que se apoiam na coluna ou 2 multiplicar a área de influên cia do piso em volta da coluna pela magnitude da carga permanente por unidade de área que atua sobre o piso A área de influência de uma coluna é definida como a área em volta da coluna limitada pelas linhas centrais do painel O uso de áreas de influência é o procedimento mais comum dos dois métodos de cálculo de cargas de coluna Na Figura 24 as áreas de influência estão sombreadas para a coluna de canto A1 coluna interna B2 e coluna externa C1 As colunas externas localizadas no perímetro de um prédio também suportam as paredes externas assim como as cargas do piso Como você pode ver comparando as áreas de influência do sistema de piso na Figura 24 quando o espaçamento entre as colunas tem aproximadamente o mesmo comprimento nas duas direções as colu nas internas suportam aproximadamente quatro vezes mais carga per manente do piso do que as colunas de canto Quando usamos as áreas de influência para estabelecer cargas de coluna não consideramos a posição das vigas de piso mas incluímos uma margem de segurança para seu peso O uso de áreas de influência nos dois métodos é o procedimento mais comum para calcular cargas de colunas porque os projetistas também precisam das áreas de influência para calcular as sobrecargas dado que os códigos de projeto especificam que a porcentagem de sobrecarga transmitida para uma coluna é uma função inversa das áreas de influência isto é à medida que as áreas de influência aumen tam a redução da sobrecarga cresce Para colunas que suportam áreas grandes essa redução pode atingir no máximo 40 a 50 Abordare mos o padrão ASCE para redução de sobrecarga na Seção 24 C do painel L C do painel L C do painel L C do painel L C do painel L 10 20 10 11 11 11 9 9 9 9 11 A 3 2 1 B D C 22 22 18 18 Figura 24 As áreas de influência das colunas A1 B2 e C1 aparecem sombreadas 36 Capítulo 2 Cargas de projeto 24 Sobrecargas Cargas de prédios As cargas que podem atuar ou não sobre uma estrutura são classifica das como sobrecargas As sobrecargas incluem o peso das pessoas mobi liário máquinas e outros equipamentos Podem variar com o passar do tempo particularmente se a ocupação do prédio muda As sobrecargas especificadas pelos códigos para vários tipos de prédios representam uma estimativa conservadora da carga máxima que provavelmente será produ zida pelo uso pretendido e pela ocupação do prédio Em cada região do país os códigos de construção normalmente especificam a sobrecarga de projeto Atualmente muitos códigos de construção estaduais e municipais baseiam a magnitude das sobrecargas e os procedimentos de projeto no E x E m P L O 2 3 Usando o método da área de influência calcule as cargas permanen tes suportadas pelas colunas A1 e B2 na Figura 24 O sistema de piso consiste em uma laje de concreto armado de 6 polegadas de espessura e pesa 75 lbft2 Deixe uma margem de segurança de 15 lbft2 para o peso das vigas de piso dutos e um forro suspenso a partir do piso Além disso deixe uma margem de 10 lbft2 para divisórias leves A parede externa de prémoldado apoiada nas vigas de perímetro pesa 600 lbft Solução A carga permanente total do piso é D 75 15 10 100 lbft2 01 kipft2 A carga permanente para a coluna A1 é a seguinte Área de influência At 9 3 10 90 ft2 Carga do piso AtD 90 3 01 kipft2 9 kips Peso da parede externa pesoft comprimento 06 kipft10 9 114 kips Total 204 kips A carga permanente para a coluna B2 é a seguinte Área de influência 18 3 21 378 ft2 Carga do piso 378 ft2 3 01 kipft2 378 kips 37 Seção 24 Sobrecargas padrão ASCE que evoluiu com o decorrer do tempo e relaciona a magni tude da carga de projeto com o desempenho satisfatório dos prédios reais Ao dimensionar peças estruturais os projetistas também devem conside rar as sobrecargas de construção de curta duração particularmente se elas são grandes No passado ocorreram várias falhas em prédios durante a construção quando grandes pilhas de material de construção pesado fica vam concentradas em uma pequena área de um piso ou teto de um prédio parcialmente erguido quando a capacidade das peças estruturais não completamente aparafusadas ou contraventadas está aquém de sua capa cidade potencial de carga Normalmente o padrão ASCE especifica um valor mínimo de sobre carga uniformemente distribuída para vários tipos de prédio Tabela 22 Se certas estruturas como estacionamentos também estão sujeitas a grandes cargas concentradas o padrão pode exigir que as forças nos membros sejam examinadas tanto para cargas uniformes como concentra das e que o projeto seja baseado na condição de carga que crie as maiores tensões Por exemplo o padrão ASCE especifica que no caso de estacio namentos as peças estruturais sejam projetadas de modo a transmitir as forças produzidas por uma sobrecarga uniformemente distribuída de 40 lbft2 ou uma carga concentrada de 3 000 lb atuando sobre uma área de 45 pol por 45 pol a que for maior TABELA 22 Sobrecargas de projeto típicas para piso Lo Uso da ocupação Carga móvel lbft2 kNm2 Áreas de reunião e cinemas Assentos fixos presos no piso 60 287 Saguões 100 479 Pisos do palco 150 718 Bibliotecas Salões de leitura 60 287 Salas de estantes 150 718 Prédios de escritório Saguões 100 479 Escritórios 50 240 Residências Sótãos habitáveis e quartos 30 144 Sótãos inabitáveis com depósito 20 096 Todas as outras áreas 40 192 Escolas Salas de aula 40 192 Corredores acima do primeiro andar 80 383 38 Capítulo 2 Cargas de projeto Redução da sobrecarga Reconhecendo que é menos provável que uma barra que suporta uma área de influência grande seja menos carregada em todos os pontos pelo valor máximo da sobrecarga do que outra que suporta uma área de piso menor os códigos de construção permitem reduções de sobrecarga para barras que tenham uma área de influência grande Para essa situação o padrão ASCE permite uma redução das sobrecargas de projeto L0 con forme listado na Tabela 22 pela seguinte equação quando a área de influência KLLAT é maior do que 400 ft2 372 m2 Contudo a sobrecarga reduzida não deve ser menor do que 50 de L0 para barras que suportam um piso ou parte de um único piso nem menor do que 40 de L0 para barras que suportam dois ou mais pisos L Lo 025 15 KLLAT unidades convencionais dos EUA 21a L Lo 025 457 KLLAT unidades do SI 21b em que L0 carga de projeto listada na Tabela 22 L valor reduzido da sobrecarga AT área de influência ft2 m2 KLL fator de elemento da sobrecarga igual a 4 para colunas inter nas e colunas externas sem lajes em balanço e 2 para vigas interiores e vigas de borda sem lajes em balanço A sobrecarga reduzida para tetos é L LoR1R2 21c em que R2 1 para teto plano e R2 12 0001AT R2 12 0011AT em unidades do SI para 200 ft2 AT 600 ft2 1858 m2 AT 5574 m2 R2 1 para AT 200 ft2 1858 m2 e R2 06 para AT 600 ft2 5574 m2 Para uma coluna ou viga que apoia mais de um piso o termo AT repre senta a soma das áreas de influência de todos os pisos Note que o padrão ASCE limita a quantidade de redução de carga móvel para ocupações especiais como áreas de reunião públicas ou quando a sobrecarga é alta 100 psf 39 Seção 24 Sobrecargas Para o prédio de três andares mostrado na Figura 25a e b calcule a sobrecarga de projeto suportada pela 1 viga de piso A 2 viga mestra B e 3 coluna interna C localizada na grade 2B no primeiro andar Suponha uma sobrecarga de projeto de 50 lbft2 Lo em todos os pisos incluindo o teto Solução 1 Viga de piso A Vão 20 ft área de influência AT 820 160 ft2 KLL 2 Determine se as sobrecargas podem ser reduzidas KLLAT 2AT 2160 320 ft2 400 ft2 portanto nenhuma redução da sobrecarga é permitida Calcule a sobrecarga uniforme por pé na viga w 508 400 lbft 04 kipft Veja as cargas e reações na Figura 25d 2 Viga mestra B A viga mestra B é carregada em cada terça parte pelas reações de duas vigas de piso Sua área de influência se estende 10 pés para fora a partir de seu eixo longitudinal até o ponto central dos painéis em cada lado ver área sombreada na Figura 25a portanto AT 2016 320 ft2 KLLAT 2320 640 ft2 Como KLLAT 640 ft2 400 ft2 é permitida uma redução da sobre carga Use a Equação 21a L Lo 025 15 2KLLAT 50 025 15 2640 50 0843 421 lb ft2 Como 421 lbft2 0550 25 lbft2 o limite inferior ainda usa mos w 421 lbft2 Carga na terça parte 2 421 1000 8 10 6736 kips As cargas de projeto resultantes estão mostradas na Figura 25e 3 Coluna C no primeiro andar A área sombreada na Figura 25c mostra a área de influência da coluna interna para cada piso Calcule a área de influência do teto AT 2024 480 ft2 E x E m P L O 2 4 a planta b elevação 1 2 3 24 10 10 12 24 R 323 kips C A C B A A B C 20 1 2 3 20 3 8 24 3 8 24 8 16 10 10 Figura 25 Redução de sobrecarga continua continua 40 Capítulo 2 Cargas de projeto A redução da sobrecarga do teto é R1 12 0001AT 072 e a sobrecarga reduzida do teto é Lteto LoR1 50072 360 psf Calcule a área de influência dos dois pisos restantes 2AT 2480 960 ft2 e KLLAT 4960 3 840 ft2 400 ft2 Portanto a sobrecarga reduzida dos dois pisos usando a Equação 21a mas não menos do que 04Lo é Lpiso Lo 025 15 2KLLAT 50 lb ft2 025 15 23840 246 lb ft2 Como 246 lbft2 04 3 50 lbft2 20 lbft2 o limite inferior use L 246 lbft2 Carga na coluna ATLteto 2ATLpiso 480360 960246 40 896 lb 409 kips Figura 25 continuação wL 04 kipft R 4 kips R 4 kips c área de influência da coluna C sombreada L 20 d viga A 12 12 10 10 C painel CL painel CL painel CL painel CL AT 480 ft2 R 6736 kips 6736 kips 6736 kips R 6736 kips L 24 8 8 e viga B continuação 41 Seção 24 Sobrecargas TABELA 23 Fator de impacto de sobrecarga Situação de carga Fator de impacto I porcentagem Suportes de elevadores e maquinário de elevador 100 Suportes de máquinas leves movidas a eixo ou motor 20 Suportes de máquinas rotativas ou unidades motorizadas 50 Tirantes suportando pisos e balcões 33 Vigas mestras e suas conexões para apoio de ponte rolante operada por cabine 25 Impacto Normalmente os valores das sobrecargas especificados pelos códigos de construção são tratados como cargas estáticas pois em sua maioria as cargas escrivaninhas estantes de livros fichários etc ficam imóveis Se as cargas são aplicadas rapidamente geram forças de impacto adicionais Quando um corpo que se move por exemplo um elevador parando repentinamente carrega uma estrutura a estrutura deforma e absorve a energia cinética do objeto que se move Como alternativa a uma análise dinâmica as cargas que se movem são frequentemente tratadas como forças estáticas e ampliadas empiricamente por um fator de impacto A magnitude do fator de impacto I para vários suportes estruturais comuns está relacionada na Tabela 23 cabo viga de apoio elevador W Figura 26 Viga suportando um elevador E x E m P L O 2 5 Determine a magnitude da força concentrada para a qual deve ser projetada a viga da Figura 26 que suporta um elevador O elevador que pesa 3 000 lb pode transportar no máximo seis pessoas com um peso médio de 160 lb Solução Leia na Tabela 23 que um fator de impacto I de 100 se aplica a todas as cargas de elevador Portanto o peso do elevador e de seus pas sageiros deve ser duplicado Carga total D L 3 000 6 3 160 3 960 lb Carga de projeto D L2 3 960 3 2 7 920 lb Pontes Os padrões para projeto de pontes rodoviárias são governados pelas especificações AASHTO as quais exigem que o engenheiro considere um caminhão HS20 ou as cargas concentradas e uniformemente distribuídas mostradas na Figura 27 Normalmente o caminhão HS20 governa o projeto de pontes mais curtas cujos vãos não ultrapassam aproximada mente 45 metros Para vãos mais longos a carga distribuída normalmente governa 42 Capítulo 2 Cargas de projeto Como o tráfego em movimento particularmente em superfícies de pistas irregulares causa saltos produzindo forças de impacto as cargas do caminhão devem ser ampliadas por um fator de impacto I dado por I 50 L 125 unidades convencionais dos EUA 22a I 152 L 381 unidades do SI 22b mas o fator de impacto não precisa ser maior do que 30 e L o compri mento em pés metros da parte do vão que é carregada para produzir a máxima tensão no componente A posição do comprimento L do vão no denominador da Equação 22 indica que as forças adicionais geradas pelo impacto são uma função inversa do comprimento do vão Em outras palavras como os vãos longos são mais volumosos e têm um período natural mais longo do que os vãos curtos as cargas dinâmicas produzem forças muito maiores em uma ponte de vão curto do que em uma ponte de vão longo a b carga uniforme 640 lb por pé linear de carga de pista W Peso combinado dos dois primeiros eixos que é o mesmo do caminhão H correspondente V Espaçamento variável de 14 a 30 pés inclusive O espaçamento a ser usado é aquele que produz tensões máximas carga concentrada 18 kips para momento 26 kips para cisalhamento 6 0 2 0 2 0 meiofio 10 0 largura da pista e vão livre 8000 lb HS2044 32000 lb 04 W 32000 lb V 14 0 01 W 02 W 08 W 08 W 04 W 04 W 01 W 04 W Figura 27 Cargas móveis de projeto AASHTO para HS2044 43 Seção 25 Cargas de vento O projeto de pontes de estrada de ferro utiliza o carregamento Cooper E80 Figura 28 contido no Manual for railway engineering Manual de engenharia de estradas de ferro da Arema Esse carregamento consiste em duas locomotivas seguidas por uma carga uniforme que representa o peso dos vagões de carga O manual da Arema também fornece uma equação para impacto Como os carregamentos AASHTO e Cooper exigem o uso de linhas de influência para estabelecer a posição das rodas que maximize as forças em várias posições de um elemento da ponte os exemplos de projeto ilustrando o uso de cargas de roda serão deixados para o Capítulo 9 25 Cargas de vento Introdução Conforme observamos nos danos causados por um furacão ou tor nado ventos fortes exercem forças intensas Essas forças podem arrancar galhos de árvores destelhar casas e quebrar janelas Como a velocidade e a direção do vento mudam continuamente é difícil determinar a pressão ou sucção exatas aplicadas pelos ventos nas estruturas Contudo reconhe cendo que o vento é como um fluido é possível compreender muitos aspectos de seu comportamento e chegar a cargas de projeto razoáveis A magnitude das pressões do vento sobre uma estrutura depende da sua velocidade da forma e da rigidez da estrutura da rugosidade e do perfil do solo nos arredores e da influência das estruturas adjacentes Quando o vento atinge um objeto em seu caminho a energia cinética das partículas de ar em movimento é convertida em uma pressão qs dada por qs mV 2 2 23 em que m representa a densidade de massa do ar e V corresponde à velocidade do vento Assim a pressão do vento varia com a densidade do ar uma função da temperatura e com o quadrado da velocidade do vento O atrito entre a superfície do solo e o vento influencia fortemente a velocidade do vento Por exemplo ventos passando por grandes áreas abertas e pavimentadas por exemplo pistas de decolagem de um aero porto ou superfícies aquáticas não têm a velocidade tão reduzida quanto ventos que sopram em áreas mais acidentadas e cobertas por vegetação onde o atrito é maior Além disso próximo à superfície do chão o atrito 8 espaçamento entre eixos cargas E80 trilho 5 primeira locomotiva segunda locomotiva 5 5 5 9 6 5 5 9 6 8 kipsft 5 5 5 5 5 8 8 40 80 80 80 52 52 52 52 52 52 52 52 80 80 80 40 80 Figura 28 Cargas de estrada de ferro E80 da Arema 44 Capítulo 2 Cargas de projeto entre o ar e o solo reduz a velocidade enquanto em alturas maiores acima do solo o atrito tem pouca influência e as velocidades do vento são muito maiores A Figura 29a mostra a variação aproximada da velocidade do vento com a altura acima da superfície do solo Essa informação é forne cida por anemômetros instrumentos que medem a velocidade do vento A pressão do vento também depende da forma da superfície atingida pelo vento As pressões são menores quando o corpo tem uma seção trans versal aerodinâmica e maiores para seções transversais ásperas ou cônca vas que não permitem que o vento passe suavemente ver Figura 210 A influência da forma na pressão do vento é avaliada por meio de fatores de arrasto que são tabulados em alguns códigos de construção Como alternativa para o cálculo das pressões do vento a partir de sua velocidade alguns códigos de construção especificam uma pressão hori zontal do vento equivalente Essa pressão aumenta com a altura acima da superfície do solo Figura 29b A força exercida pelo vento é presumida como igual ao produto da pressão do vento pela área de superfície de um prédio ou outra estrutura Quando o vento passa por um telhado inclinado ver Figura 211a é obrigado a aumentar sua velocidade para manter a continuidade do fluxo elevação acima do solo elevação acima do solo velocidade crescente do vento pressão do vento 0 0 a b a b caminho das partículas de ar u a b face a sotavento linhas de fluxo de ar vento pressão de elevação do vento 2 1 L A B A B B face a barlavento Figura 29 a Variação da velocidade do vento com a distância acima da superfície do solo b variação da pressão do vento especificada pelos códigos de construção típicos para o lado a barla vento da construção Figura 210 Influência da forma no fator de arrasto a o perfil curvo permite que o ar con torne o corpo facilmente o fator de arrasto é pequeno b os ventos aprisionados pelos flan ges aumentam a pressão na alma da viga mestra o fator de arrasto é grande Figura 211 a Pressão de elevação do vento em um telhado inclinado a velocidade do vento ao longo do caminho 2 é maior do que ao longo do caminho 1 devido ao compri mento maior do caminho A maior velocidade reduz a pressão no topo do telhado criando um diferencial de pressão entre o interior e o exterior do prédio A elevação do vento é uma função do ângulo u do telhado b a maior velocidade cria uma pressão negativa sucção nas laterais e na face a sotavento pressão direta na face a barlavento AA 45 Seção 25 Cargas de vento de ar À medida que a velocidade do vento aumenta a pressão no telhado diminui princípio de Bernoulli A redução na pressão causa uma eleva ção do vento de maneira muito parecida com o fluxo de ar nas asas de um avião que pode levar embora um telhado fixado de forma inade quada Uma pressão negativa semelhante ocorre nos dois lados de um prédio paralelo à direção do vento e em menor grau no lado a sotavento ver lados AB e lado BB na Figura 211b à medida que a velocidade do vento aumenta para contornar o prédio Desprendimento de vórtices Quando o vento movendose a uma velocidade constante passa sobre objetos em seu caminho as partículas de ar são retardadas pelo atrito da superfície Sob certas condições velocidade crítica do vento e a forma da superfície pequenas massas de ar represado se desprendem e fluem para longe periodicamente ver Figura 212 Esse processo é chamado desprendimento de vórtices À medida que a massa de ar se move sua velocidade causa uma alteração na pressão sobre a superfície de descarga Se o período intervalo de tempo dos vórtices que saem da superfície for próximo do período natural da estrutura as variações de pressão causarão oscilações na estrutura Com o tempo essas oscilações aumentarão e sacudirão a estrutura vigorosamente A falha da ponte TacomaNarrows mostrada na Foto 21 é um exemplo drástico dos danos que o desprendimento de vórtices pode causar Chaminés altas e tubulações suspensas são outras direção do vento vórtice vórtice direção da oscilação Figura 212 Vórtices sendo liberados de uma viga mestra de aço À medida que a velocidade do vórtice aumenta ocorre uma redução na pressão fazendo a viga mestra moverse verticalmente Foto 21 Falha da ponte TacomaNarrows mos tra o primeiro segmento da pista caindo no canal Puget O desmoronamento da ponte estreita e flexível foi produzido pela grande oscilação cau sada pelo vento 46 Capítulo 2 Cargas de projeto estruturas suscetíveis às vibrações causadas pelo vento Para evitar danos a estruturas sensíveis à vibração causada pelo desprendimento de vórtices spoilers ver Figura 213 que fazem os vórtices se desprende rem em um padrão aleatório ou amortecedores que absorvem energia podem ser anexados à superfície de descarga Como solução alternativa o período natural da estrutura pode ser modificado de modo que fique fora do intervalo suscetível ao desprendimento de vórtices Normal mente o período natural é modificado aumentandose a rigidez do sis tema estrutural Por várias décadas após a falha da ponte TacomaNarrows os pro jetistas adicionaram treliças de reforço nas laterais das pistas das pontes pênseis para minimizar a flexão dos pisos Foto 22 Atual mente os projetistas utilizam seções de caixa rígidas moldadas de forma aerodinâmica que resistem eficientemente às deflexões causa das pelo vento Sistemas de contraventamento estrutural para forças do vento e de terremotos Os pisos dos prédios normalmente são apoiados em colunas Sob pesos próprios e sobrecargas que atuam verticalmente para baixo tam bém chamadas cargas gravitacionais as colunas são carregadas prin cipalmente por forças de compressão axial Como as colunas transmi tem carga axial eficientemente em compressão direta têm seções transversais relativamente pequenas uma condição desejável pois os proprietários querem maximizar o espaço útil do piso Quando cargas laterais como o vento ou as forças de inércia geradas por um terremoto atuam em um prédio ocorrem deslocamentos laterais Esses deslocamentos são zero na base do prédio e aumentam com a Figura 213 Spoilers soldados em um tubo sus penso para alterar o período dos vórtices a placa triangular utilizada como spoiler b haste espiral soldada no tubo usada como spoiler Foto 22 Ponte VerrazanoNarrows na entrada do porto de Nova York Essa ponte aberta ao trá fego em 1964 liga a Staten Island ao Brooklyn A foto mostra as treliças de reforço no nível da pista que amortecem as oscilações causadas pelo vento a tubo spoiler spoiler tirante cabo b tubo tirante cabo 47 Seção 25 Cargas de vento altura Como colunas delgadas têm seções transversais relativamente pequenas sua rigidez à flexão é pequena Como resultado em um prédio com colunas como únicos elementos de suporte podem ocorrer grandes deslocamentos laterais Esses deslocamentos laterais podem rachar pare des divisórias danificar instalações e causar enjôo nos ocupantes parti cularmente nos pisos superiores de prédios com vários andares onde eles têm maior efeito Para limitar os deslocamentos laterais os projetistas de estruturas frequentemente inserem paredes estruturais de alvenaria armada ou con creto armado em locais apropriados dentro do prédio Esses pilares parede atuam no plano como vigascoluna de grandes dimensões em balanço com grande rigidez à flexão muitas vezes maior que as de todas as colunas combinadas Devido à sua grande rigidez muitas vezes se presume que os pilaresparede transmitem todas as cargas transversais do vento ou terremoto para a fundação Como as cargas laterais atuam no plano que contém o eixo longitudinal da parede exatamente como o cisa lhamento atua em uma viga ela é chamada de pilarparede Figura 214a Na verdade essas paredes também devem ser reforçadas para flexão em torno dos dois eixos principais pois podem fletir em ambas as direções A Figura 214b mostra os diagramas de cisalhamento e momento de um pilarparede típico As cargas são transmitidas para as paredes por meio de lajes de piso contínuas que atuam como diafragmas rígidos o que é denominado ação de diafragma Figura 214a No caso do vento as lajes de piso recebem a carga da pressão atmosférica que atua nas paredes externas No caso do a c W1 W1 W2 W2 W2 W2 b pilarparede diagrama de cisalhamento elevação elevação diagrama de momento F F5 N S L O F F4 F F3 F F2 F F1 d F F5 F F4 F F3 F F2 F F1 Figura 214 Sistemas estruturais para resistir às cargas laterais do vento ou de terremoto a O pilarparede de concreto armado transmite todas as cargas laterais de vento b diagramas de cisa lhamento e momento do pilarparede produzidos pela soma das cargas de vento nos lados a barla vento e sotavento do prédio em a c planta do prédio mostrando a posição dos pilaresparede e das colunas d o contraventamento entre as colu nas de aço forma uma treliça para transmitir as cargas laterais de vento para as fundações 48 Capítulo 2 Cargas de projeto terremoto a massa combinada dos pisos e da construção associada deter mina a magnitude das forças de inércia transmitidas para os pilaresparede quando o prédio flexiona com o movimento do chão Os pilaresparede podem estar localizados no interior dos prédios ou nas paredes externas Figura 214c Como somente a rigidez à flexão no plano da parede é significativa são necessárias paredes nas duas direções Na Figura 214c dois pilaresparede rotulados como W1 são usados para resistir às cargas de vento que atuam na direção lesteoeste do lado mais curto do prédio quatro pilaresparede rotulados como W2 são utilizados para resistir à carga do vento na direção nortesul atuando no lado mais longo do prédio Nos prédios construídos com aço estrutural como alternativa à cons trução de pilaresparede o projetista pode adicionar contraventamento em forma de X ou em forma de V entre as colunas para formar treliças de vento profundas as quais são muito rígidas no plano da treliça Figura 214d e Foto 23 Equações para prever pressões de vento de projeto Nosso principal objetivo no estabelecimento das pressões do vento em um prédio é determinar as forças que devem ser utilizadas para dimensio nar os membros estruturais que constituem o sistema de contraventa mento Nesta seção discutiremos os procedimentos para estabelecer pressões do vento usando um formato simplificado baseado nas disposi ções da edição mais recente do padrão ASCE Se a densidade de massa do ar a 59 F 15 C e a pressão no nível do mar de 2992 polegadas de mercúrio 1013 kPa forem substituídas na Equação 23a a equação da pressão estática do vento qs se tornará qs 000256V 2 unidades convencionais dos EUA 24a qs 0613V 2 unidades do SI 24b em que qs pressão estática do vento lbft2 Nm2 V velocidade básica do vento mph ms As velocidades bási cas do vento utilizadas para estabelecer a força do vento de projeto para lugares específicos nos Estados Unidos conti nentais estão representadas no mapa da Figura 215 Essas velocidades são medidas por anemômetros localizados a 33 pés 10 m de altitude em terreno aberto e representam as velocidades do vento que têm apenas 2 de probabilidade de serem ultrapassadas em qualquer ano Observe que as maiores velocidades de vento ocorrem ao longo da costa onde o atrito entre o vento e a água é mínimo A pressão estática do vento qs dada pela Equação 24a ou b é modifi cada a seguir na Equação 25 por quatro fatores empíricos para estabe lecer a magnitude da pressão do vento causada pela velocidade qz em diversas elevações acima da superfície da Terra qz 000256V 2IKzKztKd unidades convencionais dos EUA 25a qz 0613V 2IKzKztKd unidades do SI 25b Foto 23 O contraventamento junto com as colunas e vigas de piso horizontais associadas no plano do contraventamento forma uma treliça vertical contínua e profunda que se estende por toda a altura do prédio da fundação ao telhado e produz um elemento estrutural leve e rígido para transmitir forças laterais de vento e terremoto para a fundação 49 Seção 25 Cargas de vento Ou então usando a Equação 24a podemos substituir os dois primei ros termos da Equação 25 por qs para obter qz qsIKzKztKd 26 em que qz pressão do vento causada pela velocidade na altura z acima da superfície da Terra I fator de importância que representa quanto determinada estrutura é fundamental para a comunidade Por exemplo I 1 para prédios de escritórios mas aumenta para 115 para hospitais delegacias de polícia e outros estabelecimentos públicos vitais para a segurança e bemestar da comunidade ou cuja falha pode causar grande perda de vidas Para estru turas cuja falha não produz nenhuma perda econômica grave ou perigo para o público I reduz para 087 ou 077 se V ultra passa 100 mph Kz coeficiente de exposição à pressão causada pela veloci dade que leva em conta a influência da altitude e condições de exposição As três categorias de exposição B a D con sideradas são as seguintes B Áreas urbanas e suburbanas ou cobertas de mata com estruturas baixas Figura 215 Mapa de contorno de velocidade do vento básica do padrão ASCE As maiores veloci dades de vento ocorrem ao longo das costas orien tais e do sudeste dos Estados Unidos 50 Capítulo 2 Cargas de projeto C Terreno aberto com obstáculos esporádicos geralmente com menos de 30 pés 91 m de altura D Áreas planas e desobstruídas expostas ao fluxo do vento sobre água aberta por uma distância de pelo menos 5 000 pés 1524 km ou 20 vezes a altura do prédio o que for maior Os valores de Kz estão tabulados na Tabela 24 e mostrados graficamente na Figura 216 TABELA 24 Coeficiente de exposição à pressão causada pela velocidade Kz Altura z acima do solo Exposição pés m B C D 015 046 057 070 085 103 20 61 062 070 090 108 25 76 066 070 094 112 30 91 070 098 116 40 122 076 104 122 50 152 081 109 127 60 18 085 113 131 70 213 089 117 134 80 244 093 121 138 90 274 096 124 140 100 305 099 126 143 120 366 104 131 148 140 427 109 136 152 160 488 113 139 155 180 549 117 143 158 Para prédios baixos com altura média de telhado não ultrapassando 60 pés 18 m e dimen são horizontal mínima 00 05 Altura pés Altura m 099 126 143 10 Kz B C D 15 20 20 0 100 200 300 400 500 0 40 60 80 100 120 140 Figura 216 Variações de Kz 51 Seção 25 Cargas de vento Kzt fator topográfico que é igual a 1 se o prédio está localizado em solo plano para prédios localizados em lugares elevados topo de colinas Kzt aumenta para levar em conta a maior velocidade do vento Kd fator de direção do vento que leva em conta a probabilidade reduzida de ventos máximos vindos de qualquer direção dada e a probabilidade reduzida da pressão máxima desenvolvendose para qualquer direção de vento dada consultar Tabela 25 O último passo para estabelecer a pressão do vento de projeto p é modi ficar qz dado pela Equação 25a ou b por dois fatores adicionais G e Cp p qzGCp 27 em que p pressão do vento de projeto em uma face específica do prédio G fator de rajada que é igual a 085 para estruturas rígidas isto é o período natural é menor do que 1 segundo Para estruturas flexíveis com período natural maior do que 1 segundo uma série de equações para G está disponível no padrão ASCE Cp coeficiente de pressão externa que estabelece como uma fração da pressão do vento dada pela Equação 25a ou b deve ser distribuída em cada um dos quatro lados do prédio consultar Tabela 26 Para o vento aplicado à normal da parede no lado a barlavento do prédio Cp 08 No lado a sotavento Cp 02 a 05 O sinal de menos indica uma pressão atuando de fora da face do prédio A magnitude de Cp é uma função da relação do comprimento L na direção a barlavento com o comprimento B na direção normal ao vento O sistema de contraventamento principal deve ser dimensionado para a soma das forças do vento nos lados a barlavento e a sotavento do prédio Por fim nos lados do prédio perpendiculares à direção do vento onde também ocorre pressão negativa Cp 07 TABELA 25 Fator de direção do vento Kd Tipo estrutural Kd Prédios Sistema principal de resistência à força do vento 085 Componentes e revestimento 085 Chaminés tanques e estruturas semelhantes Quadrados 090 Redondos ou hexagonais 095 Torres treliçadas Triangulares quadradas retangulares 085 Todas as outras seções transversais 095 52 Capítulo 2 Cargas de projeto A pressão do vento aumenta com a altura somente no lado a barla vento de um prédio onde a pressão do vento atua para dentro nas paredes Nos outros três lados a magnitude da pressão negativa do vento atuando para fora é constante com a altura e o valor de Kz é baseado na altura média h do teto Uma distribuição típica da pressão do vento em um pré dio de vários andares é mostrada na Figura 217 O Exemplo 26 ilustra o procedimento para avaliar a pressão do vento nos quatro lados de um prédio de 100 pés de altura Como o vento pode atuar em qualquer direção os projetistas tam bém devem considerar possibilidades adicionais de carga de vento atu ando em vários ângulos em relação ao prédio Para prédios altos em uma cidade particularmente aqueles com formato incomum fre quentemente são feitos estudos em túnel de vento com modelos em pequena escala para determinar as pressões máximas do vento Para esses estudos devem ser incluídos os prédios altos adjacentes que influenciam a direção da corrente de ar Normalmente os modelos são construídos em uma pequena plataforma que pode ser inserida em um túnel de vento e girada para determinar a orientação do vento que pro duz os maiores valores de pressão positiva e negativa TABELA 26 Coeficiente de pressão externa Cp L qz GCp qh GCp qh GCp qh GCp vento planta B Coeficientes de pressão nas paredes Cp Superfície LB Cp Use com Parede a barlavento Todos os valores 08 qz Parede a sotavento 0 1 05 2 03 qh 4 02 Parede lateral Todos os valores 07 qh Notas 1 Os sinais de mais e menos significam pressões atuando em direção das superfícies e para fora delas respectivamente 2 Notações B é a dimensão horizontal do prédio em pés metros medida normal à direção do vento e L é a dimensão horizontal do prédio em pés metros medida paralela à dire ção do vento B L vento Figura 217 Distribuição típica de carga de vento em um prédio de vários andares 53 Seção 25 Cargas de vento Determine a distribuição da pressão do vento nos quatro lados de um hotel de oito andares localizado em solo plano a velocidade do vento básica é de 130 mph Considere o caso de um vento forte atuando dire tamente na face AB do prédio da Figura 218a Suponha que o prédio é classificado como rígido pois seu período natural é menor do que 1 s portanto o fator de rajada G é igual a 085 O fator de importância I é igual a 115 e se aplica à exposição D Como o prédio está localizado em solo plano Kzt 1 Solução PASSO 1 Calcule a pressão estática do vento usando a Equação 24a qs 000256V2 0002561302 4326 lbft2 PASSO 2 Calcule a magnitude da pressão do vento no lado a bar lavento no topo do prédio 100 pés de altura usando a Equação 25a E x E m P L O 2 6 Figura 218 Variação da pressão do vento nas laterais de prédios a b L 60 A B C D A B C D E F G 100 411 lbft2 3594 lbft2 2567 lbft2 3594 lbft2 296 lbft2 face a sotavento face a barlavento B 60 vento 130 mph continua 54 Capítulo 2 Cargas de projeto I 115 Kz 143 Figura 216 ou Tabela 24 Kzt 1 solo plano Kd 085 Tabela 25 Substituindo os valores acima na Equação 26 para deter minar a pressão do vento de projeto a 100 pés acima do solo temos qz qsIKzKztKd 43261151431085 604 lbft2 Nota Para calcular as pressões do vento em outras elevações no lado a barlavento o único fator que muda na equação acima é Kz tabulado na Tabela 24 Por exemplo a uma elevação de 50 pés Kz 127 e qz 5364 lbft2 PASSO 3 Determine a pressão do vento de projeto na face a bar lavento AB usando a Equação 27 Fator de rajada G 085 Cp 08 lido na Tabela 26 Substituindo na Equação 27 temos p qzGCp 60408508 411 lbft2 PASSO 4 Determine a pressão do vento no lado a sotavento Cp 05 Tabela 26 e G 085 p qzGCp 604085 05 2567 lbft2 PASSO 5 Calcule a pressão do vento nos dois lados perpendicula res ao vento Cp 07 G 085 p qzGCp 604085 07 3594 lbft2 A distribuição de pressões do vento é mostrada na Figura 218b continuação 55 Seção 25 Cargas de vento Procedimento simplificado cargas de vento para prédios baixos Além do procedimento que acabamos de discutir para o cálculo de cargas de vento o padrão ASCE fornece um procedimento simplificado para estabelecer as pressões do vento em prédios baixos fechados ou par cialmente fechados de forma regular cuja altura de telhado média h não ultrapasse 60 pés 182 m nem sua dimensão horizontal mínima e para os quais as seguintes condições se aplicam 1 As lajes de piso e teto diafragmas devem ser projetadas para atuar como placas rígidas e conectarse com o sistema de resistência à força do vento principal o que pode incluir pilaresparede pórticos de momento ou pórticos contraventados 2 O prédio tem seção transversal aproximadamente simétrica e a inclinação u do telhado não passa de 45 3 O prédio é classificado como rígido isto é sua frequência natural é maior do que 1 Hz A maioria dos prédios baixos com sistemas de resistência à força do vento como pilaresparede pórticos de momento ou pórticos contraventados cai nessa categoria 4 O prédio não é sensível à torção Para tais estruturas retangulares normais o procedimento para estabele cer as pressões de projeto é o seguinte 1 Determine a velocidade do vento no local do prédio usando a Figura 215 2 Estabeleça a pressão do vento de projeto ps que atua nas paredes e no telhado ps lKztIps30 28 em que ps30 é a pressão do vento de projeto simplificada para exposição B com h 30 pés e o fator de importância I adotado como 10 consultar Tabela 27 Se o fator de importância I é diferente de 1 substitua seu valor na Equação 28 Para exposição C ou D e para h diferente de 30 pés o padrão ASCE fornece um fator de ajuste l tabulado na Tabela 28 TABELA 27 Pressão do vento de projeto simplificada pS30 lbft2 Exposição B com h 30 pés com I 10 e Kzt 5 10 Velocidade do vento básica mph Ângulo do telhado graus Zonas Pressões horizontais Pressões verticais A B C D E F G H 90 0 a 5 128 267 85 240 2154 288 2107 268 10 145 260 96 235 2154 294 2107 272 15 161 254 107 230 2154 2101 2107 277 20 178 247 119 226 2154 2107 2107 281 25 161 26 117 27 272 227 298 253 252 207 278 234 30 a 45 144 144 99 99 115 115 79 79 11 56 288 243 04 48 275 231 56 Capítulo 2 Cargas de projeto A distribuição de ps nas paredes e no telhado para carga de vento nas direções transversal e longitudinal é mostrada na Figura 219 Cada linha na Tabela 27 relaciona os valores da pressão do vento uniforme para oito áreas das paredes e do telhado de um prédio Os sinais de mais e menos significam pressões atuando na direção das superfícies projetadas e para fora delas As pressões para velocidades adicionais do vento são dadas no padrão ASCE Essas áreas mostradas na Figura 219 são rotuladas com letras dentro de um círculo de A a H A Tabela 27 contém valores de ps30 para prédios sujeitos a ventos de 90 mph o padrão completo fornece dados para ventos que variam de 85 mph a 170 mph O valor de a que define a extensão das regiões de maior pressão do vento ver áreas A B E e F nas paredes e no telhado na Figura 219 é avaliado como 10 da menor dimensão horizontal do prédio ou 04h o que for menor h é a altura média mas não menos do que 4 da menor dimen são horizontal ou 3 pés 09 m Note que as pressões do vento são maiores próximo dos cantos das paredes e bordas dos telhados O padrão ASCE também especifica uma carga de vento mínima com 10 psf de ps atuando nas zonas A B C e D enquanto as outras zonas não são carregadas O Exemplo 27 ilustra o uso do procedimento simplificado para esta belecer as pressões do vento de projeto para a análise de vento de um prédio retangular de 45 pés de altura TABELA 28 Fator de ajuste L para altura e exposição de prédio Altura média do Exposição telhado h pés B C D 15 100 121 147 20 100 129 155 25 100 135 161 30 100 140 166 35 105 145 170 40 109 149 174 45 112 153 178 50 116 156 181 55 119 159 184 60 122 162 187 Do padrão ASCE H G F E B MWFRS direção sendo avaliada MWFRS direção sendo avaliada transversal canto de referência 2a 2a altura da cornija altura da cornija longitudinal A D C C A u H H G G F E u canto de referência Figura 219 Distribuição das pressões do vento de projeto para o método simplificado Consulte a Tabela 27 para saber a magnitude das pressões nas áreas de A a H h 60 ft Do padrão ASCE 57 Solução Calcule a carga de vento transmitida da parede no lado a barlavento para o teto e para cada laje de piso Suponha que cada faixa vertical de 1 pé de largura da parede atue como uma viga apoiada de forma simples abrangendo 10 pés entre as lajes de piso portanto metade da carga de vento na parede entre os pisos é transmitida para as lajes acima e abaixo pela viga fictícia ver Figura 220b PASSO 1 Como o teto é plano u 0 Para as pressões do vento de projeto simplificadas ps30 leia a linha superior na Tabela 27 Região A ps30 128 lbft2 Região C ps30 85 lbft2 Nota não há necessidade de calcular os valores de ps para as zonas B e D pois o prédio não tem telhado inclinado PASSO 2 Ajuste ps30 para exposição C e altura média h 45 ft Veja na Tabela 28 que o fator de ajuste l 153 Calcule a pressão do vento ps lKztIps30 Região A ps 15311128 19584 arre dondado para 196 lbft2 Região C ps 1531185 13005 arre dondado para 13 lbft2 Seção 25 Cargas de vento A Figura 215 indica que a velocidade do vento que atua no prédio de três andares e 45 pés de altura da Figura 220a é de 90 mph Se a condição de exposição C se aplica determine a força do vento transmitida para as fundações do prédio por cada um dos dois grandes pilaresparede de concreto armado que constituem o sistema principal de resistência ao vento As paredes localizadas no ponto central de cada lado do prédio têm proporções idênticas O fator de importância I é igual a 1 e Kzt 10 E x E m P L O 2 7 Figura 220 Análise da pressão do vento hori zontal pelo método simplificado a distribui ção da pressão do vento e detalhes da estrutura carregada b forças do vento aplicadas pelas paredes externas na borda do telhado e nas lajes de piso c vista superior da força do vento resultante e das reações dos pilaresparede d diagrama de corpo livre do pilarparede locali zado no plano ABDF mostrando as forças do vento aplicadas pelas lajes de piso e as reações na base continua a teto 3º piso 2º piso 15 15 15 40 34 2a 5 6 A B C F pilarparede 30 V1 pilarparede N O S L Ps 5 13 lbft2 Ps 5 196 lbft2 E D V2 188 34 40 Note Units of distributed load W are kipsft 2a 5 6 R 5 42 kips w 5 0147 kipft w 500975 kipft E D A teto F b 188 R 5 84 kips w 5 0294 kipft w 50195 kipft 3º piso 188 R 5 84 kips w 5 0294 kipft w 50195 kipft 2º piso continua 58 Capítulo 2 Cargas de projeto PASSO 3 Calcule as forças do vento resultantes transmitidas das paredes externas para a borda do telhado e para as lajes de piso Carga por pé w para a laje do telhado ver Figura 220b Região C w 15 2 13 1000 00975 kip ft Região A w 15 2 196 1000 0147 kipft Carga por pé w para a segunda e para a terceira lajes de piso Região C w 15 13 1000 0195 kip ft Região A w 15 196 1000 0294 kipft PASSO 4 Calcule as resultantes das cargas de vento distribuídas Laje do telhado R1 0147 3 6 00975 3 34 4197 arredondado para 42 kips Segundo e terceiro pisos R2 0294 3 6 0195 3 34 8394 arredondado para 84 kips Força do vento horizontal total 42 84 84 21 kips PASSO 5 Localize a posição da resultante Some os momentos sobre um eixo vertical por meio dos pontos A e F ver Figura 220c No nível da primeira laje de piso x 18797 ft arredondado para 188 ft 97 14 x 0882 3 3315 6 Rx F x 34 2 Como a variação da distribuição da pressão é idêntica em todos os níveis de piso na parte posterior da parede a resul tante de todas as forças atuando nas extremidades do teto e nas lajes de piso está localizada a uma distância de 188 pés a partir da borda do prédio Figura 220b PASSO 6 Calcule a força de cisalhamento na base dos pilaresparede Some os momentos de todas as forças sobre um eixo vertical passando pelo ponto A no canto do prédio ver Figura 220c SMA 21 3 188 V240 e V2 987 kips Resp Calcule V1 V2 V1 21 kips V1 21 987 1113 kips Resp Nota Uma análise completa do vento exige que o projetista considere as pressões verticais nas zonas E a H que atuam no teto Essas pressões são suportadas por um sistema estrutural separado composto das lajes e vigas de teto que as transmite para as colunas assim como para os pilaresparede No caso de um teto plano o vento que flui por ele produz pressões para cima elevação do vento que reduzem a compressão axial nas colunas D C A B c R 5 21 kips 30 40 d 445 kips 445 kips 223 kips 15 15 15 M1 3006 kip ft Figura 220 continuação continuação 59 Seção 26 Forças de terremoto 26 Forças de terremoto Terremotos ocorrem em muitas regiões do mundo Em alguns locais onde a intensidade do tremor do solo é pequena o projetista não precisa considerar os efeitos sísmicos Em outros locais particularmente em regiões próximas a uma falha geológica uma linha de fratura na estrutura rochosa ativa como a falha de San Andreas que se estende pela costa oci dental da Califórnia frequentemente ocorrem grandes movimentos do solo que podem danificar ou destruir prédios e pontes em áreas extensas das cidades ver Foto 24a e b Por exemplo São Francisco foi devastada por um terremoto em 1906 antes que os códigos de construção e de pontes contivessem disposições sísmicas Os movimentos do solo gerados por grandes forças de terremoto fazem os prédios oscilar para a frente e para trás Supondo que o prédio seja fixo em sua base o deslocamento dos pisos variará de zero na base até um máximo no teto ver Figura 221a Quando os pisos se movem lateral mente o sistema de contraventamento lateral é tensionado pois age de forma a resistir ao deslocamento lateral dos pisos As forças associadas a esse movimento as forças de inércia são uma função do peso dos pisos e do equipamento e das divisórias associadas assim como da rigidez da estrutura A soma das forças de inércia laterais atuando em todos os pisos e transmitida para as fundações é denominada cisalhamento de base e é denotada por V ver Figura 221b Na maioria dos prédios em que o peso dos pisos tem magnitude similar a distribuição das forças de inércia é semelhante àquela criada pelo vento conforme discutido na Seção 26 Embora existam vários procedimentos analíticos para determinar a magnitude do cisalhamento de base para a qual os prédios devem ser projetados consideraremos somente o procedimento da força lateral Foto 24 Dano em estruturas causado por terremoto a A via expressa Hanshin desmoronou durante o terremoto de 1995 ocorrido em Hyo gokenNanbu Japão b desmoronamento da ponte Struve Sough o forte tremor do solo causado pelo terremoto Loma Prieta de 1989 na Califórnia produziu recalques diferenciais das fundações que suportavam as fileiras de colunas que sustentavam a laje da pista de rolamento Esse recalque desigual fez que as colunas que sofreram os maiores recalques transferissem o peso do estrado da ponte para as colunas adjacen tes cujo recalque era menor A carga adicional que teve de ser transferida para a coluna por tensões de cisalhamento na laje em torno do perímetro da coluna produziu as falhas de puncionamento mostradas a b b a base V SFi F5 F4 F3 F2 F1 Figura 221 a Deslocamento dos pisos quando o prédio oscila b forças de inércia produzidas pelo movimento dos pisos 60 Capítulo 2 Cargas de projeto equivalente descrito no padrão ASCE Usando esse procedimento calcu lamos a magnitude do cisalhamento de base como V SD1W T R I 28a mas não ultrapassa Vmáx SDSW R I 28b e não é menor que Vmín 0044SDSIW 28c em que W peso próprio total do prédio e seu equipamento e divisó rias permanentes T período natural fundamental do prédio que pode ser cal culado pela seguinte equação empírica T Cthnx 29 hn a altura do prédio em pés metros acima da base Ct 0028 ou 0068 em unidades do SI e x 08 para pórticos rígidos de aço pórticos de momento Ct 0016 0044 SI e x 09 para pórticos rígidos de concreto armado e Ct 002 0055 SI e x 075 para a maioria dos outros sistemas por exemplo sistemas com pórticos contraven tados ou paredes estruturais O período natural de um prédio o tempo necessário para que um prédio passe por um ciclo completo de movimento é uma função da rigidez lateral e da massa da estrutura Como o cisalha mento de base V é inversamente proporcional à magni tude do período natural ele diminui à medida que a rigi dez lateral do sistema de contraventamento estrutural aumenta Evidentemente se a rigidez do sistema de con traventamento lateral é muito pequena os deslocamentos laterais podem tornarse excessivos danificando janelas paredes externas e outros elementos não estruturais SD1 um fator calculado com o uso de mapas sísmicos que mostra a intensidade do terremoto de projeto para estru turas com T 1 s A Tabela 29 fornece os valores para vários lugares SDS um fator calculado com o uso de mapas sísmicos que mos tra a intensidade do terremoto de projeto em locais especí ficos para estruturas com T 02 s Consulte a Tabela 29 para ver os valores em diversos locais R fator de modificação de resposta que representa a capaci dade de um sistema estrutural de resistir às forças sísmicas Esse fator que varia de 8 a 125 está relacionado na Tabela 210 para vários sistemas estruturais comuns Os valores mais altos são atribuídos aos sistemas flexíveis os valores mais baixos aos sistemas rígidos Como R ocorre no denominador das equações 28a e b um sistema estrutural com valor ele TABELA 29 Valores representativos de SDS e SD1 em cidades selecionadas Cidade SDS g SD1 g Los Angeles Califórnia 13 05 Salt Lake City Utah 12 05 Memphis Tennessee 083 027 Nova York Nova York 027 006 Nota Os valores de SDS e SD1 são baseados na suposição de que as fundações são apoiadas em rocha de resistência moderada Esses valores aumentam para solos mais fracos com menor capacidade de suporte 61 Seção 26 Forças de terremoto vado de R permitirá uma grande redução na força sísmica que o sistema estrutural deve ser projetado para suportar I fator de importância da ocupação que representa quanto determinada estrutura é essencial para a comunidade Por exemplo I é 1 para prédios de escritórios mas aumenta para 15 para hospitais delegacias de polícia ou outros estabeleci mentos públicos vitais à segurança e ao bemestar da comu nidade ou cuja falha poderia causar grande perda de vidas Nota o limite superior dado pela Equação 28b é necessário pois a Equação 28a gera valores de cisalhamento de base conservadores demais para estruturas muito rígidas que têm períodos naturais curtos O padrão ASCE também define um limite inferior Equação 28c para garantir que o prédio seja projetado para uma força sísmica mínima Distribuição do cisalhamento de base sísmico V para cada nível de piso A distribuição do cisalhamento de base sísmico V para cada piso é calculada usando a Equação 210 Fx wxhx k a n i 1 wih i k V 210 em que Fx a força sísmica lateral no nível x wi e wx peso próprio do piso nos níveis i e x hi e hx altura da base até os pisos nos níveis i e x k 1 para T 05 s 2 para T 25 s Para estruturas com um período entre 05 e 25 s k é determinado pela interpolação linear entre T igual a 1 e 2 como k 1 T 05 2 211 Veja na Figura 222 a representação gráfica da Equação 211 TABELA 210 Valores de R para vários sistemas estruturais comuns de contraventamento lateral Descrição do sistema estrutural R Aço maleável ou pórtico de concreto com ligações rígidas 8 Pilaresparede de concreto armado normal 4 Pilaresparede de alvenaria armada normal 2 k 1 T 05 2 0 05 10 12 15 20 05 089 15 25 20 T segundos k Figura 222 Interpolação para o valor de k 62 Capítulo 2 Cargas de projeto E x E m P L O 2 8 15 2º andar 20 40 60 força kips 80 3º andar 4º andar altura pés 5º andar 6º andar teto 101 208 323 446 574 708 5 12 60 a b Figura 223 a Prédio de seis andares b perfil da carga lateral Determine as forças sísmicas de projeto que atuam em cada piso do prédio de escritórios de seis andares da Figura 223 A estrutura do pré dio consiste em pórticos de momento de aço todas as ligações são rígi das que têm um valor de R igual a 8 O prédio de 75 pés de altura está localizado em uma região de alta atividade sísmica com SD1 04 g e SD5 10 g para um prédio apoiado em rocha em que g é a aceleração gravitacional O peso próprio de cada piso é 700 kips Solução Calcule o período fundamental usando a Equação 29 T Cthnx 00287508 089 s Supondo que o peso próprio do piso contém uma margem de segu rança para o peso das colunas vigas divisórias teto etc o peso total W do prédio é W 7006 4 200 kips O fator de importância da ocupação I é 1 para prédios de escritórios Calcule o cisalhamento de base V usando as Equações 28a e c 28a V SD1 T R I W 04 089 8 1 4200 236 kips mas não mais do que 28b Vmáx SDS R IW 10 8 1 4200 525 kips e não menos que Vmín 0044SDSIW 0044 10 1 4200 1848 kips 28c Portanto use V 236 kips Os cálculos da força sísmica lateral em cada nível de piso estão resu midos na Tabela 211 Para ilustrar esses cálculos calculamos a carga no terceiro piso Como T 089 s está entre 05 e 25 s devemos interpolar usando a Equação 211 para calcular o valor de k ver Figura 222 36537 415262 236 208 kips F3 piso w3h3 k a n i 1 wihi k V k 1 T 05 2 1 089 05 2 12 700 2712 700 1512 700 2712 700 3912 700 5112 700 6312 700 7512 12362 63 Seção 27 Outras cargas 27 Outras cargas Nas regiões frias a carga da neve sobre os telhados precisa ser consi derada A carga de neve de projeto em um telhado inclinado é dada pelo padrão ASCE como se segue ps 07CsCeCtIpg 212 em que pg carga de neve de base de projeto por exemplo 40 lbft2 em Boston 25 lbft2 em Chicago Cs fator de inclinação do telhado reduz de 10 à medida que a inclinação do telhado aumenta Ce fator de exposição 07 em área exposta ao vento e 13 em áreas protegidas com pouco vento Ct fator térmico 12 em prédios sem calefação e 10 em prédios com calefação I fator de importância Tetos planos precisam ser drenados adequadamente para evitar o acúmulo da água da chuva O padrão ASCE exige que cada parte do teto seja projetada para suportar o peso de toda água da chuva que possa se acumular caso o sistema de drenagem principal dessa parte seja obstruído Se não forem corretamente consideradas no projeto as cargas de chuva podem produzir deflexões excessivas das vigas do teto causando um problema de instabilidade denominado acumulação de água que faz o teto desmoronar Quando apropriado outros tipos de carga também precisam ser incluí dos no projeto de estruturas como pressões do solo pressões hidrostáti cas forças causadas por calor dentre outros TABELA 211 Cálculo das forças sísmicas laterais Altura Peso do piso Peso wi kips hi ft wihik Fx kips Teto 700 75 124 501 0300 708 6o 700 63 100 997 0243 574 5o 700 51 78 376 0189 446 4o 700 39 56 804 0137 323 3o 700 27 36 537 0088 208 2o 700 15 18 047 0043 101 V a 6 i 1 Fi 236 a 6 i 1 wihi k 415262 W a 6 i 1 wi 4200 wxhk x a 6 i 1 wihk i 64 Capítulo 2 Cargas de projeto 28 Combinações de carga As forças por exemplo força axial momento cisalhamento produ zidas pelas várias combinações de cargas discutidas precisam ser soma das de maneira correta e aumentadas por um fator de segurança fator de carga para produzir o nível de segurança desejado O efeito da carga combinada às vezes chamado resistência ponderada exigida representa a resistência mínima para a qual os elementos precisam ser projetados Considerando o efeito de carga produzido pelo peso próprio D pela sobrecarga L pela sobrecarga do teto Lt pela carga do vento W pela carga de terremoto E e pela carga de neve S o padrão ASCE exige que as seguintes combinações de carga sejam consideradas 14D 213 12D 16L 05Lt ou S 214 12D 16Lt ou S L ou 08W 215 12D 16W L 05Lt ou S 216 12D 10E L 02S 217 A combinação de carga que produz o maior valor de força representa a carga para a qual o elemento deve ser projetado E x E m P L O 2 9 Uma coluna em um prédio está sujeita apenas à carga gravitacional Usando o conceito de área de influência as cargas axiais produzidas pelo peso próprio pela sobrecarga e pela sobrecarga do teto são PD 90 kips PL 120 kips PLt 20 kips Qual é a resistência axial exigida da coluna Solução 14PD 1490 126 kips 213 12PD 16PL 05PLt 51290 16120 0520 5 310 kips 214 12PD 16PLt 05PL 5 1290 1620 05120 5 200 kips 215 Portanto a carga axial exigida é de 310 kips Nesse caso a combi nação de carga na Equação 214 governa Contudo se o peso próprio é significativamente maior do que as sobrecargas a Equação 213 pode governar 65 Seção 28 Combinações de carga Para determinar a resistência à flexão exigida em uma extremidade de uma viga em um pórtico de concreto os momentos produzidos pelo peso próprio sobrecarga e carga de vento são MD 100 kip ft ML 50 kip ft Mw 200 kip ft em que o sinal de menos indica que a extremidade da viga está sujeita a momento no sentido antihorário enquanto o sinal de mais indica momento no sentido horário Tanto o sinal de mais como o de menos são atribuídos a Mw pois a carga de vento pode atuar no prédio em uma ou outra direção Calcule a resistência à flexão exigida para momento positivo e negativo Solução Momento negativo 14MD 14100 140 kip ft 213 12MD 16ML 12100 1650 200 kip ft 214 12MD 16Mw ML 12100 16200 50 490 kip ft governa 216 Momento positivo as combinações de carga das equações 213 e 214 não precisam ser consideradas pois ambas produzem momentos negativos 12MD 16Mw ML 12100 16200 50 150 kip ft 216 Portanto a viga precisa ser projetada para um momento positivo de 150 kip ft e um momento negativo de 490 kip ft E x E m P L O 2 1 0 Resumo As cargas que os engenheiros devem considerar no projeto de prédios e pontes incluem pesos próprios sobrecargas e forças do meio ambiente vento terremoto neve e chuva Outros tipos de estruturas como represas reservatórios de água e fundações devem resistir às pressões de fluido e solo e para esses casos especialistas são frequentemente consultados para avaliar essas forças As cargas que determinam o projeto de estruturas são especificadas por códigos de construção nacionais e locais Os códigos estruturais também especificam as disposições de carregamento adicionais que se aplicam especificamente aos materiais de construção como aço concreto armado alumínio e madeira 66 Capítulo 2 Cargas de projeto Como é improvável que os valores máximos de sobrecarga neve vento terremoto etc atuem simultaneamente os códigos permitem uma redução nos valores das cargas quando várias combinações de carga são consideradas Entretanto o peso próprio nunca é reduzido a não ser que isso proporcione um efeito benéfico Para levar em conta os efeitos dinâmicos de veículos se movendo elevadores apoios do maquinário correspondente etc são especificados nos códigos de construção fatores de impacto que aumentam a sobrecarga Nas zonas onde as forças do vento ou de terremotos são pequenas os prédios baixos são dimensionados inicialmente para sobrecarga e peso próprio e então verificados quanto a vento terremoto ou ambos dependendo da região o projeto pode ser modificado facilmente quando necessário Por outro lado para prédios altos localizados em regiões onde grandes terremotos ou ventos fortes são comuns os projetistas devem dar alta prioridade na fase do projeto preliminar à escolha de sistemas estruturais por exemplo pilaresparede ou pórticos contraventados que resistam às cargas laterais eficientemente A velocidade do vento aumenta com a altura acima do solo Valores positivos de pressões do vento são dados pelo coeficiente de exposição à pressão causada pela velocidade Kz tabulado na Tabela 24 Pressões negativas de intensidade uniforme se desenvolvem em três lados de prédios retangulares as quais são avaliadas por meio da multiplicação da magnitude da pressão positiva a barlavento no topo do prédio pelos coeficientes da Tabela 26 O sistema de contraventamento em cada direção deve ser projetado para suportar a soma das forças do vento nos lados a barlavento e a sotavento do prédio Para prédios altos ou com um perfil incomum estudos em túnel de vento usando modelos em pequena escala equipados com instrumentos frequentemente estabelecem a magnitude e a distribuição das pressões do vento O modelo também deve incluir os prédios adjacentes os quais influenciam a magnitude e a direção da pressão atmosférica no prédio estudado Os movimentos do solo produzidos por terremotos fazem os prédios pontes e outras estruturas oscilarem Nos prédios esse movimento gera forças de inércia laterais consideradas concentradas em cada andar As forças de inércia são maiores no topo dos prédios onde os deslocamentos são maiores A magnitude das forças de inércia depende do tamanho do terremoto do peso do prédio do período natural do prédio da rigidez e da flexibilidade do pórtico estrutural e do tipo de solo Prédios com pórticos flexíveis que suportam grandes deformações sem desmoronar podem ser projetados para forças sísmicas muito menores do que as estruturas que dependem de um sistema rígido por exemplo alvenaria não armada 67 Problemas P21 Determine o peso próprio de um segmento de 1 pé de comprimento da viga de concreto armado cuja seção transversal é mostrada na Figura P21 A viga é construída com concreto leve que pesa 120 lbsft3 18 24 12 6 6 48 72 8 P21 P22 Determine o peso próprio de um segmento de 1 metro de comprimento da viga de concreto armado da Figura P22 construída de concreto leve com peso uni tário de 16 kNm3 560 mm 180 mm 180 mm 180 mm 780 mm 114 mm viga de ponte de concreto protendido 410 mm 190 mm P22 P23 Determine o peso próprio de um segmento de 1 pé de comprimento de um módulo típico de 20 polegadas de largura de um teto apoiado em uma viga de pinheirodo sul de 2 pol x 16 pol nominais as dimensões reais são 1 2 pol menores O compensado de 3 4 pol pesa 3 lbft2 20 20 isolamento de 2 feltro asfáltico de três camadas e cascalho compensado de 34 15 1 1 2 1 2 P23 P24 Considere a planta baixa de andar mostrada na Figura P24 Calcule as áreas de influência da a viga de piso B1 b viga mestra G1 c viga mestra G2 d coluna de canto C3 e e coluna interna B2 A 30 25 B1 C3 B2 G2 G1 2 10 5 20 2 10 5 20 1 2 3 B C P24 P25 Consulte a planta baixa de andar da Figura P24 Calcule as áreas de influência da a viga de piso B1 b viga mestra G1 c viga mestra G2 d coluna de canto C3 e e coluna interna B2 PrObLEmAs 68 Capítulo 2 Cargas de projeto P26 A sobrecarga uniformemente distribuída na planta baixa de andar da Figura P24 é de 60 lbft2 Estabeleça a carga dos membros a viga de piso B1 b viga mes tra G1 e c viga mestra G2 Considere a redução de sobrecarga caso seja permitida pelo padrão ASCE P27 A elevação associada à planta baixa de andar da Figura P24 é mostrada na Figura P27 Suponha uma sobrecarga de 60 lbft2 em todos os três andares Calcule as forças axiais produzidas pela sobrecarga na coluna B2 no terceiro e no primeiro andares Considere qual quer redução de sobrecarga se for permitida pelo padrão ASCE 25 30 3 10 30 P27 P28 Um prédio de cinco andares é mostrado na Figura P28 Seguindo o padrão ASCE a pressão do vento ao longo da altura no lado a barlavento foi estabelecida como mostrado na Figura P28 c a Considerando a pressão a barlavento na direção lesteoeste use o conceito de área de influência para calcular a força do vento resultante em cada nível de piso b Calcule o cisalhamento de base horizontal e o momento de tombamento do prédio a N A 1 3 20 60 3 30 90 4 25 100 15 20 5 12 60 2 3 4 5 B C D P28 a b c 3 20 60 4 25 100 13 pressões do vento em lbft2 15 20 5 12 60 D P28 P29 As dimensões de um armazém de 9 metros de altura são mostradas na Figura P29 Os perfis da pres são do vento a barlavento e a sotavento no sentido do comprimento do armazém também são mostrados Estabeleça as forças do vento com base nas seguintes informações velocidade do vento básica 40 ms cate goria de exposição ao vento C Kd 085 Kzt 10 G 085 e Cp 08 para a parede a barlavento e 02 para a parede a sotavento Use os valores de Kz listados na Tabela 24 Qual é a força total do vento atuando no sentido do comprimento do armazém qzGCp qhGCp 40 m 9 m 20 m não está em escala P29 69 Problemas P210 As dimensões de um prédio com frontão trian gular estão mostradas na Figura P210a As pressões externas da carga de vento perpendicular à cumeeira do prédio são mostradas na Figura P210b Note que a pressão do vento pode atuar na direção da superfície a barlavento do telhado ou para fora dela Para as dimensões dadas do prédio o valor de Cp para o telhado baseado no padrão ASCE pode ser determi nado a partir da Tabela P210 em que os sinais de mais e de menos significam pressões atuando na dire ção das superfícies ou para fora delas respectiva mente Dois valores de Cp indicam que a inclinação do telhado a barlavento está sujeita a pressões positivas ou negativas e que a estrutura do telhado deve ser pro jetada para as duas condições de carga O padrão ASCE permite interpolação linear para o valor do ângulo inclinado θ do telhado Mas a interpolação só deve ser realizada entre valores de mesmo sinal Esta beleça as pressões do vento no prédio quando a pres são positiva atua no telhado a barlavento Use os seguintes dados velocidade do vento básica 100 mih categoria de exposição ao vento B Kd 085 Kzt 10 G 085 e Cp 08 para a parede a barlavento e 02 para a parede a sotavento b a 48 80 vento 16 16 h qhGCp qhGCp qzGCp qhGCp u TABELA P210 Coeficiente de pressão no telhado Cp Barlavento Sotavento Ângulo u 10 15 20 25 30 35 45 60 10 15 20 Cp 209 207 204 203 202 202 00 001u 205 205 206 00 02 02 03 04 u definido na Figura P210 P210 70 Capítulo 2 Cargas de projeto P211 Estabeleça as pressões do vento no prédio do Problema P210 quando o telhado a barlavento é sujeito a uma força do vento atuando para fora dele P212 a Determine a distribuição da pressão do vento nos quatro lados do hospital de 10 andares mostrado na Figura P212 O prédio está localizado próximo à costa da Geórgia para a qual o mapa de contorno da velocidade do vento da Figura 215 do texto especifica uma velocidade do vento de projeto de 140 mph O pré dio localizado em terreno plano é classificado como rígido pois seu período natural é menor do que 1 s No lado a barlavento avalie a magnitude da pressão do vento a cada 35 pés na direção vertical b Supondo que a pressão do vento no lado a barlavento varia linear mente entre os intervalos de 35 pés determine a força do vento total no prédio na direção do vento Inclua a pressão negativa no lado a sotavento P213 Considere o prédio de cinco andares mostrado na Figura P28 Os pesos médios do piso e do teto são 90 lbft2 e 70 lbft2 respectivamente Os valores de SDS e SD1 são iguais a 09 g e 04 g respectivamente Como são utilizados pórticos de momento de aço na direção nortesul para resistir às forças sísmicas o valor de R é igual a 8 Calcule o cisalhamento de base sísmico V Em seguida distribua o cisalhamento de base ao longo da altura do prédio P214 a Um estabelecimento hospitalar de dois anda res mostrado na Figura P214 está sendo projetado em Nova York com velocidade do vento básica de 90 mih e exposição ao vento D O fator de importância I é 115 e Kz 10 Use o procedimento simplificado para deter minar a carga de vento de projeto o cisalhamento de base e o momento de tombamento do prédio b Use o procedimento da força lateral equivalente para determi nar o cisalhamento de base sísmico e o momento de tombamento O estabelecimento com um peso médio de 90 lbft2 para o andar e para o teto deve ser projetado para os seguintes fatores sísmicos SDS 027 g e SD1 006 g devem ser utilizados pórticos de concreto armado com valor de R igual a 8 O fator de importância I é 15 c As forças do vento ou as forças sísmicas governam o projeto de resistência do prédio 80 140 160 vento 140 mph sotavento D C B E F G H A P212 15 15 100 100 P214 71 Problemas P215 Quando um pórtico de momento não ultrapassa 12 andares de altura e a altura do andar é de no mínimo 10 pés o padrão ASCE fornece uma expressão mais sim ples para calcular o período fundamental aproximado T 01N em que N número de andares Recalcule T com a expressão acima e compare com o valor obtido no Pro blema P213 Qual método produz o maior cisalhamento de base sísmico Treliça espacial projetada para suportar o telhado da Hartford Civic Center Arena Essa imensa estrutura que cobria uma área retangular de aproximadamente 91 por 109 metros era apoiada em quatro colunas de canto Para acelerar a construção a treliça foi montada no solo antes de ser içada para seu lugar Na foto a treliça espacial foi levantada a uma pequena altura para permitir aos operários instalar tubulações conduítes e outros acessórios a partir do chão Em 1977 a estrutura desmoronou sob o peso de uma grande carga de neve úmida C A P Í T U L O Estática das estruturas reações 31 Introdução Com poucas exceções as estruturas devem ser estáveis sob todas as condições de carregamento isto é devem ser capazes de suportar as cargas aplicadas o próprio peso as sobrecargas antecipadas vento etc sem mudar de forma sofrer grandes deslocamentos ou ruir Como as estruturas estáveis não se movem perceptivelmente quando carregadas em grande parte sua análise a determinação das forças internas e externas reações é baseada nos princípios e nas técnicas contidas no ramo da mecânica denominado estática A estática que você estudou anteriormente aborda os sistemas de for ças que atuam em corpos rígidos em repouso o caso mais comum ou se movendo em velocidade constante isto é em qualquer caso a aceleração do corpo é zero Embora as estruturas que estudaremos neste livro não sejam absolutamente rígidas pois sofrem pequenas deformações elásticas quando carregadas na maioria das situações as deflexões são tão pequenas que podemos 1 tratar a estrutura ou seus componentes como corpos rígidos e 2 basear a análise nas dimensões iniciais da estrutura Iniciaremos este capítulo com uma breve revisão da estática Nessa revisão consideraremos as características das forças discutiremos as equações do equilíbrio estático para estruturas bidimensionais plana res e usaremos essas equações para determinar as reações e as forças internas em uma variedade de estruturas determinadas simples como vigas treliças e pórticos simples Concluiremos este capítulo com uma discussão sobre determina ção e estabilidade Por determinação referimonos aos procedimen tos para estabelecer se somente as equações da estática são suficien tes para permitir a análise completa de uma estrutura A estrutura que não pode ser analisada pelas equações da estática é denominada inde terminada Para analisar uma estrutura indeterminada devemos for 3 74 Capítulo 3 Estática das estruturas reações necer equações adicionais considerando a geometria da forma defle tida Essas estruturas serão discutidas em capítulos posteriores Por estabilidade referimonos à organização geométrica dos mem bros e apoios necessários para produzir uma estrutura estável isto é uma estrutura que possa resistir à carga de qualquer direção sem sofrer uma mudança radical no formato ou grandes deslocamentos de corpo rígido Neste capítulo consideraremos a estabilidade e a determinação de estru turas que podem ser tratadas como um único corpo rígido ou como vários corpos rígidos conectados Os princípios que estabelecermos para essas estruturas simples serão ampliados para estruturas mais complexas em capítulos posteriores 32 Forças Para resolver problemas estruturais típicos usamos equações que envolvem forças ou suas componentes Uma força pode ser linear se tende a produzir translação ou um conjugado se tende a produzir rotação do corpo em que atua Como força tem magnitude e direção pode ser representada por um vetor Por exemplo a Figura 31a mostra uma força F com magnitude F situada no plano xy e passando pelo ponto A Um conjugado consiste em duas forças iguais e de direção contrária situadas no mesmo plano ver Figura 31b O momento M associado ao conjugado é igual ao produto da força F e a distância perpendicular ou braço d entre as forças Como o momento é um vetor ele tem magni tude assim como direção Embora frequentemente representemos o momento com uma seta curva para mostrar que ele atua no sentido horário ou antihorário ver Figura 31c também podemos representá lo com um vetor normalmente uma seta de duas pontas usando a regra da mão direita Na regra da mão direita curvamos os dedos da mão direita na direção do momento e a direção na qual o polegar aponta indica a direção do vetor 0 0 0 Fx Fy A F b c a y x z a F F d M Fd y x z b M M y x z c Figura 31 Vetores de força e momento a vetor de força linear decomposto nas componentes x e y b conjugado de magnitude Fd c representa ção alternativa do momento M por meio de um vetor usando a regra da mão direita 75 Seção 32 Forças Precisamos muitas vezes efetuar cálculos que exigem decompor uma força em suas componentes ou combinar várias forças para produzir uma única força resultante Para facilitar esses cálculos é conveniente selecionar eixos horizontais e verticais arbitrariamente um sistema de coordenadas xy como direções básicas de referência Uma força pode ser decomposta em componentes por meio da relação geométrica triângulos semelhantes existente entre as componentes e a inclinação do vetor Por exemplo para expressar a componente verti cal Fy do vetor F na Figura 31a relativa a sua inclinação escrevemos usando triângulos semelhantes Fy a F c e Fy a c F Analogamente se estabelecermos uma proporção entre a componente horizontal Fx e F e os lados do triângulo oblíquo observado no vetor podemos escrever Fx b c F Se uma força precisar ser decomposta em componentes que não são paralelos a um sistema de coordenadas xy a lei dos senos fornece uma relação simples entre o comprimento dos lados e os ângulos internos opostos dos respectivos lados Para o triângulo mostrado na Figura 32 podemos formular a lei dos senos como a sen A b sen B c sen C em que A é o ângulo do lado oposto a B é o ângulo do lado oposto b e C é o ângulo do lado oposto c O Exemplo 31 ilustra o uso da lei dos senos para calcular as compo nentes ortogonais de uma força vertical em direções arbitrárias A c B b C a Figura 32 Diagrama para ilustrar a lei dos senos 76 Capítulo 3 Estática das estruturas reações Resultante de um sistema de forças planares Em certos problemas estruturais precisaremos determinar a magnitude e a localização da resultante de um sistema de forças Como a resultante é uma força única que produz em um corpo o mesmo efeito externo do sistema de forças original a resultante R deve satisfazer as três condições a seguir 1 A componente horizontal Rx da resultante deve ser igual à soma algébrica das componentes horizontais de todas as forças Rx Fx 31a 2 A componente vertical Ry da resultante deve ser igual à soma algébrica das componentes verticais de todas as forças Ry Fy 31b 3 O momento Mo produzido pela resultante sobre um eixo de referência através do ponto o deve ser igual ao momento sobre o ponto o produzido por todas as forças e conjugados que compõem o sistema de forças original Mo Rd Fi di Mi 31c em que R força resultante 2R 2 x R 2 y d distância perpendicular da linha de ação da resultante até o eixo sobre o qual os momentos são calculados 31d Fi di momento de todas as forças sobre o eixo de referência Mi momento de todos os conjugados sobre o eixo de referência E x E m P L O 3 1 Usando a lei dos senos decomponha a força vertical FAB de 75 lb da Figura 33a nas componentes orientadas na direção das linhas a e b Solução Através do ponto B desenhe uma linha paralela à linha b formando o triângulo ABC Os ângulos internos do triângulo são calculados facil mente a partir da informação dada Os vetores AC e CB Figura 33b representam as componentes exigidas da força FAB A partir da lei dos senos podemos escrever sen 80 75 sen 40 FAC sen 60 FCB em que sen 80 0985 sen 60 0866 e sen 40 0643 Resolvendo para FAC e FCB temos Resp Resp FCB sen sen 60 80 75 6594 lb FAC sen 40 sen 80 75 4896 lb A C B FAB 75 lb b FAC FCB b a A C B 50 30 50 FAB 75 lb a 60 80 40 Figura 33 Decompo sição de uma força ver tical em componentes 77 Seção 32 Forças Resultante de uma carga distribuída Além das cargas concentradas e dos conjugados muitas estruturas suportam cargas distribuídas O efeito externo de uma carga distribuída o cálculo das reações que ela produz por exemplo é mais facilmente tra tado substituindose as cargas distribuídas por uma força resultante equi Cálculo de uma resultante Determine a magnitude e localização da resultante R das três cargas de roda mostradas na Figura 34 d A B C 3 m 2 m 20 kN 20 kN R 50 kN 10 kN Solução Como nenhuma das forças atua na direção horizontal nem tem com ponentes na direção horizontal Rx 0 Usando a Equação 31b temos R Ry Fy 20 20 10 50 kN Resp Localize a posição da resultante usando a Equação 31c isto é iguale o momento produzido pelo sistema de forças original ao momento produzido pela resultante R Selecione um eixo de referência através do ponto A a escolha de A é arbitrária Rd Fidi 50d 200 203 105 d 22 m Resp E x E m P L O 3 2 Figura 34 78 Capítulo 3 Estática das estruturas reações valente Conforme já aprendido nos cursos de estática e mecânica dos materiais a magnitude da resultante de uma carga distribuída é igual à área sob a curva de carga e atua em seu centroide consultar na Tabela A1 os valores de área e localização do centroide de diversas formas geomé tricas comuns O Exemplo 33 ilustra o uso de integrais para calcular a magnitude e a localização da resultante de uma carga distribuída com uma variação parabólica Se o formato de uma carga distribuída é complexo muitas vezes o projetista pode simplificar o cálculo da magnitude e da posição da resultante subdividindo a área em várias áreas geométricas menores cujas propriedades são conhecidas Na maioria dos casos as cargas distribuídas são uniformes ou variam linearmente Para este último caso você pode dividir a área em áreas triangulares e retangulares ver Exemplo 37 Como procedimento alternativo o projetista pode substituir uma carga distribuída que varia de maneira complexa por um conjunto de cargas con centradas estaticamente equivalentes usando as equações da Figura 35 Para usar essas equações dividimos as cargas distribuídas em um número arbitrário de segmentos de comprimento h As extremidades dos segmentos são denominadas nós A Figura 35 mostra dois seg mentos típicos Os nós são rotulados como 1 2 e 3 O número de segmentos nos quais a carga é dividida depende do comprimento e do formato da carga distribuída e da quantidade que calcularemos Se a carga distribuída varia linearmente entre os nós a força concentrada equivalente em cada nó é dada pelas equações da Figura 35a As equações das forças rotuladas como P1 e P3 se aplicam a um nó externo um segmento está localizado somente em um lado do nó e P2 aplicase a um nó interno os segmentos estão localizados nos dois lados do nó Para uma carga distribuída com variação parabólica de concavidade para cima ou de concavidade para baixo devem ser usadas as equações da Figura 35b Essas equações também fornecerão bons resultados dentro de 1 ou 2 dos valores exatos para cargas distribuídas cuja forma seja representada por uma curva de ordem superior Se o comprimento dos seg mentos não for grande demais as equações mais simples da Figura 35a também podem ser aplicadas para uma carga distribuída cujas ordenadas se situem em uma curva como mostrado na Figura 35b Quando elas são aplicadas dessa maneira estamos na verdade substituindo a curva de carre gamento real por uma série de elementos trapezoidais conforme mostrado pela linha tracejada na Figura 35b À medida que reduzimos a distância h entre os nós ou equivalentemente aumentamos o número de segmentos a aproximação trapezoidal vai se assemelhando à curva real O Exemplo 34 ilustra o uso das equações da Figura 35 Embora a resultante de uma carga distribuída produza em um corpo o mesmo efeito externo da carga original as tensões internas produzidas pela resultante não são iguais àquelas produzidas pela carga distribuída Por exemplo a força resultante pode ser usada para calcular as reações de uma viga mas os cálculos das forças internas por exemplo cisalha mento e momento devem ser baseados na carga real 1 2 a 3 h h P1 P1 h 6 2w1 w2 P2 h 6 w1 4w2 w3 P3 h 6 2w3 w2 P2 w2 w1 w3 P3 Figura 35 a Expressões para converter uma variação de carga trapezoidal em um conjunto de cargas concentradas igualmente espaçadas e esta ticamente equivalentes b equações para con verter uma variação de carga parabólica em um conjunto de cargas concentradas estaticamente equivalentes As equações também são válidas para parábolas de concavidade para baixo e for necem uma boa aproximação para curvas de ordem superior 1 2 b 3 h h P1 P1 h 24 7w1 6w2 w3 P2 h 12 w1 10w2 w3 P3 h 24 7w3 6w2 w1 P2 w2 w1 w3 P3 79 Seção 32 Forças Calcule a magnitude e a localização da resultante da carga para bólica mostrada na Figura 36 A inclinação da parábola é zero na origem x L 0 3 4 x L w L2 y x2 y R w y dx x Solução Calcule R integrando a área sob a parábola y wL2x2 Resp R L 0 y dx L 0 wx 2 L2 dx wx 3 3L2 L 0 wL 3 Localize a posição do centroide Usando a Equação 31c e somando os momentos sobre a origem o temos Rx L 0 y dx x L 0 w L2 x 3 dx wx 4 4L2 L 0 wL2 4 Substituindo R wL3 e resolvendo a equação acima para x resulta Resp x 3 4 L E x E m P L O 3 3 Figura 36 80 Capítulo 3 Estática das estruturas reações E x E m P L O 3 4 A viga da Figura 37a suporta uma carga distribuída cujas ordenadas se situam em uma curva parabólica Substitua a carga distribuída pelo conjunto de cargas concentradas estaticamente equivalentes 5 4 625 w4 w3 w2 w1 9 1225 5 5 15 10 a P4 P3 P2 P1 5 5 5 10 b Solução Divida a carga em três segmentos em que h 5 ft Avalie as cargas equivalentes usando as equações da Figura 35b P4 h 24 7w4 6w3 w2 5 24 7 1225 6 9 625 2781 kips P3 h 12 w2 10w3 w4 5 12 625 10 9 1225 4521 kips P2 h 12 w1 10w2 w3 5 12 4 10 625 9 3146 kips P1 h 24 7w1 6w2 w3 5 24 7 4 6 625 9 1177 kips Calcule também os valores aproximados das cargas P1 e P2 usando as equações da Figura 35a para uma distribuição de carga trapezoidal P2 h 6 w1 4w2 w3 5 6 4 4 625 9 3167 kips P1 h 6 2w1 w2 5 6 2 4 625 1188 kips A análise indica que para esse caso os valores aproximados de P1 e P2 se desviam menos de 1 dos valores exatos Figura 37 a Viga com uma carga distribuída unidades de carga em kips por pé b viga com cargas concentradas equivalentes 81 Seção 33 Apoios Princípio da transmissibilidade O princípio da transmissibilidade declara que uma força pode moverse ao longo de sua linha de ação sem alterar o efeito externo que produz em um corpo Por exemplo na Figura 38a podemos ver consi derando o equilíbrio na direção x que a força horizontal P aplicada no ponto A da viga gera uma reação horizontal igual a P no apoio C Se a força no ponto A for movida ao longo de sua linha de ação até o ponto D na extremidade direita da viga ver Figura 38b a mesma reação horizontal P se desenvolverá em C Embora o efeito de mover a força ao longo de sua linha de ação não produza nenhuma alteração nas rea ções podemos ver que a força interna no membro é afetada pela posição da carga Por exemplo na Figura 38a a tensão de compressão se desen volve entre os pontos A e C Por outro lado se a carga atuar em D a tensão entre os pontos A e C será zero e serão criadas forças de tração entre C e D ver Figura 38b A capacidade do engenheiro de mover vetores ao longo de suas linhas de ação é frequentemente utilizada na análise estrutural para simplificar os cálculos para resolver graficamente problemas envolvendo vetores e para desenvolver uma compreensão mais clara do comportamento Por exemplo na Figura 39 as forças que atuam em um muro de arrimo con sistem no peso W do muro e no empuxo do solo T atrás do muro Esses vetores de força podem ser adicionados na figura deslizandose T e W ao longo de suas linhas de ação até que se interceptem no ponto A Nesse ponto os vetores podem ser combinados para produzir a força resultante R que atua no muro A magnitude e a direção de R são avaliadas grafica mente na Figura 39b Agora de acordo com o princípio da transmissibi lidade a resultante pode ser movida ao longo de sua linha de ação até que intercepte a base no ponto x Se a resultante intercepta a base dentro do terço central podese demonstrar que existem tensões compressivas sobre a base inteira um estado de tensão desejável pois o solo não pode transmitir tração Por outro lado se a resultante cair fora do terço central da base existirá compressão somente sob uma parte da base e a estabili dade do muro a possibilidade de que ele tombe ou comprima excessi vamente o solo deverá ser investigada 33 Apoios Para garantir que uma estrutura ou um elemento estrutural permane çam na posição desejada sob todas as condições de carregamento eles são fixados em uma fundação ou conectados a outros membros estruturais por meio de apoios Em certos casos de construção leve os apoios são forne cidos pregando ou aparafusando os membros em paredes vigas ou colu nas de sustentação Tais apoios são simples de construir e se dá pouca atenção aos detalhes do projeto Em outros casos em que estruturas grandes e que sofrem carga pesada precisam ser apoiadas devem ser projetados dispositivos mecânicos grandes e complexos que permitam a ocorrência de determinados deslocamentos enquanto impedem outros para transmitir cargas grandes P B C D A a P P P B C D A b PP B 3 B B 3 B 3 W R A T x a R W T b Figura 38 Princípio da transmissibilidade Figura 39 Forças atuando em um muro a adição do peso W e do empuxo do solo T b adição vetorial de W e T para produzir R 82 Capítulo 3 Estática das estruturas reações Embora os dispositivos usados como apoios possam variar amplamente no aspecto e na forma podemos classificar os apoios em quatro categorias principais com base nas restrições ou reações que exercem na estrutura Os apoios mais comuns cujas características estão resumidas na Tabela 31 incluem a articulação fixa a articulação móvel o engastamento e a rótula A articulação fixa mostrada na Tabela 31 caso a representa um dispositivo que conecta um membro a um ponto fixo por meio de um pino sem atrito Embora impeça o deslocamento em qualquer direção esse apoio permite que a extremidade do membro gire livremente Os engas tamentos consultar Tabela 31 caso f embora não sejam comuns existem ocasionalmente quando a extremidade de um membro está pro fundamente incrustada em um bloco de concreto maciço ou cimentada em rocha sólida Figura 311 O sistema de apoios escolhido pelo projetista influenciará as forças que se desenvolverão em uma estrutura e também as forças transmitidas para os elementos de apoio Por exemplo na Figura 310a a extremi dade esquerda de uma viga está ligada a uma parede por meio de um parafuso que impede o deslocamento relativo entre a viga e a parede enquanto a da direita está apoiada em uma almofada de borracha sinté tica que permite que a extremidade da viga se mova lateralmente sem desenvolver nenhuma força de restrição significativa Se a temperatura da viga aumentar a viga se dilatará Como nenhuma restrição longitu dinal se desenvolve na extremidade direita para resistir à dilatação nenhuma tensão é gerada na viga nem nas paredes Por outro lado se as duas extremidades da mesma viga são aparafusadas em paredes de alve naria ver Figura 310b uma dilatação da viga produzida por um aumento na temperatura empurrará as paredes para fora e possivelmente as rachará Se forem rígidas as paredes exercerão uma força de restri L a almofada de borracha sintética L b F F rachadura Figura 310 Influência dos apoios representa ção idealizada mostrada abaixo da condição de construção real a a extremidade da direita fica livre para expandir lateralmente nenhuma ten são é criada pela mudança da temperatura b as duas extremidades são restritas tensões com pressivas e de flexão se desenvolvem na viga Os muros racham Foto 31 Uma das três articulações fixas de cober tura de concreto conectandoa com a fundação Foto 32 Articulação fixa carregada pelo empuxo da base do arco e pela extremidade da viga mestra externa do piso 83 Esboço Símbolo Movimentos permitidos ou impedidos Forças de reação Incógnitas criadas Tipo TABELA 31 Características dos apoios a Articulação fixa OU OU Rx Ry Ry Ry Rx Rx R R MR R2 R1 MR R b Rótula c Articulação móvel d Balancim e Almofada de elastômero g Elo f Engastamento h Guia Impedido translação horizontal translação vertical Permitido rotação Uma única força linear para cima ou para baixo Uma única força linear vertical momento OU R Uma única força linear de direção desconhecida ou equivalente Uma força horizontal e uma força vertical que são as componentes da força única de direção desconhecida Impedido desloca mento relativo das extremidades do membro Permitido rotação e deslocamento horizontal e vertical Forças horizontais e verticais iguais e de direção oposta Impedido translação vertical Permitido translação horizontal rotação Impedido translação horizontal translação vertical rotação Permitido nenhum Componentes horizontais e verticais de uma resultante linear momento Impedido translação na direção do elo Permitido translação perpendicular ao elo rotação Uma única força linear na direção do elo Impedido translação vertical rotação Permitido translação horizontal Embora o símbolo da articulação móvel por simplicidade não mostre nenhuma restrição contra movimento para cima subentendese que uma articulação móvel possa fornecer uma força de reação para baixo se necessário 84 Capítulo 3 Estática das estruturas reações ção sobre a viga que gerará tensões compressivas e possivelmente tensões de flexão caso os apoios sejam excêntricos em relação ao cen troide do membro na viga Embora esses efeitos normalmente sejam pequenos nas estruturas quando os vãos são curtos ou as mudanças de temperatura são moderadas eles podem produzir resultados indesejados deformação ou membros tracionados em demasia quando os vãos são longos ou as mudanças de temperatura grandes Produzir uma condição de engastamento para uma viga ou coluna de aço é dispendioso e raramente é feito Para uma viga de aço uma condição de engastamento pode ser criada pelo embutimento de uma de suas extremidades em um bloco de concreto armado maciço ver Figura 311 Para produzir uma condição de engastamento na base de uma coluna de aço o projetista deve especificar uma placa de base de aço grossa reforçada por placas de aço verticais conectadas na coluna e na placa de base ver Figura 312 Além disso a placa de base deve ser ancorada no apoio por meio de parafusos de ancoragem fortemente tensionados Por outro lado quando os membros estruturais são construídos com concreto armado um engastamento ou uma articulação fixa pode ser produzida mais facilmente No caso de uma viga um engastamento é pro duzido estendendo barras de armação no elemento de apoio a uma distância especificada ver Figura 313a Para uma coluna de concreto armado o pro jetista pode criar uma articulação em sua base 1 entalhando a parte inferior da coluna imediatamente acima da parede de apoio ou base e 2 cruzando as barras de armação como mostrado na Figura 313b Se a força axial na coluna é grande para garantir que o concreto na região do entalhe não falhe por esmagamento mais barras verticais de armação devem ser adicionadas na linha central da coluna para transferir a força axial P parede de concreto armado viga de aço estribos elevação planta placas de reforço em cada lado parafuso de ancoragem P M P parede de concreto armado é mostrada somente a ferragem da viga a P barras de armação b coluna fundação entalhe Figura 311 Viga com extremidade engastada criada pelo embutimento da extremidade esquerda em uma parede de concreto armado Figura 312 Uma coluna de aço apoiada em uma placa de base reforçada que é aparafusada em uma fundação de concreto produzindo uma condição de engastamento em sua base Figura 313 a Viga de concreto armado com uma extremidade engastada b coluna de concreto armado cuja extremi dade inferior está especificada para atuar como articulação 85 Seção 34 Idealizando estruturas 34 Idealizando estruturas Antes que uma estrutura possa ser analisada o projetista deve criar um modelo físico simplificado da estrutura e de seus apoios assim como das cargas aplicadas Normalmente esse modelo é representado por um desenho feito com linhas simples Para ilustrar esse procedi mento consideraremos o pórtico rígido de aço estrutural da Figura 314a Para propósitos de análise o projetista provavelmente represen taria o pórtico rígido por meio do esboço simplificado da Figura 314b Nesse esboço as colunas e vigas mestras são representadas pelas linhas centrais das barras reais Embora a carga máxima aplicada na viga mes tra do pórtico possa ser criada pelo acúmulo desigual de neve úmida e pesada o projetista seguindo especificações de código projetará o pór tico para uma carga uniforme w equivalente Desde que a carga equiva lente produza nas barras forças com a mesma magnitude da carga real o projetista poderá dimensionar as barras com a resistência necessária para suportar a carga real Na estrutura real placas soldadas nas bases das colunas são apara fusadas nas paredes das fundações para suportar o pórtico Às vezes um tirante também é estendido entre as bases das colunas para transmitir o empuxo lateral produzido na viga mestra pela carga vertical Usando o tirante para transmitir as forças horizontais que tendem a mover para fora as bases das colunas apoiadas nas paredes das fundações os proje tistas podem dimensionar as paredes e fundações somente para carga vertical condição que reduz significativamente o custo das paredes Embora alguma restrição rotacional obviamente se desenvolva na base das colunas normalmente os projetistas a desprezam e presumem que os apoios reais podem ser representados por articulações fixas Essa suposi ção é feita pelos seguintes motivos 1 O projetista não dispõe de nenhum procedimento simples para avaliar a restrição rotacional L L h A B D C A wL B D C h R R w carga de neve tirante viga mestra ligação rígida placa de base graute parede a b 2 wL 2 Figura 314 a Pórtico rígido soldado com carga de neve b pórtico idealizado no qual a análise é baseada 86 Capítulo 3 Estática das estruturas reações 2 A restrição rotacional é modesta devido à deformação de flexão da placa ao alongamento dos parafusos e aos pequenos movimentos laterais da parede 3 Por fim a suposição de uma articulação fixa na base é conservadora restrições de qualquer tipo tornam a estrutura mais rígida Como exemplo consideraremos o comportamento da ligação de alma padrão entre as duas vigas de aço da Figura 315a Como mostrado na Figura 315b a mesa superior da viga 1 é cortada para que as mesas supe riores tenham a mesma elevação A ligação entre as duas vigas é feita por meio de duas cantoneiras aparafusadas ou soldadas nas almas das duas vigas As forças aplicadas nas barras pelos parafusos são mostradas na Figura 315c Como a alma da viga 2 é relativamente flexível normal mente a ligação é projetada para transferir somente carga vertical entre as duas barras Embora a ligação tenha uma capacidade limitada para carga horizontal essa capacidade não é utilizada pois a viga 1 suporta princi palmente carga gravitacional e pouca ou nenhuma carga axial Normal mente os projetistas modelam esse tipo de ligação como uma articulação rígida ou móvel Figura 315d 35 Diagramas de corpo livre Como primeiro passo na análise de uma estrutura normalmente o projetista desenhará um esboço simplificado da estrutura ou da parte da estrutura em consideração Esse esboço que mostra as dimensões neces sárias junto com todas as forças externas e internas que atuam na estru tura é chamado de diagrama de corpo livre FBD do inglês freebody diagram Por exemplo a Figura 316a mostra um diagrama de corpo livre de um arco triarticulado que suporta duas cargas concentradas Como as reações nos apoios A e C são desconhecidas suas direções devem ser pressupostas O projetista também poderia representar o arco por meio do esboço da Figura 316b Embora os apoios não sejam mostrados como acontece na Figura 316a e o arco seja representado por uma linha o diagrama de viga 2 viga 1 R a b c d cantoneiras de ligação viga 1 viga 2 viga 1 viga 1 R 2 R 2 Figura 315 Ligação de alma aparafusada idea lizada como articulação fixa a perspectiva da ligação b detalhes da ligação mostrados em escala ampliada a inclinação da viga 1 curva a alma flexível da viga 2 Presumese que a ligação flexível não permite nenhuma restrição rotacio nal c como a ligação permite somente restrição vertical sua capacidade de restrição lateral não é mobilizada estamos livres para modelar a liga ção como uma articulação fixa ou móvel como mostrado em d 87 Seção 35 Diagramas de corpo livre corpo livre contém todas as informações necessárias para analisálo Con tudo como as articulações fixas em A e C não são mostradas não é evi dente para alguém que não esteja familiarizado com o problema e esteja vendo o esboço pela primeira vez que os pontos A e B não têm desloca mento livre por causa das articulações fixas nessas posições Em cada caso os projetistas devem utilizar seu parecer para decidir quais detalhes necessitam de esclarecimento Se as forças internas na articulação central em B precisassem ser calculadas um dos dois corpos livres mostrados na Figura 316c poderia ser usado Quando a direção de uma força atuando em um corpo livre é desco nhecida o projetista está livre para pressupor sua direção Se a direção da força for presumida corretamente a análise usando as equações de equi líbrio produzirá um valor positivo para a força Por outro lado se a análise produzir um valor negativo de uma força desconhecida a direção inicial foi presumida incorretamente e o projetista deverá inverter a direção da força ver Exemplo 35 Os diagramas de corpo livre também podem ser usados para determinar as forças internas nas estruturas Na seção a ser estudada imaginamos que a estrutura é seccionada passando um plano imaginário através do elemento Se o plano tem orientação perpendicular ao eixo longitudinal do membro e se a força interna no corte transversal é decomposta nas componentes para lelas e perpendiculares ao corte no caso mais geral as forças que atuam na Figura 316 Diagramas de corpo livre a dia grama de corpo livre de arco triarticulado b corpo livre simplificado do arco em a c dia gramas de corpo livre de segmentos do arco d diagramas de corpo livre para analisar forças internas na seção 11 L L B A C h P1 P2 Ay Cy Ax Cx a b a L L P1 P2 Ay By By Cy Ax Bx Bx Cx c 1 b a h L L h P1 P2 Ay Cy Ax Cx b b a 1 1 1 11 1 V V F F M M P1 Ay By Ax Bx B d a 88 Capítulo 3 Estática das estruturas reações superfície de corte consistirão em uma força axial F um cisalhamento V e um momento M neste livro não consideraremos os membros que transmi tem torção Uma vez avaliados F V e M podemos usar equaçõespadrão desenvolvidas em um curso básico de resistência dos materiais para calcu lar as tensões axiais de cisalhamento e de flexão no corte transversal Por exemplo se quiséssemos determinar as forças internas na seção 11 do segmento esquerdo do arco ver Figura 316c usaríamos os cor pos livres mostrados na Figura 316d Seguindo a terceira lei de Newton para cada ação existe uma reação igual e contrária reconhecemos que as forças internas em cada lado do corte são iguais em magnitude e de direção oposta Supondo que as reações na base do arco e as forças de articulação em B foram calculadas as forças de cisalhamento momento e axiais podem ser determinadas pela aplicação das três equações da está tica em um dos dois corpos livres da Figura 316d 36 Equações de equilíbrio estático Conforme você aprendeu em dinâmica um sistema de forças planares atuando em uma estrutura rígida ver Figura 317 sempre pode ser redu zido a duas forças resultantes 1 Uma força linear R passando pelo centro de gravidade da estrutura em que R é igual à soma vetorial das forças lineares 2 Um momento M em relação ao centro de gravidade O momento M é avaliado pela soma dos momentos de todas as forças e conjugados atuando na estrutura com relação a um eixo pelo centro de gravidade e perpendicular ao plano da estrutura Pela segunda lei de Newton a aceleração linear a do centro de gravi dade e as acelerações angulares do corpo sobre o centro de gravidade são relativas às forças resultantes R e M o que pode ser expresso como segue R ma 32a M I 32b em que m é a massa do corpo e I é o momento de inércia da massa do corpo com relação ao seu centro de gravidade Se o corpo está em repouso o que é denominado estado de equilíbrio estático tanto a aceleração linear a quanto a aceleração angular são iguais a zero Para essa condição as equações 32a e 32b tornamse M1 M2 P2 P3 P4 P1 CG CG R M Figura 317 Sistemas de forças planares equiva lentes atuando em um corpo rígido 89 Seção 36 Equações de equilíbrio estático R 0 33a M 0 33b Se R for substituída por suas componentes Rx e Ry que podem ser expressas relativamente às componentes do sistema de forças reais pelas equações 31a e 31b podemos escrever as equações de equilíbrio estático para um sistema de forças planar como Fx 0 34a Fy 0 34b Mz 0 34c As equações 34a e 34b estabelecem que a estrutura não está se movendo nem na direção x nem na y enquanto a Equação 34c garante que a estrutura não está girando Embora a Equação 34c tenha sido baseada em um somatório de momentos em relação ao centro de gravidade da estrutura pois estávamos considerando a aceleração angular do corpo essa restrição pode ser eliminada para estruturas em equilíbrio estático Obviamente se uma estrutura está em repouso a força resultante é zero Como o sistema de forças real pode ser substituído por sua resultante seguese que a soma dos momentos sobre qualquer eixo paralelo ao eixo de referência z e normal ao plano da estrutura deve ser igual a zero pois a resultante é zero Conforme você pode se lembrar do curso de estática as equações 34a e 34b ou uma delas também podem ser substituídas por equações de momento Alguns conjuntos de equações de equilíbrio igualmente válidos são Fx 0 35a MA 0 35b Mz 0 35c ou MA 0 36a MB 0 36b Mz 0 36c em que os pontos A B e z não ficam na mesma linha reta Como as deformações que ocorrem em estruturas reais geralmente são muito pequenas normalmente escrevemos as equações de equilí brio nos termos das dimensões iniciais da estrutura Na análise de colunas flexíveis arcos de vão longo ou outras estruturas flexíveis sujeitas à flambagem as deformações dos elementos estruturais ou da estrutura sob certas condições de carga podem ser grandes o suficiente para aumentar as forças internas em um número significativo Nessas situações as equações de equilíbrio devem ser escritas nos termos da geometria da estrutura deformada para que a análise forneça resulta dos precisos As estruturas que passam por deflexões grandes desse tipo não serão abordadas neste texto 90 Capítulo 3 Estática das estruturas reações Se as forças que atuam em uma estrutura incluindo as reações e as forças internas podem ser calculadas usando qualquer um dos conjun tos de equações de equilíbrio estático anteriores dizse que a estrutura é estaticamente determinada ou mais simplesmente determinada Os exemplos 35 a 37 ilustram o uso das equações de equilíbrio estático para calcular as reações de uma estrutura determinada que pode ser tratada como um único corpo rígido Se a estrutura é estável mas as equações de equilíbrio não fornecem equações suficientes para analisála é chamada indeterminada Para analisar estruturas indeterminadas devemos derivar equações adicionais a partir da geometria da estrutura deformada para complementar as equações de equilíbrio Esses assuntos serão abordados nos capítulos 11 12 e 13 E x E m P L O 3 5 Calcule as reações para a viga da Figura 318a Solução Decomponha a força em C nas componentes e suponha direções para as reações em A e B ver Figura 318b Ignore a altura da viga Método 1 Encontre as reações usando as equações 34a a 34c Suponha uma direção positiva para as forças conforme indicado pelas setas 1 2 3 A MA 0 10By 8 15 0 c Fy 0 Ay By 8 0 S Fx 0 Ax 6 0 Resolvendo as equações 1 2 e 3 temos Ax 6 kips By 12 kips Ay 4kips Resp em que um sinal de mais indica que a direção assumida está correta e um sinal de menos estabelece que a direção assumida está incorreta e a reação deve ser invertida Consulte a Figura 318c para ver os resul tados finais Método 2 Recalcule as reações usando equações de equilíbrio que contêm somente uma incógnita Uma possibilidade é S Fx 0 Ax 6 0 A MB 0 Ay 10 8 5 0 A MA 0 By1102 8 1152 0 Resolvendo novamente gera Ax 6 kips By 12 kips Ay 4 kips Figura 318 10 5 A B C a 10 kips 3 4 10 5 Ax Ay By 6 kips 8 kips b 6 kips 10 kips 12 kips 4 kips c 91 Seção 36 Equações de equilíbrio estático Calcule as reações para a treliça da Figura 319 6 6 8 6 Cy Ay Cx C B D A P 18 kips Solução Trate a treliça como um corpo rígido Suponha direções para as reações ver Figura 319 Use equações de equilíbrio estático 1 2 3 c Fy 0 Ay Cy 0 S Fx 0 1 8 Cx 0 A MC 0 1 8 1122 Ay1142 0 Resolvendo as equações 1 2 e 3 temos Cx 18 kips Ay 1543 kips Cy 1543 kips Resp Nota As reações foram calculadas usando as dimensões iniciais da estrutura descarregada Como os deslocamentos em estruturas bem projetadas são pequenos não resultaria nenhuma alteração significativa na magnitude das reações se tivéssemos usado as dimensões da estru tura deformada Por exemplo suponha que o apoio A se mova 05 pol para a direita e a ligação B se mova 025 pol para cima quando a carga de 18 kips é aplicada os braços de momento para Ay e a carga de 18 kips na Equação 1 seriam iguais a 1396 pés e 1202 pés respectivamente Substituindo essas dimensões na Equação 1 calcularíamos Ay 1547 kips Con forme você pode ver o valor de Ay não muda o suficiente 03 neste problema para justificar o uso das dimensões da estrutura deformada cujo cálculo é demorado E x E m P L O 3 6 Figura 319 92 Capítulo 3 Estática das estruturas reações E x E m P L O 3 7 O pórtico da Figura 320 suporta uma carga distribuída que varia de 4 a 10 kNm Calcule as reações 8 m 4 m 6 m C B A 4 kNm R1 x1 5 m R2 Cy Cx Ay 20 3 x2 m 10 kNm Solução Divida a carga distribuída em uma triangular e uma retangular ver linha tracejada Substitua as cargas distribuídas por suas resultantes R1 104 40 kN Calcule Ay Ay 100 kN Resp Calcule Cy Cy 30 kN 1 00 R 1 R 2 Cy 0 c Fy 0 Ay142 R 1152 R 2a 20 3 b 0 A MC 0 R 2 1 2 1102162 30 kN o sinal de menos indica direção inicial pressuposta incorretamente Calcule Cx Resp Cx 0 S Fx 0 Figura 320 93 Seção 36 Equações de equilíbrio estático E x E m P L O 3 8 Figura 321 a Viga BC suportada pelo elo AB b corpo livre do elo AB c corpo livre da viga BC Calcule as reações para a viga da Figura 321a tratando o membro AB como um elo 3 5 elo rótula 4 6 9 kipsft 4 A B C R 36 kips FAB 06FAB 08FAB Cx Cy VA B A VB FA FB y x a b 10 2 3 4 C B c Solução Primeiro calcule as forças no elo Como o elo AB está preso com rótulas em A e B não há momentos nesses pontos Suponha inicial mente que o cisalhamento V e a força axial F são transmitidos pelas rótulas ver Figura 321b Usando um sistema de coordenadas com o eixo x ao longo do eixo longitudinal da barra escrevemos as seguintes equações de equilíbrio Fx 0 0 FA FB 1 2 A MA 0 0 VB5 3 c Fy 0 0 VA VB S Resolvendo as equações acima temos FA FB chamamos de FAB e VA VB 0 Esses cálculos mostram que uma barra presa com rótulas nas duas extremidades e não carregada entre elas transmite somente carga axial isto é é uma barra de duas forças Agora calcule FAB Considere a viga BC como um corpo livre ver Figura 321c Decomponha FAB nas componentes em B e some os momentos sobre C A Mc 0 0 08FAB10 362 Fy 0 0 08FAB 36 Cy c S Fx 0 0 06FAB Cx Resolvendo temos FAB 9 kips Cx 54 kips e Cy 288 kips 94 Capítulo 3 Estática das estruturas reações 37 Equações de condição As reações de muitas estruturas podem ser determinadas tratando a estrutura como um único corpo rígido Outras estruturas determinadas estáveis compostas de vários elementos rígidos conectados por meio de uma articulação ou que contêm outros dispositivos ou condições de cons trução que liberam certas restrições internas exigem que a estrutura seja dividida em vários corpos rígidos para se avaliarem as reações Considere por exemplo o arco triarticulado mostrado na Figura 316a Se escrevermos as equações de equilíbrio para a estrutura inteira veremos que estão disponíveis somente três equações para dar uma solu ção para os quatro componentes de reação desconhecidos Ax Ay Cx e Cy Para obter a solução devemos estabelecer uma equação de equilíbrio adicional sem introduzir novas variáveis Podemos escrever uma quarta equação de equilíbrio independente considerando o equilíbrio de qual quer segmento de arco entre a articulação em B e um apoio de extremi dade ver Figura 316c Como a articulação em B pode transferir uma força com componentes horizontais e verticais mas não tem capacidade de transferir momento isto é MB 0 podemos somar os momentos sobre a articulação em B para produzir uma equação adicional relativa mente às reações de apoio e das cargas aplicadas Essa equação adicional é chamada de equação de condição ou equação de construção Se o arco fosse contínuo nenhuma articulação existisse em B um momento interno poderia se desenvolver em B e não poderíamos escrever mais uma equação sem introduzir uma incógnita adicional MB o momento em B Como uma estratégia alternativa poderíamos determinar as reações nos apoios e as forças na articulação central escrevendo e resolvendo três equações de equilíbrio para cada segmento do arco da Figura 316c Con siderando os dois corpos livres temos seis equações de equilíbrio dispo níveis para resolver para seis forças desconhecidas Ax Ay Bx By Cx e Cy Os exemplos 39 e 310 ilustram o procedimento para analisar estru turas com dispositivos uma rótula em um caso e um rolo no outro que liberam restrições internas 95 Seção 37 Equações de condição E x E m P L O 3 9 Figura 322 Calcule as reações para a viga da Figura 322a Uma carga de 12 kips é aplicada diretamente na articulação em C Ey Ay By Ex a A B C D E articulação 24 kips 5 5 10 5 12 kips b 5 Ey Cy Ex Cx C E 24 kips 12 kips 10 Solução Os apoios fornecem quatro reações Como estão disponíveis três equações de equilíbrio para a estrutura inteira na Figura 322a e a articulação em C fornece uma equação de condição a estrutura é determinada Calcule Ey somando os momentos sobre C ver Figura 322b A Mc 0 0 245 Ey10 e Ey 12 kips Resp Conclua a análise usando o corpo livre da Figura 322a Ex 0 Resp A MA 0 0 By10 1215 2420 1225 By 36 kips Resp Fy 0 0 Ay By 12 24 Ey c S Fx 0 0 Ex 0 Substituindo By 36 kips e Ey 12 kips calculamos Ay 12 kips para baixo 96 Capítulo 3 Estática das estruturas reações E x E m P L O 3 1 0 Calcule as reações para as vigas da Figura 323a Solução Se tratarmos a estrutura inteira da Figura 323a como um único corpo rígido os apoios externos fornecerão cinco reações Ax Ay Cy Dx e Dy Como somente três equações de equilíbrio estão disponíveis as reações não podem ser estabelecidas Uma solução é possível pois o rolo em B fornece duas informações adicionais isto é MB 0 e Bx 0 Separando a estrutura em dois corpos livres ver Figura 323b podemos escrever um total de seis equações de equilíbrio três para cada corpo livre para determinar as seis forças desconhecidas exerci das pelas reações externas e pelo rolo em B Aplicando as equações de equilíbrio no membro BD na Figura 323b temos Fx 0 0 15 Dx 1 A MD 0 0 By10 205 2 Fy 0 0 By 20 Dy 3 c S Resolvendo as equações 1 2 e 3 calculamos Dx 15 kips By 10 kips e Dy 10 kips Com By avaliada podemos determinar o balanço das reações apli cando as equações de equilíbrio no membro AC da Figura 323b 4 A MA 0 0 1010 15Cy 5 Fy 0 0 Ay 10 Cy 6 c S Fx 0 0 Ax Resolvendo as equações 4 5 e 6 encontramos Ax 0 Cy 203 kips e Ay 103 kips Como o rolo em B não pode transferir uma força horizontal entre as vigas reconhecemos que a componente horizontal de 15 kips da carga aplicada em BD deve ser equilibrada pela reação Dx Como nenhuma força horizontal atua no membro AC Ax 0 Verificação estática para verificar a precisão dos cálculos aplica mos Fy 0 na estrutura inteira da Figura 323a Ay Cy Dy 0825 0 0 0 OK 10 3 20 3 10 20 0 Figura 323 Cy Dy Ay Ax Dx a A B C D 25 kips 3 4 5 10 5 Cy Ay Ax Dx A C B D 5 10 By By Dy b 20 kips 15 kips 5 5 97 Seção 38 Influência das reações na estabilidade e determinação de estruturas 38 Influência das reações na estabilidade e determinação de estruturas Para produzir uma estrutura estável o projetista deve fornecer um conjunto de apoios que impeça a estrutura ou qualquer um de seus com ponentes de se mover como um corpo rígido O número e os tipos de apoios necessários para estabilizar uma estrutura dependem da organiza ção geométrica dos membros das condições de construção características da estrutura articulações por exemplo e da posição dos apoios As equa ções de equilíbrio da Seção 36 fornecem a teoria necessária para enten der a influência das reações na 1 estabilidade e na 2 determinação a capacidade de calcular reações usando as equações da estática Iniciamos esta discussão considerando estruturas compostas de um único corpo rígido e então estenderemos os resultados para estruturas compostas de vários corpos interligados Para que um conjunto de apoios impeça o movimento de uma estru tura sob todas as condições de carga possíveis as cargas aplicadas e as reações fornecidas pelos apoios devem satisfazer as três equações de equilíbrio estático Fx 43 0 a Fy 43 0 b Mz 43 0 c Com a finalidade de desenvolver critérios para estabelecer a estabili dade e a determinação de uma estrutura dividiremos esta discussão em três casos que são uma função do número de reações Caso 1 Os apoios fornecem menos de três restrições R 3 R número de restrições ou reações Como três equações de equilíbrio devem ser satisfeitas para que um corpo rígido esteja em equilíbrio o projetista deve aplicar pelo menos três reações para produzir uma estrutura estável Se os apoios fornecem menos de três reações então uma ou mais das equações de equilíbrio não pode ser satisfeita e a estrutura não está em equilíbrio Uma estrutura que não está em equilíbrio é instável Por exemplo vamos usar as equações de equilíbrio para determinar as reações da viga da Figura 324a A viga apoiada em dois rolos suporta uma carga vertical P em meio vão e uma força horizontal Q 98 Capítulo 3 Estática das estruturas reações L A B P Q R1 P 2 a movimento L 2 R2 P 2 10 1 A B R1 R2 b 4 kips 3 kips L A P B B B B c Rx Ry P P f L A M QL Q Rx Ry P d Q M P A A P e P P A B C g escora Fy 0 0 R1 R2 P 1 2 Fx 0 0 Q inconsistente instável 3 S A MA 0 0 PL 2 R 2L c As equações 1 e 2 podem ser satisfeitas se R1 R2 P2 entretanto a Equação 3 não é satisfeita pois Q é uma força real e não é igual a zero Como o equilíbrio não é satisfeito a viga é instável e se moverá para a direita sob a força não balanceada Os matemáticos diriam que o conjunto de equações acima é inconsistente ou incompatível Como segundo exemplo aplicaremos as equações de equilíbrio na viga apoiada por uma articulação fixa no ponto A na Figura 323b 4 Fy 0 0 R2 4 5 A MA 0 0 410 31 37 6 c S Fx 0 0 R 1 3 Um exame das equações 4 a 6 mostra que as equações 4 e 5 podem ser satisfeitas se R1 3 kips e R2 4 kips entretanto a Equação 6 não é satis feita pois o lado direito é igual a 37 kip ft e o lado esquerdo é igual a zero Uma vez que a equação de equilíbrio de momento não é satisfeita a estrutura é instável isto é a viga girará sobre a articulação fixa em A Figura 324 a Instável falta a restrição hori zontal b instável livre para girar sobre A c instável livre para girar sobre A d e e momentos não balanceados produzem falha f e g estruturas estáveis 99 Seção 38 Influência das reações na estabilidade e determinação de estruturas Como último exemplo aplicaremos as equações de equilíbrio na coluna da Figura 324c 7 Fy 0 0 Ry P 8 A MA 0 0 0 9 c S Fx 0 0 R x Um exame das equações de equilíbrio mostra que se Rx 0 e Ry P todas as equações são satisfeitas e a estrutura está em equilíbrio A Equa ção 9 é satisfeita automaticamente porque todas as forças passam pelo centro do momento Mesmo que as equações de equilíbrio sejam satis feitas quando a coluna suporta uma força vertical reconhecemos intuiti vamente que a estrutura é instável Embora a articulação fixa em A impeça a base da coluna de deslocarse em qualquer direção ela não fornece nenhuma restrição rotacional para a coluna Portanto ou a apli cação de uma pequena força lateral Q ver Figura 324d ou um pequeno desvio do nó superior em relação ao eixo vertical que passa pela articula ção fixa em A enquanto a carga vertical P atua ver Figura 324e produ zirá um momento de tombamento que fará a coluna desmoronar por causa da rotação sobre a articulação em A A partir desse exemplo vemos que para ser classificada como estável uma estrutura deve ter a capacidade de resistir à carga de qualquer direção Para fornecer restrição contra rotação estabilizando a coluna o proje tista poderia escolher uma das opções a seguir 1 Substituir a articulação fixa em A por um engastamento que possa fornecer um momento de restrição na base da coluna ver Figura 324f 2 Como mostrado na Figura 324g conectar o topo da coluna a um apoio estável em C com uma barra horizontal BC uma barra como BC cuja principal função é alinhar a coluna verticalmente e não suportar carga é denominada escora ou barra secundária Resumindo concluímos que uma estrutura é instável se os apoios fornecem menos de três reações Caso 2 Os apoios fornecem três reações R 3 Se os apoios fornecerem três reações normalmente será possível satisfazer as três equações de equilíbrio o número de incógnitas é igual ao número de equações Obviamente se as três equações de equilíbrio estático são satisfeitas a estrutura está em equilíbrio ou seja é estável Além disso se as equações de equilíbrio são satisfeitas os valores das três reações são determinados exclusivamente e dizemos que a estrutura é determinada externamente Por fim como três equa ções de equilíbrio precisam ser satisfeitas seguese que no mínimo três restrições são necessárias para produzir uma estrutura estável sob qualquer condição de carga 100 Capítulo 3 Estática das estruturas reações Se um sistema de apoios fornece três reações configuradas de tal maneira que as equações de equilíbrio não podem ser satisfeitas a estrutura é denominada geometricamente instável Por exemplo na Figura 325a a barra ABC que suporta uma carga vertical P e uma força horizontal Q é apoiada por um elo e dois rolos que aplicam três restrições ao membro ABC Como todas atuam verticalmente as restri ções não oferecem nenhuma resistência ao deslocamento na direção horizontal isto é as reações formam um sistema de forças paralelas Escrevendo a equação de equilíbrio para a viga ABC na direção x encontramos Q 0 não consistente S Fx 0 Como Q é uma força real e não é igual a zero a equação de equilí brio não é satisfeita Portanto a estrutura é instável Sob a ação da força Q a estrutura se moverá para a direita até que o elo desenvolva uma componente horizontal por causa de uma alteração na geometria para equilibrar Q ver Figura 325b Assim para ser classificada como uma estrutura estável necessitamos que as cargas aplicadas sejam equilibra das pela direção original das reações na estrutura não carregada Uma estrutura que precisa sofrer alteração na geometria antes que suas rea ções sejam mobilizadas para equilibrar as cargas aplicadas é classifi cada como instável Como segundo exemplo de estrutura instável restrita por três rea ções consideramos na Figura 325c uma viga apoiada por uma articula ção fixa em A e um rolo em B cuja reação é direcionada horizontal mente Embora o equilíbrio nas direções x e y possa ser satisfeito pelas restrições horizontais e verticais fornecidas pelos apoios as restrições não estão posicionadas de modo a impedir a rotação da estrutura sobre o ponto A Escrever a equação de equilíbrio para o momento sobre o ponto A fornece 34c Pa 0 não consistente A MA 0 Uma vez que nem P nem a são iguais a zero o produto Pa não pode ser igual a zero Assim uma equação de equilíbrio não é satisfeita um sinal de que a estrutura é instável Visto que as linhas de ação de todas as reações Figura 325 a Geometricamente instável as reações formam um sistema de forças paralelas b posição de equilíbrio uma reação horizontal se desenvolve quando o elo é alongado e muda de inclinação c geometricamente instável as rea ções formam um sistema de forças concorrentes passando pela articulação em A d viga indeter minada Q C B A P a Q Q C B A P b Ax Ay Bx B A a P c Ax Ay 15 3 6 kips 8 kips 12 12 d By Cy 101 Seção 38 Influência das reações na estabilidade e determinação de estruturas passam pela articulação em A isto é as reações são equivalentes a um sistema de forças concorrentes elas não são capazes de impedir a rotação inicialmente Resumindo concluímos que para um único corpo rígido no mínimo três restrições são necessárias para produzir uma estrutura estável que está em equilíbrio sujeita à limitação de que as restrições não sejam equivalentes a um sistema de forças paralelas ou concorrentes Também demonstramos que a estabilidade sempre pode ser verificada pela análise da estrutura com as equações de equilíbrio para várias condi ções de carga arbitrárias Se a análise produz um resultado inconsistente isto é as equações de equilíbrio não são satisfeitas para qualquer parte da estrutura podemos concluir que a estrutura é instável Esse procedimento está ilustrado no Exemplo 311 Caso 3 Restrições maiores do que 3 R 3 Se um sistema de apoios que não é equivalente a um sistema de forças paralelas ou concorrentes fornece mais de três restrições para uma única estrutura rígida os valores das restrições não podem ser determinados exclusivamente pois o número de incógnitas ultrapassa as três equações de equilíbrio disponíveis para sua solução Como uma ou mais das reações não pode ser determinada a estrutura é denominada indeterminada e o grau de indeterminação é igual ao número de restri ções superior a 3 isto é Grau de indeterminação R 3 37 em que R é igual ao número de reações e 3 representa o número de equa ções da estática Como exemplo na Figura 325d uma viga é apoiada por uma articu lação fixa em A e em rolos nos pontos B e C A aplicação das três equa ções de equilíbrio produz Fy 0 8 Ay By Cy 0 A MA 0 63 815 12By 24Cy 0 c S Fx 0 Ax 6 0 Como as quatro incógnitas Ax Ay By e Cy existem e somente três equações estão disponíveis não é possível uma solução completa Ax pode ser determinada a partir da primeira equação e dizemos que a estrutura é indeterminada no primeiro grau Se o apoio de rolo em B fosse removido teríamos uma estrutura determinada estável pois agora o número de incógnitas seria igual ao número de equações de equilíbrio Essa observação forma a base de um procedimento comum para estabelecer o grau de indeterminação Nesse método estabelecemos o grau de indeterminação eliminando restrições até que reste uma estrutura determinada estável O número de restrições 102 Capítulo 3 Estática das estruturas reações eliminadas é igual ao grau de indeterminação Como exemplo estabeleceremos o grau de indeterminação da viga da Figura 326a eliminando restrições Embora esteja disponível uma variedade de opções eliminaremos primeiro a restrição rotacional MA no apoio A mas manteremos a restrição horizontal e vertical Esse passo é equivalente a substituir o engastamento por uma articulação fixa Se agora removermos o elo em C e o engaste em D teremos removido um total de cinco restrições produzindo a estrutura estável de base ou estrutura l liberada determinada como mostra a Figura 326b as restrições eliminadas são denominadas redundantes Assim concluímos que a estrutura original era indeterminada no quinto grau Determinação e estabilidade de estruturas compostas de vários corpos rígidos Se uma estrutura consiste em vários corpos rígidos interligados por dispositivos articulações por exemplo que liberam C restrições internas C equações de equilíbrio também chamadas de equações de condição adicionais podem ser escritas para resolver as reações consultar Seção 37 Para estruturas nessa categoria os critérios desenvolvidos para defi nir a estabilidade e a determinação de uma única estrutura rígida devem ser modificados como segue 1 Se R 3 C a estrutura é instável 2 Se R 3 C e se nem as reações da estrutura inteira nem as de um de seus componentes são equivalentes a um sistema de forças paralelas ou concorrentes a estrutura é estável e determinada Figura 326 a Estrutura indeterminada b estrutura de base ou liberada restante depois de removidos os apoios redundantes D A Ax Dx MA MD Ay Dy Ey By B C E a elo A B b 103 Seção 38 Influência das reações na estabilidade e determinação de estruturas 3 Se R 3 C e as reações não são equivalentes a um sistema de forças paralelas ou concorrentes a estrutura é estável e indeterminada além disso o grau de indeterminação para essa condição dado pela Equação 37 deve ser modificado subtraindo o número 3 C do número de reações que representa o número de equações de equilíbrio disponíveis para solucionar as reações isto é Grau de indeterminação R 3 C 38 A Tabela 32 resume a discussão sobre a influência das reações na estabilidade e na determinação de estruturas TABELA 32a Resumo dos critérios de estabilidade e determinação de uma única estrutura rígida Classificação da estrutura Estável Condição Determinada Indeterminada Instável R 3 Sim as três equações de equilíbrio não podem ser satisfeitas para todas as con dições de carga possíveis R 3 Sim se as reações são determinadas unicamente Somente se as reações formarem um sis tema de forças paralelas ou concorrentes R 3 Sim grau de indeterminação R 3 Somente se as reações formarem um sis tema de forças paralelas ou concorrentes R é o número de reações TABELA 32b Resumo dos critérios de estabilidade e determinação de várias estruturas rígidas interligadas Classificação da estrutura Estável Condição Determinada Indeterminada Instável R 3 C Sim as equações de equilíbrio não podem ser satisfeitas para todas as condições de carga possíveis R 3 C Sim se as reações puderem ser determinadas unicamente Somente se as reações formarem um sis tema de forças paralelas ou concorrentes R 3 C Sim grau de indeterminação R 3 C Somente se as reações formarem um sis tema de forças paralelas ou concorrentes Aqui R é o número de reações C é o número de condições 104 Capítulo 3 Estática das estruturas reações E x E m P L O 3 1 1 Investigue a estabilidade da estrutura da Figura 327a Articulações nos nós B e D Figura 327 a Detalhes da estrutura b corpo livre da barra AB c corpo livre da barra BD d corpo livre da barra DE e estrutura instável se AB e DE forem tratados como elos isto é as reações formarem um sistema de forças concorrentes 6 4 4 4 4 4 A C D E B Ax Ay Bx By Bx Dx Dy Dx Ex Ey Dy By Cy 6 A B b a 4 4 C B D c d FAB FDE Cy B C D e 2 8 kips 2 D E Solução Uma condição necessária para a estabilidade exige R 3 C Como R o número de reações é igual a 5 e C o número de equa ções de condição é igual a 2 a condição necessária é satisfeita Con tudo como a estrutura tem tantas articulações fixas e rótulas existe a possibilidade de que ela seja geometricamente instável Para investigar essa possibilidade aplicaremos uma carga arbitrária na estrutura para verificar se as equações de equilíbrio podem ser satisfeitas para cada segmento Imagine que apliquemos uma carga vertical de 8 kips no centro da barra DE ver Figura 327d 105 Seção 38 Influência das reações na estabilidade e determinação de estruturas PaSSo 1 Verifique o equilíbrio de DE Fx 0 Ex Dx 0 Ex Dx A MD 0 82 4Ey 0 Ey 4 kips Fy 0 Dy Ey 8 0 Dy 4 kips c S CoNCluSão Embora não possamos determinar Dx nem Ex as equações de equilíbrio são satisfeitas Além disso como as forças que atuam no corpo livre não compreendem um sistema de forças paralelas ou concorrentes neste estágio não há nenhuma indicação de que a estrutura é instável PaSSo 2 Verifique o equilíbrio da barra BD ver Figura 327c A Mc 0 4Dy 4By 0 By Dy 4 kips Fx 0 Dx Bx 0 Dx Bx Fy 0 By Cy Dy 0 Cy 8 kips c S Resp Resp CoNCluSão Todas as equações de equilíbrio podem ser satisfei tas para a barra BD Portanto ainda não há nenhuma evidência de uma estrutura instável PaSSo 3 Verifique o equilíbrio da barra AB Ver Figura 327b A MA 0 0 By6 equação inconsistente CoNCluSão Como os cálculos anteriores para a barra BD estabe leceram que By 4 kips o lado direito da equação de equilíbrio é igual a 24 kip ft diferente de zero Portanto a equação de equilíbrio não é satisfeita indicando que a estrutura é instável Um exame mais minu cioso da barra BCD ver Figura 327e mostra que a estrutura é instável pois é possível que as reações fornecidas pelas barras AB e DE e pelo rolo C formem um sistema de forças concorrentes A linha tracejada na Figura 327a mostra uma possível forma defletida da estrutura como um mecanismo instável 106 Capítulo 3 Estática das estruturas reações 39 Classificando estruturas Um dos principais objetivos deste capítulo é estabelecer diretrizes para a construção de uma estrutura estável Nesse processo vimos que o projetista deve considerar a geometria da estrutura e o número a posição e o tipo de apoios fornecidos Para concluir esta seção exami naremos as estruturas das figuras 328 e 329 para estabelecer se elas são estáveis ou instáveis com relação às reações externas Para as estru turas estáveis também estabeleceremos se são determinadas ou inde terminadas Por fim se uma estrutura for indeterminada estabelecere mos o grau de indeterminação Todas as estruturas desta seção serão tratadas como um único corpo rígido que pode ou não conter dispositi vos que liberam restrições internas O efeito de articulações internas ou rolos será levado em conta considerandose o número de equações de condição associadas Na maioria dos casos para estabelecer se uma estrutura é determi nada ou indeterminada simplesmente comparamos o número de reações externas com as equações de equilíbrio disponíveis para a solução isto é as três equações da estática mais todas as equações de condição Em seguida conferimos a estabilidade verificando se as reações não são equivalentes a um sistema de forças paralelas ou concorrentes Se ainda restar alguma dúvida como teste final aplicamos uma carga na estrutura e fazemos uma análise usando as equações de equilíbrio estático Se uma solução é possível indicando que as equações de equilíbrio são satis feitas a estrutura é estável Alternativamente se uma inconsistência se revela reconhecemos que a estrutura é instável Na Figura 328a a viga é restrita por quatro reações três no engaste e uma na articulação móvel Como estão disponíveis somente três equações de equilíbrio a estrutura é indeterminada no primeiro grau A B A B C a c d b A B C D E articulação articulação móvel A B D C articulação engastamento Figura 328 Exemplos de estruturas estáveis e instáveis a indeterminada no primeiro grau b estável e determinada c indeterminada no segundo grau d indeterminada no primeiro grau 107 Seção 39 Classificando estruturas Obviamente a estrutura é estável pois as reações não são equivalentes a um sistema de forças paralelas ou concorrentes A estrutura da Figura 328b é estável e determinada pois o número de reações é igual ao número de equações de equilíbrio Cinco reações são fornecidas duas da articulação fixa em A e uma de cada uma das três articulações móveis Para resolver as reações estão disponíveis três equações de equilíbrio para a estrutura inteira e as articulações em C e D fornecem duas equações de condição Também podemos deduzir que a estrutura é estável observando que a barra ABC apoiada por uma articulação fixa em A e por um rolo em B é estável Portanto a arti culação em C que está ligada à barra ABC é um ponto estável no espaço e como um apoio articulado fixo pode aplicar uma restrição horizontal e uma vertical na barra CD O fato de a articulação em C poder sofrer um pequeno deslocamento devido às deformações elásticas da estrutura não afeta sua capacidade de restringir a barra CD Como é fornecida uma terceira restrição para CD pela articulação móvel em meio vão concluímos que se trata de um elemento estável ou seja apoiado por três restrições que não são equivalentes a um sistema de forças paralelas nem concorrentes Reconhecendo que a articulação em D está ligada a uma estrutura estável podemos ver que a barra DE tam bém está apoiada de maneira estável isto é duas restrições da articula ção e uma da articulação móvel em E A Figura 328c mostra um pórtico rígido restrito por um engasta mento em A e uma articulação fixa em D Como estão disponíveis três equações de equilíbrio mas são aplicadas cinco restrições pelos apoios a estrutura é indeterminada no segundo grau A estrutura da Figura 328d consiste em duas vigas em balanço uni das por um rolo em B Se o sistema é tratado como um único corpo rígido os engastes em A e C fornecem seis restrições no total Como o rolo fornece duas equações de condição o momento em B é zero e nenhuma força horizontal pode ser transmitida pela junção B e estão disponíveis três equações da estática a estrutura é indeterminada no primeiro grau Como segunda estratégia poderíamos estabelecer o grau de indeterminação removendo o rolo em B que fornece uma única rea ção vertical para produzir duas vigas em balanço estáveis e determina das Como foi necessário eliminar somente uma restrição para produzir uma estrutura de base determinada ver Figura 326 verificamos que a estrutura é indeterminada no primeiro grau Um terceiro método para estabelecer o grau de indeterminação seria separar a estrutura em dois diagramas de corpo livre e contar as reações desconhecidas aplicadas pelos apoios e pelo rolo interno Cada corpo livre funcionaria de acordo com três reações dos engastes em A ou C assim como uma reação ver tical do rolo em B um total de sete reações para os dois corpos livres Como no total estão disponíveis seis equações de equilíbrio três para cada corpo livre concluímos novamente que a estrutura é inde terminada no primeiro grau Na Figura 329a seis reações externas são fornecidas pelas articula ções fixas em A e C e pelas articulações móveis em D e E Como estão disponíveis três equações de equilíbrio e duas equações de condição a 108 Capítulo 3 Estática das estruturas reações estrutura é indeterminada no primeiro grau A viga BC apoiada por uma articulação fixa em C e uma articulação móvel em B é um componente estável e determinado da estrutura portanto independentemente da carga aplicada em BC a reação vertical na articulação móvel em B sempre pode ser calculada A estrutura é indeterminada pois a barra ADE está restrita por quatro reações duas da articulação fixa em A e uma em cada uma das articulações móveis em D e E O pórtico da Figura 329b está restrito por quatro reações três do engastamento A e uma da articulação móvel em D Como estão dispo níveis três equações de equilíbrio e uma equação de condição Mc 0 Figura 329 a Indeterminada no primeiro grau b instável as reações aplicadas em CD formam um sistema de forças concorrentes c estável e determinada d instável R 3 C e instável as reações aplicadas em cada treliça formam um sistema de forças concorrentes f estável e inde terminada g instável as reações em BCDE são equivalentes a um sistema de forças paralelas A D E B C a D E B C A g articulação A C B P L L P 2 Ax Bx By e B P L P 2 P 2 articulação A C B d articulação C A B f A B C c D C B A b articulação 109 Seção 39 Classificando estruturas da articulação em C parece que a estrutura pode ser estável e determi nada Contudo embora a barra ABC seja definitivamente estável pois consiste em uma única barra em forma de L ligada a um engastamento em A a barra CD não está apoiada de maneira estável pois a reação vertical da articulação móvel em D passa pela articulação em C Assim as reações aplicadas à barra CD constituem um sistema de forças con correntes indicando que a barra é instável Por exemplo se aplicásse mos uma força horizontal na barra CD e então somássemos os momen tos sobre a articulação em C resultaria uma equação de equilíbrio inconsistente Na Figura 329c uma treliça que pode ser considerada um corpo rígido é suportada por uma articulação fixa em A e um elo BC Como as reações aplicam três restrições que não são equivalentes a um sistema de forças paralelas nem concorrentes a estrutura é estável e determi nada externamente Conforme mostraremos no Capítulo 4 quando examinarmos as treliças com mais detalhes a estrutura também é deter minada internamente Na Figura 329d consideramos uma treliça composta de dois corpos rígidos unidos por uma rótula em B Considerando a estrutura como uma unidade observamos que os apoios em A e C fornecem três restri ções Contudo como quatro equações de equilíbrio devem ser satisfei tas três para a estrutura mais uma equação de condição em B conclu ímos que a estrutura é instável isto é existem mais equações de equilíbrio do que reações Tratando a treliça da Figura 329e como um único corpo rígido con tendo uma rótula em B verificamos que as articulações fixas em A e C fornecem quatro reações Como estão disponíveis três equações de equilíbrio para a estrutura inteira e uma equação de condição é forne cida pela articulação em B a estrutura parece ser estável e determinada Contudo se uma carga vertical P fosse aplicada na rótula em B a sime tria exigiria que reações verticais de P2 se desenvolvessem nos apoios A e C Se agora tomarmos a treliça entre A e B como um corpo livre e somarmos os momentos sobre a articulação em B encontraremos A MB 0 P 2 L 0 inconsistente Assim verificamos que a equação de equilíbrio MB 0 não é satis feita e agora concluímos que a estrutura é instável Como as articulações fixas em A e C fornecem quatro reações nas barras conectadas por pinos na Figura 329f e como estão disponíveis três equações de equilíbrio e uma equação de condição na junção B a estrutura é estável e determinada Na Figura 329g um pórtico rígido é apoiado por um elo barra AB e dois rolos Como todas as reações aplicadas à barra BCDE atuam na direção vertical constituem um sistema de forças paralelas a barra BCDE não tem capacidade para resistir à carga horizontal e concluímos que a estrutura é instável 110 Capítulo 3 Estática das estruturas reações 310 Comparação entre estruturas determinadas e indeterminadas Como estruturas determinadas e indeterminadas são usadas extensiva mente é importante que os projetistas saibam a diferença em seus com portamentos para prever os problemas que podem surgir durante a cons trução ou posteriormente quando a estrutura estiver em serviço Se uma estrutura determinada perde um apoio ocorre uma falha imediata pois a estrutura não é mais estável Na Foto 33 aparece um exemplo de colapso de uma ponte composta de vigas sobre apoios sim ples durante o terremoto de 1964 ocorrido em Niigata no Japão Quando o terremoto fez a estrutura oscilar em cada vão as extremidades das vigas que eram apoiadas em rolos deslizaram dos pilares e caíram na água Se as extremidades das vigas mestras fossem contínuas ou conectadas com toda probabilidade a ponte teria sobrevivido com danos mínimos Na Califórnia como resposta ao colapso de pontes semelhantes sobre apoios simples em rodovias devido a terremotos os códigos de projeto foram modificados para garantir que as vigas mestras das pontes sejam ligadas aos apoios Por outro lado em uma estrutura indeterminada existem caminhos alternativos para a carga ser transmitida aos apoios A perda de um ou mais apoios em uma estrutura indeterminada ainda pode deixar a estrutura está vel desde que os apoios restantes forneçam três ou mais restrições adequa Foto 33 Um exemplo do colapso de uma ponte composta de vigas sobre apoios simples durante o terremoto de 1964 ocorrido em Niigata Japão é mostrado aqui 111 Seção 310 Comparação entre estruturas determinadas e indeterminadas damente organizadas Embora a perda de um apoio em uma estrutura indeterminada possa produzir em algumas barras um aumento significativo na tensão o que pode acarretar grandes deflexões ou mesmo uma falha local parcial uma estrutura cuidadosamente detalhada que se comporte de maneira dúctil pode ter resistência suficiente para resistir ao colapso total Mesmo que uma estrutura deformada e danificada não possa mais ser fun cional seus ocupantes provavelmente não sofrerão ferimentos Durante a II Guerra Mundial quando as cidades eram bombardeadas vários prédios com pórticos altamente indeterminados continuavam de pé mesmo tendo seus principais membros estruturais vigas e colunas danificados ou destruídos Por exemplo se o apoio C na Figura 330a é perdido permanece a viga em balanço estável e determinada mostrada na Figura 330b Alternativamente a perda do apoio B deixa a viga sim ples estável mostrada na Figura 330c As estruturas indeterminadas também são mais rígidas do que as estruturas determinadas de mesmo vão por causa do apoio adicional for necido pelas restrições extras Por exemplo se compararmos a magnitude das deflexões de duas vigas com propriedades idênticas na Figura 331 veremos que a deflexão de meio vão da viga determinada com apoio simples é cinco vezes maior do que a da viga indeterminada de extremi dade fixa Embora as reações verticais nos apoios sejam as mesmas para as duas vigas na viga de extremidades fixas os momentos negativos nos apoios das extremidades resistem aos deslocamentos verticais produzidos pela carga aplicada Como as estruturas indeterminadas são mais fortemente restritas do que as estruturas determinadas recalques de apoio deformação lenta mudança de temperatura e erros de fabricação podem aumentar a dificul dade de edificação durante a construção ou produzir tensões indesejáveis durante a vida útil da estrutura Por exemplo se a viga mestra AB na Figura 332a for construída longa demais ou aumentar de comprimento devido a uma elevação da temperatura a extremidade inferior da estru tura se estenderá além do apoio em C Para erigir o pórtico a equipe de trabalho usando macacos hidráulicos ou outros dispositivos de carrega mento precisa deformar a estrutura até que ela possa ser conectada em seus apoios ver Figura 332b Como resultado do procedimento de edi ficação as barras serão tensionadas e reações se desenvolverão mesmo quando nenhuma carga for aplicada na estrutura A C B a A C B b A C B c w MA MB a b wL 2 wL 2 5wL4 384EI wL4 384EI w wL 2 wL 2 A B C Ax Cx Ay Cy b a Figura 330 Modos alternativos de transmitir carga para os apoios Figura 331 Comparação da flexibilidade entre uma estrutura determinada e outra indetermi nada A deflexão da viga determinada em a é cinco vezes maior do que a da viga indetermi nada em b Figura 332 Consequências do erro de fabrica ção a a coluna ultrapassa o apoio porque a viga mestra é longa demais b reações produzidas ao forçar a parte inferior da coluna nos apoios 112 Capítulo 3 Estática das estruturas reações A Figura 333 mostra as forças desenvolvidas em uma viga contínua quando o apoio central sofre recalque Como nenhuma carga atua na viga desprezandose o peso da própria viga é gerado um conjunto de reações autoequilibradas Se fosse uma viga de concreto armado o momento criado pelo recalque do apoio quando somado àqueles produ zidos pelas cargas de serviço poderia produzir uma mudança radical nos momentos de projeto em seções fundamentais Dependendo de como a viga é armada as alterações no momento poderiam sobretensio nar a viga ou produzir rachaduras extensas em certas seções ao longo do eixo da viga Resumo Como a maioria das estruturas carregadas está em repouso e é restrita contra deslocamentos por parte de seus apoios seu comportamento é governado pelas leis da estática as quais para estruturas planares podem ser expressas como segue Fx 0 Fy 0 Mo 0 As estruturas planares cujas reações e forças internas podem ser determinadas pela aplicação dessas três equações da estática são chamadas estruturas determinadas As estruturas altamente restritas que não podem ser analisadas pelas três equações da estática são denominadas estruturas indeterminadas Essas estruturas necessitam de equações adicionais baseadas na geometria da forma deformada Se as equações da estática não puderem ser satisfeitas para uma estrutura ou para qualquer parte de uma estrutura a estrutura é considerada instável Os projetistas utilizam uma variedade de símbolos para representar os apoios reais conforme resumido na Tabela 31 Esses símbolos representam a principal ação de um apoio em particular mas desprezamos pequenos efeitos secundários para simplificar a análise Por exemplo presumese que uma articulação fixa aplica restrição contra deslocamento em qualquer direção mas não fornece nenhuma restrição rotacional quando na verdade pode fornecer um pequeno grau de restrição rotacional devido ao atrito na junção Como as estruturas indeterminadas têm mais apoios ou membros do que o mínimo exigido para produzir uma estrutura estável determinada geralmente elas são mais rígidas do que as estruturas determinadas e têm menos probabilidade de entrar em colapso caso um apoio ou membro falhe A análise por computador é igualmente simples para estruturas determinadas e indeterminadas Contudo se uma análise de computador produzir resultados ilógicos os projetistas deverão considerar a forte possibilidade de que estão analisando uma estrutura instável a b diagrama de momento RB RA M RAL L L RC Figura 333 a O apoio B sofre recalque gerando reações b diagrama de momento produzido pelo recalque do apoio 113 Problemas P31 a P36 Determine as reações de cada estrutura nas figuras P31 a P36 PrObLEmAs 4 4 5 B A 10 kips 5 kipsft 3 4 P31 4 5 5 B F 15 kipft 8 kips A D E C 6 kips 10 5 P32 3 4 4 m 3 m 3 m 20 kN 15 kN A C B D P33 12 08 kipft 6 kips 10 3 A C B P34 A B C w 4 kipsft D E articulação 15 kips 12 18 12 P35 9 10 12 B C D A 8 kips 1 kipft P36 114 Capítulo 3 Estática das estruturas reações P37 O apoio em A impede rotação e deslocamento hori zontal mas permite deslocamento vertical Supõese que a placa de cisalhamento em B atua como uma rótula Determine o momento em A e as reações em C e D 3 m A B C D 3 m 4 kN 2 kNm 4 m 6 m P37 40 20 10 C A B E D 6 kips 04 kipft P38 6 4 9 kipsft 5 kipsft 20 kips 8 A B C D E articulação 6 P39 8 4 4 8 9 kipsft 4 A C E B D P 15 kips 25 kips 3 4 P310 3 m 2 m 6 m 36 kNm 18 kNm 36 kN A 4 m B C D E P311 P38 a P310 Determine as reações para cada estrutura Todas as dimensões são medidas a partir das linhas cen trais das barras P311 Determine todas as reações A junção de pino em C pode ser tratada como uma rótula 115 Problemas 4 8 32 6 6 kips 6 kips 6 kips 6 kips 4 kips A B C D E F G H I P312 Determine todas as reações A junção de pino em D atua como uma rótula 2 m 2 m 4 3 m 12 m articulação 12 kN 18 kN C D E B F G A I H P312 P315 12 m não está em escala 3 m 4 m 6 m A B H C G D F E w 4 kNm 15 kN 30 kN 30 kN w 6 kNm w 6 kNm P316 6 m 2 m 4 m rótula 4 m 8 m E D A B C 40 kN 30 kNm 2 kNm P313 P313 Determine as reações em todos os apoios e a força transmitida pela rótula em C 6 m 6 m 4 m 4 m A B C D E 40 kN 8 kNm P314 P314 Determine as reações nos apoios A C e E P315 Determine todas as reações Podese supor que a ligação em C atua como uma rótula P316 Determine todas as reações A carga uniforme em todas as vigas mestras se estende até as linhas cen trais das colunas 116 Capítulo 3 Estática das estruturas reações P317 a P320 Determine todas as reações 20 04 kipft D A B C 16 10 10 kips 10 4 m 60 kN rótula elo A B C D E 40 kN 5 m 3 m 5 m P317 6 kipsft 150 150 rótula 75 A B C P318 6 kNm 12 kN 4 m 4 m A C D 4 m 3 m 3 m P319 P320 P321 30 360 lbft 240 lbft 30 36 15 15 A B C almofada de elastômero P321 A treliça de telhado está aparafusada em um pilar de alvenaria armada em A e conectada em uma almofada de elastômero em C A almofada que pode aplicar restrição vertical em qualquer direção mas nenhuma restrição horizontal pode ser tratada como uma articulação móvel O apoio em A pode ser tratado como uma articulação fixa Calcule as reações nos apoios A e C produzidas pela carga do vento 117 Problemas P322 A cantoneira que liga a alma da viga em A com a coluna pode ser presumida como equivalente a uma articulação fixa Suponha que a barra BD atue como escora de compressão presa por pinos e carregada axial mente Calcule as reações nos pontos A e D 3 4 16 kipsft 3 kipsft A C D B 8 4 10 m 10 m 12 m 12 m 20 kN 20 kN 20 kN 20 kN 40 kN 14 m rótula 4 m 4 m 8 m 8 m 6 m 6 m A B C D E F G 10 5 5 12 A C D F B E 2 kipsft 62 ligação aparafusada C 16 28 A B C D w 24 kipsft 8 kips P323 Calcule as reações nos apoios A e G e a força aplicada pela rótula no membro AD P324 Calcule todas as reações P325 As placas de base na parte inferior das colunas estão ligadas às fundações nos pontos A e D por para fusos e podese supor que atuam como articulações fixas A ligação B é rígida Em C onde a mesa inferior da viga mestra é aparafusada a uma placa de topo sol dada na extremidade da coluna podese supor que a ligação atua como uma articulação ela não tem capaci dade significativa de transmitir momento Calcule as reações em A e D P323 P322 P325 P324 118 Capítulo 3 Estática das estruturas reações P326 Desenhe os diagramas de corpo livre da coluna AB da viga BC e do nó B passando planos de corte pelo pórtico rígido a uma distância infinitesimal acima do apoio A e à direita e imediatamente abaixo do nó B Avalie as forças internas em cada corpo livre 6 6 12 4 1 6 kips 8 kips 5 A w 2 kipsft B C 4 m 4 m 20 kN 10 kN 2 m 2 m A B C D E 12 15 kips 15 kips 10 9 10 A D C B E F G H a b c 1 1 15 A B C D E 20 15 20 24 kips treliça 1 elo 60 kips 20 40 elo 2 1 treliça 2 20 20 20 20 P327 O pórtico é composto de barras conectadas por pinos sem atrito Desenhe os diagramas de corpo livre de cada barra e determine as forças aplicadas pelos pinos às barras P328 A treliça da Figura P328 é composta por barras unidas por pinos que suportam somente carga axial Determine as forças nas barras a b e c passando uma seção vertical 11 pelo centro da treliça P329 a na Figura P329 as treliças 1 e 2 são elemen tos estáveis que podem ser tratados como corpos rígi dos Calcule todas as reações b Desenhe os diagramas de corpo livre de cada treliça e avalie as forças aplicadas nas treliças nos nós C B e D P326 P327 P328 P329 119 Problemas P330 e P331 Classifique cada estrutura das figuras P330 e P331 Indique se é estável ou instável Se for instável a d b c e f rótula rótula rótula rótula rótula elo a rótula d b rótula e c f rótula rótula rótula rótula rótula P330 P331 indique o motivo Se for estável se é determinada ou inde terminada Se for indeterminada especifique o grau 120 Capítulo 3 Estática das estruturas reações P332 Aplicação prática uma ponte de pista única consiste em uma laje de concreto armado de 10 polega das de espessura e 16 pés de largura apoiada em duas vigas mestras de aço espaçadas por 10 pés As vigas mestras têm 62 pés de comprimento e pesam 400 lbft A ponte deve ser projetada para uma sobrecarga uni forme de 700 lbft atuando sobre o comprimento inteiro da ponte Determine a reação máxima aplicada em um apoio de extremidade devido ao peso próprio à sobre carga e à carga de impacto Podese supor que a sobrecarga atua ao longo da linha central da laje do estrado e se divide igualmente entre as duas vigas mestras Cada meiofio de concreto pesa 240 lbft e cada guardacorpo 120 lbft O concreto armado tem peso unitário de 150 lbft3 Suponha um fator de impacto de 029 P333 Uma viga de madeira suportada por três elos de aço presos a um pórtico de concreto precisa suportar as cargas mostradas na Figura P333 a Calcule as rea ções no apoio A b Determine as forças axiais em todos os elos Indique se cada elo está em compressão ou tração A A 60 viga mestra meiofio meiofio CL CL 10 Seção AA 3 3 12 22 11 w 3125 kipsft 20 kips A B C D 1 11 4 4 4 2 2 F E G P332 P333 Outerbridge Crossing uma ponte de treliça contínua que liga a Staten Island a Nova Jersey O vão livre de aproximadamente 41 metros no meio do vão central de cerca de 228 metros permite que grandes navios mercantes passem sob a ponte Substituídas por materiais e sistemas estruturais mais modernos e mais resistentes as pontes de treliça tiveram sua popularidade diminuída nos últimos anos C A P Í T U L O Treliças 41 Introdução A treliça é um elemento estrutural composto de um arranjo estável de barras delgadas interligadas ver Figura 41a O padrão das barras que frequentemente subdivide a treliça em áreas triangulares é sele cionado para produzir um membro de apoio leve e eficiente Embora as ligações tipicamente formadas pela soldagem ou pelo aparafusa mento das barras da treliça em placas de ligação sejam rígidas ver Figura 41b normalmente o projetista supõe que as barras estão conectadas nas ligações por pinos sem atrito como mostrado na Figura 41c O Exemplo 49 esclarece o efeito dessa suposição Como nenhum momento pode ser transferido por uma ligação de pino sem atrito supõese que as barras da treliça transmitem somente força axial tração ou compressão Como as barras da treliça atuam em tensão 4 Figura 41 a Detalhes de uma treliça b liga ção soldada c ligação idealizada barras conec tadas por um pino sem atrito barras da corda inferior placa de ligação solda montantes barras da corda superior barras diagonais a b c CL CL 124 Capítulo 4 Treliças Figura 42 a e b profundidade da treliça variada para corresponder às ordenadas da curva de momento direta eles transmitem carga eficientemente e em geral têm seções trans versais relativamente pequenas Conforme mostrado na Figura 41a as barras superiores e inferiores que são horizontais ou inclinadas formam as cordas superiores e infe riores As cordas são conectadas por barras verticais e diagonais A ação estrutural de muitas treliças é semelhante à de uma viga Aliás a treliça frequentemente pode ser considerada como uma viga da qual o material excedente foi removido para reduzir o peso As cordas da treliça correspondem às mesas da viga As forças que se desenvolvem nas barras constituem o conjugado interno que transmite o momento produzido pelas cargas aplicadas A principal função das barras verticais e diagonais é transferir força vertical cisalhamento para os apoios nas extremidades da treliça Geralmente o custo por quilograma da fabricação de uma treliça é maior do que o custo para laminar uma viga de aço entretanto a treliça exigirá menos material pois ele é utilizado mais eficientemente Em uma estrutura de vão longo digamos 60 metros ou mais o peso pode representar a maior parte na ordem de 75 a 85 da carga de projeto a ser suportada Usando treliça em vez de viga o engenheiro muitas vezes pode pro jetar uma estrutura mais leve e mais resistente a um custo reduzido Mesmo quando os vãos são curtos treliças rasas chamadas vigas treliçadas de barra são frequentemente utilizadas como substitutas das vigas quando as cargas são relativamente leves Para vãos curtos esses membros são em geral mais fáceis de construir do que vigas de capacidade comparável devido ao peso menor Além disso os espaços entre as barras da alma proporcionam maiores áreas desobstruídas entre o piso acima e o teto abaixo da viga treliçada pelas quais o engenheiro mecânico pode passar tubos de calefação e ar condicio nado canos de água e esgoto conduítes elétricos e outros equipamen tos de infraestrutura essenciais Além de variar a área das barras da treliça o projetista pode modi ficar a profundidade da treliça para reduzir seu peso Nas regiões onde o momento fletor é grande no centro de uma estrutura de apoio simples ou nos apoios de uma estrutura contínua a treliça pode ser aprofundada ver Figura 42 As diagonais de uma treliça normalmente se inclinam para cima em um ângulo que varia de 45 a 60 Em uma treliça de vão longo a dis tância entre os nós não deve passar de 15 a 20 pés 5 a 7 m para limitar o comprimento não apoiado das cordas de compressão que devem ser projetadas como colunas À medida que uma corda de compressão se torna mais delgada fica mais suscetível à deformação A esbeltez das barras de tração também deve ser limitada para reduzir as vibrações produzidas pelas cargas de vento e sobrecargas Se uma treliça suporta cargas iguais ou praticamente iguais em todos os nós a direção na qual as diagonais se inclinam determinará se elas transmitem forças de tração ou compressão A Figura 43 por exemplo mostra a diferença nas forças estabelecidas nas diagonais de duas treliças que são idênticas sob todos os aspectos mesmo vão mesmas cargas etc exceto quanto à direção na qual as diagonais se inclinam T representa tração e C indica compressão M a b M M M 125 Seção 41 Introdução Embora as treliças sejam muito rígidas em seu próprio plano são muito flexíveis fora dele e precisam ser reforçadas ou contraventadas para terem estabilidade Como são frequentemente utilizadas em pares ou espaçadas lado a lado normalmente é possível conectar várias treliças para formar uma estrutura tipo caixa rígida Por exemplo a Figura 44 mostra uma ponte construída a partir de duas treliças Nos planos hori zontais das cordas superiores e inferiores o projetista adiciona barras transversais consecutivas entre os nós e um contraventamento diagonal para tornar a estrutura mais rígida O contraventamento da corda superior e inferior juntamente com as barras transversais forma uma treliça no Figura 43 T representa tração e C compressão Figura 44 Treliça com vigas de piso e contra ventamento secundário a perspectiva mos trando a treliça interligada por vigas transversais e contraventamento diagonal o contraventamento diagonal no plano inferior omitido por clareza está mostrado em b b vista de baixo mos trando as vigas de piso e o contraventamento diagonal Vigas mais leves e contraventamento também são necessários no plano superior para tornar as treliças mais rígidas lateralmente T T T T C C C C a b treliça treliça viga transversal contraventamento de painel típico placa de piso contraventamento diagonal típico em todos os painéis treliça treliça vigas de piso viga de piso longarina 126 Capítulo 4 Treliças plano horizontal para transmitir carga de vento lateral para os apoios da extremidade Os engenheiros também adicionam contraventamento tipo mãofrancesa no plano vertical nas extremidades da estrutura para garantir que as treliças permaneçam perpendiculares aos planos superior e inferior da estrutura 42 Tipos de treliças As barras das treliças mais modernas são organizadas em padrões triangulares pois mesmo quando as ligações são unidas por pinos a forma triangular é geometricamente estável e não sofrerá colapso sob carga ver Figura 45a Por outro lado um elemento retangular conec tado por pinos que atua como um conjunto instável ver Figura 45b sofrerá colapso sob a menor carga lateral Um método para estabelecer uma treliça estável é construir uma unidade triangular básica ver elemento triangular ABC sombreado na Figura 46 e então fixar nós adicionais estendendo barras a partir dos nós do primeiro elemento triangular Por exemplo podemos formar o nó D estendendo barras a partir dos nós B e C Analogamente pode mos imaginar que o nó E é formado pela extensão de barras a partir dos nós C e D As treliças formadas dessa maneira são chamadas tre liças simples Foto 41 Treliças de telhado pesadas com liga ções aparafusadas e placas de ligação Foto 42 A ponte TacomaNarrows reconstruída mostrando as treliças usadas para enri jecer o sistema de piso da pista de rolamento Veja a ponte original na Foto 21 Figura 45 Barras unidas por pinos a estável b instável a b 127 Seção 43 Análise de treliças Se duas ou mais treliças simples são conectadas por um pino ou por um pino e um tirante a treliça resultante é denominada treliça composta ver Figura 47 Por fim uma treliça normalmente com formato incomum que não é simples nem composta é denominada treliça complexa ver Figura 48 Na prática atual em que computa dores são utilizados para análise essas classificações não têm muito significado 43 Análise de treliças Uma treliça está completamente analisada quando a magnitude e o caráter tração ou compressão de todas as forças das barras e reações estão determinados Para calcular as reações de uma treliça determi nada tratamos a estrutura inteira como um corpo rígido e conforme discutido na Seção 36 aplicamos as equações de equilíbrio estático juntamente com as equações de condição que possam existir A análise utilizada para avaliar as forças das barras é baseada nas três suposi ções a seguir 1 As barras são retas e só transmitem carga axial isto é as forças das barras são dirigidas ao longo do eixo longitudinal dos membros da treliça Essa suposição também implica que desprezamos o peso próprio da barra Se o peso da barra for significativo podemos aproximar seu efeito aplicando metade dele como uma carga concentrada nos nós em cada extremidade da barra 2 Os membros são conectados nos nós por pinos sem atrito Isto é nenhum momento pode ser transferido entre a extremidade de uma barra e o nó no qual ela se conecta Se os nós e as barras forem rígidos a estrutura deve ser analisada como um pórtico rígido 3 As cargas são aplicadas somente nos nós Como convenção de sinal após ser estabelecido o caráter da força de uma barra rotulamos uma força de tração como positiva e uma força de compressão como negativa Alternativamente podemos estipular o cará ter de uma força adicionando um T após seu valor numérico para indicar força de tração ou um C para indicar força de compressão Se a barra está em tração as forças axiais nas suas extremidades atuam para fora ver Figura 49a e tendem a alongar a barra As forças iguais e opostas nas extremidades da barra representam a ação dos nós na barra Como a barra aplica forças iguais e opostas nos nós uma barra em tração aplicará uma força que atua para fora a partir do centro do nó Se a barra está em compressão as forças axiais nas suas extremida des atuam para dentro e comprimem a barra ver Figura 49b Analoga mente uma barra em compressão faz pressão contra o nó isto é aplica uma força dirigida para dentro em direção ao centro do nó As forças das barras podem ser analisadas considerandose o equilí brio de um nó o método dos nós ou o equilíbrio de uma seção da treliça o método das seções Neste último método a seção é produ zida passandose um plano de corte imaginário pela treliça A C B D E Figura 46 Treliça simples treliça simples treliça simples Figura 47 A treliça composta é constituída de treliças simples a b Figura 48 Treliças complexas 128 Capítulo 4 Treliças O método dos nós será discutido na Seção 44 o método das seções será tratado na Seção 46 44 Método dos nós Para determinar as forças das barras pelo método dos nós analisamos os diagramas de corpo livre dos nós O diagrama de corpo livre é estabe lecido supondose que seccionamos as barras por uma seção imaginária exatamente antes do nó Por exemplo na Figura 410a para determinar as forças das barras nos membros AB e BC usamos o corpo livre do nó B mostrado na Figura 410b Como as barras transmitem força axial a linha de ação de cada força de barra é dirigida ao longo do eixo longitu dinal da barra Como todas as forças que atuam em um nó passam pelo pino elas constituem um sistema de forças concorrentes Para esse tipo de sis tema de forças estão disponíveis somente duas equações da estática ou seja Fx 0 e Fy 0 para avaliar forças de barra desconheci das Como somente duas equações de equilíbrio estão disponíveis só podemos analisar nós que contêm no máximo duas forças de barra desconhecidas O analista pode seguir diversos procedimentos no método dos nós Para o estudante que ainda não analisou muitas treliças talvez seja melhor escrever inicialmente as equações de equilíbrio relativas às componentes das forças de barra Por outro lado à medida que ganha experiência e se familiariza com o método pode determinar as forças de barra em um nó que contém somente uma barra inclinada sem escrever formalmente as equações de equilíbrio observando a magni tude e a direção das componentes das forças de barra necessárias para produzir equilíbrio em uma direção específica Este último método permite uma análise mais rápida da treliça Discutiremos os dois pro cedimentos nesta seção Para determinar as forças das barras escrevendo as equações de equilíbrio devemos presumir uma direção para cada força de barra desconhecida as forças de barra conhecidas devem ser mostradas em seu sentido correto O analista está livre para supor tração ou com pressão para qualquer força de barra desconhecida muitos engenhei ros gostam de supor que todas as barras estão em tração isto é eles mostram todas as forças de barra desconhecidas atuando para fora do centro do nó Em seguida as forças são decompostas em suas com ponentes X e Y retangulares Conforme mostrado na Figura 410b a força ou as componentes de uma força em uma barra específica tem as letras utilizadas para rotular os nós em cada extremidade da barra como subscrito Para concluir a solução escrevemos e resolvemos as duas equações de equilíbrio Se somente uma força desconhecida atua em uma direção específica os cálculos são efetuados mais rapidamente somandose as forças nessa A B a nó A T T T T nó B A B b nó A C C C C nó B A B C P 30 kips a 3 4 B FBC P 30 kips b FAB 3 4 XAB YAB Figura 49 Diagramas de corpo livre de barras carregadas axialmente e nós adjacentes a barra AB em tração b barra AB em compressão Figura 410 a Treliça as linhas tracejadas mostram o local do plano de corte circular usado para isolar o nó B b corpo livre do nó B 129 Seção 44 Método dos nós direção Após uma componente ser calculada a outra componente pode ser encontrada pela definição de uma proporção entre as componentes da força e a inclinação da barra obviamente as inclinações da barra e da força da barra são idênticas Se a solução de uma equação de equilíbrio produz um valor de força positivo a direção suposta inicialmente para a força estava correta Por outro lado se o valor da força é negativo sua magnitude está correta mas a direção suposta inicialmente estava incorreta e deve ser invertida no esboço do diagrama de corpo livre Após as forças de barra serem estabe lecidas em um nó o engenheiro passa para os nós adjacentes e repete o cálculo anterior até que todas as forças de barra sejam avaliadas Esse procedimento está ilustrado no Exemplo 41 Determinação de forças de barra por inspeção Frequentemente as treliças podem ser analisadas rapidamente por meio da inspeção das forças de barra e das cargas que atuam em um nó que contém uma barra inclinada na qual a força é desconhecida Em mui tos casos a direção de certas forças de barra será evidente após a resul tante da força ou forças conhecida ser estabelecida Por exemplo como a carga aplicada de 30 kips no nó B na Figura 410b é dirigida para baixo a componente y YAB da força na barra AB a única barra com uma componente vertical deve ser igual a 30 kips e dirigida para cima para satisfazer o equilíbrio na direção vertical Se YAB for dirigida para cima a força FAB deverá atuar para cima e para a direita e sua componente hori zontal XAB deverá ser dirigida para a direita Como XAB é dirigida para a direita o equilíbrio na direção horizontal exige que FBC atue para a esquerda O valor de XAB é facilmente calculado a partir de triângulos semelhantes pois as inclinações das barras e as forças de barra são idên ticas consultar Seção 32 e XAB 40 kips X AB 4 3YAB 4 3 30 X AB 4 YAB 3 Resp Para determinar a força FBC somamos mentalmente as forças na direção x FBC 40 kips 0 FBC 40 S Fx 0 Resp 130 Capítulo 4 Treliças E x E m P L O 4 1 Analise a treliça da Figura 411a pelo método dos nós As reações são dadas Solução As inclinações das diversas barras são calculadas e mostradas no esboço Por exemplo a corda superior ABC que se eleva 12 pés em 16 pés tem uma inclinação de 3 4 Para iniciar a análise devemos começar em um nó com no máximo duas barras Os nós A ou C são aceitáveis Como os cálculos são mais simples em um nó com uma única barra inclinada começamos em A Sobre um corpo livre do nó A ver Figura 411b supomos arbitraria mente que as forças de barra FAB e FAD são forças de tração e as mostra mos atuando para fora no nó Em seguida substituímos FAB por suas componentes retangulares XAB e YAB Escrevendo a equação de equilí brio na direção y calculamos YAB Fy 0 0 24 YAB e YAB 24 kips Resp c 11 5 6 6 5 22 kips 22 kips 24 kips 24 kips 5 13 3 4 5 12 3 4 B A C D 2 1 a 22 kips 24 kips A YAB XAB FAB FAD b 40 kips FBC FBD YBD XBD y x c B 24 kips 10 kips 0 FDC YDC XDC d D 40 40 0 10 26 e Como YAB é positiva tratase de uma força de tração e a direção suposta no esboço estava correta Calcule XAB e FAB pela proporção considerando a inclinação da barra Figura 411 a Treliça b nó A c nó B d nó D e resumo das forças de barra unidades em kips 131 Seção 44 Método dos nós e Calcule FAD FAD 32 22 10 kips 0 22 XAB FAD S Fx 0 FAB 5 3YAB 5 3 1242 40 kips X AB 4 3YAB 4 3 1242 32 kips YAB 3 X AB 4 FAB 5 Resp Resp Como o sinal de menos indica que a direção da força FAD foi presumida incorretamente a força na barra AD é de compressão e não de tração Em seguida isolamos o nó B e mostramos todas as forças que atuam nele ver Figura 411c Como determinamos uma tração de FAB 40 kips a partir da análise do nó A ela é mostrada no esboço como atuando para fora do nó B Sobrepondo um sistema de coordenadas xy no nó e decompondo FBD nas componentes retangulares avalia mos YBD somando as forças na direção y YBD 0 c Fy 0 Como YBD 0 seguese que FBD 0 A partir da discussão sobre barras zero a ser apresentada na Seção 45 esse resultado poderia ter sido antecipado Calcule FBC FBC tração de 40 kips 0 FBC 40 S Fx 0 Resp Analise o nó D com FBD 0 e FDC mostrada como uma força compressiva ver Figura 411d c Fy 0 0 24 YDC e YDC 24 kips S Fx 0 0 10 X DC e X DC 10 kips Como verificação dos resultados observamos que as componentes de FDC são proporcionais à inclinação da barra Uma vez que todas as forças de barra são conhecidas neste ponto como uma verificação alternativa também podemos ver se o nó C está em equilíbrio Os resultados da análise estão resumidos na Figura 411e em um esboço da treliça Uma força de tração é indicada com um sinal mais uma força compressiva é indicada com um sinal menos 132 Capítulo 4 Treliças 45 Barras zero As treliças como aquelas utilizadas em pontes de estradas normal mente suportam cargas móveis À medida que a carga se move de um ponto para outro as forças nas barras da treliça variam Para uma ou mais posições da carga certas barras podem permanecer não tensiona das As barras não tensionadas são denominadas barras zero Frequen temente o projetista pode acelerar a análise de uma treliça identificando as barras nas quais as forças são zero Nesta seção discutiremos dois casos nos quais as forças de barra são zero Caso 1 Se nenhuma carga externa é aplicada em um nó que consiste em duas barras a força nas duas barras deve ser zero Para demonstrar a validade dessa afirmação primeiramente vamos supor que as forças F1 e F2 existem em ambas as barras do nó de duas barras na Figura 412a e então demonstraremos que o nó não pode estar em equilíbrio a menos que as duas forças sejam iguais a zero Começaremos sobrepondo no nó um sistema de coordenadas retangula res com um eixo x orientado na direção da força F1 e decompomos a força F2 nas componentes X2 e Y2 paralelas aos eixos x e y do sistema de coordenadas respectivamente Se somarmos as forças na direção y fica evidente que o nó não pode estar em equilíbrio a menos que Y2 seja igual a zero pois não existe nenhuma outra força para equilibrar Y2 Se Y2 é igual a zero então F2 é zero e o equilíbrio exige que F1 também seja igual a zero Um segundo caso no qual a força de uma barra deve ser igual a zero ocorre quando um nó é composto de três barras duas das quais são colineares Caso 2 Se nenhuma carga externa atua em um nó composto de três barras duas das quais são colineares a força na barra não colinear é zero Para demonstrar essa conclusão novamente sobrepomos um sistema de coordenadas retangulares no nó com o eixo x orientado ao longo do eixo das duas barras colineares Se somarmos as forças na direção y a equação de equilíbrio só poderá ser satisfeita se F3 for igual a zero pois não existe nenhuma outra força para equilibrar sua componente y a Y3 ver Figura 412b Embora uma barra possa ter força zero sob determinada condição de carga sob outras cargas ela pode transmitir tensão Assim o fato de a força em uma barra ser zero não indica que a barra não é essencial e pode ser eliminada Figura 412 Condições que produzem forças zero nas barras a duas barras e nenhuma carga externa F1 e F2 iguais a zero b duas barras colineares e nenhuma carga externa a força na terceira barra F3 é zero a F1 x y Y2 X2 F2 b F1 F2 X3 y x F3 Y3 133 Seção 45 Barras zero Com base na discussão anterior da Seção 45 identifique todas as barras na treliça da Figura 413 que não são tensionadas quando a carga de 60 kips atua A M L K B C D E F G H I J 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 180 kips 6o kips 120 kips Solução Embora os dois casos discutidos nesta seção se apliquem a muitas das barras examinaremos somente os nós A E I e H A verificação das barras zero restantes é deixada para o estudante Como os nós A e E são compostos somente de duas barras e nenhuma carga externa atua nos nós as forças nas barras são zero consultar Caso 1 Como nenhuma carga horizontal atua na treliça a reação horizontal em I é zero No nó I a força na barra IJ e a reação de 180 kips são colineares portanto a força na barra IH deve ser igual a zero pois nenhuma outra força horizontal atua no nó Existe uma condição seme lhante no nó H Como a força na barra IH é zero a componente hori zontal da barra HJ deve ser zero Se uma componente de uma força é zero a força também deve ser zero E x E m P L O 4 2 Figura 413 134 Capítulo 4 Treliças 46 Método das seções Para analisar uma treliça estável pelo método das seções considera mos que a treliça é dividida em dois corpos livres passando um plano de corte imaginário pela estrutura O plano de corte deve evidentemente passar pela barra cuja força deve ser determinada Em cada ponto onde uma barra é cortada a força interna da barra é aplicada na face do corte como uma carga externa Embora não haja nenhuma restrição para o número de barras que podem ser cortadas frequentemente utilizamos seções que cortam três barras pois estão disponíveis três equações de equilíbrio estático para analisar um corpo livre Por exemplo se quiser mos determinar as forças de barra nas cordas e na diagonal de um painel interno da treliça da Figura 414a podemos passar uma seção vertical pela treliça produzindo o diagrama de corpo livre mostrado na Figura 414b Como vimos no método dos nós o engenheiro está livre para pres supor a direção da força na barra Se uma força for presumida na direção correta a solução da equação de equilíbrio produzirá um valor de força positivo Alternativamente um valor de força negativo indica que a dire ção da força foi suposta incorretamente Se a força em uma barra diagonal de uma treliça com cordas paralelas precisar ser calculada cortamos um corpo livre passando uma seção verti cal pela barra diagonal a ser analisada Uma equação de equilíbrio baseada na soma das forças na direção y permitirá determinar a componente vertical da força na barra diagonal Se três barras são cortadas a força em uma barra específica pode ser determinada estendendose as forças nas outras duas barras ao longo de suas linhas de ação até que se cruzem Somando os momentos sobre o eixo através do ponto de intersecção podemos escrever uma equação envolvendo a terceira força ou uma de suas componentes O Exemplo 43 ilustra a análise de barras típicas em uma treliça com cordas paralelas O Exemplo 44 que aborda a análise de uma treliça determinada com quatro restrições ilustra uma estratégia geral para a análise de uma treliça com plicada usando o método das seções e o método dos nós Figura 414 15 20 20 4 15 60 a b A B C D E F G H 40 kips 40 kips 40 kips 1 30 kips 30 kips 50 kips A B FBC FHG FHC YHC XHC H 40 kips 30 kips 30 kips 50 kips 70 kips 1 135 Seção 46 Método das seções E x E m P L O 4 3 Usando o método das seções calcule as forças ou componentes de força nas barras HC HG e BC da treliça da Figura 414a Solução Passe a seção 11 pela treliça cortando o corpo livre mostrado na Figura 414b A direção da força axial em cada barra é pressuposta arbitrariamente Para simplificar os cálculos a força FHC é decomposta nas componentes vertical e horizontal Calcule YHC ver Figura 414b Resp YHC tração de 10 kips 0 50 40 YHC c Fy 0 Da relação da inclinação X HC 3 4YHC 75 kips X HC 3 YHC 4 Resp Calcule FBC Some os momentos sobre um eixo através de H na intersecção das forças FHG e FHC Calcule FHG FHG compressão de 75 kips 0 30 FHG X HC FBC 30 S Fx 0 FBC tração de 675 kips 0 301202 501152 FBC1202 A MH 0 Resp Resp Como a solução das equações de equilíbrio acima produziu valores de força positivos as direções das forças mostradas na Figura 414b estão corretas 136 Capítulo 4 Treliças E x E m P L O 4 4 Analise a treliça determinada da Figura 415a para estabelecer todas as forças de barra e reações Figura 415 Solução Como os apoios em A C e D fornecem quatro restrições para a tre liça da Figura 415a e estão disponíveis somente três equações de equi líbrio não podemos determinar o valor de todas as reações aplicando as três equações de equilíbrio estático em um corpo livre da estrutura inteira Contudo reconhecendo que existe apenas uma restrição hori zontal no apoio A podemos determinar seu valor somando as forças na direção x Ax 60 kips Ax 60 0 S Fx 0 Resp 20 267 267 80 80 80 80 267 80 80 80 3 15 45 15 20 15 15 5 60 kips F FFE FBC FEC FED XED YED Ay A B 1 1 3 4 3 1 B D A C E E F Ay Ax 80 kips 80 kips 60 kips 60 kips 60 kips 60 kips Cy Dy a c d b 80 kips 137 Seção 46 Método das seções Como as reações restantes não podem ser determinadas pelas equa ções da estática devemos considerar o uso do método dos nós ou das seções Neste estágio o método dos nós não pode ser aplicado pois três ou mais forças desconhecidas atuam em cada nó Portanto passaremos uma seção vertical pelo painel central da treliça para produzir o corpo livre mostrado na Figura 415b Devemos usar o corpo livre à esquerda da seção pois o corpo livre à direita da seção não pode ser analisado uma vez que as reações em C e D e as forças de barra nas barras BC e FE são desconhecidas Calcule Ay ver Figura 415b Ay 0 c Fy 0 Resp Calcule FBC Some os momentos sobre um eixo pelo nó F Calcule FFE FFE FBC 80 kips compressão 60 60 FBC FFE 0 S Fx 0 FBC 80 kips tração 6 0 1202 FBC1152 0 A MF 0 Resp Resp Agora que várias forças de barra internas são conhecidas podemos concluir a análise usando o método dos nós Isole o nó E Figura 415c X ED 80 kips compressão 8 0 X ED 0 S Fx 0 Resp Como a inclinação da barra ED é 11 YED XED 80 kips FEC 80 kips tração FEC YED 0 c Fy 0 Resp O balanço das forças de barra e das reações em C e D pode ser determinado pelo método dos nós Os resultados finais estão mostrados em um esboço da treliça na Figura 415d 138 Capítulo 4 Treliças E x E m P L O 4 5 Determine as forças nas barras HG e HC da treliça da Figura 416a pelo método das seções 4 24 96 6 18 B C D E H A B F G H A a RA 60 kips RE 60 kips 1 30 kips 60 kips 30 kips 3 4 4 1 1 24 24 24 c 60 kips 30 kips Y1 F1 X1 G C F2 F3 x A a B H F2 Y2 X2 30 kips 60 kips 24 24 b F1 C F2 F3 Figura 416 a Detalhes da treliça b corpo livre para calcular a força na barra HC c corpo livre para calcular a força na barra HG 139 Seção 46 Método das seções Solução Primeiro calcule a força na barra HC Passe a seção vertical 11 pela treliça e considere o corpo livre à esquerda da seção ver Figura 416b No corte as forças de barra são aplicadas como cargas externas nas extremidades das barras Como estão disponíveis três equações da está tica todas as forças de barra podem ser determinadas por elas Seja F2 a força na barra HC Para simplificar os cálculos selecionamos um centro de momento o ponto a que fica na intersecção das linhas de ação das forças F1 e F3 Em seguida a força F2 é estendida ao longo de sua linha de ação até o ponto C e substituída por suas componentes retan gulares X2 e Y2 A distância x entre a e o apoio esquerdo é estabelecida pela proporção usandose triângulos semelhantes isto é aHB e a incli nação 14 da força F1 x 48 ft 1 18 4 x 24 Some os momentos das forças sobre o ponto a e encontre a resposta para Y2 Y2 tração de 75 kips 0 601482 30 1722 Y2 1962 A Ma 0 Resp Com base na inclinação da barra HC estabeleça X2 pela proporção X2 4 3Y2 10 kips Y2 3 X2 4 Resp Agora calcule a força F1 na barra HG Selecione um centro de momento na intersecção das linhas de ação das forças F2 e F3 isto é no ponto C ver Figura 416c Estenda a força F1 até o ponto G e decomponha nas componentes retangulares Some os momentos sobre o ponto C X 1 compressão de 90 kips 0 601482 30 1242 X 11242 A Mc 0 Resp Estabeleça Y1 pela proporção Y1 X 1 4 225 kips X 1 4 Y1 1 Resp 140 Capítulo 4 Treliças E x E m P L O 4 6 Usando o método das seções calcule as forças nas barras BC e JC da treliça em K da Figura 417a 20 20 20 20 30 15 15 A B C D E F G H I J K FJB G A B I H FJG FBC FGF a b 24 kips 48 kips 24 kips 48 kips 1 2 48 kips 20 20 30 FJC F H G I J A B C FJF XJC YJC FGF c d 24 kips 48 kips 16 kips 24 kips 12 12 16 16 36 36 48 48 60 60 80 84 36 60 12 24 0 64 64 16 16 0 0 80 60 48 kips 48 kips 120 kips 144 kips 144 kips 1 2 Figura 417 a Treliça em K b corpo livre à esquerda da seção 11 usado para avaliar FBC c corpo livre usado para calcular FJC d forças de barra 141 Seção 46 Método das seções Solução Como qualquer seção vertical que passa pelo painel de uma treliça em K corta quatro barras não é possível calcular as forças nas barras pelo método das seções pois o número de incógnitas ultrapassa o número de equações da estática Como não existe nenhum centro de momento pelo qual três das forças de barra passam nem mesmo uma solução parcial é possível utilizandose uma seção vertical padrão Conforme ilustramos neste exemplo é possível analisar uma treliça em K usando duas seções em sequência a primeira das quais é uma seção especial que forma uma curva em torno de um nó interno Para calcular a força na barra BC passamos a seção 11 pela treliça na Figura 417a O corpo livre à esquerda da seção está mos trado na Figura 417b A soma dos momentos sobre o nó inferior G produz FBC tração de16 kips 0 3 FBC 241202 0 A MG 0 Resp Para calcular FJC passamos a seção 22 pelo painel e consideramos novamente o corpo livre à esquerda ver Figura 417c Como a força na barra BC foi avaliada as três forças de barra desconhecidas podem ser determinadas pelas equações da estática Use um centro de momento em F Estenda a força na barra JC até o ponto C e decomponha nas componentes retangulares FJC 5 4 X JC tração de 60 kips X JC 48 kips 0 161302 X JC1302 20 1482 40 1242 A MF 0 Resp Nota A treliça em K também pode ser analisada pelo método dos nós partindo de um nó externo como A ou H Os resultados dessa análise estão mostrados na Figura 417d O contraventamento em K é normalmente utilizado em treliças altas para reduzir o comprimento dos membros diagonais Como você pode ver a partir dos resultados na Figura 417d o cisalhamento em um painel se divide igualmente entre as diagonais superiores e inferiores Uma diagonal suporta compressão e a outra suporta tração 142 Capítulo 4 Treliças 47 Determinação e estabilidade Até aqui todas as treliças que analisamos neste capítulo eram estrutu ras estáveis e determinadas isto é sabíamos antecipadamente que pode ríamos realizar uma análise completa usando apenas as equações da estática Como na prática também são utilizadas treliças indeterminadas o engenheiro deve ser capaz de reconhecer uma estrutura desse tipo pois as treliças indeterminadas exigem um tipo de análise especial Conforme discutiremos no Capítulo 11 equações de compatibilidade devem ser utilizadas para complementar as equações de equilíbrio Se você estiver investigando uma treliça projetada por outro engenheiro terá de verificar se a estrutura é determinada ou indeterminada antes de iniciar a análise Além disso se você for o responsável por estabelecer a configuração de uma treliça para uma situação especial obviamente deverá ser capaz de escolher uma organização de barras estável O objetivo desta seção é estender para as treliças a discussão introdutória sobre estabilidade e determinação das seções 38 e 39 assuntos que talvez você queira rever antes de passar para o próximo parágrafo Se uma treliça carregada está em equilíbrio todas as suas barras e nós também devem estar em equilíbrio Se a carga for aplicada apenas nos nós e se for presumido que todas as barras da treliça suportam apenas carga axial uma suposição que implica que o peso próprio das barras pode ser despre zado ou aplicado nos nós como uma carga concentrada equivalente as forças que atuam no diagrama de corpo livre de um nó constituirão um sis tema de forças concorrentes Para estar em equilíbrio o sistema de forças concorrentes deve satisfazer as duas equações de equilíbrio a seguir Fx 0 Fy 0 Como podemos escrever duas equações de equilíbrio para cada nó de uma treliça o número total de equações de equilíbrio disponíveis para encontrar a solução das forças de barra desconhecidas b e das reações r é igual a 2n em que n representa o número total de nós Portanto seguese que se uma treliça é estável e determinada a relação entre barras reações e nós deve satisfazer o seguinte critério r b 2n 41 Além disso conforme discutimos na Seção 37 as restrições exerci das pelas reações não devem constituir um sistema de forças paralelas nem concorrentes Embora estejam disponíveis três equações da estática para calcular as reações de uma treliça determinada essas equações não são indepen dentes e não podem ser adicionadas nas 2n equações de nó Obvia mente se todos os nós de uma treliça estão em equilíbrio a estrutura inteira também deve estar em equilíbrio isto é a resultante das forças externas que atuam na treliça é igual a zero Se a resultante é zero as equações de equilíbrio estático são automaticamente satisfeitas quando aplicadas na estrutura inteira e assim não fornecem equações indepen dentes de equilíbrio adicionais 143 Seção 47 Determinação e estabilidade Se r b 2n o número de forças desconhecidas ultrapassa as equações da estática disponíveis e a treliça é indeterminada O grau de indeterminação D é igual a D r b 2n 42 Por fim se r b 2n existem forças de barra e reações insuficientes para satisfazer as equa ções de equilíbrio e a estrutura é instável Além disso conforme discutimos na Seção 37 você sempre verá que a análise de uma estrutura instável leva a uma equação de equilí brio inconsistente Portanto se não tiver certeza a respeito da estabi lidade de uma estrutura analisea para qualquer carga arbitrária Se resultar uma solução que satisfaça a estática a estrutura é estável Para ilustrar os critérios de estabilidade e determinação para as treliças apresentadas nesta seção classificaremos as treliças da Figura 418 como estáveis ou instáveis Para as estruturas estáveis estabele ceremos se elas são determinadas ou indeterminadas Por fim para uma estrutura indeterminada estabeleceremos também o grau de inde terminação Figura 418a b r 5 3 8 2n 24 8 Como b r 2n e as reações não são equivalentes a um sistema de forças concorrentes nem paralelas a treliça é estável e determinada Figura 418b b r 14 4 18 2n 28 16 Como b r ultrapassa 2n 18 16 a estrutura é indeterminada no segundo grau A estrutura é um grau externamente indeterminada pois os apoios fornecem quatro restrições e internamente indeterminada no pri meiro grau pois é fornecida uma diagonal extra no painel central para transmitir cisalhamento Figura 418c b r 14 4 18 2n 29 18 Como b r 2n 18 e os apoios não são equivalentes a um sistema de forças paralelas nem concorrentes a estrutura parece ser estável Pode mos confirmar essa conclusão observando que a treliça ABC obviamente é um componente estável da estrutura pois é uma treliça simples com a A B A B b c A B D C Figura 418 Classificação de treliças a estável e determinada b indeterminada no segundo grau c determinada 144 Capítulo 4 Treliças posta de triângulos apoiada por três restrições duas fornecidas pelo pino em A e uma pelo rolo em B Como a articulação em C está ligada à treliça estável da esquerda ela também é um ponto estável no espaço Assim como uma articulação fixa ela pode fornecer tanto restrição hori zontal como vertical para a treliça da direita Assim podemos considerar que a treliça CD também deve ser estável pois é também uma treliça simples apoiada por três restrições ou seja duas fornecidas pela articula ção em C e uma pelo rolo em D Figura 418d Duas abordagens são possíveis para classificar a estrutura da Figura 418d Na primeira podemos tratar o elemento triangular BCE como uma treliça de três barras b 3 apoiada por três elos AB EF e CD r 3 Como a treliça tem três nós B C e E n 3 e b r 6 é igual a 2n 23 6 A estrutura portanto é determinada e estável Alternativamente podemos tratar a estrutura inteira como uma tre liça de seis barras b 6 com seis nós n 6 apoiada por três articu lações fixas r 6 b r 12 é igual a 2n 26 12 Novamente concluímos que a estrutura é estável e determinada Figura 418e b r 14 4 18 2n 29 18 Como b r 2n parece que a estrutura é estável e determinada entretanto como existe um painel retangular entre os nós B C G e H verificaremos se a estrutura é estável analisando a treliça para uma carga arbitrária de 4 kips aplicada verticalmente no nó D ver Exemplo 47 Como a análise pelo método dos nós produz valores únicos de força de barra em todas as barras concluímos que a estrutura é estável e determinada Figura 418 Classificação de treliças d determinada e determinada A B E F D C d A B C D E F G H I e 145 Seção 47 Determinação e estabilidade A f B A B C G F D E g A B C h elo i A B A B j A B C k Figura 418f b r 8 4 12 2n 26 12 Embora a contagem de barras acima satisfaça a condição necessária para uma estrutura estável e determinada parece que a estrutura é instá vel pois o painel central sem uma barra diagonal não pode transmitir força vertical Para confirmar essa conclusão analisaremos a treliça usando as equações da estática A análise será feita no Exemplo 48 Como a análise leva a uma equação de equilíbrio inconsistente concluí mos que a estrutura é instável Figura 418g b 16 r 4 n 10 Embora b r 2n a pequena treliça da direita DEFG é instável pois seus apoios o elo CD e o rolo em E constituem um sistema de forças paralelas Figura 418h A treliça é geometricamente instável pois as reações constituem um sistema de forças concorrentes isto é a reação fornecida pelo elo BC passa pela articulação fixa em A Figura 418i b 21 r 3 n 10 E b r 24 2n 20 portanto a treliça é indeterminada no quarto grau Embora as reações possam ser calculadas para qualquer carga a indeterminação se dá por causa da inclusão de diagonais duplas nos pai néis internos Figura 418j b 6 r 3 n 5 E b r 9 2n 10 a estrutura é instável pois existem menos restri ções do que as exigidas pelas equações da estática Para produzir uma estrutura estável a reação em B deve ser alterada de uma articulação móvel para uma articulação fixa Figura 418k Agora b 9 r 3 e n 6 além disso b r 12 2n 12 Contudo a estrutura é instável pois a pequena treliça triangular ABC na parte superior é apoiada por três elos paralelos os quais não fornecem nenhuma restrição lateral Figura 418 Classificação de treliças f instá vel g instável h instável i indeterminada no quarto grau j instável k instável 146 Capítulo 4 Treliças E x E m P L O 4 7 Verifique se a treliça da Figura 419 é estável e determinada demonstrando se ela pode ser completamente analisada pelas equações da estática para uma força de 4 kips no nó F 12 12 12 12 16 12 I H G F E A D B C P 4 kips 4 kips 4 kips 4 kips 3 4 3 4 0 0 3 3 0 3 0 4 0 0 0 3 Figura 419 Análise pelo método dos nós para verificar se a treliça é estável Solução Como a estrutura tem quatro reações não podemos iniciar a análise calculando as reações mas em vez disso devemos analisála pelo método dos nós Primeiramente determinamos as barras zero Como os nós E e I estão conectados somente a duas barras e nenhuma carga externa atua nos nós as forças nessas barras são zero consultar Caso 1 da Seção 45 Com as duas barras restantes conec tandose no nó D aplicar o mesmo argumento indicaria que elas tam bém são barras zero Aplicar o Caso 2 da Seção 45 no nó G indicaria que a barra CG é uma barra zero Em seguida analisamos em sequência os nós F C G H A e B Como todas as forças de barra e reações podem ser determinadas pelas equações da estática os resultados estão mostrados na Figura 419 concluímos que a treliça é estável e determinada 147 Seção 47 Determinação e estabilidade E x E m P L O 4 8 Prove que a treliça da Figura 420a é instável demonstrando que sua análise para uma carga de magnitude arbitrária leva a uma equação de equilíbrio inconsistente RAY 2 kips RAX RDX 3 kips A B C F E RD 1 kip 3 10 30 10 a Solução Aplique uma carga no nó B digamos 3 kips e calcule as reações considerando a estrutura inteira como um corpo livre R AY 3 R D 0 R AY 2 kips c Fy 0 3 1102 30R D 0 R D 1 kip A MA 0 O equilíbrio do nó B ver Figura 420b exige que FBF tração de 3 kips O equilíbrio na direção x é possível se FAB FBC Em seguida consideramos o nó F ver Figura 420c Para estar em equilíbrio na direção y a componente vertical de FAF deve ser igual a 3 kips e dirigida para cima indicando que a barra AF está em compres são Como a inclinação da barra AF é 11 sua componente horizontal também é igual a 3 kips O equilíbrio do nó F na direção x exige que a força na barra FE seja igual a 3 kips e atue para a esquerda Agora examinamos o apoio A Figura 420d A reação RA e as componentes da força na barra AF determinadas anteriormente são aplicadas sobre o nó Escrevendo a equação de equilíbrio na direção y encontramos 2 3 0 inconsistente c Fy 0 Como a equação de equilíbrio não é satisfeita a estrutura não é estável Figura 420 Verificação da estabilidade da treliça a detalhes da treliça b corpo livre do nó B c corpo livre do nó F d corpo livre do apoio A FBF 3 kips FAB FBC B 3 kips b XAF 3 kips F YAF 3 kips 3 kips c FAF 3 kips A RAY 2 kips 3 kips 3 kips RAX FAB FAF d 148 Capítulo 4 Treliças 48 Análise de treliças por computador As seções anteriores deste capítulo abordaram a análise de treliças baseada nas suposições de que 1 as barras são conectadas aos nós por meio de pinos sem atrito e 2 as cargas são aplicadas apenas nos nós Nos casos em que as cargas de projeto são escolhidas de forma conservadora e as deflexões não são excessivas com o passar dos anos essas suposições simplificadas geralmente têm produzido projetos satisfatórios Como os nós na maioria das treliças são construídos pela conexão das barras nas placas de ligação por meio de soldas rebites ou parafusos de alta resistência normalmente são rígidos Analisar uma treliça com nós rígidos uma estrutura altamente indeterminada seria um cálculo extenso com os métodos de análise clássicos É por isso que no passado a análise de treli ças era simplificada permitindo aos projetistas pressupor nós ligados por pinos Agora que existem programas de computador podemos analisar treliças determinadas e indeterminadas como uma estrutura de nós rígidos para propiciar uma análise mais precisa sendo que a limitação de que as cargas precisam ser aplicadas nos nós não é mais uma restrição Como os programas de computador exigem valores de propriedades da seção transversal das barras área e momento de inércia as barras devem ser dimensionadas inicialmente Os procedimentos para estimar o tamanho aproximado das barras serão discutidos no texto do Capítulo 15 No caso de uma treliça com nós rígidos a suposição de nós de pino per mitirá calcular forças axiais que podem ser usadas para selecionar as áreas iniciais da seção transversal dos membros Para realizar as análises por computador utilizaremos o programa RISA 2D que se encontra no site em inglês deste livro isto é httpwwwmhhe comleet2e Embora no site seja fornecido um exercício dirigido para expli car passo a passo como se utiliza o programa RISA2D uma breve visão geral do procedimento é dada a seguir 1 Numere todos os nós e barras 2 Depois que o programa RISA2D estiver aberto clique em Global na parte superior da tela Digite um título descritivo seu nome e o número de seções 3 Clique em Units Utilize Standard Metric sistema métrico ou Stan dard Imperial padrão imperial para unidades convencionais dos Esta dos Unidos 4 Clique em Modify Configure a escala da grade de modo que a figura da estrutura fique dentro dela 5 Preencha as tabelas no Data Entry Box Isso inclui Joint Coordina tes coordenadas de nó Boundary Conditions condições de apoio Member Properties propriedades da barra Joint Loads cargas nos nós etc Clique em View para identificar barras e nós A figura na tela permite verificar visualmente se todas as informações necessá rias foram fornecidas corretamente 6 Clique em Solve para iniciar a análise 7 Clique em Results para produzir tabelas que relacionam forças de barra deslocamentos de nós e reações de apoio O programa tam bém plotará uma forma curvada 149 Seção 48 Análise de treliças por computador E x E m P L O 4 9 Usando o programa de computador RISA2D analise a treliça deter minada da Figura 421 e compare a magnitude das forças de barra e os deslocamentos de nós supondo que os nós são 1 rígidos e 2 articu lados Os nós são denotados por números em um círculo as barras são denotadas por números em uma caixa retangular Uma análise prelimi nar da treliça foi utilizada para estabelecer os valores iniciais das pro priedades da seção transversal de cada barra consultar Tabela 41 Para o caso de nós articulados os dados da barra são semelhantes mas a palavra articulados aparece nas colunas intituladas Liberações de extremidade 10 200 kips 40 kips 60 kips 200 kips 1 2 4 4 3 10 6 6 8 1 2 5 3 Figura 421 Treliça em balanço Tabela 41 Dados de barra para o caso de nós rígidos Número da barra Nó I Nó J Área pol2 Momento de inércia pol4 Módulo elástico ksi liberações de extremidade Comprimento ft extremidade I extremidade J 1 2 3 4 5 1 2 3 4 2 2 3 4 1 4 572 115 115 154 572 147 77 77 756 147 29 000 29 000 29 000 29 000 29 000 8 20396 11662 11662 10198 Tabela 42 Comparação de deslocamentos de nó Nós rígidos Nós articulados Número do nó Translação X pol Translação Y pol Número do nó Translação X pol Translação Y pol 1 0 0 1 0 0 2 0 0011 2 0 0012 3 0257 071 3 0266 0738 4 0007 0153 4 0 015 continua 150 Capítulo 4 Treliças Para facilitar a conexão das barras às placas de ligação frequente mente as barras da treliça são fabricadas com pares de cantoneiras colocadas costas com costas As propriedades da seção transversal dessas formas estruturais tabuladas no AISC Manual of steel cons truction são utilizadas neste exemplo CoNClusões Os resultados da análise por computador mostrados nas tabelas 42 e 43 indicam que a magnitude das forças axiais nas barras da treliça assim como os deslocamentos dos nós são aproximadamente iguais para nós rígidos e nós articulados As forças axiais são ligeiramente menores na maioria das barras quando são pressupostas junções rígidas pois uma parte da carga é transmitida por cisalhamento e flexão Como barras em tensão direta suportam carga axial eficientemente as áreas de seção transversal tendem a ser menores quando dimensionadas apenas para carga axial Contudo a rigidez à flexão de pequenas seções transversais compactas também é pequena Portanto quando os nós são rígidos a tensão de flexão nas barras da treliça pode ser significativa mesmo quando a magnitude dos momentos é relativamente pequena Se verificarmos as tensões na barra M3 que é constituída por duas cantonei ras de 8 4 1 2 pol na seção em que o momento é 7797 kip ft a tensão axial é de PA 1499 kipspol2 e a tensão de flexão McI 624 kipspol2 Nesse caso concluímos que as tensões de flexão são significativas em várias barras da treliça quando a análise é realizada supondo que os nós são rígidos e o projetista deve verificar se a tensão combinada de 2123 kipspol2 não ultrapassa o valor permitido definido pelas especificações de projeto AISC Tabela 43 Comparação de forças de barra Nós rígidos Nós articulados Número da barra Seção axial kips Cortante kips Momento kip ft Número da barra Seção axial kips 1 2 3 4 5 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 19256 19256 150325 150325 172429 172429 232546 232546 53216 53216 036 036 0024 0024 0867 0867 0452 0452 024 024 0918 1965 281 2314 2314 7797 6193 0918 0845 1604 1 2 3 4 5 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 20 20 152971 152971 174929 174929 233238 233238 5099 5099 As seções 1 e 2 referemse às extremidades da barra continuação 151 Resumo Resumo As treliças são compostas de barras delgadas que supostamente transmitem somente força axial Nas treliças grandes os nós são formados por soldagem ou aparafusamento das barras em placas de ligação Se as barras são relativamente pequenas e tensionadas levemente os nós são frequentemente formados pela soldagem das extremidades das barras verticais e diagonais nas cordas superiores e inferiores Embora sejam rígidas em seu plano as treliças têm pouca rigidez lateral portanto precisam ser contraventadas contra o deslocamento lateral em todos os nós Para as treliças serem estáveis e determinadas a seguinte relação deve existir entre o número de barras b reações r e nós n b r 2n Além disso as restrições exercidas pelas reações não devem constituir um sistema de forças paralelas nem concorrentes Se b r 2n a treliça é instável Se b r 2n a treliça é indeterminada As treliças determinadas podem ser analisadas pelo método dos nós ou pelo método das seções O método das seções é utilizado quando é exigida a força em uma ou duas barras O método dos nós é utilizado quando todas as forças de barra são exigidas Se a análise de uma treliça resulta em um valor de forças inconsistente isto é um ou mais nós não estão em equilíbrio a treliça é instável 152 Capítulo 4 Treliças P41 Classifique as treliças como estáveis ou instáveis Se a treliça for estável indique se é determinada ou indeterminada Se for indeterminada indique o grau de indeterminação PrObLEmAS nó articulado e f g b a c d P41 153 Problemas P42 Classifique as treliças como estáveis ou instáveis Se a treliça for estável indique se é determinada ou inde terminada Se for indeterminada indique o grau de indeterminação a b c d e f g P43 e P44 Determine as forças em todas as barras das treliças Indique se é tração ou compressão 20 kN 15 kN 4 m 3 m 3 m 3 m B C G A F D E 16 kips 60 kips 12 9 9 9 9 B C D E F 24 kips G A H P42 P43 P44 154 Capítulo 4 Treliças P45 a P410 Determine as forças em todas as barras das treliças Indique se é tração ou compressão 60 kN 30 kN B A C 6 m 6 m 6 m 5 m 5 5 m 25 m 20 kN 20 kN A B J C I D H E F G 20 kN 10 kN P45 60 kips 15 15 15 15 36 kips A E D B 36 kips C 20 P46 12 kN 9 kN 3 m 3 m 4 m 4 m A E B C D P47 B 24 kips G F A E C D 24 kips 3 10 30 15 P410 16 36 kips 8 kips C A B D E 24 kips 12 12 16 P49 P48 155 Problemas P411 a P415 Determine as forças em todas as barras das treliças Indique se é tração ou compressão 36 kips 24 kips 20 15 15 15 15 15 I H D C B A G F E J I K L M G H B A D E F 60 kips 15 15 4 20 80 C 15 10 kips 20 kips 15 15 15 A B C D E F P411 P412 10 kips B A H G F C D E 10 kips 4 kips 4 8 32 6 10 kips P413 P414 16 34 kips RA 30 kips RE 64 kips 32 kips 32 kips 16 16 16 16 12 A B C D E F G H P415 156 Capítulo 4 Treliças P416 Determine as forças em todas as barras da tre liça Sugestão se tiver dificuldade para calcular as for ças de barra reveja a análise da treliça em K no Exem plo 46 P417 a P419 Determine as forças em todas as barras das treliças Indique se é tração ou compressão 3 m A I J K L B C D E F H G 3 m 3 m 3 m 3 m 60 kN 60 kN P416 60 kips 60 kips 30 kips 20 20 20 15 15 C G A B F E D P418 10 m 30 kN 6 m 6 m 6 m 8 m A B C D E F G 45 kN 60 kN P417 4 m 4 m 4 m A B F G H I C E D 4 m 4 m 100 kN P419 157 Problemas P420 a P424 Determine as forças em todas as barras da treliça 4 10 40 10 10 A B J C I D H E F G 10 kips 20 kips 15 kips 3 m A E D B C F 3 m 4 m 60 kN 3 m 4 m 3 m 4 4 m 3 m 3 m 10 kN 6 kN A B C D E F G H 8 m 30 kN 8 m 8 m 6 m 6 m 6 m A B C D E F G H I J K L P420 P421 P424 P423 4 m A B G F H I E C D A 24 kN 30 kN 4 m 8 m 4 m 4 m 6 m P422 158 Capítulo 4 Treliças P425 Determine as forças em todas as barras da treliça Se sua solução é estaticamente inconsistente quais con clusões você pode tirar a respeito da treliça Como você poderia modificar a treliça para melhorar seu comporta mento Tente analisar a treliça com seu programa de computador Explique os resultados P426 a P428 Determine as forças em todas as barras 3 4 m 2 m 2 m 12 kN 12 kN 18 kN A B C D E F G P426 P428 4 6 m 6 m 6 m 40 kN 40 kN A B C D E F G I H P425 P427 10 10 10 10 10 24 kips 24 kips 24 kips A B C D E H F G 12 kips 6 kips 6 9 12 12 C D A B 159 Problemas P429 a P431 Determine todas as forças de barra 4 5 m 5 m 5 m 20 kN 20 kN 24 kN A B C D E F G H G C B D F E 6 kips 30 kips 12 8 A 8 5 5 8 P429 P432 P433 6 4 m 4 m 3 m 20 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 40 kN 20 kN B C D E F G I P O J K L N M H A P431 P430 P432 e P433 Usando o método das seções determine as forças nas barras relacionadas abaixo de cada figura 10 10 40 kips 20 kips 20 kips A B C D E F G H I J 4 15 60 AB BD AD BC e EF 6 15 90 BL KJ JD e LC 12 6 3 30 kips 30 kips A B L K J C 90 kips D E G F H I 160 Capítulo 4 Treliças P434 e P435 Usando o método das seções determine as forças nas barras relacionadas abaixo de cada figura 3 12 36 G F E D C B A J I H 30 kips 18 kips 12 kips 9 9 16 EF EI ED FH e IJ 4 4 m 3 m 3 m A B C D E F G H I J K L M N 12 kN 16 kN IJ MC e MI 12 kN 3 m 3 m 3 m 3 m 2 m A B C D E F 30 kN 4 20 15 15 A B C D E F L I G H K J 30 kips 60 kips 30 kips 9 D A E B F C 9 6 12 12 6 24 kips P434 P437 P438 P436 P435 P436 a P438 Determine as forças em todas as barras das treliças Indique se as forças de barra são tração ou compressão Sugestão comece com o método das seções 161 Problemas P439 a P445 Determine as forças ou as componentes da força em todas as barras das treliças Indique se é tração ou compressão 24 kips 24 kips 24 kips 74 kips 72 kips 36 kips 18 kips A H G F E D C B 8 8 8 8 6 6 4 4 m 3 m 12 kN 6 kN 12 kN A B C D E F G P441 18 kips 3 18 54 A B C D E F G H 12 kips 6 kips 12 12 12 12 P440 5 m 5 m 12 kN 6 kN 6 kN 5 m 5 m 5 m 5 m A B C D E F H G P439 P442 4 8 32 6 6 6 30 kips 30 kips 12 kips 12 kips 12 kips 12 kips 12 kips A B C D E F G H J I P443 162 Capítulo 4 Treliças P446 A ponte de uma estrada de pista dupla apoiada em duas treliças sob a pista de rolamento com compri mento de 64 pés consiste em uma laje de concreto armado de 8 pol apoiada em quatro longarinas de aço A laje é protegida por uma superfície de revestimento de 2 pol de asfalto As longarinas de 16 pés de compri mento são suportadas pelas transversinas as quais por sua vez transferem as sobrecargas e as cargas perma nentes para os nós de cada treliça A treliça aparafu sada no apoio da esquerda no ponto A pode ser tratada como apoiada em articulação fixa A extremidade direita da treliça repousa em uma almofada de elastô mero em G A almofada de elastômero que permite somente deslocamento horizontal do nó pode ser tra tada como articulação móvel As cargas mostradas representam as sobrecargas e as cargas permanentes totais A carga de 18 kips é uma sobrecarga adicional que representa uma carga de roda pesada Determine a força na corda inferior entre os nós I e J a força na barra JB e a reação aplicada no apoio A 4 16 64 26 12 transversina corda inferior corda superior contraventamento Seção AA laje de 8 2 de asfalto 51 kips 94 kips A A A B C D E H I J F G 94 kips longarina 18 kips 94 kips 51 kips treliça laje 30 kips A F E D C B 40 40 40 30 30 P444 P446 4 4 m 20 kN 60 kN 20 kN 90 4 3 90 3 m 3 m 4 3 A B C D E H G F J I P445 163 Problemas P448 Estudo por computador O objetivo é compa rar o comportamento de uma estrutura determi nada e o de uma indeterminada As forças nas barras das treliças determinadas não são afetadas pela rigidez da barra Portanto não houve necessidade de especificar as propriedades da seção transversal das barras das treliças determinadas que analisamos por meio de cálculos manuais anterior mente neste capítulo Em uma estrutura determinada para um conjunto de cargas dado somente um caminho de carga está disponível para transmitir as cargas para os apoios enquanto em uma estrutura indeterminada existem vários caminhos de carga consultar Seção 310 No caso das treliças a rigidez axial das barras uma função da área da seção transversal da barra que constitui cada caminho de carga influenciará a magnitude da força em cada barra do caminho Examinaremos esse aspecto do comportamento variando as propriedades de certas barras da treliça indeterminada mostrada na Figura P448 Use E 29 000 kipspol2 Caso 1 Determine as reações e as forças nas barras 4 e 5 se a área de todas as barras é de 10 pol2 Caso 2 Repita a análise do Caso 1 desta vez aumen tando a área da barra 4 para 20 pol2 A área de todas as outras barras permanece em 10 pol2 Caso 3 Repita a análise do Caso 1 aumentando a área da barra 5 para 20 pol2 A área de todas as outras barras permanece em 10 pol2 Quais conclusões você tira a partir desse estudo P447 Análise de uma treliça por computador O obje tivo deste estudo é mostrar que a magnitude dos deslocamentos de nó assim como a magnitude das forças nas barras pode controlar as proporções dos membros estruturais Por exemplo os códigos de construção normalmente especificam os deslocamentos máximos permitidos para garantir que não ocorra fissura ção excessiva da construção associada como paredes externas e janelas ver Foto 11 na Seção 13 Um projeto preliminar da treliça da Figura P447 pro duz as seguintes áreas de barra barra 1 25 pol2 barra 2 3 pol2 e barra 3 2 pol2 Além disso E 29 000 kipspol2 Caso 1 Determine todas as forças de barra reações de nó e deslocamentos de nó supondo nós articulados Use o programa de computador para plotar a forma deformada Caso 2 Se o deslocamento horizontal máximo do nó 2 não deve ultrapassar 025 pol determine a área mínima exigida das barras da treliça Para esse caso suponha que todos as barras da treliça têm a mesma área de seção transversal Arredonde a área para o número inteiro mais próximo 15 20 30 kips 1 3 2 1 2 3 20 15 1 2 3 4 1 3 4 5 2 100 kips P447 P448 164 Capítulo 4 Treliças exemplo prático P449 Análise por computador de uma treliça com nós rígidos A treliça da Figura P449 é construída de tubos de aço quadrados soldados para formar uma estrutura com nós rígidos As barras da corda superior 1 2 3 e 4 são tubos quadrados de 4 4 1 4 polegadas com A 359 pol2 e I 822 pol4 Todas as outras barras são tubos quadrados de 3 3 1 4 polegadas com A 259 pol2 e I 316 pol4 Use E 29 000 kipspol2 a Considerando rígidos todos os nós calcule as forças axiais e os momentos em todas as barras e a deflexão no meio do vão quando as três cargas de projeto de 24 kips atuam nos nós 7 8 e 9 Ignore a carga de 4 kips b Se um elevador também é ligado à corda inferior no ponto central do painel da extremidade direita indi cado como nó 6 para levantar uma carga concentrada de 4 kips determine as forças e os momentos na corda inferior barras 5 e 6 Se a tensão máxima não deve ultrapassar 25 kipspol2 a corda inferior pode suportar a carga de 4 kips com segurança além das três cargas de 24 kips Calcule a tensão máxima usando a equação s F A Mc I em que c 15 pol metade da profundidade da corda inferior Nota Se quiser calcular as forças ou a deflexão em um ponto particular de um membro especifique o ponto como nó 1 1 2 4 3 8 9 6 7 5 4 12 48 8 6 4 10 14 13 11 9 8 24 kips 24 kips 24 kips 4 kips 7 6 5 2 3 12 P449 Ponte de ShrewsburyWorcester Massachusetts sobre o lago Quinsigamond O projetista aumentou a altura das vigas mestras contínuas fabricadas com chapas de aço para aumentar a capacidade da ponte nos pilares onde os momentos de projeto são maiores C A P Í T U L O Vigas e pórticos 51 Introdução Vigas As vigas representam um dos elementos mais comuns encontrados em estruturas Quando uma viga é carregada perpendicularmente ao seu eixo longitudinal forças internas cortante e momento desen volvemse para transmitir as cargas aplicadas para os apoios Se as extremidades da viga são restritas longitudinalmente por seus apoios ou se a viga é componente de um pórtico contínuo uma força axial também pode se desenvolver Se a força axial é pequena a situação típica para a maioria das vigas pode ser desprezada ao se projetar a peça No caso de vigas de concreto armado pequenos valores de compressão axial produzem de fato um aumento modesto da ordem de 5 a 10 na resistência à flexão da viga Para projetar uma viga o engenheiro deve construir os diagramas de cortante e momento para determinar o local e a magnitude dos valo res máximos dessas solicitações A não ser para vigas curtas e pesada mente carregadas cujas dimensões são controladas pelos requisitos de cortante as proporções da seção transversal são determinadas pela magnitude do momento máximo no vão Após a seção ser dimensionada no ponto de momento máximo o projeto é concluído verificandose se as tensões de cisalhamento no ponto de cortante máximo normal mente adjacente a um apoio são iguais ou menores do que a resis tência ao cisalhamento permitida pelo material Por fim as deflexões produzidas pelas cargas de serviço devem ser verificadas para garantir que a peça tenha rigidez adequada Os limites da deflexão são defini dos pelos códigos estruturais Se o comportamento é elástico como por exemplo quando as barras são feitas de aço ou alumínio e se é utilizado projeto de tensão admissível a seção transversal necessária pode ser estabelecida usandose a equação de viga básica 51 s Mc I 5 168 Capítulo 5 Vigas e pórticos em que σ tensão de flexão produzida pelo momento da carga de serviço M c distância do eixo neutro até a fibra externa onde a tensão de flexão σ vai ser avaliada I momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo central da seção Para selecionar uma seção transversal σ na Equação 51 é configurado igual à tensão de flexão permitida σadmissível e a equação é resolvida para Ic que é denominado módulo da seção e denotado por Sx 52 Sx I c M sadmissível Sx medida da capacidade de flexão de uma seção transversal é tabulado em manuais de projeto para formas padronizadas de vigas produzidas por diversos fabricantes Após dimensionar uma seção transversal para o momento o projetista verifica a tensão de cisalhamento na seção onde a força cortante V é máxima Para vigas de comportamento elástico as tensões de cisalhamento são calculadas pela equação 53 t VQ Ib em que t tensão de cisalhamento produzida pela força cortante V V cortante máximo do diagrama de cortante Q momento estático da parte da área que fica acima ou abaixo do ponto onde a tensão de cisalhamento vai ser calculada para uma viga retangular ou em forma de I a tensão de cisalha mento máxima ocorre à meia altura I momento de inércia da área da seção transversal sobre o cen troide da seção b espessura da seção transversal na elevação onde t é calculada Quando uma viga tem uma seção transversal retangular a tensão de cisalhamento máxima ocorre à meia altura Para esse caso a Equação 53 se reduz a 54 tmáx 3V 2A em que A é igual à área da seção transversal Se o projeto de resistência que tem substituído amplamente o projeto de tensão admissível é utilizado as barras são dimensionadas para car gas ponderadas As cargas ponderadas são produzidas pela multiplicação das cargas de serviço por fatores de carga números normalmente maiores do que 1 Usando cargas ponderadas o projetista realiza uma análise elástica o assunto deste texto As forças produzidas pelas car gas ponderadas representam a resistência necessária A barra é dimensio nada de modo que sua resistência de projeto seja igual à resistência necessária A resistência de projeto avaliada considerando o estado da tensão associado a um modo de falha em particular é uma função das 169 Seção 51 Introdução propriedades da seção transversal da condição da tensão na falha por exemplo escoamento de aço ou esmagamentos de concreto e de um fator de redução um número menor do que 1 A última etapa no projeto de uma viga é verificar se ela não deforma excessivamente isto é se as deflexões estão dentro dos limites especifi cados pelo código de projeto aplicável As vigas excessivamente flexí veis sofrem grandes deflexões que podem danificar a construção não estrutural associada tetos de gesso paredes de alvenaria e tubulações rígidas por exemplo podem rachar Como a maioria das vigas que abrangem distâncias curtas digamos entre aproximadamente 9 e 12 m é fabricada com uma seção transversal constante para minimizar o custo elas têm capacidade de flexão exce dente em todas as seções exceto naquela em que ocorre o momento máximo Se os vãos são longos na faixa de aproximadamente 45 a 60 m ou mais e se as cargas são grandes então vigas mestras pesadas e altas são necessárias para suportar as cargas de projeto Para essa situa ção na qual o peso da viga mestra pode representar de 75 a 80 da carga total alguma economia pode ser obtida moldandose a viga de acordo com as ordenadas do diagrama de momento Para essas vigas mestras maiores a capacidade de momento da seção transversal pode ser ajustada pela variação da profundidade da viga ou pela alteração da espessura da mesa ver Figura 51 Além disso a redução do peso das vigas mestras pode resultar em pilares e fundações menores Normalmente as vigas são classificadas pela maneira com que são apoiadas Uma viga apoiada por uma articulação fixa em uma extre midade e por uma articulação móvel na outra extremidade é chamada viga com apoio simples ver Figura 52a Se a extremidade com apoio simples se estende sobre um apoio denominase viga em balanço ver Figura 52b Uma viga em balanço é fixa em uma extremidade contra translação e rotação Figura 52c As vigas apoiadas por diversos apoios intermediários são chamadas vigas contínuas Figura 52d Se as duas extremidades são fixas pelos apoios é denominada viga engastada ver Figura 52e As vigas engastadas não são comumente construídas na prática mas os valores dos momentos da extremidade nelas produzidos por diversos tipos de carga são extensivamente usa dos como ponto de partida em vários métodos de análise de estruturas indeterminadas ver Figura 135 Neste capítulo discutiremos apenas as vigas determinadas que podem ser analisadas pelas três equações da estática Vigas desse tipo são comuns em construções de madeira e w w a b diagrama de momento diagrama de momento w a diagrama de momento Figura 51 a Espessura da mesa variada para aumentar a capacidade de flexão b altura variada para modificar a capacidade de flexão a b c d e Figura 52 Tipos de viga comuns a viga com apoio simples b viga com extremidade em balanço c viga em balanço d contínua de dois vãos e engastada 170 Capítulo 5 Vigas e pórticos aço aparafusado ou rebitado Por outro lado as vigas contínuas ana lisadas nos capítulos 11 a 13 são comumente encontradas em estrutu ras com ligações rígidas pórticos de aço soldado ou concreto armado por exemplo Pórticos Conforme discutido no Capítulo 1 os pórticos são elementos estruturais compostos de vigas e colunas conectadas por ligações rígidas O ângulo entre a viga e a coluna normalmente é de 90 Como mostrado na Figura 53a e b os pórticos podem consistir em uma única coluna e viga ou como em um prédio de vários andares de muitas colunas e vigas Os pórticos podem ser divididos em duas categorias contraventados e não contraventados Pórtico contraventado é aquele no qual os nós em cada nível estão livres para girar mas são impedidos de se mover late ralmente pela fixação em um elemento rígido que pode fornecerlhes restrição lateral Por exemplo em um prédio de vários andares os pór ticos estruturais são frequentemente ligados aos pilaresparedes pare des estruturais rígidas em geral construídas de concreto armado ou alvenaria armada ver Figura 53c Em pórticos simples de um vão pode ser utilizado um contraventamento diagonal leve conectado à base das colunas para resistir ao deslocamento lateral dos nós superiores ver Figura 53d Pórtico não contraventado ver Figura 53e é aquele no qual a resis tência lateral ao deslocamento é fornecida pela rigidez à flexão das vigas e colunas Nos pórticos não contraventados os nós estão livres para des locar lateralmente assim como para girar Como tendem a ser relativa mente flexíveis comparados aos pórticos contraventados sob carga lateral os pórticos não contraventados podem sofrer grandes deflexões transver sais que danificam os elementos não estruturais associados como pare des janelas etc Foto 51 Ponte de Harvard composta de vigas mestras de altura variável com balanços em cada extremidade 171 Seção 51 Introdução Embora as vigas e as colunas de pórticos rígidos transmitam força axial força cortante e momento a força axial nas vigas normalmente é tão pequena que pode ser desprezada e a viga dimensionada somente para momento Por outro lado nas colunas a força axial particularmente nas colunas internas inferiores de pórticos de vários pavimentos frequentemente é grande e os momentos pequenos Para colunas desse tipo as proporções são determinadas principal mente pela capacidade axial dos membros Se os pórticos são flexíveis um momento fletor adicional é criado pelo deslocamento lateral do membro Por exemplo as partes superiores das colunas do pórtico não contraventado na Figura 53e se deslocam uma distância para a direita Para avaliar as forças na coluna consi deramos um corpo livre da coluna AB em sua posição fletida ver Figura 53f O corpo livre é cortado passandose um plano imaginário pela coluna imediatamente abaixo do nó B O plano de corte é perpendicular ao eixo longitudinal da coluna Podemos expressar o momento interno a b P1 P2 P3 Q V P1 P2 P3 pilar parede c Q d Ay Ax Q P A B C D L e Mi f posição fletida Ay Ax Q V F A B z L Figura 53 a Pórtico simples b pórtico contí nuo de prédio com vários pavimentos c pórtico contraventado por um pilarparede d pórtico con traventado por contraventamento diagonal e des locamento lateral de um pórtico não contraventado f corpo livre de coluna na posição fletida 172 Capítulo 5 Vigas e pórticos Mi que atua no corte como reações na base da coluna e geometria da forma fletida somando os momentos sobre um eixo z pela linha central da coluna 55 Mi Ax L Ay Mi Mz Na Equação 55 o primeiro termo representa o momento produzido pelas cargas aplicadas desprezandose a deflexão lateral do eixo da coluna É chamado momento principal e está associado à análise de primeira ordem descrita na Seção 17 O segundo termo Ay que representa o momento adicional produzido pela excentricidade da carga axial é denominado momento secundário ou momento Pdelta O momento secundário será pequeno e pode ser desprezado sem erro sig nificativo sob estas duas condições 1 As forças axiais são pequenas digamos menos de 10 da capacidade axial da seção transversal 2 A rigidez à flexão da coluna é grande de modo que o deslocamento lateral do eixo longitudinal da coluna produzido pela flexão é pequeno Neste livro faremos apenas uma análise de primeira ordem isto é não consideraremos o cálculo do momento secundário um assunto normalmente abordado em cursos avançados de mecânica estrutural Como desprezamos os momentos secundários a análise dos pórticos é semelhante à análise das vigas isto é a análise está concluída quando estabelecemos os diagramas de cortante e de momento além da força axial com base na geometria inicial do pór tico descarregado 52 Escopo do capítulo Iniciaremos o estudo das vigas e pórticos discutindo diversas ope rações básicas que serão frequentemente utilizadas nos cálculos de deformações e na análise de estruturas indeterminadas Essas opera ções incluem 1 Escrever expressões para cortante e momento em uma seção no que diz respeito às cargas aplicadas 2 Construir diagramas de cortante e momento 3 Esboçar as formas deformadas de vigas e pórticos carregados Como esses procedimentos são apresentados em alguns cursos de estática e resistência dos materiais para alguns estudantes grande parte deste capítulo será uma revisão de tópicos básicos Nos exemplos deste capítulo supomos que todas as vigas e pórticos são estruturas bidimensionais suportando cargas no plano que produzem cor tante momento e possivelmente forças axiais mas nenhuma torção Para 173 Seção 53 Equações de cortante e de momento essa condição uma das mais comuns na prática real existir as cargas no plano devem passar pelo centroide de uma seção simétrica ou pelo centro de cisalhamento de uma seção assimétrica ver Figura 54 53 Equações de cortante e de momento Iniciaremos o estudo das vigas escrevendo equações que expres sam o cortante V e o momento M em seções ao longo do eixo longitu dinal de uma viga ou pórtico relativamente às cargas aplicadas e à distância de uma origem de referência Embora as equações de cor tante tenham uso limitado as de momento são necessárias nos cálcu los de deflexão para vigas e pórticos tanto pelo método da integração dupla consultar Capítulo 9 como pelos métodos de trabalhoenergia consultar Capítulo 10 Conforme o estudo das vigas nos cursos de mecânica dos materiais e estática cortante e momento são as forças internas em uma viga ou pórtico produzidas pelas cargas transversais aplicadas O cortante atua perpendicularmente ao eixo longitudinal e o momento representa o conjugado interno produzido pelas tensões de flexão Essas forças são avaliadas em um ponto específico ao longo do eixo da viga cortando a viga com uma seção imaginária perpendicular ao eixo longitudinal ver Figura 55b e então escrevendo equações de equilíbrio para o corpo livre à esquerda ou à direita do corte A força cortante como produz equilíbrio na direção normal ao eixo longitudinal da barra é avaliada pela soma das forças perpendiculares ao eixo longitudinal isto é para uma viga horizontal somamos as forças na direção vertical Neste livro o cortante em uma barra horizontal será considerado positivo se atuar para baixo na face do corpo livre à esquerda da seção ver Figura 55c Alternativamente podemos definir o cortante como positivo se tende a a c d C T x L RA R 1 b x 1 M M M R V V V M V e C T M M RA RB a b centro de cisalhamento P P centroide centroide Figura 54 a Viga carregada pelo centroide da seção simétrica b seção assimétrica carregada pelo centro de cisalhamento Figura 55 Convenções de sinal para cortante e momento a viga cortada pela seção 1 b o cortante V e o momento M ocorrem como pares de forças internas c cortante positivo a resul tante R das forças externas no corpo livre à esquerda da seção atua para cima d momento positivo e momento negativo 174 Capítulo 5 Vigas e pórticos produzir rotação no sentido horário do corpo livre no qual atua O cor tante atuando para baixo na face do corpo livre à esquerda da seção indica que a resultante das forças externas que atuam no mesmo corpo livre é para cima Como o cortante que atua na seção à esquerda repre senta a força aplicada pelo corpo livre à direita da seção um valor de força cortante igual mas de direção oposta deve atuar para cima na face do corpo livre à direita da seção O momento interno M em uma seção é avaliado somando os momentos das forças externas que atuam no corpo livre em um dos lados da seção sobre um eixo perpendicular ao plano da barra que passa pelo centroide do corte transversal O momento será conside rado positivo se produzir tensões de compressão nas fibras superiores do corte transversal e tração nas fibras inferiores ver Figura 55d Por outro lado um momento negativo curva uma barra côncava para baixo ver Figura 55e Se uma barra de flexão é vertical o engenheiro está livre para defi nir o sentido positivo e negativo do cortante e do momento Para o caso de uma única barra vertical uma estratégia possível para estabe lecer a direção positiva para o cortante e para o momento é girar em 90 no sentido horário a planilha de cálculo que contém o esboço para que a barra fique horizontal e então aplicar as convenções mos tradas na Figura 55 Para pórticos de um vão muitos analistas definem o momento como positivo quando produz tensões de compressão na superfície externa da barra em que se define como interna a região dentro do pórtico ver Figura 56 Portanto a direção positiva do cortante é definida arbitra riamente conforme mostrado pelas setas na Figura 56 A força axial em uma seção transversal é avaliada somando todas as forças perpendiculares à seção transversal As forças que atuam para fora da seção transversal são forças de tração T aquelas dirigidas para a seção transversal são forças de compressão C ver Figura 56 M M M M M M V V V V V V C C C C T T Figura 56 Forças internas atuando nas seções do pórtico 175 Escreva as equações da variação do cortante V e do momento M ao longo do eixo da viga em balanço na Figura 57 Usando a equação calcule o momento na seção 11 4 pés à direita do ponto B Solução Determine a equação do cortante V entre os pontos A e B ver Figura 57b mostre V e M no sentido positivo Defina a origem em A 0 x1 6 V 4 kips 0 4 V c Fy 0 Determine a equação do momento M entre os pontos A e B Defina a origem em A Some os momentos sobre a seção M 4x1 kip ft 0 4x1 M A Mz 0 O sinal de menos indica que V e M atuam no sentido oposto às dire ções mostradas na Figura 57b Determine a equação do cortante V entre os pontos B e C ver Figura 57c Defina a origem em B 0 x2 8 V 4 2x2 0 4 2x2 V c Fy 0 O momento M entre B e C é M 24 4x2 x 2 2 0 416 x22 2x2a x2 2 b M A Mz 0 Para M na seção 11 4 pés à direita de B configure x2 4 ft M 24 16 16 56 kip ft Alternativamente calcule M entre os pontos B e C usando uma origem em A e meça a distância com x3 ver Figura 57d em que 6 x3 14 M x 2 3 8x3 36 0 4x3 21x3 62 a x3 6 2 b M A Mz 0 Recalcule o momento na seção 11 configure x3 10 pés M 102 810 36 56 kip ft Seção 53 Equações de cortante e de momento E X E M P L O 5 1 x1 4 kips M V z b A x1 x3 x2 w 2 kipsft 4 6 8 P 4 kips a A B C 1 1 x2 6 4 kips x2 2 M B R 2x2 V z c A 2 kipsft 6 x3 4 kips 2 M 2x3 6 2 kipsft x3 6 x36 V z d A Figura 57 176 Capítulo 5 Vigas e pórticos E X E M P L O 5 2 Para a viga da Figura 58 escreva as expressões para o momento entre os pontos B e C usando uma origem localizada no a apoio A b apoio D e c ponto B Usando cada uma das expressões acima avalie o momento na seção 1 A força cortante nas seções foi omitida por clareza Solução a Veja a Figura 58b a soma dos momentos sobre o corte dá M 200 3x1 0 37x1 40 1x1 52 M A Mz 0 Na seção 1 x1 12 ft portanto M 200 312 164 kip ft b Veja a Figura 58c a soma dos momentos sobre o corte fornece M 3x2 140 0 M 28 1x2 52 31x2 A Mz 0 Na seção 1 x2 8 ft portanto M 38 140 164 kip ft c Veja a Figura 58d somando os momentos sobre o corte temos M 170 3x3 3 7 110 x32 40 15 x32 M 0 A Mz 0 Na seção 1 x3 2 ft portanto M 170 32 164 kip ft Nota Conforme este exemplo demonstra o momento em uma seção tem valor único e é baseado nos requisitos do equilíbrio O valor do momento não depende da localização da origem do sistema de coordenadas 5 M z 10 x1 10 x1 5 x1 37 kips b R 40 kips A 10 5 2 5 37 kips 31 kips 28 kips a B B C D w 4 kipsft A 1 M D C 5 x2 5 x2 31 kips 28 kips c z M z 10 5 x3 5 x3 37 kips d R 40 kips B A Figura 58 177 Seção 53 Equações de cortante e de momento Escreva as equações do cortante e do momento como uma função da distância x ao longo do eixo da viga da Figura 59 Selecione a origem no apoio A Represente os termos individuais na equação de momento como uma função da distância x Solução Passe uma seção imaginária pela viga a uma distância x à direita do apoio A para produzir o corpo livre mostrado na Figura 59b o cor tante V e o momento M são mostrados no sentido positivo Para encontrar a solução de V some as forças na direção y 1 V wL 2 wx wL 2 wx V 0 c Fy 0 Para achar a solução de M some os momentos no corte sobre um eixo z passando pelo centroide 2 M wL 2 x wx 2 2 0 wL 2 1x2 wx a x 2 b M A Mz 0 em que nas duas equações 0 x L Um gráfico dos dois termos da Equação 2 é mostrado na Figura 59c O primeiro termo na Equação 2 o momento produzido pela reação vertical RA no apoio A é uma função linear de x e é represen tado como uma linha reta inclinada para cima e à direita O segundo termo que representa o momento devido à carga uniformemente distribuída é uma função de x2 e é traçado como uma parábola incli nada para baixo Quando um diagrama de momento é representado dessa maneira dizemos que ele é traçado pelas partes da viga em balanço Na Figura 59d as duas curvas são combinadas para produ zir uma curva parabólica cuja ordenada em meio vão é igual ao familiar wL28 E X E M P L O 5 3 Figura 59 a Viga carregada uniformemente b corpo livre do segmento da viga c curva de momento traçada por partes d diagrama de momento combinado uma parábola simétrica M R wx x 2 L A B w a RB wL 2 RA wL 2 x A z w V b wL 2 M M M wLx 2 wL2 2 wL2 2 M x wx2 2 c wL2 8 d 178 Capítulo 5 Vigas e pórticos 16 1375 225 20 7467 45 cortante kips momento kip ft c 18 w 6 24 a C B x w 3 kipsft A 20 kips 16 kips 6 x 6 x 3 x2 16 x M R V z b 16 kips w A E X E M P L O 5 4 a Escreva as equações do cortante e do momento em uma seção ver tical entre os apoios B e C para a viga da Figura 510a b Usando a equação do cortante da parte a determine o ponto em que o cortante é zero o ponto de momento máximo c Represente graficamente a variação do cortante e do momento entre B e C Solução a Corte o corpo livre mostrado na Figura 510b passando uma seção pela viga a uma distância x do ponto A na extremidade esquerda Usando triângulos semelhantes expresse w a ordenada da carga triangular no corte considere a carga triangular no corpo livre e na viga em relação a x e à ordenada da curva de carga no apoio C w x 3 24 portanto w x 8 Calcule a resultante da carga triangular no corpo livre da Figura 510b R 1 2 xw 1 2 x x 8 x 2 16 Calcule V somando as forças na direção vertical 1 V 16 x2 16 0 16 x2 16 V c Fy 0 Calcule M somando os momentos sobre o corte 2 M 96 16x x3 48 0 16 1x 62 x2 16 a x 3 b M A Mz 0 b Configure V 0 e resolva a Equação 1 para x 0 16 x 2 16 e x 16 ft c Veja uma representação de V e M na Figura 510c Figura 510 179 Seção 53 Equações de cortante e de momento Escreva as equações do momento nas barras AC e CD do pórtico da Figura 511 Desenhe um corpo livre do nó C mostrando todas as forças Solução São necessárias duas equações para expressar o momento na barra AC Para calcular o momento entre A e B use o corpo livre da Figura 511b Adote a ori gem de x1 no apoio A Decomponha a reação vertical nas componentes paralelas e perpendiculares ao eixo longitudinal da barra inclinada Some os momentos sobre o corte 1 M 65x1 0 65x1 M A Mz 0 em que 0 x1 322 Calcule o momento entre B e C usando o corpo livre da Figura 511c Selecione uma origem em B Decomponha a força de 20 kN nas componentes Some os momentos sobre o corte 2 M 19522 764x2 0 651322 x22 1414x2 M A Mz 0 em que 0 x2 322 Calcule o momento entre D e C usando o corpo livre da Figura 511d Selecione uma origem em D 3 M 68x3 2x2 3 0 68x3 4x3 a x3 2 b M B Mz 0 O corpo livre do nó C está mostrado na Figura 511e O momento no nó pode ser avaliado com a Equação 3 configurando x3 4 m M 684 242 48 kN m E X E M P L O 5 5 4 m 6 m 3 m 20 kN B Ay 92 kN Dy 68 kN Dx 20 kN w 4 kNm x2 1 1 x3 C D A 3 m a x1 b 92 65 kN 65 kN S A x1 M V F z 2 20 kN R 4x3 x3 M V F d 68 kN w 4 kNm x3 D z 48 kN m F 20 kN F 2064 kN e C V 92 kN V 764 kN 48 kN m c 3 2 65 kN 65 kN S A B x2 M V F z 1414 kN 1414 kN S Figura 511 180 Capítulo 5 Vigas e pórticos 54 Diagramas de cortante e de momento Para projetar uma viga devemos estabelecer a magnitude do cor tante e do momento e da carga axial se for significativa em todas as seções ao longo do eixo da barra Se a seção transversal de uma viga é constante ao longo de seu comprimento é projetada para os valores máximos de momento e cortante dentro do vão Se a seção transversal varia o projetista deve investigar mais seções para verificar se a capa cidade da barra é adequada para suportar o cortante e o momento Para fornecer essas informações graficamente construímos diagra mas de cortante e de momento Essas curvas que de preferência devem ser desenhadas em escala consistem em valores de cortante e momento plotados como ordenadas em relação à distância ao longo do eixo da viga Embora possamos construir curvas de cortante e de momento cortando corpos livres em intervalos ao longo do eixo de uma viga e escrever equações de equilíbrio para estabelecer os valores de cortante e momento em seções específicas é muito mais simples construir essas curvas a partir das relações básicas existentes entre carga cortante e momento Relação entre carga cortante e momento Para estabelecer a relação entre carga cortante e momento conside raremos o segmento de viga mostrado na Figura 512a O segmento é carregado por uma carga distribuída w wx cujas ordenadas variam com a distância x a partir de uma origem o localizada à esquerda do segmento A carga será considerada positiva quando atuar para cima como mostrado na Figura 512a Para obter a relação entre carga cortante e momento considerare mos o equilíbrio do elemento da viga mostrado na Figura 512d O elemento cortado passandose planos verticais imaginários pelo seg mento nos pontos 1 e 2 na Figura 512a está localizado a uma distância x da origem Como dx é infinitesimamente pequeno a ligeira variação na carga distribuída que atua no comprimento do elemento pode ser desprezada Portanto podemos supor que a carga distribuída é constante no comprimento do elemento Com base nessa suposição a resultante da carga distribuída está localizada no ponto central do elemento As curvas que representam a variação do cortante e do momento ao longo do eixo da barra são mostradas na Figura 512b e c Denotaremos o cortante e o momento na face esquerda do elemento na Figura 512d por V e M respectivamente Para indicar que ocorre uma pequena alte ração no cortante e no momento ao longo do comprimento dx do ele mento adicionamos as quantidades diferenciais dV e dM ao cortante V e ao momento M para estabelecer os valores de cortante e momento na face direita Todas as forças mostradas no elemento atuam no sentido positivo conforme definido na Figura 55c e d a 1 2 A B x o dx w wx b dx V V dV VA VB VAB c dx M M dM MB MA MAB 2 M M dM V dV V w w dx dx dx d o Figura 512 a Segmento de viga com uma carga distribuída b diagrama de cortante c diagrama de momento d elemento infinitesimal localizado entre os pontos 1 e 2 181 Seção 54 Diagramas de cortante e de momento Considerando o equilíbrio das forças que atuam na direção y sobre o elemento podemos escrever 0 V w dx V dV c Fy 0 Simplificando e resolvendo para dV temos dV w dx 56 Para estabelecer a diferença no cortante VAB entre os pontos A e B ao longo do eixo da viga na Figura 512a devemos integrar a Equação 56 57 VA B VB VA B A dV B A w dx A integral no lado esquerdo da Equação 57 representa a alteração no cortante VAB entre os pontos A e B Na integral da direita a quantidade w dx pode ser interpretada como uma área infinitesimal sob a curva de carga A integral ou a soma dessas áreas infinitesimais representa a área sob a curva de carga entre os pontos A e B Portanto podemos formular a Equação 57 como VAB área sob a curva de carga entre A e B 57a em que uma carga para cima produz uma alteração positiva no cortante e uma carga para baixo produz uma alteração negativa movendo da esquerda para a direita Dividindo os dois lados da Equação 56 por dx temos 58 dV dx w A Equação 58 determina que a inclinação da curva de cortante em um ponto específico ao longo do eixo de uma barra é igual à ordenada da curva de carga nesse ponto Se a carga atua para cima a inclinação é positiva para cima e à direita Se a carga atua para baixo a inclinação é negativa para baixo e à direita Em uma região da viga em que nenhuma carga atua w 0 Para essa condição a Equação 58 define que a inclinação da curva de cortante é zero indicando que o cortante permanece constante Para estabelecer a relação entre cortante e momento somamos os momentos das forças que atuam no elemento sobre um eixo normal ao plano da viga e que passam pelo ponto o ver Figura 512d O ponto o está localizado no nível do centroide da seção transversal M V dx M dM w dx dx 2 0 A Mo 0 182 Capítulo 5 Vigas e pórticos O último termo w dx22 como contém o produto de uma quantidade diferencial ao quadrado é muitas ordens de grandeza menor do que os termos que contêm uma única diferencial Portanto eliminamos o termo A simplificação da equação gera dM V dx 59 Para estabelecer a alteração no momento MAB entre os pontos A e B integraremos os dois lados da Equação 59 510 MA B MB MA B A dM B A V dx O termo do meio na Equação 510 representa a diferença no momento MAB entre os pontos A e B Como o termo V dx pode ser interpretado como uma área infinitesimal sob a curva de cortante entre os pontos 1 e 2 ver Figura 512b a integral da direita a soma de todas as áreas infinitesimais entre os pontos A e B representa a área total sob a curva de cortante entre os pontos A e B Com base nas observações acima podemos expressar a Equação 510 como MAB área sob a curva de cortante entre A e B 510a em que uma área positiva sob a curva de cortante produz uma altera ção positiva no momento e uma área negativa sob a curva de cortante produz uma alteração negativa MAB é mostrada graficamente na Figura 512c Dividindo os dois lados da Equação 59 por dx temos 511 dM dx V A Equação 511 estabelece que a inclinação da curva de momento em qualquer ponto ao longo do eixo de um membro é o cortante nesse ponto Se as ordenadas da curva de cortante são positivas a inclinação da curva de momento é positiva dirigida para cima e à direita Analoga mente se as ordenadas da curva de cortante são negativas a inclinação da curva de momento é negativa dirigida para baixo e à direita 183 Seção 54 Diagramas de cortante e de momento Em uma seção na qual V 0 a Equação 511 indica que a inclina ção da curva de momento é zero uma condição que estabelece o local de um valor de momento máximo Se o cortante é zero em várias seções de um vão o projetista deve calcular o momento em cada seção e comparar os resultados para definir o valor de momento máximo absoluto no vão As equações 56 a 511 não levam em conta o efeito de uma carga ou momento concentrado Uma força concentrada produz uma alteração acentuada na ordenada de uma curva de cortante Se considerarmos o equilíbrio na direção vertical do elemento na Figura 513a a alteração no cortante entre as duas faces do elemento será igual à magnitude da força concentrada Analogamente a alteração no momento em um ponto é igual à magnitude do momento concentrado M1 no ponto ver Figura 513b Na Figura 513 todas as forças mostradas atuam no sen tido positivo Os exemplos 56 a 58 ilustram o uso das equações 56 a 511 para construir diagramas de cortante e momento Para construir os diagramas de cortante e momento para uma viga que suporta cargas concentradas e distribuídas primeiramente calcula mos o cortante e o momento na extremidade esquerda da barra Então passamos para a direita e localizamos o próximo ponto na curva de cortante somando algebricamente ao cortante à esquerda a força representada 1 pela área sob a curva de carga entre os dois pontos ou 2 por uma carga concentrada Para estabelecer um terceiro ponto uma carga é adicionada ou subtraída do valor do cortante no segundo ponto O processo de localização de pontos adicionais continua até que o dia grama de cortante esteja concluído Normalmente avaliamos as ordena das do diagrama de cortante em cada ponto onde uma carga concentrada atua ou onde uma carga distribuída começa ou termina De maneira semelhante os pontos no diagrama de momento são estabelecidos somando algebricamente ao momento em um ponto específico o incremento do momento representado pela área sob a curva de cortante entre um segundo ponto Esboçando formas de vigas defletidas Após os diagramas de cortante e momento serem construídos talvez o projetista queira fazer um esboço da forma defletida da viga Embora discutamos esse assunto com bastante detalhe na Seção 56 o procedi mento será apresentado sucintamente neste ponto A forma defletida de uma viga deve ser coerente com 1 as restrições impostas pelos apoios e 2 a curvatura produzida pelo momento Um momento positivo curva a viga com a concavidade para cima e um momento negativo curva a viga com a concavidade para baixo As restrições impostas pelos vários tipos de apoio estão resumidas na Tabela 31 Por exemplo em um engaste o eixo longitudinal da viga é limitado contra rotação e deflexão Em uma articulação fixa a viga fica livre para girar mas não se curva Esboços de formas defletidas em uma escala vertical exagerada são incluídos nos exemplos 56 a 58 Figura 513 a Efeito de uma carga concen trada na alteração do cortante b alteração no momento interno produzida pelo momento M1 aplicado P V V P dx a M1 M M M1 dx b 184 Capítulo 5 Vigas e pórticos E X E M P L O 5 6 Desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga com apoio simples da Figura 514 x A R 2x M V 0 w 2 kipsft RA 195 kips e Solução Calcule as reações use a resultante da carga distribuída R A 195 kips R A R B 24 135 0 c Fy 0 R B 18 kips 2 4 162 135 1162 20R B 0 A MA 0 Figura 514 a Detalhes da viga b diagrama de cortante os números entre parênteses repre sentam áreas sob o diagrama de cortante c diagrama de momento d forma defletida e corpo livre usado para estabelecer o local do ponto de cortante zero e momento máximo momento kip ft 195 9506 90 72 c 4 12 6 4 A x B R 24 kips P 135 kips w 2 kipsft RB 18 kips RA 195 kips a x 975 225 195 18 b 9506 506 18 Cortante kips 45 72 d 185 Seção 54 Diagramas de cortante e de momento Diagrama de cortante O cortante imediatamente à direita do apoio A é igual à reação de 195 kips Como a reação atua para cima o cortante é positivo À direita do apoio a carga uniformemente distribuída atuando para baixo reduz o cortante linearmente Na extremidade da carga distri buída 12 pés à direita do apoio o cortante é igual a V12 195 212 45 kips Na carga concentrada de 135 kips o cortante cai para 18 kips O diagrama do cortante é mostrado na Figura 514b O valor de momento máximo ocorre onde o cortante é igual a zero Para calcular a localiza ção do ponto de cortante zero denotado pela distância x a partir do apoio esquerdo consideramos as forças que atuam no corpo livre na Figura 514e 0 195 2x e x 975 ft 0 RA wx em que w 2 kips ft c Fy 0 Diagrama de momento Os pontos ao longo do diagrama de momento são avaliados somandose a alteração no momento entre os pontos sele cionados ao momento na extremidade esquerda A alteração no momento entre quaisquer dois pontos é igual à área sob a curva de cortante entre os dois pontos Para esse propósito o diagrama de cisalhamento é divi dido em duas áreas triangulares e duas áreas retangulares Os valores das respectivas áreas em unidades de kip ft são dados pelos números entre parênteses na Figura 514b Como as extremidades da viga estão apoia das em uma articulação móvel e em uma fixa apoios que não oferecem nenhuma restrição rotacional os momentos nas extremidades são zero Como o momento começa em zero à esquerda e termina em zero à direita a soma algébrica das áreas sob o diagrama de cortante entre as extremidades deve ser igual a zero Devido aos erros de arredondamento você verá que as ordenadas do diagrama de momento nem sempre satis fazem exatamente as condições de contorno Na extremidade esquerda da viga a inclinação do diagrama de momento é igual a 195 kips a ordenada do diagrama de cortante A inclinação é positiva porque o cortante é positivo À medida que a dis tância à direita do apoio A aumenta as ordenadas do diagrama de cor tante diminuem e de modo correspondente a inclinação do diagrama de momento diminui O momento máximo de 9506 kip ft ocorre no ponto de cortante zero À direita do ponto de cortante zero o cortante é nega tivo e a inclinação da curva de momento é para baixo e à direita A curva de momento está plotada na Figura 514c Como o momento é positivo ao longo de todo o comprimento a barra é curva com concavidade para cima conforme mostrado pela linha tracejada na Figura 514d 186 Capítulo 5 Vigas e pórticos E X E M P L O 5 7 Desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga uniforme mente carregada da Figura 515a Esboce a forma defletida Solução Calcule RB somando os momentos das forças sobre o apoio C A carga distribuída é representada pela sua resultante de 144 kips 8 1 R B 144 1122 0 R B 96 kips A Mc 0 Figura 515 a Viga com carga uniforme b elemento infinitesimal usado para esta belecer que V e M são iguais a zero na extremidade esquerda da viga c diagrama de cortante unidades em kips d dia grama de momento unidades em kip ft e forma defletida aproximada deflexões verticais mostradas em escala exagerada pela linha tracejada 6 x 18 12 x 10 8 8 2 A B C R 624 144 kips w 6 kipsft 96 kips RB 48 kips RC a d e ponto de inflexão PI c 60 192 108 48 cortante kips momento kip ft 36 A1 A1 2 M V w dx dx A wdx2 w b 187 Seção 54 Diagramas de cortante e de momento Calcule RC A MB 0 1446 4818 0 OK Verifique o equilíbrio verifique se 144 R C R C 48 kips c Fy 0 96 Começamos estabelecendo os valores de cortante e de momento na extremidade esquerda da viga Para esse propósito consideramos as forças em um elemento infinitesimal cortado na extremidade esquerda no ponto A por uma seção vertical ver Figura 515b Expressando o cortante e o momento relativamente à carga uniforme w e ao compri mento dx observamos que à medida que dx se aproxima de zero tanto o cortante como o momento se reduzem a zero Diagrama de cortante Como a magnitude da carga é constante ao longo de todo o comprimento da viga e dirigida para baixo a Equação 58 estabelece que o diagrama de cortante será uma linha reta com uma inclinação constante de 6 kipsft em todos os pontos ver Figura 515c Começando a partir de V 0 no ponto A calculamos o cortante imedia tamente à esquerda do apoio B avaliando a área sob a curva de carga entre os pontos A e B Equação 57a VB VA VAB 0 6 kipsft6 ft 36 kips Entre os lados esquerdo e direito do apoio em B a reação atuando para cima produz uma alteração positiva de 96 kips no cortante por tanto à direita do apoio B a ordenada do diagrama de cortante sobe para 60 kips Entre os pontos B e C a alteração no cortante dada pela área sob a curva de carga é igual a 6 kipsft18 ft 108 kips Assim o cortante cai linearmente de 60 kips em B para 48 kips em C Para estabelecer a distância x à direita do ponto B onde o cortante é zero igualamos a área wx sob a curva de carga na Figura 515a ao cor tante de 60 kips em B 60 wx 0 60 6x 0 x 10 ft Diagrama de momento Para esboçar o diagrama de momento locali zaremos os pontos de momento máximo usando a Equação 510a isto é a área sob o diagrama de cortante entre dois pontos é igual à alteração no momento entre os pontos Assim devemos avaliar em sequência as áreas positivas e negativas alternadas triângulos neste exemplo sob o diagrama de cortante Então usamos a Equação 511 para estabelecer a inclinação correta da curva entre os pontos de momento máximo MB MA MA B 0 1 2 6 36 108 kip ft continua 188 Capítulo 5 Vigas e pórticos Calcule o valor do momento máximo positivo entre B e C O momento máximo ocorre 10 pés à direita do apoio B onde V 0 108 1 2 1602 1102 192 kip ft Mmáx MB área sob a curva de V entre x 0 e x 10 Como a inclinação do diagrama de momento é igual à ordenada do diagrama de cortante a inclinação do diagrama de momento é zero no ponto A À direita do ponto A a inclinação do diagrama de momento tornase progressivamente mais pronunciada pois as ordenadas do dia grama de cortante aumentam Como o cortante é negativo entre os pon tos A e B a inclinação é negativa isto é para baixo e à direita Assim para ser coerente com as ordenadas do diagrama de cortante a curva de momento deve ser côncava para baixo entre os pontos A e B Como o cortante é positivo à direita do apoio B a inclinação do diagrama de momento tem a direção invertida e tornase positiva para cima e à direita Entre o apoio B e o ponto de momento posi tivo máximo a inclinação do diagrama de momento diminui pro gressivamente de 60 kips até zero e o diagrama de momento é côncavo para baixo À direita do ponto de momento máximo o cor tante é negativo e a inclinação do diagrama de momento muda de direção novamente tornandose progressivamente mais acentuada no sentido negativo em direção ao apoio C Ponto de inflexão Um ponto de inflexão ocorre em um ponto de momento zero Aqui a curvatura muda de côncava para cima para côn cava para baixo Para localizar um ponto de inflexão usamos as áreas sob o diagrama de cortante Como a área triangular A1 do diagrama de cortante entre o apoio C e o ponto de momento positivo máximo produz uma alteração de 192 kip ft no momento uma área igual sob o dia grama de cortante ver Figura 515c estendendose por 8 pés à esquerda do ponto de momento máximo diminuirá o momento até zero Assim o ponto de inflexão está localizado a 16 pés à esquerda do apoio C ou de modo equivalente a 2 pés à direita do apoio B Esboçando a forma defletida A forma defletida aproximada da viga é mostrada na Figura 515e Na extremidade esquerda onde o momento é negativo a viga é curvada com concavidade para baixo No lado direito onde o momento é positivo a viga é curvada com concavidade para cima Embora possamos estabelecer facilmente a curvatura em todas as seções ao longo do eixo da viga devese supor a posição curvada de certos pontos Por exemplo no ponto A a extremidade esquerda da viga carregada é arbitrariamente assumida como defletida para cima acima da posição não curvada inicial representada pela linha reta Por outro lado também é possível que o ponto A esteja locali zado abaixo da posição não curvada do eixo da viga caso a viga em balanço seja flexível A elevação real do ponto A deve ser estabele cida por meio de cálculo continuação 189 Seção 54 Diagramas de cortante e de momento Desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga inclinada da Figura 516a E X E M P L O 5 8 12 16 8 40 kips RB A B RA a cortante kips 16 16 c axial kips 12 12 e momento kip ft 160 d 10 10 40 cargas kips 16 16 20 20 12 12 32 24 b Figura 516 a Viga inclinada b forças e reações decompostas nas componentes para lelas e perpendiculares ao eixo longitudinal c diagrama de cortante d diagrama de momento e variação da carga axial tra ção é positiva e compressão é negativa Solução Iniciamos a análise calculando as reações da maneira usual com as equações da estática Como o cortante e o momento são produzidos somente pelas cargas que atuam na perpendicular ao eixo longitudinal da barra todas as forças são decompostas nas componentes paralelas e perpendiculares ao eixo longitudinal Figura 516b As componentes longitudinais produzem compressão axial na metade inferior da barra e tração na metade superior ver Figura 516e As componentes transver sais produzem os diagramas de cortante e momento mostrados na Figura 516c e d 190 Capítulo 5 Vigas e pórticos E X E M P L O 5 9 Desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga da Figura 517a Esboce a forma defletida 12 48 27 kips cortante kips 108 kips 208 kips 432 kips x b y 148 momento kip ft 4968 648 54 148 c d rótula ponto de inflexão 90 6 6 6 4 10 kips 54 kips 4 rótula 2 3 A B C D w 9 kipsft RA 208 kips RC 702 kips M 148 kip ft a 27 kips Figura 517 a Viga reações dadas b diagrama de cortante kips c diagrama de momento kip ft d forma defletida 191 Seção 54 Diagramas de cortante e de momento Solução Iniciamos a análise calculando a reação no apoio C usando um corpo livre da barra BCD Somando os momentos das forças aplicadas as resultantes da carga distribuída são mostradas por setas onduladas sobre a rótula em B calculamos RC 702 kips 0 54172 271122 RC1102 A MB 0 Após RC ser calculada o balanço das reações é computado usandose a estrutura inteira como corpo livre Mesmo estando presente uma rótula a estrutura é estável devido às restrições fornecidas pelos apoios Os diagramas de cortante e momento estão plotados na Figura 517b e c Como verificação da precisão dos cálculos observamos que o momento na rótula é zero A curvatura côncava para cima ou para baixo asso ciada aos momentos positivos e negativos é indicada pelas linhas curvas curtas acima ou abaixo do diagrama de momento Para localizar o ponto de inflexão momento zero à esquerda do apoio C igualamos a área triangular sob o diagrama de cortante entre os pontos de momento máximo e zero à alteração no momento de 4968 kip ft A base do triângulo é denotada por x e a altura por y na Figura 517b Usando triângulos semelhantes expressamos y em relação a x y 432x 48 x y 48 432 Área sob diagrama de cortante M 4968 kip ft x 332 ft 1 2 x 432x 48 4968 kip ft A distância do ponto de inflexão a partir do apoio C é 48 332 148 ft O esboço da forma defletida é mostrado na Figura 517d Como o engastamento em A impede a rotação o eixo longitudinal da viga é horizontal no apoio A isto é faz um ângulo de 90 com a face vertical do apoio Como o momento é negativo entre A e B a viga curvase com concavidade para baixo e a rótula se desloca para baixo Como o momento muda de positivo para negativo imediatamente à esquerda do apoio C a curvatura da barra BCD invertese Embora o formato geral da barra BCD seja coerente com o diagrama de momento a posição exata da extremidade da barra no ponto D deve ser estabele cida por meio de cálculo 192 Capítulo 5 Vigas e pórticos E X E M P L O 5 1 0 Desenhe diagramas de cortante e momento para a viga ABC da Figura 518a Além disso esboce a forma defletida Nós rígidos conec tam as barras verticais à viga A almofada de elastômero em C é equi valente a uma articulação móvel 6 12 8 4 5 kips 15 kips 30 kips D E B A RC RAY RAX a C 6 5 kips 15 kips 15 kips 3 kips 30 kips 30 30 8 kips 180 kip ft 180 kip ft 60 kip ft 60 kip ft B C C A b B E D 4 15 5 5 15 c 96 3 8 24 cortante kips d momento kip ft 84 180 24 B C e 90 90 Figura 518 a Detalhes da viga b corpos livres da viga e das barras verti cais c diagrama de cortante d dia grama de momento e forma defletida em escala exagerada 193 Seção 54 Diagramas de cortante e de momento Solução Calcule a reação em C some os momentos sobre A de todas as for ças que atuam na Figura 518a R AX 15 kips 3 0 15 R AX 0 S Fx 0 R AY 3 kips c Fy 0 8 5 R AY R C 8 kips 0 5182 15142 30 162 20R C A MA 0 A Figura 518b mostra os diagramas de corpo livre da viga e das barras verticais As forças na parte inferior das barras verticais repre sentam as forças aplicadas pela viga As verticais por sua vez exer cem forças iguais e opostas na viga Os diagramas de cortante e momento são construídos em seguida Como o cortante em uma seção é igual à soma das forças verticais em um dos dois lados da seção o momento concentrado e as forças longitudinais não contri buem para o cortante Como uma articulação fixa está localizada na extremidade esquerda o momento da extremidade começa em zero Entre os pon tos A e B a alteração no momento dada pela área sob o diagrama de cortante é igual a 24 kip ft Em B o momento concentrado de 60 kip ft no sentido antihorário faz o diagrama de momento cair acen tuadamente para 84 kip ft A ação de um momento concentrado que produz uma alteração positiva no momento na seção imediata mente à direita do momento concentrado está ilustrada na Figura 513b Como o momento em B tem sentido oposto ao momento ilus trado na Figura 513b produz uma alteração negativa Entre B e C a alteração no momento é novamente igual à área sob o diagrama de cortante O momento final na viga em C deve equilibrar os 180 kip ft aplicados pela barra CD Como o momento é negativo ao longo de todo o comprimento da viga a viga inteira curvase com concavidade para baixo como mos trado na Figura 518e Todo o eixo da viga mantém uma curva suave 194 Capítulo 5 Vigas e pórticos E X E M P L O 5 1 1 Desenhe diagramas de cortante e momento e esboce a forma defle tida da viga contínua da Figura 519a As reações de apoio são dadas w 3 kipsft MC 9484 kip ft a B C A 8 5767 kips 2923 kips 40 kips 131 kips 8 20 b 974 2923 269 131 3077 cortante kips c 412 463 41 1048 4745 1104 9484 momento kip ft d forma defletida PI PI PI Solução Como a viga é indeterminada no segundo grau as reações devem ser estabelecidas por um dos métodos de análise indeterminada aborda dos nos capítulos 11 a 13 Uma vez estabelecidas as reações o proce dimento para desenhar os diagramas de cortante e de momento é idên tico àquele utilizado nos exemplos 56 a 510 A Figura 519d mostra a forma defletida da estrutura Os pontos de inflexão são indicados por pequenos pontos pretos Figura 519 195 Seção 54 Diagramas de cortante e de momento Analise a viga mestra que suporta um sistema de piso na Figura 520 Longarinas FE e EDC as pequenas vigas longitudinais que suportam o piso são sustentadas pela viga mestra AB Desenhe os dia gramas de cortante e momento para a viga mestra E X E M P L O 5 1 2 a D E F A C B 10 30 kips 60 kips 10 20 30 b D E F C 30 kips 10 kips 20 kips 80 kips 20 kips 60 kips c A E B 20 kips 10 kips 15 kips 80 kips 75 kips 5 5 cortante kips d 150 momento kip ft e Solução Como as longarinas FE e EDC são estaticamente determinadas suas reações podem ser estabelecidas pela estática usando os corpos livres mostrados na Figura 520b Após serem calculadas as reações das lon garinas são aplicadas na direção oposta no corpo livre da viga mestra na Figura 520c No ponto E podemos combinar as reações e aplicar uma carga líquida de 10 kips para cima na viga mestra Após as reações da viga mestra serem calculadas são desenhados os diagramas de cortante e momento ver Figura 520d e e Figura 520 196 Capítulo 5 Vigas e pórticos E X E M P L O 5 1 3 Desenhe os diagramas de cortante e de momento para cada barra do pórtico da Figura 521a Além disso esboce a forma defletida e mostre as forças atuando em um corpo livre do nó C Trate a ligação em B como uma rótula A B C D E b a c d e C D A B E cortante kips cortante kips momento kip ft momento kip ft C 12 5 kipsft 8 387 kips 12 rótula Bx 30 kips By 33 kips Ax 30 kips MCB 396 kip ft MCE 270 kip ft MCD 3096 kip ft 33 kips 387 kips 42 kips 30 kips 30 kips Bx 30 kips By 33 kips Ey 42 kips Ay 33 kips MA 396 kip ft A B 33 396 12 6 6 C B D C D cortante kips momento kip ft B E 12 rótula 30 kips 8 387 33 30 270 396 3096 387 kips 6 6 9 Figura 521 a Pórtico determinado b diagramas de cortante e de momento do pórtico BCDE c diagramas de cortante e de momento da viga em balanço AB d corpo livre do nó C e forma defletida do pórtico 197 Seção 54 Diagramas de cortante e de momento Solução Iniciamos a análise do pórtico examinando os corpos livres da estru tura em um lado ou outro da rótula em B para calcular as reações Para calcular a reação vertical na articulação móvel ponto E somamos os momentos sobre B das forças que atuam no corpo livre na Figura 521b Ey 42 kips 0 3871202 30 192 Ey1122 A MB 0 Agora as componentes das forças da rótula em B podem ser deter minadas pela soma das forças nas direções x e y By 42 387 0 By 33 kips c Fy 0 3 0 Bx 0 Bx 30 kips S Fx 0 Após as forças da rótula em B serem estabelecidas a viga em balanço na Figura 521c pode ser analisada pelas equações da estática Os resultados estão mostrados no esboço Com as forças conhecidas nas extremidades de todas as barras desenhamos os diagramas de cortante e de momento para cada barra Esses resultados estão plotados ao lado de cada barra A curvatura associada a cada diagrama de momento é mostrada por uma linha curva no diagrama O corpo livre do nó C está mostrado na Figura 521d Conforme você pode verificar usando as equações da estática isto é Fy 0 Fx 0 M 0 o nó está em equilíbrio Um esboço da forma defletida é mostrado na Figura 521e Como A é um engastamento o eixo longitudinal da viga em balanço é horizontal nesse ponto Se reconhecermos que nem forças axiais nem a curvatura gerada pelo momento produzem uma alteração significativa no compri mento das barras então o nó C é restringido contra deslocamento hori zontal e vertical pelas barras CE e ABC as quais se conectam nos apoios que impedem o deslocamento ao longo dos seus eixos O nó C está livre para girar Como você pode ver a carga concentrada em D tende a girar o nó C no sentido horário Por outro lado a carga distribuída de 30 kips na barra CE tenta girar o nó no sentido antihorário Como a barra BCD é curvada com concavidade para baixo ao longo de todo o seu compri mento a rotação no sentido horário domina Embora a curvatura da barra CE seja coerente com aquela indicada pelo diagrama de momento a posição curvada final da articulação móvel em E na direção horizontal é duvidosa Embora mostremos que a articulação móvel se deslocou para a esquerda em relação à sua posi ção inicial ela também poderia estar localizada à direita de sua posição não curvada caso a coluna fosse flexível As técnicas para calcular deslocamentos serão apresentadas nos capítulos 9 e 10 198 Capítulo 5 Vigas e pórticos 55 Princípio da superposição Muitas das técnicas analíticas que desenvolvemos neste livro são baseadas no princípio da superposição Esse princípio determina Se uma estrutura se comporta de maneira linearmente elástica a força ou o deslocamento em um ponto específico produzido por um conjunto de cargas atuando simultaneamente pode ser avaliado pela soma superposição das forças ou deslocamentos no ponto específico produzidos por cada carga do conjunto atuando individualmente Em outras palavras a resposta de uma estrutura elástica linear é a mesma se todas as cargas são aplicadas simultaneamente ou se os efeitos das cargas individuais são combinados O princípio da superposição pode ser ilustrado considerandose as forças e deflexões produzidas na viga em balanço que aparece na Figura 522 A Figura 522a mostra as reações e a forma defletida produzida pelas forças P1 e P2 As figuras 522b e c exibem as reações e as formas defletidas produzidas pelas cargas atuando separadamente na viga O princípio da superposição define que a soma algébrica das reações forças internas ou deslocamentos em qualquer ponto específico nas figuras 522b e c será igual a reação força interna ou deslocamento no ponto correspondente na Figura 522a Em outras palavras as seguintes expres sões são válidas RA RA1 RA2 MA MA1 MA2 C C1 C2 O princípio da superposição não se aplica às vigascoluna ou às estru turas que sofrem grandes alterações na geometria quando carregadas Por Figura 522 a P1 A B C P2 RA MA L C b P1 B RA1 MA1 C1 c P2 RA2 MA2 C2 199 Seção 55 Princípio da superposição exemplo a Figura 523a mostra uma coluna em balanço carregada por uma força axial P O efeito da carga axial P é gerar somente tensão direta na coluna P não produz nenhum momento A Figura 523b mostra uma força horizontal H aplicada no topo da mesma coluna Essa carga produz cortante e momento Na Figura 523c as cargas da Figura 523a e b são aplicadas simul taneamente na coluna Se somarmos os momentos sobre A para avaliar o momento na base da coluna em sua posição fletida o topo defletiu horizontalmente a uma distância o momento na base poderá ser expresso como M HL P O primeiro termo representa o momento principal produzido pela carga transversal H O segundo termo chamado de momento P repre senta o momento produzido pela excentricidade da carga axial P O momento total na base obviamente ultrapassa o momento produzido pela soma dos casos a e b Como o deslocamento lateral do topo da coluna produzido pela carga lateral cria momento adicional em todas as seções ao longo do comprimento da coluna as deformações de flexão da coluna na Figura 523c são maiores do que as da Figura 523b Como a presença da carga axial aumenta a deflexão da coluna vemos que a carga axial tem o efeito de reduzir a rigidez à flexão da coluna Se a rigidez à flexão da coluna for maior e for pequeno ou se P for pequeno o momento P será pequeno e na maioria dos casos práticos poderá ser desprezado A Figura 524 mostra um segundo caso no qual a superposição é inválida Na Figura 524a um cabo flexível suporta duas cargas de mag nitude P nos pontos a um terço do vão Essas cargas deformam o cabo em uma forma simétrica A flecha do cabo em B é denotada por h Se as car gas são aplicadas separadamente produzem as formas defletidas mostra das na Figura 524b e c Embora a soma das componentes verticais das Figura 523 A superposição não é aplicável a A força axial produz tensão direta b a força lateral produz momento c a força axial produz momento P A P P B P M HL a A H H P H L b M HL P A H L c 200 Capítulo 5 Vigas e pórticos reações nos apoios em b e c seja igual à de a os cálculos indicam clara mente que a soma das componentes horizontais H1 e H2 não é igual a H Também fica evidente que a soma das deflexões verticais em B h1 e h2 é muito maior do que o valor de h no caso a O princípio da superposição fornece a base para a análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade discutido no Capítulo 11 assim como pelos métodos matriciais nos capítulos 16 17 e 18 A super posição também é frequentemente usada para simplificar os cálculos que envolvem os diagramas de momento de vigas que suportam várias cargas Por exemplo no método áreamomento um procedimento para calcular a inclinação ou deflexão em um ponto ao longo do eixo de uma viga devemos avaliar o produto de uma área e a distância entre o centroide da área e um eixo de referência Se várias cargas são suportadas pela viga o formato do diagrama de momento pode ser complicado Se não existem equações simples para avaliar a área sob o diagrama de momento ou a posição do centroide da área o cálculo exigido só pode ser efetuado pela integração de uma função complicada Para evitar essa operação demo rada podemos analisar a viga separadamente para a ação de cada carga Desse modo produzimos vários diagramas de momento com formas geo métricas simples cujas áreas e centroides podem ser avaliados e localiza dos por meio de equaçõespadrão consultar as últimas páginas deste livro O Exemplo 514 ilustra o uso de superposição para estabelecer as reações e o diagrama de momento de uma viga carregada com uma carga uniforme e momentos nas extremidades P P P P h H H B B C A a 2P3 P3 P h1 H1 H1 B b c 2P3 P3 P h2 H2 H2 B C Figura 524 A superposição não é aplicável a Cabo com duas cargas iguais nos pontos a um terço do vão b cabo com uma carga em B c cabo com uma carga em C 201 Seção 55 Princípio da superposição a Avalie as reações e construa o diagrama de momento para a viga da Figura 525a por meio da superposição das reações e diagramas de momento associados às cargas individuais nas partes b c e d b Calcule o momento da área sob o diagrama de momento entre o apoio esquerdo e o centro da viga com relação a um eixo através do apoio A Figura 525 a Viga com cargas especificadas diagrama de momento à direita b somente carga uni forme aplicada c reações e dia grama de momento associados ao momento de 80 kip ft d reações e diagrama de momento produzidos pelo momento na extremidade de 160 kip ft em B 160 kip ft 80 kip ft RA RB A B a M momento kip ft momento kip ft momento kip ft momento kip ft 80 160 80 20 w 4 kipsft 4 kips 4 kips c 80 40 80 kip ft A2 10 40 kips 40 kips b A1 200 w 4 kipsft 8 kips 8 kips d A B A B A B 160 80 160 kip ft A3 E X E M P L O 5 1 4 continua 202 Capítulo 5 Vigas e pórticos Solução a Para resolver por superposição também denominada diagrama de momento por partes analisamos a viga separadamente para as cargas individuais As reações e os diagramas de momento são mostrados na Figura 525b c e d Então as reações e as ordenadas do diagrama de momento produzidas por todas as cargas atuando simultaneamente Figura 525a são estabelecidas pela soma algébrica da contribuição dos casos individuais Mcentro 200 40 80 80 kip ft MA 0 80 0 80 kip ft RB 40 1 42 8 44 kips RA 40 4 1 82 36 kips b Momento da área a 3 n 1 An x consultar Tabela 3 no final do livro 3000 kip ft3 1 2 1 402 110 10 3 1 2 10 80 2 3 10 2 3 1102 12002 a 5 8 10b 1 40 102 152 56 Esboçando a forma defletida de uma viga ou pórtico Para garantir que as estruturas sejam úteis isto é suas funções não sejam prejudicadas por causa de flexibilidade excessiva que per mita grandes deflexões ou vibrações sob cargas de serviço os projetistas devem ser capazes de calcular as deflexões em todos os pontos críticos de uma estrutura e comparálas com os valores permi tidos especificados pelos códigos de construção Como primeiro passo nesse procedimento o projetista deve saber desenhar um esboço preciso da forma defletida da viga ou pórtico As deflexões em vigas e pórticos bem projetados normalmente são pequenas comparadas com as dimensões da estrutura Por exemplo muitos códigos de cons trução limitam a deflexão máxima de uma viga com apoio simples sob sobrecarga a 1360 do comprimento do vão Portanto se uma viga simples se estende por 20 pés 240 pol a deflexão máxima em meio vão devido à sobrecarga não deve ultrapassar 23 pol continuação 203 Seção 56 Esboçando a forma defletida de uma viga ou pórtico Se representarmos uma viga que se estende por 20 pés por meio de uma linha de 2 pol de comprimento estaremos reduzindo a dimensão ao longo do eixo da viga por um fator de 120 ou podemos dizer que estamos usando um fator de escala de 1120 com relação à distância ao longo do eixo da viga Se fôssemos usar a mesma escala para mostrar a deflexão em meio vão o deslocamento de 23 pol teria de ser plotado como 00055 pol Uma distância dessa dimensão que tem aproximadamente o tamanho de um ponto final não seria perceptível a olho nu Para produzir uma imagem clara da forma defletida devemos exagerar as deflexões usando uma escala vertical 50 a 100 vezes maior do que a escala aplicada nas dimensões longitudinais da barra Como usamos escalas horizontais e verticais diferentes para esboçar as formas defletidas de vigas e pórticos o projetista deve estar ciente das distorções que devem ser introduzidas no esboço para garantir que a forma defletida seja uma representação precisa da estrutura carregada Um esboço preciso deve satisfazer às seguintes regras 1 A curvatura deve ser coerente com o diagrama de momento 2 A forma defletida precisa satisfazer às restrições das condições de contorno 3 O ângulo original normalmente 90 em um nó rígido tem de ser preservado 4 O comprimento da barra deformada é igual ao comprimento original da barra descarregada 5 A projeção horizontal de uma viga ou a projeção vertical de uma coluna é igual ao comprimento original da barra 6 As deformações axiais insignificantes em comparação às deformações de flexão são desprezadas Na Figura 526a por exemplo a forma defletida de uma viga com apoio simples e com a carga de serviço atuando é mostrada pela linha tracejada Como a deflexão é quase imperceptível a olho nu um esboço desse tipo não seria útil para um projetista que estivesse interessado em calcular rotações ou deflexões em um ponto específico ao longo do eixo da viga Em vez disso para mostrar a forma defletida claramente desenha remos o esboço distorcido mostrado na Figura 526b Na Figura 526b a escala usada para desenhar a deflexão em meio vão é cerca de 75 vezes maior do que a escala usada na direção longitudinal para mostrar o com primento da barra Quando mostramos o comprimento da barra fletida em uma escala distorcida a distância ao longo do eixo defletido da barra apa rece muito maior do que o comprimento da corda que liga as extremidades da barra Um projetista inexperiente poderia supor que a articulação móvel na extremidade direita da viga se move para a esquerda a uma distância Como a deflexão de meio vão é muito pequena ver Figura 526a a regra 4 se aplica Reconhecendo que não existe uma diferença significativa no comprimento entre as barras carregadas e descarregadas concluímos que o deslocamento horizontal da articulação móvel em B é igual a zero e mostramos a barra se estendendo até a posição original do apoio B Como um segundo exemplo desenhamos a forma defletida da viga em balanço vertical da Figura 527a O diagrama de momento produ Figura 526 A B P a 0 L A B b 204 Capítulo 5 Vigas e pórticos zido pela carga horizontal no nó B é mostrado na Figura 527b A linha curva curta dentro do diagrama de momento indica o sentido da curva tura da barra Na Figura 527c a forma defletida da viga em balanço está desenhada em uma escala exagerada na direção horizontal Como a base da coluna está ligada a um engaste a curva elástica deve se elevar do apoio inicialmente em um ângulo de 90 Como a projeção vertical da coluna é assumida como sendo igual ao comprimento inicial regra 5 supõese que a deflexão vertical do topo da viga em balanço é zero isto é B se move horizontalmente para B Para ser coerente com a cur vatura produzida pelo momento o topo da viga em balanço deve se deslocar lateralmente para a direita Na Figura 528 mostramos com linhas tracejadas a forma defletida produzida por uma única carga concentrada aplicada em meio vão na viga mestra BD de um pórtico contraventado Em um pórtico contra ventado todos os nós são impedidos de se deslocar lateralmente pelos apoios ou pelas barras conectadas aos apoios imóveis Por exemplo o nó B não se move lateralmente pois está conectado pela viga mestra BD a uma articulação fixa no nó D Podemos supor que o comprimento de BD não muda pois 1 as deformações axiais são insignificantes e 2 nenhuma alteração no comprimento é produzida pela curvatura Para plotar a forma defletida mostramos a coluna saindo do engaste em A na direção vertical A curvatura produzida pelo momento indica que a seção menor da coluna desenvolve tensões compressivas sobre a face externa e tração na face interna No ponto onde o momento se reduz a zero o ponto de inflexão PI a curvatura inverte e a coluna se curva novamente em direção ao nó B A carga aplicada curva a viga mestra para baixo fazendo o nó B girar no sentido horário e o nó D no sentido antihorário Como o nó B é rígido o ângulo entre a coluna e a viga mestra permanece em 90 Figura 528 Forma defletida de um pórtico contraventado Diagramas de momento mostra dos acima e à esquerda do pórtico Figura 527 a Forma defletida mostrada pela linha tracejada em escala real b diagrama de momento da viga em balanço em a c defle xões horizontais exageradas por clareza M Ph b A a h P B 90 c P B 90 forma defletida D P B C PI A MB MB MA PI MA 90 90 205 Seção 56 Esboçando a forma defletida de uma viga ou pórtico B P C A L M Ph a b h 90 B A B C C c d L 90 90 B y x 90 Na Figura 529a mostramos uma viga em balanço em forma de L com uma carga horizontal aplicada no topo da coluna em B O momento produzido pela força horizontal no nó B ver Figura 529b flete a coluna para a direita Como nenhum momento se desenvolve na viga BC ela permanece reta A Figura 529c mostra a forma defletida em escala exa gerada Iniciamos o esboço a partir do engaste em A pois tanto a inclina ção 90 como a deflexão zero são conhecidas nesse ponto Como a rotação angular do nó B é pequena a projeção horizontal da viga BC pode ser assumida como sendo igual ao comprimento original L do membro Note que os nós B e C se deslocam à direita pela mesma distância hori zontal Assim como aconteceu com o topo da coluna na Figura 527 supõese que o nó B se move apenas horizontalmente Por outro lado o nó C além de se mover à direita pela mesma distância que o nó B deslocase para baixo por uma distância v θL devido à rotação da barra BC por um ângulo θ Conforme mostrado na Figura 529d a rotação no sentido horário do nó B que é rígida pode ser medida a partir do eixo x ou do eixo y A carga lateral no nó B do pórtico da Figura 530a produz um momento que gera compressão nas faces externas da coluna AB e da viga mestra BC Para iniciar o esboço da forma defletida começamos na articulação fixa Figura 529 a Forma defletida mostrada em escala pela linha tracejada b diagrama de momento c forma defletida desenhada em uma escala exagerada d rotação do nó B Figura 530 a Diagramas de momento do pór tico ABC b pórtico deformado na posição final c forma defletida incorreta ângulo de 90 em B não preservado A P B C a A B B C C C b A B B C C c 206 Capítulo 5 Vigas e pórticos em A o único ponto no pórtico defletido cuja posição final é conhecida Vamos supor arbitrariamente que a parte inferior da coluna AB se eleva verticalmente a partir da articulação fixa em A Visto que o diagrama de momento indica que a coluna curvase para a esquerda o nó B se moverá horizontalmente até B Figura 530b Como o nó B é rígido desenhamos a extremidade B da barra BC perpendicular ao topo da coluna Uma vez que a barra BC curvase com concavidade para cima o nó C se moverá até o ponto C Embora o pórtico tenha a forma deformada correta sob todos os aspectos a posição do nó C viola as condições de contorno impostas pela articulação móvel em C Como C está limitado a se mover apenas horizontalmente não pode se deslocar verticalmente até C Podemos estabelecer a posição correta do pórtico imaginando que a estrutura inteira é girada no sentido horário como um corpo rígido sobre a articulação fixa em A até que o nó C caia no nível do plano em C no qual a articulação móvel se move O caminho seguido por C durante a rotação sobre A está indicado pela seta entre C e C À medida que ocorre a rotação do corpo rígido o nó B se move horizontalmente à direita até o ponto B Conforme mostrado na Figura 530c um esboço incorreto a extremi dade B da barra AB não pode entrar no nó B com uma inclinação para cima e à esquerda pois o ângulo de 90 não poderia ser preservado no nó B se a curvatura para cima da viga mestra também fosse mantida Como o nó B está livre para se mover lateralmente à medida que a coluna flete o pórtico é chamado não contraventado Na Figura 531a um pórtico não contraventado carregado de forma simétrica suporta uma carga concentrada no meio vão da viga mestra BC Com base nas dimensões iniciais verificamos que as reações na articulação fixa em A e na articulação móvel em D são ambas iguais a P2 Como nenhuma reação horizontal se desenvolve nos apoios o momento nas duas colunas é zero elas transmitem somente carga axial e as colunas perma necem retas A viga mestra BC que atua como uma viga com apoio sim ples flete com concavidade para cima Se esboçarmos a forma defletida da viga mestra supondo que ela não se desloca lateralmente resultará a forma defletida mostrada pelas linhas tracejadas Como os ângulos retos devem ser preservados nos nós B e C as extremidades inferiores das colunas se deslocarão horizontalmente para fora em A e D Embora a forma defletida esteja correta o nó A não pode se mover pois está conectado na articulação fixa em A A posição correta do pórtico é estabelecida deslocando o pórtico deformado inteiro como um corpo rígido por uma quantidade para a direita ver Figura 531b Conforme mostrado nessa figura os nós B e C se movem apenas horizontalmente e o comprimento da viga mestra carregada é igual ao seu comprimento inicial não deformado L A Figura 532 mostra um pórtico com uma rótula em C Como a cur vatura da barra AB e a posição final dos nós A e B são conhecidas inicia mos o esboço desenhando a forma defletida da barra AB Uma vez que o nó B é rígido o ângulo de 90 é preservado em B e a barra BC deve incli nar para baixo e à direita Como a rótula em C não fornece nenhuma restrição rotacional as barras devem se projetar em cada lado da rótula com inclinações diferentes por causa da diferença na curvatura indicada pelos diagramas de momento Figura 531 a Deformações produzidas pela carga mostradas pela linha tracejada b posição exigida pelas restrições dos apoios B C D A D A P M 0 M 0 a L P 2 P 2 D A D B C B C L M 0 M 0 b P 2 P 2 2 207 Seção 57 Grau de indeterminação By 90 Bx Ax Dy P D C B A CR CL 57 Grau de indeterminação Em nossa discussão anterior sobre estabilidade e indeterminação no Capítulo 3 consideramos um grupo de estruturas que podiam ser tratadas como um único corpo rígido ou como vários corpos rígidos com libera ções internas fornecidas por rótulas ou rolos Agora queremos ampliar nossa discussão para incluir pórticos indeterminados estruturas com postas de barras que transmitem cortante carga axial e momento em determinada seção As abordagens básicas discutidas no Capítulo 3 ainda se aplicam Iniciaremos considerando o pórtico retangular da Figura 533a Essa estrutura de nós rígidos fabricada a partir de uma única barra é suportada por um apoio de pino em A e um rolo em B No ponto D existe uma pequena abertura entre as extremidades das barras que separa a viga em balanço dos nós C e E Como os apoios fornecem três restrições que não formam um sistema de forças paralelas nem concorrentes con cluímos que a estrutura é estável e determinada isto é estão disponíveis três equações da estática para calcular as três reações de apoio Após as reações serem avaliadas as forças internas cortante axial e momento em qualquer seção podem ser avaliadas passandose um plano de corte pela seção e aplicandose as equações de equilíbrio no diagrama de corpo livre em qualquer lado do corte Se as duas extremidades da viga em balanço fossem agora conectadas pela inserção de uma rótula em D ver Figura 533b a estrutura não seria mais estaticamente determinada Embora as equações da estática nos permitam calcular as reações para qualquer carga as forças internas den tro da estrutura não podem ser determinadas pois não é possível isolar uma seção da estrutura como um corpo livre que tenha somente três for ças desconhecidas Por exemplo se tentarmos calcular as forças internas na seção 11 no centro da barra AC na Figura 533b considerando o Figura 532 Foto 52 Duas colunas inclinadas de um pórtico rígido de concreto armado O pórtico suporta uma ponte estaiada Foto 53 Barras inclinadas de um pórtico rígido fabricado com placas de aço 208 Capítulo 5 Vigas e pórticos equilíbrio do corpo livre que se estende da seção 11 até a rótula em D ver Figura 533c deverão ser avaliadas cinco forças internas três na seção 11 e duas na rótula Como só estão disponíveis três equações da estática para sua solução concluímos que a estrutura é indeterminada no segundo grau Podemos chegar a essa mesma conclusão reconhecendo que se removermos a rótula em D a estrutura se reduzirá ao pórtico determinado da Figura 533a Em outras palavras quando conectamos as duas extremidades da estrutura com uma rótula uma restrição horizontal e uma restrição vertical são adicionadas em D Essas restrições que for C D D E P A B M V F a rótula C P M C P C D E P A B M MD Dy Dy Dx Dx V F V F C P b d c e C D E P A B 1 1 2 2 3 3 Figura 533 a Pórtico estável externamente determinado b pórtico internamente indetermi nado no segundo grau c corpo livre do canto superior esquerdo do pórtico articulado d anel fechado internamente indeterminado no terceiro grau e corpo livre do canto superior esquerdo do anel fechado veja d 209 Seção 57 Grau de indeterminação A B a A B Bx MB By b M M V V F F c Bx MA MB d necem caminhos de carga alternativos tornam a estrutura indeterminada Por exemplo se uma força horizontal é aplicada em C no pórtico deter minado da Figura 533a a carga inteira deve ser transmitida pela barra CA para o pino em A e para o rolo em B Por outro lado se a mesma força é aplicada no pórtico da Figura 533b uma porcentagem da força é transfe rida pela rótula no lado direito da estrutura para a barra DE e então pela barra EB para o pino em B Se as duas extremidades do pórtico em D forem soldadas para formar uma barra contínua e maciça ver Figura 533d essa seção terá capaci dade de transmitir momento assim como cortante e carga axial A adição de restrição de curvatura em D aumenta para três o grau de indetermina ção do pórtico Conforme mostrado na Figura 533e um corpo livre típico de qualquer parte da estrutura pode desenvolver seis forças internas des conhecidas Com apenas três equações de equilíbrio a estrutura é inter namente indeterminada no terceiro grau Resumindo um anel fechado é internamente indeterminado estaticamente no terceiro grau Para estabe lecer o grau de indeterminação de uma estrutura composta de vários anéis fechados um pórtico de construção de aço soldado por exemplo pode mos remover restrições internas ou externas até que permaneça uma estrutura de base estável O número de restrições removidas é igual ao grau de indeterminação Esse procedimento foi apresentado na Seção 37 consultar Caso 3 Para ilustrar esse procedimento de estabelecer o grau de indetermina ção de um pórtico rígido pela remoção de restrições consideraremos o pórtico da Figura 534a Ao avaliar o grau de indeterminação de uma estrutura o projetista sempre tem uma variedade de opções com relação às restrições que devem ser removidas Por exemplo na Figura 534b podemos imaginar que o pórtico é cortado exatamente acima do engaste em B Visto que essa ação remove três restrições Bx By e MB mas deixa uma estrutura estável em forma de U conectada no engaste em A concluí mos que a estrutura original é indeterminada no terceiro grau Como procedimento alternativo podemos eliminar três restrições M V e F cortando a viga mestra em meio vão e deixando duas vigas em balanço estáveis e determinadas em forma de L ver Figura 534c Em outro exemplo ver Figura 534d uma estrutura de base estável e determinada pode ser estabelecida pela remoção da restrição de momento em A fisi camente equivalente a substituir o engaste por uma articulação fixa e pela remoção da restrição de momento e horizontal em B o engaste é substituído por uma articulação móvel Como segundo exemplo estabeleceremos o grau de indeterminação do pórtico da Figura 535a removendo restrições internas e externas Como um de muitos procedimentos possíveis ver Figura 535b pode mos eliminar duas restrições removendo completamente a articulação fixa em C Uma terceira restrição externa resistência ao deslocamento horizontal pode ser removida pela substituição da articulação fixa em B por uma articulação móvel Neste estágio já removemos restrições sufi cientes para produzir uma estrutura externamente determinada Se agora cortarmos as vigas mestras EF e ED removendo mais seis restrições restará uma estrutura estável e determinada Como no total foram remo Figura 534 Estabelecendo o grau de indetermi nação pela remoção de apoios até que reste uma estrutura estável e determinada a Um pórtico com extremidades engastadas b o engaste em B removido c a viga mestra cortada d articula ções móvel e fixa usadas para eliminar restrição de momento e horizontal em B e o momento em A 210 Capítulo 5 Vigas e pórticos vidas nove restrições a estrutura é indeterminada no grau nono A Figura 536 mostra várias estruturas adicionais cujo grau de indeterminação foi avaliado pelo mesmo método Os estudantes devem verificar os resulta dos para conferir sua compreensão desse procedimento Para o pórtico da Figura 536f um método para o estabelecimento do grau de indeterminação é considerar a estrutura da Figura 535a com as três articulações fixas em A B e C substituídas por engastes Essa modi ficação produziria uma estrutura semelhante àquela mostrada na Figura 536f mas sem as rótulas internas Essa modificação aumentaria os graus de indeterminação estabelecidos anteriormente de 9 para 12 Agora a adição de oito rótulas para produzir a estrutura da Figura 536f removeria oito restrições de momento internas produzindo uma estrutura estável e indeterminada no quarto grau Figura 535 a Pórtico a ser avaliado b remo ção de restrições os números na figura se refe rem ao número de restrições removidas nesse ponto para produzir a estrutura de base A B C D F G H I a E b 3 3 2 1 Figura 536 Classificação de pórticos rígidos a Estável e determinado 3 reações 3 equações da estática b arco sem articulação indetermi nado no terceiro grau 6 reações e 3 equações da estática c indeterminado no primeiro grau 3 reações e 1 força desconhecida no tirante 3 equa ções da estática d indeterminado no sexto grau internamente e estrutura estável e determi nada 4 reações 3 equações da estática e 1 equa ção de condição na rótula f indeterminado no quarto grau g indeterminado no sexto grau c tirante a b d e f g 211 Resumo Resumo Em nossa discussão sobre vigas e pórticos consideramos barras carregadas principalmente por forças ou componentes de forças atuando perpendicularmente ao eixo longitudinal de uma barra Essas forças curvam a barra e produzem forças internas de cortante e momento nas seções normais ao eixo longitudinal Calculamos a magnitude do momento em uma seção somando os momentos de todas as forças externas em um corpo livre em qual quer lado da seção Os momentos das forças são calculados sobre um eixo horizontal passando pelo centroide da seção transversal O somatório deve incluir todas as reações que atuam no corpo livre Para barras horizontais supomos que os momentos são positivos quando produzem curvatura côncava para cima e negativos quando a curvatura é côncava para baixo Cortante é a força resultante que atua paralela à superfície de uma seção através da viga Calculamos sua magnitude somando as forças ou componentes das forças paralelas à seção em qualquer lado da seção transversal Estabelecemos procedimentos para escrever equações para cortante e momento em todas as seções ao longo do eixo de uma barra Essas equações serão necessárias no Capítulo 10 para calcular deflexões de vigas e pórticos pelo método do trabalho virtual Também estabelecemos quatro relações entre carga cortante e momento que facilitam a construção de diagramas de cortante e momento 1 A alteração no cortante V entre dois pontos é igual à área sob a curva de carga entre os dois pontos 2 A inclinação do diagrama de cortante em determinado ponto é igual à ordenada da curva de carga nesse ponto 3 A alteração no momento M entre dois pontos é igual à área sob o diagrama de cortante entre os dois pontos 4 A inclinação do diagrama de momento em determinado ponto é igual à ordenada do diagrama de cortante nesse ponto Também estabelecemos que os pontos de inflexão nos quais a cur vatura muda de positiva para negativa na forma defletida de uma viga ocorrem onde os valores de momento são iguais a zero Também aprendemos a usar diagramas de momento para fornecer as informações necessárias para desenhar esboços precisos das formas defletidas de vigas e pórticos A capacidade do projetista de construir formas defletidas precisas é necessária no método áreamomento abordado no Capítulo 9 O método áreamomento é utilizado para cal cular rotações e deflexões em um ponto selecionado ao longo do eixo de uma viga ou pórtico Por fim estabelecemos um procedimento para determinar se uma viga ou pórtico é estaticamente determinado ou indeterminado e se for indeterminado qual é o grau de indeterminação 212 Capítulo 5 Vigas e pórticos ProblemAs P51 Escreva as equações do cortante e do momento entre os pontos B e C como uma função da distância x ao longo do eixo longitudinal da viga na Figura P51 para a origem de x no ponto A e b origem de x em D 10 8 kips 15 kips A D C B w 025 kipsft 10 10 25 kip ft P51 P52 Escreva as equações do cortante e do momento entre os pontos D e E Selecione a origem em D 10 3 5 5 8 kips A E D C B w 3 kipsft x P52 P53 Escreva as equações do cortante e do momento entre os pontos A e B Selecione a origem em A Plote o gráfico de cada força sob um esboço da viga O balan cim em A é equivalente a uma articulação móvel MA 12 kN m A B w 3 kNm 6 m P53 P54 Escreva as equações do cortante V e do momento M entre os pontos B e C Adote a origem no ponto A Avalie V e M no ponto C usando as equações B A C D w 4 kipsft P 15 kips 4 6 4 P54 P55 Escreva as equações do momento entre os pon tos B e C como uma função da distância x ao longo do eixo longitudinal da viga para a origem de x em A e b origem de x em B B A C D 4 kips 6 w 3 kipsft 5 4 P55 P56 Escreva as equações necessárias para expressar o momento ao longo de todo o comprimento da viga da Figura P56 Use uma origem no ponto A e então repita os cálculos usando uma origem no ponto D Verifique que os dois procedimentos fornecem o mesmo valor de momento no ponto C 18 kips w 24 kipsft A B C D 10 6 8 P56 213 Problemas P57 Escreva as equações do cortante e do momento usando as origens mostradas na figura Avalie o cortante e o momento em C usando as equações baseadas na origem no ponto D A B C D 32 kip ft w 5 kipsft x 10 kips 6 3 4 x x P57 P58 Escreva a equação do momento entre os pontos B e C para o pórtico com nós rígidos da Figura P58 A B C D 48 kips 6 kips 6 kips 48 kips 16 10 w 6 kipsft P58 P59 Escreva as equações do momento como uma função da distância ao longo dos eixos longitudinais das barras AB e BC do pórtico da Figura P59 As origens para cada barra são mostradas 60 kips 12 kips x2 C B A 12 7 5 x1 w 4 kipsft P59 P510 Escreva as equações do cortante e do momento entre os pontos B e C para o pórtico rígido da Figura P510 Selecione a origem no ponto C A B C 9 m 6 m w 4 kNm 4 kN x P510 214 Capítulo 5 Vigas e pórticos P511 Considere a viga mostrada na Figura P511 A almofada de elastômero no apoio A é equivalente a uma articulação móvel a Escreva as equações do cortante e do momento em relação a x Selecione uma origem em A b Localize a seção de momento máximo c Calcule Mmáx B A L 24 0 x w 2 kipsft w 6 kipsft 120 kip ft P511 P512 Considere a viga mostrada na Figura P512 a Escreva as equações do cortante e do momento para a viga usando uma origem na extremi dade A b Utilizando as equações avalie o momento na seção A c Localize o ponto de cortante zero entre B e C d Avalie o momento máximo entre os pontos B e C e Escreva as equações do cortante e do momento usando uma origem em C f Avalie o momento na seção A g Localize a seção de momento máximo e avalie Mmáx h Escreva as equações do cortante e do momento entre B e C usando uma origem em B i Avalie o momento na seção A A B C P 8 kips A 5 16 4 w 3 kipsft P512 P513 a P515 Para cada viga desenhe os diagramas de cortante e momento marque os valores máximos de cortante e momento localize pontos de inflexão e faça um esboço preciso da forma defletida A D C B 40 kips 6 4 4 10 w 4 kipsft P513 A D B C 24 kips 30 kips 6 6 6 60 kip ft 120 kip ft P514 P 20 kips w 12 kipsft C B D A 10 15 5 rótula P515 P516 Desenhe os diagramas de cortante e momento para todas as barras do pórtico da Figura P516 Esboce a forma defletida B A C D F E G 36 kips 3 kips 9 6 6 9 3 12 w 3 kipsft rótula P516 215 Problemas P517 Desenhe os diagramas de cortante e momento da viga mestra BCDE e esboce sua forma defletida O apoio em E pode ser tratado como uma articulação móvel e as conexões nos nós A C D e F como pinos sem atrito 20 kips A C B D w 3 kipsft F 3 4 34 10 10 20 E P517 P518 Desenhe os diagramas de cortante e momento para cada barra do pórtico da Figura P518 Esboce a forma defletida 6 kips A B C E D 3 kipsft 3 12 18 6 P518 P519 Desenhe os diagramas de cortante e momento para cada barra do pórtico da Figura P519 Esboce a forma defletida A B C D w 2 kNm E 10 kN 6 m 6 m 6 m 3 m 3 m P519 P520 Desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga da Figura P520 Esboce a forma defletida A C B D E 24 kN 4 kNm 2 kNm rótula 6 m 2 m 2 m 2 m 5 m P520 P521 Desenhe os diagramas de cortante e momento para cada membro do pórtico da Figura P521 Esboce a forma defletida das rótulas em B e C A B C D w 5 kNm 30 kN m 6 m 3 m 3 m 4 m P521 216 Capítulo 5 Vigas e pórticos P522 Desenhe os diagramas de cortante e momento para cada barra do pórtico da Figura P522 Esboce a forma defletida Engastamento em A A B C D E 40 kN 5 kNm 5 kNm 10 m 10 m 10 m 5 m P522 P523 Desenhe os diagramas de cortante e momento para cada barra do pórtico da Figura P523 Esboce a forma defletida A C D B 10 kNm 5 m 5 m 5 m 3 m 20 kN P523 P524 Desenhe os diagramas de cortante e momento para cada barra do pórtico da Figura P524 Esboce a forma defletida 4 5 3 A B C w 2 kipsft P524 P525 Desenhe diagramas de cortante e momento para cada barra da viga na Figura P525 Esboce a forma defletida A conexão de cisalhamento em B atua como uma rótula A B C D 3 6 rótula w 12 kipsft 3 2 6 kips P525 P526 Desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga da Figura P526 Esboce a forma defletida 9 w 6 kipsft 30 kip ft A C B 9 9 P526 217 Problemas P527 Desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga da Figura P527 Esboce a forma defletida A C B 6 m 6 m w 9 kNm w 9 kNm P527 P528 Desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga indeterminada da Figura P528 As reações são dadas Esboce a forma defletida 169 kips A B C 1519 kips 105 kips 45 kip ft w 4 kipsft 8 6 P528 P529 Desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga da Figura P529 Esboce a forma defletida A E F B C D 29 kips 3 3 3 6 w 12 kipsft P 24 kips P 36 kips 4 2 P529 P530 Desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga da Figura P530 reações dadas Localize todos os pontos de cortante e momento zero Esboce a forma defletida 6 6 24 6 A RA 1885 kips RB 8549 kips P 30 kips C B RC 2766 kips w 3 kipsft P530 P531 e P532 Desenhe os diagramas de cortante e momento de cada viga indeterminada As reações são dadas Marque os valores máximos de cortante e momento Localize todos os pontos de inflexão e esboce a forma defletida RA 2831 kN RB 2869 kN MA 435 kN m w 6 kN m B C A 3 m 8 m P531 6 9 464k 1797 kips 1267 kips 40 kips 6 9 A B C D w 4 kipsft 1393 kip ft 30 kips P532 218 Capítulo 5 Vigas e pórticos P533 Desenhe os diagramas de cortante e momento da Figura P533 Esboce a forma defletida RA 9 kN RB 105 kN RC 105 kN A B C D RD 9 kN 6 m 3 m 30 kN 30 kN w 8 kNm 3 m 9 m 6 m P533 P534 a Desenhe os diagramas de cortante e momento para o pórtico da Figura P534 Esboce a forma defle tida b Escreva as equações do cortante e do momento na coluna AB Adote a origem em A c Escreva as equações do cortante e momento para a viga mestra BC Adote a origem no nó B x1 x2 4 kips 12 kips 3 24 10 5 w 24 kipsft A B C D E F 15 P534 P535 Desenhe os diagramas de cortante e momento para cada barra do pórtico da Figura P535 Esboce a forma defletida Os nós B e D são rígidos B A C D E F 3 m 3 m 3 m 4 m rótula 2 m 6 kN w 9 kNm P535 P536 Desenhe os diagramas de momento para cada barra do pórtico da Figura P536 Esboce a forma defle tida do pórtico Os nós B e C são rígidos A B C D E 8 8 24 kips 12 12 w 2 kipsft P536 219 Problemas P537 Desenhe os diagramas de cortante e momento para cada barra do pórtico da Figura P537 Esboce a forma defletida Trate a conexão da placa de cortante em C como uma rótula P 18 kips A B C E D F w 6 kipsft 12 12 6 12 rótula P537 P538 a Faça um esboço preciso da forma defletida do pórtico da Figura P538 Preste bastante atenção na curvatura e no deslocamento O nó B é rígido b Dese nhe um corpo livre do nó B e mostre todas as forças B D E rótula 10 kN 5 kN 5 kN 4 m 1 m 2 m 2 m 1 m 1 m A C 5 kN 5 kN P538 P539 Para o pórtico da Figura P539 desenhe os dia gramas de cortante e momento para todas as barras Em seguida desenhe um esboço preciso da forma defletida do pórtico Mostre todas as forças atuando em um dia grama de corpo livre do nó C O nó C é rígido Engas tamento em A A B D C E 40 kips 20 kips Ay 20 kips Ax 20 kips MA 120 kip ft w 5 kipsft 4 rótula 4 4 6 6 P539 P540 a Esboce precisamente a forma defletida do pórtico da Figura P540 As reações e os diagramas de momento são dados A curvatura também está indicada Os nós B e D são rígidos A rótula está localizada no ponto C b Usando uma origem em A escreva as equa ções do cortante e do momento na barra AB em relação à carga aplicada e à distância x 20 kips 32 kips P 12 kips A B x C D 9 kips 27 kips 9 9 rótula 6 kipsft 6 12 P540 220 Capítulo 5 Vigas e pórticos P541 Desenhe os diagramas de cortante e momento para todas as barras do pórtico da Figura P541 Esboce a forma defletida reações dadas D E A B C AY 75 kips RE 165 kips AX 9 kips 6 6 3 kipsft 4 kipsft 6 6 4 P541 Aplicação prática P542 A viga tipo caixão ABCD da Figura P542 é suportada por uma articulação móvel no ponto D e por dois elos BE e CE Calcule todas as reações desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga e esboce a forma defletida da estrutura A B A A C E D 40 kips 30 kips 16 12 12 12 12 SEÇÃO AA P542 Aplicação prática P543 As duas cargas concentradas apoiadas na sapata combinada na Figura P543 produzem uma dis tribuição trapezoidal de pressão no solo Construa os diagramas de cortante e momento Marque todas as ordenadas dos diagramas Esboce a forma defletida 50 kips 20 6 9 A B C D 5 8 kipsft 2 kipsft 50 kips P543 P544 e P545 Classifique cada uma das estruturas das figuras P544 e P545 Indique se é estável ou instá vel Se for estável indique se é determinada ou indeter minada Se for indeterminada dê o grau rótula a rótula b P544 221 Problemas c d f base fixa rótula rótula rótula e P544 a rótula b c rótula d rótula rótula e rótula P545 222 Capítulo 5 Vigas e pórticos Aplicação prática P546 O painel de canto de um piso típico de um armazém é mostrado na Figura P546 Consiste em uma laje de concreto armado de 10 pol de espessura apoiada em vigas de aço A laje pesa 125 lbft2 O peso das luminárias e instalações suspensas a partir da parte inferior da laje é estimado em 5 lbft2 As vigas externas B1 e B2 suportam uma parede de alvenaria de 14 pés de altura construída de bloco de concreto vazado leve que pesa 38 lbft2 A área de influência de cada viga é mostrada pelas linhas tracejadas na Figura P546 e o peso das vigas e de seus materiais de proteção contra incêndio é estimado em 80 lbft Desenhe os diagramas de cortante e momento produzidos pelo peso próprio total das vigas B1 e B2 18 A A A A laje de 10 45 45 45 14 A B C B2 B2 B1 B1 Seção AA 14 bloco de 10 laje de 10 P546 P547 Análise de uma viga contínua por computador A viga contínua da Figura P547 é construída a partir de um perfil de aço W18 106 com A 311 pol2 e I 1 910 pol4 Determine as reações plote os diagramas de cortante e momento e a forma defletida Avalie as deflexões Despreze o peso da viga E 29 000 ksi 1 1 2 3 12 12 24 kips 18 w 18 kipsft 2 P547 223 Problemas P548 Análise por computador As colunas e a viga mes tra do pórtico rígido da Figura P548a são fabrica das a partir de um perfil de aço W18 130 A 382 pol2 e I 2 460 pol4 O pórtico deve ser pro jetado para uma carga uniforme de 4 kipsft e uma carga de vento lateral de 6 kips E 29 000 kipspol2 O peso da viga mestra está incluído nos 4 kipsft a Calcule as reações plote a forma defletida e os diagramas de cortante e momento das colunas e da viga mestra usando o programa de computador Defina o número de seções igual a 7 para todas as barras b Para evitar acumulação de água da chuva no telhado a viga mestra deve ser fabricada com uma contraflecha igual à deflexão em meio vão da viga mes tra do telhado produzida pelas cargas mostradas Deter mine a contraflecha ver Figura P548b 3 4 2 1 1 40 6 kips 15 4 kipsft 3 2 a b pórtico descarregado contraflecha 3 4 2 1 1 40 6 kips 15 4 kipsft 3 2 a b pórtico descarregado contraflecha P548 P549 Investigação por computador de carga de vento no pórtico de um prédio Caso 1 As colunas e vigas mestras do pórtico de prédio da Figura P549 foram projetadas inicialmente para carga vertical conforme especificado pelo código de construção As vigas de piso estão ligadas às colunas por meio de nós rígidos Como parte do projeto a deflexão lateral do pórtico do prédio deve ser verificada sob a carga de vento de 08 kipsft para garantir que o deslocamento lateral não danifique as paredes externas fixadas no pórtico estrutu ral Se o código exige que a deflexão lateral máxima no topo do teto não ultrapasse 048 pol para evitar danos nas paredes externas o pórtico do prédio é suficiente mente rígido para satisfazer esse requisito Caso 2 Se as bases das colunas no ponto A e F são fixadas nas fundações por meio de engastes em vez de articulações fixas em quanto é reduzida a deflexão late ral no nó D Caso 3 Se for adicionada uma barra diagonal biarticu lada com seção transversal quadrada de 2 polegadas 2 polegadas indo do apoio A até o nó E determine a deflexão lateral no nó D Suponha articulações fixas nos nós A e F Para as colunas I 640 pol4 e A 179 pol2 para as vigas mestras I 800 pol4 e A 118 pol2 e para o contraventamento diagonal A 4 pol2 A F C somente para o caso 3 E B D 30 16 15 w 08 kipsft D 048 P549 Acumulação de água referese à concentração de água que pode se juntar em um telhado quando os escoadouros não são adequados para drenar a água da chuva ou entopem Essa condição resulta no colapso de telhados planos Para evitar a acumulação de água as vigas podem ser curvadas para cima para que a água da chuva não se acumule nas regiões centrais do telhado Veja a Figura P548b Ponte George Washington sobre o rio Hudson entre Manhattan e Fort Lee Nova Jersey EUA O vão central tem aproximadamente 1 km as torres se elevam a aproximadamente 184 m acima da água e a distância total entre as ancoragens é de aproximadamente 145 km Construída ao custo de US 59 milhões a estrutura original mostrada aqui foi aberta ao tráfego em 1931 Um piso inferior de seis pistas foi adicionado em 1962 C A P Í T U L O Cabos 61 Introdução Conforme discutimos na Seção 15 os cabos construídos de fios de aço de alta resistência são completamente flexíveis e têm uma resistência à tração quatro ou cinco vezes maior do que a do aço estrutural Devido à excelente relação resistênciapeso os projetistas utilizam cabos para construir estruturas de vão longo incluindo pontes pênseis e coberturas sobre grandes arenas e salas de convenções Para utilizar efetivamente a construção de cabo o projetista precisa lidar com dois problemas 1 Impedir que grandes deslocamentos e oscilações se desenvolvam em cabos que suportam sobrecargas cuja magnitude ou direção muda com o tempo 2 Fornecer um meio de ancoragem eficiente para a grande força de tração suportada pelos cabos Para tirar proveito da alta resistência do cabo enquanto minimizam suas características negativas os projetistas devem utilizar mais criativi dade e imaginação do que as exigidas nas estruturas de viga e coluna convencionais Por exemplo a Figura 61 mostra um desenho esquemá tico de uma cobertura composta de cabos conectados a um anel central de tração e a um anel externo de compressão O pequeno anel central carre gado simetricamente pelas reações do cabo é tensionado principalmente em tração direta enquanto o anel externo suporta principalmente com pressão axial Ao desenvolver um sistema de equilíbrio automático composto de membros em tensão direta o projetista cria uma forma estrutural eficiente para cargas gravitacionais que exige apenas apoios verticais em torno de seu perímetro Diversas praças de esportes incluindo o Madison Square Garden em Nova York EUA têm cobertu ras com um sistema de cabo desse tipo Em uma análise de cabo típica o projetista estabelece a posição dos apoios das extremidades a magnitude das cargas aplicadas e a elevação de outro ponto no eixo do cabo frequentemente a flecha em meio vão ver Figura 62a Com base nesses parâmetros utiliza a teoria dos cabos para calcular as reações das extremidades a força no cabo em todos os outros pontos e a posição de outros pontos ao longo do eixo do cabo 6 anel de compressão cabo anel de tração apoio vertical Figura 61 Cobertura apoiada por cabo com posta de três elementos cabos um anel central de tração e um anel externo de compressão 226 Capítulo 6 Cabos 62 Características dos cabos Os cabos feitos de um grupo de fios de alta resistência trançados para formar uma cordoalha têm uma resistência à tração máxima de aproxi madamente 270 kipspol2 1 862 MPa A operação de entrelaçamento confere um padrão espiral aos fios individuais Ao mesmo tempo que o estiramento dos fios por meio de moldes durante o processo de manufatura eleva o ponto de escoamento do aço também reduz sua maleabilidade Os fios podem sofrer um alongamento máximo de 7 ou 8 comparado ao de 30 a 40 do aço estrutural com ponto de escoamento moderado digamos 36 kipspol2 248 MPa Os cabos de aço têm um módulo de elasticidade de aproximadamente 26 000 kipspol2 179 GPa comparado ao módulo de 29 000 kipspol2 200 GPa das barras de aço estruturais O módulo mais baixo do cabo devese ao desenrolar da estrutura espiral do fio sob carga Como um cabo transmite apenas tração direta a força axial resultante T em todas as seções deve atuar tangencialmente ao eixo longitudinal do cabo ver Figura 62b Por não possuir rigidez à flexão os projetistas corda A B a 0 L A B h flecha C 2 1 b V2 V1 T2 T1 H H w Figura 62 Cabos carregados verticalmente a cabo com corda inclinada a distância vertical entre a corda e o cabo h é denominada flecha b corpo livre de um segmento de cabo suportando cargas verticais embora a força resultante do cabo T varie com a inclinação do cabo Fx 0 exige que H a componente horizontal de T seja cons tante de seção para seção Foto 61 Prédio do terminal do aeroporto Dul les Cobertura apoiada em uma rede de cabos de aço que se estendem entre torres maciças e incli nadas de concreto armado 227 Seção 63 Variação da força no cabo devem tomar muito cuidado ao planejar estruturas com cabo para garantir que as sobrecargas não causem grandes deflexões ou vibrações Nos pri meiros protótipos muitas pontes e coberturas apoiadas em cabos desen volviam grandes deslocamentos drapejamento causados pelo vento que resultavam na falha da estrutura A completa destruição da ponte Tacoma Narrows em 7 de novembro de 1940 causada por oscilações induzidas pelo vento é um dos exemplos mais espetaculares de falha estrutural de uma grande estrutura apoiada em cabo A ponte que se estendia por 5 939 pés 1 810 m sobre o estreito de Puget perto da cidade de Tacoma em Washington EUA desenvolveu vibrações que atingiram uma ampli tude máxima na direção vertical de 28 pés 853 m antes que o sistema de piso rompesse e caísse na água ver Foto 21 63 Variação da força no cabo Se um cabo suporta somente carga vertical a componente horizontal H da tensão T no cabo é constante em todas as seções ao longo do eixo do cabo Essa conclusão pode ser demonstrada pela aplicação da equação de equilíbrio Fx 0 em um segmento de cabo ver Figura 62b Se a tensão do cabo é expressa relativamente à componente horizontal H e à inclinação do cabo u 61 T H cos u Em um ponto no qual o cabo é horizontal por exemplo ver ponto B na Figura 62a u é igual a zero Como cos 0 1 a Equação 61 mostra que T H O valor máximo de T normalmente ocorre no apoio onde a inclinação do cabo é maior Foto 62 Ponte estaiada sobre a baía de Tampa 228 Capítulo 6 Cabos 64 Análise de um cabo suportando cargas gravitacionais verticais Quando um conjunto de cargas concentradas é aplicado um cabo de peso desprezível se deforma em uma série de segmentos lineares Figura 63a A forma resultante é chamada de polígono funicular A Figura 63b mostra as forças atuando no ponto B em um segmento de cabo de com primento infinitesimal Como o segmento está em equilíbrio o diagrama vetorial consistindo nas forças do cabo e na carga aplicada forma um polígono de forças fechado ver por exemplo Figura 63c Um cabo suportando carga vertical ver Figura 63a é um membro determinado Estão disponíveis quatro equações de equilíbrio para calcu lar as quatro componentes da reação fornecidas pelos apoios Essas equa ções incluem as três equações de equilíbrio estático aplicadas ao corpo livre do cabo e uma equação de condição Mz 0 Como o momento em todas as seções do cabo é zero a equação de condição pode ser escrita em qualquer seção desde que a flecha do cabo a distância vertical entre a corda do cabo e o cabo seja conhecida Normalmente o projetista define a flecha máxima de modo a garantir tanto a altura livre necessária como um projeto econômico Para ilustrar os cálculos das reações dos apoios e das forças em vários pontos ao longo do eixo do cabo analisaremos o cabo da Figura 64a A flecha do cabo na posição da carga de 12 kips é definida como 6 pés Nesta análise vamos supor que o peso do cabo é insignificante compa rado à carga e o desprezaremos Passo 1 Calcule Dy somando os momentos sobre o apoio A 62 Dy 78 kips 12 kips 30 6 kips 70 Dy 100 0 A MA 0 Passo 2 Calcule Ay 63 A 102 kips 0 Ay y 12 6 78 c Fy 0 Passo 3 Calcule H some os momentos sobre B Figura 64b 64 Configurando hB 6 ft resulta H 51 kips hBH 11022 1302 0 Ay1302 HhB A MB 0 Figura 63 Diagramas vetoriais a cabo com duas cargas verticais b forças atuando em um segmento infinitesimal do cabo em B c polígono de forças dos vetores em b A B C D H Ay H Dy h1 P1 P2 h2 a FAB FBC P1 B b FAB FBC P1 c 229 Seção 65 Teorema geral dos cabos Após H ser calculada podemos estabelecer a flecha do cabo em C considerando um corpo livre do cabo imediatamente à direita de C Figura 64c Passo 4 65 hc 30Dy H 30 78 51 46 ft Dy1302 Hhc 0 A MC 0 Para calcular a força nos três segmentos de cabo estabelecemos uA uB e uC e então usamos a Equação 61 Calcule TAB Calcule TBC Calcule TCD TCD H cos uC 51 0988 5162 kips at n uC 46 30 0153 e uC 87 TBC H cos uB 51 0999 5103 kips at n uB 6 46 40 0035 e uB 2 TAB H cos uA 51 0981 5198 kips tan uA 6 30 e uA 1131 Como as inclinações de todos os segmentos de cabo na Figura 64a são relativamente pequenas os cálculos acima mostram que a diferença na magnitude entre a componente horizontal da tensão do cabo H e a força total no cabo T é pequena 65 Teorema geral dos cabos Quando efetuamos os cálculos para a análise do cabo da Figura 64a talvez você tenha observado que certos cálculos são semelhantes aos que faria na análise de uma viga com apoio simples com vão igual ao do cabo e suportando as mesmas cargas aplicadas no cabo Por exemplo na Figura 64c aplicamos as cargas do cabo em uma viga cujo vão é igual TD TA A B C D H Ay A B C H Dy hC 12 kips 6 kips a H Ay 102 kips B A TAB 6 b A 30 30 H 51 kips Dy 78 kips TCD hc D C c A B C D 102 kips 306 kip ft 234 kip ft 12 kips 6 kips 78 kips 40 30 d 30 Figura 64 a Cabo carregado com forças verti cais flecha do cabo em B configurada em 6 pés b corpo livre do cabo à esquerda de B c corpo livre do cabo à direita de C d uma viga com apoio simples com as mesmas cargas e o mesmo vão que o cabo diagrama de momento abaixo 230 Capítulo 6 Cabos ao do cabo Se somarmos os momentos sobre o apoio A para calcular a reação vertical Dy no apoio à direita a equação do momento será idêntica à Equação 62 escrita anteriormente para calcular a reação vertical no apoio à direita do cabo Além disso você notará que o formato do cabo e o diagrama de momento para a viga da Figura 64 são idênticos Uma comparação entre os cálculos de um cabo e de uma viga com apoio sim ples que suporta as cargas do cabo leva ao seguinte enunciado do teo rema geral dos cabos Em qualquer ponto de um cabo que suporta cargas verticais o produto da flecha do cabo h e a componente horizontal H da tensão no cabo é igual ao momento fletor no mesmo ponto em uma viga com apoios sim ples que suporta as mesmas cargas nas mesmas posições que o cabo O vão da viga é igual ao vão do cabo A relação acima pode ser expressa pela seguinte equação Hhz Mz 66 em que H componente horizontal da tensão do cabo hz flecha do cabo no ponto z onde Mz é avaliado Mz momento no ponto z em uma viga com apoio simples suportando as cargas aplicadas no cabo Como H é constante em todas as seções a Equação 66 mostra que a flecha do cabo h é proporcional às ordenadas da curva de momento Para verificar o teorema geral dos cabos dado pela Equação 66 mos traremos que em um ponto arbitrário z no eixo do cabo o produto da componente horizontal H da tração do cabo e a flecha do cabo hz é igual ao momento no mesmo ponto em uma viga com apoio simples que suporta as cargas do cabo ver Figura 65 Também vamos supor que os apoios das extremidades do cabo estão localizados em diferentes elevações A distância vertical entre os dois apoios pode ser expressa em termos de a a inclinação da corda do cabo e do vão do cabo L como y L tan a 67 Imediatamente abaixo do cabo mostramos uma viga com apoio simples na qual aplicamos as cargas do cabo A distância entre as cargas é a mesma nos dois casos Tanto no cabo como na viga a seção arbitrá ria na qual avaliaremos os termos da Equação 66 está localizada a distância x à direita do apoio esquerdo Começamos expressando a rea ção vertical do cabo no apoio A em relação às cargas verticais e H Figura 65a 68 0 Ay L mB H L tan a A MB 0 em que mB representa o momento sobre o apoio B das cargas verticais P1 a P4 aplicadas no cabo 231 Seção 65 Teorema geral dos cabos Na Equação 68 as forças Ay e H são as incógnitas Considerando um corpo livre à esquerda do ponto z somamos os momentos sobre o ponto z para produzir uma segunda equação relativamente às reações desconhe cidas Ay e H 69 0 Ayx H x tan a hz mz A Mz 0 em que mz representa o momento sobre z das cargas em um corpo livre do cabo à esquerda do ponto z Resolvendo a Equação 68 para Ay temos 610 Ay mB H L tan a L Substituindo Ay da Equação 610 na Equação 69 e simplificando encontramos 611 Hhz x L mB mz Figura 65 a x L corda Ay hz z z h x By P1 P2 P3 P4 A A B B y L tan tan H H b x L P1 RA RB P2 P3 z P4 232 Capítulo 6 Cabos Em seguida avaliamos Mz o momento fletor no ponto z da viga ver Figura 65b Mz RAx mz 612 Para avaliar RA na Equação 612 somamos os momentos das forças sobre o rolo em B Como as cargas na viga e no cabo são idênticas assim como os vãos das duas estruturas o momento das cargas aplicadas P1 a P4 sobre B também é igual a mB 613 R A mB L 0 R AL m B A MB 0 Substituindo RA da Equação 613 na Equação 612 temos 614 Mz x mB L mz Como os lados direitos das equações 611 e 614 são idênticos pode mos igualar os lados esquerdos dando Hhz Mz assim a Equação 66 está confirmada 66 Estabelecendo a forma funicular de um arco O material necessário para construir um arco é minimizado quando todas as seções ao longo do seu eixo estão em compressão direta Para um conjunto de cargas em particular o perfil do arco em compressão direta é chamado de arco funicular Imaginando que as cargas suportadas pelo arco são aplicadas a um cabo o projetista pode gerar uma forma funicular para as cargas automaticamente Se a forma do cabo for virada de cabeça para baixo o projetista produzirá um arco funicular Como os pesos pró prios normalmente são muito maiores do que as sobrecargas o projetista pode utilizálos para estabelecer a forma funicular ver Figura 66 Figura 66 Estabelecendo a forma do arco funi cular a as cargas suportadas pelo arco aplicadas a um cabo cuja flecha h3 em meio vão é igual à altura do arco no meio vão b arco produzido pela inversão do perfil do cabo em compressão direta W1 W5 W2 W4 W3 h2 h3 h1 TB TA B A a W1 W5 W2 h2 h3 h1 TB TA W4 W3 B A b 233 Seção 66 Estabelecendo a forma funicular de um arco Determine as reações nos apoios produzidas pela carga de 120 kips em meio vão Figura 67 usando a as equações de equilíbrio estático e b o teorema geral dos cabos Despreze o peso do cabo Solução a Como os apoios não estão no mesmo nível devemos escrever duas equações de equilíbrio para encontrar as reações desconhecidas no apoio C Primeiramente considere a Figura 67a 0 120 50 5H 100Cy A MA 0 1 Em seguida considere a Figura 67b H 50 105 Cy 0 105H 50Cy A MB 0 2 Substitua H da Equação 2 na Equação 1 Cy 78757 kips 0 6000 5a 50 105 Cyb 100Cy Resp Substituindo Cy na Equação 2 temos H 50 105 78757 375 kips Resp b Usando o teorema geral dos cabos aplique a Equação 66 no meio do vão onde a flecha do cabo hz 8 ft e Mz 3 000 kip ft ver Figura 67c H 375 kips H 8 3000 Hhz Mz Resp Após H ser avaliada some os momentos sobre A na Figura 67a para calcular Cy 78757 kips Nota Embora as reações verticais nos apoios do cabo da Figura 67a e da viga da Figura 67c não sejam iguais os resultados finais são idênticos E X E M P L O 6 1 Figura 67 a Cabo com uma carga vertical no meio do vão b corpo livre à direita de B c viga com apoio simples com o mesmo vão do cabo A viga suporta a carga do cabo Ay A B C Cy Cy A H B C H a b 120 kips corda 120 kips RA 60 kips RC 60 kips M 3000 kip ft H B T c 234 Capítulo 6 Cabos E X E M P L O 6 2 A E B h 10 w 06 kipft D C a 60 30 60 40 45º 40 b L2 h L2 y y x 4 hx2 L2 0 B D c w 06 kipft wL2 Mz 8 diagrama de momento Uma cobertura apoiada em cabo suporta uma carga uniforme w 06 kipft ver Figura 68a Se a flecha do cabo em meio vão é configurada em 10 pés qual é a tensão máxima no cabo a entre os pontos B e D e b entre os pontos A e B Solução a Aplique a Equação 66 no meio do vão para analisar o cabo entre os pontos B e D Aplique a carga uniforme em uma viga com apoios simples e calcule o momento Mz no meio do vão ver Figura 68c Como o diagrama de momento é uma parábola o cabo também é uma parábola entre os pontos B e D H 108 kips H 10 06 120 2 8 Hh Mz wL2 8 A tensão máxima do cabo no vão BD ocorre nos apoios onde a inclinação é máxima Para estabelecer a inclinação nos apoios usa mos a derivada da equação do cabo y 4hx2L2 ver Figura 68b cos u 0949 Com x 60 ft tan u 8 10 60 120 2 1 3 e u 1843 tan u dy dx 8hx L2 Substituindo em 61 T 108 0949 1138 kips T H cos u Resp b Se desprezarmos o peso do cabo entre os pontos A e B o cabo poderá ser tratado como um membro reto Como a inclinação do cabo u é de 45 a tensão é igual a T H cos u 108 0707 15276 kips Resp Figura 68 235 Resumo Resumo Os cabos compostos de múltiplos fios de aço trefilados de alta resistência e entrelaçados têm resistências à tração que variam de 250 a 270 ksi Os cabos são usados para construir estruturas de vão longo como pontes pênseis e estaiadas assim como coberturas sobre grandes arenas estádios esportivos e pavilhões de exposição que exigem espaço livre de colunas Como os cabos são flexíveis podem sofrer grandes alterações na geometria sob sobrecargas portanto os projetistas devem provi denciar elementos estabilizantes para evitar deformações excessi vas Além disso os apoios nas extremidades dos cabos devem ser capazes de ancorar forças intensas Se não houver rocha sólida para ancorar as extremidades dos cabos de uma ponte pênsil podem ser necessários blocos maciços de concreto armado Como os cabos devido à sua flexibilidade não têm nenhuma rigidez à flexão o momento é zero em todas as seções ao longo do cabo O teorema geral dos cabos estabelece uma equação simples para relacionar o empuxo horizontal H e a flecha do cabo h ao momento desenvolvido em uma viga com apoios simples fictícia com o mesmo vão do cabo Hhz Mz em que H componente horizontal da tensão do cabo hz flecha no ponto z onde Mz é avaliado A flecha é a distân cia vertical da corda do cabo até o cabo Mz momento no ponto z em uma viga com apoios simples com o mesmo vão do cabo e suportando as mesmas car gas que o cabo Quando cabos são usados em pontes pênseis os sistemas de piso devem ser muito rígidos para distribuir as cargas concentradas de rodas de caminhões para vários tirantes minimizando assim as deflexões da pista Como um cabo está em tração direta sob determinada carga normalmente o peso próprio seu formato pode ser utilizado para gerar a forma funicular de um arco virandoo de cabeça para baixo 236 Capítulo 6 Cabos P61 Determine as reações nos apoios a magnitude da flecha do cabo nos nós B e E a magnitude da força de tração em cada segmento do cabo e o comprimento total do cabo na Figura P61 PrObLEMAS P62 O cabo da Figura P62 suporta quatro vigas mestras simplesmente apoiadas uniformemente carregadas com 4 kipsft a Determine a área mínima necessária do cabo principal ABCDE se a tensão admissível é de 60 kipspol2 b Determine a flecha do cabo no ponto B P63 Determine as reações nos apoios A e D a tensão máxima no cabo e a magnitude da flecha do cabo no ponto C na Figura P63 P64 a Determine as reações nos apoios A e E e a tensão máxima no cabo da Figura P64 b Estabeleça a flecha do cabo nos pontos C e D P61 P63 A F 30 kips 30 kips 30 kips 30 kips B E D C P62 A E B C D A 18 kN hc 30 kN B C D 6 m 9 m 9 m 12 m 42 m 24 m 3 m P64 20 kN 15 kN 5 m 5 m 2 m 3 m 6 m B A C D E hB 2 m hC hD 237 Problemas P65 Calcule as reações de apoio e a tensão máxima no cabo principal da Figura P65 Suponha que os tirantes fornecem apoios simples para as vigas suspensas P66 Que valor de u está associado ao volume mínimo de material de cabo necessário para suportar a carga de 100 kips na Figura P66 A tensão admissível no cabo é 150 kipspol2 P67 Os cabos da Figura P67 foram dimensionados de modo que uma força de tração de 3 kips se desenvolva em cada cabo vertical quando os cabos principais são tensionados Que valor de força de protensão T deve ser aplicada nos apoios B e C para tracionar o sistema P68 Calcule as reações de apoio e a tensão máxima no cabo da Figura P68 D C A B T T cabo cabo P67 w 6 kipsft cabo B A P65 100 kips C A B P66 A C B 30 m 30 m 10 m w 8 kNm 10 m P68 238 Capítulo 6 Cabos P69 Calcule as reações de apoio e a tensão máxima no cabo da Figura P69 P610 Um cabo ABCD é puxado na extremidade E por uma força P Figura P610 O cabo é apoiado no ponto D por um membro rígido DF Calcule a força P que produz uma flecha de 2 m nos pontos B e C A reação horizontal no apoio F é zero Calcule a reação vertical em F P611 Calcule as reações de apoio e a tensão máxima no cabo da Figura P611 A flecha no meio do vão é de 12 pés Suponha que cada tirante fornece um apoio simples para a viga suspensa Determine a flecha nos pontos B e D P612 Determine o local da carga de 40 kN para que as flechas nos pontos B e C sejam de 3 m e 2 m respecti vamente Determine a tensão máxima no cabo e as rea ções nos apoios A e D A B 8 m 4 m w 4 kNm 20 kN 4 m 3 m 8 m 3 m P69 A E F H G B D C 9 kips 9 kips 9 kips 9 kips P611 B C E D P 2 m 2 m 2 kNm 45 3 m A F 4 m 4 m 4 m P610 40 kN A D B x C 2 m 3 m 2 m 3 m 10 m 20 m 10 m 4 m P612 239 Problemas Aplicação prática P613 A cobertura apoiada em cabo de um teatro iti nerante mostrado na Figura P613 é composta de 24 cabos igualmente espaçados que vão de um anel de tração no centro até um anel de compressão no períme tro O anel de tração fica 12 pés abaixo do anel de compressão A cobertura pesa 25 lbft2 baseada na projeção horizontal de sua área Se a flecha no meio do vão de cada cabo tem 4 pés determine a força de tra ção aplicada por cada cabo no anel de compressão Qual é a área necessária de cada cabo se a tensão admissível é de 110 kipspol2 Determine o peso do anel de tração necessário para equilibrar as componen tes verticais das forças do cabo 40 40 40 5 40 40 40 D A B C E F G H I 4 60 40 15 anel de compressão 1 1 Seção 11 anel de compressão anel de tração cabo P614 P613 P614 Estudo por computador de uma ponte estaiada O piso e a torre que compõem a ponte estaiada de dois vãos da Figura P614 são construídos de concreto armado A seção transversal da ponte é constante com uma área de 15 ft2 e um momento de inércia de 19 ft4 O peso próprio das vigas mestras é de 4 kipspol Além disso as vigas mestras devem ser pro jetadas para suportar uma sobrecarga de 06 kipft que deve ser posicionada de forma a maximizar as forças de projeto nos membros individuais A torre vertical locali zada no apoio central tem uma área de seção transversal de 24 ft2 e um momento de inércia de 128 ft4 Quatro cabos cada um com área de 13 pol2 e módulo de elastici dade efetivo de 26 000 kipspol2 são usados para suportar o piso nos pontos a um terço de cada vão de 120 ft O módulo de elasticidade do concreto é 5 000 kipspol2 Suponha que a reação do cabo é aplicada na parte de baixo da pista Os membros foram detalhados de modo que o apoio em D atua como um apoio simples tanto para a torre como para as vigas mestras da pista a Analise a estrutura para sobrecargas e cargas permanentes totais nos dois vãos isto é estabeleça os diagramas de cortante momento e carga axial das vigas mestras as forças nos cabos e a deflexão máxima das vigas mestras b Com a carga permanente nos dois vãos e com a sobrecarga no vão esquerdo ABCD determine os dia gramas de cortante momento e carga axial para os dois vãos a força axial nos cabos e o cortante o momento e a carga axial na torre vertical Além disso determine a deflexão lateral da torre Ponte French King em Greenfield Massachusetts EUA Essa ponte de arco treliçado oferece um projeto eficiente para suportar uma estrada sobre um rio em uma área rural no oeste de Massachusetts A confi guração em arco da corda inferior não é apenas visualmente atraente como também fornece altura livre suficiente para os barcos que passam sob a ponte A grande profundidade da construção em direção às extremidades produz uma estrutura rígida com barras delgadas C A P Í T U L O Arcos 71 Introdução Conforme discutimos na Seção 15 o arco utiliza material de modo eficiente pois as cargas aplicadas criam principalmente compressão axial sobre todas as seções transversais Neste capítulo mostraremos que para um conjunto de cargas em particular o projetista pode esta belecer um formato de arco a forma funicular no qual todas as seções estão em compressão direta os momentos são zero Normalmente o peso próprio constitui a principal carga suportada pelo arco Se uma forma funicular basearse na distribuição do peso próprio serão criados momentos nas seções transversais pelas sobrecar gas cuja distribuição difere daquela do peso próprio Mas normal mente na maioria dos arcos as tensões de flexão produzidas pelos momentos da sobrecarga são tão pequenas comparadas às compressões axiais que existem tensões de compressão líquidas em todas as seções Como os arcos usam material com eficiência os projetistas frequente mente os empregam como os principais elementos estruturais em pon tes de vão longo digamos de 120 m a 550 m aproximadamente ou em edificações que exigem grandes áreas livres de colunas por exem plo hangares de avião ginásios esportivos ou salas de conferências Neste capítulo consideraremos o comportamento e a análise de arcos triarticulados Como parte desse estudo deduziremos a equação da forma de um arco funicular que suporta uma carga uniformemente distribuída e aplicaremos a teoria geral dos cabos Seção 65 para produzir o arco funicular para um conjunto arbitrário de cargas con centradas Por fim aplicaremos o conceito de otimização estrutural para estabelecer o peso mínimo de um arco triarticulado simples que suporta uma carga concentrada 72 Tipos de arcos Em geral os arcos são classificados pelo número de articulações que contêm ou pela maneira com que suas bases são construídas A Figura 71 mostra os três tipos principais triarticulado biarticulado e de extremidades fixas O arco triarticulado é estaticamente deter minado os outros dois tipos são indeterminados O arco triarticu lado é o mais fácil de analisar e construir Como ele é determinado 7 Figura 71 Tipos de arcos a arco triarticulado estável e determinado b arco biarticulado inde terminado no primeiro grau c arco de extremi dades fixas indeterminado no terceiro grau a articulação b c 242 Capítulo 7 Arcos mudanças de temperatura recalques do apoio e erros de fabricação não geram tensões Por outro lado como contém três articulações é mais flexível do que os outros dois tipos O arco de extremidades fixas é frequentemente construído de alve naria ou concreto quando sua base está apoiada em rocha blocos de alvenaria maciços ou pesadas fundações de concreto armado Os arcos indeterminados podem ser analisados pelo método da flexibilidade abor dado no Capítulo 11 ou mais simples e rapidamente por qualquer pro grama de computador de propósito geral Para determinar as forças e os deslocamentos em pontos arbitrários ao longo do eixo do arco usando computador o projetista trata os pontos como nós livres para deslocar Em pontes de vão longo são utilizados dois arcos principais para suportar as vigas do tabuleiro Essas vigas podem ser suportadas por tirantes presos no arco Figura 19a ou por colunas que se apoiam no arco Foto 71 Como o arco está principalmente em compressão o projetista também deve considerar a possibilidade de sua flambagem em particular se ele for delgado Figura 72a Se o arco é construído de barras de aço perfis enrijecidos ou seções tipo caixa podem ser usa dos para aumentar a rigidez à flexão da seção transversal e reduzir a Figura 72 a Flambagem de um arco não con traventado b arco treliçado as barras verti cais e diagonais contraventam o dorso do arco contra flambagem no plano vertical c dois tipos de seções transversais reforçadas de aço usadas para construir um dorso de arco a b dorso de arco perfil C placas placas de aço c corte transversal seção tipo caixa soldada w forma flambada 243 Seção 72 Tipos de arcos chance de flambagem Em muitos arcos o sistema de piso ou de contra ventamento horizontal é utilizado para tornar o arco mais rígido contra flambagem lateral No caso do arco treliçado mostrado na Figura 72b as barras verticais e diagonais reforçam o dorso do arco contra flamba gem no plano vertical Como muitas pessoas acham a forma de arco esteticamente agradável os projetistas frequentemente utilizam arcos abatidos para transpor pequenos rios ou caminhos em parques e outros locais públicos Em luga res onde existem paredes laterais de rocha os projetistas muitas vezes constroem pontes de estrada com vão curto usando abóbadas ver Figura 73 Construída com blocos de alvenaria perfeitamente encaixados ou concreto armado a abóbada consiste em um arco largo e raso que suporta um enchimento pesado e compactado no qual o engenheiro coloca a laje da estrada O grande peso do enchimento causa compressão suficiente na abóbada para neutralizar quaisquer forças de tração causadas pelos momentos gerados até pelos veículos mais pesados Embora as cargas suportadas pela abóbada possam ser grandes as compressões diretas no arco em si normalmente são baixas na ordem de 300 psi a 500 psi pois a área da seção transversal do arco é grande Um estudo realizado pelo autor principal deste livro feito em diversas pontes de abóbada de alve naria construídas em Filadélfia em meados do século 19 mostrou que elas têm capacidade para suportar veículos de três a cinco vezes mais pesados do que o caminhão AASHTO padrão ver Figura 27 para o qual as pontes de rodovias são projetadas Além disso enquanto muitas pontes de aço e concreto armado construídas nos últimos cem anos não podem mais ser utilizadas por causa da corrosão produzida pelos sais empregados para derreter a neve muitos arcos de alvenaria feitos de pedra de boa qualidade não mostram sinais de deterioração Foto 71 Ponte de estrada de ferro 1909 sobre o desfiladeiro Landwasser perto de Wiesen Suíça Construção em alvenaria O arco principal é parabólico com vão de 55 m e altura de 33 m A ponte é estreita pois a estrada de ferro é de via única Os dorsos têm apenas 48 m no cume aumentando para 6 m nos apoios a abóbada laje da estrada enchimento b rocha Figura 73 a A abóbada se assemelha a uma laje curva b abóbada usada para suportar enchi mento compactado e laje de estrada 244 Capítulo 7 Arcos 73 Arcos triarticulados Para demonstrar certas características dos arcos consideraremos de que forma as forças de barra variam à medida que a inclinação u das bar ras muda no arco com articulação da Figura 74a Como as barras susten tam somente carga axial essa configuração representa a forma funicular de um arco que suporta uma única carga concentrada em meio vão Por causa da simetria as componentes verticais das reações nos apoios A e C têm magnitude idêntica e são iguais a P2 Denotando a inclinação das barras AB e CB pelo ângulo u podemos expressar as forças de barra FAB e FCB em relação a P e ao ângulo de inclinação u ver Figura 74b como 71 FAB FCB P 2 sen u sen u P 2 FAB P 2 FCB A Equação 71 mostra que à medida que u aumenta de 0 a 90 a força em cada barra diminui de infinita para P2 Também podemos observar que à medida que o ângulo de inclinação u aumenta o comprimento das barras e consequentemente o material necessário também aumenta Para estabelecer a inclinação que produz a estrutura mais econômica para determinado vão L expressaremos o volume V do material da barra exi gido para suportar a carga P nos termos da geometria da estrutura e da resistência compressiva do material 72 V 2ALB em que A é a área de uma barra e LB é o comprimento da barra Para expressar a área exigida das barras em relação à da carga P divi dimos as forças de barra dadas pela Equação 71 pela tensão admissível à compressão sadmissível 73 A P 2 sen u sadmissível Figura 74 a Arco triarticulado com uma carga concentrada b diagrama vetorial das forças que atuam na articulação em B as forças FCB e FAB são iguais por causa da simetria c componentes da força na barra AB a b c P P P 2 C B A FAB FAB FAB H FCB FCB FAB H H L2 L2 P 2 P 2 P2 sen 245 Seção 74 Forma funicular de um arco que suporta carga uniformemente distribuída Expressaremos também o comprimento da barra LB em relação a u e ao comprimento do vão L como 74 LB L2 cos u Substituindo A e LB dados pelas equações 73 e 74 na Equação 72 simplificando e usando a identidade trigonométrica sen 2u 2 sen u cos u calculamos 75 V PL 2sadmissível sen 2u Se V da Equação 75 for plotado como uma função de u ver Figura 75 observaremos que o volume mínimo de material está associado a um ângulo u 45 A Figura 75 também mostra que arcos muito rasos u 15 e muito altos u 75º exigem um volume maior de material por outro lado a curvatura achatada na Figura 75 quando u varia entre 30º e 60º indica que o volume das barras não é sensível à incli nação entre esses limites Portanto o projetista pode variar o formato da estrutura dentro desse intervalo sem afetar significativamente seu peso ou seu custo No caso de um arco curvo que suporta uma carga distribuída o enge nheiro também verá que o volume de material necessário na estrutura dentro de certo intervalo não é sensível à elevação do arco Evidente mente o custo de um arco muito raso ou muito elevado será maior do que o de um arco de altura moderada Por fim na definição do formato de um arco o projetista também considerará o perfil do local a locali zação de material de sustentação sólido para as fundações e os requisi tos arquitetônicos e funcionais do projeto 74 Forma funicular de um arco que suporta carga uniformemente distribuída Muitos arcos suportam pesos próprios que têm uma distribuição uniforme ou quase uniforme sobre o vão da estrutura Por exemplo o peso por comprimento unitário do sistema de piso de uma ponte normal mente será constante Para estabelecer a forma funicular para um arco uniformemente carregado a forma necessária se deve se desenvolver somente compressão direta em todos os pontos ao longo do eixo de um arco consideraremos o arco triarticulado simétrico da Figura 76a A altura ou elevação do arco é denotada por h Por causa da simetria as reações verticais nos apoios A e C são iguais a wL2 metade da carga total suportada pela estrutura inclinação u graus 0 20 40 volume mínimo em u 45 volume das barras aumentando 60 80 Figura 75 Variação do volume de material com a inclinação das barras da Figura 74a 246 Capítulo 7 Arcos O empuxo horizontal H na base do arco pode ser expresso em termos da carga aplicada w e da geometria do arco considerando o corpo livre à direita da articulação central na Figura 76b Somando os momentos sobre a articulação central em B encontramos 76 H wL2 8h 0 a wL 2 b L 4 a wL 2 b L 2 Hh A MB 0 Para estabelecer a equação do eixo do arco sobrepomos ao arco um sistema de coordenadas retangulares com a origem o localizada em B O sentido positivo do eixo vertical y é direcionado para baixo Em seguida expressamos o momento M em uma seção arbitrária o ponto D no eixo do arco considerando o corpo livre do arco entre D e a arti culação fixa em C 0 L 2 x 2 w 2 wL 2 L 2 x H h y M A MD 0 Resolvendo M temos 77 M wL2y 8h wx 2 2 Se o eixo do arco segue a forma funicular M 0 em todas as seções Substituir esse valor de M na Equação 77 e resolver para y estabelece a seguinte relação matemática entre y e x 78 y 4h L2 x 2 a b c articulação L2 wL H H h h A C C B B w 2 L2 L2 L2 x wL 2 H wL 2 1 2 L 2 wL2 8h w x y D M h y eixo x x R w L 2 x 1 8hx L2 8hx L2 2 1 eixo y Figura 76 Estabelecendo a forma funicular de um arco uniformemente carregado 247 Seção 74 Forma funicular de um arco que suporta carga uniformemente distribuída A Equação 78 representa evidentemente a equação de uma parábola Mesmo que o arco parabólico da Figura 76 tivesse as extremidades fixas uma carga uniformemente distribuída supondo que não houvesse nenhuma alteração significativa na geometria por causa de uma redução axial ainda produziria compressão direta em todas as seções pois o arco obedece à forma funicular de uma carga uniforme Considerando o equilíbrio na direção horizontal podemos ver que o empuxo horizontal em qualquer seção de um arco é igual a H a reação horizontal no apoio No caso de um arco parabólico uniformemente car regado o empuxo axial total T em qualquer seção a uma distância x a partir da origem em B ver Figura 76b pode ser expresso em termos de H e da inclinação na seção dada como 79 T H cos u Para avaliar cos u primeiramente achamos a derivada da Equação 78 com relação a x para encontrar 710 tan u dy dx 8hx L2 A tangente de u pode ser mostrada graficamente pelo triângulo da Figura 76c A partir desse triângulo podemos calcular a hipotenusa r usando r2 x2 y2 711 r B1 8hx L2 2 A partir da relação entre os lados do triângulo da Figura 76c e da função cosseno podemos escrever 712 cos u 1 B1 8hx L2 2 Substituindo a Equação 712 na Equação 79 temos 713 T HB1 8hx L2 2 A Equação 713 mostra que o maior valor de empuxo ocorre nos apoios em que x tem seu valor máximo de L2 Se w ou o vão do arco são grandes talvez o projetista queira variar estreitar a seção transversal na proporção direta do valor de T para que a compressão na seção transversal seja constante O Exemplo 71 ilustra a análise de um arco treliçado triarticulado para um conjunto de cargas que corresponde à forma funicular do arco assim como para uma única carga concentrada O Exemplo 72 ilustra o uso da teoria dos cabos para estabelecer uma forma funicular para o conjunto de cargas verticais do Exemplo 71 248 Capítulo 7 Arcos E x E M P L O 7 1 A geometria da corda inferior do arco é a forma funicular para as cargas mostradas Analise o arco treliçado triarticulado da Figura 77a para as cargas permanentes aplicadas na corda superior A barra KJ que é detalhada de modo que não possa transmitir força axial atua como uma viga simples em vez de uma barra da treliça Suponha que o nó D atua como uma articulação A B C D E F N M L K J I H G H H D FDJ FDE 30 kips 60 kips 60 kips 60 kips 60 kips 60 kips 60 kips 60 kips 60 kips 30 kips 30 kips RG RA 6 30 180 48 a b 20 32 36 225 225 0 0 0 0 0 0 150 225 30 60 60 60 90 225 30 articulação 180 Solução Como o arco e suas cargas são simétricos as reações verticais em A e G são iguais a 180 kips metade da carga aplicada Calcule a reação horizontal no apoio G Considere o corpo livre do arco à direita da articulação em D Figura 77a e some os momentos sobre D H 225 kips 0 60 30 60 60 30 90 180 90 36H A MD 0 Agora analisamos a treliça pelo método dos nós começando no apoio A Os resultados da análise estão mostrados em um esboço da treliça na Figura 77b Nota Como a corda inferior do arco tem a forma funicular para as cargas aplicadas na corda superior as únicas barras que suportam carga além da corda inferior são as colunas verti cais as quais transmitem a carga para baixo do arco As cordas diagonais e superiores serão tracionadas quando atuar um padrão de carga que não obe deça à forma funicular A Figura 78 mostra as forças produzidas na mesma treliça por uma única carga concen trada no nó L 90 kips 75 1071 1071 75 0 0 3738 2142 6428 75 3738 1596 2142 9642 75 6429 0 11238 50 10 3428 3428 60 20 20 851 10 2572 0 141 30 1495 1495 85 3851 50 75 75 60 30 Figura 77 Figura 78 249 Seção 74 Forma funicular de um arco que suporta carga uniformemente distribuída Estabeleça o formato do arco funicular para o conjunto de cargas que atua no arco treliçado da Figura 77 A eleva ção do arco no meio do vão está configurada em 36 pés Solução Imaginamos que o conjunto de cargas é aplicado em um cabo que abrange o mesmo vão do arco ver Figura 79a A flecha do cabo está configurada em 36 pés a altura do arco no meio do vão Como as cargas de 30 kips em cada extremidade do vão atuam diretamente nos apoios não afetam a força nem o formato do cabo e podem ser despre zadas Aplicando a teoria geral dos cabos imaginamos que as cargas suportadas pelo cabo são aplicadas a uma viga imaginária com apoios simples com um vão igual ao do cabo Figura 79b Em seguida construímos os diagramas de cortante e momento De acordo com o teorema geral dos cabos em cada ponto M Hy 66 em que M momento em um ponto arbitrário na viga H componente horizontal da reação do apoio y flecha do cabo em um ponto arbitrário Como y 36 ft no meio do vão e M 8 100 kip ft pode mos aplicar a Equação 66 nesse ponto para estabelecer H H M y 8100 36 225 kips Com H estabelecida aplicamos em seguida a Equação 66 em 30 e 60 pés a partir dos apoios Calcule y1 em 30 pés y1 M H 4500 225 20 ft Calcule y2 em 60 pés y2 M H 7200 225 32 ft O perfil de um cabo é sempre uma estrutura funicular pois um cabo só pode transmitir tração direta Se o perfil do cabo for virado de cabeça para baixo será produzido um arco funi cular Quando as cargas verticais que atuam no cabo são apli cadas no arco produzem em todas as seções forças de com pressão de magnitude igual às forças de tração nas seções correspondentes do cabo E x E M P L O 7 2 H A B H y1 y2 36 h 60 kips 60 kips 60 kips 60 kips 60 kips a A B 150 kips 150 kips b 6 30 180 60 kips 60 kips 60 kips 60 kips 60 kips c 150 90 30 30 90 150 cortante kips d momento kip ft 4500 7200 8100 Figura 79 Uso da teoria dos cabos para esta belecer a forma funicular de um arco 250 Capítulo 7 Arcos Resumo Embora arcos de alvenaria curtos sejam frequentemente utilizados em locais panorâmicos devido à sua forma atraente também oferecem projetos econômicos para estruturas de vão longo que 1 suportam carga permanente grande e uniformemente distribuída e 2 fornecem um grande espaço livre sob o arco conveniente para salas de conferência arenas esportivas ou uma ponte que oferece passagem para barcos altos Os arcos podem ser moldados chamados de arcos funiculares de modo que a carga permanente produza somente compressão direta condição que leva a uma estrutura de peso mínimo Para determinado conjunto de cargas a forma funicular do arco pode ser estabelecida usandose a teoria dos cabos PrObLEMAs P71 P72 P71 Para o arco parabólico da Figura P71 plote a variação do empuxo T no apoio A para os valores de h 12 24 36 48 e 60 pés P72 Calcule as reações nos apoios A e E do arco para bólico triarticulado da Figura P72 Em seguida calcule o cortante a força axial e o momento nos pontos B e D localizados nos pontos a um quarto do vão 60 articulação h A T C B w 6 kipsft 60 10 1125 1125 h 15 A E B D C w 15 kipft 10 30 kips 10 10 251 Problemas P73 O arco parabólico triarticulado da Figura P73 suporta cargas de 60 kips nos pontos a um quarto do vão Determine o cortante a força axial e o momento nas seções a uma distância infinitesimal à esquerda e à direita das cargas A equação do eixo do arco é y 4hx2L2 P74 Determine as reações nos apoios A e C do arco circular triarticulado A E C B D 60 kips 60 kips r 20 m 45 articulação A C B w 4 kNm A C B 10 kN 20 kN 30 kN 18 kN 5 8 m 40 m 12 m 8 m articulação A B C D E F G M L K articulação J I H 90 kN 60 kN 6 9 m 54 m 9 m 3 m 6 m P74 P73 P76 P75 P75 Calcule as reações do apoio para o arco da Figura P75 Dica você precisará de duas equações de momento considere o corpo livre inteiro para uma delas e um corpo livre da parte da treliça à esquerda ou à direita da articulação em B P76 a Determine as reações e todas as forças de barra do arco treliçado triarticulado da Figura P76 para os seguintes casos Caso A somente a força de 90 kN no nó D atua Caso B as forças de 90 kN e 60 kN nos nós D e M atuam b Determine a força axial máxima no arco para o Caso B 252 Capítulo 7 Arcos P77 a Na Figura P77 calcule a reação horizontal Ax no apoio A para uma carga de 10 kips no nó B b Repita o cálculo se a carga de 10 kips também está loca lizada nos nós C e D respectivamente A I H G B Ax C D E F 10 kips move articulação 40 40 30 A B 6 10 60 15 24k 24k 20k 20k 20k y1 y2 y2 y1 A I H G F E B D C 40 kips 35 kips 30 kips 35 kips 40 kips 4 30 120 50 h h articulação A B C D E F G H I J K L 15 kN 30 kN 30 kN 30 kN 30 kN 15 kN 3 8 m 2 6 m 4 m 8 m P78 Para que a corda inferior do arco seja funicular para os pesos próprios mostrados estabeleça a elevação dos nós da corda inferior B C e E P77 P710 P711 P78 P79 10 m 20 kN 20 kN 20 kN 10 kN 5 kN A B C D E 10 m 10 m 10 m 6 m 2 m P79 Determine as reações nos apoios A e E do arco triarticulado da Figura P79 P710 Estabeleça o arco funicular para o sistema de cargas da Figura P710 P711 Se a corda inferior do arco ABCDE na Figura P711 deve ser funicular para as cargas permanentes mostradas nos nós superiores estabeleça a elevação dos nós da corda inferior em B e D 253 Problemas P712 Estudo por computador de um arco biarticu lado O objetivo é estabelecer a diferença na resposta de um arco parabólico para 1 cargas uniformemente distribuídas e 2 uma carga única concentrada a O arco da Figura P712 suporta uma pista de uma estrada que consiste em vigas com apoios simples conectadas ao arco por cabos de alta resistência com área A 2 pol2 e E 26 000 ksi Cada cabo transmite uma carga permanente das vigas de 36 kips para o arco Determine as reações a força axial o cortante e o momento em cada nó do arco e os deslocamentos de nó Plote a forma defletida Represente o arco por meio de uma série de segmentos retos entre os nós O arco tem uma seção transversal constante com A 24 pol2 I 2 654 pol4 e E 29 000 ksi b Repita a análise do arco se uma carga vertical única de 48 kips atua para baixo no nó 18 Novamente determine todas as forças que atuam em cada nó do arco os deslocamentos de nó etc e compare os resulta dos com os de a Descreva sucintamente a diferença no comportamento 1 1 11 1 1 36 kips 36 kips 36 kips 36 kips 36 kips 36 kips 36 kips 36 kips 36 kips 2 10 13 14 15 16 17 18 19 12 3 9 4 8 5 7 6 Seção 11 10 2 9 3 8 4 7 5 6 20 P712 1 11 1 1 48 kips viga mestra contínua 2 10 13 14 15 16 17 18 19 12 3 9 4 8 5 7 6 20 P713 Para a viga mestra e para o arco determine todas as forças que atuam nos nós do arco assim como os deslocamentos dos nós Discuta os resultados de seu estudo de P712 e P713 com particular ênfase na magnitude das forças e nos deslocamentos produzidos pela carga de 48 kips P713 Estudo por computador de arco com uma viga mestra de piso contínua Repita a parte b do problema P712 se uma viga mestra contínua com A 1025 pol2 e I 40 087 pol4 conforme mostrado na Figura P713 é fornecida para apoiar o sistema de piso 254 Capítulo 7 Arcos P714 Para reduzir o deslocamento vertical do sistema de piso da estrada do arco mostrado em P712 parte b produzido pela carga de 48 kips no nó 18 são adicionados cabos diagonais de 2 polegadas de diâmetro conforme mostrado na Figura P714 Para essa configuração determine o deslocamento vertical de todos os nós do sistema de piso Compare os resultados dessa análise com a parte b de P712 plotando em escala as deflexões verticais de todos os nós ao longo do piso dos nós 1 ao 11 As propriedades dos cabos diagonais são iguais às dos cabos verticais 1 11 48 kips 2 10 13 14 15 16 17 18 19 12 3 9 4 8 5 7 6 20 P714 A ponte estaiada Rion Antirion de 2 252 m de comprimento na Grécia está em serviço desde 2004 As condições adversas que o projetista teve de considerar incluíam a profundidade da água de 65 m con dições de solo ruins forte atividade sísmica e a possibilidade de colisão de um naviotanque com a estrutura O estrado superior contínuo e totalmente suspenso foi projetado para se mover como um pên dulo durante um terremoto amortecedores são utilizados para reduzir o balanço do estrado causado pelo forte vento C A P Í T U L O Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas 81 Introdução Até aqui analisamos estruturas para uma variedade de cargas sem considerar como a posição de uma carga concentrada ou a dis tribuição de uma carga uniforme era estabelecida Além disso não fizemos distinção entre carga permanente que tem posição fixa e sobrecarga que pode mudar de posição Neste capítulo nosso obje tivo é estabelecer a posição da carga móvel por exemplo um cami nhão ou um trem para maximizar o valor de certo tipo de força cortante ou momento em uma viga ou axial em uma treliça em uma seção designada de uma estrutura 82 Linhas de influência À medida que uma carga em movimento passa por uma estrutura as forças internas em cada ponto da estrutura variam Intuitivamente reco nhecemos que uma carga concentrada aplicada em uma viga em meio vão produz tensões de flexão e deflexão muito maiores do que a mesma carga aplicada perto de um apoio Por exemplo suponha que você tivesse que atravessar um pequeno curso dágua repleto de crocodilos passando por cima de uma velha tábua flexível e parcialmente rachada Você ficaria mais preocupado com a capacidade da tábua de suportar seu peso à medida que se aproximasse do meio vão do que quando estivesse parado no apoio da extremidade da tábua ver Figura 81 Se uma estrutura deve ser projetada com segurança devemos dimensionar suas barras e nós de modo que a força máxima em cada seção produzida pela sobrecarga e pela carga permanente seja menor ou igual à capacidade admissível da seção Para estabelecer as forças de projeto máximas nas seções críticas produzidas por cargas que se movem frequentemente construímos linhas de influência 8 Esta antiga tábua não parece segura Hora da refeição Quase Consegui C R E K a b Figura 81 Variação do momento com a posição da carga a nenhum momento em meio vão carga no apoio b momento e deflexão máximos carga em meio vão A tábua se rompe 258 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas Linha de influência é um diagrama cujas ordenadas que são plotadas como uma função da distância ao longo do vão fornecem o valor de uma força interna uma reação ou um deslocamento em um ponto específico de uma estrutura quando uma carga unitária de 1 kip ou 1 kN se move pela estrutura Uma vez construída a linha de influência podemos utilizála 1 para determinar onde devemos colocar carga móvel em uma estrutura para maximizar a força cortante momento etc para a qual a linha de influência é desenhada e 2 para avaliar a magnitude da força repre sentada pela linha de influência produzida pela carga móvel Embora represente a ação de uma única carga em movimento a linha de influên cia também pode ser usada para estabelecer a força em um ponto produ zida por várias cargas concentradas ou por uma carga uniformemente distribuída 83 Construção de uma linha de influência Para apresentar o procedimento de construção de linhas de influên cia discutiremos em detalhes os passos necessários para desenhar a linha de influência da reação RA no apoio A da viga com apoios simples da Figura 82a Conforme observado anteriormente podemos estabelecer as ordenadas das linhas de influência para a reação em A calculando o valor de RA para sucessivas posições de uma carga unitária à medida que ela se move pelo vão Começamos colocando a carga unitária no apoio A Somando os momentos sobre o apoio B Figura 82b calculamos RA 1 kip Então movemos a carga unitária arbitrariamente para uma segunda posição loca lizada a uma distância L4 à direita do apoio A Novamente somando os momentos sobre B calculamos RA 3 4 kip Figura 82c Em seguida movemos a carga para o meio vão e calculamos RA 1 2 kip Figura 82d Para o cálculo final posicionamos a carga de 1 kip diretamente sobre o apoio B e calculamos RA 0 Figura 82e Para construir a linha de influên cia plotamos agora os valores numéricos de RA diretamente abaixo de cada posição da carga unitária associada ao valor de RA correspondente O diagrama de linha de influência resultante está mostrado na Figura 82f A linha de influência mostra que a reação em A varia linearmente de 1 kip quando a carga está em A até o valor 0 quando a carga está em B Como a reação em A é avaliada em kips as ordenadas da linha de influência têm unidades de kips por 1 kip de carga Quando você se familiarizar com a construção de linhas de influência precisará colocar a carga unitária em apenas duas ou três posições ao longo do eixo da viga para estabelecer o formato correto da linha de influência Vários pontos a lembrar sobre a Figura 82f estão resumidos aqui 1 Todas as ordenadas da linha de influência representam valores de RA 2 Cada valor de RA está plotado diretamente abaixo da posição da carga unitária que o produziu 3 O valor máximo de RA ocorre quando a carga unitária atua em A 259 Seção 83 Construção de uma linha de influência 4 Como todas as ordenadas da linha de influência são positivas uma carga atuando verticalmente para baixo em qualquer lugar do vão produz uma reação em A dirigida para cima Uma ordenada negativa indicaria que a reação em A seria dirigida para baixo 5 A linha de influência é uma linha reta Conforme você verá as linhas de influência de estruturas determinadas são retas ou compostas de segmentos lineares Plotando os valores da reação de B para várias posições da carga unitária geramos a linha de influência de RB mostrada na Figura 82g Como a soma das reações em A e B sempre deve ser igual a 1 o valor da carga aplicada para todas as posições da carga unitária a soma das ordenadas das duas linhas de influência em qualquer seção também deve ser igual a 1 kip No Exemplo 81 construiremos linhas de influência para as reações de uma viga com um balanço O Exemplo 82 ilustrará a construção de linhas de influência para cortante e momento em uma viga Se as linhas de influên cia das reações forem desenhadas primeiro facilitarão a construção das linhas de influência das outras forças na mesma estrutura 1 kip movimento RA RB a L A B A B 1 kip RB 0 RA 1 b L 4 3 4 A B RA 1 4 RB 1 kip c L 2 1 2 A B RA 1 2 RB 1 kip d A B RA 0 RB 1 1 kip e RA kips 3 4 1 0 f 1 2 RB kips 1 0 g 1 4 1 2 Figura 82 Linhas de influência das reações em A e B a viga b c d e e mostram posi ções sucessivas da carga unitária f linha de influência de RA g linha de influência de RB 260 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas E x E m P L O 8 1 Figura 83 Linhas de influência das reações nos apoios A e C a viga b carga entre A e C c carga unitária entre C e D d linha de influência de RA e linha de influência de RC a A B C D 5 m 5 m 5 m 1 kN RA RC x1 10 x1 b A C 10 m D 1 kN RA RC x2 c A D C 10 m RA kN d 1 1 2 RC kN 1 e 3 2 Construa as linhas de influência das reações em A e C para a viga da Figura 83a Solução Para estabelecer uma expressão geral para os valores de RA para qualquer posição da carga unitária entre os apoios A e C colocamos a carga unitária a uma distância x1 à direita do apoio A ver Figura 83b e somamos os momentos sobre o apoio C 1 R A 1 x1 10 0 1 R A 11 kN2 110 x12 0 A MC 0 em que 0 x1 10 Avalie RA para x1 0 m 5 m e 10 m x1 RA 0 1 5 10 0 1 2 Uma expressão geral para RA quando a carga unitária está locali zada entre C e D pode ser escrita pela soma dos momentos sobre C para o diagrama de corpo livre mostrado na Figura 83c 2 R A x2 10 0 1 R A 11 kN2 1x22 0 A MC 0 em que 0 x2 5 O sinal de menos na Equação 2 indica que RA atua para baixo quando a carga unitária está entre os pontos C e D Para x2 0 RA 0 para x2 5 RA 2 1 Usando os valores anteriores de RA das equações 1 e 2 desenhamos a linha de influência mostrada na Figura 83d Para desenhar a linha de influência de RC ver Figura 83e podemos calcular os valores da reação em C à medida que a carga unitária se move pelo vão ou subtrair as ordenadas da linha de influência na Figura 83d de 1 pois a soma das reações para cada posição da carga unitária deve ser igual a 1 o valor da carga aplicada 261 Seção 83 Construção de uma linha de influência Figura 84 Linhas de influência do cortante e do momento na seção B a posição da carga unitária b definição do sentido positivo do cortante e do momento c linha de influência do cortante em B d linha de influência do momento em B e corpo livre da carga unitária à esquerda da seção B f corpo livre da carga unitária à direita da seção B g corpo livre da carga unitária em meio vão A B C D RA a 1 2 3 4 5 15 5 10 M M V V b VB kips c 3 4 1 2 1 4 d MBkip ft 5 2 15 4 1 kip 3 4 e MB A 15 4 VB 1 4 5 3 4 f MB A 15 4 VB 3 4 5 1 2 g MB A 5 2 VB 1 2 E x E m P L O 8 2 Desenhe as linhas de influência do cortante e do momento na seção B da viga da Figura 84a Solução As linhas de influência do cortante e do momento na seção B estão desenhadas na Figura 84c e d As ordenadas dessas linhas de influência foram avaliadas para as cinco posições da carga unitária indicadas pelos números circulados ao longo da extensão da viga na Figura 84a Para avaliar o cortante e o momento em B produzidos pela carga unitária passaremos um corte imaginário pela viga em B e consideraremos o equilíbrio do corpo livre à esquerda da seção As direções positivas de cortante e momento estão definidas na Figura 84b Para estabelecer as ordenadas das linhas de influência para VB e MB na extremidade esquerda apoio A colocamos a carga unitária direta mente sobre o apoio em A e calculamos o cortante e o momento na seção B Como a carga unitária inteira é suportada pela reação no apoio A a viga não é tensionada portanto o cortante e o momento na seção B são zero Em seguida posicionamos a carga unitária no ponto 2 a uma dis tância infinitesimal à esquerda da seção B e avaliamos o cortante VB e o momento MB na seção ver Figura 84e Somando os momentos sobre um eixo através da seção B para avaliar o momento vemos que a carga unitária que passa pelo centro de momento não contribui para MB Por outro lado quando somamos as forças na direção vertical para avaliar o cortante VB a carga unitária aparece no somatório Em seguida movemos a carga unitária para a posição 3 a uma dis tância infinitesimal à direita da seção B Embora a reação em A perma neça a mesma a carga unitária não está mais no corpo livre à esquerda da seção ver Figura 84f Portanto o cortante inverte de direção e experimenta uma mudança de 1 kip na magnitude de 4 1 para 4 3 kip O salto de 1 kip que ocorre entre os lados de um corte é uma caracterís tica das linhas de influência para cortante Por outro lado o momento não muda quando a carga unitária se move a uma distância infinitesimal de um lado para outro da seção À medida que a carga unitária se move de B para D as ordenadas das linhas de influência reduzemse linearmente para zero no apoio D pois tanto o cortante como o momento em B são uma função direta da reação em A a qual por sua vez varia linearmente com a posição da carga entre B e D 262 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas E x E m P L O 8 3 Para o pórtico da Figura 85 construa as linhas de influência das componentes horizontais e verticais das reações Ax e Ay no apoio A e da componente vertical da força FBy aplicada pela barra BD no nó B A conexão da barra BD aparafusada à viga mestra pode ser tratada como uma articulação tornando BD uma barra de duas forças ou um elo 1 3 A B C D Ax Ay 30 5 5 15 Solução Para estabelecer as ordenadas das linhas de influência posiciona mos uma carga unitária a uma distância x1 do apoio A em um corpo livre da barra ABC Figura 86a Em seguida aplicamos as três equa ções de equilíbrio para expressar as reações nos pontos A e B em ter mos da carga unitária e da distância x1 Como a força FB na barra BD atua ao longo do eixo da barra as componentes horizontais e verticais de FB são proporcionais à inclina ção da barra portanto 1 e FBx FBy 3 FBx 1 FBy 3 Somando as forças que atuam na barra ABC Figura 86a na direção y temos 2 Ay 1 kip FBy 0 Ay FBy 1 kip c Fy 0 Em seguida uma soma das forças na direção x produz 3 Ax FBx Ax FBx 0 S Fx 0 Figura 85 263 Seção 83 Construção de uma linha de influência Substituindo a Equação 1 na Equação 3 podemos expressar Ax em termos de FBy como 4 Ax FBy 3 Para expressar FBy em termos de x1 somamos os momentos das forças na barra ABC sobre a articulação fixa no apoio A 5 FBy x1 30 11 kip2x1 FBy1302 0 A MA 0 A substituição de FBy dada pela Equação 5 nas equações 2 e 4 permite expressar Ay e Ax em termos da distância x1 6 7 Ax x1 90 Ay 1 kip x1 30 Para construir as linhas de influência das reações mostradas na Figura 86b c e d avaliamos FBy Ay e Ax dadas pelas equações 5 6 e 7 para os valores de x1 0 30 e 40 pés x1 FBy Ay Ax 0 0 1 0 30 1 0 40 4 9 1 3 4 3 1 3 Conforme podemos observar examinando o formato das linhas de influência nos exemplos 81 a 83 as linhas de influência de estruturas determinadas consistem em uma série de linhas retas portanto pode mos definir a maioria das linhas de influência ligando as ordenadas em alguns pontos críticos ao longo do eixo de uma viga onde a inclinação da linha de influência muda ou é descontínua Esses pontos estão loca lizados nos apoios em articulações em extremidades de vigas em balanço e no caso de forças cortantes em cada lado da seção em que atuam Para ilustrar esse procedimento no Exemplo 84 construiremos as linhas de influência das reações nos apoios da viga Figura 86 Linhas de influência a A B C Ax Ay x1 FBy FBx 1 kip 30 10 1 1 3 b Ay kips 0 d FBy kips 4 3 1 0 c Ax kips 4 9 3 9 a A B C Ax Ay x1 FBy FBx 1 kip 30 10 1 1 3 b Ay kips 0 d FBy kips 4 3 1 0 c Ax kips 4 9 3 9 264 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas Desenhe as linhas de influência das reações RA e MA no engasta mento em A e da reação RC no apoio articulado móvel em C ver Figura 87a As setas mostradas na Figura 87a indicam o sentido positivo de cada reação E x E m P L O 8 4 Figura 87 RA MA RC a A B C D 10 rótula 6 6 RA kips b 1 1 1 MA kipft c 10 10 d RC kips 1 2 0 Solução Na Figura 88a b d e e posicionamos a carga unitária em quatro pontos para fornecer as forças necessárias para desenhar as linhas de influência das reações dos apoios Na Figura 88a colocamos a carga unitária na face do engastamento no ponto A Nessa posição a carga inteira flui diretamente para o apoio pro duzindo a reação RA Como nenhuma carga é transmitida para o restante da estrutura e todas as outras reações são iguais a zero a estrutura não está tensionada 265 Seção 83 Construção de uma linha de influência Figura 88 Em seguida movemos a carga unitária para a rótula no ponto B Figura 88b Se considerarmos um corpo livre da viga BCD à direita da rótula Figura 88c e somarmos os momentos sobre a rótula em B a reação RC deverá ser igual a zero pois nenhuma carga externa atua na viga BD Se somar mos as forças na direção vertical seguese que a força RB apli cada pela rótula também é igual a zero Portanto concluímos que a carga inteira é suportada pela viga em balanço AB e pro duz as reações em A mostradas na Figura 88b Posicionamos então a carga unitária diretamente sobre o apoio C Figura 88d Nessa posição a força inteira é transmi tida pela viga para o apoio em C e como resultado a viga não está tensionada Na posição final movemos a carga unitária para a extremidade da viga em balanço no ponto D Figura 88e A soma dos momentos sobre a rótula em B resulta em RC 2 kips 0 1 kip112 ft2 RC 16 ft2 A MB 0 Somando as forças na barra BCD na direção vertical esta belecemos que a rótula em B aplica uma força de 1 kip para baixo na barra BCD Por sua vez uma força igual e oposta de 1 kip deve atuar para cima na extremidade B da barra AB pro duzindo as reações mostradas no apoio A Agora temos todas as informações necessárias para plotar as linhas de influência mostradas na Figura 87b c e d A Figura 88a fornece os valores das ordenadas de linha de influên cia no apoio A para as três linhas de influência isto é na Figura 87b RA 1 kip na Figura 87c MA 0 e na Figura 87d RC 0 A Figura 88b fornece os valores das três ordenadas de linha de influência no ponto B isto é RA 1 kip MA 10 kip ft sentido antihorário e RC 0 A Figura 88d fornece as orde nadas de linha de influência no apoio C e a Figura 88e fornece o valor das ordenadas de linha de influência no ponto D a ponta da viga em balanço Desenhar linhas retas entre os quatro pontos completa a construção das linhas de influência para as três reações RA 1 RC 0 MA 0 a A B C D 1 kip RA 1 RC 0 MA 10 kipft b A C D B 1 kip RA 0 RC 1 MA 0 d A B C D 1 kip MA 10 kipft RA 1 RC 2 RB 1 RB 1 e A B C D 1 kip RC 0 RB 0 c B C D 6 266 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas 84 O princípio de MüllerBreslau O princípio de MüllerBreslau fornece um procedimento simples para estabelecer o formato das linhas de influência para as reações ou para as forças internas cortante e momento em vigas As linhas de influência qualitativas que possibilitam ser esboçadas rapidamente podem ser usa das das três maneiras a seguir 1 Para verificar se o aspecto de uma linha de influência produzida pelo movimento de uma carga unitária em uma estrutura está correto 2 Para estabelecer onde se deve posicionar a carga móvel em uma estrutura para maximizar uma função específica sem avaliar as ordenadas da linha de influência Uma vez estabelecida a posição crítica da carga fica mais simples analisar diretamente certos tipos de estruturas para a carga móvel especificada do que desenhar a linha de influência 3 Para determinar a localização das ordenadas máximas e mínimas de uma linha de influência para que apenas algumas posições da carga unitária precisem ser consideradas quando as ordenadas da linha de influência forem calculadas Embora o método de MüllerBreslau se aplique a vigas determinadas e indeterminadas limitaremos a discussão deste capítulo aos membros determinados As linhas de influência de vigas indeterminadas serão abordadas no Capítulo 14 Como a demonstração do método exige um entendimento do conceito de trabalhoenergia abordado no Capítulo 10 a prova será adiada até o Capítulo 14 O princípio de MüllerBreslau declara A linha de influência de qualquer reação ou força interna cortante momento corresponde à forma defletida da estrutura produzida pela reti rada da capacidade da estrutura de suportar essa força seguida da intro dução na estrutura modificada ou liberada de uma deformação unitária correspondente à restrição retirada A deformação unitária referese a um deslocamento unitário para rea ção um deslocamento unitário relativo para cortante e uma rotação uni tária relativa para momento Para apresentar o método desenharemos a linha de influência da reação em A da viga com apoios simples da Figura 89a Começamos removendo a restrição vertical fornecida pela reação em A produzindo a estrutura liberada mostrada na Figura 89b Em seguida deslocamos a extremidade esquerda da viga verticalmente para cima na direção de RA por um deslocamento unitário ver Figura 89c Como a viga deve girar sobre o pino em B sua forma defletida que é a linha de influência é um triângulo que varia de 0 em B até 10 em A Esse resultado confirma o aspecto da linha de influência para a reação em A que construímos na Seção 82 ver Figura 82f Como segundo exemplo desenharemos a linha de influência da reação em B para a viga da Figura 810a A Figura 810b mostra a estrutura libe rada produzida pela remoção do apoio em B Agora introduzimos um Figura 89 Construção da linha de influência para RA pelo princípio de MüllerBreslau a Viga com apoios simples b A estrutura libe rada c Deslocamento introduzido correspon dente à reação em A a forma defletida é a linha de influência em alguma escala desconhecida d A linha de influência de RA A B RA A B RA kips 1 a B A b c 1 d 267 Seção 84 O princípio de MüllerBreslau deslocamento vertical unitário correspondente à reação em B produzindo a forma defletida que é a linha de influência ver Figura 810c A partir dos triângulos semelhantes calculamos o valor da ordenada da linha de influência no ponto C como 3 2 Para construir uma linha de influência para o cortante em uma seção de uma viga pelo método de MüllerBreslau devemos remover a capacidade da seção transversal de transmitir cortante mas não força axial nem momento Imaginaremos que o dispositivo construído de placas e rolos na Figura 811a permite essa modificação quando introduzido em uma viga Para ilustrar o método de MüllerBreslau construiremos a linha de influência para o cortante no ponto C da viga da Figura 811b Na Figura 811c inserimos o dispositivo de placa e rolo na seção C para liberar a capacidade de cortante da seção transversal Então deslocamos os seg mentos de viga para a esquerda e para a direita da seção C por 1 e 2 de modo que um deslocamento unitário relativo 1 2 1 seja introdu zido ver Figura 811c Como o dispositivo corrediço inserido em C ainda mantém a capacidade de momento nenhuma rotação relativa é Figura 810 Linha de influência da reação em B a viga em balanço com rótula em C b reação removida produzindo a estrutura liberada c o deslocamento da estrutura liberada pela reação em B estabelece o aspecto da linha de influência d linha de influência da reação em B d 1 3 2 c 1 RB RB kips b a 20 10 10 rótula A B C D A C D RB Figura 811 Linha de influência do cortante usando o método de MüllerBreslau a dispo sitivo para liberar a capacidade de cortante da seção transversal b detalhes da viga c capa cidade de cortante liberada na seção C d linha de influência do cortante na seção C a viga viga A B A B D C V V 1 2 VC kips b 15 5 5 c d 3 4 1 4 268 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas permitida Isto é os segmentos AC e CD devem permanecer paralelos e a rotação desses dois segmentos é idêntica A partir da geometria na Figura 811d 1 5 2 15 e 1 2 5 15 20 1 Seguese que 1 20 e 1 1 4 mas com um sinal de menos 2 3 4 Para desenhar uma linha de influência para o momento em uma seção arbitrária de uma viga usando o método de MüllerBreslau introduzimos uma rótula na seção para produzir a estrutura liberada Por exemplo para estabelecer o aspecto da linha de influência para o momento em meio vão da viga com apoios simples da Figura 812a introduzimos uma rótula em meio vão como mostrado na Figura 812b Então movemos a rótula em C para cima por uma quantidade de modo que seja obtida uma rotação unitária relativa ou uma dobra de 1 entre os segmentos AC e CB A partir da geometria na Figura 812c A 1 2 e é calculado como 1 2 10 5 que é a ordena da da linha de influência em C A linha de influência final está mostrada na Figura 812d Na Figura 813 usamos o método de MüllerBreslau para cons truir a linha de influência do momento M no engastamento de uma Figura 812 Linha de influência do momento a detalhes da viga b estrutura liberada rótula inserida no meio do vão c deslocamento da estrutura liberada pelo momento d linha de influência do momento no meio do vão a 10 10 c b rótula d 5 A C C B A B MC kipft 1 A A B 1 2 269 Seção 85 Uso das linhas de influência viga em balanço A estrutura liberada é estabelecida pela introdução de uma articulação fixa no apoio da esquerda A introdução de uma rotação unitária relativa entre a articulação fixa e a viga liberada produz uma forma defletida com deflexão na ponta da viga igual a 11 que é a orde nada da linha de influência nessa posição A linha de influência final está mostrada na Figura 813d 85 Uso das linhas de influência Conforme observado anteriormente construímos linhas de influên cia para estabelecer o valor máximo das reações ou das forças internas produzidas por carga móvel Nesta seção descreveremos como se uti liza uma linha de influência para calcular o valor máximo de uma fun ção quando a carga móvel que pode atuar em qualquer parte da estru tura é uma única carga concentrada ou uma carga uniformemente distribuída de comprimento variável Como a ordenada de uma linha de influência representa o valor de determinada função produzido por uma carga unitária o valor produzido por uma carga concentrada pode ser estabelecido multiplicando a orde nada da linha de influência pela magnitude da carga concentrada Esse cálculo simplesmente reconhece que as forças criadas em uma estrutura elástica são diretamente proporcionais à magnitude da carga aplicada Se a linha de influência é positiva em algumas regiões e negativa em outras a função representada por ela inverte de direção para certas posi ções da carga móvel Para projetar membros nos quais a direção da força tem influência significativa no comportamento devemos estabele cer o valor da força máxima em cada direção multiplicando as ordena das máximas positivas e máximas negativas da linha de influência pela magnitude da carga concentrada Por exemplo se uma reação de apoio inverte de direção o apoio deve ser detalhado para transmitir os valores máximos de tração elevação assim como o valor máximo de compres são na fundação No projeto de prédios e pontes a carga móvel é frequentemente repre sentada por uma carga uniformemente distribuída Por exemplo um código de construção pode exigir que os pisos dos estacionamentos sejam projetados para uma carga móvel uniformemente distribuí da de certa magnitude em vez de um conjunto especificado de cargas de roda Para estabelecer o valor máximo de uma função produzida por uma carga uniforme w de comprimento variável devemos distribuir a carga ao longo da barra na região na qual ou regiões nas quais as ordenadas da linha de influência são positivas ou negativas Demonstraremos a seguir que o valor da função produzida por uma carga distribuída w atuando ao longo de determinada região de uma linha de influência é igual à área sob a linha de influência nessa região multiplicada pela magnitude w da carga distribuída Figura 813 Linha de influência do momento no apoio A a detalhes da estrutura b estrutura libe rada c deformação produzida pelo mo mento no apoio A d linha de influência do momento em A a b c d 11 MA kipft forma defletida A B A B 11 1 A B 270 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas Para estabelecer o valor de uma função F produzido por uma carga uniforme w atuando ao longo de uma seção de viga de comprimento a entre os pontos A e B ver Figura 814 substituiremos a carga distri buída por uma série de forças infinitesimais dP e então somaremos os incrementos da função dF produzidos pelas forças infinitesimais Conforme mostrado na Figura 814 a força dP produzida pela carga uniforme w atuando em um segmento infinitesimal de viga de compri mento dx é igual ao produto da carga distribuída e do comprimento do segmento isto é 81 dP w dx Para determinar o incremento da função dF produzido pela força dP multiplicamos dP pela ordenada y da linha de influência no mesmo ponto obtendo 82 dF dP y Substituindo dP da Equação 81 na Equação 82 temos 83 dF w dx y Para avaliar a magnitude da função F entre quaisquer dois pontos A e B integramos os dois lados da Equação 83 entre esses limites obtendo 84 F B A dF B A w dx y Como o valor de w é uma constante podemos fatorálo na integral produzindo 85 F w B A y dx Reconhecendo que y dx representa uma área infinitesimal dA sob a linha de influência podemos interpretar a integral no lado direito da Equação 85 como a área sob a linha de influência entre os pontos A e B Assim 86 F w áreaAB em que áreaAB é a área sob a linha de influência entre A e B No Exemplo 85 aplicaremos os princípios estabelecidos nesta seção para avaliar os valores máximos de momento positivo e negativo no meio do vão de uma viga que suporta uma carga distribuída de comprimento variável e uma força concentrada Figura 814 dP wdx dA w a dx A B linha de influência viga y 271 Seção 85 Uso das linhas de influência E x E m P L O 8 5 A viga da Figura 815a deve ser projetada para suportar sua carga permanente de 045 kipft e uma sobrecarga móvel que consiste em uma carga concentrada de 30 kips e uma carga uniformemente distribuída de comprimento variável de 08 kipft As cargas móveis podem atuar em qualquer lugar no vão A linha de influência do momento no ponto C é dada na Figura 815b Calcule a os valores máximos positivos e negativos do momento da carga móvel na seção C e b o momento em C produzido pelo peso da viga Figura 815 a Dimensões da viga com as sobrecargas móveis de projeto indicadas na extre midade esquerda b linha de influência do momento em C c posição da carga móvel para maximizar o momento positivo em C d posição da carga móvel para maximizar o momento nega tivo em C Alternativamente a carga de 30 kips poderia estar posicionada em E a 10 10 6 variável 6 E D C B A 30 kips w 08 kipft MC kipft b 5 3 3 E A c 30 kips w 08 kipft d 30 kips w 08 kipft E A w 08 kipft Solução a Para calcular o momento máximo positivo da carga móvel carregamos a região da viga onde as ordenadas da linha de influência são positivas ver Figura 815c A carga concentrada é posicionada na ordenada máxima positiva da linha de influência Máx MC 30 5 08 1 2 20 5 190 kip ft b Para o momento máximo negativo da carga móvel em C posicionamos as cargas como mostrado na Figura 815d Por causa da simetria o mesmo resul tado ocorrerá se a carga de 30 kips estiver posicio nada em E Máx MC 30 kips 3 08 1 6 3 2 1044 kip ft c Para o momento em C devido à carga permanente multiplique a área sob a linha de influência inteira pela magnitude da carga permanente 81 225 144 kip ft MC 045 1 2 6 3 2 045 1 2 20 5 272 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas 86 Linhas de influência de vigas mestras suportando sistemas de piso A Figura 816a mostra o desenho esquemático de um sistema de viga mento estrutural comumente usado para suportar o estrado superior de uma ponte O sistema é composto de três tipos de vigas longarinas trans versinas e vigas mestras Para mostrar claramente os principais membros de flexão simplificamos o esboço omitindo o estrado superior o contra ventamento e os detalhes da ligação entre as barras Nesse sistema uma laje relativamente flexível é apoiada em uma série de pequenas vigas longitudinais as longarinas que se estendem entre as transversinas vigas transversais Normalmente as longarinas são espaçadas em cerca de 25 m a 3 m A espessura da laje depende do espaçamento entre as longarinas Se o vão da laje for reduzido pela apro ximação das longarinas o projetista poderá reduzir a espessura da laje À medida que o espaçamento entre as longarinas e consequentemente o vão da laje aumentam a espessura da laje deve ser aumentada para supor tar momentos de projeto maiores e para limitar as deflexões A carga das longarinas é transferida para as transversinas as quais por sua vez a transmitem juntamente com o próprio peso para as vigas mestras No caso de uma ponte de aço se as ligações das longarinas com as transversinas e das transversinas com as vigas mestras são feitas com cantoneiras de aço padrão supomos que as ligações só podem transferir carga vertical nenhum momento e as tratamos como apoios simples Exceto o peso da viga mestra todas as cargas são transferidas para as vigas mestras pelas transversinas Os pontos em que as transversinas se conectam nas vigas mestras são denominados nós Em uma ponte do tipo estrado superior a pista é posicionada sobre as vigas mestras ver corte transversal na Figura 816b Nessa configuração é possível fazer que a laje se projete em balanço além das vigas mestras para aumentar a largura da estrada Frequentemente os balanços supor tam caminhos para pedestres Se as transversinas são posicionadas perto da mesa inferior das vigas mestras ver Figura 816c uma ponte de vigamento rebaixado a distância da parte inferior da ponte até a parte superior dos veículos é reduzida Se uma ponte precisa passar debaixo de uma segunda ponte e sobre uma estrada por exemplo em um cruzamento onde passam três estradas uma ponte de vigamento rebaixado reduzirá a altura livre necessária Para analisar a viga mestra ela é modelada como na Figura 816d Nessa figura as longarinas são mostradas como vigas com apoio simples Por clareza frequentemente omitimos os rolos e pinos sob as longarinas e as mostramos apenas assentadas nas transversinas Reconhecendo que a viga mestra da Figura 816d representa as duas vigas mestras da Figura 816a devemos efetuar mais um cálculo para estabelecer a proporção das cargas de roda do veículo que é distribuída para cada viga mestra Por exemplo se um único veículo estiver centralizado entre as vigas mestras no meio da estrada as duas vigas mestras suportarão metade do peso dele Por outro lado se a resultante das cargas de roda estiver localizada no 273 Seção 86 Linhas de influência de vigas mestras suportando sistemas de piso ponto a um quarto de uma transversina três quartos da carga irão para a viga mestra próxima e um quarto para a viga mestra distante ver Figura 816e A determinação da parte das cargas do veículo que vai para cada viga mestra é um cálculo separado que faremos depois que as linhas de influência forem desenhadas Figura 816 a Esboço do sistema de longarina transversina e viga mestra b ponte com estrado superior c ponte de vigamento rebaixado d representação esquemática de a e uma faixa de rolamento carregada a longarina viga mestra transversina viga mestra b laje longarina transversina viga mestra c P P d transversina viga mestra longarina e 3 4 CL 3 L 4 L 4 1 P 4 274 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas E x E m P L O 8 6 Para a viga mestra da Figura 817a desenhe as linhas de influência da reação em A do cortante no painel BC e do momento em C Solução Para estabelecer as ordenadas das linhas de influência moveremos uma carga unitária de 1 kN pelas longarinas e calcularemos as forças e reações necessárias para construir as linhas de influência As setas acima das longarinas denotam as diversas posições da carga unitária que consideraremos Começamos com a carga unitária posicionada sobre o apoio A Tratando a estrutura inteira como um corpo rígido e somando os momentos sobre o apoio da direita calculamos RA 1 kN Como a carga unitária passa diretamente para o apoio resulta que a estrutura não é tensionada Assim os valores de cortante e momento em todos os pontos dentro da viga mestra são zero e as ordenadas na extremidade esquerda das linhas de influência do cortante VBC e do momento MC são zero como mostrado na Figura 817c e d Para calcular as ordenadas das linhas de influência em B move mos em seguida a carga unitária para o nó B e calculamos RA 4 5 kN Figura 817e Como a carga unitária está diretamente na transver sina 1 kN é transmitido para a viga mestra no nó B e as reações em todas as transversinas são zero Para calcular o cortante no painel BC passamos a seção 1 pela viga mestra produzindo o corpo livre mostrado na Figura 817e Seguindo a convenção de cortante posi tivo definida na Seção 53 mostramos VBC atuando para baixo na face da seção Para calcular VBC consideramos o equilíbrio das for ças na direção y VBC 1 5 kN c Fy 0 4 5 1 VBC em que o sinal de menos indica que o cortante tem sentido oposto ao mostrado no corpo livre Figura 817e Para calcular o momento em C com a carga unitária em B passa mos a seção 2 pela viga mestra produzindo o corpo livre mostrado na Figura 817f Somando os momentos sobre um eixo normal ao plano da barra e passando pelo centroide da seção no ponto C calcu lamos MC MC 18 5 kN m 4 5 1122 1 162 MC 0 A MC 0 Agora deslocamos a carga unitária para o nó C e calculamos RA 3 5 kN Para calcular VBC consideramos o equilíbrio do corpo livre à esquerda da seção 1 Figura 817g Como a carga unitária está em C nenhuma força é aplicada na viga mestra pelas transversinas em A e B e a reação em A 275 Seção 86 Linhas de influência de vigas mestras suportando sistemas de piso é a única força externa aplicada no corpo livre A soma das forças na direção y nos dá c Fy 0 3 5 VBC e VBC 3 5 kN Usando o corpo livre da Figura 817h somamos os momentos sobre C para calcular MC 36 5 kN m Quando a carga unitária é posicionada à direita do nó C as reações das transversinas nos diagramas de corpo livre à esquerda das seções 1 e 2 são zero a reação em A é a única força externa Como a reação em A varia linearmente à medida que a carga se move do ponto C para o ponto F VBC e MC ambas funções lineares da reação em A tam bém variam linearmente reduzindose para zero na extremidade direita da viga mestra Figura 817 a Dimensões da estrutura b linha de influência de RA c linha de influência do cortante no painel BC d linha de influência do momento na viga mestra em C e corpo livre do cortante no painel BC com a carga unitária em B f cálculo de MC com a carga unitária em B g cálculo de VBC com a carga unitária em C h cálculo de MC com a carga unitária em C RA a 1 2 5 painéis 6 m 30 m A B C D E F 1 kN 1 kN 1 kN 1 kN RA kN b 1 4 5 3 5 VBC kN c 3 5 1 5 0 d 18 5 36 5 0 MC kNm VBC 1 kN e 1 5 A B 4 5 1 kN 12 m 6 m MC f 18 5 A C B 4 5 VBC g 3 5 3 5 A 12 m MC 1 kN h 36 5 C 3 5 A 276 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas Construa a linha de influência para o momento fletor MC no ponto C da viga mestra mostrada na Figura 818a A linha de influência da reação de apoio RG é dada na Figura 818b E x E m P L O 8 7 Figura 818 Linhas de influência da viga mes tra com balanços da ponte a detalhes do sis tema de piso b linha de influência de RG c linha de influência de MC RG a 5 20 100 A B G H C D E F b RG kips 4 3 1 2 3 1 3 1 3 MC kipft c 20 3 40 3 40 3 20 20 1 kip RG MC C 4 3 MC 0 1 40 4 20 MC 0 3 MC 40 kipft 3 d kipft 20 1 kip RG MC C 2 3 MC 0 2 20 MC 0 3 MC 40 3 e Solução Para estabelecer a linha de influência mostrando a variação de MC posicionamos a carga unitária em cada nó o local das transversinas O momento na viga mestra é calculado usando um corte de corpo livre passando um plano vertical pelo sistema de piso no ponto C O valor da reação da viga mestra RG no apoio esquerdo é lido a partir da linha de influência de RG mostrada na Figura 818b Podemos estabelecer dois pontos na linha de influência sem cálculo observando que quando a carga unitária está posicionada sobre os apoios da viga mestra nos pontos B e E a carga inteira passa diretamente para os apoios nenhuma tensão se desenvolve na viga mestra e portanto o momento em uma seção pelo ponto C é zero Os corpos livres e o cál culo de MC para a carga unitária nos pontos A e C são mostrados na Figura 818d e e A linha de influência completa de MC está na Figura 818c Novamente observamos que as linhas de influência de uma estru tura determinada são compostas de linhas retas 277 Seção 86 Linhas de influência de vigas mestras suportando sistemas de piso Solução Quando a carga unitária está posicionada no ponto A a carga inteira passa diretamente pela transversina para a articulação fixa no ponto A Como nenhuma tensão se desenvolve nas seções da viga mestra afasta das do apoio o momento fletor da seção no ponto B é zero Em seguida movemos a carga unitária para o ponto B produzindo uma reação RA de 5 8 kN Figura 819b Somando os momentos das car gas aplicadas sobre a seção no ponto B calculamos MB 15 4 kN m Figura 819d A carga unitária então é movida para o ponto C a ponta da viga em balanço produzindo as reações da longarina mostradas na Figura 819e As forças na viga mestra têm magnitude igual às reações na longarina mas com direção oposta Novamente somando os momentos sobre a seção vertical no ponto B calculamos MB 5 kN m Quando a carga unitária é movida a uma distância infinitesimal através da abertura no ponto D na ponta da viga em balanço da direita a longarina ABC não está mais carregada entretanto a reação em A a única força atuando no corpo livre da viga mestra à esquerda da seção B permanece igual a 1 2 kN Agora somamos os momentos sobre B e descobrimos que MB foi reduzido para 3 kN m Figura 819f À medida que a carga unitária se move do ponto D para o ponto F os cálculos mostram que o momento na seção B reduzse linearmente para zero Desenhe a linha de influência para o momento fletor em uma seção vertical através do ponto B na viga mestra Figura 819a Nos pontos A e F a ligação das longarinas com a transversina é equivalente a um pino Nos pontos B e E as ligações das longarinas com a transversina são equivalentes a um rolo A linha de influência da reação em A está dada na Figura 819b E x E m P L O 8 8 Figura 819 Linhas de influência da viga mestra da ponte carregada pelas longarinas com extremi dades em balanço a 2 m 6 m 2 m RA 6 m A B C D E F b 1 5 8 1 2 3 8 RAkN c 15 4 5 3 9 4 MB kNm MB 6 d B A 6 m 1 kN RA 5 8 5 8 15 4 e RA 1 2 1 kN 4 3 1 3 4 3 1 3 MB 6 6 5 1 3 1 2 6 m A B C f RA 1 2 MB 1 6 3 2 6 m 278 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas 87 Linhas de influência de treliças As barras de uma treliça normalmente são projetadas para força axial por isso suas seções transversais são relativamente pequenas devido ao uso eficiente de material em tensão direta Como a barra de uma treliça com seção transversal pequena flete facilmente cargas transversais aplicadas diretamente na barra entre suas extremidades produziriam deflexões de flexão excessivas Portanto se as barras da treliça precisam suportar somente força axial as cargas devem ser aplicadas nos nós Se um sistema de piso não é parte integrante do sistema estrutural suportado por uma treliça o projetista deve adicionar um conjunto de vigas secundárias para transmitir a carga para os nós ver Figura 820 Essas barras juntamente com um contraventamento diagonal leve nos planos superior e inferior formam uma treliça horizontal rígida que estabiliza a treliça vertical principal e impede que sua corda de compressão deforme lateralmente Embora uma treliça isolada tenha excelente rigidez em seu plano não tem nenhuma rigidez lateral significativa Sem o sistema de contraven tamento lateral a corda de compressão da treliça flambaria em um nível de tensão baixo limitando a capacidade da treliça para carga vertical Como a carga é transmitida para uma treliça através de um sistema de vigas semelhante àquele mostrado na Figura 816a para vigas mestras que suportam um sistema de piso o procedimento para construir linhas de influência para as barras de uma treliça é semelhante ao de uma viga mestra com um sistema de piso isto é a carga unitária é posicionada em nós sucessivos e as forças de barra correspondentes são plotadas direta mente abaixo da posição da carga As cargas podem ser transmitidas para as treliças através dos nós superiores ou inferiores Se a carga é aplicada nos nós da corda superior a treliça é conhecida como treliça de estrado superior Alternativa mente se a carga é aplicada nos nós da corda inferior é denominada treliça de ponte Construção de linhas de influência para uma treliça Para ilustrar o procedimento de construção de linhas de influência para uma treliça calcularemos as ordenadas das linhas de influência para a reação em A e para as barras BK CK e CD da treliça da Figura 821a Nesse exemplo vamos supor que a carga é transmitida para a treliça atra vés dos nós da corda inferior Começamos construindo a linha de influência da reação em A Como a treliça é um corpo rígido calculamos a ordenada da linha de influência em qualquer nó colocando a carga unitária nesse ponto e somando os momentos sobre um eixo através do apoio da direita Os cálculos mostram que a linha de influência da reação em A é uma linha reta cujas ordenadas variam de 1 no apoio da esquerda até zero no Figura 820 Um painel típico de uma ponte em treliça mostrando o sistema de piso que suporta a pista de laje de concreto A carga na laje da pista é transmitida para os nós da corda inferior da treliça pelas transversinas corda superior da treliça principal contraventamento da corda superior longarina laje de concreto pegão corda inferior da treliça principal transversina transversina transversina transversina 279 Seção 87 Linhas de influência de treliças apoio da direita ver Figura 821b Esse exemplo mostra que as linhas de influência das reações de apoio de vigas com apoios simples e tre liças são idênticas Para construir a linha de influência da força na barra BK aplicamos a carga unitária em um nó e então determinamos a força na barra BK ana lisando um corpo livre da treliça cortada por uma seção vertical que passa Figura 821 Linhas de influência de treliça a detalhes da treliça b linha de influência da rea ção em A c linha de influência da barra BK d linha de influência da barra CK e linha de influên cia da barra CD B C D E F L K J I H G A RA a 1 2 3 6 15 90 20 RA kips b 1 5 6 4 6 3 6 FBK kips c tração compressão 72 3 20 24 5 24 FCK kips d 15 x x 1 3 1 6 1 2 FCD kips e 3 4 3 8 9 8 280 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas pelo segundo painel da treliça ver Seção 1 na Figura 821a A Figura 822a mostra o corpo livre da treliça à esquerda da seção 1 quando a carga unitária está no primeiro nó Somando as forças na direção y calculamos a componente vertical YBK da força na barra BK YBK 1 6 kip compressão 5 6 1 YBK 0 c Fy 0 Visto que os lados do triângulo oblíquo da barra estão em uma razão de 3 4 5 calculamos FBK por proporção simples FBK 5 4 YBK 5 24 kip FBK 5 YBK 4 Visto que FBK é uma força de compressão a plotamos como uma ordenada negativa da linha de influência ver Figura 821c A Figura 822b mostra o corpo livre à esquerda da seção 1 quando a carga unitária atua no nó K Como a carga unitária não está mais no corpo livre a componente vertical da força na barra BK deve ser igual a 4 6 kip e atuar para baixo para equilibrar a reação no apoio A Multipli cando YBK por 5 4 calculamos uma força de tração FBK igual a 20 24 kip Como a reação de A reduzse linearmente para zero à medida que a carga unitária se move para o apoio da direita a linha de influência da força na barra BK também deve reduzirse linearmente para zero no apoio da direita Para avaliar as ordenadas da linha de influência da força na barra CK analisaremos o corpo livre da treliça à esquerda da seção 2 mos trado na Figura 821a A Figura 822c d e e mostra corpos livres dessa seção para três posições sucessivas da carga unitária A força na barra CK que muda de tração para compressão à medida que a carga unitária se move do nó K para J é avaliada somandose as forças na direção y A linha de influência resultante para a barra CK é mostrada na Figura 821d À direita do ponto K a distância na qual a linha de influência passa pelo zero é determinada por triângulos semelhantes x 6 ft 1 3 x 1 2 15 x A linha de influência da força na barra CD é calculada analisandose um corpo livre da treliça cortada por uma seção vertical através do ter ceiro painel ver seção 3 na Figura 821a A Figura 822f mostra um corpo livre da treliça à esquerda da seção 3 quando a carga unitária está 281 Seção 87 Linhas de influência de treliças no nó K A força em CD é avaliada somandose os momentos sobre a intersecção das outras duas forças de barra em J FCD 3 4 kip compressão 4 6 1452 11152 FCD1202 0 A MJ 0 A Figura 822g mostra o corpo livre da treliça à esquerda da seção 3 quando a carga unitária está no nó J Novamente avaliamos FCD somando os momentos sobre J Figura 822 Diagramas de corpo livre para construir linhas de influência A B L YBK 1 6 a 1 kip 45 15 20 5 6 A B L K FCK 1 6 c 1 kip 5 6 A B L YBK 4 6 b 4 6 A B C L K J FCD f 1 kip 4 6 A B L K FCK 2 6 d 1 kip 4 6 A B L K FCK 3 6 e 3 6 45 20 A B C L K J FCD g 1 kip 3 6 282 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas FCD 9 8 kips compressão 0 3 6 45 FCD 20 A MJ 0 A linha de influência da barra CD é mostrada na Figura 821e Linhas de influência de um arco treliçado Como outro exemplo construiremos as linhas de influência das rea ções em A e das forças nas barras AI BI e CD do arco treliçado tri articulado da Figura 823a O arco é construído pela junção de dois segmentos de treliça com um pino em meio vão Supomos que as cargas são transmitidas pelos nós da corda superior Para iniciar a análise construímos a linha de influência de Ay a reação vertical em A somando os momentos das forças sobre um eixo através do apoio articulado fixo em G Como as reações horizontais nos dois apoios passam por G os cálculos das ordenadas da linha de influência são idên ticos aos de uma viga com apoios simples A linha de influência de Ay é mostrada na Figura 823b Agora que Ay está estabelecida para todas as posições da carga uni tária calculamos em seguida a linha de influência de Ax a reação hori zontal em A Nesse cálculo analisaremos um corpo livre da treliça à esquerda da articulação central no ponto D Por exemplo a Figura 824a mostra o corpo livre usado para calcular Ax quando a carga unitária está posicionada no segundo nó Somando os momentos sobre a articulação em D escrevemos uma equação na qual Ax é a única incógnita Ax 6 17 kip 0 3 4 1242 Ax 17 1 12 A MD 0 A linha de influência completa de Ax é mostrada na Figura 823c Para avaliar a força axial na barra AI isolamos o apoio em A ver Figura 824b Como a componente horizontal da força na barra AI deve ser igual a Ax as ordenadas da linha de influência de AI serão proporcionais às de Ax Como a barra AI tem inclinação de 45º FAI 12X AI 12Ax A linha de influência de FAI é mostrada na Figura 823d A Figura 824c mostra o corpo livre usado para determinar a linha de influência da força na barra CD Esse corpo livre é cortado da treliça por uma seção vertical através do centro do segundo painel Usando os valores de Ax e Ay das linhas de influência da Figura 823b e c podemos encontrar a força na barra CD somando os momentos sobre um eixo de referência através do nó I Plotando as ordenadas de FCD para várias posições da carga unitária desenhamos a linha de influência mostrada na Figura 823e Figura 823 Linhas de influência de um arco treliçado a detalhes da treliça b reação Ay c reação Ax d força na barra AI e força na barra CD f força na barra BI A I H G B C D E F Ay Ax a 4 12 48 rótula 12 5 d 12 17 e 81 85 42 85 Ay kips b 3 4 1 2 1 4 1 Ax kips c 12 17 6 17 6 17 FBI kips FCD kips FAI kips f 351 340 182 340 2 199 189 283 Seção 88 Cargas móveis para pontes de rodovias e estradas de ferro Para determinar a força na barra BI consideramos um corpo livre da treliça à esquerda de uma seção vertical passando pelo primeiro painel ver Figura 824d Somando os momentos das forças sobre um eixo no ponto X a intersecção das linhas de ação das forças nas barras AI e BC podemos escrever uma equação de momento para a força FBI Podemos simplificar o cálculo ainda mais estendendo a força FBI ao longo de sua linha de ação até o nó B e decompondo a força nas componentes retangu lares Como XBI passa pelo centro de momento no ponto X somente a componente y de FBI aparece na equação de momento A partir da relação da inclinação podemos expressar FBI como FBI 13 5 YBI A linha de influência de FBI está plotada na Figura 823f 88 Cargas móveis para pontes de rodovias e estradas de ferro Na Seção 85 estabelecemos como se utiliza uma linha de influência para avaliar a força em uma seção produzida por uma carga móvel uni formemente distribuída ou concentrada Agora ampliaremos a discussão para incluir o estabelecimento da força máxima em uma seção produzida por um conjunto de cargas que se movem como aquelas aplicadas pelas rodas de um caminhão ou trem Nesta seção descreveremos sucintamente as características das cargas móveis os caminhões e trenspadrão para as quais as pontes de rodovias e ferrovias são projetadas Na Seção 89 descreveremos o método do aumentodiminuição para posicionar as car gas de roda Pontes de rodovias As cargas móveis para as quais as pontes de rodovias devem ser projetadas nos Estados Unidos são especificadas pela American Asso ciation of State Highway and Transportation Officials AASHTO Atualmente as principais pontes de rodovias devem ser projetadas para suportar em cada pista o caminhãopadrão HS 2044 de seis rodas Figura 824 Corpos livres usados para analisar o arco triarticulado da Figura 823a a Ay 3 4 Ax D B C A I 24 12 1 kip 17 b Ay Ax A FAI 2 XAI c Ay Ax A B C I 12 12 FCD FID d Ay Ax A B X 17 17 FAI FBI FBI YBI XBI FBC 284 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas e 72 kips mostrado na Figura 825a ou uma carga de pista consistindo na carga uniformemente distribuída e nas cargas concentradas mostra das na Figura 825b As forças produzidas por um caminhãopadrão normalmente controlam o projeto de membros cujos vãos são menores do que 145 pés aproximadamente 44 m Quando os vãos ultrapassam as forças geradas por uma carga de pista geralmente excedem aquelas produzidas por um caminhãopadrão Se uma ponte deve ser construída sobre uma estrada secundária e se espera que apenas veículos leves passem por ela as cargas de pistas e de caminhãopadrão podem ser reduzidas em 25 ou 50 dependendo do peso previsto dos veículos Essas cargas de veículo reduzidas são denominadas cargas HS 15 e HS 10 respectivamente Embora não seja extensivamente utilizado pelos engenheiros o código AASHTO também especifica um caminhão HS 20 de quatro rodas mais leve 40 kips para pontes de estradas secundárias que não suportam caminhões pesados Como uma ponte frequentemente terá uma vida útil de 50 a 100 anos ou até mais e como é difícil prever os tipos de veículos que usarão uma ponte em particular no futuro talvez seja prudente usar uma carga móvel baseada em um caminhão mais pesado Além disso como um caminhão mais pesado também resulta a b w 064 kipft para carga de pista W Peso combinado dos dois primeiros eixos que é o mesmo do caminhão H correspondente V Espaçamento variável 14 pés a 30 pés inclusive O espaçamento a ser usado é aquele que produz tensões máximas carga concentrada 18 kips para momento 26 kips para cortante 6 0 2 0 2 0 meiofio 10 0 distância livre e largura da faixa de rolamento HS 2044 8000 lb 32000 lb 04 W 32000 lb V 14 0 01 W 02 W 08 W 08 W 04 W 04 W 01 W 04 W Figura 825 Cargas de pista usadas para proje tar pontes de rodovias a caminhão HS 2044 de 72 kips padrão ou b carga uniforme mais carga concentrada posicionada para maximizar a força na estrutura 285 Seção 88 Cargas móveis para pontes de rodovias e estradas de ferro em elementos mais grossos a vida útil de pontes sujeitas à corrosão por sal ou chuva ácida será mais longa do que aquelas projetadas para cami nhões mais leves Embora a distância entre as rodas dianteiras e do meio do caminhão padrão HS ver Figura 825a seja fixa em 14 pés aproximadamente 42 m o projetista está livre para definir um valor de V entre 14 e 30 pés aproxima damente 42 m a 9 m para o espaçamento entre as rodas do meio e as trasei ras O espaçamento das rodas selecionado pelo projetista deve maximizar o valor da força de projeto que está sendo calculada Em todos os projetos o engenheiro deve considerar a possibilidade de o caminhão se mover em uma ou outra direção ao longo do vão Ainda que possa parecer lógico considerar dois ou mais caminhões atuando no vão de pontes com extensão de 100 pés aproximadamente 30 m ou mais as especificações da AASHTO só exigem que o projetista considere um único caminhão ou alternativamente a carga de pista Embora as pontes de rodovias falhem ocasionalmente por causa de dete rioração construção defeituosa defeitos de material etc não existem casos registrados de falhas de ponte causadas por tensão excessiva quando os membros foram dimensionados para um caminhão HS 15 ou HS 20 Pontes de ferrovias As cargas de projeto para pontes de ferrovias estão contidas nas especificações da American Railway Engineering and Maintenance of Way Association AREMA Elas exigem que as pontes sejam projeta das para um trem composto de duas máquinas seguidas por uma fila de vagões Conforme mostrado na Figura 826 as rodas das máquinas são representadas por cargas concentradas e os vagões por uma carga uni formemente distribuída A carga móvel representando o peso dos trens é especificada para uma carga Cooper E Atualmente a maioria das pontes é projetada para a carga Cooper E72 mostrada na Figura 826 O número 72 na designação Cooper representa a carga do eixo em uni dades de kips aplicada pelas rodas motrizes principais da locomotiva Outras cargas Cooper também são usadas Essas cargas são proporcio nais às da designação Cooper E72 Por exemplo para estabelecer uma carga Cooper E80 todas as forças mostradas na Figura 826 devem ser multiplicadas pela razão 8072 Impacto Se você já viajou de caminhão ou de carro provavelmente reconhece que veículos em movimento saltam para cima e para baixo à medida que se movi mentam em uma estrada existem molas para amortecer essas oscilações Figura 826 Trem Cooper E72 para projeto de pontes de ferrovias cargas de roda em kips 72 36 kips 8 5 72 72 72 72 72 36 468 468 5 5 5 9 468 6 468 5 468 468 5 9 468 6 468 72 kipsft 5 5 5 72 5 72 5 8 8 286 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas O movimento vertical de um veículo é uma função da rugosidade da superfície da estrada Quebramolas uma superfície irregular juntas de expansão buracos fragmentos etc tudo isso contribui para o movimento senoidal vertical do veículo O movimento vertical para baixo da massa do veículo aumenta a força aplicada na ponte pelas rodas Como é difícil prever a força dinâmica uma função dos períodos naturais da ponte e do veículo a levamos em conta aumentando o valor das tensões da carga móvel por um fator de impacto I Para pontes de rodovias as especifica ções AASHTO exigem que para um membro em particular 87 I 50 L 125 mas não mais do que 03 em que L é o comprimento em pés da seção do vão que deve ser carre gado para produzir a tensão máxima em um membro específico Por exemplo para calcular o fator de impacto da força de tração no membro BK da treliça da Figura 821a usamos a linha de influência da Figura 821c para estabelecer L 72 ft o comprimento da região na qual as ordenadas da linha de influência são positivas Substituindo esse com primento na equação de I calculamos I 50 72 125 0254 Portanto a força na barra BK produzida pela carga móvel deve ser multiplicada por 1254 para estabelecer a força total em função da carga móvel e do impacto Se fôssemos calcular a força de compressão máxima da carga móvel na barra BK o fator de impacto mudaria Conforme indicado pela linha de influência na Figura 821c a compressão é criada na barra quando a carga atua na treliça a uma distância de 18 pés à direita do apoio A Subs tituindo L 18 ft na equação do impacto calculamos I 50 18 125 035 controle de 03 Como 035 passa de 03 usamos o limite superior de 03 As tensões do peso próprio não são ampliadas pelo fator de impacto Outros códigos de ponte têm equações semelhantes para impacto 89 Método do aumentodiminuição Na Seção 85 discutimos como se utiliza uma linha de influência para avaliar o valor máximo de uma função quando a carga móvel é represen tada por uma única carga concentrada ou por uma carga uniformemente distribuída Agora queremos ampliar a discussão para incluir a maximi zação de uma função quando a carga móvel consiste em um conjunto de cargas concentradas cuja posição relativa é fixa Tal conjunto de cargas poderia representar as forças exercidas pelas rodas de um caminhão ou de um trem 287 Seção 89 Método do aumentodiminuição No método do aumentodiminuição posicionamos o conjunto de cargas na estrutura de modo que a carga dianteira esteja localizada na ordenada máxima da linha de influência Por exemplo na Figura 827 mostramos uma viga que deve ser projetada para suportar uma carga móvel aplicada por cinco rodas Para iniciar a análise imaginamos que as cargas foram movidas na estrutura de modo que a força F1 está dire tamente abaixo da ordenada máxima y da linha de influência Nesse caso a última carga F5 não está na estrutura Não fazemos nenhum cálculo neste estágio Agora deslocamos o conjunto de cargas inteiro para a frente a uma distância x1 de modo que a segunda roda esteja localizada na ordenada máxima da linha de influência Como resultado do deslocamento o valor da função representada pela linha de influência muda A contribuição da primeira roda F1 para a função diminui isto é na nova posição a orde nada da linha de influência y é menor do que a ordenada y anterior Por outro lado a contribuição de F2 F3 e F4 aumenta pois elas foram movidas para uma posição onde as ordenadas da linha de influência são maiores Figura 827 Método do aumentodiminuição para estabelecer os valores máximos de uma fun ção produzidos por um conjunto de cargas móveis concentradas a Viga b linha de influência de alguma função cuja ordenada máxima é igual a y c posição 1 a primeira carga de roda F1 está localizada na ordenada máxima y d posição 2 todas as cargas de roda movidas para a frente a uma distância x1 levando a roda F2 para a orde nada máxima e posição 3 todas as rodas movi das para a frente a uma distância x2 levando a roda F3 para a ordenada máxima a a b x1 y y y 1 1 m1 m2 e d c b Posição 3 Posição 2 Posição 1 F1 F2 F3 F4 F5 x3 x4 x1 x2 x5 F1 F2 F3 F4 F5 x3 x4 x1 x2 F1 F2 F3 F4 F5 x3 x4 x1 x2 288 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas Como agora a roda F5 está na estrutura também tensiona o membro Se a mudança líquida é uma diminuição no valor da função a primeira posição das cargas é mais importante do que a segunda e podemos avaliar a fun ção multiplicando as cargas na posição 1 ver Figura 827c pelas ordena das da linha de influência correspondentes isto é F1 é multiplicada por y Contudo se o deslocamento das cargas para a posição 2 ver Figura 827d produz um aumento no valor da função a segunda posição é mais importante do que a primeira Para garantir que a segunda posição seja a mais importante desloca remos outra vez todas as cargas para a frente a uma distância x2 para que a força F3 esteja na ordenada máxima ver Figura 827e Calcula mos novamente a mudança na magnitude da função produzida pelo deslocamento Se a função diminui a posição anterior é importante Se a função aumenta deslocamos as cargas novamente Esse procedimento continua até que o deslocamento das cargas resulte em uma diminuição no valor da função Quando estivermos seguros desse resultado estabe lecemos que a posição anterior das cargas maximiza a função A mudança no valor da função produzida pelo movimento de uma roda em particular é igual à diferença entre o produto da carga de roda e da ordenada da linha de influência nas duas posições Por exemplo a mudança na função f devido à roda F1 quando ela se move para a frente a uma distância x1 é igual a 88 f F1 y y F1 y f F1y F1y em que a diferença nas ordenadas da linha de influência y y y Se m1 é a inclinação da linha de influência na região do deslocamento podemos expressar y como uma função da inclinação e da magnitude do deslocamento considerando as proporções entre o triângulo oblíquo e a área sombreada mostrada na Figura 827b 89 y m1x1 y x1 m1 1 Substituindo a Equação 89 na Equação 88 temos 810 f F1m1x1 em que a inclinação m1 pode ser negativa ou positiva e F1 é a carga de roda Se uma carga entrasse ou saísse da estrutura sua contribuição f para a função seria avaliada substituindose na Equação 810 a distância real pela qual ela se move Por exemplo a contribuição da força F5 ver Figura 827d quando ela entra na estrutura seria igual a f F5m2x5 em que x5 é a distância da extremidade da viga até a carga F5 O método do aumentodiminuição é ilustrado no Exemplo 89 289 Seção 89 Método do aumentodiminuição A viga mestra com vão de 80 pés da ponte da Figura 828b deve ser projetada para suportar as cargas de roda mostradas na Figura 828a Usando o método do aumentodiminuição determine o valor do momento máximo no nó B As rodas podem se mover em qualquer direção A linha de influência do momento no nó B é dada na Figura 828b E x E m P L O 8 9 Figura 828 a A B C D E 10 kips 1 10 20 kips 2 5 20 kips 3 10 30 kips 4 5 30 kips 5 CASO 1 b CASO 2 c 15 kipft 1 1 4 20 80 10k 20k 30k 20k 30k 10k 20k 30k 20k 30k 10k 20k 30k 20k 30k 1 10 5 2 3 1 4 3 4 10 5 4 5 Posição 1 1 2 3 4 5 Posição 2 1 2 3 4 5 Posição 3 Linha de influência do momento no nó B 15 kipft 1 1 10 kips 1 10 5 30 kips 5 4 1 4 3 4 10 5 20 kips 3 2 1 5 4 3 2 Posição 1 Posição 2 Linha de influência do momento no nó B continua 290 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas Solução Caso 1 Uma carga de 10 kips movese da direita para a esquerda Comece com a carga de 10 kips no nó B ver posição na Figura 828b Calcule a mudança no momento quando todas as cargas se deslocam 10 pés para a esquerda isto é a carga 2 se move para o nó B ver posição 2 Use a Equação 810 Mudança líquida 175 kip ft Diminuição no momento 10 3 4 10 75 kip ft Aumento no momento cargas 2 3 4 e 5 carga 1 120 20 30 30 1 4 10 250 kip ft Portanto a posição 2 é mais importante do que a posição 1 Desloque as cargas novamente para determinar se o momento continua a aumentar Calcule a mudança no momento quando as cargas se movem 5 pés à esquerda para a posição 3 isto é a carga 3 movese para o nó B Mudança líquida 125 kip ft Diminuição no momento cargas 2 e 3 110 202 152 a 3 4 b 1125 kip ft Aumento no momento cargas 3 4 e 5 20 30 30 5 1 4 1000 kip ft Portanto a posição 2 é mais importante do que a posição 3 Avalie o momento máximo no nó B Multiplique cada carga pela orde nada da linha de influência correspondente o número entre parêntesis 12875 kip ft MB 10 75 20 15 20 1375 30 1125 30 10 Caso 2 A carga de 30 kips movese da direita para a esquerda Comece com uma carga de 30 kips no painel B ver posição 1 na Figura 828c Calcule a mudança no momento quando as cargas se movem 5 pés para a esquerda até a posição 2 Mudança líquida 125 kip ft Diminuição no momento carga 5 30 kips 5 3 4 1125 kip ft Aumento no momento cargas 4 3 2 e 1 180 kips2 152 a 1 4 b 1000 kip ft Portanto a posição 1 é mais importante do que a posição 2 Calcule o momento no nó 2 usando as ordenadas da linha de influência 13625 kip ft controle de projeto 7 12875 kip ft MB 30 15 30 1375 20 1125 20 10 10 75 continuação 291 Seção 810 Momento de carga móvel máximo absoluto 810 Momento de carga móvel máximo absoluto Caso 1 Carga única concentrada Uma única carga concentrada atuando em uma viga produz um dia grama triangular de momentos cuja ordenada máxima ocorre direta mente sob a carga À medida que uma carga concentrada se move por uma viga com apoios simples o valor do momento máximo direta mente sob a carga aumenta de zero quando a carga está em um dos apoios até 025PL quando a carga está no meio do vão A Figura 829b c e d mostra os diagramas de momentos produzidos por uma única carga concentrada P para três posições de carga a uma distância L 6 L 3 e L 2 a partir do apoio da esquerda respectivamente Na Figura 829e a linha tracejada denominada envelope do momento representa o valor máximo do momento de carga móvel produzido pela carga concentrada que pode se desenvolver em cada seção da viga com apoios simples na Figura 829a O envelope do momento é estabelecido plotandose as ordenadas das curvas de momento da Figura 829b a d Como uma viga deve ser projetada para suportar o momento máximo em cada seção a capacidade flexural do membro deve ser igual ou maior àquela dada pelo envelope do momento em lugar do diagrama de momentos mostrado na Figura 829d O momento de carga móvel máximo absoluto devido a uma única carga em uma viga simples ocorre no meio do vão Caso 2 Série de cargas de roda O método do aumentodiminuição fornece um procedimento para estabelecer o momento máximo em uma seção arbitrária de uma viga produzido por um conjunto de cargas em movimento Para usar esse método devemos primeiro construir a linha de influência do momento na seção onde o momento deve ser avaliado Embora reconheçamos que o momento máximo produzido por um conjunto de cargas de roda vai ser maior para seções no meio vão ou próximas dele do que para seções localizadas perto de um apoio até aqui não estabelecemos como se localiza aquela seção do vão na qual as cargas de roda produzem o maior valor de momento Para localizar essa seção para uma viga com apoios simples e para estabelecer o valor do momento máximo absoluto produzido por um conjunto de cargas de roda em particular investigaremos o momento produzido pelas cargas de roda que atuam na viga da Figura 830 Nessa discussão vamos supor que a resultante R das cargas de roda está loca lizada a uma distância d à direita da roda 2 O procedimento para loca lizar a resultante de um conjunto de cargas concentradas foi abordado no Exemplo 32 Embora não possamos especificar com certeza absoluta a roda na qual ocorre o momento máximo a experiência indica que ele provavel mente ocorrerá sob uma das rodas adjacentes à resultante do sistema de forças A partir de nossa experiência com o momento produzido por Figura 829 Envelope do momento de uma carga concentrada sobre uma viga com apoios simples a quatro posições de carga A a D consideradas para a construção do envelope do momento b diagrama de momentos da carga no ponto B c diagrama de momentos da carga no ponto C d diagrama de momentos da carga no ponto D meio vão e envelope do momento curva mostrando o valor de momento máximo em cada seção a b c d e 0139PL 0222PL 025PL 025PL 0139PL 0222PL L 6 L 6 L 6 L 2 A B C D P P P P 292 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas uma única carga concentrada reconhecemos que o momento máximo ocorre quando as cargas de roda estão localizadas perto do centro da viga Vamos supor arbitrariamente que o momento máximo ocorre sob a roda 2 que está localizada a uma distância x à esquerda da linha cen tral da viga Para determinar o valor de x que maximiza o momento sob a roda 2 expressaremos o momento na viga sob a roda 2 como uma função de x Fazendo a derivada da expressão do momento com relação a x e igualando a derivada a zero estabeleceremos a posição da roda 2 que maximiza o momento Para calcular o momento sob a roda 2 usa mos a resultante R das cargas de roda para estabelecer a reação no apoio A A soma dos momentos sobre o apoio B resulta 811 R A R L L 2 d x R AL R c L 2 1d x2 d 0 A MB 0 Para calcular o momento M na viga da roda 2 somando os momentos sobre uma seção através da viga nesse ponto escrevemos 812 M R A L 2 x W1a em que a é a distância entre W1 e W2 Substituindo RA dada pela Equação 811 na Equação 812 e simplificando temos 813 M RL 4 Rd 2 xRd L x 2 R L W1a Para estabelecer o valor máximo M fazemos a derivada da Equação 813 com relação a x e igualamos a derivada a zero 18 4 e x d 2 0 dM dx d R L 2x R L Para x ser igual a d2 é necessário que posicionemos as cargas de modo que a linha central da viga divida a distância entre a resultante e a roda sob a qual se supõe que o momento máximo deve ocorrer No Exem plo 810 usaremos o princípio precedente para estabelecer o momento máximo absoluto produzido em uma viga com apoios simples por um conjunto de cargas de roda Figura 830 Conjunto de cargas de roda com uma resultante R RA W1 W2 W3 L 2 CL x a d x L 2 L 2 d x b d R A B 293 Seção 810 Momento de carga móvel máximo absoluto Determine o momento máximo absoluto em uma viga com apoios simples com vão de 30 pés produzido pelo conjunto de cargas mos trado na Figura 831a E x E m P L O 8 1 0 continua Figura 831 a Cargas de roda b posição das cargas para verificar o momento máximo sob a carga de 30 kips c posição das cargas para verificar o momento máximo sob a carga de 20 kips 30 kips a b 9 6 275 275 1225 1225 30 x 55 R 60 kips RA 245 kips A B 20 kips 10 kips 30 kips CL R 60 kips 20 kips 10 kips c 1325 1325 175175 6 RB 265 kips A B 30 kips CL R 60 kips 20 kips 10 kips 294 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas Solução Calcule a magnitude e a localização da resultante das cargas mostra das na Figura 831a R Fy 30 20 10 60 kips Localize a posição da resultante somando os momentos sobre a carga de 30 kips x 55 ft 0 6 x 20 192 10 1152 R x Fn xn Suponha que o momento máximo ocorre sob a carga de 30 kips Posicione as cargas conforme mostrado na Figura 831b isto é a linha central da viga divide a distância entre a carga de 30 kips e a resultante Calcule RA somando os momentos sobre B 300 kip ft Momento na carga de 30 kips 245 1225 RA 245 kips A MB 0 RA1302 60 112252 Suponha que o momento máximo ocorre sob a carga de 20 kips Posicione as cargas conforme mostrado na Figura 831c isto é a linha central da viga está localizada no meio entre a carga de 20 kips e a resultante Calcule RB somando os momentos sobre A Momento máximo absoluto 300 kip ft sob a carga de 30 kips Momento na carga de 20 kips 1325 265 10 6 2911 kip ft RB 265 kips A MA 0 60 1325 RB 30 Resp continuação 295 Seção 811 Cortante máximo 811 Cortante máximo O valor máximo do cortante em uma viga com apoios simples ou contínua normalmente ocorre adjacente a um apoio Em uma viga com apoios simples o cortante na extremidade será igual à reação portanto para maximizar o cortante posicionamos as cargas de forma a maximizar a reação A linha de influência da reação ver Figura 832b indica que a carga deve ser colocada o mais próximo possível do apoio e que o vão inteiro deve ser carregado Se uma viga simples suporta um conjunto de cargas em movimento o método do aumentodiminuição da Seção 89 pode ser usado para estabelecer a posição das cargas no membro para maximizar a reação Para maximizar o cortante em uma seção BB específica a linha de influência da Figura 832c indica que a carga deve ser colocada 1 somente em um lado da seção e 2 no lado mais distante do apoio Por exemplo se a viga da Figura 832a suporta uma carga móvel uniforme mente distribuída de comprimento variável para maximizar o cortante na seção B a carga móvel deve ser colocada entre B e C Se uma viga com apoios simples suporta uma carga móvel uniforme de comprimento variável talvez o projetista queira estabelecer o cortante de carga móvel crítico nas seções ao longo do eixo da viga construindo um envelope do cortante máximo Um envelope aceitável pode ser produ zido passandose uma linha reta entre o cortante máximo no apoio e o cortante máximo em meio vão ver Figura 833 O cortante máximo no apoio é igual a wL2 e ocorre quando o vão inteiro está carregado O cortante máximo em meio vão é igual a wL8 e ocorre quando a carga é colocada em uma das metades do vão Figura 832 Cortante máximo em uma viga com apoios simples a sentido positivo do cortante em B b linha de influência de RA c linha de influência do cortante na seção B RA RA VB VB VB a 1 b c A C 296 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas Resumo Linhas de influência são usadas para estabelecer onde se deve posicionar uma carga em movimento ou uma carga móvel uniformemente distribuída de comprimento variável em uma estrutura para maximizar o valor da força interna em uma seção específica de uma viga treliça ou outro tipo de estrutura As linhas de influência são construídas para uma força interna ou para uma reação em um ponto específico da estrutura avaliandose o valor da força no ponto em particular à medida que uma carga unitária se move pela estrutura O valor da força interna para cada posição da carga unitária é plotado diretamente abaixo da posição da carga unitária As linhas de influência consistem em uma série de linhas retas para estruturas determinadas e linhas curvas para estruturas indeterminadas O princípio de MüllerBreslau fornece um procedimento simples para estabelecer o aspecto qualitativo de uma linha de influência O princípio determina A linha de influência de qualquer reação ou força interna cortante momento corresponde à forma defletida da estrutura produzida pela retirada da capacidade da estrutura de suportar essa força seguida da introdução na estrutura modificada ou liberada de uma deformação unitária correspondente à restrição retirada Figura 833 Condições de carga para estabelecer o envelope do cortante para uma viga que suporta uma carga móvel uniforme de comprimento variá vel a vão inteiro carregado para cortante máximo no apoio b cortante máximo em meio vão produzido pela carga na metade do vão c envelope do cortante V RA a w L 2 L B A RA wL 2 RA wL 8 V RA b envelope c w wL 8 wL 2 wL 2 297 Problemas P81 Desenhe as linhas de influência da reação em A e do cortante e do momento nos pontos B e C O balancim em D é equivalente a um rolo PRObLEmAs P81 P84 P85 P82 P83 5 5 10 20 A B RA RD C D A C B D 8 6 3 RC RA MA rótula 8 rótula 4 4 G F E D C B A 4 4 4 A C B 3 m 2 m A B C D 8 m 6 m 4 m RA RC P82 Para a viga mostrada na Figura P82 desenhe as linhas de influência das reações MA e RA e do cortante e do momento no ponto B P83 Desenhe as linhas de influência das reações nos apoios A e C do cortante e do momento na seção B e do cortante imediatamente à esquerda do apoio C P84 a Desenhe as linhas de influência das reações MA RA e RC da viga da Figura P84 b Supondo que o vão pode ser carregado com uma carga uniforme de comprimento variável de 12 kipft determine os valo res máximos positivo e negativo das reações P85 a Desenhe as linhas de influência das reações RB RD e RF da viga da Figura P85 e do cortante e do momento em E b Supondo que o vão pode ser carre gado com uma carga uniforme de comprimento variável de 12 kipsft determine os valores máximos positivo e negativo das reações 298 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas P86 Uma carga movese ao longo da viga mestra BCDE Desenhe as linhas de influência das reações nos apoios A e D do cortante e do momento na seção C e do momento em D O ponto C está localizado diretamente acima do apoio A RD RA 5 5 10 12 B A C D E P87 A viga AD está ligada a um cabo em C Desenhe as linhas de influência da força no cabo CE da reação vertical no apoio A e do momento em B A D C B 4 4 3 6 E P87 P86 P88 a P811 Usando o princípio de MüllerBreslau esboce o formato das linhas de influência das reações e das forças internas denotadas abaixo de cada estrutura P812 Para a viga mostrada na Figura P812 desenhe as linhas de influência das reações em A B e F do momento da extremidade em F dos cortantes à esquerda e à direita do apoio B e do cortante em E P88 C VA MB MC e RC D A B 12 4 8 P89 A B C D 12 12 6 MA RA MC e VC à esquerda do apoio C P810 A C B D E 8 12 16 12 RB VB à esquerda do apoio BVB à direita do apoio B MC e VC P811 20 10 10 8 A D C E B RA RC MD e VD rótula P812 A C B D E F 8 m 4 m 4 m 4 m 4 m rótula 299 Problemas P813 Desenhe as linhas de influência do cortante entre os pontos A e B e do momento no ponto E da viga mestra GH mostrada na Figura P813 P814 Para o sistema de piso mostrado na Figura P813 desenhe as linhas de influência do cortante entre os pontos B e C e do momento nos pontos C e E da viga mestra P815 Para a viga mestra da Figura P815 desenhe as linhas de influência da reação em A do momento no ponto C e do cortante entre os pontos B e C da viga mestra AE 5 24 120 A B C D E H G F 20 20 24 24 12 12 I H B A G C D E F 6 m 2 m 6 m 6 m 6 m 2 m B A G F C D E 3 5 m 2 5 m 25 m 25 m A H I J K B C D E F G 8 4 4 A E B C D 8 8 15 15 15 15 15 A B H G C D E F P813 P817 P818 P819 P815 P816 P816 a Desenhe as linhas de influência das reações em B e E do cortante entre CD do momento em B e D para a viga mestra da Figura P816 b Se o peso próprio do sistema de piso longarinas e laje é aproximado por uma carga uniformemente distribuída de 3 kipsft a rea ção do peso próprio da transversina em cada nó é igual a 15 kip e o peso próprio da viga mestra é de 24 kipsft determine o momento na viga mestra em D e o cortante imediatamente à direita de C Suponha que o sistema de piso é suportado por duas vigas mestras externas ver Figura 816 por exemplo P817 Para a viga mestra da Figura P817 desenhe as linhas de influência da reação em I do cortante à direita do apoio I do momento em C e do cortante entre CE P818 Para a viga mestra da Figura P818 desenhe as linhas de influência das reações de apoio em G e F do momento em C e do cortante à esquerda do apoio F P819 a Para a viga mestra HIJ mostrada na Figura P819 desenhe a linha de influência do momento em C b Desenhe a linha de influência das reações nos apoios H e K 300 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas P820 A carga só pode ser aplicada entre os pontos B e D da viga mestra mostrada na Figura P820 Desenhe as linhas de influência da reação em A do momento em D e do cortante à direita do apoio A P821 Para a viga mestra EG mostrada na Figura P821 desenhe as linhas de influência da reação em G e do cor tante e do momento em F localizados no meio do vão da viga mestra EG P822 Para a viga mestra AF mostrada na Figura P822 desenhe as linhas de influência da reação em A do momento em C do cortante imediatamente à direita do apoio A e do cortante entre C e D A C B D E F 5 5 m 25 m RA A B C D E F 3 m 6 m 6 m 3 m 6 m rótula rótula A L K J I H B F G C D E 6 15 90 15 5 A B C D E F G 12 12 6 6 9 9 P820 P822 P823 P821 P823 Desenhe as linhas de influência das forças de barra nas barras AB BK BC e LK se a carga móvel é aplicada na treliça da Figura P823 através da corda inferior P824 Desenhe as linhas de influência das forças de barra nas barras DE DI EI e IJ se a carga móvel da Figura P823 é aplicada através dos nós da corda inferior 301 Problemas P825 Desenhe as linhas de influência de RA e das forças de barra nas barras AD EF EM e NM As cargas são transmitidas para a treliça através dos nós da corda inferior As barras verticais EN e GL têm 18 pés de comprimento FM tem 16 pés P826 Desenhe as linhas de influência das forças de barra nas barras CL DL EF e JG se a carga móvel é aplicada na treliça da Figura P826 através dos nós da corda superior 6 18 108 16 6 16 6 4 6 4 RA A B C I D H J K L M N E F G G F E D C I J K L A H 6 20 120 20 B D C B K L M 7 15 105 A E F G J I H 15 P825 P826 P827 P827 Desenhe as linhas de influência das forças de barra nas barras ML BL CD EJ DJ e FH da treliça em balanço da Figura P827 se a carga móvel é aplicada através dos nós da corda inferior 302 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas P828 Desenhe as linhas de influência das reações em A e F e de cortante e momento na seção 1 Usando as linhas de influência determine as reações nos apoios A e F se o peso próprio do sistema de piso pode ser apro ximado por uma carga uniforme de 10 kNm Veja a Figura P828 P829 A carga horizontal P pode atuar em qualquer local ao longo do comprimento da barra AC mostrada na Figura P829 Desenhe as linhas de influência do momento e do cortante na seção 1 e do momento na seção 2 P830 Desenhe as linhas de influência das reações ver ticais e horizontais AX e AY no apoio A e das forças de barra nas barras AD CD e BC Se a treliça é carregada por uma carga permanente uniforme de 4 kipsft em todo o comprimento da corda superior determine a magnitude das forças de barra nas barras AD e CD 40 m 20 m rótula E F A B C D 20 m 15 m 20 m 20 m 30 m rótula 1 P828 D B C E A G F 4 20 80 rótula 20 P830 A B C D E G F 20 6 15 90 P831 A B C D P 5 m 3 m 5 m 10 m 5 m 1 2 P829 P831 Desenhe as linhas de influência das forças nas barras BC AC CD e CG A carga é transferida da pista para os nós superiores por um sistema de longarinas e transversinas não mostrado Se a treliça deve ser pro jetada para uma carga móvel uniforme de 032 kipft que pode ser colocada em qualquer lugar no vão além de uma carga móvel concentrada de 24 kips que pode ser posicionada onde produzirá a maior força na barra CG determine o valor máximo da força da carga móvel tração compressão ou ambas gerada na barra CG 303 Problemas P832 Uma ponte é composta de duas treliças cuja configuração está mostrada na Figura P832 As treliças são carregadas nos nós de sua corda superior pelas rea ções de um sistema de longarinas e transversinas que suporta uma laje de rolamento Desenhe as linhas de influência das forças nas barras FE e CE Suponha que os veículos se movem pelo centro da pista de modo que metade da carga é suportada por cada treliça Se um caminhão de transporte de minério totalmente carre gado com um peso total de 70 kN cruza a ponte deter mine as forças de carga móvel máximas nas barras FE e CE Suponha que o caminhão pode se mover em qual quer direção Considere a possibilidade de força de tração e compressão em cada barra P833 Desenhe as linhas de influência das forças nas barras AL e KJ da Figura P833 Usando as linhas de influência determine a força de carga móvel máxima considere tração e compressão produzida pelo cami nhão de 54 kips ao atravessar a ponte que consiste em G F E A B C D 4 m 6 3 m 18 m 2 m 3 m 30 kN 30 kN 10 kN F E D C B H I J K L G 6 20 120 20 20 10 A 20 kips 24 kips 10 kips P832 P833 duas treliças Suponha que o caminhão se move pelo centro da pista de modo que cada treliça suporta metade da carga do caminhão Suponha que o caminhão pode trafegar em qualquer direção 304 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas P834 a Uma carga é aplicada no arco treliçado triarticulado da Figura P834 através dos nós da corda superior por um sistema de piso com transversinas e longarinas Desenhe as linhas de influência das rea ções horizontais e verticais no apoio A e das forças ou componentes da força nas barras BC CM e ML b Supondo que o peso próprio do arco e do sistema de piso podem ser representados por uma carga uni forme de 48 kipsft determine as forças nas barras CM e ML produzidas pelo peso próprio c Se a carga móvel é representada por uma carga uniformemente distribuída de comprimento variável de 08 kipft e uma carga concentrada de 20 kips determine a força máxima produzida pela carga móvel na barra CM Considere tração e compressão O nó E atua como uma articulação 6 painéis 24 144 4 16 36 A C M L K J I B D E F G H P834 P835 Calcule o cortante e o momento máximos abso lutos produzidos em uma viga com apoios simples por duas cargas móveis concentradas de 20 kips espaçadas por 10 pés O vão da viga é de 30 pés P836 Desenhe os envelopes do cortante e do momento máximos em uma viga com apoios simples de 24 pés de comprimento produzidos por uma carga móvel que consiste em uma carga uniformemente distribuída de comprimento variável de 04 kipft e uma carga con centrada de 10 kips Figura P836 A carga de 10 kips pode atuar em qualquer ponto Calcule os valores do envelope nos apoios nos pontos de um quarto e em meio vão 10 kips 24 variável w 04 kipft A B P836 24 m 8 m 3 m 24 kN 32 kN 8 kN A B P837 P837 Determine a os valores máximos absolutos do cortante e do momento produzidos pelas cargas de roda na viga e b o valor de momento máximo quando a roda do meio está posicionada no centro da viga na Figura P837 305 Problemas P838 Determine a o valor máximo absoluto do momento e do cortante da carga móvel produzido na viga mestra de 50 pés e b o valor de momento máximo no meio do vão Figura P838 Dica para a parte b use a linha de influência do momento 30 6 10 8 kips 10 kips 6 kips 10 10 A B P838 6 kips 24 kips 12 24 kips 16 P839 10 B C D E F G A 10 10 12 12 6 P840 P839 Determine o valor máximo absoluto do cortante e do momento da carga móvel produzido em uma viga com apoios simples de 40 pés pelas cargas de roda mos tradas na Figura P839 P840 Para a viga mostrada na Figura P840 desenhe as linhas de influência das reações em B D e F do momento em B e E e do cortante à esquerda e à direita em D P841 a Considere a viga mostrada na Figura P840 Posicione o caminhão HS 2044 ver Figura 825a p 284 para produzir a reação máxima em B b Posi cione a carga de pista HS 2044 ver Figura 825b que produz o máximo momento positivo em E Reposi cione a carga para produzir o máximo momento nega tivo em E c Calcule o momento em E produzido por uma carga permanente uniformemente distribuída de 3 kipsft sobre o vão inteiro 306 Capítulo 8 Cargas móveis linhas de influência para estruturas determinadas P842 A viga mostrada na Figura P842 está sujeita a uma carga concentrada em movimento de 80 kN Cons trua o envelope dos momentos máximos positivo e nega tivo para a viga 4 m 4 m 4 m 4 m 8 m 80 kN D C D E B A 30 m A D B w 10 kNm C 15 m 15 m 12 m P842 10 A C B D E 10 20 20 P844 P845 A B D C H F E 4 24 96 18 6 G P846 P843 Considere a viga mostrada na Figura P842 Construa o envelope do máximo cortante positivo supondo que a viga suporta uma carga uniformemente distribuída de comprimento variável de 6 kNm P844 Considere a viga mostrada na Figura P844 Posicione a carga de pista HS 2044 ver Figura 825b para produzir o máximo momento positivo em C o máximo momento negativo em C e o máximo cortante à esquerda do apoio D P845 a O arco triarticulado mostrado na Figura P845 tem um perfil parabólico Desenhe as linhas de influência das reações horizontais e verticais em A e do momento em D b Calcule as reações horizontais e verticais no apoio A se o arco é carregado por uma carga uniforme de 10 kNm c Calcule o momento máximo no ponto D P846 a Desenhe as linhas de influência das forças de barra nas barras HC HG e CD da treliça mostrada na Figura P846 A carga movese ao longo da corda infe rior da treliça b Calcule a força na barra HC se os nós B C e D são carregados por uma carga vertical concen trada de 12 kips cada um 307 Problemas P847 Desenhe as linhas de influência das forças de barra nas barras CD EL e ML da treliça mostrada na Figura P847 A carga movese ao longo de BH na treliça P848 Aplicação de computador Construção de uma linha de influência para uma viga inde terminada a Para a viga indeterminada mos trada na Figura P848 construa as linhas de influência para MA RA e RB aplicando uma carga unitária na viga em intervalos de 4 pés para calcular as magnitudes correspondentes das reações b Usando a linha de influência da parte a determine o valor máximo da reação RB produzida por duas cargas de roda concentradas de 20 kips espaçadas por 8 pés RA RB MA 5 4 20 4 1 2 3 4 5 6 8 20 kips 20 kips A B 40 20 kips 20 kips 8 A B C D E J K I H M L F G 6 6 m 6 m 6 m rótula P848 P849 P847 P849 A viga mestra com apoios simples que recebe os trilhos de apoio de uma grua precisa suportar a carga em movimento mostrada na Figura P849 Essa carga em movi mento precisa ser aumentada por um fator de impacto listado na Tabela 23 a Posicione a carga em movimento para calcular o momento máximo Além disso calcule a deflexão máxima produzida pela carga b Reposicione a carga em movimento simetricamente no vão e calcule o momento máximo e a deflexão máxima Qual caso produz uma deflexão maior Desmoronamento da ponte do Rio Brazos em Brazos Texas EUA durante o içamento das vigas mestras de placas de aço contínuas de aproximadamente 96 m que suportavam a pista de rolamento A falha foi iniciada por tensão excessiva nas conexões entre a alma e a mesa durante o içamento As estruturas são particularmente vulneráveis a falhas durante a montagem porque os elementos de reforço por exem plo lajes de piso e contraventamento podem não estar instalados Além disso a resistência da estru tura pode apresentarse reduzida quando algumas conexões estão parcialmente aparafusadas ou não totalmente soldadas para permitir o alinhamento preciso dos membros C A P Í T U L O Deflexões de vigas e pórticos 91 Introdução Quando uma estrutura é carregada seus elementos tensionados se deformam Em uma treliça as barras em tração se alongam e as barras em compressão se encurtam As vigas fletem e os cabos se estiram Quando essas deformações ocorrem a estrutura muda de formato e pontos dela se deslocam Embora essas deflexões normalmente sejam pequenas como parte do projeto total o engenheiro deve verificar se elas estão dentro dos limites especificados pelo código de projeto em vigor para garantir que a estrutura possa ser utilizada Por exemplo deflexões grandes de vigas podem levar à fissuração de elementos não estruturais como tetos de gesso paredes de azulejo ou tubulações frágeis O deslocamento lateral de prédios produzido por forças do vento deve ser limitado para evitar a rachadura de paredes e janelas Como a magnitude das deflexões também é uma medida da rigidez de um membro limitar as deflexões também garante que vibrações exces sivas de pisos de prédios e estrados superiores de pontes não sejam geradas por cargas em movimento Os cálculos das deflexões também são parte integrante de diversos procedimentos analíticos para analisar estruturas indeterminadas cal cular cargas de flambagem e determinar os períodos naturais de mem bros que vibram Neste capítulo consideraremos vários métodos para calcular deflexões e inclinações em pontos ao longo do eixo de vigas e pórticos Esses métodos são baseados na equação diferencial da curva elástica de uma viga Essa equação relaciona a curvatura em um ponto ao longo do eixo longitudinal da viga com o momento fletor nesse ponto e as propriedades da seção transversal e do material 92 Método da integração dupla O método da integração dupla é um procedimento para estabele cer as equações da inclinação e da deflexão em pontos ao longo do eixo longitudinal curva elástica de uma viga carregada As equa 9 310 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos ções são produzidas integrandose duas vezes a equação diferencial da curva elástica daí o nome integração dupla O método presume que todas as deformações são produzidas por momento Deformações de cisalhamento que normalmente são menores do que 1 das deforma ções de flexão em vigas de proporções normais geralmente não são incluídas Mas se as vigas são altas têm almas finas ou são construídas de um material com módulo de rigidez baixo compensado por exem plo a magnitude das deformações de cisalhamento pode ser significa tiva e deve ser investigada Para entender os princípios nos quais é baseado o método da integra ção dupla primeiro examinaremos a geometria das curvas Em seguida deduziremos a equação diferencial da curva elástica a equação que relaciona a curvatura em um ponto na curva elástica com o momento e a rigidez à flexão da seção transversal Na última etapa integraremos duas vezes a equação diferencial da curva elástica e então avaliaremos as constantes de integração considerando as condições de contorno impos tas pelos apoios A primeira integração produz a equação da inclinação a segunda estabelece a equação da deflexão Embora o método não seja extensivamente usado na prática pois avaliar as constantes de integração é demorado para muitos tipos de vigas começaremos nosso estudo das deflexões com esse método pois vários outros procedimentos importan tes de cálculo de deflexões em vigas e pórticos são baseados na equação diferencial da curva elástica Geometria de curvas rasas Para determinar as relações geométricas necessárias para deduzir a equação diferencial da curva elástica consideraremos as deformações da viga em balanço da Figura 91a A forma defletida é representada na Figura 91b pela posição deslocada do eixo longitudinal também chamado de linha elástica Como eixos de referência estabelecemos um sistema de coordenadas xy cuja origem está localizada na extremidade fixa Por cla reza as distâncias verticais nessa figura estão bastante exageradas As inclinações por exemplo normalmente são muito pequenas da ordem de poucos décimos de um grau Se fôssemos mostrar a forma defletida em escala ela apareceria como uma linha reta Para estabelecer a geometria de um elemento curvo consideraremos um elemento infinitesimal de comprimento ds localizado a uma distância x da extremidade fixa Conforme mostrado na Figura 91c denotamos o raio do segmento curvo por r Nos pontos A e B desenhamos linhas tan gentes à curva O ângulo infinitesimal entre essas tangentes é denotado por du Como as tangentes à curva são perpendiculares aos raios nos pon tos A e B seguese que o ângulo entre os raios também é du A inclinação da curva no ponto A é igual a dy dx tan u Figura 91 a P b y x x A ds B ds dx c A B d d o linha tangente em B linha tangente em A 311 Seção 92 Método da integração dupla Se os ângulos são pequenos tan u u radianos a inclinação pode ser escrita como 91 dy dx u A partir da geometria do segmento triangular ABo na Figura 91c podemos escrever 92 r du ds Dividindo cada lado da equação acima por ds e reorganizando os termos temos 93 c du ds 1 r em que duds representando a mudança na inclinação por comprimento unitário de distância ao longo da curva é chamado curvatura e deno tado pelo símbolo c Como as inclinações são pequenas em vigas reais ds dx e podemos expressar a curvatura na Equação 93 como 94 c du dx 1 r Fazendo a diferencial nos dois lados da Equação 91 com relação a x podemos expressar a curvatura dudx na Equação 94 em termos de coor denadas retangulares como 95 du dx d 2y dx 2 Equação diferencial da curva elástica Para expressar a curvatura de uma viga em um ponto específico em termos do momento que atua nesse ponto e das propriedades da seção transversal consideraremos as deformações de curvatura do pequeno segmento de viga de comprimento dx mostrado com sombreado mais escuro na Figura 92a As duas linhas verticais que representam os lados do elemento são perpendiculares ao eixo longitudinal da viga descarregada Quando a carga é aplicada o momento é criado e a viga flete ver Figura 92b o elemento se deforma em um trapezoide quando os lados do segmento que permanecem retos giram sobre um eixo horizontal o eixo neutro que passa pelo centroide da seção Figura 92c Na Figura 92d o elemento deformado está sobreposto ao elemento não tensionado original de comprimento dx Os lados à esquerda estão alinhados para que as deformações sejam mostradas à direita Conforme exibido nessa figura as fibras longitudinais do segmento localizado acima do eixo neutro se encurtam pois são tensionadas em compressão Abaixo do eixo neutro as fibras longitudinais tensionadas em tração se alongam Como a mudança no comprimento das fibras longitudinais 312 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos deformações de flexão é zero no eixo neutro EN as tensões e deformações nesse nível são iguais a zero A variação da deformação longitudinal com a profundidade está mostrada na Figura 92e Como a deformação é igual às deformações longitudinais divididas pelo compri mento original dx ela também varia linearmente com a distância do eixo neutro Considerando o triângulo DFE na Figura 92d podemos expressar a mudança no comprimento da fibra superior dl em termos de du e da dis tância c do eixo neutro até a fibra superior como 96 dl du c Por definição a deformação P na superfície superior pode ser expressa como 97 P dl dx Usando a Equação 96 para eliminar dl na Equação 97 temos 98 P du dx c Figura 92 Deformações de flexão do segmento dx a viga descarregada b viga carregada e diagrama de momentos c seção transversal da viga d deformações de flexão do pequeno seg mento de viga e deformação longitudinal f tensões de flexão dx x a d EN b M EN c d c F D E A B d dl dx M d e c f 313 Seção 92 Método da integração dupla Usando a Equação 95 para expressar a curvatura dudx em coordena das retangulares podemos escrever a Equação 98 como 99 d 2y dx 2 P c Se o comportamento é elástico a tensão de flexão s pode ser rela cionada com a deformação P na fibra superior pela lei de Hooke que estabelece s EP em que E módulo de elasticidade Resolvendo para P temos 910 P s E Usando a Equação 910 para eliminar P na Equação 99 resulta 911 d 2y dx 2 s Ec Para um comportamento elástico a relação entre a tensão de flexão na fibra superior e o momento que atua na seção transversal é dada por 51 s Mc I Substituindo o valor de s dado pela Equação 51 na Equação 911 temos a equação diferencial básica da curva elástica 912 d 2y dx 2 M EI Nos exemplos 91 e 92 usamos a Equação 912 para estabelecer as equações da inclinação e da deflexão da curva elástica de uma viga Essa operação é efetuada expressandose o momento fletor em termos da carga aplicada e da distância x ao longo do eixo da viga substi tuindo a equação do momento na Equação 912 e integrando duas vezes O método é mais simples de aplicar quando a carga e as condi ções de apoio permitem que o momento seja expresso por uma única equação que é válida por todo o comprimento do membro exemplos 91 e 92 Para vigas de seção transversal constante E e I são constan tes ao longo do comprimento do membro Se E ou I variam também devem ser expressos como função de x para realizar a integração da Equação 912 Se as cargas ou a seção transversal variam de uma maneira complexa ao longo do eixo do membro pode ser difícil inte grar as equações do momento ou de I Para essa situação procedimen tos aproximados podem ser usados para facilitar a solução ver por exemplo somatório finito no Exemplo 1016 314 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos E x E m P L O 9 1 Usando o método da integração dupla estabeleça as equações da inclinação e da deflexão para a viga uniformemente carregada da Figura 93 Avalie a deflexão no meio do vão e a inclinação no apoio A EI é constante Figura 93 a viga com forma defletida b diagrama de corpo livre Solução Estabeleça um sistema de coordenadas retangulares com a origem no apoio A Como a inclinação aumenta à medida que x aumenta a inclina ção é negativa em A zero no meio do vão e positiva em B a curvatura é positiva Se considerarmos um corpo livre da viga cortado por uma seção vertical localizada a uma distância x da origem em A ver Figura 93b podemos escrever o momento interno na seção como M wLx 2 wx 2 2 a A B o L wL 2 y dx dx dy dy w wL 2 x A w x R wx b wL 2 M wLx wx 2 x 2 x 2 315 Seção 92 Método da integração dupla Substituindo M na Equação 912 temos 1 EI d 2y dx 2 wLx 2 wx 2 2 Integrar duas vezes com relação a x gera 2 3 EIy wLx 3 12 wx 4 24 C1x C2 EI dy dx wLx 2 4 wx 3 6 C1 Para avaliar as constantes de integração C1 e C2 usamos as condições de contorno nos apoios A e B Em A x 0 e y 0 Substituindo esses valores na Equação 3 verificamos que C2 0 Em B x L e y 0 Subs tituindo esses valores na Equação 3 e resolvendo para C1 temos C1 wL3 24 0 wL4 12 wL4 24 C1L Substituindo C1 e C2 nas equações 2 e 3 e dividindo os dois lados por EI resulta 4 5 y wLx 3 12EI wx 4 24EI wL3x 24EI u dy dx wLx 2 4EI wx 3 6EI wL3 24EI Calcule a deflexão no meio do vão substituindo x L2 na Equação 5 y 5wL4 384EI Resp Calcule a inclinação em A substituindo x 0 na Equação 4 uA dy dx wL3 24EI Resp 316 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos Para a viga em balanço da Figura 94a estabeleça as equações da inclinação e da deflexão pelo método da integração dupla Determine também a magnitude da inclinação uB e a deflexão B na ponta da viga em balanço EI é constante Solução Estabeleça um sistema de coordenadas retangulares com a origem no apoio fixo A As direções positivas dos eixos são para cima eixo y e à direita eixo x Como a inclinação é negativa e tornase mais pronun ciada na direção positiva de x a curvatura é negativa Passando uma seção pela viga a uma distância x da origem e considerando um corpo livre à direita do corte ver Figura 94b podemos expressar o momento fletor no corte como M P L x Substituindo M na Equação 912 e adicionando um sinal de menos porque a curvatura é negativa resulta d 2y dx 2 M EI P L x EI Integrando duas vezes para estabelecer as equações da inclinação e da deflexão temos 1 2 y PLx 2 2EI Px 3 6EI C1x C2 dy dx PLx EI Px 2 2EI C1 Para avaliar as constantes de integração C1 e C2 nas equações 1 e 2 usamos as condições de contorno impostas pelo apoio fixo em A 1 Quando x 0 y 0 então da Equação 2 C2 0 2 Quando x 0 dydx 0 então da Equação 1 C1 0 As equações finais são 3 4 y PLx 2 2EI Px 3 6EI u dy dx PLx EI Px 2 2EI Para estabelecer uB e B substituímos x L nas equações 3 e 4 para calcular B PL3 3EI uB PL2 2EI Resp Resp E x E m P L O 9 2 Figura 94 a Viga com forma defletida b diagrama de corpo livre B B o x A L y P x L x M a b B dx dy B P L x z 317 Seção 93 Método dos momentos de áreas 93 Método dos momentos de áreas Conforme observamos no método da integração dupla baseado na Equação 912 a inclinação e a deflexão de pontos ao longo da curva elás tica de uma viga ou de um pórtico são funções do momento fletor M do momento de inércia I e do módulo de elasticidade E No método dos momentos de áreas estabeleceremos um procedimento que utiliza a área dos diagramas de momento na verdade os diagramas MEI para avaliar a inclinação ou a deflexão em pontos selecionados ao longo do eixo de uma viga ou pórtico Esse método que exige um esboço preciso da forma defletida emprega dois teoremas Um deles é usado para calcular uma mudança na inclinação entre dois pontos na curva elástica O outro para calcular a distância vertical chamada de desvio tangencial entre um ponto na curva elástica e uma linha tangente a essa curva em um segundo ponto Essas quantidades estão ilustradas na Figura 95 Nos pontos A e B linhas tangentes que compõem uma inclinação de uA e uB com o eixo horizontal são desenhadas na curva elástica Para o sistema de coorde nadas mostrado a inclinação em A é negativa e a inclinação em B é positiva A mudança na inclinação entre os pontos A e B é denotada por uAB O desvio tangencial no ponto B a distância vertical entre o ponto B na curva elástica e o ponto C na linha desenhada tangente à curva elástica em A é denotado como tBA Usaremos dois subscritos para rotular todos os desvios tangenciais O primeiro indica a localização do desvio tangencial o segundo especifica o ponto no qual a linha tan gente é desenhada Como você pode ver na Figura 95 tBA não é a defle xão do ponto B vB é a deflexão Com alguma orientação você apren derá rapidamente a usar desvios tangenciais e mudanças na inclinação para calcular valores de inclinação e deflexão em qualquer ponto dese jado na curva elástica Na próxima seção desenvolveremos os dois teo remas de momentos das áreas e ilustraremos sua aplicação em uma variedade de vigas e pórticos Dedução dos teoremas dos momentos das áreas A Figura 96b mostra uma parte da curva elástica de uma viga carre gada Nos pontos A e B linhas tangentes são desenhadas na curva O ângulo total entre as duas tangentes é denotado por uAB Para expressar uAB em termos das propriedades da seção transversal e do momento produzido pelas cargas aplicadas consideraremos o incremento da mudança de ângulo du que ocorre ao longo do comprimento ds do seg mento infinitesimal localizado a uma distância x à esquerda do ponto B Anteriormente estabelecemos que a curvatura em um ponto na curva elástica pode ser expressa como 912 du dx M EI x A B B BA t v A AB viga não defletida tangente em B tangente em A curva elástica B C y Figura 95 Mudança na inclinação e desvio tan gencial entre os pontos A e B 318 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos em que E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia Multi plicando os dois lados da Equação 912 por dx temos 913 du M EI dx Para estabelecer a mudança de ângulo total uAB devemos somar os incrementos du de todos os segmentos de comprimento ds entre os pontos A e B por integração 914 uAB B A du B A M dx EI Podemos avaliar graficamente a quantidade M dxEI na integral da Equação 914 dividindo as ordenadas do diagrama de momentos por EI para produzir um diagrama MEI ver Figura 96b Se EI é constante ao longo do eixo da viga o caso mais comum o diagrama MEI tem o mesmo aspecto do diagrama de momento Reconhecendo que a quanti dade M dxEI representa uma área infinitesimal de altura MEI e compri mento dx ver área hachurada na Figura 96b podemos interpretar a integral da Equação 914 como representando a área sob o diagrama MEI entre os pontos A e B Essa relação constitui o princípio dos momen tos das áreas que pode ser expresso assim A mudança na inclinação entre quaisquer dois pontos em uma curva elástica contínua e suave é igual à área sob o diagrama MEI entre esses pontos Você vai notar que o primeiro teorema dos momentos das áreas só se aplica ao caso em que a curva elástica entre dois pontos é contínua e diagrama de momentos b b tangente emA diagrama tangente em B curva elástica EI constante A MA MB AB 1 2 d d tBA MA A B EI MB EI M EI M EI dt dx x x dx ds B w a Figura 96 a Viga e diagrama de momentos b diagrama MEI entre os pontos A e B 319 suave Se uma articulação ocorrer entre dois pontos a área sob o dia grama MEI não considerará a diferença que possa existir na inclinação em um ou outro lado da articulação Portanto devemos determinar as inclinações em uma articulação trabalhando com a curva elástica em um ou outro lado Para estabelecer o segundo teorema dos momentos das áreas que nos permite avaliar um desvio tangencial devemos somar os incre mentos infinitesimais do comprimento dt que compõem o desvio tan gencial total tBA ver Figura 96b A magnitude de um incremento dt típico que contribuiu para o desvio tangencial tBA causado pela curva tura de um segmento característico ds entre os pontos 1 e 2 na curva elástica pode ser expressa em termos do ângulo entre as linhas tangen tes às extremidades do segmento e da distância x entre o segmento e o ponto B como 915 dt du x Expressando du na Equação 915 pela Equação 913 podemos escrever 916 dt M dx EI x Para avaliar tBA devemos somar todos os incrementos de dt integrando a contribuição de todos os segmentos infinitesimais entre os pontos A e B 917 tBA B A dt B A Mx EI dx Lembrando que a quantidade M dxEI representa uma área infinitesi mal sob o diagrama MEI e que x é a distância dessa área ao ponto B podemos interpretar a integral na Equação 917 como o momento sobre o ponto B da área sob o diagrama MEI entre os pontos A e B Esse resul tado constitui o segundo teorema dos momentos das áreas que pode ser expresso como segue O desvio tangencial em um ponto B em uma curva elástica contínua e suave a partir da linha tangente desenhada na curva elástica em um segundo ponto A é igual ao momento sobre B da área sob o diagrama M EI entre os dois pontos Embora seja possível avaliar a integral na Equação 917 expres sando o momento M como uma função de x e a integrando é mais rápido e mais simples efetuar o cálculo graficamente Nesse procedi mento dividimos a área do diagrama MEI em figuras geométricas simples retângulos triângulos parábolas etc Então o momento de cada área é avaliado multiplicando cada área pela distância a partir de seu centroide até o ponto em que o desvio tangencial deve ser calculado Seção 93 Método dos momentos de áreas 320 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos Para esse cálculo podemos usar a Tabela 3 do final do livro que tabula as propriedades das áreas que você encontrará frequentemente Aplicação dos teoremas dos momentos das áreas O primeiro passo no cálculo da inclinação ou deflexão de um ponto na curva elástica de um membro é desenhar um esboço preciso da forma defletida Conforme discutido na Seção 56 a curvatura da curva elás tica deve ser coerente com o diagrama de momentos e as extremidades dos membros devem satisfazer as restrições impostas pelos apoios Uma vez construído um esboço da forma defletida o próximo passo é encon trar um ponto na curva elástica onde a inclinação de uma tangente à curva seja conhecida Após essa tangente de referência ser estabelecida a inclinação ou deflexão em qualquer outro ponto na curva elástica con tínua pode ser facilmente estabelecida usandose os teoremas dos momentos das áreas A estratégia para calcular inclinações e deflexões pelo método dos momentos das áreas dependerá de como uma estrutura está apoiada e carregada A maioria dos membros contínuos cairá em uma das três categorias a seguir 1 Vigas em balanço 2 Estruturas com um eixo de simetria vertical carregadas simetricamente 3 Estruturas que contêm um membro cujas extremidades não se deslocam na direção normal à posição original do eixo longitudinal do membro Se um membro não é contínuo por causa de uma articulação interna a deflexão na articulação deve ser calculada inicialmente para estabele cer a posição das extremidades do membro Esse procedimento está ilustrado no Exemplo 910 Nas próximas seções discutiremos o proce dimento para calcular inclinações e deflexões para membros em cada uma das categorias precedentes Caso 1 Em uma viga em balanço pode ser desenhada uma linha tan gente de inclinação conhecida à curva elástica no apoio fixo Por exem plo na Figura 97a a linha tangente à curva elástica no apoio fixo é horizontal isto é a inclinação da curva elástica em A é zero pois o apoio fixo impede que a extremidade do membro gire Então a incli nação em um segundo ponto B na curva elástica pode ser calculada somandose algebricamente na inclinação em A a mudança na inclina ção uAB entre os dois pontos Essa relação pode ser expressa como 918 uB uA uAB em que uA é a inclinação na extremidade fixa isto é uA 0 e uAB é igual à área sob o diagrama MEI entre os pontos A e B Figura 97 Posição da linha tangente a viga em balanço ponto de tangência no apoio fixo continua A B P A 0 a tangente de referência 321 P P P A A B C B D E tBC tBA C v tCA tBA C v P P C 0 A A b C tangente de referência tangente de referência tangente de referência L a a d c L L e L C P A B tangente de referência B 0 A B C x Como a tangente de referência é horizontal na verdade os desvios tangenciais a distância vertical entre a linha tangente e a curva elás tica são deslocamentos Os exemplos 93 a 95 abordam o cálculo de inclinações e deflexões de vigas em balanço O Exemplo 94 ilustra como se modifica um diagrama MEI para um membro cujo momento de inércia varia No Exemplo 95 os diagramas de momentos produzi dos por uma carga uniforme e por uma carga concentrada são plotados separadamente para produzir diagramas de momentos com uma geome tria conhecida Consultar Tabela 3 no final do livro para ver as proprie dades dessas áreas Caso 2 As figuras 97b e c mostram exemplos de estruturas simétri cas carregadas simetricamente com relação ao eixo de simetria vertical no centro da estrutura Por causa da simetria a inclinação da curva elástica é zero no ponto onde o eixo de simetria intercepta a curva elás tica Nesse ponto a tangente à curva elástica é horizontal Para as vigas da Figura 97b e c concluímos com base no princípio dos momentos das áreas que a inclinação em qualquer ponto da curva elástica é igual à área sob o diagrama MEI entre esse ponto e o eixo de simetria O cálculo de deflexões para pontos ao longo do eixo da viga na Figura 97c que tem um número par de vãos é semelhante ao da viga em balanço da Figura 97a No ponto de tangência ponto B tanto a deflexão como a inclinação da curva elástica é igual a zero Como a tangente à curva elástica é horizontal as deflexões em qualquer outro ponto são iguais aos desvios tangenciais da linha tangente desenhada na curva elás tica no apoio B Figura 97 continuação b e c membros simétricos com carga simétrica ponto de tangên cia na intersecção do eixo de simetria e a curva elástica d e e ponto de tangência na extremi dade esquerda do membro AB Seção 93 Método dos momentos de áreas 322 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos Quando uma estrutura simétrica consiste em um número ímpar de vãos um três etc o procedimento anterior deve ser ligeiramente modi ficado Por exemplo na Figura 97b observamos que a tangente à curva elástica é horizontal no eixo de simetria O cálculo das inclinações será novamente referenciado a partir do ponto de tangência em C Contudo a linha central da viga foi deslocada para cima a uma distância vC por tanto os desvios tangenciais das tangentes de referência normalmente não são deflexões Podemos calcular vC observando que a distância ver tical entre a linha tangente e a curva elástica no apoio B ou no apoio C é um desvio tangencial igual a vC Por exemplo na Figura 97b vC é igual a tBC Após vC ser calculada a deflexão de qualquer outro ponto acima da posição original do membro descarregado é igual a vC menos o desvio tangencial do ponto a partir da tangente de referência Se um ponto fica abaixo da posição não curvada da viga por exemplo as pontas da viga em balanço em A ou E a deflexão é igual ao desvio tangencial do ponto menos vC Os exemplos 96 e 97 ilustram o cálculo de deflexões em uma estrutura simétrica Caso 3 A estrutura não é simétrica mas contém um membro cujas extremidades não se deslocam em uma direção normal ao eixo longitu dinal do membro Exemplos desse caso são mostrados na Figura 97d e e Como o pórtico da Figura 97d não é simétrico e a viga da Figura 97e não está simetricamente carregada o ponto em que uma tangente à curva elástica é horizontal não é conhecido inicialmente Portanto devemos usar uma linha tangente inclinada como referência para calcu lar as inclinações e as deflexões nos pontos ao longo da curva elástica Para esse caso estabelecemos a inclinação da curva elástica em uma ou outra extremidade do membro Em uma das extremidades do membro desenhamos uma tangente à curva e calculamos o desvio tangencial na extremidade oposta Por exemplo na Figura 97d ou e como as defle xões são pequenas a inclinação da tangente à curva elástica em A pode ser escrita como 919 tan uA tBA L Como tan uA uA em radianos podemos escrever a Equação 919 como uA tBA L Em um segundo ponto C a inclinação seria igual a uC uA uAC em que uAC é igual à área sob o diagrama MEI entre os pontos A e C 323 Para calcular os deslocamentos de um ponto C localizado a uma dis tância x à direita do apoio A ver Figura 97e calculamos primeiro a distância vertical CC entre a posição inicial do eixo longitudinal e a tan gente de referência Como uA é pequeno podemos escrever CC uA x A diferença entre CC e o desvio tangencial tCA é igual à deflexão vC vC CC tCA Os exemplos 98 a 912 ilustram o procedimento para calcular inclina ções e deflexões em membros com tangentes de referência inclinadas Se o diagrama MEI entre dois pontos na curva elástica contém áreas positivas e negativas a mudança de ângulo líquida na inclinação entre esses pontos é igual à soma algébrica das áreas Se for desenhado um esboço preciso da forma defletida a direção das mudanças de ângulo e as deflexões geralmente ficarão aparentes e o estudante não precisará se preocupar com a definição de uma convenção formal de sinais para esta belecer se uma inclinação ou deflexão aumenta ou diminui Sendo o momento positivo ver Figura 98a o membro curvase com concavi dade para cima e uma tangente desenhada em uma das extremidades da curva elástica ficará abaixo da curva Em outras palavras podemos inter pretar um valor de desvio tangencial positivo como uma indicação de que movemos para cima da linha tangente para a curva elástica Inversa mente se o desvio tangencial está associado a uma área negativa sob o diagrama MEI a linha tangente fica acima da curva elástica ver Figura 98b e movemos verticalmente para baixo a partir da linha tangente para chegar à curva elástica Figura 98 Posição da tangente de referência a momento positivo b momento negativo M M M M A B A B tBA tBA tangente em A tangente em A a b Seção 93 Método dos momentos de áreas 324 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos Calcule a inclinação uB e a deflexão vB na ponta da viga em balanço da Figura 99a EI é constante Solução Desenhe o diagrama de momentos e divida todas as ordenadas por EI Figura 99b Calcule uB somando à inclinação em A a mudança na inclinação uAB entre os pontos A e B Como o apoio fixo impede rotação uA 0 1 uB uA uAB uAB Pelo primeiro teorema dos momentos das áreas uAB é igual à área sob o diagrama triangular MEI entre os pontos A e B 2 uAB 1 2 L PL EI PL2 2EI Substituindo a Equação 2 na Equação 1 temos uB PL2 2EI Resp Como a linha tangente em B se inclina para baixo e à direita sua inclinação é negativa Nesse caso a ordenada negativa da curva MEI forneceu o sinal correto Na maioria dos problemas a direção da incli nação fica evidente a partir do esboço da forma defletida Calcule a deflexão vB na ponta da viga em balanço usando o segundo teorema dos momentos das áreas O ponto preto no diagrama MEI denota o centroide da área 0 P P B A A B A 0 B tBA M PL a b PL EI A B x 2 L 3 L M EI diagrama v P B B tBA B b PL EI A B x 2 L 3 M EI diagrama v E x E m P L O 9 3 Figura 99 a Viga b diagrama MEI vB tBA momento da área triangular do diagrama MEI sobre o ponto B Resp vB 1 2L PL EI 2L 3 PL3 3EI o sinal de menos indica que a linha tangente fica acima da curva elástica 325 Viga com momento de inércia variável Calcule a deflexão do ponto C na ponta da viga em balanço da Figura 910 se E 29 000 kipspol2 IAB 2I e IBC I em que I 400 pol4 A C tCA c C M 100 kipft x diagrama de M diagrama 100 kipft B I 2I a b c 50 EI 6 6 3 9 M EI 100 EI Solução Para produzir o diagrama MEI as ordenadas do diagrama de momentos são divididas pelos respectivos momentos de inércia Como IAB é duas vezes maior que IBC as ordenadas do diagrama MEI entre A e B terão metade do tamanho das que existem entre B e C Como a deflexão em C denotada por vC é igual a tCA calculamos o momento da área do diagrama MEI sobre o ponto C Para esse cálculo dividimos o diagrama MEI em duas áreas retangulares vC 4500 117282 29000 400 067 pol vC tCA 100 2EI 162 192 100 EI 162 132 4500 EI Resp em que 1 728 converte pés cúbicos em polegadas cúbicas E x E m P L O 9 4 Figura 910 a Forma defletida b diagrama de momentos c diagrama MEI dividido em duas áreas retangulares Seção 93 Método dos momentos de áreas 326 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos Uso do diagrama de momentos por partes Calcule a inclinação da curva elástica em B e C e a deflexão em C para a viga em balanço da Figura 911a EI é constante Solução Para produzir formas geométricas simples nas quais a posição do centroide é conhecida os diagramas de momentos produzidos pela carga concentrada P e pela carga uniforme w são plotados separada mente e divididos por EI na Figura 911b e c A Tabela 3 no final do livro fornece equações para avaliar as áreas de formas geométricas comuns e a posição de seus centroides Calcule a inclinação em C em que uAC é dado pela soma das áreas sob os diagramas MEI na Figura 911b e c uA 0 ver Figura 911d uc 432 EI radianos 0 1 2 162 a 48 EI b 1 3 1122 a 72 EI b uc uA uAC Resp Calcule a inclinação em B A área entre A e B na Figura 911c é cal culada subtraindose a área parabólica entre B e C na Figura 911c da área total entre A e C Como a inclinação em B é menor do que a incli nação em C a área entre B e C será tratada como uma quantidade posi tiva para reduzir a inclinação negativa em C uB 396 EI radianos 432 EI 1 3 162 a 18 EI b uB uC uBC Resp Calcule C a deflexão em C A deflexão em C é igual ao desvio tangencial de C a partir da tangente à curva elástica em A ver Figura 911d c 4032 EI 1 2 162 a 48 EI b 16 42 1 3 1122 a 72 EI b 192 c tCA momentos de áreas sob os diagramas MEI entre A e C na Figura 911b e c Resp E x E m P L O 9 5 Figura 911 Diagrama de momento por par tes a viga b diagrama MEI associado a P c diagrama MEI associado à carga uniforme w d forma defletida A B P 8 kips w 1 kipft C a b C C C c tangente em A d 6 x 10 x 9 c tCA C A 0 6 48 EI 72 EI 18 EI M EI M EI 6 6 B 327 Análise de uma viga simétrica Para a viga da Figura 912a calcule a inclinação em B e as deflexões no meio do vão e no ponto A Além disso EI é constante Solução Como tanto a viga como sua carga são simétricas com relação ao eixo de simetria vertical no meio do vão a inclinação da curva elástica é zero no meio do vão e a linha tangente nesse ponto é horizontal Uma vez que nenhum momento fletor se desenvolve nas extremidades em balanço elas estão descarregadas a curva elástica é uma linha reta entre os pontos A e B e os pontos D e E Consulte o Apêndice para ver as propriedades geométricas de uma área parabólica Calcule uB wL3 24EI 0 2 3 a L 2 b a wL2 8EI b uB uC uCB Resp Calcule vC Como a tangente em C é horizontal vC é igual a tBC Usando o segundo teorema dos momentos das áreas calculamos o momento da área parabólica entre B e C sobre B vC tBC 2 3 a L 2 b a wL2 8EI b a 5L 16 b 5wL4 384EI Resp Calcule vA Como a extremidade em balanço AB é reta vA uB L 3 wL3 24EI L 3 wL4 72EI Resp em que uB foi avaliado no primeiro cálculo E x E m P L O 9 6 A E B eixo de simetria C w D a L 2 L 2 L 3 L 3 b wL2 8EI 5L 16 x M EI B B A C c reta reta tangente em C A B C tBC v v Figura 912 a Viga simétrica b diagrama MEI c geometria da forma defletida Seção 93 Método dos momentos de áreas 328 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos A viga da Figura 913a suporta uma carga concentrada P no meio do vão ponto C Calcule as deflexões nos pontos B e C Calcule também a inclinação em A EI é constante Solução Calcule uA Como a estrutura está simetricamente carregada a incli nação da linha tangente à curva elástica no meio do vão é zero isto é uC 0 ver Figura 913c uA uC uAC em que uAC é igual à área sob o diagrama MEI entre A e C uA 0 1 2 a L 2 b a PL 4EI b PL2 16EI radianos Resp Calcule vC a deflexão no meio do vão Como a tangente em C é horizontal vC tAC em que tAC é igual ao momento sobre A da área triangular sob o diagrama MEI entre A e C 1 vC 1 2 a L 2 b a PL 4EI b a 2 3 L 2 b PL3 48EI Calcule vB a deflexão no ponto de um quarto do vão Conforme mostrado na Figura 913c 2 vB tBC vC PL3 48EI em que tBC é o momento sobre B da área sob o diagrama MEI entre B e C Por conveniência dividimos essa área em um triângulo e um retân gulo Veja a área sombreada na Figura 913b tBC 1 2 a L 4 b a PL 8EI b a L 6 b L 4 a PL 8EI b a L 8 b 5PL3 768EI Substituindo tBC na Equação 2 calculamos vB vB 11PL3 768EI Resp E x E m P L O 9 7 B C A C 0 tangente em C a b c L 2 L 4 L 4 PL 4EI M EI PL 8EI PL 8EI A A B C D tAC tBC B C D P L 6 x L 8 x Figura 913 a Detalhes da viga b diagrama MEI c forma defletida 329 Para a viga da Figura 914 calcule a inclinação da curva elástica nos pontos A e C Além disso determine a deflexão em A Suponha que o balancim em C é equivalente a um rolo Solução Como o diagrama de momentos é negativo em todas as seções ao longo do eixo da viga ela é curvada com concavidade para baixo ver linha tracejada na Figura 914c Para calcular uC desenhamos uma tan gente à curva elástica no ponto C e calculamos tBC em que tBC áreaBC x 1 2 1182 a 180 EI b a 18 3 b 9720 EI uC tBC 18 9720 EI a 1 18 b 540 EI Resp Visto que a linha tangente inclina para baixo e à direita a inclinação uC é negativa Calcule uA uA uC uAC em que uAC é a área sob o diagrama MEI entre A e C Como a curva elástica é côncava para baixo entre os pontos A e C a inclinação em A deve ter sentido oposto à inclinação em C portanto uAC deve ser tra tada como uma quantidade positiva Calcule dA em que tAC área AC x 1 2 1242 a 180 EI b a 6 24 3 b 21600 EI dA tAC Y 1ver Figura 914 c2 8640 EI uA 540 EI 1 2 1242 a 180 EI b 1620 EI Resp Resp Consultar caso a na Tabela 3 no final do livro para ver a equação de x Y 24uC 24 540 EI 12960 EI E x E m P L O 9 8 P 30 kips A C A a b c 180 EI 10 kips 40 kips 6 18 M EI tAC tBC Y B C tangente em C B C A balancim Figura 914 a Viga b diagrama MEI c geometria da forma defletida Seção 93 Método dos momentos de áreas 330 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos Análise usando uma tangente de referência inclinada Para a viga de aço da Figura 915a calcule a inclinação em A e C Determine também a localização e o valor da deflexão máxima Se a deflexão máxima não deve ultrapassar 06 pol qual é o valor mínimo exigido de I EI é constante e E 29 000 kipspol2 Solução Calcule a inclinação uA no apoio A desenhando uma linha tangente à curva elástica nesse ponto Isso estabelecerá uma linha de referência de direção conhecida ver Figura 915c 1 tan uA tCA L Como para ângulos pequenos tan uA uA radianos a Equação 1 pode ser escrita deste modo 2 1 2 1182 a 96 EI b a 18 6 3 b 6912 EI tCA momento da área MEI entre A e C sobre C uA tCA L em que a expressão do braço de momento é dada na Tabela 3 no final do livro caso a Substituindo tCA na Equação 2 temos uA 6912 EI 18 384 EI radianos Resp É adicionado um sinal de menos pois movendose na direção posi tiva de x a linha tangente dirigida para baixo tem uma inclinação negativa Calcule uC uC uA uAC em que uAC é igual à área sob o diagrama MEI entre A e C uC 384 EI 1 2 1182 a 96 EI b 480 EI radianos Resp E x E m P L O 9 9 RA 8 kips RC 16 kips tangente em A P 24 kips A D 0 D C a 96 EI b c 12 6 A B C x A D E tDA tCA C f g e d a y Figura 915 a Viga b diagrama MEI c geometria da forma defletida 331 Calcule a deflexão máxima O ponto de deflexão máxima ocorre em D onde a inclinação da curva elástica é igual a zero isto é uD 0 Para determinar esse ponto localizado a uma distância desconhecida x a partir do apoio A devemos determinar a área sob o diagrama MEI entre A e D que é igual à inclinação em A Sendo y igual à ordenada do dia grama MEI em D Figura 915b temos 3 0 384 EI 1 2 xy uD uA uAD Expressando y em termos de x usando os triângulos semelhantes afg e aed ver Figura 915b temos 4 y 8x EI 96 1EI2 12 y x Substituindo o valor precedente de y na Equação 3 e resolvendo para x temos x 98 ft Substituindo x na Equação 4 temos y 784 EI Calcule a deflexão máxima vD em x 98 ft 5 vD DE tDA em que os termos da Equação 5 estão ilustrados na Figura 915c tDA 1áreaAD2x 1 2 1982 a 784 EI b a 98 3 b 12549 EI DE uA x 384 EI 1982 37632 EI Substituindo DE e tDA na Equação 5 temos 6 vD 37632 EI 12549 EI 25083 EI Calcule Imín se vD não deve ultrapassar 06 pol na Equação 6 defina vD 06 pol e resolva para Imín Imín 2491 pol 4 vD 25083 117282 29000Imín 06 pol Resp Resp Seção 93 Método dos momentos de áreas 332 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos A viga da Figura 916a contém uma articulação em B Calcule a deflexão vB da articulação a inclinação da curva elástica no apoio E e as inclinações uBL e uBR da extremidade das vigas em um ou outro lado da articulação ver Figura 916d Além disso localize o ponto de defle xão máxima no vão BE EI é constante A almofada de elastômero em E é equivalente a um rolo Solução A deflexão da articulação em B denotada por vB é igual a tBA o desvio tangencial de B da tangente ao apoio fixo em A A deflexão tBA é igual ao momento da área sob o diagrama MEI entre A e B sobre B ver Figura 916b vB tBA áreax 1 2 108 EI 9 6 2916 EI E x E m P L O 9 1 0 Figura 916 a Viga com articulação em B b forma defletida c diagrama MEI d detalhe mostrando a diferença na inclinação da curva elástica em cada lado da articulação A 0 B tBA F E BL BR 0 a b d c 72 EI tangente em E tangente em A A B tBE x E F B articulação A RE 12 kips B C D E 12 kips 108 kipft 12 kips 12 kips M EI 108 EI x 6 9 6 6 6 almofada de elastômero 333 Calcule uBL a inclinação da extremidade B da viga em balanço AB 0 1 2 192 a 108 EI b 486 EI radianos uBL uA uAB em que uAB é igual à área triangular sob o diagrama MEI entre A e B e uA 0 pois o apoio fixo em A impede a rotação Calcule uE a inclinação da curva elástica em E ver Figura 916b uE vB tBE 18 a 2916 EI 7776 EI b a 1 18 b 594 EI radianos em que tBE é igual ao momento da área sob o diagrama MEI entre B e E sobre B Esse cálculo é simplificado dividindose a área trapezoidal em dois triângulos e um retângulo ver linhas tracejadas na Figura 916c tBE 1 2 162 a72 EI b 142 162 a72 EI b 192 1 2 162 a72 EI b 1142 7776 EI radianos Localize o ponto de deflexão máxima no vão BE O ponto de deflexão máxima rotulado como ponto F está localizado no ponto do vão BE onde a tangente à curva elástica é zero Entre F e o apoio E a uma distância x a inclinação vai de 0 a uE Como a mudança na inclinação é dada pela área sob o diagrama MEI entre esses dois pontos podemos escrever 1 uE uF uEF em que uF 0 e uE 594EI rad Entre os pontos D e E a mudança na inclinação produzida pela área sob o diagrama MEI é igual a 216EI Como esse valor é menor do que uE a inclinação em D tem um valor positivo igual a 2 uD uE uED 594 EI 216 EI 378 EI radianos Entre D e C a área sob o diagrama MEI é igual a 432EI Como esse valor de mudança na inclinação ultrapassa 378EI o ponto de inclinação zero deve estar entre C e D Agora podemos usar a Equação 1 para encontrar a distância x Calcule uBR 270 EI radianos 594 EI c 72 EI 162 1 2 162 a 72 EI b 122 d uBR uE uBE x 1125 ft 594 EI 0 1 2 a 72 EI b 162 72 EI 1x 62 Resp Resp Seção 93 Método dos momentos de áreas 334 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos Determine a deflexão da articulação em C e a rotação do nó B para o pórtico contraventado da Figura 917a Para todos os membros EI é constante Solução Para estabelecer a rotação angular do nó B consideramos a forma defletida do membro AB na Figura 917b Como o membro BCD con tém uma articulação sua curva elástica não é contínua e não é possível calcular inicialmente uma inclinação em qualquer ponto ao longo de seu eixo uB tAB 12 1 21272 EI 182 12 288 EI Resp Deflexão da articulação 162 a 288 EI b 1 2 162 a 72 EI b 142 2592 EI 6uB tCB Resp E x E m P L O 9 1 1 B C D tCB A B D tAB A 12 kips 6 kips 12 kips articulação 24 kips 6 kips 90 6 24 kips B B B a b 6 6 6 72 EI 72 EI 72 EI x 8 x 4 12 Figura 917 a Pórtico e diagramas MEI b forma defletida 335 Seção 93 Método dos momentos de áreas Calcule a deflexão horizontal do nó B do pórtico mostrado na Figura 918a EI é constante em todos os membros Suponha que a almofada de elastômero em C atua como um rolo C A B 10 kips 20 kips P 20 kips 10 kips a 12 120 EI 120 EI x 9 x 8 x 4 6 nó rígido almofada de elastômero 6 Solução Comece estabelecendo a inclinação da viga no nó B em que Assim uB EI a 1 12 b 480 EI radianos tCB 1 2 a 120 EI b 1122 182 5760 EI e L 12 ft uB tCB L 5760 1 em que Assim uB EI a 1 12 b 480 EI radianos tCB 1 2 a 120 EI b 1122 182 5760 EI e L 12 ft uB tCB L 5760 Visto que o nó B é rígido a parte superior da coluna AB também gira por um ângulo uB ver Figura 918c Como a deflexão B no nó B é igual à distância horizontal AD na base da coluna podemos escrever 13680 EI 120 EI 162 192 1 2 a 120 EI b 162 142 1122 a 480 EI b B AD tAB 12uB Resp em que tAB é igual ao momento do diagrama MEI entre A e B sobre A e o diagrama MEI é dividido em duas áreas E x E m P L O 9 1 2 12 12 tangente em B linha vertical tangente em B B B C C A D tCB tAB B B B B B b B B B c posição defletida 90 Figura 918 a Pórtico e diagramas MEI b forma defletida c detalhe do nó B na posição defletida 336 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos 94 Método da carga elástica O método da carga elástica é um procedimento para calcular inclina ções e deflexões em vigas com apoios simples Embora os cálculos desse método sejam idênticos aos do método dos momentos das áreas o proce dimento parece mais simples pois substituímos cálculos de desvios tan genciais e mudanças na inclinação pelo procedimento mais familiar de construção de diagramas de cortantes e momentos para uma viga Assim o método da carga elástica elimina a necessidade de 1 desenhar um esboço preciso da forma defletida do membro e 2 considerar quais des vios tangenciais e mudanças de ângulo devem ser avaliados para estabe lecer a deflexão ou a inclinação em um ponto específico No método da carga elástica imaginamos que o diagrama MEI cujas ordenadas representam uma mudança de ângulo por unidade de comprimento é aplicado na viga como uma carga a carga elástica Então calculamos os diagramas de cortantes e momentos Conforme demonstraremos a seguir as ordenadas dos diagramas de cortantes e momentos em cada ponto são iguais à inclinação e à deflexão respecti vamente na viga real Para ilustrar que o cortante e o momento em uma seção produzidos por uma mudança de ângulo aplicada a uma viga com apoios simples como uma carga fictícia são iguais à inclinação e à deflexão na mesma seção examinaremos a forma defletida de uma viga cujo eixo longitudi nal é composto de dois segmentos retos que se interceptam em um pequeno ângulo u A geometria do membro curvado é mostrada pela linha cheia na Figura 919 Se a viga ABC estiver conectada no apoio em A de modo que o seg mento AB seja horizontal a extremidade direita da viga em C estará localizada a uma distância C acima do apoio C Em termos das dimen sões da viga e do ângulo u ver triângulo CBC encontramos 1 C u1L x2 A linha inclinada AC que conecta as extremidades da viga faz um ângulo uA com um eixo horizontal através de A Considerando o triângulo retângulo ACC podemos expressar uA em termos de C como 2 uA C L Substituindo a Equação 1 na Equação 2 resulta 3 uA u1L x2 L Agora giramos o membro ABC no sentido horário sobre o pino em A até que a corda AC coincida com a linha horizontal AC e o ponto C repouse no rolo em C A posição final da viga é mostrada pela linha tra cejada grossa ABC Como resultado da rotação o segmento AB inclina para baixo e à direita em um ângulo uA Figura 919 Viga com uma mudança de ângulo u no ponto B A A L x B C A B C L x C B 337 Seção 94 Método da carga elástica Para expressar B a deflexão vertical em B em termos da geometria do membro defletido consideramos o triângulo ABB Supondo que os ângulos são pequenos podemos escrever 4 B uAx Substituindo uA dado pela Equação 3 na Equação 4 temos 5 B u 1L x2x L Alternativamente podemos calcular valores idênticos de uA e B cal culando o cortante e o momento produzidos pela mudança de ângulo u aplicada como uma carga elástica no ponto B da viga ver Figura 920a A soma dos momentos sobre o apoio C para calcular RA produz 6 RA u1L x2 L u 1L x2 RAL 0 A MC 0 Após o cálculo de RA desenhamos os diagramas de cortantes e momentos da maneira usual ver Figura 920b e c Como o cortante ime diatamente à direita do apoio A é igual a RA observamos que o cortante dado pela Equação 6 é igual à inclinação dada pela Equação 3 Além disso como o cortante é constante entre o apoio e o ponto B a inclinação da estrutura real também deve ser constante na mesma região Reconhecendo que o momento MB no ponto B é igual à área sob o diagrama de cortantes entre A e B encontramos 7 B MB u 1L x2x L Comparando o valor das deflexões em B dado pelas equações 5 e 7 verificamos que o momento MB produzido pela carga u é igual ao valor de B baseado na geometria da viga fletida Também observamos que a deflexão máxima ocorre na seção em que o cortante produzido pela carga elástica é zero Convenção de sinais Se tratarmos os valores positivos do diagrama MEI aplicado na viga como uma carga distribuída atuando para cima e os valores negativos de MEI como uma carga para baixo um cortante positivo denota uma incli nação positiva e um cortante negativo uma inclinação negativa ver Figura 921 Além disso os valores negativos de momento indicam uma deflexão para baixo e os valores positivos de momento indicam uma deflexão para cima Os exemplos 913 e 914 ilustram o uso do método da carga elástica para calcular deflexões de vigas com apoios simples L x x x L L RA RC a cortante inclinação b momento deflexão c L x L MB B x L x L C B A Figura 920 a Mudança de ângulo u aplicada como uma carga no ponto B b o cortante pro duzido pela carga u é igual à inclinação na viga real c o momento produzido por u é igual à deflexão na viga real ver Figura 919 M EI y y x V V V M x a b c M M Figura 921 a Carga elástica positiva b cor tante positivo e inclinação positiva c momento positivo e deflexão positiva para cima 338 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos Calcule a deflexão máxima e a inclinação em cada apoio para a viga da Figura 922a Note que EI é uma constante Solução Conforme mostrado na Figura 922b o diagrama MEI é aplicado na viga como uma carga para cima As resultantes das cargas triangulares distribuídas entre AB e BC que são iguais a 720EI e 360EI respectiva mente estão mostradas com setas escuras Isto é e 1 2 162 a 120 EI b 360 EI 1 2 1122 a 120 EI b 720 EI Usando as resultantes calculamos as reações nos apoios A e C Os diagramas de cortantes e momentos desenhados da maneira convencio nal estão plotados na Figura 922c e d Para estabelecer o ponto de deflexão máxima localizamos o ponto de cortante zero determinando a área sob a curva de carga mostrada sombreada necessária para equili brar a reação à esquerda de 480EI 1 1 2 xy 480 EI Empregando triângulos semelhantes ver Figura 922b temos e 2 y 10 EI x y 120 1EI2 x 12 Substituindo a Equação 2 na Equação 1 e resolvendo para x temos x 296 98 ft Para avaliar a deflexão máxima calculamos o momento em x 98 ft somando os momentos das forças que atuam no corpo livre à esquerda de uma seção pela viga nesse ponto Ver área sombreada na Figura 922b máx M 480 EI 1982 1 2 xy a x 3 b Utilizando a Equação 2 para expressar y em termos de x e substi tuindo x 98 ft calculamos máx 31353 EI T Resp Os valores das inclinações da extremidade lidos diretamente do diagrama de cortantes na Figura 922c são uA 480 EI uC 600 EI Resp E x E m P L O 9 1 3 A C B 10 kips 30 kips 20 kips a 12 6 y cargas elásticas b cortante inclinação c momento deflexão d 8 720 EI x 360 EI 120 EI 480 EI 480 EI 31353 EI 600 EI 600 EI 6 4 x 98 Figura 922 a Viga b viga carregada pelo diagrama MEI c variação da inclinação d forma defletida 339 Calcule a deflexão no ponto B da viga da Figura 923a Além disso localize o ponto de deflexão máxima E é uma constante mas I varia conforme mostrado na figura Solução Para estabelecer a curva MEI dividimos as ordena das do diagrama de momentos ver Figura 923b por 2EI entre A e B e por EI entre B e C O diagrama MEI resultante é aplicado na viga como uma carga para cima na Figura 923c A deflexão máxima ocorre 485 m à esquerda do apoio C onde o cortante elástico é igual a zero Figura 923d Para calcular a deflexão em B calculamos o momento produzido nesse ponto pelas cargas elásticas usando o corpo livre mostrado na Figura 923e Somando os momentos das cargas aplicadas sobre B calculamos B 1150 EI T B MB 600 EI 122 39167 EI 162 Resp E x E m P L O 9 1 4 a 6 m 3 m 100 3 kN 300 kN m 100 3 kN A B I 2I C b momento kN m 300 R1 c 4 m 35 m 1 m 05 m cargas elásticas 58333 EI 100 EI 150 EI 200 EI 75 EI R2 300 EI R3 600 EI 39167 EI d 485 m cortante inclinação 39167 EI 58333 EI MB e 6 m x 2 m 39167 EI 600 EI Figura 923 Seção 94 Método da carga elástica 340 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos 95 Método da viga conjugada Na Seção 94 usamos o método da carga elástica para calcular incli nações e deflexões em pontos de uma viga com apoios simples O método da viga conjugada assunto desta seção permitenos estender o método da carga elástica para vigas com outros tipos de apoios e condições de con torno substituindo os apoios reais por apoios conjugados para produzir uma viga conjugada O efeito desses apoios fictícios é impor condições de contorno que garantam que o cortante e o momento produzidos em uma viga carregada pelo diagrama MEI sejam respectivamente iguais à inclinação e à deflexão na viga real Para explicar o método consideramos a relação entre o cortante e o momento produzidos pelas cargas elásticas e a forma defletida da viga em balanço mostrada na Figura 924a O diagrama MEI associado à carga concentrada P atuando na estrutura real estabelece a curvatura em todos os pontos ao longo do eixo da viga ver Figura 924b Por exemplo em B onde o momento é zero a curvatura é zero Por outro lado em A a curvatura é máxima e igual a PLEI Como a curvatura é negativa em todas as seções ao longo do eixo do membro a viga é curvada com concavidade para baixo em todo o seu comprimento con forme mostrado pela curva rotulada como 1 na Figura 924c Embora a forma defletida dada pela curva 1 seja coerente com o diagrama MEI reconhecemos que ela não representa a forma correta da viga em balanço pois a inclinação na extremidade esquerda não é coerente com as condições de contorno impostas pelo apoio fixo em A isto é a incli nação e a deflexão em A deve ser zero como mostrado pela curva rotulada como 2 Portanto podemos argumentar que se a inclinação e a deflexão em A devem ser zero os valores do cortante elástico e do momento elástico em A também devem ser iguais a zero Como a única condição de con torno que satisfaz esse requisito é uma extremidade livre devemos imaginar que o apoio A é removido se não existe nenhum apoio nenhuma reação pode se desenvolver Estabelecendo a inclinação e a deflexão corretas na extremidade do membro garantimos que este seja orientado corretamente Por outro lado visto que pode existir inclinação e deflexão na extre midade livre da viga em balanço real um apoio que tenha a capacidade de cortante e momento deve ser fornecido em B Portanto na viga conju gada devemos introduzir um apoio fixo imaginário em B A Figura 924d mostra a viga conjugada carregada pelo diagrama MEI As reações em B na viga conjugada produzidas pela carga elástica diagrama MEI for necem a inclinação e a deflexão na viga real A Figura 925 mostra os apoios conjugados correspondentes a uma variedade de apoiospadrão Dois apoios que não discutimos anterior mente o rolo interno e a articulação são mostrados na Figura 925d e e A B P a b c d 1 2 A A 0 L PL EI A A B B PL EI PL2 2EI RB PL3 3EI MB M EI Figura 924 a Forma defletida de uma viga em balanço b diagrama MEI que estabelece a variação da curvatura c a curva 1 mostra uma forma defletida coerente com o diagrama MEI em b mas não com as condições de contorno presentes em A A curva 2 mostra a curva 1 rota cionada no sentido horário como um corpo rígido até que a inclinação em A seja horizontal d viga conjugada com carga elástica 341 Seção 95 Método da viga conjugada Como um rolo interno Figura 925d fornece apenas restrição ver tical a deflexão no rolo é zero mas o membro está livre para girar Uma vez que o membro é contínuo a inclinação é a mesma em cada lado do nó Para satisfazer esses requisitos geométricos o apoio conju gado deve ter capacidade zero para momento portanto deflexão zero mas deve permitir a existência de valores de cortante iguais em cada lado do apoio daí a articulação Apoio real Apoio conjugado a b Pino ou rolo 0 0 c d e Pino ou rolo 0 0 M V Extremidade livre 0 0 Extremidade fixa Extremidade fixa Extremidade livre 0 0 M M V 0 0 L R 0 0 M V Apoio interno 0 0 L R 0 VL VR Articulação 0 M Articulação 0 podem ter valores diferentes e R L R L podem ter valores diferentes VL VL e VR VR Rolo interno 0 M M VL VR V V Figura 925 Apoios conjugados 342 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos Como uma articulação não fornece nenhuma restrição contra deflexão ou rotação em uma estrutura real ver Figura 925e o dispositivo intro duzido na estrutura conjugada deve garantir que possa se desenvolver momento assim como diferentes valores de cortante em cada lado do nó Essas condições são fornecidas usandose um rolo interno na estrutura conjugada O momento pode se desenvolver pois a viga é contínua ao longo do apoio e o cortante obviamente pode ter diferentes valores em cada lado do rolo A Figura 926 mostra as estruturas conjugadas correspondentes a oito exemplos de estruturas reais Se a estrutura real é indeterminada a estru tura conjugada será instável ver Figura 926e a h Você não precisa se preocupar com essa condição pois verá que o diagrama MEI produzido pelas forças que atuam na estrutura real produz cargas elásticas que man têm a estrutura conjugada em equilíbrio Por exemplo na Figura 927b mostramos a estrutura conjugada de uma viga de extremidade fixa carre gada pelo diagrama MEI associado a uma carga concentrada aplicada no Viga r eal Viga conjugada a b c d e f g h Figura 926 Exemplos de vigas conjugadas 343 meio do vão na viga real Aplicando as equações na estrutura inteira podemos verificar que a estrutura conjugada está em equilíbrio com rela ção ao somatório de forças na direção vertical e ao de momentos sobre qualquer ponto Resumindo para calcular deflexões em qualquer tipo de viga pelo método da viga conjugada procedemos como segue 1 Estabelecemos diagrama de momentos da estrutura real 2 Produzimos o diagrama MEI dividindo todas as ordenadas por EI Variação de E ou I pode ser levada em conta nesta etapa 3 Estabelecemos a viga conjugada substituindo os apoios ou articulações reais pelos apoios conjugados correspondentes mostrados na Figura 925 4 Aplicamos o diagrama MEI como carga na estrutura conjugada e calculamos o cortante e o momento nos pontos em que inclinação ou deflexão é necessária Os exemplos 915 a 917 ilustram o método da viga conjugada Figura 927 a Viga com extremidades fixas e carga concentrada no meio do vão b viga con jugada carregada com o diagrama MEI A viga conjugada que não tem apoios é mantida em equilíbrio pelas cargas aplicadas P L 2 a b L PL 8EI L 4 PL 8EI PL 8EI L 4 Seção 95 Método da viga conjugada 344 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos Para a viga da Figura 928 use o método da viga conjugada para determinar o valor máximo da deflexão entre os apoios A e C e na ponta do balanço EI é constante E x E m P L O 9 1 5 10 kips 20 kips 30 kips a b c RA RD d e 98 6 x y 18 120 EI 120 momento kip ft 6 3600 EI 480 EI 480 EI 3136 EI 600 EI 600 EI 3600 EI reta 600 EI 12 6 6 A B C D 10 kips 20 kips 30 kips a b c RA RD d e 98 6 x y 18 120 EI 120 momento kip ft 6 3600 EI 480 EI 480 EI 3136 EI 600 EI 600 EI 3600 EI reta 600 EI 12 6 6 A B C D Figura 928 a Detalhes da viga b diagrama de momentos c viga conjugada com cargas elásticas d cortante elástico inclinação e momento elástico deflexão Solução A viga conjugada com o diagrama MEI aplicado como uma carga para cima é mostrada na Figura 928c Ver na Figura 925 a correspon dência entre os apoios reais e conjugados Calcule a reação em A somando os momentos sobre a articulação 345 Calcule RD R D 600 EI 720 EI 360 EI 480 EI R D 0 c Fy 0 R A 480 EI 18R A 7201102 EI 360 142 EI 0 A Marticulação 0 Desenhe os diagramas de cortantes e momentos ver Figura 928d e e O momento em D igual à área sob o diagrama de cortantes entre C e D é MD 600 EI 6 3600 EI Localize o ponto de cortante zero à direita do apoio A para estabe lecer a localização da deflexão máxima determinando a área mostrada sombreada sob a curva de carga exigida para equilibrar RA 1 1 2 xy 480 EI Dos triângulos semelhantes ver Figura 928c 2 y 120 EI x 12 e y 10 EI x Substituindo a Equação 2 na Equação 1 e resolvendo para x temos x 296 98 ft Calcule o valor máximo do momento negativo Como o diagrama de cortantes à direita do apoio A é parabólico área 2 3 bh máx Mmáx 2 3 1982 a 480 EI b 3136 EI Resp Calcule a deflexão em D D MD 3600 EI Resp Seção 95 Método da viga conjugada 346 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos Compare a magnitude do momento necessário para produzir um valor de rotação unitário uA 1 rad na extremidade esquerda das vigas da Figura 929a e c Exceto quanto aos apoios da extremidade direita um pino versus uma extremidade fixa as dimensões e propriedades das duas vigas são idênticas e EI é constante A análise indica que um momento M no sentido horário aplicado na extremi dade esquerda da viga da Figura 929c produz no apoio fixo um momento M2 no sentido horário E x E m P L O 9 1 6 A a 1 rad A L M B b L 3 RA 1 x M EI ML 2EI ML 6EI RB M c M 2 A 1 rad d 1 M EI ML 2EI ML 2EI ML 4EI Figura 929 Efeito da restrição da extremi dade na rigidez à flexão a viga carregada em A com a outra extremidade presa com pino b estrutura conjugada da viga em a carregada com MEI c viga carregada em A com a outra extremidade fixa d estrutura conjugada da viga em c carregada com MEI Solução A viga conjugada da viga com pino na extremidade direita da Figura 929a é mostrada na Figura 929b Visto que o momento M aplicado produz uma rotação no sentido horário de 1 rad em A a reação no apoio esquerdo é igual a 1 Como a inclinação em A é negativa a reação atua para baixo Para calcular a reação em B somamos os momentos sobre o apoio A RB ML 6EI 0 RBL ML 2EI aL 3 b A MA 0 347 Somando as forças na direção y expressamos M em termos das pro priedades do membro como 1 M 3EI L 0 1 ML 2EI ML 6EI c Fy 0 Resp A viga conjugada da viga com extremidade direita fixa da Figura 929c é mostrada na Figura 929d O diagrama MEI de cada momento de extremidade está desenhado separadamente Para expressar M em termos das propriedades da viga somamos as forças na direção y 2 M 4EI L 0 1 ML 2EI 1 2 ML 2EI c Fy 0 Resp NotA A rigidez à flexão absoluta de uma viga pode ser definida como o valor do momento na extremidade necessário para girar a extremidade de uma viga apoiada em um rolo em uma extremi dade e fixa na outra ver Figura 929c por um ângulo de 1 radiano Embora a escolha das condições de contorno seja um tanto arbitrária esse conjunto de condições de contorno em particular é conveniente pois é semelhante às condições de extremidade de vigas analisadas pela distribuição de momento uma técnica para analisar vigas e pórticos indeterminados abordada no Capítulo 13 Quanto mais rígida a viga maior o momento necessário para produzir uma rotação unitária Se um apoio fixo for substituído por um apoio de pino como mostrado na Figura 929a a rigidez à flexão da viga diminuirá pois o rolo não aplica um momento de restrição na outra extremidade do membro Como este exemplo mostra comparando os valores de momento necessários para produzir uma rotação unitária ver equa ções 1 e 2 a rigidez à flexão de uma viga presa na outra extremidade com pino equivale a três quartos da de uma viga com a outra extre midade fixa M 3 4 M M M 3EIL 4EIL Seção 95 Método da viga conjugada 348 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos Determine a deflexão máxima da viga da Figura 930 EI é uma constante Solução As ordenadas do diagrama de momentos produzido pelas cargas concentradas que atuam na estrutura real da Figura 930a são divididas por EI e aplicadas como uma carga distri buída na viga conjugada da Figura 930b Em seguida dividi mos a carga distribuída em áreas triangulares e calculamos a resultante mostrada por meio de setas escuras de cada área Calcule RE RE 81P EI 36P EI 162 18P EI 142 18P EI 182 54P EI 1102 12RE 0 B MC 0 Calcule RC Compute RC R C 135P EI 54P EI 18P EI 18P EI 81P EI 36P EI R C 0 c Fy 0 Para estabelecer a variação da inclinação e da deflexão ao longo do eixo da viga construímos os diagramas de cortantes e momentos para a viga conjugada ver Figura 930c e d A deflexão máxima que ocorre no ponto C a localização da articulação real é igual a 756PEI Esse valor é estabelecido avaliandose o momento produzido pelas forças que atuam na viga conjugada à esquerda de uma seção através de C ver Figura 930b E x E m P L O 9 1 7 P 2P MA 18P 2P P a 6 6 6 6 A B C D E b 4 4 6 10 18P EI 54P EI 18P EI 36P EI 81P RE EI 135P EI RC 18P EI 6P EI 6P EI E C c 90P EI 45P EI 81P EI d 756P EI Figura 930 a Viga b viga conjugada com cargas elásticas c cortante elástico inclina ção d momento elástico deflexão 349 Seção 96 Ferramentas para projeto de vigas 96 Ferramentas para projeto de vigas Para serem projetadas corretamente as vigas devem ter rigidez e resis tência adequadas Sob cargas de serviço as deflexões devem ser limitadas para que os elementos não estruturais agregados divisórias tubulações tetos de gesso e janelas não sejam danificados ou se tornem inoperan tes por causa de deflexões grandes Obviamente vigas de piso que cedem ou vibram excessivamente quando são aplicadas sobrecargas não são satisfatórias Para limitar as deflexões sob sobrecarga a maioria dos códi gos de construção especifica um valor máximo de deflexão por sobre carga como uma fração do comprimento do vão é comum um limite entre 1360 a 1240 do comprimento do vão Se vigas de aço cedem excessivamente sob carga permanente podem ter contraflechas Isto é são fabricadas com uma curvatura inicial por meio de laminação ou tratamento com calor para que o centro da viga fique levantado por um valor igual ou maior do que a deflexão causada pela carga permanente Figura 931 O Exemplo 1012 ilustra um proce dimento simples para relacionar curvatura com contraflecha Para abaular vigas de concreto armado o centro dos moldes pode ser levantado por um valor igual ou ligeiramente maior do que as deflexões causadas pela carga permanente Na prática os projetistas normalmente utilizam tabelas de manuais e guias de projeto ao avaliar as deflexões de vigas para uma variedade de condições de carga e apoio O manual of steel construction publicado pelo American Institute of Steel Construction AISC é uma fonte de informações excelente A Tabela 91 fornece valores de deflexões máximas assim como dia gramas de momento para diversas condições de apoio e carga de vigas Faremos uso dessas equações no Exemplo 918 Figura 931 Viga fabricada com contraflecha contraflecha 350 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos Uma viga de aço com apoios simples e 30 pés de comprimento suporta uma carga permanente uniforme de 04 kipft que inclui o peso da viga e uma parte do piso e do teto apoiados diretamente na viga Figura 932 A viga também é carregada em seus pontos de um terço por duas cargas concentradas iguais que consistem em 144 kips de carga permanente e 82 kips de sobrecarga Para suportar essas cargas o projetista seleciona uma viga de aço de abas largas com 16 pol de altura com módulo de elastici dade E 29 000 ksi e momento de inércia I 758 pol4 a Especifique a contraflecha necessária da viga para compensar a deflexão causada pela carga permanente total e 50 da deflexão cau sada pela sobrecarga b Verifique se somente sob a sobrecarga a viga não deflete mais do que 1360 do comprimento de seu vão Essa cláusula garante que a viga não será excessivamente flexível e vibre quando a sobrecarga atuar Solução Primeiramente calculamos a contraflecha necessária para a carga permanente usando as equações de deflexão dadas pelos casos 1 e 3 na Tabela 91 a A deflexão causada pela carga permanente produzida pela carga uniforme é D1 5wL4 384EI 5 1042 1302 4117282 384 129000 2 17582 033 pol A deflexão causada pela carga permanente produzida pelas cargas concentradas é D2 108 pol D2 Pa 13L2 4a22 24EI 144 1102 33 1302 2 4 1102 24 11728 2 24 129000 2 17582 Deflexão total causada pela carga permanente DT D1 D2 033 108 141 pol Deflexão causada pela sobrecarga L Pa 13L2 4a22 24EI 82 1102 33 1302 2 4 1102 24 117282 24 129000 2 17582 L 062 pol DT 1 2L 141 062 2 172 pol Contraflecha necessária Resp b A deflexão permitida causada pela sobrecarga é L 360 30 12 360 1 pol 7062 pol Resp Portanto está OK E x E m P L O 9 1 8 Figura 932 A viga presa às colunas por meio de cantoneiras ligadas à alma é analisada como uma viga determinada com apoios simples wD 04 kipft PL 82 kips PD 144 kips PL 82 kips PD 144 kips 10 10 10 351 TAbElA 91 Diagramas de momentos e equações para deflexão máxima L w máx máx wL 2 M M M M M M M wL 2 1 5 2 6 3 7 4 8 wL2 8 5wL4 384EI L P máx máx PL 4 L 2 L 2 P 2 P 2 PL3 48EI L P P máx máx 3L2 4a2 Pa a a P P Pa 24EI L P P máx máx PL3 3EI PL L máx máx L a M Pa a P 1 Pa L a L Pa2 3EI L w P máx máx wL4 384EI wL2 12 wL2 12 wL2 12 wL2 24 wL2 12 máx PL 8 PL P 2 P 2 PL 8 PL 8 PL 8 PL 8 L P máx PL3 192EI L wL máx máx wL4 8EI wL2 2 wL2 2 w wL 2 wL 2 352 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos Resumo As deflexões máximas de vigas e pórticos devem ser verificadas para garantir que as estruturas não sejam excessivamente flexíveis Grandes deflexões de vigas e pórticos podem produzir rachaduras nos elementos não estruturais agregados paredes de alvenaria e azulejo janelas etc assim como vibrações excessivas de pisos e de estrados superiores de pontes sob cargas em movimento A deflexão de uma viga ou pórtico é uma função do momento fletor M e da rigidez à flexão do membro que está relacionada ao momento de inércia I e ao módulo de elasticidade E de um membro As deflexões devido ao cortante normalmente são desprezadas a não ser que os membros sejam muito altos as tensões de cisalhamento sejam altas e o módulo de cisalhamento G seja baixo Para estabelecer as equações da inclinação e da deflexão da curva elástica a forma defletida da linha central da viga começamos o estudo das deflexões integrando a equação diferencial da curva elástica d 2y dx 2 M EI Esse método tornase inadequado quando as cargas variam de maneira complexa Em seguida consideramos o método dos momentos das áreas que utiliza o diagrama MEI como carga para calcular inclinações e deflexões em pontos selecionados ao longo do eixo da viga Esse método descrito na Seção 93 exige um esboço preciso da forma defletida O método da carga elástica uma variação do método dos momentos das áreas que pode ser usado para calcular inclinações e deflexões em vigas com apoios simples foi examinado Nesse método o diagrama MEI é aplicado como carga O cortante em qualquer ponto é a inclinação e o momento é a deflexão Os pontos de deflexões máximas ocorrem onde o cortante é zero O método da viga conjugada uma variação do método da carga elástica aplicase aos membros com uma variedade de condições de contorno Esse método exige que os apoios reais sejam substituídos por apoios fictícios para impor condições de contorno que garantam que os valores de cortante e momento na viga conjugada carregada pelo diagrama MEI sejam iguais em cada ponto à inclinação e à deflexão respectivamente da viga real Uma vez estabelecidas as equações para avaliar as deflexões máximas para uma viga e uma carga em particular tabelas disponíveis em livros de referência de engenharia estrutural consultar Tabela 91 fornecem todos os dados importantes necessários para analisar e projetar vigas 353 Problemas Resolva os problemas P91 a P96 pelo método da integração dupla EI é constante para todas as vigas P91 Deduza as equações da inclinação e deflexão para a viga em balanço da Figura P91 Calcule a incli nação e a deflexão em B Expresse a resposta em ter mos de EI L A B P P91 P92 Deduza as equações da inclinação e deflexão para a viga da Figura P92 Compare a deflexão em B com a deflexão no meio do vão L A B w P92 P93 Deduza as equações da inclinação e deflexão para a viga da Figura P93 Calcule a deflexão máxima Dica a deflexão máxima ocorre no ponto de inclinação zero L A M B M 2 P93 PROBLEmAs P94 Deduza as equações da inclinação e deflexão para a viga da Figura P94 Localize o ponto de deflexão máxima e calcule sua magnitude L A w B P94 P95 Estabeleça as equações da inclinação e da defle xão para a viga da Figura P95 Avalie a magnitude da inclinação em cada apoio Expresse a resposta em ter mos de EI L A M M 2 B P95 P96 Deduza as equações da inclinação e da deflexão para a viga da Figura P96 Determine a inclinação em cada apoio e o valor da deflexão no meio do vão Dica aproveite a simetria a inclinação é zero no meio do vão P A B L 2 L 2 P96 354 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos Resolva os problemas P97 a P911 pelo método dos momentos das áreas Salvo indicação em contrário EI é uma constante para todos os membros As respostas podem ser expressas em termos de EI salvo indicação em contrário P97 Calcule a inclinação e a deflexão nos pontos B e C na Figura P97 8 m 4 m 120 kN m A C B P97 P98 a Calcule a inclinação em A e C e a deflexão em B na Figura P98 b Localize e calcule a magnitude da deflexão máxima A A B C 12 6 P 15 kips P98 P99 Calcule a inclinação em A e C e a deflexão em B para a viga da Figura P99 4 m C B A D E 4 m 4 m 10 kN 10 kN 4 m P99 P910 a Calcule a inclinação em A e a deflexão no meio do vão na Figura P910 b Se a deflexão no meio do vão não pode ultrapassar 12 pol qual é o valor mínimo exigido de I E 29 000 kipspol2 A B 2I I I C D E P 30 kips 18 6 6 P910 P911 a Encontre a inclinação e a deflexão em A na Figura P911 b Determine a localização e a magnitude da deflexão máxima no vão BC A B 2I I I C D 10 kips 10 kips 12 6 6 P911 Resolva os problemas P912 a P917 pelo método dos momentos das áreas EI é constante P912 Calcule as inclinações da viga da Figura P912 em cada lado da articulação em B a deflexão da articu lação e a deflexão máxima no vão BC O apoio de elas tômero em C atua como um rolo A B 2I I C 45 kipft 9 9 12 P912 355 Problemas P913 Calcule a inclinação no apoio A e a deflexão no ponto B Trate o balancim em D como um rolo Expresse a resposta em termos de EI 2P P L 4 A B D C L 2 L 4 P913 P914 Determine a deflexão máxima no vão AB e a deflexão de C na Figura P914 Expresse as respostas em termos de M E I e L L L 3 A M B C P914 P915 Determine a inclinação e a deflexão do ponto C na Figura P915 Dica desenhe diagramas de momentos por partes A B C 3 m 2 m 9 kNm 30 kN P915 P916 A viga de teto de um prédio está sujeita à carga mostrada na Figura P916 Supondo que seja permitida uma deflexão de 38 pol na extremidade em balanço da viga antes de haver danos nos materiais do teto e do telhado calcule o momento de inércia exigido para a viga Use E 29 000 ksi 072 kipft 048 kipft 10 10 24 kips B A C P916 P917 Usando o método dos momentos das áreas calcule a inclinação e a deflexão sob a carga de 32 kips em B As reações são dadas I 510 pol4 e E 29 000 kipspol2 Esboce a forma defletida 12 A B C D E 12 12 12 96 kip ft 32 kips 32 kips 96 kip ft RE 16 kips RC 32 kips RA 16 kips P917 Resolva os problemas P918 a P922 pelo método dos momentos das áreas EI é constante salvo indicação em contrário P918 Calcule a deflexão dos pontos B e D na Figura P918 A almofada de elastômero em C atua como um rolo 12 kips almofada de elastômero 6 6 3 C A B D P918 356 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos P919 Calcule a inclinação e a deflexão vertical no ponto C e o deslocamento horizontal no ponto D IAC 800 pol4 ICD 120 pol4 e E 29 000 kipspol2 10 kips 18 kips 9 3 6 C B A D P919 P920 O momento de inércia da viga da Figura P920 é duas vezes maior do que o da coluna Se a deflexão verti cal em D não deve passar de 1 pol e se a deflexão horizon tal em C não deve passar de 05 pol qual é o valor mínimo exigido do momento de inércia E 29 000 kipspol2 A almofada de elastômero em B é equivalente a um rolo B C D 2I 2I I A 4 kips 6 12 9 P920 P921 Calcule o deslocamento vertical da articulação em C na Figura P921 EI é constante B C D E A 12 articulação 12 12 w 2 kipsft w 2 kipsft P921 P922 A carga que atua em uma coluna que suporta uma escada e um revestimento de madeira externo está mostrada na Figura P922 Determine o momento de inércia exigido para a coluna de modo que a deflexão lateral máxima não passe de 14 pol um critério defi nido pelo fabricante do revestimento de madeira Use E 29 000 kipspol2 25 75 75 B D A C P922 Resolva os problemas P923 a P927 pelo método dos momentos das áreas EI é constante P923 Calcule a inclinação em A e as componentes horizontais e verticais da deflexão no ponto D na Figura P923 B C D A 9 kips 6 kips 6 12 6 P923 357 Problemas P924 Qual é o valor da força P exigido em C na Figura P924 se a deflexão vertical em C deve ser zero 6 A B C 12 kips P 4 P924 P925 Se a deflexão vertical da viga no meio do vão isto é no ponto C deve ser zero determine a magni tude da força F EI é constante Expresse F em termos de P e EI L 4 F A B C D E P P L 4 L 4 L 4 P925 P926 Calcule o deslocamento horizontal do nó B na Figura P926 É dado o diagrama de momentos produ zido pela carga de 12 kips As bases das colunas nos pontos A e E podem ser tratadas como apoios fixos Dica comece esboçando a forma defletida usando os diagramas de momentos para estabelecer a curvatura dos membros Momentos em unidades de kip ft A B C D E 12 kips 581 581 664 448 448 191 323 15 30 15 P926 P927 Calcule a rotação em B e a deflexão vertical em D Dados E 200 GPa IAC 400 106 mm4 e IBD 800 106 mm4 A B C D 3 m 3 m 4 m 300 kN P927 P928 O pórtico mostrado na Figura P928 é carregado por uma carga horizontal em B Calcule os deslocamen tos horizontais em B e D usando o método dos momen tos das áreas Para todos os membros E 200 GPa e I 500 106 mm4 A B C D 100 kN 12 m 5 m 5 m P928 358 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos Resolva os problemas P929 a P932 pelo método da viga conjugada P929 Calcule a inclinação e a deflexão no ponto B da viga em balanço da Figura P929 EI é constante 15 kips 9 A B P929 P930 O diagrama de momento de uma viga de extre midades fixas com momento externo de 200 kip ft aplicado no meio do vão está mostrado na Figura P930 Determine a deflexão vertical máxima e a inclinação máxima e suas localizações 15 15 A C B 200 kip ft 100 kip ft 50 50 100 P930 P931 Calcule a inclinação e a deflexão no ponto C e a deflexão máxima entre A e B para a viga da Figura P931 As reações são dadas e EI é constante A almo fada de elastômero em B é equivalente a um rolo 6 kips 9 kips 3 kips 3 9 A MA 9 kip ft B C P931 P932 Determine a rigidez à flexão da viga da Figura P932 ver critérios no Exemplo 916 para a momento aplicado em A e b momento aplicado em C E é constante A B C L 2 I 2I L 2 P932 P933 Usando o método da viga conjugada calcule a deflexão máxima no vão BD da viga da Figura P933 e a inclinação em cada lado da articulação A B D E C 8 kips 6 6 articulação 6 4 P933 359 Problemas P934 Resolva o problema P911 pelo método da viga conjugada P935 Resolva o problema P912 pelo método da viga conjugada P936 Resolva o problema P917 pelo método da viga conjugada P937 Para a viga mostrada na Figura P937 use o método da viga conjugada para calcular a deflexão vertical e a rotação à esquerda e à direita da articula ção em C Dados E 200 GPa IAC 100 106 mm4 e ICF 50 106 mm4 A D E F C B 5 m 5 m 5 m 5 m 10 m 10 kN 100 kN m P937 Aplicações práticas de cálculos de deflexão P938 A viga de concreto armado mostrada na Figura P938a é protendida por um cabo de aço que causa uma força de compressão de 450 kips com uma excen tricidade de 7 pol O efeito externo da protensão é aplicar uma força axial de 450 kips e momento igual MP 2625 kip ft nas extremidades da viga Figura P938b A força axial faz a viga encurtar mas não produz nenhuma deflexão de curvatura Os momentos de extremidade MP curvam a viga para cima Figura P938c de modo que o peso inteiro da viga é apoiado nas extremidades e o membro atua como uma viga com apoios simples Quando a viga curvase para cima seu peso atua como uma carga uniforme para produzir deflexão para baixo Determine a contrafle cha inicial da viga no meio do vão imediatamente após o cabo ser tensionado Nota Com o passar do tempo a deflexão inicial aumentará devido à deforma ção por um fator de aproximadamente 100 a 200 A deflexão no meio do vão devido aos dois momentos de extremidade é igual a ML28EI Dados I 46 656 pol4 A 432 pol2 peso da viga wG 045 kipft e E 5 000 kipspol2 450 kips 450 kips 60 A A Seção AA tendão protendido 36 contraflecha inicial 7 12 450 kips 450 kips MP 2625 kip ft MP 2625 kip ft 2625 kip ft wG dimensões da viga a forças aplicadas no concreto pela protensão b diagrama de momentos forma defletida protensão e peso da viga atuam c P938 360 Capítulo 9 Deflexões de vigas e pórticos P939 Devido às condições de fundação inadequadas uma viga de aço de 30 polegadas de altura com uma extremidade em balanço é usada para receber uma coluna de prédio externa que suporta uma carga per manente de 600 kips e uma sobrecarga de 150 kips Figura P939 Qual é a magnitude da contraflecha inicial que deve ser causada no ponto C a ponta da viga em balanço para eliminar a deflexão produzida pela carga total Despreze o peso da viga Dados I 46 656 pol4 e ES 30 000 ksi Veja a equação da defle xão no caso 5 da Tabela 91 A ligação de cantoneira em A pode ser tratada como um pino e o apoio da placa de topo em B como um rolo A B C PD 600 kips PL 150 kips contraflecha escala incorreta 6 18 P939 P940 O pórtico de aço com nó rígido com uma base fixa no apoio A precisa suportar as cargas permanen tes e as sobrecargas mostradas na Figura P940 Tanto a coluna como a viga são construídas de membros de mesmo tamanho Qual é o momento de inércia mínimo exigido dos membros do pórtico se a deflexão vertical em D produzida por essas cargas não pode passar de 05 pol Use E 29 000 ksi P941 Estudo por computador do comporta mento de pórticos de prédio de vários andares O objetivo deste estudo é examinar o compor tamento dos pórticos de prédio fabricados com dois tipos de ligações comuns Quando espaços interiores abertos e a flexibilidade futura de uso são considera ções primordiais os pórticos de prédio podem ser construídos com ligações rígidas normalmente fabri cadas por meio de soldagem Os nós rígidos ver Figura P941b têm alto custo de fabricação atual mente na faixa de US 700 a US 850 dependendo do tamanho dos membros Como a capacidade de um pór tico soldado de resistir às cargas laterais depende da rigidez à flexão das vigas e colunas membros pesados podem ser necessários quando as cargas laterais são grandes ou quando as deflexões laterais devem ser limitadas Alternativamente os pórticos podem ser construídos de forma menos dispendiosa ligandose as almas das vigas às colunas por meio de cantoneiras ou placas chamadas de ligações para força cortante que atualmente custam cerca de US 80 cada uma Figura P941c Se forem usadas ligações para força cortante normalmente será necessário um contraventamento diagonal o qual forma uma treliça vertical profunda com as colunas e vigas de piso agregadas para propor cionar estabilidade lateral a menos que os pisos pos sam ser conectados a pilaresparede rígidos construí dos com alvenaria armada ou concreto Propriedades dos membros Neste estudo todos os membros são feitos de aço com E 29 000 kipspol2 Todas as vigas I 300 pol4 e A 10 pol2 Todas as colunas I 170 pol4 e A 12 pol2 Contraventamento diagonal usando tubos estruturais quadrados vazados de 25 pol somente para o Caso 3 ver linhas tracejadas na Figura P941a A 311 pol2 I 358 pol4 12 12 6 wD 12 kipft wL 036 kipft B C D A P940 361 Problemas 1 3 9 5 4 6 7 6 2 20 20 15 15 w 2 kipsft 12 kips 8 kips 8 7 8 1 5 4 10 9 2 3 w 2 kipsft b a pórtico estrutural contraventamentos diagonais somente para o Caso 3 c cantoneira de ligação 10 10 ligação rígida ligação para força cortante Usando o programa de computador RISA2D ana lise as cargas gravitacionais e as cargas de vento dos pórticos estruturais nos três casos a seguir Caso 1 Pórtico não contraventado com ligações rígidas a Analise o pórtico para as cargas mostradas na Figura P941a Determine as forças e deslocamentos em sete seções ao longo do eixo de cada membro Use o programa de computador para plotar os diagramas de cortantes e momentos b Determine se o deslocamento lateral relativo entre pisos adjacentes passa de 38 pol limite especi ficado para evitar a rachadura da fachada externa c Usando o programa de computador plote a forma defletida do pórtico d Observe a diferença entre as magnitudes dos deslocamentos verticais e laterais dos nós 4 e 9 Quais são suas conclusões Caso 2 Pórtico não contraventado com ligações para força cortante a Repita os passos a b e c do Caso 1 supondo que as ligações para força cortante atuam como articu P941 lações isto é podem transmitir cortante e carga axial mas nenhum momento b O que você conclui a respeito da resistência do pórtico não contraventado aos deslocamentos laterais Caso 3 Pórtico contraventado com ligações para força cortante Assim como no Caso 2 todas as vigas são ligadas às colunas com ligações para força cortante mas é adicio nado contraventamento diagonal para formar uma tre liça vertical com vigas de piso e colunas ver linhas tracejadas na Figura P941a a Repita os passos a b e c do Caso 1 b Calcule as deflexões laterais do pórtico se a área e o momento de inércia dos membros diagonais são duplicados Compare os resultados com o contraventa mento original mais leve de a para estabelecer a efi cácia do contraventamento mais pesado c Faça uma tabela comparando os deslocamentos laterais dos nós 4 e 9 para os três casos Discuta sucin tamente os resultados desse estudo Prédio de montagem de veículos espaciais da Nasa Centro Espacial Kennedy Flórida EUA Além de pro jetar prédios e pontes os engenheiros projetam estruturas de propósito especial como o invólucro do foguete a torre de apoio e a base da plataforma móvel na qual grandes foguetes são transportados para o local de lançamento C A P Í T U L O Métodos de trabalho energia para calcular deflexões 101 Introdução Quando uma estrutura é carregada seus elementos tensionados se deformam À medida que essas deformações ocorrem a estrutura muda de aspecto e pontos dela se deslocam Em uma estrutura bem projetada os deslocamentos são pequenos Por exemplo a Figura 101a mostra uma viga em balanço descarregada que foi dividida arbi trariamente em quatro elementos retangulares Quando uma carga vertical é aplicada no ponto B um momento se desenvolve ao longo do comprimento da barra Esse momento gera tensões normais de tração e compressão longitudinais que deformam os elementos retangulares em trapezoides e fazem o ponto B na ponta da viga em balanço deslo carse verticalmente para baixo até B Esse deslocamento B está mostrado em uma escala exagerada na Figura 101b Analogamente no exemplo da treliça mostrada na Figura 101c a carga aplicada P produz as forças axiais F1 F2 e F3 nas barras Essas forças fazem as barras se deformarem axialmente conforme mostrado pelas linhas tracejadas Como resultado dessas deformações o nó B da treliça se desloca diagonalmente até B Os métodos de trabalhoenergia fornecem a base de vários proce dimentos utilizados para calcular deslocamentos O trabalhoenergia serve para o cálculo de deflexões porque os deslocamentos desconhe cidos podem ser diretamente incorporados na expressão do trabalho o produto de uma força por um deslocamento No cálculo de defle xão típico a magnitude e a direção das forças de projeto são especifi cadas e as proporções dos membros são conhecidas Portanto uma vez calculadas as forças dos membros a energia armazenada em cada elemento da estrutura pode ser avaliada e igualada ao trabalho reali zado pelas forças externas aplicadas na estrutura Como o princípio da conservação de energia diz que o trabalho realizado por um sistema de forças aplicadas em uma estrutura é igual à energia de deformação armazenada na estrutura supõese que as cargas são aplicadas lenta mente para que não seja produzida energia cinética nem calorífica 10 A B a x y B B A B B A C B P F1 F2 F3 P b c Figura 101 Deformações de estruturas carrega das a viga antes de a carga ser aplicada b deformações de flexão produzidas por uma carga em B c deformações de uma treliça após a carga ser aplicada 364 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões Iniciaremos nosso estudo de trabalhoenergia examinando o trabalho realizado por uma força ou momento movendose por um pequeno des locamento Em seguida deduziremos as equações da energia armaze nada em uma viga e em uma barra carregada axialmente Por fim ilus traremos o método do trabalhoenergia também chamado de método do trabalho real calculando uma componente da deflexão de um nó de uma treliça simples Como o método do trabalho real tem sérias limitações isto é as deflexões só podem ser calculadas em um ponto onde uma força atua e somente uma única carga concentrada pode ser aplicada na estrutura a principal ênfase deste capítulo será o método do trabalho virtual O método do trabalho virtual um dos mais úteis e versáteis para calcular deflexões é aplicável a muitos tipos de elementos estruturais desde vigas e treliças simples até placas e cascas complexas Embora o trabalho virtual possa ser aplicado às estruturas que se comportam elasticamente ou inelasticamente o método exige que as alterações na geometria sejam pequenas o método não poderia ser aplicado a um cabo que sofresse uma grande alteração na geometria pela aplicação de uma carga concentrada Como vantagem adicional o trabalho vir tual permite que o projetista inclua nos cálculos de deflexão a influên cia de recalques de apoio mudanças de temperatura deformação lenta e erros de fabricação 102 Trabalho Trabalho é definido como o produto de uma força vezes um desloca mento na direção da força Nos cálculos de deflexão nos preocuparemos com o trabalho realizado por forças e por momentos Se uma força F tem magnitude constante à medida que se move do ponto A para B ver Figura 102a o trabalho W pode ser expresso como 101 W Fd em que o d é a componente do deslocamento na direção da força O tra balho é positivo quando a força e o deslocamento estão na mesma dire ção e negativo quando a força atua na direção oposta ao deslocamento Quando uma força movese perpendicularmente à sua linha de ação como mostrado na Figura 102b o trabalho é zero Se a magnitude e a direção de uma força permanecem constantes à medida que a força se move por um deslocamento d que não é colinear com a linha de ação da força o trabalho total pode ser avaliado pela soma do trabalho realizado por cada componente da força movendose pelas componentes do deslo camento colinear correspondentes dx e dy Por exemplo na Figura 102c podemos expressar o trabalho W realizado pela força F à medida que ela se move do ponto A para B como W Fx dx Fy dy A F B a b A B B F F A F a F Fx Fy y c 1 1 2 2 0 d e M x Figura 102 Trabalho realizado por forças e momentos a força com deslocamento colinear b força com deslocamento perpendicular à linha de ação da força c um deslocamento não coli near d um conjugado movendose por um des locamento angular u e representação alternativa de um conjugado 365 Seção 102 Trabalho Analogamente se um momento permanece constante dado um deslo camento angular u ver Figura 102d e e o trabalho realizado é igual ao produto do momento pelo deslocamento angular u 102 W Mu A expressão para o trabalho realizado por um conjugado pode ser deduzida somandose o trabalho realizado por cada força F do conjugado na Figura 102d à medida que ele se move em um arco circular durante o deslocamento angular u Esse trabalho é igual a W Fu F1 a2u Simplificando temos W Fau Como Fa M W Mu Se a magnitude de uma força varia durante um deslocamento e se a relação funcional entre a força F e o deslocamento colinear d é conhecida o trabalho pode ser avaliado por integração Nesse procedimento mos trado graficamente na Figura 103a o deslocamento é dividido em uma série de pequenos incrementos de comprimento dd O incremento de tra balho dW associado a cada deslocamento infinitesimal dd é igual a F dd Então o trabalho total é avaliado somandose todos os incrementos 103 W d 0 F dd Analogamente para um momento variável que se move por uma série de deslocamentos angulares infinitesimais du o trabalho total é dado por 104 W u 0 M du Quando a força é plotada em relação ao deslocamento ver Figura 103a o termo dentro das integrais da Equação 103 ou 104 pode ser interpretado como uma área infinitesimal sob a curva O trabalho total realizado a soma de todas as áreas infinitesimais é igual à área total sob a curva Se uma força ou um momento varia linearmente com o deslocamento à medida que aumenta de zero até seu valor final de F ou M respectiva mente o trabalho pode ser representado pela área triangular sob a curva de cargadeflexão linear ver Figura 103b Para essa condição o traba lho pode ser expresso como 1 50 Para força 1 60 Para momento W M 2 u W F 2 d a deslocamento 0 força M ou F ou F f ou M f dW Fd ou Md F ou M ou d d b deslocamento F ou M 0 ou W força F ou M c deslocamento 0 força ou W Figura 103 Curvas de força em função de deslo camento a incremento do trabalho dW produzido por uma força variável mostrado com hachuras b trabalho mostrado pela área hachurada realizado por uma força ou momento que varia linearmente de zero a F ou M c trabalho realizado por uma força ou momento que permanece constante durante um deslocamento 366 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões em que F e M são os valores máximos da força ou do momento e d e u são o deslocamento linear ou rotacional total Quando existir uma relação linear entre força e deslocamento e quando a força aumentar de zero até seu valor final as expressões do trabalho sempre conterão um fator meio como mostrado pelas equações 105 e 106 Por outro lado se a magnitude de uma força ou de um momento é constante durante um deslocamento equações 101 e 102 o trabalho é plotado como uma área retangular ver Figura 103c e o fator meio fica ausente 103 Energia de deformação Barras de treliça Quando uma barra é carregada axialmente ela se deforma e arma zena energia de deformação U Por exemplo na barra mostrada na Figura 104a a carga P aplicada externamente causa uma força axial F de magnitude igual isto é F P Se a barra se comporta elasticamente aplicase a lei de Hooke a magnitude da energia de deformação U armazenada em uma barra causada por uma força que aumenta linear mente de zero até um valor final F quando a barra sofre uma mudança no comprimento L é igual a 107 1 80 em que L FL AE U F 2 L d EN M P a b L L dx P F P c deformação F ou M F ou M 0 força interna força interna L ou d L ou d d deformação 0 U U Figura 104 Energia de deformação armazenada em uma barra ou elemento de viga a deforma ção de uma barra carregada axialmente b defor mação rotacional de elemento de viga infinitesi mal causada pelo momento M c representação gráfica da carga em função da deformação do elemento no qual a carga aumenta linearmente de zero até um valor final d curva de deformação por carga de membro que deforma sob uma carga constante 367 Seção 103 Energia de deformação em que L comprimento da barra A área da seção transversal da barra E módulo de elasticidade F valor final da força axial Substituindo a Equação 108 na Equação 107 podemos expressar U em termos da força de barra F e das propriedades do membro como 109 U F 2 FL AE F 2L 2AE Se a magnitude da força axial permanece constante quando a barra sofre uma mudança L no comprimento por causa de algum efeito externo por exemplo uma mudança de temperatura a energia de defor mação armazenada no membro é igual a 1010 U F L Observe que quando uma força permanece constante na ocorrência da deformação axial de uma barra o fator meio não aparece na expressão de U compare as equações 107 e 1010 A energia armazenada em um corpo assim como o trabalho realizado por uma força ver Figura 103 pode ser representada graficamente Se a variação de força de barra for plotada em relação à mudança no compri mento da barra L a área sob a curva representará a energia de deformação U armazenada no membro A Figura 104c é a representação gráfica da Equação 107 o caso em que uma força de barra aumenta linearmente de zero até um valor final F A representação gráfica da Equação 1010 o caso em que a força de barra permanece constante quando a barra muda de comprimento é mostrada na Figura 104d Curvas semelhantes de força em função da deformação podem ser plotadas para elementos de viga como aquele mostrado na Figura 104b No caso do elemento de viga plo tamos o momento M em função da rotação du Vigas O incremento de energia de deformação dU armazenada em um seg mento de viga de comprimento infinitesimal dx ver Figura 104b causado por um momento M que aumenta linearmente de zero até um valor final de M quando os lados do segmento giram por um ângulo du é igual a 1011 dU M 2 du Conforme mostramos anteriormente du pode ser expresso como 913 du M dx EI em que E é igual ao módulo de elasticidade e I é igual ao momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo neutro 368 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões Substituindo a Equação 913 em 1011 temos o incremento de energia de deformação armazenada em um segmento de viga de comprimento dx como 1012 dU M 2 M dx EI M 2 dx 2EI Para avaliar a energia de deformação U total armazenada em uma viga de EI constante a energia de deformação deve ser somada para todos os segmentos infinitesimais por meio da integração dos dois lados da Equa ção 1012 1013 U L 0 M 2 dx 2EI Para integrar o lado direito da Equação 1013 M deve ser expresso em termos das cargas aplicadas e da distância x ao longo do vão consultar Seção 53 Em cada seção onde a carga muda é exigida uma nova expressão de momento Se I varia ao longo do eixo do membro também deve ser expressa como uma função de x Se o momento M permanece constante quando um segmento de viga passa por uma rotação du causada por outro efeito o incremento de ener gia de deformação armazenada no elemento é igual a 1014 dU M du Quando du na Equação 1014 é produzido por um momento de magni tude MP usando a Equação 913 podemos eliminar du e expressar dU como 1014a dU MMP dx EI 104 Deflexões pelo método do trabalhoenergia trabalho real Para estabelecer uma equação que calcule a deflexão de um ponto em uma estrutura pelo método do trabalhoenergia de acordo com o princí pio da conservação de energia podemos escrever que W U 1015 em que W é o trabalho realizado pela força externa aplicada na estrutura e U é a energia de deformação armazenada nos membros tensionados da estrutura A Equação 1015 presume que todo trabalho realizado por uma força externa é convertido em energia de deformação Para satisfazer esse requisito teoricamente uma carga deve ser aplicada lentamente para que não seja produzida nem energia cinética nem calorífica No projeto de prédios e pontes para cargas de projeto normais sempre vamos supor que essa condição é satisfeita para que a Equação 1015 seja válida Como uma única equação permite a solução de apenas uma variável desconhe cida a Equação 1015 a base do método do trabalho real só pode ser aplicada a estruturas carregadas por uma única força 369 Trabalhoenergia aplicado a uma treliça Para estabelecer uma equação que possa ser usada para calcular a deflexão de um ponto em uma treliça devido a uma carga P que aumenta linearmente de zero até um valor final P substituímos as equações 105 e 109 na Equação 1015 para ter 1016 P 2 d a F 2L 2AE em que P e d são colineares e o símbolo de somatório Σ indica que a energia em todas as barras deve ser somada O uso da Equação 1016 para calcular o deslocamento horizontal do nó B da treliça na Figura 105 é ilustrado no Exemplo 101 Conforme mostrado na Figura 105 o nó B se desloca horizontal e verticalmente Como a carga aplicada de 30 kips é horizontal podemos calcular a componente horizontal do deslocamento Contudo não pode mos calcular a componente vertical do deslocamento do nó B pelo método do trabalho real pois a força aplicada não atua na direção vertical O método do trabalho virtual que discutiremos a seguir permite calcular uma única componente do deslocamento em qualquer direção de qual quer nó para qualquer tipo de carga e com isso supera as principais limitações do método do trabalho real Usando o método do trabalho real determine a deflexão horizontal dx do nó B da treliça mostrada na Figura 105 Para todas as barras A 24 pol2 e E 30 000 kipspol2 A forma defletida está mostrada pelas linhas tracejadas Solução Como a força aplicada de P 30 kips atua na direção do desloca mento exigido o método do trabalho real é válido e a Equação 1016 se aplica 1016 P 2 dx a F 2L 2AE Os valores de força de barra F são mostrados na treliça da Figura 105 dx 06 pol 30 2 dx 1502 2 1252 1122 21242 130000 2 1 402 2 1202 1122 21242 130000 2 1 302 2 1152 1122 2 1242 130000 2 Resp E X E M P L O 1 0 1 x B A C B 20 15 A 30 kips 30 kips 40 kips 40 kips 40 50 30 Figura 105 Seção 104 Deflexões pelo método do trabalhoenergia trabalho real 370 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões 105 Trabalho virtual treliças Método do trabalho virtual Trabalho virtual é um procedimento para calcular uma única compo nente da deflexão em qualquer ponto de uma estrutura O método é apli cável a muitos tipos de estruturas desde vigas simples a placas e cascas complexas Além disso o método permite ao projetista incluir nos cálcu los de deflexão a influência de recalques de apoio mudança de tempera tura e erros de fabricação Para calcular uma componente da deflexão pelo método do traba lho virtual o projetista aplica uma força na estrutura no ponto e na direção do deslocamento desejado Frequentemente essa força é cha mada de carga fictícia pois o deslocamento que a estrutura sofrerá é produzido por outros efeitos Esses outros efeitos incluem as cargas reais mudança de temperatura recalques de apoio etc A carga fictícia e as reações e forças internas que ela cria são denominadas sistema Q As forças o trabalho os deslocamentos ou a energia associados ao sistema Q terão um Q subscrito Embora o analista esteja livre para atribuir qualquer valor arbitrário a uma carga fictícia normalmente usamos uma força de 1 kip ou 1 kN para calcular um deslocamento linear e um momento de 1 kipft ou 1 kNm para determinar uma rota ção ou inclinação Com a carga fictícia em vigor são aplicadas na estrutura as cargas reais chamadas de sistema P As forças as deformações o trabalho e a energia associados ao sistema P terão um P subscrito Quando a estrutura deforma sob as cargas reais um trabalho virtual externo WQ é realizado pela carga fictícia ou cargas fictícias ao se mover pelo deslocamento real da estrutura De acordo com o princípio da conservação de energia uma quantidade equivalente de energia de deformação virtual UQ é armaze nada na estrutura isto é 1017 WQ UQ A energia de deformação virtual armazenada na estrutura é igual ao produto das forças internas produzidas pela carga fictícia e das distorções mudanças no comprimento de barras carregadas axialmente por exem plo dos elementos da estrutura produzidas pelas cargas reais isto é o sistema P Análise de treliças pelo trabalho virtual Para esclarecer as variáveis que aparecem nas expressões de trabalho e energia na Equação 1017 aplicaremos o método do trabalho virtual 371 Seção 105 Trabalho virtual treliças na treliça de barra única da Figura 106a para determinar o desloca mento horizontal dP do rolo em B A barra que transmite apenas carga axial tem uma área de seção transversal A e um módulo de elasticidade E A Figura 106a mostra a força de barra FP o alongamento da barra LP e o deslocamento horizontal dP do nó B produzidos pelo sistema P a carga real Como a barra está em tração alonga por uma quantidade LP em que 108 LP FPL AE Supondo que a carga horizontal no nó B é aplicada lentamente para que todo trabalho seja convertido em energia de deformação e aumenta de zero até um valor final P podemos usar a Equação 105 para expressar o trabalho real WP realizado pela força P como 1018 WP 1 2PdP Embora uma reação vertical Pv se desenvolva em B ela não age quando o rolo se desloca pois atua normal ao deslocamento do nó B Uma representação gráfica da deflexão do nó B em função da carga apli cada P é mostrada na Figura 106b Conforme estabelecemos na Seção 102 a área triangular WP sob a curva cargadeflexão representa o traba lho real realizado na estrutura pela carga P Como resultado do trabalho real realizado por P uma energia de deformação UP de magnitude igual é armazenada na barra AB Usando a Equação 107 podemos expressar essa energia de deformação como 1019 UP 1 2 FP LP Uma representação gráfica da energia de deformação armazenada na barra como uma função da força de barra FP e do alongamento LP da barra é mostrada na Figura 106c De acordo com a conservação de energia WP é igual a UP portanto as áreas sombreadas WP e UP sob as linhas inclinadas na Figura 106b e c devem ser iguais Em seguida consideramos o trabalho realizado na energia de defor mação armazenada na barra pela aplicação em sequência da carga fictí cia Q seguida da carga real P A Figura 106d mostra a força de barra FQ a deformação da barra LQ e o deslocamento horizontal dQ do nó B pro duzidos pela carga fictícia Q Supondo que a carga fictícia é aplicada lentamente e aumenta de zero até seu valor final Q podemos expressar o trabalho real WD realizado pela carga fictícia como 1020a WD 1 2QdQ 372 LP Pv FP L A P RA a antes da carga posição defletida B P B b deflexão P 0 P WP c alongamento 0 LP FP UP Q LQ Qv QA A d Q B FQ FQ e deflexão Q 0 carga carga carga Q WD f alongamento deflexão alongamento 0 força de barra força de barra força de barra LQ UD h 0 P Q WP WQ WD P Q i 0 LQ FQ FP Ft Lt LP UP UQ UD Q P Lt Qv Pv RA QA Ft FQ FP A g t t B Figura 106 Representação gráfica de trabalho e energia no método do trabalho virtual a sistema P forças e deformações produzidas pela carga real P b representação gráfica do trabalho real WP realizado pela força P quando o rolo em a se move de B para B c represen tação gráfica da energia de deformação real UP armazenada na barra AB quando ela se alonga por uma quantidade LP UP WP d forças e deslocamentos produzidos pela carga fictícia Q e representação gráfica do trabalho real WD realizado pela carga fictícia Q f representação gráfica da energia de deformação real UD arma zenada na barra AB pela carga fictícia g for ças e deformações produzidas pelas forças Q e P atuando juntas h representação gráfica do trabalho total Wt realizado por Q e P i repre sentação gráfica da energia de deformação total Ut armazenada na barra por Q e P 373 A curva cargadeflexão associada à carga fictícia está mostrada na Figura 106e A área triangular sob a linha inclinada representa o trabalho real WD realizado pela carga fictícia Q A energia de deformação UD cor respondente armazenada na barra quando ela se alonga é igual a 1020b UD 1 2FQ LQ A Figura 106f mostra a energia de deformação armazenada na estru tura em virtude do alongamento da barra AB pela carga fictícia De acordo com o princípio da conservação de energia WD deve ser igual a UD Por tanto as áreas triangulares hachuradas na Figura 106e e f são iguais Com a carga fictícia em vigor imaginamos agora que a carga real P é aplicada ver Figura 106g Como supomos que o comportamento é elástico o princípio da superposição exige que as deformações finais forças de barra reações etc mas não o trabalho nem a energia de defor mação conforme estabeleceremos em breve sejam iguais à soma daquelas produzidas por Q e P atuando separadamente ver Figura 106a e d A Figura 106h mostra o trabalho total Wt realizado pelas forças Q e P quando o ponto B se desloca horizontalmente por uma quantidade dt dQ dP A Figura 106i mostra a energia de deformação total Ut armazenada na estrutura pela ação das forças Q e P Para esclarecer o significado físico do trabalho virtual e da energia de deformação virtual subdividimos as áreas na Figura 106h e i que representam o trabalho total e a energia de deformação total nas três áreas a seguir 1 Áreas triangulares WD e UD mostradas com hachuras verticais 2 Áreas triangulares WP e UP mostradas com hachuras horizontais 3 Duas áreas retangulares rotuladas como WQ e UQ Como WD UD WP UP e Wt Ut pelo princípio da conservação de energia seguese que as duas áreas retangulares WQ e UQ que represen tam respectivamente o trabalho virtual externo e a energia de deforma ção virtual devem ser iguais e podemos escrever 1017 WQ UQ Conforme mostrado na Figura 106h podemos expressar WQ como 1021a WQ QdP em que Q é igual à magnitude da carga fictícia e dP é o deslocamento ou a componente do deslocamento na direção de Q produzidos pelo sistema P Conforme indicado na Figura 106i podemos expressar UQ como 1021b UQ FQ LP Seção 105 Trabalho virtual treliças 374 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões em que FQ é a força de barra produzida pela carga fictícia Q e LP é a mudança no comprimento da barra produzida pelo sistema P Substituindo as equações 1021a e 1021b na Equação 1017 podemos escrever a equação do trabalho virtual para a treliça de barra única como 1022 Q dP FQ LP Adicionando símbolos de somatório em cada lado da Equação 1022 produzimos a Equação 1023 a equação geral do trabalho virtual para a análise de qualquer tipo de treliça 1023 QdP FQ LP O símbolo de somatório no lado esquerdo da Equação 1023 indica que em certos casos ver Exemplo 107 por exemplo mais de uma força externa Q contribui para o trabalho virtual O símbolo de somatório no lado direito da Equação 1023 foi adicionado porque a maioria das treli ças contém mais de uma barra A Equação 1023 mostra que tanto forças internas como externas são fornecidas pelo sistema Q e que os deslocamentos e deformações da estrutura são fornecidos pelo sistema P O termo virtual significa que os deslocamentos da carga fictícia são produzidos por um efeito externo isto é o sistema P Quando as deformações de barra são produzidas pela carga podemos usar a Equação 108 para expressar as deformações de barra LP em ter mos da força de barra FP e das propriedades dos membros Para esse caso podemos escrever a Equação 1023 como 1024 QdP FQ FPL AE Ilustraremos o uso da Equação 1024 calculando a deflexão do nó B na treliça simples de duas barras mostrada no Exemplo 102 Como a direção do deslocamento resultante em B é desconhecida não sabemos como orientar a carga fictícia para calculála Portanto faremos a análise com dois cálculos separados Primeiramente calculamos a componente do deslocamento na direção x usando uma carga fictícia horizontal ver Figura 107b Em seguida calculamos a componente y do deslocamento usando uma carga fictícia vertical ver Figura 107c Se quisermos esta belecer a magnitude e a direção do deslocamento real as componentes podem ser combinadas pela soma de vetores 375 Sob a ação da carga de 30 kips o nó B da treliça da Figura 107a se desloca até B a forma defletida é mostrada pelas linhas tracejadas Usando trabalho virtual calcule as componentes do deslocamento do nó B Para todas as barras A 2 pol2 e E 30 000 kipspol2 Solução Para calcular o deslocamento horizontal dx do nó B aplicamos uma carga fictícia de 1 kip horizontalmente em B A Figura 107b mostra as reações e forças de barra FQ produzidas pela carga fictícia Com a carga fictícia em vigor aplicamos a carga real de 30 kips no nó B indicada pela seta tracejada A carga de 30 kips produz as forças de barra FP que deformam a treliça Embora a carga fictícia e a carga real agora atuem dependentemente na estrutura por clareza mostramos as forças e defor mações produzidas pela carga real P 30 kips separadamente no esboço na Figura 107a Com as forças de barra estabelecidas usamos a Equação 1024 para calcular dx 1024 dx 05 pol S 11 kip2 1dx2 5 3 50 120 122 2 130000 2 a 4 3 b 1 402 116 122 2130000 2 QdP FQ FPL AE Resp Para calcular o deslocamento vertical dy do nó B aplicamos uma carga fictícia de 1 kip verticalmente no nó B ver Figura 107c e então aplicamos a carga real Como o valor de FQ na barra AB é zero ver Figura 107c nenhuma energia é armazenada nessa barra e precisamos avaliar apenas a energia de deformação armazenada na barra BC Usando a Equação 1024 calculamos 1024 1 kip dy 1 40 16 12 2 30000 0128 pol T QdP FQ FPL AE Resp E X E M P L O 1 0 2 Figura 107 a Cargas reais sistema P produzindo as forças de barra FP b Carga fic tícia sistema Q produzindo as forças FQ usada para calcular o deslocamento horizontal de B A seta tracejada indica a carga real que gera as forças FP mostradas em a c Carga fictícia sistema Q usada para calcular o deslocamento vertical de B P 30 kips 30 kips 40 kips 4 3 40 kips a 12 B A C A B C A B C B 50 40 4 3 4 3 5 3 16 x y 1 kip 1 kip 30 kips 30 kips 0 1 1 kip Q 1 kip b c Seção 105 Trabalho virtual treliças 376 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões Como você pode ver se uma barra não está tensionada no sistema P nem no sistema Q sua contribuição para a energia de deformação vir tual armazenada em uma treliça é zero Nota O uso de uma carga fictícia de 1 kip na Figura 107b e c foi arbitrário e os mesmos resultados poderiam ser obtidos aplicandose uma força fictícia de qualquer valor Por exemplo se a carga fictícia na Figura 107b fosse duplicada para 2 kips as forças de barra FQ seriam duas vezes maiores do que aquelas mostradas na figura Quando as for ças produzidas pela carga fictícia de 2 kips forem substituídas na Equa ção 1024 o trabalho externo uma função direta de Q e a energia de deformação interna uma função direta de FQ serão ambos duplicados Como resultado o cálculo produzirá o mesmo valor de deflexão produzido pela carga fictícia de 1 kip Valores positivos de dx e dy indicam que os dois deslocamentos ocor rem na mesma direção das cargas fictícias Se a solução da equação do trabalho virtual produz um valor de deslocamento negativo a direção do deslocamento tem sentido oposto à direção da carga fictícia Portanto não é necessário supor a direção real do deslocamento que está sendo calculado A direção da força fictícia pode ser escolhida arbitraria mente e o sinal da resposta indicará automaticamente a direção cor reta do deslocamento Um sinal positivo significa que o deslocamento é na direção da força fictícia um sinal negativo indica que o desloca mento tem sentido oposto à direção da carga fictícia Para avaliar a expressão da energia de deformação virtual FQFPLAE no lado direito da Equação 1024 particularmente quando uma treliça é composta de muitas barras muitos engenheiros utilizam uma tabela para organizar os cálculos consultar Tabela 101 no Exemplo 103 Os termos da coluna 6 da Tabela 101 são iguais ao produto de FQ FP e L dividido por A Se esse produto for dividido por E será definida a energia de defor mação armazenada na barra A energia de deformação virtual total armazenada na treliça é igual à soma dos termos da coluna 6 dividida por E O valor da soma está escrito no final da coluna 6 Se E é uma constante para todas as barras pode ser omitida do somatório e então introduzida na etapa final do cálculo da deflexão Se o valor de FQ ou FP de qualquer barra é zero a energia de deformação nessa barra é zero e a barra pode ser omitida do somatório Se forem necessárias várias componentes do deslocamento serão adicionadas na tabela mais colunas para FQ produzida por outras cargas fictícias Colunas extras para FP também são exigidas quando são cal culadas deflexões para várias cargas 377 Calcule o deslocamento horizontal dx do nó B da treliça mostrada na Figura 108a Dados E 30 000 kipspol2 área das barras AD e BC 5 pol2 área de todas as outras barras 4 pol2 Solução As forças de barra FP produzidas pelo sistema P estão mostradas na Figura 108a e as forças de barra e reações FQ produzidas por uma carga fictícia de 1 kip dirigida horizontalmente no nó B estão mostradas na Figura 108b A Tabela 101 lista os termos necessários para avaliar a energia de deformação UQ dada pelo lado direito da Equação 1024 Como é constante E é retirada do somatório e não é incluída na tabela Substituindo ΣFQFPLA 1 025 na Equação 1024 e multiplicando o lado direito por 12 para converter pés em polegadas temos dx 041 pol S pik 1 1dx2 1 30000 110252 1122 QdP FQ FPL AE 1 E FQ FPL A Resp 1024 E X E M P L O 1 0 3 TABElA 101 FQ FP L A FQFPLA Barra kips kips ft pol2 kips2ftpol2 1 2 3 4 5 6 AB 11 180 20 4 1400 BC 0 1100 25 5 0 CD 0 280 20 4 0 AD 25 4 2100 25 5 1625 BD 0 260 15 4 0 oFQFPLA 5 1 025 A B C B 80 80 100 100 60 60 kips P 60 kips 120 kips a 20 20 15 x A B Q 1 kip D D C 1 0 0 0 3 4 1 kip kip kip b 3 4 5 4 Figura 108 a O sistema P real carrega b sistema Q Seção 105 Trabalho virtual treliças 378 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões Deflexões de treliça produzidas pela temperatura e por erro de fabricação Quando a temperatura de um membro varia seu comprimento muda Aumento na temperatura faz um membro expandir diminuição na tempe ratura produz uma contração Em um ou outro caso a mudança no com primento L temp pode ser expressa como 1025 Ltemp a T L em que coeficiente de dilatação térmica polpol por grau T mudança na temperatura L comprimento da barra Para calcular uma componente da deflexão do nó devido a uma mudança na temperatura de uma treliça primeiramente aplicamos uma carga fictícia Então supomos que ocorre a alteração no comprimento das barras produzida pela mudança de temperatura Quando as barras mudam de comprimento e a treliça se deforma é realizado um trabalho virtual externo à medida que a carga fictícia se desloca Internamente a alteração no comprimento das barras da treliça resulta em uma mudança na energia de deformação UQ igual ao produto das forças de barra FQ produzidas pela carga fictícia pela deformação L temp das barras A equação do trabalho virtual para calcular um deslocamento de nó pode ser estabele cida pela substituição de LP por L temp na Equação 1023 Uma alteração no comprimento da barra L fabr devido a um erro de fabricação é tratada exatamente da mesma maneira que uma mudança de temperatura O Exemplo 104 ilustra o cálculo de uma componente do deslocamento da treliça para uma mudança de temperatura e para um erro de fabricação Se as barras de uma treliça mudam de comprimento simultanea mente devido a uma carga a uma mudança de temperatura e a um erro de fabricação então LP na Equação 1023 é igual à soma dos vários efeitos isto é 1026 LP FPL AE a T L Lfabr Quando LP dado pela Equação 1026 é substituído na Equação 1023 a forma geral da equação do trabalho virtual para treliças se torna 1027 QdP FQa FPL AE a T L Lfabrb 379 Para a treliça mostrada na Figura 109a determine o deslocamento horizontal dx do nó B para um aumento de 60 F na temperatura e os seguintes erros de fabricação 1 barra BC fabricada 08 pol mais curta e 2 barra AB fabricada 02 pol mais longa Dados 65 106 pol pol por F Solução Como a estrutura é determinada nenhuma força de barra é gerada por uma mudança de temperatura ou por um erro de fabricação Se os comprimentos das barras mudam elas ainda podem ser conectadas aos apoios e ligadas em B por meio de um pino Para as condições especi ficadas neste exemplo a barra AB se alongará e a barra BC ficará mais curta Se imaginarmos que as barras em seus estados deformados estão conectadas nos apoios de pino em A e C ver Figura 109c a barra AB se estenderá além do ponto B a uma distância LAB até o ponto c e o topo da barra BC estará localizado a uma distância LBC abaixo do nó B no ponto a Se as barras são giradas em torno dos pinos as extremi dades superiores de cada barra se moverão nos arcos de círculos que se interceptam em B A posição deformada da treliça é mostrada pelas linhas tracejadas Como o deslocamento inicial de cada barra tem dire ção tangente ao círculo podemos supor para pequenos deslocamentos que inicialmente as barras se movem na direção das linhas tangentes isto é perpendicularmente aos raios Por exemplo como mostrado na Figura 109d na região entre os pontos 1 e 2 a linha tangente e o arco quase coincidem Mudanças no comprimento das barras por causa do aumento de tem peratura 1025 BC Ltemp 65 10 6160220 12 0094 pol Barra Barra AB Ltemp 65 10 6160225 12 0117 pol Ltemp a 1T2L Para determinar dx primeiramente aplicamos uma carga fictícia de 1 kip em B Figura 109b e então permitimos que ocorram as defor mações especificadas na barra Usando a Equação 1027 calculamos dx 147 pol S 11 kip2 1dx2 5 3 10117 022 1 4 32 10094 082 QdP FQ LP FQ 1L temp L fab2 Resp E X E M P L O 1 0 4 15 20 A B C a A B C 1 kip Q 5 1 kip b 4 3 FQ 4 3 kips kips 4 3 5 3 FQ x A B a LAB LBC B c C c 1 tangente arco d 2 d Figura 109 a Treliça b sistema Q c deslocamento do nó B produzido pelas mudan ças no comprimento das barras d para deslo camentos pequenos a extremidade livre inicial mente se move perpendicularmente ao eixo da barra Seção 105 Trabalho virtual treliças 380 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões Cálculo dos deslocamentos produzidos por recalques de apoio As estruturas edificadas em solos compressíveis argila mole ou areia solta por exemplo frequentemente sofrem recalques significati vos Esses recalques podem produzir a rotação de membros e o deslo camento de nós Se uma estrutura é determinada nenhuma tensão interna é gerada pelo movimento de um apoio pois a estrutura está livre para se ajustar à nova posição dos apoios Por outro lado recal ques de apoio diferenciais podem gerar grandes forças internas em estruturas indeterminadas A magnitude dessas forças é uma função da rigidez do membro O trabalho virtual fornece um método simples para avaliar os des locamentos e as rotações produzidos por movimentos de apoio Para calcular um deslocamento devido ao movimento de um apoio uma carga fictícia é aplicada no ponto e na direção do deslocamento dese jado A carga fictícia junto com suas reações constitui o sistema Q Quando a estrutura é sujeita aos movimentos de apoio especificados um trabalho externo é realizado pela carga fictícia e por suas reações que deslocam Como o movimento de um apoio não produz nenhuma distorção interna dos membros ou dos elementos estruturais se a estru tura é determinada a energia de deformação virtual é zero O Exemplo 105 ilustra o uso do trabalho virtual para calcular des locamentos de nós e rotações produzidas pelos recalques dos apoios de uma treliça simples O mesmo procedimento é aplicável às vigas e pórticos determinados Comportamento inelástico A expressão da energia de deformação dada pelo lado direito da Equação 1024 é baseada na suposição de que todas as barras da tre liça se comportam elasticamente isto é o nível de tensão não ultra passa o limite proporcional σPL do material Para estender o trabalho virtual às treliças que contêm barras tensionadas além do limite pro porcional até a região inelástica devemos ter a curva tensãodeforma ção do material Para estabelecer a deformação axial de uma barra calculamos a tensão na barra usamos a tensão para estabelecer a deformação e então avaliamos a mudança no comprimento LP usando a relação básica 1028 LP PL O Exemplo 108 ilustra o procedimento para calcular a deflexão de um nó em uma treliça que contém uma barra tensionada na região inelástica 381 92 Método da integração dupla Q 1 kipft kip kip kip c A C B 1 15 1 15 1 20 1 kip 20 E X E M P L O 1 0 5 Se o apoio A da treliça da Figura 1010a tem um recalque de 06 pol e se move 02 pol para a esquerda determine a o deslocamento hori zontal dx do nó B e b a rotação u da barra BC Solução a Para calcular dx aplique uma carga fictícia de 1 kip horizontalmente em B ver Figura 1010b e calcule todas as reações Suponha que ocorrem os movimentos do apoio avalie o trabalho virtual externo e iguale a zero Como nenhuma força de barra FP é produzida pelo movimento do apoio FP 0 na Equação 1024 produzindo dx 1 pol 11 kip2 1dx2 1102 pol2 4 3 106 pol2 0 QdP 0 Resp O sinal de menos indica que dx está dirigido para a esquerda b Para calcular a rotação u do membro BC aplicamos uma carga fictícia de 1 kipft na barra BC em qualquer lugar entre suas extre midades e calculamos as reações do apoio ver Figura 1010c Quando os movimentos de apoio mostrados na Figura 1010a ocor rem um trabalho virtual é realizado pela carga fictícia e pelas reações nos apoios que se deslocam na direção das reações De acordo com a Equação 102 o trabalho virtual produzido por um momento unitário MQ usado como carga fictícia é igual a MQu Com esse termo somado a WQ e com UQ 0 a expressão do traba lho virtual é igual a WQ 1QdP MQuP2 0 Expressando todos os termos em unidades de kipspol multiplicando MQ por 12 temos uP 000417 rad 11122 1uP2 1 15 1062 1 20 1022 0 Resp Para verificar o cálculo de u para a barra BC também podemos divi dir dx por 20 pés uP dx L 1 pol 3201122 4 pol 000417 rad Figura 1010 a Forma defletida ver linha tracejada produzida pelo movimento do apoio A nenhuma força FP gerada b sistema Q para calcular o deslocamento horizon tal do nó B c sistema Q para calcular a rotação da barra BC A A FP 0 C B B x a 15 02 06 20 Q 1 kip b A C B 4 3 1 kip kips kips 5 3 4 3 4 3 Seção 105 Trabalho virtual treliças 382 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões E X E M P L O 1 0 6 32 kips 48 kips P 48 kips 32 kips a A B C D E 24 40 40 0 0 0 0 recalque para baixo Q 1 kip 1 kip b A B C D E 0 0 1 5 3 5 3 4 3 4 3 4 kips 3 4 kips 3 Figura 1011 a Treliça com forças FP mostradas nas barras sistema P b forças de barra FQ e reações produzidas pela carga fictícia de 1 kip no nó C sistema Q Solução Aplique uma carga fictícia de 1 kip horizontalmente em C como mostrado na Figura 1011b e calcule as forças de barra FQ e as reações Com a carga fictícia em vigor a carga de 48 kips é aplicada em B e supõese que ocorrem o recalque de apoio em A e as mudanças nos comprimentos de barra devido aos vários efeitos Determine o deslocamento horizontal dCX do nó C da treliça da Figura 1011a Além da carga de 48 kips aplicada no nó B as barras AB e BC estão sujeitas a uma mudança de temperatura T de 100 F 65 106 polpolF as barras AB e CD foram construídas 3 4 pol mais longas e o apoio A foi construído 3 5 pol abaixo do ponto A Para todas as barras A 2 pol2 e E 30 000 kipspol2 Quanto as barras CD e DE devem ser alongadas ou encurtadas se o deslocamento horizon tal líquido no nó C deve ser zero depois de ocorrerem as várias ações listadas acima 383 O recalque de apoio produz trabalho virtual externo a carga a mudança de temperatura e os erros de fabricação geram energia de deformação virtual quando as barras tensionadas pelas forças FQ defor mam A energia de deformação virtual será zero em qualquer barra na qual FQ for zero ou na qual a mudança no comprimento for zero Por tanto precisamos avaliar apenas a energia de deformação virtual nas barras AB AE CD e BC usando a Equação 1027 1027 Qdp FQa FPL AE a T L Lfabrb 11 kip2 1dCX2 4 3 kipsa 3 5 b 5 3 kips c 40 125 122 2 130000 2 65 10 611002 125 122 3 4 d AE CD BC Barra Barra Barra Barra AB Resp dCX 0577 pol à direita 5 3 kips 365 10 611002 125 122 4 11 kip2 c 1 242 130 122 2 130000 2 d a 4 3 kipsb a 3 4 b Calcule a mudança no comprimento das barras DE e CD para pro duzir deslocamento horizontal zero no nó C 1023 LP 022 pol pik 1 1 0577 pol2 4 3 1LP22 QdP FQ LP Resp Como L é positivo as barras devem ser alongadas Seção 105 Trabalho virtual treliças 384 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões a Determine o movimento relativo entre os nós B e E ao longo da linha diagonal entre eles produzido pela carga de 60 kips no nó F ver Figura 1012a Área das barras AF FE e ED 15 pol2 área de todas as outras barras 2 pol2 e E 30 000 kipspol2 b Determine a deflexão vertical do nó F produzida pela carga de 60 kips c Se a elevação inicial do nó F na treliça não tensionada deve ser de 12 pol acima de uma linha horizontal que liga os apoios A e D determine quanto cada barra da corda inferior deve ser encurtada Solução a Para determinar o deslocamento relativo entre os nós B e E usamos uma carga fictícia consistindo em duas forças colineares de 1 kip nos nós B e E como mostrado na Figura 1012b Como E é uma constante para todas as barras pode ser retirada do somatório no lado direito da Equação 1024 produzindo 1024 QdP FQ FPL AE 1 E FQ FPL A em que a quantidade ΣFQ FP LA é avaliada na coluna 6 da Tabela 102 Substituindo na Equação 1024 e expressando as unidades em kips e polegadas temos 1 kip d1 1 kip d2 1 30000 375 12 Eliminando 1 kip no lado esquerdo da equação e fazendo d1 d2 drel temos drel d1 d2 0015 pol Resp Como o sinal do deslocamento relativo é positivo os nós B e E se movem um na direção do outro Neste exemplo não dá para estabelecer os valores absolutos de d1 e d2 pois não podemos encontrar duas incógnitas com uma única equação Para calcular d1 por exemplo devemos aplicar uma única carga fictícia diagonal no nó B e aplicar a equação do trabalho virtual b Para determinar a deflexão vertical do nó F produzida pela carga de 60 kips na Figura 1012a devemos aplicar uma carga fictícia no nó F na direção vertical Embora normalmente usemos uma carga fictícia de 1 kip conforme discutido anteriormente no Exemplo 102 a magnitude da carga fictícia é arbitrária Portanto a carga real E X E M P L O 1 0 7 A B C D E F 40 kips 60 kips 25 30 50 25 40 30 15 15 0 20 kips a 15 20 15 15 A B C D E F 1 4 5 0 0 0 1 2 0 b 15 Q 1 kip Q 1 kip 4 5 3 5 3 5 15 15 Figura 1012 a Sistema P com forças de barra FP b sistema Q com as forças FQ mos tradas nas barras 385 TABElA 102 FQ FP L A FQFP L A FP 2 L A Membros kips kips ft pol2 kips2ftpol2 kips2ftpol2 1 2 3 4 5 6 7 AB 0 50 25 2 0 31250 BC 30 15 2 135 6750 CD 0 25 25 2 0 78125 DE 0 15 15 15 0 2250 EF 15 15 15 90 2250 FA 0 30 15 15 0 9000 BF 40 20 2 320 16000 FC 1 25 25 2 3125 78125 CE 0 0 2 20 0 4 5 4 5 3 5 3 5 F 2 P L A 83125 FQFP L A 375 de 60 kips também pode servir como carga fictícia e a análise da treliça para o sistema P mostrado na Figura 1012a também fornece os valores de FQ Usando a Equação 1024 com FQ FP obtemos QdP FQ FPL AE 1 E F 2 P L A em que ΣF 2 P L A avaliada na coluna 7 da Tabela 102 é igual a 83 125 Resolvendo para dP temos dP 0554 pol T 6 0 dP 1 30000 183125 2 1122 Resp c Como a carga aplicada de 60 kips na Figura 1012a atua na direção vertical podemos usála como carga fictícia para avaliar o deslocamento vertical abaulamento do nó F devido ao encurtamento das barras da corda inferior Usando a Equação 1023 na qual LP representa quanto cada uma das três barras da corda inferior é diminuída para dP 12 pol encontramos LP 12 pol 115 kips2 1LP2 160 kips2 1 122 130 kips2 1LP2 115 kips2 1LP2 QdP FQ L Resp Um valor negativo de 12 pol é usado para dP no lado esquerdo da Equação 1023 porque o deslocamento do nó tem sentido oposto à carga de 60 kips Seção 105 Trabalho virtual treliças 386 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões Calcule o deslocamento vertical dy do nó C para a treliça mostrada na Figura 1013a As barras da treliça são fabricadas com liga de alumí nio cujo diagrama tensãodeformação ver Figura 1013c é válido para tração e compressão uniaxiais O limite proporcional que ocorre em uma tensão de 20 kipspol2 separa o comportamento elástico do inelás tico Área da barra AC 1 pol2 e área da barra BC 05 pol2 Na região elástica E 10 000 kipspol2 Solução O sistema P com as forças FP anotadas nas barras é mostrado na Figura 1013a O sistema Q com as forças FQ é mostrado na Figura 1013b Para estabelecer se as barras se comportam elasticamente ou são tensionadas na região inelástica calculamos a tensão axial e a compara mos com a tensão do limite proporcional Para a barra AC sAC FP A 125 1 125 kipspol2 6 sPL comportamento elástico Usando a Equação 108 temos LAC FPL AE 125 125 122 1 110000 2 0375 pol Para a barra BC 250 kips pol2 7 sPL sBC F A 125 05 barra tensionada na região inelástica Para calcular LP usamos a Figura 1013c para estabelecer P Para σ 25 ksi lemos P 0008 polpol LBC PL 0008 125 122 24 pol 1encurta2 Resp Calcule dy usando a Equação 1023 127 pol T dy 1 5 82 1 242 1 5 82 103752 11 kip2 1dy2 FQ LP Resp E X E M P L O 1 0 8 15 15 A B C b 1 2 kip 1 2 kip kip Q 1 kip 5 8 5 8 3 8 3 kip 8 c PL 0002 deformação polpol tensão kipspol2 0008 0 20 10 25 c PL 0002 deformação polpol tensão kipspol2 0008 0 20 10 25 A B C 10 kips 75 kips 75 kips 15 kips 125 125 10 kips y a 15 15 15 15 20 A B C b c PL 0002 strain polpol stress kipspol2 0008 0 20 10 25 1 2 kip 1 2 kip kip Q 1 kip 5 8 5 8 3 8 3 kip 8 Figura 1013 a Sistema P mostrando as for ças de barra FP b sistema Q mostrando as forças de barra FQ c diagrama tensãodefor mação o comportamento inelástico ocorre quando a tensão passa de 20 kipspol2 387 106 Trabalho virtual vigas e pórticos Tanto o cortante quanto o momento contribuem para as deformações das vigas Contudo como as deformações produzidas pelas forças cor tantes em vigas de proporções normais são pequenas normalmente menos de 1 das deformações de flexão vamos desprezálas neste livro a práticapadrão dos projetistas e considerar somente as defor mações produzidas por momento Se uma viga é alta a relação vão altura é da ordem de 2 ou 3 ou se a alma de uma viga é fina ou cons truída de material madeira por exemplo com módulo de cisalhamento baixo as deformações de cisalhamento podem ser significativas e devem ser investigadas O procedimento para calcular uma componente da deflexão de uma viga pelo trabalho virtual é semelhante ao de uma treliça exceto a expressão da energia de deformação que é diferente obviamente O analista aplica uma carga fictícia Q no ponto onde a deflexão vai ser avaliada Embora a carga fictícia possa ter qualquer valor normal mente usamos uma carga unitária de 1 kip ou 1 kN para calcular um deslocamento linear e um momento unitário de 1 kipft ou 1 kNm para calcular um deslocamento rotacional Por exemplo para calcular a deflexão no ponto C da viga da Figura 1014 aplicamos a carga fictícia Q de 1 kip em C A carga fictícia produz um momento MQ em um ele mento de viga infinitesimal típico de comprimento dx como mostrado na Figura 1014b Com a carga fictícia atuante as cargas reais o sis tema P são aplicadas na viga Os momentos MP produzidos pelo sis tema P fletem a viga até sua posição de equilíbrio como mostrado pela linha tracejada na Figura 1014a A Figura 1014c mostra um segmento curto da viga cortado do membro não tensionado por dois planos ver ticais afastados por uma distância dx O elemento está localizado a uma distância x do apoio A À medida que as forças do sistema P aumentam os lados do elemento giram por um ângulo du por causa dos momentos MP Desprezando as deformações de cisalhamento supomos que as seções planas antes da flexão permanecem planas depois dela por tanto as deformações longitudinais do elemento variam linearmente a partir do eixo neutro da seção transversal Usando a Equação 913 podemos expressar du como 913 du MP dx EI Quando a viga deflete um trabalho virtual externo WQ é realizado pela carga fictícia Q e suas reações caso os apoios se desloquem na direção das reações movendose por uma distância igual ao deslocamento real dP na direção da carga fictícia e podemos escrever WQ QdP 1020 A B C D P P a RA L x dx RD MP A C D Q 1 kip b c QA x dx QD MQ d EN MQ MP dx Figura 1014 a Sistema P b sistema Q com carga fictícia em C c elemento infinitesimal du produzido por MP Seção 106 Trabalho virtual vigas e pórticos 388 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões Uma energia de deformação virtual dUQ é armazenada em cada ele mento infinitesimal à medida que o momento MQ se move pelo ângulo du produzido pelo sistema P assim podemos escrever 1014 dUQ MQ du Para estabelecer a magnitude da energia de deformação virtual total UQ armazenada na viga devemos somar normalmente por integração a energia contida em todos os elementos infinitesimais da viga Inte grando os dois lados da Equação 1014 ao longo do comprimento L da viga temos 1029 UQ x L x 0 MQ du Como o princípio da conservação de energia exige que o trabalho virtual externo WQ seja igual à energia de deformação virtual UQ pode mos igualar WQ dado pela Equação 1020 e UQ dado pela Equação 1029 para produzir a Equação 1030 a equação básica do trabalho virtual para vigas 1030 QdP x L x 0 MQ du ou usando a Equação 913 para expressar du em termos do momento MP e das propriedades da seção transversal temos 1031 QdP x L x 0 MQ MP dx EI em que Q carga fictícia e suas reações dP deslocamento real ou componente do deslocamento na direção da carga fictícia produzido pelas cargas reais o sistema P MQ momento produzido pela carga fictícia MP momento produzido pelas cargas reais E módulo de elasticidade I momento de inércia da seção transversal da viga com relação a um eixo pelo centroide Se um momento unitário QM 1 kipft é usado como carga fictícia para estabelecer a mudança na inclinação uP produzida pelas cargas reais em um ponto no eixo de uma viga o trabalho virtual externo WQ é igual a QMup e a equação do trabalho virtual é escrita como 1032 Q M uP x L x 0 MQ MP dx EI 389 Para resolver as equações 1031 ou 1032 para a deflexão dP ou para a mudança na inclinação uP os momentos MQ e MP devem ser expres sos como uma função de x a distância ao longo do eixo da viga para que o lado direito da equação do trabalho virtual possa ser integrado Se a seção transversal da viga é constante ao longo de seu comprimento e se a viga é fabricada com um único material cujas propriedades são uniformes EI é uma constante Procedimento alternativo para calcular UQ Como procedimento alternativo para avaliar os termos da energia de deformação no lado direito da Equação 1032 para uma variedade de dia gramas MQ e MP de formas geométricas simples e para membros com valor constante de EI no final do texto é fornecido um método gráfico chamado Valores de integrais de produto Isto é 1033 UQ x L x 0 MQMP dx EI 1 EI CM1M3L em que C constante listada na tabela de integrais de produto M1 magnitude de MQ M3 magnitude de MP L comprimento do membro Nota 1 Para o caso de diagramas de momento trapezoidais são necessários dois valores adicionais de momentos de extremidade M2 e M4 para definir o aspecto dos diagramas de momento de MQ e MP respectivamente 2 Quando o valor de momento máximo MP ocorrer entre as extremidades consulte os valores das integrais de produto na linha 5 Esse procedimento junto com os métodos de integração clássicos está ilustrado nos exemplos 1010 e 1011 Se a altura do membro varia ao longo do eixo longitudinal ou se as propriedades do material mudam com a distância ao longo do eixo então EI não é uma constante e deve ser expresso como uma função de x para permitir a avaliação da integral da energia de deformação virtual Como alternativa à integração que talvez seja difícil a viga pode ser dividida em diversos segmentos e utilizado um somatório finito Esse procedi mento é ilustrado no Exemplo 1016 Nos exemplos a seguir usaremos as equações 1031 1032 e 1033 para calcular as deflexões e inclinações em vários pontos ao longo do eixo de vigas e pórticos determinados O método também pode ser usado para calcular deflexões de vigas indeterminadas depois que a estrutura for analisada Seção 106 Trabalho virtual vigas e pórticos 390 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões Usando trabalho virtual calcule a a deflexão dB e b a inclinação uB na ponta da viga em balanço uniformemente carregada da Figura 1015a EI é constante Solução a Para calcular a deflexão vertical em B aplicamos uma carga fictícia de 1 kip verticalmente no ponto B ver Figura 1015b O momento MQ produzido pela carga fictícia em um elemento de comprimento infinitesimal dx localizado a uma distância x do ponto B é avaliado cortandose o corpo livre mostrado na Figura 1015d Somando os momentos sobre o corte temos 1 MQ 11 kip2 1x2 x kipft Nesse cálculo supomos arbitrariamente que o momento é positivo quando atua no sentido antihorário na extremidade da seção Com a carga fictícia na viga imaginamos que a carga uniforme w mostrada na Figura 1015a é aplicada na viga por clareza a carga uniforme e a carga fictícia são mostradas separadamente A carga fictí cia movendose por um deslocamento dB realiza um trabalho virtual igual a WQ 1 kip dB Avaliamos MP o momento produzido pela carga uniforme com o corpo livre mostrado na Figura 1015c Somando os momentos sobre o corte encontramos 2 MP wx x 2 wx 2 2 Substituindo MQ e MP dados pelas equações 1 e 2 na Equação 1031 e integrando calculamos dB B pik 1 1dB2 w 2EI c x4 4 d L 0 dB wL4 8EI T WQ UQ QdP L 0 MQ MP dx EI L 0 x wx2 dx 2EI Resp b Para calcular a inclinação em B aplicamos uma carga fictícia de 1 kipft em B ver Figura 1015e Cortando o corpo livre mostrado na Figura 1015f somamos os momentos sobre o corte para avaliar MQ como MQ 1 kip ft Como a inclinação inicial em B era zero antes que a carga fosse apli cada uB a inclinação final será igual à mudança na inclinação dada pela Equação 1032 uB wL3 6EI E pik 1 1uB2 c wx3 6EI d L 0 QMuP L 0 MQ MP dx EI L 0 112 1wx22 2EI dx Resp E X E M P L O 1 0 9 w w V x 2 x A B L B B a x x x A R wx B b c Q 1 kip 1 kip A B e B dx dx wx2 2 MP V x d B MQ x V x f B MQ 1 QM 1 kipft 1 kipft Figura 1015 a Sistema P b sistema Q para o cálculo de dB c corpo livre para ava liar MP d corpo livre para avaliar MQ neces sário para o cálculo de dB e sistema Q para o cálculo de uB f corpo livre para avaliar MQ para o cálculo de uB 391 Usando a tabela do final do livro intitulada Valores de integrais de produto e a Equação 1033 avalie a energia de deformação virtual UQ para a viga em balanço uniformemente carregada do Exemplo 109 ver Figura 1016a Solução Avalie a energia de deformação para o cálculo da deflexão vertical no ponto B na Figura 1016a 1033 1 EI c 1 4 1 L2 a wL2 2 b 1L2 d wL4 8EI UQ 1 EI 1CM1M3L2 Resp Avalie a energia de deformação para o cálculo da inclinação no ponto B da Figura 1016a 1033 1 EI c 1 3 1 12 a wL2 2 b 1L2 d wL3 6EI UQ 1 EI 1CM1M3L2 Resp E X E M P L O 1 0 1 0 Figura 1016 Cálculo da energia de deforma ção usando a tabela de integrais de produto a sistema P b diagrama de momento para a viga em balanço uniformemente carregada em a c sistema Q para deflexão no ponto B d diagrama de momento produzido pelo sistema Q em c e sistema Q para a inclinação em B f diagrama de momento do sistema Q em e Mp wL2 2 wL2 2 MQ L M3 M3 Mp w A B L B B a A B b c parábola Q 1 kip M1 d MQ 1 kip ft M1 L Q 1 kip ft A B Mp wL2 2 wL2 2 MQ L M3 M3 Mp w A B L B B a A B b c parábola Q 1 kip M1 d MQ 1 kip ft MQ 1 kip ft M1 L MQ M1 QM 1 kip ft A B e f Seção 106 Trabalho virtual vigas e pórticos 392 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões E X E M P L O 1 0 1 1 a Calcule a deflexão vertical dC no meio do vão para a viga da Figura 1017a usando trabalho virtual Dados EI é constante I 240 pol4 E 29 000 kipspol2 b Recalcule dC usando a Equação 1033 para avaliar UQ 5 5 10 A B C D P 16 kips C a d 15 c 5 12 kips 4 kips x1 x3 x2 M3 Mp 60 kip ft Solução a Neste exemplo não é possível escrever uma única expressão para MQ e MP que seja válida ao longo de todo o comprimento da viga Como as cargas nos corpos livres mudam com a distância ao longo do eixo da viga a expressão de MQ ou MP em uma seção mudará sempre que a seção passar por uma carga no sistema real ou no sistema fictício Portanto para a viga da Figura 1017 devemos usar três integrais para avaliar a energia de deformação virtual total Por clareza denotaremos a região na qual um corpo livre em particular é válido adicionando um subscrito na variável x que representa a posição da seção na qual o momento é avaliado As origens mostradas na Figura 1017 são arbitrárias Se outras posições fossem escolhidas para as origens os resultados seriam os mesmos somente os limites de um x em particular mudariam As expressões para MQ e MP em cada seção da viga são as seguintes Figura 1017 a Viga real o sistema P AB A 0 x1 5 ft x1 12x1 BC A 5 x2 10 ft x2 12x2 16x2 5 DC D 0 x3 10 ft x3 4x3 1 2 1 2 1 2 AB A 0 x1 5 ft x1 12x1 BC A 5 x2 10 ft x2 12x2 16x2 5 DC D 0 x3 10 ft x3 4x3 1 2 1 2 1 2 AB A 0 x1 5 ft x1 12x1 BC A 5 x2 10 ft x2 12x2 16x2 5 DC D 0 x3 10 ft x3 4x3 1 2 1 2 1 2 AB A 0 x1 5 ft x1 12x1 BC A 5 x2 10 ft x2 12x2 16x2 5 DC D 0 x3 10 ft x3 4x3 1 2 1 2 1 2 AB A 0 x1 5 ft x1 12x1 BC A 5 x2 10 ft x2 12x2 16x2 5 DC D 0 x3 10 ft x3 4x3 1 2 1 2 1 2 Segmento Origem Intervalo de x MQ MP 393 Nas expressões de MQ e MP o momento positivo é definido como aquele que produz compressão nas fibras superiores da seção transver sal Usando a Equação 1031 encontramos a solução da deflexão 183333 EI 183333 1728 240 29000 0455 pol dC 250 EI 916666 EI 666666 EI 10 0 x3 2 14x32dx EI 11 kip2 1dC2 5 0 x1 2 112x12dx EI 10 5 x2 2 312x2 16 1x2 524 dx EI QdC a 3 i 1 MQ MP dx EI Resp b Recalcule dc usando a Equação 1033 ver a integral de produto na quinta linha e quarta coluna da tabela no final do livro dc 0455 pol 1 dc 1 29000 12402 c 1 3 110 52 2 6 10 15 d5 60 20 1728 Q dc UQ 1 EI c 1 3 1a c2 2 6ad dM1M3L Resp Figura 1017 b Carga fictícia e reações o sistema Q A D C Q 1 kip 1 2 1 2 b kip kip x1 x3 x2 b 10 M1 MQ 5 kip ft a 10 Seção 106 Trabalho virtual vigas e pórticos 394 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões Calcule a deflexão no ponto C para a viga mostrada na Figura 1018a Dado EI é constante Solução Use a Equação 1031 Para avaliar a energia de deformação virtual UQ devemos dividir a viga em três segmentos A tabulação a seguir resume as expressões de MP e MQ E X E M P L O 1 0 1 2 Figura 1018 a Sistema P mostrando as origens do sistema de coordenadas b sistema Q c a forma defletida B C D Dy 20 kN By 22 kN A 10 kN MP MP MP a 2 m 3 m 4 m w 8 kNm x1 x2 x3 B C D A Q 1 kN kN kN MQ MQ MQ b 3 7 x1 x2 x3 4 7 C c Como MQ 0 no segmento AB a integral inteira para esse segmento será igual a zero portanto só precisamos avaliar as integrais dos seg mentos BC e CD 1031 Integrando e substituindo os limites temos C 0 1029 EI 7314 EI 8343 EI T 11 kip2 1C2 a MQ MP dx EI C 2 0 102 1 10x12 dx EI 3 0 4 7 x2 112x2 202 dx EI 4 0 3 7 x3120x3 4x2 32 dx EI Resp O valor positivo de C indica que a deflexão é para baixo na direção da carga fictícia Um esboço da forma defletida da viga é mostrado na Figura 1018c x Intervalo MP MQ Segmento Origem m kNm kNm AB A 02 210x1 0 BC B 03 210x2 1 2 1 22x2 4 7 x2 DC D 04 20x3 2 8x3x32 37 x3 395 A viga da Figura 1019 deve ser fabricada com raio de curvatura constante de modo que um abaulamento de 15 pol seja criado no meio do vão Usando trabalho virtual determine o raio de curvatura R neces sário Dado EI é constante Q 1 kip kip kip R A B A B a b L 30 15 1 2 1 2 1 2 MQ x x Solução Use a Equação 1030 1030 QdP MQ du Como dudx 1R e du dxR consultar Equação 94 dP 15 pol 12 0125 ft MQ 1 2 x ver Figura 1019b Substituindo du dP e MQ na Equação 1030 por causa da simetria podemos integrar de 0 a 15 e duplicar o valor temos 1 kip 0125 ft 2 15 0 x 2 dx R Integrando e substituindo os limites resulta R 900 ft 25 10 225 2R Resp E X E M P L O 1 0 1 3 Figura 1019 a Viga laminada com raio de curvatura constante R para produzir um abaula mento de 15 pol no meio do vão sistema P b sistema Q Seção 106 Trabalho virtual vigas e pórticos 396 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões Considerando a energia de deformação associada à carga axial e ao momento calcule a deflexão horizontal do nó C do pórtico da Figura 1020a Os membros têm seção transversal constante com I 600 pol4 A 13 pol2 e E 29 000 kipspol2 E X E M P L O 1 0 1 4 Figura 1020 a Detalhes do pórtico b sistema P c sistema Q Solução Determine as forças internas produzidas pelos sistemas P e Q ver Figura 1020 b e c De A até B x 0 a x 6 ft MQ 1 x FQ 5 kips 6 tração MP 24 x FP 8 kips 1tração2 A B C D a 18 9 6 P 24 kips A B x C D b 24 kips 24 kips 8 kips Q 1 kip 1 kip kip kip 8 kips x x x x x A B C D c 5 6 5 6 Q 1 kip 1 kip kip kip x x x A B C D c 5 6 5 6 A B C D a 18 9 6 P 24 kips A B x C D b 24 kips 24 kips 8 kips Q 1 kip 1 kip kip kip 8 kips x x x x x A B C D c 5 6 5 6 397 De B até C x 6 a x 15 ft MQ 1 x FQ 5 kips 6 MP 24x 241x 62 144 kip ft FP 8 kips De D até C x 0 a x 18 ft MQ 5 6 x FQ 0 MP 8x FP 0 Calcule o deslocamento horizontal dCH usando trabalho virtual Con sidere deformações de flexão e axiais na avaliação de UQ Somente o membro AC transmite carga axial 28 pol 00032 pol arredondado para 28 pol 28296 117282 600129000 2 1200 13129000 2 c 8x 3 EI d 6 0 c 72x 2 EI d 15 6 c 20x 3 9EI d 18 0 1200 AE 1 2 182 115 122 AE 6 0 x124x2dx EI 15 6 x11442dx EI 18 0 1 2 18x2dx EI a QdCH a MQMP dx EI a FQFPL AE WQ UQ Resp 5 6 5x 6 1 kip dCH Na equação acima 28 pol representam a deflexão produzida pelas deformações de flexão e 00032 pol é o incremento de deflexão produ zido pela deformação axial da coluna Na maioria das estruturas nas quais são produzidas deformações por carga axial e flexão as deforma ções axiais que são muito pequenas comparadas com as deformações de flexão podem ser desprezadas Seção 106 Trabalho virtual vigas e pórticos 398 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões Sob a carga de 5 kips o apoio em A gira 0002 rad no sentido horário e sofre um recalque de 026 pol Figura 1021a Determine a deflexão vertical total em D devido a todos os efeitos Considere somente as deformações de flexão do membro isto é despreze as deformações axiais Dados I 1 200 pol4 E 29 000 kipspol2 Solução Como o momento de inércia entre os pontos A e B é duas vezes maior do que o do restante do membro fletido devemos definir integrais separadas para a energia de deformação virtual interna entre os pontos AB BC e DC A Figura 1021b e c mostra as origens de x usadas para expressar MQ e MP em termos das forças aplicadas As expressões de MQ e MP a serem substituídas na Equação 1031 são as seguintes A B C D P 5 kips b 80 kipft D 5 kips 4 kips 3 kips x1 x2 x3 MP MP A B C D 1 kip c 22 kipft 1 kip 08 kip 06 kip x1 x2 x3 MQ MQ MQ A B 2I I I C D P 5 kips A a 0002 rad A 026 8 8 10 10 6 12 E X E M P L O 1 0 1 5 Figura 1021 a Uma carga de 5 kips produz recalque e rotação do apoio A e flexão do mem bro ABC b sistema P o apoio A também gira e sofre um recalque conforme mostrado em a c sistema Q com carga fictícia de 1 kip para baixo em D x Intervalo MP MQ Segmento Origem pés kipft kipft AB A 010 280 1 4x1 222 1 08x1 BC B 010 240 1 4x2 214 1 08x2 DC D 06 0 2x3 Como MP 0 a energia de deformação virtual o produto de MQ e MP é igual a zero entre D e C portanto a integral de UQ não precisa ser definida nessa região Calcule dD usando a Equação 1031 Como o apoio A gira 0002 rad e sofre um recalque de 026 pol o trabalho virtual externo em A reali zado pelas reações da carga fictícia deve ser incluído no trabalho virtual externo dD 118 pol I 0528 026 dD 7800 11728 2 1200 1290002 10 0 1 14 08x22 1 40 4x2 2 dx EI 10 0 1 22 08x12 1 80 4x12 dx E 12I2 WQ UQ Resp a MQuP QdP a MQ MP dx EI 22 1122 100022 1 10262 1 1dD2 399 107 Somatório finito As estruturas que analisamos anteriormente pelo método do trabalho vir tual eram compostas de membros de seção transversal constante isto é membros prismáticos ou de membros que consistiam em vários segmentos de seção transversal constante Se a altura ou a largura de um membro varia com a distância ao longo do seu eixo ele é nãoprismático Evidentemente o momento de inércia I de um membro nãoprismático variará com a distân cia ao longo de seu eixo longitudinal Se as deflexões de vigas ou pórticos contendo membros nãoprismáticos precisam ser calculadas pelo trabalho virtual usandose a Equação 1031 ou 1032 o momento de inércia no termo da energia de deformação deve ser expresso como uma função de x para fazer a integração Se a relação funcional do momento de inércia é complexa pode ser difícil expressála como uma função de x Nessa situação podemos sim plificar o cálculo da energia de deformação substituindo a integração um somatório infinitesimal por um somatório finito Em um somatório finito dividimos um membro em uma série de seg mentos frequentemente de comprimento idêntico Supõese que as pro priedades de cada segmento são constantes ao longo do comprimento de um segmento e o momento de inércia ou qualquer outra propriedade é baseada na área da seção transversal no ponto central do segmento Para avaliar a energia de deformação virtual UQ contida no membro somamos as contribuições de todos os segmentos Simplificamos ainda mais o somatório supondo que os momentos MQ e MP são constantes ao longo do comprimento do segmento e iguais aos valores no centro dele Pode mos representar a energia de deformação virtual em um somatório finito pela seguinte equação 1034 UQ a N 1 MQMP xn EIn em que xn comprimento do segmento n In momento de inércia de um segmento baseado na área da seção transversal do ponto central MQ momento no ponto central do segmento produzido pela carga fictícia sistema Q MP momento no ponto central do segmento produzido pelas cargas reais sistema P E módulo de elasticidade N número de segmentos Embora um somatório finito produza um valor aproximado da energia de deformação a precisão do resultado normalmente é boa mesmo quando é usado um pequeno número de segmentos digamos cinco ou seis Se a seção transversal de um membro muda rapidamente em deter minada região segmentos de comprimento menor devem ser utilizados para modelar a variação do momento de inércia Por outro lado se a variação na seção transversal é pequena ao longo do comprimento de um membro o número de segmentos pode ser reduzido Se todos os segmen tos têm o mesmo comprimento os cálculos podem ser simplificados decompondose xn no somatório Seção 107 Somatório finito 400 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões Usando um somatório finito calcule a deflexão dB da ponta da viga em balanço da Figura 1022a A viga de 12 pol de largura tem variação uniforme de altura e E 3 000 kipspol2 E X E M P L O 1 0 1 6 a A B P 24 kips A A Seção AA varia b A B P 24 kips 1 4 3 2 1 3 5 7 c A B Q 1 kip 1 4 3 2 1 12 3 5 7 Figura 1022 a Detalhes da viga de altura variável b sistema P c sistema Q Solução Divida o comprimento da viga em quatro segmentos de comprimento igual xn 2 ft Baseie o momento de inércia de cada segmento na altura no centro de cada segmento ver colunas 2 e 3 da Tabela 103 Os valores de MQ e MP estão tabulados nas colunas 4 e 5 da Tabela 103 Usando a Equação 1034 para avaliar o lado direito da Equação 1031 encontre a solução de dB 11 kip2 1dB2 a 4 n 1 MQMP xn EI xn E a MQMP I WQ UQ Substituindo ΣMQMP I 5307 da parte inferior da coluna 6 da Tabela 103 xn 2 ft e E 3 000 kipspol na Equação 1034 para UQ temos dB 2 1122 153072 3000 0042 pol Resp TABElA 103 Altura I 5 bh312 MQ MP MQMP144I Segmento pol pol4 kipft kipft kips2pol2 1 2 3 4 5 6 1 13 2 197 1 24 0157 2 15 3 375 3 72 0922 3 17 4 913 5 12 1759 4 19 6 859 7 168 2469 Nota Os momentos na coluna 6 estão multiplicados por 144 para expressar MQ e MP em kippolegadas a MQMP I 5307 401 108 Princípio de Bernoulli dos deslocamentos virtuais O princípio de Bernoulli dos deslocamentos virtuais um teorema estrutural básico é uma variação do princípio do trabalho virtual O prin cípio é utilizado em demonstrações teóricas e também pode ser usado para calcular a deflexão de pontos em uma estrutura determinada que sofra movimento de corpo rígido por exemplo um recalque de apoio ou um erro de fabricação O princípio de Bernoulli que parece quase óbvio quando enunciado diz que Se um corpo rígido carregado por um sistema de forças em equilíbrio recebe um pequeno deslocamento virtual por um efeito externo o traba lho virtual WQ realizado pelo sistema de forças é igual a zero Nesse enunciado o deslocamento virtual é um deslocamento real ou hipotético produzido por uma ação independente do sistema de forças que atua na estrutura Além disso o deslocamento virtual deve ser suficiente mente pequeno para que a geometria e a magnitude do sistema de forças original não mudem significativamente quando a estrutura for deslocada de sua posição inicial para a posição final Como o corpo é rígido UQ 0 No princípio de Bernoulli trabalho virtual é igual ao produto de cada força ou momento pela componente do deslocamento virtual através do qual se move Assim ele pode ser expresso pela equação 1035 QdP Q muP 0 WQ UQ 0 em que Q força que faz parte do sistema de forças de equilíbrio dP deslocamento virtual colinear com Q Qm momento que faz parte do sistema de forças de equilíbrio uP deslocamento rotacional virtual O fundamento lógico por trás do princípio de Bernoulli pode ser expli cado considerandose um corpo rígido em equilíbrio sob um sistema de for ças coplanares Q as reações também são consideradas parte do sistema de forças No caso mais geral o sistema de forças pode consistir em forças e momentos Conforme discutimos na Seção 36 o efeito externo de um sis tema de forças atuando sobre um corpo sempre pode ser substituído por uma força resultante R através de qualquer ponto e um momento M Se o corpo está em equilíbrio estático a força resultante é igual a zero e seguese que R 0 M 0 ou expressando R em suas componentes retangulares Rx 0 Ry 0 M 0 1036 Se agora supusermos que o corpo rígido recebe um pequeno deslocamento virtual consistindo em um deslocamento linear L e um deslocamento angular u em que L tem as componentes x na direção x e y na direção y o trabalho virtual WQ produzido por esses deslocamentos é igual a WQ Rx x Ry y Mu Como a Equação 1036 estabelece que Rx Ry e M são iguais a zero na equação acima verificamos pelo princípio de Bernoulli que WQ 0 1036a Seção 108 Princípio de Bernoulli dos deslocamentos virtuais 402 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões E X E M P L O 1 0 1 7 A B B C D A C D a 8 4 5 12 Figura 1023 a Forma defletida produzida pelo recalque do apoio B b sistema Q usado para calcular a deflexão em C c sistema Q usado para calcular a deflexão hori zontal de D d sistema Q usado para calcular a inclinação em A A B Q 1 kip kip kip C D b 1 2 3 2 1 kip kip Q 1 kip 5 8 5 kip 8 A B C D c Q 1 kip ft 1 kip 8 1 kip 8 A B C D d Solução a Neste exemplo a viga atua como um corpo rígido pois nenhuma tensão interna e consequentemente nenhuma deformação se desen volvem quando a viga uma estrutura determinada é deslocada devido ao recalque do apoio B Para calcular o deslocamento vertical em C aplicamos uma carga fictícia de 1 kip na direção vertical em C ver Figura 1023b Em seguida calculamos as reações nos apoios Se o apoio B da viga em forma de L da Figura 1023a sofre um recalque de 12 pol determine a o deslocamento vertical dC do ponto C b o deslocamento horizontal dD do ponto D e c a inclinação uA no ponto A 403 Seção 108 Princípio de Bernoulli dos deslocamentos virtuais usando as equações da estática A carga fictícia e suas reações cons tituem um sistema de forças em equilíbrio um sistema Q Agora imaginamos que a viga carregada da Figura 1023b sofre o recalque de apoio indicado na Figura 1023a De acordo com o princípio de Bernoulli para determinar dC igualamos a zero a soma do trabalho virtual realizado pelas forças do sistema Q dC 18 pol pik 1 1dC2 a 3 2 kip b 1122 0 WQ 0 Resp Na equação acima o trabalho virtual realizado pela reação em B é negativo pois o deslocamento de 12 pol para baixo tem sentido oposto à reação de 32 kip Como o apoio A não se move sua reação não produz trabalho virtual b Para calcular o deslocamento horizontal do nó D estabelecemos um sistema Q aplicando uma carga fictícia de 1 kip horizontalmente em D e calculamos as reações do apoio ver Figura 1023c Então dD é calculado sujeitandose o sistema Q da Figura 1023c ao deslocamento virtual mostrado na Figura 1023a Em seguida calculamos o trabalho virtual e o definimos igual a zero dD 075 pol pik 1 1dD2 a 5 8 kipb 1122 0 WQ 0 Resp c Calculamos uA aplicando um momento fictício de 1 kip ft em A ver Figura 1023d Então o sistema de forças recebe o deslocamento virtual mostrado na Figura 1023a e o trabalho virtual é avaliado Para expressar uA em radianos o momento de 1 kip ft é multiplicado por 12 para converter kippés em kippolegadas uA 1 80 rad 11 kip ft2 122 1 uA a 1 8 kipb12 0 WQ 0 Resp 404 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões 109 Lei de MaxwellBetti das deflexões recíprocas Usando o método do trabalho real deduziremos a lei de MaxwellBetti das deflexões recíprocas um teorema estrutural básico Com esse teorema no Capítulo 11 estabeleceremos que os coeficientes de flexibilidade nas equações de compatibilidade formuladas para resolver estruturas indeter minadas de dois ou mais graus de indeterminação pelo método da flexibi lidade formam uma matriz simétrica Essa observação nos permite reduzir o número de cálculos de deflexão necessários nesse tipo de análise A lei de MaxwellBetti também tem aplicações na construção de linhas de influên cia indeterminadas A lei de MaxwellBetti que se aplica a qualquer estrutura elástica estável uma viga treliça ou pórtico por exemplo sobre apoios não fle xíveis e em temperatura constante define Uma componente da deflexão linear em um ponto A na direção 1 pro duzida pela aplicação de uma carga unitária em um segundo ponto B na direção 2 tem magnitude igual à componente da deflexão linear no ponto B na direção 2 produzida por uma carga unitária aplicada em A na direção 1 A Figura 1024 ilustra os componentes dos deslocamentos da treliça BA e AB que são iguais de acordo com a lei de Maxwell As direções 1 e 2 estão indicadas por números circulados Os deslocamentos estão rotu lados com dois subscritos O primeiro subscrito indica a localização do deslocamento O segundo subscrito indica o ponto em que a carga que produz o deslocamento atua Podemos estabelecer a lei de Maxwell considerando as deflexões nos pontos A e B da viga da Figura 1025a e b Na Figura 1025a a aplicação de uma força vertical FB no ponto B produz uma deflexão vertical AB no ponto A e BB no ponto B Analogamente na Figura 1025b a aplicação de uma força vertical FA no ponto A produz uma deflexão vertical AA no ponto A e uma deflexão BA no ponto B Em seguida avaliamos o trabalho total realizado pelas duas forças FA e FB quando são aplicadas em ordem diferente na viga com apoios simples Presumese que as forças aumen tam linearmente de zero até seu valor final No primeiro caso aplicamos FB primeiro e depois FA No segundo aplicamos FA primeiro e depois FB Como a posição fletida final da viga produzida pelas duas cargas é a mesma independentemente da ordem em que as cargas são aplicadas o trabalho total realizado pelas forças também é o mesmo independente mente da ordem em que as cargas são aplicadas Caso 1 FB aplicada seguida de FA a Trabalho realizado quando FB é aplicada WB 1 2 FB BB b Trabalho realizado quando FA é aplicada com FB em vigor WA 1 2 FA AA FB BA AB A B a 1 kip 1 2 BA A B b 1 kip 1 2 A AB BB B FB a A AA BA B FA b Figura 1024 Figura 1025 405 Como a magnitude de FB não muda quando a viga deflete sob a ação de FA o trabalho adicional realizado por FB o segundo termo na equação acima é igual ao valor total de FB vezes a deflexão BA produzida por FA 1037 1 2 FB BB 1 2 FA AA FB BA Wtotal WB WA Caso 2 FA aplicada seguida de FB c Trabalho realizado quando FA é aplicada WA 1 2 FA AA d Trabalho realizado quando FB é aplicada com FA em vigor 1038 1 2 FA AA 1 2 FB BB FA AB Wtotal WA WB WB 1 2 FB BB FA AB Igualando o trabalho total dos casos 1 e 2 dados pelas equações 1037 e 1038 e simplificando temos 1039 FB BA FA AB 1 2 FB BB 1 2 FA AA FB BA 1 2 FA AA 1 2 FB BB FA AB Quando FA e FB 1 kip a Equação 1039 se reduz ao enunciado da lei de MaxwellBetti 1040 BA AB O teorema de MaxwellBetti também vale para rotações assim como para rotações e deslocamentos lineares Em outras palavras igualando o trabalho total realizado por um momento MA no ponto A seguido por um momento MB no ponto B e então invertendo a ordem em que os momentos são aplicados no mesmo membro também pode mos expressar a lei de MaxwellBetti como segue A rotação no ponto A na direção 1 devido a um conjugado unitário em B na direção 2 é igual à rotação em B na direção 2 devido a um conju gado unitário em A na direção 1 De acordo com o enunciado precedente da lei de MaxwellBetti BA na Figura 1026a é igual a AB na Figura 1026b Além disso o conjugado em A e a rotação em A produzida pelo conjugado em B estão na mesma direção no sentido antihorário Analogamente o momento em B e a rotação em B produzida pelo momento em A tam bém estão na mesma direção no sentido horário Como uma terceira variação da lei de MaxwellBetti também podemos dizer que Qualquer componente linear da deflexão em um ponto A na direção 1 produzida por um momento unitário em B na direção 2 tem magnitude igual à rotação em B em radianos na direção 2 devido a uma carga unitária em A na direção 1 A BA B B A a 1 kip ft A AB B b 1 kip ft Figura 1026 Seção 109 Lei de MaxwellBetti das deflexões recíprocas 406 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões A Figura 1027 ilustra o enunciado precedente da lei de Maxwell Betti isto é a rotação αBA no ponto B na Figura 1027a produzida pela carga unitária em A na direção vertical tem magnitude igual à deflexão vertical AB em A produzida pelo momento unitário no ponto B na Figura 1027b A Figura 1027 também mostra que AB tem a mesma direção da carga em A e que a rotação αBA e o momento em B têm o mesmo sentido antihorário Em sua forma mais geral a lei de MaxwellBetti também pode ser aplicada a uma estrutura apoiada de duas maneiras diferentes As apli cações anteriores dessa lei são subconjuntos do seguinte teorema Dada uma estrutura elástica linear e estável na qual foram selecionados pontos arbitrários forças ou momentos podem estar atuando em alguns ou em todos esses pontos em um de dois sistemas de carrega mento diferentes O trabalho virtual realizado pelas forças do primeiro sistema atuando pelos deslocamentos do segundo sistema é igual ao trabalho virtual realizado pelas forças do segundo sistema atuando pelos deslocamentos correspondentes do primeiro sistema Se um apoio se desloca em um ou outro sistema o trabalho associado à reação no outro sistema deve ser incluído Além disso as forças internas em deter minada seção podem ser incluídas em um ou em outro sistema imagi nandose que a restrição correspondente às forças é removida da estru tura mas que as forças internas são aplicadas como cargas externas em cada lado da seção O enunciado acima ilustrado no Exemplo 1018 pode ser repre sentado pela seguinte equação 1041 F1d2 F2d1 em que F1 representa uma força ou momento no sistema 1 e d2 é o deslo camento no sistema 2 que corresponde a F1 Analogamente F2 representa uma força ou momento no sistema 2 e d1 é o deslocamento no sistema 1 que corresponde a F2 A αBA AB B a 1 kip A B b 1 kip ft Figura 1027 407 A Figura 1028 mostra a mesma viga apoiada e carregada de duas maneiras diferentes Demonstre a validade da Equação 1041 Os deslo camentos necessários estão anotados na figura C L 2 L 2 A C B a Sistema 1 L 2 L 2 b Sistema 2 3 kips 4 kips 3L2 16EI 15 kip B A C 4 kips 4L kip ft 15 kip 4L3 3EI B 5L3 12EI Figura 1028 Vigas idênticas com duas condições de apoio diferentes Solução E X E M P L O 1 0 1 8 1041 3L3 4EI 3L3 4EI pik 51 102 13 kips2 5L3 12EI 115 kip2 4L3 3EI 14L kip ft 2 3L2 16EI F1d2 F2d1 14 kips2 102 14 kips2 102 Resp Seção 109 Lei de MaxwellBetti das deflexões recíprocas 408 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões Resumo O trabalho virtual é o principal assunto do Capítulo 10 Esse método permite ao engenheiro calcular uma única componente da deflexão a cada aplicação do método Com base no princípio da conservação de energia o trabalho virtual presume que as cargas são aplicadas lentamente para que nem energia cinética nem calorífica seja produzida Para calcular uma componente da deflexão pelo método do trabalho virtual aplicamos uma força também chamada de carga fictícia na estrutura no ponto e na direção do deslocamento desejado A força e suas reações associadas são chamadas sistema Q Se é necessária uma inclinação ou uma mudança de ângulo a força é um momento Com a carga fictícia em vigor as cargas reais chamadas sistema P são aplicadas na estrutura Quando a estrutura deforma sob as cargas reais um trabalho virtual externo WQ é realizado pelas cargas fictícias à medida que elas se movem pelos deslocamentos reais produzidos pelo sistema P Simultaneamente uma quantidade de energia de deformação virtual UQ equivalente é armazenada na estrutura Isto é WQ UQ Embora o trabalho virtual possa ser aplicado em todos os tipos de estruturas incluindo treliças vigas pórticos placas e cascas aqui limitamos a aplicação do método a três dos tipos de estruturas planares mais comuns treliças vigas e pórticos Também desconsideramos os efeitos do cisalhamento pois sua contribuição para as deflexões de vigas e pórticos delgados é desprezível O efeito do cisalhamento sobre as deflexões só tem significado em vigas altas curtas e pesadamente carregadas ou em vigas com módulo de rigidez baixo O método também permite ao engenheiro incluir deflexões devido à mudança de temperatura recalques de apoio e erros de fabricação Se uma deflexão tem componentes verticais e horizontais são necessárias duas análises separadas por meio do trabalho virtual a carga unitária é aplicada primeiramente na direção vertical e depois na direção horizontal A deflexão real é a soma vetorial das duas componentes ortogonais No caso de vigas ou treliças os projetistas geralmente estão interessados apenas na deflexão vertical máxima sob sobrecarga pois essa componente é limitada pelos códigos de projeto 409 Problemas O uso de uma carga unitária para estabelecer um sistema Q é arbitrá rio Contudo como as deflexões devido às cargas unitárias denomi nadas coeficientes de flexibilidade são utilizadas na análise de estruturas indeterminadas consultar Capítulo 11 o uso de cargas unitárias é uma prática comum entre os engenheiros de estruturas Para determinar a energia de deformação virtual quando a altura de uma viga varia ao longo de seu comprimento as mudanças nas pro priedades da seção transversal podem ser levadas em conta divi dindose a viga em segmentos e efetuandose um somatório finito consultar Seção 107 Na Seção 109 apresentamos a lei de MaxwellBetti das deflexões recíprocas Essa lei será útil no Capítulo 11 quando definirmos os termos das matrizes simétricas necessárias para resolver estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade PrObLEMAs P101 Para a treliça da Figura P101 calcule as compo nentes horizontais e verticais do deslocamento do nó B produzido pela carga de 100 kips A área de todas as barras 4 pol2 e E 24 000 kipspol2 20 20 15 15 A C B D E P 5 100 kips P101 P102 Para a treliça da Figura P101 calcule o desloca mento vertical do nó A e o deslocamento horizontal do nó C P103 Para a treliça da Figura P103 calcule as compo nentes horizontais e verticais do deslocamento do nó C A área de todas as barras 2 500 mm2 e E 200 GPa C 120 kN 240 kN B A D 6 m 8 m P103 410 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões P104 Para a treliça da Figura P103 calcule o desloca mento vertical do nó B e o deslocamento horizontal do rolo no nó A P105 a Na Figura P105 calcule as componentes ver tical e horizontal do deslocamento do nó E produzido pelas cargas A área das barras AB BD e CD 5 pol2 a área de todas as outras barras 3 pol2 E 30 000 kipspol2 b Se as barras AB e BD são fabricadas com comprimento a mais de 3 4 pol e o apoio D sofre um recalque de 025 pol calcule o deslocamento vertical do nó E Despreze a carga de 120 kips A B C D E 15 120 kips 80 kips 15 15 20 P105 P106 Quando a treliça da Figura P106 é carregada o apoio em E se desloca 06 pol verticalmente para baixo e o apoio em A se move 04 pol para a direita Calcule as componentes horizontal e vertical do deslo camento do nó C Para todas as barras área 2 pol2 e E 29 000 kipspol2 A C B D E 6 24 kips 24 kips 6 8 8 P106 P107 a Calcule a deflexão vertical do nó D produ zida pela carga de 30 kips na Figura P107 Para todas as barras área 2 pol2 e E 9 000 kipspol2 b Suponha que a treliça está descarregada Se a barra AE é fabricada com comprimento a mais de 8 5 pol quanto o rolo em B deve ser deslocado horizontalmente para a direita para que não ocorra nenhuma deflexão vertical no nó D 9 12 12 A B D E C P 30 kips P107 P108 a Descubra a deflexão horizontal no nó B pro duzida pela carga de 40 kips da Figura P108 A área de todas as barras em unidades de polegadas quadradas está mostrada no esboço da treliça E 30 000 kipspol2 b Para restaurar o nó B à sua posição inicial na direção horizontal quanto a barra AB precisa ser encurtada c Se a temperatura das barras AB e BC aumentar em 80 F A B C D 15 P 40 kips 15 20 5 5 4 2 2 P108 411 Problemas determine o deslocamento vertical do nó C t 65 106 polpolF O balancim no apoio A é equivalente a um rolo P109 Determine as deflexões horizontal e vertical do nó C da treliça da Figura P109 Além da carga no nó C a temperatura da barra BD está sujeita a um aumento de 60 F Para todas as barras E 29 000 kipspol2 A 4 pol2 e 65 106 polpolF 15 80 kips 15 A B C D 20 P109 P1010 Na Figura P1010 se o apoio A se move hori zontalmente 2 pol para a direita e o apoio F sofre um recalque de 1 pol verticalmente calcule a deflexão hori zontal do rolo no apoio G A B C D G E F 20 20 20 20 10 20 P1010 P1011 Quando a carga de 20 kips é aplicada no nó B da treliça da Figura P1011 o apoio A sofre um recalque de 3 4 pol verticalmente para baixo e se desloca 1 2 pol hori zontalmente para a direita Determine o deslocamento vertical do nó B devido a todos os efeitos Área de todas as barras 2 pol2 E 30 000 kipspol2 A B 20 kips C D E 10 10 articulação 10 10 P1011 P1012 Determine o valor da força P que precisa ser aplicada no nó C da treliça da Figura P1012 se a deflexão vertical em C deve ser zero Área de todas as barras 18 pol2 E 30 000 kipspol2 20 20 30 E C B D A P 5 9 kips P1012 412 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões P1013 Na Figura P1013 o apoio D foi construído 15 pol à direita de sua posição especificada Usando o princípio de Bernoulli da Seção 108 calcule a as componentes horizontal e vertical do deslocamento do nó B e b a mudança na inclinação do membro BC B C D D A 15 30 10 15 20 P1013 P1014 Se os apoios A e E na Figura P1014 são cons truídos 30 pés e 2 pol distantes em vez de 30 pés e se o apoio E também está 075 pol acima de sua elevação especificada determine as componentes verticais e hori zontais das deflexões da articulação em C e a inclinação do membro AB quando o pórtico é montado A B C D E articulação 075 P1014 P1015 Sob o peso próprio do arco da Figura P1015 é esperado que a articulação em B se desloque 3 pol para baixo Para eliminar o deslocamento de 3 pol os proje tistas reduzirão a distância entre os apoios movendo o apoio A para a direita Quanto o apoio A deve ser movido articulação A B C P1015 P1016 a Calcule a deflexão vertical e a inclinação da viga em balanço nos pontos B e C na Figura P1016 Dados EI é constante por toda parte L 12 ft e E 4 000 kipspol2 Qual é o valor mínimo exigido de I se a deflexão do ponto C não deve passar de 04 pol A B C 6 6 P 6 kips w 1 kipft P1016 413 Problemas P1017 Determine a magnitude da força vertical P que deve ser aplicada na ponta da viga em balanço da Figura P1017 se a deflexão em B deve ser zero EI é constante Expresse a resposta em termos de w e L A B P L w P1017 P1018 Calcule a deflexão vertical do ponto C na Figura P1018 Dados I 1 200 pol4 E 29 000 kipspol2 A B 2I I C P 6 kips w 12 kipft 8 12 P1018 P1019 Calcule a deflexão no meio do vão da viga da Figura P1019 Dados I 46 106 mm4 E 200 GPa Trate o balancim em E como um rolo P 18 kN 2 m 2 m 2 m 2 m A B 2I I I C D E P1019 P1020 Qual é o valor mínimo exigido de I para a viga da Figura P1020 se o ponto A não deve descer mais do que 03 pol Dados EI é constante E 29 000 kipspol2 16 6 A B w 2 kipsft C P 4 kips P1020 414 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões P1021 Calcule a deflexão no meio do vão e a inclinação em A na Figura P1021 EI é constante Expresse a incli nação em graus e a deflexão em polegadas Suponha um apoio de pino em A e um rolo em D E 29 000 kipspol2 I 2 000 pol4 30 kips 30 kips almofada de elastômero A B C D P1021 P1022 Calcule a inclinação nos apoios A e C da Figura P1022 EI é constante Expresse sua resposta em termos de E I L e M A C 2L 3 M L 3 B P1022 P1023 Calcule a deflexão em B e a inclinação em C na Figura P1023 EI é constante A C B 60 kipft 4 kipsft 15 15 P1023 P1024 Calcule as componentes horizontal e vertical da deflexão no ponto D na Figura P1024 Dados EI é constante I 120 pol4 E 29 000 kipspol2 3 kips A B C D 12 3 6 5 kips P1024 P1025 Calcule a deflexão vertical do nó C na Figura P1025 No membro ABC considere apenas a energia de deformação associada à flexão Dados IAC 340 pol4 e ABD 5 pol2 Quanto a barra BD deve ser alongada para eliminar a deflexão vertical do ponto C quando a carga de 16 kips atua A B C 6 12 16 kips 9 D P1025 415 Problemas P1026 Calcule as componentes horizontal e vertical da deflexão em C na Figura P1026 Dados E 200 GPa I 240 106 mm4 B C A 3 m 20 kN w 5 6 kNm 5 m P1026 P1027 Calcule o deslocamento vertical da articulação em C na Figura P1027 EI é constante para todos os membros E 200 GPa I 1 800 106 mm4 A B C w 42 kNm D E 15 m articulação 15 m 6 m P1027 P1028 Determine o valor do momento que precisa ser aplicado na extremidade esquerda da viga da Figura P1028 se a inclinação em A deve ser zero EI é cons tante Suponha que o balancim no apoio D atua como um rolo A 0 A C D B MA 3 m 24 kN 24 kN 3 m 3 m P1028 P1029 Calcule a deflexão vertical em B e a deflexão horizontal em C na Figura P1029 Dados ACD 3 pol2 IAC 160 pol4 AAC 4 pol2 e E 29 000 kipspol2 Considere a energia de deformação produzida pelas deformações axiais e de flexão 60 kips articulação w 4 kipsft A B C D P1029 P1030 Calcule as deflexões vertical e horizontal em B e no meio do vão do membro CD na Figura P1030 Considere as deformações axiais e de flexão Dados E 29 000 kipspol2 I 180 pol4 área da coluna 6 pol2 área da viga 10 pol2 D C 2I 2I I w 24 kipsft A B 5 10 kips 20 12 P1030 416 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões P1031 A viga ABC na Figura P1031 é apoiada por uma treliça de três barras no ponto C e em A por uma almofada de elastômero que é equivalente a um rolo a Calcule a deflexão vertical do ponto B devido à carga aplicada b Calcule a mudança necessária no compri mento do membro DE para deslocar o ponto B 075 pol para cima Isso é uma diminuição ou um alongamento da barra Dados E 29 000 kipspol2 área de todas as barras da treliça 1 pol2 área da viga 16 pol2 I da viga 1 200 pol4 A B C D E 6 6 10 10 P 64 kips 8 P1031 P1032 a Calcule a inclinação em A e o deslocamento horizontal do nó B na Figura P1032 EI é constante para todos os membros Considere somente as deformações de flexão Dados I 100 pol4 E 29 000 kipspol2 b Se o deslocamento horizontal no nó B não deve passar de 3 8 pol qual é o valor mínimo exigido de I B 6 20 10 D P 5 2 kips C A P1032 P1033 Calcule o deslocamento vertical dos nós B e C para o pórtico mostrado na Figura P1033 Dados I 360 pol4 E 30 000 kipspol2 Considere somente as deformações de flexão B C P 12 kips A 7 8 6 P1033 P1034 Se o deslocamento horizontal do nó B do pór tico da Figura P1034 não deve passar de 036 pol qual é o valor de I exigido dos membros A barra CD tem uma área de 4 pol2 e E 29 000 kipspol2 Considere somente as deformações de flexão dos membros AB e BC e a deformação axial de CD A w 2 kipsft P 4 kips D C B I I A 4 pol 2 articulação P1034 417 Problemas P1035 Para o pórtico rígido de aço da Figura P1035 calcule a rotação do nó B e o deslocamento horizontal do apoio C Considere somente as deflexões produzi das pelos momentos fletores Dados E 200 GPa I 80 106 mm4 60 kN B C A 4 m 3 m 4 m P1035 P1036 Para o pórtico de aço da Figura P1036 cal cule o deslocamento horizontal do nó B Para o mem bro BCD E 200 GPa e I 600 106 mm4 Para o membro AB área 1 500 mm2 B 10 m 5 m 5 m D C A B articulação P1036 P1037 Calcule o deslocamento vertical da articulação em C para a carga funicular mostrada na Figura P1037 A carga funicular produz tensão direta em todas as seções do arco As colunas transmitem somente carga axial das vigas do tabuleiro para o arco Além disso suponha que as vigas do tabuleiro e as colunas não restringem o arco Todas as reações são dadas Para todos os segmentos do arco A 20 pol2 I 600 pol4 e E 30 000 kipspol2 40 kips 90 kips 39 kips J A B D C 35 kips I 30 kips H 35 kips G 40 kips F E 3846 430 5 120 90 kips 39 kips 50 P1037 P1038 Determine as deflexões horizontal e vertical da articulação no ponto C do arco da Figura P1037 para uma única carga concentrada de 60 kips aplicada no nó B na direção vertical Veja as propriedades do arco no Problema P1037 418 Capítulo 10 Métodos de trabalhoenergia para calcular deflexões P1039 Calcule o deslocamento vertical do ponto C para a viga da Figura P1039 Para a viga I 360 106 mm4 e E 200 GPa Para o cabo A 1 600 mm2 e E 150 GPa A D C B 6 m 2 m 6 m 280 kN P1039 Momento de inércia efetivo de uma viga de concreto armado NOtA Esta nota se aplica aos problemas P1040 a P1042 Como as vigas de concreto armado fissuram devido às for ças de tração geradas por momento e cortante as deflexões elásticas iniciais são baseadas em uma equação empírica de momento de inércia estabelecida a partir de estudos experimentais com vigas inteiriças Seção 9523 do código ACI Essa equação produz um momento de inércia efetivo Ie que varia de cerca de 035 a 05 do momento de inércia IG baseado na área total da seção transversal Não é considerada a deflexão adicional devido à deformação lenta e à retração que ocorrem com o passar do tempo que pode ultrapassar a deflexão inicial P1040 Usando um somatório finito calcule a deflexão inicial no meio do vão para a viga da Figura P1040 Dados E 3 000 kipspol2 Use segmentos de 3 pés Suponha I 05IG 12 kips 12 kips varia A B P1040 P1041 Usando um somatório finito calcule a deflexão inicial no ponto C para a viga de altura variável da Figura P1041 E 3 500 kipspol2 Baseie sua análise nas propriedades de 05IG A B C 6 m 3 m 2 1 m 300 mm 300 mm 600 mm 180 kN 320 mm varia P1041 419 Problemas P1042 Estudo por computador Influência dos apoios no comportamento do pórtico a Usando o pro grama de computador RISA2D calcule a defle xão elástica inicial no meio do vão da viga da Figura P1042 dado que o apoio em D é um rolo Para a análise por computador substitua os membros de altura variável por segmentos de 3 pés de comprimento e altura constante cujas propriedades são baseadas nas dimensões no meio do vão de cada segmento isto é existirão 9 membros e 10 nós Quando montar o pro blema especifique em GLOBAL que as forças devem ser calculadas em três seções Isso produzirá valores de forças nas duas extremidades e no centro de cada seg mento Para levar em conta a fissuração do concreto armado suponha para a viga BCD que Ie 035IG para a coluna AB suponha que Ie 07IG as forças de com pressão nas colunas reduzem as fissuras Como as deflexões das vigas e pórticos rígidos de um pavimento são quase inteiramente por causa do momento e não são significativamente afetadas pela área da seção transver sal do membro substitua a área total na Tabela de pro priedades do membro b Substitua o rolo no apoio D da Figura P1042 por um pino para impedir o deslocamento horizontal do nó D e repita a análise do pórtico Agora o pórtico é uma estru tura indeterminada Compare seus resultados com os da parte a e discuta sucintamente as diferenças no com portamento com relação à magnitude das deflexões e momentos A B C D 18 9 9 CL CL CL P 24 kips 22 22 16 16 12 varia 11 P1042 Ponte East Huntington sobre o rio Ohio Tem aproximadamente 457 m de comprimento e é suportada por cabos com uma pista construída de concreto híbrido e vigas de aço de aproximadamente 15 m de altura Inaugurada em 1985 foi construída com aço e concreto de alta resistência O estudante deve contrastar as linhas esguias do tabuleiro e da torre desta moderna ponte projetada pela Arvid Grant and Associates com as da ponte do Brooklyn ver foto no início do Capítulo 1 C A P Í T U L O 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade 111 Introdução O método da flexibilidade também chamado de método das defor mações consistentes ou método da superposição é um procedimento para analisar estruturas indeterminadas lineares e elásticas Embora o método possa ser aplicado em quase qualquer tipo de estrutura vigas treliças pórticos cascas etc o esforço computacional aumenta expo nencialmente com o grau de indeterminação Portanto é mais atraente quando aplicado a estruturas com baixo grau de indeterminação Todos os métodos de análise indeterminada exigem que a solução satisfaça os requisitos de equilíbrio e compatibilidade Por compati bilidade queremos dizer que a estrutura deve se ajustar não podem existir lacunas e a forma defletida deve ser coerente com as res trições impostas pelos apoios No método da flexibilidade vamos satisfazer o requisito do equilíbrio usando as equações de equilíbrio estático em cada etapa da análise O requisito da compatibilidade será satisfeito escrevendose uma ou mais equações ou seja equa ções de compatibilidade que demonstram que não existe nenhuma lacuna internamente ou que as deflexões são coerentes com a geome tria imposta pelos apoios Como etapa fundamental no método da flexibilidade a análise de uma estrutura indeterminada é substituída pela análise de uma estru tura estável e determinada Essa estrutura chamada de estrutura liberada ou de base é estabelecida a partir da estrutura indetermi nada original imaginandose que certas restrições apoios por exem plo são removidas temporariamente 112 Conceito de redundante Na Seção 37 vimos que no mínimo três restrições que não são equivalentes nem a um sistema de forças paralelas nem a um de forças 422 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade concorrentes são necessárias para produzir uma estrutura estável isto é para evitar o deslocamento de corpo rígido sob qualquer condição de carga Por exemplo na Figura 111a as reações horizontal e vertical do pino em A e a reação vertical do rolo em C impedem a translação e a rotação da viga independentemente do tipo de sistema de forças aplicado Como estão disponíveis três equações de equilíbrio para determinar as três reações a estrutura é estaticamente determinada Se um terceiro apoio for construído em B ver Figura 111b estará disponível uma reação adicional RB para suportar a viga Como a rea ção em B não é absolutamente essencial para a estabilidade da estru tura é denominada redundante Em muitas estruturas a designação de uma reação em particular como redundante é arbitrária Por exemplo sob o ponto de vista lógico a reação em C na Figura 111b poderia ser considerada redundante pois o pino em A e o rolo em B também for necem restrições suficientes para produzir uma estrutura estável e determinada Embora a adição do rolo em B produza uma estrutura indeterminada no primeiro grau existem quatro reações mas estão disponíveis apenas três equações da estática o rolo também impõe o requisito geométrico de que o deslocamento vertical em B deve ser zero Essa condição geo métrica nos permite escrever uma equação adicional que pode ser usada junto com as equações da estática para determinar a magnitude de todas as reações Na Seção 113 esboçaremos as principais características do método da flexibilidade e ilustraremos seu uso analisando uma variedade de estruturas indeterminadas 113 Fundamentos do método da flexibilidade No método da flexibilidade imaginamos que redundantes suficientes apoios por exemplo são removidas de uma estrutura indeterminada para produzir uma estrutura liberada estável e determinada O número de res trições removidas é igual ao grau de indeterminação Então as cargas de projeto que são especificadas e as redundantes cuja magnitude é desco nhecida neste estágio são aplicadas na estrutura liberada Por exemplo a Figura 111c mostra a estrutura liberada determinada da viga da Figura 111b quando a reação em B é tomada como redundante Como a estru tura liberada da Figura 111c é carregada exatamente como a estrutura original as forças internas e as deformações da estrutura liberada são idênticas às da estrutura indeterminada original Em seguida analisamos a estrutura liberada determinada para as car gas e redundantes aplicadas Nesta etapa a análise é dividida em casos separados para 1 as cargas aplicadas e 2 para cada redundante desco nhecida Para cada caso as deflexões são calculadas em cada ponto onde uma redundante atua Como se supõe que a estrutura se comporta elasti camente essas análises individuais podem ser combinadas superpos tas para produzir uma que inclui o efeito de todas as forças e redun dantes Para achar a solução das redundantes as deflexões são somadas em cada ponto onde uma redundante atua e definidas iguais ao valor de R AY RB RC RAX B 0 b a P R AY R B R C R AX B 0 c P RAY R C R AX P A C B Figura 111 a Viga determinada b viga inde terminada com RB considerada redundante c a estrutura liberada da viga em b com a reação em B aplicada como força externa 423 Seção 113 Fundamentos do método da flexibilidade deflexão conhecido Por exemplo se uma redundante é fornecida por um rolo a deflexão será zero na direção normal ao plano ao longo do qual o rolo se move Esse procedimento produz um conjunto de equa ções de compatibilidade igual ao número de redundantes Uma vez determinados os valores das redundantes o equilíbrio da estrutura pode ser analisado com as equações da estática Iniciaremos o estudo do método da flexibilidade considerando estruturas indeterminadas no pri meiro grau A Seção 117 abordará as estruturas indeterminadas de ordem superior Para ilustrar o procedimento precedente consideraremos a análise da viga uniformemente carregada da Figura 112a Como estão dispo níveis somente três equações da estática para solucionar as quatro restrições fornecidas pelo apoio fixo e pelo rolo a estrutura é indeter minada no primeiro grau Para determinar as reações é necessária uma equação adicional para complementar as três equações da estática Para estabelecer essa equação selecionamos arbitrariamente como redun dante a reação RB exercida pelo rolo na extremidade direita Na Figura 112b o diagrama de corpo livre da viga da Figura 112a é redese nhado mostrando a reação RB exercida pelo rolo no apoio B mas não o rolo Imaginando que o rolo foi removido podemos tratar a viga indeterminada como uma viga em balanço determinada simples supor tando uma carga uniformemente distribuída w e uma força desconhe cida RB em sua extremidade livre Adotando esse ponto de vista pro duzimos uma estrutura determinada que pode ser analisada pela estática Como as vigas da Figura 112a e b suportam exatamente as mesmas cargas seus diagramas de cortante e momento são idênticos e ambas se deformam da mesma forma Em particular a deflexão verti cal B no apoio B é igual a zero Para chamar a atenção para o fato de que a reação fornecida pelo rolo é a redundante agora denotamos RB pelo símbolo XB ver Figura 112b Em seguida dividimos a análise da viga em balanço nas duas partes mostradas na Figura 112c e d A Figura 112c mostra as reações e as deflexões em B B0 produzidas pela carga uniforme cuja magnitude é especificada As deflexões da estrutura liberada produzidas pelas cargas aplicadas serão denotadas por dois subscritos O primeiro indicará a loca lização da deflexão o segundo será um zero para distinguir a estrutura liberada da estrutura real A Figura 112d mostra as reações e a deflexão em B BB produzidas pela redundante XB cuja magnitude é desconhe cida Supondo que a estrutura se comporta elasticamente podemos adi cionar superpor os dois casos da Figura 112c e d para fornecer o caso original mostrado na Figura 112b ou a Como o rolo na estrutura real RA MA AX RB a B A w L B 0 RA MA AX RB XB b w B 0 RA0 wL c w MA0 wL2 2 B0 wL4 8EI MAB XBL XB RAB XB d BB XBL3 3EI M 1L 1 kip XB 1 kip e BB 1L3 3EI Figura 112 Análise pelo método da flexibilidade a viga indeterminada no primeiro grau b estrutura liberada carregada com carga w e redundante RB c forças e desloca mentos produzidos pela carga w na estrutura liberada d forças e deslocamentos da estru tura liberada produzidos pela redundante XB e forças e deslocamentos na estrutura libe rada produzidos pelo valor unitário da redundante 424 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade estabelece o requisito geométrico de que o deslocamento vertical em B é igual a zero a soma algébrica dos deslocamentos verticais em B na Figura 112c e d deve ser igual a zero Essa condição de geometria ou compati bilidade pode ser expressa como 111 B 0 Sobrepondo as deflexões no ponto B produzidas pela carga aplicada na Figura 112c e pela redundante na Figura 112d podemos escrever a Equação 111 como 112 B0 BB 0 As deflexões B0 e BB podem ser avaliadas pelo método do momento das áreas pelo trabalho virtual ou a partir dos valores tabulados mostra dos na Figura 113a e b a L L M w b P P wL4 8EI c L 2 L A B A A L 2 L 2 L 2 L 2 w wL3 24EI 5wL4 384EI PL3 3EI B e ML 3EI B ML 6EI d L PL2 16EI PL3 48EI P P L 3 f L 3 PL2 9EI 23PL3 648EI Figura 113 Deslocamentos de vigas prismáticas 425 Como convenção de sinal vamos supor que os deslocamentos são positivos quando estão na direção da redundante Neste procedimento você está livre para supor a direção em que a redundante atua Se você tiver escolhido a direção correta a solução produzirá um valor positivo para a redundante Por outro lado se a solução resultar em um valor nega tivo para a redundante sua magnitude está correta mas sua direção é oposta àquela presumida inicialmente Expressando as deflexões em termos das cargas aplicadas e das pro priedades dos membros podemos escrever a Equação 112 como wL4 8EI XBL3 3EI 0 Resolvendo para XB temos 113 X B 3wL 8 Após ser calculada XB pode ser aplicada na estrutura da Figura 112a e as reações em A determinadas pela estática ou como procedimento alternativo as reações podem ser calculadas somandose as componentes da reação correspondente na Figura 112c e d Por exemplo a reação vertical no apoio A é igual a R A wL X B wL 3wL 8 5wL 8 Analogamente o momento em A é igual a MA wL2 2 X BL wL2 2 3wL1L2 8 wL2 8 Uma vez calculadas as reações os diagramas de cortante e momento podem ser construídos usandose as convenções de sinal estabelecidas na Seção 53 ver Figura 114 Na análise precedente a Equação 112 a equação da compatibilidade foi expressa em termos de duas deflexões B0 e BB No estabelecimento das equações de compatibilidade para estruturas indeterminadas em mais de um grau é desejável mostrar as redundantes como incógnitas Para escrever uma equação de compatibilidade dessa forma podemos aplicar um valor unitário da redundante 1 kip nesse caso no ponto B ver Figura 112e e então multiplicar esse caso por XB a magnitude real da redun dante Para indicar que a carga unitária assim como todas as forças e deslocamentos que ela produz é multiplicada pela redundante mostra mos a redundante entre colchetes ao lado da carga unitária no esboço do membro Figura 112e A deflexão dBB produzida pelo valor unitário da redundante é chamada de coeficiente de flexibilidade Em outras palavras as unidades de um coeficiente de flexibilidade são dadas em distância por carga unitária por exemplo polkip ou mmkN Como as vigas da Figura 112d e e são equivalentes seguese que 114 BB X BdBB 3 L 8 wL2 8 3 L 4 9wL2 128 wL2 8 5wL 8 3wL 8 5wL 8 3wL 8 a b c cortante momento w L Figura 114 Diagramas de cortante e momento para a viga da Figura 112a Seção 113 Fundamentos do método da flexibilidade 426 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade Substituindo a Equação 114 na Equação 112 temos 115 1 51 e a X B B0 dBB B0 X BdBB 0 Aplicando a Equação 115a à viga da Figura 112 calculamos XB como X B B0 dBB wL4 18EI2 L3 13EI2 3wL 8 Após XB ser determinada as reações ou forças internas em qualquer ponto da viga original podem ser determinadas combinandose as forças correspondentes na Figura 112c com as da Figura 112e multiplicadas por XB Por exemplo MA o momento no apoio fixo é igual a MA wL2 2 11L2XB wL2 2 L 3wL 8 wL2 8 114 Concepção alternativa do método da flexibilidade fechamento de uma lacuna Em certos tipos de problemas particularmente naqueles em que fazemos liberações internas para estabelecer a estrutura liberada pode ser mais fácil para o estudante estabelecer a equação da compatibilidade ou equações quando várias redundantes estão envolvidas considerando que a redundante representa a força necessária para fechar uma lacuna Como exemplo na Figura 115a consideramos novamente uma viga uniformemente carregada cuja extremidade direita está apoiada em um rolo indeslocável Uma vez que a viga repousa no rolo a lacuna entre a parte inferior da viga e a parte superior do rolo é zero Do mesmo modo que no caso anterior selecionamos a reação em B como redundante e consideramos a viga em balanço determinada da Figura 115b como estrutura liberada Nosso primeiro passo é aplicar a carga uniformemente distribuída w 2 kipsft na estrutura liberada ver Figura 115c e calcular B0 que representa a lacuna de 796 pol entre a posição original do apoio e a ponta da viga em balanço por clareza o apoio é mostrado deslocado horizontalmente para a direita Para indicar que o apoio não se moveu mostramos a distância horizontal entre a extremidade da viga e o rolo igual a zero polegada Agora aplicamos uma carga de 1 kip para cima em B e calculamos a deflexão vertical da ponta dBB 0442 pol ver Figura 115d A deflexão dBB representa quanto a lacuna é fechada por um valor unitá rio da redundante Como o comportamento é elástico o deslocamento é diretamente proporcional à carga Se tivéssemos aplicado 10 kips em vez de 1 kip a lacuna teria fechado 442 pol isto é 10 vezes mais 427 Se considerarmos que a redundante XB representa o fator pelo qual devemos multiplicar o caso de 1 kip para fechar a lacuna B0 isto é B 0 em que B representa a lacuna entre a parte inferior da viga e o rolo podemos expressar esse requisito como 116 B0 dBB X B 0 em que B0 lacuna produzida pelas cargas aplicadas ou no caso mais geral pela carga e outros efeitos movimentos de apoio por exemplo dBB quanto a lacuna é fechada por um valor unitário da redun dante XB número pelo qual o caso da carga unitária deve ser multi plicado para fechar a lacuna ou equivalentemente o valor da redundante Figura 115 a Propriedades da viga b estru tura liberada c lacuna B0 produzida pela carga w d fechamento da lacuna pelo valor unitário da redundante e o recalque de apoio em B reduz a lacuna em 2 pol f efeito do movimento dos apoios em A e em B MA RA RB XB 1 kip XB B 0 B0 796 BB 0442 a b c e d w 2 kipsft A B L 24 I 600 pol4 E 30000 kipspol2 w 2 kipsft 0 0 B0 596 796 w 2 kipsft 0 2 B B f B0 496 796 A w 2 kipsft 0 1 1 2 Seção 114 Concepção alternativa do método da flexibilidade fechamento de uma lacuna 428 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade Como convenção de sinal vamos supor que todo deslocamento que faz a lacuna abrir é negativo e todo deslocamento que fecha a lacuna é positivo Com base nesse critério dBB é sempre positivo Evidentemente a Equação 116 é idêntica à Equação 115 Usando a Figura 113 para calcular B0 e dBB os substituímos na Equação 116 e achamos a solução de XB produzindo X B 180 kips 796 0442 X B 0 B0 dBBX B 0 Se o apoio B sofresse um recalque de 2 pol para baixo até B quando a carga fosse aplicada ver Figura 115e o tamanho da lacuna B0 dimi nuiria em 2 pol e seria igual a 596 pol Para calcular o novo valor da redundante XB agora exigida para fechar a lacuna novamente substituí mos na Equação 116 e encontramos XB 13484 kips 596 0442XB 0 B0 dBBXB 0 Como um último exemplo se o apoio fixo em A fosse construído acidentalmente 1 pol acima de sua posição pretendida no ponto A e se um recalque de 2 pol também ocorresse em B quando a viga fosse car regada a lacuna B0 entre o apoio e a ponta da viga carregada seria igual a 496 pol como mostrado na Figura 115f Para calcular o valor da redundante XB necessário para fechar a lacuna substituímos na Equação 116 e calculamos B 1122 kips 496 0442 B 0 0 dBB B B 0 Como você pode ver a partir desse exemplo o recalque de um apoio de uma estrutura indeterminada ou um erro de construção pode produzir uma mudança significativa nas reações ver Figura 116 para uma comparação entre os diagramas de cortante e momento para o caso de nenhum recalque versus um recalque de 2 pol em B Embora uma viga ou estrutura indeter minada muitas vezes possa ser tensionada localmente em excesso pelos momentos gerados por recalques de apoio inesperados uma estrutura dúc til normalmente possui uma reserva de resistência que a permite deformar sem entrar em colapso MA 144 kip ft 81 kip ft 144 kip ft a 18 kips 18 kips cortante momento 30 kips 30 kips w 2 kipsft L 24 9 6 6742 A B MA 25238 kip ft 4545 kip ft 17258 25238 kip ft b RA 13484 kips RA 34516 kips 13484 kips cortante momento 34516 kips w 2 kipsft A B Figura 116 Influência de recalques de apoio no cortante e no momento a nenhum recalque b o apoio B sofre um recalque de 2 pol 429 Usando o momento MA no apoio fixo como redundante analise a viga da Figura 117a pelo método da flexibilidade Solução RA MA RB a B A w L 0 A O apoio fixo em A impede que a extremidade esquerda da viga gire Remover a restrição rotacional enquanto se mantêm as restri ções horizontais e verticais é equivalente a substituir o apoio fixo por um apoio de pino A estrutura liberada carregada pela redundante e pela carga real é mostrada na Figura 117b Agora analisamos a estru tura liberada para a carga real na Figura 117c e para a redundante na Figura 117d Como uA 0 a rotação uA0 produzida pela carga uni forme e a rotação AAXA produzida pela redundante devem somar zero A partir desse requisito geométrico escrevemos a equação da compatibilidade como 1 uA0 aAAX A 0 em que uA0 rotação em A produzida pela carga uniforme AA rotação em A produzida pelo valor unitário da redun dante 1 kip ft XA redundante momento em A Substituindo na Equação 1 os valores de uA0 e AA dados pelas equa ções da Figura 113 verificamos que 2 X A MA wL2 8 wL3 24EI L 3EI X A 0 Resp Como MA é positivo a direção suposta no sentido antihorário da redundante estava correta O valor de MA confirma a solução anterior mostrada na Figura 114 E X E M P L O 1 1 1 B A B A B A XA MA 1 kip ft XA RB RA b w A 0 wL 2 c w d A0 AA 1 L 1 L wL 2 Figura 117 Análise pelo método da flexibili dade usando MA como redundante a viga indeterminada no primeiro grau b estrutura liberada com carga uniforme e MA redundante aplicados como cargas externas c estrutura liberada com carga real d estrutura liberada com reações produzidas pelo valor unitário da redundante Seção 114 Concepção alternativa do método da flexibilidade fechamento de uma lacuna 430 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade Determine as forças de barra e as reações na treliça mostrada na Figura 118a Note que AE é constante para todas as barras RA RC XC CV 0 C0 a A B C D E 20 30 9 kips 20 b 45 9 0 0 0 75 75 A B C D E 9 kips 9 kips 6 kips 6 kips CC c 1 kip XC A B C D E 4 3 d 45 4 3 5 3 5 3 9 0 0 0 199 199 248 502 75 A B C D E 9 kips 751 kips 401 kips 149 kip 1 kip 4 3 kip 4 3 kip 401 kips Figura 118 a Treliça indeterminada no primeiro grau b estrutura liberada com car gas reais c estrutura liberada carregada pelo valor unitário da redundante d valores finais das forças de barra e reações sobrepondose o caso b e XC vezes o caso c Todas as forças de barra são dadas em kips Solução Como a treliça é indeterminada externamente no primeiro grau as reações fornecem quatro restrições é necessária uma única equação de compatibilidade Arbitrariamente selecionamos como redundante a rea ção do rolo em C Agora carregamos a estrutura liberada com a carga real Figura 118b e a redundante Figura 118c E X E M P L O 1 1 2 431 Como o rolo impede deslocamento vertical isto é CV 0 a superposição das deflexões em C fornece a seguinte equação de com patibilidade 1 C0 X CdCC 0 em que C0 é a deflexão na estrutura liberada produzida pela carga real e dCC é a deflexão na estrutura liberada produzida pelo valor unitário da redundante Os deslocamentos e as forças dirigidas para cima são positivos Avalie C0 e dCC pelo trabalho virtual usando a Equação 1024 Para calcular C0 Figura 118b use as cargas da Figura 118c como sistema Q C0 3 750 AE T pik 1 1C02 a 5 3 b 75 125 122 AE QdP FQ FPL AE Para calcular dCC produzido pela carga de 1 kip em C ver Figura 118c também usamos as cargas da Figura 118c como um sistema Q dCC a 4 3 b 2 20 12 AE 122 a 5 3 b 2 25 12 AE 122 2 520 AE c 1 kip1dCC2 a F 2 Q L AE Substituindo C0 e dCC na Equação 1 temos X C 149 3750 AE 2520 AE X C 0 Resp As reações e forças de barra finais mostradas na Figura 118d são calculadas pela superposição daquelas da Figura 118b com 149 vezes as produzidas pela carga unitária da Figura 118c Por exemplo R A 6 4 3 149 401 kips FED 75 5 3 149 502 kips Seção 114 Concepção alternativa do método da flexibilidade fechamento de uma lacuna 432 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade Determine as reações e desenhe os diagramas de momento para as barras do pórtico da Figura 119a EI é constante Solução Para produzir uma estrutura liberada determinada e estável seleciona mos arbitrariamente a reação horizontal RCX como redundante Remover a restrição horizontal exercida pelo pino em C enquanto se mantém sua capacidade de transmitir carga vertical é equivalente a introduzir um rolo As deformações e reações na estrutura liberada produzidas pela carga aplicada são mostradas na Figura 119b A ação da redundante na estrutura liberada é mostrada na Figura 119c Como o deslocamento horizontal CH na estrutura real no nó C é zero a equação de compatibilidade é 1 C0 dCCX C 0 Calcule C0 usando princípios dos momentos de área ver forma defletida na Figura 119b A partir da Figura 113d podemos avaliar a inclinação na extremidade direita da viga como uB0 PL2 16EI 10 1122 2 16EI 90 EI Como o nó B é rígido a rotação da parte superior da coluna BC tam bém é igual a uB0 Como a coluna não transmite nenhum momento permanece reta e C0 6uB0 540 EI Calcule dCC pelo trabalho virtual ver Figura 119c Use as cargas da Figura 119c como sistema Q e como sistema P isto é os sistemas P e Q são idênticos Para avaliar MQ e MP selecionamos sistemas de coor denadas com origens em A na viga e em C na coluna 1031 1 kip dCC MQMP dx EI 12 0 x 2 x 2 dx EI 6 0 x x dx EI Integrando e substituindo os limites temos dCC 216 EI Substituindo C0 e dCC na Equação 1 temos XC 25 540 EI 216 EI 1XC2 0 Resp E X E M P L O 1 1 3 433 As reações finais ver Figura 119d são estabelecidas pela superpo sição das forças da Figura 119b e aquelas da Figura 119c multiplica das por XC 25 A B C C P 10 kips RCX XC RCY a 6 6 6 CH 0 A B C A B P 10 kips 5 kips 5 kips b C0 B0 B0 375 kips 225 kip ft 15 kip ft 15 kip ft 25 kips 625 kips 25 kips d A B C 1 kip 1 kip XC x x c CC 1 2 kip 1 2 kip Seção 114 Concepção alternativa do método da flexibilidade fechamento de uma lacuna Figura 119 a Pórtico indeterminado no pri meiro grau RCX selecionada como redundante b carga de projeto aplicada na estrutura libe rada c reações e deformações na estrutura devido ao valor unitário da redundante d for ças finais pela superposição de valores em b mais XC vezes os valores em c Diagramas de momento em kipft também mostrados 434 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade Determine as reações da viga contínua da Figura 1110a pelo método da flexibilidade Dado EI é constante Solução A viga é indeterminada no primeiro grau isto é quatro reações e três equações da estática Selecionamos arbitrariamente a reação em B como redundante A estrutura liberada é uma viga simples esten dendose de A a C A estrutura liberada carregada pelas cargas especi ficadas e pela redundante XB é mostrada na Figura 1110b Como o rolo impede a deflexão vertical em B a equação geométrica que expressa esse fato é E X E M P L O 1 1 4 L w A C B RA RB XB RC RA RC a B 0 L w A C B XB b B 0 wL wL w A C B c B0 A C B d 1 kip XB BB 3 wL 8 3 L 8 9 wL 128 3 wL 8 1 2 kip 1 2 kip Figura 1110 Análise por deformações consis tentes a viga contínua indeterminada no pri meiro grau e reação em B tomada como redun dante b estrutura liberada carregada pela carga externa e pela redundante c estrutura liberada com carga externa d estrutura liberada carre gada pela redundante e diagramas de cortante e momento 435 A C RC RC A C wL A C w wL e 3 8 3 L 8 5 wL 4 wL 5 8 9 wL2 128 9 wL2 128 wL2 8 3 wL 8 3 wL 8 5 wL 8 3 wL 8 cortante momento 1 B 0 Para determinar a redundante superpomos as deflexões em B produ zidas 1 pela carga externa ver Figura 1110c e 2 pelo valor unitário da redundante multiplicado pela magnitude da redundante XB ver Figura 1110d Expressando a Equação 1 em termos desses desloca mentos temos 2 B0 dBBX B 0 Usando a Figura 113c e d calculamos os deslocamentos em B B0 5w 12L2 4 384EI dBB 11 kip2 12L2 3 48EI Substituindo B0 e dBB na Equação 2 e resolvendo para XB temos Resp R B X B 125wL Calculamos o restante das reações somando nos pontos correspon dentes as forças da Figura 1110c com as da Figura 1110d multiplica das por XB Resp Resp R C wL 1 2 1125wL2 3 8 wL R A wL 1 2 1125wL2 3 8 wL Os diagramas de cortante e momento estão plotados na Figura 1110e Seção 114 Concepção alternativa do método da flexibilidade fechamento de uma lacuna 436 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade 115 Análise usando liberações internas Nos exemplos anteriores de estruturas indeterminadas analisadas pelo método da flexibilidade as reações dos apoios eram selecionadas como redundantes Se os apoios não sofrem recalques as equações de compa tibilidade expressam a condição geométrica de que o deslocamento na direção da redundante é zero Agora vamos estender o método da flexi bilidade para um grupo de estruturas nas quais a estrutura liberada é estabelecida pela remoção de uma restrição interna Para essa condição as redundantes são tomadas como pares de forças internas e a equação da compatibilidade é baseada na condição geométrica de que nenhum deslo camento relativo isto é nenhuma lacuna ocorre entre as extremidades da seção sobre a qual as redundantes atuam Começaremos nosso estudo considerando a análise de uma viga em balanço cuja extremidade livre é suportada por um elo elástico ver Figura 1111a Como a extremidade fixa e o elo aplicam um total de quatro restri ções na viga mas estão disponíveis somente três equações de equilíbrio para uma estrutura planar a estrutura é indeterminada no primeiro grau Para analisar essa estrutura selecionamos como redundante a força de tra ção T na barra BC A estrutura liberada com a carga real de 6 kips e a redundante aplicada como uma carga externa é mostrada na Figura 1111b Conforme observamos anteriormente você está livre para supor a direção na qual a redundante atua Se a solução da equação de compatibilidade produzir um valor positivo para a redundante a direção suposta está correta Um valor negativo indicará que a direção da redundante deve ser invertida Como se presume que a redundante T atua para cima na viga e para baixo no elo os deslocamentos para cima da viga são positivos e os deslocamen tos para baixo são negativos Para o elo um deslocamento para baixo em B é positivo e um deslocamento para cima é negativo Na Figura 1111c a carga de projeto é aplicada na estrutura liberada produzindo uma lacuna B0 entre a extremidade da viga e o elo descarregado A Figura 1111d mostra a ação da redundante interna T no fechamento da lacuna Os valores unitários da redundante alongam a barra por uma quanti dade d1 e deslocam para cima a ponta da viga em balanço por uma quantidade A B C RA a L 12 I 864 pol4 E 30000 kipspol2 A 05 pol2 E 24000 kipspol2 L 20 6 kips MA A T T T B B rel 0 T B B C RA b 6 kips 0 MA 0 d A B0 B C c 6 kips 6 kips T 0 72 kip ft 0 A 1 2 B C 1 kip T 1 kip 1 kip 1 kip 12 kip ft A B RA a L 12 6 kips MA A B B rel 0 T B B RA b 6 kips MA 0 d A B0 B C c 6 kips 6 kips T 0 72 kip ft 0 A 1 2 B C 1 kip T 1 kip 1 kip 1 kip 12 kip ft Figura 1111 a Viga em balanço suportada por um elo elástico força do elo T tomada como redundante b estrutura liberada carregada pela carga de 6 kips e pela redundante T c carga de 6 kips aplicada na estrutura liberada d valores unitários da redundante aplicada na estrutura liberada para estabelecer o coeficiente de flexibi lidade dBB d1 d2 Nota viga mostrada na posição defletida produzida pela carga de 6 kips Sob as cargas unitárias a viga deflete d2 para cima e o elo CB d1 para baixo fechando parcial mente a lacuna d1 d2 437 d2 Para levar em conta o valor real da redundante as forças e deslocamentos produzidos pelas cargas unitárias são multiplicados por T a magni tude da redundante A equação da compatibilidade necessária para achar a solução da redundante é baseada na observação de que a extremidade direita da viga e o elo BC defletem ambos pela mesma quantidade B pois estão conec tados por um pino Alternativamente podemos dizer que o deslocamento relativo B rel entre o topo da viga e o elo é zero ver Figura 1111b Esta última estratégia é adotada nesta seção Sobrepondo as deflexões em B na Figura 1111c e d podemos escre ver a equação da compatibilidade como 117 B0 dBB1T2 0 Brel 0 em que B0 é o deslocamento para baixo da viga isto é a abertura da lacuna na estrutura liberada pela carga de 6 kips e dBB é a distância pela qual a lacuna é fechada pelos valores unitários da redundante isto é dBB d1 d2 ver Figura 1111d Na Figura 1111c B0 pode ser avaliado a partir da Figura 113b B0 PL3 3EI 6112 122 3 3130000 2864 02304 pol E dBB d1 d2 em que d1 FLAE e d2 é dado pela Figura 113b d1 FL AE 1 kip120 122 05 24000 002 pol 00384 d2 PL3 3EI 1 kip1122 3117282 3 30000 864 dBB d1 d2 002 00384 00584 pol Substituindo B0 e dBB na Equação 117 calculamos a redundante T T 3945 kips 02304 00584 T 0 A deflexão real em B ver Figura 1111b pode ser calculada avaliando se a mudança no comprimento do elo B FL AE 3945 20 12 05 24000 00789 pol ou somandose as deflexões na ponta da viga na Figura 1111c e d B B0 Td2 02304 3945 1003842 00789 pol Após a redundante ser estabelecida as reações e forças internas podem ser calculadas pela superposição das forças na Figura 1111c e d por exemplo MA 72 12 T 72 12 3945 2466 kip ft R A 6 1 T 6 3945 2055 kips Resp Seção 115 Análise usando liberações internas 438 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade L A P C B B RA RB RC a indicadores b B B B B L B0 P RA A C A B C A C B B RB MB MB RC c B d MB MB P P 2 e MB f 1 kip ft 1 kip ft P 2 1 L 1 L 1 L 1 L Analise a viga contínua da Figura 1112a selecionando o momento interno em B como redundante A viga é indeterminada no primeiro grau EI é constante L A P C B B RA RB RC a indicadores b B B B B L B0 P RA A C A B C A C B B RB MB MB RC c B d MB MB P P 2 e MB f 1 kip ft 1 kip ft P 2 1 L 1 L 1 L 1 L Solução Para esclarecer as deformações angulares envolvidas na solução vamos imaginar que dois indicadores são soldados na viga em cada lado do nó B Os indicadores que estão espaçados por zero polegada são perpendiculares ao eixo longitudinal da viga Quando a carga con centrada é aplicada no vão AB o nó B gira no sentido antihorário e o eixo longitudinal da viga e os indicadores se movem pelo ângulo uB como mostrado na Figura 1112a e b Como os indicadores estão loca lizados no mesmo ponto permanecem paralelos isto é o ângulo entre eles é zero Agora imaginamos que uma articulação que pode transmitir carga axial e cortante mas não momento é introduzida na viga contínua no apoio B produzindo uma estrutura liberada que consiste em duas vigas com apoios simples ver Figura 1112c Ao mesmo tempo que a articulação é introdu zida imaginamos que o valor real do momento interno MB na viga original é aplicado como uma carga externa nas extremidades da viga em um ou outro lado da articulação em B ver Figura 1112c e d Como cada membro da estrutura liberada é apoiado e carregado da mesma maneira que na viga contínua original as forças internas na estrutura liberada são idênticas às da estrutura original E X E M P L O 1 1 5 Figura 1112 a Viga contínua indeterminada no primeiro grau b detalhe do nó B mostrando a rotação uB do eixo longitudinal c estrutura liberada carregada pela carga real P e pelo momento redundante MB d detalhe do nó B em c e estrutura liberada com carga real f estrutura liberada carregada pela redundante as forças mostradas são produzidas pelo valor unitário da redundante MB 439 Para completar a solução analisamos a estrutura liberada separada mente 1 para a carga real ver Figura 1112e e 2 para a redundante ver Figura 1112f e sobrepomos os dois casos A equação de compatibilidade é baseada no requisito geométrico de que não existe nenhuma lacuna angular entre as extremidades da viga contínua no apoio B ou equivalentemente que o ângulo entre os indica dores é zero Assim podemos escrever a equação da compatibilidade como 118 uB0 2aMB 0 uBrel 0 Avalie uB0 usando a Figura 113d uB0 PL2 16EI Avalie usando a Figura 113e a 1L 3EI Substituindo uB0 e na Equação 118 e resolvendo para a redundante temos MB 3 32 1PL2 PL2 16EI 2 L 3EI MB 0 Resp Superpondo as forças na Figura 1112e e f calculamos RC 0 1 L a 3 32PLb 3 32P T o sinal menos indica que a direção suposta para cima está errada RA P 2 1 L MB P 2 1 L a 3 32PLb 13 32P c Analogamente uB pode ser avaliada pela soma das rotações na extre midade direita de AB produzindo E uB uB0 aMB PL2 16EI L 3EI a 3 32PLb PL2 32EI ou somando as rotações da extremidade esquerda de BC E uB 0 aMB L 3EI a 3 32PLb PL2 32EI Seção 115 Análise usando liberações internas 440 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade Determine as forças em todas as barras da treliça da Figura 1113 AE é constante para todas as barras Figura 1113 a Detalhes da treliça b estrutura liberada carregada com a redundante X e a carga de 40 kips c detalhe mostrando a redundante d carga de 40 kips aplicada na estrutura liberada e sistema Q para 0 f valor unitário da redundante aplicada na estrutura liberada g resultados finais E X E M P L O 1 1 6 A B D FAC X C P 40 kips 40 kips 30 kips 30 kips a A 2 pol2 E 30000 kipspol2 1 1 1 1 16 12 A B FAC X FAC X D X X C 40 kips 40 kips 30 kips 0 0 0 rel 0 rel 0 30 kips b c A B D C 40 kips 40 kips 30 kips 30 kips d 0 0 0 40 1 50 08 08 06 2006 2509 1504 1496 2493 1995 06 08 08 06 06 30 1 1 A B D C 1 kip 1 kip e A B 1 kip 1 kip X D C f A B D C 40 kips 40 kips 30 kips 30 kips g 0 1 2 00 1 2 441 Solução A treliça da Figura 1113a é indeterminada internamente no pri meiro grau As forças desconhecidas barras e reações totalizam nove mas estão disponíveis somente 2n 8 equações para sua solu ção Do ponto de vista físico uma barra diagonal extra que não é exigida para dar estabilidade foi adicionada para transmitir a carga lateral para o apoio A A aplicação da força horizontal de 40 kips em D produz forças em todas as barras da treliça Selecionaremos a força axial FAC na barra AC como redundante e a representaremos pelo símbolo X Agora imaginamos que a barra AC é cortada passandose uma seção ima ginária 11 pela barra Em cada lado do corte a redundante X é apli cada como uma carga externa nas extremidades da barra ver Figura 1113b Um detalhe do corte é mostrado na Figura 1113c Para mostrar a ação das forças internas em cada lado do corte as barras foram deslocadas A dimensão zero entre o eixo longitudinal das barras indica que na verdade elas são colineares Para mostrar que não existe nenhuma lacuna entre as extremidades das barras denota mos no esboço que o deslocamento relativo entre as extremidades rel é igual a zero 119 rel 0 O requisito de que não existe nenhuma lacuna entre as extremidades das barras na estrutura real forma a base da equação da compatibilidade Assim como nos exemplos anteriores em seguida dividimos a análise em duas partes Na Figura 1113d a estrutura liberada é analisada para a carga aplicada de 40 kips Quando as barras ten sionadas da estrutura liberada deformam uma lacuna 0 se abre entre as extremidades das barras na seção 11 O sistema Q neces sário para calcular 0 está mostrado na Figura 1113e Na Figura 1113f a estrutura liberada é analisada para a ação da redundante O deslocamento relativo d00 das extremidades da barra produzido pelo valor unitário da redundante é igual à soma dos deslocamen tos d1 e d2 Para calcular d00 usamos novamente o sistema de forças mostrado na Figura 1113e como sistema Q Nesse caso o sistema Q e o sistema P são idênticos Expressando a condição geométrica dada pela Equação 119 em termos dos deslocamentos produzidos pelas cargas aplicadas e pela redundante podemos escrever 1110 0 Xd00 0 Substituindo os valores numéricos de 0 e d00 na Equação 1110 e resolvendo para X temos X 2507 kips 0346 00138X 0 Seção 115 Análise usando liberações internas continua 442 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade Os cálculos de 0 e d00 usando trabalho virtual são dados abaixo 0 Use o sistema P da Figura 1113d e o sistema Q da Figura 1113e 0 20736 AE 20736 2 30000 0346 pol 06 1302 112 122 barra AD AE pik 1 102 1 1 502 120 122 barra DB AE 08 1402 116 122 barra AB AE WQ a FQFPL AE d00 Sistema P da Figura 1113f e sistema Q da Figura 1113e nota os sistemas P e Q são os mesmos portanto FQ FP Como d d d00 d00 82944 AE 82944 2 30000 00138 pol 12120 122 AE 122 1 082 2116 122 AE 122 pik 1 1d1 1 2 1 kip1d2 2 2 1 062 2112 122 AE 122 WQ a F 2 QL AE As forças de barra são estabelecidas pela superposição das forças na Figura 1113d e f Por exemplo as forças nas barras DC AB e DB são FDB 50 1 125072 2493 kips FAB 40 1 082 125072 1995 kips FDC 0 1 082 125072 2006 kips Resp Os resultados finais estão resumidos na Figura 1113g continuação 443 116 Recalques de apoio mudança de temperatura e erros de fabricação Recalques de apoio erros de fabricação mudanças de temperatura deformação lenta retração etc geram forças nas estruturas indetermina das Para garantir que tais estruturas sejam projetadas com segurança e não deformem excessivamente o projetista deve investigar a influência desses efeitos particularmente quando a estrutura é pouco convencio nal ou quando o projetista não está familiarizado com o comportamento de uma estrutura Como é uma práticapadrão dos projetistas supor que os membros serão fabricados com o comprimento exato e que os apoios serão construídos no local preciso e com a elevação especificada nos desenhos da construção poucos engenheiros consideram os efeitos de erros de fabricação ou cons trução ao projetar estruturas normais Se surgem problemas durante a construção normalmente são resolvidos pela turma de campo Por exem plo se os apoios são construídos baixos demais placas de aço calços podem ser inseridas sob as placas de base das colunas Se os proble mas surgem depois que a construção está terminada e o cliente está abor recido ou não pode utilizar a estrutura frequentemente isso resulta em ações judiciais Por outro lado a maioria dos códigos de construção exige que os enge nheiros considerem as forças geradas pelo recalque diferencial de estruturas construídas em solos compressíveis argila mole ou areia solta e as espe cificações AASHTO exigem que os projetistas de pontes avaliem as forças geradas pela mudança de temperatura retração etc Os efeitos de recalques de apoio erros de fabricação etc podem ser incluídos facilmente no método da flexibilidade pela modificação de cer tos termos das equações de compatibilidade Começaremos nossa discus são considerando os recalques de apoio Uma vez que você entenda como se faz para incorporar esses efeitos na equação da compatibilidade outros efeitos poderão ser incluídos facilmente Caso 1 O movimento de um apoio corresponde a uma redundante Se ocorrer um movimento predeterminado de um apoio que corres ponda a uma redundante a equação da compatibilidade normalmente definida igual a zero para o caso de não haver recalques de apoio será simplesmente definida igual ao valor do movimento do apoio Por exem plo se o apoio B da viga em balanço da Figura 1114 sofre um recalque de 1 pol quando o membro é carregado escrevemos a equação da compa tibilidade como B 1 pol Superpondo os deslocamentos em B temos B0 dBBX B 1 RB XB B 1 A w B L Figura 1114 Recalque de apoio no local da redundante Seção 116 Recalques de apoio mudança de temperatura e erros de fabricação 444 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade em que B0 a deflexão em B na estrutura liberada produzida pela carga aplicada e dBB a deflexão em B na estrutura liberada produzida pelo valor unitário da redundante são mostradas na Figura 112 Seguindo a convenção estabelecida anteriormente o recalque de apoio B é considerado negativo pois tem sentido oposto à direção suposta para a redundante Caso 2 O recalque do apoio não corresponde a uma redundante Se ocorrer um movimento de apoio que não corresponda a uma redun dante seu efeito poderá ser incluído como parte da análise da estrutura liberada para as cargas aplicadas Nessa etapa você avalia o desloca mento que corresponde à redundante produzida pelo movimento do outro apoio Quando a geometria da estrutura for simples um esboço da estru tura liberada no qual sejam mostrados os movimentos de apoio frequen temente bastará para estabelecer o deslocamento correspondente à redun dante Se a geometria da estrutura for complexa você pode usar trabalho virtual para calcular o deslocamento Como exemplo vamos estabelecer a equação da compatibilidade para a viga em balanço da Figura 1114 supondo que o apoio A sofra um recalque de 05 pol e gire 001 rad no sentido horário e que o apoio B sofra um recalque de 1 pol A Figura 1115a mostra a deflexão em B denotada por BS devido ao recalque de 05 pol e à rotação de 001 rad do apoio A A Figura 1115b mos tra a deflexão em B devido à carga aplicada Podemos então escrever a equação da compatibilidade necessária para encontrar a solução da redundante X como 1B0 BS2 dBBX B 1 B 1 b a posição original L 001L L B 001 rad 05 05 θ θ B0 A w B BS 05 001L A Figura 1115 a Deflexão em B produzida pelo recalque e pela rotação no apoio A b deflexão em B produzida pela carga aplicada 445 Determine as reações causadas na viga contínua mostrada na Figura 1116a se o apoio B sofre um recalque de 072 pol e o apoio C sofre um recalque de 048 pol Dados EI é constante E 29 000 kipspol2 e I 288 pol4 Solução Selecione arbitrariamente a reação no apoio B como redundante A Figura 1116b mostra a estrutura liberada com o apoio C em sua posição deslocada Visto que a estrutura liberada é determinada não é tensionada pelo recalque do apoio C e permanece reta Como o deslocamento do eixo da viga varia linearmente a partir de A B0 024 pol Uma vez que em sua posição final o apoio B fica abaixo do eixo da viga na Figura 1116b é evidente que a reação em B deve atuar para baixo para puxar a viga para baixo no apoio As forças e os deslocamentos produ zidos pelo valor unitário da redundante são mostrados na Figura 1116c Usando a Figura 113d para avaliar dBB temos dBB PL3 48EI 1 32 3 1728 48 29000 288 0141 pol Como o apoio B sofre um recalque de 072 pol a equação da compa tibilidade é 1 B 072 pol O deslocamento é negativo pois a direção positiva dos desloca mentos é estabelecida pela direção suposta para a redundante Super pondo os deslocamentos em B na Figura 1116b e c escrevemos a Equação 1 como B0 dBBX 072 Substituindo os valores numéricos de B0 e dBB calculamos X como X 34 kips T 024 0141X 072 Resp As reações finais que podem ser calculadas pela estática ou pela sobre posição das forças na Figura 116b e c são mostradas na Figura 1116d E X E M P L O 1 1 7 RA RB X RC a b c d 16 072 048 048 1 kip X 34 kips 17 kip 17 kip B C C A A B C C B0 024 BB 16 1 2 kip 1 2 kip Figura 1116 a Viga contínua com recalques de apoio especificados b estrutura liberada com o apoio C na posição deslocada nenhuma reação ou força se desenvolve no membro c valor unitário da redundante aplicada d rea ções finais calculadas pela superposição de b e X vezes c Seção 116 Recalques de apoio mudança de temperatura e erros de fabricação 446 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade Calcule a reação no apoio C da treliça da Figura 1117a se a tem peratura da barra AB aumenta em 50 ºF a barra ED é fabricada 03 pol mais curta o apoio A é construído 048 pol à direita de sua posição pretendida e o apoio C é construído 024 pol mais alto Para todas as barras A 2 pol2 E 30 000 kipspol2 e o coeficiente de expansão de temperatura 6 106 polpolF Solução Selecionamos arbitrariamente a reação no apoio C como redun dante A Figura 1117b mostra em uma escala exagerada a forma defletida da estrutura liberada A forma defletida resulta do desloca mento de 048 pol para a direita do apoio A da expansão da barra AB e do encurtamento da barra ED Como a estrutura liberada é determi nada nenhuma força é gerada nas barras ou nas reações devido ao deslocamento do apoio A ou às pequenas alterações no comprimento E X E M P L O 1 1 8 A B C D E A B C D E RC X a 20 30 C 024 C0 A 048 20 c CC 0 0 4 3 5 3 5 3 5857 5857 4685 4685 4 3 1 kip 4685 kips 4685 kips 3514 kips 3514 kips 1 kip X 0 0 0 0 A B C D E b 024 048 A B C D E d 4 3 kip 4 3 kip Figura 1117 a Detalhes da treliça indeter minada b forma defletida da estrutura libe rada após o deslocamento do apoio A e as deformações de barra devido à mudança de temperatura e ao erro de fabricação c forças e reações na estrutura liberada devido a um valor unitário da redundante d resultados finais da análise 447 das barras entretanto o nó C deslocase verticalmente a uma distância C0 Na Figura 1117b o apoio em C é mostrado na posição conforme foi construído A Figura 1117c mostra as forças e deflexões produzi das pelo valor unitário da redundante Como o apoio C foi construído 024 pol acima de sua posição preten dida a equação da compatibilidade é 1 C 024 pol Sobrepondo as deflexões em C na Figura 1117b e c podemos escrever 2 C0 dCCX 024 Para determinar X calculamos C0 e dCC pelo método do trabalho virtual Para calcular C0 ver Figura 1117b use o sistema de forças da Figura 1117c como sistema Q Calcule Ltemp da barra AB usando a Equação 1025 1023 QdP FQ LP Ltemp a1T2L 16 10 6250120 122 0072 pol em que LP é dado pela Equação 1026 C0 1236 pol T 1 kip1C02 4 3 kips 10482 5 3 1 032 a 4 3 b 100722 No Exemplo 112 dCC foi avaliada como dCC 2520 AE 2520 2 30000 0042 pol Substituindo C0 e dCC na Equação 2 e resolvendo para X temos X 3514 kips 1236 0042X 024 Resp As forças de barra e reações finais de todos os efeitos estabelecidas pela superposição das forças todas iguais a zero na Figura 1117b e as da Figura 1117c multiplicadas pela redundante X estão mostradas na Figura 1117d Seção 116 Recalques de apoio mudança de temperatura e erros de fabricação 448 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade 117 Análise de estruturas com vários graus de indeterminação A análise de uma estrutura indeterminada em mais de um grau segue o mesmo formato da análise de uma estrutura com um grau de indetermi nação O projetista estabelece uma estrutura liberada determinada sele cionando determinadas reações ou forças internas como redundantes As redundantes desconhecidas são aplicadas na estrutura liberada como car gas junto com as cargas reais Então a estrutura é analisada separada mente para cada redundante assim como para a carga real Por fim equações de compatibilidade em número igual às redundantes são escri tas em termos dos deslocamentos correspondentes às redundantes A solução dessas equações nos permite avaliar as redundantes Uma vez conhecidas as redundantes o restante da análise pode ser concluído usandose as equações de equilíbrio estático ou por superposição Para ilustrar o método consideraremos a análise da viga contínua de dois vãos da Figura 1118a Como as reações exercem cinco restrições sobre a viga e estão disponíveis somente três equações da estática a viga é indeterminada no segundo grau Para produzir uma estrutura liberada neste caso uma viga em balanço determinada fixada em A seleciona remos as reações nos apoios B e C como redundantes Uma vez que os apoios não se movem a deflexão vertical em B e em C deve ser igual a zero Em seguida dividimos a análise da viga em três casos que serão superpostos Primeiramente a estrutura liberada é analisada para as car gas aplicadas ver Figura 1118b Então são realizadas análises separa das para cada redundante ver Figura 1118c e d O efeito de cada redun dante é determinado pela aplicação de um valor unitário da redundante na estrutura liberada e então multiplicamse todas as forças e deflexões que ela produz pela magnitude da redundante Para indicar que a carga unitá ria é multiplicada pela redundante mostramos a redundante entre colche tes ao lado do esboço do membro carregado Para avaliar as redundantes escrevemos em seguida as equações de compatibilidade nos apoios B e C Essas equações definem que a soma das deflexões nos pontos B e C dos casos mostrados na Figura 1118b a d deve totalizar zero Esse requisito leva às seguintes equações de compa tibilidade 1111 C 0 C0 X BdCB X CdCC B 0 B0 X BdBB X CdBC Uma vez avaliados os valores numéricos das seis deflexões e substituí dos nas equações 1111 as redundantes podem ser determinadas Uma pequena diminuição no trabalho de cálculo pode ser obtida usandose a lei de MaxwellBetti consultar a Seção 109 que exige que dCB dBC Como você pode ver a extensão dos cálculos aumenta rapidamente à medida que o grau de indeterminação aumenta Para uma estrutura inde terminada no terceiro grau você precisaria escrever três equações de compatibilidade e avaliar 12 deflexões o uso da lei de MaxwellBetti reduz para nove o número de deflexões desconhecidas w C0 RA MA RB XB RC XC a L C B A L w MA0 2wL2 2wL b B0 CB BB MAB L 1 kip 1 kip c XC XB CC BC MAC 2L 1 kip 1 kip d Figura 1118 a Viga indeterminada no segundo grau com RB e RC selecionadas como redundan tes b deflexões na estrutura liberada devido à carga real c deflexão da estrutura liberada devido a um valor unitário da redundante em B d deflexão da estrutura liberada devido a um valor unitário da redundante em C 449 Analise a viga contínua de dois vãos da Figura 1119a usando os momentos nos apoios A e B como redundantes EI é constante As car gas na viga atuam no meio dos vãos Solução A estrutura liberada duas vigas com apoios simples é formada pela inserção de uma articulação na viga em B e pela substituição do apoio fixo em A por um pino Dois indicadores perpendiculares ao eixo longitudinal da viga são anexados à viga em B Esse dispositivo é usado para esclarecer a rotação das extremidades da viga ligadas à articulação A estrutura liberada carregada com as cargas aplicadas e redundantes é mostrada na Figura 1119c As equações de compatibilidade são base adas nas seguintes condições da geometria 1 A inclinação é zero no apoio fixo em A 1 uA 0 2 A inclinação da viga é a mesma em um ou outro lado do apoio central ver Figura 1119b Equivalentemente podemos dizer que a rotação relativa entre as extremidades é zero isto é os indicadores são paralelos 2 uB Rel 0 A estrutura liberada é analisada para as cargas aplicadas na Figura 1119d para um valor unitário da redundante em A na Figura 1119e e para um valor unitário da redundante em B na Figura 1119f Super E X E M P L O 1 1 9 Figura 1119 a Viga indeterminada no segundo grau b detalhe do nó B mostrando a diferença entre a rotação de B e a rotação rela tiva das extremidades dos membros c estru tura liberada com cargas reais e redundantes aplicadas como forças externas BB AB 0 L A P P P P C A C B B A C B A C A C B RA MA MA RB RC a b B B A A 0 B Rel 0 B Rel 0 B Rel 0 B B B B B L BA AA B0 A0 P P RA RB MB MB RC c 1 L e MA 1 kipft MB 1 kipft 1 kipft 1 L P P B B MB MB Seção 117 Análise de estruturas com vários graus de indeterminação continua 450 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade pondo as deformações angulares de acordo com as equações de compa tibilidade 1 e 2 podemos escrever 3 4 uBrel 0 uB0 aBAMA aBBMB uA 0 uA0 aAAMA aABMB Usando a Figura 113d e e avalie as deformações angulares aBA L 6EI aAB L 6EI aBB 2 a L 3EI b uA0 PL2 16EI uB0 2 a PL2 16EI b aAA L 3EI Substituindo os deslocamentos angulares nas equações 3 e 4 e resol vendo para as redundantes temos MA 3PL 28 MB 9PL 56 Resp Os sinais negativos indicam que as direções reais das redundantes têm sentido oposto àquelas inicialmente supostas na Figura 1119c A Figura 1120 mostra os diagramas de corpo livre das vigas utilizadas para avaliar os cortantes de extremidade e também os diagramas de cor tante e momento finais A B P 25P 56 MA B 25P 56 31P 56 31P 56 3PL 28 3PL 28 9PL 56 9PL 56 31P 56 37P 56 13PL 112 19PL 112 17P 14 B C P 37P 56 37P 56 cortante momento 9PL 56 19P 56 19P 56 BB AB P P A C B A C B A C A C B MA a B A 0 B Rel 0 B BA AA B0 A0 P P P RA RB MB MB RC c 1 L e MA 1 kipft MB f 1 kipft 1 kipft 1 L 1 L 2 L 1 L d P 2 P 2 B B MB MB A C B BA AA 1 L e MA 1 kip ft 1 L BB AB A C MB f 1 kip ft 1 kip ft 1 L 2 L 1 L Figura 1119 d Cargas reais aplicadas na estrutura liberada e valor unitário da redun dante em A aplicada na estrutura liberada f valor unitário da redundante em B aplicada na estrutura liberada Figura 1120 Diagramas de corpo livre das vigas usadas para avaliar cortantes assim como os diagramas de cortante e momento continuação 451 A B D FAC X1 Bx X2 X2 X1 X1 Ay By Ay By Ax Ax C 60 kips a A 2 pol 2 todas as outras barras E 30000 kipspol 2 ABD 4 pol 2 A B D C 60 kips b A B D C 60 kips 60 kips 45 kips 45 kips c 60 0 0 60 1 1 75 299 3762 2257 2243 3738 0 08 08 06 06 45 A B D C 1k 1k d X1 f A B D C 60 kips 301 kips 299 kips 45 kips 45 kips 20 10 11 21 1 0 0 0 0 0 A B D X2 C e 1 kip 1 kip 12 22 1 1 Determine as forças de barra e reações que se desenvolvem na treliça indeterminada mostrada na Figura 1121a E X E M P L O 1 1 1 0 Solução Como b r 10 e 2n 8 a treliça é indeterminada no segundo grau Selecione a força FAC na seção 11 e a reação horizontal Bx como redundantes Figura 1121 a Detalhes da treliça b estrutura liberada carregada pelas redundantes X1 e X2 e pela carga de 60 kips c estrutura liberada com carga real d estrutura liberada for ças e deslocamentos devido a um valor unitário da redundante X1 e estrutura liberada forças e desloca mentos devido a um valor unitário da redundante X2 f forças e reações finais c X1d X2e Seção 117 Análise de estruturas com vários graus de indeterminação continua 452 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade A estrutura liberada com as redundantes aplicadas como cargas está mostrada na Figura 1121b As equações de compatibilidade são baseadas 1 no deslocamento horizontal em B 1 BX 0 e 2 no deslocamento relativo das extremidades das barras na seção 11 2 1 Rel 0 Superpondo as deflexões na seção 11 e no apoio B na estrutura liberada ver Figura 1121c a e podemos escrever as equações de com patibilidade como 3 4 BX 0 20 X 1d21 X 2d22 0 1 Rel 0 10 X 1d11 X 2d12 0 Para completar a solução devemos calcular as seis deflexões 10 20 d11 d12 d21 e d22 nas equações 3 e 4 por trabalho virtual 20 Use o sistema de forças da Figura 1121e como o sistema Q para o sistema P mostrado na Figura 1121c 1024 20 024 pol S pik 1 1202 1 12 60 120 122 2 130000 2 adPQ aFQ FPL AE 10 Use o sistema de forças da Figura 1121d como o sistema Q 10 06525 pol a lacuna se abre 112 75 125 122 4 130000 2 1 kip1102 1 082 60 120 122 2 130000 2 122 1 062 45 115 122 2 130000 2 continuação 453 d11 O sistema de forças da Figura 1121d serve como sistema P e como sistema Q Como FQ FP UQ F 2 Q LAE d11 00148 pol a lacuna se fecha 12125 122 21300002 12125 122 41300002 1 kip1d112 1 082 2120 122 21300002 122 1 062 2 115 122 2 1300002 122 d21 Use o sistema de forças da Figura 1121e como sistema Q para o sistema P da Figura 1121d d21 00032 pol 1 kip1d212 1 12 08120 122 21300002 d12 Use o sistema de forças da Figura 1121d como sistema Q para o sistema P da Figura 1121e 1 kip1d122 1 082 1 120 122 2 130000 2 Alternativamente use a lei de MaxwellBetti que fornece d12 d21 00032 pol d22 O sistema de forças da Figura 1121e serve como sistema P e como sistema Q d22 0004 pol 1 kip1d222 1 12 1 12 120 122 2130000 2 Substituindo os deslocamentos acima nas equações 3 e 4 e resol vendo para X1 e X2 temos X 1 3762 kips X 2 299 kips Resp As forças e reações finais são mostradas na Figura 1121f Seção 117 Análise de estruturas com vários graus de indeterminação 454 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade Análise por deformações consistentes a Escolha as reações horizontal e vertical em C Figura 1122a como redundantes Desenhe todas as estruturas liberadas e rotule claramente todos os deslocamentos necessários para escrever as equações de compatibilidade Escreva as equações de compatibilidade em termos de deslocamentos mas não calcule os valores de deslocamento b Modifique as equações na parte a para levar em conta os seguintes movimentos de apoio deslocamento de 05 pol verticalmente para cima de C e rotação de 0002 rad de A no sentido horário E X E M P L O 1 1 1 1 10 10 10 15 A B D P C Cy X1 Cx X2 EI constante a P A B D C X2 X1 1 0 2 0 b 10 20 P 11 1 kip 21 12 1 kip X2 X1 22 c A B C 1S 2S B 036 036 20 12 0002 048 0002 rad 0002 rad 0002 rad Solução a Como convenção de sinal os deslocamentos na direção das redundan tes na Figura 1122a são positivos Ver Figura 1122b observe que o sinal está contido dentro do símbolo dos deslocamentos 2 0 20 d21X 1 d22X 2 1 0 10 d11X 1 d12X 2 Resp em que 1 denota a direção vertical e 2 a horizontal em C b Modifique a equação da compatibilidade para movimentos de apoio Ver Figura 1122c 2 0 20 1 0362 d21X 1 d22X 2 1 05 10 1 0482 d11X 1 d12X 2 Resp Figura 1122 c Deslocamentos produzi dos pela rotação do apoio A no sentido horário 455 118 Viga sobre apoios elásticos Os apoios de certas estruturas se deformam quando são carregados Por exemplo na Figura 1123a o apoio da extremidade direita da viga mestra AB é a viga CD que deflete quando recebe a reação da extremi dade da viga AB Se a viga CD se comporta elasticamente pode ser idea lizada como mola ver Figura 1123b Para a mola a relação entre a carga aplicada P e a deflexão é dada como 1112 P K em que K é a rigidez da mola em unidades de força por deslocamento uni tário Por exemplo se uma força de 2 kips produz uma deflexão de 05 pol da mola K P 205 4 kipspol Resolvendo a Equação 1112 para temos 1113 P K O procedimento para analisar uma viga sobre um apoio elástico é semelhante ao de uma viga sobre um apoio não deslocável com uma diferença Se a força X na mola é tomada como redundante a equação da compatibilidade deve estabelecer que a deflexão da viga no local da redundante é igual a 1114 X K O sinal de menos leva em conta o fato de que a deformação da mola tem sentido oposto à força que ela exerce sobre o membro que suporta Por exemplo se uma mola é comprimida exerce uma força para cima mas se desloca para baixo Se a rigidez da mola for grande a Equação 1114 mostra que a deflexão será pequena No limite à medida que K se aproxima do infinito o lado direito da Equação 1114 se aproxima de zero e a equação tornase idêntica à da compatibilidade para uma viga sobre um apoio simples Ilustraremos o uso da Equação 1114 no Exemplo 1112 A B K P D C Q a b Figura 1123 a Viga AB com um apoio elástico em B b apoio elástico idealizado como mola linear elástica P K Seção 118 Viga sobre apoios elásticos 456 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade Estabeleça a equação da compatibilidade para a viga da Figura 1124a Determine a deflexão do ponto B Rigidez da mola K 10 kipspol w 2 kipsft I 288 pol4 e E 30 000 kipspol2 E X E M P L O 1 1 1 2 Figura 1124 a Viga uniformemente carre gada sobre um apoio elástico indeterminada no primeiro grau b estrutura liberada com carga uniforme e redundante XB aplicada como carga externa na viga e na mola c estrutura liberada com carga real d estru tura liberada forças e deslocamentos para um valor unitário da redundante XB RB XB K 10 kipspol B a w A B L 18 BO XB XB 0 0 B XB 1 kip XB 1 kip 1 K 1 kip b w A B c w A B 1 2 d A B kip 457 Solução A Figura 1124b mostra a estrutura liberada carregada com a carga aplicada e a redundante Por clareza a mola está deslocada lateralmente para a direita mas o deslocamento está rotulado com zero para indicar que na verdade a mola localizase exatamente sob a ponta da viga Seguindo a convenção de sinal estabelecida anteriormente isto é a direção da redundante estabelece a direção positiva dos deslocamentos os deslocamentos da extremidade direita da viga são positivos quando são para cima e negativos para baixo A deflexão da mola é positiva para baixo Como a ponta da viga e a mola estão conectadas ambas defletem pela mesma quantidade B isto é 1 Bviga Bmola Usando a Equação 1113 podemos escrever B da mola como 2 B mola X B K e substituindo a Equação 2 na Equação 1 temos 3 Bviga X B K O sinal de menos foi adicionado no lado direito da Equação 3 porque a extremidade da viga se desloca para baixo Se B viga o lado esquerdo da Equação 3 é avaliado pela superpo sição dos deslocamentos da extremidade B da viga na Figura 1124c e d podemos escrever a Equação 3 como 4 B0 d1X B X B K Usando a Figura 113 para avaliar B0 e d1 na Equação 4 calcu lamos XB wL4 8EI L3 3EI XB XB K Substituindo os valores especificados das variáveis na equação acima obtemos X B 1071 kips 21182 4117282 8 30000 288 1182 3117282 3 30000 288 XB XB 10 Se o apoio B fosse um rolo e não ocorresse nenhum recalque o lado direito da Equação 4 seria igual a zero e XB aumentaria para 1346 kips e B mola XB K 1071 10 1071 pol Resp Seção 118 Viga sobre apoios elásticos 458 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade Resumo O método da flexibilidade de análise também chamado das deformações consistentes é um dos métodos clássicos mais antigos de análise de estruturas indeterminadas Antes do desenvolvimento de programas de computador de uso geral para análise estrutural o método da flexibilidade era o único disponível para analisar treliças indeterminadas Esse método é baseado na remoção de restrições até que seja estabelecida uma estrutura liberada determinada e estável Como o engenheiro tem escolhas alternativas com relação a quais restrições remover esse aspecto da análise não serve para o desenvolvimento de um programa de computador de uso geral O método da flexibilidade ainda é usado para analisar certos tipos de estrutura nos quais a configuração geral e os componentes da estrutura são padronizados mas as dimensões variam Para esse caso as restrições a serem removidas são estabelecidas e o programa de computador é escrito para seus valores específicos Resolva pelo método das deformações consistentes P111 Calcule as reações desenhe os diagramas de cortante e momento e localize o ponto de deflexão máxima para a viga da Figura P111 EI é constante A C B 9 6 P 36 kips P111 PrOBLEMAs P112 Para a viga da Figura P112 calcule as rea ções desenhe os diagramas de cortante e momento e calcule a deflexão da articulação em C E 29 000 ksi e I 180 pol4 A B C D articulação P 30 kips P112 459 Problemas P113 Calcule as reações desenhe os diagramas de cortante e momento e localize o ponto de deflexão máxima Repita o cálculo se I é constante ao longo de todo o comprimento E é constante Expresse a resposta em termos de E I e L 2I I A B M 60 kip ft C 6 9 P113 P114 Calcule as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga contínua de dois vãos da Figura P114 EI é constante A B E RE C 12 6 12 6 16 kips D RC RA 16 kips P114 P115 Calcule as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga da Figura P115 EI é constante A C B 6 15 kips 15 kips 6 12 12 P115 P116 Resolva o problema P111 para a carga mos trada se o apoio C sofre um recalque de 025 pol quando a carga é aplicada E 30 000 kipspol2 e I 320 pol4 P117 Determine as reações para a viga da Figura P117 Quando a carga uniforme é aplicada o apoio fixo gira 0003 rad no sentido horário e o apoio B sofre um recalque de 03 pol Dados E 30 000 kipspol2 e I 240 pol4 A B C 0003 rad 03 w 4 kipsft 2 8 P117 460 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade P118 Calcule as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento na Figura P118 E é constante 2I A B C D w 4 kNm I 18 kN 6 m 3 m 3 m 6 m articulação P118 P119 Calcule as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga da Figura P119 EI é constante Podese supor que a ligação aparafusada de alma em B atua como uma articulação Expresse a res posta em termos de E I L e w A B w C articulação L L P119 P1110 a Calcule todas as reações para a viga da Figura P1110 supondo que os apoios não se movem EI é constante b Repita os cálculos supondo que o apoio C se move para cima uma distância de 288EI quando a carga é aplicada A B C 6 12 6 P 16 kips P1110 P1111 a Determine as reações e desenhe os diagra mas de cortante e momento para a viga da Figura P1111 Dados EI é constante E 30 000 kipspol2 e I 288 pol4 b Repita os cálculos supondo que as cargas aplicadas também produzem um recalque de 05 pol no apoio B e de 1 pol no apoio D A B C D w 2 kipsft 6 6 12 P1111 P1112 Determine todas as reações e desenhe os dia gramas de cortante e momento EI é constante A B C 24 16 w 1 kipft P1112 461 Problemas P1113 Calcule as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga da Figura P1113 Dado EI é constante A L B w P1113 P1114 Calcule as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga da Figura P1114 Dado EI é constante 20 kN 3 m A B D 3 m 3 m 20 kN C P1114 P1115 Supondo que nenhuma carga atua calcule as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga da Figura P111 se o apoio A sofre um recalque de 05 pol e o apoio C sofre um recalque de 075 pol Dados E 29 000 kipspol2 e I 150 pol4 P1116 a Supondo que nenhuma carga atua na Figura P1112 calcule as reações se o apoio B foi construído 048 pol mais baixo Dados E 29 000 kipspol2 I 300 pol4 b Se o apoio B Figura P1112 sofre um recalque de 3 2 pol sob as cargas aplicadas calcule as reações P1117 Calcule as reações e forças de barra em todas as barras da treliça A área de todas as barras tem 5 pol2 e E 30 000 kipspol2 30 20 20 A C B D 120 kips E P1117 P1118 Supondo que a carga de 120 kips é removida da treliça na Figura P1117 calcule as reações e forças de barra se a temperatura das barras AB e BC aumenta em 60 F o coeficiente de dilatação térmica 6 106 polpolF P1119 Determine todas as reações e forças de barra para a treliça da Figura P1119 E 30 000 kipspol2 80 kips 16 10 12 A C B D A 4 pol2 A 4 pol2 A 8 pol2 P1119 462 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade P1120 a Determine todas as reações e forças de barra produzidas pela carga aplicada na Figura P1120 b Supondo que o apoio B sofre um recalque de 1 pol e o apoio C 05 pol enquanto a carga atua recalcule as reações e forças de barra Para todas as barras área 2 pol2 e E 30 000 kipspol2 A D B C 30 kips 20 15 20 P1120 P1121 Determine todas as forças de barra e reações para a treliça da Figura P1121 Dados área da barra BD 4 pol2 todas as outras barras 2 pol2 e E 30 000 kipspol2 20 A B 15 D C 60 kips P1121 P1122 a P1124 Para as treliças das figuras P1122 a P1124 calcule as reações e forças de barra produ zidas pelas cargas aplicadas Dados AE constante A 1 000 mm2 e E 200 GPa A B C D 30 kN 18 kN 8 m 4 m 2 m 8 m P1122 Consulte P1122 para ver as propriedades do mate rial das treliças em P1123 e 1124 4 m 24 kN 3 m A B C D 4 m P1123 A D C B E 5 m 5 m 5 m 20 kN 30 kN 5 m P1124 463 Problemas P1125 Determine todas as reações para o pórtico da Figura P1125 dados IAB 600 pol4 IBC 900 pol4 e E 29 000 kipspol2 Despreze as deformações axiais A B C 30 2 kipsft 15 P1125 P1126 Supondo que a carga é removida calcule todas as reações para o pórtico da Figura P1125 se o membro BC foi fabricado com 12 pol a mais no comprimento P1127 Determine todas as reações e desenhe os dia gramas de cortante e momento para a viga BC na Figura P1127 EI é constante 18 A B C 4 kips 12 P1127 P1128 Recalcule as reações para o pórtico da Figura P1127 se o apoio C sofre um recalque de 036 pol quando a carga atua e o apoio A foi construído 024 pol acima de sua posição pretendida E 30 000 kipspol2 I 60 pol4 P1129 a Determine as reações e desenhe os diagra mas de cortante e momento para todos os membros do pórtico da Figura P1129 Dado EI constante b Calcule a deflexão vertical da viga no ponto C pro duzida pela carga de 60 kips 12 E B A D C P 60 kips 12 12 12 P1129 P1130 a Calcule a reação em C na Figura P1130 EI é constante b Calcule a deflexão vertical do nó B 4 kipsft A B C 6 9 6 P1130 464 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade P1131 Determine as reações nos apoios A e E na Figura P1131 Área da barra EC 2 pol2 IAD 400 pol4 e AAD 8 pol2 E 30 000 kipspol2 C A E D B 10 30 kips 30 kips 5 15 10 P1131 P1132 Determine as reações em A e C na Figura P1132 EI é constante para todos os membros 60 kips 45 9 12 A B C D P1132 P1133 Determine as reações nos apoios A e E na Figura P1133 EI é constante para todos os membros A E B C D 4 kNm 5 m 12 m 8 m P1133 P1134 Determine as reações e forças de barra geradas na treliça da Figura P1134 quando as cordas superio res ABCD são sujeitas a uma mudança de 50 F na temperatura Dados AE é constante para todas as bar ras A 10 pol2 E 30 000 kipspol2 65 106 polpolF A D B C F E 8 8 12 6 6 P1134 465 Problemas P1135 Determine as reações geradas no pórtico rígido da Figura P1135 quando a temperatura da corda superior aumenta em 60 F Dados IBC 3 600 pol4 IAB ICD 1 440 pol4 65 106 polpolF e E 30 000 kipspol2 A B w 16 kipft D C 24 48 P1135 P1136 Calcule as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga da Figura P1136 Dados EI é constante para a viga E 200 GPa I 40 106 mm4 5 m 4 m 3 m 20 kN K 40 kNm A D B C P1136 P1137 Calcule as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga da Figura P1137 Além da carga aplicada o apoio em D sofre um recal que de 01 m EI é constante para a viga E 200 GPa I 60 106 mm4 A B D C 5 m 30 kN 5 m K 40 kNm P1137 P1138 Considere a viga da Figura P1137 sem a carga aplicada e o recalque de apoio Calcule as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga se o apoio A gira por 0005 rad no sentido horário P1139 Determine os deslocamentos vertical e hori zontal em A da estrutura ligada com pinos da Figura P1139 Dados E 200 GPa e A 500 mm2 para todos os membros B C D 4 m 4 m A 4 m 200 kN P1139 P1140 Determine os deslocamentos vertical e hori zontal em A da estrutura ligada com pinos da Figura P1139 Dados E 200 GPa AAB 1 000 mm2 e AAC AAD 500 mm2 466 Capítulo 11 Análise de estruturas indeterminadas pelo método da flexibilidade P1141 Determine as reações e todas as forças de barra para a treliça da Figura P1141 Dados E 200 GPa e A 1 000 mm2 para todas as barras 80 kN 40 kN 6 m 3 m A C E B D 4 m P1141 P1142 Considere a treliça da Figura P1141 sem as cargas aplicadas Determine as reações e todas as forças de barra para a treliça se o apoio A sofre um recalque vertical de 20 mm P1143 Determine as reações e todas as forças de barra para a treliça da Figura P1143 E 200 GPa e A 1 000 mm2 para todas as barras A B C D 5 m 5 m 50 kN 50 kN 5 m 5 m P1143 P1144 Considere a treliça da Figura P1143 sem as cargas aplicadas Determine as reações e todas as forças de barra para a treliça se a barra AC foi fabricada com 10 mm a menos P1145 Exemplo de projeto prático O edifício alto da Figura P1145 foi construído com aço estrutural As colunas externas que não possuem isolamento estão expostas à temperatura ambiente externa Para reduzir os deslocamentos verticais dife renciais entre as colunas internas e externas devido às diferenças de temperatura entre o interior e o exterior do prédio uma treliça de cobertura foi adicionada no topo do prédio Por exemplo se uma treliça de cobertura não fosse usada para restringir o encurtamento das colunas externas no inverno devido a uma diferença de tempe ratura de 60 F entre as colunas internas e externas os pontos D e F no topo das colunas externas se moveriam 168 pol para baixo em relação ao topo da coluna interna no ponto E Deslocamentos dessa ordem nos andares superiores produziriam uma inclinação excessiva do piso e danificariam a fachada externa Se a temperatura da coluna interna BE é constante de 70 F mas a temperatura das colunas externas no inverno cai para 10 F determine a as forças geradas nas colunas e nas barras da treliça pelas diferenças de temperatura e b os deslocamentos verticais dos topos das colunas nos pontos D e E As ligações de furos alon gados em D e F foram projetadas para atuar como rolos e transmitir somente força vertical e a ligação em E foi projetada para atuar como um pino Podese supor que as ligações de cortante entre a alma das vigas e as colu nas atuam como articulações 467 Problemas Dados E 29 000 kipspol2 A área média da coluna interna é de 42 pol2 e 30 pol2 a das colunas externas As áreas de todas as barras da treliça são de 20 pol2 O coe ficiente de expansão térmica 65 106 polpolF 10 F treliça de cobertura 70 F 10 F A B C D E F P1145 Nota as colunas internas devem ser projetadas para as cargas de piso e para a força de compressão gerada pelo diferencial de temperatura A falha deste prédio de concreto armado de 16 andares foi iniciada pelo colapso da fôrma que continha o concreto líquido para a última seção da laje do teto O desmoronamento foi atribuído principalmente à falta de escoramento e ao concreto pouco resistente dos pisos inferiores Como o prédio foi construído no inverno sem aquecimento adequado grande parte do concreto recémcolocado nas fôrmas congelou e não atingiu a resistência projetada C A P Í T U L O Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão 121 Introdução O método da inclinaçãodeflexão é um procedimento para analisar vigas e pórticos indeterminados Ele é conhecido como método de deslocamento pois as equações de equilíbrio utilizadas na análise são expressas em termos de deslocamentos de nó desconhecidos O método da inclinaçãodeflexão é importante porque apresenta ao estudante o método da rigidez de análise Esse método é a base de mui tos programas de computador de uso geral para analisar todos os tipos de estruturas vigas treliças cascas etc Além disso a distribuição de momentos método manual comumente usado para analisar vigas e pórticos rapidamente também é baseada na formulação da rigidez No método da inclinaçãodeflexão uma expressão chamada de equa ção da inclinaçãodeflexão é usada para relacionar o momento em cada extremidade de um membro tanto aos deslocamentos dessa extremidade quanto às cargas aplicadas a ele entre suas extremidades Os desloca mentos da extremidade de um membro podem incluir tanto uma rotação como uma translação perpendicular ao seu eixo longitudinal 122 Ilustração do método da inclinaçãodeflexão Para apresentar as principais características do método da incli naçãodeflexão resumiremos brevemente a análise de uma viga contínua de dois vãos Conforme mostrado na Figura 121a a estru tura consiste em uma barra suportada por rolos nos pontos A e B e um pino em C Imaginamos que a estrutura pode ser dividida nos segmentos de viga AB e BC e nos nós A B e C passando planos pela viga a uma distância infinitesimal antes e depois de cada apoio ver Figura 121b Como os nós são basicamente pontos no espaço o 12 470 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão comprimento de cada membro é igual à distância entre os nós Neste problema A B e C os deslocamentos rotacionais dos nós e também os deslocamentos rotacionais das extremidades dos membros são as incógnitas Esses deslocamentos são mostrados em uma escala exage rada pela linha tracejada na Figura 121a Como os apoios não se movem verticalmente os deslocamentos laterais dos nós são zero assim não há translações de nó desconhecidas neste exemplo Para iniciar a análise da viga pelo método da inclinaçãodeflexão usamos a equação da inclinaçãodeflexão que deduziremos em breve para expressar os momentos nas extremidades de cada membro em termos dos deslocamentos de nó desconhecidos e das cargas aplicadas Podemos representar essa etapa pelo seguinte conjunto de equações 121 MCB f uB uC P2 MBC f1uB uC P22 MBA f1uA uB P12 MAB f1uA uB P12 em que o símbolo f significa uma função de Figura 121 a Viga contínua com cargas apli cadas forma defletida mostrada pela linha trace jada b corpos livres de nós e vigas convenção de sinal o momento no sentido horário na extre midade de um membro é positivo RA MAB MAB A B C a b Nó A L L C B A C B A P1 V1 V1 V2 P2 P1 P2 MBA MBA P1 L MBC V3 V4 MCB P2 L RC Nó C RB MBC Nó B V3 V2 MCB V4 471 Seção 123 Deduzindo a equação da inclinaçãodeflexão Em seguida escrevemos equações de equilíbrio que expressam a condição de que os nós estão em equilíbrio com relação aos momentos aplicados isto é a soma dos momentos aplicados em cada nó pelas extremidades das vigas ligadas ao nó é igual a zero Como convenção de sinal supomos que todos os momentos desconhecidos são positivos e atuam no sentido horário nas extremidades dos membros Como os momentos aplicados nas extremidades dos membros representam a ação do nó no membro momentos iguais e de direção oposta devem atuar nos nós ver Figura 121b As três equações de equilíbrio de nó são 122 C MCB 0 B MBA MBC 0 No nó No nó No nó A MAB 0 Substituindo as equações 121 nas equações 122 produzimos três equações que são funções dos três deslocamentos desconhecidos assim como das cargas aplicadas e das propriedades dos membros especifica dos Essas três equações podem então ser resolvidas simultaneamente para os valores das rotações de nó desconhecidas Após as rotações de nó serem calculadas podemos avaliar os momentos de extremidade do membro substituindo os valores das rotações de nó nas equações 121 Uma vez estabelecidas a magnitude e a direção dos momentos da extre midade aplicamos as equações da estática nos corpos livres das vigas para calcular os cortantes da extremidade Como uma última etapa cal culamos as reações do apoio considerando o equilíbrio dos nós isto é somando as forças na direção vertical Na Seção 123 deduziremos a equação da inclinaçãodeflexão para um membro de flexão típico de seção transversal constante usando o método dos momentos de áreas desenvolvido no Capítulo 9 123 Deduzindo a equação da inclinaçãodeflexão Para desenvolver a equação da inclinaçãodeflexão que relaciona os momentos nas extremidades dos membros com os deslocamentos de extremidade e as cargas aplicadas analisaremos o vão AB da viga con tínua da Figura 122a Como os recalques diferenciais de apoios em membros contínuos também geram momentos de extremidade incluire mos esse efeito na dedução A viga que é reta inicialmente tem uma seção transversal constante isto é EI é constante ao longo do eixo lon gitudinal Quando é aplicada a carga distribuída wx que pode variar de qualquer maneira arbitrária ao longo do eixo da viga os apoios A e B sofrem um recalque por quantidades A e B respectivamente até os pontos A e B A Figura 122b mostra um corpo livre do vão AB com todas as cargas aplicadas Os momentos MAB e MBA e os cortantes VA e VB representam as forças exercidas pelos nós nas extremidades da viga Embora partamos do princípio de que nenhuma carga axial atua a pre sença de valores de carga axial pequenos a moderados digamos 10 a 472 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão 15 da carga de flambagem do membro não invalidaria a dedução Por outro lado uma grande força de compressão reduziria a rigidez à flexão do membro criando deflexão adicional devido aos momentos secundá rios produzidos pela excentricidade da carga axial o efeito P Como convenção de sinal supomos que os momentos que atuam nas extremidades dos membros no sentido horário são positivos As rota ções no sentido horário das extremidades dos membros também serão consideradas positivas Na Figura 122c os diagramas de momento produzidos pela carga distribuída wx e pelos momentos de extremidade MAB e MBA são dese nhados por partes O diagrama de momento associado à carga distribuída é chamado de diagrama de momento de viga simplesmente apoiada Em outras palavras na Figura 122c sobrepomos os momentos produzidos por três cargas 1 o momento de extremidade MAB 2 o momento de extremidade MBA e 3 a carga wx aplicada entre as extremidades da viga O diagrama de momento para cada força foi plotado no lado da viga colocada em compressão por essa força em particular A Figura 122d mostra a forma defletida do vão AB em uma escala exagerada Todos os ângulos e rotações são mostrados no sentido positivo isto é todos sofreram rotações no sentido horário a partir da posição hori zontal original do eixo A inclinação da corda que conecta as extremidades do membro nos pontos A e B em suas posições curvadas é denotada por cAB Para estabelecer se um ângulo de corda é positivo ou negativo pode mos desenhar uma linha horizontal por uma das extremidades da viga Se a linha horizontal precisa ser girada no sentido horário por um ângulo Figura 122 a Viga contínua cujos apoios sofrem recalque sob carga b corpo livre do membro AB c diagrama de momento plotado por partes MS é igual à ordenada do diagrama de momento de viga simplesmente apoiada d deformações do membro AB plotadas em uma escala vertical exagerada w x w x B A B A AB AB a b c d diagrama de momento de viga simplesmente apoiada A B posição inicial curva elástica L L A B B A A B L linha tangente à curva em A linha tangente à curva elástica em B posição inicial da linha central corda B A A B tBA tAB B A MAB MBA MS MBA x MAB VA VB 473 Seção 123 Deduzindo a equação da inclinaçãodeflexão agudo para fazêla coincidir com a corda o ângulo de inclinação é positivo Se for necessária uma rotação no sentido antihorário a inclinação é nega tiva Observe na Figura 122d que cAB é positiva independentemente da extremidade da viga em que é avaliada Além disso A e B representam as rotações de extremidade do membro Em cada extremidade do vão AB são desenhadas linhas tangentes à curva elástica tAB e tBA são os desvios tan genciais a distância vertical das linhas tangentes até a curva elástica Para deduzir a equação da inclinaçãodeflexão usaremos agora o segundo teorema dos momentos de áreas para estabelecer a relação entre os momentos de extremidade do membro MAB e MBA e as deformações rotacionais da curva elástica mostradas em escala exagerada na Figura 122d Como as deformações são pequenas gA o ângulo entre a corda e a linha tangente à curva elástica no ponto A pode ser expresso como 123a gA tBA L Analogamente gB o ângulo entre a corda e a linha tangente à curva elástica em B é igual a 123b gB tAB L Como gA A cAB e gB B cAB podemos expressar as equações 123a e 123b como 124a 124b 1 42 em que c cAB B A L uB cAB tAB L uA cAB tBA L Para expressar tAB e tBA em termos dos momentos aplicados dividi mos as ordenadas dos diagramas de momento na Figura 122c por EI para produzir curvas MEI e aplicando o segundo princípio dos momen tos de áreas somamos os momentos da área sob as curvas MEI em relação à extremidade A do membro AB para ter tAB e em relação à extremidade B para ter tBA 125 126 tBA MAB EI L 2 2L 3 MBA EI L 2 L 3 1AM x 2 B EI tAB MBA EI L 2 2L 3 MAB EI L 2 L 3 1AMx2 A EI O primeiro e o segundo termos nas equações 125 e 126 representam os primeiros momentos das áreas triangulares associadas aos momentos de extremidade MAB e MBA O último termo AMx B na Equação 125 e na Equação 126 representa o primeiro momento da área sob a curva 474 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão de momento de viga simplesmente apoiada em relação às extremidades da viga o subscrito indica a extremidade da viga sobre a qual os momen tos são tomados Como convenção de sinal supomos que a contribuição de cada curva de momento para o desvio tangencial é positivo se aumenta o desvio tangencial e negativo se o diminui Para ilustrar o cálculo de AMx A para uma viga suportando uma carga uniformemente distribuída w ver Figura 123 desenhamos o diagrama de momento de viga simplesmente apoiada uma curva parabólica e ava liamos o produto da área sob a curva pela distância entre o ponto A e o centroide da área 127 AMx A área x 2L 3 wL2 8 L 2 wL4 24 Como o diagrama de momento é simétrico AMx B é igual a AMx A Se em seguida substituirmos os valores de tAB e tBA dados pelas equa ções 125 e 126 nas equações 124a e 124b podemos escrever 128 129 uB cAB 1 L MAB EI L 2 2L 3 MBA EI L 2 L 3 AMx B EI uA cAB 1 L MBA EI L 2 2L 3 MAB EI L 2 L 3 AMx A EI Para estabelecer as equações de inclinaçãodeflexão resolvemos as equações 128 e 129 simultaneamente para MAB e MBA para ter 1210 1211 MBA 2EI L 2uB uA 3cAB 4 AMx A L2 2 AMx B L2 MAB 2EI L 12uA uB 3cAB2 2 1AMx2 A L2 4 1AMx2 B L2 Nas equações 1210 e 1211 os dois últimos termos que contêm as quantidades AMx A e AMx B são uma função das cargas aplicadas somente entre as extremidades do membro Podemos dar a esses termos um significado físico usando as equações 1210 e 1211 para avaliar os momentos em uma viga de extremidades fixas que tenha as mesmas dimensões seção transversal e comprimento do vão e suporte a mesma carga que o membro AB na Figura 122a ver Figura 124 Como as extremidades da viga na Figura 124 são fixas os momentos de extremi dade do membro MAB e MBA que também são denominados momentos de extremidade fixa podem ser designados como FEMAB e FEMBA Uma vez que as extremidades da viga na Figura 124 são fixas em relação à rotação e que não ocorre nenhum recalque de apoio seguese que uA 0 uB 0 cAB 0 Figura 123 Diagrama de momento de viga simplesmente apoiada produzido por uma carga uniforme Figura 124 w RA A L L 2 x wL2 8 wL 2 RB wL 2 B diagrama de momento wx A B MAB FEMAB MBA FEMBA A 0 B 0 AB 0 L 475 Seção 123 Deduzindo a equação da inclinaçãodeflexão Substituindo esses valores nas equações 1210 e 1211 para avaliar os momentos de extremidade do membro ou momentos de extremidade fixa na viga da Figura 124 podemos escrever 1212 1213 FEMBA MBA 4 AMx A L2 2 AMx B L2 FEMAB MAB 21AMx2 A L2 4 1AMx2 B L2 Usando os resultados das equações 1212 e 1213 podemos escrever as equações 1210 e 1211 mais simplesmente substituindo os dois últi mos termos por FEMAB e FEMBA para produzir 1214 1215 MBA 2EI L 2uB uA 3cAB FEMBA MAB 2EI L 12uA uB 3cAB2 FEMAB Como as equações 1214 e 1215 têm a mesma forma podemos substituílas por uma única equação na qual denotamos a extremidade em que o momento está sendo calculado como a extremidade próxima N e a extremidade oposta como extremidade distante F Com esse ajuste podemos escrever a equação da inclinaçãodeflexão como 1216 MNF 2EI L 2uN uF 3cNF FEMNF Na Equação 1216 as proporções do membro aparecem na relação IL Essa relação chamada de rigidez à flexão relativa do membro NF é denotada pelo símbolo K 1217 Rigidez à flexão relativa K I L Substituindo a Equação 1217 na Equação 1216 podemos escrever a equação da inclinaçãodeflexão como 1216a MNF 2EK 2uN uF 3cNF FEMNF 476 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão O valor do momento de extremidade fixa FEMNF na Equação 1216 ou 1216a pode ser calculado para qualquer tipo de carga pelas equa ções 1212 e 1213 O uso dessas equações para determinar os momen tos de extremidade fixa produzidos por uma única carga concentrada no meio do vão de uma viga de extremidade fixa é ilustrado no Exemplo 121 Ver Figura 125 Os valores dos momentos de extremidade fixa para outros tipos de carga assim como os deslocamentos de apoio tam bém são dados no final do livro Figura 125 Momentos de extremidade fixa A M B Mb 2a b L2 Ma 2b a L2 j a b L 11wL2 192 5wL2 192 w A B L 2 L g 5wL2 96 5wL2 96 A B L 2 L 2 f w L2 6EI L 4EI B 0 L 2EI L2 6EI A B L h A 0 B 0 L2 6EI L2 6EI L3 12EI L3 12EI A B L i A B P a L Pb2a L2 Pba2 L2 b b A B P P L 3 L 2PL 9 2PL 9 L 3 c w wL2 20 wL2 30 A B L e A B w L wL2 12 wL2 12 d A B FEMAB FEMBA P L 2 L PL 8 PL 8 a 477 Seção 123 Deduzindo a equação da inclinaçãodeflexão Usando as equações 1212 e 1213 calcule os momentos de extremidade fixa produzidos por uma carga concentrada P no meio do vão da viga de extremidade fixa da Figura 126a Sabemos que EI é constante Solução As equações 1212 e 1213 exigem que calculemos com relação às duas extremidades da viga da Figura 126a o momento da área sob o diagrama de momento de viga simplesmente apoiada produzido pela carga aplicada Para estabelecer o diagrama de momento de viga sim plesmente apoiada imaginamos que a viga AB na Figura 126a é remo vida dos apoios fixos e colocada sobre um conjunto de apoios simples como mostrado na Figura 126b O diagrama de momento de viga sim plesmente apoiada resultante produzida pela carga concentrada no meio do vão é mostrado na Figura 126c Como a área sob o diagrama de momento é simétrica AMx A AMx B 1 2 L PL 4 L 2 PL3 16 Usando a Equação 1212 temos PL 8 o sinal de menos indica um momento de sentido antihorário 2 L2 aPL3 16 b 4 L2 aPL3 16 b FEMAB 21AMx2 A L2 41AMx2 B L2 Resp Usando a Equação 1213 temos 4 L2 PL3 16 2 L2 PL3 16 PL 8 sentido horário FEMBA 41AMx2 A L2 21AMx2 B L2 Resp E X E M P L O 1 2 1 Figura 126 A B A B FEMAB FEMBA P P a b c L 2 L P 2 PL 4 P 2 478 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão 124 Análise de estruturas pelo método da inclinaçãodeflexão Embora o método da inclinaçãodeflexão possa ser usado para ana lisar qualquer tipo de viga ou pórtico indeterminado inicialmente limi taremos o método às vigas indeterminadas cujos apoios não sofrem recalques e os pórticos contraventados cujos nós estão livres para girar mas são restritos em relação ao deslocamento a restrição pode ser fornecida por barras de contraventamento Figura 323g ou por apoios Para esses tipos de estruturas o ângulo de rotação da corda cNF na Equação 1216 é igual a zero Exemplos de várias estruturas cujos nós não se deslocam lateralmente mas estão livres para girar são mostrados na Figura 127a e b Na Figura 127a o nó A é restringido em relação ao deslocamento pelo apoio fixo e o nó C pelo apoio de pino Despre zando as alterações de segunda ordem no comprimento dos membros produzidas por deformações de flexão e axiais podemos supor que o nó B é restringido em relação ao deslocamento horizontal pelo membro BC que está conectado a um apoio imóvel em C e em relação ao des locamento vertical pelo membro AB que se conecta ao apoio fixo em A A forma defletida aproximada das estruturas carregadas é mostrada por linhas tracejadas na Figura 127 A Figura 127b mostra uma estrutura cuja configuração e carga são simétricas com relação ao eixo vertical que passa pelo centro do mem bro BC Como uma estrutura simétrica sob uma carga simétrica deve deformar em um padrão simétrico não pode ocorrer nenhum desloca mento lateral dos nós superiores em qualquer direção Figura 127 a Todos os nós 1 restringidos em relação ao deslocamento todas as rotações de corda c iguais a zero b devido à simetria da estrutura e da carga os nós estão livres para girar mas não transladam rotações de corda iguais a zero c e d pórticos não con traventados com rotações de corda A B P C a 90 90 L 2 L 2 A D B w C b eixo de simetria 90 90 L 2 L 2 A h D B AB C c 90 90 CD H C B A P d AB 90 479 Seção 124 Análise de estruturas pelo método da inclinaçãodeflexão A Figura 127c e d mostra exemplos de pórticos que contêm nós livres para se deslocar lateralmente assim como para girar sob as cargas aplicadas Sob a carga lateral H os nós B e C na Figura 127c se deslo cam para a direita Esse deslocamento produz rotações de corda c h nos membros AB e CD Como não ocorre nenhum deslocamento verti cal dos nós B e C desprezandose as deformações de flexão e axiais de segunda ordem das colunas a rotação de corda da viga cBC é igual a zero Embora o pórtico da Figura 127d suporte uma carga vertical os nós B e C se deslocarão lateralmente para a direita a uma distância por causa das deformações de flexão dos membros AB e BC Vamos considerar a análise de estruturas que contêm um ou mais membros com rotações de corda na Seção 125 As etapas básicas do método da inclinaçãodeflexão que foram dis cutidas na Seção 122 estão resumidas brevemente a seguir 1 Identifique todos os deslocamentos rotações de nó desconhecidos para estabelecer o número de incógnitas 2 Use a equação da inclinaçãodeflexão Equação 1216 para expressar todos os momentos de extremidade do membro em termos de rotações de nó e das cargas aplicadas 3 Em cada nó exceto quanto aos apoios fixos escreva a equação de equilíbrio de momento que diz que a soma dos momentos aplicados pelos membros ligados ao nó é igual a zero Uma equação de equilíbrio em um apoio fixo que se reduz à identidade 0 0 não fornece nenhuma informação útil O número de equações de equilíbrio deve ser igual ao número de deslocamentos desconhecidos Como convenção de sinal os momentos no sentido horário nas extremidades dos membros são considerados positivos Se um momento na extremidade de um membro é desconhecido deve ser mostrado no sentido horário O momento aplicado por um membro a um nó é sempre igual e de direção oposta ao momento que atua na extremidade do membro Se a magnitude e a direção do momento na extremidade de um membro são conhecidas elas são mostradas na direção real 4 Substitua as expressões dos momentos como uma função dos deslocamentos ver passo 2 nas equações de equilíbrio do passo 3 e ache a solução para os deslocamentos desconhecidos 5 Substitua os valores de deslocamento do passo 4 nas expressões de momento de extremidade do membro do passo 2 para estabelecer o valor dos momentos de extremidade do membro Uma vez conhecidos os momentos de extremidade do membro o restante da análise desenhar os diagramas de cortante e momento ou calcular as reações por exemplo é completado pela estática Os exemplos 122 e 123 ilustram esse procedimento 480 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão E X E M P L O 1 2 2 Usando o método da inclinaçãodeflexão determine os momentos de extremidade do membro na viga indeterminada mostrada na Figura 128a A viga que se comporta elasticamente suporta uma carga concen trada no meio do vão Após os momentos de extremidade serem determi nados desenhe os diagramas de cortante e momento Se I 240 pol4 e E 30 000 kipspol2 calcule a magnitude da inclinação no nó B Figura 128 a Viga com um deslocamento desconhecido B b corpo livre da viga AB momentos de extremidade do membro MAB e MBA desconhecidos mostrados no sentido horá rio c corpo livre do nó B d corpo livre usado para calcular cortantes de extremidade e diagramas de cortante e momento A B P 16 kips B A 0 a 9 L 18 A B P 16 kips b VAB VBA MBA MAB B c VBA MBA RB A B L 18 P 16 kips d VAB VBA 54 kipft 9 11 kips 54 kipft 45 kipft 5 kips cortante momento e 481 Seção 124 Análise de estruturas pelo método da inclinaçãodeflexão Solução Como o nó A é fixo em relação à rotação A 0 portanto o único deslocamento desconhecido é B a rotação do nó B evidentemente cAB é zero pois não ocorre nenhum recalque de apoio Usando a equa ção da inclinaçãodeflexão 1216 MNF 2EI 2uN uF 3cNF FEMNF e os valores da Figura 125a para os momentos de extremidade fixa produzidos por uma carga concentrada no meio do vão podemos expressar os momentos de extremidade do membro mostrados na Figura 128b como 1 2 MBA 2EI L 2uB PL 8 MAB 2EI L 1uB2 PL 8 Para determinar B escrevemos em seguida a equação do equilíbrio de momento no nó B ver Figura 128c 3 MBA 0 MB 0 A Substituindo na Equação 3 o valor de MBA dado pela Equação 2 e resolvendo para B temos 4 uB PL2 32EI 4EI L uB PL 8 0 em que o sinal de menos indica que a extremidade B do membro AB e o nó B giram no sentido antihorário Para determinar os momentos de extremidade do membro o valor de B dado pela Equação 4 é substituído nas equações 1 e 2 para dar Resp MBA 4EI L PL2 32EI PL 8 0 MAB 2EI L a PL2 32EI b PL 8 3PL 16 54 kip ft continua 482 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão Embora saibamos que MBA é zero pois o apoio em B é um pino o cálculo de MBA serve como uma verificação Para concluir a análise aplicamos as equações da estática em um corpo livre do membro AB ver Figura 128d VAB 11 kips 0 VBA VAB 16 c Fy 0 VBA 5 kips 0 116 kips2 19 ft2 VBA118 ft2 54 kip ft A MA 0 Para avaliar B expressamos todas as variáveis da Equação 4 em unidades de polegadas e kips uB PL2 32EI 16 18 12 2 32 30000 240 00032 rad Expressando B em graus obtemos uB 0183 2p rad 360 00032 uB Resp em que a inclinação B é muito pequena e imperceptível a olho nu Note que quando você analisa uma estrutura pelo método da inclinaçãodeflexão deve seguir um formato rígido na formulação das equações de equilíbrio Não há necessidade de adivinhar a direção dos momentos de extremidade do membro desconhecidos pois a solução das equações de equilíbrio produzirá automaticamente a direção cor reta dos deslocamentos e momentos Por exemplo na Figura 128b mostramos os momentos MAB e MBA no sentido horário nas extremida des do membro AB mesmo que possamos reconhecer intuitivamente a partir de um esboço da forma defletida na Figura 128a que o momento MAB deve atuar no sentido antihorário pois a viga é curvada com concavidade para baixo pela carga na extremidade esquerda Quando a solução indica que MAB é 54 kipft sabemos pelo sinal negativo que na verdade MAB atua no sentido antihorário na extremi dade do membro continuação 483 Seção 124 Análise de estruturas pelo método da inclinaçãodeflexão Usando o método da inclinaçãodeflexão determine os momentos de extremidade de membro no pórtico contraventado mostrado na Figura 129a Além disso calcule as reações no apoio D e desenhe os diagramas de cortante e momento dos membros AB e BD E X E M P L O 1 2 3 A B D C P 6 kips w 2 kipsft I 60 pol4 I 120 pol4 a 4 18 9 b D MDB MDB c 4 B B B D C P 6 kips MDB MDB MBA MBC 24 kip ft MBA MBC 24 kip ft Ax 143 kip 1943 kips 1657 kips Ax 143 kip VBD 143 kip VBD 143 kip Dx 143 kip V M 143 kip Dy 2257 kips VBA 143 kip F 2257 kips F 2257 kips 6257 kip ft 3686 kip ft 1286 kip ft 1286 kip ft 24 kip ft 3181 kip ft 3686 kip ft 6257 kip ft w 2 kipsft d 18 4 9 P 6 kips V 6 kips V 6 kips VAB VBA A V M B B B B C Figura 129 a Detalhes do pórtico b nó D c nó B cortantes e forças axiais omitidos por cla reza d corpos livres dos membros e nós usados para calcular cortantes e reações momentos que atuam no nó B omitidos por clareza continua 484 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão Solução Como A é igual a zero por causa do apoio fixo em A B e D são os únicos deslocamentos de nó desconhecidos que devemos conside rar Embora o momento aplicado ao nó B pela viga em balanço BC deva ser incluído na equação de equilíbrio do nó não há necessidade de incluir a viga em balanço na análise da inclinaçãodeflexão das partes indeterminadas do pórtico pois a viga em balanço é determi nada isto é o cortante e o momento em qualquer seção do membro BC podem ser determinados pelas equações da estática Na solução da inclinaçãodeflexão podemos tratar a viga em balanço como um dis positivo que aplica uma força vertical de 6 kips e um momento no sentido horário de 24 kipft no nó B Usando a equação da inclinaçãodeflexão 1216 MNF 2EI 2uN uF 3cNF FEMNF em que todas as variáveis são expressas em unidades de kippolegadas e os momentos de extremidade fixa produzidos pela carga uniforme no membro AB ver Figura 125d são iguais a FEMBA wL2 12 FEMAB wL2 12 podemos expressar os momentos de extremidade do membro como 1 2 3 4 MDB 2E 60 9 12 2uD uB 222EuD 111EuB MBD 2E 1602 9 1122 12uB uD2 222EuB 111EuD MBA 2E 11202 18 1122 12uB2 2 1182 21122 12 222EuB 648 MAB 2E 11202 18 1122 1uB2 2 1182 21122 12 111EuB 648 Para encontrar a solução dos deslocamentos de nó desconhecidos B e D escrevemos equações de equilíbrio nos nós D e B 5 6 MBA MBD 24 12 0 B ver Figura 129 c B MB 0 MDB 0 o nó N o nó N D ver Figura 129 b2 B MD 0 continuação 485 Seção 124 Análise de estruturas pelo método da inclinaçãodeflexão Como a magnitude e a direção do momento MBC na extremidade B da viga em balanço podem ser avaliadas pela estática somando os momentos sobre o ponto B ele está aplicado no sentido correto sen tido antihorário na extremidade do membro BC como mostrado na Figura 129c Por outro lado como a magnitude e a direção dos momentos de extremidade MBA e MBD são desconhecidas supõese que elas atuam no sentido positivo no sentido horário nas extremidades dos membros e no sentido antihorário no nó Usando as equações 2 a 4 para expressar os momentos nas equações 5 e 6 em termos dos deslocamentos podemos escrever as equações de equilíbrio como 7 8 No nó B 222EuB 648 222EuB 111EuD 288 0 No nó D 2 22 EuD 111EuB 0 Resolvendo as equações 7 e 8 simultaneamente temos uB 9266 E uD 4633 E Para estabelecer os valores dos momentos de extremidade do membro os valores de B e D acima são substituídos nas equações 1 2 e 3 dando 15428 kip pol 1286 kip ft MBD 222E 9266 E 111E 4633 E 44229 kip pol 3686 kip ft MBA 222E 9266 E 648 75085 kip pol 6257 kip ft MAB 111E 9266 E 648 Resp Resp Resp Agora que os momentos de extremidade do membro são conhecidos concluímos a análise usando as equações da estática para determinar os cortantes nas extremidades de todos os membros A Figura 129d mostra os diagramas de corpo livre dos membros e dos nós exceto quanto à viga em balanço todos os membros transmitem forças axiais assim como cortante e momento Após os cortantes serem calculados as forças axiais e reações podem ser avaliadas considerandose o equilíbrio dos nós Por exemplo o equilíbrio vertical das forças aplicadas no nó B exige que a força vertical F na coluna BD seja igual à soma dos cortantes aplicados no nó B pelas extremidades B dos membros AB e BC 486 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão E X E M P L O 1 2 4 Uso de simetria para simplificar a análise de uma estrutura simétrica com uma carga simétrica Determine as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento para as colunas e para a viga do pórtico rígido mostrado na Figura 1210a Dados IAB ICD 120 pol4 IBC 360 pol4 e E é constante para todos os membros Solução Embora os nós B e C girem não se deslocam lateralmente pois tanto a estrutura como sua carga são simétricas com relação a um eixo de simetria vertical que passa pelo centro da viga Além disso B e C têm magnitude igual entretanto B uma rotação no sentido horário é Figura 1210 a Estrutura e carga simétri cas b momentos atuando no nó B forças axiais e cortantes omitidos c corpos livres da viga BC e coluna AB usados para calcular os cortantes os diagramas de cortante e momento finais também são mostrados 30 16 16 w 2 kipsft A D MBA MBA MBC MBC B B C C a 90 90 B b c 781 kips 781 kips V 30 kips V 30 kips V 781 kips 781 kips cortante momento Ay 30 kips Ax 781 kips A B 30 kips 30 kips 30 kips momento cortante 8333 kip ft 8333 kip ft 8333 kip ft 4167 kip ft 8333 kip ft 4167 kip ft 14167 kip ft 8333 kip ft 8333 kip ft 30 w 2 kipsft B C 487 Seção 124 Análise de estruturas pelo método da inclinaçãodeflexão positiva e C uma rotação no sentido antihorário é negativa Como o problema contém apenas uma rotação de nó desconhecida podemos determinar sua magnitude escrevendo a equação de equilíbrio para o nó B ou para o nó C Escolheremos o nó B arbitrariamente Expressando os momentos de extremidade de membro com a Equação 1216 lendo o valor do momento de extremidade fixa do membro BC da Figura 125d expressando as unidades em kipspolegada e substituindo B e C podemos escrever 1 2 3 2E 2u u 2 30 2 12 2Eu 1800 MBC 2E13602 301122 12uB uC2 wL2 12 MBA 2E11202 161122 12uB2 250EuB MAB 2E11202 161122 1uB2 125EuB Escrevendo a equação de equilíbrio no nó B ver Figura 1210b temos 4 MBA MBC 0 Substituindo as equações 2 e 3 na Equação 4 e resolvendo para temos 5 u 400 E 25Eu 20Eu 1800 0 Substituindo o valor de dado pela Equação 5 nas equações 1 2 e 3 temos 1000 kip pol 8333 kip ft MBC 2Ea 400 E b 1800 1000 kip pol 8333 kip ft MBA 25Ea 400 E b 500 kip pol 4167 kip ft MAB 125Ea 400 E b Resp Resp Resp Os resultados finais da análise são mostrados na Figura 1210c 488 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão E X E M P L O 1 2 5 Usando simetria para simplificar a análise pela inclinaçãodefle xão do pórtico da Figura 1211a determine as reações nos apoios A e D EI é constante para todos os membros A a A 0 B B 0 D D 0 C C 0 10 12 P 16 kips P 16 kips 10 10 10 b P 16 kips 8 kips s pik 8 s pik 8 s pik 8 s pik 8 8 kips 16 kips 16 kips 16 kips 40 kip ft 40 kip ft 40 kip ft 40 kip ft 40 kip ft B A V M B D B 40 kip ft 40 kip ft Figura 1211 a Pórtico simétrico com carga simétrica forma defletida mostrada pela linha tracejada b corpo livre da viga AB do nó B e da coluna BD Diagramas de cortante e momento finais para a viga AB 489 Seção 124 Análise de estruturas pelo método da inclinaçãodeflexão Solução Um exame do pórtico mostra que todas as rotações de nó são zero Tanto A como C são zero por causa dos apoios fixos em A e C Como a coluna BD fica sobre o eixo de simetria vertical podemos inferir que deve permanecer reta pois a forma defletida da estrutura com relação ao eixo de simetria deve ser simétrica Se a coluna fletisse em qualquer direção o requisito de que o padrão das deformações deve ser simétrico seria violado Como a coluna permanece reta nem o nó superior nem o inferior em B e D giram portanto tanto B como D são iguais a zero Como não ocorrem recalques de apoio as rotações de corda de todos os membros são zero Como todas as rotações de nó e corda são zero a partir da equação da inclinaçãodeflexão Equação 1216 podemos ver que os momentos de extremidade do membro em cada extremi dade das vigas AB e BC são iguais aos momentos de extremidade fixa PL8 dados pela Figura 125a Resp FEM PL 8 16 20 8 40 kip ft Os corpos livres da viga AB do nó B e da coluna BD são mostrados na Figura 1211b Nota A análise do pórtico da Figura 1211 mostra que a coluna BD transmite apenas carga axial pois os momentos aplicados pelas vigas em cada lado do nó são iguais Frequentemente existe uma condição semelhante nas colunas internas de prédios de vários andares cuja estrutura consiste em um pórtico contínuo de concreto armado ou em um pórtico de aço com nós rígidos soldados Embora um nó rígido tenha a capacidade de transferir momentos das vigas para a coluna é a diferença entre os momentos aplicados pelas vigas em um ou outro lado de um nó que determina o momento a ser transferido Quando o comprimento do vão das vigas e as cargas que elas suportam são aproximadamente iguais uma condição que existe na maioria dos prédios a diferença no momento é pequena Como resultado no estágio preliminar do projeto de pórticos rígi dos para cargas gravitacionais a maioria das colunas pode ser razoa velmente dimensionada considerandose somente a magnitude da carga axial produzida pela carga gravitacional da área de influ ência suportada pela coluna 490 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão E X E M P L O 1 2 6 Determine as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga da Figura 1212 O apoio em A foi construído acidentalmente com uma inclinação que faz um ângulo de 0009 rad com o eixo y vertical através do apoio A e B foi construído 12 pol abaixo de sua posição pre tendida Dados EI é constante I 360 pol4 e E 29 000 kipspol2 A y A 0009 rad A B AB B x RB 761 kips 761 kips VA 761 kips V M a b c L 20 12 15225 kip ft 15225 kip ft Solução A inclinação em A e a rotação de corda cAB podem ser determinadas a partir da informação fornecida sobre os deslocamentos de apoio Como a extremidade da viga está rigidamente conectada no apoio fixo em A gira no sentido antihorário com o apoio e A 0009 rad O recalque do apoio B em relação ao apoio A produz uma rotação de corda no sentido horário cAB L 12 20 12 0005 radiano Figura 1212 a Aspecto deformado b corpo livre usado para calcular VA e RB c diagramas de cortante e momento 491 Seção 124 Análise de estruturas pelo método da inclinaçãodeflexão O ângulo B é o único deslocamento desconhecido e os momentos de extremidade fixa são zero pois nenhuma carga atua na viga Expres sando os momentos de extremidade do membro com a equação da inclinaçãodeflexão Equação 1216 temos 1 2 MBA 2E 360 20 12 2uB 0009 3 0005 MAB 2E13602 201122 321 00092 uB 3 100052 4 MAB 2EIAB LAB 12uA uB 3cAB2 FEMAB Escrevendo a equação de equilíbrio no nó B temos 3 MBA 0 B MB 0 Substituindo a Equação 2 na Equação 3 e resolvendo para B temos uB 0012 radiano 3E12uB 0009 00152 0 Para avaliar MAB substitua B na Equação 1 2 3 1827 kip pol 15225 kip ft MAB 3129000 21 00092 0012 3 100052 4 Complete a análise usando as equações da estática para calcular a reação em B e o cortante em A ver Figura 1212b VA 761 kips c Fy 0 RB 761 kips 0 RB1202 15225 A MA 0 Resp Resp 492 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão E X E M P L O 1 2 7 Embora os apoios estejam construídos nas posições corretas a viga AB do pórtico mostrado na Figura 1213 foi fabricada com 12 pol a mais no comprimento Determine as reações geradas quando o pórtico é ligado aos apoios Dados EI é uma constante para todos os membros I 240 pol4 e E 29 000 kipspol2 Solução A forma defletida do pórtico é mostrada pela linha tracejada na Figura 1213a Embora as forças internas axial cortante e momento sejam geradas quando o pórtico é pressionado nos apoios as deforma A 18 18 12 9 3576 kip ft 7158 kip ft 7158 kip ft 7158 kip ft 7158 kip ft 7158 kip ft 3576 kip ft 7158 kip ft 596 kips 596 kips 596 kips 596 kips 596 kips 9 596 kips 795 kips 795 kips 795 kips 795 kips 795 kips 795 kips C A B a b A B B 0 Figura 1213 a Viga AB fabricada com 12 pol a mais no comprimento b diagramas de corpo livre da viga AB do nó B e da coluna BC usados para calcular as forças internas e reações 493 Seção 124 Análise de estruturas pelo método da inclinaçãodeflexão ções produzidas por essas forças são desprezadas pois são pequenas comparadas ao erro de fabricação em 12 pol portanto a rotação de corda cBC da coluna BC é igual a cBC L 12 9 12 1 90 rad Como as extremidades da viga AB estão no mesmo nível cAB 0 Os deslocamentos desconhecidos são B e C Usando a equação da inclinaçãodeflexão Equação 1216 expres samos os momentos de extremidade do membro em termos dos des locamentos desconhecidos Como nenhuma carga é aplicada nos membros todos os momentos de extremidade fixa são iguais a zero 1 2 3 4 8889EuC 4444EuB 01481E MCB 2E12402 91122 c2uC uB 3 a 1 90 b d 8889EuB 4444EuC 01481E MBC 2E12402 91122 c2uB uC 3 a 1 90 b d MBA 2E12402 181122 12uB2 4444EuB MAB 2E12402 181122 1uB2 2222EuB Escrevendo as equações de equilíbrio temos Nó C 5 Nó B 6 MBA MBC 0 MCB 0 Substituindo as equações 2 a 4 nas equações 5 e 6 e resolvendo para B e C temos 7 8 uC 001332 rad uB 000666 rad 44 44 EuB 8889EuB 4444EuC 01481E 0 8889EuC 4444EuB 01481E 0 Substituindo C e B nas equações 1 a 3 temos MBC 7158 kip ft MCB 0 MAB 3576 kip ft MBA 7158 kip ft Resp Os diagramas de corpo livre usados para calcular as forças inter nas e reações são mostrados na Figura 1213b que também exibe os diagramas de momento 494 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão 125 Análise de estruturas livres para se deslocar lateralmente Até aqui utilizamos o método da inclinaçãodeflexão para analisar vigas e pórticos indeterminados com nós que estão livres para girar mas restringidos em relação ao deslocamento Agora vamos estender o método para pórticos cujos nós também estão livres para se deslocar lateralmente isto é para moverse de lado Por exemplo na Figura 1214a a carga horizontal resulta no deslocamento lateral da viga BC por uma distância Reconhecendo que a deformação axial da viga é insig nificante supomos que o deslocamento horizontal do topo das duas colu nas é igual a Esse deslocamento cria uma rotação de corda no sentido horário c nos dois ramos do pórtico igual a c h em que h é o comprimento da coluna Figura 1214 a Pórtico não contraven tado forma defletida mostrada em uma escala exagerada pelas linhas tracejadas as cordas da coluna giram por um ângulo c no sentido horário b diagramas de corpo livre das colunas e vigas momentos desconheci dos mostrados no sentido positivo isto é no sentido horário nas extremidades dos mem bros cargas axiais nas colunas e cortantes na viga omitidos por clareza 90 P P Q Q A D h h h B C a b 90 V1 V1 V2 MBA MAB A B D C B C V2 MCD MDC 495 Seção 125 Análise de estruturas livres para se deslocar lateralmente Como três deslocamentos independentes se desenvolvem no pórtico isto é a rotação dos nós B e C B e C e a rotação de corda c pre cisamos de três equações de equilíbrio para sua solução Duas equações de equilíbrio são fornecidas considerandose o equilíbrio dos momen tos que atuam nos nós B e C Como já escrevemos equações desse tipo na solução de problemas anteriores discutiremos apenas o segundo tipo de equação de equilíbrio a equação do cortante Essa equação é estabelecida pela soma das forças na direção horizontal que atuam em um corpo livre da viga Por exemplo para a viga da Figura 1214b podemos escrever 1218 V1 V2 Q 0 S Fx 0 Na Equação 1218 V1 o cortante na coluna AB e V2 o cortante na coluna CD são avaliados somandose os momentos em relação à parte inferior de cada coluna das forças que atuam em um corpo livre da coluna Conforme estabelecemos anteriormente os momentos desco nhecidos nas extremidades da coluna sempre devem ser mostrados no sentido positivo isto é atuando no sentido horário na extremidade do membro Somando os momentos em relação ao ponto A da coluna AB calculamos V1 1219 V1 MAB MBA h MAB MBA V1h 0 A MA 0 Analogamente o cortante na coluna CD é avaliado somandose os momentos em relação ao ponto D 1220 V2 MCD MDC h MCD MDC V2h 0 A MD 0 Substituindo os valores de V1 e V2 das equações 1219 e 1220 na Equação 1218 podemos escrever a terceira equação de equilíbrio como 1221 MAB MBA h MCD MDC h Q 0 Os exemplos 128 e 129 ilustram o uso do método da inclinação deflexão para analisar pórticos que suportam cargas laterais e estão livres para se deslocar lateralmente Os pórticos que suportam somente carga vertical também sofrerão pequenos deslocamentos laterais a menos que a estrutura e o padrão de carregamento sejam simétricos O Exemplo 1210 ilustra esse caso 496 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão E X E M P L O 1 2 8 Analise o pórtico da Figura 1215a pelo método da inclinaçãodefle xão E é constante para todos os membros IAB 240 pol4 IBC 600 pol4 e ICD 360 pol4 Figura 1215 a Detalhes do pórtico b reações e diagramas de momento 6 kips a A B C D 18 0 12 90 AB A 0 D 90 CD 15 197 kip 403 kips 257 kips 257 kips 6 kips 187 kip ft 187 kip ft 1676 kip ft 1676 kip ft 2184 kip ft 2645 kip ft 2645 kip ft 2184 kip ft b Solução Identifique os deslocamentos desconhecidos B C e Expresse as rotações de corda cAB e cCD em termos de 1 cAB 12 e cCD 18 então cAB 15cCD Calcule a rigidez à flexão relativa de todos os membros KCD EI L 360E 18 20E KBC EI L 600E 15 40E KAB EI L 240E 12 20E Se definirmos 20E K então 2 KAB K KBC 2K KCD K Expresse os momentos de extremidade de membro em termos dos deslocamentos com a Equação 1216 da inclinaçãodeflexão MNF 2EIL2N F 3cNF FEMNF Como nenhuma carga é aplicada nos membros entre os nós todo FEMNF 0 3 MDC 2KCD uC 3cCD MCD 2KCD 2uC 3cCD MCB 2KBC12uC uB2 MBC 2KBC12uB uC2 MBA 2KAB12uB 3cAB2 MAB 2KAB1uB 3cAB2 497 Seção 125 Análise de estruturas livres para se deslocar lateralmente Nas equações acima utilize as equações 1 para expressar cAB em termos de cCD e as equações 2 para expressar toda rigidez em termos do parâmetro K 4 MDC 2K uC 3cCD MCD 2K 12uC 3cCD2 MCB 4K 12uC uB2 MBC 4K 12uB uC2 MBA 2K 12uB 45cCD2 MAB 2K 1uB 45cCD2 As equações de equilíbrio são 5 6 7 Equação de cortante ver Equação 1221 MBA MAB 12 MCD MDC 18 6 0 Nó C MCB MCD 0 Nó B MBA MBC 0 Substitua as equações 4 nas equações 5 6 e 7 e combine os termos 5a 6a 7a 9uB 6uC 39cCD 108 K 4uB 12uC 6cCD 0 12uB 4uC 9cCD 0 Resolvendo as equações acima simultaneamente temos E também cAB 15cCD 516 K uB 2257 K uC 097 K cCD 344 K Como todos os ângulos são positivos todas as rotações de nó e os ângulos de deslocamento lateral são no sentido horário Substituindo os valores de deslocamento acima nas equações 4 estabelecemos os momentos de extremidade de membro MCD 1676 kip ft MDC 187 kip ft MBC 2184 kip ft MCB 1678 kip ft MAB 2645 kip ft MBA 2184 kip ft Resp Os resultados finais estão resumidos na Figura 1215b 498 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão E X E M P L O 1 2 9 Figura 1216 a Detalhes do pórtico rotação da corda cAB mostrada pela linha tracejada b momentos atuando no nó B cortantes e forças axiais omitidos por clareza c momentos atuando no nó C forças cortantes e reação omitidas por clareza d corpo livre da coluna AB e corpo livre da viga usado para estabe lecer a terceira equação de equilíbrio Solução Identifique os deslocamentos desconhecidos B C e cAB Como a viga em balanço é um componente determinado da estrutura sua aná lise não precisa ser incluída na formulação da inclinaçãodeflexão Em vez disso consideramos a viga em balanço um dispositivo para aplicar uma carga vertical de 6 kips e um momento no sentido horário de 24 kip ft no nó C Expresse os momentos de extremidade de membro em termos dos deslocamentos com a Equação 1216 todas as unidades em kip ft B C D A AB A a d e b 8 4 6 12 0 2 kipsft 3 kipsft 8 B A B 2 kipsft MBA D C B MAB VA R 24 kips MBA MBA V1 V1 MBC B C D A AB A a d e b c 8 4 6 12 0 2 kipsft 3 kipsft 8 24 kip ft B A B 2 kipsft MBA MCB C D C B MAB VA R 24 kips MBA MBA V1 V1 MBC B C D A AB A a d e b 8 4 6 12 0 2 kipsft 3 kipsft 8 B A B 2 kipsft MBA D C B MAB VA R 24 kips MBA MBA V1 V1 MBC Analise o pórtico da Figura 1216a pelo método da inclinação deflexão Dados EI é constante para todos os membros 499 Seção 125 Análise de estruturas livres para se deslocar lateralmente 1 MCB 2EI 12 2uC uB MBC 2EI 12 12uB uC2 MBA 2EI 8 12uB 3cAB2 3 182 2 12 MAB 2EI 8 1uB 3cAB2 3 182 2 12 Escreva as equações de equilíbrio de nó em B e C Nó B ver Figura 1216b 2 B MB 0 MBA MBC 0 Nó C ver Figura 1216c 3 B MC 0 MCB 24 0 Equação de cortante ver Figura 1216d resolvendo paraV1 4 temos a V1 MBA MAB 96 8 A MA 0 MBA MAB 24 142 V1 182 0 Isole a viga ver Figura 1216e e considere o equilíbrio na direção horizontal 4b S Fx 0 portanto V1 0 Substitua a Equação 4a na Equação 4b 4 MBA MAB 96 0 Expresse as equações de equilíbrio em termos dos deslocamentos substituindo as equações 1 nas equações 2 3 e 4 Reunindo os termos e simplificando encontramos 3uB 6cAB 384 EI uB 2uC 144 EI 10uB 2uC 9cAB 192 EI As equações acima resultam uB 5333 EI uC 4533 EI cAB 9066 EI continua 500 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão Estabeleça os valores dos momentos de extremidade de membro substituindo os valores de B C e cAB nas equações 1 MCB 2EI 12 2 4533 EI 5333 EI 24 kip ft MBC 2EI 12 c 122 153332 EI 4533 EI d 2533 kip ft MBA 2EI 8 c 122 153332 EI 132 190662 EI d 16 2533 kip ft MAB 2EI 8 c 5333 EI 132 190662 EI d 16 7067 kip ft Resp Após os momentos de extremidade serem estabelecidos calculamos os cortantes em todos os membros aplicando as equações de equilíbrio nos corpos livres de cada membro Os resultados finais são mostrados na Figura 1216f Figura 1216 f Reações e diagramas de cortante e momento 24 kips 1011 kips f A B C D 2533 2533 411 411 kips 24 6 cortante kips momento kip ft momento cortante 7067 kip ft 24 kips M 7067 kip ft continuação 501 Seção 125 Análise de estruturas que estão livres para se deslocar lateralmente Analise o pórtico da Figura 1217a pelo método da inclinação deflexão Determine as reações desenhe os diagramas de momento dos membros e esboce a forma defletida Se I 240 pol4 e E 30 000 kipspol2 determine o deslocamento horizontal do nó B E X E M P L O 1 2 1 0 Figura 1217 a Rotações de corda positivas do pórtico não contraventado supostas para as colunas veja as linhas tracejadas forma defle tida mostrada em d b corpos livres das colunas e da viga usados para estabelecer a equação do cortante Solução Os deslocamentos desconhecidos são B C e c Como os apoios em A e D são fixos A e D são iguais a zero Não há nenhuma rotação de corda da viga BC Expresse os momentos de extremidade de membro em termos dos deslocamentos com a equação da inclinaçãodeflexão Use a Figura 125 para avaliar FEMNF 1216 80 kip ft 40 kip ft FEMBC Pb2a L2 121302 2 1152 1452 2 FEMCD Pa2b L2 12 1152 21302 1452 2 MNF 2EI L 12uN uF 3cNF2 FEMNF 3I I P 12 kips I 45 15 30 15 A D B C a MBA 15 15 V2 V1 V1 V2 MCD MBA MCD V1 MAB V2 MDC P 12 kips b continua 502 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão Para simplificar as expressões de inclinaçãodeflexão defina EI15 K 1 MDC 2EI 15 uC 3c 2K uC 3c MCD 2EI 15 12uC 3c2 2K1uC 3c2 MCB 2EI 45 12uC uB2 4 0 2 3 K12uC uB2 40 MBC 2EI 45 12uB uC2 80 2 3 K12uB uC2 80 MBA 2EI 15 12uB 3c2 2K12uB 3c2 MAB 2EI 15 1uB 3c2 2K1uB 3c2 As equações de equilíbrio são Nó B 2 Nó C 3 MCB MCD 0 MBA MBC 0 Equação de cortante ver viga na Figura 1217b 4a 4 em que b V1 MBA MAB 15 V2 MCD MDC 15 S Fx 0 V1 V2 0 Substituindo V1 e V2 dados pelas equações 4b em 4a temos 4 MBA MAB MCD MDC 0 Alternativamente podemos definir Q 0 na Equação 1221 para produzir a Equação 4 Expresse as equações de equilíbrio em termos dos deslocamentos substituindo as equações 1 nas equações 2 3 e 4 Combinando os termos e simplificando temos KuB KuC 4Kc 0 2KuB 16KuC 3Kc 120 8KuB KuC 9Kc 120 continuação 503 Seção 125 Análise de estruturas que estão livres para se deslocar lateralmente Resolvendo essas equações simultaneamente calculamos 5 uB 410 21K uC 130 21K c 10 3K Substituindo os valores de B C e c nas equações 1 calculamos os momentos de extremidade de membro abaixo 6 MBC 581 kip ft MCB 4476 kip ft MCD 4476 kip ft MDC 3238 kip ft MAB 1905 kip ft MBA 581 kip ft Resp Os momentos de extremidade de membro e os diagramas de momento estão mostrados no esboço da Figura 1217c a forma defle tida está mostrada na Figura 1217d Calcule o deslocamento horizontal do nó B Use a Equação 1 para MAB Expresse todas as variáveis em unidades de polegadas e kips 7 MAB 2EI 15 12 uB 3c A partir dos valores da Equação 5 p 485 B 586c substituindo na Equação 7 calculamos c cL 0000999 15 12 018 pol c 0000999 rad 19051122 2130000 2 12402 151122 1586c 3c2 Resp Figura 1217 c Momentos de extremidade de membro e diagramas de momento em kipft d reações e forma defletida 4476 4476 momento kip ft 3228 581 1905 581 664 c A D B C 1905 kip ft 3238 kip ft d P 12 kips 514 kips 514 kips 37 kips 83 kips 504 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão 126 Indeterminação cinemática Para analisar uma estrutura pelo método da flexibilidade primeira mente estabelecemos o grau de indeterminação da estrutura O grau de indeterminação estática estabelece o número de equações de compatibi lidade que devemos escrever para avaliar as redundantes que são as incógnitas nas equações de compatibilidade No método da inclinaçãodeflexão os deslocamentos rotações e translações de nó são as incógnitas Como uma etapa básica nesse método devemos escrever equações de equilíbrio em número igual aos deslocamentos de nó independentes O número de deslocamentos de nó independentes é denominado grau de indeterminação cinemá tica Para determinálo simplesmente contamos o número de desloca mentos de nó independentes que estão livres para ocorrer Por exem plo se desprezarmos as deformações axiais a viga da Figura 1218a é cinematicamente indeterminada no primeiro grau Se fôssemos ana lisar essa viga por inclinaçãodeflexão somente a rotação do nó B seria tratada como incógnita Se também quiséssemos considerar a rigidez axial em uma análise de rigidez mais geral o deslocamento axial em B seria considerado uma incógnita adicional e a estrutura seria classificada como cinematicamente indeterminada no segundo grau Salvo indicação em contrário despreza remos as deformações axiais nesta discussão Na Figura 1218b o pórtico seria classificado como cinematicamente indeterminado no quarto grau pois os nós A B e C estão livres para girar e a viga pode transladar lateralmente Embora o número de rotações de nó seja simples de identificar em alguns tipos de problemas pode ser mais difícil estabelecer o número de deslocamentos de nó independentes Um método para determinar o número de deslocamentos de nó independentes é introduzir rolos imaginários como restrições de nó O número de rolos necessários para impedir a translação dos nós da estrutura é igual ao número de deslocamentos de nó independentes Por exemplo na Figura 1218c a estrutura seria classificada como cinematicamente indeterminada no oitavo grau pois são possíveis seis rotações de nó e dois deslocamentos de nó Cada um dos imaginários denotados pelos números 1 e 2 introduzidos em um piso impede que todos os nós desse piso se desloquem lateralmente Na Figura 1218d a viga Vierendeel seria classificada como cinematicamente indeterminada no décimo primeiro grau isto é oito rotações de nó e três translações de nó independentes Os rolos imaginários rotulados como 1 2 e 3 adicionados nos nós B C e H impedem a translação de todos os nós Figura 1218 Avaliação do grau de indeterminação cinemática a indeterminada no primeiro grau desprezando as deformações axiais b indeterminada no quarto grau c indeterminada no oitavo grau rolos imaginários adicionados nos pontos 1 e 2 d indeter minada no décimo primeiro grau rolos imaginários adicionados nos pontos 1 2 e 3 a B A b A B C D c A B F 1 2 E H C D I G d 1 2 3 H G F E B A C D 505 Resumo Resumo O procedimento da inclinaçãodeflexão é um método clássico para analisar vigas indeterminadas e pórticos rígidos Nesse método os deslocamentos de nó são as incógnitas Um procedimento passo a passo para analisar uma viga ou pórtico indeterminado com base no método da inclinaçãodeflexão está resumido na Seção 124 Para estruturas altamente indeterminadas com um grande número de nós a solução da inclinaçãodeflexão exige que o engenheiro resolva uma série de equações simultâneas igual em número aos deslocamentos desconhecidos uma operação demorada Embora o uso do método da inclinaçãodeflexão para analisar estruturas seja impraticável dada a disponibilidade de programas de computador a familiaridade com o método proporciona aos estudantes uma percepção valiosa a respeito do comportamento das estruturas Como alternativa ao método da inclinaçãodeflexão a distribuição de momentos foi desenvolvida nos anos 1930 para analisar vigas e pórticos indeterminados por meio da distribuição de momentos não equilibrados nos nós de uma estrutura restringida artificialmente Embora elimine a solução de equações simultâneas esse método ainda é relativamente longo especialmente se um grande número de condições de carga precisa ser considerado Contudo a distribuição de momentos é uma ferramenta útil como método aproximado de análise tanto para conferir os resultados de uma análise por computador como para fazer estudos preliminares Vamos usar a equação da inclinaçãodeflexão para desenvolver o método da distribuição de momentos no Capítulo 13 Uma variação do procedimento da inclinaçãodeflexão o método da rigidez geral usado para preparar programas de computador de uso geral será apresentada no Capítulo 16 Esse método utiliza coeficientes de rigidez forças produzidas por deslocamentos unitários de nós 506 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão P121 e P122 Usando as equações 1212 e 1213 cal cule os momentos de extremidade fixa para as vigas de extremidade fixa Ver figuras P121 e P122 PrObLEMAs P124 Analise a viga da Figura P124 por inclinação deflexão e desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga EI é constante L 4 FEMAB FEMBA A B L 2 L 4 P P P121 A B M L 2 FEMBA FEMAB L 2 P122 8 A B C w 2 kipsft P 16 kips 8 4 P123 P126 P123 Analise pela inclinaçãodeflexão e desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga da Figura P123 Dado EI é constante P124 10 m A C B w 12 kNm 24 kN 5 m 14 m P125 Calcule as reações em A e C na Figura P125 Desenhe os diagramas de cortante e momento para o membro BC Dados I 2 000 pol4 e E 3 000 kipspol2 P126 Desenhe os diagramas de cortante e momento para o pórtico da Figura P126 Dado EI é constante Como este problema difere do Problema P125 P125 6 24 12 A B 4I I C w 28 kipsft 14 14 20 w 5 kipsft P 30 kips A B C 507 Problemas P127 Analise a viga da Figura P127 Desenhe os dia gramas de cortante e momento Dados E 29 000 ksi e I 100 pol4 A B C D w 3 kipsft 8 8 4 w 2 kipsft 6 12 8 8 8 8 B D C A w 2 kipsft w 2 kipsft w 2 kipsft P127 A C B D P 18 kips 12 12 8 8 P1211 P1212 A B C D W w 3 kipsft 4 4 4 8 P128 16 A B C 4 w 3 kipsft P129 A B C 12 0002 rad 06 15 P1210 P128 Se nenhuma deflexão vertical é permitida na extremidade A da viga da Figura P128 calcule o peso W que precisa ser colocado no meio do vão CD Dados E 29 000 ksi e I 100 pol4 P129 a Sob as cargas aplicadas o apoio B na Figura P129 sofre um recalque de 05 pol Determine todas as reações Dados E 30 000 kipspol2 I 240 pol4 b Calcule a deflexão do ponto C P1210 Na Figura P1210 o apoio A gira 0002 rad e o apoio C sofre um recalque de 06 pol Desenhe os diagramas de cortante e momento Dados I 144 pol4 e E 29 000 kipspol2 Nos problemas P1211 a P1214 tire proveito da sime tria para simplificar a análise por inclinaçãodeflexão P1211 a Calcule todas as reações e desenhe os dia gramas de cortante e momento para a viga da Figura P1211 Dado EI é constante b Calcule a deflexão sob a carga P1212 a Determine os momentos de extremidade de membro para o anel retangular da Figura P1212 e dese nhe os diagramas de cortante e momento para os mem bros AB e AD A seção transversal do anel retangular é 12 pol 8 pol e E 3 000 kipspol2 b Qual é a força axial no membro AD e no membro AB 508 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão P1213 A Figura P1213 mostra as forças exercidas pela pressão do solo em um comprimento típico de 1 pé de um túnel de concreto assim como a carga de projeto atuando na laje superior Suponha que uma condição de extremidade fixa na parte inferior das paredes em A e D seja produzida pela conexão com a base Determine os momentos de extremidade de membro e desenhe os dia gramas de cortante e momento Além disso desenhe a forma defletida EI é constante A B D C 16 200 lbft 800 lbft 800 lbft 2 2 18 5 m A B C D E w 40 kNm 5 m 5 m 5 m A D 20 kips 20 kips B C E F 12 9 9 9 9 12 A D B C 12 m 20 m 30 kN A B C 4 m 3 m 3 m 100 kN P1214 Calcule as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga da Figura P1214 Dados E 200 GPa e I 120 106 mm4 P1215 Considere a viga da Figura P1214 sem a carga aplicada Calcule as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga se o apoio C sofre um recalque de 24 mm e o apoio A gira 0005 rad no sentido antihorário P1213 P1214 P1216 P1217 P1218 P1216 Analise o pórtico da Figura P1216 Além das cargas aplicadas os apoios A e D sofrem um recalque de 216 pol EI 36 000 kip ft2 para as vigas e EI 72 000 kip ft2 para as colunas Use a simetria para simplificar a análise P1217 Analise o pórtico da Figura P1217 Dado EI é constante P1218 Analise a estrutura da Figura P1218 Além da carga aplicada o apoio A gira no sentido horário 0005 rad Além disso E 200 GPa e I 25 106 mm4 para todos os membros 509 Problemas P1219 Analise o pórtico da Figura P1219 Dado EI é constante P1220 Analise o pórtico da Figura P1220 Note que o apoio D só pode transladar na direção horizontal Cal cule todas as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento Dados E 29 000 ksi e I 100 pol4 A C B D E 6 m 8 m 50 kN 6 kNm 50 kN 6 m 4 m 3 m P1219 D B 2I I I A C 8 3 5 100 kips P1220 6 kips A B D C 18 8 4 w 1 kipft P1221 30 kips 4 A B D C 20 12 P1222 A B w 6 kNm C D 9 m 6 m 3 m 35 kN P1223 P1221 Analise o pórtico da Figura P1221 Calcule todas as reações Além disso IBC 200 pol4 e IAB ICD 150 pol4 E é constante P1222 Analise o pórtico da Figura P1222 Observe que o deslocamento lateral é possível pois a carga não é simétrica Calcule o deslocamento horizontal do nó B Dados E 29 000 kipspol2 e I 240 pol4 para todos os membros P1223 Calcule as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga BC da Figura P1223 EI é constante 510 Capítulo 12 Análise de vigas e pórticos indeterminados pelo método da inclinaçãodeflexão P1224 Se o deslocamento horizontal do pórtico está limitado a 18 pol calcule a força lateral máxima P que pode ser aplicada no pórtico Dados E 29 000 ksi e I 500 pol4 P B I I 2I A D C 30 15 A B C D 10 m 60 kN 6 m 8 m A B C 24 12 048 0016 rad I 300 pol4 I 75 pol4 A B C 24 12 I 240 pol4 I 120 pol4 P1224 P1225 P1226 P1227 P1225 Determine todas as reações nos pontos A e D na Figura P1225 EI é constante P1226 Se o apoio A na Figura P1226 é construído 048 pol mais baixo e o apoio em C é construído acidental mente com uma inclinação de 0016 rad no sentido horário a partir de um eixo vertical através de C determine o momento e as reações criadas quando a estrutura é conec tada aos seus apoios Dado E 29 000 kipspol2 P1227 Se o membro AB na Figura P1227 é fabricado com 3 4 pol a mais no comprimento determine os momentos e as reações criadas no pórtico quando ele é construído Esboce a forma defletida Dado E 29 000 kipspol2 511 Problemas P1228 Estabeleça as equações de equilíbrio necessá rias para analisar o pórtico da Figura P1228 por inclina çãodeflexão Expresse as equações de equilíbrio em termos dos deslocamentos apropriados EI é constante para todos os membros 16 12 8 w 2 kipsft 2 kips A B C D E 4 A B D C 5 m 5 m 5 m 70 kN P1228 P1229 a b c d P1230 P1229 Analise o pórtico da Figura P1229 EI é constante P1230 Determine o grau de indeterminação cinemá tica de cada estrutura na Figura P1230 Despreze as deformações axiais East Bay Drive uma ponte em concreto protendido com 445 m de comprimento vão livre principal de aproximadamente 183 m e borda da viga de concreto com 1778 cm de espessura C A P Í T U L O Distribuição de momentos 131 Introdução A distribuição de momentos desenvolvida por Hardy Cross no iní cio dos anos 1930 é um procedimento para estabelecer os momentos de extremidade em membros de vigas e pórticos indeterminados com uma série de cálculos simples O método é baseado na ideia de que a soma dos momentos aplicados pelos membros ligados a um nó deve ser igual a zero pois o nó está em equilíbrio Em muitos casos a distribui ção de momentos elimina a necessidade de resolver um grande número de equações simultâneas como aquelas produzidas na análise de estru turas altamente indeterminadas pelo método da flexibilidade ou da inclinaçãodeflexão Embora as estruturas contínuas com nós rígidos pórticos de aço soldado ou concreto armado e vigas contínuas sejam analisadas rotineira e rapidamente por computador para várias condições de carga a distribuição de momentos continua sendo uma ferramenta valiosa para 1 conferir os resultados de uma análise por computador ou 2 realizar uma análise aproximada na fase do projeto preliminar quando os membros são inicialmente dimensionados No método da distribuição de momentos imaginamos que restrições temporárias são aplicadas em todos os nós de uma estrutura que estão livres para girar ou se deslocar Aplicamos grampos hipotéticos para impedir a rotação dos nós e introduzimos rolos imaginários para impedir seus deslocamentos laterais os rolos só são necessários para estruturas que se deslocam lateralmente O efeito inicial da introdução de restri ções é produzir uma estrutura inteiramente composta de membros de extremidade fixa Quando aplicamos as cargas de projeto na estrutura restringida são criados momentos nos membros e nos grampos Para uma estrutura restringida em relação ao deslocamento lateral o caso mais comum a análise é concluída pela remoção dos grampos um a um de nós sucessivos e pela distribuição dos momentos nos membros ligados ao nó Os momentos são distribuídos nas extremida des dos membros proporcionalmente à sua rigidez à flexão Quando os momentos em todos os grampos tiverem sido absorvidos pelos membros a análise indeterminada estará concluída O restante da aná lise construção de diagramas de cortante e momento cálculo das forças axiais nos membros ou avaliação das reações é completada com as equações da estática 13 514 Capítulo 13 Distribuição de momentos Por exemplo como primeiro passo na análise da viga contínua da Figura 131a pela distribuição de momentos aplicamos grampos imagi nários nos nós B e C O nó A que é fixo não necessita de um grampo Quando as cargas são aplicadas nos vãos individuais desenvolvemse momentos de extremidade fixa nos membros e momentos de restrição MB e MC nos grampos À medida que a solução da distribuição de momentos progride os grampos nos apoios B e C são removidos alterna damente e substituídos em uma série de etapas iterativas até que a viga curve em sua posição de equilíbrio como mostrado pela linha tracejada na Figura 131b Depois de aprender algumas regras simples de distribui ção de momentos entre os membros ligados a um nó você poderá analisar rapidamente muitos tipos de vigas e pórticos indeterminados Inicialmente consideraremos estruturas compostas somente de mem bros prismáticos retos isto é membros cujas seções transversais são constantes ao longo de todo seu comprimento Posteriormente estendere mos o procedimento para estruturas que contêm membros cuja seção transversal varia ao longo do eixo do membro 132 Desenvolvimento do método da distribuição de momentos Para desenvolver o método da distribuição de momentos usaremos a equação da inclinaçãodeflexão para avaliar os momentos de extremidade de membro em cada vão da viga contínua da Figura 132a após um grampo imaginário que impede a rotação do nó B seja removido e a estru tura se curve em sua posição de equilíbrio final Embora apresentemos a distribuição de momentos analisando uma estrutura simples que tem ape nas um nó livre para girar esse caso nos permitirá desenvolver as carac terísticas mais importantes do método Quando a carga concentrada P é aplicada no vão AB a viga inicial mente reta se curva no formato mostrado pela linha tracejada No apoio B uma linha tangente à curva elástica da viga deformada faz um ângulo uB com o eixo horizontal O ângulo uB está bastante exagerado normal mente seria de menos de 1 Nos apoios A e C a inclinação da curva elástica é zero pois as extremidades fixas não estão livres para girar Na Figura 132b mostramos um detalhe do nó no apoio B após a viga car regada terse curvado na sua posição de equilíbrio O nó que consiste em um comprimento diferencial ds do segmento de viga é carregado por cortantes e momentos da viga AB e BC e pela reação de apoio RB Figura 131 Viga contínua analisada pela distri buição de momentos a grampos temporários adicionados aos nós B e C para produzir uma estrutura restringida consistindo em duas vigas de extremidades fixas b grampos removidos e viga defletida em sua posição de equilíbrio P P MB A MEFAB MEFBA B C a grampo grampo A 0 C 0 B 0 MEFBC MEFCB MC MAB MBA MBC A 0 B C P P A B C b 515 Seção 132 Desenvolvimento do método da distribuição de momentos Se somarmos os momentos sobre a linha central do apoio B o equilíbrio do nó com relação ao momento exige que MBA MBC em que MBA e MBC são os momentos aplicados no nó B pelos membros AB e BC res pectivamente Como a distância entre as faces do elemento e a linha central do apoio é extremamente pequena o momento produzido pelas forças cortantes é uma quantidade de segunda ordem e não precisa ser incluído na equação de equilíbrio de momento Agora consideraremos em detalhes as várias etapas do procedimento da distribuição de momentos que nos permite calcular os valores dos momentos de extremidade de membro nos vãos AB e BC da viga da Figura 132 Na primeira etapa ver Figura 132c imaginamos que o nó B é impedido de girar por meio de um grampo grande A aplicação do grampo produz duas vigas de extremidade fixa Quando P é aplicada no meio do vão do membro AB momentos de extremidade fixa MEFs se desenvolvem em cada extremidade do membro Esses momentos podem ser avaliados usandose a Figura 125 ou a partir das equações 1212 e 1213 Nenhum momento se desenvolve na viga BC neste estágio pois nenhuma carga atua no vão A Figura 132d mostra os momentos atuando entre a extremidade da viga AB e o nó B A viga aplica um momento MEFBA no sentido antihorário no nó Para impedir que o nó gire os grampos devem aplicar nela um momento igual Figura 132 Vários estágios na análise de uma viga pela distribuição de momentos a viga carregada na posição curvada b diagrama de corpo livre do nó B na posição deformada c momentos de extremidade fixa na viga restrin gida nó B grampeado d diagrama de corpo livre do nó B antes de o grampo ser removido e momentos na viga após o grampo ser removido f momentos de extremidade distribuídos MEDs produzidos pela rotação de nó uB para equilibrar o momento não equilibrado MNE LAB P MEFAB MEFAB MTBA MEFBA MEDBA MEDBC MEDBA MEFBA MEDBC MTBC MEFBA MNE MEFBA MNE MEFBA B A C A 0 A 0 B 0 C 0 B B a b d f grampo MNE grampo LBC MBA MBC RB VBA VBC ds P B A C B B c A B C P B B e 516 Capítulo 13 Distribuição de momentos e oposto a MEFBA O momento que se desenvolve no grampo é chamado de momento não equilibrado MNE Se o vão BC também fosse carregado o momento não equilibrado no grampo seria igual à diferença entre os momen tos de extremidade fixa aplicados pelos dois membros ligados ao nó Se agora removermos o grampo o nó B girará por um ângulo uB no sentido antihorário até sua posição de equilíbrio ver Figura 132e Quando o nó B gira momentos adicionais rotulados como MEDBC MTBC MEDBA e MTBA se desenvolvem nas extremidades dos membros AB e BC No nó B esses momentos chamados de momentos de extremidade distri buídos MEDs têm sentido oposto ao momento não equilibrado ver Figura 132f Em outras palavras quando o nó atinge o equilíbrio a soma dos momentos de extremidade distribuídos é igual ao momento não equili brado que anteriormente era equilibrado pelo grampo Podemos expressar essa condição de equilíbrio de nó como 131 M ED BA MEDBC MNE 0 A MB 0 em que MEDBA momento na extremidade B do membro AB produzido pela rotação do nó B MEDBC momento na extremidade B do membro BC produzido pela rotação do nó B MNE momento não equilibrado aplicado ao nó Em todos os cálculos de distribuição de momentos a convenção de sinal será a mesma utilizada no método da inclinaçãodeflexão As rota ções das extremidades dos membros e os momentos aplicados às extremi dades dos membros são positivos no sentido horário e negativos no sen tido antihorário Na Equação 131 e nos esboços da Figura 132 os sinais de mais ou de menos não são mostrados mas estão contidos nas abreviações utilizadas para designar os vários momentos Os momentos produzidos na extremidade A do membro AB e na extre midade C do membro BC pela rotação do nó B são chamados momentos de transmissão MTs Conforme mostraremos a seguir 1 O momento final na extremidade de cada membro é igual à soma algébrica do momento de extremidade distribuído ou o momento de transmissão e do momento de extremidade fixa se o vão estiver carregado 2 Para membros de seção transversal constante o momento de transmissão em cada vão tem o mesmo sinal do momento de extremidade distribuído mas metade da intensidade Para verificar a magnitude dos momentos finais em cada extremi dade dos membros AB e BC na Figura 132e usaremos a equação da inclinaçãodeflexão Equação 1216 para expressar os momentos de extremidade do membro em termos das propriedades dos membros da carga aplicada e da rotação do nó B para uA uC c 0 a Equação 1216 produz 517 Seção 132 Desenvolvimento do método da distribuição de momentos Membro AB 132 133 MTBA Membro BC 134 135 MTBC MCB 2EIBC LBC uB MBC 2EIBC LBC 2uB 4EIBC LBC uB MAB 2EIAB LAB uB MEFAB MBA 2EIAB LAB 12uB2 MEFBA 4EIAB LAB uB MEFBA MEDBA MEDBC A Equação 132 mostra que o momento total MBA na extremidade B do membro AB Figura 132e é igual à soma do 1 momento de extremidade fixa MEFBA e 2 o momento de extremidade distribuído MEDBA MEDBA é dado pelo primeiro termo no lado direito da Equação 132 como 136 MEDBA 4EIAB LAB uB Na Equação 136 o termo 4EIABLAB é denominado rigidez à flexão absoluta da extremidade B do membro AB Ele representa o momento necessário para produzir uma rotação de 1 rad em B quando a extremidade em A é fixa com relação à rotação Se a viga é nãoprismática isto é se a seção transversal varia ao longo do eixo do membro a constante numérica na rigidez à flexão absoluta não será igual a 4 consultar Seção 139 A Equação 133 mostra que o momento total na extremidade A do membro AB é igual à soma do momento de extremidade fixa MEFAB e o momento de transmissão MTBA MTBA é dado pelo primeiro termo da Equação 133 como 137 MT BA 2EIAB LAB uB Se compararmos os valores de MEDBA e MTBA dados pelas equações 136 e 137 veremos que eles são idênticos exceto quanto às constantes numéricas 2 e 4 Portanto concluímos que 138 MTBA 1 2 MEDBA 518 Capítulo 13 Distribuição de momentos Como o momento de transmissão e o momento de extremidade distri buído dados pelas equações 136 e 137 são funções de uB a única variável que tem um sinal de mais ou de menos os dois momentos têm o mesmo sentido isto é positivo se uB está no sentido horário e negativo no sentido antihorário A Equação 134 mostra que o momento na extremidade B do membro BC é devido apenas à rotação uB do nó B pois nenhuma carga atua no vão BC Analogamente a Equação 135 indica que o momento de trans missão na extremidade C do membro BC é devido apenas à rotação uB do nó B Se compararmos o valor de MBC o momento de extremidade distribuído na extremidade B do membro BC com MCB o momento de transmissão na extremidade C do membro BC chegaremos à mesma conclusão dada pela Equação 138 isto é o momento de transmissão é igual à metade do momento de extremidade distribuído Podemos estabelecer a magnitude dos momentos de extremidade dis tribuídos no nó B ver Figura 132f como uma porcentagem do momento não equilibrado no grampo do nó B substituindo seus valores dados pelo primeiro termo da Equação 132 e pela Equação 134 na Equação 131 131 139 Resolvendo a Equação 139 para θB temos 1310 Se fizermos 1311 KAB IAB LAB e KBC IBC LBC uB MNE 4EIABLAB 4EIBCLBC 4EIBC LBC uB 4EIAB LAB uB MNE MED BA MEDBC MNE 0 em que a relação IL é denominada rigidez à flexão relativa podemos escrever a Equação 1310 como 1312 uB MNE 4EKAB 4EKBC MNE 4E KAB KBC Se KAB IAB LAB ver Equação 1311 e uB dado pela Equação 1312 forem substituídos na Equação 136 podemos expressar o momento de extremidade distribuído MEDBA como 1313 MEDBA 4EKAB MNE 4E KAB KBC Se o módulo de elasticidade E de todos os membros for o mesmo a Equação 1313 poderá ser simplificada cancelando as constantes 4E para 1314 MEDBA KAB KAB KBC MNE 519 Seção 133 Resumo do método da distribuição de momentos sem translação de nó o termo KAB KAB KBC que fornece a divisão da rigidez à flexão rela tiva do membro AB pela soma dos fatores de rigidez à flexão relativas dos membros AB e BC ligados ao nó B é denominado fator de distribuição FDBA do membro AB 1315 FDBA KAB KAB KBC KAB K em que K KAB KBC representa a soma dos fatores de rigidez à flexão relativas dos membros ligados ao nó B Usando a Equação 1315 pode mos expressar a Equação 1314 como 1316 MEDBA FDAB MNE Analogamente o momento de extremidade distribuído no membro BC pode ser expresso como 1316a em que FDBC KBC KAB KBC KBC K MEDBC FDBC MNE 133 Resumo do método da distribuição de momentos sem translação de nó Acabamos de discutir em detalhes os princípios básicos da distribuição de momentos para analisar uma estrutura contínua na qual os nós estão livres para girar mas não para transladar Antes de aplicar o procedimento em exemplos específicos resumimos o método abaixo 1 Desenhe um diagrama de linha da estrutura a ser analisada 2 Em cada nó livre para girar calcule o fator de distribuição de cada membro e registreo em uma caixa no diagrama de linha adjacente ao nó A soma dos fatores de distribuição em cada nó deve ser igual a 1 3 Anote os momentos de extremidade fixa nas extremidades de cada membro carregado Como convenção de sinal adotamos os momentos no sentido horário nas extremidades dos membros como positivos e os momentos no sentido antihorário como negativos 4 Calcule o momento não equilibrado no primeiro nó a ser desbloqueado O momento não equilibrado no primeiro nó é a soma algébrica dos momentos de extremidade fixa nas extremidades de todos os membros ligados ao nó Após o primeiro nó ser desbloqueado os momentos não equilibrados nos nós adjacentes serão iguais à soma algébrica dos momentos de extremidade fixa e de todos os momentos de transmissão 520 Capítulo 13 Distribuição de momentos 5 Desbloqueie o nó e distribua o momento não equilibrado nas extremidades de cada membro ligado ao nó Os momentos de extremidade distribuídos são calculados multiplicandose o momento não equilibrado pelo fator de distribuição de cada membro O sinal dos momentos de extremidade distribuídos é oposto ao sinal do momento não equilibrado 6 Escreva os momentos de transmissão na outra extremidade do membro O momento de transmissão tem o mesmo sinal do momento de extremidade distribuído mas metade da intensidade 7 Recoloque o grampo e passe para o próximo nó para distribuir os momentos ali A análise termina quando os momentos não equilibrados em todos os grampos são zero ou próximos de zero 134 Análise de vigas pela distribuição de momentos Para ilustrar o procedimento de distribuição de momentos analisare mos a viga contínua de dois vãos da Figura 133 do Exemplo 131 Como somente o nó no apoio B está livre para girar uma análise completa exige apenas uma distribuição de momentos no nó B Nos problemas seguintes consideraremos estruturas que contêm vários nós livres para girar Para iniciar a solução do Exemplo 131 calculamos a rigidez do membro os fatores de distribuição no nó B e os momentos de extremi dade fixa no vão AB Essas informações estão registradas na Figura 134 na qual os cálculos da distribuição de momentos são realizados A carga de 15 kips no vão AB e o grampo no nó B não são mostrados para manter o esboço simples Nenhum fator de distribuição é calcu lado para os nós A e C pois esses nós nunca são desbloqueados O momento não equilibrado no grampo em B é igual à soma algébrica dos momentos de extremidade fixa no nó B Como somente o vão AB é carregado o momento não equilibrado não mostrado no esboço é igual a 30 kip ft Então supomos que o grampo no nó B é removido Agora o nó gira e momentos de extremidade distribuídos de 10 e 20 kip ft se desenvolvem nas extremidades do membro AB e BC Esses momentos são registrados imediatamente abaixo do apoio B na linha sob os momentos de extremidade fixa Os momentos de transmissão de 5 kip ft no nó A e de 10 kip ft no nó C são registrados na terceira linha Como os nós A e C são apoios fixos eles nunca giram e a análise está concluída Os momentos finais nas extremidades de cada membro são calculados somandose os momentos em cada coluna Note que no nó B os momentos em cada lado do apoio são iguais mas de sinal oposto pois o nó está em equilíbrio Uma vez estabelecidos os momen tos de extremidade os cortantes em cada viga podem ser avaliados cortandose corpos livres de cada membro e usandose as equações da estática Após os cortantes serem calculados os diagramas de cortante e momento são construídos Os resultados finais são mostrados na Figura 135 521 Seção 134 Análise de vigas pela distribuição de momentos Determine os momentos de extremidade de membro na viga contí nua mostrada na Figura 133 pela distribuição de momentos Note que EI de todos os membros é constante E X E M P L O 1 3 1 Solução Calcule a rigidez K de cada membro conectado ao nó B K KAB KBC I 16 I 8 3I 16 KAB I LAB I 16 KBC I LBC I 8 Avalie os fatores de distribuição no nó B e registre na Figura 134 FDBC KBC K I 8 3I 16 2 3 FDBA KAB K I16 3I16 1 3 Calcule os momentos de extremidade fixa em cada extremidade do membro AB ver Figura 125 e registre na Figura 134 B C A LAB 16 KAB I 16 LBC 8 8 P 15 kips KBC I 8 Figura 133 continua 522 Capítulo 13 Distribuição de momentos MEFBA PL 8 15 16 8 30 kip ft MEFAB PL 8 15 1162 8 30 kip ft Figura 134 Cálculos da distribuição de momentos Figura 135 Diagramas de cortante e momento 16 8 momentos de extremidade kip ft 15 kips V 844 kips V 656 kips A B B C V 375 kips V 375 kips 20 20 10 35 AB BA BC CB cortante kips 844 656 375 momento kip ft 3252 20 35 10 B C A MEF nó B grampeado 30 30 12 12 1 3 2 3 MED grampo removido 10 20 20 10 MT 5 momentos finais kip ft 20 10 35 continuação 523 Seção 134 Análise de vigas pela distribuição de momentos No Exemplo 132 estendemos o método da distribuição de momentos para a análise de uma viga que contém dois nós B e C livres para girar ver Figura 136 Como você pode observar na Figura 137 onde os momentos distribuídos em cada estágio da análise são tabulados os gram pos nos nós B e C devem ser bloqueados e desbloqueados várias vezes pois cada vez que um desses nós é desbloqueado o momento muda no grampo do outro nó devido ao momento de transmissão Iniciamos a análise grampeando os nós B e C Os fatores de distribuição e os momen tos de extremidade fixa são calculados e registrados no diagrama da estrutura na Figura 137 Para ajudálo a seguir as várias etapas da análise uma descrição de cada operação está anotada à direita de cada linha na Figura 137 Quando você se tornar mais familiarizado com a distribuição de momentos essa ajuda será descontinuada Embora estejamos livres para iniciar a distribuição de momentos des bloqueando o nó B ou o nó C vamos supor que o grampo imaginário no nó B é removido primeiro O momento não equilibrado no nó B a soma algébrica dos momentos de extremidade fixa em um dos lados do nó é igual a MNE 96 48 48 kip ft Para calcular os momentos de extremidade distribuídos em cada membro invertemos o sinal do momento não equilibrado e o multiplicamos pelo fator de distribuição do membro cada 1 2 no nó B Os momentos de extremidade distribuídos de 24 kip ft são inseridos na segunda linha e os momentos de transmissão de 12 kip ft nos apoios A e C são registrados na terceira linha da Figura 137 Para mostrar que os momentos foram distribuídos e o nó B está em equilíbrio desenhamos uma linha curta sob os momentos de extremidade distribuídos nesse nó O grampo imaginário é então reaplicado no nó B Como agora o nó B está em equilíbrio o momento no grampo é zero Em seguida passamos para o nó C onde o grampo equilibra um momento não equilibrado de 108 kip ft O momento não equilibrado em C é a soma do momento de extremidade fixa de 96 kip ft e do momento de transmissão de 12 kip ft do nó B Em seguida removemos o grampo do nó C Quando o nó gira momentos de extremidade distribuídos de 36 kip ft e 72 kip ft se desenvolvem nas extremidades dos membros à esquerda e à direita do nó e momentos de transmissão de 36 kip ft e 18 kip ft se desenvolvem nos nós D e B respectivamente Como todos os nós livres para girar foram desbloqueados uma vez concluímos um ciclo da distribuição de momentos Nesse ponto o grampo é reaplicado no nó C Embora não exista nenhum momento no grampo em C um momento de 18 kip ft foi criado no grampo em B pelo momento de transmissão do nó C portanto devemos continuar o processo de distribui ção de momentos Agora removemos o grampo em B pela segunda vez e distribuímos 9 kip ft em cada lado do nó e momentos de transmissão de 45 kip ft nos nós A e C Continuamos o procedimento de distribui ção até que o momento nos grampos seja irrelevante Normalmente o projetista termina a distribuição quando os momentos de extremidade distribuídos foram reduzidos a aproximadamente 05 do valor final do momento de extremidade do membro Neste problema terminamos a análise após três ciclos de distribuição de momentos Os momentos finais de extremidade de membro calculados pela soma algébrica dos momen tos em cada coluna estão listados na última linha da Figura 137 524 Capítulo 13 Distribuição de momentos E X E M P L O 1 3 2 Analise a viga contínua da Figura 136 pela distribuição de momen tos O valor de EI de todos os membros é constante Figura 136 Solução Calcule os fatores de distribuição nos nós B e C e registre na Figura 137 Nó C Nó B CD KCD K I 12 3I 24 2 3 BC KBC K I 24 3I 24 1 3 KBC I 24 KCD I 12 K KBC KCD 3I 24 BC KBC K I24 2I24 05 FD FD FD FD BA KAB K I24 2I24 05 KAB I 24 KBC I 24 K KAB KBC 2I 24 A B C D 12 P 16 kips B w 2 kipsft LAB 24 KAB I 24 LBC 24 KBC I 24 LCD 12 KCD I 12 EI constante 525 Seção 134 Análise de vigas pela distribuição de momentos Momentos de extremidade fixa ver Figura 125 CB wL2 12 96 kip ft BC wL2 12 21242 2 12 96 kip ft BA PL 8 48 kip ft AB PL 8 161242 8 48 kip ft MEF MEF MEF MEF Como o vão CD não está carregado MEFCD MEFDC 0 B D A MEF todos os nós bloqueados 48 96 96 48 1 2 1 2 C 1 3 2 3 MED nó B desbloqueado 24 24 MT 12 12 MED nó C desbloqueado 36 72 MT 36 18 MED nó B desbloqueado 9 9 MT 45 45 MED nó C desbloqueado 15 3 MT 15 076 MED nó B desbloqueado 038 038 MT 02 02 MED nó C desbloqueado 007 013 momentos finais kip ft 8138 7513 7513 375 8138 313 grampos temporários Figura 137 Detalhes da distribuição de momentos todos os momentos em kip ft 526 Capítulo 13 Distribuição de momentos O Exemplo 133 aborda a análise de uma viga contínua suportada por um rolo em C um apoio externo ver Figura 138 Para iniciar a análise Figura 139 os nós B e C são grampeados e os momentos de extremidade fixa calculados em cada vão No nó C o fator de distribuição FDCB é definido igual a 1 pois quando esse nó é desbloqueado todo o momento não equilibrado no grampo é aplicado na extremidade do membro BC Você também pode ver que o fator de distribuição no nó C deve ser igual a 1 reconhecendo que K KBC pois apenas um membro vai até o nó C Se você seguir o procedimentopadrão para calcular FDCB FDCB KBC K KBC KBC 1 O cálculo do fator de distribuição no nó B segue o mesmo procedi mento de antes pois os nós A e C sempre estarão grampeados quando o nó B estiver desbloqueado Embora tenhamos a opção de iniciar a análise desbloqueando o nó B ou o nó C começamos pelo nó C removendo o grampo que transmite um momento não equilibrado de 162 kN m Quando o nó gira o momento de extremidade no membro se reduz a zero pois o rolo não oferece resis tência rotacional para a extremidade da viga A deformação angular que ocorre é equivalente àquela produzida quando um momento de extremidade distribuído de 162 kN m atua no nó C no sentido antihorário A rotação do nó C também produz um momento de transmissão de 81 kN m no nó B O restante da análise segue os mesmos passos descritos anteriormente Os diagramas de cortante e momento estão mostrados na Figura 1310 527 Seção 134 Análise de vigas pela distribuição de momentos E X E M P L O 1 3 3 Analise a viga da Figura 138 pela distribuição de momentos e dese nhe os diagramas de cortante e momento Solução Calcule os fatores de distribuição do nó B MEFCB MEFBC 162 kN m MEFBC wL2 12 54162 2 12 162 kN m MEFBA MEFAB 9 kN m MEFAB wL2 12 3162 2 12 9 kN m FDAB KAB K 15I6 25I6 06 FDBC KBC K I6 25I6 04 KAB 15I 6 KBC I 6 então K KAB KBC 25I 6 Calcule os fatores de distribuição no nó B Calcule os fatores de distribuição do nó B MEFCB MEFBC 162 kN m MEFBC wL2 12 54162 2 12 162 kN m MEFBA MEFAB 9 kN m MEFAB wL2 12 3162 2 12 9 kN m FDAB KAB K 15I6 25I6 06 FDBC KBC K I6 25I6 04 KAB 15I 6 KBC I 6 então K KAB KBC 25I 6 Análise Veja a Figura 139 Diagramas de cortante e momento Veja a Figura 1310 Figura 138 A B C 6 m w 54 kNm w 3 kNm KBC I 6 I 15I 6 m KAB 15I 6 A B C MEF todos os momentos em kN m 9 162 162 9 162 81 918 612 306 459 306 153 092 061 03 046 03 015 009 006 1919 0 1919 395 grampos temporários 06 04 1 2153 m 243 m 074 m 1186 m 2407 m 6 m cortante kN RB 3094 RC 13 646 13 1154 1154 194 194 V 646 3 kNm 395 1919 1919 6 m 54 kNm momento kNm 194 1565 1154 1919 395 30 Figura 139 Detalhes da distribuição de momen tos todos os momentos em kNm Figura 1310 Diagramas de cortante e momento 528 Capítulo 13 Distribuição de momentos 135 Modificação da rigidez do membro Frequentemente podemos reduzir o número de ciclos de distribuição de momentos exigidos para analisar uma estrutura contínua ajustando a rigidez à flexão de certos membros Nesta seção consideraremos mem bros cujas extremidades terminam em um apoio externo consistindo em um pino ou rolo por exemplo ver membros AB BF e DE na Figura 1311 Também estabeleceremos a influência de uma variedade de con dições de extremidade na rigidez à flexão de uma viga Para medir a influência de condições de extremidade sobre a rigi dez à flexão de uma viga podemos comparar o momento necessário para produzir uma rotação unitária 1 radiano da extremidade de um membro para várias condições de extremidade Por exemplo se a extremidade de uma viga é fixa com relação à rotação como mostrado na Figura 1312a em que uA 1 radiano e uB 0 podemos usar a equação da inclinaçãodeflexão para expressar o momento aplicado em termos das propriedades das vigas Como não ocorrem recalques de apoio e nenhuma carga é aplicada entre as extremidades cAB 0 e MEFAB MEFBA 0 Substituindo os termos acima na Equação 1216 calculamos 1317 MAB 4EI L 2EI L 32 112 0 04 0 MAB 2EI L 12uA uB 3cAB 2 MEF Anteriormente vimos que 4EIL representa a rigidez à flexão absoluta de uma viga cuja extremidade distante é fixa sob a influência de um momento Equação 136 Se o apoio na extremidade B do membro é um pino ou um rolo que impede deslocamento vertical mas não oferece nenhuma restrição rotacio A B C F D E Figura 1311 529 Seção 135 Modificação da rigidez do membro nal Figura 1312b podemos aplicar novamente a equação da inclinação deflexão para avaliar a rigidez à flexão do membro Para este caso uA 1 radiano uB radiano ver Figura 113e para a relação entre uA e uB cAB 0 e MEFAB MEFBA 0 Substituindo na Equação 1216 temos 1318 MAB 3EI L MAB 2EI L 32112 1 2 04 0 1 2 Comparando as equações 1317 e 1318 vemos que uma viga carre gada por um momento em uma extremidade cuja ponta distante é presa com pino tem três quartos da rigidez com relação à resistência à rotação do nó de uma viga de mesmas dimensões cuja extremidade é fixa Se um membro é fletido em curvatura dupla por momentos de extre midade iguais Figura 1312c a resistência à rotação aumenta pois o momento em B extremidade distante gira a extremidade próxima de A em sentido oposto ao momento em A Podemos relacionar a magnitude de MAB com a rotação em A usando a equação da inclinaçãodeflexão com uA uB 1 rad cAB 0 e MEFAB 0 Substituindo os valores acima na equação da inclinaçãodeflexão temos 1216 em que a rigidez absoluta é 1319 KAB 6EI L MAB 2EI L 32112 14 6EI L MAB 2EI L 12uA uB 3cAB2 MEFAB Comparando a Equação 1319 com a Equação 1317 descobrimos que a rigidez absoluta de um membro fletido em curvatura dupla por momen tos de extremidade iguais é 50 maior do que a rigidez de uma viga cuja extremidade é fixa com relação à rotação Se um membro sob flexão é influenciado por valores de momentos de extremidade iguais Figura 1312d produzindo flexão de curvatura sim ples a rigidez à flexão efetiva com relação à extremidade A é reduzida pois o momento na extremidade distante a extremidade B contribui para a rotação na extremidade A c L 2 a A B b 0 A 1 rad A 1 rad B 1 rad MAB 4EI L L 2 A B b MAB 3EI L A 1 rad B 1 2 A B rad MAB e A B MAB MAB d A 1 rad B 1 rad A B MBA MAB MBA MAB Figura 1312 a Viga com extremidade distante fixa b viga com extremidade distante não res trita contra rotação c valores iguais de momento no sentido horário em cada extremidade d fle xão de curvatura simples por valores de momen tos de extremidade iguais e viga em balanço carregada na extremidade apoiada 530 Capítulo 13 Distribuição de momentos Usando a equação da inclinaçãodeflexão com uA 1 radiano uB 1 radiano cAB 0 e MEFAB 0 obtemos em que a rigidez absoluta 1320 KAB 2EI L 2EI L 2EI L 32 1 1 12 04 0 MAB 2EI L 12uA uB 3cAB 2 MEFAB Comparando a Equação 1320 com a Equação 1317 descobrimos que a rigidez absoluta KAB de um membro fletido em curvatura simples por valores de momentos de extremidade iguais tem uma rigidez efe tiva KAB 50 menor do que a de uma viga cuja extremidade é fixa com relação à rotação Os membros quando sujeitos a valores de momento de extremidade iguais que produzem flexão de curvatura simples estão localizados no eixo de simetria de estruturas simétricas carregadas simetricamente ver mem bros BC na Figura 1313a e b Na viga caixão simetricamente carregada da Figura 1313c os momentos de extremidade atuam de forma a produzir flexão de curvatura simples nos quatro lados Evidentemente se cargas transversais também atuam pode haver regiões de momentos positivos e negativos Conforme demonstraremos no Exemplo 136 tirar proveito dessa modificação em uma análise por distribuição de momentos de uma estrutura simétrica simplifica a análise significativamente Rigidez de uma viga em balanço Nas figuras 1312a a d os apoios fixos e de pino em B fornecem res trição vertical que impede a viga de girar no sentido horário como um corpo rígido sobre o apoio A Como cada uma dessas vigas está apoiada de maneira estável elas são capazes de resistir ao momento aplicado no nó A Por outro lado se um momento for aplicado na extremidade A da viga em balanço da Figura 1312e a viga em balanço não poderá desen volver nenhuma resistência à flexão ao momento pois não existe nenhum apoio à direita para impedir que a viga gire no sentido horário sobre o apoio A Portanto você pode ver que uma viga em balanço tem resistência zero ao momento Ao se calcular os fatores de distribuição em um nó que contém uma viga em balanço o fator de distribuição da viga em balanço é zero e não é distribuído nenhum momento não equilibrado para a viga em balanço Figura 1313 Exemplos de estruturas simétri cas simetricamente carregadas que contêm membros cujos momentos de extremidade têm magnitude igual e produzem flexão de curvatura simples a viga BC da viga contínua b viga BC do pórtico rígido c todos os quatro mem bros da viga caixão A B C D a w P P 8 5 12 12 5 8 eixo de simetria A D b eixo de simetria C B D C A B w w c eixo de simetria eixo de simetria 531 Seção 135 Modificação da rigidez do membro Evidentemente se uma viga em balanço é carregada pode transmitir um cortante e um momento para o nó em que está apoiada entretanto essa é uma função separada e nada tem a ver com sua capacidade de absorver momento não equilibrado No Exemplo 134 ilustramos o uso do fator 3 4 para modificar a rigi dez dos membros de extremidade presa com pino da viga contínua da Figura 1314a Na análise da viga da Figura 1314 a rigidez à flexão IL dos membros AB e CD pode ser reduzida por 3 4 em ambos pois os dois membros terminam em apoios de pino ou rolo Você pode questionar se o fator 3 4 é aplicável ao vão CD por causa da extensão de viga em balanço DE à direita do apoio Contudo conforme acabamos de discu tir a viga em balanço tem rigidez zero no que diz respeito à absorção de qualquer momento não equilibrado transmitido por um grampo no nó D portanto depois que o grampo é removido do nó D a viga em balanço não tem nenhuma influência sobre a restrição rotacional do membro CD Iniciamos a análise da Figura 1315a com todos os nós bloqueados contra rotação Em seguida as cargas são aplicadas produzindo os momen tos de extremidade fixa tabulados na primeira linha A partir do diagrama de corpo livre da viga em balanço DE na Figura 1314b você pode ver que o equilíbrio do membro exige que o momento na extremidade D do mem bro DE atue no sentido antihorário e seja igual a 60 kip ft Como a rigidez à flexão dos membros AB e CD foi reduzida por 3 4 os grampos nos nós A e D devem ser removidos primeiro Quando o grampo é removido em A um momento de extremidade distribuído de 33 kip ft e um momento de transmissão de 167 kip ft se desenvol vem no vão AB O momento total no nó A agora é zero No restante da análise o nó A permanecerá desbloqueado Como agora o nó A está livre para girar nenhum momento de transmissão se desenvolverá nele quando o nó B for desbloqueado Em seguida passamos para o nó D e removemos o grampo que inicialmente transmite um momento não equilibrado igual à diferença dos momentos de extremidade fixa no nó MNE 972 60 372 kip ft Quando o nó D gira um momento de extremidade distribuído de 372 kip ft se desenvolve em D e um momento de transmissão de 186 kip ft em C se desenvolve no membro CD Nota agora o nó D está em equilíbrio e o momento de 60 kip ft aplicado pela viga em balanço é equilibrado pelo momento de 60 kip ft na extremidade D do membro CD Para o restante da análise o nó D permanecerá desblo queado e nenhum momento de transmissão se desenvolverá nele quando o nó C for desbloqueado A análise é concluída pela distribuição de momentos entre os nós B e C até que a magnitude do momento de transmissão seja desprezível Usando corpos livres dos elementos da viga entre os apoios as reações são calculadas pela estática e estão mostradas na Figura 1315b 532 Capítulo 13 Distribuição de momentos E X E M P L O 1 3 4 Analise a viga da Figura 1314a pela distribuição de momentos usando fatores de rigidez à flexão modificados para os membros AB e CD Dados EI é constante Solução KCD 3 4 480 18 20 KDE 0 KAB 3 4 a 360 15 b 18 KBC 480 20 24 Calcule os fatores de distribuição Nó B Nó C FDBC KBC K 24 44 055 FDCD KCD K 20 44 045 K KBC KCD 24 20 44 FDBA KAB K 18 42 043 FDBC KBC K 24 42 057 K KAB KBC 18 24 42 Calcule os momentos de extremidade fixa ver Figura 125 DE 60 kip ft ver Figura 1314b CD wL2 12 972 kip ft DC CD 972 kip ft BC wL2 12 120 kip ft CB BC 120 kip ft 333 kip ft 667 kip ft AB Pab2 L2 30 1102 1522 152 BA Pba2 L2 30 152 11022 152 MEF MEF MEF MEF MEF MEF MEF MEF MEF O sinal menos é necessário porque o momento atua no sentido anti horário na extremidade do membro 533 Seção 135 Modificação da rigidez do membro Figura 1314 a Viga contínua b corpo livre da viga em balanço DE Figura 1315 a Detalhes da distribuição de momentos b reações A B C D E 15 20 18 4 10 a I 360 pol4 I 480 pol4 I 480 pol4 P 30 kips P 15 kips w 36 kipsft D E 15 kips P 15 kips 4 b MDE 60 kip ft A B C D E MEF 60 60 momentos finais kipft 120 667 167 162 13 972 972 120 333 333 372 186 23 19 11 215 59 08 108 49 30 17 04 04 123 60 123 1009 1009 0 055 057 043 1 045 1 0 6162 kips a b A B C D E 327 kips 7301 kips 439 kips 30 kips 15 kips w 36 kipsft 534 Capítulo 13 Distribuição de momentos O uso da distribuição de momentos para analisar um pórtico cujos nós são restringidos em relação ao deslocamento mas são livres para girar é ilustrado no Exemplo 135 pela análise da estrutura mostrada na Figura 1316 Começamos calculando os fatores de distribuição e registrandoos no desenho de linha do pórtico da Figura 1317a Os nós A B C e D que estão livres para girar são grampeados inicialmente Então as cargas são aplicadas e produzem momentos de extremidade fixa de 120 kip ft no vão AB e de 80 kip ft no vão BC Esses momentos estão registrados na Figura 1317a acima das vigas Para iniciar a análise os nós A e D devem ser desbloqueados primeiro pois a rigidez dos membros AB e CD foram modificadas pelo fator 34 Quando o nó A gira um momento de extremi dade distribuído de 120 kip ft no nó A e um momento de transmissão de 60 kip ft no nó B se desenvolvem no vão AB Como nenhuma carga transversal atua no membro CD não existem momentos de extremidade fixa nesse membro portanto não se desenvolve nenhum momento no membro CD quando o grampo é removido do nó D Como os nós A e D permanecem desbloqueados pelo restante da análise nenhum momento de transmissão atua nesses nós No nó B o momento não equilibrado é igual a 100 kip ft a soma algébrica dos momentos de extremidade fixa de 120 e 80 kip ft e o momento de transmissão de 60 kip ft do nó A O sinal do momento não equilibrado é invertido e os momentos de extremidade distribuídos de 33 22 e 45 kip ft respectivamente atuam na extremidade B dos membros BA BC e BF Além disso existem os momentos de transmissão de 11 kip ft na extremidade C do membro BC e de 225 kip ft na base da coluna BF Em seguida o nó C é desbloqueado e é distribuído o momento não equilibrado de 69 kip ft no grampo a soma algébrica do momento de extremidade fixa de 80 kip ft e o momento de transmis são de 11 kip ft O desbloqueio do nó C também produz momentos de transmissão de 72 kip ft no nó B e de 1485 kip ft na base da coluna CE Após o término de um segundo ciclo de distribuição de momentos os momentos de transmissão são insignificantes e a análise pode ser conclu ída Uma linha dupla é desenhada e os momentos em cada mem bro são somados para estabelecer os valores finais de momento de extre midade do membro As reações calculadas a partir dos corpos livres dos membros individuais são mostradas na Figura 1317b 535 Seção 135 Modificação da rigidez do membro Analise o pórtico da Figura 1316 pela distribuição de momentos E X E M P L O 1 3 5 Figura 1316 Detalhes do pórtico rígido Solução Calcule os fatores de distribuição no nó B FDBA KAB K 033 FDBC KBC K 022 FDBF KBF K 045 KAB 3 4 a 2I 20 b 3I 40 KBC I 20 KBF I 10 K 9I 40 Calcule os fatores de distribuição no nó C CB 021 FDCD 036 FD FD CE 043 KCB I 20 KCD 3 4 a I 9 b KCE I 10 K 14I 60 Calcule os momentos de extremidade fixa nos vãos AB e BC ver Figura 125 MEFCB MEFBC 80 kip ft MEFBC PL 8 321202 8 80 kip ft MEFBA MEFAB 120 kip ft MEFAB wL2 12 361202 2 12 120 kip ft A F E B C D 20 w 36 kipsft 2I I I I I 10 9 P 32 kips 20 10 continua 536 Capítulo 13 Distribuição de momentos A B F E D C a MBA 1494 24 330 600 1200 MAB 0 120 120 MBF 450 32 418 MFB 209 16 225 MCE MCE 297 03 300 MCD 251 03 248 MEC 150 015 1485 MBC 1076 16 72 220 800 MCB 551 02 08 145 110 800 1 045 022 021 036 043 033 b w 36 kipsft 32 kips MFB 209 kip ft 621 kips 627 kips MEC 15 kip ft 1337 kips 45 kips 279 kips 2853 kips 798 kips Figura 1317 a Análise pela distribuição de momentos b reações calculadas a partir dos corpos livres dos membros continuação 537 Seção 135 Modificação da rigidez do membro 20 18 w 4 kipsft A D eixo de simetria C B 20 IAB 360 pol4 IBC 600 pol4 ICD 360 pol4 Analise o pórtico da Figura 1318a pela distribuição de momentos modificando a rigidez das colunas e da viga pelos fatores discutidos na Seção 135 para uma estrutura simétrica carregada simetricamente E X E M P L O 1 3 6 Figura 1318a Solução Passo 1 Modifique a rigidez das colunas por 3 4 para um apoio de pino nos pontos A e D KAB KCD 3 4 I L 3 4 360 18 15 Modifique a rigidez da viga BC por 1 2 os nós B e C serão desbloqueados simultaneamente e não haverá momentos de transmissão distribuídos KBC 1 2 I L 1 2 600 40 75 Passo 2 Calcule os fatores de distribuição nos nós B e C BC MEFCB WL2 12 4 1402 2 12 53333 kip ft BC CB KBC Ks 75 15 75 1 3 BA FD FD FD FD CD KAB Ks 15 15 75 2 3 MEF continua 538 Capítulo 13 Distribuição de momentos Passo 3 a Grampeie todos os nós e aplique a carga uniforme na viga BC ver Figura 1318b b Remova os grampos nos apoios A e D Como nenhuma carga atua nas colunas não há momentos a distribuir O nó nos apoios permanecerá desbloqueado Como a base de cada coluna está livre para girar se a extremidade for des bloqueada a rigidez de cada coluna pode ser reduzida por um fator de 3 4 Passo 4 Em seguida os grampos nos nós B e C são removidos simultaneamente Os nós B e C giram igualmente a con dição exigida para o fator aplicado na rigidez da viga e valores iguais de momento de extremidade se desenvol vem em cada extremidade da viga BC ver Figura 1318c Os resultados finais da análise são mostrados na Figura 1318d b A D 53333 53333 C B 1 3 1 3 2 3 2 3 c A D 35555 35555 35555 17778 53333 C B 1 3 1 3 2 3 2 3 35555 17778 53333 d 80 kips 80 kips 1975 kips 1975 kips 355 kip ft 355 kip ft 445 kip ft 355 kip ft 355 kip ft A D C B Figura 1318b c e d continuação 539 Seção 135 Modificação da rigidez do membro Recalques de apoio erros de fabricação e mudança de temperatura A distribuição de momentos e a equação da inclinaçãodeflexão for necem uma combinação eficaz para determinar os momentos gerados em vigas e pórticos indeterminados por erros de fabricação recalques de apoio e mudança de temperatura Nessa aplicação os deslocamentos apropriados são introduzidos na estrutura enquanto todos os nós livres para girar são bloqueados simultaneamente por grampos contra rotação na orientação inicial O bloqueio dos nós contra rotação garante que as mudanças na inclinação nas extremidades de todos os membros seja zero e permite que os momentos de extremidade produzidos pelos valores especificados de deslocamento sejam avaliados pela equação da inclina çãodeflexão Para completar a análise os grampos são removidos e a estrutura pode fletir até sua posição de equilíbrio final No Exemplo 137 usamos esse procedimento para determinar os momentos em uma estrutura cujos apoios não estão localizados em suas posições especificadas uma situação comum que ocorre frequente mente durante a construção No Exemplo 138 o método é usado para estabelecer os momentos gerados por um erro de fabricação em um pór tico indeterminado 540 Capítulo 13 Distribuição de momentos E X E M P L O 1 3 7 Figura 1319 a Viga com apoios construí dos fora da posição forma defletida mostrada pela linha tracejada b viga restringida blo queada na posição por grampos temporários nos nós B e C Determine as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga contínua da Figura 1319a Acidentalmente o apoio fixo em A foi construído incorretamente com uma inclinação de 0002 radiano no sentido antihorário a partir de um eixo vertical por A e o apoio em C foi construído acidentalmente 15 pol abaixo de sua posição preten dida Dados E 29 000 kipspol2 e I 300 pol4 Solução Com os apoios localizados em suas posições conforme foram cons truídos ver Figura 1319b a viga é conectada a eles Como a viga descarregada é reta mas os apoios não estão mais em uma linha reta e corretamente alinhados devem ser aplicadas forças externas na viga para fazêla entrar em contato com seus apoios Após a viga estar conectada em seus apoios devem ser desenvolvidas reações para mantêla em sua configuração fletida Além disso nos nós B e C ima ginamos que são aplicados grampos para manter as extremidades da viga em uma posição horizontal isto é uB e uC são zero Agora usamos a equação da inclinaçãodeflexão para calcular os momentos em cada extremidade das vigas restringidas da Figura 1319b 1216 MBA 2 29000 300 20 12 0002 145 kip pol 121 kip ft MAB 2 1290002 13002 20 1122 2 0002 290 kip pol 242 kip ft MNF 2EI L 2uN uF 3c MEFNF Calcule os momentos no vão AB uA 0002 rad uB 0 e cAB 0 Como nenhuma carga transversal é aplicada no vão AB MEFAB MEFBA 0 1216 MBA 2 29000 300 20 12 0002 145 kip pol 121 kip ft MAB 2 1290002 13002 20 1122 2 0002 290 kip pol 242 kip ft MNF 2EI L 2uN uF 3c MEFNF A B C A 0002 rad A 0002 rad a 20 15 25 A B A 0002 rad B 0 BC BC C 0 b grampo 15 15 25 12 grampo 541 Seção 135 Modificação da rigidez do membro Calcule os momentos no vão BC uB 0 uC 0 c 15 pol2512 0005 MEFBC MEFCB 0 pois não há cargas transversais aplicadas no vão BC Calcule os fatores de distribuição no nó B F D BA KAB K 15 24 0625 FDBC KBC K 9 24 0375 KAB 300 20 15 KBC 3 4 a 300 25 b 9 K 24 870 kip pol 725 kip ft MBC MCB 2 29000 300 12 25 2 0 0 3 0005 A distribuição de momentos foi feita na Figura 1320a os cortantes e as reações estão calculados na Figura 1320b e o diagrama de momento é mostrado na Figura 1320c a A B C MEF 121 725 725 242 12 12 725 363 302 1811 151 momento final kip ft 1809 0 1809 91 0625 0375 1 b B A B B C RB 1174 kip RB 0724 kip V 045 kip 045 kip 91 1809 1809 045 kip 0724 kip 0724 kip diagrama de momento kip ft c 91 1809 045 0724 cortante kips Figura 1320 a Distribuição de momentos b corpos livres usados para avaliar cortantes e reações c diagrama do momento produ zido pelos movimentos de apoio 542 Capítulo 13 Distribuição de momentos E X E M P L O 1 3 8 Figura 1321 a Pórtico b deformação introduzida e nó B bloqueado contra rotação uB 0 c análise pela distribuição de momentos momentos em kipft d reações e forma defletida e diagramas de momentos Se a viga AB do pórtico rígido da Figura 1321a foi fabricada com 192 pol a mais no comprimento quais momentos são gerados no pórtico quando ela é montada Dado E 29 000 kipspol2 Solução Adicione 192 pol na extremidade da viga AB e monte o pórtico com um grampo no nó B para impedir a rotação ver Figura 1321b Calcule os momentos de extremidade fixa na estrutura grampeada usando a equação da inclinaçãodeflexão E MEFBC MEFCB 0 pois nenhuma carga é aplicada entre os nós 57855 kip pol 48213 kip ft 2 29000 360 12 12 3 00133 MBC MCB 2EI L 3cBC Coluna BC uB 0 uC 0 cBC 192 12 12 00133 rad Nenhum momento se desenvolve no membro AB pois cAB uA uB 0 Calcule os fatores de distribuição FDBA KAB K 15 45 1 3 FDBC KBC K 30 45 2 3 KAB I L 450 30 15 KBC 360 12 30 K 15 30 45 A análise pela distribuição de momentos é feita na Figura 1321c Os momentos de extremidade e as reações no membro são calculados cortandose corpos livres de cada membro e usandose as equações da estática para achar a solução dos cortantes As reações e a forma defle tida são mostradas na Figura 1321d a C B A 30 I 450 pol4 I 360 pol4 12 b A C B 192 grampo c 8036 16071 48213 32142 16071 1 3 16071 48213 32142 2 3 d 4018 kips 4018 kips 804 kips 804 kips forma defletida MAB 8036 kip ft MCB 32142 kip ft 192 e A B B C 8036 16071 16071 32142 momento kip ft 10 4 543 Seção 136 Análise de pórticos livres para deslocar lateralmente 136 Análise de pórticos livres para deslocar lateralmente Todas as estruturas que analisamos até aqui continham nós livres para girar mas não para transladar Os pórticos desse tipo são chamados de contraventados Nessas estruturas sempre fomos capazes de calcular os momentos iniciais a serem distribuídos pois a posição final dos nós era conhecida ou especificada no caso de um movimento de apoio Quando certos nós de um pórtico não contraventado estão livres para transladar o projetista deve incluir os momentos gerados pelas rotações de corda Como as posições finais dos nós não restringidos são desconhe cidas os ângulos de deslocamento lateral não podem ser calculados ini cialmente e os momentos de extremidade do membro a serem distribuídos não podem ser determinados Para apresentar a análise de pórticos não contraventados primeiramente consideraremos a análise de um pórtico com uma carga lateral aplicada em um nó que está livre para se deslocar lateralmente ver Figura 1322a Na Seção 137 vamos estender o método de análise para um pórtico não contraventado cujos membros são carregados entre os nós ou cujos apoios sofrem recalque Sob a ação de uma carga lateral P no nó B a viga BC translada hori zontalmente para a direita a uma distância Como a magnitude de e as rotações de nó são desconhecidas não podemos calcular diretamente os momentos de extremidade a serem distribuídos em uma análise de distribuição de momentos Contudo uma solução indireta é possível se a estrutura se comportar de maneira elástica linear isto é se todas as defle xões e forças internas variarem linearmente com a magnitude da carga lateral P no nó B Por exemplo se o pórtico se comporta elasticamente duplicar o valor de P duplicará o valor de todas as forças e deslocamentos ver Figura 1322b Normalmente os engenheiros supõem que a maioria das estruturas se comporta elasticamente Essa suposição é razoá vel desde que as deflexões sejam pequenas e as tensões não ultrapassem o limite de proporcionalidade do material Se existe uma relação linear entre forças e deslocamentos os seguin tes procedimentos podem ser utilizados para analisar o pórtico 1 A viga do pórtico é deslocada por uma distância arbitrária para a direita enquanto os nós são impedidos de girar Normalmente é introdu zido um deslocamento unitário Para manter a estrutura na posição fle tida são introduzidas restrições temporárias ver Figura 1322c Essas restrições consistem em um rolo em B para manter o deslocamento de 1 pol e grampos em A B e C para impedir a rotação do nó Como todos os deslocamentos são conhecidos podemos calcular os momentos de extremidade de membro nas colunas do pórtico restrin gido com a equação da inclinaçãodeflexão Como todas as rotações de nó são iguais a zero uN 0 e uF 0 e nenhum momento de extremi dade fixa é produzido pelas cargas aplicadas nos membros entre os nós MEFNF 0 com cNF L a equação da inclinaçãodeflexão Equa ção 1216 se reduz a 1320 MNF 2EI L 3cNF 6EI L L 544 Capítulo 13 Distribuição de momentos Figura 1322 a Deslocamento de pórtico carregado b diagrama linear elástico de carga versus deslocamento c deslocamento unitário do pórtico rolo e grampos temporários introduzidos para restringir o pórtico d pórtico deslocado com grampos removidos nós girados na posição de equilíbrio todos os momentos de extremidade do membro são conhecidos e cálculo da reação S no rolo após o cálculo dos cortantes de coluna forças axiais nas colunas omitidas por clareza f pórtico deslocado 1 pol por uma força horizon tal S multiplique todas as forças por PS para estabelecer as forças e deflexões produzidas em a pela força P A B C D P S 2P P A a b deslocamento carga 2 0 A B 1 d e 1 1 S 1 MBA V1 V1 V2 S V1 MCD MDC V2 V2 A B C D P S 2P P B A 0 a b deslocamento carga 2 0 A B 1 d e 1 1 S 1 MBA V1 V1 V2 S V1 MCD MDC V2 V2 B C D 2P P B 0 C 0 A 0 b deslocamento carga 2 0 A B C D c 1 1 e 1 S P S f 1 1 MBA V1 V1 V2 S V1 MCD MDC V2 V2 A B C D P S 2P P a carga 0 d 1 1 MBA V1 V2 S A B C D P S 2P P B 0 C 0 A 0 a b deslocamento carga 2 0 A B C D c 1 1 d e 1 1 S P S f 1 1 MBA V1 V1 V2 S V1 MCD MDC V2 V2 A B C D P S 2P P B 0 C 0 A 0 a b deslocamento carga 2 0 A B C D c 1 1 d e 1 1 S P S f 1 1 MBA V1 V1 V2 S V1 MCD MDC V2 V2 545 Seção 136 Análise de pórticos livres para deslocar lateralmente Para 1 podemos escrever a Equação 1320 como 1321 MNF 6EI L2 Neste estágio com os nós bloqueados e impedidos de girar os momentos na viga são zero pois nenhuma carga atua nesse membro 2 Agora os grampos são removidos e os momentos distribuídos até que a estrutura repouse em sua posição de equilíbrio ver Figura 1322d Na posição de equilíbrio o rolo temporário em B aplica uma força lateral S no pórtico A força necessária para produzir um desloca mento unitário do pórtico denotada por S é denominada coeficiente de rigidez 3 A força S pode ser calculada a partir de um diagrama de corpo livre da viga somandose as forças na direção horizontal ver Figura 1322e As forças axiais nas colunas e os momentos que atuam na viga foram omitidos da Figura 1322e por clareza Os cortantes de coluna V1 e V2 aplicados na viga são calculados a partir de diagramas de corpo livre das colunas 4 Na Figura 1322f desenhamos o pórtico mostrado na Figura 1322d em sua posição fletida Imaginamos que o rolo foi removido mas mostra mos a força S aplicada pelo rolo como uma carga externa Neste estágio analisamos o pórtico para uma força horizontal S em vez de P Contudo como o pórtico se comporta linearmente as forças produzidas por P podem ser avaliadas multiplicandose todas as forças e deslocamentos da Figura 1322f pela relação PS Por exemplo se P é igual a 10 kips e S a 25 kips as forças e deslocamentos da Figura 1322f devem ser multipli cados por um fator igual a 4 para produzir as forças causadas pela carga de 10 kips O Exemplo 139 ilustra a análise de um pórtico simples tipo discutido nesta seção 546 Capítulo 13 Distribuição de momentos E X E M P L O 1 3 9 Determine as reações e os momentos de extremidade de membro pro duzidos por uma carga de 5 kips no nó B do pórtico mostrado na Figura 1323a Determine também o deslocamento horizontal da viga BC Dados E 30 000 kipspol2 As unidades de I são em pol4 Figura 1323 a Detalhes do pórtico b momentos em unidades de kipft causados no pórtico restringido nós grampeados para impe dir a rotação por um deslocamento unitário Solução Primeiramente deslocamos o pórtico 1 pol para a direita com todos os nós grampeados contra rotação ver Figura 1323b e introduzimos um rolo temporário em B para fornecer restrição horizontal Os momentos de coluna na estrutura restringida são calculados com a Equação 1321 13 kip ft MCD MDC 6EI L2 6 130000 2 12002 140 122 2 166 kip pol 26 kip ft MAB MBA 6EI L2 6 130000 2 11002 120 122 2 312 kip pol I 100 I 200 I 200 5 kips a B A C D 40 40 20 b 26 26 13 13 1 1 547 Seção 136 Análise de pórticos livres para deslocar lateralmente Agora os grampos são removidos mas o rolo permanece e os momentos de coluna são distribuídos até que todos os nós estejam em equilíbrio Os detalhes da análise são mostrados na Figura 1323c Os fatores de distribuição nos nós B e C são calculados a seguir Nó B Nó C K 10 5 10 1 2 KCD I L 200 40 5 5 10 1 2 KCB I L 200 40 5 Fatores de distribuição K 35 4 KBC K 4 7 KBC I L 200 40 20 4 KAB K 3 7 KAB 3 4 a I L b 3 4 a 100 20 b 15 4 Fatores de distribuição Em seguida calculamos os cortantes de coluna somando os momentos em torno de 1 um eixo através da base de cada coluna ver Figura 1323d Calcule V1 Calcule V2 Considerando o equilíbrio horizontal do corpo livre da viga na Figura 1323d calcule a reação do rolo em B S 046 043 089 kip S Fx 0 S V1 V2 0 A MD 0 40V2 803 1051 0 V2 046 kip A MA 0 20V1 85 0 V1 043 kip Neste estágio produzimos uma solução para as forças e reações geradas no pórtico por uma carga lateral de 089 kip no nó B Os resultados da análise da Figura 1323c e d estão resumidos na Figura 1323e Para calcular as forças e deslocamentos produzidos por uma carga de 5 kips multiplicamos todas as forças e deslocamentos pela razão de PS 5089 562 Os resultados finais são mostrados na Figura 1323f O deslocamento da viga PS 1 pol 562 pol continua 548 Capítulo 13 Distribuição de momentos Figura 1323 c Cálculos da distribuição de momentos d cálculo da força no rolo e forças geradas no pórtico por um deslocamento unitário após os grampos em b serem removidos momentos em kip ft e forças em kips f reações e momentos de extremidade do membro produzidos pela carga de 5 kips c 1300 464 033 803 1051 017 232 1300 803 033 066 464 372 850 009 016 132 232 743 2600 1300 557 100 007 850 26 26 0 1 3 7 4 7 1 2 1 2 B A C D d S 089 kip V1 043 kip V2 046 kip 043 20 40 85 85 046 803 803 1051 1051 kip ft 85 803 85 803 089 kip 041 kip 046 kip 1 e 043 kip 4777 232 kips 5907 kip ft 4513 4777 4513 5 kips 232 kips 258 kips 242 kips 562 562 f continuação 549 Seção 137 Análise de pórtico não contraventado para carga geral 137 Análise de pórtico não contraventado para carga geral Se uma estrutura carregada entre os nós sofre deslocamento lateral Figura 1324a devemos dividir sua análise em vários casos Iniciamos a análise introduzindo restrições temporárias forças de fixação para impedir que os nós transladem O número de restrições introduzidas deve ser igual ao número de deslocamentos de nó independentes ou graus de deslocamento lateral consultar Seção 1216 A estrutura restringida é então analisada pela distribuição de momentos para as cargas aplicadas entre os nós Após os cortantes em todos os membros serem calculados a partir dos corpos livres dos membros individuais as forças de fixação são avaliadas com as equações da estática considerandose o equilíbrio dos membros eou dos nós Por exemplo para analisar o pórtico da Figura 1324a introduzimos um rolo temporário em C ou em B para impedir o deslocamento lateral dos nós superiores ver Figura 1324b Analisamos então a estrutura normalmente pela distribuição de momentos para as cargas aplicadas P e P1 e determinamos a reação R fornecida pelo rolo Esse passo constitui a análise do caso A Como não existe nenhum rolo no nó C na estrutura real devemos remover o rolo e permitir que a estrutura absorva a força R fornecida por ele Para eliminar R realizamos uma segunda análise a análise do caso B mostrada na Figura 1324c Nessa análise aplicamos uma força no nó C igual a R mas atuando na direção oposta para a direita A superposição das análises do caso A e do caso B produz resultados equivalentes ao caso original da Figura 1324a O Exemplo 1310 ilustra o procedimento precedente para um pórtico simples de um vão Como esse pórtico foi analisado anteriormente no Exemplo 139 para uma carga lateral no nó superior utilizaremos esses resultados para a análise do caso B correção de deslocamento lateral Figura 1324 a Deformações de um pórtico não contraventado b deslocamento lateral impedido pela adição de um rolo temporário que fornece uma força de fixação R em C c correção de des locamento lateral com a força de fixação invertida e aplicada no nó C da estrutura A P D B C A D B C A D B C a P P1 P1 R b Caso A Caso B R c 550 Capítulo 13 Distribuição de momentos E X E M P L O 1 3 1 0 Determine as reações e momentos de extremidade de membro produ zidos no pórtico mostrado na Figura 1325a pela carga de 8 kips Deter mine também o deslocamento horizontal do nó B Os valores de momento de inércia de cada membro em unidades de pol4 são mostrados na Figura 1323a E 30 000 kipspol2 Solução Uma vez que o pórtico da Figura 1325 é igual ao do Exemplo 139 vamos nos referir às forças produzidas pela análise da carga lateral caso B desse exemplo Como o pórtico está livre para se deslocar lateralmente a análise é dividida em dois casos Na análise do caso A um rolo imaginário é introduzido no apoio B para impedir o desloca mento lateral ver Figura 1325b A análise do pórtico contraventado para a carga de 8 kips é feita na Figura 1325d Os momentos de extre midade fixa produzidos pela carga de 8 kips são iguais a MEF PL 8 8 20 8 20 kip ft Os fatores de distribuição foram calculados anteriormente no Exemplo 139 Após a conclusão da distribuição de momentos os cortantes de coluna as forças axiais e a reação R no apoio temporário em B são calculados a partir dos diagramas de corpo livre da Figura 1325e Como a força do rolo em B é igual a 497 kips devemos adi cionar a correção de deslocamento lateral do caso B mostrada na Figura 1325c Determinamos anteriormente na Figura 1323e as forças geradas no pórtico por uma força horizontal S 089 kip aplicada em B Essa força produz um deslocamento horizontal de 1 pol da viga Como supõese que o pórtico é elástico podemos estabelecer as forças e o deslocamento produzidos por uma força horizontal de 497 kips por proporção direta isto é todas as forças e deslocamentos da Figura 1323e são multiplicados por um fator de escala 497089 558 Os resultados desse cálculo são mostrados na Figura 1325f As forças finais no pórtico produzidas pela soma das soluções do caso A e do caso B são mostradas na Figura 1325g O deslocamento da viga é de 558 pol para a direita 551 Seção 137 Análise de pórtico não contraventado para carga geral Figura 1325 Análise de um pórtico não con traventado a detalhes das cargas b solução do caso A deslocamento lateral impedido c caso B correção de deslocamento lateral d análise do caso A e cálculo da força de fixa ção em B para o caso A f forças de correção de deslocamento lateral caso B g resultados finais da superposição do caso A e do caso B forças em kips momentos em kip ft 8 kips a B I 200 I 200 I 100 A C D 40 40 10 10 8 kips b B R c R d 429 030 459 015 215 230 459 031 061 428 857 1615 009 016 122 214 1714 2000 1000 1286 092 007 1615 20 20 0 1 3 7 4 7 1 2 1 2 10 e R 497 kips V1 V2 V1 48 V2 017 1615 32 kips 051 017 kip 051 8 kips 459 23 5865 4743 4743 24 kips 231 448 448 497 kips 231 257 kips 558 f g 56 kips 4038 4038 3145 3145 178 kip 5656 kip ft 178 kip 8 kips 241 kips 552 Capítulo 13 Distribuição de momentos E X E M P L O 1 3 1 1 Se o membro BC do pórtico do Exemplo 139 é fabricado com 2 pol a mais no comprimento determine os momentos e as reações geradas quando o pórtico é conectado em seus apoios As proprieda des dimensões do pórtico os fatores de distribuição etc foram espe cificados ou calculados no Exemplo 139 Solução Se o pórtico for conectado no apoio fixo em D ver Figura 1326a a parte inferior da coluna AB estará localizada 2 pol à esquerda do apoio A por causa do erro de fabricação Portanto devemos forçar a parte inferior da coluna AB para a direita para conectála no apoio em A Antes de fletirmos o pórtico para conectar a parte inferior da coluna AB no apoio de pino em A vamos corrigir a posição dos nós B e C adicionando um rolo em B e grampos em B e C Então transladamos a parte inferior da coluna AB lateralmente por 2 sem permitir que o nó A gire uA 0 e a conectamos no apoio de pino Então um grampo é adicionado em A para impedir que a parte inferior da coluna gire Agora calculamos os momentos de extremidade na coluna AB devido à rotação de corda usando a forma modificada da equação da inclinaçãodeflexão dada pela Equação 1320 Como a rotação de corda é no sentido antihorário cAB é negativo e igual a 625 kip pol 521 kip ft MAB MBA 6EI L cAB 6 130000 2 11002 20 12 1 120 cAB 2 20 12 1 20 rad Para analisar o efeito de remover os grampos na estrutura restringida Figura 1326a realizamos uma distribuição de momentos até que o pórtico tenha absorvido os momentos de grampo o rolo em B perma nece na posição durante esta fase da análise Os detalhes da distribuição são mostrados na Figura 1326b A reação no rolo é calculada em seguida a partir dos diagramas de corpo livre das colunas e da viga na Figura 1326c Como os rolos exercem uma reação no pórtico de 085 kip para a esquerda Figura 1326d devemos adicionar a correção de deslocamento lateral mostrada na Figura 1326e As forças associadas à correção são determinadas por proporção a partir do caso básico da Figura 1323e As reações finais mostradas na Figura 1326f são deter minadas pela superposição das forças da Figura 1326d e e 553 Seção 137 Análise de pórtico não contraventado para carga geral 096 a B A A C D 40 40 20 rolo temporário B 0 A 0 2 d 085 070 045 045 199 015 e 085 041 039 039 1004 044 f 029 kip 006 kip 006 kip 805 kip ft 029 kip b 372 026 398 013 186 199 521 521 0 1 5210 2610 1110 080 1408 3 7 1408 106 186 1490 4 7 398 026 053 372 745 1 2 1 2 c 085 kip 070 070 015 070 1408 1408 B 045 045 045 015 045 199 015 398 398 045 045 104 096 Figura 1326 a Pórtico com viga BC fabricada com 2 pol a mais no comprimento apoios temporários grampo em C e rolo e grampo em B adicionados em seguida extremidade A da coluna AB deslocada 2 pol à direita sem girar conectada no apoio A e grampeada b momentos no pórtico associados à remoção dos grampos mostrados em a c cálculo da força de fixação no rolo temporário em B forças em kips momentos em kip ft d resultados da análise em c e correção de deslo camento lateral feita pela multiplicação dos resultados da Figura 1323e por 085089 f resultados finais 554 Capítulo 13 Distribuição de momentos 138 Análise de pórticos de vários pavimentos Para estender a distribuição de momentos para a análise de pórticos de vários pavimentos devemos adicionar uma correção de deslocamento late ral para cada grau de deslocamento lateral independente Como a análise repetida do pórtico para os vários casos tornase demorada vamos apenas esboçar o método de análise para que o estudante perceba a complexidade da solução Na prática atualmente os engenheiros utilizam programas de computador para analisar pórticos de todos os tipos A Figura 1327a mostra um pórtico de dois pavimentos com dois ângulos de deslocamento lateral independentes c1 e c2 Para iniciar a análise introduzimos rolos como restrições temporárias nos nós D e E para impedir o deslocamento lateral ver Figura 1327b Então usamos distribuição de momentos para analisar a estrutura restringida para as cargas aplicadas entre os nós solução do caso A Após serem calcula dos os cortantes de coluna calculamos as reações R1 e R2 nos rolos usando corpos livres das vigas Como a estrutura real não é restringida por forças nos nós D e E devemos eliminar as forças de rolo Para isso precisamos de duas soluções independentes correções de deslocamento lateral do pórtico para cargas laterais nos nós D e E Um dos conjuntos de correções de deslocamento lateral mais conveniente é produzido pela introdução de um deslocamento unitário correspondente a uma das rea ções de rolo enquanto se impede que todas os outros nós se desloquem lateralmente Esses dois casos estão mostrados na Figura 1327c e d Na Figura 1327c restringimos o nó E e introduzimos um deslocamento de 1 pol no nó D Então analisamos o pórtico e calculamos as forças de fixação S11 e S21 nos nós D e E Na Figura 1327d introduzimos um deslocamento unitário no nó E enquanto restringimos o nó D e calcula mos as forças de fixação S12 e S22 a A P2 P1 F B E C D 1 1 2 2 2 P2 P1 R2 R1 D E 1 1 b Caso A S22 S12 D E d Caso II S21 S11 D E c Caso I Figura 1327 a Construção de um pórtico com dois graus de deslocamento lateral b forças de restrição introduzidas nos nós D e E c desloca mento unitário para correção do caso I introdu zido no nó D d correção do caso II desloca mento unitário introduzido no nó E 555 Seção 139 Membros não prismáticos O último passo na análise é sobrepor as forças nos rolos na estrutura restringida ver Figura 1327b com uma fração X do caso I Figura 1327c e uma fração Y do caso II Figura 1327d A quantidade de cada caso a ser adicionada deve eliminar as forças de fixação nos nós D e E Para determinar os valores de X e Y são escritas duas equações expres sando o requisito de que a soma das forças laterais nos nós D e E é igual a zero quando o caso básico e as duas correções são superpostos Para o pórtico da Figura 1327 essas equações expressam 1 2 E Fx 0 Em Em D Fx 0 Expressando as equações 1 e 2 em termos das forças mostradas na Figura 1327b a d temos 3 4 R 2 XS21 YS22 0 R 1 XS11 YS12 0 Resolvendo as equações 3 e 4 simultaneamente podemos determinar os valores de X e Y Um exame da Figura 1327 mostra que X e Y repre sentam a magnitude das deflexões nos nós D e E respectivamente Por exemplo se considerarmos a magnitude da deflexão 1 no nó D ficará evidente que todo o deslocamento deve ser fornecido pela correção do caso I na Figura 1327c pois o nó D está restringido nas soluções do caso A e do caso II 139 Membros não prismáticos Muitas estruturas contínuas contêm membros cujas seções transver sais variam ao longo do comprimento Alguns membros têm altura variável para se adaptar ao diagrama de momento outros membros embora a altura permaneça constante por certa distância são engrossa dos onde os momentos são maiores ver Figura 1328 Embora a distri buição de momentos possa ser usada para analisar essas estruturas os momentos de extremidade fixa os momentos de transmissão e a rigidez do membro são diferentes daqueles que utilizamos para analisar estru turas compostas de membros prismáticos Nesta seção discutiremos procedimentos para avaliar os vários termos exigidos para analisar estruturas com membros não prismáticos Como esses termos e fatores exigem um esforço considerável de avaliação foram preparadas tabelas de projeto por exemplo consultar tabelas 131 e 132 para facilitar esses cálculos Cálculo do fator de transmissão Quando um grampo é removido de um nó durante uma distribuição de momentos uma parte do momento não equilibrado é distribuída para cada membro ligado ao nó A Figura 1329a mostra as forças aplicadas a b engrossamento da laje Figura 1328 a Viga de altura variável b laje de piso com engrossamento projetada como uma viga contínua com altura variável 556 Capítulo 13 Distribuição de momentos em um membro típico isto é a extremidade na qual o momento é apli cado está livre para girar mas não para transladar e a extremidade distante é fixa MA representa o momento de extremidade distribuído e MB é igual ao momento de transmissão Conforme vimos na Seção 132 o momento de transmissão está relacionado ao momento de extremidade distribuído por exemplo para um membro prismático MT 1 2MED Podemos expressar o momento de transmissão MB como 1322 MB MTAB CAB MA em que CAB é o fator de transmissão de A para B Para avaliar CAB apli caremos as curvas MEI associadas às cargas da Figura 1329a por par tes na viga conjugada da Figura 1329b Se o cálculo for ainda mais simplificado definindo MA 1 kip ft na Equação 1322 encontramos MB CAB Se supusermos para simplificar os cálculos que o membro é pris mático isto é EI é constante poderemos calcular CAB somando os momentos das áreas sob a curva MEI em relação ao apoio A da viga conjugada CAB 1 2 a 1 2 Lb a 1 EI b a L 3 b a 1 2 Lb a CAB EI b a 2L 3 b 0 A MA 0 Figura 1329 a Viga carregada por um momento unitário em A b estrutura conjugada carregada com a curva MEI por partes L MA 1 RA MB CABMA CAB a b L 3 1 2 L CAB EI 1 2 1 L EI CAB EI 1 EI B A 2L 3 557 Seção 139 Membros não prismáticos Evidentemente esse valor confirma os resultados da Seção 131 No Exemplo 1312 usamos esse procedimento para calcular o fator de transmis são para uma viga com momento de inércia variável Como a viga não é simétrica os fatores de transmissão são diferentes para cada extremidade Cálculo da rigidez à flexão absoluta Para calcular os fatores de distribuição em um nó onde membros não prismáticos se interceptam devemos usar a rigidez à flexão absoluta KABS dos membros A rigidez à flexão absoluta de um membro é medida pela magnitude do momento necessário para produzir um valor de rotação especificado normalmente 1 rad Além disso para comparar um mem bro com outro as condições de contorno dos membros também devem ser padronizadas Como uma extremidade de um membro está livre para girar e a outra é fixa no método da distribuição de momentos são utilizadas essas condições de contorno Para ilustrar o método usado para calcular a rigidez à flexão absoluta de uma viga consideramos a viga de seção transversal constante da Figura 1330 Na extremidade A da viga aplicamos um momento KABS que produz uma rotação de 1 rad no apoio A Se supusermos que CAB foi calculado anteriormente o momento na extremidade fixa será igual a CAB KABS Usando a equação da inclinaçãodeflexão podemos expressar o momento KABS em termos das propriedades do membro como Substituindo uA 1 rad temos 1323 KABS 4EI L KABS 2EI L 12uA2 4EIuA L Como a equação da inclinaçãodeflexão só se aplica a membros pris máticos devemos usar um procedimento diferente para expressar a rigi dez à flexão absoluta KABS de um membro não prismático em termos das propriedades do membro Embora uma variedade de métodos possa ser utilizada usaremos o método do momento das áreas Como a inclinação em B é zero e a inclinação em A é de 1 rad a área sob a curva MEI entre os dois pontos deve ser igual a 1 Para produzir uma curva MEI quando o momento de inércia varia expressaremos o momento de inércia em todas as seções como um múltiplo do menor momento de inércia O pro cedimento é ilustrado no Exemplo 1312 Rigidez à flexão absoluta reduzida Uma vez estabelecidos os fatores de transmissão e a rigidez à flexão absoluta de um membro não prismático eles podem ser usados para ava liar a rigidez à flexão absoluta reduzida KRABS para uma viga com a extremidade presa com pino Para estabelecer a expressão de KRABS con sideramos a viga com apoio simples da Figura 1331a Se um grampo A 1 rad KABS B L A CABKABS A 1 rad B 0 KABS CABKABS a A A 1 rad KABS KABS CBACABKABS b A B B R Figura 1330 Condições de contorno usadas para estabelecer a rigidez à flexão da extremidade A da viga AB A rigidez à flexão é medida pelo momento KABS necessário para produzir uma rotação unitária na extremidade A Figura 1331 558 Capítulo 13 Distribuição de momentos temporário é aplicado no nó B um momento aplicado em A igual a KABS produzirá uma rotação de 1 rad em A e um momento de transmissão de CABKABS no nó B Se agora grampearmos o nó A e desbloquearmos o nó B ver Figura 1331b o momento em B se reduzirá a zero e o momento em A que agora representa KRABS será igual a 1324 KABS 1 CBACAB K R ABS KABS CBACABKABS Cálculo dos momentos de extremidade fixa Para calcular os momentos de extremidade fixa que se desenvolvem em uma viga não prismática carregamos a viga conjugada com as curvas MEI Quando uma viga real tem extremidades fixas os apoios na viga conjugada são extremidades livres Para facilitar os cálculos os diagra mas de momento devem ser desenhados por partes para produzir figu ras geométricas simples Neste estágio os valores dos momentos de extremidade fixa são desconhecidos Para encontrar a solução dos momentos de extremidade fixa devemos escrever duas equações de equi líbrio Para a viga conjugada estar em equilíbrio a soma algébrica das áreas sob os diagramas MEI cargas deve ser igual a zero Alternativa mente os momentos das áreas sob as curvas MEI em relação a cada extremidade da viga conjugada também devem ser iguais a zero Para estabelecer os momentos de extremidade fixa resolvemos simultanea mente duas quaisquer das três equações dadas Para ilustrar os princípios básicos do método calcularemos os momentos de extremidade fixa produzidos em uma viga prismática EI é constante por uma carga concentrada no meio do vão Esse mesmo procedimento com os diagramas MEI modificados para levar em conta as variações no momento de inércia será usado no Exemplo 1312 para avaliar os momentos de extremidade fixa nas extremidades da viga não prismática Cálculo dos momentos de extremidade fixa para a viga da Figura 1332a Carregue a viga conjugada com as curvas MEI ver Figura 1332c e some os momentos em relação a A produzindo 1 1 2 PL 4EI L L 2 1 2 MEFAB L L 3 1 2 MEFBA L 2L 3 0 A MA 0 Reconhecendo que a estrutura e a carga são simétricas definimos MEFAB MEFBA na Equação 1 e resolvemos para MEFBA MEFBA PL 8 Figura 1332 a Viga de extremidades fixas com EI constante b diagramas de momento por partes c viga conjugada carregada com os dia gramas MEI P A PL 4 B a b c MEFAB MEFAB MEFBA MEFBA EI MEFBA L B A MEFAB EI PL 4EI 2L 3 L 3 559 Seção 139 Membros não prismáticos A viga da Figura 1333a tem momento de inércia variável Deter mine a o fator de transmissão de A para B b a rigidez à flexão abso luta da extremidade esquerda e c o momento de extremidade fixa produzido por uma carga concentrada P no meio do vão Por todo o comprimento da viga E é constante Solução a Cálculo do fator de transmissão Aplicamos um momento unitário de 1 kipft na extremidade da viga em A Figura 1333b produzindo o momento de transmissão CAB em B Os diagramas de momento são dese nhados por partes produzindo dois diagramas de momento triangulares Então as ordenadas do diagrama de momentos são divididas por EI na metade esquerda e por 2EI na metade direita para produzir os diagramas MEI que são aplicados como cargas na viga conjugada ver Figura 1333c Como o momento de inércia da metade direita da viga é duas vezes maior do que o do lado esquerdo é criada uma descontinuidade na curva MEI no meio do vão Um momento positivo é aplicado como uma carga para cima e um momento negativo como uma carga para baixo Para expressar CAB em termos das propriedades do membro dividimos as áreas sob o diagrama MEI em retângulos e triângulos e somamos os momentos dessas áreas em relação ao apoio em A para serem iguais a zero No método do momento das áreas esse passo é equivalente à condição de que o desvio tangencial do ponto A da tangente desenhada em B é zero 1 2 L 2 CAB 2EI 2 3 L 2 CAB 4EI L 2 L 2 L 4 1 2 L 2 CAB 4EI L 2 2 3 L 2 0 1 2EI L 2 L 4 1 2 1 2EI L 2 L 6 1 2 1 4EI L 2 a L 2 L 6 b MA 0 A Simplificando e resolvendo para CAB temos CAB 2 3 Se os apoios forem trocados o apoio fixo movido para A e o rolo para B e um momento unitário for aplicado em B encontraremos o fator de transmissão CBA 04 de B para A b Cálculo da rigidez à flexão absoluta KaBs A rigidez à flexão absoluta da extremidade esquerda da viga é definida como o momento KABS necessário para produzir uma rotação unitária uA 1 rad em A com a extremidade direita fixa e a extremidade esquerda restringida em relação ao deslocamento vertical por meio de um rolo ver Figura 1333d A Figura 1333e mostra as curvas MEI para as cargas da Figura 1333d Como a inclinação em B é zero a mudança na inclinação entre as extremidades da viga igual à área sob a curva MEI pelo pri E X E M P L O 1 3 1 2 continua 560 Capítulo 13 Distribuição de momentos a e g b c A I EI 1 kip ft A B CAB L 2 2I I 2I I L 2 A 1 rad P f A B L 2 2I MEFAB MEFBA I L 2 d A B CABKABS KABS 2I I 12 EI 12 2EI CAB 2EI CABKABS 2EI CABKABS 2EI CABKABS 4EI KABS EI KABS 2EI KABS 4EI CAB2 2EI CAB2 EI PL 4EI MEFBA 2EI MEFBA 4EI MEFBA 2EI MEFAB EI MEFAB 2EI MEFAB 4EI PL 8EI Figura 1333 a Viga de seção transversal variável b cargas e condições de contorno para calcular o fator de transmissão de A para B c viga conjugada carregada com diagramas MEI das cargas em b d cálculo da rigidez à flexão absoluta KABS da extremi dade esquerda da viga AB e diagrama MEI por partes da viga em d f cálculo dos momentos de extremidade fixa da viga AB g diagramas MEI por partes para as cargas em f continuação 562 Capítulo 13 Distribuição de momentos E X E M P L O 1 3 1 3 Analise o pórtico rígido da Figura 1334 pela distribuição de momen tos Todos os membros de 12 pol de espessura são medidos na perpendi cular ao plano da estrutura Solução Como a viga tem um momento de inércia variável usaremos a Tabela 132 para estabelecer o fator de transmissão o coeficiente de rigidez e os momentos de extremidade fixa Os parâmetros a inserir na Tabela 132 são Leia na Tabela 132 Calcule os fatores de distribuição no nó B ou C F D viga 176E 1200E 015 F D coluna 1024 E 1200 E 085 K 1200 E Kcoluna 4EI L 4E 140962 16 1024 E Kviga 88EI L 88E 11000 2 50 176E Icoluna bh3 12 12 1162 3 12 4096 pol 4 Imín viga bh3 12 12 1102 3 12 1000 pol4 MEFCB MEFBC 01007wL2 01007 122 1502 2 5035 kip ft kBC 88 CCB CBC 0674 rhc 6 pol como hc 10 pol r 06 aL 10 ft como L 50 ft a 02 10 50 Veja a distribuição na Figura 1334b As reações são mostradas na Figura 1334c 563 Seção 139 Membros não prismáticos Figura 1334 a Detalhes do pórtico rígido b análise pela distribuição de momentos c reações a A B C D 50 10 16 16 16 10 w 2 kipsft 10 16 c 50 kips 4463 kips 4463 kips 238 kipft 238 kipft 50 kips w 2 kipsft b CO 0674 CO 1 2 4712 48 4760 24 2356 2380 4762 01 06 84 561 755 5035 4762 09 57 832 509 5035 4762 05 477 4280 CO 1 2 02 238 2140 2380 015 015 085 085 564 TABELA 131 Engrossamento prismático em uma extremidade do Handbook of Frame Constants da Portland Cement Association Momento M MEF da carga concentrada coef PL em b 1 aB Carga de engrossamento Carga unif b Right Carryover Stiffness MEF MEF MEF haunch factors factors coef wL2 01 03 05 07 09 1 aB coef M coef wBL2 aB rB CAB CBA kAB kBA MAB MBA MAB MBA MAB MBA MAB MBA MAB MBA MAB MBA MAB MBA MAB MBA MAB MBA rA 0 aA 0 A M bL hc B aBL L rbhc P Fatores de transmissão Fatores de rigidez Engrossa mento à direita Nota Todos os fatores de transmissão são negativos e todos os fatores de rigidez são positivos Todos os coeficientes de momento de extremidade fixa são negativos exceto onde é mostrado o sinal mais 565 TABELA 132 Engrossamento prismático nas duas extremidades do Handbook of Frame Constants da Portland Cement Association MEF de carga concentrada coef PL Carga unif b Carryover Stiffness MEF factors factors MEF 01 03 05 07 09 coef wL2 a r CAB CBA kAB kBA coef wL2 MAB MBA MAB MBA MAB MBA MAB MBA MAB MBA MAB MBA 04 0583 549 00921 00905 00053 01727 00606 01396 01396 00606 01727 00053 00905 00049 06 0603 593 00940 00932 00040 01796 00589 01428 01428 00589 01796 00040 00932 00049 01 10 0624 645 00961 00962 00023 01873 00566 01462 01462 00566 01873 00023 00962 00050 15 0636 675 00972 00980 00013 01918 00551 01480 01480 00551 01918 00013 00980 00050 20 0641 690 00976 00988 00008 01939 00543 01489 01489 00543 01939 00008 00988 00050 04 0634 732 00970 00874 00079 01852 00623 01506 01506 00623 01852 00079 00874 00187 06 0674 880 01007 00899 00066 01993 00584 01575 01575 00584 01993 00066 00899 00191 02 10 0723 1109 01049 00935 00046 02193 00499 01654 01654 00499 02193 00046 00935 00195 15 0752 1287 01073 00961 00029 02338 00420 01699 01699 00420 02338 00029 00961 00197 20 0765 1387 01084 00976 00018 02410 00372 01720 01720 00372 02410 00018 00976 00198 04 0642 902 00977 00845 00097 01763 00707 01558 01558 00707 01763 00097 00845 00397 06 0697 1209 01027 00861 00095 01898 00700 01665 01665 00700 01898 00095 00861 00410 03 10 0775 1868 01091 00890 00094 02136 00627 01803 01803 00627 02136 00084 00890 00426 15 0828 2649 01132 00920 00065 02376 00492 01891 01891 00492 02376 00065 00920 00437 20 0855 3277 01153 00943 00048 02555 00366 01934 01934 00366 02555 00048 00943 00442 04 0599 1015 00937 00825 00101 01601 00732 01509 01509 00732 01601 00101 00825 00642 06 0652 1452 00986 00833 00106 01668 00776 01632 01632 00776 01668 00106 00833 00668 04 10 0744 2606 01067 00847 00112 01790 00835 01833 01833 00835 01790 00112 00847 00711 15 0827 4595 01131 00862 00113 01919 00852 01995 01995 00852 01919 00113 00862 00746 20 0878 7141 01169 00876 00108 02033 00822 02089 02089 00822 02033 00108 00876 00766 05 00 0500 400 00833 00810 00090 01470 00630 01250 01250 00630 01470 00090 00810 00833 aL L aL hc rhc bL P Nota Todos os fatores de transmissão e coeficientes de momento de extremidade fixa são negativos e todos os fatores de rigidez são positivos Carga de engrossamento nos dois engrossamentos Fatores de transmissão Fatores de rigidez 566 Capítulo 13 Distribuição de momentos Resumo A distribuição de momentos é um procedimento aproximado para analisar vigas e pórticos indeterminados que elimina a necessidade de escrever e resolver as equações simultâneas necessárias no método da inclinaçãodeflexão O analista começa supondo que todas os nós livres para girar são restringidos por grampos produzindo condições de extremidade fixa Quando as cargas são aplicadas são causados momentos de extremidade fixa A solução é concluída desbloqueandose e bloqueandose novamente os nós sucessivamente e distribuindose os momentos nas duas extremidades de todos os membros ligados ao nó até que todos os nós estejam em equilíbrio O tempo necessário para concluir a análise aumenta significativamente se os pórticos estão livres para deslocarse lateralmente O método pode ser estendido para membros não prismáticos se estiverem disponíveis tabelaspadrão de momentos de extremidade fixa consultar Tabela 131 Uma vez estabelecidos os momentos de extremidade são analisados corpos livres dos membros para determinar as forças cortantes Após os cortantes serem estabelecidos as forças axiais nos membros são calculadas usandose os corpos livres dos nós Embora a distribuição de momentos forneça aos estudantes uma compreensão do comportamento de estruturas contínuas seu uso é limitado na prática pois uma análise por computador é muito mais rápida e precisa Contudo a distribuição de momentos fornece um procedimento simples para verificar os resultados da análise por computador de grandes pórticos contínuos de vários pavimentos e baias sob carga vertical Nesse procedimento ilustrado na Seção 157 um diagrama de corpo livre de um piso individual incluindo as colunas agregadas acima e abaixo do piso é isolado e as extremidades das colunas são presumidas como fixas ou a rigidez da coluna é ajustada para as condições de contorno Como a influência das forças nos pisos acima e abaixo tem apenas um pequeno efeito sobre o piso que está sendo analisado o método proporciona uma boa aproximação das forças no sistema de piso em questão 567 Problemas PrOBLEMAs A B I 12I C 9 m 8 m 12 m P 40 kN w 5 kNm P132 10 C B A w 3 kipsft 16 32 kips 10 P131 6 6 D C B A 9 kipsft 9 kipsft 10 10 20 kips P133 C B A 3 m w 12 kNm 9 m P134 C D B A w 4 kipsft 12 kips 18 5 18 P135 24 18 w 6 kipsft 2I I C B A P136 6 6 D C B A 4 kipsft 9 9 30 kips P137 P131 a P137 Analise cada estrutura pela distribui ção de momentos Determine todas as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento localizando os pontos de inflexão e rotulando os valores de cortante e momento máximos em cada vão Salvo indicação em contrário EI é constante 568 Capítulo 13 Distribuição de momentos P138 a P1310 Analise pela distribuição de momen tos Modifique a rigidez conforme discutido na Seção 135 EI é constante Desenhe os diagramas de cortante e momento P1311 Analise o pórtico da Figura P1311 pela distri buição de momentos Determine todas as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento locali zando os pontos de inflexão e rotulando os valores de cortante e momento máximos em cada vão Dado EI é constante B A C D 20 9 P 16 kips P 16 kips w 4 kipsft 9 9 9 P139 C B D E A F 6 10 10 6 10 32 10 8 kips 12 kips 8 kips 12 kips w 24 kipsft P1310 B A C D E 18 18 24 24 12 12 18 kips 18 kips w 2 kipsft P138 30 10 15 10 P 30 kips A B D C P 30 kips w 2 kipsft P1311 12 6 B C A D 8 14 12 Vista lateral 1 1 w 050 kipft w 050 kipft P1312 P1312 Analise a caixa de concreto armado da Figura P1312 pela distribuição de momentos Modifique os fatores de rigidez conforme discutido na Seção 135 Desenhe os diagramas de cortante e momento para a laje superior AB Dado EI é constante 569 Problemas P1313 Analise o pórtico da Figura P1313 pelo método da distribuição de momentos Determine todas as rea ções e desenhe os diagramas de momento e cortante Dado E é constante Apoios fixos em A e D A I I 2I B w 8 kNm C D 4 m 4 m 6 m P1313 6 12 8 8 8 8 B D C A w 2 kipsft w 2 kipsft 10 kips 10 kips 10 kips 10 kips 3 3 P1314 12 21 12 w 3 kipsft I 3I A B C D P1315 A B D C 12 9 9 9 9 12 20 kips 20 kips E F P1316 P1314 A seção transversal do anel retangular da Figura P1314 tem 12 pol 8 pol Desenhe os diagramas de momento e cortante para o anel E 3 000 kipspol2 P1315 Analise o pórtico da Figura P1315 pela distri buição de momentos Determine todas as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento locali zando os pontos de inflexão e rotulando os valores de cortante e momento máximos em cada vão E é cons tante mas I varia conforme indicado na figura P1316 Analise o pórtico da Figura P1316 pela distri buição de momentos Determine todas as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento locali zando os pontos de inflexão e rotulando os valores de cortante e momento máximos em cada vão Dado EI é constante 570 Capítulo 13 Distribuição de momentos P1317 Analise o pórtico da Figura P1317 pela distri buição de momentos Determine todas as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento locali zando os pontos de inflexão e rotulando os valores de cortante e momento máximos em cada vão E é cons tante mas I varia conforme indicado P1318 Analise o pórtico da Figura P1318 pelo método da distribuição de momentos Determine todas as rea ções e desenhe os diagramas de cortante e momento E é constante mas I varia conforme indicado 8 kips 9 16 6 16 w 3 kipsft A B 2I I 2I I I C D F E 10 P1317 D C 30 30 30 20 H I I I A B F E G w 3 kipsft 15I 15I 15I I P1318 B A C D F G E 2 m 8 m 3 m 15 kN 18 kN 3 kNm 8 m 4 m 4 m P1319 24 A B C 8 P 16 kips P1320 P1319 Analise a viga da Figura P1319 pelo método da distribuição de momentos Determine todas as rea ções e desenhe os diagramas de momento e cortante para a viga ABCDE EI é constante P1320 Se o apoio B na Figura P1320 sofre um recalque de 1 2 pol sob a carga de 16 kips determine as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento para a viga Dados E 30 000 kipspol2 I 600 pol4 571 Problemas P1321 Se o apoio A na Figura P1321 é construído 048 pol mais baixo e o apoio em C é construído aci dentalmente com uma inclinação de 0016 rad no sen tido horário a partir de um eixo vertical através de C determine o momento e as reações geradas quando a estrutura é conectada em seus apoios Dados E 29 000 kipspol2 P1322 Analise a viga Vierendeel da Figura P1322 pela distribuição de momentos Desenhe os diagramas de cor tante e momento para os membros AB e AF Esboce a forma defletida e determine a deflexão no meio do vão Dados EI é constante E 200 GPa e I 250 106 mm4 B C 24 12 048 A 0016 rad I 300 pol4 I 75 pol4 P1321 A B D C 18 06 2 kipsft 12 12 P1323 A B D C 15 I 600 pol4 I 600 pol4 I 200 pol4 20 15 P1324 A F E D B C 4 m 4 m 3 m 100 kN P1322 P1323 Devido a um erro de construção o apoio em D foi construído 06 pol à esquerda da coluna BD Usando distri buição de momentos determine as reações geradas quando o pórtico é conectado ao apoio e a carga uniforme é apli cada no membro BC Desenhe os diagramas de cortante e momento e esboce a forma defletida E 29 000 kipspol2 I 240 pol4 para todos os membros P1324 Quais momentos são gerados no pórtico da Figura P1324 por uma mudança de temperatura de 80 F na viga ABC O coeficiente de expansão de tempe ratura at 66 106 polpolF e E 29 000 kipspol2 572 Capítulo 13 Distribuição de momentos P1325 Determine as reações e os momentos causa dos nos membros do pórtico da Figura P1325 Deter mine também o deslocamento horizontal do nó B Dados EI é constante para todos os membros I 1 500 pol4 e E 3 000 kipspol2 P1326 Analise a estrutura da Figura P1326 pela distri buição de momentos Desenhe os diagramas de cortante e momento Esboce a forma defletida Calcule também o deslocamento horizontal do nó B E é constante e é igual a 30 000 kipspol2 D C 16 16 12 F A B E 20 kips P1325 38 24 18 12 3 kips 6 kips 6 kips A B C D I 240 pol4 I 120 pol4 I 150 pol4 P1326 A B D C w 4 kipsft EI constante 20 16 8 P 24 kips P1327 P1327 Analise o pórtico da Figura P1327 pela distri buição de momentos Desenhe os diagramas de cortante e momento Esboce a forma defletida E é constante e é igual a 30 000 kipspol2 573 Problemas P1328 Analise o pórtico da Figura P1328 pela distribuição de momen tos Desenhe os diagramas de cortante e momento Calcule a deflexão horizontal do nó B Esboce a forma defletida E é constante e é igual a 30 000 kipspol2 12 30 kips 12 12 12 B D C A w 24 kipsft I 600 pol4 I 360 pol4 I 360 pol4 P1328 Prédio do Banco Central em Boston MA EUA Treliças verticais nas laterais deste prédio de vários anda res enrijecem a estrutura contra cargas laterais C A P Í T U L O Estruturas indeterminadas linhas de influência 141 Introdução Para estabelecer como uma força interna específica em um ponto designado varia quando uma carga móvel passa sobre uma estrutura construímos linhas de influência A construção de linhas de influên cia para estruturas indeterminadas segue um procedimento igual ao do Capítulo 8 para estruturas determinadas isto é uma carga unitá ria é movida pela estrutura e os valores de uma reação ou força interna em particular são plotados abaixo de posições sucessivas da carga Como programas de computador para analisar estruturas estão geralmente disponíveis para os engenheiros profissionais mesmo estruturas altamente indeterminadas podem ser analisadas para muitas posições da carga unitária rapidamente e de forma barata Portanto alguns dos demorados métodos práticos tradicio nais anteriormente utilizados para construir linhas de influência têm valor limitado para os engenheiros de hoje Nossos principais objetivos neste capítulo são 1 Conhecer o aspecto das linhas de influência das reações de apoio e forças em vigas contínuas e pórticos 2 Desenvolver a capacidade de esboçar rapidamente o aspecto aproximado das linhas de influência de vigas e pórticos indeter minados 3 Estabelecer como se posicionam cargas distribuídas em estrutu ras contínuas para maximizar o cortante e o momento em seções fundamentais de vigas e colunas Começaremos este capítulo construindo linhas de influência para as reações cortantes e momentos em várias vigas indeterminadas simples Embora as linhas de influência de estruturas determinadas consistam em segmentos retos as linhas de influência de vigas e pórticos indetermina 14 576 Capítulo 14 Estruturas indeterminadas linhas de influência dos são curvas Portanto para definir claramente o aspecto das linhas de influência de uma viga indeterminada frequentemente devemos avaliar as ordenadas em mais pontos do que os necessários para uma viga determi nada No caso de uma treliça ou viga mestra indeterminadas carregada nos nós por um sistema de transversinas e longarinas composto de membros com apoios simples as linhas de influência consistirão em segmentos retos entre os nós Também discutiremos o uso do princípio de MüllerBreslau para esboçar linhas de influência qualitativas de forças internas e reações para uma variedade de vigas e pórticos indeterminados Com base nes sas linhas de influência estabeleceremos diretrizes para o posiciona mento de cargas móveis para produzir valores máximos de cortantes e momentos em seções fundamentais adjacentes aos apoios ou no meio do vão dessas estruturas 142 Construção de linhas de influência usando distribuição de momentos A distribuição de momentos fornece uma técnica conveniente para construir linhas de influência para vigas contínuas e pórticos de seção transversal constante Além disso com tabelas de projeto apropriadas o método pode ser facilmente estendido para estruturas que contêm mem bros de altura variável por exemplo consultar Tabela 131 Para cada posição da carga unitária a análise da distribuição de momen tos fornece todos os momentos de extremidade do membro Após os momentos de extremidade serem determinados as reações e forças inter nas nas seções fundamentais podem ser estabelecidas cortandose corpos livres e usandose as equações da estática para calcular as forças internas O Exemplo 141 ilustra o uso de distribuição de momentos para construir as linhas de influência das reações de uma viga indeterminada no primeiro grau Para simplificar os cálculos desse exemplo as ordenadas das linhas de influência ver Figura 141c a e são avaliadas em intervalos de um quinto do comprimento do vão Em uma situação de projeto real por exem plo a viga mestra de uma ponte seria mais apropriado um incremento menor de um doze avos a um quinze avos do comprimento do vão 577 Seção 142 Construção de linhas de influência usando distribuição de momentos a Usando uma distribuição de momentos construa as linhas de influência das reações nos apoios A e B da viga da Figura 141a b Dado L 25 ft determine o momento gerado no apoio B pelo conjunto de cargas de roda de 16 e de 24 kips mostrado na Figura 141a quando estão posicionadas nos pontos 3 e 4 EI é constante E X E M P L O 1 4 1 A B a 1 2 3 4 5 6 5 02L L 1 kip 16 kips 24 kips 5 RA 1 kip RB 0 MB 0 A B b c d e 1 1 0704 0296 0432 0568 0208 0792 0056 0944 0144L 0192L 0168L 0096L momento de extremidade 08L 0128L 0128L 1 2 0 02L 0032L 0064L 0096L RA 1 kip RB RA kips RB kips MB kip ft MB 16 kips 24 kips Figura 141 a Carga unitária no apoio A b carga unitária a 02L à direita do apoio A c linha de influência da reação em A d linha de influência da reação vertical em B e linha de influência do momento no apoio B Solução a As linhas de influência serão construídas colocandose a carga unitária em seis pontos separados por uma distância de 02L ao longo do eixo da viga Os pontos estão indicados pelos números circu lados na Figura 141a Discutiremos os cálculos dos pontos 1 2 e 6 para ilustrar o procedimento continua 578 Capítulo 14 Estruturas indeterminadas linhas de influência Para estabelecer a ordenada da linha de influência na extremidade esquerda ponto 1 a carga unitária é colocada na viga diretamente sobre o apoio A ver Figura 141a Como a carga inteira passa direta mente para o apoio a viga não é tensionada portanto RA 1 kip RB 0 e MB 0 Analogamente se a carga unitária é movida para o ponto 6 aplicada diretamente no apoio fixo RB 1 kip RA 0 e MB 0 As reações acima que representam as ordenadas da linha de influência nos pontos 1 e 6 estão plotadas na Figura 141c d e e Em seguida movemos a carga unitária a uma distância 02L à direita do apoio A e determinamos o momento em B pela distribuição de momentos ver Figura 141b Calcule os momentos de extremidade fixa ver Figura 125 MEFBA Pba2 L2 1 108L2 102L2 2 L2 0032L MEFAB Pab 2 L2 1 102L2 108L2 2 L2 0128L A distribuição de momentos está feita no esboço da Figura 141b Depois de estabelecido o momento de extremidade de 0096L no apoio B calculamos a reação vertical em A somando os momentos sobre B das forças em um corpo livre da viga Calcule RB R B 0296 kip R A R B 1 0 c Fy 0 RA 0704 kip RAL 1 108L2 0096L 0 A MB 0 Para calcular o restante das ordenadas da linha de influência move mos a carga unitária para os pontos 3 4 e 5 e analisamos a viga nova mente para cada posição da carga Os cálculos que não são mostrados estabelecem as ordenadas da linha de influência restantes A Figura 141c a e mostra as linhas de influência finais b O momento em B devido às cargas de roda ver Figura 141e é 7296L 7296 25 1824 kip ft 0168L116 kips2 0192L124 kips2 MB ordenada da linha de influência carga Resp continuação 579 Seção 142 Construção de linhas de influência usando distribuição de momentos Construa as linhas de influência do cortante e do momento na seção 4 da viga da Figura 141a usando a linha de influência da Figura 141c para avaliar a reação em A para várias posições da carga unitária Solução Com a carga unitária nos apoios A ou B pontos 1 e 6 na Figura 141a a viga não está tensionada portanto o cortante e o momento no ponto 4 são zero e as ordenadas das linhas de influência na Figura 142e e f começam e terminam em zero Para estabelecer as ordenadas das linhas de influência das outras posições da carga unitária usaremos as equações da estática para avaliar as forças internas em um corpo livre da viga à esquerda de uma seção através do ponto 4 O corpo livre da Figura 142a mostra a carga unitária no ponto 2 A reação em A de 0704 kip é lida da Figura 141c M 1 kip2 104L2 M2 A M4 2 00224L kip ft 10704 kip2 106L2 1 0 0 V2 0296 kip 04 70 1 V2 0 c Fy 0 A Figura 142b mostra a carga unitária imediatamente à esquerda do ponto 4 Para essa posição da carga unitária as equações de equi líbrio fornecem V4L 0792 kip e M4L 0125L kip ft Se a carga unitária é movida por uma distância dx através do corte no corpo livre à direita da seção 4 a reação em A não muda mas a carga unitária não está mais no corpo livre ver Figura 142c Escrevendo as equações de equilíbrio calculamos V4R 0208 kip e M4r 0125L kip ft A Figura 142d mostra as forças no corpo livre quando a carga unitária está no ponto 5 fora do corpo livre Os cálculos fornecem V5 0056 kip e M5 00336L kip ft Usando os valores calculados de cortante e momento na seção 4 para as várias posições da carga unitária plo tamos as linhas de influência do cortante na Figura 142e e do momento na Figura 142f E X E M P L O 1 4 2 V2 M2 a 1 kip 0704 kip 4 04 L 06 L V4L b 1 kip 0208 kip 06 L V4R M4r c 0208 kip 06 L V5 M5 d e f 0056 kip 06 L M4 0296 0568 0792 0208 0056 00224L 00592L 0125L 00336L Figura 142 Linhas de influência do cortante e do momento na seção 4 a carga uni tária na seção 2 b carga unitária à esquerda da seção 4 c carga unitária à direita da seção 4 d carga unitária na seção 5 e linha de influência do cortante f linha de influência do momento 580 Capítulo 14 Estruturas indeterminadas linhas de influência 143 Princípio de MüllerBreslau O princípio de MüllerBreslau apresentado anteriormente e aplicado a estruturas determinadas na Seção 84 estabelece A linha de influência de qualquer reação ou força interna cortante momento corresponde à forma defletida da estrutura produzida pela remoção da capacidade da estrutura de transmitir essa força seguida da introdução na estrutura modificada ou liberada de uma deformação unitária correspondente à restrição removida Iniciamos esta seção usando a lei de Betti para demonstrar a validade do princípio de MüllerBreslau Depois usaremos o princípio de Müller Breslau para construir linhas de influência qualitativas e quantitativas para vários tipos comuns de vigas e pórticos indeterminados Para demonstrar a validade do princípio de MüllerBreslau conside raremos dois procedimentos para construir uma linha de influência para a reação no apoio A da viga contínua da Figura 143a No procedimento convencional aplicamos uma carga unitária na viga em vários pontos ao longo do vão avaliamos o valor correspondente de RA e o plotamos abaixo da posição da carga unitária Por exemplo a Figura 143a mostra uma carga unitária usada para construir uma linha de influência em um ponto arbitrário x na viga supõese RA positiva na direção mostrada ver ticalmente para cima Se o princípio de MüllerBreslau é válido também podemos produzir o aspecto correto da linha de influência para a reação em A simplesmente removendo o apoio em A para produzir a estrutura liberada e introdu zindo na estrutura nesse ponto um deslocamento vertical correspondente à reação RA fornecida pelo rolo ver Figura 143b Introduzimos o deslo camento correspondente a RA aplicando arbitrariamente uma carga de 1 kip verticalmente em A Denotando a carga da Figura 143a como sistema 1 e a carga da Figura 143b como sistema 2 aplicamos agora a lei de Betti dada pela Equação 1040 nos dois sistemas 1040 F12 F21 em que 2 é o deslocamento no sistema 2 correspondente a F1 e 1 é o deslocamento no sistema 1 correspondente a F2 Se a força em um dos sistemas é um momento o deslocamento correspondente é uma rotação Substituindo na Equação 1040 encontramos 141 R AdAA 1 kip dxA 1 0 Figura 143 a Carga unitária usada para cons truir a linha de influência de RA b carga unitária usada para introduzir um deslocamento na estru tura liberada c linha de influência de RA 1 kip RA xA AA A 0 a A x B C b c 1 kip 1 A B C 581 Seção 143 Princípio de MüllerBreslau Visto que as reações nos apoios B e C nos dois sistemas não realizam nenhum trabalho virtual pois os apoios no outro sistema não se deslocam esses termos são omitidos nos dois lados da Equação 141 Resolvendo a Equação 141 para RA calculamos 142 RA dxA dAA Como dAA tem valor constante mas o valor de dxA varia ao longo do eixo da viga a Equação 142 mostra que RA é proporcional às ordenadas da forma defletida na Figura 143b Portanto o aspecto da linha de influência de RA é o mesmo da forma defletida da estrutura liberada produzida pela introdução do deslocamento dAA no ponto A e verificamos o princípio de MüllerBreslau A linha de influência final de RA é mostrada na Figura 143c A ordenada em A é igual a 1 pois a carga unitária na estrutura real nesse ponto produz uma reação de 1 kip em A A linha de influência qualitativa do tipo mostrado na Figura 143c frequentemente é adequada para muitos tipos de análise entretanto se for necessária uma linha de influência quantitativa a Equação 142 mostra que ela pode ser construída dividindose as ordenadas da forma defletida pela magnitude do deslocamento dAA introduzido no ponto A Significado do sinal menos na Equação 142 Como primeiro passo na construção de uma linha de influência devemos supor uma direção positiva para a função Por exemplo na Figura 143a supomos que a direção positiva de RA é verticalmente para cima O primeiro termo do trabalho virtual na Equação 141 é sempre positivo pois o deslocamento dAA e RA estão na mesma direção O trabalho vertical representado pelo segundo termo 1 kipdxA também é positivo pois a força de 1 kip e o deslocamento dxA são ambos dirigidos para baixo Quando transferimos o segundo termo para o lado direito da Equação 141 é introduzido um sinal de menos O sinal menos indica que na verdade RA é dirigida para baixo Se a carga de 1 kip estivesse localizada no vão AB uma região onde as ordenadas da linha de influência são positivas os termos do trabalho virtual contendo dxA seriam negativos e quando o termo fosse transferido para o lado direito da Equação 141 a expressão de RA seria positiva indicando que RA seria dirigida para cima Resumindo concluímos que onde uma linha de influência é positiva uma carga para baixo sempre produzirá um valor da função dirigida no sentido positivo Por outro lado nas regiões onde a linha de influência é negativa uma carga para baixo sempre produzirá um valor da função dirigido no sentido negativo 582 Capítulo 14 Estruturas indeterminadas linhas de influência A B C D M M a L L 2 2M L 4M L 2M L 2M L 2M M M Cy 2M L RD D L 2 L 2 A B C C M M C b c d e articulação Figura 144 Construção da linha de influência do momento em C pelo método de MüllerBres lau a viga de dois vãos b estrutura liberada c forma defletida produzida por um desloca mento na restrição removida em C d diagramas de momento para estabelecer a forma defletida da estrutura liberada e linha de influência do momento C 144 Linhas de influência qualitativas para vigas Nesta seção ilustraremos o uso do método de MüllerBreslau para construir linhas de influência qualitativas para uma variedade de forças em vigas contínuas e pórticos Conforme descrito na Seção 143 no método de MüllerBreslau primeiramente removemos a capacidade de a estrutura transmitir a função representada pela linha de influência No local da liberação introduzimos um deslocamento correspondente à restrição liberada A forma defletida resultante é a linha de influência em alguma escala Se você estiver em dúvida quanto ao tipo de deslo camento a ser introduzido imagine que uma força correspondente à função é aplicada no local da liberação e gera o deslocamento Como exemplo desenharemos a linha de influência do momento positivo no ponto C da viga contínua de dois vãos da Figura 144a O ponto C está localizado no ponto central do vão BD Para remover a capacidade de flexão da viga inserimos uma articulação no ponto C Como a estrutura original era indeterminada no primeiro grau a estru tura liberada mostrada na Figura 144b é estável e determinada Em seguida introduzimos um deslocamento em C correspondente a um momento positivo conforme indicado pelas duas setas curvas em um ou outro lado da articulação O efeito dos momentos positivos em C é girar as extremidades de cada membro na direção do momento e deslocar a articulação para cima A Figura 144c mostra a forma defletida da viga que também é o aspecto da linha de influência Embora seja evidente que um momento positivo em C gira as extremidades dos membros o deslocamento vertical que tam bém ocorre pode não ser óbvio Para esclarecer os deslocamen tos produzidos pelos momentos em cada lado da articulação examinaremos os corpos livres da viga em cada lado ver Figura 144d Primeiramente calculamos a reação em D somando os momentos sobre a articulação em C das forças no membro CD 583 Seção 144 Linhas de influência qualitativas para vigas R D 2M L M R D L 2 0 A MC 0 Para que exista equilíbrio na direção y do membro CD a força vertical na articulação Cy deve ter magnitude igual e sentido oposto a RD Como Cy representa a ação do corpo livre à esquerda uma força igual e oposta atuando para cima deve atuar no nó C do membro ABC Em seguida calculamos as reações nos apoios A e B do membro ABC e desenhamos os diagramas de momento para cada membro Como o momento é positivo ao longo de todo o comprimento dos dois mem bros eles se curvam com concavidade para cima conforme indicado pelas linhas curvas sob os diagramas de momento Quando o membro ABC é colocado nos apoios A e B ver Figura 144c o ponto C deve se mover verticalmente para cima para ser coerente com as restrições for necidas pelos apoios e com a curvatura criada pelo momento O aspecto final da linha de influência é mostrado na Figura 145e Embora a mag nitude das ordenadas positivas e negativas seja desconhecida podemos considerar que as ordenadas são maiores no vão que contém a articula ção e as cargas aplicadas Como regra geral a influência de uma força em um vão cai rapidamente com a distância do vão carregado Além disso um vão que contém uma articulação é muito mais flexível do que um vão contínuo Linhas de influência adicionais para vigas contínuas Na Figura 145 usamos o princípio de MüllerBreslau para esboçar linhas de influência qualitativas para uma variedade de forças e reações em uma viga contínua de três vãos Em cada caso a restrição correspon dente à função representada pelas linhas de influência é removida e um deslocamento correspondente à restrição é introduzido na estrutura A Figura 145b mostra a linha de influência da reação em C O dispositivo de rolo e placas que remove a capacidade de resistência ao cortante da seção transversal na Figura 145c é capaz de transmitir carga axial e momento Como as placas devem permanecer paralelas quando ocorre a deformação do cortante as inclinações dos membros ligados em cada lado da placa devem ser iguais como mostrado pelo detalhe à direita da viga Na Figura 145d a linha de influência do momento negativo é cons truída por meio da introdução de uma articulação na viga em C Uma vez que a viga está ligada ao apoio nesse ponto as extremidades dos mem bros sob a ação dos momentos em cada lado da articulação estão livres para girar mas não para mover verticalmente A linha de influência da reação em F é gerada pela remoção do apoio vertical em F e pela intro dução de um deslocamento vertical ver Figura 145f No Exemplo 143 ilustramos o uso de uma linha de influência quali tativa para estabelecer onde se deve carregar uma viga contínua para produzir o valor máximo de cortante em uma seção Figura 145 Construção de linhas de influência pelo método de MüllerBreslau para a viga con tínua de três vãos em a b linha de influência de RC c linha de influência do cortante em B d linha de influência do momento negativo em C e linha de influência do momento positivo em D f linha de influência da reação RF A C B D E F RC RF RF M M M M a RC b V V c 90 90 d e f 584 Capítulo 14 Estruturas indeterminadas linhas de influência E X E M P L O 1 4 3 A viga contínua da Figura 146a suporta uma sobrecarga de 4 kips ft uniformemente distribuída A carga pode estar localizada sobre todo o vão ou uma parte dele Calcule o valor máximo do cortante no meio do vão ponto B do membro AC Dados EI é constante B V V A B C D A A A B C D A C D a b linha de influência 9167 9167 0 4 kipsft 4 kipsft 4 kipsft 1719 kips 3281 kips MC 14376 kip ft RA 2281 kips C 10 10 20 40 kips 4167 4584 5625 14376 13333 6667 5625 14375 13333 13333 0 4167 4167 0 5625 5625 9167 2084 5625 5626 MC 5626 kip ft RA 719 kips C 40 kips c 571 2281 kips 1719 kips cortante kips d 118 719 kips 3281 kips cortante kips Figura 146 Cálculo do cortante máximo na seção B a viga contínua b linha de influência do cortante em B c análise da viga com a carga distribuída colocada de forma a produzir o cor tante negativo máximo de 1719 kips em B d análise da viga com a carga distribuída posicio nada de forma a produzir o cortante positivo máximo de 719 kips em B 585 Seção 144 Linhas de influência qualitativas para vigas Solução Para estabelecer a posição da carga móvel para maximizar o cor tante primeiramente construímos uma linha de influência qualitativa para cortante no ponto B Usando o princípio de MüllerBreslau intro duzimos deslocamentos correspondentes às forças cortantes positivas na seção B da viga para produzir a linha de influência mostrada na Figura 146b Como a linha de influência contém regiões positivas e negativas devemos investigar duas condições de carga No primeiro caso ver Figura 146c distribuímos a carga uniforme por todas as seções em que as ordenadas da linha de influência são negativas No segundo caso ver Figura 146d carregamos a viga contínua entre os pontos B e C nos quais as ordenadas da linha de influência são positi vas Usando distribuição de momentos determinamos em seguida o momento no apoio C da viga Como a viga é simétrica em relação ao apoio central os dois membros têm a mesma rigidez e os fatores de distribuição no nó C são idênticos e iguais a 1 2 Usando a Figura 125f calculamos os momentos de extremidade fixa dos membros AC e CD na Figura 146c MEFCD MEFDC wL2 12 4 20 2 12 13333 kip ft MEFCA 5wL2 192 5142 12022 192 4167 kip ft MEFAC 11wL2 192 11142 12022 192 9167 kip ft A distribuição de momentos que é realizada sob o esboço da viga da Figura 146c produz um valor de momento na viga em C igual a 14376 kip ft Devido ao erro de arredondamento na análise existe uma pequena diferença nos valores dos momentos em cada lado do nó C Em seguida calculamos a reação em A somando os momentos sobre C das forças que atuam em um corpo livre da viga AC Após o cálculo da reação em A é desenhado o diagrama de cortante ver parte inferior do esboço na Figura 146c A análise mostra que VB 1719 kips Uma análise semelhante para a carga da Figura 146d fornece VB 719 kips Como a magnitude do cortante em vez de seu sinal determina o maior valor das tensões de cisalhamento em B a seção deve ser dimensionada para suportar uma força cortante de 1719 kips 586 Capítulo 14 Estruturas indeterminadas linhas de influência E X E M P L O 1 4 4 A viga contínua da Figura 147a suporta uma sobrecarga de 3 kipsft uniformemente distribuída Supondo que a carga pode estar localizada sobre todo o vão ou sobre uma parte qualquer dele calcule os valores máximos dos momentos positivo e negativo que podem se desenvolver no meio do vão do membro BD Dados EI é constante Figura 147 a Detalhes da viga b construção da linha de influência qualitativa do momento em C c carga posicionada de forma a maximizar o momento positivo em C d carga posicionada de forma a maximizar o momento negativo em C A B C D E a 24 32 24 b M M c 17067 momento kip ft 17067 21333 w 3 kipsft d 72 momento kip ft 1815 1815 w 3 kipsft w 3 kipsft Solução A linha de influência qualitativa do momento no ponto C localizado no meio do vão de BD é construída usandose o princípio de Müller Breslau Uma articulação é inserida em C e uma deformação associada ao momento positivo é introduzida nesse ponto ver Figura 147b A Figura 147c mostra a carga posicionada sobre a seção da viga na qual as ordenadas da linha de influência são positivas Usando distribuição de momentos os cálculos não são mostrados calculamos os momentos de extremidade de membro e construímos o diagrama de momento O momento máximo positivo é igual a 21333 kip ft Para estabelecer o valor máximo do momento negativo no ponto C a carga é posicionada nas seções da viga em que as ordenadas da linha de influência são negativas ver Figura 147d O diagrama de momento para essa carga é mostrado abaixo da viga O valor máximo do momento negativo é 72 kip ft Nota Para estabelecer o momento total na seção C também devemos combinar cada um dos momentos da sobrecarga com o momento posi tivo em C produzido pela carga permanente 587 Seção 144 Linhas de influência qualitativas para vigas O pórtico da Figura 148a é carregado somente através da viga ABC Se o pórtico suporta uma carga de 3 kipsft uniformemente dis tribuída que pode atuar sobre parte ou sobre todos os vãos AB e BC determine o valor máximo do empuxo horizontal Dx que se desen volve em cada direção no apoio D Para todos os membros EI é uma constante Solução O sentido positivo do empuxo Dx está mostrado na Figura 148a Para construir a linha de influência da reação horizontal no apoio D pelo princípio de MüllerBreslau removemos a restrição horizontal introduzindo um rolo em D ver Figura 148b Um deslocamento cor respondente a Dx é introduzido pela aplicação de uma força horizontal F em D A forma defletida mostrada pela linha tracejada é a linha de influência Na Figura 148c aplicamos a carga uniforme no vão BC em que as ordenadas da linha de influência são positivas Analisando o pórtico pela distribuição de momentos calculamos um momento no sentido horário de 4113 kipft no topo da coluna Aplicando estática em um corpo livre da coluna BD calculamos uma reação horizontal de 343 kips Para calcular o empuxo máximo na direção negativa carregamos o pórtico na região onde as ordenadas da linha de influência são nega tivas ver Figura 148d A análise do pórtico produz um empuxo de 217 kips para a esquerda E X E M P L O 1 4 5 Figura 148 a Dimensões do pórtico b estabelecimento do aspecto da linha de influên cia restrição horizontal removida pela substitui ção de um pino por um rolo as linhas tracejadas mostram a linha de influência c posição da carga para estabelecer o empuxo lateral máximo no sentido positivo para a direita d posição da carga para produzir o empuxo máximo no sentido negativo Dx B A C D E a 18 24 12 F b c 4113 343 kips w 3 kipsft w 3 kipsft d 2603 217 kips 90 588 Capítulo 14 Estruturas indeterminadas linhas de influência 145 Posicionamento da sobrecarga para maximizar as forças em prédios de vários andares Os códigos de construção especificam que os membros de prédios de vários andares devem ser projetados para suportar uma sobrecarga uni formemente distribuída assim como a carga permanente da estrutura e dos elementos não estruturais Os elementos não estruturais incluem paredes forros dutos tubulação luminárias etc Normalmente faze mos a análise da carga permanente e da sobrecarga separadamente Enquanto a carga permanente tem posição fixa a posição da sobrecarga deve ser variada para maximizar uma força específica em determinada seção Na maioria dos casos a maior força de sobrecarga em uma seção é produzida pelo carregamento alternado isto é a sobrecarga é colo cada sobre certos vãos ou partes de vãos mas não sobre outros vãos Usando o princípio de MüllerBreslau para construir linhas de influên cia qualitativas podemos estabelecer os vãos ou as partes de um vão que devem ser carregados para maximizar a força ou forças em seções de projeto críticas dos membros individuais Por exemplo para estabelecer o posicionamento do carregamento que maximize a força axial em uma coluna imaginamos que a capaci dade da coluna de transmitir carga axial é removida e um deslocamento axial é introduzido na estrutura Se quiséssemos determinar os vãos nos quais a sobrecarga deve ser colocada para maximizar a força axial na coluna AB da estrutura da Figura 149a desconectaríamos a coluna de seu apoio em A e introduziríamos um deslocamento vertical nesse ponto A forma defletida que é a linha de influência produzida por é mostrada pelas linhas tracejadas Como a sobrecarga deve ser posi cionada em todos os vãos nos quais as ordenadas da linha de influência são positivas devemos colocar a sobrecarga distribuída sobre o com primento inteiro de todas as vigas diretamente conectadas à coluna em todos os pisos acima dela ver Figura 149b Como todos os pisos se deslocam por uma mesma quantidade um valor de sobrecarga dado no terceiro ou no quarto piso o teto produz o mesmo incremento de carga axial na coluna AB que a carga posicionada no segundo piso isto é diretamente acima da coluna Além da carga axial o carregamento mostrado na Figura 149b produz momento na coluna Como a coluna é presa com pino em sua base o momento máximo ocorre no topo da coluna Se os comprimentos de vão das vigas ligadas em cada lado de uma coluna interna são aproximada mente os mesmos o caso normal o momento quase igual mas de direção oposta que cada viga aplica no nó diretamente no topo da coluna equili brará ou quase equilibrará Como o momento não equilibrado no nó é pequeno o momento na coluna também será pequeno Portanto no pro jeto preliminar de uma coluna interna o engenheiro pode dimensionar a coluna com exatidão considerando apenas a carga axial 589 Figura 149 Posicionamento do carregamento para maximizar as forças nas colunas a linha de influência da carga axial na coluna AB b posicionamento da sobrecarga para maximizar a força axial na coluna AB c linha de influência do momento na coluna AB d posição da sobrecarga para maximizar o momento na coluna AB e a força axial asso ciada ao momento máximo é aproximadamente metade da mostrada em b pois é neces sário um posicionamento tipo tabuleiro de damas para o carregamento A A A B F a 1 2 3 4 B A b F E D L A B C G H I J K c M M B D A d E F G C H I J K L 590 Capítulo 14 Estruturas indeterminadas linhas de influência Embora as forças produzidas pelo arranjo de carregamento da Figura 149b controlem as dimensões da maioria das colunas internas sob certas condições por exemplo uma grande diferença nos comprimentos de vãos adjacentes ou uma relação sobrecargacarga permanente alta talvez queiramos verificar se a capacidade da coluna também é adequada para o posicionamento de carregamento que maximiza o momento em vez da carga axial Para construir a linha de influência qualitativa do momento na coluna inserimos uma articulação na coluna imediatamente abaixo das vigas de piso no ponto B e então aplicamos um deslocamento rotacional nas extremidades da estrutura acima e abaixo da articulação ver Figura 149c Podemos imaginar que esse deslocamento é produzido pela aplicação de momentos de magnitude M na estrutura A forma defle tida correspondente é mostrada pela linha tracejada A Figura 149d mos tra o posicionamento tipo tabuleiro de damas da sobrecarga que maximiza o momento no topo da coluna Como esse arranjo é produzido pela carga aplicada em apenas uma viga por piso acima da coluna a carga axial associada ao momento máximo terá aproximadamente metade da intensi dade daquela associada ao carregamento da Figura 149b que maximiza a carga axial Como as magnitudes das ordenadas da linha de influência produzidas pelos momentos em B diminuem rapidamente com a distância da articulação a maior parte na ordem de 90 do momento de coluna em B é produzida pelo carregamento apenas do vão BD Portanto nor malmente podemos desprezar a contribuição para o momento em B mas não para a carga axial produzido pela carga em todos os vãos exceto BD Por exemplo a Seção 881 do American Concrete Institute Building Code que rege o projeto de prédios de concreto armado nos Estados Unidos especifica As colunas devem ser projetadas para resistir ao momento máximo de cargas ponderadas em um único vão adjacente do piso ou teto sob consideração Momentos produzidos pela carga permanente Além da sobrecarga devemos considerar as forças produzidas em uma coluna pela carga permanente que está presente em todo vão Se considerarmos os vãos BC e BD na Figura 149c podemos ver que a linha de influência é negativa no vão BC e positiva no vão BD A carga vertical no vão BD produz momentos na direção mostrada no esboço Por outro lado a carga no vão BC produz momento na direção oposta e reduz o momento produzido pela carga no vão BD Quando os vãos têm praticamente o mesmo comprimento nos dois lados de uma coluna interna o efeito líquido do carregamento dos vãos adjacentes é uma redução do momento da coluna para um valor insignificante Como as colunas externas são carregadas somente de um lado o momento nes sas colunas será muito maior do que o momento nas colunas internas mas a força axial será muito menor 591 Seção 145 Posicionamento da sobrecarga para maximizar as forças em prédios de vários andares Usando o princípio de MüllerBreslau construa as linhas de influên cia do momento positivo no centro do vão BC na Figura 1410a e do momento negativo na viga adjacente ao nó B Os pórticos têm nós rígidos Indique os vãos nos quais uma sobrecarga uniformemente distribuída deve ser posicionada para maximizar essas forças E X E M P L O 1 4 6 Figura 1410 Posicionamento de cargas uni formemente distribuídas para maximizar os momentos positivos e negativos em pórticos contínuos a linha de influência do momento positivo no meio do vão da viga BC b linha de influência do momento negativo na viga adjacente a uma coluna c detalhe da posição da articulação do pórtico em b Solução A linha de influência do momento positivo é construída na Figura 1410a por meio da inserção de uma articulação no meio do vão do membro BC e pela introdução de um deslocamento associado a um momento positivo A forma defletida mostrada pelas linhas tracejadas é a linha de influência Conforme indicado no esboço as ordenadas da linha de influência diminuem rapidamente nos dois lados do vão BC e a flexão das vigas no piso superior é pequena A linha de influência indica que em um prédio de vários andares a carga vertical também denominada carga gravitacional aplicada em um piso tem muito pouco efeito sobre os momentos gerados nos pisos adjacentes Além disso conforme observamos anteriormente os momentos gerados nas vigas de um piso em particular pelo carregamento de um vão diminuem rapi damente com a distância a partir do vão Portanto a contribuição para o momento positivo no vão BC por parte da carga no vão DE é pequena da ordem de 5 ou 6 daquele produzido pela carga na viga BC Para maximizar o momento positivo no vão BC posicionamos a sobre carga em todos os vãos nos quais a linha de influência é positiva A Figura 1410b mostra a linha de influência do momento negativo na viga e os vãos a serem carregados A Figura 1410c mostra um deta lhe do nó B para esclarecer a deformação introduzida na Figura 1410b Conforme discutido anteriormente a principal contribuição para o momento negativo na viga em B é produzida pela carga nos vãos AB e BC A contribuição para o momento negativo da carga no vão DE é pequena Reconhecendo que o momento negativo produzido em B pela carga nos outros pisos é pequeno posicionamos a carga distribuída nos vãos AB BC e DE para calcular o momento negativo máximo em B E D C F A B J I H G a E D C F A B J I H G b dx c coluna M M 592 Capítulo 14 Estruturas indeterminadas linhas de influência E X E M P L O 1 4 7 a Usando o princípio de MüllerBreslau expresso pela Equação 142 construa a linha de influência do momento no apoio C para a viga da Figura 1411a b Mostre os cálculos da ordenada da linha de influên cia no ponto B Dado EI é constante Figura 1411 Linha de influência de MC a viga mostrando o sentido positivo de MC b deslocamento aCC introduzido na estrutura liberada c viga conjugada carregada com o diagrama MEI d o momento na viga conjugada é igual à deflexão em B na estrutura real e linha de influência de MC RA R1 MB BC CC MC a b C B A 1 kip ft 1 L 1 L L 04L 04L 0168L 04L c d e L 6EI L 6EI 04L 3 L 3 04 EI RC L 3EI R L 2EI 1 EI 593 Seção 145 Posicionamento da sobrecarga para maximizar as forças em prédios de vários andares Solução a Suponha que o sentido positivo de MC é o horário como mos trado na Figura 1411a Produza a estrutura liberada introduzindo um apoio de pino em C Introduza um deslocamento rotacional em C aplicando um momento unitário na extremidade direita da viga como mostrado na Figura 1411b A forma defletida é a linha de influência de MC b Calcule a ordenada da linha de influência em B usando o método da viga conjugada para avaliar as deflexões na Equação 142 A Figura 1411c mostra a viga conjugada carregada pela curva MEI asso ciada ao valor unitário de MC da Figura 1411b Para determinar as reações da viga conjugada calculamos a resultante R do diagrama de carregamento triangular R 1 2 L 1 EI L 2EI Como a inclinação em C na estrutura liberada é igual às reações em C na viga conjugada calculamos RC somando os momentos sobre o rolo em A para ter aCC R C L 3EI Para calcular a deflexão em B avaliamos o momento na viga conju gada em B usando o corpo livre mostrado na Figura 1411d em que dBC 04L2 6EI 008L EI 04L 3 0336L2 6EI R1 área sob a curva M EI 1 2 04L 04 EI 008L EI dBC M B L 6EI 104L2 R1 04L 3 Avalie a ordenada da linha de influência no ponto B usando a Equa ção 142 MC dBC aCC 0336L2 6EI L 3EI 0168L A linha de influência que foi construída no Exemplo 141 ver Figura 141e é mostrada na Figura 1411e 594 Capítulo 14 Estruturas indeterminadas linhas de influência E X E M P L O 1 4 8 Usando o princípio de MüllerBreslau expresso pela Equação 142 construa a linha de influência da reação em B para a viga da Figura 1412a Avalie as ordenadas no meio do vão AB em B e em C Dado EI é constante Solução O sentido positivo de RB é para cima como mostrado na Figura 1412a A Figura 1412b mostra a estrutura liberada com um valor unitário de RB aplicado para introduzir o deslocamento que produz a linha de influência A linha de influência é mostrada pela linha trace jada Na Figura 1412c a viga conjugada da estrutura liberada é car regada pela curva MEI associada à estrutura liberada da Figura 1412b A inclinação na estrutura liberada dada pelo cortante na viga conjugada é mostrada na Figura 1412d Essa curva indica que a deflexão máxima na viga conjugada que ocorre onde o cortante é zero está localizada a uma pequena distância à direita do apoio B A deflexão da estrutura liberada representada pelo momento na viga conjugada é mostrada na Figura 1412e Para calcular as ordenadas da linha de influência usamos a Equação 142 RB dXB dBB da qual dBB 204EI e dXB são mostrados na Figura 1412e A linha de influência é mostrada na Figura 1412f Figura 1412 Linha de influência de RB usando o princípio de MüllerBreslau a dimensões da viga b estrutura liberada deslocada pelo valor unitário de RB c viga conjugada carregada pela curva MEI para carga em b d cortante na viga conjugada inclinação da estrutura libe rada e momento na viga conjugada deflexão da estrutura liberada f linha de influência de RB A B C D RB a articulação 12 6 9 MD 6 kip ft b 1 kip 1 kip 3 2 kip 3 c 24 EI RA 25 EI RC 16 EI 6 EI 12 EI 27 EI 4 EI 8 4 6 d 574 25 EI 1 EI 27 EI 11 EI 9 6 e 138 EI 204 EI 162 EI f 0676 100 0794 595 Seção 145 Posicionamento da sobrecarga para maximizar as forças em prédios de vários andares Para a treliça indeterminada mostrada na Figura 1413 construa as linhas de influência das reações em I e L e da força no membro DE da corda superior A treliça é carregada através dos nós da corda inferior e AE é constante para todos os membros Solução A treliça será analisada para uma carga de 1 kip em nós sucessivos Como a treliça é indeterminada no primeiro grau usamos o método das deformações consistentes para a análise Por causa da simetria precisa mos considerar apenas a carga unitária nos nós N e M São mostrados somente os cálculos da carga unitária no nó N Começamos estabelecendo as linhas de influência da reação RL no apoio central Após essa força ser estabelecida para cada posição da carga unitária todas as outras reações e forças de barra podem ser cal culadas pela estática Selecione RL como redundante A Figura 1413b mostra as forças de barra produzidas na estrutura liberada pela carga unitária no nó N A deflexão no apoio L é denotada por LN A Figura 1413c mostra as forças de barra e a deflexão vertical dLL no ponto L produzida por um valor unitário da redundante Como o apoio de rolo em L não se des loca a equação da compatibilidade é 1 LN dLLR L 0 em que a direção positiva dos deslocamentos é para cima Usando o método do trabalho virtual calculamos LN 2 1 LN a FPFQL AE Como AE é uma constante podemos fatorála no somatório 3 LN 1 AE a FPFQL 6418 AE do qual a quantidade FPFQL é avaliada na Tabela 141 ver coluna 5 Calcule dLL pelo trabalho virtual 4 1 kip dLL 1 AE a F 2 QL 17872 AE A quantidade F 2 Q L é avaliada na coluna 6 da Tabela 141 Substituindo os valores de LN e dLL acima na Equação 1 calcula mos RL R L 036 kip 6418 AE R L 17872 AE 0 E X E M P L O 1 4 9 continua 596 Capítulo 14 Estruturas indeterminadas linhas de influência B A C N D M F K G J H I E L RA RL RI a 6 15 90 20 b 5 8 5 6 1 2 1 2 1 4 1 4 1 8 0 0 0 1 6 5 8 3 8 3 8 LN 1 8 0 0 kip 1 6 1 6 1 6 kip 1 kip 5 6 5 24 5 24 5 24 25 24 5 24 5 24 c 3 8 1 2 3 4 3 4 3 4 3 4 3 8 0 1 0 1 2 3 8 9 8 9 8 LL 3 8 0 0 kip 1 2 1 2 1 2 kip 1 kip 1 2 5 8 5 8 5 8 5 8 5 8 5 8 d 1 067 067 036 036 e 001 0002 033 065 1 f 0015 0495 0225 compressão tração 0003 Figura 1413 a Detalhes da treliça b a carga unitária na estrutura libe rada produz as forças FP c o valor unitário da redundante RL produz as forças FQ d linha de influência de RL e linha de influência RI f linha de influência da força na corda supe rior FDE continuação 597 Seção 145 Posicionamento da sobrecarga para maximizar as forças em prédios de vários andares Se em seguida a carga unitária é movida para o nó M e os cálculos repetidos usando o método das deformações consistentes encontramos R L 067 kip A linha de influência de RL que é simétrica em relação à linha central da estrutura está desenhada na Figura 1413d Quando a carga unitária está no apoio L é transmitida para o apoio L assim RL 1 Agora as linhas de influência restantes podem ser construídas pelas equações da estática para cada posição da carga unitária A Figura 1413e mostra a linha de influência de RI Por causa da simetria a linha de influência de RA é a imagem invertida daquela de RI TABELA 141 Barra FP FQ L FQFPL F2 QL 1 2 3 4 5 6 AB 20 833 500 BC 15 352 211 CD 15 563 844 DE 15 563 844 EF 15 281 844 FG 15 281 844 GH 15 070 211 HI 20 167 500 IJ 0 0 15 0 0 JK 15 070 211 KL 15 633 1898 LM 15 633 1898 MN 15 352 211 NA 0 0 15 0 0 BN 25 1628 976 CN 20 167 500 CM 25 326 976 DM 0 0 20 0 0 EM 25 326 976 EL 0 1 20 0 2000 EK 25 326 976 FK 0 0 20 0 0 KG 25 326 976 GJ 20 167 500 JH 25 326 976 F2 QL 17872 FQFPL 6418 5 8 5 24 1 2 1 6 5 8 5 24 5 8 5 24 5 8 5 24 5 8 5 24 1 2 1 6 5 8 25 24 3 8 5 8 9 8 3 8 9 8 3 8 3 8 1 8 1 2 1 6 3 8 1 8 3 4 1 4 3 4 1 4 3 4 1 2 3 4 1 2 3 8 5 8 1 2 5 6 continua 598 Capítulo 14 Estruturas indeterminadas linhas de influência Como você pode ver as linhas de influência das forças de barra e reações da treliça são quase lineares Além disso como o número de nós entre os apoios é pequeno as treliças que são relativamente curtas e altas são muito rígidas Portanto as forças nos membros produzidas pelas cargas aplicadas são amplamente limitadas pelo vão no qual a carga atua Por exemplo a força axial na barra DE no vão esquerdo é praticamente zero quando a carga unitária se move para o vão LI ver Figura 1413f Se mais nós fossem adicionados em cada vão aumen tando a flexibilidade da estrutura as forças de barra produzidas em um vão adjacente por uma carga no outro vão seriam maiores Resumo Linhas de influência qualitativas para estruturas indeterminadas podem ser construídas usandose o princípio de MüllerBreslau apresentado anteriormente no Capítulo 8 Linhas de influência quantitativas podem ser geradas mais facilmente por meio de uma análise por computador na qual uma carga unitária é posicionada em intervalos de um quinze avos a um doze avos do vão de membros individuais Como alternativa à construção de linhas de influência o projetista pode colocar a carga móvel em posições sucessivas ao longo do vão e usar uma análise por computador para estabelecer as forças nas seções fundamentais As linhas de influência de estruturas indeterminadas são compostas de linhas curvas As linhas de influência de prédios de vários andares com pórticos contínuos Seção 145 esclarecem as cláusulas do código de construçãopadrão que especificam como as sobrecargas uniformemente distribuídas devem ser posicionadas nos pisos para obter os momentos máximos nas seções críticas continuação 599 Problemas Salvo indicação em contrário EI é constante para todos os problemas P141 Construa as linhas de influência da reação ver tical no apoio A e do momento no apoio C Avalie as ordenadas em intervalos de 6 pés da linha de influência EI é constante PrOBLEMAs A C B 18 24 MC RA P141 L 32 A RA B C D E L 32 8 6 P143 A C B 6 6 6 6 6 6 MA RA RB RC P144 10 10 60 kips 30 kips L 40 MA RA A B C P142 P142 a Usando distribuição de momentos construa as linhas de influência do momento e da reação vertical RA no apoio A da viga da Figura P142 Avalie as orde nadas da linha de influência nos pontos de um quarto do vão b Usando as linhas de influência das reações construa a linha de influência do momento no ponto B Calcule o valor máximo de RA produzido pelo conjunto de cargas de roda P143 Usando distribuição de momentos construa as linhas de influência da reação em A e do cortante e do momento na seção B Figura P143 Avalie as ordena das da linha de influência em intervalos de 8 pés nos vãos AC e CD e em E P144 Construa as linhas de influência de RA RB RC e dos momentos nos apoios A e B Avalie as ordenadas em intervalos de 6 pés EI é constante 600 Capítulo 14 Estruturas indeterminadas linhas de influência P145 a Desenhe as linhas de influência qualitativas 1 do momento na seção localizada no topo da coluna do primeiro piso BG e 2 da reação vertical no apoio C As colunas são espaçadas igualmente b Indique os vãos nos quais uma carga uniformemente distribuída deve ser colocada para maximizar o momento em uma seção no topo da coluna BG c Desenhe a linha de influência qualitativa do momento negativo em uma seção vertical através da viga de piso em E P146 a Desenhe a linha de influência qualitativa da reação no apoio A da viga da Figura P146 Usando dis tribuição de momentos calcule a ordenada da linha de influência na seção 4 b Desenhe a linha de influência qualitativa do momento em B Usando o método da viga conjugada ou da distribuição de momentos calcule a ordenada da linha de influência na Seção 8 EI é constante A B C D H G F E RC MG 1º piso 2º piso 3º piso teto pórtico rígido P145 5 6 30 3 6 18 A B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 P146 18 A B C D 24 6 articulação RA P147 P147 Construa as linhas de influência de RA e MC na Figura P147 usando o método de MüllerBreslau Avalie as ordenadas nos pontos A B C e D 601 Problemas P148 Análise por computador de viga de altura variável A viga mestra de ponte em con creto armado ligada à parede maciça nas extremi dades conforme mostrado na Figura P148 pode ser tratada como uma viga de extremidade fixa de altura variável a Construa as linhas de influência das reações RA e MA no apoio A Avalie as ordenadas em intervalos de 15 pés b Avalie o momento MA e a reação vertical RA na extremidade A produzidos pelo vagão de minério quando sua roda traseira de 30 kips está posicionada no ponto B E 3 000 kipspol2 A C D B 30 15 30 30 RA MA enchimento compacto enchimento compacto 30 k 20 k I 4000 pol4 I 6000 pol4 I 6000 pol4 P148 Ponte Bayonne um dos arcos de aço mais longos do mundo 1675 ft aproximadamente 510 m foi aberta ao tráfego em 1931 A foto mostra o pesado contraventamento em treliça no plano da corda superior usado para enrijecer os arcos laterais e transmitir a componente lateral das forças do vento para os apoios das extremidades dos arcos C A P Í T U L O Análise aproximada de estruturas indeterminadas 151 Introdução Até aqui utilizamos métodos exatos para analisar estruturas inde terminadas Esses métodos produzem uma solução estrutural que satisfaz o equilíbrio das forças e a compatibilidade das deformações em todos os nós e apoios Se uma estrutura é altamente indetermi nada uma análise exata por exemplo deformações consistentes ou inclinaçãodeflexão pode ser demorada Mesmo quando uma estru tura é analisada por computador a solução completa pode exigir muito tempo e esforço caso a estrutura contenha muitos nós ou sua geometria seja complexa Se os projetistas entendem o comportamento de uma estrutura em particular frequentemente podem utilizar uma análise aproxi mada para fazer uma boa estimativa com alguns cálculos simples da magnitude aproximada das forças em vários pontos da estrutura Em uma análise aproximada fazemos suposições de simplificação sobre a ação estrutural ou sobre a distribuição das forças em vários membros Essas suposições muitas vezes nos permitem avaliar as forças usando apenas as equações da estática sem considerar requi sitos de compatibilidade Embora os resultados de uma solução aproximada às vezes pos sam divergir em até 10 ou 20 dos de uma solução exata são úteis em certos estágios do projeto Os projetistas utilizam os resul tados de uma análise aproximada para os seguintes propósitos 1 Dimensionar os principais membros de uma estrutura durante a fase do projeto preliminar o estágio em que a configuração e as proporções iniciais da estrutura são estabelecidas Como a distribuição de forças em uma estrutura indeterminada é influenciada pela rigidez dos membros individuais o projetista deve fazer uma boa estimativa do tamanho dos membros antes que a estrutura possa ser analisada precisamente 15 604 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas 2 Verificar a precisão de uma análise exata Conforme você descobriu na solução dos problemas propostos os erros de cálculo são difíceis de eliminar na análise de uma estrutura Portanto é fundamental que o projetista sempre utilize uma análise aproximada para verificar os resultados de uma análise exata Se um erro grosseiro for cometido nos cálculos e a estrutura for dimensionada para forças pequenas demais ela poderá falhar A penalidade para uma falha estrutural é incalculável perda de vidas de investimento de reputação processos judiciais inconveniência para o público etc Por outro lado se uma estrutura for dimensionada para valores de força grandes demais ela será excessivamente dispendiosa Quando são necessárias suposições radicais para modelar uma estrutura complexa às vezes os resultados de uma análise exata do modelo simplifi cado não serão melhores do que os de uma análise aproximada Nessa situa ção o projetista pode basear o projeto na análise aproximada com um fator de segurança apropriado Os projetistas utilizam uma grande variedade de técnicas para realizar uma análise aproximada como 1 Supor a localização de pontos de inflexão em vigas contínuas e pórticos 2 Usar a solução de um tipo de estrutura para estabelecer as forças em outro tipo de estrutura cuja ação estrutural é semelhante Por exemplo as forças em certos membros de uma treliça contínua podem ser estimadas supondose que a treliça atua como uma viga contínua 3 Analisar parte de uma estrutura em vez da estrutura inteira Neste capítulo discutiremos métodos para fazer uma análise aproxi mada das seguintes estruturas 1 Viga e treliças contínuas para cargas verticais 2 Pórticos rígidos simples e pórticos de prédios de vários andares para cargas verticais e laterais 605 Seção 152 Análise aproximada para carga gravitacional em uma viga contínua 152 Análise aproximada para carga gravitacional em uma viga contínua Normalmente a análise aproximada de uma viga contínua é feita por meio de um dos dois métodos a seguir 1 Suposição da localização de pontos de inflexão pontos de momento zero 2 Estimativa dos valores dos momentos de extremidade da barra Método 1 Suposição da localização de pontos de inflexão Como o momento é zero em um ponto de inflexão o ponto onde a curvatura se inverte para os propósitos da análise podemos tratar um ponto de inflexão como se fosse uma articulação Em cada ponto de inflexão podemos escrever uma equação de condição isto é M 0 Portanto cada articulação que introduzimos em um ponto de inflexão reduz o grau de indeterminação da estrutura por 1 Adicionando articu lações em número igual ao grau de indeterminação podemos converter uma viga indeterminada em uma estrutura determinada que pode ser analisada pela estática Para servir como guia na localização da posição aproximada dos pon tos de inflexão em uma viga contínua observamos a posição dos pontos de inflexão dos casos idealizados mostrados na Figura 151 Então pode mos usar nosso parecer e modificar esses resultados para levar em conta as divergências das condições de extremidade reais em relação aos casos idealizados Para o caso de uma viga carregada uniformemente cujas extremida des são completamente fixas em relação à rotação ver Figura 151a os pontos de inflexão estão localizados a 021L a partir de cada extremi dade Se uma viga de extremidade fixa suporta uma carga concentrada em meio vão ver Figura 151b os pontos de inflexão estão localizados a 025L a partir de cada extremidade Se a viga está apoiada sobre um rolo ou pino a restrição da extremidade é zero ver Figura 151c Para esse caso os pontos de inflexão se deslocam para fora nas extremidades do membro As condições de apoio nas figuras 151a restrição total e 155c nenhuma restrição estabelecem o intervalo de posições nas quais um ponto de inflexão pode estar localizado Para o caso de uma viga carregada uniformemente fixa em uma extremidade e com apoio simples na outra o ponto de inflexão está localizado a uma distância 025L a partir do apoio fixo ver Figura 151d Como uma etapa preliminar na análise aproximada de uma viga con tínua talvez você ache útil desenhar um esboço da forma defletida para localizar a posição aproximada dos pontos de inflexão Os exemplos 151 e 152 ilustram o uso dos casos da Figura 151 para analisar vigas contí nuas pela suposição da localização dos pontos de inflexão 606 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas Figura 151 Localização de pontos de inflexão e diagramas de cortante e momento para vigas com várias condições de extremidade idealizadas w a 021L P I P I L 021L wL 2 wL 2 wL 2 wL 2 wL2 12 wL2 12 wL2 12 wL2 12 wL2 24 P I P I b P 2 P 2 025L 025L P 2 L 2 P 2 P PL 8 PL 8 PL 8 PL 8 PL 8 L 2 w c L wL 2 wL 2 wL 2 wL 2 wL2 8 d 025L 3 8 L L 025L PI wL2 8 wL2 8 9wL2 128 5wL 8 w 3wL 8 607 Seção 152 Análise aproximada para carga gravitacional em uma viga contínua Faça uma análise aproximada da viga contínua da Figura 152a supondo a localização de um ponto de inflexão E X E M P L O 1 5 1 Figura 152 a Viga contínua pontos de infle xão indicados com um ponto preto b corpos livres da viga em um ou outro lado do ponto de inflexão c diagramas de cortante e momento baseados na análise aproximada Nota uma análise exata fornece MC 1755 kip ft Solução A localização aproximada de cada ponto de inflexão está indicada por um pequeno ponto preto no esboço da forma defletida mostrada pela linha tracejada na Figura 152a Embora a viga contínua tenha um ponto de inflexão em cada vão precisamos supor a localização de ape nas um ponto pois a viga é indeterminada no primeiro grau Como a forma do vão mais longo AC provavelmente é desenhada com mais precisão do que a do vão mais curto vamos supor a posição do ponto de inflexão no primeiro vão Se o nó C não girasse a forma defletida do membro AC seria idên tica à da viga da Figura 151d e o ponto de inflexão estaria localizado a 025L à esquerda do apoio C Como o vão AC é mais longo do que o vão CE ele aplica um momento de extremidade fixa maior no nó C do que o vão CE Portanto o nó C gira no sentido antihorário A rotação do nó C faz o ponto de inflexão em B se deslocar à direita por uma pequena distância em direção ao apoio C Vamos supor arbitraria mente que o ponto de inflexão está localizado a 02LAC 48 pés à esquerda do apoio C Agora imaginamos que uma articulação é inserida no local do ponto de inflexão da viga e calculamos as reações usando as equações da estática A Figura 152b representa os resultados dessa análise Os diagramas de cortante e momento da Figura 152c mostram os resulta dos da análise aproximada a 24 48 18 w 3 kipsft A B C D E w 3 kipsft w 3 kipsft A B B C E b 192 18 48 288 kips 798 kips 174 kips 288 kips 288 kips 64 58 174 5046 1728 432 288 288 13824 288 366 momento kip ft cortante kips c B A B D E 608 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas E X E M P L O 1 5 2 Estime os valores de momento no meio do vão do membro BC assim como no apoio B da viga da Figura 153a Figura 153 a Viga contínua uniformemente carregada mostrando a suposta localização dos pontos de inflexão b corpos livres do vão central Solução Como a viga da Figura 153a é indeterminada no segundo grau devemos supor a localização de dois pontos de inflexão para analisar pelas equações da estática Como todos os vãos têm aproximadamente o mesmo comprimento e suportam a mesma carga a inclinação da viga nos apoios B e C será zero ou quase zero Portanto a forma defletida mostrada pela linha tracejada será semelhante à da viga de extremidade fixa da Figura 151a Podemos supor então que os pontos de inflexão se desenvolvem a uma distância de 02L 5 pés a partir de cada apoio Se imaginarmos que são inseridas articulações nos dois pontos de infle xão o segmento de 15 pés entre eles poderá ser analisado como uma viga com apoios simples Consequentemente o momento no meio do vão será igual a M wL2 8 215 2 8 5625 kip ft Tratando o segmento de viga de 5 pés entre a articulação e o apoio em B como uma viga em balanço calculamos o momento em B como MB 15 5 2 5 25 100 kip ft a b 20 w 2 kipsft w 2 kipsft A B B PI PI PI PI C D 25 20 MB R 10 kips 5 25 15 15 kips 15 kips 15 kips 609 Seção 152 Análise aproximada para carga gravitacional em uma viga contínua Método 2 Estimativa dos valores dos momentos de extremidade Como vimos em nosso estudo das vigas indeterminadas nos capítulos 12 e 13 os diagramas de cortante e momento dos vãos individuais de uma viga contínua podem ser construídos depois de estabelecidos os momentos de extremidade de membro A magnitude dos momentos de extremidade é uma função da restrição rotacional fornecida pelo apoio da extremidade ou pelos membros adjacentes Dependendo da magnitude da restrição rotacional nas extremidades de um membro os momentos de extremidade produzidos por uma carga uniforme podem variar de zero apoios simples em um extremo a wL28 uma extremidade fixa e a outra presa com pino no outro Para estabelecer a influência da restrição da extremidade sobre a mag nitude dos momentos positivos e negativos que podem se desenvolver em um vão de viga contínua podemos considerar novamente os vários casos mostrados na Figura 151 Examinando a Figura 151a e c observamos que os diagramas de cortante são idênticos para vigas carregadas unifor memente com condições de contorno simétricas Como a área sob o dia grama de cortante entre o apoio e o meio do vão é igual ao momento de viga simples wL28 podemos escrever 151 Ms Mc wL2 8 em que Ms é o valor absoluto do momento negativo em cada extremidade e Mc é o momento positivo no meio do vão Em uma viga contínua a restrição rotacional fornecida pelos membros adjacentes depende de como eles são carregados assim como de sua rigi dez à flexão Por exemplo na Figura 154a os vãos das vigas externas foram selecionados de modo que as rotações dos nós B e C fossem zero quando a carga uniforme atuasse em todos os vãos Sob essa condição os momentos no membro BC são iguais àqueles desenvolvidos em uma viga de extremidade fixa de mesmo vão ver Figura 154b Por outro lado se os vãos externos estão descarregados quando o vão central está carregado ver Figura 154c os nós em B e C giram e os momentos de extremidade são reduzidos em 35 Como a rotação nas extremidades aumenta a cur vatura em meio vão o momento positivo aumenta em 70 A mudança no momento no meio do vão associado à rotação da extremidade é duas vezes maior do que nos apoios pois os momentos iniciais supondo que começamos com as extremidades fixas e permitimos que os nós de extremidade girem nas extremidades são duas vezes maiores do que o momento no meio do vão Observamos também que a rotação das extre midades dos membros resulta nos pontos de inflexão movendose para fora em direção aos apoios de 021L2 para 0125L2 Vamos usar agora os resultados das figuras 151 e 154 para fazer uma análise aproximada da viga de vãos iguais carregada uniformemente mostrada na Figura 155 Como todos os vãos têm aproximadamente o mesmo comprimento e suportam carga uniforme todas as vigas terão con cavidade para cima no centro indicando um momento positivo em meio vão ou perto dele e concavidade para baixo indicando um momento nega tivo sobre os apoios 610 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas a 2 3 L1 B 0 C 0 L2 L2 L1 L1 w A B C D wL2 8 2 wL2 12 2 wL2 12 2 wL2 24 2 021L2 B 0 C 0 b L2 wL2 12 2 wL2 12 2 wL2 24 2 w B C C B c L1 L2 0125L2 L1 w wL2 8 2 17wL2 24 2 065wL2 12 2 065wL2 12 2 L w A B C D E F wL2 125 wL2 30 wL2 24 wL2 10 wL2 12 wL2 12 wL2 10 L L L L Figura 154 Figura 155 611 Seção 153 Análise aproximada para carga vertical em um pórtico rígido Começamos considerando o vão interno CD Como os momentos de extremidade aplicados em cada lado de um nó interno são praticamente iguais o nó não sofre nenhuma rotação significativa e a inclinação da viga nos apoios C e D será quase horizontal uma condição semelhante à da viga de extremidade fixa da Figura 151a portanto podemos supor que os momentos negativos nos apoios C e D são aproximada mente iguais a wL212 Além disso a Figura 151a mostra que o momento positivo no meio do vão CD será aproximadamente wL224 Para estimar os momentos no vão AB usaremos o diagrama de momento da viga da Figura 151d como guia Se o apoio em B fosse completamente fixo o momento negativo em B seria igual a wL28 Como ocorre alguma rotação do nó B no sentido antihorário o momento negativo diminuirá um pouco Supondo que ocorra uma redu ção de 20 no momento negativo estimamos que o valor de um momento negativo em B é igual a wL210 Após o momento negativo ser estimado a análise de um corpo livre do vão externo fornece um valor de momento positivo próximo ao meio vão igual a wL2125 De maneira semelhante os cálculos mostram que o momento positivo no vão BC é aproximadamente igual a wL230 O valor do cortante nas extremidades de uma viga contínua é influen ciado pela diferença nas magnitudes dos momentos de extremidade assim como pelo valor e pela posição da carga Se os momentos de extre midade são iguais e a viga é carregada simetricamente as reações de extremidade são iguais Na Figura 151 a maior diferença na magnitude das reações ocorre quando uma extremidade é fixa e a outra é presa com pino isto é quando 38wL vai para o apoio de pino e 58wL para o apoio fixo ver Figura 151d 153 Análise aproximada para carga vertical em um pórtico rígido O projeto das colunas e da viga de um pórtico rígido usado para suportar o teto de um ginásio esportivo ou de um armazém é controlado pelo momento Como a força axial nas colunas e na viga de um pórtico rígido normalmente é pequena pode ser desprezada sendo que em uma análise aproximada os membros são dimensionados para o momento A magnitude do momento negativo nas extremidades da viga em um pórtico rígido dependerá da rigidez relativa entre as colunas as pernas e a viga Normalmente as vigas são 4 ou 5 vezes mais longas do que as colunas Por outro lado o momento de inércia da viga frequentemente é muito maior do que o das colunas Como a rigidez relativa entre as pernas e a viga de um pórtico rígido pode variar muito o momento de extremidade na viga pode variar de 20 a 75 do momento de extre midade fixa Como resultado os valores do momento previstos por uma análise aproximada podem divergir consideravelmente dos valores de uma análise exata 612 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas Se os membros de um pórtico rígido carregado uniformemente forem construídos do mesmo tamanho a rigidez à flexão das pernas mais curtas será relativamente maior comparada à rigidez da viga Para essa condi ção podemos supor que a restrição rotacional fornecida pelas pernas produz um momento de extremidade em uma viga carregada uniforme mente da ordem de 70 a 85 do momento que ocorre em uma viga de extremidade fixa de mesmo vão ver Figura 151a Por outro lado se por motivos arquitetônicos o pórtico for construído com colunas rasas e uma viga alta a restrição rotacional fornecida pelas pernas flexíveis será pequena Para essa condição os momentos de extremidade que se desen volvem na viga podem ser da ordem de 15 a 25 daqueles que se desenvolvem em uma viga de extremidade fixa A Figura 156 mostra a variação de momento negativo na extremidade de uma viga fixa em C como uma função da relação entre os fatores de rigidez à flexão da coluna e da viga Um segundo procedimento para estimar os momentos em um pór tico é supor a localização dos pontos de inflexão os pontos de momen tos zero na viga Uma vez estabelecidos esses pontos as forças restan tes no pórtico podem ser determinadas pela estática Se as colunas forem rígidas e fornecerem uma grande restrição rotacional para a viga os pontos de inflexão estarão localizados praticamente na mesma posição daqueles de uma viga de extremidades fixas isto é cerca de 02L a partir de cada extremidade Por outro lado se as colunas forem flexíveis em relação à viga os pontos de inflexão se moverão na dire ção das extremidades Para esse caso o projetista poderia supor que o ponto de inflexão está localizado entre 01L e 015L a partir das extre midades O uso desse método para estimar as forças em um pórtico rígido está ilustrado no Exemplo 154 Como um terceiro método de determinação dos momentos em um pórtico rígido o projetista pode estimar a relação entre os momentos positivos e negativos na viga Normalmente os momentos negativos são 12 a 16 vez maiores do que os momentos positivos Como a soma dos momentos positivos e negativos em uma viga que suporta uma carga uniformemente distribuída deve ser igual a wL28 uma vez suposta a relação de momentos os valores dos momentos positivos e negativos são estabelecidos A B C Caso A LG LC w A B C Caso B LG LC w Caso A 0 1 2 porcentagem do momento de extremidade fixa em B 3 4 5 0 20 40 60 80 100 Caso B rigidez da coluna rigidez da viga IcLc IgLg Figura 156 Influência da rigidez da coluna no momento de extremidade no nó B em uma viga cuja extremidade distante é fixa Caso A base da coluna fixa caso B base da coluna presa com pino 613 Seção 153 Análise aproximada para carga vertical em um pórtico rígido Analise o pórtico simétrico da Figura 157a estimando os valores dos momentos negativos nos nós B e C As colunas e vigas são construí das com membros de mesmo tamanho isto é EI é constante E X E M P L O 1 5 3 Figura 157 a Pórtico simétrico com carga uniforme b corpo livre da viga e diagra mas de cortante e momento aproximados c corpo livre da coluna com valor estimado do momento de extremidade Solução Como as colunas mais curtas são muito mais rígidas do que as vigas mais longas a rigidez à flexão varia inversamente com o comprimento vamos supor que os momentos negativos nos nós B e C são iguais a 80 dos momentos de extremidade em uma viga de extremidades fixas de mesmo vão MB MC 08wL2 12 081242802 12 1024 kip ft Em seguida isolamos a viga Figura 157b e a coluna Figura 157c calculamos os cortantes de extremidade usando as equações da estática e desenhamos os diagramas de cortante e momento Uma análise exata da estrutura indica que o momento de extremidade na viga é 1 1136 kip ft e o momento no meio do vão é 806 kip ft a b 1024 896 1024 96 96 80 80 18 1024 kip ft 1024 kip ft cortante kips momento kip ft w 24 kipsft w 24 kipsft A D B C C B V 96 kips V 96 kips c 18 1024 kip ft 1024 kip ft B A 96 kips 569 kips 614 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas E X E M P L O 1 5 4 Estime os momentos no pórtico mostrado na Figura 158a supondo a localização dos pontos de inflexão na viga Figura 158 a Detalhes do pórtico b corpo livre da viga entre os pontos de inflexão Nota o diagrama de momento em unidade de kip ft é para a viga inteira o diagrama de cortante em unidades de kips é válido entre os pontos de inflexão c corpo livre da coluna AB Solução Se considerarmos a influência do comprimento e do momento de inércia sobre a rigidez à flexão das colunas e da viga observaremos que as colunas devido a um valor de I menor são mais flexíveis do que a viga Portanto vamos supor arbitrariamente que os pontos de inflexão na viga estão localizados a 012L a partir das extremidades da viga Calcule a distância L entre os pontos de inflexão na viga L L 012L 2 076L 456 ft Como o segmento da viga entre os pontos de inflexão atua como uma viga com apoios simples isto é os momentos são zero em cada extremidade o momento no meio do vão é igual a Mc wL2 8 24 456 2 8 6238 kip ft Resp Usando a Equação 151 calculamos os momentos de extremidade da viga Ms Ms 1080 6238 4562 kip ft Ms Mc wL2 8 24 1602 2 8 1080 kip ft Resp Os diagramas de momento da viga e da coluna são mostrados na Figura 158b e c O valor exato do momento nas extremidades da viga é 40464 kip ft a b c 4562 4562 5472 6238 cortante kips momento kip ft 5472 L 60 I 28000 I 4000 I 4000 PI PI PI PI 60 L 456 20 20 4562 kip ft 4562 kip ft w 24 kipsft w 24 kipsft A D B C B A 72 kips 228 kips 228 kips V 5472 kips V 5472 kips F 72 kips 615 Seção 154 Análise aproximada de uma treliça contínua 154 Análise aproximada de uma treliça contínua Conforme discutimos na Seção 41 a ação estrutural de uma treliça é semelhante à de uma viga ver Figura 159 As cordas da treliça que atuam como as mesas de uma viga transmitem o momento fletor e as diagonais da treliça que executam a mesma função da alma de uma viga transmitem o cortante Como o comportamento da treliça e da viga é semelhante podemos avaliar as forças em uma treliça tratandoa como viga em vez de usar o método dos nós ou seções Em outras palavras aplicamos as cargas de nó que atuam na treliça em uma viga imaginária cujo vão é igual ao da treliça e construímos diagramas de cortante e momento convencionais Igualando o conjugado interno MI produzido pelas forças nas cordas ao momento interno M na seção produzido pelas cargas externas e dado pelo diagrama de momento podemos calcular o valor aproximado da força axial na corda Por exemplo na Figura 159b podemos expressar o momento interno na seção 1 da treliça somando os momentos das forças horizontais que atuam na seção sobre o ponto o no nível da corda inferior produzindo MI Ch Definindo MI M e resolvendo a expressão acima para C temos 152 C M h Figura 159 Forças internas em a uma viga e b uma treliça A distância entre os cen troides das mesas é y e h é a distância entre os centroides das cordas M M y 1 P P V y C T T C a RA a 1 P P a RA Fy F MI h MI h em que C C T 0 b 616 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas em que h é igual à distância entre os centroides das cordas superiores e inferiores e M é igual ao momento na seção 1 da viga da Figura 159a Quando as cargas de nó que atuam sobre uma treliça têm magnitude igual podemos simplificar a análise da viga substituindo as cargas con centradas por uma carga uniforme w equivalente Para fazer esse cál culo dividimos a soma das cargas de nó pelo comprimento do vão L 153 w Pn L Se a treliça é longa em comparação à sua altura digamos a relação vãoaltura passa de 10 ou mais essa substituição deve ter pouca influência sobre os resultados da análise Usaremos essa substituição quando analisarmos uma treliça contínua como viga pois o cálculo de momentos de extremidade fixa para uma carga uniforme atuando ao longo de todo o vão é mais simples do que o cálculo dos momentos de extremidade fixa produzidos por uma série de cargas concentradas Continuando a analogia podemos calcular a força na diagonal de uma treliça supondo que a componente vertical da força Fy na diago nal é igual ao cortante V na seção correspondente da viga ver Figura 159 Para ilustrar os detalhes da analogia da viga e verificar sua preci são usaremos o método no Exemplo 155 para calcular as forças em vários membros da treliça determinada Então no Exemplo 156 usa remos o método para analisar a treliça indeterminada O Exemplo 155 mostra que as forças de barra em uma treliça determinada calculadas pela analogia da viga são exatas Esse resul tado ocorre porque a distribuição de forças em uma estrutura determi nada não depende da rigidez dos membros individuais Em outras palavras as forças em uma viga ou treliça determinada são calculadas pela aplicação das equações da estática em corpos livres da treliça Por outro lado as forças em uma treliça contínua serão influenciadas pelas dimensões dos membros de corda que correspondem às mesas de uma viga Como as forças nas cordas são muito maiores quando adjacentes a um apoio interno a seção transversal dos membros nesse local será maior do que aqueles entre o centro de cada vão e os apoios externos Portanto a treliça atuará como uma viga com momento de inércia variável Para ajustar a rigidez variável da viga equivalente em uma análise aproximada o projetista pode aumentar arbitrariamente por 15 ou 20 as forças produzidas pela análise da treliça como uma viga contínua de seção transversal constante nas cordas As for ças nas diagonais adjacentes aos apoios internos podem ser aumenta das em cerca de 10 O método será aplicado a uma treliça indeter minada no Exemplo 156 617 Seção 154 Análise aproximada de uma treliça contínua Analisando a treliça da Figura 1510a como uma viga calcule as forças axiais na corda superior membro CD no meio do vão e na dia gonal BK Compare os valores de força com aqueles calculados pelo método dos nós ou seções Solução Aplique as cargas que atuam nos nós inferiores da treliça a uma viga de mesmo vão e construa os diagramas de cortante e momento ver Figura 1510b Calcule a força axial no membro CD da treliça usando a Equação 152 ver Figura 1510c FCD C M h 810 12 675 kips MJ 0 Resp Calcule a força na diagonal BK Iguale o cortante de 30 kips entre BC à componente vertical Fy da força axial na barra BK ver Figura 1510d FBK 5 4 Fy 375 kips 30 kips Fy V Resp Os valores de força são idênticos àqueles produzidos por uma aná lise exata da treliça E X E M P L O 1 5 5 continua 618 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas Figura 1510 Análise de uma treliça pela analogia da viga a detalhes da treliça b cargas da treliça aplicadas em uma viga de mesmo vão c corpo livre da treliça cortado por uma seção vertical a uma distância infinitesimal à esquerda do meio vão d corpo livre da treliça cortado por uma seção vertical do painel BC A A B C D E F G B C D E F L K J I H G a b d c 6 9 54 h 12 M 810 kip ft 20 kips 20 kips 50 kips 50 cortante kips momento kip ft 30 10 810 50 kips 20 kips 20 kips 20 kips 20 kips 12 20 kips 20 kips 20 kips 20 kips A B C L K F T J A B L C Fy 30 kips V 30 kips FBK continuação 619 Seção 154 Análise aproximada de uma treliça contínua Estime as forças nas barras a b c e d da treliça contínua da Figura 1511 Solução A treliça será analisada como uma viga contínua de seção trans versal constante ver Figura 1511b Usando a Equação 153 con vertemos as cargas de nó em uma carga uniforme estaticamente equivalente E X E M P L O 1 5 6 Figura 1511 a Detalhes da treliça e cargas b viga carregada por uma carga uniforme equivalente c análise da viga em b pela dis tribuição de momentos momentos em kip ft d cálculo das reações usando diagramas de corpo livre das vigas e apoio em E D a b RD RE RF a 4 kips 6 12 72 1 2 8 12 96 h 15 C F E B A 8 kips 8 kips 8 kips 8 kips 8 kips 8 kips 8 kips 8 kips 8 kips 8 kips 8 kips 8 kips 8 kips 4 kips c d w kipft 2 3 D b L 72 L 96 F E momentos finais kip ft MEF D F E c 057 2880 2880 00 2880 1440 1915 6235 5120 2560 1445 6235 5120 5120 00 043 V 328 kips 328 kips 386 kips 6235 kip ft V 386 kips RD 152 kips RF 254 kips F RE 714 kips D 72 96 E d continua 620 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas 12 A e 4 kips 152 kips D 8 kips Fay Fa 1 A 12 15 1 f 4 kips 152 kips D 8 kips Fb w P L 8 kips 13 4 kips 2 72 96 2 3 kip ft Analise a viga pela distribuição de momentos ver detalhes na Figura 1511c Calcule as reações usando os corpos livres mostrados na Figura 1511d Para calcular as forças de barra passaremos seções verticais pela viga alternativamente depois de estabelecidas as reações podemos analisar a treliça diretamente Para a barra a ver corpo livre na Figura 1511e Fa 5 4 Fay 5 4 32 4 kips Fay 32 kips 25 1 4 8 Fay 0 c Fy 0 Resp Para a barra b some os momentos sobre o ponto 1 12 pés à direita do apoio D Figura 1511f Para a barra c Fc M h 6235 15 422 kips Momento no apoio central 6325 kip ft Fb 1344 15 tração de 896 kips arredondada para 9 kips 1152212 4 1122 15Fb 0 A M1 0 Resp Resp Para a barra c Fc M h 6235 15 422 kips Momento no apoio central 6325 kip ft Fb 1344 15 tração de 896 kips arredondada para 9 kips 1152212 41122 15Fb 0 A M1 0 Resp Resp Aumente arbitrariamente em 10 para levar em conta a maior rigidez das cordas adjacentes mais grossas no apoio central da tre liça real Fc 11 422 compressão de 464 kips Para a barra d considere um diagrama de corpo livre imediata mente à esquerda do apoio E cortado por uma seção vertical Aumente em 10 Fd 396 kips Fd 5 4 Fdy 5 4 12882 36 kips Fdy 288 kips 1tração2 s pik 25 1 4 kips 518 kips2 Fdy 0 c Fy 0 Resp Figura 1511 e Cálculo da força na barra diagonal f cálculo da força Fb continuação 621 Seção 155 Estimando deflexões de treliças 155 Estimando deflexões de treliças O trabalho virtual que exige a soma da energia de deformação em todas as barras de uma treliça é o único método disponível para cal cular valores exatos de deflexões de treliça Para verificar se as defle xões calculadas por esse método têm a ordem de grandeza correta podemos realizar uma análise aproximada da treliça tratandoa como uma viga e usando equações de deflexão de viga padrão como aquelas dadas na Figura 113 As equações de deflexão para vigas são deduzidas com a suposição de que todas as deformações são produzidas por momento Todas essas equações contêm o momento de inércia I no denominador Como normalmente são pequenas as deformações por cortante em vigas rasas são desprezadas Ao contrário do que acontece em uma viga as deformações dos membros verticais e diagonais de uma treliça contribuem para a defle xão total quase tanto quanto as deformações das cordas superiores e inferiores Portanto se usarmos uma equação de viga para prever a deflexão de uma treliça o valor será aproximadamente 50 a menos Consequentemente para levar em conta a contribuição dos membros de alma na deflexão da treliça o projetista deve duplicar o valor da deflexão dado por uma equação de viga O Exemplo 157 ilustra o uso de uma equação de viga para estimar a deflexão de uma treliça O valor do momento de inércia I na equação de viga é baseado na área das cordas no meio do vão Se as áreas de corda são menores nas extremidades da treliça onde a magnitude das forças é menor o uso das propriedades de meio vão superestima a rigidez da treliça e produz valores de deflexão menores do que os valores reais 622 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas Estime a deflexão no meio do vão da treliça da Figura 1512 tra tandoa como uma viga de seção transversal constante A treliça é simétrica em relação a um eixo vertical no meio do vão A área das cordas superiores e inferiores nos quatro painéis centrais é de 6 pol2 A área de todas as outras cordas é igual a 3 pol2 A área de todas as dia gonais é igual a 2 pol2 a área de todas as verticais é igual a 15 pol2 Além disso E 30 000 kipspol2 E X E M P L O 1 5 7 Figura 1512 Solução Calcule o momento de inércia I da seção transversal no meio do vão Baseie seu cálculo na área das cordas superiores e inferiores Despre zando o momento de inércia da área da corda sobre seu próprio cen troide Ina avaliamos I com a equaçãopadrão ver seção 11 2 6 60 2 43200 pol 4 I Ina Ad 2 Calcule a deflexão no meio do vão ver equação na Figura 113d 085 pol 60 180 122 3 48 130000 2 143200 2 PL3 48EI Duplique para levar em conta a contribuição dos membros de alma treliça estimado 2 2 085 17 pol Resp A solução pelo trabalho virtual que leva em conta a área reduzida das cordas em cada extremidade e a contribuição real das diagonais e verticais na deflexão fornece treliça 207 pol A B C J D I E H F G 8 10 80 60 kips 1 CL 1 10 Seção 11 A 6 pol2 A 6 pol2 60 60 623 Seção 156 Treliças com diagonais duplas 156 Treliças com diagonais duplas Treliças com diagonais duplas são comuns como sistemas estrutu rais As diagonais duplas são normalmente incorporadas nos tetos e paredes de prédios e nos sistemas de piso de pontes para estabilizar a estrutura ou para transmitir cargas laterais de vento ou outras por exemplo balanço de trens para os apoios da extremidade Cada painel que contém uma diagonal dupla adiciona 1 grau de indeterminação à treliça portanto para fazer uma análise aproximada o projetista deve fazer uma suposição por painel Se as diagonais são feitas de perfis estruturais pesados e têm rigidez à flexão suficiente para resistir à flambagem podese supor que o cor tante em um painel se divide igualmente entre as diagonais A resistên cia à flambagem é uma função do índice de esbeltez do membro o comprimento dividido pelo raio de giração da seção transversal assim como da restrição fornecida pelos apoios extremos O Exemplo 158 ilustra a análise de uma treliça na qual as duas diagonais atuam Se as diagonais são esbeltas construídas de barras de aço de diâmetro pequeno ou de perfis estruturais leves o projetista pode supor que elas só transmitem tração e se deformam sob compressão Como a inclinação de uma diagonal determina se ela atua em tração ou compressão o projetista deve estabelecer a diagonal em cada painel que está atuando e supor que a força na outra diagonal é zero Como o vento ou outras forças laterais podem atuar em uma ou outra direção transversal os dois conjuntos de diagonais são fundamentais O Exem plo 159 ilustra a análise de uma treliça com diagonais em tração 624 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas Analise a treliça indeterminada da Figura 1513 As diagonais em cada painel são idênticas e têm resistência e rigidez suficientes para suportar cargas em tração ou em compressão E X E M P L O 1 5 8 Figura 1513 a Treliça com duas diagonais atuando b corpo livre da treliça cortada pela seção 11 c corpo livre da treliça cortada pela seção 22 Todas as forças de barra em unidades de kips Solução Passe uma seção vertical 11 através do primeiro painel da treliça cortando o corpo livre mostrado na Figura 1513b Suponha que cada diagonal transmite metade do cortante no painel 120 kips produzidos pela reação no apoio H Como a reação é para cima a componente vertical da força em cada diagonal deve atuar para baixo e ser igual a 60 kips Para ser coerente com esse requisito o membro AG deve estar em tração e o membro BH em compressão Como a força de barra resultante é 5 3 da componente vertical a força em cada barra é igual a 100 kips Em seguida passamos a seção 22 através do painel de extremidade à direita A partir do somatório das forças na direção vertical observa mos que um cortante de 60 kips atuando para baixo é necessário no painel para equilibrar a reação à direita portanto a componente vertical da força em cada diagonal é igual a 30 kips atuando para baixo Consi derando a inclinação das barras calculamos uma força de tração de 50 kips no membro DF e uma força de compressão de 50 kips no membro CE Se considerarmos um corpo livre da treliça à direita de uma seção vertical através do painel central observaremos que o cortante de dese quilíbrio é de 60 kips e que as forças nas diagonais atuam na mesma direção daquelas mostradas na Figura 1513c Após as forças em todas as diagonais serem avaliadas as forças nas cordas e verticais são calcu ladas pelo método dos nós Os resultados finais estão resumidos na Figura 1513a a 1 RH 120 kips RE 60 kips 180 kips H A B G F C D E 60 90 30 0 100 100 50 50 50 50 80 80 120 120 40 40 1 2 2 3 20 60 15 b H 1 120 kips A 1 FBH 100 kips V 60 kips FAG 100 kips c D E 2 2 60 kips V 30 kips FDF 50 kips FCE 50 kips 625 Seção 156 Treliças com diagonais duplas Barras de pequeno diâmetro formam os membros diagonais da treliça da Figura 1514a As diagonais podem transmitir tração mas se deformam se forem comprimidas Analise a treliça para as cargas mostradas Solução Como a treliça é determinada externamente calculamos primeiro as reações Em seguida passamos seções verticais através de cada painel e estabelecemos a direção das forças internas nas barras diagonais necessárias para o equilíbrio vertical do cortante em cada painel Em seguida as diagonais de tração e compressão são identificadas con forme discutido no Exemplo 158 as diagonais de compressão são indicadas pelas linhas tracejadas na Figura 1514b Como as diagonais de compressão se deformam o cortante inteiro em um painel é atribuído à tração diagonal e a força nas diagonais de compressão é definida igual a zero Uma vez identificadas as diagonais de compressão a treliça pode ser analisada pelos métodos dos nós ou seções Os resultados da análise estão mostrados na Figura 1514b E X E M P L O 1 5 9 Figura 1514 a Treliça com diago nais de tração b valores de forças de barra em kips diagonais de compres são indicadas pelas linhas tracejadas a b 3 kips 2 kips 2 kips 2 kips 4 4 3 1 0 1 3 0 4 4 5 0 0 5 0 0 0 4 20 80 15 3 kips R 3 kips R 3 kips 2 kips 2 kips 2 kips 5 3 5 3 5 1 3 5 1 3 626 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas 157 Análise aproximada para carga gravitacional de um pórtico rígido de vários pavimentos Para estabelecer um conjunto de diretrizes visando a estimar a força nos membros de pórticos de vários pavimentos altamente indeterminados com nós rígidos examinaremos os resultados de uma análise por compu tador do pórtico de prédio de concreto armado simétrico da Figura 1515 A análise por computador considera a rigidez axial e a flexão de todos os membros As dimensões e propriedades dos membros no pórtico repre sentam aquelas normalmente encontradas em pequenos prédios de escri tórios ou apartamentos Neste estudo todas as vigas do pórtico suportam uma carga uniforme w 43 kipsft para simplificar a discussão Na prá tica os códigos de construção permitem ao engenheiro reduzir os valores de sobrecarga nos pisos inferiores por causa da baixa probabilidade de que os valores máximos de sobrecarga venham a atuar simultaneamente em todos os pisos em determinado momento 24 15 12 12 12 I L K M N O J A B C D E H G F 24 Forças em vigas de piso A Figura 1516 mostra o cortante o momento e a força axial em cada uma das quatro vigas no vão esquerdo do pórtico da Figura 1515 Todas as forças são expressas em unidades de kips e todos os momentos em unidades de kip ft As vigas são mostradas na mesma posição relativa que ocupam no pórtico isto é a viga superior está localizada no teto a seguinte no quarto piso etc Observamos em cada viga que o momento é maior na extremidade direita onde as vigas se conectam na coluna interna do que na extremidade esquerda onde as vigas se conectam na coluna externa Os momentos maiores se desenvolvem à direita porque o nó interno que não gira atua como um apoio fixo O nó interno não gira porque os momentos aplicados pelas vigas em cada lado do nó têm mag nitude igual e direção oposta ver setas curvas na Figura 1518b Por Figura 1515 Dimensões e propriedades dos membros de um pórtico de prédio de vários anda res carregado verticalmente Propriedades dos membros Membro A pol2 I pol4 Colunas externas 100 1000 Colunas internas 144 1728 Vigas 300 6000 627 Seção 157 Análise aproximada para carga gravitacional de um pórtico rígido de vários pavimentos Figura 1516 Corpos livres de vigas de piso mostrando as forças de uma análise exata a teto b quarto piso c terceiro piso d segundo piso carga em kip ft forças em kips e momentos em kip ft outro lado nos nós externos onde as vigas se ligam somente a um lado da coluna o nó externo sujeito a um momento não equilibrado girará no sentido horário Quando o nó gira o momento na extremidade esquerda da viga diminui e o momento na extremidade direita aumenta devido ao momento de transmissão Portanto o momento negativo no primeiro apoio interno sempre será maior do que o momento de extremi dade fixa Para vigas carregadas uniformemente o momento negativo no primeiro apoio interno normalmente variará entre wL29 e wL210 À medida que a flexibilidade da coluna externa aumenta os momentos na viga se aproximam daqueles mostrados na Figura 151d O momento de 707 kip ft na extremidade externa da viga de teto da Figura 1516a é menor do que o momento externo nas vigas de piso abaixo pois a viga de teto é restringida por uma única coluna no nó E enquanto as vigas de piso são restringidas por duas colunas isto é uma abaixo e uma acima do piso Duas colunas aplicam duas vezes a restrição rotacional de uma coluna supondo que elas tenham as mesmas dimen sões e condições de extremidade Na Figura 1516d o momento no nó B da segunda viga de piso é menor do que nas vigas de piso superiores pois a coluna inferior que é presa com pino em sua base e tem 15 pés de com primento é mais flexível do que as colunas mais curtas dos pisos supe riores que são fletidas em curvatura dupla E F a w 43 kipsft 1109 V 435 M 707 L 24 1109 V 597 M 264 D G b w 43 kipsft 197 V 464 M 1172 197 V 568 M 2417 C H c w 43 kipsft 082 V 461 M 1129 082 V 571 M 2458 B I d w 43 kipsft 82 V 444 M 875 82 V 588 M 2612 628 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas Também observamos que as reações e consequentemente os diagra mas de cortante e momento das vigas do terceiro e quarto pisos são apro ximadamente os mesmos pois elas têm vãos e cargas idênticos e são suportadas por colunas de mesmo tamanho Portanto se projetarmos as vigas para um piso típico os mesmos membros poderão ser usados em todos os outros pisos típicos Como as dimensões das colunas que supor tam os pisos inferiores de prédios altos têm seções transversais maiores do que as dos pisos superiores onde as cargas de coluna são menores sua rigidez à flexão é maior do que a das colunas menores Como resultado o momento externo nas vigas de piso aumentará à medida que a rigidez das colunas diminuir Esse efeito que frequentemente é moderado geral mente é desprezado na prática Estimando valores de cortante de extremidade em vigas Como os momentos de extremidade nas vigas na Figura 1516 são maiores à direita do que na extremidade esquerda os cortantes de extre midade não são iguais A diferença nos momentos de extremidade reduz o cortante produzido pela carga uniforme na extremidade esquerda e o aumenta na extremidade direita Uma boa estimativa para todas as vigas externas vigas que se conectam a uma coluna externa é supor que 45 da carga uniforme total wL é transmitida para a coluna externa e 55 para a coluna interna Se uma viga se estende entre duas colunas inter nas os cortantes são aproximadamente iguais nas duas extremidades isto é V wL2 Cargas axiais em vigas Embora forças axiais se desenvolvam em todas as vigas por causa do cortante nas colunas as tensões produzidas por essas forças são peque nas e podem ser desprezadas Por exemplo a tensão axial que é maior nas vigas de teto produzida por 1109 kips ver Figura 1516a é de cerca de 37 psi Cálculo dos valores aproximados do cortante e do momento em vigas de piso Os cortantes e momentos que se desenvolvem a partir de cargas gravi tacionais aplicadas nas vigas de um piso típico são devido quase inteira mente às cargas que atuam diretamente nesse piso Portanto podemos fazer uma boa estimativa dos momentos nas vigas de piso analisando um piso individual em vez do prédio inteiro Para determinar o cortante e o momento em um piso do pórtico da Figura 1515 analisaremos um pórtico composto das vigas de piso e das colunas agregadas O pórtico utilizado para analisar as vigas de teto é mostrado na Figura 1517a A Figura 1517b mostra o pórtico utilizado para analisar as vigas do terceiro piso Normalmente supomos que as extremidades das colunas são fixas no ponto em que se ligam aos pisos acima ou abaixo do piso que está sendo analisado por exemplo essa é a suposição especificada na seção 89 do 629 Seção 157 Análise aproximada para carga gravitacional de um pórtico rígido de vários pavimentos American Concrete Institute Building Code Como a rotação dos nós internos é pequena essa suposição parece razoável Por outro lado como os nós externos em cada nível de piso giram na mesma direção as colunas externas são fletidas em curvatura dupla ver Figura 1518c Conforme estabelecemos na Figura 1312c a rigidez à flexão de um membro fletido em curvatura dupla é 50 maior do que a de um membro fixo em uma extremidade Como resultado os valores de momento nas colunas exter nas de uma análise aproximada dos pórticos da Figura 1517a e b serão muito menores do que aqueles produzidos por uma análise que considere o pórtico do prédio inteiro a menos que o engenheiro aumente arbitraria mente a rigidez das colunas externas por um fator de 15 Como os proprietários de prédios frequentemente querem que as colunas externas sejam as menores possíveis por motivos arquitetônicos colunas pequenas são mais fáceis de ocultar em paredes externas e Figura 1517 Análise aproximada de vigas em pórtico para carga vertical todos os valores de momento em kip ft a pórtico rígido com posto de vigas de teto e colunas agregadas b pórtico rígido composto de vigas de piso e colu nas agregadas c momentos gerados pelo des locamento diferencial de nós internos e externos esses momentos não são incluídos na análise aproximada a b M M O E M M c 2064 1548 516 w 43 kipsft w 43 kipsft 24 516 413 413 075 1 2 2064 774 2838 2064 1238 826 1 2 2064 619 2683 12 D G F E N B I L C H F M D G N O 24 w 43 kipsft 025 06 02 02 x 630 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas simplificam os detalhes da parede a suposição de extremidade fixa para colunas é mantida como padrão no projeto de edificações de con creto armado A análise dos pórticos da Figura 1517 é feita pela distribuição de momentos Como o deslocamento lateral produzido pelas cargas gravi tacionais é zero se a estrutura e a carga são simétricas ou muito pequeno em outros casos em uma análise aproximada desprezamos os momentos produzidos pelo deslocamento lateral Os detalhes da distri buição de momentos são mostrados nas figuras Como a estrutura é simétrica podemos supor que o nó central não gira e o tratamos como um apoio fixo Portanto somente metade do pórtico precisa ser anali sada Os momentos produzidos pela análise dos pórticos consultar Tabela 151 são muito parecidos com os valores mais exatos da análise por computador Se a rigidez das colunas externas excluindo a coluna AB que tem a extremidade presa com pino for aumentada em 50 a diferença entre os valores exatos e aproximados será da ordem de 5 ou 6 ver última coluna da Tabela 151 Nas vigas de teto a maior parte da diferença entre os valores apro ximados e exatos dos momentos é devido ao deslocamento diferencial na direção vertical dos nós da extremidade A coluna interna sofre uma deformação axial maior do que as colunas externas pois ela suporta mais de duas vezes a carga mas tem uma área apenas 44 maior A Figura 1517c mostra a deformação e a direção dos momentos de extre midade de membro produzidos nas vigas de teto pelo deslocamento diferencial das extremidades das vigas O efeito uma função do comprimento da coluna é maior no piso superior e diminui em dire ção à parte inferior da coluna Na análise por computador as propriedades dos membros área e momento de inércia são baseadas na área total da seção transversal dos membros uma suposiçãopadrão Se a influência da área de reforço de aço sobre a rigidez axial fosse considerada pela transforma TABELA 151 Comparação entre valores exatos e aproximados de momento de extremidade de viga todos os momentos em kip ft Análise aproximada Curvatura dupla flexão coluna externa rigidez aumentada em 50 Extremidades de colunas supostamente fixas Fig 1517 Análise exata Fig 1516 Momento MEF 707 516 688 MFE 2640 2836 2752 MCH 1129 826 1032 MHC 2458 2683 2580 631 Seção 157 Análise aproximada para carga gravitacional de um pórtico rígido de vários pavimentos ção do aço mais rígido em concreto equivalente a diferença nas defor mações axiais das várias colunas seria eliminada em grande medida Como os momentos causados nas vigas pelas deformações axiais dife renciais das colunas normalmente são pequenos são desprezados em uma análise aproximada Forças axiais em colunas As cargas aplicadas nas colunas de cada piso são produzidas pelos cortantes e momentos nas extremidades das vigas Na Figura 1518a as setas na extremidade de cada viga indicam a força cortantes de extremi dade nas vigas aplicada na coluna pelas extremidades da viga a carga uniformemente distribuída de 43 kipsft atuando em todas as vigas não é mostrada na figura por clareza A força axial F na coluna em qualquer nível é igual à soma dos cortantes de viga acima desse nível Como a força axial nas colunas varia com o número de pisos suportados as cargas de coluna aumentam quase linearmente com o número de pisos suporta dos Frequentemente os engenheiros aumentam o tamanho da seção transversal da coluna ou utilizam materiais de maior resistência para suportar as cargas maiores nas seções inferiores de colunas de vários pavimentos As forças axiais nas colunas internas que transmitem a carga das vigas em cada lado normalmente são mais de duas vezes maiores do que as das colunas externas a não ser que o peso da parede externa seja grande ver Figura 1518a Os momentos aplicados pelas extremidades das vigas nas colunas do pórtico de prédio são mostrados na Figura 1518b Como têm o mesmo comprimento e suportam o mesmo valor de carga uniforme as vigas ligadas à coluna interna aplicam valores de momentos de extre midade iguais em um nó interno da coluna Uma vez que os momentos Figura 1518 Resultados da análise por computa dor do pórtico da Figura 1515 a força axial kips nas colunas gerada pelas reações das vigas que suportam uma carga uniformemente distri buída de 43 kipsft b momentos kip ft aplicados nas colunas pelas vigas esses momentos se dividem entre as colunas superiores e inferiores c dia grama de momento da coluna externa kip ft Nota os momentos não são acumulativos como acontece com a carga axial a 4355 F 4355 F 8996 F 13602 F 18038 5965 5965 4641 5679 5679 4606 5714 5714 4436 5884 5884 F 1193 F 23288 F 34716 F 46484 b 707 264 264 1172 2417 2417 1129 2458 2458 875 2612 2612 c 614 549 625 261 580 547 707 632 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas em cada lado da coluna atuam em direções opostas o nó não gira Como resultado nenhum momento fletor é criado na coluna interna Portanto quando fazemos uma análise aproximada de uma coluna interna consideramos somente a carga axial Se considerássemos o carregamentopadrão da sobrecarga isto é a carga total colocada sobre o vão mais longo e a carga permanente no vão mais curto ligado às laterais de uma coluna um momento se desenvolveria na coluna mas a carga axial seria reduzida Mesmo que as vigas não tenham o mesmo comprimento ou suportem valores de carga diferentes os momentos causados em uma coluna interna serão pequenos e normalmente podem ser desprezados em uma análise aproximada Os momentos são pequenos pelos seguintes motivos 1 O momento não equilibrado aplicado à coluna é igual à diferença entre os momentos de viga Embora os momentos possam ser gran des a diferença nos momentos normalmente é pequena 2 O momento não equilibrado é distribuído para as colunas acima e abaixo do nó assim como para as vigas em cada lado do nó proporcionalmente à rigidez à flexão de cada membro Como a rigidez das vigas frequentemente é igual ou maior do que a rigidez das colunas o incremento do momento não equilibrado distribuído para uma coluna interna é pequeno Momentos em colunas externas produzidos por cargas gravitacionais A Figura 1518b mostra os momentos aplicados pelas vigas em cada piso nas colunas internas e externas Nas colunas externas esses momentos contidos pelas colunas acima e abaixo de cada piso exceto quanto ao teto onde existe somente uma coluna fletem a coluna em curvatura dupla produzindo o diagrama de momento mos trado na Figura 1518c Examinando o diagrama de momento podemos chegar às seguintes conclusões 1 Os momentos não aumentam nos pisos inferiores 2 Todas as colunas externas exceto a coluna inferior que está presa com pino na base estão fletidas em curvatura dupla e um ponto de inflexão se desenvolve próximo à meia altura da coluna 3 O maior momento se desenvolve no topo da coluna que suporta a viga de teto pois o momento inteiro na extremidade da viga é aplicado a uma única coluna Nos pisos inferiores o momento aplicado pela viga no nó é contido por duas colunas 4 A seção mais altamente tensionada em um segmento de coluna entre os pisos ocorre na parte superior ou na parte inferior isto é a carga axial é constante por todo o comprimento da coluna mas o momento máximo ocorre em uma das extremidades 633 Seção 157 Análise aproximada para carga gravitacional de um pórtico rígido de vários pavimentos Usando uma análise aproximada estime as forças axiais e os momentos nas colunas BG e HI do pórtico da Figura 1519a Desenhe também os diagramas de cortante e momento da viga HG Suponha que para todas as colunas externas I é igual a 833 pol4 para as colunas internas I é igual a 1 728 pol4 e para todas as vigas I é igual a 5 000 pol4 Os números circulados representam linhas de coluna E X E M P L O 1 5 1 0 Figura 1519 a Pórtico de prédio b aná lise aproximada do segundo piso pela distri buição de momentos para estabelecer os momentos nas vigas e colunas somente um ciclo utilizado pois os momentos de transmis são são pequenos momentos em kip ft Solução Carga axial na coluna HI Suponha que 45 da carga uniforme nas vigas PO e IJ são transmitidos para a coluna externa FHI 045 w1L w2L 045 2 20 3 20 45 kips Resp M L E D C B F G A H I P 3 4 20 14 11 11 w1 2 kipsft a Teto 3º piso 2º piso b w2 3 kipsft w3 4 kipsft K J N O 2 22 1 20 373 147 43 17 CL 1333 813 520 1694 46 407 1333 1613 20 1633 A B H G I J 028 011 061 034 013 016 037 continua 634 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas Carga axial na coluna BG Suponha que 55 da carga das vigas exter nas no lado esquerdo da coluna e 50 da carga das vigas internas no lado direito da coluna são transmitidos para a coluna 198 kips FBG 05532 1202 3 1202 4 1202 4 0532 1222 3 1222 4 1222 4 Resp Calcule os momentos nas colunas e na viga HG analisando o pórtico da Figura 1519b pela distribuição de momentos Suponha que as extre midades das colunas acima do piso são fixas Como o pórtico é simétrico modifique a rigidez da viga central e analise metade da estrutura Além disso aumente a rigidez da coluna HI em 50 para levar em conta a flexão de curvatura dupla Os resultados da análise são mostrados na Figura 1520 Como os momentos de extremidade são aproximadamente iguais nas duas extremidades de uma coluna o momento no topo da coluna HI também pode ser considerado igual ao valor de 373 kip ft na parte inferior Figura 1520 Resultados da análise aproximada do pórtico a coluna HI b coluna BG c diagramas de cortante e momento da viga HG I H a b c 20 45 kips 45 kips 3413 4587 cortante kips 9356 52 1694 momento kip ft V 3413 kips V 4587 kips 373 373 G H w 4 kipsft B G 198 kips 198 kips M 17 kip ft M 373 kip ft momento kip ft 373 kip ft M 52 kip ft M 1694 kip ft 853 continuação 635 Seção 158 Análise para carga lateral em pórticos não contraventados 158 Análise para carga lateral em pórticos não contraventados Embora estejamos interessados principalmente nos métodos aproxi mados de análise de pórticos não contraventados de vários pavimentos com nós rígidos iniciaremos nossa discussão com a análise de um pórtico não contraventado retangular simples de um pavimento A análise dessa estrutura simples 1 fornecerá uma compreensão de como as forças late rais tensionam e deformam um pórtico rígido e 2 introduzirá as suposi ções básicas necessárias para a análise aproximada de pórticos mais complexos de vários pavimentos As cargas laterais nos prédios normal mente são produzidas pelo vento ou por forças de inércia geradas pelos movimentos do solo durante um terremoto Quando as cargas gravitacionais são muito maiores do que as cargas laterais os projetistas dimensionam o pórtico de um prédio inicialmente para cargas gravitacionais Então o pórtico resultante é examinado para várias combinações de cargas gravitacionais e laterais conforme especi ficado pelo código de construção governante Como vimos na Seção 157 exceto quanto às colunas externas as cargas gravitacionais produzem principalmente força axial em colunas Como as colunas transmitem carga axial em tensão direta eficientemente seções transversais relativamente pequenas são capazes de suportar gran des valores de carga axial além disso os projetistas tendem a usar seções de coluna compactas por motivos arquitetônicos Uma seção compacta é mais fácil de esconder em um prédio do que uma seção maior Como a seção compacta tem rigidez à flexão menor do que uma seção maior frequentemente a rigidez à flexão de uma coluna é relativamente pequena comparada à sua rigidez axial Como resultado valores de carga lateral pequenos a moderados contidos principalmente pela flexão das colunas produzem deslocamentos laterais significativos em pórticos não contra ventados de vários pavimentos Portanto como regra geral os engenhei ros experientes fazem todo o esforço para evitar o projeto de pórticos de prédio não contraventados que precisem resistir a cargas laterais Em vez disso eles incorporam pilaresparede ou contraventamentos diagonais no sistema estrutural para transmitir as cargas laterais eficientemente Na Seção 159 descreveremos os procedimentos para avaliar a força pro duzida por cargas laterais em pórticos de prédio de vários andares não con traventados Esses procedimentos incluem os métodos do portal e da viga em balanço O método do portal é considerado melhor para prédios baixos diga mos cinco ou seis andares nos quais o cortante é contido pela flexão de curvatura dupla das colunas Para prédios mais altos o método da viga em balanço que considera que o pórtico do prédio se comporta como uma viga em balanço vertical produz os melhores resultados Embora os dois métodos produzam estimativas razoáveis das forças nos membros de um pórtico de prédio nenhum deles fornece uma estimativa das deflexões laterais Como as deflexões laterais podem ser grandes em prédios altos também deve ser feito um cálculo da deflexão como parte de um projeto completo Análise aproximada de um pórtico com apoios sobre pinos O pórtico rígido da Figura 1521a suportado por pinos em A e D é inde terminado no primeiro grau Para analisar essa estrutura devemos fazer uma Figura 1521 a Pórtico carregado lateralmente b reações e diagramas de momento o ponto de inflexão ocorre no meio do vão da viga A D B P C Ax Ay Dy Dx Ph 2 a b h L Ph 2 Ph 2 Ph 2 P 2 P 2 Ph L Ph L 636 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas suposição sobre a distribuição das forças Se as pernas do pórtico são idên ticas a rigidez à flexão dos dois membros é idêntica os dois membros também têm a mesma restrição de extremidade Como a carga lateral se divide proporcionalmente à rigidez à flexão das colunas podemos supor que a carga lateral se divide igualmente entre as colunas produzindo reações horizontais iguais a P2 na base Uma vez feita essa suposição as reações verticais e as forças internas podem ser calculadas pela estática Para calcular a reação vertical em D somamos os momentos sobre A Figura 1521a Dy Ph L c Ph DyL 0 A MA 0 Calcule Ay Ay Dy 0 e Ay Dy Ph L T c Fy 0 Os diagramas de momento dos membros são mostrados na Figura 1521b Como o momento no meio do vão da viga é zero ocorre ali um ponto de inflexão e a viga flexiona em curvatura dupla A forma defletida é mostrada pela linha tracejada na Figura 1521a Análise aproximada de um pórtico cujas colunas são fixas na base Se a base das colunas em um pórtico rígido for fixa em relação à rota ção as pernas flexionarão em curvatura dupla ver Figura 1522 Nas colunas a posição do ponto de inflexão depende da relação da rigidez à flexão da viga com a da coluna O ponto de inflexão nunca estará locali zado abaixo da meia altura da coluna e mesmo assim esse limite inferior só é teoricamente possível quando a viga é infinitamente rígida À medida que a rigidez da viga se reduz em relação à rigidez da coluna o ponto de inflexão se move para cima Para um pórtico típico o projetista pode supor que o ponto de inflexão está localizado a uma distância de aproxi madamente 60 da altura da coluna acima da base Na prática é difícil construir um apoio fixo pois a maioria das fundações não é completa mente rígida Se o apoio fixo girar o ponto de inflexão se elevará Como o pórtico da Figura 1522 é indeterminado no terceiro grau devemos fazer três suposições sobre a distribuição das forças e a locali zação dos pontos de inflexão Uma vez feitas essas suposições a magni tude aproximada das reações e das forças nos membros pode ser calcu lada pela estática Se as colunas têm tamanho idêntico podemos supor que a carga lateral se divide igualmente entre elas produzindo reações horizontais na base e cortantes em cada coluna iguais a P2 Conforme discutimos anteriormente podese supor que os pontos de inflexão nas colunas se desenvolvem a 60 06 da altura da coluna acima da base Por fim embora não seja realmente necessário para uma solução se forem usadas as três primeiras suposições podemos supor que um ponto de inflexão se desenvolve no meio do vão da viga Essas suposições são utilizadas para analisar o pórtico do Exemplo 1511 90 90 PI PI PI L A D B P C h Figura 1522 Um pórtico rígido carregado late ralmente com colunas de extremidade fixa 637 Seção 158 Análise para carga lateral em pórticos não contraventados Estime as reações na base do pórtico da Figura 1523a produzidas pela carga horizontal de 4 kips no nó B As colunas são idênticas 9 R 4 kips M 18 kip ft M 18 kip ft 2 kips 2 kips 2 kips 2 kips 2 kips 2 kips P 4 kips a 12 12 12 12 18 18 c b B A C D 40 15 6 40 06 kip 06 kip 06 kip 06 kip E A D PI PI 06 kip 06 kip Figura 1523 a Dimensões do pórtico b corpos livres acima e abaixo dos pontos de inflexão nas colunas forças em kips e momentos em kip ft c diagrama de momento kip ft Solução Suponha que a carga de 4 kips se divide igualmente entre as duas colunas produzindo cortantes de 2 kips em cada coluna e reações horizontais de 2 kips em A e D Suponha que os pontos de inflexão PI em cada coluna estejam localizados a 06 da altura da coluna ou 9 pés acima da base Corpos livres do pórtico acima e abaixo dos pontos de inflexão estão mostrados na Figura 1523b Conside rando o corpo livre superior somamos os momentos sobre o ponto de inflexão na coluna da esquerda ponto E para calcular uma força axial F 06 kip na coluna da direita Em seguida invertemos as forças nos pontos de inflexão do corpo livre superior e as aplicamos nos segmentos da coluna inferior Então usamos as equações da estática para calcular os momentos na base MA MD 2 kips 9 ft 18 kip ft E X E M P L O 1 5 1 1 638 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas 159 Método do portal Sob carga lateral os pisos de pórticos de vários pavimentos com nós rígidos defletem horizontalmente à medida que as vigas e colunas flexio namse em curvatura dupla Se desprezarmos as pequenas deformações axiais das vigas podemos supor que todos os nós de determinado piso defletem lateralmente pela mesma distância A Figura 1524 mostra as deformações de um pórtico de dois pavimentos Os pontos de inflexão momento zero denotados por pequenos círculos escuros estão localiza dos nos pontos centrais ou próximos deles de todos os membros A figura também mostra diagramas de momento típicos de colunas e vigas momentos plotados no lado da compressão O método do portal um procedimento que visa a estimar forças em membros de pórticos de vários pavimentos carregados lateralmente é baseado nas três suposições a seguir 1 Os cortantes nas colunas internas são duas vezes maiores do que os cortantes nas colunas externas 2 Um ponto de inflexão ocorre em meia altura de cada coluna 3 Um ponto de inflexão ocorre em meio vão de cada viga A primeira suposição reconhece que as colunas internas normalmente são maiores do que as colunas externas pois suportam carga maior Nor malmente as colunas internas suportam cerca de duas vezes mais área de piso do que as colunas externas Contudo as colunas externas também suportam a carga de paredes externas além das cargas de piso Se as áreas de janela são grandes o peso das paredes externas é mínimo Por outro lado se as paredes externas são construídas de alvenaria pesada e as áreas de janela são pequenas as cargas suportadas pelas colunas externas podem ter magnitude semelhante àquela suportada pelas colunas internas Sob essas condições talvez o projetista queira modificar a distribuição de cortante especificada na suposição 1 O cortante distribuído para colunas que suportam um piso em particular será proporcional aproximadamente à sua rigidez à flexão EIL Como todas as colunas que suportam determinado piso têm o mesmo comprimento e supostamente são construídas do mesmo material sua rigidez à flexão será proporcional ao momento de inércia da seção trans Figura 1524 Forma defletida do pórtico rígido pontos de inflexão mostrados no centro de todos os membros por meio de pontos pretos P2 P1 M M 639 Seção 159 Método do portal versal Portanto se as seções transversais das colunas puderem ser esti madas provavelmente o projetista queira distribuir os cortantes propor cionalmente aos momentos de inércia das colunas A segunda suposição reconhece que as colunas em pórticos carrega dos lateralmente flexionamse em curvatura dupla Como os pisos acima e abaixo de uma coluna normalmente têm tamanho semelhante eles apli cam aproximadamente a mesma restrição nas extremidades superiores e inferiores de cada coluna Portanto os pontos de inflexão se desenvolve rão em meia altura das colunas ou próximo disso Se as colunas do piso inferior são conectadas em pinos a coluna fle xionase em curvatura simples Para esse caso o ponto de inflexão momento zero está na base A última suposição reconhece que os pontos de inflexão ocorrem no meio do vão das vigas ou próximo dele em pórticos carregados lateral mente Como o cortante é constante por todo o comprimento a viga fle xionase em curvatura dupla e os momentos em cada extremidade têm a mesma magnitude e atuam no mesmo sentido Observamos esse compor tamento anteriormente nas vigas das figuras 1521 e 1522 As etapas da análise de um pórtico rígido de vários pavimentos pelo método do portal estão descritas a seguir 1 Passe uma seção imaginária entre quaisquer dois pisos através das colunas em sua meia altura Como a seção passa pelos pontos de inflexão de todas as colunas somente cortante e carga axial atuam no corte O cortante total distribuído para todas as colunas é igual à soma de todas as cargas laterais acima do corte Suponha que o cortante nas colunas internas seja duas vezes maior do que o cortante nas colunas externas a não ser que as propriedades das colunas indiquem que alguma outra distribuição de forças é mais apropriada 2 Calcule os momentos nas extremidades das colunas Os momentos de extremidade de coluna são iguais ao produto do cortante da coluna pela altura de meio pavimento 3 Calcule o momento na extremidade das vigas considerando o equilíbrio dos nós Comece com um nó externo e prossiga sistematicamente através do piso considerando corpos livres das vigas e nós Como se supõe que todas as vigas têm um ponto de inflexão em meio vão os momentos em cada extremidade de uma viga são iguais e atuam no mesmo sentido horário ou antihorário Em cada nó os momentos nas vigas equilibram os das colunas 4 Calcule o cortante em cada viga dividindo a soma dos momentos de extremidade da viga pelo comprimento do vão 5 Aplique os cortantes da viga nos nós adjacentes e calcule a força axial nas colunas 6 Para analisar um pórtico inteiro comece no topo e resolva para baixo O procedimento é ilustrado no Exemplo 1512 640 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas Analise o pórtico da Figura 1525a usando o método do portal Suponha que as placas de base reforçadas nos apoios A B e C produ zem extremidades fixas Solução Passe a seção horizontal 1 ver número no círculo pelo meio da fileira de colunas que suportam o teto e considere o corpo livre superior mostrado na Figura 1525b Estabeleça o cortante em cada coluna igua lando a carga lateral acima do corte 3 kips no nó L à soma dos cortan tes de coluna V1 representa o cortante nas colunas externas e 2V1 é igual ao cortante na coluna interna 3 V1 2V1 V1 0 e V1 075 kip S Fx 0 Calcule os momentos nos topos das colunas multiplicando as for ças de cortante nos pontos de inflexão por 6 pés a altura de meio pavimento Os momentos aplicados pela coluna nos nós superiores são mostrados pelas setas curvas A reação do nó na coluna é igual e oposta Isole o nó L ver Figura 1525c Calcule FLK 225 kips somando as forças na direção x Como o momento da viga deve ser igual e oposto ao momento na coluna por causa do equilíbrio MLK 45 kip ft Tanto VL como FLG são calculados depois que o cortante na viga LK é calculado ver Figura 1525d Aplique valores de FLK e MLK iguais e de direção oposta no corpo livre da viga da Figura 1525d Como o cortante é constante ao longo de todo o comprimento e se supõe que um ponto de inflexão está localizado em meio vão o momento MKL na extremidade direita da viga é igual a 45 kip ft e atua no sentido horário na extremidade da viga Observamos que todos os momentos de extremidade em todas as vigas em todos os níveis atuam na mesma direção no sentido horário Calcule o cor tante na viga somando os momentos sobre K VL M L 45 45 24 0375 kip Retorne ao nó L Figura 1525c Como a carga axial na coluna é igual ao cortante na viga FLG tração de 0375 kip Passe para o nó K ver Figura 1525e e use as equações de equilíbrio para avaliar todas as forças desconhecidas que atuam no nó Isole a próxima fileira de vigas e colunas entre as seções 1 e 2 ver Figura 1525f Avalie os cortantes nos pontos de inflexão das colunas ao longo da seção 2 V2 2 kips 3 5 4V2 0 S Fx 0 E X E M P L O 1 5 1 2 641 2 1 24 12 12 12 a A F G L B E H K C D V total 3 5 8 kips V total 3 kips V 1 075 kip 2V 1 15 kip V 1 075 kip V 2 2 kips V 1 075 kip 3 kips 5 kips PI PI 5 kips 6 3 kips 45 kip ft 9 kip ft 45 kip ft I J L K J 24 6 6 24 b 075 kip FLG 0375 kip VL 0375 kip VL 0375 kip 0375 kip 5 kips 0375 kip VK 0375 kip 0375 kip L G H I K K FLK MKL 45 kip ft MKL 45 kip ft M 45 kip ft MLK 45 kip ft 45 kip ft 165 kip ft 165 kip ft 12 kip ft 2V 2 4 kips 2V 1 15 kip 0 kip 0 kip 9 kip ft 24 kip ft MLK 45 kip ft 3 kips 225 kips 225 kips 225 kips 075 kip M 45 kip ft L c 15 kip F 0 kip M 9 kip ft e d f 24 24 6 6 165 kip ft 165 kip ft V 2 2 kips V 1 075 kip 0375 kip 45 kip ft 12 kip ft Seção 159 Método do portal Figura 1525 Análise pelo método do portal a Detalhes do pórtico rígido b corpo livre do teto e das colunas cortado pela seção 1 que passa pelos pontos de inflexão das colunas c corpo livre do nó L forças em kips e momentos em kip ft d corpo livre da viga LK usado para calcular os cortantes nas vigas e corpo livre do nó K f corpo livre do piso e das colu nas localizado entre as seções 1 e 2 em a momentos em kip ft continua 642 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas Avalie os momentos aplicados nos nós G H e I multiplicando o cortante pelo comprimento de meia coluna ver setas curvas Come çando com um nó externo G por exemplo calcule as forças nas vigas e as cargas axiais nas colunas seguindo o procedimento utili zado anteriormente para analisar o piso superior Os valores finais de cortante carga axial e momento são mostrados no esboço do prédio na Figura 1526 Figura 1526 Resumo da análise do portal As setas indicam a direção das forças apli cadas nos membros pelos nós Inverta as forças para mostrar a ação dos membros nos nós As forças axiais estão rotuladas com um C para compressão e com um T para ten são Todas as forças em kips todos os momentos em kip ft 0375 kip 075 kip 075 kip 45 kip ft 45 kip ft 225C 45 kip ft 45 kip ft 0375 kip 0375 kip 45 kip ft 45 kip ft 1375 kip 2625 kips 4 kips 2 kips 2 kips 325 kips 325 kips 4 kips 1375 kip 1375 kip 2 kips 2 kips 165 kip ft 165 kip ft 24 kip ft 39 kip ft 39 kip ft 12 kip ft 12 kip ft 24 kip ft 12 kip ft 12 kip ft 375C 165 kip ft 165 kipft 2625 kips 315 kip ft 195 kip ft 195 kip ft 315 kip ft 315 kip ft 375C 075C 125C 125C 315 kip ft 195 kip ft 195 kip ft 15 kip 15 kip 9 kip ft 0 0375C 0375T 0 175C 175T 0 4375C 4375 kips 4375 kips 325 kips 325 kips 4375T 9 kip ft 075 kip 075 kip 45 kip ft 45 kip ft 0 kip C B A F G L H I D K J E 1375 kip 2625 kips 2625 kips 65 kips 65 kips continuação 643 Seção 159 Método do portal Análise de uma viga Vierendeel O método do portal também pode ser usado para a análise aproximada de uma viga Vierendeel ver Figura 1527a Em uma viga desse tipo as diagonais são omitidas para fornecer uma área retangular clara e aberta entre as cordas e verticais Quando as diagonais são removidas uma parte significativa da ação da viga é perdida isto é as forças não são mais transmitidas exclusivamente pela geração de forças axiais nos membros A força cortante que deve ser transmitida através das cordas superiores e inferiores gera momentos fletores nesses membros Como a principal função dos membros verticais é fornecer um momento de resistência nos nós para equilibrar a soma dos momentos aplicados pelas cordas eles são mais fortemente tensionados Para a análise da viga Vierendeel supomos que 1 as cordas supe riores e inferiores têm o mesmo tamanho e portanto o cortante se divide igualmente entre as cordas e 2 todos os membros flexionamse em curvatura dupla e um ponto de inflexão se desenvolve no meio do vão No caso da viga de quatro painéis simetricamente carregada da Figura 1527 nenhum momento fletor se desenvolve no membro verti cal em meio vão pois ele fica no eixo de simetria A forma defletida é mostrada na Figura 1527d Para analisar uma viga Vierendeel pelo método do portal passamos seções verticais pelo centro de cada painel através dos pontos de infle xão nos quais M 0 Então estabelecemos o cortante e as forças axiais nos pontos de inflexão Uma vez conhecidas as forças nos pontos de inflexão todas as outras forças podem ser calculadas pela estática Os detalhes da análise estão ilustrados no Exemplo 1513 644 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas E X E M P L O 1 5 1 3 Faça uma análise aproximada da viga Vierendeel da Figura 1527 usando as suposições do método do portal Figura 1527 a Detalhes da viga Vierendeel b corpo livre usado para estabelecer as forças nos pontos de inflexão do primeiro painel c corpo livre para calcular as forças nos pontos de inflexão do segundo painel d forma defletida pontos de inflexão denotados por pontos pretos momentos que atuam nas extre midades do membro indicados por setas cur vas cortantes e forças axiais em kips momen tos em kip ft Estrutura simétrica em relação à linha central A B C J D I E F H G a 1 1 2 9 kips 9 kips 2 4 12 48 6 kips 6 kips 6 kips 10 10 6 A B b c 1 1 9 kips FBC 54 kips FAJ 54 kips 45 kips 45 kips FCD 126 kips FJI 126 kips 15 kip 15 kip 6 A B C J 2 9 kips 2 18 6 kips d 9 kips 9 kips 6 kips 6 kips 6 kips 27 27 9 3C 3C 126C 126T 45C 54T 54C 54 54 9 9 15 15 15 72 72 45 45 45 45 15 9 27 27 27 36 36 27 645 Seção 159 Método do portal Solução Como a estrutura é determinada externamente as reações são calcu ladas pela estática Em seguida a seção 11 é passada pelo centro do primeiro painel produzindo o corpo livre mostrado na Figura 1527b Como a seção passa pelos pontos de inflexão nas cordas nenhum momento atua nas extremidades dos membros no corte Supondo que o cortante é igual em cada corda o equilíbrio na direção vertical exige que forças cortantes de 45 kips se desenvolvam para equilibrar a reação de 9 kips no apoio A Em seguida somamos os momentos sobre um eixo através do ponto de inflexão inferior na intersecção da seção 11 com o eixo longitudinal da corda inferior para calcular uma força axial de 54 kips em compressão na corda superior 96 FBC10 0 FBC 54 kips A M 0 O equilíbrio na direção x estabelece que uma força de tração de 54 kips atua na corda inferior Para avaliar as forças internas nos pontos de inflexão do segundo painel cortamos o corpo livre mostrado na Figura 1527c passando a seção 22 pelo ponto central do segundo painel Como antes dividimos o cortante não equilibrado de 3 kips entre as duas cordas e calculamos as forças axiais nas cordas somando os momentos sobre o ponto de inflexão inferior 918 66 FCD10 0 FCD 126 kips A M 0 Os resultados da análise são mostrados no esboço da forma defletida na Figura 1527d Os momentos aplicados pelos nós nos membros estão na metade esquerda da figura Os cortantes e as forças axiais na metade direita Graças à simetria as forças são idênticas nos membros corres pondentes em um ou outro lado da linha central Um estudo das forças na viga Vierendeel da Figura 1527d indica que a estrutura atua parcialmente como uma treliça e parcialmente como uma viga Como os momentos nas cordas são produzidos pelo cortante eles são maiores nos painéis de extremidade onde o cortante tem seu valor máximo e menores nos painéis em meio vão onde existe o cortante mínimo Por outro lado como parte do momento produzido pelas cargas aplicadas é contida pelas forças axiais nas cordas a força axial é máxima nos painéis centrais onde o momento produzido pelas cargas de painel é máximo 646 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas 1510 Método da viga em balanço O método da viga em balanço um segundo procedimento para esti mar forças em pórticos carregados lateralmente é baseado na suposi ção de que um pórtico de prédio se comporta como uma viga em balanço Nesse método supomos que a seção transversal da viga ima ginária é composta das áreas da seção transversal das colunas Por exemplo na Figura 1528b a seção transversal da viga imaginária cor tada pela seção AA consiste nas quatro áreas A1 A2 A3 e A4 Em qualquer seção horizontal através do pórtico supomos que as tensões longitudinais nas colunas assim como aquelas em uma viga variam linearmente a partir do centroide da seção transversal As forças nas colunas geradas por essas tensões constituem o conjugado interno que equilibra o momento de tombamento produzido pelas cargas late rais O método da viga em balanço assim como o método do portal presume que pontos de inflexão se desenvolvem no meio de todas as vigas e colunas Para analisar um pórtico pelo método da viga em balanço executa mos os passos a seguir 1 Corte corpos livres de cada andar junto com as metades superiores e inferiores das colunas incorporadas Os corpos livres são cortados passandose seções pelo meio das colunas a meio caminho entre os pisos Como as seções passam pelos pontos de inflexão somente forças axiais e cortantes atuam em cada coluna nesse ponto 2 Avalie a força axial em cada coluna nos pontos de inflexão de determinado andar igualando os momentos internos produzidos pelas forças de coluna ao momento produzido por todas as cargas laterais acima da seção 3 Avalie os cortantes nas vigas considerando o equilíbrio vertical dos nós O cortante nas vigas é igual à diferença das forças axiais nas colunas Comece em um nó externo e prossiga lateralmente pelo pórtico 4 Calcule os momentos nas vigas Como o cortante é constante o momento da viga é igual a MG V L 2 5 Avalie os momentos de coluna considerando o equilíbrio dos nós Comece com os nós externos do piso superior e prossiga para baixo 6 Estabeleça os cortantes nas colunas dividindo a soma dos momentos de coluna pelo comprimento da coluna 7 Aplique os cortantes de coluna nos nós e calcule as forças axiais nas vigas considerando o equilíbrio das forças na direção x Os detalhes do método são ilustrados no Exemplo 1514 Figura 1528 a Pórtico carregado lateralmente b corpo livre do pórtico cortado pela seção AA tensões axiais nas colunas s1 a s4 com variação linear presumida a partir do centroide das quatro áreas de coluna 1 3 4 2 P3 P4 P5 P2 P1 a A A P3 PI PI PI PI P4 P5 F1 A1 A2 A3 A4 MA F4 F2 F3 b eixo do centroide tensões A A 647 Seção 1510 Método da viga em balanço Use o método da viga em balanço para estimar as forças no pórtico carregado lateralmente mostrado na Figura 1529a Suponha que a área das colunas internas é duas vezes maior do que a área das colunas externas E X E M P L O 1 5 1 4 Figura 1529 Análise pelo método da viga em balanço a pórtico contínuo sob carga lateral b corpo livre do teto e colunas incor poradas cortados pela seção 11 tensão axial nas colunas com variação linear presumida com relação à distância do centroide das qua tro áreas de coluna Solução Estabeleça as forças axiais nas colunas Passe a seção 11 pela estru tura em meia altura das colunas do piso superior O corpo livre acima da seção 11 é mostrado na Figura 1529b Como o corte passa pelos pontos de inflexão somente cortante e força axial atuam nas extremida des de cada coluna Calcule o momento na seção 11 produzido pela força externa de 4 kips em A Some os momentos sobre o ponto z loca lizado na intersecção do eixo de simetria com a seção 11 1 Momento externo Mext 4 kips 6 ft 24 kip ft Calcule o momento interno na seção 11 produzido pelas forças axiais nas colunas A variação suposta da tensão axial nas colunas é mostrada na Figura 1529b Denotaremos arbitrariamente a tensão axial a b 4 kips 24 24 24 12 12 24 24 12 6 6 8 12 16 1 1 1 1 1 A A A B C D A B C D z 2A 2A 3 3 tensões axiais áreas de coluna F1 3 A F2 1 2A F3 1 2A F4 31 A 8 kips 8 kips 4 kips 2 2 3 3 1 1 6 1 H G F E I J K L P O N M continua 648 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas nas colunas internas como s1 Como a tensão nas colunas tem variação linear presumida a partir do centroide das áreas a tensão nas colunas externas é igual a 3s1 Para estabelecer a força axial em cada coluna multiplicamos a área de cada coluna pela tensão axial indicada Em seguida calculamos o momento interno somando os momentos das forças axiais nas colunas sobre um eixo que passa pelo ponto z 2 Mint 36F1 12F2 12F3 36F4 Expressando as forças na Equação 2 em termos da tensão s1 e das áreas de coluna podemos escrever 3 264s1A Mint 3s1A 36 2s1A 12 2s1A 12 3s1A 36 Igualando o momento externo dado pela Equação 1 ao momento interno dado pela Equação 3 encontramos 24 264s1A s1A 1 11 Substituindo o valor de s1A nas expressões de força de coluna temos F2 F3 2s1A 2 11 0182 kip F1 F4 3s1A 3 11 0273 kip Calcule a força axial nas colunas do segundo piso Passe a seção 22 pelos pontos de inflexão das colunas do segundo piso e considere o corpo livre da estrutura inteira acima da seção Calcule o momento na seção 22 produzido pelas cargas externas 4 Mext 4 kips 12 6 8 kips 6 120 kip ft Calcule o momento interno na seção 22 produzido pelas forças axiais nas colunas Como a variação da tensão nas colunas cortadas pela seção 22 é a mesma ao longo da seção 11 ver Figura 1529b o momento interno em qualquer seção pode ser expresso pela Equa ção 3 Para indicar que as tensões atuam na seção 22 mudaremos o subscrito na tensão para 2 Igualando os momentos internos e exter nos encontramos Figura 1530 a Corpo livre do nó A usado inicialmente para estabelecer VAB 0273 kip b corpo livre da viga AB usado para estabe lecer os momentos de extremidade na viga c corpo livre da coluna usado para calcular o cortante Todos os momentos expressos em kip ft e todas as forças em kips 0546 0273 3454 VAB 0273 328 4 kips 328 A a 3454 3454 A B VAB 0273 VBA 0273 328 328 b 0273 12 0273 328 328 VAH 0546 VAH 0546 A H c continuação 649 Seção 1510 Método da viga em balanço As forças axiais nas colunas são F2 F3 2s2A 10 11 091 kip F1 F4 3s2A 15 11 1364 kip 120 kip ft 264s2A s2A 5 11 Para encontrar as forças axiais nas colunas do primeiro piso passe a seção 33 pelos pontos de inflexão e considere o prédio inteiro acima da seção como um corpo livre Calcule o momento na seção 3 produ zido por todas as cargas externas atuando acima da seção Mext 4 kips32 8 kips20 8 kips8 352 kip ft Iguale o momento externo de 352 kip ft ao momento interno dado pela Equação 3 Para indicar que as tensões atuam na seção 33 o símbolo de tensão na Equação 3 é subscrito com o número 3 Calcule as forças nas colunas F2 F3 2s3A 2 4 3 267 kips F1 F4 3s3A 3 a 4 3 b 4 kips 264s3A 352 s3A 3 4 Com as forças axiais estabelecidas em todas as colunas o equilí brio das forças nos membros do pórtico pode ser calculado pela aplicação das equações de equilíbrio estático nos corpos livres dos nós colunas e vigas em sequência Para ilustrar o procedimento descreveremos as etapas necessárias para calcular as forças na viga AB e na coluna AH Calcule o cortante na viga AB considerando o equilíbrio de for ças verticais aplicadas no nó A ver Figura 1530a c Fy 0 0 0273 VAB VAB 0273 kip Calcule os momentos de extremidade na viga AB Como é presu mido que existe um ponto de inflexão em meio vão os momentos de extremidade têm magnitude igual e atuam no mesmo sentido M VAB L 12 0273 12 328 kip ft Aplique o momento de extremidade da viga no nó A e some os momentos para estabelecer que o momento no topo da coluna é igual a 328 kip ft o momento na parte inferior da coluna tem o mesmo valor Calcule o cortante na coluna AH Como se presume que ocorre um ponto de inflexão no centro da coluna o cortante na coluna é igual a continua 650 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas VAH M L 2 328 6 0547 kip Para calcular a força axial na viga AB aplicamos o valor de cortante de coluna acima no nó A O equilíbrio de forças na direção x estabelece que a força axial na viga é igual à diferença entre 4 kips e o cortante na coluna AH Os valores de força finais aplicadas pelos nós nos membros estão resumidos na Figura 1531 Devido à simetria da estrutura e à antissimetria da carga os cortantes e momentos nos pontos correspon dentes em um ou outro lado do eixo de simetria vertical devem ser iguais As pequenas diferenças que ocorrem no valor das forças que devem ser iguais são devido ao erro de arredondamento Figura 1531 Resumo da análise da viga em balanço As setas indicam a direção das forças que atuam nas extremidades dos membros Forças axiais rotuladas com C para compressão e T para tração Todas as forças em kips todos os momentos em kip ft 027 kip 027 kip 046 kip 055 kip 055 kip 4 kips 8 kips 8 kips 345C 328 kip ft 328 kip ft 328 kip ft 328 kip ft 546 kip ft 1098 kip 264 kips 436 kips 436 kips 109 kip 182 kip 164 kip 1309 kip ft 1309 kip ft 2618 kip ft 2618 kip ft 5819 kip ft 5819 kip ft 982 kip ft 982 kip ft 691C 2128 kip ft 264 kips 164 kip 218 kip ft 218 kip ft 3162 kip ft 3162 kip ft 691C 2C 4C 4C 5275 kip ft 146 kip 146 kip 874 kip ft 018T 027T 091T 136T 267T 4 kips 273 kips 273 kips 4T P O I J H G A B 874 kip ft 267 kips 44 kips 727 kips 727 kips CL eixo de simetria continuação 651 Resumo Resumo Como é difícil evitar erros ao analisar estruturas altamente indeterminadas com muitos nós e membros os projetistas normalmente conferem os resultados de uma análise por computador ou ocasionalmente o resultado de uma análise feita por meio de um dos métodos clássicos discutidos anteriormente fazendo uma análise aproximada Além disso durante a fase inicial do projeto quando são estabelecidas as proporções dos membros os projetistas usam uma análise aproximada para estimar as forças de projeto para que possam selecionar as proporções iniciais dos membros Este capítulo abordou vários dos métodos mais comuns utilizados para fazer uma análise aproximada À medida que os projetistas adquirem um maior entendimento do comportamento estrutural com alguns cálculos simples eles conseguem estimar as forças entre 10 e 15 dos valores exatos na maioria das estruturas Um procedimento simples para analisar uma estrutura contínua é estimar a localização dos pontos de inflexão onde o momento é zero em um vão específico Isso permite ao projetista cortar um dia grama de corpo livre estaticamente determinado Para ajudar a loca lizar os pontos de inflexão nos quais a curvatura muda de côncava para cima para côncava para baixo o projetista pode esboçar a forma defletida A força nas cordas e nos membros diagonais e verticais de treliças contínuas pode ser estimada tratandose a treliça como uma viga con tínua Depois de construídos os diagramas de cortante e momento as forças de corda podem ser estimadas dividindose o momento em determinada seção pela altura da treliça As componentes verticais das forças nos membros diagonais são presumidas como iguais ao cortante na mesma seção da viga Os métodos clássicos de análise aproximada de pórticos de vários pavimentos para cargas de vento laterais ou forças de terremoto pelo método do portal e da viga em balanço foram apresentados nas seções 159 e 1510 652 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas P151 Faça uma análise aproximada suponha a loca lização de um ponto de inflexão para estimar o momento no apoio B da viga na Figura P151 Desenhe os diagramas de cortante e momento da viga Confira os resultados pela distribuição de momentos ou use o pro grama de computador EI é constante PrOBLEMAs 24 A C B w 5 kipsft 20 P151 B A 6 m L1 2 L1 20 kNm 5 kNm C P152 A B C 40 24 kips 15 15 P154 6 m 12 kNm 9 m A B C B P153 P152 Estime a localização dos pontos de inflexão em cada vão na Figura P152 Calcule os valores de momento nos apoios B e C e desenhe os diagramas de cortante e momento EI é constante Caso 1 L1 3 m Caso 2 L1 12 m Confira os resultados usando distribuição de momentos P153 Suponha os valores de momentos de extremi dade de membro e calcule todas as reações na Figura P153 com base em sua suposição Dado EI é constante Se IBC 8IAB como você ajustaria suas suposições de momentos de extremidade de membro P154 Supondo a localização do ponto de inflexão na viga da Figura P154 estime o momento em B Em seguida calcule as reações em A e C Dado EI é constante 653 Problemas P155 Estime o momento no apoio C da viga da Figura P155 e o momento positivo máximo no vão CD supondo a localização de um dos pontos de inflexão nesse vão A B C D E 12 12 12 6 6 w 2 kipsft F P155 6 kNm 24 kN 12 m 3 m A B C P156 A B C D w 3 kipsft 6 30 24 P157 P156 Estime o momento no apoio C na Figura P156 Com base em sua estimativa calcule as reações em B e C P157 A viga é indeterminada no segundo grau Supo nha a localização do número mínimo de pontos de infle xão necessários para analisar a viga Calcule todas as reações e desenhe os diagramas de cortante e momento Confira os resultados usando distribuição de momentos P158 O pórtico da Figura P158 deve ser construído com uma viga alta para limitar as deflexões Contudo para satisfazer requisitos arquitetônicos a largura das colunas será a menor possível Supondo que os momen tos nas extremidades da viga são 25 dos momentos de extremidade fixa calcule as reações e desenhe o dia grama de momento da viga P159 As seções transversais das colunas e da viga do pórtico da Figura P159 são idênticas Faça uma análise aproximada do pórtico estimando a localização dos pontos de inflexão na viga A análise deve incluir a ava liação das reações de apoio e o desenho dos diagramas de momento da coluna AB e da viga BC A D B C 48 48 18 w 24 kipsft P 10 kips P158 A D B C 20 m 5 m w 36 kNm P 38 kN 20 m P159 654 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas P1510 Faça uma análise aproximada da treliça da Figura P1510 tratandoa como uma viga contínua de seção trans versal constante Como parte da análise avalie as forças nos membros DE e EF e calcule as reações em A e K 6 16 96 6 16 96 A C E B D F L J M K I H G 12 30 kips 30 kips 30 kips 30 kips 30 kips 30 kips A a b c d B C D 6 3 m 18 m P 2 P 2 6 3 m 18 m 6 3 m 18 m P 9 kN 4 m P P P P P P P P P P P P P P P P P 25 kips 25 kips A A A B 10 12 120 10 kips 5 kips 5 kips 5 kips 5 kips 5 kips 5 kips 5 kips 5 kips 5 kips A 10 pol2 9 9 Seção AA P1510 P1511 P1512 P1511 Use uma análise aproximada da treliça contínua da Figura P1511 para determinar as reações em A e B Avalie também as forças nas barras a b c e d Dado P 9 kN P1512 Estime a deflexão no meio do vão da treliça da Figura P1512 tratandoa como uma viga de seção transver sal constante A área das cordas superiores e inferiores é 10 pol2 E 29 000 kipspol2 A distância entre os centroi des das cordas superiores e inferiores é igual a 9 ft 655 Problemas P1513 Determine os valores de força aproximados em cada membro da treliça da Figura P1513 Suponha que as diagonais podem transmitir tração ou compressão P1514 Determine os valores de força de barra aproxi mados nos membros da treliça da Figura P1514 para os dois casos a seguir a As barras diagonais são delgadas e só podem transmitir tração b As barras diagonais não flambam e podem trans mitir tração ou compressão A B C D 60 kips 20 15 P1513 6 10 60 C E B D F L J M N K I G H 10 6 kips 6 kips 6 kips A P1514 P1515 a Todas as vigas do pórtico da Figura P1515 têm a mesma seção transversal e suportam uma carga gravi tacional uniformemente distribuída de 36 kipsft Estime o valor aproximado da carga axial e do momento no topo das colunas AH e BG Estime também o cortante e o momento em cada extremidade das vigas IJ e JK b Supondo que todas as colunas têm 12 pol e são quadradas I 1 728 pol4 e que o momento de inércia de todas as vigas é igual a 12 000 pol4 faça uma análise aproximada do segundo piso considerando as vigas do segundo piso e as colunas incorporadas acima e abaixo como um pórtico rígido M T L E D C B F G A H I P 20 15 12 12 12 K J N O Q S R 24 20 P1515 656 Capítulo 15 Análise aproximada de estruturas indeterminadas P1516 a Faça uma análise aproximada para calcular as reações e desenhe os diagramas de momento da coluna AB e da viga BC da Figura P1516 b Repita os cálculos supondo que a base das colunas se conecta em apoios articulados em A e D EI é constante para todos os membros P1518 Determine os momentos e as forças axiais nos membros do pórtico da Figura P1518 pelo método do portal Compare os resultados com aqueles produzidos pelo método da viga em balanço P1517 Fazendo uma análise aproximada da viga Vie rendeel da Figura P1517 determine os momentos e as forças axiais que atuam nos corpos livres dos membros AB BC IB e HC P1519 Determine os momentos e as forças axiais nos membros do pórtico da Figura P1519 pelo método do portal Compare os resultados com aqueles produzidos pelo método da viga em balanço Suponha que a área das colunas internas é duas vezes a área das colunas externas 15 m 10 kN 5 m A B C D P1516 12 20 8 20 k P1518 J I H G F A B C D E 4 15 60 10 40 kips 40 kips 40 kips P1517 15 16 12 12 15 15 4 kips 8 kips 6 kips A B C D E F G H L K J I M N O P P1519 657 Problemas P1520 Analise o pórtico de dois pavimentos da Figura P1520 pelo método do portal Repita a análise pelo método da viga em balanço Suponha que a área das colunas internas é duas vezes a área das colunas externas Suponha que as placas de base que conectam todas as colunas nas fundações podem ser tratadas como um apoio de pino 5 m 5 m 8 m 8 m 6 m 4 m 10 kN 30 kN P1520 Montagem da treliça espacial tridimensional utilizada para sustentar uma antena de radar ALTAIR de mais de 45 m 150 ft de diâmetro Um programa de computador usando uma formulação matricial foi usado pela empresa Simpson Gumpertz and Heger Inc para analisar essa complexa estrutura para uma variedade de condições de cargas estáticas e dinâmicas C A P Í T U L O Introdução ao método da rigidez geral 161 Introdução Este capítulo fornece uma transição dos métodos clássicos de análise manual como o método da flexibilidade Capítulo 11 ou o método da inclinaçãodeflexão Capítulo 12 para a análise por computador que segue um conjunto de instruções programadas Antes que os computadores se tornassem disponíveis nos anos 1950 as equipes de engenheiros podiam demorar vários meses para produzir uma análise aproximada de um pórtico espacial tridimen sional altamente indeterminado Atualmente entretanto uma vez que o engenheiro especifique as coordenadas dos nós o tipo de nó articulado ou fixo as propriedades das barras e a distribuição das cargas aplicadas o programa de computador pode produzir uma análise exata em poucos minutos A saída do computador especifica as forças em todas as barras as reações e os componentes de deslo camento de nós e apoios Embora agora estejam disponíveis sofisticados programas de com putador para analisar as estruturas mais complexas compostas de cascas placas e pórticos espaciais neste capítulo introdutório limitare mos a discussão às estruturas planares treliças vigas e pórticos compostas de membros elásticos lineares Para minimizar os cálculos e esclarecer os conceitos consideraremos apenas as estruturas cinema ticamente indeterminadas no primeiro grau Posteriormente nos capí tulos 17 e 18 usando notação matricial estenderemos o método da rigidez para estruturas mais complexas com vários graus de indeter minação cinemática Para estabelecer os procedimentos analíticos utilizados em uma análise por computador usaremos uma forma modificada do método da inclinaçãodeflexão um método de rigidez no qual as equações de equilíbrio nos nós são escritas como deslocamentos de 16 660 Capítulo 16 Introdução ao método da rigidez geral nó desconhecidos O método da rigidez elimina a necessidade de sele cionar redundantes e uma estrutura liberada conforme discutido no Capítulo 11 Iniciaremos o estudo do método da rigidez na Seção 162 compa rando as etapas básicas necessárias para analisar um sistema indetermi nado de duas barras conectadas com pino simples tanto pelo método da flexibilidade como pelo método da rigidez Em seguida estenderemos o método da rigidez para a análise de vigas pórticos e treliças indetermina dos No apêndice é fornecida uma breve revisão das operações matriciais que fornecem um formato conveniente para programar os cálculos neces sários para analisar estruturas indeterminadas por computador 162 Comparação entre os métodos da flexibilidade e da rigidez Os métodos da flexibilidade e da rigidez representam dois procedi mentos básicos utilizados para analisar estruturas indeterminadas Discu timos o método da flexibilidade no Capítulo 11 O método da inclinação deflexão abordado no Capítulo 12 é uma formulação da rigidez No método da flexibilidade escrevemos equações de compatibilidade em termos de forças redundantes desconhecidas No método da rigidez escrevemos equações de equilíbrio em termos de deslocamentos de nó desconhecidos Ilustraremos a principal característica de cada método analisando a estrutura de duas barras da Figura 161a Nesse sistema que é estaticamente indeterminado no primeiro grau as barras carregadas axialmente se conectam a um apoio central que está livre para deslocarse horizontalmente mas não verticalmente Nessa estrutura os nós são designados por um número em um quadrado e as barras por um número em um círculo Método da flexibilidade Para analisar a estrutura da Figura 161a selecionamos como redun dante a reação horizontal F1 no nó 1 Produzimos uma estrutura liberada determinada e estável imaginando que o pino no nó 1 é substituído por um rolo Para analisar a estrutura carregamos a estrutura liberada separa damente com 1 a carga aplicada Figura 161b e 2 a redundante F1 Figura 161c Então superpomos os deslocamentos no nó 1 e achamos a solução da redundante Como o apoio 3 na estrutura liberada é o único capaz de resistir à força horizontal a carga de 30 kips inteira da Figura 161b é transmitida pela barra 2 Quando a barra 2 é comprimida os nós 1 e 2 se deslocam para a direita uma distância 10 Esse deslocamento é calculado pela Equação 108 Ver propriedades da barra na Figura 161a 161 10 F20L2 A2E2 30 150 06 20000 3 8 pol 661 Seção 162 Comparação entre os métodos da flexibilidade e da rigidez em que o sinal menos indica que 10 tem direção oposta à redundante Agora aplicamos um valor unitário da redundante na estrutura libe rada Figura 161c e usamos a Equação 161 para calcular o desloca mento horizontal d11 devido ao alongamento das barras 1 e 2 162 1 120 12 10000 1 150 06 20000 00225 pol d11 F11L1 A1E1 F21L2 A2E2 Figura 161 Análise pelo método da flexibili dade a detalhes da estrutura b carga de pro jeto aplicada na estrutura liberada c redundante F1 aplicada no nó 1 da estrutura liberada d forças atuando no apoio 2 F1 a 30 kips CL CL L1 120 10 L2 150 A2 06 pol2 E2 20000 kipspol2 A1 12 pol2 E1 10000 kipspol2 F2 10 1 2 3 1 2 b 30 kips 30 kips P 30 kips F10 0 F20 30 kips CL 11 c d 1 kip 1 kip F1 F11 1 kip F21 1 kip F2 F1 662 Capítulo 16 Introdução ao método da rigidez geral Para determinar a reação F1 escrevemos uma equação de compatibi lidade baseada no requisito geométrico de que o deslocamento horizontal no apoio 1 deve ser zero 163 1 0 Expressando a Equação 163 em termos dos deslocamentos temos 164 10 d11F1 0 Substituindo os valores numéricos de 10 e d11 na Equação 164 e resolvendo para F1 calculamos F1 10 d11 3 8 00225 1667 kips Para calcular F2 consideramos o equilíbrio na direção horizontal do apoio central Figura 161d F2 30 F1 1333 kips 3 0 F1 F2 0 S Fx 0 O deslocamento real do nó 2 pode ser encontrado calculandose o alongamento da barra 1 ou o encurtamento da barra 2 L2 F2L2 A2E2 1333 150 06 20000 0167 pol L1 F1L1 A1E1 1667 11202 12 1100002 0167 pol Método da rigidez A estrutura da Figura 161a repetida na Figura 162a será novamente analisada agora pelo método da rigidez Como apenas o nó 2 está livre para se deslocar a estrutura é cinematicamente indeterminada no pri meiro grau Sob a ação da carga de 30 kips da Figura 162b o nó 2 se move a uma distância 2 para a direita Como a compatibilidade das deformações exige que o alongamento da barra 1 seja igual ao encurta mento da barra 2 podemos escrever 165 L1 L2 2 Usando as equações 161 e 165 expressamos as forças em cada barra em termos do deslocamento do nó 2 e das propriedades das barras 166 F2 A2E2 L L2 06 20000 150 2 80 2 F1 A1E1 L L1 12 1100002 120 2 100 2 663 Seção 162 Comparação entre os métodos da flexibilidade e da rigidez F1 a P 30 kips CL CL L1 120 L2 150 1 802 kips 1002 kips A2 06 pol2 E2 20000 kipspol2 A1 12 pol2 E1 10000 kipspol2 F2 F2 2 F1 1 1 3 2 2 3 1 2 1 2 b c P 30 kips P 30 kips F2 F1 2 P 30 kips CL f1 100 kips K2 180 kips f2 80 kips 1 3 d e 2 O equilíbrio horizontal do nó 2 ver Figura 162c fornece 167 3 0 F1 F2 0 Fx 0 Expressando as forças na Equação 167 em termos do deslocamento 2 dado pela Equação 166 e resolvendo para 2 temos 168 2 1 6 pol 3 0 100 2 80 2 0 Figura 162 a Estrutura cinematicamente inde terminada no primeiro grau b posição defor mada da estrutura carregada c corpo livre do nó 2 d forças produzidas por um deslocamento unitário do nó 2 e corpo livre do apoio central 664 Capítulo 16 Introdução ao método da rigidez geral Para estabelecer as forças de barra substituímos o valor de 2 acima na Equação 166 169 F2 80 2 80 1 6 1333 kips F1 100 2 100 11 62 1667 kips A Equação 168 também pode ser estabelecida de uma maneira ligeiramente diferente Vamos introduzir um deslocamento unitário de 1 pol no nó 2 como mostrado na Figura 162d Usando a Equação 161 a força K2 exigida para manter o nó nessa posição pode ser calculada pela soma das forças necessárias para alongar a barra 1 e comprimir a barra 2 por 1 pol 1610 180 kips 1 pol K2 A1E1 L1 11 pol2 A2E2 L2 11 pol2 Como o deslocamento real do nó 2 não é de 1 pol mas de 2 devemos multiplicar todas as forças e deflexões Figura 162 pela magnitude de 2 conforme indicado pelo símbolo entre colchetes à direita do nó 3 Para que o bloco esteja em equilíbrio a magnitude de 2 o deslocamento do nó 2 deve ser grande o suficiente para desenvolver apenas 30 kips de resistência Como a força de restrição exercida pelas barras é uma função linear do deslocamento do nó 2 o deslocamento 2 real do nó pode ser determinado escrevendose a equação de equilíbrio para as forças na direção horizontal no nó 2 Figura 162e f1 2 f2 2 30 0 S Fx 0 Substituindo f1 100 kips e f2 80 kips temos e 2 30 180 1 6 pol 100 2 80 2 30 A quantidade K2 é chamada coeficiente de rigidez Se as duas barras são tratadas como uma grande mola o coeficiente de rigidez mede a resistência ou rigidez do sistema à deformação A maioria dos programas de computador é baseada no método da rigidez Esse método elimina a necessidade de o projetista selecionar uma estrutura liberada e permite que a análise seja automatizada Uma vez que o projetista identifique os nós que estão livres para se deslocar e especifi que as coordenadas do nó o computador é programado para introduzir deslocamentos unitários e gerar os coeficientes de rigidez necessários estabelecer e resolver as equações de equilíbrio do nó e calcular todas as reações deslocamentos de nó e forças de barra 665 Seção 163 Análise de uma viga indeterminada pelo método da rigidez geral 163 Análise de uma viga indeterminada pelo método da rigidez geral No exemplo da Figura 163 estendemos o método da rigidez geral para a análise de uma viga indeterminada um elemento estrutural cujas deformações são produzidas por momentos fletores Esse exemplo tam bém fornecerá a base para a análise de pórticos indeterminados com a formulação matricial abordada no Capítulo 18 Conforme você obser vará o método utiliza procedimentos e equações desenvolvidos anterior mente nos capítulos 12 e 13 que apresentaram os métodos da inclinação deflexão e da distribuição de momentos A Figura 163a mostra uma viga contínua de seção transversal cons tante Como o único deslocamento desconhecido da viga contínua é a rotação u2 que ocorre no nó 2 a estrutura é cinematicamente indetermi nada no primeiro grau Seção 126 Como primeiro passo na análise antes que as cargas sejam aplicadas grampeamos o nó 2 para impedir a rotação produzindo com isso duas vigas de extremidade fixa Figura 163b Em seguida aplicamos a carga de 15 kips a qual produz os momentos de extremidade fixa MEF12 e MEF21 Usando a Figura 125a para avaliar esses momentos temos MEF21 PL 8 15 16 8 30 kip ft MEF12 PL 8 151162 8 30 kip ft Adotamos arbitrariamente a convenção de sinais usada anteriormente nos capítulos 12 e 13 isto é os momentos e rotações no sentido horário nas extremidades dos membros são positivos e os momentos e rotações no sentido antihorário são negativos A Figura 163c mostra as forças em um corpo livre do nó 2 Como nenhuma carga atua no vão de 8 pés neste estágio ele permanece não tensionado e não aplica nenhuma força no lado direito do nó 2 Para levar em conta a rotação u2 que ocorre na viga real Figura 163d em seguida em uma etapa separada causamos no nó 2 uma rota ção unitária de 1 rad no sentido antihorário e bloqueamos a viga em sua posição deformada Essa rotação produz momentos de extremidade de membro que podem ser avaliados usandose os dois primeiros termos da equação da inclinaçãodeflexão Equação 1216 Denotaremos esses momentos com o sobrescrito DN que significa deslocamento de nó neste caso uma rotação de nó Como a rotação unitária é no sentido anti horário todos os momentos produzidos por ela são negativos No vão 12 No vão 12 1611 1612 MDN 21 2EI L 2 1 0 2EI 16 2 1 0 EI 4 MDN 12 2EI L 32102 1 12 4 2EI 16 30 1 12 4 EI 8 666 2 a tangente em 2 P 15 kips LBC 8 8 1 radiano diagrama de momento kip ft 1 radiano 1 rad LAB 16 b Caso I Caso II c P 15 kips 15 kips 8 1 grampo 3 2 16 MEF12 30 kip ft MEF21 30 kip ft M2 30 kip ft M2 30 kip ft MEF21 30 kip ft grampo nó 2 d 35 35 kip ft 10 kip ft 8438 kips 10312 kips 375 kips 20 325 10 f g e nó 2 M12 DN M32 DN M21 DN M21 K2 DN M23 DN 2 2 M23 DN 2 K2 2 1 2 3 1 2 Figura 163 667 Seção 163 Análise de uma viga indeterminada pelo método da rigidez geral No vão 23 1613 1614 MDN 32 2EI L 2 0 1 2EI 8 1 EI 4 MDN 23 2EI L 321 12 04 2EI 8 1 22 EI 2 No diagrama de corpo livre do nó 2 mostrado na Figura 163e obser vamos que o momento K2 o coeficiente de rigidez aplicado pelo grampo para manter a rotação unitária é igual à soma de MDN 21 MDN 23 dados pelas equações 1612 e 1613 isto é 1615 K2 M DN 21 M DN 23 EI 4 EI 2 3EI 4 Como o comportamento é linearmente elástico para estabelecer a deformação real e os momentos de extremidade de membro devemos multiplicar a rotação unitária e os momentos que ela produz Figura 163d pela rotação real u2 Denotamos essa operação mostrando u2 entre colchetes à esquerda do apoio fixo no nó 1 Como não existe nenhum momento externo nem grampo no nó 2 da viga real seguese que M2 na Figura 163c é igual a u2K2 na Figura 163e isto é para que o nó esteja em equilíbrio 1616 30 K2u2 0 A M2 0 Substituindo o valor de K2 dado pela Equação 1615 na Equação 1616 temos 30 3EIu2 4 0 Resolvendo para u2 temos 1617 u2 40 EI radianos Uma vez determinado u2 os momentos de extremidade de membro podem ser avaliados pela superposição dos casos mostrados nas figuras 163b e d Por exemplo para avaliar o momento na viga imediatamente à esquerda do nó 2 escrevemos a seguinte equação de superposição subs tituindo na Equação 1618 o valor de MDN 21 dado pela Equação 1612 e u2 dado pela Equação 1617 encontramos então 1618 M21 30 EI 4 40 EI 20 kip ft no sentido horário M21 MEF21 MDN 21 u2 668 Capítulo 16 Introdução ao método da rigidez geral No apoio fixo nó 3 M32 0 MDN 32 u2 0 EI 4 40 EI 10 kip ft em que o sinal de menos indica que M32 é no sentido antihorário Após o cálculo dos momentos de extremidade de membro as forças cortantes e as reações podem ser calculadas usandose diagramas de corpo livre de cada viga O diagrama de momento completo é mostrado na Figura 163f As reações finais são mostradas na Figura 163g Resumo do método da rigidez geral A análise da viga contínua da Figura 163a é baseada na superposição de dois casos No caso 1 grampeamos todos os nós que estão livres para girar e aplicamos a carga de projeto A carga de projeto gera momentos de extremidade fixa na viga e um momento igual no grampo Se houvesse cargas nos dois vãos o momento no grampo seria igual à diferença do momento de extremidade fixa que atua no nó central Nesse ponto a estrutura absorveu a carga entretanto o nó foi bloqueado por um grampo e não pode girar Para eliminar o grampo devemos removêlo e permitir que o nó gire Essa rotação produzirá momentos adicionais nos membros Neste estágio estamos interessados principalmente na magnitude dos momentos nas extremidades de cada membro Como não sabemos a magnitude da rota ção em um caso 2 separado introduzimos arbitrariamente uma rotação unitária de 1 radiano e bloqueamos a viga na posição deformada Agora o grampo do caso 2 aplica um momento denominado coeficiente de rigi dez que mantém a viga na posição girada Como causamos um valor de rotação específico isto é 1 rad podemos calcular os momentos nas extremidades de cada membro usando a equação da inclinaçãodeflexão O momento no grampo é calculado a partir de um corpo livre do nó Se agora multiplicarmos as forças e os deslocamentos do caso 2 pela mag nitude real da rotação de nó u2 todas as forças e deslocamentos incluindo o momento no grampo e a rotação no nó 2 serão reduzidos proporcional mente para o valor correto Como não existe nenhum grampo na viga real seguese que a soma dos momentos no grampo dos dois casos deve ser igual a zero Consequentemente agora o valor de u2 pode ser determinado escrevendose uma equação de equilíbrio que expresse que a soma dos momentos no grampo do caso 1 e do caso 2 deve ser igual a zero Uma vez conhecido u2 todas as forças do caso 2 podem ser avaliadas e soma das diretamente às do caso 1 669 Seção 163 Análise de uma viga indeterminada pelo método da rigidez geral E X E M P L O 1 6 1 Analise o pórtico rígido da Figura 164a pelo método da rigidez geral EI é constante Solução Como o único deslocamento desconhecido é a rotação u2 no nó 2 o pórtico é cinematicamente indeterminado no primeiro grau portanto a solução exige uma equação de equilíbrio de nó escrita no nó 2 No primeiro passo imaginamos que um grampo é aplicado no nó 2 o qual impede a rotação e produz dois membros de extremidade fixa Figura 164b Quando as cargas de projeto são aplicadas momentos de extre midade fixa se desenvolvem na viga mas não na coluna pois o grampo impede a rotação do topo da coluna Usando a equação dada na Figura 125c esses momentos de extremidade fixa na viga são 1 MEF 2PL 9 2 24 18 9 96 kN m A Figura 164c mostra um detalhe dos momentos de extremidade fixa atuando em um corpo livre do nó 2 Em seguida introduzimos uma rotação unitária no sentido horário de 1 rad no nó 2 e grampeamos o nó na posição deformada Os momen tos produzidos pela rotação unitária são sobrescritos com DN de des locamento de nó Como queremos o efeito da rotação real u2 produzida pelas cargas de 24 kN devemos multiplicar esse caso por u2 conforme indicado pelo símbolo u2 entre colchetes à esquerda da Figura 164d Expressamos os momentos causados pela rotação unitária no nó 2 nos termos das propriedades do membro usando a equação da inclinação deflexão Equação 1216 Como nenhuma carga atua entre as extremi dades dos membros e como não ocorre nenhum recalque de apoio para esse caso os termos cNF e MEFNF na Equação 1216 são iguais a zero e a equação da inclinaçãodeflexão se reduz a 2 MNF 2EI L 2uN uF Usando a Equação 2 avaliamos em seguida os momentos de extre midade de membro produzidos pela rotação unitária do nó 3 4 5 6 MDN 32 2EI 18 2 0 1 EI 9 MDN 23 2EI 18 32112 04 2EI 9 MDN 21 2EI 6 32112 04 2EI 3 MDN 12 2EI 6 10 12 EI 3 continua 670 Capítulo 16 Introdução ao método da rigidez geral a 18 m 24 kN 24 kN 2 6 m 6 m 6 m 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 1 b c 24 kN 96 kN m 96 kN m 96 kN m 96 kN m 24 kN f 24 kN 24 kN 18 kN 18 kN 22 kN 26 kN 108 kN m 36 kN m 72 kN m d e 1 radiano 1 radiano M12 DN M23 DN M21 DN M32 DN M23 DN M21 DN K2 K2 2 2 Figura 164 continuação 671 Seção 163 Análise de uma viga indeterminada pelo método da rigidez geral O momento total K2 aplicado pelo grampo é igual à soma dos momentos aplicados nas extremidades das vigas ligadas ao nó 2 Figura 164e 7 K2 2EI 3 2EI 9 8EI 9 K2 M DN 21 M DN 23 Para o grampo ser removido o equilíbrio exige que a soma dos momentos que atuam sobre o grampo no nó 2 Figura 164c e e seja igual a zero 8 K2u2 96 0 A M2 0 Substituindo na Equação 8 o valor de K2 dado pela Equação 7 e resolvendo para u2 temos 9 u2 108 EI 8EI 9 u2 96 0 Para estabelecer a magnitude do momento na extremidade de cada membro superpomos as forças em cada nó mostradas na Figura 164b e d isto é multiplicamos os valores de momento devido à rotação uni tária equações 3 4 5 e 6 pela rotação real u2 e somamos todos os momentos de extremidade fixa M21 u2MDN 21 108 EI a 2EI 3 b 72 kN m no sentido horário M12 u2MDN 12 108 EI a EI 3 b 36 kN m no sentido horário M23 u2MDN 23 MEF23 108 EI a 2EI 9 b 96 72 kN m no sentido antihorário M32 u2MDN 32 MEF32 108 EI EI 9 96 108 kN m no sentido horário O restante da análise é feito usandose diagramas de corpo livre de cada membro para estabelecer os cortantes e as reações Os resultados finais estão resumidos na Figura 164f 672 Capítulo 16 Introdução ao método da rigidez geral E X E M P L O 1 6 2 As barras conectadas com pino da Figura 165a estão ligadas ao nó 1 em um apoio de rolo Determine a força em cada barra e a magnitude do deslocamento horizontal x do nó 1 produzido pela força de 60 kips Área da barra 1 3 pol2 área da barra 2 2 pol2 e E 30 000 kipspol2 Figura 165 a Detalhes da estrutura b nó 1 deslocado 1 pol para a direita e ligado ao apoio imaginário c forças no nó 1 produzi das por um deslocamento horizontal de 1 pol a 60 kips x 45 L 10 L 15 2 1 3 1 2 1 apoio imaginário 3 1 b A B L1 0707 45 90 K1 F1 F2 2 1 2 x c F1y 249725 kips K1 749725 kips1 F2 500 kips 249725 kips F1x 249725 kips F1 3535 kips 1 673 Seção 163 Análise de uma viga indeterminada pelo método da rigidez geral Solução Primeiro deslocamos o rolo 1 pol para a direita e o conectamos a um apoio de pino imaginário Figura 165b que desenvolve uma reação de K1 kips para manter o nó em sua nova posição Como o deslocamento horizontal do nó 1 mostrado em escala exagerada na Figura 165b é muito pequeno comparado ao comprimento das bar ras supomos que sua inclinação permanece em 45 na posição deformada Para estabelecer o alongamento da barra 1 marcamos seu comprimento não tensionado original na barra deslocada girando o comprimento original em torno do pino no nó 3 Visto que a extremidade da barra não tensionada se move no arco de um cír culo do ponto A para B o deslocamento inicial de sua extremidade é perpendicular à posição original do eixo da barra Visto que preci samos das forças de barra devido ao deslocamento real que é uma fração de uma polegada multiplicamos as forças e os deslocamentos mostrados na Figura 165b por x A partir da geometria do triângulo de deslocamento no nó 1 Figura 165b calculamos L1 L1 1 pol cos 45 0707 pol Com o alongamento de cada barra estabelecido podemos usar a Equação 161 para calcular a força em cada barra F2 L2 A2E L2 1 2 30000 500 kips F1 L1 A1E L1 0707132 130000 2 3535 kips Então calculamos as componentes horizontais e verticais de F1 F1 F1 sen 45 3535 0707 24972 kips F1x F1 cos 45 3535107072 249725 kips Para avaliar K1 somamos as forças aplicadas ao pino Figura 165c na direção horizontal K1 F1x F2 249725 500 749725 kips 1 K1 F1x F2 0 Fx 0 Para calcular o deslocamento real multiplicamos a força K1 da Figura 165c por x o deslocamento real x 008 pol 7 4 79 25 x 60 K1 x 60 kips 674 Capítulo 16 Introdução ao método da rigidez geral Comparação entre as análises de treliças e vigas pelo método da rigidez geral A análise de treliças pelo método da rigidez geral difere ligeira mente da análise de vigas e pórticos Na análise de uma viga ou de um pórtico vimos que o primeiro passo é transferir o efeito das cargas aplicadas entre as extremidades de um membro para momentos na extremidade de nós bloqueados para escrever equações de equilíbrio de nó Essa etapa não é exigida na análise de treliças pois as cargas são aplicadas somente nos nós No caso da treliça analisada na Figura 165 que era livre para deslocar somente na direção horizontal só foi neces sário introduzir um deslocamento horizontal unitário 1 pol e calcular a força K1 associada exigida para conter o sistema estrutural alongado em sua posição deslocada A força K1 foi avaliada escrevendose uma equação de equilíbrio somando as forças ou componentes das forças na direção x Para calcular o deslocamento real x quando o compor tamento é linearmente elástico basicamente estabelecemos uma pro porção K1 a força resultante está para 1 pol assim como 60 kips a força real está para a deflexão real x K1 1 pol 60 x e x 1602 11 pol2 K1 em que K1 Fx Se um nó de treliça tem dois graus de liberdade são necessários deslocamentos unitários e equações de equilíbrio nas direções horizon tal e vertical 675 Seção 163 Análise de uma viga indeterminada pelo método da rigidez geral Analise o pórtico rígido da Figura 166a pelo método da rigidez geral Solução O pórtico rígido da Figura 166a é cinematicamente indeterminado no terceiro grau pois os nós 2 e 3 podem girar e a viga pode se des locar lateralmente Contudo como a estrutura e a carga são simétricas com relação a um eixo vertical pelo centro do pórtico as deflexões formam um padrão simétrico Portanto as rotações u2 e u3 dos nós 2 e 3 têm magnitude igual e não ocorre nenhum deslocamento lateral do pórtico Essas condições permitem uma solução baseada em uma única equação de equilíbrio arbitrariamente escrita no nó 2 Iniciamos a análise bloqueando os nós 2 e 3 para impedir a rotação Figura 166b e aplicamos a carga de projeto produzindo momentos de extremidade fixa na viga em que 1 MEF PL 8 201362 8 90 kip ft A Figura 166c mostra os momentos atuando no nó 2 da viga e da coluna assim como o grampo as forças cortantes foram omitidas por clareza Em seguida introduzimos simultaneamente rotações de 1 rad no sentido horário no nó 2 e 1 rad no sentido antihorário no nó 3 e bloqueamos os nós na posição deformada Figura 166d Os momen tos na viga e nas colunas nos nós 2 e 3 produzidos pelas rotações têm magnitude idêntica mas atuam em direções opostas Usando os dois primeiros termos da equação da inclinaçãodeflexão no nó 2 calcula mos os momentos na extremidade esquerda da viga e os momentos na parte superior e inferior da coluna da esquerda 2 3 4 MDN 12 2EI 12 2 0 1 EI 6 MDN 21 2EI 12 32112 04 EI 3 MDN 23 2EI 36 32112 1 12 4 EI 18 E X E M P L O 1 6 3 continua 676 Capítulo 16 Introdução ao método da rigidez geral Figura 166 a Detalhes do pórtico b carga de projeto aplicada no pórtico bloqueado c forças no nó 2 d rotações unitárias introduzi das nos nós 2 e 3 e forças no nó 2 f valores finais das reações g diagramas de momento dos membros 1 e 2 a b 36 20 kips 20 kips MEF23 90 kip ft MEF32 90 kip ft 18 12 1 2 3 4 1 2 2 3 4 d 2 1 radiano 3 1 radiano 1 2 3 4 c e 90 kip ft M2 90 kip ft 2 2 1 2 3 7EI 18 M21 DN M23 DN M21 DN M23 DN K2 M23 DN DN M21 M12 DN f g 10 kips 10 kips 964 kips 964 kips 3857 kip ft 3857 kip ft 10286 kip ft 7714 kip ft 7714 kip ft 7714 kip ft 3857 kip ft 7714 kip ft 7714 kip ft 20 kips 2 2 1 3 2 continuação 677 Seção 163 Análise de uma viga indeterminada pelo método da rigidez geral O momento K2 exercido pelo grampo no nó 2 Figura 166e é igual à soma dos momentos aplicados no nó 2 5 6 K2 M DN 21 M DN 23 A M2 0 Substituindo as equações 2 e 3 na Equação 6 temos 7 K2 EI 3 EI 18 7EI 18 Para estabelecer o momento produzido pela rotação real multipli camos todas as forças e deslocamentos da Figura 166d por u2 Como a soma dos momentos atuando no grampo do nó 2 nas figuras 166c e e deve ser igual a zero escrevemos a equação de equilíbrio 8 u2K2 90 0 A M2 0 Substituindo na Equação 8 o valor de K2 dado pela Equação 7 temos 9 u2 23142 EI u2 7EI 18 90 O momento final em qualquer seção é calculado combinandose os momentos nas seções correspondentes da Figura 166b e d No nó 2 da viga 90 23142 EI EI 18 7714 kip ft no sentido antihorário M23 MEF23 u2MDN 23 A partir da simetria M12 u2MDN 12 23142 EI EI 6 3857 kip ft no sentido horário M21 u2MDN 21 23142 EI a EI 3 b 7714 kip ft no sentido horário M32 M23 7714 kip ft no sentido horário Os resultados finais estão mostrados na Figura 166f e g 678 Capítulo 16 Introdução ao método da rigidez geral Resumo O método da rigidez geral apresentado neste capítulo é a base da maioria dos programas de computador utilizados para analisar todos os tipos de estruturas determinadas e indeterminadas incluindo estruturas planares e treliças pórticos e cascas tridimensionais O método da rigidez elimina a necessidade de selecionar redundantes e uma estrutura liberada exigidas pelo método da flexibilidade No método da rigidez geral os deslocamentos de nó são as incógnitas Com todos os nós no início bloqueados artificialmente deslocamentos unitários são introduzidos em cada nó e são calculadas as forças associadas aos deslocamentos unitários conhecidas como coeficientes de rigidez Nesta discussão introdutória consideramos vigas pórticos e treliças com um único deslocamento linear ou rotacional desconhecido Em estruturas com vários nós livres para deslocar o número de deslocamentos desconhecidos será igual ao grau de indeterminação cinemática Se programas são escritos para estruturas tridimensionais com nós rígidos seis deslocamentos desconhecidos três lineares e três rotacionais são possíveis em cada nó não restringido Para essas situações a rigidez à torção assim como a rigidez axial e à flexão dos membros devem ser consideradas na avaliação dos coeficientes de rigidez Em um programa de computador típico o projetista deve selecionar um sistema de coordenadas para estabelecer a localização dos nós especificar as propriedades de membro como área momento de inércia e módulo de elasticidade e especificar o tipo de carregamento Para dimensionar os membros inicialmente os projetistas costumam realizar uma análise aproximada consultar Capítulo 15 679 Problemas P161 A estrutura da Figura P161 é composta de três barras conectadas por pinos As áreas das barras estão mostradas na figura Dados E 30 000 kipspol2 a Calcule o coeficiente de rigidez K associado a um deslocamento vertical de 1 pol do nó A b Determine o deslocamento vertical em A produzido por uma carga vertical de 24 kips dirigida para baixo c Determine as forças axiais em todas as barras PRObLEMAS 24 kips A C B D 12 12 16 2 pol2 2 pol2 1 pol2 P161 A I 240 pol2 E 30000 kipspol2 K 10 kipspol B 12 P P162 A C B 8 m 6 m 18 kN 3 m w 12 kNm P164 D A B C 12 P 6 6 P163 P162 A viga em balanço da Figura P162 está apoiada em mola no nó B A rigidez da mola é 10 kipspol a Calcule o coeficiente de rigidez associado a um deslocamento vertical de 1 pol no nó B b Calcule a deflexão vertical da mola produzida por uma carga vertical de 15 kips atuando para baixo em B c Deter mine todas as reações de apoio produzidas pela carga de 15 kips 163 O sistema estrutural da Figura P163 é composto de barras de aço duas vigas em balanço e uma coluna conectadas através de um nó articulado em B Dados E 29 000 kipspol2 IAB IBC 600 pol e ABD 36 pol2 a Calcule o coeficiente de rigidez K associado a um deslocamento vertical de 1 pol no nó B b Deter mine a magnitude da força P se ela produz uma defle xão vertical de 1 8 pol no nó B P164 Analise a viga da Figura P164 pelo método da rigidez descrito na Seção 163 Depois de determinados os momentos de extremidade de membro calcule todas as reações e desenhe os diagramas de momento EI é constante 680 Capítulo 16 Introdução ao método da rigidez geral P165 Analise o pórtico rígido de aço da Figura P165 pelo método da rigidez da Seção 163 Depois de avalia dos os momentos de extremidade de membro calcule todas as reações e o diagrama de momento da viga BC Os apoios em A e C são especificados para produzir extremidades fixas P166 Analise a viga da Figura P166 pelo método da rigidez geral Calcule todas as reações e desenhe os dia gramas de cortante e momento Dados EI é constante A 4I I B C 30 10 18 kips 18 kips 12 10 P165 30 kips 12 24 18 w 6 kipsft A B C P166 I 300 pol4 L 10 A 12 pol2 12 36 kips 1 2 3 3 4 P169 1 45 K2x K2y L2 15 L1 12 1 2 4 3 1 2 P168 3 m 20 kN 12 m 4 m A C B 2I I D w 6 kNm P167 P167 Analise o pórtico de concreto armado da Figura P167 pelo método da rigidez geral Determine todas as reações E é constante P168 O sistema de barras conectadas em pino da Figura P168 é alongado horizontalmente 1 pol e conec tado ao apoio de pino 4 Determine as componentes horizontais e verticais da força que o apoio deve aplicar nas barras Área da barra 1 2 pol2 área da barra 2 3 pol2 e E 30 000 kipspol2 K2x e K2y são os coeficientes de rigidez P169 A viga em balanço da Figura P169 está conec tada em uma barra por um pino no nó 2 Calcule todas as reações Dados E 30 000 kipspol2 Suponha que apenas a deflexão vertical no nó 2 é significativa 681 Problemas P1610 e P1611 Analise os pórticos rígidos das figuras P1610 e P1611 pelo método da rigidez geral usando simetria para simplificar a análise Calcule todas as reações e desenhe os diagramas de momento de todos os membros Além disso E é constante A B I I I C D 15 m w 30 kNm 5 m P1610 A 4I I I B D C 48 8 kips 6 6 18 w 2 kipsft 8 kips P1611 Uma grande cúpula geodésica forma o pavilhão norteamericano na Expo 67 feira mundial promovida em Montreal Canadá C A P Í T U L O Análise matricial de treliças pelo método da rigidez direta 171 Introdução Neste capítulo apresentaremos o método da rigidez direta um procedimento que fornece a base para a maioria dos programas de computador utilizados para analisar estruturas O método pode ser aplicado em quase todos os tipos de estrutura por exemplo treliças vigas contínuas pórticos indeterminados placas e cascas Quando é aplicado em placas e cascas ou outros tipos de problemas que podem ser subdivididos em elementos bidimensionais e tridimensionais o método é chamado de método dos elementos finitos Assim como o método da flexibilidade do Capítulo 11 o método da rigidez direta exige que dividamos a análise de uma estrutura em diversos casos básicos que quando superpostos são equivalentes à estrutura original Contudo em vez de escrever equações de compati bilidade em termos de forças redundantes desconhecidas e coeficien tes de flexibilidade escrevemos equações de equilíbrio de nó em ter mos de deslocamentos de nó desconhecidos e coeficientes de rigidez forças produzidas por deslocamentos unitários Conhecidos os des locamentos de nó as forças nos membros da estrutura podem ser calculadas a partir de relações forçadeslocamento Para ilustrar o método analisaremos a treliça de duas barras da Figura 171a Identificamos nós de treliça ou nós com números em círculos e barras com números em quadrados Sob a ação da carga vertical de 10 kips no nó 2 as barras se deformam e o nó 2 se desloca horizontalmente por uma distância x e verticalmente por uma distân cia y Esses deslocamentos são as incógnitas no método da rigidez Para estabelecer o sentido positivo e negativo das forças e deslocamen tos nas direções horizontal e vertical introduzimos um sistema de coordenadas xy global no nó 2 A direção x é denotada pelo número 1 e a direção y pelo número 2 As direções positivas são indicadas pelas pontas de seta 17 684 Capítulo 17 Análise matricial de treliças pelo método da rigidez direta No método da rigidez realizamos a análise da treliça superpondo os dois casos de carga a seguir Caso I A estrutura é carregada no nó 2 por um conjunto de forças que deslocam o nó por uma distância unitária para a direita mas não permitem nenhum deslocamento vertical Então as forças e os desloca mentos associados aos deslocamentos unitários são multiplicados pela magnitude de x para produzir as forças e os deslocamentos associados ao deslocamento x real Essa multiplicação está indicada por x entre colchetes à direita do esboço na Figura 171b Caso II A estrutura é carregada no nó 2 por um conjunto de for ças que deslocam o nó verticalmente por uma distância unitária mas não permitem nenhum deslocamento horizontal Então as forças e os deslocamentos são multiplicados pela magnitude de y para produzir as forças e os deslocamentos associados ao deslocamento y real ver Figura 171c Se a estrutura responde à carga de maneira linear e elástica a superposição desses dois casos é equivalente ao caso real O caso I fornece o deslocamento horizontal exigido e o caso II o deslocamento vertical Na Figura 171b K11 e K21 representam as forças necessárias para deslocar o nó 2 por 1 pol para a direita Na Figura 171c K22 e K12 denotam as forças necessárias para deslocar o nó 2 por 1 pol para cima São usados subscritos para denotar a direção das forças e do desloca mento unitário com referência ao sistema de coordenadas xy local no nó 2 O primeiro subscrito especifica a direção da força O segundo denota a direção do deslocamento unitário As forças associadas a um deslocamento unitário são denominadas coeficientes de rigidez Esses coeficientes podem ser avaliados referindose ao membro orientado com relação ao eixo horizontal por um ângulo f na Figura 172 Na Figura 172a a posição inicial do membro não tensionado é mostrada por uma linha tracejada É causado um deslocamento horizontal unitário em uma extremidade do membro enquanto o deslocamento vertical é impedido Esse deslocamento faz o membro alongar por uma quanti dade cos f que resulta em uma força axial F igual a AEL cos f A componente horizontal Fx e a componente vertical Fy da força axial representam a contribuição desse membro para K11 e K12 respectiva mente na Figura 171b Analogamente para avaliar a contribuição do membro para K12 e K22 é causado um deslocamento vertical unitário que produz uma deformação axial sen f Ver componentes correspon dentes da força na Figura 172b Essas expressões relacionam a força longitudinal em uma barra carregada axialmente restrita em uma extre midade aos deslocamentos unitários nas direções horizontal e vertical na extremidade oposta Não há necessidade de supor a direção dos deslocamentos de nó reais Especificamos o sentido positivo dos deslocamentos unitários arbitraria mente Neste livro supomos que os deslocamentos positivos estão na Figura 171 a Deslocamentos horizontal e ver tical x e y produzidos pela carga de 10 kips no nó 2 inicialmente a barra 1 é horizontal a barra 2 inclinase para cima em ângulo de 45 b forças coeficientes de rigidez K21 e K11 necessárias para produzir um deslocamento horizontal unitário do nó 2 c forças K22 e K12 necessárias para produzir um deslocamento vertical unitário do nó 2 R1 R3 F2 F21 F11 F12 F22 K21 K11 F1 a b c Caso I Caso II 1 1 1 1 1 3 2 2 f 45 2 10 kips 1 x x D K22 K12 2 1 y D y r11 r31 2 r12 r32 685 Seção 171 Introdução mesma direção do sentido positivo dos eixos da coordenada local Se a solução das equações de equilíbrio uma etapa da análise que discutire mos em breve produz um valor de deslocamento positivo o desloca mento se dá na mesma direção do deslocamento unitário Inversamente um valor de deslocamento negativo indica que o deslocamento real tem direção oposta ao deslocamento unitário Para estabelecer os valores de x e y da treliça da Figura 171a resol vemos duas equações de equilíbrio Essas equações são estabelecidas pela superposição das forças no nó 2 da Figura 171b e c e então igualandose sua soma aos valores das forças de nó reais na estrutura original ver Figura 171a 171 172 c Fy 0 K21x K22y 10 S Fx 0 K11x K12y 0 As equações 171 e 172 podem ser escritas em forma matricial como 173 em que 174 K K11 K12 K21 K22 x x F F1 F2 0 10 K F em que K matriz de rigidez da estrutura isto é seus elementos são coeficientes de rigidez D matriz coluna de deslocamentos de nó desconhecidos F matriz coluna de forças de nó aplicadas Figura 172 Coeficientes de rigidez de uma barra carregada axialmente com área A compri mento L e módulo de elasticidade E a forças geradas por um deslocamento horizontal unitário b forças geradas por um deslocamento vertical unitário x y L a 1 Fy F sen sen AE L cos cos sen 1 Fx F cos AE L cos2 Fx F cos AE L sen cos F AE L cos F AE L sen x y b Fy F sen AE sen2 L 686 Capítulo 17 Análise matricial de treliças pelo método da rigidez direta Para determinar os valores de x e y os elementos da matriz D multiplicamos previamente os dois lados da Equação 173 por K1 o inverso de K Como K 1K 1 175 K 1F K 1K K 1F Após o cálculo de x e y as reações e forças de barra podem ser determinadas pela superposição das forças correspondentes que atuam nos apoios e nos membros mostrados nos casos I e II isto é multiplica mos as forças no caso I por x e somamos o produto às forças correspon dentes no caso II multiplicadas por y Por exemplo 1 67 Reação no apoio 1 a 1 67 Força na barra 1 b F1 F11x F12y R 1 r11x r12y Para ilustrar os detalhes do método da rigidez analisaremos a treliça da Figura 171a supondo as seguintes propriedades de barra Áreas de barra Módulo de elasticidade Comprimento da barra L1 L2 L E1 E2 E A1 A2 A Avaliamos os coeficientes de rigidez na Figura 171b com a ajuda da Figura 172a em que f 0 para a barra 1 e f 45 para a barra 2 Para esses ângulos os respectivos valores de sen f e cos f são Barra 1 Barra 2 cos 45 22 2 sen 45 22 2 c os 0 1 sen 0 0 Embora as propriedades A E e L das duas barras sejam idênticas identificaremos inicialmente os termos que se aplicam a cada barra usando variáveis com subscritos Usando a Figura 172a para avaliar os coeficientes de rigidez na Figura 171b temos 177 178 K21 a AE L cos f sen f A1E1 L1 1 0 A2E2 L2 22 2 2 K11 a AE L cos2 f A1E1 L1 112 2 A2E2 L2 a 22 2 b 2 Avaliamos os coeficientes de rigidez na Figura 171c com a Figura 172b 179 K22 a AE L sen2 f A1E1 L1 0 2 A2E2 L2 22 2 2 687 Seção 171 Introdução 1710 K12 a AE L sen f cos f A1E1 L1 0 1 A2E2 L2 22 2 2 Escrevendo os coeficientes de rigidez nas equações 177 a 1710 em termos de A E e L combinando os termos e substituindoos na Equação 174 podemos escrever a matriz de rigidez da estrutura K como 1711 K 3AE 2L AE 2L AE 2L AE 2L AE 2L c3 1 1 1d Usando a Equação 1610 para avaliar K1 calculamos 1712 K 1 L AE 1 1 1 3 Substituindo K1 dado pela Equação 1712 e F dado pela Equação 174 na Equação 175 e multiplicando temos isto é 1713 x 10L AE y 30L AE c x y d L AE c 1 1 1 3 d c 0 10 d L AE c 10 30 d Agora as forças de barra são calculadas pela superposição dos casos I e II Para avaliar as forças axiais produzidas pelos deslocamentos unitá rios usamos a Figura 172 Para a barra 1 f 0 176b F1 xF11 yF12 em que F11 F AEL cos f Figura 172a e F12 F AEL sen f Figura 172b F1 10L AE AE L 1 30L AE AE L 0 10 kips Para a barra 2 f 45 F2 xF21 yF22 em que F21 F AEL cos f na Figura 172a e F22 F AEL sen f na Figura 172b F2 10L AE AE L 22 2 30L AE AE L 22 2 1022 kips 688 Capítulo 17 Análise matricial de treliças pelo método da rigidez direta 172 Matrizes de rigidez de membro e da estrutura Para permitir que o método da rigidez apresentado na Seção 171 seja programado automaticamente a partir dos dados de entrada isto é coordenadas do nó propriedades de membro cargas de nó etc apre sentaremos agora um procedimento ligeiramente diferente para gerar a matriz de rigidez da estrutura K Nesse procedimento modificado geramos a matriz de rigidez de membro k de membros individuais da treliça e então combinamos essas matrizes para formar a matriz de rigidez da estrutura K A matriz de rigidez de membro de uma barra carregada axialmente relaciona as forças axiais nas extremidades do membro aos desloca mentos axiais em cada extremidade Os elementos da matriz de rigidez de membro são inicialmente expressos em termos de um sistema de coordenadas local ou do membro cujo eixo x é colinear com o eixo longitudinal do membro Como a inclinação dos eixos longitudinais de barras individuais normalmente varia antes de podermos combinar as matrizes de rigidez de membro devemos transformar suas propriedades a partir dos sistemas de coordenadas do membro individual para as de um sistema de coordenadas global único para a estrutura Embora a orientação do sistema de coordenadas global seja arbitrária normal mente localizamos sua origem em um nó externo na base da estrutura Para uma estrutura planar posicionamos os eixos x e y nas direções horizontal e vertical Na Seção 173 apresentaremos um procedimento para construir a matriz de rigidez do membro k em termos de um sistema de coordena das local Para as ocasiões em que o sistema de coordenadas local de todas as barras da treliça coincidir com o sistema de coordenadas glo bal a Seção 174 apresentará um procedimento para montar a matriz de rigidez da estrutura a partir das matrizes de rigidez de membro Após a matriz de rigidez da estrutura ser estabelecida a Seção 175 descreverá um procedimento para determinar os deslocamentos nodais as reações as deformações do membro e as forças desconhecidas A Seção 176 discutirá o caso mais geral de barras de treliça inclinadas com relação ao sistema de coordenadas global para esse caso será apresentado um procedimento para estabelecer a matriz de rigidez de membro k em termos do sistema de coordenadas global A Seção 177 descreverá uma estratégia alternativa para construir k a partir de k usando uma matriz de transformação 173 Construção da matriz de rigidez de membro para uma barra individual de treliça Para gerar a matriz de rigidez de membro de uma barra carregada axialmente consideraremos o membro n com comprimento L área A e módulo de elasticidade E da Figura 173a Os nós do membro são deno tados pelos números 1 e 2 Também mostramos um sistema de coordena das local com origem em 1 e os eixos x e y superpostos na barra Supo 689 Seção 173 Construção da matriz de rigidez de membro para uma barra individual de treliça mos que a direção positiva das forças e dos deslocamentos horizontais é a direção positiva do eixo x isto é dirigidos para a direita Conforme mostrado na Figura 173b primeiramente introduzimos um deslocamento 1 no nó 1 enquanto supomos que o nó 2 está restringido por um apoio de pino temporário Expressando as forças de extremidade em termos de 1 usando a Equação 166 temos 1714 Q11 AE L 1 e Q21 AE L 1 As forças de extremidade produzidas pelo deslocamento 1 são iden tificadas por dois subscritos O primeiro denota a localização do nó no qual a força atua e o segundo a localização do deslocamento O sinal de menos de Q21 é necessário porque ela atua na direção negativa de x Con forme vimos na Seção 171 as forças de extremidade Q11 e Q21 também poderiam ter sido geradas pela introdução de um deslocamento unitário no nó 1 e multiplicandose os coeficientes de rigidez K11 AEL e K21 AEL pelo deslocamento 1 real Analogamente se o nó 1 é restringido enquanto o nó 2 se desloca na direção positiva por uma distância 2 as forças de extremidade são 1715 Q12 AE L 2 e Q22 AE L 2 Para avaliar as forças resultantes Q1 e Q2 em cada extremidade do membro em termos dos deslocamentos de extremidade 1 e 2 ver Figura 173d somamos os termos correspondentes das equações 1714 e 1715 resultando 1716 Q2 Q21 Q22 AE L 1 2 Q1 Q11 Q12 AE L 11 22 A Equação 1716 pode ser expressa em notação matricial como 1717 ou 1718 Q k cQ 1 Q 2 d AE L AE L AE L AE L c 1 2 d em que a matriz de rigidez do membro no sistema de coordenadas local é 1719 k AE L AE L AE L AE L AE L c 1 1 1 1 d n y x a 1 1 1 1 2 2 2 2 L 1 Q11 Q21 b Q22 Q12 2 c 1 d Q2 Q1 2 Figura 173 Coeficientes de rigidez de uma barra carregada axialmente a barra mostrando o sistema de coordenadas local com origem no nó 1 b deslocamento introduzido no nó 1 com o nó 2 restringido c deslocamento introduzido no nó 2 com o nó 1 restringido d forças e deslocamentos de extremidade da barra real produzidos pela superposição de b e c 690 Capítulo 17 Análise matricial de treliças pelo método da rigidez direta e D é o vetor de deslocamento O apóstrofo é adicionado a k para indicar que a formulação é dada nos termos das coordenadas locais x e y do membro Como todos os elementos AEL na matriz k podem ser interpretados como a força associada a um deslocamento axial unitário de uma extremidade do membro quando a extremidade oposta está restringida eles são os coeficientes de rigidez e podem ser deno tados como 1720 k AE L Observamos também que a soma dos elementos em cada coluna de k é igual a zero Essa condição resulta porque os coeficientes em cada coluna representam as forças produzidas por um deslocamento unitário de um nó enquanto o outro nó está restringido Como a barra está em equilíbrio na direção x as forças devem somar zero Além disso todos os coeficientes ao longo da diagonal principal devem ser positivos pois esses termos estão associados à força que atua no nó em que um desloca mento positivo é introduzido na estrutura e de modo correspondente a força se dá na mesma direção positiva do deslocamento Note que a matriz de deslocamento D na Equação 1717 contém somente deslocamentos 1 e 2 ao longo do eixo do membro Os deslo camentos de extremidade na direção y não precisam ser incluídos na formulação pois esses movimentos transversais não produzem força interna nos membros da treliça de acordo com a teoria das pequenas deformações 174 Montagem da matriz de rigidez da estrutura Se uma estrutura consiste de várias barras e o sistema de coordenadas local dessas barras coincide com o sistema de coordenadas global então a matriz de rigidez K da estrutura pode ser gerada por um dos dois méto dos a seguir 1 Introdução de deslocamentos em cada nó com todos os outros nós restringidos 2 Combinação das matrizes de rigidez das barras individuais Ilustraremos o uso dos dois métodos gerando a matriz de rigidez da estrutura do sistema de duas barras mostrado na Figura 174a Método 1 Superposição das forças produzidas por deslocamentos nodais Conforme mostrado na Figura 174b a d introduzimos deslocamentos em cada nó enquanto todos os outros nós são restringidos e calculamos as forças de nó usando a Equação 166 isto é Q AEL k Os deslocamentos e as forças são positivos quando dirigidos para a direita Defina k1 A1E1L1 e k2 A2E2L2 691 Seção 174 Montagem da matriz de rigidez da estrutura Caso 1 O nó 1 se desloca 1 os nós 2 e 3 são restringidos ver Figura 174b Como a barra 2 não deforma nenhuma reação se desen volve no nó 3 1721 Q 11 k 11 Q 21 k 11 Q 31 0 Caso 2 O nó 2 se desloca 2 os nós 1 e 3 são restringidos ver Figura 174c 1722 Q12 k12 Q22 k1 k2 2 Q32 k22 Caso 3 O nó 3 se desloca 3 os nós 2 e 3 são restringidos ver Figura 174d 1723 Q 13 0 Q 23 k 23 Q 33 k 23 Para expressar as forças de nó resultantes Q1 Q2 e Q3 em termos dos deslocamentos nodais somamos as forças Q em cada nó dadas pelas equações 1721 1722 e 1723 1724 Q 3 Q 31 Q 32 Q 33 k 22 k 23 Q 2 Q 21 Q 22 Q 23 k 11 1k 1 k 22 2 k 23 Q 1 Q 11 Q 12 Q 13 k 11 k 12 Expressando as três equações acima em notação matricial temos 1725 Q1 Q2 Q3 k1 k1 0 k1 k1 k2 k2 0 k2 k2 1 2 3 Figura 174 Condições de carga usadas para gerar a matriz de rigidez da estrutura a propriedades do sistema de duas barras b forças de nó produzidas por um deslocamento positivo 1 do nó 1 com os nós 2 e 3 restringidos c forças de nó produzidas por um deslocamento positivo do nó 2 com os nós 1 e 3 restringidos d forças de nó produzidas por um deslocamento positivo do nó 3 com os nós 1 e 2 restringidos a b L1 Q12 Q31 Q11 Q21 1 1 1 2 3 2 c Q32 Q22 2 3 Q13 d Q33 Q23 L2 A1 E1 A2 E2 692 Capítulo 17 Análise matricial de treliças pelo método da rigidez direta ou 1726 Q K em que Q matriz coluna de forças nodais D matriz coluna de deslocamentos nodais K matriz de rigidez da estrutura Conforme discutimos anteriormente os coeficientes em cada coluna da matriz de rigidez da Equação 1725 somam zero pois constituem um conjunto de forças em equilíbrio Como a matriz é simétrica o princípio de MaxwellBetti a soma dos coeficientes em cada linha também deve ser igual a zero Se as forças nodais no vetor Q da Equação 1726 são especificadas parece inicialmente que podemos determinar os deslocamentos de nó multi plicando previamente os dois lados da Equação 1726 pelo inverso da matriz de rigidez da estrutura K Contudo as três equações representadas pela Equação 1725 não são independentes pois a linha 2 é uma combinação linear das linhas 1 e 3 Para provar isso podemos produzir a linha 2 somando as linhas 1 e 3 após elas serem multiplicadas por 1 Como estão disponíveis somente duas equações independentes para resolver as três incógnitas a matriz K é singular e não pode ser invertida consultar a Seção 168 O fato de não podermos resolver as três equações de equilíbrio indica que a estru tura é instável isto é não está em equilíbrio A instabilidade ocorre porque nenhum apoio foi especificado para a estrutura ver Figura 174a Conforme discutiremos em breve se forem fornecidos apoios suficientes para produzir uma estrutura estável podemos dividir a matriz em submatrizes que possam ser resolvidas para achar os deslocamentos nodais desconhecidos Método 2 Construção da matriz de rigidez da estrutura pela combinação das matrizes de rigidez de membro A matriz de rigidez da estrutura da Figura 174 também pode ser gerada pela combinação das matrizes de rigidez de membro das barras 1 e 2 Usando a Equação 1719 podemos escrever as matrizes de rigidez de membro das duas barras como 1727 k1 k1 1 k1 2 k 1 k 1 1 2 k2 k2 2 k2 3 k 2 k 2 2 3 Subscritos são adicionados aos coeficientes de rigidez para identificar a barra cujas propriedades representam Também rotulamos a parte supe rior de cada coluna com um número que identifica o deslocamento de nó em particular associado aos elementos da coluna e numeramos as linhas à direita de cada colchete para identificar a força nodal associada aos elementos da linha Construímos um sistema de coordenadas xy global no nó 1 de modo que esse sistema coincida com o sistema de coordenadas xy local das barras individuais Como o eixo x de cada barra coincide com o eixo x do sistema de coordenadas global temos k1 k1 e k2 k2 Como os ele mentos da primeira e da segunda colunas de cada matriz na Equação 1727 referemse a nós diferentes somar essas duas matrizes diretamente 693 Seção 175 Solução do método da rigidez direta não tem nenhum significado físico Para permitir a adição das matrizes as expandimos para a mesma ordem da matriz de rigidez da estrutura 3 neste caso para deslocamentos horizontais nos três nós adicionando uma linha extra e uma coluna extra 1728 k1 k1 1 k1 2 0 3 k 1 k 1 0 0 0 0 1 3 2 k2 0 1 0 2 0 3 0 k 2 k 2 0 k 2 k 2 1 2 3 Por exemplo os coeficientes na matriz k1 Equação 1727 relacionam as forças nos nós 1 e 2 ao deslocamento dos mesmos nós Para eliminar na matriz expandida Equação 1728 o efeito dos deslocamentos no nó 3 sobre as forças nos nós 1 2 e 3 os elementos na terceira coluna da matriz expandida devem ser definidos iguais a zero pois esses termos serão multiplicados pelo deslocamento do nó 3 Analogamente como a matriz 2 2 k1 original não influencia a força no nó 3 os elementos da linha inferior da matriz devem ser todos definidos iguais a zero Um raciocínio semelhante exige que expandamos a matriz k2 para uma matriz 3 3 adicionando zeros na primeira linha e na primeira coluna Como as matri zes expandidas dadas pela Equação 1728 são da mesma ordem podemos somar seus elementos diretamente para produzir a matriz de rigidez da estrutura K 1729 K k1 k2 k1 1 k1 2 2 0 3 k1 k1 k2 k2 0 k2 k2 1 2 3 k1 1 k1 2 0 3 k1 k1 k2 k2 0 k2 k2 1 2 3 A matriz de rigidez dada pela Equação 1729 é idêntica àquela produ zida pelo método 1 ver Equação 1725 Na aplicação real não é necessário expandir as matrizes de rigidez de membro individuais para construir a matriz de rigidez da estrutura Mais simplesmente inserimos os coeficientes de rigidez da matriz de rigidez de membro nas linhas e colunas apropriadas da matriz de rigidez da estru tura Na Equação 1729 a matriz de rigidez do membro individual está circundada por linhas tracejadas para mostrar sua posição na matriz de rigidez da estrutura 175 Solução do método da rigidez direta Montada a matriz de rigidez da estrutura K e estabelecida a relação forçadeslocamento Equação 1726 descrevemos nesta seção como se faz para avaliar o vetor de deslocamento de nó desconhecido D e as reações de apoio de uma estrutura Conforme discutimos na Seção 171 o primeiro passo na análise da rigidez é calcular os deslocamentos nodais desconhecidos Essa etapa consiste em resolver um conjunto de 694 Capítulo 17 Análise matricial de treliças pelo método da rigidez direta equações de equilíbrio por exemplo ver equações 171 e 172 nas quais os deslocamentos nodais são as incógnitas Os termos que com põem essas equações de equilíbrio são submatrizes das três matrizes Q K e D da Equação 1726 Essas submatrizes podem ser estabelecidas separandose as matrizes da Equação 1726 de modo que os termos associados aos nós que estão livres para se deslocar sejam separados dos termos associados aos nós restringidos pelos apoios Essa etapa exige que todas as linhas associadas aos graus de liberdade sejam deslocadas para o topo da matriz Quando uma linha é deslocada para cima a coluna correspondente também precisa ser deslocada para a esquerda de maneira semelhante Se a análise matricial for feita à mão podemos executar essa etapa numerando os nós não restringidos antes dos nós restringidos O resultado dessa reorganização e partição nos permitirá expressar a Equação 1726 em termos das seguintes submatrizes 1730 Qf Qs K11 K12 K21 K22 f s em que Qf matriz contendo valores de carga nos nós livres para se deslocar Qs matriz contendo reações de apoio desconhecidas Df matriz contendo deslocamentos de nó desconhecidos Ds matriz contendo deslocamentos de apoio Multiplicando as matrizes na Equação 1730 temos 1731 1732 Qs K21 f K22 s Qf K11 f K12 s Se os apoios não se movem isto é Ds é uma matriz nula as equações acima se reduzem a 1733 1734 Qs K21 f Qf K11 f Como os elementos em Qf e K11 são conhecidos a Equação 1733 pode ser resolvida para Df multiplicandose previamente os dois lados da equação por K1 11 resultando em 1735 f K 1 11 Qf Substituindo o valor de Df na Equação 1734 temos as reações de apoio 1736 Qs K21K 1 11 Qf No Exemplo 171 aplicamos o método da rigidez na análise de uma treliça simples O método não depende do grau de indeterminação da estrutura e é aplicado da mesma maneira em estruturas determinadas e indeterminadas 695 Seção 175 Solução do método da rigidez direta Determine os deslocamentos de nó e as reações da estrutura da Figura 175 pela partição da matriz de rigidez da estrutura L1 120 A1 12 pol2 E1 10000 kipspol2 1 2 3 2 3 2 1 1 30 kips L2 150 A2 06 pol2 E2 20000 kipspol2 Figura 175 Solução Numere os nós começando com os que estão livres para se deslocar O sentido positivo dos deslocamentos e das forças em cada nó está indicado pelas setas Como as barras só transmitem força axial consi deramos apenas os deslocamentos na direção horizontal Calcule a rigidez k AEL de cada membro k2 06 20000 150 80 kips pol k1 12110000 2 120 100 kipspol Avalie as matrizes de rigidez de membro usando a Equação 1719 Como o sistema de coordenadas local de cada barra coincide com o sistema de coordenadas global k k k2 k 2 1 1 1 1 80 1 80 3 80 80 1 3 k1 k 1c 1 1 1 1 d c 100 1 100 2 100 100 d 1 2 E X E M P L O 1 7 1 continua 696 Capítulo 17 Análise matricial de treliças pelo método da rigidez direta Defina a matriz de rigidez da estrutura K combinando os termos das matrizes de rigidez de membro k1 e k2 Estabeleça a Equação 173 como segue Q 1 30 Q 2 Q 3 100 1 80 100 2 80 3 100 100 0 80 0 80 1 2 0 3 0 Separe as matrizes conforme indicado pela Equação 1730 e resolva para 1 usando a Equação 1735 Como cada submatriz contém um elemento a Equação 1735 se reduz a uma equação algébrica simples 1 1 180 30 1 6 pol f K 1 11 Qf Resolva para as reações usando a Equação 1736 em que Q 3 1 180 80 30 1333 kips Q 2 1 180 100 30 1667 kips Q 2 Q 3 100 80 1 180 30 1667 1333 Qs K21K 1 11 Qf Portanto as reações nos nós 2 e 3 são de 1667 e 1333 kips res pectivamente Os sinais de menos indicam que as forças atuam para a esquerda continuação 697 Seção 176 Matriz de rigidez de membro de uma barra de treliça inclinada 176 Matriz de rigidez de membro de uma barra de treliça inclinada Para ilustrar a construção da matriz de rigidez da estrutura da Seção 174 analisamos uma treliça simples com barras horizontais Como a orientação do membro e dos sistemas de coordenadas globais dessas bar ras é idêntica k é igual a k e podemos inserir as matrizes 2 2 de rigidez de membro diretamente na matriz de rigidez da estrutura Contudo esse método não pode ser aplicado a uma treliça com barras inclinadas Nesta seção desenvolveremos a matriz de rigidez de membro k para uma barra inclinada em termos de coordenadas globais para que o método da rigidez direta possa ser estendido para treliças com membros diagonais Na Figura 176a mostramos um membro inclinado ij O nó i é deno tado como extremidade próxima e o nó j como extremidade distante A posição inicial do membro não tensionado é mostrada por uma linha tra cejada O eixo local do membro x faz um ângulo f com o eixo x do sistema de coordenadas global cuja origem está localizada no nó i Atri buímos uma direção positiva para a barra colocando uma seta dirigida do nó i para o nó j ao longo do eixo da barra Atribuindo uma direção positiva para cada barra poderemos levar em conta o sinal mais ou menos das funções seno e coseno que aparecem nos elementos da matriz de rigidez de membro Para gerar as relações forçadeslocamento de uma barra inclinada no sistema de coordenadas global introduzimos em sequência desloca mentos nas direções x e y em cada extremidade do membro Esses des locamentos são rotulados com dois subscritos O primeiro identifica a localização do nó onde o deslocamento ocorre o segundo denota a dire ção do deslocamento com relação aos eixos globais As componentes da força nas extremidades da barra e a magnitude do deslocamento de nó ao longo do eixo da barra gerado pelos respec tivos deslocamentos na Figura 176 são avaliados usando a Figura 172 Como as forças e deformações da Figura 172 são produzidas por des locamentos unitários elas devem ser multiplicadas pela magnitude real dos deslocamentos na Figura 176 Os deslocamentos da Figura 176 estão apresentados em uma escala exagerada para mostrar as relações geométricas claramente Como na verdade os deslocamentos são pequenos podemos supor que a inclinação da barra não é alterada pelos deslocamentos de extremidade Tratando xi yi xj e yj como as coorde nadas dos nós i e j respectivamente sen f e cos f podem ser expressos em termos das coordenadas dos nós i e j como 1737 em que 1738 L 2 xj xi 2 yj yi 2 sen f yj yi L cos f xj xi L 698 Capítulo 17 Análise matricial de treliças pelo método da rigidez direta Caso 1 Introduza um deslocamento horizontal ix no nó i com a extremidade j da barra restringida produzindo uma força axial Fi na barra ver Figura 176a 1739 Fi AE L dix em que dix cos f ix Figura 176 Forças causadas por a desloca mento horizontal ix b deslocamento vertical iy c deslocamento horizontal jx d desloca mento vertical jy y x Fjx Fix j i Fjy Fiy a ix ix y x Fjx Fix j i Fjy Fiy b iy iy jx y x Fjx Fix j i Fjy Fiy c jx Fix jy y x Fjx j i Fjy Fiy d jy 699 Seção 176 Matriz de rigidez de membro de uma barra de treliça inclinada 1740 Fjy Fiy AE L cos f sen f ix Fjx Fix AE L 1cos2 f2ix Fiy Fi sen f AE L 1cos f2 1sen f2ix Fix Fi cos f AE L 1cos2 f2ix Caso 2 Introduza um deslocamento vertical iy no nó i com a extre midade j da barra restringida ver Figura 176b 1741 1742 Fjy Fiy AE L sen2 f iy Fjx Fix AE L 1sen f2 1cos f2iy Fiy AE L 1sen2 f2iy Fix AE L 1sen f2 1cos f2iy Fi AE L diy em que diy 1sen f2iy Caso 3 Introduza um deslocamento horizontal jx no nó j com a extre midade i da barra restringida Figura 176c 1743 djx cos f jx Os valores de força de nó são idênticos aos dados pelas equações 1740 mas com jx substituído por ix e os sinais invertidos isto é as forças no nó j atuam para cima e para a direita e as reações no nó i atuam para baixo e para a esquerda 1744 Fjy AE L sen f cos f jx Fjx AE L 1cos2 f2jx Fiy AE L 1sen f2 1cos f2jx Fix AE L 1cos 2 f2jx 700 Capítulo 17 Análise matricial de treliças pelo método da rigidez direta Caso 4 Introduza um deslocamento vertical jy no nó j com a extre midade i da barra restringida Figura 176d 1745 djy sen f jy Os valores de forças de nó são idênticos aos dados pelas equações 1742 mas com jy substituído por iy e os sinais invertidos 1746 Fjy AE L sen 2 f jy Fjx AE L 1sen f2 1cos f2jy Fiy AE L 1sen 2 f2jy Fix AE L 1sen f2 1cos f2jy Se ocorrerem deslocamentos horizontais e verticais nos nós i e j as componentes da força do membro Q em cada extremidade poderão ser avaliadas somandose as forças dadas pelas equações 1740 1742 1744 e 1746 isto é AE L 3 1cos2 f2ix 1sen f2 1cos f2iy 1cos2 f2jx 1sen f2 1cos f2jy4 Q jx Fjx AE L sen f cos f ix sen 2 f iy sen f cos f jx sen 2 f jy Q jy Fjy 1747 Qix Fix AE L cos2 f ix sen f cos f iy cos2 f jx sen f cos f jy Qiy Fiy AE L 3 1sen f2 1cos f2ix 1sen 2 f2iy 1sen f2 1cos f2jx 1sen 2 f2jy4 Fazendo cos f c e sen f s podemos escrever o conjunto de equa ções precedente em notação matricial como 1748 ou 1749 Q k Q ix Q iy Q jx Q jy AE L c2 sc c2 sc sc s2 sc s2 c2 sc c2 sc sc s2 sc s2 ix iy jx jy 701 Seção 176 Matriz de rigidez de membro de uma barra de treliça inclinada em que Q vetor de forças de extremidade de membro referenciadas ao sistema de coordenadas global k matriz de rigidez de membro em termos de coordenadas globais D matriz de deslocamentos de nós referenciados ao sistema de coordenadas global O deslocamento axial di do nó i na direção do eixo longitudinal do membro pode ser expresso em termos das componentes horizontal e vertical do deslocamento no nó i pela soma das equações 1739 e 1741 Analogamente as equações 1743 e 1745 podem ser somadas para esta belecer o deslocamento axial no nó j 1750 dj djx djy cos f jx sen f jy di dix diy 1cos f2ix 1sen f2 iy As expressões acima também podem ser representadas pela equação matricial 1751 ou 1752 D T cdi dj d c c s 0 0 0 0 c s d ix iy jx jy em que T é uma matriz de transformação que converte as componentes dos deslocamentos de extremidade do membro em coordenadas globais para os deslocamentos axiais na direção do eixo do membro A força axial Fij na barra ij depende da deformação axial final do membro isto é da diferença nos deslocamentos de extremidade dj di Essa força pode ser expressa em termos da rigidez AEL do mem bro como 1753 Fij AE L dj di 702 Capítulo 17 Análise matricial de treliças pelo método da rigidez direta Determine os deslocamentos de nó e as forças de barra na treliça da Figura 177 pelo método da rigidez direta Propriedades dos membros A1 2 pol2 A2 25 pol2 e E 30 000 kipspol2 20 30 kips 1 2 4 6 y 5 3 15 2 2 1 3 1 x Figura 177 Solução As barras e nós da treliça são identificados por números em quadra dos e círculos respectivamente Selecionamos arbitrariamente a origem do sistema de coordenadas global no nó 1 Setas são mostradas ao longo do eixo de cada barra para indicar a direção dos nós próximos para os distantes Em cada nó estabelecemos a direção positiva das componentes dos deslocamentos e forças globais com duas setas nume radas A coordenada na direção x recebe o número menor pois as linhas da matriz de rigidez de membro na Equação 1748 são geradas pela introdução de deslocamentos na direção x antes dos de direção y Con forme discutimos na Seção 174 numeramos as direções em sequência começando com os nós que estão livres para se deslocar Por exemplo na Figura 177 começamos pelo nó 3 com as componentes de direção 1 e 2 Depois de numerarmos as componentes do deslocamento nos nós não restringidos numeramos as coordenadas nos nós restringidos Essa sequência de numeração produz uma matriz de rigidez da estrutura que pode ser separada em partes de acordo com a Equação 1730 sem des locar as linhas e colunas Construa matrizes de rigidez de membro ver Equação 1748 Para o membro 1 o nó 1 é o nó próximo e o nó 3 é o nó distante Calcule o seno e o coseno do ângulo de inclinação com a Equação 1737 E X E M P L O 1 7 2 703 Seção 176 Matriz de rigidez de membro de uma barra de treliça inclinada k1 250 1 1 0 2 1 3 0 4 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 AE L 2130000 2 201122 250 kipspol cos f xj xi L 20 0 20 1 e sen f yj yi L 0 0 20 0 Para o membro 2 o nó 2 é o nó próximo e o nó 3 é o nó distante k2 250 064 1 048 2 064 5 048 6 048 036 048 036 064 048 064 048 048 036 048 036 AE L 25130000 2 251122 250 kipspol sen f 0 15 25 06 c o s f 20 0 25 08 Ajuste as matrizes para a relação forçadeslocamento da Equação 1730 isto é Q KD A matriz de rigidez da estrutura é montada inserindose os elementos das matrizes de rigidez de membro k1 e k2 nas linhas e colunas apropriadas Q 1 0 Q 2 30 Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 250 164 1 048 2 1 3 0 4 064 5 048 6 048 036 0 0 048 036 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 064 048 0 0 064 048 048 036 0 0 048 036 1 2 3 0 4 0 5 0 6 0 Separe as matrizes acima como indicado na Equação 1730 e resolva para os deslocamentos desconhecidos 1 e 2 usando a Equa ção 1733 continua 704 Capítulo 17 Análise matricial de treliças pelo método da rigidez direta 0 30 250 164 048 048 036 1 2 Qf K11 f Resolvendo para os deslocamentos temos f 1 2 016 0547 Substitua os valores de 1 e 2 na Equação 1734 e resolva para as reações de apoio Qs Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 250 1 0 0 0 064 048 048 036 016 0547 40 0 40 30 Qs K21 f O sinal de menos indica que uma força ou deslocamento tem sen tido oposto à direção indicada pelas setas nos nós Calcule os deslocamentos de extremidade de membro d em ter mos das coordenadas do membro com a Equação 1751 Para a barra 1 i nó 1 e j nó 3 cos f 1 e sen f 0 cd1 d3 d c1 0 0 0 0 0 1 0d 3 0 4 0 1 016 2 0547 c 0 016 d Resp Substituindo esses valores de d na Equação 1753 calculamos a força de barra no membro 1 como F13 250 0 016 1 1 40 kips compressão Resp Para a barra 2 i nó 2 e j nó 3 cos f 08 e sen f 06 cd2 d3 d c08 06 0 0 0 0 08 06 d 5 0 6 0 1 016 2 0547 c0 020 d Substituindo na Equação 1753 temos F23 250 0 020 1 1 50 kips tração Resp continuação 705 Seção 176 Matriz de rigidez de membro de uma barra de treliça inclinada Analise a treliça da Figura 178 pelo método da rigidez direta Cons trua a matriz de rigidez da estrutura sem considerar se os nós são res tringidos ou livres em relação ao deslocamento Em seguida reorganize os termos e separe a matriz para que os deslocamentos de nó desconhe cidos Df possam ser determinados pela Equação 1730 Use k1 k2 AEL 250 kipspol e k3 2AEL 500 kipspol 15 40 kips 3 4 2 6 y x 5 1 20 3 3 1 2 2 1 Figura 178 Treliça com sistema de coordenadas global com origem no nó 1 Solução Numere os nós arbitrariamente como mostrado na Figura 178 Setas são mostradas ao longo do eixo de cada barra da treliça para indicar a direção da extremidade próxima até a extremidade distante do membro Estabeleça então para cada nó sequencialmente a dire ção positiva das componentes dos deslocamentos e forças globais com duas setas numeradas sem considerar se o nó é restringido em relação ao movimento Superponha na treliça um sistema de coordenadas global com origem no nó 1 Monte as matrizes de rigidez de membro usando a Equação 1748 Para a barra 1 i nó 1 e j nó 2 Usando a Equação 1737 cos f xj xi L 15 0 15 1 E X E M P L O 1 7 3 continua 706 Capítulo 17 Análise matricial de treliças pelo método da rigidez direta k1 250 1 1 0 2 1 3 0 4 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 2 3 4 sen f yj yi L 0 0 15 0 Para a barra 2 i nó 1 e j nó 3 k2 250 0 1 0 2 0 5 0 6 1 0 1 0 1 2 0 0 0 0 5 0 1 0 1 6 cos f 0 0 20 0 sen f 20 0 20 1 Para a barra 3 i nó 3 e j nó 2 k3 500 036 5 048 6 036 3 048 4 048 064 048 064 036 048 036 048 048 064 048 064 5 6 3 4 c o s f 15 0 25 06 sen f 0 20 25 08 Some k1 k2 e k3 inserindo os elementos das matrizes de rigidez de membro na matriz de rigidez da estrutura nos locais apropriados Mul tiplique os elementos de k3 por 2 para que todas as matrizes sejam multiplicadas pelo mesmo valor escalar AEL isto é 250 K 250 1 1 0 2 1 3 0 4 0 5 0 6 0 1 0 0 0 1 1 0 172 096 072 096 0 0 096 128 096 128 0 0 072 096 072 096 0 1 096 128 096 228 1 2 3 6 5 4 continuação 707 Seção 176 Matriz de rigidez de membro de uma barra de treliça inclinada Estabeleça as matrizes de forçadeslocamento da Equação 1730 deslocando as linhas e colunas da matriz de rigidez da estrutura para que os elementos associados aos nós que se deslocam isto é compo nentes de direção 3 4 e 6 estejam localizados no canto superior esquerdo Isso pode ser feito deslocando primeiro a terceira linha para a parte superior e depois a terceira coluna para a primeira coluna Então o procedimento é repetido para as componentes de direção 4 e 6 Q 3 0 Q 4 40 Q 6 0 Q 1 Q 2 Q 5 250 172 3 096 4 096 6 1 1 0 2 072 5 096 128 128 0 0 096 096 128 228 0 1 096 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 072 096 096 0 0 072 3 4 6 1 0 2 0 5 0 3 4 6 1 2 5 Separe a matriz e resolva os deslocamentos de nó desconhecidos usando a Equação 1733 0 40 0 250 172 096 096 096 128 128 096 128 228 3 4 6 Qf K11 f Resolvendo o conjunto de equações acima temos 3 4 6 012 0375 016 Resp Resolva as reações de apoio usando a Equação 1734 1734 Q1 Q2 Q5 250 1 0 0 0 0 1 072 096 096 012 0375 016 30 40 30 Qs K21 f Resp 708 Capítulo 17 Análise matricial de treliças pelo método da rigidez direta E X E M P L O 1 7 4 Se o deslocamento horizontal do nó 2 na treliça do Exemplo 173 é restringido pela adição de um rolo ver Figura 179 determine as reações Solução A matriz de rigidez da estrutura da treliça foi estabelecida no Exem plo 173 Embora a adição de um apoio extra crie uma estrutura inde terminada a solução é obtida da mesma maneira As linhas e colunas associadas aos graus de liberdade que estão livres para se deslocar são deslocadas para o canto superior esquerdo da matriz de rigidez da estru tura Essa operação produz as seguintes matrizes de forçadesloca mento Q 4 40 Q 6 0 Q 1 Q 2 Q 3 Q 5 250 128 4 128 6 0 1 0 2 096 3 096 5 128 228 0 0 096 096 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 096 096 1 0 172 072 096 096 0 0 072 072 4 6 1 0 2 0 3 0 5 0 6 4 1 3 2 5 Separe a matriz acima e resolva os deslocamentos de nó desconhe cidos usando a Equação 1733 40 0 250 128 128 128 228 4 6 Qf K11 f A solução do conjunto de equações acima fornece 4 6 0285 0160 Resolva as reações usando a Equação 1734 Q 1 Q 2 Q 3 Q 5 250 0 0 0 1 096 096 096 096 c 0285 0160 d 0 40 30 30 Qs K21 f Resp Os resultados são mostrados na Figura 179b As forças de barra podem ser calculadas com as equações 1752 e 1753 Figura 179 a Detalhes da treliça b resul tados da análise a 40 kips 3 4 2 6 y x 5 1 3 3 1 2 2 1 b 40 kips 40 kips 0 kip 30 kips 30 kips 709 Seção 177 Transformação de coordenadas de uma matriz de rigidez de membro 177 Transformação de coordenadas de uma matriz de rigidez de membro Na Seção 173 deduzimos a matriz 2 2 de rigidez de membro k de uma barra de treliça com relação a um sistema de coordenadas local ver Equação 1719 Na análise de uma treliça composta de membros inclinados em vários ângulos foi mostrado na Seção 176 que a mon tagem da matriz de rigidez da estrutura K exige que expressemos todas as matrizes de rigidez de membro em termos de um sistema de coordenadas global comum Para uma barra de treliça individual cujo eixo forma um ângulo f com o eixo x global ver Figura 1710 a matriz 4 4 de rigidez de membro k em coordenadas globais é dada pela matriz do meio na Equação 1748 Embora tenhamos deduzido essa matriz a partir de princípios básicos na Seção 176 ela é mais comumente gerada a partir da matriz de rigidez de membro k formu lada em coordenadas locais usandose uma matriz de transformação T construída a partir da relação geométrica entre os sistemas de coor denadas local e global A equação usada para fazer a transformação de coordenadas é 1754 k TTk T em que k matriz 4 4 de rigidez de membro referenciada nas coorde nadas globais k matriz 2 2 de rigidez de membro referenciada no sistema de coordenadas local T matriz de transformação isto é matriz que converte o vetor 4 1 de deslocamento D em coordenadas globais no vetor 2 1 de deslocamento axial D na direção do eixo longitu dinal da barra A matriz T foi deduzida anteriormente na Seção 176 e aparece na Equação 1751 Figura 1710 Coordenadas globais mostradas pelo sistema xy coordenadas do membro ou locais mostradas pelo sistema xy y y x x L 710 Capítulo 17 Análise matricial de treliças pelo método da rigidez direta Mostre que a matriz de rigidez de membro k em coordenadas glo bais que aparece na Equação 1748 pode ser gerada a partir da matriz de rigidez de membro k em coordenadas locais ver Equação 1719 usando a Equação 1754 Solução c 0 s 0 0 c 0 s AE L c 1 1 1 1 d c c s 0 0 0 0 c sd c2 sc c2 sc sc s2 sc s2 c2 sc c2 sc sc s2 sc s2 k TTk T Resp Conforme observamos o produto dessa operação produz a matriz de rigidez de membro que aparece inicialmente na Equação 1748 E X E M P L O 1 7 5 Resumo O software de computador para análise estrutural geralmente é programado usandose a matriz de rigidez Em forma matricial a equação de equilíbrio é K F em que K é a matriz de rigidez da estrutura F é um vetor coluna das forças que atuam nos nós de uma treliça e D é um vetor coluna dos deslocamentos de nó desconhecidos O elemento kij que está localizado na iésima linha e jésima coluna da matriz K é denominado coeficiente de rigidez O coeficiente kij representa a força de nó na direção ou grau de liberdade de i devido a um deslocamento unitário na direção de j Com essa definição a matriz K pode ser construída pela mecânica básica Contudo para aplicações de computador é mais conveniente montar a matriz de rigidez da estrutura a partir das matrizes de rigidez de membro Um sistema de coordenadas xy local pode ser construído para cada barra da treliça ver Figura 173 Com uma deformação axial em cada nó na direção longitudinal x uma matriz 2 2 de rigidez de membro k em coordenadas locais foi apresentada na Equação 1719 Para os casos em que a estrutura não tem barras inclinadas e as coordenadas locais dos membros coincidem com as coordenadas globais xy da treliça a Seção 174 ilustrou um procedimento para construir a matriz de rigidez da estrutura pela combinação das matrizes de rigidez de membro ver Equação 1729 A equação de equilíbrio precisa ser dividida em partes para separar os graus de liberdade que podem se mover daqueles que não podem 711 Resumo isto é aqueles restringidos por apoios as forças de nó correspondentes aos graus de liberdade que não podem se mover são as reações de apoio Da divisão da equação de equilíbrio como na Equação 1730 resultam duas equações A primeira Equação 1733 é usada para calcular os deslocamentos de nó desconhecidos Df Uma vez determinado Df as reações de apoio Qs podem ser determinadas com a Equação 1734 Quando existem barras inclinadas em uma treliça é mais útil expressar a matriz de rigidez de membro usando um sistema de coordenadas global A forma geral de tal matriz 4 4 de rigidez de membro k foi apresentada na Equação 1748 A matriz k pode ser construída a partir da mecânica básica descrita na Seção 176 Alternativamente k pode ser obtida de k usandose a matriz de transformação de coordenadas descrita na Seção 177 Depois de calculados os deslocamentos de nó desconhecidos a partir da equação de equilíbrio as deformações axiais nas duas extremidades de um membro podem ser determinadas a partir da Equação 1752 Com essa informação a força axial do membro é calculada com a Equação 1753 712 Capítulo 17 Análise matricial de treliças pelo método da rigidez direta P171 Usando o método da rigidez escreva e resolva as equações de equilíbrio necessárias para determinar as componentes horizontal e vertical da deflexão no nó 1 da Figura P171 Para todas as barras E 200 GPa e A 800 mm2 PrObLEMAs 5 m 3 m 4 m 1 2 80 kN 3 4 1 3 2 P171 60 kips 12 12 16 30 2 1 3 4 1 2 3 P172 20 15 2 36 kips 1 2 3 1 3 P173 48 kips 12 16 60 2 1 3 1 2 3 P174 P172 Usando o método da rigidez determine as com ponentes horizontal e vertical do deslocamento do nó 1 na Figura P172 Calcule também todas as forças de barra Para todas as barras L 20 ft E 30 000 kipspol2 e A 3 pol2 P173 Monte a matriz de rigidez da estrutura para a Figura P173 Separe a matriz conforme indicado pela Equação 1730 Calcule todos os deslocamentos de nó e reações usando as equações 1734 e 1735 Para todas as barras A 2 pol2 e E 30 000 kipspol2 P174 Monte a matriz de rigidez da estrutura para a treliça da Figura P174 Use a matriz dividida para calcular o deslocamento de todos os nós e reações Calcule tam bém as forças de barra Área das barras 1 e 2 24 pol2 área da barra 3 2 pol2 e E 30 000 kipspol2 713 Problemas P175 Determine todos os deslocamentos de nó reações e forças de barra para a treliça da Figura P175 AE é constante para todas as barras A 2 pol2 E 30 000 kipspol2 P176 Determine todos os deslocamentos de nó rea ções e forças de barra para a treliça da Figura P176 Para todas as barras A 1 500 mm2 e E 200 GPa 20 40 kips 60 kips 15 1 4 3 2 1 3 2 4 5 6 P175 4 m 80 kN 3 m 3 m 4 3 1 2 1 2 3 5 m P176 Desmoronamento do teto sobre a Hartford Civic Center Arena consulte a Seção 17 para ver os detalhes A falha do teto abaixo suportado pela treliça espacial mostrada na foto no início do Capítulo 3 serve como lembrança de que os resultados de uma análise por computador não são melhores do que as infor mações fornecidas pelo engenheiro Embora os engenheiros atuais tenham acesso a poderosos progra mas de computador que podem analisar até a estrutura mais complexa ainda devem ter muito cuidado na modelagem da estrutura e na seleção correta das cargas C A P Í T U L O Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta 181 Introdução No Capítulo 17 discutimos a análise de treliças usando o método da rigidez direta Neste capítulo estenderemos o método para estruturas nas quais as cargas podem ser aplicadas nos nós assim como nos membros entre os nós causando tanto forças axiais como cortantes e momentos Enquanto para as treliças tivemos que considerar como incógnitas somente os deslocamentos de nó na montagem das equações de equilíbrio para pórticos devemos adi cionar rotações de nó Consequentemente três equações de equilí brio duas para forças e uma para momento podem ser escritas para cada nó em um pórtico plano Mesmo que a análise de um pórtico plano usando o método da rigi dez direta envolva três componentes de deslocamento por nó u x y frequentemente podemos reduzir o número de equações a serem resolvi das desprezando a mudança no comprimento dos membros Em vigas ou pórticos típicos essa simplificação introduz pouco erro nos resultados Na análise de qualquer estrutura usando o método da rigidez o valor de qualquer quantidade por exemplo cortante momento ou deslocamento é obtido a partir da soma de duas partes A primeira parte é obtida da análise de uma estrutura restringida na qual todos os nós são restringidos em relação ao movimento Os momentos causados nas extremidades de cada membro são de extremidade fixa Esse pro cedimento é semelhante ao utilizado no método da distribuição de momentos no Capítulo 13 Após as forças de restrição finais serem calculadas e os sinais invertidos em cada nó na segunda parte da aná lise essas forças de restrição são aplicadas na estrutura original para determinar o efeito causado pelos deslocamentos de nó A superposição das forças e deslocamentos das duas partes pode ser explicada usandose como exemplo o pórtico da Figura 181a Esse pór tico é composto de dois membros conectados por um nó rígido em B 18 716 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta Sob a carga mostrada a estrutura deformará e desenvolverá cortante momentos e forças axiais nos dois membros Por causa das alterações no comprimento causadas pelas forças axiais o nó B experimentará além de uma rotação uB pequenos deslocamentos nas direções x e y Como esses deslocamentos são pequenos e não afetam consideravelmente as forças de membro os desprezamos Com essa simplificação podemos analisar o pórtico como tendo somente um grau de indeterminação cinemática isto é a rotação do nó B Na primeira parte da análise que designamos como condição res tringida introduzimos uma restrição rotacional um grampo imaginá rio no nó B ver Figura 181b A adição do grampo transforma a estrutura em duas vigas de extremidade fixa A análise dessas vigas pode ser prontamente realizada usandose tabelas por exemplo ver Tabela 125 A forma defletida e os diagramas de momento correspon dentes diretamente sob o esboço do pórtico são mostrados na Figura 181b As forças e deslocamentos associados a esse caso estão sobres critos com um apóstrofo Como o momento M no sentido antihorário aplicado pelo grampo em B não existe na estrutura original devemos eliminar seu efeito Fazemos isso na segunda parte da análise encontrando a rotação uB do Figura 181 Análise pelo método da rigidez a forma defletida e diagramas de momento parte inferior da figura produzidos pela carga vertical em D b cargas aplicadas na estrutura restrin gida o grampo imaginário em B impede a rota ção produzindo duas vigas de extremidade fixa c forma defletida e diagramas de momento pro duzidos por um momento oposto àquele aplicado pelo grampo em B A B D D D C D B a P MD MD MD MCB MCB MCB MBC MBC MBA MBA MAB MAB B M D b grampo momento no grampo com direção invertida P MD MCB MBC A B M D C D B c MCB MBC MD MBA MAB 717 Seção 182 Matriz de rigidez da estrutura nó B produzida por um momento aplicado de magnitude igual mas sentido oposto ao momento aplicado pelo grampo Os momentos e deslocamentos nos membros para a segunda parte da análise estão sobrescritos com dois apóstrofos como mostrado na Figura 181c Os resultados finais mostrados na Figura 181a derivam da superposição direta dos casos da Figura 181b e c Notamos que não apenas os momentos finais obtidos pela soma dos valores no caso restrito àqueles produzidos pela rotação de nó uB mas também qualquer outra força ou deslocamento podem ser obtidos da mesma maneira Por exemplo a deflexão diretamente sob a carga D é igual à soma das deflexões correspondentes em D na Figura 181b e c isto é D D D 182 Matriz de rigidez da estrutura Na análise de uma estrutura usando o método da rigidez direta come çamos introduzindo restrições isto é grampos suficientes para impedir o movimento de todos os nós não restringidos Então calculamos as for ças nas restrições como a soma das forças de extremidade fixa dos mem bros que se encontram em um nó As forças internas em outros locais de interesse ao longo dos elementos também são determinadas para a condi ção restringida Na etapa seguinte da análise determinamos os valores de deslocamentos de nó para os quais as forças de restrição desaparecem Isso é feito primei ramente aplicandose as forças de restrição de nó mas com o sinal invertido e depois resolvendo um conjunto de equações de equilíbrio que relacionam as forças e os deslocamentos nos nós Em forma matricial temos 181 K F em que F é a matriz coluna ou vetor de forças incluindo momentos nas restrições fictícias mas com o sinal invertido é o vetor coluna de des locamentos de nó selecionados como graus de liberdade e K é a matriz de rigidez da estrutura O termo grau de liberdade GL referese às componentes do desloca mento de nó independentes utilizadas na solução de um problema em particular pelo método da rigidez direta O número de graus de liberdade pode ser igual ao número de todas as componentes de deslocamento de nó possíveis por exemplo 3 vezes o número de nós livres em pórticos planos ou menor se forem introduzidas suposições de simplificação como desprezar as deformações axiais dos membros Em todos os casos o número de graus de liberdade e o grau de indeterminação cine mática são idênticos Uma vez calculados os deslocamentos de nó as ações de membro isto é os momentos cortantes e forças axiais produzidos por esses des locamentos podem ser prontamente calculadas A solução final resulta da adição desses resultados àqueles do caso restringido 718 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta Os elementos individuais da matriz de rigidez da estrutura K podem ser calculados pela introdução sucessiva de deslocamentos unitários cor respondentes a um dos graus de liberdade enquanto todos os outros graus de liberdade são restringidos As forças externas no local dos graus de liberdade necessárias para satisfazer o equilíbrio da configuração defor mada são os elementos da matriz K Mais explicitamente um elemento típico kij da matriz de rigidez da estrutura K é definido deste modo kij força no grau de liberdade i devido a um deslocamento unitário do grau de liberdade j quando o grau de liberdade j recebe um deslocamento unitário todos os outros graus de liberdade são restringidos 183 A matriz 2 3 2 de rigidez rotacional de um membro sob flexão Nesta seção deduziremos a matriz de rigidez de membro para um elemento individual sob flexão usando somente rotações de nó como graus de liberdade A matriz 2 3 2 que relaciona momentos e rotações nas extremidades do membro é importante pois pode ser usada direta mente na solução de muitos problemas práticos como em vigas contínuas e pórticos contraventados onde as translações de nó são impedidas Além disso é um item básico na dedução da matriz 4 3 4 de rigidez de membro mais geral a ser apresentada na Seção 184 A Figura 182 mostra uma viga de comprimento L com momentos de extremidade Mi e Mj Como convenção de sinal as rotações de extremi dade ui e uj são positivas no sentido horário e negativas no sentido anti horário Analogamente os momentos de extremidade no sentido horário também são positivos e os momentos no sentido antihorário são negati vos Para destacar o fato de que a dedução a seguir é independente da orientação do membro o eixo do elemento é desenhado com uma incli nação arbitrária a Figura 182 Rotações de extremidade produzi das por momentos de extremidade do membro i j L i j EI constante corda Mi Mj 719 Seção 183 A matriz 2 3 2 de rigidez rotacional de um membro sob flexão Em notação matricial a relação entre os momentos de extremidade e as rotações de extremidade resultantes pode ser escrita como 182 Mi Mj k ui uj em que 182 Mi Mj k ui uj é a matriz 2 3 2 de rigidez rotacional do membro Para determinar os elementos dessa matriz usamos a equação da inclinaçãodeflexão para relacionar os momentos de extremidade e as rotações ver as equações 1214 e 1215 A convenção de sinal e a nota ção nessa formulação são idênticas àquelas usadas na dedução original da equação da inclinaçãodeflexão no Capítulo 12 Como nenhuma carga é aplicada ao longo do eixo do membro e nenhuma rotação de corda c ocorre tanto c como MEF são iguais a zero os momentos de extremi dade podem ser expressos como 183 1 48 e Mj 2EI L ui 2uj Mi 2EI L 12ui uj2 As equações 183 e 184 podem ser escritas em notação matricial como 185 Mi Mj 2EI L 2 1 1 2 ui uj Comparando as equações 182 e 185 seguese que a matriz de rigidez rotacional do membro é 186 k 2EI L 2 1 1 2 Ilustraremos agora o uso das equações precedentes resolvendo alguns exemplos Para analisar uma estrutura é necessário identificar primeiro o grau de liberdade Após o grau de liberdade ser identificado o processo de solução pode ser convenientemente dividido nos cinco passos a seguir 1 Analisar a estrutura restringida e calcular as forças de fixação nos nós 2 Montar a matriz de rigidez da estrutura 3 Aplicar as forças de fixação de nó mas com o sinal invertido na estrutura original e então calcular os deslocamentos de nó desconhecidos usando a Equação 181 4 Avaliar os efeitos dos deslocamentos de nó por exemplo deflexões momentos cortantes 5 Somar os resultados dos passos 1 e 4 para obter a solução final 720 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta Usando o método da rigidez direta analise o pórtico mostrado na Figura 183a A mudança no comprimento dos membros pode ser des prezada O pórtico consiste em dois membros de rigidez à flexão cons tante EI conectados em B por um nó rígido O membro BC suporta uma carga concentrada P atuando para baixo no meio do vão O membro AB suporta uma carga uniforme w atuando para a direita A magnitude de w em unidade de carga por comprimento unitário é igual a 3PL E x E m P L O 1 8 1 Figura 183 a Detalhes do pórtico b a seta curva indica o sentido positivo da rotação de nó em B c momentos de extremidade fixa na estrutura restringida produzidos pelas cargas aplicadas cargas omitidas do esboço por cla reza o grampo em B aplica o momento M1 na estrutura ver detalhe no canto inferior direito da figura d diagramas de momento da estru tura restringida a L L w L 2 3P L A B C P B A B C 1 grau de liberdade b c A B C 025 PL 025 PL 025 PL 0125 PL grampo 0125 PL M1 0125 PL B 025 PL 025 PL 0125 PL 0125 PL 0125 PL 0125 PL d A B B C Solução Com as deformações axiais desprezadas o grau de indeterminação cinemática é igual a 1 essa estrutura foi discutida na Seção 181 A Figura 183b ilustra a direção positiva no sentido horário selecionada para o grau de liberdade rotacional no nó B 721 Seção 183 A matriz 2 3 2 de rigidez rotacional de um membro sob flexão Passo 1 Análise da estrutura restringida Com a rotação no nó B restringida por um grampo temporário a estrutura é transformada em duas vigas de extremidade fixa Figura 183c Os momentos de extre midade fixa ver Figura 125d do membro AB são 187 188 MBA MAB PL 4 MAB wL2 12 3P L a L2 12 b PL 4 e do membro BC ver Figura 125a 189 1810 MCB MBC PL 8 MBC PL 8 A Figura 183c mostra os momentos de extremidade fixa e a forma defletida do pórtico restringido Para ilustrar o cálculo do momento de restrição M1 um diagrama de corpo livre do nó B também é mostrado no canto inferior direito da Figura 183c Por clareza os cortantes que atuam no nó foram omitidos A partir do requisito do equilíbrio rotacio nal do nó MB 0 obtemos a partir do que calculamos 1811 M1 PL 8 PL 4 PL 8 M1 0 Neste problema de 1 grau de liberdade o valor de M1 com seu sinal invertido é o único elemento no vetor de força de restrição F ver Equa ção 181 A Figura 183d mostra os diagramas de momento dos mem bros na estrutura restringida continua 722 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta continuação Passo 2 Montagem da matriz de rigidez da estrutura Para montar a matriz de rigidez introduzimos uma rotação unitária no nó B e calculamos o momento necessário para manter a configuração deformada A forma defletida do pórtico produzida por uma rotação unitária no nó B é mostrada na Figura 183e Substituindo uA uC 0 e uB 1 rad na Equação 185 calculamos os momentos nas extre midades dos membros AB e BC como e MBC MCB 2EI L 2 1 1 2 1 0 4EI L 2EI L BMAB MBA R 2EI L B2 1 1 2RB0 1R D 2EI L 4EI L T Esses momentos estão mostrados no esboço da estrutura deformada na Figura 183e O momento necessário no nó B para satisfazer o equi líbrio pode ser determinado facilmente a partir do diagrama de corpo livre mostrado no canto inferior direito da Figura 183e Somando os momentos no nó B calculamos o coeficiente de rigidez K11 como 1812 K11 4EI L 4EI L 8EI L Neste problema o valor dado pela Equação 1812 é o único ele mento da matriz de rigidez K Os diagramas de momento dos mem bros correspondentes à condição uB 1 rad são mostrados na Figura 183f Passo 3 Solução da Equação 181 Como este problema tem somente um grau de liberdade a Equação 181 é uma equação algé brica simples Substituindo os valores calculados anteriormente de F e K dados pelas equações 1811 e 1812 respectivamente temos 181 1813 8EL L uB PL 8 K F Resolvendo para uB temos 1814 uB PL2 64EI Figura 183 e Momentos produzidos por uma rotação unitária do nó B o coeficiente de rigidez K11 representa o momento necessário para produzir a rotação unitária f diagra mas de momento produzidos pela rotação unitária do nó B B 1 e B 2EI L K11 4EI L 4EI L 4EI L 4EI L 2EI L f A B B C 2EI L 2EI L 4EI L 4EI L 723 Seção 183 A matriz 2 3 2 de rigidez rotacional de um membro sob flexão O sinal menos indica que a rotação do nó B é no sentido anti horário isto é de sentido oposto ao definido como positivo na Figura 183b Passo 4 Avaliação dos efeitos dos deslocamentos de nó Como os momentos produzidos por uma rotação unitária do nó B são conhecidos do passo 2 ver Figura 183f os momentos produzidos pela rotação de nó real são prontamente obtidos pela multiplicação das forças na Figura 183f por uB dado pela Equação 1814 continuando encontramos 1815 1816 1817 1818 MCB 2EI L uB PL 32 MBC 4EI L uB PL 16 MBA 4EI L uB PL 16 MAB 2EI L uB PL 32 O apóstrofo duplo indica que esses momentos estão associados à condição de deslocamento de nó Passo 5 Cálculo dos resultados finais Os resultados finais são obtidos somandose os valores da condição restringida passo 1 com aqueles produzidos pelos deslocamentos de nó passo 4 MCB MCB MCB PL 8 PL 32 3PL 32 MBC MBC MBC PL 8 a PL 16 b 3PL 16 MBA MBA MBA PL 4 a PL 16 b 3PL 16 MAB MAB MAB PL 4 a PL 32 b 9PL 32 Os diagramas de momento do membro também podem ser avalia dos combinandose os diagramas do caso restringido com aqueles correspondentes aos deslocamentos de nó Contudo uma vez conheci dos os momentos de extremidade é muito mais fácil construir os dia gramas de momento individuais usando os princípios básicos da está tica Os resultados finais são mostrados na Figura 183g Figura 183 g Diagramas de momento finais produzidos pela superposição dos momentos em d com os de f multiplicados por uB 053L 0142PL g A B B C 7EI 64 3PL 32 3PL 16 3PL 16 9PL 32 724 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta Construa o diagrama de momento fletor da viga contínua de três vãos mostrada na Figura 184a A viga que tem uma rigidez à flexão constante EI suporta uma carga concentrada de 20 kips atuando no centro do vão BC Além disso uma carga uniformemente distribuída de 45 kipsft atua por todo o comprimento do vão CD E x E m P L O 1 8 2 Figura 184 a Detalhes da viga contínua b as setas curvas indicam a direção positiva das rotações de nó desconhecidas em B C e D c momentos causados na estrutura restringida pelas cargas aplicadas as figuras inferiores mostram os momentos atuando nos diagramas de corpo livre dos nós bloqueados cortantes e reações omitidos por clareza Solução Uma inspeção da estrutura indica que o grau de indeterminação cinemática é 3 As direções positivas selecionadas para os 3 graus de liberdade rotações nos nós B C e D são mostradas com setas curvas na Figura 184b C D B A 20 kips EI constante 45 kipsft a b 1 2 3 C D B A c 100 100 100 M1 B D B B C C A 100 150 150 100 150 150 75 100 150 100 M2 C 150 M3 D 20 kips 45 kipsft 725 Seção 183 A matriz 2 3 2 de rigidez rotacional de um membro sob flexão Passo 1 Análise da estrutura restringida Os momentos de extremidade fixa causados na estrutura restringida pelas cargas aplica das são calculados com as fórmulas da Figura 125 A Figura 184c mostra o diagrama de momento da condição restrita e os diagramas de corpo livre dos nós utilizados para calcular as forças nas restrições Considerando o equilíbrio do momento calculamos os momentos de restrição como segue Nó B Nó C Nó D 150 M3 0 M3 150 kip ft 100 M2 150 0 M2 50 kip ft M1 100 0 M1 100 kip ft Invertendo o sinal desses momentos de restrição construímos o vetor de força F 1819 F 100 50 150 kip ft Passo 2 Montagem da matriz de rigidez da estrutura As forças nas extremidades dos membros resultantes da introdução dos deslocamentos unitários em cada um dos graus de liberdade são mostra das na Figura 184d a f Os elementos da matriz de rigidez da estrutura são prontamente calculados a partir dos diagramas de corpo livre dos nós Somando os momentos a partir da Figura 184d calculamos K31 0 e K31 0 005EI K21 0 e K21 005EI 02EI 01EI K11 0 e K11 03EI A B D C 1 1 rad d 02EI 005EI 01EI K11 B K21 C K31 D Figura 184 d Coeficientes de rigidez produ zidos por uma rotação unitária do nó B com os nós C e D restringidos continua 726 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta A B D C 2 1 rad e 01EI 01EI 005EI K12 B K22 C 02EI K32 D A B D C 3 1 rad f 01EI 02EI K13 B K23 C K33 D A partir da Figura 184e 01EI K32 0 e K32 01EI 01EI 02EI K22 0 e K22 03EI 005EI K12 0 e K12 005EI A partir da Figura 184f 02EI K33 0 e K33 02EI 01EI K23 0 e K23 01EI K13 0 e K13 0 Organizando esses coeficientes de rigidez em forma matricial pro duzimos a seguinte matriz de rigidez da estrutura K 1820 K EI 03 005 0 005 03 01 0 01 02 Conforme anteciparíamos da lei de Betti a matriz de rigidez da estrutura K é simétrica Figura 184 e Coeficientes de rigidez pro duzidos por uma rotação unitária do nó C com os nós B e D restringidos f coeficientes de rigidez produzidos por uma rotação unitária do nó D com os nós B e C restringidos continuação 727 Seção 183 A matriz 2 3 2 de rigidez rotacional de um membro sob flexão Passo 3 Solução da Equação 181 Substituindo os valores de F e K dados pelas equações 1819 e 1820 calculados anteriormente na Equação 181 temos 1821 EI 03 005 0 005 03 01 0 01 02 u1 u2 u3 100 50 150 Resolvendo a Equação 1821 calculamos 1822 u1 u2 u3 1 EI 2586 4483 9741 Passo 4 Avaliação do efeito dos deslocamentos de nó Os momentos produzidos pelas rotações de nó reais são determinados multiplicandose os momentos produzidos pelos deslocamentos unitá rios ver Figura 184d a f pelos deslocamentos reais e superpondose os resultados Por exemplo os momentos de extremidade no vão BC são 1823 1824 MCD u1 005EI u2 01EI u3 0 578 kip ft MBC u1101EI2 u21005EI2 u3102 483 kip ft A avaliação dos momentos de extremidade do membro produzidos pelos deslocamentos de nó usando superposição exige que para uma estrutura de grau de liberdade n adicionemos n casos unitários em escala apropriada Essa estratégia tornase cada vez mais trabalhosa à medida que o valor de n aumenta Felizmente podemos avaliar esses momentos em uma única etapa usando as matrizes de rigidez rotacio nal do membro individual Por exemplo considere o vão BC para o qual os momentos de extremidade devido aos deslocamentos de nó foram calculados anteriormente por superposição Se substituirmos as rotações de extremidade u1 e u2 dadas pela Equação 1822 na Equação 185 com L 40 pés obteremos 1825 MBC MCB 2EI 40 2 1 1 2 1 EI 2586 4483 483 578 Evidentemente esses resultados são idênticos àqueles obtidos pela superposição nas equações 1823 e 1824 continua 728 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta Procedendo de maneira semelhante para os vãos AB e CD verifica mos que 1826 1827 MCD MDC 2EI 20 2 1 1 2 1 EI 4483 9741 78 1500 cMAB MBA d 2EI 20 c 2 1 1 2 d 1 EI c 0 2586 d c259 517 d Os resultados estão plotados na Figura 184g Passo 5 Cálculo dos resultados finais A solução completa é obtida somandose os resultados do caso restrito da Figura 184c àque les produzidos pelos deslocamentos de nó da Figura 184g Os diagra mas de momento resultantes estão plotados na Figura 184h 517 259 483 578 150 78 g A B C D 20 kips 45 kipsft 825 1530 9525 517 259 1578 h Figura 184 g Momentos produzidos pelas rotações de nó reais h diagramas de momento finais em unidades de kip ft continuação 729 Seção 184 A matriz 4 3 4 de rigidez de membro em coordenadas locais 184 A matriz 4 3 4 de rigidez de membro em coordenadas locais Na Seção 183 deduzimos a matriz 2 3 2 de rigidez rotacional de membro para a análise de uma estrutura na qual os nós só podem girar mas não transladar Agora deduziremos a matriz de rigidez de membro para um elemento sob flexão considerando como graus de liberdade as rotações de nó e os deslocamentos transversais de nó a deformação axial do membro ainda será ignorada Com a matriz 4 3 4 resultante podemos estender a aplicação do método da rigidez direta para a solu ção de estruturas com nós que transladam e giram como resultado de uma carga aplicada Para propósitos educacionais a matriz 4 3 4 de rigidez de membro em coordenadas locais será deduzida de três maneiras diferentes Dedução 1 Usando a equação de inclinaçãodeflexão A Figura 185a mostra um elemento sob flexão de comprimento L com momentos de extremidade e cortantes a Figura 185b ilustra os des locamentos de nó correspondentes A convenção de sinal é a seguinte os momentos e rotações no sentido horário são positivos Os cortantes e deslocamentos de nó transversais são positivos quando estão na direção do eixo y positivo As direções positivas das coordenadas locais são as seguintes o eixo x local se estende ao longo do membro do nó próximo i até o nó distante j O eixo z positivo é sempre dirigido para o papel e y é tal que os três eixos formam um sistema de coordenadas dextrogiro Definindo o momento de extremidade fixa MEF igual a zero nas equações 1214 e 1215 supondo que não exista nenhuma carga entre os nós temos 1828 1 28 9 e Mj 2EI L 2uj ui 3c Mi 2EI L 12ui uj 3c2 em que a rotação de corda c da Equação 124c é 1830 c j i L O equilíbrio Mj 0 exige que os cortantes e momentos de extremi dade na Figura 185a estejam relacionados como se segue 1831 Vi Vj Mi Mj L Figura 185 a Convenção para cortantes e momentos de extremidade positivos b conven ção para rotações de nó e deslocamentos de extremidade positivos a i j L Mi Vi Vj Mj x y x y z i j b i j i j x y 730 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta Substituindo a Equação 1830 nas equações 1828 e 1829 e então substituindo essas equações na Equação 1831 produzimos as quatro equações a seguir 1832 1833 1834 1835 Vj 2EI L 3 L ui 3 L uj 6 L2 i 6 L2 j Vi 2EI L a 3 L ui 3 L uj 6 L2 i 6 L2 jb Mj 2EI L a ui 2uj 3 L i 3 L jb Mi 2EI L a 2ui uj 3 L i 3 L jb Podemos escrever essas equações em notação matricial como 1836 Mi Mj Vi Vj 2EI L 2 1 3 L 3 L 1 2 3 L 3 L 3 L 3 L 6 L2 6 L2 3 L 3 L 6 L2 6 L2 ui uj i j em que a matriz 4 3 4 junto com o multiplicador 2EIL é a matriz 4 3 4 de rigidez do membro k Dedução 2 Usando a definição básica do coeficiente de rigidez A matriz 4 3 4 de rigidez de membro também pode ser deduzida usandose a estratégia básica de introdução de deslocamentos unitários em cada um dos graus de liberdade As forças externas no grau de liber dade necessárias para satisfazer o equilíbrio em cada configuração defor mada são os elementos da matriz de rigidez de membro na coluna corres pondente a esse GL Consulte a Figura 186 para as deduções a seguir Deslocamento unitário no GL 1 Ui 1 rad O esboço correspondente está mostrado na Figura 186b os momentos de extremidade calculados com a Equação 185 são os habituais 4EIL e 2EIL Os cortantes nas extremidades são prontamente calculados a partir Figura 186 a Sentido positivo dos desloca mentos de nó desconhecidos indicados pelas setas numeradas b coeficientes de rigidez pro duzidos por uma rotação unitária da extremidade esquerda da viga no sentido horário com todos os outros deslocamentos de nó impedidos c coefi cientes de rigidez produzidos por uma rotação unitária da extremidade direita da viga no sentido horário com todos os outros deslocamentos de nó impedidos a 1 3 2 4 i j j i y z x 731 Seção 184 A matriz 4 3 4 de rigidez de membro em coordenadas locais da estática O sentido positivo dos deslocamentos está indicado pelas setas numeradas na Figura 186a A partir desses cálculos obtemos 1837 k11 4EI L k21 2EI L k31 6EI L2 k41 6EI L2 Esses quatro elementos constituem a primeira coluna da matriz k Deslocamento unitário no GL 2 Uj 1 rad O esboço dessa condição está ilustrado na Figura 186c procedendo como antes obtemos 1838 k12 2EI L k22 4EI L k32 6EI L2 k42 6EI L2 Os quatro elementos constituem a segunda coluna da matriz k Deslocamento unitário no GL 3 i 1 A partir do esboço da Figura 186d podemos ver que esse padrão de deslocamento no que diz respeito às distorções do membro é equiva lente a uma rotação positiva de 1L medida da corda da viga até a con figuração deformada da viga Note que os movimentos de corpo rígido não introduzem momentos nem cortantes no elemento de viga Substi tuindo essas rotações na Equação 185 obtemos os seguintes momentos de extremidade 1839 Mi Mj 2EI L 2 1 1 2 1 L 1 1 6EI L2 1 1 Os momentos de extremidade e os cortantes correspondentes calculados a partir da estática estão representados na Figura 186d novamente temos 1840 k13 6EI L2 k23 6EI L2 k33 12EI L3 k43 12EI L3 Esses quatro elementos constituem a terceira coluna da matriz k Deslocamento unitário no GL 4 j 1 Neste caso a rotação da corda da viga até a configuração final do membro como mostrado na Figura 186e é no sentido antihorário e portanto negativa Procedendo exatamente da mesma maneira de antes o resultado é 1841 k14 6EI L2 k24 6EI L2 k34 12EI L3 k44 12EI L3 Esses quatro elementos constituem a quarta coluna da matriz k Figura 186 d Coeficientes de rigidez produzi dos por um deslocamento vertical unitário da extremidade esquerda com todos os outros deslo camentos de nó impedidos e coeficientes de rigidez produzidos por um deslocamento vertical unitário da extremidade direita com todos os outros deslocamentos de nó impedidos b k11 4EI L i 1 k31 6EI L2 k41 6EI L2 k21 2EI L c j 1 k22 4EI L k32 6EI L2 k42 6EI L2 k12 2EI L corda d i 1 k13 6EI L2 k23 6EI L2 k33 12EI L3 k43 12EI L3 1 L 1 L e corda k44 12EI L3 k34 12EI L3 k14 6EI L2 k24 6EI L2 1 L 1 L j 1 732 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta Organizando esses coeficientes em um formato matricial para a matriz de rigidez de membro temos 1842 k 2EI L 2 1 3 L 3 L 1 2 3 L 3 L 3 L 3 L 6 L2 6 L2 3 L 3 L 6 L2 6 L2 A Equação 1842 é idêntica à matriz deduzida anteriormente com a equação da inclinaçãodeflexão ver Equação 1836 Dedução 3 Usando a matriz 2 3 2 de rigidez rotacional com transformação de coordenadas Como vimos na dedução anterior no que dizem respeito às distorções os deslocamentos transversais do membro sob flexão são equivalentes às rotações de extremidade com relação à corda Como as rotações com relação à corda são uma função das rotações com relação ao eixo x local e dos deslocamentos transversais podemos escrever 1843 cuic ujc d T ui uj i j em que T é a matriz de transformação e o subscrito c foi adicionado para distinguir entre as rotações medidas com relação à corda e as rotações com relação ao eixo x local Os elementos da matriz de transformação T podem ser obtidos com a ajuda da Figura 187 A partir dela temos 1844 1845 ujc uj c uic ui c em que a rotação de corda c é dada por 1830 c j i L Figura 187 Forma defletida de um elemento de viga cujos nós giram e se deslocam lateralmente j i i corda j i j ic jc 733 Seção 184 A matriz 4 3 4 de rigidez de membro em coordenadas locais Substituindo a Equação 1830 nas equações 1844 e 1845 obtemos 1846 1847 ujc uj i L j L uic ui i L j L Escrevendo as equações 1846 e 1847 em notação matricial produzimos 1848 cuic ujc d 1 0 1 L 1 L 0 1 1 L 1 L ui uj i j A matriz 2 3 4 na Equação 1848 é por comparação com a Equação 1843 a matriz de transformação T Da Seção 177 sabemos que desde que dois conjuntos de coordenadas sejam geometricamente relacionados então se a matriz de rigidez é conhecida em um conjunto de coordenadas ela pode ser transformada para o outro pela seguinte operação 1849 k TT kT em que k é a matriz 2 3 2 de rigidez rotacional Equação 186 e k é a matriz 4 3 4 de rigidez de membro em coordenadas locais Substituindo a matriz T na Equação 1848 e a matriz de rigidez rotacional da Equação 186 para k obtemos k 1 0 0 1 1 L 1 L 1 L 1 L 2EI L c2 1 1 2 d 1 0 1 L 1 L 0 1 1 L 1 L A multiplicação das matrizes mostradas acima gera a mesma matriz de rigidez de elemento de viga deduzida anteriormente e apresentada como Equação 1842 a verificação fica como exercício para o leitor 734 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta E x E m P L O 1 8 3 Analise o pórtico plano mostrado na Figura 188a O pórtico é feito de duas colunas de momento de inércia I rigidamente conecta das a uma viga horizontal cujo momento de inércia é 3I A estrutura suporta uma carga concentrada de 80 kips atuando horizontalmente para a direita à meia altura da coluna AB Despreze as deformações devido às forças axiais 30 80 kips 8 8 A D Ic I Ic I Ib 3I B C a 1 b 2 3 Figura 188 Análise de um pórtico não con traventado a detalhes do pórtico b defini ção do sentido positivo dos deslocamentos de nó desconhecidos Solução Como as deformações axiais são desprezadas os nós B e C não se movem verticalmente mas têm o mesmo deslocamento horizontal Na Figura 188b usamos setas para mostrar o sentido positivo das três componentes do deslocamento de nó independentes Agora aplicare mos o procedimento de solução de cinco etapas utilizado nos exemplos anteriores Passo 1 Análise da estrutura restringida Com os graus de liberdade bloqueados por um grampo em B assim como um grampo e um apoio horizontal em C o pórtico é transformado em três vigas de extremidade fixa independentes Os momentos na estrutura restringida estão mostrados na Figura 188c As forças de restrição são calculadas usandose os diagramas de corpo livre mostrados na parte inferior da Figura 188c Notamos que a restrição horizontal no nó C que impede o desloca mento horizontal do pórtico GL 3 pode ser colocada no nó B ou no nó C sem afetar os resultados Portanto a escolha do nó C no esboço da Figura 188c é arbitrária Também notamos que a simplificação introduzida pelo fato de desprezarmos as deformações axiais não implica que não existam forças axiais Significa apenas que se supõe que as cargas axiais são transmitidas sem produzir encurtamento nem alongamento das barras A partir dos diagramas de corpo livre da Figura 188c calculamos as forças de restrição como 00 4 F3 0 F3 400 M2 0 1600 M1 0 M1 1600 735 Seção 184 A matriz 4 3 4 de rigidez de membro em coordenadas locais Invertendo o sinal das forças de restrição para construir o vetor de força F temos 1850 F 1600 0 400 em que as forças são em kips e os momentos em kip ft Passo 2 Montagem da matriz de rigidez da estrutura As configurações deformadas correspondentes aos deslocamentos unitá rios em cada grau de liberdade são mostradas na Figura 188d Os momentos na extremidade dos membros nos esboços correspondentes às rotações unitárias dos nós B e C isto é GL 1 e 2 respectivamente são mais facilmente calculados a partir da matriz 2 3 2 de rigidez rotacional do membro da Equação 185 Usando os diagramas de corpo livre apropriados calculamos 234 00 EI K32 0 ou K32 00234EI 04EI 025EI K22 0 ou K22 065EI 234 00 EI K31 0 ou K31 00234EI 02EI K21 0 ou K21 020EI 025EI 04EI K11 0 ou K11 065EI Os elementos da terceira linha da matriz de rigidez da estrutura são avaliados introduzindose um deslocamento horizontal unitário no topo do pórtico GL 3 As forças nas barras são calculadas como se segue Na Figura 188d vemos que para essa condição a barra BC permanece não Figura 188 c Cálculo das forças de restri ção correspondentes aos três deslocamentos de nó desconhecidos momentos em kip ft 80 kips 160 B C B C A M1 M2 F3 D B C c 160 160 160 40 A D B C continua 736 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta deformada não tendo assim nem momentos nem cortantes As colunas barras AB e DC estão sujeitas ao padrão de deformação dado por ui uj i j 0 0 0 1 em que os subscritos i e j são usados para designar os nós próximos e distantes respectivamente Observe que definindo as colunas como indo de A para B e de D para C os dois eixos y locais estão de acordo com a convenção de sinal estabelecida anteriormente dirigida para a direita tornando assim o deslocamento 1 positivo Os momentos e cortantes em cada coluna são obtidos pela substituição dos deslocamentos mostrados acima na Equação 1836 isto é Figura 188 d Cálculo dos coeficientes de rigidez pela introdução de deslocamentos uni tários correspondentes aos deslocamentos de nó desconhecidos as restrições grampos e o apoio lateral no nó C foram omitidas para simplificar os esboços 1 1 2 1 d B C K31 025 0125 16 EI 00234EI A D B 0125EI 025EI 04EI 02EI C B C K11 K12 K21 K22 K13 K23 K32 K33 B C A D B 0125EI 025EI 025EI 025EI 025EI 00234EI 00234EI 00029EI 04EI 02EI 02EI 04EI 04EI C B C 3 1 B C 00029EI A D B 00234EI C B C 00234EI 00234EI 00234EI 00234EI continuação 737 Seção 184 A matriz 4 3 4 de rigidez de membro em coordenadas locais Mi Mj Vi Vj 2EI L 2 1 3 L 3 L 1 2 3 L 3 L 3 L 3 L 6 L2 6 L2 3 L 3 L 6 L2 6 L2 0 0 0 1 Substituindo L 16 pés temos Mi Mj Vi Vj EI 00234 00234 00029 00029 Esses resultados são mostrados na Figura 188d A partir do equilí brio das forças na direção horizontal na viga calculamos 00029EI 00029EI K33 0 ou K33 00058EI O equilíbrio dos momentos nos nós B e C exige que K13 K23 00234EI Organizando esses coeficientes em forma matricial produzimos a matriz de rigidez da estrutura K EI 065 020 00234 020 065 00234 00234 00234 00058 Como verificação dos cálculos observamos que a matriz de rigidez da estrutura K é simétrica lei de Betti Passo 3 Solução da Equação 181 Substituindo F e K na Equa ção 181 geramos o seguinte conjunto de equações simultâneas EI 065 020 00234 020 065 00234 00234 00234 00058 u1 u2 3 1600 00 400 Resolvendo temos u1 u2 3 1 EI 570 2986 77932 As unidades são radianos e pés continua 738 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta Passo 4 Avaliação do efeito dos deslocamentos de nó Con forme explicado no Exemplo 182 os efeitos dos deslocamentos de nó são mais facilmente calculados usandose as matrizes de rigidez de ele mento individuais Esses cálculos produzem os seguintes valores de deslocamento nas extremidades de cada membro Para a barra AB para a barra BC e para a barra DC uD uC D C 1 EI 0 2986 0 77932 D uB uC B C T 1 EI D 570 2986 0 0 T D uA uB A B T 1 EI D 0 570 00 77932 T Os resultados obtidos pela substituição desses deslocamentos na Equação 1836 com os valores apropriados de L e da rigidez à flexão EI são mostrados graficamente na Figura 188e Passo 5 Cálculo dos resultados finais A solução completa é obtida superpondose os resultados do caso restringido Figura 188c e os efeitos dos deslocamentos de nó Figura 188e Os dia gramas de momento finais para as barras do pórtico estão plotados na Figura 188f Figura 188 e Momentos produzidos pelos deslocamentos de nó f resultados finais Todos os momentos em kip ft e 1898 1453 1969 369 1080 1080 f 1453 3498 369 1636 1080 369 1080 80 kips continuação 739 Seção 185 A matriz 6 3 6 de rigidez de membro em coordenadas locais 185 A matriz 6 3 6 de rigidez de membro em coordenadas locais Embora praticamente todos os membros de estruturas reais estejam sujeitos a deformações axiais e de flexão frequentemente é possível obter soluções precisas usandose modelos analíticos nos quais somente um modo de deformação de flexão ou axial é considerado Por exemplo conforme mostramos no Capítulo 17 a análise de treliças pode ser reali zada utilizandose uma matriz de rigidez de membro que relaciona as cargas axiais e as deformações os efeitos de flexão embora estejam pre sentes pois os nós reais não se comportam como pinos sem atrito e o peso próprio de um membro produz momento são desprezíveis Em outras estruturas como as vigas e pórticos tratados nas seções anteriores deste capítulo muitas vezes as deformações axiais têm efeito desprezível e a análise pode ser feita considerandose apenas as deformações de fle xão Quando for necessário incluir as duas componentes da deformação nesta seção deduziremos uma matriz de rigidez de membro em coordena das locais que nos permitirá considerar os efeitos axiais e de flexão simul taneamente Quando as deformações de flexão e axiais são consideradas cada nó tem 3 graus de liberdade assim a ordem da matriz de rigidez de membro é 6 A Figura 189 mostra a direção positiva dos graus de liberdade des locamentos de nó em coordenadas locais note que a convenção de sinal para rotações de extremidade e deslocamentos transversais graus de liberdade 1 a 4 é idêntica à utilizada anteriormente na dedução da matriz de rigidez de membro dada pela Equação 1836 Os deslocamentos na direção axial graus de liberdade 5 e 6 são positivos na direção do eixo x positivo o qual conforme determinado anteriormente vai do nó pró ximo para o distante Os coeficientes na matriz 6 3 6 de rigidez de membro podem ser obtidos prontamente a partir das informações deduzidas anteriormente para os elementos de viga e treliça Figura 189 Sentido positivo do deslocamento de nó para um membro sob flexão i i 1 2 3 j y x z j i j i j 4 6 5 740 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta Deslocamentos unitários nos GL 1 a 4 Esses padrões de deslocamento foram mostrados na Figura 186 os resultados foram calculados na Seção 184 e estão contidos nas equações 1837 1838 1840 e 1841 Também observamos que como esses deslo camentos não introduzem nenhum alongamento axial 1851 k51 k52 k53 k54 k61 k62 k63 k64 0 Deslocamentos unitários nos GL 5 e 6 Essas condições foram consideradas na dedução da matriz 2 3 2 de rigidez de membro para uma barra de treliça no Capítulo 17 A partir da Equação 1715 calculamos 1852 k55 k66 k56 k65 AE L Como nenhum momento nem cortante são causados por essas defor mações axiais seguese que 1853 k15 k25 k35 k45 k16 k26 k36 k46 0 Observe que os coeficientes nas equações 1851 e 1853 satisfazem a simetria lei de Betti Organizando todos os coeficientes de rigidez em uma matriz obtemos a matriz 6 3 6 de rigidez de membro em coordenadas locais como 1854 k l 4EI L 2EI L 6EI L2 6EI L2 0 0 m 2EI L 4EI L 6EI L2 6EI L2 0 0 8 6EI L2 6EI L2 12EI L3 12EI L3 0 0 6EI L2 6EI L2 12EI L3 12EI L3 0 0 0 0 0 0 AE L AE L 8 0 0 0 0 AE L AE L GL 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 Ilustraremos o uso da Equação 1854 no Exemplo 184 741 Seção 185 A matriz 6 3 6 de rigidez de membro em coordenadas locais Analise o pórtico da Figura 1810a considerando as deformações axiais e de flexão Os valores da rigidez à flexão e axial EI e AE são os mesmos para os dois membros e iguais a 24 3 106 kip pol2 e 072 3 106 kips respectivamente A estrutura suporta uma carga concentrada de 40 kips que atua verticalmente para baixo no centro do vão BC Solução Com os alongamentos axiais considerados a estrutura tem 3 graus de indeterminação cinemática conforme mostrado na Figura 1810b O procedimento de solução de cinco etapas está mostrado a seguir Passo 1 Análise da estrutura restringida Com os 3 graus de liberdade bloqueados no nó B o pórtico é transformado em duas vigas de extremidade fixa Os momentos para esse caso são mostra dos na Figura 1810c A partir do equilíbrio do diagrama de corpo livre do nó B M3 2500 0 ou M3 2500 kip ft 3000 kip pol Y2 200 0 ou Y2 200 X1 0 ou X1 0 Invertendo o sinal dessas forças de restrição para construir o vetor de força F temos 1855 F 0 200 30000 As unidades são kips e polegadas E x E m P L O 1 8 4 Figura 1810 a Detalhes do pórtico b sen tido positivo dos deslocamentos de nó desco nhecidos A B C a 30 50 40 40 kips b 1 2 3 A B X1 Y2 M3 C A B C c 40 kips restrições 20 kips 250 kip ft 250 250 250 Figura 1810 c Forças na estrutura restringida produzidas pela carga de 40 kips somente o membro BC é tensionado Momentos em kip ft continua 742 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta 1 08 06 GL1 1 A B C d B K11 K21 K31 1067 720 320 1200 Passo 2 Montagem da matriz de rigidez da estrutura As matrizes de rigidez em coordenadas locais para os membros AB e BC são idênticas pois suas propriedades são as mesmas Substituindo na Equação 1854 os valores numéricos por EI AE e o comprimento L que é 600 pol temos 1856 k 102 1600 800 4 4 0 0 800 1600 4 4 0 0 4 4 00133 00133 0 0 4 4 00133 00133 0 0 0 0 0 0 12 12 0 0 0 0 12 12 A configuração deformada correspondente a um deslocamento de 1 pol do grau de liberdade 1 é mostrada na Figura 1810d As defor mações expressas em coordenadas locais para o membro AB são 1857 uA uB A B dA dB 0 0 0 08 0 06 e para o membro BC são 1858 uB uC B C dB dC 0 0 0 0 1 0 As unidades são radianos e polegadas As forças nos membros são obtidas então multiplicandose as deformações do membro pelas matrizes de rigidez do elemento Multi plicando previamente as equações 1857 e 1858 pela Equação 1856 para o membro AB obtemos 1859 Mi Mj Vi Vj Fi Fj 3200 3200 1064 1064 7200 7200 Figura 1810 d Coeficientes de rigidez asso ciados a um deslocamento horizontal unitário do nó B continuação 743 Seção 185 A matriz 6 3 6 de rigidez de membro em coordenadas locais e 1 08 06 GL2 1 A B C K12 K22 K33 08 960 240 400 133 e para o membro BC 1860 Mi Mj Vi Vj Fi Fj 0 0 0 0 12000 12000 Nas equações 1859 e 1860 os subscritos i e j são usados para designar os nós próximo e distante respectivamente Essas forças de extremidade de membro com o sinal invertido podem ser usadas para construir o diagrama de corpo livre do nó B na Figura 1810d A partir desse diagrama calculamos as forças necessárias para o equilí brio dessa configuração deformada K31 3200 0 ou K31 3200 K21 1720 082 11067 062 0 ou K21 57536 K11 1200 1720 062 11067 082 0 ou K11 163285 Na Figura 1810e mostramos a configuração deformada para um deslocamento unitário no grau de liberdade 2 Procedendo como antes encontramos as deformações do membro Para o membro AB 1861 uA uB A B dA dB 0 0 0 06 0 08 e para o membro BC 1862 uB uC B C dB dC 0 0 1 0 0 0 Multiplicando as deformações nas equações 1861 e 1862 pelas matrizes de rigidez do elemento obtemos as seguintes forças de mem bro Para o membro AB Figura 1810 e Coeficientes de rigidez produ zidos por um deslocamento vertical unitário do nó B continua 744 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta 1863 Mi Mj Vi Vj Fi Fj 2400 2400 08 08 9600 9600 e para o membro BC 1864 Mi Mj Vi Vj Fi Fj 4000 4000 1333 1333 0 0 Dadas as forças de membro internas as forças externas necessárias para o equilíbrio nos graus de liberdade são prontamente encontradas referindonos ao diagrama de corpo livre do nó B na Figura 1810e calculamos os seguintes coeficientes de rigidez K32 240 400 0 ou K32 1600 K22 960 08 08 06 133 0 ou K22 76981 K12 1960 062 108 082 0 ou K12 57536 Por fim introduzindo um deslocamento unitário no grau de liber dade 3 obtemos os seguintes resultados ver Figura 1810f As defor mações do membro AB são 1865 uA uB A B dA dB 0 1 0 0 0 0 e para o membro BC 1866 uB uC B C dB dC 1 0 0 0 0 0 continuação 745 Seção 185 A matriz 6 3 6 de rigidez de membro em coordenadas locais 1 f GL3 1 A B C K13 K23 K33 400 160000 400 160000 As forças do membro AB são 1867 Mi Mj Vi Vj Fi Fj 8000 160000 400 400 0 0 e para o membro BC 1868 Mi Mj Vi Vj Fi Fj 160000 80000 400 400 0 0 A partir do diagrama de corpo livre do nó B na Figura 1810f obtemos os seguintes coeficientes de rigidez K33 160000 160000 0 e K33 320000 K23 400 06 400 0 e K23 160 K13 400 08 0 e K13 320 Organizando os coeficientes de rigidez em notação matricial obte mos a seguinte matriz de rigidez da estrutura 1869 K 163285 57536 3200 57536 76981 1600 3200 1600 3200000 Passo 3 Solução da Equação 181 Substituindo F e K na Equa ção 181 produzimos o seguinte sistema de equações simultâneas 1870 163285 57536 3200 57536 3200 76981 1600 1600 3200000 1 2 u3 0 200 30000 Resolvendo a Equação 1870 temos 1871 1 2 u3 0014 00345 000937 As unidades são radianos e polegadas Figura 1810 f Coeficientes de rigidez pro duzidos por uma rotação unitária do nó B continua 746 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta Passo 4 Avaliação do efeito dos deslocamentos de nó Os efeitos dos deslocamentos de nó são calculados multiplicandose as matrizes de rigidez de membro individuais pelas deformações de mem bro correspondentes em coordenadas locais que estão definidas na Figura 189 As deformações de membro podem ser calculadas a partir dos deslocamentos globais Equação 1871 usandose as relações geométricas estabelecidas nas figuras 1810d e e f Considere por exemplo a deformação axial do membro AB A deformação axial dA no nó A é zero pois se trata de uma extremidade fixa As deformações axiais dB produzidas por um deslocamento unitário nas direções hori zontal vertical e rotacionais do nó B são 06 08 e 00 respectiva mente Portanto os deslocamentos de nó calculados na Equação 1871 produzem a seguinte deformação axial no nó B dB 0014 06 00345 08 000937 00 00192 Seguindo esse procedimento as seis componentes das deformações locais do membro AB são dB 0014 06 00345 08 00192 dA 0 B 10014 082 100345 062 00319 A 0 uB 000937 uA 0 Analogamente para o membro BC dC 0 dB 0014 C 0 B 00345 uC 0 uB 000937 Multiplicando essas deformações pela matriz de rigidez de membro Equação 1854 obtemos as forças de membro dos deslocamentos de nó Para o membro AB 1872 MAB MBA VAB VBA FAB FBA 73698 148671 3706 3706 2304 2304 continuação 747 Seção 185 A matriz 6 3 6 de rigidez de membro em coordenadas locais e para a barra BC 1873 MBC MCB VBC VCB FBC FCB 151329 76354 379 379 1680 1680 Os resultados dados pelas equações 1872 e 1873 estão plotados na Figura 1810g Note que as unidades do momento na figura são kip ft Passo 5 Cálculo dos resultados finais A solução completa é obtida como sempre pela adição do caso restringido Figura 1810c aos efeitos dos deslocamentos de nó Figura 1810g Os resultados estão plotados na Figura 1810h Figura 1810 g Diagramas de momento e forças axiais produzidas pelos deslocamentos reais do nó B h resultados finais g 168 2304 tração forças axiais kips momentos kip ft 1261 1239 636 614 1239 614 h 168 2304 tração forças axiais kips momentos kip ft 1239 2813 3136 748 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta 186 A matriz 6 3 6 de rigidez de membro em coordenadas globais A matriz de rigidez de uma estrutura pode ser montada introdu zindose um deslocamento unitário nos graus de liberdade seleciona dos com todos os outros nós restringidos e então calculandose as forças de nó correspondentes necessárias para o equilíbrio Essa estra tégia embora mais eficiente com calculadoras manuais não é muito conveniente para aplicações de computador A técnica realmente utilizada para montar a matriz de rigidez da estru tura em aplicações de computador é baseada na adição das matrizes de rigidez de membro individuais em um sistema de coordenadas global Nessa estratégia discutida inicialmente na Seção 172 para o caso de treliças as matrizes de rigidez de membro individuais são expressas em termos de um sistema de coordenadas comum normalmente identificado como sistema de coordenadas global Uma vez expressas dessa forma as matrizes de rigidez de membro individuais são expandidas para o tama nho da matriz de rigidez da estrutura pela adição de colunas e linhas de zeros quando necessário e então somadas diretamente Nesta seção deduziremos a matriz de rigidez geral de membro de vigacoluna em coordenadas globais Na Seção 187 o processo da soma direta por meio do qual essas matrizes são combinadas para fornecer a matriz de rigidez total para a estrutura será ilustrado com um exemplo A matriz 6 3 6 de rigidez de membro de um elemento de viga coluna foi deduzida em coordenadas locais na Seção 185 e apresen tada como a Equação 1854 Uma dedução em coordenadas globais pode ser realizada exatamente da mesma maneira usandose a estraté gia básica da introdução de um deslocamento unitário em cada nó e calculandose as forças de nó exigidas Contudo o processo é bastante complicado por causa das relações geométricas envolvidas Uma dedu ção mais simples e concisa pode ser realizada usandose a matriz de rigidez de membro em coordenadas locais e a expressão de transforma ção de coordenadas apresentada na Seção 177 Por conveniência neste desenvolvimento a equação da transformação de coordenadas original mente denotada como Equação 1754 é repetida como Equação 1874 1874 k TTkT em que k é a matriz de rigidez de membro em coordenadas locais Equa ção 1854 k é a matriz de rigidez de membro em coordenadas globais e T é a matriz de transformação A matriz T é formada a partir das relações geométricas existentes entre as coordenadas locais e globais Em forma matricial 1875 D T em que D e são os vetores de deslocamentos de nó locais e globais respectivamente 749 Seção 186 A matriz 6 3 6 de rigidez de membro em coordenadas globais Consulte a Figura 1811a e b para o membro ij expresso nos siste mas de coordenadas locais e globais respectivamente Note que as componen tes da translação são diferentes em cada extremidade mas a rotação é idêntica A relação entre o vetor de deslocamento local D e o vetor de deslocamento global é estabelecida como se segue A Figura 1811c e d mostra as componentes do deslocamento no sistema local de coordenadas produzidas pelos deslocamentos globais ix e iy no nó i respectivamente A partir da figura 1876 1877 i sen f ix cos f iy di 1cos f2 1ix2 1sen f2 1iy2 Analogamente introduzindo jx e jy respectivamente no nó j ver Figura 1811e e f as seguintes expressões podem ser estabelecidas 1878 1879 j sen f jx cos f jy dj 1cos f2 1jx2 1sen f2 1jy2 Junto com duas equações de identidade para rotações de nó ui ui e uj uj a relação entre D e é 1880 ui uj i j di dj 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 s c 0 0 0 0 0 0 0 s c 0 c s 0 0 0 0 0 0 0 c s 0 ix iy ui jx jy uj em que s sen f c cos f e a matriz 6 3 6 é a matriz de transformação T A partir da Equação 1874 a matriz de rigidez de membro em coorde nadas globais é k TTkT Figura 1811 a Componentes de deslocamento do membro em coordenadas globais b componentes de deslocamento do membro em coordenadas locais c componentes de des locamento locais produzidos por um deslocamento global ix d componentes de desloca mento locais produzidos por um deslocamento global iy e componentes de deslocamento locais produzidos por um deslocamento global jx f componentes de deslocamento locais produzidos por um deslocamento global jy i iy ix a i j j jy jx x y b x y i i j i j i j j ix cos ix sen ix c i j iy cos iy sen d iy i j jx sen e i j jx jx cos jy cos jy sen jy f i j 750 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta 1881 Nc2 Ps2 sc1 N P2 Qs 1Nc2 Ps22 sc 1 N P2 Qs Ns2 Pc2 Qc sc 1N P2 1 Ns2 Pc22 Qc 4 Qs Qc 2 Simétrica em relação à diagonal principal Nc2 Ps2 sc 1 N P2 Qs Ns2 Pc2 Qc 4 k EI L 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 s c 0 0 0 0 0 0 0 s c 0 c s 0 0 0 0 0 0 0 c s 0 4EI L 2EI L 6EI L2 6EI L2 0 0 2EI L 4EI L 6EI L2 6EI L2 0 0 6EI L2 6EI L2 12EI L3 12EI L3 0 0 6EI L2 6EI L2 12EI L3 12EI L3 0 0 0 0 0 0 AE L AE L 0 0 0 0 AE L AE L 0 0 s 0 c 0 0 0 c 0 s 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 s 0 c 0 0 0 c 0 s 0 1 0 0 0 0 em que k vem da Equação 1854 N AI P 12L2 e Q 6L 187 Montagem de uma matriz de rigidez da estrutura método da rigidez direta Uma vez expressas as matrizes de rigidez de membro individuais em coordenadas globais elas podem ser somadas diretamente utilizandose o procedimento descrito no Capítulo 17 A combinação de matrizes de rigidez de membro individuais para formar a matriz de rigidez da estrutura pode ser simplificada com a introdução da notação a seguir na Equação 1881 Sepa rando após a terceira coluna e linha podemos escrever a Equação 1881 na forma compacta como 1882 k km N km NF km FN km F em que os subscritos N e F referemse respectivamente aos nós próximos e distantes do membro e o sobrescrito m é o número atribuído ao membro em questão no esboço estrutural Os termos em cada uma das submatrizes da Equação 1882 são prontamente obtidos da Equação 1881 e não serão repetidos aqui Para ilustrar a montagem da matriz de rigidez da estrutura pela soma direta vamos considerar mais uma vez o pórtico mostrado na Figura 1810 A matriz de rigidez dessa estrutura foi deduzida no Exemplo 184 e rotulada como Equação 1869 751 Seção 187 Montagem de uma matriz de rigidez da estrutura método da rigidez direta E x E m P L O 1 8 5 Usando o método da rigidez direta monte a matriz de rigidez da estrutura para o pórtico da Figura 1810a Figura 1812 a Pórtico com 3 graus de liberdade b montagem da matriz de rigidez da estrutura a partir das matrizes de rigidez de membro Solução A Figura 1812a ilustra a estrutura e identifica os graus de liberdade Note que os graus de liberdade são numerados na ordem x y z e estão mostrados no sentido positivo dos eixos globais essa ordem é necessá ria para aproveitar a forma especial da Equação 1882 Como o pórtico considerado tem três nós o número total de compo nentes do deslocamento de nó independentes antes que qualquer apoio seja introduzido é 9 A Figura 1812b mostra as matrizes de rigidez dos dois membros expressas no formato da Equação 1882 corretamente localizadas dentro do espaço da matriz 9 3 9 Por causa das condições de apoio específicas as colunas e linhas rotuladas com S de support apoio em inglês podem ser excluídas deixando assim apenas uma matriz 3 3 3 de rigidez da estrutura Como se vê na Figura 1812b em termos dos membros individuais a matriz de rigidez da estrutura é dada por 1883 K k1 F k2 N em que k1 F se refere à submatriz do membro 1 na extremidade distante e k2 N se refere à submatriz do membro 2 na extremidade próxima As matrizes da Equação 1883 são avaliadas a partir da Equação 1881 como se segue Para o membro 1 a 5313 positivo pois é no sentido kNF 2 kNF 1 kFN 1 kFN 2 kF 2 kN 1 b matriz de rigidez da estrutura a 1 2 3 S eixos globais y z x S S 3 2 1 S S S S S S 1 2 3 S S S 1 2 kF 1 kN 2 A B C continua 752 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta horário a partir do eixo x local para global portanto s 08 e c 06 A partir dos dados do Exemplo 184 EI L 240 106 600 40000 kip pol Q 6 L 6 600 001 pol 1 P 12 L2 12 6002 3333 10 6pol 2 N A I 072 240 003 pol 2 Para o membro 2 a 0 s 0 c 1 e os valores de N P Q e EI são iguais aos do membro 1 Substituindo esses resultados numéricos na Equação 1881 calculamos 1884 1 88 5 e k2 N 1200 0 0 0 133 400 0 400 160000 k1 F C 43285 57536 320 57536 76848 240 320 240 160000 S 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 Por fim substituindo as equações 1884 e 1885 na Equação 1883 obtemos a matriz de rigidez da estrutura pela soma direta 1886 K 163285 57536 320 57536 76981 160 320 160 320000 Resp A matriz K na equação acima é idêntica à Equação 1869 que foi deduzida no Exemplo 184 com a estratégia do deslocamento unitário continuação 753 Resumo Resumo Para a análise de uma estrutura em viga ou pórtico indeterminados pelo método da matriz de rigidez um procedimento de cinco etapas foi apresentado neste capítulo O procedimento exige que a estrutura seja analisada primeiramente como um sistema restringido Após as forças de restrição de nó serem determinadas a segunda parte da análise exige a solução da seguinte equação de equilíbrio para a estrutura não restringida ou original K F em que K é a matriz de rigidez da estrutura F é o vetor de coluna das forças de restrição de nó mas com os sinais invertidos e é o vetor de coluna dos deslocamentos de nó desconhecidos A matriz de rigidez da estrutura K pode ser montada a partir das matrizes de rigidez de membro pelo método da rigidez direta Quando são consideradas apenas rotações nos dois nós de extremidade a matriz 2 3 2 de rigidez de membro é expressa pela Equação 186 e o processo de solução de cinco etapas apresentado na Seção 183 pode ser utilizado para analisar uma viga indeterminada ou um pórtico contraventado quando translações de nó são impedidas Quando translações de nó estão presentes mas a deformação axial do membro pode ser ignorada é usada a matriz 4 3 4 de rigidez de membro baseada no sistema de coordenadas local na Figura 185 dada pela Equação 1842 Quando são consideradas deformações de flexão e axiais cada nó tem 3 graus de liberdade A matriz 6 3 6 de rigidez de membro k baseada no sistema de coordenadas local na Figura 189 é apresentada na Equação 1854 Contudo para aplicações computadorizadas é desejável expressar a matriz de rigidez de membro em um sistema de coordenadas comum ou global para que possa ser usado um processo de soma direta para estabelecer a matriz de rigidez da estrutura K A matriz de rigidez de membro k apresentada na Equação 1881 no sistema de coordenadas global pode ser construída a partir de k usandose o conceito de transformação de coordenadas Uma vez estabelecida a matriz de rigidez k para cada membro a matriz de rigidez da estrutura K é formada pela soma das matrizes de rigidez de membro ver Seção 187 754 Capítulo 18 Análise matricial de vigas e pórticos pelo método da rigidez direta P181 Usando o método da rigidez analise a viga contínua de dois vãos mostrada na Figura P181 e desenhe os diagramas de cortante e momento EI é constante PrObLEmAS C B A w 2 kipsft EI constante P181 A B D E C 20 35 10 50 kips EIvigas 2EIcolunas P182 A EI constante B 1 mola 2 3 C D L KS 5EI L3 L L P185 16 8 10k 5k 8 12 8 C B D A P183 P182 Desprezando as deformações axiais encontre os momentos de extremidade no pórtico mostrado na Figura P182 P183 Usando o método da rigidez analise o pórtico da Figura P183 e desenhe os diagramas de cortante e momento dos membros Despreze as deformações axiais EI é constante P184 Usando a solução do Problema P183 calcule as forças axiais nos membros do pórtico Use diagra mas de corpo livre que relacionem as cargas axiais de um membro com os cortantes de outro P185 Escreva a matriz de rigidez correspondente aos graus de liberdade 1 2 e 3 da viga contínua mostrada na Figura P185 P186 No Problema P185 encontre a força na mola localizada em B se a viga ABCD suporta uma carga uni forme w para baixo ao longo de todo o comprimento 755 Problemas P187 Para o pórtico mostrado na Figura P187 escreva a matriz de rigidez em função dos 3 graus de liberdade indicados Use ambos o método da introdução de deslo camentos unitários e a matriz de rigidez de membro da Equação 1836 P188 Resolva o Problema P187 usando a soma direta das matrizes globais de rigidez de elemento A B C 1 2 3 10 EI 15 3 106 kip pol2 AE 045 3 106 kips 10 P187 757 A pên dic e Revisão das operações básicas com matrizes A1 Introdução à notação matricial A análise matricial de estruturas pelo método da rigidez consiste na programação de um computador para gerar inicialmente um conjunto de equações de equilíbrio em termos de deslocamentos de nó desconhecidos Vamos supor que a análise de uma estrutura simples produza o seguinte conjunto de equações algébricas A1 em que k 11 k 12 k 21 e k 22 coeficientes de rigidez conhecidos P1 e P2 forças de nó especificadas d1 e d2 deslocamentos de nó desconhecidos k 21d1 k 22d2 P2 k 11d1 k 12d2 P1 As operações matriciais são definidas de modo que possamos representar as equações A1 pelas três matrizes a seguir termos entre colchetes A2 k 11 k 12 k 21 k 22 d1 d2 P1 P2 A representação acima pode ser ainda mais simplificada represen tandose cada matriz por uma letra ou símbolo em negrito A3 Matriz de força P P1 P2 Matriz de rigidez K k 11 k 12 k 21 k 22 Matriz de deslocamento D d1 d2 758 Apêndice Revisão das operações básicas com matrizes Usando a notação de A3 podemos escrever a Equação A2 como A4 KD P Nas próximas seções descreveremos as características das matrizes e as operações necessárias para resolver a Equação A4 para os valores de deflexões desconhecidas na matriz D A2 Características das matrizes Matriz é um arranjo retangular de termos entre colchetes organizados em linhas e colunas Normalmente é designada por uma letra ou carac tere em negrito Por exemplo podemos escrever a matriz A contendo m linhas e n colunas como A5 A a11 a12 p a1n a21 a22 p a2n p p p p p p p am1 am2 p amn A localização dos termos individuais chamados de elementos é iden tificada por dois subscritos O primeiro subscrito denota a linha e o segundo identifica a coluna na qual o elemento está localizado Por exem plo na matriz acima o termo aij representa o elemento na iésima linha e jésima coluna Os elementos de uma matriz podem consistir em quase qualquer tipo de quantidade por exemplo funções trigonométricas for ças outras matrizes e coeficientes de rigidez A ordem ou tamanho de uma matriz é denotado pelo número de linhas e colunas Por exemplo na Equação A5 a matriz A é de ordem m n m por n Se os valores de m e n são diferentes a matriz é retangular Se a matriz contém o mesmo número digamos n de linhas e colunas é denominada matriz quadrada e dizse que é de ordem n Uma matriz quadrada de ordem 3 seria 2 5 4 5 6 3 4 3 6 Dizse que os elementos de uma matriz quadrada cujos subscritos são iguais isto é i j ficam na diagonal principal Na matriz acima a dia gonal principal está mostrada pela linha inclinada para baixo e para a direita Todos os outros termos i j são denominados elementos de fora da diagonal 759 A2 Características das matrizes Outros tipos comuns de matrizes estão descritos a seguir 1 Matriz diagonal Todos os termos fora da diagonal são iguais a zero por exemplo D 2 0 0 0 6 0 0 0 6 2 Matriz unidade ou identidade É uma matriz diagonal na qual todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 Qualquer matriz multi plicada por uma matriz unidade permanece inalterada Uma matriz uni dade de terceira ordem é I 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 Matriz triangular inferior Todos os elementos acima da diagonal principal são iguais a zero T 3 0 0 2 4 0 1 4 1 4 Matriz linha Todos os elementos estão localizados em uma única linha Ela também é chamada de vetor linha ou matriz unidimensional Uma matriz B 1 4 é assim representada B b1 b2 b3 b4 5 Matriz coluna É uma matriz com uma só coluna Por exemplo uma matriz F 3 1 F F1 F2 F3 6 Matriz nula Nessa matriz todos os elementos são iguais a zero 0 0 0 0 7 Matriz simétrica É uma matriz quadrada na qual aij aji Por exemplo A 1 6 4 6 3 2 4 2 9 760 Apêndice Revisão das operações básicas com matrizes A3 Operações com matrizes Os matemáticos estabeleceram as operações básicas com matrizes descritas nesta seção para atender a vários objetivos Isso inclui 1 Resolver equações simultâneas 2 Transformar forças e deformações calculadas com relação ao sistema de coordenadas da estrutura em forças e deslocamentos equivalentes paralelos e perpendiculares aos eixos principais dos membros individuais Igualdade de matrizes Se duas matrizes A e B são iguais elas devem ser da mesma ordem e os elementos correspondentes devem ser iguais isto é aij bij Adição e subtração de matrizes Somente matrizes de mesma ordem podem ser somadas ou subtraí das O resultado da adição de duas matrizes A e B produz uma matriz C de mesma ordem Cada elemento de C é formado pela adição dos elementos correspondentes em A e B Se a matriz B é subtraída da matriz A os termos correspondentes em B são subtraídos dos de A Por exemplo A B D 5 6 0 4 1 2 A B C c9 6 8 6 3 4d A c2 0 4 5 1 3d B c7 6 4 1 2 1d Multiplicação de uma matriz por um escalar B Para multiplicar uma matriz por um escalar b multiplicamos cada elemento da matriz por b Por exemplo se então bA c 2EI EI EI 4EI d A c 2 1 1 4 d e b EI 761 A3 Operações com matrizes Multiplicação de matrizes Duas matrizes A e B só podem ser multiplicadas são compatíveis quando o número de colunas na matriz A é igual ao número de linhas na matriz B dizemos que a matriz A multiplica previamente a matriz B Para formar os elementos cij da matriz C que é o produto das matrizes A e B formamos o produto interno dos elementos na iésima linha de A e jésima coluna de B isto é multiplicamos os termos sucessivos na iésima linha da primeira matriz pelos da jésima coluna da segunda matriz e somamos os produtos Isso pode ser expresso como A6 cij a n k 1 aik bkj em que k representa o número de colunas em A e o número de linhas em B O resultado do produto AB é uma matriz C cuja ordem é igual ao número de linhas de A e de colunas de B Em outras palavras se a ordem de A é 2 3 e a ordem de B é 3 4 a matriz C será de ordem 2 4 Para apresentar o procedimento calculamos o produto AB de uma matriz linha A e uma matriz coluna B Cada elemento é identificado por dois subscritos para relacionar a operação com a Equação A6 A11 A12 A13 B11 B21 B31 C11 AB C Como as três colunas de A são iguais às três linhas de B as matrizes são compatíveis para multiplicação A matriz C que consiste em um único termo será de ordem 1 1 Usando a Equação A6 calculamos C11 A11B11 A12B21 A13B31 Para estender a Equação A6 à multiplicação de matrizes grandes calculamos o valor dos elementos c32 e c21 na matriz C que resulta quando a matriz B é previamente multiplicada pela matriz A a11 a12 a21 a22 a31 a32 b11 b12 b13 b21 b22 b23 c11 c12 c13 c21 c22 c23 c31 c32 c33 AB C A Equação A6 indica que avaliamos o elemento c32 multiplicando os termos da terceira linha de A pelos da segunda coluna de B c32 a31b12 a32b22 762 Apêndice Revisão das operações básicas com matrizes Analogamente avaliamos c21 formando o produto da linha 2 de A e da coluna 1 em B c21 a21b11 a22b21 Para ilustrar a multiplicação de matrizes calculamos C AB em que C 3 2 1 4 3 6 1 5 3 2 1 7 1 2 2 4 1 6 2 5 1 2 2 7 A c 3 1 1 2 12 22 d B c2 6 2 4 5 7 12 32 d Simplificando temos C 10 23 13 6 4 12 Observamos também que o produto BA não pode ser formado pois o número de colunas em B não é igual ao número de linhas em A Em geral o produto de duas matrizes não é comutativo isto é AB BA por exem plo calcule os produtos AB e BA AB 6 22 7 39 BA 13 14 24 32 A c2 4 5 6d B c 1 3 2 4d Como as leis distributivas e associativas são válidas para matrizes podemos escrever as seguintes relações 1 a ordem de multiplicação de mais de duas matrizes é opcional isto é A7 A 8 e 2 A B C AB AC 1AB2 1 2 C A 1BC2 Transposição de uma matriz A transposição de uma matriz A é uma segunda matriz AT na qual as linhas de A são inseridas como colunas Por exemplo a transposição de uma matriz linha A é uma matriz coluna AT A 2 3 4 AT 2 3 4 Se a matriz é simétrica sua transposição é idêntica à matriz original 763 A3 Operações com matrizes A 4 5 6 5 3 1 6 1 2 AT 4 5 6 5 3 1 6 1 2 Outras propriedades das transposições que podem ser necessárias são 1 a transposição do produto de duas matrizes BA é igual ao produto de suas transposições na ordem inversa isto é A9 A 1 0 e 2 A B T AT BT 1BA2 T ATBT Divisão de uma matriz A divisão é uma operação na qual subdividimos os elementos de uma matriz em matrizes menores submatrizes Definimos as submatri zes dentro da matriz original passando traços entre as linhas ou colunas Por exemplo a matriz A abaixo é separada em quatro submatrizes A11 A12 A21 e A22 em que A21 a31 a32 a33 A22 a34 A11 ca11 a12 a13 a21 a22 a23d A12 ca14 a24 d A a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 cA11 A12 A21 A22 d Dividimos uma matriz por vários motivos Em um caso determi nado grupo de elementos pode ter um significado físico especial Por exemplo em uma análise estrutural definimos matrizes separadas contendo forças deslocamentos e coeficientes de rigidez Como parte da solução dividiremos essas matrizes em um conjunto de submatri zes que contêm termos associados aos nós que estão livres para se deslocar e matrizes que contêm termos associados aos nós restringidos por apoios Em outro caso talvez queiramos subdividir uma matriz grande em submatrizes menores para adequála à capacidade de um computador Procedimentos para combinar matrizes divididas 1 Adição e subtração de matrizes divididas Se duas matrizes dividi das que precisam ser adicionadas ou subtraídas devem ser da mesma ordem e separadas de forma idêntica A soma de duas matrizes A B é uma matriz C de mesma ordem Os termos de C são iguais à soma dos elementos correspondentes em A e B A subtração é semelhante à adição 764 Apêndice Revisão das operações básicas com matrizes com a exceção de que os termos da matriz C são formados pela subtração dos elementos de B dos elementos correspondentes em A 2 Multiplicação Para multiplicar duas matrizes divididas A e B elas devem ser subdivididas em submatrizes compatíveis Se a matriz B pre cisa ser previamente multiplicada pela matriz A o número de colunas nas submatrizes de A deve ser igual ao número de linhas nas submatrizes de B Para ilustrar esse procedimento dividiremos a matriz A abaixo nas quatro submatrizes mostradas e efetuaremos a operação AB C A 4 1 3 5 0 6 2 7 1 1 4 8 3 9 3 B 1 2 0 1 2 3 1 4 3 1 Como A é separada entre a terceira e a quarta colunas devemos sepa rar B entre a terceira e a quarta linhas Também vamos supor que A é dividida entre a segunda e a terceira linhas Essa etapa não exige que B também seja dividida Por outro lado se quiséssemos produzir submatri zes menores também poderíamos separar B entre as colunas 1 e 2 Expressando A e B em termos de suas submatrizes temos A11 em que A12 A22 9 3 B11 1 2 0 1 2 3 B21 1 4 3 1 A11 4 1 3 6 2 7 A12 5 0 1 1 A21 4 8 3 A A11 A12 A21 A22 B B11 B21 Formando o produto AB com as matrizes da Equação A11 temos A13 AB A11 A12 A21 A22 B11 B21 A11B11 A12B21 A21B11 A22B21 765 A4 Determinantes Substituindo na Equação A13 os valores numéricos das submatrizes dados pelas equações A12 temos 34 8 34 1 2 0 1 2 3 39 34 c 1 4 3 1 d c4 1 3 6 2 7d C 1 2 0 1 2 3 S c5 0 1 1 d c 1 4 3 1 d AB A14 Multiplicando as matrizes na Equação A14 temos A15 AB c 20 10 35 18 d c 4 5 3 20 d 10 25 18 33 Somando as matrizes na Equação A15 temos A16 C AB 15 38 24 38 28 58 Evidentemente o produto AB das matrizes originais não separadas produziria o mesmo resultado dado pela Equação A16 A4 Determinantes Para inverter uma matriz operação necessária para encontrar as incógnitas em um conjunto de equações simultâneas devemos ava liar um determinante Determinante é um número associado aos ele mentos de uma matriz quadrada Para definir que um grupo de elemen tos é um determinante os elementos são englobados por duas linhas verticais Por exemplo denotamos o determinante de uma matriz A de segunda ordem como A17 A a11 a12 a21 a22 O valor de um determinante é igual à soma algébrica de todos os pro dutos possíveis contendo um elemento de cada linha e de cada coluna do grupo Cada produto recebe um sinal de mais ou de menos com base na seguinte regra se os elementos em cada produto são organizados de 766 Apêndice Revisão das operações básicas com matrizes modo que seus primeiros subscritos estejam em ordem crescente o pro duto é positivo se o número de inversões um número menor após um número maior na ordem dos segundos subscritos é par e negativo se o número de inversões é ímpar Para ilustrar essa regra avaliaremos o deter minante na Equação A17 formando os seguintes produtos 1 Nenhuma inversão a11a22 2 Uma inversão a12a21 Somando os produtos 1 e 2 para avaliar o determinante calculamos A a11a22 a12a21 Para que um sistema de equações lineares tenha uma solução única o determinante da matriz de coeficientes não deve ser igual a zero Um determinante zero indica que uma das linhas ou colunas é uma com binação linear de outra linha ou coluna Quando um determinante é grande a expansão de Laplace fornece um procedimento eficiente para avaliar sua magnitude A expansão de Laplace exige o uso de cofatores Se linha e coluna que contêm um ele mento aij são excluídas o determinante dos termos restantes é denomi nado o menor Mij de aij Então o cofator de aij denotado por Cij é defi nido como A18 Cij 1 i jMij A expansão de Laplace define o valor de um determinante é igual à soma dos produtos dos elementos e seus cofatores para qualquer linha ou coluna dada Para ilustrar a expansão de Laplace avaliaremos o determinante da matriz abaixo usando os elementos da primeira linha e seus cofatores 3 7 1 2 2 4 31 0A0 3 1 12 1 1 2 1 1 4 1 1 12 1 2 0 1 2 4 1 22 1 12 1 3 0 2 2 1 0A0 3 1 2 0 2 1 2 1 4 A5 Inversa de uma matriz Na Seção A1 indicamos que o conjunto de equações lineares A1 pode ser representado pela equação matricial A4 KD P em que as matrizes são definidas pelas equações A3 Se a Equação A4 fosse uma equação algébrica poderíamos achar a solução de D dividindo os dois lados da equação por K Contudo esse procedi 767 A5 Inversa de uma matriz mento não é aplicável às equações matriciais pois a operação de divisão de matrizes não está definida Se K é uma matriz quadrada podemos encontrar a solução de D multiplicando previamente os dois lados da Equação A4 por uma matriz chamada inversa de K A inversa que tem a mesma ordem de K é denotada pelo símbolo K1 A operação de prémultiplicação ou pósmultiplicação de uma matriz pela sua inversa produz a matriz identidade I isto é A19 K 1K KK 1 I Na Equação A4 podemos achar a solução dos termos da matriz D multiplicando previamente os dois lados da equação por K1 A20 K 1KD K 1P Como K1K I e ID D a Equação A20 se reduz a A21 D K 1P Se a matriz K na Equação A4 não tem uma inversa é singular o conjunto de equações simultâneas não tem uma solução única A inversa de uma matriz quadrada A é calculada pela seguinte equação A22 A 1 Aa A em que A é o determinante da matriz A e Aa é a matriz adjunta de A Para estabelecer a matriz adjunta substituímos cada elemento da matriz A por seu cofator Equação A18 para produzir a matriz cofator Ac Então a matriz adjunta é definida como a transposição da matriz cofator isto é A23 Aa Ac T Para ilustrar o uso da inversa resolveremos o conjunto de equações simultâneas a seguir para os valores desconhecidos de x A24 2x1 x2 x3 6 3x1 x2 x3 4 2x1 4x2 x3 7 Expressando as equações A24 em notação matricial escrevemos A25 em que A26 A 2 4 1 3 1 1 2 1 1 X x1 x2 x3 C 7 4 6 AX C Calcule a matriz cofator de A 768 Apêndice Revisão das operações básicas com matrizes A27 4 1 1 1 2 1 3 1 2 4 3 1 4 1 1 1 2 1 2 1 2 4 2 1 1 1 1 1 3 1 2 1 3 1 2 1 Ac Simplifique Ac avaliando os determinantes na Equação A27 A28 Ac 0 5 5 5 4 6 5 1 14 Transponha os elementos de Ac para produzir a matriz adjunta Aa A29 Aa 0 5 5 5 4 1 5 6 14 Calcule o determinante de A consultar a Seção A4 A30 A 25 Calcule a inversa de A usando a Equação A22 A31 A 1 1 25 0 5 5 5 4 1 5 6 14 Multiplique previamente os dois lados da Equação A25 por A1 A32 A 1AX A 1C Como A1A I a Equação A32 se reduz a x1 x2 x3 1 25 0 5 5 5 4 1 5 6 14 7 4 6 2 1 1 X A 1C e x1 2 x2 1 e x3 1 Embora a multiplicação de uma matriz quadrada de coeficientes por sua inversa forneça uma notação conveniente para representar a solução de um conjunto de equações lineares o cálculo de uma inversa é um método ine ficiente para resolver um conjunto de equações simultâneas comparado aos outros procedimentos numéricos Na prática os programadores geralmente utilizam a eliminação de Gauss ou uma de suas muitas variações 769 GLO S S ÁR IO Ação de diafragma A capacidade de lajes de piso e teto rasas de transferir cargas no plano para os membros de apoio Análise de primeira ordem Análise baseada na geometria ori ginal da estrutura na qual as deformações são consideradas insignificantes Análise de segunda ordem Análise que leva em conta o efeito dos deslocamentos dos nós nas forças em uma estrutura sub metida a deslocamentos significativos Análise dinâmica Análise que considera as forças de inércia criadas pelo movimento de uma estrutura Esse tipo de análise exige que a estrutura seja modelada levando em conta sua rigidez massa e o efeito do amortecimento Área de influência A área de uma laje ou parede suportada por uma viga ou coluna em particular Normalmente para colu nas a área em volta é delimitada pelas linhas centrais dos painéis adjacentes Barlavento O lado de um prédio que fica defronte ao vento O vento produz uma carga direta sobre a parede de barlavento Barra zero Barra de uma treliça que permanece não tracionada sob uma condição de carregamento em particular Carga acidental sobrecarga Carga que pode ser acrescentada ou retirada de uma estrutura como equipamentos veículos pessoas e materiais Carga gravitacional Consulte Peso próprio Carga ponderada Carga estabelecida pela multiplicação da carga de projeto por um fator de carga normalmente maior que 1 parte do fator de segurança Cargas de serviço Cargas de projeto especificadas pelos códigos de construção Cargas sísmicas Cargas produzidas pelo movimento do terreno associado aos terremotos Carregamento Cooper E 80 O carregamento contido no manual AREMA para engenharia de estradas de ferro Consiste nas cargas das rodas de duas locomotivas seguidas por uma carga uniforme representando o peso dos vagões Carregamentopadrão Posicionamento de carga móvel nos locais que maximizam as forças internas em uma seção específica de uma estrutura Linhas de influência são utilizadas para esse propósito Cisalhamento de base As forças totais de inércia ou do vento atuando em todos os andares de um prédio que são transmiti das para as fundações Código de construção Conjunto de disposições que controlam o projeto e a construção em determinada região Suas cláusulas estabelecem requisitos de projeto arquitetônico estrutural mecânico e elétrico mínimos para prédios e outras estruturas Coeficiente de flexibilidade A deformação produzida por um valor unitário de carga ou momento Conexão da alma Consulte Conexão de cisalhamento Conexão de cisalhamento Ligação que pode transferir cisalha mento mas nenhum momento significativo Normalmente referese à carga transferida por cantoneiras conectadas às almas das vigas que estão sendo ligadas a colunas ou a outras vigas Confiabilidade Capacidade de uma estrutura de funcionar com segurança sob todas as condições de carregamento Construção monolítica Estrutura na qual todas as partes atuam como unidade contínua Contraventamento Sistema de escoramento cujo objetivo é transferir as cargas de vento laterais para o chão e reduzir os deslocamentos laterais produzidos pelas forças do vento Contraventamento em X Barras diagonais leves em forma de X que vão do topo de uma coluna até a parte inferior da coluna adjacente Junto com vigas secundárias e colunas o contraven tamento em X age como uma treliça para transportar as cargas laterais para as fundações e reduzir os deslocamentos laterais Deformação A relação de uma mudança no comprimento divi dida pelo comprimento original Deslocamento lateral Liberdade dos nós de uma estrutura para se deslocar lateralmente quando carregados Deslocamento virtual Deslocamento devido a uma força externa usado no método do trabalho virtual Desprendimento de vórtices Fenômeno causado pelo vento que é refreado pelo atrito da superfície do membro sobre a qual está passando Pequenas massas de partículas de ar inicial mente refreadas aceleram quando deixam o membro criando ciclos de variação na pressão atmosférica que causam vibra ções na peça estrutural Diagrama de corpo livre O esboço de uma estrutura ou de parte de uma estrutura mostrando todas as forças e dimensões necessárias para uma análise 770 Glossário Diagramas de momento por partes Os diagramas de momento são traçados para forças individuais para produzir formas geométricas simples cujas áreas e centroides são conhecidos consultar a tabela no final do livro Ductibilidade A capacidade de materiais ou estruturas suporta rem grande deformação sem ruptura É o oposto do comporta mento rígido Efeito Pdelta Momentos adicionais criados pela força axial devido aos deslocamentos laterais do eixo longitudinal de um membro Elo Consultar Membro de duas forças Energia cinética Energia possuída por um corpo em movimento Sua magnitude varia com o quadrado da velocidade e sua massa Escora Uma parede ou elemento que transfere carga da extremi dade de um membro da estrutura para a fundação Escoras diagonais Consultar Contraventamento Estrutura hiperestática Estrutura cujas reações e forças internas não podem ser determinadas pelas equações da estática Estrutura idealizada Esboço simplificado de uma estrutura normalmente um desenho feito com linhas que mostra as cargas e dimensões com as condições de apoio presumidas Estrutura planar Estrutura cujos membros estão todos localizados no mesmo plano Fator de carga Parte do fator de segurança aplicado aos mem bros dimensionados à resistência última em que o projeto é baseado na resistência à ruptura dos membros Flambagem Um tipo de falha de colunas placas e cascas quando carregadas em compressão Quando a carga de flambagem é atingida a forma inicial não é mais estável e se desenvolve uma forma curva Flecha do cabo Distância vertical entre o cabo e sua corda Forças de inércia Forças produzidas em uma estrutura móvel por sua própria massa Geometricamente instável Referese a uma configuração de apoio que não é capaz de conter os deslocamentos de corpo rígido em todas as direções Impacto A força aplicada pelos corpos em movimento quando a energia cinética é convertida em força adicional A magnitude da energia cinética é uma função da massa do corpo e da velo cidade elevada ao quadrado Índice de esbeltez Parâmetros lr nos quais l é o comprimento do membro e r é o raio de giração que medem a esbeltez de um membro A resistência compressiva das colunas diminui à medida que o índice de esbeltez aumenta Longarina Uma viga estendida na direção longitudinal de uma ponte que suporta a laje de piso em seus flanges superiores e transfere a carga para as transversinas Membro de duas forças Também chamado elo Membro que só transmite carga axial Nenhuma carga é aplicada entre as extre midades do membro Módulo de elasticidade Medida da rigidez de um material defi nida como a relação da tensão dividida pela deformação e representada pela variável E Módulo de seção Propriedade da área da seção transversal que mede a capacidade de um membro de resistir a momento Momento de inércia Propriedade de uma área de seção trans versal que é uma medida da capacidade de curvatura de uma seção Não prismático Referese a um membro cuja área de seção trans versal varia ao longo do comprimento de seu eixo longitudinal Nós Pontos em que as vigas de piso se ligam às vigas mestras ou treliças Também são as ligações das barras de treliças Parede resistente Uma parede estrutural normalmente construí da de alvenaria ou concreto armado que suporta as cargas do piso e do teto Período natural O tempo que uma estrutura leva para passar por um ciclo de movimento completo Peso próprio Também chamado de carga gravitacional A carga associada ao peso de uma estrutura e seus componentes como paredes tetos tubulações condutos de ar etc Pilar Parede de concreto armado ou alvenaria que é carregada pelos apoios de uma estrutura e transfere as cargas para as fundações Pilarparede Parede estrutural muito rígida que transmite as cargas laterais de todos os pavimentos para as fundações Placa de ligação Placas utilizadas para formar os nós de uma treliça As forças entre as barras que chegam ao nó são trans feridas pela placa de ligação Ponto de inflexão O ponto ao longo do eixo de uma viga em que a curvatura muda de positiva para negativa Pórtico contraventado Pórtico estrutural cujos nós ficam livres para girar mas não se deslocam lateralmente Sua resistência ao deslocamento lateral é fornecida pelo contraventamento ou pela ligação com pilaresparede ou apoios fixos Pórtico rígido Estrutura composta de barras solicitadas à flexão ligadas por nós rígidos Pórtico sem contraventamento Pórtico cuja rigidez lateral depende da rigidez à flexão de suas barras Pressão do vento estática O valor da carga uniformemente dis tribuída listado em um código de construção que representa a pressão exercida pelo vento sobre as paredes ou tetos A pressão é uma função da velocidade do vento em determinada região da elevação acima do solo e da rugosidade da superfí cie do terreno Princípio da superposição As tensões e deformações produzidas por um conjunto de forças são idênticas àquelas produzidas pela adição dos efeitos das forças individuais 771 Glossário Princípio de Bernoulli Uma redução na pressão atmosférica é produzida por um aumento na velocidade do vento quando ele flui em volta de obstruções em seu caminho Os códigos de construção consideram esse efeito ao estabele cerem o modelo da força do vento nas paredes e nos tetos dos prédios Protensão Indução de tensões úteis em um membro por meio de barras tensionadas ou cabos ancorados no membro Região de furacão Regiões costeiras onde ocorrem ventos de grande velocidade aproximadamente 140 kmh ou mais Rigidez à flexão absoluta O momento aplicado à extremidade articulada de uma viga cuja outra extremidade é fixa exigido para produzir uma rotação de 1 radiano Sobrecarga Consulte Carga acidental Sotavento O lado de um prédio oposto ao lado impactado pelo vento Tensão Força por área unitária Tensão de membrana Tensão no plano que se desenvolve em cascas e placas a partir de cargas aplicadas Trabalhoenergia Lei que diz o seguinte a energia armazenada em uma estrutura deformável é igual ao trabalho realizado pelas forças que atuam na estrutura Trabalho virtual Técnica baseada no trabalhoenergia para cal cular um único componente do deslocamento Vigacaixão Uma viga retangular vazada O peso é reduzido pela eliminação de material no centro da viga mas a rigidez à fle xão não é significativamente afetada Vigacoluna Coluna que suporta força axial e momento Quando a carga axial é grande ela reduz a rigidez à flexão da coluna Viga de piso Membro de um sistema de pavimentos posicionado transversamente à direção do vão Normalmente as transver sinas pegam a carga das longarinas e a transferem para os nós das peças estruturais principais como treliças vigas mestras ou arcos Viga mestra Uma viga grande que geralmente suporta uma ou mais vigas secundárias Viga Vierendeel Treliça com ligações rígidas que não contém barras diagonais Para essa estrutura o cisalhamento é trans mitido pelas cordas superior e inferior e cria grandes tensões oriundas da flexão 772 Capítulo 2 P21 900 lbft P23 2514 lbft para unidade de 20 pol de largura P25 a 600 ft2 para suposição de carga uniforme 500 ft2 para distribuição de carga afunilada nas extremidades b 300 ft2 para distribuição de carga uniforme 350 ft2 para dis tribuição de carga afunilada c 550 ft2 para distribuição de carga uniforme 650 ft2 para distribuição de carga afunilada d 500 ft2 e 2 200 ft2 P27 1881 kips para a coluna do terceiro andar 4303 kips para a coluna do primeiro andar P29 Força total 80 460 N P211 Pressão do vento de projeto para a parede a barlavento 843 lbft2 até 15 pés de altura e 917 lbft2 de 15 a 16 pés parede a sotavento 244 lbft2 sucção telhado a barlavento 334 lbft2 sucção telhado a sotavento 732 lbft2 sucção P213 Cortante de base sísmico 258 kips As cargas laterais do teto ao segundo piso são 761 761 55 348 e 16 kips respectivamente P215 T 05 segundo Capítulo 3 P31 RAX 6 kips RBY 1938 kips RAY 862 kips P33 RAY 344 kN RAX 42 kN P35 RAX 3167 kips RAY 1275 kips REY 3525 kips REX 18167 kips P37 RDY 3 kN MA 12 kN m RCY 7 kN P39 AY 80 kips REY RDY 15 kips RB AX 625 kips P311 RAY 48 kN RD 8 kN REY 106 kN RAX 36 kN P313 RA 8 kN RD 3375 kN REY 175 kN REX 40 kN P315 RAX 4 kips RAY 45 kips RFY 9 kips RHY 105 kips P317 AY 5333 kN AX 40 kN DY 30 kN EY 8333 kN P319 RD 75 kN AX 72 kN AY 21 kN P321 AY 513 kips AX 216 kips CY 027 kip P323 RAY 60 kN RGX 4857 kN RAX 4857 kN RGY 60 kN P325 RAY 6583 kips RAX 8 kips RDY 12137 kips P327 AY 90 kN AX 10 kips RB 70 kips barra BED EY 105 kN e EX 30 kN P329 RAX 56 kips RAY 56 kips REX 20 kips REY 40 kips RCX 256 kips RCY 384 kips P331 a Indeterminada 1º b indeterminada 3º c instável d indeterminada 2º e indeterminada 3º f indeterminada 4º P333 MA 610 ft kips BF 2973 kips CG 11 kips DE 64 kips Capítulo 4 P41 a Estável indeterminada no segundo grau b estável indeterminada no segundo grau c instável d estável indeterminada no segundo grau e estável indetermi nada no primeiro grau f estável indeterminada no primeiro grau g estável determinada P43 FAB 20 kN FAG 15 kN FDF 0 FEF 25 kN P45 FAJ 175 kips FCD 15 kips FDG 4596 kips P47 FAD 75 kN FDE 275 kN P49 FAB 3867 kips FAC 481 kips P411 FAB 1412 kips FCE 30 kips P413 FBH 265 kips FCG 65 kips FEF 47 kips P415 FCG 3658 kips FCD 40 kips FEF 50 kips P417 FAB 1238 kN FAF 3958 kN P419 FAH 1667 kN FAB 5271 kN FBH 0 kN P421 FAB 42 kN FAD 0 kN FBF 594 kN P423 FAB 6875 kN FBG 625 kN FCG 375 kN P425 Instável P427 FBG 48 kips FFH 10182 kips P429 FAB 6788 kN FCG 66 kN P431 FAB 2304 kN FLK 2286 kN FEK 2286 kN P433 FJD 5572 kips FLC 4002 kips FKJ 14205 kips FBL 0 P435 FMC 667 kips FIJ 1333 kips FMI 667 kips P437 FAB 40 kips FBH 100 kips P439 FAB 1697 kN FBG 0 kN FCG 24 kN P441 FAG 4 kN FBG 3 kN FBC 20 kN P443 FAB 30 kips FCJ 18 kips FDI 36 kips Respostas dos pRoblemas de numeRação ímpaR 773 Respostas dos problemas de numeração ímpar P445 FAJ 30 kN FJI 10866 kN FEH 4075 kN P447 Caso 1 nó 1 dx 00 pol nó 2 dx 0492 pol dy 011 pol Caso 2 para A 6 pol2 dX 0217 pol P449 a F1 648 kips F2 719 kips F89 54 kips F10 24 kips F11 215 kips F12 0 MEIOVÃO 0892 pol b F56 57 kips Mjt6 722 ft kips sMÁX 632 ksi Capítulo 5 P51 VBC 5375 kips MB 535 ft kips MC 1875 ft kips P53 V 1 x 2 4 M 12 x x 3 12 P55 Origem em B SEGMENTO BC V 4 3x M 16 4x 3 2 x2 P57 SEGMENTO BC 0 x 3 origem em B V 1783 5x M 40 3783x 5 2 4 x 2 P59 VAB 44833 4x1 MAB 44833x1 2x12 P511 M 35x x 2 x 3 36 Mmáx 22813 kip ft P513 Mmáx 2184 kip ft P515 Mmáx 650 kip ft em D P517 DFX 20 kips DFY 15 kips AC 70 kips EY 35 kips VMÁX 40 kips MMÁX 2041 ft kips P519 RD 265 kN RAY 75 kN RAX 0 P521 MA 120 kN m RAY 15 kN RDY 15 kN P523 RAY 24667 kN RAX 20 kN RBY 747 kN P525 MA 120 kip ft VA 50 kips P527 RAY 9 kN VB 18 kN Mmáx 2078 kN m P529 RAY 43 kips RAX 24 kips RDY 29 kips P531 Máx M 233 kN m MB 9 kN m P533 Máx M 81 kN m máx M 90 kN m P535 BX 975 kN BY 4 kN FY 31 kN FX 375 kN máx V 66 kN P537 Ax 255 kips MB 18 kip ft FY 195 kips FX 85 kips P539 MCB 120 ft kips MCE 200 ft kips MBE 80 ft kips P541 Membro BE Mmáx 3403 kip ft MBA 18 ft kips MBC 0 MBE 18 ft kips P543 Máx V 3625 kips máx M 11745 kip ft P545 a Indeterminada 1º b indeterminada 6º c instável d indeterminada 4º e indeterminada 1º P547 R1Y 62 kips R2Y 618 kips R3Y 118 kips M3 3192 ft kips P549 Caso 1 D 2786 pol Dmáx 048 pol Caso 2 D 0837 pol Caso 3 D 0275 pol Capítulo 6 P61 AY 60 kips AX 75 kips TAB 96 kips TBC 8078 kips comprimento do cabo 1143 pés P63 AY 356 kips DY 124 kips TMÁX 868 kips P65 AX BX 2 160 kips BX 2 160 kips BY 1 440 kips AY 0 TMÁX 2 5314 kips P67 T 2802 kips P69 AY 3767 kN Tmáx 10065 kN H 9333 kN BY 1433 kN P611 AY 18 kN AX 7875 kN TMÁX 8078 kips P613 Peso necessário do anel de tração 1178 kips Tmáx 2528 kips A CABO NECESSÁRIA 023 pol2 Capítulo 7 P71 Para h 12 ft T 96933 kips para h 24 ft T 57628 kips P73 à esquerda de D M 375 ft kips V 2785 kips TAXIAL 9186 kips P75 AX 305 kN AY 3875 kN CY 2125 kN CX 125 kN P77 Carga em C AX 333 kips carga em D AX 667 kips P79 AX 41875 kN AY 2775 kN EY 3225 kN EX 56875 kN P711 h 3846 pés P713 Máx X 41 pol máx Y 41 pol Capítulo 8 P81 RA ordenadas 1 em A 0 em D MC 0 em A 5 kip ft no meio do vão P83 RA 1 em A 2 7 em D MB 0 em A 24 7 em B VC 4 7 em B 2 7 em D P85 VE 05 em C 1 2 em G P87 FCE 0 em A 229 em D P89 RA 1 em A 1 em B 1 2 em D MA 0 em A 12 kip ft em B 6 kip ft em D P811 Rc 0 em A 7 5 em B 1 2 em D P813 ME 48 5 em C 96 5 em E VAB 4 5 em B 3 5 em C P815 MC 8 em A 10 na articulação VBC 2 em A 0625 na articulação 025 em D 774 Respostas dos problemas de numeração ímpar P817 VCE 1 2 em D 1 3 em C e 1 3em E V à direita deI 2 3 em C RI1 emB 2 3 em C P819 RH 1 em B 0 em D e 1 6 em E P821 Carga em B RG 08 kip VF 02 kips MF 3 kip ft P823 FKL 5 6 em L FAB 118 em L FBK 22 3 em L P825 FEM 0884 em M FNM 3 4 em B FAD 5 11 em B FEF 0566 em B P827 FBL 22 3 em M eJ FCD 2 3 em L e 2 3 em J P829 Carga em C DY 1 DX 1 AY 1 M11 0 M22 3 P831 Carga em C FBC 0 FCA 0938 kip FCD 0375 kip FCG 0375 kip P833 Carga em C FAL 0 FKJ 075 kip P835 Mmáx 20875 kip ft Vmáx 3333 kips P837 a Vmáx 4967 kN Mmáx 28059 kN m b no meio do vão Mmáx 276 kN m P839 Mmáx 32326 kip ft Vmáx 402 kips P841 a Máx RB 832 kips c Máx ME 138 kip ft P843 em B V 60 kN em C V 39 kN em D V 24 kN P845 RAY 1 em A 1 2 em B 0 em C RAX 0 em A 125 em B 0 em C P847 FCD 2 kN em D e E FML 1 em D FEL 22 3 em G P848 RA 1 no apoio 0792 em 2 03 em 6 RB 0056 em 1 MA 0 no apoio 384 em 2 192 em 4 e 2 em 6 Capítulo 9 P91 uB PL22EI dB PL33EI P93 máx em x 04725L máx 0094ML2EI P95 uA ML4EI uB 0 P97 uB uC 960EI vB 3 840EI vC 7 680EI P99 uA 40EI uE 40EI vB 3203EI P911 uA 360EI A 1 800EI E 540EI para cima P913 uA 114PL2768EI vB 50PL31 536EI P915 uC 282EI dC 1 071EI P917 uB 0 B 0269 pol para baixo P919 uC 000732 rad DH 0309 pol P921 uB 144EI C 1 728EI para cima P923 uA 450EI dDH 2 376EI dDV 1 944EI P925 F 1375P P927 uBR 00075 rad vD 007 m P929 uA vB 6075EI dB MB 3 645EI para baixo P931 uC 675EI dC 1755EI dmáx 54EI para cima P933 dmáx 4448EI uBL 72EI uBR 48EI P935 uBL 90EI uBR 95EI vB 720EI P937 uCL 104EICF uCR 1042EICF vC 4167EICF P939 Contraflecha de 027 pol para cima P941 Caso 1 1 o2 o rel 125 pol 2 o3 o rel 065 pol Caso 2 1o2o rel 581 pol 2o3o rel 977 pol Caso 3 1o2o rel 0136 pol 2o3o rel 0104 pol Capítulo 10 P101 dBH 070 pol dBV 028 pol P103 dCX 002 m P105 a dEX 018 pol dEY 0135 pol b dEY 081 pol P107 a dDV 0895 pol b dBH 8 3 pol P109 dCY 041 pol dCX 0 P1011 dBY 1483 pol P1013 dBX 1 pol dBY 3 4 pol uBC 0004167 rad P1015 dAX 2 pol P1017 P 3wL8 P1019 dC 1174 mm P1021 Na linha central d 086 pol uA 043º ou 000745 rad P1023 dB 24 4687EI uC 2 56875EI P1025 dCY 073 pol LBD 0292 pol P1027 dC 0113 m P1029 dBY 174 pol P1031 dBY 0592 pol LDE 4 pol P1033 dBY 0432 pol P1035 uB 000031 rad CX 441 mm P1037 dCY 0134 pol P1039 dCV 77 mm P1041 C 788 pol P1042b Reações AX 826 kips AY 1613 kips no centro da viga dY 0371 pol M 7083 kip ft 775 Respostas dos problemas de numeração ímpar Capítulo 11 P111 MA 9072 kip ft RAY 2045 kips RCY 1555 kips P113 RAY 671 kips MA 4065 kip ft RCY 671 kips Se I é constante MA 30 kip ft P115 MB 40 kip ft RAY RCY 77778 kips RB 144444 kips P117 RA 189 kips MA 308 kip ft RB 2115 kips P119 MA 5wL216 RAY 13wL16 RCY 3wL16 MC 3wL216 P1111 a MA 18 kip ft RA 45 kips RB 105 kips RD 6 kips b MA 341 kip ft RAY 016 kip RB 716 kips RD 6 kips P1113 RA RB wL2 MA MB wL212 P1115 RA 0688 kip MA 963 kip ft P1117 RAX 329 kips RAY 3533 kips RD 8467 kips FAB 5888 kips FBD 100 kips P1119 RBX 1853 kips RBY 2471 kips RAX 1853 kips RDY 5529 kips FBC 3089 kips FAC 1853 kips P1121 RBX 299 kips RBY 45 kips FAD 2239 kips FCD 2985 kips P1123 RAY 128 kN RAX 213 kN RCY 112 kN RCX 213 kN P1125 RAX 857 kips RAY 3428 kips RCX 857 kips RCY 2571 kips P1127 RAX 4 kips MA 3198 kip ft RAY 089 kip P1129 RAY 15 kips REY 525 kips RDY 225 kips C 10 800EI P1131 RAX 6529 kips CABO FCE 816 kips P1133 RAX 199 kN RAY 4817 kN REY 1983 kN REX 199 kN P1135 RAY 384 kips RAX 923 kips RDX 923 kips RDY 384 kips P1137 MA 1196 kN m RAY 2696 kN RC 304 kN P1139 FAC 11722 kN AV 469 mm P1141 RAX 0 kip RAY 1111 kips RCX 1667 kips RCY 6001 kips RCX 2333 kips RCY 3111 kips FBD 2333 kips FBC 2003 kips P1143 RAY 50 kN RAX 50 kN FBC 50 kN FAB FCD 7071 kN P1145 REY 23218 kips RDY RFY 11609 kips Capítulo 12 P121 MEFAB 3PL16 MEFBA 3PL16 P123 MAB 40 kip ft RB 145 kips P125 RAX 35 kips MA 14 kip ft RAY 469 kips MC 1624 kip ft P127 RB 1029 kips RC 1629 kips RD 257 kips MD 686 kip ft P129 RA 2927 kips RB 3073 kips C 0557 pol P1211 MA 1309 kip ft MBA 2618 kip ft RA 327 kips RB 1227 kips 6981EI P1213 MA 1436 kip ft RAX 527 kips RAY 16 kip MB 584 kip ft P1215 MAB 7656 kN m RA 12312 kN RB 21024 kN P1217 MAB 109565 kN m MBA 70434 kN m RAX 15 kN RAY 7043 kN P1219 RAX 062 kip RAY 22715 kips MA 484 kN m RBX 196 kN RBY 54245 kN MB 392 kN m P1221 RAY 88 kips RAX 31 kips MAB 723 kip ft P1223 RAY 2761 kN MAB 5525 kN m RAX 27625 kN P1225 MAB 9372 kN m RAY 16 kN RAX 2062 kN P1227 RAX 112 kips MBA 1345 kip ft P1229 MAB 11666 kN m MBA 5833 kN m MDC 11666 kN m Capítulo 13 P131 RAY 1653 kips MA 8356 kip ft MB 7289 kip ft MC 5956 kip ft RCY 2317 kips P133 RAY 498 kips MA 909 kip ft MC 433 kip ft MB 433 kip ft P135 RAY 34857 kips MA 101143 kip ft RB 76571 kips RC 44571 kips P137 RA 464 kips MA 139 kip ft RB 1797 kips RC 40 kips RD 1267 kips MB 2786 kip ft MC 4796 kip ft P139 RAY 3487 kips RBY RCY 9313 kips MB MC 16433 kip ft P1311 MD MA 8047 kip ft RAX 1614 kips RAY RDY 30 kips P1313 MA 260 kN m RAX 0865 kN RAY 195 kN RDX 173 kN MD 346 kN m RCY 1297 kN RCX 0865 kN P1315 RAY 2227 kips RAX RDX 278 kips RDY 7672 kips MD 111 kip ft P1317 RAY 2384 kips RAX 096 kip MA 6315 kip ft ME 07 kip ft EY 4893 kips EX 021 kip FY 3123 kips FX 075 kip P1319 RBY 3194 kN RCY 190 kN REY 605 kN ME 331 kN m P1321 MAB 1762 kip ft MBA 3524 kip ft RAY 776 kips MCB 15104 kip ft P1323 RAY 221 kips RAX 069 kip MA 1325 kip ft RDX 171 kip RDY 1471 kips RCX 103 kip RCY 115 kips 776 Respostas dos problemas de numeração ímpar P1325 RAX 599 kips RAY 316 kips MA 4360 kip ft RFX 802 kips RFY 0 kip MF 5169 kip ft MCB 2225 kip ft MCF 4449 kip ft 0543 pol P1327 RAY 398 kips RAX 7 kips MA 3696 kip ft RDX 94 kips RDY 402 kips MD 5214 kip ft Capítulo 14 P141 Ordenadas de RA 1 0593 0241 0 0083 Ordenadas de MC 0 0667 0833 0 375 P143 Ordenadas de RA 1 0691 0406 0168 0 0082 0094 0059 0 0047 P145 Esboços qualitativos no site da Web P147 Ordenadas de MC A 0 B 6 kip ft C 0 D 0 Capítulo 15 Nota como a análise aproximada dos problemas P151 a P159 exige uma suposição as respostas individuais variarão P151 Para suposição de PI ponto de inflexão no vão AB 025L 6 ft MB 360 kip ft Pela distribuição de momento MB 310 kip ft P153 Para suposição de PI 02L 8 ft à direita do nó B AX 848 kips AY 1818 kips MB 1272 kip ft e CY 582 kips Pela distribuição de momento CX 885 kips CY 568 kips MB 13295 kip ft P155 Para suposição de PI 02L 24 ft para os apoios C e D no vão CD máx momento 130 kip ft MC 230 kip ft Pela distribuição de momento máx momento 144 kip ft MC 216 kip ft P157 Para suposição de PI 025L lado esquerdo do apoio cen tral e PI 02L fora da parede RB 5415 kips RC 9917 kips e MD 959 kip ft Pela distribuição de momento RB 5653 kips RC 9379 kips e MD 9197 kip ft P159 Para suposição de PI 02L na viga MA 3064 kip ft AX 18384 kips AY 91 kips Pela distribuição de momento MA 31529 kip ft AX 18918 kips AY 91 kips P1511 Analise a treliça como uma viga contínua RB 594 kips FB compr de 189 kips FD 3488 kips P1513 BD F compr de 375 kips CB F compr de 225 kips CD F compr de 30 kips P1515 Para suposição de PI 02L 24 ft dos apoios C e D no vão CD máx momento 130 kip ft Mc 230 kip ft Pela distribuição de momento máx momento 144 kip ft Mc 216 kip ft P1517 Membro AB V 30 kips M 225 kip ft F 45 kips membro BI V 60 kips M 300 kip ft F 20 kips P1519 Método do portal base da coluna externa M 24 kip ft força horiz 3 kips força axial 746 kips para baixo P1521 Método da viga em balanço base da coluna externa M 1965 kip ft força horiz 246 kips e força axial 611 kips para baixo Capítulo 16 P161 a K 47625 kipspol b 0050 pol c FAB FAD 1008 kips FAC 787 kips P163 K11 1 0047 kipspol P 12559 kips P165 K2 13 15 EI u2 13846EI MA 2308 kip ft MB 15692 kip ft P167 K2 5 3 EI MCD 672 kN m AX 27 kN MDC 744 kN m P169 Nó 3 F 4296 kips nó 1 RX 2578 kips RY 162 kip M 1942 kip ft P1611 AX 16 kips AY 56 kips MA 96 kip ft Capítulo 17 P171 X 96LAE Y 172LAE P173 Nó 1 X 0192 pol Y 0865 pol para baixo P175 Nó 3 X 046 pol barra 2 F 1677 kips C barra 4 F 4323 kips T Capítulo 18 P181 MA 1389 kip ft AY 1208 kips BY 6366 kips CY 2426 kips P183 MA 1401 kip ft AX 269 kips AY 528 kips MD 1081 kip ft DX 231 kips DY 472 kips P185 24L2 5L2 0 6 L 0 8 2 6L 2 4 777 CR ÉDITO S Capítulo 1 Abertura Biblioteca do Congresso dos EUA 11 Kenneth Leet 12 Cortesia da Godden Collection NISEE Universidade da Califórnia Berkeley 13 Michael Maslan Historic Pho tographsCorbis 14a Cortesia da Godden Col lection NISEE Universidade da Califórnia Berkeley 14b Cortesia da Godden Collection NISEE Universidade da Califórnia Berkeley Capítulo 2 Abertura ChiaMing Uang 21 APWide World Photos 22 Cortesia do Departamento de Transportes da Califórnia 23 ChiaMing Uang 24a Cortesia de F Seible Departamento de Engenharia de Estruturas Universidade da Califórnia San Diego 24b Cortesia de R Reitherman CUREE Capítulo 3 Abertura Howard Epstein Universidade de Connecticut 31 Kenneth Leet 32 Cortesia da Alfred Benesch Company 33 Cortesia da Godden Collection NISEE Universidade da Califórnia Berkeley Capítulo 4 Abertura Cortesia da Autoridade Portuária de Nova York e Nova Jersey 41 Cortesia da Ewing Cole Cherry Brott Architects and Engineers Fila délfia PA 42 Cortesia da Godden Collection NISEE Universidade da Califórnia Berkeley Capítulo 5 Abertura Cortesia do Departamento de Auto estradas de Massachusetts 51 Kenneth Leet 52 Kenneth Leet 53 Cortesia da Bergmann Associates Capítulo 6 Abertura Cortesia da Autoridade Portuária de Nova York e Nova Jersey 61 62 Cortesia da Portland Cement Association Capítulo 7 Abertura Departamento de Viagens e Turismo de Massachusetts Divisão de Tecnologia do Comércio 71 Cortesia da Godden Collection NISEE Universidade da Califórnia Berkeley Capítulo 8 Abertura GEFYRA SA 2 Rua Riza riou152 33 HalandriGrécia Nikos Daniilidis 107 Rua Zoodohou Pigis114 73 Atenas Grécia Capítulo 9 Abertura Foto do Banks Photo Service corte sia da Simpson Gumpertz and Heger Inc Capítulo 10 Abertura Fotografia de UrbahnRobertsSee lyeMoran cortesia da Simpson Gumpertz and Heger Inc Capítulo 11 Abertura Cortesia da Arvid Grant and Asso ciates Capítulo 12 Abertura Cortesia da Simpson Gumpertz and Heger Inc Capítulo 13 Abertura Cortesia da Simpson Gumpertz and Heger Inc Capítulo 14 Abertura Cortesia do Banco da Reserva Fede ral de Boston Capítulo 15 Abertura Cortesia da Autoridade Portuária de Nova York e Nova Jersey Capítulo 16 Abertura Cortesia da Simpson Gumpertz and Heger Inc Capítulo 17 Abertura Cortesia da Simpson Gumpertz and Heger Inc Capítulo 18 Abertura The Hartford Courant Arman Hatsian 778 Í n d ic e r emis s ivo A Abóbadas 243 Ação composta definida 18 Ação de diafragma 47 Acumulação de água definida 63 American Association of State Highway and Transportation Officials AASHTO 27 41 283285 American Concrete Institute ACI 27 American Forest Paper Association AFPA 27 American Institute of Steel Construction AISC 27 349 American Railway Engineering and Maintenance of Way Association Arema 27 43 285 American Society of Civil Engineers ASCE 28 3738 5556 Amortecedores uso de 46 Análise aproximada 603657 carga vertical de um pórtico rígido 611614 cargas axiais 628 631632 cargas gravitacionais 605611 626634 cargas laterais 635637 646650 colunas 631632 632634 636637 638642 cortante de extremidade estimando em vigas 628 deflexões estimando para treliças 621622 diagonais duplas treliças com 623625 estruturas indeterminadas 603657 introdução à 603604 método da viga em balanço 646650 método do portal 638645 momentos de extremidade estimando valores de 609611 momentos em colunas externas 632634 ponte Bayonne projeto da 602 pontos de inflexão PI 605606 636637 638639 pontos de inflexão supondo a locali zação de 605606 pórtico com colunas fixas na base 636637 pórticos apoiados sobre pino 635636 pórticos não contraventados 635637 pórticos rígidos 611614 pórticos rígidos de vários pavimentos 626634 propósitos de uso da 603604 treliças 615620 621622 623625 643645 treliças contínuas 615620 valores de cortante e momento aproximando em vigas de piso 628630 viga Vierendeel 643645 vigas 605611 626628 628630 vigas contínuas 605611 vigas de piso forças em 626628 Análise estrutural 225 660664 análise por computador 2324 arcobotantes 810 cálculos preparação de 2425 comparação entre métodos da flexibi lidade e da rigidez 660664 definida 3 desenvolvimento histórico da 811 distribuição de momentos 10 elementos estruturais 34 1120 2021 estruturas bidimensionais analisando 4 estruturas monolíticas 10 introdução à 225 método da flexibilidade 660662 método da rigidez geral 662664 ponte do Brooklyn projeto da 2 processo de projeto 57 resistência e utilidade 7 sistema de coluna e verga 8 sistema estrutural estável formação 2022 Análise matricial 682713 714755 grau de liberdade GL 717718 730732 740 matriz de rigidez da estrutura K 688 690693 693696 717718 722 725726 735737 742745 750752 matriz de rigidez de membro k 688 688690 692693 697708 709710 718728 729738 739747 748750 matriz de rigidez rotacional 718728 732733 matriz de transformação 709710 732733 método da rigidez direta por 682713 714755 sistema de coordenadas global 688 748750 sistema de coordenadas local membro 688 729738 739747 solução de 693696 treliças 682713 vigas e pórticos 714755 Análise por computador 2324 148150 estrutural 2324 primeira ordem 23 treliças 148150 Anemômetros medida da velocidade do vento 44 Apoios 8184 340342 380 articulações 341342 classificação de 8283 estática de estruturas e 8184 extremidade fixa 84 influência de 82 84 método da viga conjugada 340342 pino 82 reações exercidas dos 8284 rolos 341 Apoio elástico vigas sobre 455457 779 Índice remissivo Arcobotantes uso de 810 Arcos 1415 232234 240254 282283 abóbada 243 carga uniformemente distribuída for ma funicular suportando 245247 encontros 1415 estabelecendo a forma funicular usan do cabos 232234 extremidade fixa 242243 funicular 232234 245247 introdução aos 241 ponte French King projeto da 240 tipos de 241243 treliçados linhas de influência de 282283 triarticulados 244245 uso de 1415 Arcos com extremidades fixas 242243 Área de influência 3031 35 colunas 35 sistemas de piso em vigamento 3031 vigas 3031 Área de influência redução de sobrecarga 38 Articulações uso de 341342 B Balanço vigas 169 Barra Ver também Membros Barras zero 132134 C Cabo de suspensão uso de 11 Cabos 1517 224239 arco funicular estabelecendo o aspec to de usando 232234 características dos 226227 cargas verticais análise de apoio 228229 flecha 15 força variação da 227 introdução aos 225226 membro determinado 228 membros flexíveis como 1517 parábolas 15 polígono funicular 228 ponte George Washington projeto da 224 problemas de projeto 225 teorema geral 229232 uso de 1517 Cálculos 2425 362419 métodos de trabalhoenergia para deflexões 362419 preparação dos para análise estrutural 2425 Carga gravitacional 22 46 228229 605611 611614 626634 análise aproximada para 605611 611614 626634 análise de cabo suportando 228229 análise de pórtico rígido de vários pavimentos 626634 análise de pórtico rígido 611614 análise de viga contínua 605611 carga vertical de um pórtico rígido 611614 definida 46 projeto de pórtico para 22 Cargas 7 2671 7780 168169 180183 228229 256307 370 549553 588598 605611 611614 626634 635637 638645 646650 acumulação de água 63 análise aproximada de 605611 611614 626634 635637 638645 646650 axiais 628 631632 cabo suportando cargas verticais análise de 228229 carga cortante e momento relação entre 180183 cargas de roda série de 291292 códigos de construção 28 códigos estruturais 27 colunas 630632 632634 combinações de 6465 componentes de projeto e pesos 34 diagramas de cortante e momento de 180183 distribuídas 7780 269272 fictícias 370 forças de terremoto 4648 5963 gerais 549553 gravitacionais 22 228229 605611 626634 laterais 635637 638645 646650 linhas de influência 256307 588598 método da viga em balanço para análise de 646650 método do portal para análise de 638645 neve 63 permanente 2936 590 ponderadas 168169 pórtico não contraventado análise de para 549554 635637 prédios de vários andares linhas de influência de padrões 588598 projeto de piso de prédio 37 real 370 resistência ponderada exigida 6465 serviço 7 sistema P 370 sistema Q 370 sobrecarga 3643 256306 588598 terremoto de ChiChi força do 26 trabalho virtual 370 únicas concentradas 269 291 uso de 28 vento 4358 verticais 228229 611614 vigas fatores para 168 Cargas de roda série de 291292 Cargas de serviço definidas 7 Cargas de vento 4358 Ver também Equações ação de diafragma 47 anemômetros 44 coeficiente de exposição à pressão causada pela velocidade 50 coeficiente de pressão externa 5152 desprendimento de vórtices 4546 equações para previsão de 4852 fator de importância 49 fator de rajada 51 fator topográfico 51 fatores de arrasto 44 introdução às 4345 pilaresparedes 47 48 prédios baixos procedimento simplifi cado para em 5558 pressão 4345 4852 sistemas de contraventamento estrutu ral 4648 Cargas distribuídas 7780 269272 cargas estaticamente equivalentes 78 linhas de influência para 269271 nós 78 resultante de 7780 variação parabólica 78 variação trapezoidal 78 Cargas laterais 22 635637 638645 646650 análise aproximada de 635637 638645 646650 780 Índice remissivo método da viga em balanço para análi se de 646650 método do portal para análise de 638645 pórticos apoiados sobre pinos 636637 pórticos de vários pavimentos 638645 646650 pórticos não contraventados 635637 projeto para 22 Cargas permanentes 2936 590 área de influência 3031 35 componentes de projeto e pesos 34 laje quadrada 31 linhas de influência para colunas de prédio de vários andares 590 momentos produzidos pelas 590 paredes ajuste para 29 sistemas de piso em vigamento distri buição de para 2931 uso de 29 utilidades ajuste para 29 Cargas ponderadas 168169 fator de redução 169 fatores de carga 168 projeto de viga 168169 resistência de projeto 168 Cascas finas 1820 tensões atuando no plano de 1820 tensões de membrana 19 uso de 1820 Cisalhamento de base 5961 6163 definido 59 procedimento da força lateral equiva lente para 5961 sísmico distribuição de 6163 Códigos de construção 2728 Códigos estruturais 27 Coeficiente de pressão externa 5152 Coeficiente de rigidez 545 664 683 684 730732 Ver também Deslo camento unitário dedução da matriz de rigidez de mem bro usando 730732 deslocamento unitário 684 730732 método da rigidez direta 683 684 método da rigidez geral 664 pórticos não contraventados 545 Coeficientes de exposição à pressão cau sada pela velocidade 50 Colunas 1112 35 171172 631632 632634 636637 638642 análise aproximada de 631632 632634 636637 638642 área de influência 35 cargas gravitacionais 632634 externas momentos produzidos em 632634 fixas na base para pórticos 636 637 forças axiais em 631632 método do portal 638642 momento Pdelta 172 momento principal 172 momento secundário 172 pontos de inflexão 636637 638639 pórticos com 171172 636637 uso de 1112 Compatibilidade das deformações 662 Comportamento inelástico determinação de deflexão em treliças pelo 380 Compressão 1112 1415 membros axialmente carregados em 1112 membros curvos em 1415 Condição equações de 9496 Conjugado 74 365 forças 7477 trabalho de um 365 Construção equação de 9496 Contraventamento 4648 170 478493 543 método da inclinaçãodeflexão para análise de 478493 pórticos 170 478493 543 sistemas estruturais 4648 Contravento uso de 46 Convenção de sinal do sentido horário 471 479 665 Cortante 173 180183 185 187 295296 628 carga cortante e momento relação entre 180 definido 173 diagramas para vigas 180183 185 187 máximo em vigas 295296 momento fletor e 12 Cortante de extremidade estimando em vigas 628 Curvas 309316 cortante e momento 177 180197 deflexão de em vigas 309316 elásticas equação diferencial de 311313 método da integração dupla 309316 rasas geometria de 310311 D Deflexões 308361 362419 621622 análise do trabalho virtual para 370386 387398 cálculo de 362419 cálculos do trabalho real para 368369 curvas 309316 deslocamentos virtuais 401403 energia de deformação 366368 erro de fabricação em treliças deter minação de 378379 estimando para análise por aproxima ção 621622 ferramentas de projeto para vigas 349351 introdução às 309 lei de MaxwellBetti das recíprocas 404407 máximas diagramas de momento e equações para 351 método da carga elástica 336339 método da integração dupla 309316 método da viga conjugada 340348 método de trabalhoenergia 368369 método dos momentos das áreas 317335 mudança de temperatura em treliças determinação de 378379 ponte do Rio Brazos colapso da 308 pórticos 308361 387398 prédio de montagem de veículos da Nasa projeto do 362 princípio de Bernoulli dos desloca mentos virtuais 401403 somatório finito 399 trabalho de força e momentos 364366 treliças 370386 621622 vigas 308361 387398 Deslocamento lateral 494503 543548 análise de inclinaçãodeflexão de estruturas livres para 494503 análise pela distribuição de momentos de pórticos livres para 543548 definido 494 equação do cortante 495 Deslocamento relativo 436437 Deslocamento unitário 543 545 684 730732 740 Ver também Coefi cientes de rigidez coordenadas locais 730732 740 781 Índice remissivo graus de liberdade GL em 730732 740 matriz 4 4 de rigidez de membro para 730732 matriz 6 6 de rigidez de membro para 740 método da rigidez direta 684 pórticos não contraventados 543 Deslocamentos 684687 690692 697708 730732 Ver também Deslocamentos de nó Desloca mentos unitários horizontais 684 698699 método da rigidez direta de nodais superpondo forças produzidas por 690692 relações forçadeslocamento 697708 superpondo 684687 verticais 684 699700 Deslocamentos de nó 149150 469471 660 665668 683684 690692 717718 722723 727728 737738 745747 avaliação dos efeitos de 723 727728 738 746747 comparação de para análise por com putador 149150 desconhecidos 469471 determinação de 722723 727 737 475 grau de liberdade GL 717718 matriz 4 4 de rigidez de membro em 737738 matriz 6 6 de rigidez de membro em 745747 matriz de rigidez da estrutura 690692 717718 matriz de rigidez rotacional para 722723 727728 método da inclinaçãodeflexão 469471 método da rigidez direta 683684 método da rigidez geral 660 665668 nodal superpondo forças produzidas por 690692 Deslocamentos virtuais 401403 Desprendimento de vórtices 4546 amortecedores uso de 46 contraventamento uso de 46 Desvio tangencial 317 319320 Determinadas 73 90 97105 110112 142147 209 228 Ver também Estruturas indeterminadas definidas 73 equação de equilíbrio estático e 90 estrutura rígida única critérios para 103 estruturas 73 97105 110112 estruturas indeterminadas comparação com 110112 estruturas rígidas interligadas critérios para 103 externamente 99 209 membro de cabo 228 pórticos 209 reações influência de em 97105 treliças 142147 Determinantes avaliação de para matri zes 765766 Diagonais duplas análise de treliças com 623625 Diagramas de corpo livre 8688 Diagramas de cortante e momento 177 180197 carga cortante e momento relação entre 180 construção de 180197 esboçando 187188 partes de viga em balanço plotada por 177 vigas projeto de usando 180197 Diagramas de momento 180183 185 187188 326 472 carga cortante e momento relação entre 180183 deflexão determinação de por par tes 326 negativo esboçando vigas defletidas 183 positivo esboçando vigas defletidas 183 viga simples 472 Divisão de uma matriz 763765 E Elementos estruturais 34 1120 2022 ação composta 18 análise procedimento para 34 apoio de pino 22 arcos 1415 cabo de suspensão 11 cabos 1517 cascas finas 1820 colunas 1112 elementos de superfície curvos 1820 flexão carga suportada por 18 hangares 11 índice de esbeltez 11 lajes 18 membros axialmente carregados 1112 1214 membros curvados 1415 membros flexíveis 1517 parafusos de ancoragem 2122 pino sem atrito 22 placas 18 placas dobradas 18 pórticos rígidos 18 projeto de prédio de um andar 2022 sistema estrutural estável formando com 2022 treliças planas 1214 vigas 12 Encontros 1415 Energia de deformação 366368 370 380 388389 399 barras de treliça 366367 comportamento inelástico determina ção de 380 somatório finito 399 valores de integrais de produto usan do 389 vigas 367368 389 virtual 370 388389 Equações 4852 55 6061 6162 64 8893 9496 97 98 173179 351 421 470 471477 660 664 carga de neve de projeto 63 cargas de vento para previsão de 4852 55 combinações de carga 64 compatibilidade 421 660 condição 9496 construção 94 cortante de base procedimento da força lateral equivalente 5960 cortante de base sísmico distribuição de 6163 cortante e momento 173179 deflexão máxima 351 equilíbrio estático 8893 97 forças sísmicas laterais 63 inclinaçãodeflexão 470 471477 inconsistente incompatível 98 pressão do vento causada pela veloci dade 49 pressão do vento de projeto 51 55 pressão estática do vento 48 Equações de cortante e momento 173179 782 Índice remissivo diagrama plotado por partes de viga em balanço 180 forças de 173 resultante de forças externas 174 vigas e pórticos 173180 Equações de equilíbrio para o método da rigidez geral 660 664 Ver tam bém Equilíbrio estático Equilíbrio estático 8893 97 definido 88 equações de 8893 97 estruturas determinadas e 90 segunda lei de Newton 88 Erro de fabricação 378379 443 539542 análise pela distribuição de momentos para 539542 análise pelo método da flexibilidade para 443 estruturas indeterminadas efeitos sobre 443 treliças determinação de deflexões em por 378379 vigas e pórticos efeitos sobre 539542 Esboço 183197 202207 576579 Ver também Diagramas de corpo livre Linhas de influência diagrama de cortante 185 187 diagrama de momento 185 187188 formas defletidas 183197 202207 linhas de influência 576579 momento negativo na 183 momento positivo na 183 ponto de inflexão 188 pórticos 202207 regras para precisão 203 vigas 183197 202207 Estabilidade 2022 74 97106 106109 134141 142147 Ver também Estruturas instáveis classificação de estruturas para 1619 definida 74 estrutura rígida única critérios para 103 estruturas 73 74 97106 estruturas rígidas interligadas critérios para 103 método das seções 134141 projeto montagem de elementos para 2022 reações influência da nas 97106 treliças 142147 Estática 7273 Ver também Forças Estruturas Estimando ver Análise aproximada Estrutura de base 421 Estrutura geometricamente instável 100 Estrutura liberada 421 422 Estrutura restringida 715717 721 725 734735 741 análise de 721 725 734735 741 condição 716 indeterminação cinemática 716 matriz 4 4 de rigidez de membro para 734735 matriz 6 6 de rigidez de membro para 741 matriz de rigidez rotacional para 721 725 método da rigidez direta usando 715717 Estruturas 72120 apoios 8184 classificação de 106109 comparação entre determinada e inde terminada 110112 condição equações de 9496 construção equação de 9496 definidas 73 determinação de 73 97106 110112 diagramas de corpo livre FBD 8688 equilíbrio estático equações de 8893 97 estabilidade de 74 97105 estática de 72120 forças 7481 idealizando 8586 indeterminação de 7374 110112 instáveis 9798 introdução às 7374 projeto da treliça espacial do Hartford Civic Center 72 reações influência de nas 97105 Estruturas bidimensionais procedimento para análise 4 Estruturas indeterminadas 7374 90 110112 143 207210 420467 574600 602657 análise aproximada de 602657 análise de com vários graus de inde terminação 448454 definidas 7374 equação de equilíbrio estático e 90 erros de fabricação efeitos sobre 443 estrutura rígida única critérios para 103 estruturas determinadas comparação com 110112 estruturas rígidas interligadas critérios para 103 externamente 143 209 fechando uma lacuna em 426435 internamente 143 liberações internas análise de usando 436442 linhas de influência 574600 método da flexibilidade análise de pelo 420467 mudanças de temperatura efeitos de sobre estruturas 443 446447 recalques de apoio efeitos sobre re dundantes em estruturas 443445 redundantes em 421422 vigas e pórticos 207210 Estruturas instáveis 9798 100 determinação de 9798 geometricamente 100 Estruturas monolíticas desenvolvimento de 10 Estruturas planares definidas 4 F Fator de direção do vento 51 Fator de distribuição método da distribui ção de momentos 519 Fator de impacto cargas móveis 41 Fator de importância cargas de vento 49 Fator de importância de ocupação forças de terremoto 61 Fator de modificação de resposta 6061 Fator de rajada cargas de vento 51 Fator de redução vigas 169 Fator de transmissão cálculo de 555557 559 Fator topográfico cargas de vento 51 Fatores de arrasto pressão do vento e 44 Fatores sísmicos forças de terremoto 60 Fechando uma lacuna em estruturas inde terminadas 426435 Flexão carga suportada por 18 Forças 4648 5963 7480 127 128131 132134 227 436442 Ver também Cargas axiais 628 631632 barra 128131 132134 barras zero 132134 cabo variação de 227 783 Índice remissivo cargas distribuídas 7779 cisalhamento de base 5961 6163 colunas 630634 compressão 127 conjugado 74 de tração 127 estática de estruturas e 7481 inércia 59 inspeção determinação de por 129 internas 436442 laterais sísmicas 63 laterais 635637 lei dos senos 7576 lineares 74 método dos nós determinação de pelo 128131 princípio da transmissibilidade 81 redundantes como pares de internas 436442 regra da mão direita 74 resultantes 7677 7780 sistema de forças planares 7677 terremoto 4648 5963 vigas de piso 626628 Forças de barra 128131 132134 inspeção determinação de por 129 método dos nós determinação de pelo 128131 zero 132134 Forças sísmicas 5963 ação de diafragma 47 cisalhamento de base 5961 6163 cisalhamento de base sísmico distri buição de 6163 fator de importância da ocupação 61 fator de modificação de resposta 6061 forças de inércia 59 forças sísmicas laterais 63 mapas sísmicos 60 ocorrência de 59 pilaresparedes 47 48 procedimento da força lateral equiva lente 5960 sistemas de contraventamento estrutu ral 4648 Forma defletidas esboçando 183197 202207 pórticos 202207 vigas 183197 202207 Formas funiculares 228 232234 245247 arcos 232234 245247 polígono 228 G Grau de indeterminação ver Indeterminação Grau de liberdade GL 717718 730732 740 coordenadas locais em 730732 740 definido 717 deslocamento unitário em 730732 740 matriz 4 4 de rigidez de membro para 730732 matriz 6 6 de rigidez de membro para 740 matriz de rigidez da estrutura 717718 H Hangares uso de 11 I Idealizando estruturas 8586 Inclinação mudança na 317318 324 Incógnitas método da rigidez direta 683 Indeterminação 101103 207210 448454 504 cinemática 504 determinação da 101102 estruturas compostas de vários corpos rígidos 102103 grau de 101102 207210 restrições e 101102 209 vários graus de análise de estruturas com 448454 vigas e pórticos 207210 Indeterminação cinemática 504 662 665 716 estrutura restringida 716 método da inclinaçãodeflexão 504 método da rigidez geral 662 665 716 Índice de esbeltez definido 11 Inércia forças de 59 Infraestrutura ajuste da carga permanente para 29 International Code Council 28 Inversa de uma matriz 766768 L Lajes 18 31 distribuição da carga permanente para 31 uso de 18 Lei de MaxwellBetti das deflexões recíprocas 404407 Lei dos senos 7576 Liberações internas método da flexibili dade usando 436442 Linhas de influência 256306 574600 arco treliçado 282283 carga permanente momentos produzi dos por 590 cargas distribuídas 269272 construção de 258265 279282 282283 576579 cortante e momento 257 260261 cortante máximo 295296 distribuição de momentos construção de usando 576579 estruturas indeterminadas para 574600 introdução às 575576 método do aumentodiminuição 286290 momento de sobrecarga máximo abso luto 291294 ordenada negativa 280 padrões de sobrecarga para maximizar forças 588598 prédio do Banco Central projeto do 574 prédios de vários andares 588598 princípio de MüllerBreslau 266269 580581 qualitativas 582587 sinal de menos significado do 581 sobrecargas 256306 588598 treliças 278282 única carga concentradas 269 291 uso de 269271 vigas 258265 269271 269296 582587 vigas contínuas 583586 vigas mestras suportando sistemas de piso 272277 Linhas de influência qualitativas 582587 Longarinas sistemas de piso 272 M Magnitude redundantes 455 Magnitude real 425 668 redundantes 425 rotação de nó 668 Matriz coluna 759 Matriz de rigidez da estrutura K 688 784 Índice remissivo 690693 693696 717718 722 725726 735737 742745 750752 análise estrutural usando 717718 combinação de matrizes de rigidez de membro construção de por 692693 deslocamentos nodais superpondo forças produzidas por 690692 grau de liberdade GL 717718 introdução à 688 matriz 4 4 de rigidez de membro para 735737 matriz 6 6 de rigidez de membro para 742745 matriz de rigidez rotacional para 722 725726 método da rigidez direta 693696 750752 montagem de 690693 722 725726 735737 742745 750752 pórtico montagem de para 751752 solução de usando o método da rigi dez direta 693696 superpondo forças produzidas por deslocamentos nodais 690692 Matriz de rigidez de membro K 688 690 692693 697708 709710 718728 729738 739747 748750 barra de treliça inclinada de uma 697708 coeficiente de rigidez dedução usan do 730732 combinando para construir a matriz de rigidez da estrutura 692693 construção de 688690 deslocamentos de nó 737738 746747 deslocamentos unitários nos graus de liberdade GL 730732 740 equação da inclinaçãodeflexão dedu ção usando 729730 estrutura restringida análise de 734735 741 introdução à 688 matriz 2 2 de rigidez rotacional 718728 732733 matriz transformação de 709710 732733 membro 4 4 729738 membro 6 6 739747 748750 método de rigidez da estrutura monta gem de 735737 742745 sistema de coordenadas global para 688 748750 sistema de coordenadas local mem bro para 688 729738 739747 transformação de coordenadas de 709710 732733 Matriz de rigidez rotacional 718728 732733 deslocamentos de nó 722723 727728 estrutura restringida análise de 721 725 matriz 4 4 de rigidez de membro determinação de usando 729738 matriz de rigidez da estrutura monta gem de 722 725726 membro de flexão para uma 2 2 718728 processo de solução 720723 Matriz de transformação 709710 732733 Matriz identidade 759 Matriz linha 759 Matriz nula 759 Matriz quadrada 758 Matriz retangular 758 Matriz simétrica 759 Matriz unidade 759 Membros carregados axialmente 1112 1214 628 631632 análise aproximada de 628 631632 índice de esbeltez 11 cabo de suspensão 11 colunas 1112 compressão em 1112 tração em 11 treliças planas 1214 Membros curvos 1415 1820 arcos 1415 cascas finas 1820 compressão axialmente carregados em 1415 elementos de superfície 1820 Membros flexíveis 1517 718728 cabos 1517 matriz de rigidez rotacional para 718728 Membros não prismáticos 399 555565 análise pela distribuição de momentos de 555565 definidos 399 fator de transmissão 555557 559 inércia variável em uma extremidade 564 inércia variável nas duas extremida des 565 momento de extremidade fixa MEF 558 561562 rigidez à flexão absoluta 557 559561 rigidez à flexão absoluta reduzida 557558 Membros prismáticos 399 Método da carga elástica 336339 convenção de sinais 337 deflexões de vigas pelo 336339 mudança de ângulo 336337 uso de 336 Método da distribuição de momentos 512573 576579 carregamento geral análise de pórtico não contraventado para 549553 coeficiente de rigidez 545 desenvolvimento do 514519 deslocamento lateral análise de pórti cos livres para 543548 deslocamento unitário 543 545 fator de distribuição 519 fator de transmissão 555557 559 introdução ao 513514 linhas de influência construção de usando 576579 membros não prismáticos 555565 momento de extremidade distribuído MED 516 momento de extremidade fixa MEF 515516 558 561562 momento transmitido MT 516 momentos não equilibrados MNE 516 ponte da East Bay Drive projeto da 512 pórticos análise de pelo 543548 549553 554555 pórticos de vários pavimentos análise de 554555 pórticos não contraventados análise de 543 549553 rigidez à flexão absoluta 517 557558 559561 rigidez à flexão relativa 518 rigidez de membro modificação da 528542 sem translação de nó com 519520 vigas análise de pelo 520527 Método da flexibilidade 420467 660664 análise de estruturas com vários graus de determinação 448454 785 Índice remissivo análise estrutural exemplo de 660662 apoios elásticos viga sobre 455457 coeficiente de flexibilidade 425426 deformações consistentes análise pelo 454 deslocamento relativo 436437 equações de compatibilidade e 421 660 erros de fabricação efeitos sobre estruturas indeterminadas 443 estrutura de base 421 estrutura liberada 421 422 estruturas indeterminadas análise pelo 420467 fechamento de uma lacuna 426435 forças internas redundantes como pares de 435 fundamentos do 422426 introdução ao 421 liberações internas análise de es truturas indeterminadas usando 436442 magnitude real 425 método da rigidez comparação com 660664 mudanças de temperatura efeitos da em estruturas indeterminadas 443 446447 ponte East Huntington projeto da 420 recalques de apoio efeitos sobre estru turas indeterminadas 443445 redundantes e 421422 422426 436442 443445 Método da inclinaçãodeflexão 468511 729730 análise de estruturas pelo 478493 494503 convenção de sinal para o sentido horário 471 479 dedução da matriz de rigidez de mem bro usando 729730 deslocamento lateral análise de estru turas livres para 494503 deslocamentos de nó desconhecidos 469471 diagrama de momento de viga sim ples 472 equação 470 471477 729730 falha de prédio de concreto armado 468 ilustração de 469471 indeterminação cinemática 504 introdução ao 469 momento de extremidade fixa MEF 474476 pórticos análise de 468511 pórticos contraventados 478 procedimento para 479 rigidez à flexão relativa 475 simetria usada para simplificar a análi se 486489 vigas análise de 468511 Método da integração dupla 309316 curvas elásticas 311313 curvas rasas 310311 deflexões de vigas pelo 306316 equação diferencial 311313 geometria de 310311 uso de 309310 Método da rigidez direta 682713 714755 análise matricial pelo 682713 714755 coeficientes de rigidez e 683 684 deslocamento unitário 684 deslocamentos de nó e 683684 incógnitas 683 introdução ao 683687 715717 matriz de rigidez da estrutura 688 690693 693696 matriz de rigidez de membro 688 688690 692693 697708 709710 método dos elementos finitos 683 nós 683 sistema de coordenadas xy 683 solução de 693696 treliças análise matricial de usando 682713 vigas e pórticos análise matricial de usando 714755 Método da rigidez geral 658681 análise estrutural exemplo de 662664 análise pelo 665673 674677 coeficiente de rigidez 664 compatibilidade de deformações 662 condição de restrição 716 convenção de sinal para o sentido horário 665 deslocamentos de nó 660 665667 equação de superposição 667668 equações de equilíbrio e 660 664 estrutura restringida 715717 estruturas cinematicamente indetermi nadas 662 665 716 flexibilidade e comparação de 660664 introdução ao 659660 magnitude real de rotação de nó 668 rotação de nó 668 treliça análise de pelo 674677 treliça espacial projeto da para a antena de rádio ALTAIR 658 viga análise de indeterminada 665673 Método da superposição ver Método da flexibilidade Método da viga conjugada 340348 apoio fixo imaginário 340 apoios conjugados 340341 articulações uso de 341342 procedimento do 343 rolos uso de 341 uso de 340 vigas conjugadas construção de 342348 Método da viga em balanço 646650 Método das deformações consistentes ver Método da flexibilidade Método das seções 134141 Método do aumentodiminuição 286290 Método do portal 638645 colunas 638642 pórticos de vários pavimentos 638642 viga Vierendeel 643645 Método dos elementos finitos ver Méto do da rigidez direta Método dos momentos das áreas 317335 aplicação do 320323 dedução do 317320 deflexões de vigas ou pórticos pelo 317335 desvio tangencial 317 319320 diagrama de momento por partes usando 326 mudança na inclinação 317319 324 tangente de referência inclinada análi se usando 329331 viga com momento de inércia variável 325 viga simétrica análise de 327 Método dos nós 128131 Métodos de rigidez 658681 682713 714755 Ver também Método da inclinaçãodeflexão análise estrutural exemplo de 662664 786 Índice remissivo direta 682713 714755 geral 658681 incógnitas 683 método da flexibilidade comparação com 660664 método dos elementos finitos 683 sistema de coordenadas xy 683 treliças análise matricial de usando 682713 vigas e pórticos análise matricial de usando 714755 Métodos de trabalhoenergia 362419 Ver também Trabalho virtual cálculo de deflexões para 362419 deflexões pelos 368 energia de deformação 366368 introdução aos 363364 lei de MaxwellBetti das deflexões recíprocas 404407 princípio de Bernoulli dos desloca mentos virtuais 401403 somatório finito 399 trabalho real método do 364 368369 trabalho virtual método de 364 370386 387398 treliça aplicados a uma 369 Momento de extremidade distribuído MED 516 Momento de extremidade fixa MEF 474476 515516 558 561562 membros não prismáticos 558 561562 método da distribuição de momentos 515516 558 561562 método da inclinaçãodeflexão 474476 Momento de inércia variável deflexão de viga com 325 Momento de carga móvel máximo absolu to 291294 cargas de roda série de 291292 envelope do momento 291 única concentrada 291 Momento de transmissão MT 516 Momento Pdelta colunas 172 Momento principal colunas 172 Momento secundário colunas 172 Momentos 10 12 172 173 180183 185 187188 291294 474476 515516 558 561562 590 609611 Ver também Diagramas de cortante e momento Equações de cortante e momento carga máximo absoluto 291294 cargas permanentes produzidos por 590 curvas 180183 185 187188 definidos 173 distribuição uso de 10 envelope 291 extremidade estimativa de valores 609611 extremidade distribuídos MED 516 extremidade fixa MEF 474476 515516 558 561562 flexão cisalhamento e 12 método da distribuição de momentos 515516 558 561562 método da inclinaçãodeflexão 474476 não equilibrados MNE 516 Pdelta 172 principal 172 secundário 172 transmitido MT 516 Momentos de extremidade estimando valores de 609611 Momentos não equilibrados MNE 516 Momentos zero ver Pontos de inflexão PI Mudanças na temperatura 378379 443 446447 539 análise pela distribuição de momentos para 539 estruturas indeterminadas efeitos sobre 443 446447 treliças determinação de deflexões em por 378379 N Nós 78 128131 149150 272 469471 519520 683 690692 cargas distribuídas 78 deslocamentos comparação de 149150 deslocamentos de superposição forças produzidas pelos 690692 deslocamentos desconhecidos 469471 forças comparação de 150 método da distribuição de momentos sem translação 519520 método dos 128131 nós de treliça 683 rígidas dados para 149 O Operações de matriz 757768 adição e subtração de 760 características das 758759 comutativa 762 determinantes 765766 diagonal principal 758 divisão 763765 formação de matriz quadrada 758 formação de matriz retangular 758 igualdade de 760 inversa 766768 multiplicação de 760 761762 negrito 757758 notação 757758 ordem 758 tipos de matrizes 759 transposição 762763 P Parábola 15 Parafusos de ancoragem uso de 2122 Paredes ajuste da carga permanente para 29 Pino sem atrito uso de 22 Placas uso de 18 Placas dobradas uso de 18 Pontes 4143 283286 286290 Ver também Treliças estradas de ferro 283285 fator de impacto 41 285286 ferrovias 285 método do aumentodiminuição 286290 sobrecargas para 4143 283286 286290 Ponto de inflexão ver Pontos de inflexão PI Ponto de inflexão PI 188 605606 636637 638639 análise aproximada 605606 636637 638639 colunas 636637 638639 determinação de 188 esboçando 188 método do portal 638639 suposição da localização de 605606 vigas 188 Pórticos 18 166223 308361 387 398 468511 534538 539542 543548 549554 554555 626634 635638 638642 787 Índice remissivo 714755 Ver também Pórticos de vários pavimentos análise aproximada de 626634 635637 638639 análise de inclinaçãodeflexão de indeterminados 468511 análise matricial de 714755 análise pela distribuição de momentos de 543548 549553 554555 apoiados sobre pinos 635636 cálculo de deflexões 387398 carga geral análise de pórtico não contraventado para 549553 carga vertical de um pórtico rígido 611614 cargas gravitacionais e 626634 cargas laterais e 635637 coeficiente de rigidez 545 colunas e 171172 631634 636637 638639 colunas fixas na base com 636637 contraventados 170 478493 543 deflexões de 308361 387398 deslocamento lateral análise de pórti cos livres para 543548 deslocamento unitário 543 545 desmoronamento do teto da Hartford Civic Center Arena 714 determinados externamente 29 equações de cortante e momento 173179 erro de fabricação efeitos de sobre 539542 esboçando as formas defletidas de 202207 estrutura restringida 715717 flexíveis 171172 grau de indeterminação 207210 introdução aos 170172 matriz 4 4 de rigidez de membro análise de usando 734738 matriz 6 6 de rigidez de membro análise de usando 741747 matriz de rigidez da estrutura K montagem da para 751752 método da rigidez direta 714755 método do portal 638642 método dos momentos das áreas para deflexão de 317335 momento Pdelta 172 momento principal 172 momento secundário 172 operações para análise de 172173 pontos de inflexão PI 638639 rigidez de membro modificação da 534538 superposição princípio da 198202 trabalho virtual análise de pelo 387398 vigas de piso 628630 vigas e 166223 627628 Pórticos de vários pavimentos 554555 626634 638642 646650 análise aproximada de 626634 análise pela distribuição de momentos de 554555 carga gravitacional análise para 626634 carregadas lateralmente análise para 646650 colunas 631632 632634 638639 cortante de extremidade em vigas estimativa de 628 forças axiais 628 631632 forças em vigas de piso 626628 método da viga em balanço análise de 646650 método do portal 638642 pontos de inflexão PI 638639 rígidas 626634 valores de cortante e momento em vigas de piso 628630 vigas de piso 626628 628630 Pórticos não contraventados 170 206 494503 543548 549553 635637 Ver também Desloca mento lateral análise aproximada de 635637 análise de inclinaçãodeflexão de 478493 análise pela distribuição de momentos de 543548 549553 apoiados em pino 635636 carga geral análise de para 549554 cargas laterais 635637 coeficiente de rigidez 545 colunas fixas na base 636637 definidos 170 deslocamento lateral e 543548 deslocamento unitário 543 545 esboçando 206 Pórticos rígidos 18 171 611614 626634 Ver também Pórticos de vários pavimentos análise aproximada de 611614 626634 carga gravitacional análise de para 636634 carga vertical de análise para 611614 de vários pavimentos 626634 força axial de 171 uso de 18 vigaspilares 18 Prédio de um andar projeto e montagem de elementos para 2022 Prédios 2022 2728 3643 5558 61 Ver também Pórticos Pórticos de vários pavimentos baixos cargas de vento em 5558 cargas permanentes de projeto para componentes de 34 códigos 2728 códigos de construção 27 fator de importância da ocupação 61 sobrecargas de 3637 sobrecargas de piso de projeto 37 um andar projeto e montagem de elementos para 2022 Prédios baixos procedimento simplifica do para cargas de vento em 5558 Prédios de vários andares 588598 cargas permanentes momentos produ zidos por 590 linhas de influência para 588598 padrões de carga móvel para maximi zar forças em 588598 Pressão 4345 4852 55 coeficiente de exposição à pressão causada pela velocidade 50 coeficiente de pressão externa 5152 elevação do vento 4445 fatores de arrasto 44 velocidade do vento 4950 vento 4345 4852 vento causada pela velocidade vento de projeto 51 55 vento estática 48 Princípio de Bernoulli dos deslocamentos virtuais 401403 Princípio de MüllerBreslau 266269 580581 Procedimento da força lateral equivalente 5961 Processo de projeto 57 2022 8586 avaliação do 6 788 Índice remissivo carga gravitacional pórtico para 22 carga lateral 22 conceitual 5 fases de análise 67 fases finais 67 idealizando estruturas 8586 montando elementos para estrutura estável 2022 prédio de um andar 2022 preliminar 56 relação de análise para 57 resistência e utilidade 7 Projeto de resistência vigas 168169 Projeto preliminar 5 R Reações 72120 Ver também Forças Estruturas apoios e 8284 definidas 73 determinação e 97105 equações de condição determinação de usando 9496 equações de equilíbrio estático deter minação de usando 8893 97 estabilidade e 97105 106109 estática de estruturas e 72120 externas107109 influência de em estruturas 97105 Recalques de apoio 380 443447 539541 análise pela distribuição de momentos para 539541 correspondentes à redundante 443444 estruturas indeterminadas efeitos sobre 443447 não correspondentes à redundante 444445 treliças determinação de deflexões em por 380 Redundantes 102 421422 422426 436442 443445 coeficiente de flexibilidade 425426 conceito de 421422 definidas 102 deslocamento relativo 436437 forças internas como pares de 436 magnitude real 425 método da flexibilidade e 422426 movimento de apoio correspondente às 443444 recalque de apoio não correspondente às 444445 Regra da mão direita 74 Resistência e utilidade de estruturas 7 Resistência ponderada exigida 6465 Resultante 7677 7780 174 cargas distribuídas 7780 definida 76 forças externas 174 sistema de forças planar 7677 Rigidez à flexão 475 517 518 557558 559561 absoluta 517 557558 559561 absoluta reduzida 557558 membros não prismáticos 557558 559561 método da distribuição de momentos 517 518 557558 559561 método da inclinaçãodeflexão 475 relativa 475 518 Rolos uso de 341 Rotação de nó 665667 668 determinação de 665668 magnitude real de 668 S Seções ver Método das seções Seção transversal 167168 módulo da seção 168 vigas determinação de 167168 Simetria usada para simplificar a análise de inclinaçãodeflexão 486489 Sinal de menos significado do para linhas de influência 581 Sistema de coluna e verga desenvolvi mento de 8 Sistema de coordenadas global 688 748750 Sistema de coordenadas local membro 688 709710 729738 739747 análise de pórtico usando matriz de rigidez de membro 734738 741747 matriz 709710 732733 matriz 4 4 de rigidez de membro no 729738 matriz 6 6 de rigidez de membro no 739747 matriz de rigidez de membro no 688 transformação de 2 2 para 4 4 Sistema de coordenadas xy método da rigidez direta 683 Sistema de forças planares resultante de 7677 Sistema P trabalho virtual 370 Sistema Q trabalho virtual 370 Sistemas de contraventamento estrutural 4648 Sistemas de coordenadas 683 688 709710 729738 739747 748750 globais 688 748750 locais membro 688 709710 729738 739747 transformação de uma matriz de rigi dez de membro 709710 732733 xy 683 Sistemas de piso ver Sistemas de piso com vigamento Sistemas de piso com vigamento 3031 272277 Ver também Vigas de piso área de influência de viga 3031 lajes quadradas 31 linhas de influência para 272277 longarinas 272 nós 272 peso próprio de distribuição de 3031 vigas mestras 272277 Sobrecargas 3643 256306 588598 arco treliçado 282283 área de influência 38 cargas de roda série de 291292 cargas distribuídas 269270 cortante máximo 295296 estruturas determinadas para 256307 fator de impacto 41 285286 forças 256307 linhas de influência para 256307 588598 método do aumentodiminuição 286290 momento máximo absoluto 291294 padrões para maximizar forças 588598 pontes 4143 283286 pontes de ferrovias 285 pontes de rodovias 283285 prédios 3637 789 Índice remissivo prédios de vários andares 588598 princípio de MüllerBreslau 266269 redução de 38 treliças 278283 únicas concentradas 269 291 uso de 36 uso de projeto para pisos de prédio 37 vigas 257 258265 295296 vigas mestras suportando sistemas de piso 272277 Somatório finito 399 Superposição 198202 667668 Ver também Método da flexibilidade equação 667668 princípio da 198202 Superposição forças produzidas por des locamentos nodais 690692 T Tensões 1820 Atuando no plano de elemento 1820 membrana 19 meio fator de trabalho 366 367 Trabalho 364366 conjugado de um 365 definido 364 fator meio 366 força e deslocamentos 364366 momento e deslocamento angular 365 relações lineares 366 Trabalho real ver Métodos de trabalho energia Trabalho virtual 364 370386 387398 399 carga fictícia 370 cargas reais 370 comportamento inelástico determina ção de 380 deflexões determinadas pelo 364 370386 387398 energia de deformação virtual 370 388389 erro de fabricação determinação de deflexões pelo 378379 externo 370 membros não prismáticos 399 membros prismáticos 399 método do 364 370386 387398 mudanças de temperatura determina ção de deflexões por 378379 pórticos análise de pelo 387398 recalques de apoio cálculo de desloca mentos por 380 sistema P 370 sistema Q 370 somatório finito 399 treliças análise de por 370386 uso de 364 vigas análise de pelo 387398 Tração 11 1517 membros axialmente carregados em 11 membros flexíveis em 1517 Transmissibilidade princípio da 81 Transposta de uma matriz 762763 Treliças 1214 122164 278283 369 370386 615620 621622 623625 643645 674677 682713 análise da rigidez geral de 674677 análise de por aproximação 615620 621622 623625 643645 análise do trabalho virtual de 370386 análise estrutural de 127128 análise matricial de 682713 análise por computador de 148150 arco treliçado 282283 barra de treliça inclinada matriz de ri gidez de membro de uma 697708 barras zero 132134 cálculo de deflexões 369 370386 complexas 127 comportamento inelástico determina ção de 380 compostas 127 contínuas 615620 cúpula geodésica exemplo de 682 de ponte 278 definidas 123 deflexões 369 370386 621622 determinação 142147 diagonais duplas análise de com 623625 erro de fabricação determinação de deflexões por 378379 estabilidade de 134141 142147 estimando deflexões 621622 estrado superior 278 força de compressão 127 força de tração 127 forças de barra 128131 132134 inspeção determinação de forças de barra por 129 introdução às 123126 linhas de influência para 278283 método da rigidez direta de análise 682713 método das seções 134141 método do portal de análise 643645 método dos nós 128131 métodos de trabalhoenergia aplicados às 369 mudanças de temperatura determina ção de deflexões por 378379 nós 128131 149 150 Outerbridge Crossing projeto da 122 planas 1214 recalques de apoio cálculo de desloca mentos por 380 simples 126 tipos de 126127 Vierendeel 643645 V Valores de cortante e momento 257 260261 628630 cálculo aproximado de 628630 linhas de influência 257 260261 vigas de piso 628630 Viga Vierendeel análise aproximada da 643645 Vigas 12 3031 8184 166223 257 258265 291294 295296 308 361 367368 387398 455457 468511 514 520527 528533 539542 582587 605611 626631 665673 714755 análise matricial de 714755 análise pela distribuição de momentos de 514 520527 análise por aproximação de 605611 626631 apoios 8184 340341 apoios elásticos método da flexibili dade para 455457 área de influência 3031 balanço 169 cálculos de deflexões 387398 carga única concentrada 291 cargas axiais em 628 cargas de roda em 291294 cargas gravitacionais análise por apro ximação de 605611 cargas ponderadas 168 cisalhamento e momento de flexão 12 790 Índice remissivo com apoios simples 169 336339 conjugadas construção de 342348 contínuas 169 514 583586 605611 cortante de extremidade estimando 628 cortante máximo 295296 deflexões de 308361 387398 diagrama de momento por partes usando 326 diagramas de cortante e momento 180197 energia de deformação 367368 equações de cortante e momento 173180 erro de fabricação efeitos de em 539542 esboçando as formas defletidas de 183197 202207 extremidade fixa 169 fator de redução 169 ferramentas de projeto para 349351 forças no piso 626628 grau de indeterminação 207210 inclinação mudança na 317319 324 indeterminadas análise da rigidez geral de 665673 indeterminadas método da inclinação deflexão para análise de 468511 introdução às 167170 linhas de influência 257 258265 linhas de influência qualitativas para 582587 método da carga elástica para deflexão de 336339 método da integração dupla para defle xão de 309316 método da rigidez direta 714755 método da viga conjugada determina ção da deflexão de 340348 método dos momentos das áreas para deflexão de 317335 módulo da seção 168 momento de inércia variável deflexão de com 325 momento de sobrecarga máximo abso luto 291294 momentos de extremidade estimando valores de 609611 operações para análise de 172173 piso 626628 628631 ponte ShrewsburyWorcester projeto da 166 pontos de inflexão supondo a locali zação de 605606 pórticos de vários pavimentos 626631 pórticos e 166223 projeto de resistência 168 resistência de projeto 168 rigidez de membro modificação 528533 seção transversal 167168 simetria análise de 327 sobrecargas 257 258265 291294 295296 superposição princípio da 198202 tangente de referência inclinada análi se usando 329331 trabalho virtual análise de pórticos 387398 uso de 12 valores de cortante e momento 257 261 628630 viga em balanço 169 530533 Vigas com apoios simples 169 336339 método da carga elástica para deflexão de 336339 uso de 169 Vigas contínuas 169 514 583586 605611 análise aproximada 605611 análise pela distribuição de momentos de 514 cargas gravitacionais análise aproxi mada de 605611 definidas 169 linhas de influência para 583586 momentos de extremidade estimando valores de 609611 pontos de inflexão supondo a locali zação de 605606 Vigas de piso 626628 628630 análise aproximada de 626628 628630 forças em 626628 prédios de vários andares 626628 628631 valores de cortante e momento apro ximando em 628631 Vigas mestras 272277 linhas de influência para 272277 longarinas 272 nós 272 ponte de vigamento rebaixado 272 sistemas de piso suportando 272277 Vigaspilares uso de 18 L w MÁX MÁX wL 2 M M M M M wL 2 1 5 2 6 3 7 4 8 wL2 8 5wL4 384EI L P MÁX MÁX PL 4 L 2 L 2 P 2 P 2 PL3 48EI L P P MÁX MÁX 3L2 4a2 Pa a a P P Pa 24EI L P P MÁX MÁX PL3 3EI M PL L MÁX MÁX L a M Pa a P 1 Pa L a L Pa2 3EI L w P MÁX MÁX wL4 384EI wL2 12 wL2 12 wL2 12 wL2 24 wL2 12 MÁX PL 8 PL P 2 P 2 PL 8 PL 8 PL 8 PL 8 L P MÁX PL3 192EI L wL MÁX MÁX wL4 8EI M wL2 2 wL2 2 w wL 2 wL 2 Distância do centróide Área Figura Forma x a Triângulo b Triângulo retângulo c Parábola d Parábola e Parábola de terceiro grau f Retângulo h c x h x 0 h x h h x x 0 h x b b 0 b b b b bh 2 b c 3 bh 2 b 3 2bh 3 3b 8 bh 3 b 4 bh 4 02b bh b 2