2 Lista Vibrações - Camilla Hílare

1.62. Obtenha a equação de movimento do sistema na Figura P1.62 e discuta o efeito da gravidade na frequência natural e no fator de amortecimento.\n\n\nFig. P1.62\n\nResposta:\nD.C.L {e_x : 0}\n0 - \\frac{k}{g} = mg - k \\cdot l - c \\cdot x\n0 = \\frac{k \\cdot x}{g}\n\n\\frac{mg - k \\cdot l - c \\cdot x}{g}\n\nx(t) + \\frac{c}{m} x + \\frac{k}{m} x = 0\n\n\\omega_n = \\sqrt{\\frac{k}{m}}\nJ = \\frac{c}{2 \\sqrt{k m}}\n\nR. A gravidade não tem efeito na frequência natural, e no fator de amortecimento o peso anula a força carga da mola. 1.91. Determine a frequência natural e o fator de amortecimento para o sistema na Figura P1.91 dados os valores m = 10 kg, c = 100 kg/s, k1 = 4000 N/m, k2 = 200 N/m e k3 = 1000 N/m. Considere que nenhum atrito atua nos rolos. O sistema é superamortecido, subamortecido ou criticamente amortecido?\n\n\nFig. P1.91\n\nResposta:\nDados: m = 10 kg\nc = 100 kg/s\nk1 = 4000 N/m, k2 = 200 N/m, k3 = 1000 N/m\n\n\\frac{1}{k_{23}} = \\frac{1}{k_2} + \\frac{1}{k_3} \\Rightarrow k_{23} = \\frac{200 \\cdot 1000}{200 + 1000} = 167 N/m\n\nk_{23} = k1 - k23\nk_{23} = 4000 - 167\nk_{23} = 4167 N/m\n\n\\omega_n = \\sqrt{\\frac{k_{23}}{m}} \\Rightarrow \\sqrt{\\frac{4167}{10}} \\Rightarrow \\omega_n = 20.41\n\nClassificação\n\\ J.1 superamortecido\nCC = 2 \\cdot \\sqrt{m \\cdot k_{23}} \\rightarrow CC = 2\\cdot10\\sqrt{4167} \\rightarrow CC = 408.26\n\nJ = \\frac{C}{CC} + J = 100 / 408.26 \\Rightarrow J = 0.244\n\nR. O sistema é subamortecido. 1.92. Determine a frequência natural e o fator de amortecimento para o sistema na Figura P1.92. Assuma que nenhum atrito atua nos rolos. O sistema é superamortecido, subamortecido ou criticamente amortecido?\n\n\nFig. P1.92\n\nResposta:\nDados: m = 10 kg\nc = 3 kg/s\nk1 = 2 kN/m\nk2 = 3 kN/m\nk3 = 4 kN/m\nc = 1 kg/s\n\nK_{12} = \\frac{K_2 \\cdot K_1}{K_1 + K_2} \\Rightarrow K_{12} = \\frac{2 + 3}{2 + 3} \\Rightarrow K_{12} = \\frac{6}{5} \\Rightarrow K_{12} = 1.2 kN/m\n\nK_{eq} = k1 + k2 + k3 + k4 + ks \n = 16.2 kN/m\n\n\\omega_n = \\sqrt{\\frac{K_{eq}}{m}} \\Rightarrow \\sqrt{\\frac{16.2}{10}} \\Rightarrow \\omega_n = 40.24\n\nR. O sistema é subamortecido. 1.94. O deslocamento de um sistema massa-mola-amortecedor vibratório é registrado em um plotter x – y e reproduzido na Figura P1.94. A coordenada y é o deslocamento em cm e a coordenada x é o tempo em segundos. A partir do gráfico determine a frequência natural, o fator de amortecimento e a frequência natural amortecida.\n\nResposta:\n\nDados: A1: 0,75 cm\nA2: 0,20 cm\nT: 4 s\n\nT = 4s\n\nFd : 1/4 -> Fd = 0,25 Hz\n\nωd : 0,5 π\n\nz(t) = A e^(-ζω_n t) cos(ω_d t + ϕ)\n\n\nS = ln (A1 / A2)\n\nS: ln (0,75)\n\nS: ln (0,20)\n\nS: 3,322\n\nZ: ln (A1 / A2)\n\nS: 1 - ζ²\n\nS: Furt\n\n\n\nFurt: 3,322 / 4\n\nFurt = 0,331\n\n\n\nωn: 0,331\n\n\nFurt: 1,3,322\n\nFurt: .5\n\n\n\nFurt 2 = 4πk^2 / 4πk^2\n\nFurt = 6,975 rad/s\n\nFurt: 0,206