Cap 9 Ga Fabiano José dos Santos Silvimar Soluções

9.1. a) a.b (produto escalar) a.b = (1)(6) + (2)(-5) a.b = 6 -10 a.b = -4\nb) a = (-7,3) b = (0,1) a.b = 0 - 3 = (a.b = -3)\n9.2 Os vetores ortogonais de R(3,2) 1) Os vetores cãu produto escala vale o logaritmos: 1) a(-6,2) b(2,3) a(2,3)\n 9.3. a) u = (1,2) v = (4,-2) w = (6,0)\n u = u (7(4,-2) + (6,0))\n - (1,2) [(8,-1)+(6,0)]\n = (1,2)(34,-14) = 34-28 = 6\nu(u,v)+ w = 6 \n\nb) |(u.v)(w)| = 3G^2 + 0^2 = 3G^2 = 3G = 3.6 = 2.4^2 \n[(1,2)(6,0)]/[(36,9)]\n(36,9)=36\nc) 1 ||[(1,2)(-6,0)] =\n1/√(z^2 + 0^2)/(24-0)\n=24√5\n 9.4 Projeção ortogonal\n u = (-3,2) v = (2,1) (-3,2) \n9+4\n9 = (2,1) (-3,2)\n= (4) +P = (6)= 2 (2)\n= (3,-2)\n= (5) +P^2=8+(-3) \n= -(-8)/13 =\n= 13\n Calculando o segundo dígito:\n(3,0,0,0,5,2,0,0) (11,10,9,8,7,6,5,4,3,2)\n(3,0,0,0,1,2,0,0)(1,0,1,0,0,8,2)\n33 + 6 + 10 + 3 =\n= 52 141\n 8 4\n\nLogo, os dígitos verificadores são: 0 e 3\n\nOs: 217\n(z: (0,0,5,2,1,2,2,3)\n(1,0,9,8,7,6,5,4,3,2)\n40 + 14 + 6 + 5 + 8 + 2 + 2 = 96/111\n 111 8\nResto de 0 = 3 e 0) Cálculo do segundo dígito:\n(4,1,1,5,6,7,9,3,4,1) (11,10,9,8,7,6,5,4,3,2)\n(3,0,0,0,1,2,0,0) (1,0,1,0,2,1,0,0,8,2)\n33 + 6 + 10 + 3 =\n= 52 141\n 8 4\n\nLogo, os dígitos verificadores são: 0 e 3\n\n(b)\nOs: 214 171\n(z: (0,0,5,2,1,1,2,3,2)\n(0,0,5,2,1,1,2,7)\n(1,0,9,8,7,6,5,4,3,2)\n0 + 14 + 6 + 5 + 8 + 2 + 2 = 96/111\n 88 8\n\nCalculando o segundo dígito:\n(0,0,5,2,1,1,2,2,3)\n(1,1,0,9,8,7,6,5,4,3,2)\n45 + 16 + 16 + 10 + 8 + 4 + 5 = 121 13\n121 31\nResto zero, dígito zero.\n\nLogo, os dígitos verificadores são: 3 e 0\n\n(c)\n(14,1,5,7,9,1,3) z: (4,1,1,5,6,7,9,1,3)\n(1,1,5,6,7,9,1,3) (1,0,9,8,7,6,5,4,3,2)\n40 + 9 + 8 + 35 + 36 + 35 + 36 + 3 + 6\n= 808/11\n 10 1P\n\nLogo: 11-10 = 1; primeiro dígito 1 9.9 Ver o simultaneamente organizado:\n¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯\n(µ₁, µ₂, z)\n(a)\n¯ = |(-1,-1)| logo ¯ • ¯ = 0\n(µ²) • (µ₁, µ₂)(-1,-1) • (µ, j) = 0\n- µ₁ - µ₂ - z = 0\n - 9+z = 2\n2 µ₁ + z₁ - z = 0\n2 µ₁ = µ₂\n\nLogo ¯ = (0,2)\n(c) = - (1,0,2)\n(µ) = (7,0,2)\n¯ = (z,0)\n(µ) = (-1, 2, - 3)\n\nComo os valores z e k devem ser tais que a igualdade seja verdadeira, temos que\n(1, 2)T z = 1, z = 2\n\nOpção procurada: (-1, -2, 0,2) b) O módulo do produto vetorial u x v e d'A e b' é o área do parágrafo\n logramos formas pelas valores u x v\n\nutilizando os vetores dos segmentos\nBD = BD\n A(1, 1, 0) B(3, 1, 0) D(3, 4, 2)\n B = (5, -3, 1, -0) = (-2, 0, 0)\n BD(0, 3, 2)\n\n|u x v| = 1k i j\n = -2 0 -2 0\n = 0 3 2 0\n 41 - 6 k = (0, 1, 6)\n\n|u x v| = √(16 + 36) = √52\n Área = √13\n 9.11\n |u x v| = |u| |v| cos(θ)\n a) = 3 * 4 * 0.5\n = 6 área\n\n b) u.v = 3√2\n |u| = 2\n |v| = 3\n cos(β) = u.v / (|u||v|)\n logo, |u x v| = √7 / 2\n = 3√2 área\n 2 - 1\n\n9.12 (a) A área procurada é a metade da área do paralelogramo\n determinado pelos vetores AB e AC\n A = (1, 6, 1) B(4, 1) - C(4, 6, 2)\n I = (-1, -5, 8)\n AC = (4, 0, 3)\n\n |AB x AC| = 1 1 k i j\n = 1 - 2\n = -1 - 5 2 - 1 - 5\n = 0 3 2 8\n\nA = 1/2 |AB x AC|. 1 / 2\n = √(225 - 49 + 100). 1 / 2\n A = (√374 / 2) b) AB = (-3, -2, 2)\n AC = (-2, 2, 3)\n |AB x AC| = |i, j, k|\n |-3, -2, 2|\n |-2, 2, 3|\n = -2i - 2j + 5k \n = -2k \n\n A = 1/2 |AB x AC| = 1/2 * √(100 + 25 + 100) = √225 = 15\n\nc) d(AB, AC) = |(1, 4, 19) - (1, 3, 2)|\n = √(1 + 1 + 17) = √19\n\nreta que passa pelo segmento AB\n a = 3 e p(a, 1, 2)\n y - 2 = 3/4 (x - 1) \n y = 3/4 x + 2 \n\n3x - 2y + 0 = 0\n\ndistância do ponto à reta r c(-1, -1, 0)\nD = |[-3 - 2 - 1]| / √(9 + 4 + 1) = √14/4\nbhk = √14 / 2 = 8 Área\n\n9.11 c)\n u.v = |u||v|cos(θ)\n como |u| = √3 e |v| = 1, valores unitários podem ser\n |u|^2 + |v|^2 = lago bh = 8 + (√3 * 0)\n ( -3, -3, 1 )\n( -1, 3, -3 )\nBD - AC ( -2, -6, 4 )\n\n( -2, -6, 4 ) • ( 1, -3, 3 )\n\n-2 • 6 + 4 • 1 - 3 • 3\n1 - 3 + 3 | - 3\n\nA = | u1, u2, v1, v2 |\n | 3, 5, 2, 6 |\n = 170\n\n9.14 - Utilizando a propriedade.\n\n( 0, 2, 1 ) 8( 1, -1, -2 ) c( -4, 1, 0 )\nAB = ( 1, 4, -3 )\nAC = ( -1, 3, -1 )\n\n1, 1, | k |\n1 | -3, 1 | -3\n\nk + 3 + j - 1/3 + 3k\n\n3i + 4j + 4k + 2\n2i + 1 + 1k\n( 2, 1, 1)\n\n| 8i + j + 4k | ( 8, 4, 4 )\n (0, -2, 1)\n8(1, -1, -2)\nc( -4, 1, 0 )\nA( 1, 2, 3 )\nAB = ( -1, -3, -4 )\nAC = ( k - j, -1, -2 )\n\nDizemos que os vetores AB e AC do R³ são ortogonais se:\n∼u = 0\n(3, 3, -4)(k - 1, -1 - 2) = 0\n-k + j + 3 + y = 0\n| 12 = k |\n\n√(x1 + y2 + k) = 81 + j + k\n√(1 + 1 + h) = 2\n\nchamando (x, y, z)(-1, -2, 1) = (xj, 0, 8)\n\n1, 1, | k |\n1, 2, 2, 1 - 2\ny - 2 - z = 0\nx + 2 = (x - 2j, 1)\n \n1, 1, 2, -1\n-1 - 2\n2y - 2, -2, 2y + y\n\nAgora, ficamos para a - 2 - z = 0\n−z + 0 =\n2 + 4 = 4\n\nlogo:\nv = (x, 4, x)\n 9.17 O volume do tetraedro é dado por:\n 1 | u × v ∙ w |\n 6\n\nAB = ( 1, -1, -2 )\nAC = ( 3, 0, 6 )\nAD = ( 2, -2, -3 )\n\nA = 8\n8/6\n\n9.18 Para que os vetores dados sejam co lineares o produto misto dos 3 deve ser 0 (zero).\n(a)\n2 - 10 2 - 1\n3 2 3 2 1 = 0\n\n+ 4 + 6 + 4 - 14 = 0\n1 - 1 - 14 = 0 (v)\n\n(b)\n3 - 3 2 3 - 4\n1 2 1 2 = 0\n-2 - 3 4 - 23\n\n8 - 9 + 4 + 2 + 6 = 0\n35 ≠ 0\n\n9.19 A partir dos pontos determinados, 3 vetores e verificamos se são co lineares. 9.20\nA \\(A^{\\prime}B \\) = (-3,4,-2) \\(A^{\\prime}C \\) = (-5,-1,-3) \\(A^{\\prime}D \\) = (-2,1,4)\n\nOS PONTOS NÃO SÃO COLINEARES!\n\n9.20\n(a) \\( \\vec{v_{1}} \\times ( \\vec{v_{2}} \\times \\vec{v_{3}} )\\)\n= (1,-1,0) \\times \\begin{vmatrix} i & j & k \\\\\n 2 & 2 & 2 \\\\\n 2 & -1 & -3 \\\\ \\end{vmatrix}\n= -2x - 6j + 2k - 21i - 2j - 6k\n\n(b) \\(1,-1,1) \\times (1,0,0) = (0,-1,0) 9.21\n \\( \\vec{u} \\times (\\vec{v}\\times \\vec{w}) \\neq (\\vec{w} \\times \\vec{v})\\times \\vec{w}\\)\nse \\(\\vec{u} = (1,1,2)\\)\n\\(\\vec{v} = (0,0,3)\\)\n\\(\\vec{w} = (1,0,1)\\)\n(1,4,2) \\times (1,3,4)\n= \\begin{vmatrix} i & j & k \\\\\n 0 & 1 & 2 \\\\\n 1 & 0 & 1 \\\\ \\end{vmatrix}\n= -1i + 3j + 2k \\neq (1,-3,1) \\neq (3,0,-3)\n\\text{Logo, provamos que o produto vetorial não é associativo!} 9.22\n\n9.23\n(a) \\(u+v\\) + \\(u-v\\)^{2} \n= \\(\\frac{1}{3}\\) \\{ \\|u\\|^{2}+2\\langle u,v\\rangle +\\|v\\|^{2} \\} + \\|u\\|^{2}-2\\langle u,v\\rangle +\\|v\\|^{2} \n= \\frac{1}{2} \\|u\\|^{2} + \\|v\\|^{2} \n\n(b) \\(u\\cdot v\\) =\\(\\frac{1}{4}\\) \\left( \\|u+v\\|^{2}-\\|u-v\\|^{2} \\right) \n= \\frac{1}{4} \\{ \\|u\\|^{2}-2\\langle u,v\\rangle +\\|v\\|^{2} - \\|u\\|^{2}+2\\langle u,v\\rangle - \\|v\\|^{2} \\}\n= \\frac{1}{4} \\langle u,v\\rangle \n= \\frac{1}{2}\\langle u,v\\rangle MONOKURO Boo\n\n22 - 05 - 12\n\n9.24 (u \u00b7 u) x (u \u00b7 v) + (u \u00b7 v) x (u \u00b7 v) = |u|^2 |v|^2\n\n(u x v) = 1/2 |(x + y) + (y + z)| = |u x v| = |u|^2 + |v|^2\n = |u|^2 |v|^2 = |u|^2 |v|^2\n\n9.25 O versor de um vetor e, obto multiplicando cada componente de seu vetor pelo inverso de seu módulo\nu = (0,y)\nu_c = 1 \u00b7 (0,y) = (0,1)\n\n9.26 Uma combinação linear dos vetores v_3, v_2, v_n \u2208 E^3 da forma\nv = a_1v_1 + a_2v_2 + \u2026 + a_nv_n que, os a_n,s\u00e3o escaladores (constantes) reais!\nescolha!\nv_1 + v_2 = 0 \nu_2 + (u_1 + u_2) = 0 \u2660 MONOKURO Boo\n\ncomo\nO produto do produto vetorial nos dá a área do paralelogramo formado pelos vetores u e v.\n\nH = √(1/3 \u00bd x u \u00d7 v)\nA = | u \u00d7 v |, \nAC\nou\n,\n\n9.79 o VOLUME DO TETREDRO QUE TEM AS 3 ARESTAS PRÓXIMAS\nDADOS PELOS VETORES AB, AC, AD \"16 BO MODULO DO PRODUTO LISTO ENTRE ESSES VETORES\nV = 1/6 |AB \u00d7 AC \u00d7 AB|\n(\")\nO volume do tetraedro pode ser dado por 1/3 do produto da área da base pela altura, em relação a essa base.\n\nV = 1/3 (ab) (h)\nS sabendo que o módulo do produto vetorial é numericamente igual à área do paralelogramo cujos lados adjacentes são os vetores mas se considerar o triângulo ABC como a base do tetraedro ABCD, essa área é metade da área do um paralelogramo cujos lados adjacentes são AB e AC.\nA a seja a área da base do tetraedro e a medida do módulo do produto vetorial u \u00d7 AC.\n\nA_b = 1/2 |AB \u00d7 AC|\nV = 1/3 (1/2 |AB \u00d7 AC|) (h)\ncomparando com IV\n MONOKURO Boo\n\n19 - 05 - 12\n\ncomo\nO módulo do produto vetorial nos dá a área do paralelogramo formado pelos vetores u e v.\nH = √(1/3 \u00bd x u \u00d7 v)\nA = | u \u00d7 v |,\nAC\nou\n,\n\n9.79 o VOLUME DO TETREDRO QUE TEM AS 3 ARESTAS PRÓXIMAS\nDADOS PELOS VETORES AB, AC, AD \"16 BO MODULO DO PRODUTO LISTO ENTRE ESSES VETORES\nV = 1/6 |AB \u00d7 AC \u00d7 AB|\n(\")\nO volume do tetraedro pode ser dado por 1/3 do produto da área da base pela altura, em relação a essa base.\n\nV = 1/3 (ab) (h)\nS sabendo que o módulo do produto vetorial é numericamente igual à área do paralelogramo cujos lados adjacentes são os vetores mas se considerar o triângulo ABC como a base do tetraedro ABCD, essa área é metade da área do um paralelogramo cujos lados adjacentes são AB e AC.\nA a seja a área da base do tetraedro e a medida do módulo do produto vetorial u \u00d7 AC.\n\nA_b = 1/2 |AB \u00d7 AC|\nV = 1/3 (1/2 |AB \u00d7 AC|) (h)\ncomparando com IV 1 |A B| |C x A D| | = | A B x A C| h\nAB (C x D) ; | AB x C| h\n\nh : |AB (C x A D)|\n | A B x C|\n\n930\n|√(√2 x √3)| ≤ | |G|| | |√2| |√3| \ncomo |√2 x √3| = |√2| + |√3| h:05.\n\n√2, | |√1| |√(1-E)|\n\nSabendo que o valor máximo para seno é ‘1’,\ne sabemos que a produto dos módulos dos vetores.\nNo caso de seno, temos que a igualdade.