Lista de Exercícios Resolvidos sobre Homomorfismo e Isomorfismo de Grupos e Anéis

Lista de Exercícios Questão 1 a Defina homomorfismo de grupos b Quando um homomorfismo é dito um monomorfismo c Seja G um grupo Considere a aplicação fg G G x gxg1 Verifique que fg é um homomorfismo de grupos d Podemos afirmar que fg é um monomorfismo Justifique sua resposta Questão 2 a Defina kernelou núcleo de um homomorfismo b Determine o kernel do homomorfismo apresentado no item c do exercício 1 c No capítulo 4 seção 42 proposição 421 item k do nosso livro texto disponível no ambiente ou melhor na nossa sala virtual é fornecida uma caracterização para monomorfismo Descreva tal caracterização d Com base no que foi observado no item anterioritem c podemos afirmar que homomorfismo apresentado no item c do exercício 1 é injetivo Justique sua resposta Questão 3 Funções injetoras sobrejetoras e bijetoras são conteúdos que são abordadosou vistos no primeiro ano do ensino médio Logo enquanto professores de matemáticas devemos ter um conhecimento aprofundado a respeito deste assunto Já sabemos que R é grupo Considere a seguinte aplicação g R R definida por gx 2x 1 a A aplicação f é um homomorfismo de grupos Justifique sua resposta b Podemos verificar se a aplicação g é ou não injetora utilizando o item k proposição 421 do nosso livro texto Justifique sua resposta c A aplicação g é injetora Justifique sua resposta Questão 4 a Defina aplicações bijetoras b Defina isomorfismo de grupos c Sabemos que os grupos Z Zm são cíclicos Exiba os geradores de tais grupos d Mostre que todo grupo cíclico finito de ordem m é isomorfo ao grupo aditivo Zm Questão 5 a Defina homomorfismo de anéis b Considere o conjunto M a 0 0 a M2R b1 Como são os elementos do conjunto M b2 Verifique que a aplicação f R M definida por fx x 0 0 x é um isomorfismo b3 O que podemos concluir a respeito do conjunto M Dica Use o item anterior c Considere o conjunto M1 a 0 0 b M2R Afirmação 1 Não é possível exibir um isomorfismo entre o anel R e M2 Porque a afirmacão acima é verdadeira c1 Note que no item b mostrase que o anel M é isomorfo ao anel R e no item c se afirma que o anel M1 não é isomorfo ao anel R Qual é a diferença entre tais conjuntos Questão 1 a Sejam G G grupos e f uma função f G G f é homomorfismo de grupos se for compatível com a estrutura de grupos ou seja se gx gz G fgx gz fgx fgz b Um homomorfismo é monomorfismo quando for uma função injetora c Sejam x1 x2 G fgx1 x2 gx1 x2 g1 g x1 e x2 g1 g x1 g1 g x2 g1 g x1 g1g x2 g1 fgx1 fgx2 Portanto fg é homomorfismo 1 d fgx1 fgx2 g x1 g1 g x2 g1 g1 g x1 g 1 g1 g x2 g1 e x1 g1 e x2 g1 x1 g1 g x2 g1 g x1 e x2 e x1 x2 Portanto fg é homomorfismo injetor ou seja é monomorfismo Questão 2 a Sejam G G grupos e f G G homomorfismo O kernel de f é um subconjunto do domínio cujos elementos tem a imagem por f o elemento neutro ou seja kerf g G fg eg 2 b fg x e g x g1 e g1 g x g1 g g1 e g e x e g1 g x e ker fg e c f ser um monomorfismo equivale a seu kernel ser trivial ou seja f é monomorfismo kerf e d Como visto em 2b kerfg e fg é monomorfismo fg é homomorfismo injetor 3 Questão 3 a Sejam x1 x2 R gx1 x2 2x1 x2 1 2x1 2x2 1 gx1 gx2 2x1 1 2x2 1 2x1 2x2 2 gx1 x2 gx1 gx2 Portanto g não é homomorfismo de grupos b Não pois a propriedade é aplicada a homomorfismos c gx gy 2x 1 2y 1 2x 2y x 2y2 y Portanto g é injetora Questão 4 a Uma aplicação é bijetora se for injetora e sobrejetora ou seja se não houver dois elementos distintos do domínio com mesma imagem pela aplicação e se o conjunto imagem for todo o contradomínio b Um isomorfismo de grupos é um homomorfismo de grupos bijetor c i seja n Z n 1 1 1 n vezes Como n é arbitrário n Z n 1 1 1 n vezes Z 1 ii seja n Zm n 1 1 1 n vezes Zm 1 d Seja G um grupo de ordem n gerado por g G g e g g² gm1 Seja f Zm G função n gⁿ x y Zm fx y fx y gxy gx gy fx fy f é homomorfismo de grupos fn e gⁿ e m divides n 0 n m n 0 n 0 n Zm 0 n m kerf 0 f é injetora seja x G G g n Z 0 n Gm x gⁿ 0 n m n Zm x gⁿ fn logo f é sobrejetora Como f é um homomorfismo de grupos injetor e sobrejetor f é isomorfismo Zm G b2 HA 1 xy R fxy xy 0 0 xy x 0 0 x y 0 0 y fx fy HA 2 xy R fxy xy 0 0 xy xy 0 0 0 0 0 0 xy xy 00 00 y x 0 0 x y 0 0 y fx fy HA 3 f1 1 0 0 1 Matriz identidade o elemento neutro para multiplicação entre matrizes Logo f é homomorfismo 9 i fx fy x 0 0 x y 0 0 y x y 0 0 0 0 x y x y Logo f é injetora ii A M a R A a 0 0 a fa Assim f é sobrejetora Como f é homomorfismo injetor e sobrejetor f é isomorfismo b3 M é isomorfo a R b b1 São matrizes 2x2 com entradas reais São diagonais com todas as entradas na diagonal principal iguais Uma forma de representálas é multiplicando a matriz identidade 2x2 por um escalar M a 0 0 a M2R a0 1 0 0 1 a R c f R2 M1 ab a 0 0 b HA 1 a1b1a2b2 R2 fa1b1a2b2 fa1a2b1b2 a1a2 0 0 b1b2 a1 0 0 b1 a2 0 0 b2 fa1b1 fa2b2 HA 2 a1b1a2b2 R2 fa1b1a2b2 fa1a2b1b2 a1a2 0 0 b1b2 a1a20 00 00 0 b1b2 a1 0 0 b1 a2 0 0 b2 fa1b1 fa2b2 C1 M requer um real para representar um elemento seu Já M1 requer dois reais para representar cada elemento Do ponto de vista de grupos aditivos M x 0 0 x M2R x 1 0 0 1 x R 1 0 0 1 M é idealico M1 a 0 0 b M2R a 0 0 0 0 0 0 0 b a 0 0 0 00 0 0 b M2R a1 0 0 0 b0 0 0 1 ab R 1 0 0 00 0 0 1 M1 é gerado por 2 elementos Injetividade fa1b1 fa2b2 a1 0 0 b1 a2 0 0 b2 a1 a2 00 00 b1 b2 a1 a2 b1b2 a1b1 a2b2 Assim f é injetora Sobrejetividade A M1 ab R A a 0 0 b fab Logo f é sobrejetora f é homomorfismo injetor e sobrejetor portanto é isomorfismo M1 é isomorfo a R2 Como R2 não é isomorfo a R M1 não é isomorfo a R Em outras palavras não há isomorfismo entre R2 e M1