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Matemática Em Nível IME/ITA Volume X Coleção completa, todos os volumes Cangas ITA Caio dos Santos Guimarães Matemática Em Nível IME/ITA Cangas ITA Números Complexos e Polinômios Caio dos Santos Guimarães Caio dos Santos Guimarães Matemática Em Nível IME/ITA Volume 1: Números Complexos e Polinômios 1ª Edição São José dos Campos - SP 2008 Sumário 01 - Números Complexos : Introdução 1.1 - A história dos números complexos................................. 07 1.2 - Algumas Definições e Propriedades............................. 09 1.3 - Representação Trigonométrica do Complexo................19 1.4 - Representação Exponencial do Complexo................... 22 1.5 - Propriedades Importantes....................................... 27 1.6 - Raizes n-ésimas da unidade....................................... 35 1.7 - Exercícios de Fixação.............................................. 37 02 - Números Complexos: Geometria e os Complexos 2.1 - O complexo como vetor............................................. 45 2.2 - A Geometria Plana................................................... 51 2.3 - Representação de Lugares Geométricos...................... 59 2.4 - Exercícios de Fixação.............................................. 65 03 - Números Complexos: Aplicação em Somatórios 3.1 - Somatórios Binomiais..............................................69 3.2 - Outras Somas......................................................... 74 3.3 - Interpretação Geométrica........................................ 79 3.4 - Produtórios.............................................................81 3.5 - Exercícios de Fixação.............................................. 82 04 - Polinômios 4.1 - A história dos polinômios.......................................... 86 4.2 - Introdução: Raízes de um polinômio.......................... 88 4.3 - Operações com Polinômios e Fatorações Importantes ...... 96 4.4 - Relações de Girard................................................. 108 4.5 - Teorema de Newton.............................................. 114 4.6 - Teorema de Girard ................................................. 117 4.7 - MDC de Polinômios e Raízes Comuns ....................... 122 4.8 - Raízes Múltiplas..................................................... 128 4.9 - Exercícios de Fixação............................................. 132 05 - Polinômios: Equações Algébricas 5.1 - Inspeção Algébrica de Raízes.................................. 140 5.2 - Equações Recíprocas.............................................. 143 5.3 - Transformadas Polinomiais.................................... 150 5.4 - Polinômio Interpolador de Lagrange....................... 161 5.5 - Exercícios de Fixação............................................. 166 06 - Polinômios: Análise Gráfica de Funções Polinomiais 6.1 - Traçando Gráficos Polinomiais............................ 168 6.2 - Comportamentos Especiais............................... 177 6.3 - Teorema de Bolzano....................................... 187 6.4 - Exercícios de Fixação................................... 191 07 - Resoluções Comentadas Resoluções Comentadas....................................... 195 Apêndice Apêndice...........................................................322 Bibliografia Bibliografia.......................................................333 Projeto Rumo ao ITA Projeto Rumo ao ITA.........................................334 Prefácio Os estudantes e professores do segmento IME ITA sempre estudaram Complexos e Polinômios por bons livros didáticos, mas ainda não dispunham do livro que contasse todos os segredos, teoremas e artimanhas poderosas para a resolução de problemas mais avançados de nível IME ITA. O livro só agora foi publicado. Esse manual de Complexos e Polinômios do Caio Guimarães pode ser chamado de "O Livro vermelho dos Complexos e Polinômios". O autor não poupou esforços para revelar em sua obra todas as ferramentas poderosas importantes relacionadas aos Complexos e Polinômios, fornecendo ao leitor tanto interpretações algébricas quanto geométricas sempre que possível, versatilidade essa que proporcionará ao leitor desse livro "uma visão além do alcance". Mesmo os problemas mais inquietantes agora terão soluções elegantes e concisas, quando se dispõe das melhores ferramentas para resolvê-los. Essas ferramentas foram todas concentradas nessa obra prima. Assim, é com muita honra que a VestSeller brinda os estudantes e professores de todo o Brasil com a publicação dessa obra de valor inestimável. Estamos certos de que o empenho e a dedicação investidos pelo autor em mais de ano de trabalho árduo certamente foram compensados. Ganhamos todos, os estudantes, os professores e a sofrida educação brasileira Parabéns ao Caio Guimarães. Prof. Renato Brito Bastos neto (autor do livro Mecânica Para Vestibulandos IME ITA) Apresentação O livro 'Matemática em Nível IME/ITA' tem como objetivo não somente dar a base aos alunos que desejam encarar as difíceis provas de vestibular do IME e do ITA, mas também ajudar a aumentar a barra de dificuldade das matérias de matemática lecionadas no ensino médio, a fim de atingir o nível exigido nessas provas. A leitura desse material também é indicada a professores de cursos preparatórios para pré-vestibular, principalmente aqueles com ênfase nos vestibulares militares. Compilamos neste livro um material que contém tanto a carga teórica que o aluno pode precisar para consulta, quanto séries de exercícios (e muitos!), com resoluções, que darão a ele a confiança necessária para encarar o vestibular militar. Neste primeiro volume, abordamos dois assuntos de extrema importância, e, principalmente, reincidência nas provas tanto do IME quanto do ITA: Números Complexos e Polinômios. O nosso objetivo, neste volume, é de, junto à teoria básica desses assuntos, também mostrar diferentes aplicações dos mesmos, bem como diversas 'situações problemas' que podem ser pedidas no "grande dia" da prova e os 'grandes truques' de como se comportar frente a ela. Caio dos Santos Guimarães São José dos Campos, SP - 2008 Dedicatória Esse livro é dedicado à minha família (as pessoas mais importantes na minha vida): Ciro, Lúcia, Marcos e à minha companheira mais do que especial de todos os momentos, Fernanda. Amo vocês! Agradecimentos Gostaria de agradecer a todos colaboradores desse projeto. Em especial, os que tiveram contato direto com o trabalho. Entre elas cito meus verdadeiros amigos aqui no ITA (meus colegas de quarto), que colaboraram, não só com o apoio moral (é uma amizade fundamental), mas também muitas vezes com seu intelecto, ajudando na confecção de diversas partes do livro: Hélder Suzuki, Henry Wei, Rodolpho Castro, Luiz Adolfo Schiller, Rafael Daigo Hirama, Felipe Moraes. Agradeço a Alessandra Porto pela ajuda com o material para o contexto histórico do livro e pelo pessoal da AER-09 pela ajuda na revisão do material. Agradeço também aos colaboradores Edmilson Motta (Etapa), a SBM (Sociedade Brasileira de Matemática) e Sergio Lima Netto, que permitiram o uso de seus artigos e trabalhos para referência. Não poderia esquecer também os grandes mentores que tive durante a minha preparação para o vestibular, os professores e restante da equipe GPI (RJ) — Turma IME/ITA 2003-2005 (verdadeiros mestres que nunca esquecerei!). Junto a eles gostaria de agradecer aos meus companheiros de cursinho (turma IME/ITA GPI 2004): Marcello Nunes, Jorge Veloso, Vinicius Assis; sem eles, eu não teria alcançado os objetivos dos meus sonhos de passar no tão sonhado vestibular. E, finalmente, gostaria de agradecer à minha família e aos meus amigos, que sempre estiveram presente em todas as minhas dificuldades e sucessos. Na hora de apoiar a escrita desse livro não foi diferente. A eles devo tudo que tenho e conquistei até hoje (e ainda sonho em conquistar!) Como Estudar o Livro? O livro é muito voltado a resoluções de questões do nível IME/ITA. Portanto, a teoria apresentada é direcionada a resultados que serão bastante úteis na resolução das questões do gênero. O livro não é destinado àqueles que nunca estudaram o assunto antes. Embora abranja todo conteúdo, para a melhor compreensão do material, é aconselhável que o aluno/professor já tenha tido contato com o assunto previamente. As questões do IME e do ITA, em geral, abrangem mais de um assunto em um mesmo enunciado, portanto comumente nas questões que aqui são propostas, será requerido que o aluno/professor saiba o básico de outros ramos da matemática (progressões aritméticas e geométricas, geometria analítica, etc.). Quando isso for requisitado em algum segmento da parte teórica, mencionaremos o assunto que deve ser pesquisado (por fora) para a total compreensão do segmento. Recomendamos que o aluno/professor leia toda a parte teórica (mais de uma vez, se necessário) para a fixação das ideias destacadas (lembre-se que todo o conteúdo aqui apresentado será importante, não sendo aconselhável que parte alguma seja descartada). Dê uma atenção especial aos exemplos resolvidos, que servirão de base para a resolução dos 'Exercícios de Fixação'. Feito isso, o aluno/professor deve passar então para a parte dos 'Exercícios de Fixação'. Nessa nova seção não encontrará exercícios fáceis (todos têm o estilo de questões IME/ITA), porém encontrará alguns exercícios mais difíceis que os outros. Para melhor orientação criamos o seguinte código: n - Nível Difícil s - Nível Insano Muitas das questões acompanham o nome de onde foram tiradas (algum vestibular, ou livro citado na bibliografia). Em alguns casos é comum ver a palavra 'adaptada' junto à referência. Isso acontece nos casos em que a questão é a mesma que caiu no vestibular citado, porém com alguma alteração, tornando-a mais interessante para o nosso assunto (em alguns casos, a adaptação é tornar uma questão múltipla-escolha em discursiva). Recomendamos que, tendo resolvido as questões propostas em cada capítulo, o leitor olhe as resoluções comentadas no Capítulo 7 para conferir suas respostas e confirmar se não houve algum descuido na hora de formular sua solução. Lembramos aos leitores que organização é fundamental na hora de resolver uma questão numa prova (a banca precisa entender seu raciocínio), então recomendamos que o leitor se baseie no estilo de formulação das soluções propostas no capítulo 7 para treinar sua 'escrita'. Bons estudos!