Análise Matemática: Derivadas e Integrais de Funções

Análise Matemática A derivada e a integral de uma função Contextualização httpsbitly2Pm3BZX httpsbitly2HTZTT7 acesso em 16 dez 2022 Conceitos principais Derivada Derivada no ponto e como função Diferenciabilidade e continuidade Derivadas laterais e otimização Integral Soma de Riemann Integral definida Derivadas de funções reais Limites continuidade e derivadas Limites propriedades de convergência de uma função ao redor de um ponto Continuidade relaciona os limites com o valor da função no ponto Derivada mede o crescimento local de uma função e sua suavidade Inclinação da reta tangente Derivada de função real Tomemos uma função fAℝ e p um ponto interior de A que por definição existe λ0 tal que pλpλA Assim definimos a derivada de f no ponto p denotada por fp pela expressão fplim yp fyfpyp quando o limite existe Nesse caso f é derivável ou diferenciável em p Exemplo fx x com x ℝ A função f é diferenciável em todo o ℝ com exceção de x 0 Em torno de x 0 temos que avaliar a razão fx f0 x 0 x 0 x 0 x x Note que x x 1 quando x 0 e x x 1 quando x 0 o que demonstra que o limite característico da derivada não existe em x 0 Logo f não é derivável em x 0 Exemplo fx x com x ℝ Propriedades das funções diferenciáveis Definição de derivada e o resto Propriedades das funções diferenciáveis Sejam f A ℝ e p intA Se f for diferenciável em p então f é contínua em p Sejam f A ℝ e p intA Se f p 0 então existe uma vizinhança de p na qual f é crescente E se f p 0 existe uma vizinhança de p na qual f é decrescente Regras de derivação Suponha f A ℝ e g A ℝ diferenciáveis em p intA Então são válidas as seguintes expressões f gx f x gx f gx f x gx fx gx fgx f x gx fx gx gx2 Regra da cadeia Sejam f A ℝ e g B ℝ com Imf B Tome p intA de tal forma que fp intB Se f for diferenciável em p e g for diferenciável em fp então vale a regra da cadeia para a derivada da função composta h g f A ℝ g fx gfx f x Teoremas e funções diferenciáveis Derivada de ordem superior Se A é aberto e fA ℝ é uma função diferenciável em A é possível definir a função derivada fA ℝ que associa a cada ponto p A sua derivada fp Permite o cálculo de derivadas de ordem superior Por exemplo fA ℝ x fx fx Obs Se f for n vezes diferenciável as primeiras n 1 derivadas serão contínuas Teorema da função inversa Seja fA ℝ diferenciável em p intA com fp 0 Então f possui uma inversa local f¹ Se f¹ for contínua em fp então f¹ é diferenciável em fp e f¹fp 1fp Obs f localmente inversível isto é que exista uma vizinhança V de p em que f possua inversa Teorema de Rolle Teorema do valor médio Problema da turbina eólica Problema da turbina eólica Suponha que você foi contratado para atuar como matemático na equipe de engenharia de uma empresa de consultoria contribuindo para manter o rigor dos resultados obtidos e preparando apresentações sobre os conceitos de análise envolvidos nos problemas em estudo Sua tarefa consiste em explicar o resultado obtido por uma turbina eólica que ao plotar o gráfico os engenheiros identificam bicos e gostariam de entender o porquê desse comportamento Como você pode explicar esses bicos Que exemplos você pode apresentar para ajudar a compreensão Fonte Vieira 2019 p143 Fonte Vieira 2019 p143 Definição das derivadas laterais fp lim h0 fp h fp h fp lim h0 fp h fp h Quando uma função tem bicos as derivadas laterais existem mas são diferentes Suponha que existam as derivadas laterais fp e fp de uma função f respectivamente à esquerda e à direita de um ponto p Então f é diferenciável no ponto p se e somente se as derivadas laterais forem iguais Nesse caso a derivada da função é dada por fp fp fp Regra de LHôpital Regra de LHôpital Quando calculamos limites envolvendo uma razão entre funções diferenciáveis e obtemos uma indeterminação do tipo 00 podemos utilizar a regra de LHôpital para possibilitar o cálculo do limite a qual é dada por lim xp fx gx fp gp Com base nessa regra como podemos estudar lim x0 senx x Otimização e derivadas Máximos e mínimos locais Seja e Se existe uma vizinhança de tal que para todo então é um ponto de máximo local de Se existe uma vizinhança de tal que para todo então é um ponto de mínimo local de Pontos críticos Se f a b ℝ é diferenciável e possui um ponto de máximo local ou mínimo local em p a b então f p 0 Pontos críticos pontos p a b tais que f p 0 Não determina se é máximo ou mínimo mostra apenas que é crítico Suponha que f a b ℝ seja duas vezes diferenciável em a b e seja p a b um ponto crítico de f Então se f p 0 p é mínimo local de f e se f p 0 p é máximo local de f Máximo e mínimo globais analisar também o comportamento de f nos extremos a e b Exemplo f 11 ℝ definida por fx x³ x 1 Pontos críticos f x 3x² 1 0 x 33 058 Máximos e mínimos locais f x 6x f 058 348 mínimo local f 058 348 máximo local Integrais definidas Área abaixo de curvas e soma de Riemann Seja f a b ℝ limitada e positiva por exemplo Construir uma partição P para o intervalo a b Cada subintervalo de comprimento Δxk Vamos definir o ínfimo de f em cada intervalo por mk inf xxkxk1 fxk e o supremo de f em cada intervalo por Mk sup xxkxk1 fxk Soma de Riemann inferior RIn k1n mk Δx Soma generalizada inferior sP k1n mk Δxk Fonte Vieira 2019 p161 Soma de Riemann superior RSn sumk1n Mk cdot Delta x Generalização Para qualquer partição P b a infx in ab fx leq SP leq b a supx in ab fx Ínfimo das somas superiores inf SP Supremo das somas inferiores sup SP Seja f limitada e não necessariamente positiva Integral definida para f a b o mathbbR Integral inferior intab f sup SP Integral superior intab f inf SP Dizemos que uma função é integrável quando as integrais superiores e inferiores forem iguais isto é intab f intab fx dx Propriedades das integrais Funções limitadas e integrais Teorema A função limitada f a b ℝ é integrável se e somente se dado ε 0 existir uma partição P com Sp Sp ε A função é integrável se supsp infSP Integral inferior ab f supsp Integral superior ab f infSP Continuidade e funções integráveis Toda função contínua f a b ℝ é integrável Observação f é contínua em x a quando limxa fx fa Função integral Considere f a b ℝ integrável e assim b a f b a fx dx Função f integrando da integral Definindo a integral em um subintervalo ay ab podemos considerar a função integral F ab ℝ y Fy y a fx dx Teorema Fundamental do Cálculo Seja f a b ℝ contínua logo integrável Então a função integral F a b ℝ y Fy y a fx dx é diferenciável em a b e satisfaz Fy fy para todo y a b F a b ℝ em que Fx fx para todo x a b é chamada primitiva de f Integrais no estudo de um motor Integrais no estudo de um motor Suponha que você foi contratado para atuar como matemático na equipe de engenharia de uma empresa de consultoria contribuindo para manter o rigor dos resultados obtidos e preparando apresentações sobre os conceitos de análise envolvidos nos problemas em estudo Sua tarefa consiste em dar suporte teórico à equipe de engenharia introduzindo o conceito de integral baseandose em sua definição geométrica em aplicações no gráfico do rendimento de um motor ao longo do tempo e na definição por somas parciais argumentando que quanto menos espaçadas as medidas melhor a predição desse valor total Discuta também a respeito das integrais associadas a funções com um número finito de descontinuidades Discutir sobre a definição de integral via partições observando que não é necessário supor a continuidade da função para que exista a integral Seja f a b ℝ com um número finito de descontinuidades em a b Apesar dessas descontinuidades para a fixo Fy y a fx dx é uma função contínua de y Como demonstrar esse fato Seja p a b Para provar que F é contínua seja ε 0 Tomemos δ 0 tal que pδpδ fx dx ε e h δ Assim Fp pa fx dx e Fp h pha fx dx Logo Fp h Fp ph a fx dx pa fx dx phfx dx Consequentemente Fp h Fp ph p fx dx ph p fx dx pδpδ fx dx ε Portanto F é contínua para todo p a b Soma de Riemann e GeoGebra Soma de Riemann e GeoGebra Vejamos no GeoGebra como podemos estudar as somas de Riemann e as integrais GeoGebra httpswwwgeogebraorg acesso em 16 dez 2022 Exemplo f 01 ℝ definida por fx x² Recapitulando Recapitulando Nessa aula aprendemos sobre Derivada Derivada no ponto e como função Diferenciabilidade e continuidade Derivadas laterais e otimização Integral Soma de Riemann e integral definida httpsbitly2Kd12cY acesso em 16 dez 2022