Análise Matemática: Sequências e Séries Numéricas

Análise Matemática Sequências e séries numéricas Contextualização Sequência de Fibonacci 1 1 2 3 5 8 13 21 Como avaliar a soma dos infinitos termos que compõem a sequência httpsgoogl4KdyG8 acesso em 16 dez 2022 Conceitos principais Sequências Definição e propriedades Limites Subsequências Séries Definição Convergência Sequências numéricas Sequência numérica Uma sequência de números reais é uma função 𝑥 ℕ ℝ cujo domínio é o conjunto ℕ e a imagem é um subconjunto de ℝ 𝑥 ℕ ℝ 𝑛 𝑥𝑛 𝑥ₙ onde 𝑥ₙ é o nésimo termo da sequência 𝑥 A sequência 𝑥 pode ser representada por 𝑥₁𝑥₂𝑥₃ ou 𝑥ₙₙℕ ou 𝑥ₙ O conjunto dos termos de uma sequência 𝑥 é indicado por 𝑥ℕ 𝑥ₖ 𝑘 ℕ 𝑥₁𝑥₂ Atenção A sequência é diferente de seu conjunto de termos Representações Listagem Termo geral Gráfica Exemplo Classificações das sequências Sequências monótonas Sequência crescente xn xn1 com n in mathbbN Ex 1 2 3 4 ldots Sequência decrescente xn xn1 com n in mathbbN Ex 0 1 2 3 ldots Sequência não decrescente xn leq xn1 com n in mathbbN Ex 1 1 2 2 ldots Sequência não crescente xn geq xn1 com n in mathbbN Ex 0 1 1 2 ldots Sequência constante não crescente e não decrescente simultaneamente Sequências limitadas Sequência limitada inferiormente existe a ℝ tal que a xn para todo n ℕ Sequência limitada superiormente existe b ℝ tal que xn b para todo n ℕ Sequência limitada existem a b ℝ tais que a xn b para n ℕ Exemplo 1 xn 111 xn 1 Como xn 1 para todo n natural xn é limitada Sendo xn xn1 e xn xn1 então xn é constante Exemplo 3 zn 1 12 13 zn 1n Note que 1n 0 para todo n natural Além disso como n 1 então 1n 1 Logo a sequência zn é limitada n n 1 implica zn 1n 1n1 zn1 logo a sequência é decrescente Limite de sequências Limite de uma sequência Seja xn uma sequência de números reais e L ℝ Dizemos que L é o limite de xn quando para cada K 0 dado existir n0 ℕ tal que se n n0 então xn L K L K xn L K Quando lim xn L dizemos que xn é convergente à L Notações lim xn L lim n xn L xn L quando n Caso contrário xn é denominada divergente Resultados importantes Limites infinitos Sequências no estudo de problema de epidemiologia Problema de epidemiologia n é o tempo dado em dias yn é o número de indivíduos infectados em função do tempo xn é o número de indivíduos que em algum momento contrairam a doença mas que se curaram Sabese que as duas sequências podem ser relacionadas entre si como segue a partir de um tempo n0 é válido que xn L yn para n n0 e sendo que yn 0 Mostre que xn L e interprete o valor de L Para o estudo do problema utilizaremos o teorema do confronto sanduíche Se xn yn e zn são tais que xn yn zn para todo n ℕ e se lim xn lim zn L então lim yn L na seguinte versão Sejam xn yn zn sequências tais que xn yn zn para todo n n0 ℕ Se tivermos que lim xn lim zn L então lim yn L Como lim yn 0 para todo K 0 existe δ 0 tal que se n δ então yn 0 K ou yn K Além disso seja zn a sequência constante onde zn 0 para todo n Sendo assim lim zn 0 Dessa forma dado K 0 qualquer existe n0 ℕ com n0 δ tal que se n n0 então yn K e ainda xn L yn K isto é xn L K Portanto lim xn L O surto da doença já foi erradicado mas para um melhor entendimento de seus mecanismos é preciso entender como se deram os estágios finais dessa erradicação relacionado à quantidade média de pessoas que tiveram a doença e foram curadas longo período de tempo Soma dos termos de uma sequência numérica Soma dos termos de uma sequência numérica Consider e uma sequência xn 12n O que podemos dizer a respeito das propriedades da sequência xn E em relação à soma dos seus infinitos termos Subsequências Subsequências Dada uma sequência x xnnℕ uma subsequência de x é uma restrição da função x a um subconjunto infinito de ℕ da seguinte forma ℕ n1 n2 nj Notações para uma subsequência de x xnnℕ xnjjℕ xn1 xn2 xnj Exemplo Seja yn 1n então y2n 1111 y2n1 1111 são subsequências de yn Resultados importantes Toda sequência limitada tem uma subsequência monótona Se uma sequência xn possui duas subsequências com limites distintos então xn não converge Teorema de BolzanoWeierstrass Toda sequência limitada de números reais xn possui uma subsequência convergente Exemplo seja a sequência xn definida por xn 1n Note que a partir de xn podemos definir as subsequências x2n 1111 1 x2n1 111 1 Observe também que lim x2n 1 lim x2n1 1 Como xn possui duas subsequências com limites distintos então xn não é convergente Séries numéricas Séries numéricas Seja xn uma sequência Para n 123 temos S1 x1 S2 x1 x2 S3 x1 x2 x3 Sn x1 x2 xn k1n xk Sn sequência das somas parciais ou sequência das reduzidas da série Exemplo sequência das somas parciais Sn com Sn 12 14 18 116 12n n 1 Convergência de séries Propriedade Se a série Σan for convergente então lim n an 0 Exemplo n1 1 3n A série converge e lim n 1 3n 0 Teste da divergência Se lim n an não existir ou se lim n an 0 então a série Σan é divergente Exemplo n1 3n n5 lim n 3n n5 lim n 3 15n 3 10 3 0 Logo a série diverge Critérios de convergência para séries Convergência e operações Se Σan e Σbn são séries convergentes então são também convergentes as séries Σan bn Σan bn e Σcanl com c ℝ de modo que n1 an bn n1 an n1 bn n1 an bn n1 an n1 bn n1 can c n1 an Exemplo n1 4 n1 1 3n Sabemos que n1 1 nn1 1 e n1 1 3n 1 2 logo n1 4 n 1 1 3n 4 n1 1 nn 1 n1 1 3n 4 1 1 2 9 2 Teste da comparação Para an e bn séries de termos não negativos com an bn para todo n ℕ então bn converge an converge an diverge bn diverge Exemplo n1 1 n 1 n1 n n 1 Como n1 1 n1 diverge podemos concluir que n1 n n1 diverge Teste da razão Exemplo Crescimento de bactérias Crescimento de bactérias Suponha que você atua como um matemático contratado para prestar consultoria de métodos quantitativos na qual deverá resolver problemas de áreas como finanças engenharia epidemiologia e estatística O projeto atual consiste em resolver problemas matemáticos relacionados ao crescimento de bactérias em um ambiente controlado Analisando uma tabela informando a quantidade de bactérias para cada hora você encontrou um padrão e determinou que a quantidade de indivíduos hora a hora e denotada por cn satisfaz a condição lim n cn 054 A série converge isto é o número de bactérias atingirá um limite para tempos muito grandes Ou esse número crescerá indefinidamente Como você argumentaria isso em um relatório para seu cliente Para cada hora sabese o número de bactérias que aumentou na população de bactérias em relação à hora anterior Somando os números obtidos em cada hora temse a soma ao longo do tempo do número de bactérias que cresceu naquele período A soma dos elementos da tabela seria equivalente a uma série cn Hipótese descartar outros fatores por enquanto desconhecidos que influenciem esse crescimento como a limitação no espaço total em que a cultura de bactérias está inserida Teste da raiz Seja an uma sequência tal que L lim n nan exista então L 1 an converge L 1 teste inconclusivo L 1 ou L não existir an diverge Exemplo n1 to 1n n lim n 1n n lim n n1n lim n 1n 0 1 Portanto pelo teste da raiz a série converge Sabese que lim n ncn 054 Séries e frações geratrizes Séries e frações geratrizes Como podemos associar a identificação da fração geratriz de com a convergência de uma série Recapitulando Recapitulando Nessa aula aprendemos sobre Sequências Definição e propriedades Limites Subsequências Séries Definição e convergência httpsbitly2Kd12cY acesso em 16 dez 2022