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MÓDULO 1 OSCILAÇÕES 1 Oscilação Livre sem amortecimento 1 Definição Um corpo de massa m executa oscilação livre sem amortecimento quando além de seu próprio peso nele atuam exclusivamente forças elásticas 2 Equação Diferencial e Solução Suponhamos uma mola leve de constante elástica k presa verticalmente sem deformação figura 1a Pegando um corpo de massa m em sua extremidade ela sofre uma elongação Y e entrará em equilíbrio figura 1b Dandose um pequeno deslocamento yo no corpo ele oscilará figura 1c Figura 1 Pêndulo de mola a sistema natural b sistema estático c sistema dinâmico NEN nível de equilíbrio de estado natural NEE nível de equilíbrio estático a Análise da situação estática Considerando o equilíbrio estático conforme a figura 1b Ff kxa e kxa mg 1 Onde Ye é a elongação estática da mola devido a massa m b Análise da situação dinâmica Aplicando o princípio fundamental da dinâmica F ma ao corpo da figura 1c com origem NEN temos m g kxe m ii2 da figura 10 temse Ye kxa Y3 Derivandose a equação 3 em relação ao tempo obtemse x y km g 4 Tanto no NEN como no NEE o observador associará ao corpo oscilante uma mesma velocidade e uma mesma aceleração Substituindo as equações 3 e 4 em 2 temos m g kYe mY my 5 Substituindo a equação 1 temos kYe kY kY m y 6 A equação 6 é a equação diferencial das oscilações amortecidas com a origem em NEE Dividindo a equação 6 por m temse x km x gm chamada de a0 8 a0 km pulsação das oscilações livres 9 Substituindo 8 em 6 temse x kmx 0 6 A solução da equação diferencial será uma função harmônica do tipo y a0 cos ω0 t φ0 10 y elongação genérica da mola a amplitude máximo afastamento da posição de equilíbrio ω0 pulsação das oscilações livres rads ou s1 φ0 fase inicial rad φ ω0 t φ0 fase Derivando a equação 10 em relação ao tempo teremos a equação horária da velocidade y ω0 a0 senω0 t φ0 11 Derivando a equação 11 em relação ao tempo teremos a equação horária da aceleração y ω02 a0 cosω0 t φ0 12 Portanto as equações horárias da oscilação livre ou Movimento Harmônico Simples MHS são y a0 cosω0 t φ0 y ω0 a0 senω0 t φ0 y ω02 a0 cosω0 t φ0 3 Período e Frequência A fase φ ω0 t φ0 cresce linearmente com o tempo Toda vez que a fase aumenta de 2π a função se repete y a0 cosω0 t φ0 a0 cosω0 t φ0 2kπ y a0 cosω0 t 2kπ 13 Notese que o mesmo acontecer com as derivadas repetese não só a função mas respeitase também as derivadas y e y Portanto a função harmônica é periódica Determinamos o período T Na data genérica t T0 2π T0 T0 2πω0 2π mk 14 Frequência f 1T0 12π km 15 Representação cartesiana Sendo φ ω0 t φ0 uma escala de fases corresponde a inúmeras escalas de tempo t conforme a fase inicial φ0 Representaremos y y e y em função de φ em rad Figura 2 Função harmônica cossenoidal e suas derivadas primeira e segunda 4 Vetores Girantes No plano cartesiano xOy traçamos três segmentos orientados Segmento orientado Comprimento Argumento Projeção sobre representa 0x representa 𝑢₀ 𝑏₀ φ θ representa 𝐼₁ 𝑟₁ φ π2 𝑦 𝐼₂ 𝑏₂ φ π2 𝑦 Esses segmentos orientados são também chamados vetores girantes ou ponteiros girantes Eles formam um sistema rígido que se faz girar em torno de 𝑞 com velocidade de rotação 𝜔 Em relação 𝑔 0I 0I estão em quadratura adiantada o 0 estão em oposição A representação de lei harmônica por vetor girante é devida a Fresnel Figura 3 Vetores girantes Os vetores girantes na data zero reduzidos na razão 12 para que seus módulos representem valores eficazes são chamados de fasores 5 Exercício resolvido Um corpo realiza MHS obedecendo à equação horária y 8101 cos2πt3SI Determinar a a amplitude pulsação fase inicial período e frequência b a posição velocidade e a aceleração no instante t 4s Solução a y 8101 cos2πt 03 Comparando os coeficientes das equações podese escrever A 8101 m ω 2π rad T₀ 2πω 3 s f₀ 1T₀ 13 Hz b cálculo da posição para t 4 s y 8101 cos2π43 4102 m MÓDULO 1 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 1 Fluxo Magnético Seja S uma superfície em cujos pontos tenha um campo de indução em um elemento de S seja dA a área n vetor normal 𝐵 a indução magnética Fluxo de 𝐵 em dA é a grandeza φ S 𝐵 ndA 2 Em superfície plana φ 𝐵Acosθ sendo θ o ângulo entre 𝐵 e n Em particular se θ 0 í 𝐵 𝐵A 4 No Sistema Internacional a unidade de fluxo de indução φ é weber símbolo Wb 1 weber 1 tesla1 m² ou 1 Wb 1 T1 m² 5 Resulta que 1 tesla equivale a 1 Wbm² designação esta que muitos preferem a tesla Em superfície fechada S a normal n é dirigida como de hábito em Física para fora em qualquer caso verificase que é φS 0 6 Em contorno fechado C podese apoiar uma superfície S₁ ou outra S₂ etc por exemplo a boca de uma carcaça S₁ a própria carcaça S a tampa S₂ As superfícies abertas S₁ S₂ juntas formam uma superfície fechada S na qual o fluxo de indução é nulo concluise 𝑓 𝑓 7 Em qualquer ponto do campo E E Em palavras Campo de indução é advirgente isto é é solenoidal isto é não possui fonte ou sorvedouro isto é dado o fluxo fechado referese a região onde existe campo exterior existente campo exterior originado em carga positiva fonte por exemplo de linha de força em carga negativa sorvedouro 8 div E ρe₀ 0 Todavia antecipemos que campo elétrico variará com o tempo campo elétrico não eletrostático possui linhas de força redondas Consideramos a queda no circuito e as linhas do circuito descritas por essa envoltória do contorno como os dos uma corrente caída etc fluxo abaixo contato Contorno fechado C pode ser uma linha fechada quaisquer de circuito eletrico É chamado de fluxo de indução com campo C o fluxo de 𝐵 em qualquer superfície que se apoiam nas linhas o fluxo concentrado sobre as espiras que houver na bobina 9 Se o circuito C compreender mais uma espira haverá uma superfície apoiandose em cada espira o fluxo concentrado será calculado para a superfície total S O fluxo φ em C pode variar com o tempo t Surge então no circuito uma FEM induzida que segue as leis de Faraday 1831 e Lenz 1834 A Lei de Faraday afirma ε dΦdt 10 As convenções referemse a referências para corrente para fluxo e para FEM fig 2 No circuito C adotado arbitrariamente um sentido da percurso positivo Corrente a favor do sentido positivo é ε ε 𝑖 com a Lei de Ohm Generalizada Em cada ponto a superfície S admite uma norma unitária que sobre segue a Regra da Mão Direita ou Regra do Parafuso enfatizandose n com a mão direita os dedos circulando u03b8 no sentido positivo de C o polegar apunta o sentido de i Para as EFMs adotase a convenu00e7u00e3o de gerador o sentido positivo da corrente em C aponta para o terminal negativo para o positivo internamente 4 Exercu00edcio resolvido Reau00e7u00e3o do induu00eddo No esquema representamse duas barras fixas retas paralelas separadas por distu00e2ncia d e introduzidas em uma resistu00eancia R A barra M u00e9 uma barrasuja e a arrastada com velocidade v constante O sistema estu00e1 imerso em um campo magnu00e9tico B uniforme e constante Determinar a u03b8 a A FEM induzida indicar a polaridade motu00f3rica à barra Soluu00e7u00e3o e v B d Adotando B concorde com B fluxo concentrado e positivo e aumenta a corrente i u00e9 positiva o aumento de fluxo Lei de Lenz portanto produz campo B1 Contando que e logo a corrente induzida circula de M para N A FEM induzida tem um emf M u00b7 e Alternativa Regra de Fleming da Mu00e3o Direita Corrente i v Bu00b2 du00b2 R b Nesta correte o campo B exerce foru00e7a F oposta u00e0 velocidade v sua intensidade e F i u00b7 B v Bu00b2 du00b2 R Mu00d3DULO 1 LABORATu00d3RIO 1 TENSu00c3O HARMu00d4NICA Consideremos bipolas quaisquer podendo ser resistores capacitores indutores ou associau00e7u00f5es de tais Ligando um bipolo a um alternador este aplica aquela uma tensu00e3o alternada y que superemos harmu00f4nica figura 1 Mediante escolha conveniente de um dos tempos podemos anular a fase inicial Umax tensu00e3o mu00e1xima ou tensu00e3o de pico 2u03c0 T 1T 2u03c0f T peru00edodo T 1f T empo Bipolo Figura 1 Bipolo submetido a tensu00e3o alternada Muito u00fati l u00e9 a representau00e7u00e3o de U mediante fasor segmento orientado ponteiro girante figura 2 O fasor tem comprimento que representa Umax e u00e2ngulo u03b8 u03c9t que cresce linearmente com o tempo Em cada instante a projeu00e7u00e3o do fasor sobre o eixe polar representa a tensu00e3o U no mesmo instante Figura 2 O fasor de tensu00e3o U Umax cos u03c9t 3 REPRESENTAu00c7u00c3O CARTESIANA u03b8 U U Umax cos u03c9t Umax cos u03c9t Umax seno 0 t Figura 3 Representau00e7u00e3o cartesiana da tensu00e3o harmu00f4nica 4 RESISTOR Imaginemos um resistor puro isto u00e9 sem indutu00e2ncia e sem capacitu00e2ncia alimentado por tensu00e3o alternada U figura 4 Figura 4 Resistor submetido a tensu00e3o harmu00f4nica Em cada instante temse que U R I 2 Substituindose a equau00e7u00e3o 1 em 2 resulta U Umax cos u03c9t portanto I UmaxR cos u03c9t 3 e I Imax cos u03c9t 5 com U Umax cos u03c9t I Imax cos u03c9t A 0 R Imax Umax Imax t e R I Conclusu00e3o No resistor a corrente I e a tensu00e3o U estu00e3o em fase Representando por vetores girantes ou fasores temse a figura 5 Figura 5 OA u00e9 o fasor de U OB u00e9 o fasor de I OB tem a mesma fase de OA Fazendo a representau00e7u00e3o em diagrama cartesiano temse a figura 6 Figura 6 Diagrama cartesiano U I e I no resistor 5 CAPACITOR Imaginemos um capacitor puro isto u00e9 com resistu00eancia elu00e9trica infinita e indutu00e2ncia nula ligado a uma fonte de tensu00e3o alternada conforme figura 7 Figura 7 Capacitor submetido a tensu00e3o harmu00f4nica Q C U Q carga elétrica C capacitância do sistema característica da geometria do mesmo e do meio isolante U tensão aplicada Q C U U max cos ωt Derivando em relação ao tempo dQ dt C U max sen ωt Sendo I dQ dt vem I ω C U max sen ωt Fazendo Xc 1 9 temse Xc reatância capacitiva Ω Substituindo 9 em 8 temse I U max Xc Sendo I U max C 11 U U max cos ωt 12 U max constante Conclusão Em capacitor a corrente está adiantada de π2 em relação à tensão Fazendose a representação fasorial temse a figura B Figura 8 Oâ é fasor de U OB é fasor de I e OB está adiantado de π2 em relação a Oâ