Exercícios Resolvidos: Testes de Hipóteses com Distribuição Normal e t-Student

Métodos Quantitativos em Processos Decisórios Testes com distribuição normal e tStudent Profa Anna Célia Affonso dos Santos 1º Especifico um valor ou valores para z e determino as áreas de probabilidade Uma grande empresa faz uso de milhares de lâmpadas elétricas que permanecem acesas continuamente A vida de uma lâmpada pode ser considerada como uma variável aleatória normal com vida média de 50 dias e desviopadrão de 15 dias Se no dia 1º de agosto foram instaladas 8000 lâmpadas novas aproximadamente quantas deverão ser substituídas no dia 1º de setembro Caso Vida média de lâmpada Para a lâmpada ser substituída no dia 1º Setembro sua vida média é menor do que 31 dias Unilaterial à esquerda A vida média é menor que 31 dias N N5015 dias Uma grande empresa faz uso de milhares de lâmpadas elétricas que permanecem acessas continuamente A vida de uma lâmpada pode ser considerada como uma variável aleatória normal com vida média de 50 dias e desviopadrão de 15 dias Se no dia 1º de agosto foram instaladas 8000 lâmpadas novas aproximadamente quantas deverão ser substituídas no dia 1º de setembro 1 27 15 31 50 X z 1020 01020 0 3980 0 5000 log 0 3980 1 27 o P Z Consultando tabela Deverão ser substituídas um total de 01020x 8000 816 lâmpadas Caso Vida média de lâmpada X Z fx 50 0 31 127 35 20 Unilateral à esquerda Média 50 dias Desvio Padrão 15 dias Ponto X 31 dias Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo comprimento pode ser considerado uma variável normalmente distribuída com média 1000 metros e desvio padrão igual a 009 metros Quanto refugo a indústria espera produzir se o comprimento dos tubos de aço tiver que ser no máximo igual a 1020 m Caso Tubos de aço Unilateral à direita O comprimento é maior que 1020 Uma indústria siderúrgica produz tubos de aço cujo comprimento pode ser considerado uma variável normalmente distribuída com média 1000 metros e desvio padrão igual a 009 metros Quanto refugo a indústria espera produzir se o comprimento dos tubos de aço tiver que ser no máximo igual a 1020 m N N10009 metros X 1020m 2 22 09 0 1020 10 X z 132 00132 04868 05 222 222 P Z Z P Consultando tabela temos fx 10 X 1020 0 222 Z Caso Tubos de aço unilaterial à direita Média 10 metros Desvio Padrão 009 metros Ponto X 1020 m O tempo médio que demora para uma viatura de uma determinada cia da PMMG de Ipatinga atender a uma chamada de emergência é de 8 minutos com desviopadrão de 3 minutos Considere o tempo médio como uma variável normalmente distribuída para calcular a probabilidade de uma chamada esperar menos de 4 minutos Caso Logística na prestação de serviços Unilateral à esquerda A chamada é menor do que 4 minutos O tempo médio que demora para uma viatura de uma determinada cia da PMMG de Ipatinga atender a uma chamada de emergência é de 8 minutos com desviopadrão de 3 minutos Considere o tempo médio como uma variável normalmente distribuída para calcular a probabilidade de uma chamada esperar menos de 4 minutos 918 0 0918 0 4082 50 133 4 P Z x P Consultando a tabela Caso Logística na prestação de serviços 133 3 8 4 X z N N83 minutos X 4 minutos fx X 8 0 4 Z 133 Unilateral à esquerda Média 8 minutos Desvio Padrão 3 minutos Ponto X 4 minutos Uma máquina produz peças com o diâmetro médio de 200 e o desviopadrão de 001 As peças que se afastam da média por mais de 003 são consideradas defeituosas Qual é a percentagem de peças defeituosa Caso Controle da Produção industrial Bilaterial Uma máquina produz peças com o diâmetro médio de 200 e o desviopadrão de 001 As peças que se afastam da média por mais de 003 são consideradas defeituosas Qual é a percentagem de peças defeituosa 3 3 197 2 03 P Z P Z ouP x x P 3 01 0 03 2 2 1 X z N N200001 X1 203 e X2197 3 01 0 2 97 1 2 X z Consultando tabela 0 28 0 0014 0 0014 3 3 P Z Z P Caso Controle da Produção industrial fx 2 X 2 0 3 Z 203 197 3 Bilateral Média 2 Desvio Padrão 001 Ponto X 003 minutos 2º A questão fornece uma área ou probabilidade e identifico o valor de z correspondente Caso Tempo de garantia de televisão A vida média de uma marca de televisão é de 8 anos com desviopadrão de 18 anos A campanha de lançamento diz que todos os produtos que tiverem defeito dentro do prazo de garantia serão substituídos por novos Se você fosse o gerente de produção qual seria o tempo de garantia que você especificaria para ter no máximo 5 de trocas Considerando somente 5 de troca identifico na tabela o z X Z fx z 005 045 0 z Para a probabilidade de 045 o z é 164 Caso Tempo de garantia de televisão Transformo o valor de z no valor efetivo 165 𝑋 8 18 𝑋 8 165 18 𝑋 8 297 𝑋 503 O gerente deve estipular um tempo de garantia de 5 anos z x µ Vamos praticar a criação de hipóteses As hipóteses podem ter várias formas Onde µ0 é o valor numérico específico que está sendo considerado nas hipóteses nula e alternativa As hipóteses alternativas sempre são o complemento da hipótese nula Teste 1 Bilateral 2 Unilateral 21 À direita 22 À esquerda H0 µ µ0 Ha µ µ0 H0 µ µ0 Ha µ µ0 H0 µ µ0 Ha µ µ0 Dicas de formulação de hipóteses Exercícios no Excel Atividade para nota Acesse o questionário da Aula sobre Distribuição Normal Teste de Hipótese E quando minha amostra é pequena ou não conheço o desvio padrão Teorema do Limite Central Teorema do limite central Ao selecionar amostras aleatórias de tamanho n a partir de uma população a distribuição amostral da média amostral pode ser aproximada por uma distribuição normal à medida que o tamanho amostral se torna grande Varia de amostra para amostra Teorema do limite central Uso do teorema do limite central para calcular a média populacional População Teorema do Limite Central Amostras Gráficos das médias Teorema do Limite Central Teorema do Limite Central Intervalo de confiança para a média 95 das vezes o intervalo de confiança conterá a média populacional µ População μ 40 Amostra 1 média 37 Amostra 2 média 43 Amostra n média População µ σ População μ Amostra 1 média 37 Amostra 2 média 43 Amostra n média INFERÊNCIA Intervalo de confiança para a média Conhecendo a média amostral posso inferir a média populacional Teste tStudent Para amostras pequenas n 30 a distribuição Normal apresenta valores menos precisos o que nos leva a utilizar um modelo melhor a Distribuição t de Student proposta pelo pesquisador Willian Gosset em 1908 Cada tamanho amostral possui sua própria distribuição t ou seja ao contrário da distribuição normal a distribuição t não tem forma fixa mas sim uma família de curvas Cada curva é determinada por um parâmetro chamado grau de liberdade encontrado pelo tamanho da amostra menos um GL n 1 Conforme os graus de liberdade aumentam a distribuição t se aproxima da distribuição normal Depois de 30 gl a distribuição t está muito próxima à distribuição normal Teste tstudent Para σ desconhecido a distribuição é uma t não uma normal mas para amostras de tamanho muito grandes as diferenças entre as distribuições normal e t são desprezíveis e o uso da distribuição t dá melhores resultados Estatística do teste ҧ𝑥𝜇 𝑠 𝑛 para a tStudent Na estatística de t o desvio padrão amostral s é usado para estimar o desvio padrão populacional Estimação usando distribuição tstudent Quando não conheço o desvio padrão populacional σ ou minha amostra é muito pequena utilizo a distribuição tstudent para estimar o valor z Na estatística de t o desvio padrão amostral s é usado para estimar o desvio padrão populacional t ҧ𝑥𝜇 𝑠 𝑛 para a tStudent A consulta na tabela retorna o valor de tcrítico considerando um nível de significância e graus de liberdade tamanho da amostra 1 especificados Estimação usando testet Dois tipos de questão podem ser efetuadas 1º Verificar se houve alteração na média populacional a partir da média da amostra 2º A questão fornece uma probabilidade e identifico o valor de correspondente na tabela t A partir do valor de t calculo a média populacional Teste de Hipótese Como realizar Testes de Hipótese Passo 1 Interprete a situação de modo a obter a média μ Passo 2 Construa as hipóteses dizendo se é bilateral ou unilateral considerando a média em questão Passo 3 Obtenha o grau de significância Passo 4 Verifique qual o tipo de distribuição mais apropriado normal ou tStudent Como realizar Testes de Hipótese Passo 5 Calcule a estatística de teste usando 𝑍 ҧ𝑥𝜇 𝜎 𝑛 para a normal 𝑡 ҧ𝑥𝜇 𝑠 𝑛 para a tStudent Como realizar Testes de Hipótese Passo 6 Interprete a estatística de teste para verificar se a hipótese nula será ou não rejeitada Se z ou t corresponder a valores da região crítica rejeite H0 caso contrário não rejeite H0 Região crítica Diferentes níveis de significância podem gerar diferentes conclusões Com um nível de 5 H0 poderá ser rejeitado mas com 1 poderá ser aceito Como realizar Testes de Hipótese Para amostras pequenas n 30 ou quando σ for desconhecido usamos s ao invés de σ e consideramos o grau de liberdade como n1 Para σ desconhecido a distribuição é uma t não uma normal mas para amostras de tamanho muito grandes as diferenças entre as distribuições normal e t são desprezíveis mas o uso da distribuição t dá melhores resultados Identificando o valor do tcrítico 1º Verificar se houve alteração na média populacional a partir da média da amostra 1 Testes de Hipótese Bilateral 𝐻0 𝜇 𝜇0 𝐻𝑎 𝜇 𝜇0 α2 α2 Rejeitar H0 Rejeitar H0 Não rejeitar H0 1 Testes de Hipótese Bilateral Exemplo Um comprador de tijolos julga que a resistência dos tijolos sofreu alteração Sabese pela experiência passada que a média de resistência ao esmagamento destes tijolos é de 400 libras com desvio padrão de 20 libras Uma amostra de 100 tijolos deu uma média de 395 libras Teste a hipótese de que a qualidade média não se alterou contra a alternativa de que se tenha mudado considere o nível de significância de 5 𝐻0 𝜇 400 𝐻𝑎 𝜇 400 𝑍 ҧ𝑥 𝜇 𝜎 𝑛 395 400 20 100 5 2 25 Para 5 zc 198 Conclusão rejeitamos H0 isto é a resistência não é mais de 400 libras zc 198 zc 198 21 Testes de Hipótese Unilateral a direita 𝐻0 𝜇 𝜇0 𝐻𝑎 𝜇 𝜇0 Não rejeitar H0 Rejeitar H0 21 Testes de Hipótese Unilateral a direita Exemplo Um trecho de uma rodoviária quando é utilizado o radar são verificadas em média 7 infrações diárias por excesso de velocidade O chefe da polícia acredita que este número pode ter aumentado Para verificar isso o radar foi mantido por 10 dias consecutivos Os resultados foram 8 9 5 7 8 12 6 9 6 10 Os dados trazem evidências do aumento das infrações 𝐻0 𝜇 7 𝐻𝑎 𝜇 7 Média amostral 895781269610 10 8 Não conhecendo σ estimamos s onde s 21 Usando tStudent 𝑡 ҧ𝑥𝜇 𝑠 𝑛 87 21 10 15 t 15 tc 183 Conclusão Não rejeitamos H0 o que implica que o número de infrações não teve um aumento significativo 22 Testes de Hipótese Unilateral a esquerda 𝐻0 𝜇 𝜇0 𝐻𝑎 𝜇 𝜇0 Rejeitar H0 Não rejeitar H0 22 Testes de Hipótese Unilateral a esquerda Exemplo Uma pesquisa feita em universidades mostrou que professores de Estatística ganham em média de R45678 valor menor do que a média histórica de R48000 com um desvio padrão de R7000 Foram analisados 81 professores para que ele chegasse a essa média amostral O que o professor disse é válido nível de significância de 5 𝐻0 𝜇 48000 𝐻𝑎 𝜇 48000 𝑍 ҧ𝑥 𝜇 𝜎 𝑛 45678 48000 7000 81 2322 77777 298 Para 5 zc 166 Conclusão Rejeitamos H0 O salário é menor que R 45678 considerando o nível de significância de 5 zc 166 Universidade Presbiteriana Mackenzie Obrigada annasantosmackenziebr