Métodos Quantitativos em Processos Decisórios - Aula 2: Intervalos de Confiança e Tamanho de Amostra

Carla da Costa Guimarães carlaguimaraesmackenziebr Métodos Quantitativos em Processos Decisórios Aula 2 Objetivos da aula 2 Após esta aula esperase que o aluno saiba Construir e interpretar intervalos de confiança para a média e proporção Determinar tamanho mínimo de amostra para média e proporção Aula 2 Intervalo de confiança para média e proporção Leitura sugerida Capítulo 8 Onça Pintada Panthera onca Renda per capita Média 4 Qual a renda per capita de um brasileiro Estimativa pontual 5 Acesso em 08 ago 2022 Qual a renda per capita de um brasileiro httpswwwistoedinheirocombrrendadomiciliarpercapitaficaemr1367em2021 6 httpsftpibgegovbrTrabalhoeRendimentoPesquisaNaci onalporAmostradeDomicilioscontinuaRendadomiciliar percapitaRendadomiciliarpercapita2021pdf Se pudermos escolher apenas um valor para estimar a média populacional a estimativa pontual R136700 é o nosso melhor palpite Interpretação do Intervalo de confiança 7 Intervalo de confiança Distribuição Normal Padrão 8 90 dos valores estão entre 1645 e 1645 95 dos valores estão entre 196 e 196 99 dos valores estão entre 2575 e 2575 Intervalo de confiança Estimativa pontual Margem de Erro E Média Proporção 9 Intervalo de confiança é um intervalo numérico de um parâmetro populacional como a média ou a proporção associado a uma probabilidade o nível de confiança que representa a confiança de que o intervalo contém o parâmetro Fluxograma Intervalo de confiança para média O valor de n é maior do que 30 Outras técnicas Use s para estimar o lj𝑥 𝑡𝑐 𝑠 𝑛 A população é aproximadamente normal O valor do é conhecido não não O valor do é conhecido sim não sim Use lj𝑥 𝑧𝑐 𝜎 𝑛 sim não sim Use lj𝑥 𝑧𝑐 𝜎 𝑛 Use s para estimar o lj𝑥 𝑧𝑐 𝑠 𝑛 Tabela z Tabela z Tabela z Tabela t n número de dados desvio padrão da população s desvio padrão da amostra lj𝐱 média da amostra zc e tc zscore e tscore correspondente ao nível de confiança Um banco pretende fazer uma proposta de quitação de dívida para seus clientes inadimplentes Para elaborar a proposta o gerente do banco precisa descobrir quanto em dólares os clientes inadimplentes devem para a instituição bancária O gerente decidiu construir um intervalo de confiança de 95 para estimar a média do valor da dívida dos clientes inadimplentes Assumindo que o conjunto de dados segue uma distribuição normal o gerente sorteou aleatoriamente 100 contas inadimplentes Encontre o intervalo de confiança para a média das contas inadimplentes Interprete o resultado Exemplo 1 11 Dados Contas Inadimplentes Exemplo 1 Tabela Quantias devidas com atraso dólares para 100 contas inadimplentes 12 Dados Contas Inadimplentes 195 221 278 363 512 237 203 119 304 368 243 162 222 221 193 135 178 259 141 274 132 134 236 449 134 252 180 108 158 278 133 275 178 265 138 365 148 289 240 190 209 355 202 146 209 371 162 328 82 344 400 293 222 215 207 238 160 331 17 157 142 242 334 113 206 232 86 330 357 219 312 458 208 229 310 271 234 227 187 77 221 378 194 221 293 121 244 162 364 171 289 148 135 243 310 134 266 354 268 280 Um banco pretende fazer uma proposta de quitação de dívida para seus clientes inadimplentes Para elaborar a proposta o gerente do banco precisa descobrir quanto em dólares os clientes inadimplentes devem para a instituição bancária O gerente decidiu construir um intervalo de confiança de 95 para estimar a média do valor da dívida dos clientes inadimplentes Assumindo que o conjunto de dados segue uma distribuição normal o gerente sorteou aleatoriamente 100 contas inadimplentes Encontre o intervalo de confiança para a média das contas inadimplentes Interprete o resultado Exemplo 1 13 Dados Contas Inadimplentes Fluxograma Intervalo de confiança para média O valor de n é maior do que 30 Outras técnicas Use s para estimar o lj𝑥 𝑡𝑐 𝑠 𝑛 A população é aproximadamente normal O valor do é conhecido não não O valor do é conhecido sim não sim Use lj𝑥 𝑧𝑐 𝜎 𝑛 sim não sim Use lj𝑥 𝑧𝑐 𝜎 𝑛 Use s para estimar o lj𝑥 𝑧𝑐 𝑠 𝑛 Tabela z Tabela z Tabela z Tabela t n número de dados desvio padrão da população s desvio padrão da amostra lj𝒙 média da amostra 𝑧𝑐 e 𝑡𝑐 zscore e tscore correspondente ao nível de confiança Exemplo 1 O valor de n é maior do que 30 O valor do é conhecido sim não Use s para estimar o lj𝑥 𝑧𝑐 𝑠 𝑛 Tabela z n 100 contas inadimplentes população desconhecido zc probalidade confiança de 95 lj𝑥 média das contas inadimplentes s desvio padrão das contas inadimplentes n 100 contas inadimplentes 15 Encontrando o valor z para o nível de confiança de 95 Como usar a tabela z c 095 zc zc 16 O nível de confiança c é a probabilidade de que o intervalo estimado contenha o parâmetro populacional Considere a distribuição normal Como usar a tabela z 005 zc zc 17 c 095 nível de confiança nível de significância Encontrando o valor z para o nível de confiança de 95 O nível de significância é a probabilidade de que o intervalo estimado NÃO contenha o parâmetro populacional Encontrando o valor z para o nível de confiança de 95 Como usar a tabela z c 095 p 04750 p 04750 zc zc 18 p 0025 p 0025 Distribuição Normal Padrão Construa um intervalo de confiança de 95 para a média das contas inadimplentes Considere a distribuição normal Interprete o resultado Exemplo 1 c 095 p 04750 p 04750 zc 196 zc196 Utilize a simetria da figura 20 p 0025 p 0025 Construa um intervalo de confiança de 95 para a média das contas inadimplentes Considere a distribuição normal Interprete o resultado Exemplo 1 c 095 p 04750 p 04750 zc 196 zc196 lj𝑥 𝑧𝑐 𝑠 𝑛 IC 23328 196 903399 100 lj𝑥 Média 2332800 s desvio padrão 903399 Intervalo de confiança IC 23328 177063 Margem de Erro E 21 p 0025 p 0025 Construa um intervalo de confiança de 95 para a média das contas inadimplentes Considere a distribuição normal Interprete o resultado Exemplo 1 Intervalo de confiança IC 23328 177063 Limite inferior 23328 177063 21557 Limite superior 23328 177063 25099 Interpretação Com 95 de confiança podese dizer que as contas inadimplentes do banco variam entre US 21557 e US 25099 22 Instruções Distribuição t 24 httpswwwresearchgatenetpublication335950806ClosingtheGapbetweenResearchandTeachingPracticeinCollegesa nactionresearchinquiryintocultivatingstudentmotivationinmathematicsclassrooms A distribuição t é uma família de curvas determinada pelos graus de liberdade g l 1 n lg A curva tem forma de sino ou seja é simétrica Instalar App no celular Diferenças entre Distribuição z e Distribuição t Para n 30 a distribuição t é aproximadamente igual a distribuição z 25 Existe diferença entre a idade dos estudantes universitários que estudam no período diurno e noturno de uma Universidade em uma mesma etapa A Estime a idade média populacional dos universitários que estudam no diurno em uma mesma etapa por meio de um intervalo de confiança de 95 B Com base no intervalo resultante obtido para os universitários que estudam no noturno 22250 0496 anos você pode afirmar que os universitários que estudam no diurno tem a mesma idade que os universitários que estudam no noturno Justifique sua resposta Faça você 1 26 Dados Idade dos estudades Universitários do diurno Intervalo de confiança para média O valor de n é maior do que 30 Outras técnicas Use s para estimar o lj𝑥 𝑡𝑐 𝑠 𝑛 A população é aproximadamente normal não não O valor do é conhecido sim não Tabela t A Estime a idade média populacional dos universitários que estudam no diurno em uma mesma etapa por meio de um intervalo de confiança de 95 Solução Faça você 1 28 gl n 1 B Com base no intervalo resultante obtido para os universitários que estudam no noturno 22250 0496 anos você pode afirmar que os universitários que estudam no diurno tem a mesma idade que os universitários que estudam no noturno Justifique sua resposta Faça você 1 Solução 31 Intervalo de confiança para média distribuição t 32 Como funciona uma pesquisa eleitoral httpsyoutubeigi7E1OY7gs 33 Intervalo de confiança para proporções populacionais p lj𝑝 𝑧𝑐 lj𝑝 lj𝑞 𝑛 Intervalo de confiança Margem de Erro E E 𝑧𝑐 lj𝑝 lj𝑞 𝑛 Margem de Erro E ljp probabilidade de sucesso ljq probabilidade de fracasso ljq 1 ljp zc probalidade confiança n número de dados 34 Exemplo 2 Um centro de pesquisa de opinião realizou uma pesquisa para avaliar a opinião dos telespectadores sobre um comentarista esportivo Para isso entrevistou 1219 telespectadores selecionados ao acaso e constatou que 354 desejavam que o comentarista fosse afastado da TV Determine um intervalo de confiança de 98 para a proporção de telespectadores favoráveis ao afastamento do comentarista 35 Exemplo 2 Um centro de pesquisa de opinião realizou uma pesquisa para avaliar a opinião dos telespectadores sobre um comentarista esportivo Para isso entrevistou 1219 telespectadores selecionados ao acaso e constatou que 354 desejavam que o comentarista fosse afastado da TV Determine um intervalo de confiança de 98 para a proporção de telespectadores favoráveis ao afastamento do comentarista ljp x n ljp 354 n ljp 354 1219 ljp 02904 ljq 1 ljp ljq 1 02904 ljq 07096 sucesso fracasso Um centro de pesquisa de opinião realizou uma pesquisa para avaliar a opinião dos telespectadores sobre um comentarista esportivo Para isso entrevistou 1219 telespectadores selecionados ao acaso e constatou que 354 desejavam que o comentarista fosse afastado da TV Determine um intervalo de confiança de 98 para a proporção de telespectadores favoráveis ao afastamento do comentarista 36 ljp 02904 ljq 07096 lj𝑝 𝑧𝑐 lj𝑝 lj𝑞 𝑛 Intervalo de confiança n 1219 Exemplo 2 c 098 p 04900 p 04900 zc zc Determine um intervalo de confiança de 98 para a proporção de telespectadores favoráveis ao afastamento do comentarista 37 p 001 p 001 Exemplo 2 p 04900 c 098 p 04900 p 04900 zc 233 zc233 Utilize a simetria da figura 39 p 001 p 001 Determine um intervalo de confiança de 98 para a proporção de telespectadores favoráveis ao afastamento do comentarista Exemplo 2 40 IC 02904 zc 0709602904 1219 IC 02904 233 0709602904 1219 IC 02904 00303 Determine um intervalo de confiança de 98 para a proporção de telespectadores favoráveis ao afastamento do comentarista Exemplo 2 41 IC 02904 00303 Intervalo de confiança Limite inferior 02904 00303 02601 Limite superior Interpretação Com 98 de confiança podese dizer que a proporção de telespectadores favoráveis ao afastamento do comentarista estáo entre 2601 e 3207 02904 00303 03207 Determine um intervalo de confiança de 98 para a proporção de telespectadores favoráveis ao afastamento do comentarista Exemplo 2 42 Intervalo de confiança para proporções p O tamanho mínimo da amostra n pode ser calculado a partir da margem de erro E Como calcular o tamanho da amostra n E zc n n zc E n 2 zcσ E 2 n zcσ E 2 43 zc probalidade confiança n número de dados desvio padrão 44 Como calcular o tamanho da amostra n E zc ljp ljq n Margem de Erro E 𝐸 𝑧𝑐 lj𝑝 lj𝑞 𝑛 n zc ljp ljq E n 2 zc2 ljp ljq2 E2 n ljp ljq zc E 2 Tamanho da amostra O tamanho mínimo da amostra n pode ser calculado a partir da margem de erro E ljp probabilidade de sucesso ljq probabilidade de fracasso ljq 1 ljp zc probalidade confiança n número de dados 45 Para praticar Resolva a lista de exercício 2