Testes de Hipóteses: Teoria e Exercícios Práticos

TESTE DE HIPÓTESES 1 Introdução ao teste de hipóteses Uma hipótese estatística é uma alegação sobre uma população A hipótese alternativa Ha contém uma afirmativa de desigualdade tal como ou A hipótese nula H0 contém uma alternativa de igualdade tal como ou Afirmativas complementares Se eu sou verdadeiro você é falso Se eu sou falso você é verdadeiro 2 Uma revista de consumidores alega que a proporção das chamadas telefônicas via celular feitas durante as tardes e os fins de semana é de no máximo 60 Estabeleça uma alegação sobre a população Em seguida estabeleça seu complemento Cada hipótese tanto a nula quanto a alternativa pode representar a alegação Um hospital alega que o tempo de resposta de sua ambulância é inferior a dez minutos 3 ESTABELECENDO HIPÓTESES alegação alegação min 10 H min 10 H a 0 0 60 H 0 60 H a 0 EXERCÍCIOS 1 Uma equipe de pesquisa médica está investigando os benefícios de um novo tratamento cirúrgico Uma das afirmações é que a média do tempo de recuperação para os pacientes após o novo tratamento é menos do que 96 horas Escreva as hipóteses nula e alternativa se a você é parte da equipe e quer apoiar a afirmação b você é de uma equipe adversária e quer rejeitar a afirmação 2 Você representa uma indústria química que está sendo processada por danos na pintura de automóveis causados pela tinta Você quer apoiar a afirmação que a média dos custos de reparos por automóvel é menos do que 650 Escreva as hipóteses nula e alternativa 3 Você faz parte de uma equipe de pesquisa que está investigando a temperatura média de adultos humanos A afirmação comumente aceita é que a temperatura média é de aproximadamente 37C Você quer mostrar que esta afirmação é falsa Escreva as hipóteses nula e alternativa 4 Nos exercícios abaixo determine se o teste de hipótese para cada afirmação é monocaudal direito esquerdo ou bicaudal a Pelo menos 14 de todos os proprietários de residências têm um alarme de segurança b Um fabricante de relógios de pêndulo afirma que o tempo médio de perdas de seus relógios não é mais de 002 segundos por dia c Um relatório do governo afirma que a proporção de casos de câncer de pulmão causados por cigarro é de 87 d A vida útil média de certo pneu não é mais do que 128000 km e Um analista de finanças afirma que o índice de retorno de um título norte americano de 15 anos tem desvio padrão de 53 f Um instituto de pesquisas afirma que a duração média da maioria dos sonhos é maior do que 10 minutos 4 5 O PROCESSO DO TESTE DE HIPÓTESE Alegação A média de idade da população é 50 H0 μ 50 Ha μ 50 Amostre a população e encontre a média amostral População Amostra 6 O PROCESSO DO TESTE DE HIPÓTESE Suponha que a média amostral da idade é igual a 20 Isso é significativamente menor do que a média da idade da população alegada de 50 Se a hipótese nula fosse verdadeira a probabilidade de conseguir uma média amostral diferente seria muito pequena sendo assim você rejeita a hipótese nula Em outra palavras conseguir uma média amostral de 20 é tão improvável se a média da população for 50 que você pode concluir que a média da população não deve ser 50 7 O PROCESSO DO TESTE DE HIPÓTESE Distribuição amostral da média μ 50 Se H0 é verdadeira Se é tão improvável que você consiga uma média amostral com este valor Então você rejeita a hipótese nula de que μ 50 20 quando de fato essa é a média populacional X 8 A ESTATÍSTICA TESTE E OS VALORES CRÍTICOS Se a média amostral é próxima da média estabelecida para a população a hipótese nula não é rejeitada Se a média amostral é afastada da média estabelecida para a população a hipótese nula é rejeitada O que significa afastada o suficiente para rejeitar H0 O valor crítico da estatística teste cria uma linha limite para a tomada de decisão isso responde à pergunta de o que significa afastada o suficiente 9 A ESTATÍSTICA TESTE E OS VALORES CRÍTICOS Valores Críticos Afastado o suficiente da média da distribuição amostral Distribuição amostral da estatística teste Região de Rejeição Região de Rejeição Região de não Rejeição 10 POSSÍVEIS ERROS EM UMA TOMADA DE DECISÃO POR TESTE DE HIPÓTESE Erro do tipo I Rejeita uma hipótese nula verdadeira Considerado um tipo sério de erro A probabilidade de um erro do tipo I é Chamado de nível de significância do teste Definido pelo pesquisador a priori Erro do tipo II Falha em rejeitar uma hipótese nula falsa A probabilidade de um erro do tipo II é β Erro do tipo I A hipótese nula é realmente verdadeira mas optouse por rejeitála Nível de significância Probabilidade máxima de se cometer um erro do tipo I O poder de um teste estatístico 1β é a probabilidade de rejeitar H0 quando é falsa Verdade real de H0 11 ERROS E NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA H0 verdadeira H0 falsa Não rejeitar H0 Rejeitar H0 Decisão Correta 1 Decisão Correta 1 β Erro do tipo II β Erro do tipo I Decisão 12 RELAÇÃO ENTRE OS ERROS DO TIPO I II Erros do tipo I e II Não ocorrem ao mesmo tempo Um erro do tipo I somente pode ocorrer quando H0 é verdadeira Um erro do tipo II somente pode ocorrer quando H0 é falsa Se a probabilidade de um erro do tipo I então a probabilidade um erro do tipo II β 13 NÍVEL DE SIGNIFICÂNCIA E REGIÃO DE REJEIÇÃO Nível de significância Este é um teste Bicaudal porque há uma região em ambas as caudas H0 μ 30 Ha μ 30 Valores Criticos Região de Rejeição 2 30 2 Teste monocaudal direito Teste bicaudal Teste monocaudal esquerdo 14 TIPOS DE TESTE DE HIPÓTESES Ha é mais provável Ha é mais provável Ha é mais provável valor Ha valor Ha valor Ha O valor P é a probabilidade de se obter uma estatística amostral com um valor tão ou mais extremo que o determinado pelos dados da amostra Se z é negativo P é o dobro da área da cauda esquerda Se z é positivo P é o dobro da área da cauda direita 15 VALORES P Valor P área indicada z z z z Área na cauda esquerda Área na cauda direita Em um teste monocaudal esquerdo Em um teste monocaudal direito Em um teste bicaudal 16 DETERMINANDO VALORES P TESTE MONOCAUDAL A estatística teste para um teste monocaudal direito é z 156 Determine o valor P A área à direita de z 156 é 05 04406 00594 Logo o valor P é 00594 No Excel z 156 Área na cauda direita 1DISTNORMPNZVERDADEIRO A estatística teste para um teste bicaudal é z 263 Determine o correspondente valor P A área à esquerda de z 263 é 00043 O valor P é 200043 00086 No Excel DETERMINANDO VALORES P TESTE BICAUDAL 17 z 263 DISTNORMPNZVERDADEIRO 18 DECISÕES BASEADAS NO VALOR P Após comparar o valor P ao valor de o nível de s ignificância do teste podemos decidir se há evidência suficiente para rejeitar a hipótese nula Se P não rejeite a hipótese nula Se P rejeite a hipótese nula Compare o valor P a Como 00749 005 O valor P de um teste de hipóteses é 00749 Tome sua decisão a um nível de significância de 005 Se P 00246 qual será sua decisão se 19 USANDO OS VALORES P 1 005 2 001 Há evidência suficiente para rejeitar a alegação Alegação 20 INTERPRETANDO A DECISÃO A alegação é H0 A alegação é Ha Rejeite H0 Não rejeite H0 Decisão Não há evidência suficiente para rejeitar a alegação Há evidência suficiente para não rejeitar a alegação Não há evidência suficiente para não rejeitar a alegação 1 Estabeleça as hipóteses alternativa e nula 2 Estabeleça o nível de significância 3 Identifique a distribuição amostral Escreva H0 e Ha como afirmativas matemáticas Lembre que H0 sempre contém o símbolo Ele representa a probabilidade máxima de se rejeitar a hipótese nula caso ela seja a realmente verdadeira ou seja de se cometer um erro do tipo I A distribuição amostral é a distribuição da estatística teste supondose que a condição de igualdade na H0 seja verdadeira e que o experimento foi repetido infinitas vezes 21 ETAPAS DO TESTE DE HIPÓTESES 4 Determine a estatística teste e padronizea Faça os cálculos para padronizar sua estatística amostral 5 Calcule o valor P da estatística teste Ele representa a probabilidade de se obter a estatística teste ou outro valor mais extremo na distribuição amostral 22 Se o valor P for menor que o nível de significância rejeite H0 Se o valor P for maior que não rejeite H0 6 Tome sua decisão 7 Interprete sua decisão Se a alegação for a hipótese nula você poderá rejeitála ou determinar que não há evidência suficiente para isso Se a alegação for a hipótese alternativa você poderá não rejeitála ou determinar que não há evidência suficiente para isso 23 TESTE DE HIPÓTESES 24 Teste de hipóteses para determinar a média Determine os valores críticos tc e tc para um teste bicaudal dados Determine o valor crítico t0 para um teste monocaudal esquerdo dados 001 e n 18 gl 18 1 17 tc tc 2567 gl 11 1 10 tc 2228 e tc 2228 25 A DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL T 005 e n 11 Área na cauda esquerda tc tc EXEMPLO TESTE BICAUDAL DESCONHECIDO O custo médio de um quarto de hotel em uma cidade grande é de 168 por noite Para determinar se a afirmação é verdadeira é retirada uma amostra aleatória de 25 hotéis e o resultado foi de uma média de 17250 e desvio padrão de 1540 Teste a hipótese apropriada ao nível de 5 Assuma que a distribuição da população é normal H0 μ 168 Ha μ 168 26 005 n 25 gl 25124 é desconhecido então use a t Valor Crítico t240025 20639 SOLUÇÃO DO EXEMPLO TESTE BICAUDAL Não Rejeite H0 Não há evidência suficiente de que verdadeira média de custo é diferente de 168 Rejeita H0 Rejeita H0 2025 t 240025 Não rejeita H0 0 2025 20639 20639 146 25 1540 168 17250 n S μ X t 146 H0 μ 168 Ha μ 168 t 240025 EXEMPLO DE TESTE T BICAUDADAL USANDO O VALOR P DO EXCEL Uma vez que este é um teste t não podemos calcular o valor p sem algum auxílio O Excel faz isso Teste t para a hipótese sobre a média Hipótese Nula µ 16800 Nível de signifcância 005 Tamanho da amostra 25 Média amostral 17250 Desvio padrão amostral 1540 Erro padrão da média 308 B8RaizB6 Graus de liberdade 24 B61 Estatística teste t 146 B7B4B11 Valor crítico inferior 20639 INVTB5B12 Valor crítico superior 20639 INVTB5B12 Valorp 0157 DISTTABSB13B122 SEB18B5Rejeita a hipótese nula Não rejeita a hipótese nula Dados Cálculos intermediários Teste Bicaudal Não rejeita a hipótese nula Valor p α Então não rejeite H0 28 EXEMPLO TEST T MONOCAUDAL PARA A MÉDIA DESCONHECIDO Um gerente da indútria de telefonia acredita que a conta de telefone mensal do consumidor agora é maior do que 52 por mês A companhia deseja testar esta alegação Assuma uma população normal H0 μ 52 A média não é maior do que 52 por mês Ha μ 52 A média é maior do que 52 por mês ie há evidência suficiente para suportar a afirmação do gerente 29 Rejeita H0 Não rejeita H0 Suponha que 010 é escolhido para este teste e n 25 Encontre a região de rejeição 010 1318 0 Rejeita H0 Rejeita H0 se t 1318 Exemplo Região de Rejeição 30 Obtenha uma amostra e calcule a estatística teste Suponha que uma amostra é retirada com os seguintes resultados n 25 x 531 e s 10 Então a estatística teste é 055 25 10 52 531 n S μ X t EXEMPLO ESTATÍSTICA TESTE 31 Rejeita H0 Não rejeita H0 EXEMPLO DECISÃO 010 1318 0 Rejeita H0 Não rejeita H0 desde que t 055 1318 Não há evidência suficiente de que a média da conta é maior do que 52 t 055 32 EXEMPLO UTILIZANDO O VALOR P PARA O TESTE Calcule o valor p e compare com o O valor p abaixo foi calculado usando a planilha do Excel na próxima página Rejeita H0 010 Não rejeita H0 1318 0 Rejeita H0 t 055 Valor p 02937 Não rejeita H0 desde que o valor p 02937 010 33 PLANILHA DO EXCEL USADA PARA O CÁLCULO DO VALOR P DE UM TESTE MONOCAUDAL Teste t para a hipótese sobre a média Hipótese nula µ 5200 Nível de significância 01 Tamanho da amostra 25 Média amostral 5310 Desvio padrão amostral 1000 Erro padrão da média 200 B8RAIZB6 Graus de liberdade 24 B61 Estatística teste t 055 B7B4B11 Valor crítico superior 1318 INVT2B5B12 Valor p 02937 DISTTABSB13B121 SEB17B5Rejeita a hipótese nula Não rejeita a hipótese nula Dados Cálculos intermediários Teste monocaudal Não rejeita a hipótese nula 34 EXERCÍCIOS 1 Um distribuidor de bebidas acredita que vende em média 1200000 por mês Selecionouse 10 meses como amostra que forneceu média de 1127700 e desvio padrão de 3772 Se 5 é usado como o que você pode concluir sobre a informação do distribuidor 2 Uma transportadora afirma para a sua empresa que pode reduzir seu tempo de entrega de um pacote para 25 dias Depois de utilizar a nova empresa 17 vezes o tempo de entrega foi em média 22 dias e o desvio padrão foi de 09 dia A sua empresa deve trocar para a nova companhia de entregas Utilize 001 3 Você acabou de ser contratado como gerente de uma indústria de peças de computadores Em sua primeira tarefa precisa monitorar o tempo que um empregado gasta para completar um trabalho que é suposto em média de 15 minutos Você observa 20 empregados e encontra uma média de 173 minutos e desvio padrão de 19 minutos Com 001 qual relato você fará para seu supervisor 35 TESTE DE HIPÓTESES 36 Testes de hipóteses para determinar proporções é a proporção populacional de sucessos A estatística teste é Se n 5 e n1 5 a distribuição amostral de p é normal TESTE PARA DETERMINAR PROPORÇÕES 37 A estatística teste padronizada é a proporção de sucessos na amostra n x p n 1 p z TESTE PARA DETERMINAR PROPORÇÕES 38 Um portavoz do setor de comunicações alega que mais de 40 dos norteamericanos têm celular próprio ou pelo menos têm alguém na família com celular Em um levantamento aleatório de 1036 norteamericanos 456 disseram que eles ou alguém da família tinham um celular Teste a alegação do portavoz a 005 O que você pode concluir 005 TESTE PARA DETERMINAR PROPORÇÕES 39 1 Escreva as hipóteses nula e alternativa 2 Estabeleça o nível de significância alegação 0 40 H 0 40 H a 0 3 Determine a distribuição amostral 1036040 5 e 10361040 5 A distribuição amostral é normal 4 Determine o valor crítico 1645 5 Determine a região de rejeição Região de rejeição 7 Tome sua decisão 6 Determine a estatística teste e padronizea 8 Interprete sua decisão z 263 1645 zc cai na região de rejeição portanto rejeite H0 Há evidência suficiente para não rejeitar a alegação de que mais de 40 dos norteamericanos têm celular próprio ou pelo menos têm alguém na família com celular n 1036 x 456 0 44 1036 456 n x p 2 63 01522 0 04 0 1036 60 40 0 40 0 44 z 40 PLANILHA DO EXCEL USADA PARA O CÁLCULO DO VALOR P DE UM TESTE MONOCAUDAL DIREITO 41 Teste t para a hipótese sobre a média Hipótese nula µ4000 Nível de significância 10 Nível de confiança 90 Tamanho da amostra 1036 Sucessos 456 Proporção amostral 4402 B8B7 Erro padrão da média 001522 RAIZB41B4B7 Estatística teste t 264 B9B4B12 Valor crítico superior 1282 INVNORMPNB6 Valor p 00042 1DISTNORMPNB13VERDADEIRO SEB18B6Rejeita a hipótese nula Não rejeita a hipótese nula Dados Cálculos intermediários Teste monocaudal Rejeita a hipótese nula EXERCÍCIOS 1 Como diretor de marketing de uma grande cadeia varejista você acredita que 60 de seus clientes possuam nível superior Você pretende estabelecer uma importante estrutura de prêmios para esta proporção Uma amostra de 800 clientes revela que 492 possuem grau superior Ao nível de 5 o que você pode concluir sobre a proporção de todos os clientes que possuem grau superior Use o valor P 2 Tradicionalmente 35 de todos os empréstimos realizados por um banco tem sido para membros de grupos minoritários Durante o último ano o banco tem se esforçado para aumentar esta proporção Dos últimos 150 empréstimos importantes 56 foram identificados como feitos pelas minorias O banco teve sucesso em seus esforços para atrair clientes das classes minoritárias Teste a hipótese ao nível de 5 Use o valor P 3 Uma empresa planeja lançar um novo produto somente se este agradar pelo menos 40 do público O departamento de pesquisas selecionou 500 pessoas e encontrou 225 preferem o produto da empresa em vez do concorrente mais próximo Ao nível de 2 a empresa deve lançar o produto 42 BIBLIOGRAFIA UTILIZADA Levine D M Stephan D F Krehbiel T C Berenson M L Estatística teoria e aplicações usando Microsoft Excel em português Rio de Janeiro LTC 2012 Webster A L Applied Statistics for Business and Economics An essential Version The McGrawHill Companies Inc 2006 43