Lista de Exercícios Resolvidos - Análise Econômica Mackenzie - Equilíbrio da Renda Nacional e Álgebra Matricial

Universidade Presbiteriana Mackenzie Centro de Ciências Sociais Aplicadas CCSA Curso de Economia Professor Dr Jefferson Nery do Prado Disciplina Análise Econômica Instruções e Recomendações Essa lista tem como objetivo treinálos para a nossa avaliação N1 e servir de instrumento de estudo para a absorção do conhecimento ministrado em aula Portanto cabe a você utilizar esse recurso da melhor forma possível Não espere pelo gabrito Vá em busca das respostas principalmente utilizando o material bibliográfico slides e o conteúdo ministrado em aula pelo professor Para facilitar estudo em grupo pode ser muito produtivo Regras para entrega da lista Essa lista deverá ser entregue em uma folha à parte escrita à próprio punho ou seja NÃO SERÃO ACEITAS RESOLUÇÕES EM EXCEL PDF OU QUALQUER OUTRA FORMA ELETRÔNICA DE CÁLCULO E ESCRITA Esperase uma lista Legível e minimamente decente sem rebarbas e grampeadas onde o professor consiga entender o que o aluno quis responder Caso as respostas estejam ininteligíveis eou sem o devido detalhamento apenas com o resultado final sem o desenvolvimento da resposta a questão será cancelada Caso a Lista apresente rasuras também será descontado pontos O não conhecimento dessas regras implicará em perda de ponto da lista no caso de reclamações futuras Bons estudos Universidade Presbiteriana Mackenzie Centro de Ciências Sociais Aplicadas CCSA Curso de Economia 1 Supondo o modelo de Equilíbrio da Renda Nacional abaixo agrupe o sistema de equações no formato matricial AXD e encontre Y T e C pelo método de Cramer Y C I0 G0 C a bY T T d tY 2 Sobre as definições de Álgebra Matricial responda Verdadeiro ou Falso Caso seja Falso explique o porquê Em álgebra matricial estamos interessados em quatro componentes essenciais o conjunto de coeficientes o conjunto de variáveis endógenas o conjunto de variáveis exógenas e os termos constantes Podemos dizer que duas matrizes são idênticas se e somente se possuírem a mesma dimensão e os mesmos elementos nas mesmas localizações Dizemos que um sistema de equações lineares com várias soluções é considerado inde pendente Para que uma matriz seja invertida é suficiente sua dimensão nxn Sendo A 0 podemos afirmar que a Matriz A é invertível possui linhas LI posto cheio e é classificada como singular 3 Resolva os seguintes sistemas de equações lineares usando o método de GaussJordan a x 4y 7 2x 3y 8 b x 3y 9 2x y 3 c x 4y z 2 4x y 6z 31 3x y 3z 5 d x 2y 2z 3 2x y 3z 13 3x 2y 4z 1 4 Supondo os seguintes vetores V112 V247 V375 e V41012 Calcule as suas respectivas normas e esboce o gráfico com todos os quatro vetores 5 Se o posto da matriz 1 x 0 0 1 1 1 1 0 é 3 então x 1 Considerando as matrizes faça a questão abaixo 2 Universidade Presbiteriana Mackenzie Centro de Ciências Sociais Aplicadas CCSA Curso de Economia a 1 2 3 2 1 4 b 1 0 2 1 3 2 c 3 1 3 4 1 5 2 1 3 d 3 2 2 4 e 2 4 5 0 1 4 3 2 1 f 4 5 2 3 g 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 Se possível encontre os resultados abaixo a CE e EC b AB c DF d 3C5G e 2C3E f 2BF g 32A e 6A h C E T e C T E T 7 Encontre o posto da matriz 0 1 4 3 1 2 2 3 7 a partir da matriz escalonada e caso possível encontre sua inversa 8 Calcule os determinantes das seguintes matrizes e caso possível apresente sua respectiva matriz inversa a 3 1 5 2 0 2 1 4 3 b 2 7 0 1 5 6 4 8 3 1 9 5 1 3 1 4 9 Supondo os seguintes sistemas abaixo ache os valores de X 1 X 2 e X 3 utilizando o método de GaussJordan a 10 X 1 6 X 2 60 12 X 1 4 X 2 16 b X 1 4 X 2 2 X 3 100 2 X 1 3 X 2 4 X 3 150 X 1 2 X 2 5 X 3 200 10 Supondo o seguinte sistema abaixo prove que X1 b1 a 22b2 a 12 a 22 a 11a 21 a 12 e X 2 b 2 a 11 b 1 a 2 1 a 2 2 a 1 1 a 2 1 a 1 2 a 11 x 1 a 12 x 2 b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 Universidade Presbiteriana Mackenzie Centro de Ciências Sociais Aplicadas CCSA Curso de Economia 11 Sejam v 1 1 2 3 e v 2 1 0 1 a Calcule o produto interno desses dois vetores b Esses vetores são ortogonais c Esses vetores são linearmente dependentes 12 Calcule os autovetores da matriz A 1 2 0 0 2 0 3 4 1 e B 2 1 0 3 13 Verifique se os seguintes vetores são autovetores das matrizes dadas a v 2 1 é um autovetor da matriz A 3 4 1 1 b v 3 1 é um autovetor da matriz A 5 6 1 2 c v 2 1 é um autovetor da matriz A 3 1 2 2 d v 1 1 é um autovetor da matriz A 1 1 1 3 e v 1 2 1 é um autovetor da matriz A 4 1 1 2 5 2 1 1 2 14 Calcule os polinômios característicos das seguintes matrizes a A 3 0 2 4 b B 0 2 2 5 c C 1 2 3 2 d D 4 2 3 1 e E 3 0 0 4 0 0 0 1 4 f F 3 1 1 7 5 1 6 6 2 Universidade Presbiteriana Mackenzie Centro de Ciências Sociais Aplicadas CCSA Curso de Economia 15 Dados A 3 6 2 4 B 1 7 8 4 C 3 4 1 9 prove que a A B C A B C b A B C A B C 16 Dados A 1 5 7 0 2 4 B 9 6 0 X X 1 X 2 calcule a A I B b I A c I X d X I A 17 Sendo A 0 4 1 3 B 3 8 0 1 e C 1 0 9 6 1 1 prove que a A B A B b AC C A Questão 1 Como Informado a resposta está no livro do Chiang não o encontrei para discutir sobre o tema assim como o professor sugeriu Questão 2 O gabarito está correto e já explicado Questão 3 a 1 4 1 2 3 8 L2L2L1b 1 3 9 2 1 3 L22L1L2 L2L2L1 ponder x0 y3 c 1 4 1 2 4 1 6 39 3 1 3 5 L2L2L1 L33L1L2 L3L3L2L3L2 L3L3L2L3L3 17 10 23 L1L14L2L3 L3L3L10 1 4 1 2 0 1 0 1 0 0 1 4 RESPOSTA X2 Y1 Z4 Questão 4 O gabarito está certo Questão 5 Deve ser aplicada a matriz linha reduzida a Forma escada satisfazendo as seguintes propriedades Se a linha não é nula seu primeiro número será zero Na linha inferior o nº 1 deve estar a direita do nº 1 na linha superior Cada coluna que conter nº 1 os outros nº devem ser zeros Questão 6 e 7 a CE EC 3 1 3 4 1 5 2 1 3 2 4 5 0 1 4 3 2 1 5 5 8 4 2 9 5 3 4 CE EC b não é possivel pois A é de ordem 2x3 e B é de ordem 3x2 para soma e subtração as matrizes tem que ser de mesma ordem c 3 2 2 4 4 5 2 3 7 7 0 1 d 3 3 4 1 2 1 3 5 0 0 0 0 0 0 9 3 9 12 3 15 6 3 9 e 2 3 1 3 4 1 5 2 1 3 3 2 4 5 0 1 4 3 2 1 6 2 6 8 2 10 4 2 6 6 12 15 0 3 12 9 6 3 0 10 9 8 1 2 5 4 3 f Não é possivel pois são matrizes de ordens diferentes 3 2 1 2 3 2 1 4 3 2 4 6 4 2 8 6 12 18 12 6 24 32A 6A coluna vira linha 4 3 1 3 4 1 5 2 1 3 2 4 5 0 1 4 3 2 1 T 5 5 8 4 2 9 5 3 4T 5 4 5 5 2 3 8 9 4 CT ET 3 4 2 1 1 3 5 3 8 2 0 3 4 1 2 5 4 1 5 4 5 5 2 3 8 9 4 7 0 1 4 3 1 2 2 3 7 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L2L2L3 L1L2 C4 TUDO QUE É FEITO NA MATRIZ SERÁ FEITO EM SUA INVSIRTADFE 0 2 5 0 1 1 0 1 4 2 0 0 1 2 3 7 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 L3L32L2 1 0 3 2 2 5 0 1 4 0 0 7 17 L37L2L3 L12L2L4 L3L311 L24L3L2 L13L3L1 1 0 0 111 511 211 0 1 0 1711 611 911 0 0 1 711 211 311 POROTA INVERSA 111 1 5 2 17 6 9 7 2 3 Questão 8 Questão 9 Questão 10 A resposta no gabarito está correta e bem explicada a uv uvcosθ u 1 2 3 v 1 0 1 123101 11 20 31 123 101 103 4 Pensiero 4 b c d x a j 2k i d 1 2 x i j 2 2k 0i j 2i 4j 0k 14 2 1 0 1 1 2i 4j 2k 0 Subistituendo nos vetores 1 2 3 2i 4j 2k 21 42 23 12 1 0 1 2i 4j 2k 21 40 21 0 Re Nao sao potugenas pois se forem os dois seremam 0 c Nao pois ao de zero entao nao LI Questao 12 A 1 2 0 0 2 0 3 4 1 detA λI 1λ 2 0 0 2λ 0 3 4 1λ 1λ 2λ 0 2 0 0 0 0 0 2λ 4 1λ 3 4 1 λ 2 λ 0 1 λ λ² λ 2 0 1 λ 0 λ² λ 2 0 Aplicando Bhaskara λ 1 c λ 2 Questão 12 e 13 Questão 14 Questão 15 a 0 4 3 8 0 1 3 0 3 3 0 1 3 1 3 1 4 4 4 4 b 0 4 1 0 9 24 4 4 1 3 6 24 17 4 4 9 0 1 24 17 3 6 4 3 4 6 a A ID ID 9 6 0 1 0 0 L2L1a 1 6 0 19 0 0 L2L26L1L2 1 0 0 19 23 0 AID 1 5 7 0 2 4 19 23 0 9 19 103 0 0 43 0 31 12 b IA 1 5 7 0 2 4 1 0 0 0 1 0 L1L11 L2L2e2 1 5 7 0 1 2 0 12 0 L1L1sL2 L22L11L2 1 0 3 0 1 0 1 52 0 0 12 0 1 0 0 1 1 0 L2L2L1 1 0 0 1 5 0 0 1 0 2 3 0 1 2 0 IA 2 3 0 1 2 0 c Como nao se sabe os valores de x1 e x2 a sua variaitade sera x1 x2 d XIA x1 x2 1 5 7 0 2 4 x1 5x12x2 7x14x2 Ai de acordo com o gabinete com o exercício feito pois autenticavel XIA x1 x2 2 3 0 1 2 0 2x1x2 3x12x2 0 Questão 1 Como Informado a resposta está no livro do Chiang não o encontrei para discutir sobre o tema assim como o professor sugeriu Questão 2 O gabarito está correto e já explicado Questão 3 a 1 4 2 3 L22L1L2 1 4 7 0 11 22 L2 L4L3 1 4 7 0 1 2 L4 L4L1 1 0 1 0 1 2 L2L11L2 1 0 1 0 1 2 resposta x1 y2 b 1 3 9 2 1 3 L2 L2L1L2 1 3 9 0 7 21 L2 L4L17 1 3 9 0 1 3 L4 3L2L3 1 0 0 0 1 0 0 1 3 resposta x0 y3 c 1 4 1 2 4 1 6 39 3 1 3 5 L2 L2 L3 1 4 1 2 0 7 10 23 3 1 3 5 L3 3L1L3 1 4 1 2 0 7 10 23 0 11 0 11 L3 L3h L3 L2 1 4 1 2 0 1 0 1 0 7 10 23 L3 7L2L3 1 4 1 2 0 1 0 1 0 0 10 40 L3 L310 1 4 1 2 0 1 0 1 0 0 1 4 L1 L1 4L2 L3 1 0 0 2 0 1 0 1 0 0 1 4 resposta x2 y1 z4 Questão 4 O gabarito está certo Questão 5 Deve ser aplicada a matriz linha reduzida a Forma escada satisfazendo as seguintes propriedades Se a linha não é nula seu primeiro número será zero Na linha inferior o nº 1 deve estar a direita do nº 1 na linha superior Cada coluna que conter nº 1 os outros nº devem ser zeros Questão 6 e 7 Questão 6 a C E e E C 3 3 3 4 1 5 2 1 3 2 4 5 0 1 4 3 2 1 5 5 8 4 2 9 5 3 4 C E E C b não é possível pois A é de ordem 2x3 e B é de ordem 3x2 para soma e subtração as matrizes tem que ser de mesma ordem c 3 2 2 4 4 5 2 3 7 7 0 1 d 3 3 3 3 4 1 5 2 1 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 3 9 12 3 15 6 3 9 0 e 2 3 3 3 4 1 5 2 1 3 3 2 4 5 0 1 4 3 2 1 6 2 6 8 2 10 4 2 6 6 12 15 0 3 12 9 6 3 0 10 9 8 1 2 5 4 3 f não é possível pois são matrizes de ordens diferentes 3 32 1 2 3 2 1 4 3 2 4 6 4 2 8 6 12 18 12 6 24 32A 6A coluna vira linha 4 3 3 3 4 1 5 2 1 3 2 4 5 0 1 4 3 2 1T 5 5 8 4 2 9 5 3 4T 5 4 5 5 2 3 8 9 4 CT ET 3 4 2 1 1 1 3 5 3 2 0 3 4 1 2 5 4 1 5 4 5 5 2 3 8 9 4 7 0 1 4 3 1 2 2 3 7 1 0 0 0 1 0 0 0 1 L2 L2 L3 L1 L2 a tudo que é feito na matriz será feito em sua inversa 0 2 5 0 1 4 2 3 7 0 1 1 1 0 0 0 0 1 L3 L3 2L1 a 2 5 0 1 4 0 7 17 0 1 2 1 0 0 0 2 3 L3 7L2 L3 1 2 5 0 1 1 L1 2L2L4 1 0 3 0 1 4 0 0 1 L2 4L3 L2 L1 3L3 L1 L3 L3m 1 0 0 0 1 0 0 0 1 111 511 211 1711 611 9i1 711 211 311 resposta inversa 111 1 5 2 17 6 9 7 2 3 Questão 8 Questão 9 Questão 10 A resposta no gabarito está correta e bem explicada Questão 11 a u v uvcosθ u 1 2 3 v 1 0 1 1 2 3 1 0 1 11 20 31 1 2 3 1 0 1 1 0 3 4 Produto 4 b i j k 2k i j i j 2 2k 0i j 2i 3j 0k 2i 4j 2k 0 Substituindo nos vetores 1 2 3 2i 4j 2k 21 42 23 12 1 0 1 2i 4j 2k 21 40 21 0 R Não são ortogonais pois se fossem os dois seriam 0 c Não pois não é de zero então não LI Questão 12 A 1 2 0 0 2 0 3 4 1 detA λI 1λ 2 0 0 2λ 0 3 4 1λ 1 λ 2 λ 0 4 1 λ 2 0 0 3 1 λ 0 0 2 λ 3 4 1 λ 2 λ 0 4 1 λ 1 λλ² λ 2 0 1 λ 0 λ² λ 2 0 Aplicando Bhaskara λ¹ 1 λ² 1 e λ² 2 Questão 12 e 13 Questão 12 b 2 1 0 3 det A λI 2 1 λ 0 3 λ λ² 5 λ 6 0 5 5² 4 1 6 2 1 λ¹ 3 λ² 2 Questão 13 a 3 4 1 1 2 1 64 21 2 1 Sim b 5 6 1 2 3 1 156 32 9 1 NÃO c 2 1 3 1 2 2 61 42 7 6 NÃO d 1 1 1 3 1 1 11 13 2 2 2 1 1 Sim e 4 1 1 2 5 2 1 1 2 1 2 1 421 2102 122 5 10 5 5 1 2 1 Sim Questão 14 a A 3 0 2 4 3 λ 0 2 4 λ λ² 7 λ 12 12 2 λ 4 λ λ² b B 0 2 2 5 0 λ 2 2 5 λ λ² 5 λ 4 c C 1 2 3 2 1 λ 2 3 2 λ λ² 3 λ 4 2 λ 2 λ λ² d D 4 2 3 1 4 λ 2 3 1 λ λ² 3 λ 10 4 4 λ λ λ² e E 3 0 0 4 0 0 0 1 4 3 λ 0 0 4 λ 0 0 1 4 λ λ³ λ² 12 λ λ³ λ² 12 λ f F 3 1 1 7 5 1 6 6 2 3 λ 1 1 7 5 λ 1 6 6 2 λ λ³ 12 λ 50 4 Questão 15 a 3 6 2 4 1 7 8 4 3 4 9 3 6 2 4 1 7 8 4 3 4 9 2 13 10 8 3 4 9 3 6 2 4 2 11 9 13 5 17 11 17 5 17 11 17 b 3 6 2 4 1 7 8 4 3 4 9 3 6 2 4 1 7 8 4 3 4 9 2 13 10 8 3 4 9 3 6 2 4 4 3 7 5 1 9 9 1 1 9 9 1 Questão 16 a A I0 I0 9 6 0 1 0 L1 L1a 1 6 0 19 L2 L2 L1 1 0 0 23 0 A I0 5 7 0 2 4 19 23 0 9 19 103 0 0 43 0 39 12 b IA 5 7 1 0 0 0 1 0 L1 L1 1 L2 L2 e2 1 0 5 7 1 0 0 0 1 2 0 12 0 L4 L1 S L2 1 0 3 1 5 2 0 L2 L1 L2 0 1 2 1 1 0 1 2 0 L4 L2 L1 1 0 0 1 1 0 L2 L2 L1 1 5 0 2 0 IA 2 3 0 2 0 c Como não se sabe os valores de X1 e X2 a sua variabilidade será X1 X2 d X IA X1 X2 5 7 0 2 4 X1 5X1 2X2 7X1 4X2 Ai de acordo com o gabarito X IA X1 X2 2 3 0 2 0 2X1 X2 3X1 2X2 0 Ai de acordo com o gabarito com o exercício teórico autoinumela Questão 17 a 0 4 3 3 3 8 0 1 0 1 4 3 3 0 8 1 3 1 4 4 3 1 4 4 b 0 4 1 0 9 24 4 4 17 3 6 24 17 4 3 4 6 1 6 9 1 0 1 4 3 24 17 4 3 4 6