Filtros Digitais IIR - Projeto e Especificacoes

Filtros Digitais Projeto de filtros IIR 1 Projeto de um filtro IIR Especificação Filtro analógico Has Transformação Bilinear Hz 2 Projeto de filtros IIR I Especificação de filtros Ap Ar Atenuação dB Ωp Ωr Ω rads 0 Passabaixa 2πfsa2 Lembrar das repetições do espectro e só considerar até a metade da frequência de amostragem 4 Projeto de filtros IIR Faixa de passagem Faixa de rejeição Faixa de transição fp fr f Hz fsa2 Atenuação máxima na faixa de passagem Atenuação mínima na faixa de rejeição 3 60 Atenuação dB 2π100 2π700 Ω rads 0 Passabaixa fsa 5000 amostrass Lembrar que a especificação está em rads e a frequência de amostragem em Hz 5 Projeto de filtros IIR Faixa de passagem Faixa de rejeição Faixa de transição Ap Ar Atenuação dB Ωr Ωp Ω rads 0 Passaalta 2πfsa2 6 Projeto de filtros IIR Lembrar das repetições do espectro e só considerar até a metade da frequência de amostragem Faixa de passagem Faixa de rejeição Faixa de transição Atenuação máxima na faixa de passagem Atenuação mínima na faixa de rejeição 05 80 Atenuação dB 2π50 2π2000 Ω rads 0 Passaalta 7 Projeto de filtros IIR Faixa de passagem Faixa de rejeição Faixa de transição fsa 10000 amostrass Lembrar que a especificação está em rads e a frequência de amostragem em Hz Ap Ar Atenuação dB Ωr1 Ωp1 Ωp2 Ωr2 Ω rads 0 Passafaixa 2πfsa2 Frequência central Ω𝑜 Ωp1 Ωp2 Largura de banda 𝐵 Ωp2 Ωp1 8 Projeto de filtros IIR Lembrar das repetições do espectro e só considerar até a metade da frequência de amostragem Faixa de passagem Faixa de rejeição Faixa de transição Faixa de rejeição Faixa de transição Atenuação máxima na faixa de passagem Atenuação mínima na faixa de rejeição 12 dB 55 dB Atenuação Ω k rads Exemplo 1584 2718 5157 11110 Ω𝑜 27185157 374 𝑘𝑟𝑎𝑑𝑠 𝐵 5157 2718 2439 𝑘𝑟𝑎𝑑𝑠 9 Projeto de filtros IIR Rejeitafaixa Ap Ar Atenuação dB Ωp1 Ωr1 Ωr2 Ωp2 Ω rads 0 Rejeitafaixa 2πfsa2 Frequência central Ω𝑜 Ωr1 Ωr2 Largura de banda 𝐵 Ωp2 Ωp1 10 Projeto de filtros IIR Lembrar das repetições do espectro e só considerar até a metade da frequência de amostragem Faixa de passagem Faixa de rejeição Faixa de transição Faixa de passagem Faixa de transição Atenuação máxima na faixa de passagem Atenuação mínima na faixa de rejeição 1 dB 30 dB Atenuação Ω k rads Exemplo 1584 2718 5157 11110 Ω𝑜 27185157 374 𝑘𝑟𝑎𝑑𝑠 𝐵 11110 1584 9526 𝑘𝑟𝑎𝑑𝑠 11 Projeto de filtros IIR Rejeitafaixa III Transformação Bilinear 13 Projeto de filtros IIR 𝐻 𝑧 𝐻𝑎 𝑠 𝒔𝟐 𝑻 𝟏𝒛𝟏 𝟏𝒛𝟏 Exemplo 𝐻𝑎𝑠 2 𝑠 2 𝐻𝑧 2 𝑠 2 𝑠2 𝑇 1𝑧1 1𝑧1 2 2 𝑇 1 𝑧1 1 𝑧1 2 2𝑇 2𝑇𝑧1 2 2𝑧1 2𝑇 2𝑇𝑧1 𝐻𝑧 2𝑇 2𝑇𝑧1 2 2𝑇 2 2𝑇𝑧1 Se por exemplo T 01 s 𝑯𝒛 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐𝒛𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟖𝒛𝟏 14 Projeto de filtros IIR Projeto de filtros IIR Exemplo 𝐻𝑎𝑠 𝜔0 𝑄 𝑠 𝑠2 𝜔0 𝑄 𝑠 𝜔0 2 𝐻 𝑧 𝜔0 𝑄 𝑠 𝑠2 𝜔0 𝑄 𝑠 𝜔0 2 𝑠 2 𝑇 1𝑧1 1𝑧1 2𝜔0 𝑄𝑇 1 𝑧1 1 𝑧1 4 𝑇2 1 𝑧12 1 𝑧12 2𝜔0 𝑄𝑇 1 𝑧1 1 𝑧1 𝜔0 2 Hz 𝑇𝜔0 2𝑄 1𝑧11𝑧1 1𝑧12𝑇𝜔0 2𝑄 1𝑧1 1𝑧1 𝜔02𝑇2 4 1𝑧12 𝑇𝜔0 2𝑄 𝑇𝜔0 2𝑄 𝑧2 1𝑇𝜔0 2𝑄 𝜔02𝑇2 4 𝜔02𝑇2 2 2 𝑧1 1𝑇𝜔0 2𝑄 𝜔02𝑇2 4 𝑧2 16 Projeto de filtros IIR 17 f0 1000 Hz Q 10 fsa 60000 amostrass Projeto de filtros IIR A transformação bilinear tem as seguintes propriedades Protótipos analógicos estáveis dão origem a filtros digitais estáveis O máximo e o mínimo da resposta analógica são preservados Os ripples na faixa de passagem e na faixa de rejeição são preservados 18 Projeto de filtros IIR Possível problema 2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 T tg T e e T j z z T s a j z z T s a T j T j j H e H s H z H 19 Projeto de filtros IIR Para ω 03 T ω Ω 20 Projeto de filtros IIR 21 f0 1000 Hz Q 10 fsa 30000 amostrass Projeto de filtros IIR 22 transfbilinearexemplo090522m f0 1000 Hz Q 10 fsa 6000 amostrass Projeto de filtros IIR Projeto de filtros IIR Prewarping 2 T T tg 2 2 T T arctg 2 Recalculo a especificação do protótipo analógico 24 Projeto de filtros IIR 1 dB 30 dB Atenuação f kHz 24 38 58 78 Fs 20000 amostrass Especificação do projeto ω k rads 1508 2388 3644 4901 1584 2719 5156 11111 Ω k rads 2 2 T tg T 25 Projeto de filtros IIR Estas novas frequências serão usadas no projeto do filtro analógico Transformações Protótipo analógico normalizado Ωrads Ap Ar Atenuação 1 Ωr 27 Projeto de filtros IIR O projeto é efeito a partir de uma especificação de um protótipo passabaixa normalizado Para obter este protótipo submetemos a especificação original a uma transformação em frequência 28 Projeto de filtros IIR α é igual a 1 no nosso âmbito 1 dB 30 dB Atenuação Ω k rads 1584 2718 5157 11110 Ω𝑜 27185157 374𝑘𝑟𝑎𝑑𝑠 𝐵 11110 1584 9526 𝑘𝑟𝑎𝑑𝑠 Exemplo Ω𝑝1 Ω𝑟1 Ω𝑟2 Ω𝑝2 29 Projeto de filtros IIR 3907 Protótipo analógico normalizado Ω𝑟 Ω𝑝2 Ω𝑝1 Ω𝑟2 Ω𝑟1 11110 1584 5157 2718 3907 Ωrads 1 dB 30 dB Atenuação 1 Ωr 30 Projeto de filtros IIR 05 80 Atenuação dB 2π50 2π2000 Ω rads 0 Passaalta 31 Projeto de filtros IIR Faixa de passagem Faixa de rejeição Faixa de transição 40 Protótipo analógico normalizado Ω𝑟 Ω𝑝 Ω𝑟 2π2000 2π50 40 Ωrads 1 dB 30 dB Atenuação 1 Ωr 32 Projeto de filtros IIR 33 Projeto de filtros IIR Para voltar usamos as fórmulas da última coluna da tabela de transformações II Aproximação Analógica II1 Butterworth II2 Chebyshev II3 Elíptico Cauer II4 Transf de frequência 34 Ap Ar Atenuação dB 1 Ωr Ω rads 0 Protótipo Passabaixa Transformações foram utilizadas para com base na especificação desejada gerarmos um protótipo passabaixa como mostrado abaixo 35 Projeto de filtros IIR III1 Butterworth H c N p N 2 2 2 2 1 1 1 1 37 Projeto de filtros IIR 𝜀 1001𝐴𝑝 1 𝑛 log10 1001𝐴𝑟 1 𝜀2 2 log10 Ω𝑟 38 Projeto de filtros IIR 𝜀 1001𝐴𝑝 1 10011 1 05088 𝑛 log10 1001𝐴𝑟 1 𝜀2 2 log10 Ω𝑟 log10 100130 1 050882 2 log10 3907 3031 𝑛 4 39 Projeto de filtros IIR N2 poles 1 2 210 1 2 2 1 2 2 cos 1 n i n n i j sen n n i s n i Uso apenas os pólos no semiplano lateral esquerdo 40 Projeto de filtros IIR i parte real parte imaginária 1 1093902388 04531092049 2 1093902388 04531092049 3 04531092049 1093902388 4 04531092049 1093902388 5 1093902388 04531092049 6 1093902388 04531092049 7 04531092049 1093902388 8 04531092049 1093902388 Exemplo 1 2 2 1 2 2 cos 1 n n i j sen n n i s n i Cálculo dos zeros do polinômio 41 Projeto de filtros IIR Considerando sómente os pólos no semiplano lateral esquerdo pi 1 2 1 0 1 2 1 0 n n p p p p k p s p s p s p s k s H 42 Projeto de filtros IIR 4º Passo Projeto do filtro analógico normalizado passabaixa 𝐻𝑎 𝑠 𝑘0 𝑠 10939𝑗04531 𝑠 10939𝑗04531 𝑠 04531𝑗10939 𝑠 04531𝑗10939 19653 𝑠2 21878𝑠 14019𝑠2 09062𝑠 14019 Selecionando os zeros no semiplano lateral esquerdo 43 Projeto de filtros IIR i parte real parte imaginária 1 1093902388 04531092049 2 1093902388 04531092049 3 04531092049 1093902388 4 04531092049 1093902388 5 1093902388 04531092049 6 1093902388 04531092049 7 04531092049 1093902388 8 04531092049 1093902388 𝒔 𝒂 𝒋𝒃 𝒔 𝒂 𝒋𝒃 𝒔𝟐 𝟐𝒂𝒔 𝒂𝟐 𝒃𝟐 III2 Chebyshev p n C H 2 2 2 1 1 45 Projeto de filtros IIR Ordem ímpar Ordem par O número de máximos e mínimos na faixa de passagem é igual a ordem do filtro 1 10 10 Ap arccos 1 10 arccos 2 10 r Ar h h n 46 Projeto de filtros IIR n i j s i i i 21 2 Uso apenas os pólos no semiplano lateral esquerdo 47 Projeto de filtros IIR Considerando sómente os pólos no semiplano lateral esquerdo pi para ordem par p p p p k para ordem ímpar p p p p k p s p s p s p s k s H n A n n p 10 1 2 1 0 05 0 1 2 1 0 1 2 1 0 48 Projeto de filtros IIR III3 Elíptico Cauer Projeto de filtros IIR Cutoff frequency Passband Stopband Angular frequency rads Gain dB IV Exemplo completo Projeto de filtros IIR 1 dB 30 dB Atenuação f kHz 24 38 58 7297 Fs 20000 amostrass Especificação do projeto ω k rads 1508 2388 3644 4585 53 Projeto de filtros IIR 1584 2718 5157 88489 Ω k rads 𝜴 𝟐 𝑻 𝒕𝒈 𝝎𝑻 𝟐 fs 20000 amostrass 1º Passo Prewarping 2 2 T tg T Ω𝑜 2718 5157 374𝑘𝑟𝑎𝑑𝑠 𝐵 5157 2718 2439𝑘𝑟𝑎𝑑𝑠 1 dB 30 dB Atenuação Ω k rads 1584 2718 5157 88489 Ω𝑝1 Ω𝑟1 Ω𝑟2 Ω𝑝2 54 Projeto de filtros IIR 29786 3º Passo Protótipo analógico normalizado Ω𝑟 Ω𝑝2 Ω𝑝1 Ω𝑟2 Ω𝑟1 88489 1584 5157 2718 29786 Ωrads 1 dB 30 dB Atenuação 1 Ωr 55 Projeto de filtros IIR 4º Passo Projeto do filtro analógico normalizado passabaixa 0 5088 1 10 1 10 10 1 10 Ap 𝑛 log101001𝐴𝑟1 𝜀2 2 log10Ω𝑟 log101001301 050882 2 log1029786 37831 𝑛 4 𝑛 arccos ℎ 1001𝐴𝑟 1 𝜀2 arccos ℎ Ω𝑟 arccos ℎ 100130 1 050882 arccos ℎ 29786 2747 𝑛 3 a Para filtros Butterworth b Para filtros Chebyshev Faremos o Butterworth como exemplo por ser um pouco mais extenso 56 Projeto de filtros IIR i parte real parte imaginária 1 1093902388 04531092049 2 1093902388 04531092049 3 04531092049 1093902388 4 04531092049 1093902388 5 1093902388 04531092049 6 1093902388 04531092049 7 04531092049 1093902388 8 04531092049 1093902388 Exemplo 1 2 2 1 2 2 cos 1 n n i j sen n n i s n i Cálculo dos zeros do polinômio 57 Projeto de filtros IIR i parte real parte imaginária 1 1093902388 04531092049 2 1093902388 04531092049 3 04531092049 1093902388 4 04531092049 1093902388 5 1093902388 04531092049 6 1093902388 04531092049 7 04531092049 1093902388 8 04531092049 1093902388 4º Passo Projeto do filtro analógico normalizado passabaixa d Selecionando os zeros no semiplano lateral esquerdo 58 Projeto de filtros IIR 𝐻𝑎 𝑠 𝑘0 𝑠 10939𝑗04531 𝑠 10939𝑗04531 𝑠 04531𝑗10939 𝑠 04531𝑗10939 19653 𝑠2 21878𝑠 14019𝑠2 09062𝑠 14019 5º Passo Transformação Passabaixa Rejeitafaixa 𝑠 𝐵𝑠 𝑠2Ω𝑜2 2439𝐸3 𝑠 𝑠21398𝐸9 𝐻𝑎𝑠 19653 𝑠2 1398𝐸94 14019𝑠4 534𝐸04𝑠3 451𝐸9𝑠2 746𝐸13𝑠 274𝐸1814019𝑠4 221𝐸04𝑠3 451𝐸11𝑠2 309𝐸13𝑠 274𝐸18 𝐻𝑎𝑠 19653 𝑠2 21878𝑠 14019𝑠2 09062𝑠 14019 Observem que 1 Esta função de transferência corresponde ao rejeitafaixa com o prewarping 2 A função de transferência dobrou de ordem de ordem 4 para 8 3 Apareceram zeros finitos no centro da faixa de rejeição isso acontece nos casos de passafaixa e rejeitafaixa59 Projeto de filtros IIR a4 a3 a2 a1 a0 14019 534E04 451E09 746E13 274E18 14019 221E04 451E09 309E13 274E18 6º Passo Transformação bilinear 𝑠 2 𝑇 𝑧 1 𝑧 1 𝐻𝐷 𝑧 19653874𝐸 09𝑧 14 11𝐸 8𝑧 12𝑧 122 171𝐸 01𝑧 14 186𝐸 1𝑧 13𝑧 1 451𝐸 1𝑧 12𝑧 12 213𝐸 1𝑧 1𝑧 13 224304𝑧 14 𝑥 1 171𝐸 01𝑧 14 772𝑧 13𝑧 1 451𝐸 1𝐸02𝑧 12𝑧 12 884𝑧 1𝑧 13 224304𝑧 14 Transformação Bilinear 60 Projeto de filtros IIR 𝐻𝑎𝑠 19653 𝑠2 1398𝐸94 14019𝑠4 534𝐸04𝑠3 451𝐸9𝑠2 746𝐸13𝑠 274𝐸1814019𝑠4 221𝐸04𝑠3 451𝐸9𝑠2 309𝐸13𝑠 274𝐸18 B1 B0 A4 A3 A2 A1 A0 000000001 874E09 224304 213E01 451E01 186E01 171E01 224304 884E00 451E01 772E00 171E01 61 𝐻𝑎𝑠 19653 𝑠2 1398𝐸94 14019𝑠4 534𝐸04𝑠3 451𝐸9𝑠2 746𝐸13𝑠 274𝐸1814019𝑠4 221𝐸04𝑠3 451𝐸11𝑠2 309𝐸13𝑠 274𝐸18 𝐻𝐷 𝑧 19653874𝐸 09𝑧 14 11𝐸 8𝑧 12𝑧 122 171𝐸 01𝑧 14 186𝐸 1𝑧 13𝑧 1 451𝐸 1𝑧 12𝑧 12 213𝐸 1𝑧 1𝑧 13 224304𝑧 14 𝑥 1 171𝐸 01𝑧 14 772𝑧 13𝑧 1 451𝐸 1𝐸02𝑧 12𝑧 12 884𝑧 1𝑧 13 224304𝑧 14 Filtros Estruturas IIR FIR Pólos Dentro do círculo unitário Na origem do plano z Zeros No plano z No plano z Seletividade Alta Pouca Fase linear Nunca equalizadores Sim se bem projetado Estabilidade Pode ser instável Sempre estável Implementação em DSPs Um pouco mais complicada Muito fácil e rápida 63 Projeto de filtros IIR The end