Transformada Z-Conceitos Fundamentais e Aplicações

Transformada z 2 Introdução Transformada z Região de Convergência A Transformada z inversa Propriedades da Transformada z Função de transferência em z Transformada z Transformada z Definição 4 Definição A transformada Z de uma sequência discreta xn é dada por A transformada z em geral é um número complexo porque z é um número complexo Transformada z 5 Plano complexo z Re z Im z raio 1 Transformada z z Re z j Im z 6 Exemplo 1 un δn 𝑈 𝑧 𝑛 𝑢𝑛 𝑧 𝑛𝑢0 𝑧 01 z Uz Transformada z 7 Exemplo 2 Como chegamos neste resultado Soma dos termos de uma PG 𝑺 𝒏𝟎 𝑵 𝟏 𝒓 𝒏 𝟏𝒓 𝑵 𝟏𝒓 Transformada z 0 1 2 3 n 1 1 2 3 un 8 Progressão geométrica PG É uma sequência de números tais que o próximo número é igual ao anterior multiplicado por uma constante que chamamos razão q a0 a1 a2 a3 a4 an an1 an a0qn Exemplo a 1 2 4 8 16 32 64 128 q 2 b 1 2 3 4 5 6 q Soma dos termos de uma Progressão geométrica PG S a0 a1 a2 a3 a4 an qS qa0 qa1 qa2 qa3 qa4 qan SqS a0 a1 qao a2 qa1 a3 qa2 a4 qa3 an1qan2 anqan1 qan a0 an1 S1q a0 an1 S a0 an1 1q 9 Exemplo 2 Há um problema aqui Para quais valores de z esta soma infinita converge Transformada z 10 Exemplo 2 Considere por exemplo z 05 Neste caso A soma não converge e não existe a Transformada z Transformada z 11 O somatório converge e a Transformada z existe Exemplo 2 Considere por exemplo z 2 Neste caso Transformada z 12 Esta soma infinita converge apenas para z 1 Exemplo 2 Considere no caso geral z 1 Transformada z 13 Esta soma converge para z 1 Plano complexo z Re z Im z raio 1 Região de convergência Transformada z 14 A variável z é geralmente complexa e A Transformada Z é uma série de potência que pode ou não convergir PODE OU NÃO EXISTIR O espaço do plano complexo para o qual ela converge define a região de convergência Transformada z 15 Definição A transformada Z unilateral de uma sequência discreta xn é dada por Notação ou Transformada z 16 Observações variável z é geralmente complexa a Transformada Z é uma série de potência que pode ou não convergir PODE OU NÃO EXISTIR o espaço do plano complexo para o qual ela converge define a região de convergência Transformada z 17 Exemplo 3 Calcule a transformada Z da sequência 𝑆 𝑛 0 𝑁 1 𝑟 𝑛 1 𝑟 𝑁 1 𝑟 Dica Utilize a soma dos termos de uma PG Transformada z 18 Exemplo 3 Calcule a transformada Z da sequência 𝑥𝑛𝑒 𝑛𝑛0 X X Transformada z 19 Exemplo 3 E a região de convergência X X A soma acima converge para Transformada z 20 Exemplo 3 Esta soma converge para z 1 Plano complexo z Re z Im z raio e Região de convergência Transformada z 21 Apesar da Transformada z ser uma série infinita na prática ela pode ser representada por uma função racional da variável complexa z zi zeros da função racional pi pólos da função racional Transformada z 22 Z1 xn yn b0 a1 b1 Z1 b2 a2 𝐻 𝑧 𝑌 𝑧 𝑋 𝑧 𝑏0𝑏1𝑧 1𝑏2 𝑧 2 1𝑎 1𝑧 1𝑎 2𝑧 2 Transformada z Exemplo 4 23 𝐻 𝑧 1 5 𝑧 2 1 5 𝑧 1 1 5 1 1 5 𝑧 1 1 5 𝑧 2 1 5 𝑧2 1 5 𝑧 1 5 𝑧 2 1 5 𝑧 1 5 Cálculo dos zeros Cálculo dos pólos Transformada z Exemplo 4 Transformada z Exemplo 4 Imaginary Part Real Part Transformada z Convergência 26 A série de Laurent no entorno do ponto a é dada por Comparando esta expressão com a definição da transformada z concluímos que esta última é uma série de Laurent no entorno do ponto a 0 Logo a transformada z herda as propriedades da série de Laurent e podemos analisar as propriedades da transformada z por meio da série de Laurent Transformada z 27 Por conveniência vamos considerar a região a série de Laurent centrada na origem e vamos reescrevêla como Dada a quantidade a série converge absolutamente se αz 1 e diverge se αz 1 Transformada z 28 Podemos estender este resultado para séries bilaterais Definindo duas séries unilaterais e Sz S1z S2z Então definindo as duas quantidades e A série Sz converge se α1 1 e α2 1 Transformada z 29 Aplicandose estes resultados da série de Laurent na transformada z esta convergirá se Transformada z 30 Definindo e A transformada z converge em um anel do plano z definido por Transformada z 31 A transformada z converge em um anel do plano z definido por Transformada z e 32 A transformada z converge em um anel do plano z definido por É importante observar que em algumas situações Vamos agora considerar quatro casos de sequências que merecem ser observadas Transformada z 33 Caso 1 Sequências unilaterais à direita Neste caso não é possível calcular r2 e a região de convergência é dada por Transformada z 34 Exemplo 1 xn Usando a fórmula da soma dos termos de uma PG Portanto z 2 Transformada z 35 Caso 2 Sequências unilaterais à esquerda Neste caso não é possível calcular r1 e a região de convergência é dada por Transformada z 36 Exemplo 2 xn Transformada z 37 Exemplo 2 xn Usando a fórmula da soma dos termos de uma PG Portanto z 1 Transformada z 38 Caso 3 Sequências bilaterais Se Transformada z 39 Exemplo 3 Usando a fórmula da soma dos termos de uma PG Portanto a região de convergência é 05 z 3 Transformada z 40 Caso 4 Sequências com duração finita Neste caso a transformada z converge em todos os pontos exceto aqueles nos quais xnzn tende a infinito Transformada z Propriedades da Transformada Z 42 Propriedades da Transformada Z Para enunciar e demonstrar as propriedades da Transformada z quando necessário vamos supor que xn e yn sejam duas sequências numéricas com transformadas z fornecidas respectivamente por e e que a interseção das regiões de convergência acima é dada por 43 Linearidade Z Demonstração Z aXz bYz CQD Propriedades da Transformada Z 44 Deslocamento no tempo Demonstração Substituindo n k n0 Propriedades da Transformada Z 45 Convolução Demonstração Vz Propriedades da Transformada Z 46 Reversão no tempo Demonstração Substituindo n m Propriedades da Transformada Z 47 Escalamento complexo Propriedades da Transformada Z Diferenciação complexa Valor inicial Considerando a Transformada z unilateral Valor final Considerando a Transformada z unilateral 48 Função de transferência de sistemas discretos 49 Sistema linear causal e invariante no tempo SLIC δn hn xn yn xnhn Xz Yz Xz Hz Hz Hz hn 1 Função de transferência Função de transferência discreta 50 Demonstração O efeito do sistema sobre a entrada pode ser representado como um operador linear invariante no tempo e causal aplicado sobre a mesma yn Oxn 2 Mas xn pode ser representado como uma soma de impulsos unitários discretos Aplicando o operador sobre xn Convolução discreta Função de transferência discreta 51 Exemplo Z1 Xn yn β 1 Equação diferença 2 Função de transferência Função de transferência discreta 52 Usando a Equação diferença Pelas Propriedades de Linearidade e Deslocamento no tempo Função de transferência discreta 53 Uma outra maneira Z1 Xz Yz β Função de transferência discreta βYz β z1Yz Xz β z1Yz Yz Xz β z1Yz Yz β z1Yz Xz Yz 1 β z1 Xz Hz 1 1 β z1 54 Z1 xn yn b0 Z1 b1 b2 a1 a2 1 Equação diferença 2 Função de transferência Outro exemplo Função de transferência discreta 55 Usando a equação diferença Pelas propriedades de Linearidade e deslocamento no tempo Outro exemplo Função de transferência discreta 56 Z1 Xz b0 Z1 b1 b2 a1 a2 Outra maneira Função de transferência discreta Yz Vz z1Vz z2Vz a1z1Vz a2z2Vz b1z1Vz b2z2Vz b0Vz Xza1z1Vz a2z2Vz b0Vz b1z1Vz b2z2Vz Vz Xza1z1Vz a2z2Vz Yz b0Vz b1z1Vz b2z2Vz 57 Outro exemplo Função de transferência discreta Vz Xza1z1Vz a2z2Vz 1 Yz b0Vz b1z1Vz b2z2Vz 2 Da equação 1 tempos que Yz b0Vz b1z1Vz b2z2Vz 2 58 Outro exemplo Função de transferência discreta Aplicando este resultado na equação 2 Yz b0Vz b1z1Vz b2z2Vz Yz Yz 59 Mais um exemplo Função de transferência discreta x n T T T T T c0 c1 c2 c3 cN2 cN1 cN 1 Equação diferença 2 Função de transferência 60 Mais um exemplo Função de transferência discreta Usando a equação diferença Pelas propriedades de Linearidade e deslocamento no tempo 61 T T T T T c0 c1 c2 c3 cN2 cN1 cN z1Xz z2Xz z3Xz zNXz zN1Xz zN2Xz c0 Xz c1 z1Xz c2 z2Xz c3 z3Xz cN2 zN2Xz cN1zN1Xz Função de transferência discreta Outra maneira Xz cNzNXz 𝑌 𝑧 𝑐0 𝑋 𝑧 𝑐1𝑧 1 𝑋 𝑧 𝑐2𝑧 2 𝑋 𝑧 𝑐 𝑁 𝑧 𝑁 𝑋 𝑧 62 Filtro 1 H1z YMz Yz Filtro 2 H2z Filtro M HMz Estrutura em cascata A saída de um bloco é a entrada do bloco subsequente Função de transferência discreta Y1z X2z Xz X1z Y2z X3z YM1z XMz Para cada bloco E portanto 63 Estrutura em paralelo A entrada de cada bloco é comum e as saídas são somadas para constituir a saída do sistema Função de transferência discreta Filtro 1 H1z Yz Filtro 2 H2z Filtro M HMz YMz Y2z Y1z Xz 64 Estrutura em paralelo A entrada de cada bloco é comum e as saídas são somadas para constituir a saída do sistema Função de transferência discreta Para cada bloco E portanto