5ª Lista de Exercícios de Estatística II

Professora Raquel Cymrot 5ª LISTA DE ESTATÍSTICA II apresentar os cálculos com 4 casas decimais 1 Um estudo foi feito para investigar a resistência ao cisalhamento do solo y quando relacionado à profundidade em pé x1 e ao conteúdo de umidade x2 Dez observações foram coletadas e as seguintes quantidades foram obtidas n 10 xi1 223 xi2 553 yi 1916 xi1252009 xi22 31729 xi1xi2 12352 xi1yi 435508 xi2yi 1047368 e yi23715956 a Estabeleça as equações normais de mínimos quadrados para o modelo Y β0 β1x1 β2x2 ϵ b Estime os parâmetros do modelo do item a c Qual é a resistência prevista quando x1 18 pés e x2 43 2 A tabela a seguir apresenta o desempenho milhas percorridas por galão de gasolina de 25 automóveis Fonte Motor Trend 1975 Automóvel y X1 X6 Apollo 189 350 4 Nova 20 250 1 Monarch 1825 351 2 Duster 2007 225 1 Jenson Conv 112 440 4 Skyhawk 2212 231 2 Scirocco 347 897 2 Corolla SR5 304 969 2 Camaro 165 350 4 Datsun B210 365 853 2 Capri II 215 171 2 Pacer 197 258 1 Granada 178 302 2 Eldorado 1439 500 4 Imperial 1489 440 4 Nova LN 178 350 4 Starfire 2354 231 2 Cordoba 2147 360 2 Trans Am 1659 400 4 CorollaE5 319 969 2 Mark IV 1327 460 4 Celica GT 239 1336 2 Charger SE 1973 318 2 Cougar 139 351 2 Corvente 165 350 4 a Ajuste o modelo de regressão múltipla relacionando o desempenho dos automóveis ao deslocamento do pistão no motor x1 e ao número de carburadores x6 b Use o modelo desenvolvido no item a para prever o desempenho quando o motor tiver um deslocamento x1 300 in3 e quatro carburadores 3 A potência elétrica consumida mensalmente por uma indústria química está relacionada à temperatura média ambiente x1 ao número de dias no mês x2 à pureza média do produto x3 e às toneladas do produto produzido x4 Os dados históricos do ano passado estão disponíveis e são apresentados na seguinte tabela y x1 x2 x3 x4 240 25 24 91 100 236 31 21 90 95 290 45 24 88 110 274 60 25 87 88 301 65 25 91 94 316 72 26 94 99 300 80 25 87 97 296 84 25 86 96 267 75 24 88 110 276 60 25 91 105 288 50 25 90 100 261 38 23 89 98 a Ajuste um modelo de regressão linear múltipla a esses dados b Preveja o consumo de potência para um mês em que x1 75ºF x2 24 dias x3 90 e x4 98 toneladas 4 Considere o ajuste do modelo de regressão aos dados de resistência cisalhante do solo no exercício 1 a Teste a significância da regressão usando α 005 Qual é o valor P para esse teste b Estime σ2 c Estime os errospadrão dos coeficientes de regressão β1 e β2 d Construa o teste t para cada coeficiente de regressão Quais são as suas conclusões usando α 005 5 Considere os dados do desempenho dos carros do exercício 2 a Teste a significância da regressão usando α 005 Quais as conclusões que você pode tirar b Encontre a estatística t para ambos os regressores Usando α 005 que conclusões que você pode tirar Os dois regressores contribuem para o modelo 6 Considere os dados do consumo de energia exercício 3 a Teste a significância da regressão usando α 001 Qual é o valorP para este teste b Estime σ2 c Use o teste t com a finalidade de quantificar a contribuição de cada regressor para o modelo Usando α 001 que conclusões você pode tiraria 7 Considere os dados do sobre o consumo de potência elétrica do exercício 3 a Encontre os intervalos de confiança de 95 para 1 2 3 e 4 b Encontre um intervalo de confiança de 95 para a média de Y quando x1 75 x2 24 x3 90 e x4 98 c Encontre um intervalo de previsão de 95 para o consumo de energia quando x1 75 x2 24 x3 90 e x4 98 8 Considere os dados do desempenho dos carros do exercício 2 a Que proporção da variabilidade total é explicada por esse modelo b Utilize o gráfico de probabilidade normal dos resíduos para comentar a suposição de normalidade Plotagem de probabilidade normal 0 20 40 0 20 40 60 80 100 120 Percentil da amostra Y c Plote os resíduos contra yˆ e contra cada regressor Discuta esses gráficos dos resíduos d Calcule a distância Cook para as observações nesse conjunto de dados Existe alguma observação inflente 9 Considere os dados do sobre o consumo de potência elétrica do exercício 3 a Calcule R2 para esse modelo Interprete essa grandeza b Plote os resíduos contra yˆ e contra cada regressor Interprete esse gráfico c Construa um gráfico de probabilidade normal dos resíduos e comente a suposição de normalidade Utilize Plotagem de probabilidade normal 0 200 400 0 20 40 60 80 100 120 Percentil da amostra Y 10 Os elementos da diagonal da matriz chapéu são frequentemente usados para denotar influência ou seja um ponto que não é usual em sua localização no espaço x e que pode exercer influência Geralmente o i ésimo ponto é chamado de um ponto influente se seu diagonal chapéu hii exceder 2pn que é duas vezes o tamanho médio de todas as diagonais da matriz chapéu Lembrese de que p k 1 a A tabela a seguir contém a diagonal da matriz chapéu para os dados da resistência ao puxamento do fio colado usados no exemplo do livro 2 ed 111 Encontre o tamanho médio desses elementos b Baseado no critério anterior há no conjunto de dados qualquer observação que seja ponto influente 0 0018 0 0052 0028 0002 004 0001 0003 0187 0001 0565 0155 0036 002 016 0001 0013 0001 01358 01824 01091 00729 0035 0012 006 0021 0024 0007 00879 02593 02929 00962 01473 01296 00413 00925 00526 0082 01129 00737 25 01573 01116 01419 01019 00418 00749 01181 01561 0128 19 20 21 22 23 24 13 14 15 16 17 18 7 8 9 10 11 12 Observações i hii Medida da Distância Cook Di 1 2 3 4 5 6 11 Um artigo intitulado Um Método para Melhorar a Acurácia de Análise de Regressão Polinomial A Method for Improving the Accuracy of Polynomial Regression Analysis na revista Journal of Quality Technology 1971 pp 149155 reportou os seguintes dados sobre y tensão cisalhante máxima psi de uma borracha e x temperatura de cura ºF y X 770 280 800 284 840 292 810 295 735 298 640 305 590 308 560 315 a Ajuste um polinômio de segundo grau a esses dados b Teste a significância da regressão usando α 005 c Teste a hipótese de que β11 0 usando α 005 d Calcule os resíduos do item a e useos para avaliar a adequação do modelo 12 Considere os dados do sobre o consumo de potência elétrica do exercício 3 Construa modelos de regressão para os dados usando as seguintes técnicas a Todas as regressões possíveis Encontre as equações que minimizam Cp e MQE b Regressão por etapas c Eliminação regressiva d Comente os vários modelos obtidos Que modelo você prefere RESPOSTAS e BIBLIOGRAFIA 1 bibliografia nº 1 a 8 104736 8 43550 1916 31729 12352 553 12352 5200 9 223 553 223 10 2 1 0 b 1259 1 7133 3 0555 171 c189481 2 bibliografia nº 1 a 6 1 1 078217 0 05435 3344911 ˆ x x y b21457 3 bibliografia nº 1 a 4 3 2 1 0 0136 1 4375 8 9236 0 6054 1027132 ˆ x x x x y b287562 4 bibliografia nº 1 a Fobs 263308 47374 Fcr logo ao ns de 5 rejeitase H0 isto é afirmase que a regressão é significante P 259E07 calculado no EXCEL b 84143 c 0192 e 0086 d H0 β1 0 H1 β1 0 RC T T 2365 ou T 2365 T0 19320 RC logo ao ns de 5 rejeitase H0 H0 β2 0 H1 β2 0 RC T T 2365 ou T 2365 T0 13159 RC logo ao ns de 5 rejeitase H0 Ambos os coeficientes são significantes ao ns de 5 5 bibliografia nº 1 a Fobs 53318 34434 Fcr logo ao ns de 5 rejeitase H0 isto é afirmase que a regressão é significante b H0 β1 0 H1 β1 0 RC T T 2074 ou T 2074 TO 8578 RC logo ao ns de 5 rejeitase H0 H0 β6 0 H1 β6 0 RC T T 2074 ou T 2074 TO 15411 RC logo ao ns de 5 não se rejeita H0 Não só X1 contribui significantemente para a regressão 6 bibliografia nº 1 a Fobs 5106 78467 Fcr logo ao ns de 1 não rejeito H0 isto é afirmase que a regressão não é significante p 00303 calculado no EXCEL b 242714 c RC T T 3499 ou T 3499para todos os testes H0 β1 0 H1 β1 0 T0 1642 RC logo ao ns de 1 não se rejeita H0 H0 β2 0 H1 β2 0 T0 1684 RC logo ao ns de 1 não se rejeita H0 H0 β3 0 H1 β3 0 T0 0601 RC logo ao ns de 1 não se rejeita H0 H0 β4 0 H1 β4 0 T0 0019 RC logo ao ns de 1 não se rejeita H0 Nenhum regressor foi significante ao ns de 1 7 bibliografia nº 1 a 026654 147728 361179 2145908 421918 709410 172241 174963 b 263784 311340 c 243711 331413 8 bibliografia nº 1 a 082898 b As suposições de normalidade parecem satisfeitas c Os resíduos parecem satisfazer as suposições do modelo porém a variável 2 X6 parece ter uma variabilidade um pouco maior quando o carro tem dois carburadores d Não há pois nenhum Di é maior que 1 9 bibliografia nº 1 a 074475 74475 b Os resíduos parecem obedecer às suposições do modelo embora haja um aumento da variabilidade no meio dos valores estimados c As suposições de normalidade parecem satisfeitas 10 bibliografia nº 1 a 012 b h17 02593 024 e h18 02929 024 logo há duas observações influentes nº17 e nº18 11 bibliografia nº 1 a 0 331 2 189205 26219146 ˆ x x y b Fobs 172045 57861 Fcr logo ao ns de 5 rejeito H0 isto é afirmase que a regressão é significante c RC T T 2571 ou T 2571TO 244 RC logo ao ns de 5 não se rejeita H0 e concluise que não há evidências da existência de um termo quadrático no modelo d A suposição de normalidade parece satisfeita A variável X1 apresentou valores do resíduo crescendo e decrescendo O modelo não parece adequado 12 bibliografia nº 1 a Critério QME mínimo X1 e X2 QME 19866 critério Cp mínimo X1 e X2 Cp 137 critério 2 p R máximo X1 X2 2 p R 06717 2 1 102670 0 4974 0 5287 ˆ x x y b 151607 2 901607 ˆ x y QME 23658 Cp 175 c idem b d idem b e O modelo de regressão por etapas stepwise Há um ganho muito pequeno em relação ao QME e ao Cp ao se acrescentar X1 1 MONTGOMERY Douglas C RUNGER George C Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros 2 ed Rio de Janeiro LTC 2003 7 ed Rio de Janeiro LTC 2021