Planejamento de Experimentos e Análise de Variância

Planejamento de Experimentos Design of Experiments DOE Profa Raquel Cymrot PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS DOE Análise de variância bivariada i 12a j 12b i 12a j 12b b j n k ijk i y y 1 1 bn y y i i a i n k ijk j y y 1 1 an y y j j n k ijk ij y y 1 n y y ij ij a i b j n k yijk y 1 1 1 abn y y Fonte de variação Soma de Quadrados SQ Graus de liberdade Quadrado médioQM F A Tratamentos a 1 B Tratamentos b 1 Interação AB a 1b 1 Erro abn 1 Total abn 1 abn y bn y SQ a i i A 2 1 2 a 1 SQA E A QM QM abn y an y SQ b j j B 2 1 2 b 1 SQB E B QM QM B A a i b j ij AB SQ SQ abn y n y SQ 2 1 1 2 1 1 b a SQAB E AB QM QM AB B A T E SQ SQ SQ SQ SQ 1 n ab SQE abn y y SQ a i b j n k ijk T 2 1 1 1 2 Fonte GL SQ Aj QM Aj Valor F ValorP Método 1 49089 49089 5970 0000 Zarção 2 45811 229056 2786 0000 MétodoZarcão 2 02411 012056 147 0269 Erro 12 09867 008222 Total 17 107178 Sumário do Modelo S R2 aj R2 pred 0286744 9079 8696 7929 Coeficientes Termo Coef EP de Coef ValorT ValorP VIF Constante 49889 00676 7382 0000 Método 1 05222 00676 773 0000 100 Zarcão 1 02056 00956 215 0053 133 2 06944 00956 727 0000 133 MétodoZarcão 1 00056 00956 0955 133 2 01389 00956 145 0172 133 Equação de Regressão Adesão 49889 05222 Método1 05222 Método2 02056 Zarcão1 06944 Zarcão2 04889 Zarcão3 00056 MétodoZarcão1 01389 MétodoZarcão1 2 01444 MétodoZarcão1 3 00056 MétodoZarcão2 1 01389 MétodoZarcão2 2 01444 MétodoZarcão2 3 Exemplo Montgomery e Runger 2 ed 134 pg 302 4 ed pg 336 5 ed pg 370 Zarcões de tintas para aviões são aplicados em superfícies de alumínio por meio de dois métodos imersão e aspersão A finalidade do Zarcão é melhorar a adesão da tinta podendo ser aplicado em algumas peças usando qualquer método O grupo de engenharia de processo responsável por essa operação está interessado em saber se três diferentes zarcões diferem nas suas propriedades de adesão Um experimento fatorial foi realizado para investigar o efeito do tipo de zarcão e do método de aplicação na adesão da tinta Três espécimes foram pintados com cada um dos zarcões usando cada um dos métodos de aplicação Uma camada de tinta foi aplicada e a força de adesão foi medida Os dados do experimento foram Imersão Aspersão Total 40 54 Zarcão 1 45 49 287 43 56 56 58 Zarcão 2 49 61 341 54 63 38 55 Zarcão 3 37 50 270 40 50 Total 402 496 898 Modelo Linear Generalizado Gráficos Resíduos para gráficos Padronizado Gráficos de resíduos Gráficos individuais Histograma de resíduos Gráfico de probabilidade normal dos resíduos Resíduos versus valores ajustados Resíduos versus ordem Quatro em um Resíduos versus variáveis Selecionar Ajuda 1072 18 89 8 05 54 04 2 2 2 2 2 1 1 1 2 abn y y SQ a i b j n k ijk T 4 58 18 8 89 6 27 0 34 1 7 28 2 2 2 2 2 3 1 2 abn y bn y SQ i i Zarcão 4 91 18 6 89 9 49 6 40 2 2 2 2 2 2 1 2 abn y an y SQ j j Método 0 24 4 91 4 58 18 6 89 3 15 5 15 9 12 8 2 2 2 2 2 3 1 2 1 2 Método Zarção i j ij zarcão Método SQ SQ abn y n y SQ 0 99 0 24 4 91 4 58 1072 Zarcão Método Método Zarcão T E SQ SQ SQ SQ SQ Fonte de variação SQ gl QM F Fcr p Zarcão 45811 2 22906 27858 3885 31E05 Método 49089 1 49089 59703 4747 58E07 Zarcão Método 02411 2 01206 1466 3885 0269 erro 09867 12 0082222 Total 107178 17 H0 Efeito do Zarcão 0 H1 Efeito do Zarcão 0 H0 Efeito do Método 0 H1 Efeito do Método 0 H0 Efeito do ZarcãoMétodo 0 H1 Efeito do ZarcãoMétodo 0 Ao nível de significância de 5 são significantes os efeitos do zarcão e do método isto é tanto o tipo do zarcão como o método influencia na força de adesão Não houve efeito de interação entre o Zarcão e o Método Observe o paralelismo nos segmentos azul e vermelho gráfico Minitab Estat ANOVA Modelo linear generalizado Ajustar modelo linear generalizado Modelo Selecionar Método e Zarcão adicionarok Profª Raquel Cymrot Gráficos de Residuo de Adesão Gráfico de probabilidade normal Versus Ajustados Resíduos Histograma Frequência Resíduos 10 Gráfico de Efeitos Principais para Adesão Méidas dos Dados Método Zarção 11 Gráfico de Interação para Adesão Médias dos Dados Método Zarção Minitab Estat ANOVA Modelo linear generalizado Gráficos fatoriais Profª Raquel Cymrot Minitab Estat ANOVA Modelo linear generalizado Comparações Profª Raquel Cymrot Comparações para Adesão Valor previsto na análise de variância bivariada Profª Raquel Cymrot Experimentais Fatoriais Análise de variância com três fatores Fonte de variação Soma de Quadrados SQ Graus de liberdade Quadrado médioQM F Tratamento A a 1 Tratamento B b 1 Tratamento C c 1 Interação AB a 1b 1 Interação AC a 1c 1 Interação BC b 1c 1 Interação ABC a1b1c1 Erro abcn 1 Total abcn 1 abcn y bcn y SQ a i i A 2 1 2 E A QM QM abcn y acn y SQ b j j B 2 1 2 b 1 SQB E B QM QM abcn y abn y SQ c k k C 2 1 2 c 1 SQC E C QM QM B A a i b j ij AB SQ SQ abcn y cn y SQ 2 1 1 2 1 1 b a SQAB E AB QM QM C A a i c k k i AC SQ SQ abcn y bn y SQ 2 1 1 2 1 1 c a SQAC E AC QM QM C B b j c k jk BC SQ SQ abcn y an y SQ 2 1 1 2 1 1 c b SQBC E BC QM QM B A a i b j c k ijk ABC SQ SQ abcn y n y SQ 2 1 1 1 2 BC AC AB C SQ SQ SQ SQ 1 1 1 c b a SQABC E ABC QM QM AB C B A T E SQ SQ SQ SQ SQ SQ ABC BC AC SQ SQ SQ 1 n abc SQE abcn y y SQ a i b j c k n l ijkl T 2 1 1 1 1 2 a 1 SQA Profª Raquel Cymrot EXPERIMENTOS 2K Exemplo sem interação 0 2 30 20 2 40 10 10 2 30 10 2 40 20 20 2 20 10 2 40 30 AB B A Fator A B baixo B alto A baixo 10 20 A alto 30 40 Fator B 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 A baixo A alto B baixo B alto Profª Raquel Cymrot Exemplo com interação 20 2 30 20 2 0 10 10 2 30 10 2 0 20 0 2 20 10 2 0 30 AB B A Fator A B baixo B alto A baixo 10 20 A alto 30 0 Fator B 0 5 10 15 20 25 30 35 A baixo A alto B baixo B alto Profª Raquel Cymrot Suponha que haja n réplicas em cada situação isto é 1 a b e ab são cada um a soma de n valores 1 A B AB y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 b 1 1 1 1 ab y Xy 1 1 1 1 1 1 1 a b ab A 1 1 1 1 a a ab 1 b B 1 1 1 1 b b ab 1 a AB 1 1 1 1 ab 1 ab a b X X b a n ab AB a ab n b B b ab n a A ab b a n 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 4 1 n Y Y SQ b a n ab SQ a ab n b SQ b ab n a SQ T AB B A 4 1 4 1 1 4 1 1 4 1 2 2 2 2 2 Profª Raquel Cymrot Exemplo do livro de Montgomery e Runger 2 ed p 311 4 ed p 344 5 ed p 379 6 ed p 460 Um artigo no periódico ATT Technical Journal Vol 65 marçoabril 1986 pp 3950 descreve a aplicação dos planejamentos fatoriais com dois níveis para a fabricação de circuitos integrados Uma etapa básica de processos desta indústria é fazer crescer uma camada epitaxial em pastilhas polidas de silicone As pastilhas são montadas em uma base e posicionadas no interior de um recipiente em forma de sino Vapores químicos são introduzidos através de bocais próximos ao topo do recipiente A base é girada e calor é aplicadoEssas condições são mantidas até que a camada epitaxial esteja espessa o suficiente A Tempo de deposição curto e longo B Taxa de escoamento de arsênico 55 e 59 Variável resposta Espessura da camada epitaxial em μm Profª Raquel Cymrot Termo Efeito Coef EP Coef T P Constante 143889 003605 39917 0000 A 08360 04180 003605 1160 0000 B 00672 00336 003605 093 0369 AB 00315 00157 003605 044 0670 Combinação dos tratamentos y 1 14037 14165 13972 13907 56081 a 14821 14757 14843 14878 59299 b 13880 13860 14032 13914 55686 ab 14888 14921 14415 14932 59156 Espessura μm 1 A B AB y 1 1 1 1 56081 1 1 1 1 59299 1 1 1 1 55686 1 1 1 1 59156 y Xy 1 1 1 1 56081 230222 1 1 1 1 59299 6688 1 1 1 1 55686 0538 1 1 1 1 59156 0252 X X 1 Profª Raquel Cymrot Fonte de variação gl SQ QM F obsv Fcr p A 1 27956 2795584 1344675 4747225 0000 B 1 00181 001809 087014 4747225 0369 AB 1 00040 0003969 0190909 4747225 0670 Erro 12 02495 002079 Total 15 30671 Hipóteses a serem testadas H0 A 0 H1 A 0 H0 B 0 H1 B 0 H0 AB 0 H1 AB 0 Profª Raquel Cymrot Modelo média efeito de A 1 1 143889 143889 143889 143889 13971 13971 13971 13971 1 1 04180 04180 04180 04180 14807 14807 14807 14807 1 1 13971 13971 13971 13971 1 1 14807 14807 14807 14807 14037 14165 13972 13907 0066 0194 0001 0064 14821 14757 14843 14878 0014 0050 0036 0071 13880 13860 14032 13914 0091 0111 0061 0057 14888 14921 14415 14932 0081 0114 0392 0125 valores observados resíduos valores previstos A Resíduos 1 00661 1 00141 1 00909 1 00811 1 01941 1 00499 1 01109 1 01141 1 00011 1 00361 1 00611 1 03919 1 00639 1 00711 1 00569 1 01251 05000 04000 03000 02000 01000 00000 01000 02000 03000 15 1 05 0 05 1 15 Resíduos Resíduos Inserir gráfico de dispersão Profª Raquel Cymrot A 1 139709 1 148069 B B A 140203 139215 A 148248 147890 135000 140000 145000 150000 1 1 A A 134000 136000 138000 140000 142000 144000 146000 148000 150000 B B A A Inserir gráfico de linhas Minitab Estat DOE Fatorial Criação de um experimento fatorial Nº de Fatores 2 Experimentos Fatorial completo ok ok Estat DOE Exibir experimento Ordem padronizado para experimento ok Profª Raquel Cymrot Colar as respostas espessuras Estat DOE Fatorial Análise de experimento fatorial Espessura Termos Profª Raquel Cymrot ok Gráficos marcar Pareto e Quatro em um ok ok Profª Raquel Cymrot Fonte GL SG df QM Aj Valor F ValorP Modelo 3 281764 093321 4518 0000 Linear 2 1 281367 140684 6767 0000 A 1 279558 279558 13447 0000 B 1 001809 001809 087 0369 AB 1 000397 000397 019 0670 Erro 12 024948 002079 Total 15 306712 Gráfico Normal dos Efeitos Padronizados a resposta é espessura α 005 Tipo de Efeito Não é Significativo Significativo Fator A Nome Tempo B arsênico Profª Raquel Cymrot Gráfico de Pareto para os efeitos Gráficos de Resíduo de Espessura Profª Raquel Cymrot Ao só deixar o fator Tempo A no modelo Gráfico Normal dos Efeitos Padronizados a resposta é espessura α 005 Gráfico de Pareto dos Efeitos Padronizados a resposta é espessura α 005 Gráficos de Resíduo de espessura Estat DOE Fatorial Gráficos Fatoriais Profª Raquel Cymrot Gráfico de Efeitos Principais para Espessura Médias Ajustadas Gráfico de Interação para Espessura Médias Ajustadas Estat DOE Fatorial Gráfico de Cubo Profª Raquel Cymrot Gráfico de Cubo médias de dados para espessura Gráfico de Cubo médias ajustadas para Espessura Profª Raquel Cymrot O que acontece quando se escreve as colunas da matriz X em outra ordem Combinação dos tratamentos y 1 14037 14165 13972 13907 56081 a 14821 14757 14843 14878 59299 b 13880 13860 14032 13914 55686 ab 14888 14921 14415 14932 59156 1 A B AB y 1 1 1 1 56081 1 1 1 1 59299 1 1 1 1 55686 1 1 1 1 59156 y efeito SQ 1 1 1 1 56081 230222 143889 média 1 1 1 1 59299 6688 08360 A 27956 1 1 1 1 55686 0538 00672 B 00181 1 1 1 1 59156 0252 00315 AB 00040 1 A AB B y 1 1 1 1 56081 1 1 1 1 59299 1 1 1 1 55686 1 1 1 1 59156 y efeito SQ 1 1 1 1 56081 230222 143889 média 1 1 1 1 59299 6688 08360 A 27956 1 1 1 1 55686 0252 00315 AB 00040 1 1 1 1 59156 0538 00672 B 00181 X Espessura μm Profª Raquel Cymrot Exemplo minha autoria Em um artigo escrito por Vidotti e Cymrot 2008 foi relatado um experimento para analisar os principais fatores envolvidos no funcionamento de um motor que elevam os índices de emissões de poluentes Os dados foram fornecidos por uma empresa sistemista fornecedora de montadoras automobilísticas Foram atribuídos respectivamente os números 1 e 1 para os níveis baixo e alto de cada fator Como critérios para elaboração da tabela de planejamento em relação ao combustível utilizado fator A foi adotado 1 para o Álcool e 1 para a Gasolina Para a potência do motor fator B 1 foi adotado para motores até 1600 cilindradas e 1 para 2000 cilindradas Quanto à distância percorrida fator C foi adotado 1 para distâncias menores que dez quilômetros adquiridas na segunda fase do ciclo FTP75 EPA Para distâncias maiores de dez quilômetros utilizouse o valor 1 sendo caracterizado pela terceira fase do ciclo EPA A primeira fase não foi utilizada pois se trata da fase de adaptação do veículo no qual todos os sensores estão atuando e tanto o combustível como os cilindros do veículo estão em aquecimento As medidas expressam as emissões de HC hidrocarboneto em gkm Profª Raquel Cymrot Para cada condição do experimento foram realizadas 4 réplicas e que os dados coletados foram COMBUSTÍVEL MOTOR DISTÃNCIA 1ª réplica 2ª réplica 3ª réplica 4ª réplica álcool até 1600 cilindradas menor que 10 km 0148 0116 0129 0131 gasolina até 1600 cilindradas menor que 10 km 0090 0093 0093 0096 álcool 2000 cilindradas menor que 10 km 0160 0160 0140 0150 gasolina 2000 cilindradas menor que 10 km 0025 0027 0026 0027 álcool até 1600 cilindradas maior que 10 km 0122 0141 0109 0130 gasolina até 1600 cilindradas maior que 10 km 0093 0098 0106 0126 álcool 2000 cilindradas maior que 10 km 0172 0183 0179 0185 gasolina 2000 cilindradas maior que 10 km 0030 0032 0032 0039 COMBUSTÍVEL MOTOR DISTÃNCIA 1 1 1 0148 0116 0129 0131 1 1 1 0090 0093 0093 0096 1 1 1 0160 0160 0140 0150 1 1 1 0025 0027 0026 0027 1 1 1 0122 0141 0109 0130 1 1 1 0093 0098 0106 0126 1 1 1 0172 0183 0179 0185 1 1 1 0030 0032 0032 0039 MEDIDAS Profª Raquel Cymrot X Colar especial X Valores Transpor Multiplicação de matrizes função matemática e trigonométrica matrizmult preencher cursor no final da função Control Shift Enter y Xy 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0524 3388 A 1 1 1 1 1 1 1 1 0372 1322 B 1 1 1 1 1 1 1 1 0610 0254 AB 1 1 1 1 1 1 1 1 0105 0860 C 1 1 1 1 1 1 1 1 0502 0166 AC 1 1 1 1 1 1 1 1 0423 0008 BC 1 1 1 1 1 1 1 1 0719 0108 ABC 1 1 1 1 1 1 1 1 0133 0154 X 1 A B AB C AC BC ABC y 1 1 1 1 1 1 1 1 0148 0116 0129 0131 0524 1 1 1 1 1 1 1 1 0090 0093 0093 0096 0372 1 1 1 1 1 1 1 1 0160 0160 0140 0150 0610 1 1 1 1 1 1 1 1 0025 0027 0026 0027 0105 1 1 1 1 1 1 1 1 0122 0141 0109 0130 0502 1 1 1 1 1 1 1 1 0093 0098 0106 0126 0423 1 1 1 1 1 1 1 1 0172 0183 0179 0185 0719 1 1 1 1 1 1 1 1 0030 0032 0032 0039 0133 Respostas X Profª Raquel Cymrot Os efeitos são calculados dividindo para a média geral o valor correspondente no vetor Xy pelo número total de corridas e para cada fator e interação dividindo o valor correspondente no vetor Xy pelo número total de corridas dividido por 2 Os coeficientes dos fatores e interações são iguais aos valores dos efeitos correspondentes divididos por 2 Efeitos Efeitos Coeficientes 338832 média 010588 0105875 132216 A 008263 0041313 025416 B 001588 0007938 086016 AB 005375 0026875 016616 C 001038 0005188 000816 AC 000050 0000250 010816 BC 000675 0003375 115416 ABC 000963 0004813 Profª Raquel Cymrot Cálculo das somas de quadrados e análise de variância Cálculo de Fcr Função Estatística INVF probabilidade 005 Cálulo de P Função Estatística DISTF X valor do Fobsv SQ A 1322232 B 0254232 AB 0860232 C 0166232 AC 0008232 BC 0108232 ABC 1154232 erro diferença Total 31var 32 medidas Fonte de variação SQ gl QM Fobsv Fcr P A 005462 1 005462 613366 4260 0000 B 000202 1 000202 22642 4260 0000 AB 002311 1 002311 259569 4260 0000 C 000086 1 000086 9671 4260 0005 AC 000000 1 000000 0022 4260 0882 BC 000036 1 000036 4094 4260 0054 ABC 000074 1 000074 8323 4260 0008 erro 000214 24 000009 Total 008385 31 Hipóteses a serem testadas H0 A 0 H1 A 0 H0 B 0 H1 B 0 H0 AB 0 H1 AB 0 H0 C 0 H1 C 0 H0 AC 0 H1 AC 0 H0 BC 0 H1 BC 0 H0 ABC 0 H1 ABC 0 Regressão Fatorial HC versus A B C Coeficientes Codificados Profª Raquel Cymrot Gráfico de Pareto para os efeitos Profª Raquel Cymrot Gráfico de probabilidade Normal para os efeitos Profª Raquel Cymrot Fatores e interações significantes A B AB C e ABC A expressão matemática estima o valor médio de emissão do gás é HC previsto 010588 004131XA 000794XB 002688XAB 000519XC 000481XABC com A B e C iguais a 1 ou 1 média A B AB C ABC 1 1 1 1 1 1 010588 010588 010588 010588 1 1 1 1 1 1 004131 004131 004131 004131 1 1 1 1 1 1 000794 000794 000794 000794 1 1 1 1 1 1 002688 002688 002688 002688 1 1 1 1 1 1 000519 000519 000519 000519 1 1 1 1 1 1 000481 000481 000481 000481 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 coeficientes significantes 012788 012788 012788 012788 008938 008938 008938 008938 015613 015613 015613 015613 002938 002938 002938 002938 012863 012863 012863 012863 010938 010938 010938 010938 017613 017613 017613 017613 003013 003013 003013 003013 valores previstos Profª Raquel Cymrot Resíduos A B C 1 1 1 0148 0116 0129 0131 01279 01279 01279 01279 1 1 1 0090 0093 0093 0096 00894 00894 00894 00894 1 1 1 0160 0160 0140 0150 01561 01561 01561 01561 1 1 1 0025 0027 0026 0027 00294 00294 00294 00294 1 1 1 0122 0141 0109 0130 01286 01286 01286 01286 1 1 1 0093 0098 0106 0126 01094 01094 01094 01094 1 1 1 0172 0183 0179 0185 01761 01761 01761 01761 1 1 1 0030 0032 0032 0039 00301 00301 00301 00301 valores previstos valores observados 00201 00119 00011 00031 00006 00036 00036 00066 00039 00039 00161 00061 00044 00024 00034 00024 00066 00124 00196 00014 00164 00114 00034 00166 00041 00069 00029 00089 00001 00019 00019 00089 resíduos Inserir gráfico de dispersão Profª Raquel Cymrot A Resíduos 1 00201 1 00006 1 00039 1 00044 1 00066 1 00164 1 00041 1 00001 1 00119 1 00036 1 00039 1 00024 1 00124 1 00114 1 00069 1 00019 1 00011 1 00036 1 00161 1 00034 1 00196 1 00034 1 00029 1 00019 1 00031 1 00066 1 00061 1 00024 1 00014 1 00166 1 00089 1 00089 00250 00200 00150 00100 00050 00000 00050 00100 00150 00200 00250 15 1 05 0 05 1 15 Resíduos Resíduos Inserir gráfico de dispersão Profª Raquel Cymrot Valores previstos Resíduos 01279 00201 00894 00006 01561 00039 00294 00044 01286 00066 01094 00164 01761 00041 00301 00001 01279 00119 00894 00036 01561 00039 00294 00024 01286 00124 01094 00114 01761 00069 00301 00019 01279 00011 00894 00036 01561 00161 00294 00034 01286 00196 01094 00034 01761 00029 00301 00019 01279 00031 00894 00066 01561 00061 00294 00024 01286 00014 01094 00166 01761 00089 00301 00089 00250 00200 00150 00100 00050 00000 00050 00100 00150 00200 00250 00000 00500 01000 01500 02000 Resíduos Resíduos Profª Raquel Cymrot Nível descritivo do teste de aderência RJ à Normal 009 Profª Raquel Cymrot As suposições do modelo foram respeitadas i Gráfico de probabilidade Normal dos resíduos pela regra do lápis grosso é possível cobrir todos os pontos logo é razoável supor que os resíduos têm aproximadamente uma distribuição normal O valorp não é menor que 005 ii Média zero Aceito justificado pelo gráfico dos resíduos em função dos valores ajustados Verificase simetria aproximada dos pontos em relação à média zero iii Variância constante Aceito justificado pelo gráfico dos resíduos em função dos valores ajustados Verificase uma dispersão aproximadamente constante ao longo do eixo x iv Independência Aceito justificado pelo gráfico dos resíduos em função da ordem do experimento realizado os resíduos parecem se distribuir de forma aleatória não há um padrão Profª Raquel Cymrot Efeitos principais Interações Inserir gráfico de linhas Profª Raquel Cymrot A B B 1 01472 A 01283 01661 1 00646 A 00994 00298 00000 00500 01000 01500 02000 1 1 A 00000 00500 01000 01500 02000 B B A A Cubo Profª Raquel Cymrot Generalizando as fórmulas Contraste valor correspondente da linha do Xy Para o cálculo de intervalos de confiança e testes de hipótese para efeitos e coeficientes dos fatores principais e interações utilizar o QME como estimativa da variância e a distribuição tdestudent com o nº de graus de liberdade do resíduo 2 1 k n Contraste Efeito k n Contraste SQ 2 2 Erro padrão estimado do efeito 2 2 ˆ k E n QM p efeito e Erro padrão do coeficiente 2 epˆ efeito Profª Raquel Cymrot Exemplo Cálculo do intervalo de confiança para o efeito do fator combustível utilizado fator A 2 52 24 2 k resíduo efeito A n QM t A C I 0 00001125 2 064 08263 0 2 4 0 00009 2 064 0 08263 3 2 x x 0 00692 0 08263 0 00335 2 064 0 08263 x 008955 007571 Profª Raquel Cymrot Exemplo Teste ao nível de significância de 5 se o fator A é significante H0 A 0 H1 A 0 RC T T 20639 ou T 20639 Como T RC ao n s de 5 rejeitase H0 e afirma se que o efeito principal do fator A combustível é significante Profª Raquel Cymrot Se tivesse sido realizada apenas uma réplica terseia COMBUSTÍVEL MOTOR DISTÃNCIA MEDIDAS 1 1 1 0148 1 1 1 0090 1 1 1 0160 1 1 1 0025 1 1 1 0122 1 1 1 0093 1 1 1 0172 1 1 1 0030 COMBUSTÍVEL MOTOR DISTÃNCIA medidas álcool até 1600 cilindradas menor que 10 km 0148 gasolina até 1600 cilindradas menor que 10 km 0090 álcool 2000 cilindradas menor que 10 km 0160 gasolina 2000 cilindradas menor que 10 km 0025 álcool até 1600 cilindradas maior que 10 km 0122 gasolina até 1600 cilindradas maior que 10 km 0093 álcool 2000 cilindradas maior que 10 km 0172 gasolina 2000 cilindradas maior que 10 km 0030 Profª Raquel Cymrot X Colar especial X Valores Transpor Multiplicação de matrizes função matemática e trigonométrica matrizmult preencher cursor no final da função Control Shift Enter 1 A B AB C AC BC ABC Respostas 1 1 1 1 1 1 1 1 0148 1 1 1 1 1 1 1 1 0090 1 1 1 1 1 1 1 1 0160 1 1 1 1 1 1 1 1 0025 1 1 1 1 1 1 1 1 0122 1 1 1 1 1 1 1 1 0093 1 1 1 1 1 1 1 1 0172 1 1 1 1 1 1 1 1 0030 X y Xy 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0148 0840 A 1 1 1 1 1 1 1 1 0090 0364 B 1 1 1 1 1 1 1 1 0160 0066 AB 1 1 1 1 1 1 1 1 0025 0190 C 1 1 1 1 1 1 1 1 0122 0006 AC 1 1 1 1 1 1 1 1 0093 0022 BC 1 1 1 1 1 1 1 1 0172 0040 ABC 1 1 1 1 1 1 1 1 0030 0036 X Profª Raquel Cymrot Os efeitos são calculados dividindo para a média geral o valor correspondente no vetor Xy pelo número total de corridas e para cada fator e interação dividindo o valor correspondente no vetor Xy pelo número total de corridas dividido por 2 Os coeficientes dos fatores e interações são iguais aos valores dos efeitos correspondentes divididos por 2 Efeitos Efeitos Coeficientes 08408 média 010500 0105000 03644 A 009100 0045500 00664 B 001650 0008250 01904 AB 004750 0023750 00064 C 000150 0000750 00224 AC 000550 0002750 00404 BC 001000 0005000 00364 ABC 000900 0004500 Profª Raquel Cymrot Cálculo das somas de quadrados e análise de variância SQ A 036428 B 006628 AB 019028 C 000628 AC 002228 BC 004028 ABC 003628 erro diferença Total 7var 8 medidas Fonte de variação SQ gl QM Fobsv Fcr P A 001656 1 001656 102235 161448 0063 B 000054 1 000054 3361 161448 0318 AB 000451 1 000451 27855 161448 0119 C 000000 1 000000 0028 161448 0895 AC 000006 1 000006 0373 161448 0651 BC 000020 1 000020 1235 161448 0467 ABC erro 000016 1 000016 Total 002205 7 Profª Raquel Cymrot Fonte de variação SQ gl QM Fobsv Fcr P A 001656 1 001656 148872 18513 0007 B 000054 1 000054 4894 18513 0157 AB 000451 1 000451 40562 18513 0024 C 000000 1 000000 0040 18513 0859 BC 000020 1 000020 1798 18513 0312 Erro AC ABC 000022 2 000011 Total 002205 7 Fonte de variação SQ gl QM Fobsv Fcr P A 001656 1 001656 117600 10128 0002 B 000054 1 000054 3866 10128 0144 AB 000451 1 000451 32041 10128 0011 C 000000 1 000000 0032 10128 0870 ErroACBCABC 000042 3 000014 Total 002205 7 Fonte de variação SQ gl QM Fobsv Fcr P A 001656 1 001656 155148 7709 0000 B 000054 1 000054 5101 7709 0087 AB 000451 1 000451 42272 7709 0003 ErroCACBCABC 000043 4 000011 Total 002205 7 Não tirar efeito principal quando ele entra em alguma interação significante Profª Raquel Cymrot HC previsto 010500 004550XA 000825XB 002375XAB Gráficos de Resíduo de y Gráfico de Efeitos Principais para y Gráfico de Interação para y Gráfico de Cubo médias ajustadas para y Exemplo do livro de Montgomery e Runger 2 ed p 318 4 ed p 350 5 ed p 385 6 ed p 468 Um artigo do periódico Solid state technology Orthogonal Design for Process Optimization and Its Applicaion i Plasma Etching Planejamento Ortogonal para Otimização de Processo e suas Aplicações no Ataque do Plasma maio 1987 pp 127132 descreve a aplicação de planejamentos fatoriais no desenvolvimento de um processo de ataque químico localizado sobre nitreto por meio de uma sonda de plasma de pastilha única O processo usa C2F6 como gás reagente É possível variar o escoamento do gás a potência aplicada ao catodo a pressão na câmara do reator e o espaçamento entre o anodo e o catodo Muitas variáveis de resposta geralmente seriam de interesse mas nesse exemplo concentrarnos emos na taxa de ataque do nitreto de silicone Profª Raquel Cymrot Espaçamento Pressão Escoamento de Potência cm mTorr C2F6 SCCM W Baixo 080 450 125 275 Alto 120 550 200 325 Nível Fator do Planejamento Profª Raquel Cymrot A B C D y Espaçamento Pressão Escoamento de C2F6 Potência Taxa de ataque 1 1 1 1 550 1 1 1 1 669 1 1 1 1 604 1 1 1 1 650 1 1 1 1 633 1 1 1 1 642 1 1 1 1 601 1 1 1 1 635 1 1 1 1 1037 1 1 1 1 749 1 1 1 1 1052 1 1 1 1 868 1 1 1 1 1075 1 1 1 1 860 1 1 1 1 1063 1 1 1 1 729 1 A B AB C AC BC ABC D AD BD ABD CD ACD BCD ABCD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ab 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ac 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 bc 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 abc 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ad 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 bd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 abd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 cd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 acd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 bcd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 abcd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 X Profª Raquel Cymrot y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 550 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 669 B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 604 AB 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 650 C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 633 AC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 642 BC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 601 ABC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 635 D 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1037 AD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 749 BD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1052 ABD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 868 CD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1075 ACD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 860 BCD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1063 ABCD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 729 X Xy efeito coef SQ gl 1 12417 7760625 7760625 A 813 101625 508125 4131056 1 B 13 1625 08125 105625 1 AB 63 7875 39375 2480625 1 C 59 7375 36875 2175625 1 AC 199 24875 124375 2475063 1 BC 351 43875 219375 7700063 1 ABC 125 15625 78125 9765625 1 D 2449 306125 1530625 3748501 1 AD 1229 153625 768125 9440256 1 BD 5 0625 03125 15625 1 ABD 33 4125 20625 680625 1 CD 17 2125 10625 180625 1 ACD 45 5625 28125 1265625 1 BCD 203 25375 126875 2575563 1 ABCD 321 40125 200625 6440063 1 15 Profª Raquel Cymrot fonte var SQ gl QM F P Fcr A 4131056 1 4131056 2028 00064 6608 B 105625 1 105625 001 09454 6608 C 2175625 1 2175625 011 07571 6608 D 3748501 1 3748501 18399 00000 6608 AB 2480625 1 2480625 012 07414 6608 AC 2475063 1 2475063 121 03206 6608 AD 9440256 1 9440256 4634 00010 6608 BC 7700063 1 7700063 378 01095 6608 BD 15625 1 15625 000 09790 6608 CD 180625 1 180625 001 09286 6608 diferença erro 1018681 5 2037363 15vartotal Total 5314209 15 Só com os termos A D e AD no modelo Profª Raquel Cymrot Taxa de ataque prevista 7760625 508125XA 1530625XD 768125XAD Gráfico de Efeitos para taxa de ataque Gráficos de Resíduo de taxa de ataque Gráfico de Efeitos Principais para Taxa de ataque Gráfico de Interação para Taxa de ataque Médias Um gráfico de fundo cinza representa um termo que não está no modelo Profª Raquel Cymrot Gráfico de Cubo médias ajustadas para taxa de ataque 105675 80150 59700 64900 Profª Raquel Cymrot Profª Raquel Cymrot Adição de pontos centrais F y Média nas corridas nos pontos fatoriais C y Média nas corridas nos pontos centrais 2 2 1 1 C F C F C F C F C F CURVATURA n n y y n n y y n n SQ Profª Raquel Cymrot Fonte httpswwwgeosensoricombr20190520curvasdenivelpontocrucialemumprojeto Se não for plano a metodologia correta de análise seria a de superfície de resposta Profª Raquel Cymrot Exemplo do livro de Montgomery e Runger 2 ed p 320 4 ed p 352 5 ed p 388 6 ed p 460 Um engenheiro químico está estudando a conversão percentual ou o rendimento de um processo Há duas variáveis de interesse o tempo e a temperatura de reação Pelo fato de não ter certeza em relação à linearidade da região de exploração o engenheiro decide conduzir um planejamento 22 com uma única réplica de cada corrida fatorial aumentado com cinco pontos centrais O planejamento e os dados de rendimento são mostrados no desenho à seguir Profª Raquel Cymrot 1 A B AB y 1 1 1 1 393 1 1 1 1 409 1 1 1 1 400 1 1 1 1 415 0043 SQE 0172 varptos centrais QME y Xy Efeito SQ 1 1 1 1 393 1617 40425 1 1 1 1 409 31 155 24025 1 1 1 1 400 13 065 04225 1 1 1 1 415 01 005 00025 X nF 4 nC 5 média F 40425 média C 40460 SQcurvatura 00027 ANOVA fonte var SQ gl QM F P Fcr A 24025 1 24025 558721 00017 7709 B 04225 1 04225 98256 00350 7709 AB 00025 1 00025 00581 08213 7709 Curvatura 00027 1 00027 00633 08137 7709 Erro 01720 4 00430 Total 30022 8 Rendimento previsto 40425 0775XA 0325XB Regressão Fatorial y versus A B PtCentral Análise de Variância Fonte GL SQ Aj QM Aj Valor F ValorP Modelo 4 283022 070756 1645 0009 Linear 2 282500 141250 3285 0003 A 1 240250 240250 5587 0002 B 1 042250 042250 983 0035 Interações de 2 fatores 1 000250 000250 006 0821 AB 1 000250 000250 006 0821 Curvatura 1 000272 000272 006 0814 Erro 4 017200 004300 Total 8 300222 Profª Raquel Cymrot Gráfico de Pareto dos Efeitos Padronizados a resposta é y α 005 Gráfico de Efeitos Principais para y Médias Ajustadas Gráfico de Interação para y Médias Ajustadas Gráfico de Cube médias ajustadas para y Exemplo do livro de Montgomery e Runger 2 ed p 324 4 ed p 357 5 ed p 392 6 ed p 479 Um experimento é realizado para investigar o efeito de quatro fatores sobre o desvio em relação ao alvo no disparo de um míssil atirado Os quatro fatores são tipo de alvo A tipo de rastreador B altitude do alvo C e distância do alvo D Cada fator pode ser convenientemente testado em dois níveis e o sistema óptico de rastreamento permitirá medir o desvio no disparo com precisão de um pé Dois operadores ou atiradores diferentes são usados nos testes de voo e já que há diferenças entre operadores os engenheiros de teste decidiram conduzir o planejamento 24 em dois blocos com ABCD superpostos Profª Raquel Cymrot Blocagem Profª Raquel Cymrot Blocagem Confundir a maior interação com o bloco Bloco A B C D ABCD y 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 7 a 2 1 1 1 1 1 5 b 1 1 1 1 1 1 7 ab 2 1 1 1 1 1 6 c 1 1 1 1 1 1 6 ac 1 1 1 1 1 1 8 bc 2 1 1 1 1 1 6 abc 2 1 1 1 1 1 4 d 1 1 1 1 1 1 10 ad 1 1 1 1 1 1 4 bd 2 1 1 1 1 1 12 abd 1 1 1 1 1 1 8 cd 2 1 1 1 1 1 9 acd 2 1 1 1 1 1 7 bcd 1 1 1 1 1 1 9 abcd A B C D Alvo Rastreador Altitude Distância Experimento Fatorial Completo Profª Raquel Cymrot 1 A B AB C AC BC ABC D AD BD ABD CD ACD BCD ABCD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ab 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ac 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 bc 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 abc 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ad 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 bd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 abd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 cd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 acd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 bcd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 abcd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Xy efeito coef SQ gl 1 111 69375 69375 A 21 2625 13125 275625 1 B 5 0625 03125 15625 1 AB 1 0125 00625 00625 1 C 7 0875 04375 30625 1 AC 19 2375 11875 225625 1 BC 3 0375 01875 05625 1 ABC 1 0125 00625 00625 1 D 15 1875 09375 140625 1 AD 13 1625 08125 105625 1 BD 3 0375 01875 05625 1 ABD 7 0875 04375 30625 1 CD 1 0125 00625 00625 1 ACD 3 0375 01875 05625 1 BCD 3 0375 01875 05625 1 ABCD 1 0125 00625 00625 1 15 A B C D Alvo Rastreador Altitude Distância Profª Raquel Cymrot Note que na ordem padronizada no Minitab primeiro vem as medidas do Bloco 1 e depois do Bloco 2 Profª Raquel Cymrot fonte var SQ gl QM F P Fcr ABCD Bloco 00625 1 00625 006 08203 7709 A 275625 1 275625 2594 00070 7709 B 15625 1 15625 147 02920 7709 C 30625 1 30625 288 01648 7709 D 140625 1 140625 1324 00220 7709 AB 00625 1 00625 006 08203 7709 AC 225625 1 225625 2124 00100 7709 AD 105625 1 105625 994 00344 7709 BC 05625 1 05625 053 05072 7709 BD 05625 1 05625 053 05072 7709 CD 00625 1 00625 006 08203 7709 diferença inter 3 a 3 erro 42500 4 10625 Total 849375 15 15vartotal Profª Raquel Cymrot Desvio previsto 69375 13125XA 04375XC 11875XAC 09375XD 08125XAD Gráficos de Resíduo de Desvio do alvo Gráfico de Efeitos Principais para Desvio do Alvo Gráfico de Interação para Desvio do Alvo Gráfico de Cubo médias ajustadas para y Experimentos fatoriais 2K1 meia fração Profª Raquel Cymrot 1 A B AB C AC BC ABC D AD BD ABD CD ACD BCD ABCD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ab 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ac 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 bc 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 abc 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ad 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 bd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 abd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 cd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 acd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 bcd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 abcd 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ABCD BCD ACD CD ABD BD AD D Fonte var gl 1 A B AB C AC BC ABC A BCD 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B ACD 1 a 1 1 1 1 1 1 1 1 AB CD 1 b 1 1 1 1 1 1 1 1 C ABD 1 ab 1 1 1 1 1 1 1 1 AC BD 1 c 1 1 1 1 1 1 1 1 BC AD 1 ac 1 1 1 1 1 1 1 1 ABC D 1 bc 1 1 1 1 1 1 1 1 Total 7 abc 1 1 1 1 1 1 1 1 Função geradora I ABCD Exemplo do livro de Montgomery e Runger 2 ed p 329 4 ed p 361 5 ed p 398 6 ed p 485 Para ilustrar o uso de meia fração considere o experimento do tratamento do plasma Suponha que decidamos usar o planejamento 24 1 com I ABCD para investigar os quatro fatores espaçamento A pressão B vazão de C2F6 C e potência D Profª Raquel Cymrot D ABC A B C D taxa de ataque 1 1 1 1 550 1 1 1 1 749 1 1 1 1 1052 1 1 1 1 650 1 1 1 1 1075 1 1 1 1 642 1 1 1 1 601 1 1 1 1 729 Espaçamento Pressão Escoamento de Potência cm mTorr C2F6 SCCM W Baixo 080 450 125 275 Alto 120 550 200 325 Nível Fator do Planejamento Experimento Fatorial Fracional ABCD BCD ACD CD ABD BD AD D 1 A B AB C AC BC ABC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1 1 1 1 b 1 1 1 1 1 1 1 1 ab 1 1 1 1 1 1 1 1 c 1 1 1 1 1 1 1 1 ac 1 1 1 1 1 1 1 1 bc 1 1 1 1 1 1 1 1 abc 1 1 1 1 1 1 1 1 X Profª Raquel Cymrot y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 550 A 1 1 1 1 1 1 1 1 749 B 1 1 1 1 1 1 1 1 1052 AB 1 1 1 1 1 1 1 1 650 C 1 1 1 1 1 1 1 1 1075 AC 1 1 1 1 1 1 1 1 642 BC 1 1 1 1 1 1 1 1 601 ABC 1 1 1 1 1 1 1 1 729 X Gráfico de Pareto dos Efeitos Padronizados a resposta é taxa de ataque α 005 Podemos eliminar B e C e ficarmos com um experimento fatorial 22 com os fatores A e D Profª Raquel Cymrot ANOVA Fonte de var SQ gl QM F P Fcr A BCD 322580 1 322580 161290 0050 161448 AC BD 13005 1 13005 6503 0238 161448 BC AD 780125 1 780125 390063 0032 161448 ABC D 1687805 1 1687805 843903 0022 161448 B ACD 320 1 320 0160 0758 161448 C ABD 2645 1 2645 1323 0456 161448 ABCD 2000 1 2000 Total 2808480 7 Xy efeito coef SQ gl 1 ABCD 6048 7560 75600 A BCD 508 1270 6350 322580 1 B ACD 16 40 200 320 1 AB CD 40 100 500 2000 1 C ABD 46 115 575 2645 1 AC BD 102 255 1275 13005 1 BC AD 790 1975 9875 780125 1 ABC D 1162 2905 14525 1687805 1 Profª Raquel Cymrot Fonte de var SQ gl QM F P Fcr A BCD 322580 1 3225800 718041 0001 7709 BC AD 780125 1 7801250 1736505 0000 7709 ABC D 1687805 1 16878050 3756939 0000 7709 Erro 17970 4 44925 Total 280848 7 1 A D AD 1 1 1 1 550 601 1 1 1 1 650 642 1 1 1 1 1052 1075 1 1 1 1 749 729 ABCD BCD ACD CD ABD BD AD D 1 A B AB C AC BC ABC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 550 a 1 1 1 1 1 1 1 1 749 b 1 1 1 1 1 1 1 1 1052 ab 1 1 1 1 1 1 1 1 650 c 1 1 1 1 1 1 1 1 1075 ac 1 1 1 1 1 1 1 1 642 bc 1 1 1 1 1 1 1 1 601 abc 1 1 1 1 1 1 1 1 729 Profª Raquel Cymrot Taxa de ataque prevista 756 6350XA 14525XD 9875XAD Gráficos de Resíduo de taxa de ataque Gráfico de Efeitos Principais para taxa de ataque Gráfico de Interação para taxa de ataque Gráfico de Cubo médias ajustadas para taxa de ataque Profª Raquel Cymrot 23 1 4 X tem dimensão 4 x 4 Montar X como se houvessem 3 1 2 fatores Função geradora I ABC maior interação Seguem os aliases A BC B AC C AB Profª Raquel Cymrot Prosseguese a análise para os efeitos principais A B e C confundidos com as interações 2 a 2 ABC BC AC C 1 A B AB 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Profª Raquel Cymrot y Xy 1 1 1 1 0122 0402 1 1 1 1 0090 0162 1 1 1 1 0160 0022 1 1 1 1 0030 0098 X Efeitos Efeitos Coeficientes 04024 média ABC 010050 0100500 01622 A BC 008100 0040500 00222 B AC 001100 0005500 00982 C AB 004900 0024500 Exemplo das emissões do poluente HC meia fração Profª Raquel Cymrot É necessário escolher qual efeito não testar para usar seu quadrado médio como estimativa do erro Experimentos fracionários são melhores quanto maior o número de fatores analisados SQ SQ gl A 016224 A BC 000656 1 B 002224 B AC 000012 1 AB 009824 C AB 000240 1 Total 3var 4 medidas Total 0009083 3 Frações menores e resolução de um experimento Usar Tabela do livro do Montgomery e Runger 2 ed p 334 4 ed p 366 5 ed p 403 6 ed p 490 Resolução é igual ao tamanho da maior palavra da Interação 2⁵¹ I ABCDE Resolução 5 2⁵¹ 2⁵² I ABD I ACE Resolução 3 2³²⁵² um quarto de fração Planejamentos fatoriais fracionários Profª Raquel Cymrot Nº de Fatores Fração Nº de corridas Geradores do Planejamento 3 4 I ABC 4 8 I ABCD 5 16 I ABCDE 8 I ABD I ACE 6 32 I ABCDEF 16 I ABCE I BCDF 8 I ABD I ACE I BCF 25 2 I ABD I ACE 3ª função para confundimento I AABCDE BCDE Profª Raquel Cymrot BCDE ABCDE CDE BCE BDE ABDE DE ADE ACE CE ABCE ACDE AE E ABE BE ABD BD AD D ABCD BCD ACD CD 1 A B AB C AC BC ABC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Referências MONTGOMERY D C RUNGER G C Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros 6 ed Rio de Janeiro LTC 2016 Recursos eletrônicos BARROS NETO B SCARMINIO I S BRUNS R E Como fazer experimentos Pesquisa e desenvolvimento na ciência e na indústria 4 ed Porto Alegre Bookman 2011 Profª Raquel Cymrot