Aula sobre Rotação de Corpos Rígidos: Velocidade e Aceleração Angular

Escola de Engenharia P r o f D r R o d o l f o L u i z Física Geral II 0 2 Tema da Aula Rotação de Corpos Rígidos 0 3 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s VELOCIDADE ANGULAR E ACELERAÇÃO ANGULAR 0 4 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s VELOCIDADE ANGULAR 0 5 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s VELOCIDADE ANGULAR Velocidade Angular Instantânea ATENÇÃO Velocidade angular versus velocidade linear Se um objeto possui velocidade 𝑣𝑥 o objeto como um todo está se movendo ao longo do eixo x Por outro lado se um objeto possui velocidade angular 𝑤𝑧 ele está girando em torno do eixo z Não queremos dizer que o objeto está se movendo ao longo do eixo z 0 6 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s VELOCIDADE ANGULAR Quando o ângulo θ é medido em radianos a unidade de velocidade angular é o radiano por segundo rads Outras unidades como a rotação por minuto rotmin ou rpm são usadas com frequência Visto que 1 rot 2π rad duas conversões úteis são 0 7 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Exercício A posição angular θ de um aro de bicicleta de 036 m de diâmetro é dada por a Ache o ângulo θ em radianos e em graus nos instantes t1 20 s e t2 50 s b Ache a distância percorrida por uma partícula na periferia do aro nesse intervalo c Calcule a velocidade angular média em rads e em rotmin rpm nesse intervalo d Ache as velocidades angulares instantâneas para t1 20 s e t2 50 s 0 8 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Exercício Diâmetro aro 036 m a Ache o ângulo θ em radianos e em graus nos instantes t1 20 s e t2 50 s Resolução 0 9 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Exercício Diâmetro aro 036 m b Ache a distância percorrida por uma partícula na periferia do aro nesse intervalo t1 20 s e t2 50 s Resolução θ θ2 θ1 250 rad 16 rad 234 rad Raio 018 m c Calcule a velocidade angular média em rads e em rotmin rpm nesse intervalo 1 0 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Exercício Diâmetro aro 036 m d Ache as velocidades angulares instantâneas para t1 20 s e t2 50 s Resolução Para instantes t1 20 s e t2 50 s 1 1 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s VELOCIDADE ANGULAR COMO VETOR 1 2 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s ACELERAÇÃO ANGULAR 1 3 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s ACELERAÇÃO ANGULAR COMO VETOR 1 4 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s ROTAÇÃO COM ACELERAÇÃO ANGULAR CONSTANTE 1 5 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Exercício Você acabou de assistir a um filme em Bluray e o disco está diminuindo a rotação para parar A velocidade angular do disco no instante t 0 é igual a 275 rads e sua aceleração angular é uma constante e igual a 100 rad𝑠2 Uma linha PQ na superfície do disco coincide com o eixo Ox no instante t 0 a Qual é a velocidade angular do disco no instante t 0300 s bQual é o ângulo formado entre a linha PQ e o eixo Ox nesse instante 1 6 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Exercício a Qual é a velocidade angular do disco no instante t 0300 s Resolução ω0z 275 rads αz 100 rad𝑠2 b Qual é o ângulo formado entre a linha PQ e o eixo Ox nesse instante 1 7 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s VELOCIDADE LINEAR NA ROTAÇÃO DE CORPOS RÍGIDOS Um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo através do ponto O 1 8 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s ACELERAÇÃO LINEAR NA ROTAÇÃO DE CORPOS RÍGIDOS 1 9 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Exercício Um atleta lança um disco ao longo de uma circunferência de raio igual a 80 cm Em um dado instante o lançador gira com velocidade angular de 100 rads que aumenta a uma taxa de 50 rad𝑠2 Nesse instante determine os componentes tangencial e centrípeto da aceleração do disco e a aceleração linear 2 0 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Exercício Resolução w 100 rads α 50 rad𝑠2 r 08 m rad 2 1 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s ENERGIA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO Para começar imaginamos um corpo constituído por um grande número de partículas com massas m1 m2 situadas a distâncias r1 r2 do eixo de rotação A massa da iésima partícula é 𝑚𝑖 e sua distância perpendicular ao eixo de rotação é 𝑟𝑖 𝑣𝑖 𝑟𝑖𝜔 2 2 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s ENERGIA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO Momento de Inércia 2 3 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s ENERGIA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO 2 4 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Exercício Certa peça de uma máquina consiste em três discos ligados por suportes leves a Qual é o momento de inércia desse corpo em relação a um eixo 1 que passa pelo centro do disco A perpendicular ao plano do desenho b Qual é o momento de inércia em torno de um eixo 2 que passa pelos centros dos discos B e C c Qual é a energia cinética do corpo se ele gira em torno do eixo 1 com velocidade angular 𝛚 40 rads 2 5 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Exercício a Qual é o momento de inércia desse corpo em relação a um eixo 1 que passa pelo centro do disco A perpendicular ao plano do desenho Resolução 2 6 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Exercício b Qual é o momento de inércia em torno de um eixo 2 que passa pelos centros dos discos B e C Resolução 2 7 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Exercício c Qual é a energia cinética do corpo se ele gira em torno do eixo 1 com velocidade angular 𝛚 40 rads Resolução 2 8 M o m e n t o d e I n é r c i a d e d i v e r s o s c o r p o s 2 9 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Um cabo leve flexível e não deformável é enrolado diversas vezes em torno da periferia de um tambor um cilindro maciço com massa igual a 50 kg e diâmetro de 0120 m que pode girar em torno de um eixo estacionário horizontal mantido por mancais sem atrito A extremidade livre do cabo é puxada com uma força constante de módulo igual a 90 N deslocandose por uma distância de 20 m Ele se desenrola sem deslizar e faz o cilindro girar O cilindro está inicialmente em repouso Calcule sua velocidade angular e a velocidade linear final do cabo Exercício 3 0 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Exercício Resolução Consideraremos que o cabo leve não possui massa de modo que somente o cilindro possui energia cinética O cilindro parte do repouso portanto 𝐾1 0 O ponto 2 é quando o cabo se move por uma distância d 20 m e o cilindro possui energia cinética 𝐾2 1 2 𝐼𝜔2 Woutro Emecânica 3 1 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Exercício Enrolamos um cabo leve e flexível em torno de um cilindro maciço com massa M e raio R O cilindro gira com atrito desprezível em torno de um eixo horizontal estacionário Amarramos a extremidade livre do cabo a um objeto de massa m e liberamos o bloco a partir do repouso a uma distância h acima do solo À medida que o bloco cai o cabo se desenrola sem se esticar nem deslizar Calcule a velocidade do bloco que cai e a velocidade angular do cilindro no instante em que o objeto atinge o solo 3 2 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Exercício Resolução Emecânica início Emecânica final v R𝛚 3 3 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s CÁLCULOS DO MOMENTO DE INÉRCIA Quando um corpo rígido ele é uma distribuição contínua de massas como um cilindro maciço ou uma esfera maciça então ele não pode ser representado por massas puntiformes Neste caso a soma das massas e distâncias que definem o momento de inércia se transforma em uma integral Imagine o corpo como se ele estivesse dividido em pequenos elementos de massa dm de modo que todos os pontos no interior de um dado elemento estejam essencialmente a mesma distância perpendicular ao eixo de rotação Chamamos essa distância de r Então o momento de inércia é 3 4 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s CÁLCULOS DO MOMENTO DE INÉRCIA Para calcularmos essa integral devemos representar r e dm em termos da mesma variável de integração Objetos unidimensionais coordenada x ao longo do comprimento relacionada a dm com um incremento dx λ 𝑑𝑚 𝑑𝑥 Objeto em três dimensões escrever dm em termos de um elemento de volume dV e a densidade 𝜌 do corpo Objeto em duas dimensões escrever dm em termos de um elemento de área dA com um incremento dr σ 𝑑𝑚 𝑑𝐴 𝜌 𝑑𝑚 𝑑𝑉 3 5 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Momento de inércia de uma barra em torno de uma extremidade Determine o momento de inércia de uma barra delgada homogênea de comprimento L e massa M girando em torno de uma das extremidades λ 𝑀 𝐿 𝑑𝑚 𝑑𝑥 𝐼 න 0 𝐿 𝑥2 𝑀 𝐿 ⅆ𝑥 𝑀 ቤ 𝐿 0 𝐿 𝑥3 3 1 3 𝑀𝐿2 𝐼 1 3 𝑀𝐿2 𝑀 𝐿 ⅆx ⅆ𝑚 Momento de inércia de um disco circular em torno de um eixo que passa pelo centro 3 6 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Determine o momento de inércia de um disco circular de raio R e massa M que gira em torno de um eixo que passa pelo centro 𝑚 𝐴 ⅆ𝐴 ⅆ𝑚 𝜎 𝑀 𝐴 ⅆ𝑚 ⅆ𝐴 𝐴𝐷𝑖𝑠𝑐𝑜 𝜋𝑅2 ⅆ𝐴 2𝜋𝑟 ⅆ𝑟 ⅆ𝑚 𝑀 𝜋𝑅2 2𝜋𝑟 ⅆ𝑟 2𝑀 𝑅2 𝑟 ⅆ𝑟 𝐼 න𝑟2 2𝑀 𝑅2 𝑟 ⅆ𝑟 2𝑀 R2 න 0 𝑅 𝑟3 ⅆ𝑟 𝐼𝐷𝑖𝑠𝑐𝑜 2𝑀 ቤ 𝑅2 0 𝑅 𝑟4 4 1 2 𝑀𝑅2 𝐼𝐷𝑖𝑠𝑐𝑜 1 2 𝑀𝑅2 3 7 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Exercício A Figura mostra um cilindro oco com densidade de massa uniforme r e comprimento L raio interno 𝑅1 e raio externo 𝑅2 Esse objeto poderia ser um cilindro de aço para máquina de impressão Usando a integração determine seu momento de inércia em relação ao eixo de simetria do cilindro 3 8 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s ⅆ𝑚 𝜌ⅆV 𝜌 2𝜋𝑟𝐿 ⅆ𝑟 𝜌 ⅆ𝑚 ⅆ𝑉 𝑉𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝜋𝐿 𝑅2 2 𝑅1 2 𝑀𝐶𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 ρ𝑉 ρ𝜋𝐿 𝑅2 2 𝑅1 2 𝐼 න 𝑅1 𝑅2 𝑟2𝜌2𝜋𝑟𝐿 ⅆ𝑟 2π 𝜌 𝐿 න 𝑅1 𝑅2 𝑟3 ⅆ𝑟 2𝜋𝑝𝐿 4 𝑅2 4 𝑅1 4 𝜋𝜌𝐿 2 𝑅2 2 R1 2 𝑅2 2 𝑅1 2 𝐼 1 2 𝑀 𝑅1 2 𝑅2 2 Exercício Resolução 3 9 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Exercício Determine o momento de inércia de uma esfera maciça e uniforme com densidade 𝜌 como uma bola de bilhar em relação a um eixo que passa pelo seu centro 4 0 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s Exercício Resolução ⅆ𝑉𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝜋𝑟2ⅆ𝑥 𝜋 𝑅2 𝑥2 ⅆ𝑥 𝑟𝑑𝑖𝑠𝑐𝑜 𝑟 𝑅2 𝑥2 ⅆ𝑚 𝜌ⅆV 𝜌𝜋 𝑅2 𝑥2 ⅆ𝑥 𝜌 ⅆ𝑚 ⅆ𝑉 ⅆ𝐼 1 2 𝑟2 ⅆ𝑚 Lembrando que o momento de inércia de um disco de raio r e massa dm é 1 2 𝑅2 𝑥2 ρπ 𝑅2 𝑥2 ⅆ𝑥 𝜋𝜌 2 𝑅2 𝑥2 2ⅆ𝑥 Integrando a expressão anterior de x 0 a x R 𝐼 𝜋𝜌 2 න 0 𝑅 𝑅2 𝑥2 2 ⅆ𝑥 2 𝐼 8𝜋𝑅5 15 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝜌 3M 4𝜋𝑅3 𝐼 8𝜋𝑅5 15 3𝑀 4𝜋𝑅3 𝐼 2 5 𝑀𝑅2 4 1 Exercícios Sugeridos Halliday Volume 1 10ª edição Capítulo 10 Rotação de Corpos Rígidos Problemas Capítulo 10 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 19 20 26 28 33 34 35 37 42 43 51 58 66 R o t a ç ã o d e C o r p o s R í g i d o s