Dinâmica do Movimento de Rotação: Torque e Exercícios

Escola de Engenharia P r o f D r R o d o l f o L u i z Física Geral II 0 2 Tema da Aula Dinâmica do movimento de rotação 0 3 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o TORQUE A medida quantitativa de como a ação de uma força pode provocar ou alterar o movimento de rotação de um corpo é chamada de torque 0 4 TORQUE Frequentemente usamos o símbolo para indicar a escolha do sentido positivo da rotação A unidade SI de torque é Newton x metro ATENÇÃO O torque não é trabalho nem energia e deve ser expresso explicitamente como Newton x metro e não como joule D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o 0 5 TORQUE D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o Torque de uma força 𝑭 0 6 TORQUE COMO VETOR D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o Usamos um ponto para representar um vetor que aponta para fora da página e uma cruz para representar um vetor que aponta para dentro da página 0 7 Exercício D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o Um bombeiro hidráulico incapaz de afrouxar a conexão de um tubo encaixa um pedaço de tubo de sucata uma alavanca sobre a haste do grifo A seguir ele usa todo seu peso de 900 N ficando em pé na extremidade da alavanca A distância entre o centro da conexão e o ponto onde o peso atua é igual a 080 m e o eixo da alavanca faz um ângulo de 19º com a horizontal Calcule o módulo a direção e o sentido do torque que ele aplica em torno do centro da conexão do tubo 0 8 Exercício Resolução D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o Alternativamente 0 9 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o TORQUE E ACELERAÇÃO ANGULAR Para o corpo rígido como um todo 1 0 Um cabo leve flexível e não deformável é enrolado diversas vezes em torno da periferia de um tambor um cilindro maciço com massa igual a 50 kg e diâmetro de 0120 m que pode girar em torno de um eixo estacionário horizontal mantido por mancais sem atrito A extremidade livre do cabo é puxada com uma força constante de módulo igual a 90 N deslocandose por uma distância de 20 m Ele se desenrola sem deslizar e faz o cilindro girar O cilindro está inicialmente em repouso Qual a aceleração do cabo Exercício D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o 1 1 Exercício Resolução D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o 1 2 Exercício Enrolamos um cabo leve e flexível em torno de um cilindro maciço com massa M e raio R O cilindro gira com atrito desprezível em torno de um eixo horizontal estacionário Amarramos a extremidade livre do cabo a um objeto de massa m e liberamos o bloco a partir do repouso a uma distância h acima do solo À medida que o bloco cai o cabo se desenrola sem se esticar nem deslizar Quais são a aceleração do bloco em queda e a tensão no cabo D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o 1 3 Exercício Resolução Para o Bloco Para o Cilindro Como Então D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o 1 4 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o TRABALHO E POTÊNCIA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO Trabalho total realizado pelo torque 1 5 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o TRABALHO E POTÊNCIA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO Quando um torque realiza trabalho sobre um corpo rígido a energia cinética varia por uma quantidade igual ao trabalho realizado Teorema TrabalhoEnergia na Rotação 1 6 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o TRABALHO E POTÊNCIA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO Qual é a relação entre potência e torque Potência decorrente de um Torque 1 7 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o Um motor elétrico exerce um torque constante de 10 Nm sobre um rotor de esmeril que possui um momento de inércia de 20 kg𝑚2 em torno de seu eixo O sistema parte do repouso Ache o trabalho W realizado pelo motor em 80 s e a energia cinética K do rotor nesse momento Qual é a potência média 𝑃𝑚 entregue pelo motor Exercício 1 8 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o Exercício Resolução Ache o trabalho W realizado pelo motor em 80 s e a energia cinética K do rotor nesse momento Qual é a potência média 𝑃𝑚 entregue pelo motor Trabalho Energia Cinética Potência Média 1 9 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o MOMENTO ANGULAR A grandeza análoga ao momento linear de uma partícula é o momento angular uma grandeza vetorial designada por 𝑳 Sua relação com o momento linear 𝒑 é exatamente a mesma que a relação que liga o torque com a força 𝝉 𝒓 𝑭 Para uma partícula com massa constante m e velocidade o momento angular é Momento Angular 2 0 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o MOMENTO ANGULAR A regra da mão direita para o produto vetorial mostra que sua direção está ao longo do eixo Oz e seu módulo é Onde l é a distância perpendicular do ponto O à linha da direção do vetor Essa distância desempenha o papel do braço da alavanca para o vetor momento linear 2 1 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o MOMENTO ANGULAR Quando uma força resultante atua sobre uma partícula sua velocidade e seu momento linear variam de modo que seu momento angular também pode variar Podemos mostrar que a taxa de variação do momento angular é igual ao torque da força resultante A taxa de variação do momento angular de uma partícula é igual ao torque da força resultante que atua sobre ela 2 2 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO Momento Angular de uma partícula 2 3 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o MOMENTO ANGULAR DE UM CORPO RÍGIDO Variação do Momento Angular de uma partícula 𝑑𝐿𝑧 𝑑𝑡 𝐼𝑑𝜔𝑧 𝑑𝑡 𝐼𝛼𝑧 2 4 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o Exercício A hélice da turbina de um motor a jato possui momento de inércia 25 kg 𝑚2 em torno do eixo de rotação Quando a turbina começa a girar sua velocidade angular em função do tempo é dada por 𝜔𝑧 40 rad𝑠3𝑡2 a Calcule o momento angular da hélice em função do tempo e ache seu valor no instante t 30 s b Determine o torque resultante que atua sobre a hélice em função do tempo e calcule seu valor para t 30 s 2 5 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o Exercício Resolução a Calcule o momento angular da hélice em função do tempo e ache seu valor no instante t 30 s b Determine o torque resultante que atua sobre a hélice em função do tempo e calcule seu valor para t 30 s 2 6 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o CONSERVAÇÃO DO MOMENTO ANGULAR O momento angular pode ser usado como uma formulação alternativa do princípio fundamental da dinâmica das rotações e também é a base para formular o princípio da conservação do momento angular Ԧ𝜏 𝑑𝐿 𝑑𝑡 Ԧ𝜏 0 𝑑𝐿 𝑑𝑡 Conservação do Momento Angular 2 7 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o Um professor de física está em pé sobre o centro de uma mesa giratória mantendo os braços estendidos horizontalmente com um haltere de 50 kg em cada mão Ele está girando em torno de um eixo vertical e completa uma volta em 20 s Calcule a nova velocidade angular do professor quando ele aproxima os dois halteres do abdome Seu momento de inércia sem os halteres é igual a 30 kg 𝑚2 quando seus braços estão estendidos diminuindo para 22 kg 𝑚2 quando suas mãos estão próximas do abdome Os halteres estão inicialmente a uma distância de 10 m do eixo e a distância final é igual a 020 m Exercício 2 8 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o Exercício Resolução Antes Depois 2 9 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o Exercício A Figura mostra dois discos um deles A é o volante de um motor e o outro B é um disco ligado a um eixo de transmissão Seus momentos de inércia são 𝐼𝐴 e 𝐼𝐵 inicialmente eles estão girando com a mesma velocidade angular 𝜔𝐴 e 𝜔𝐵 respectivamente A seguir empurramos os dois discos juntos aplicando forças que atuam ao longo do eixo de modo que sobre nenhum deles surge torque em relação ao eixo Os discos se deslocam unidos e acabam atingindo a mesma velocidade angular final 𝜔 Deduza uma expressão para 𝜔 3 0 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o Exercício Resolução 𝐼𝑖𝜔𝑖 𝐼𝑓𝜔𝑓 3 1 Exercícios Sugeridos Halliday Volume 1 10ª edição Capítulo 11 Rolagem Torque e Momento Angular Problemas Capítulo 11 19 20 21 22 23 25 26 27 28 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 43 44 45 46 47 50 51 52 D i n â m i c a d o m o v i m e n t o d e r o t a ç ã o Dúvidas Obrigado