Estatística Não Paramétrica e Teste dos Sinais

1 Estatística nãoparamétrica Profª Raquel Cymrot Estatística nãoparamétrica Não faz suposições fortes a cerca das distribuições Se as suposições para o uso dos testes paramétricos t e F forem verdadeiras tais testes são mais poderosos Trabalha muitas vezes com postos Teste dos Sinais Testa hipótese da mediana se X N então μ R nº de diferenças positivas de Sob H0 R Bn p ½ r é o nº de diferenças positivas de na amostra Empates são eliminados da amostra p nível descritivo do teste i 0 X i 0 X 1 2 3 2 Rejeitar H0 se p α Rejeitar H0 se p α Rejeitar H0 se p α 0 1 0 0 H H 0 1 0 0 H H 1 2 r quando prob P R p 0 1 0 0 H H 1 2 2 2 r quando prob P R p n r Se 1 2 2 2 r quando prob P R p n r Se 1 2 r quando prob P R p Aproximação pela Normal Se n 10 e p ½ então R B n 12 logo R N05n 052n Se fizer a correção de continuidade a aproximação fica melhor n n R Z 50 50 0 Tabela IX pg 423 2 ed Fornece os valores críticos de Rejeitase H0 se Rejeitase H0 se Rejeitase H0 se 0 1 0 0 H H r r 0 1 0 0 H H r r 0 1 0 0 H H min r r r r r 4 5 6 3 Exemplo do livro de Montgomery e Runger 2 ed p 348 4 ed p 382 5 ed p 223 6 ed p 279 Montgomery e Peck 1992 reportam um estudo sobre um motor de foguete fabricado ligandose dois tipos de propelentes um iniciador e um mantenedor que estão juntos dentro de um cilindro metálico A tensão cisalhante da ligação entre os dois tipos de propelentes é uma característica importante Os resultados do teste de 20 motores selecionados aleatoriamente são mostrados na tabela a seguir Gostaríamos de testar a hipótese de que a mediana da tensão cisalhante é 2000 psi usando α 005 observação Resistência Sinal dif i xi xi 2000 1 215870 2 167815 3 231600 4 206130 5 220750 6 170830 7 178470 8 257510 9 235790 10 225670 11 216520 12 239955 13 177980 14 233675 15 176530 16 205350 17 241440 18 220050 19 265420 20 175370 7 8 9 4 2000 2000 1 0 H H Pela Binomial Aproximação pela Normal Pela tabela do teste do sinal PR 14 00577 Z0 17889 r 6 r 14 PR 13 09423 RC Z Z 196 ou Z 196 r min614 6 valorp 01153 P Z 17889 0963181 r5 5 Ao ns de 5 não rej H0 valorp 0073638 rejeitase H0 se r 5 Ao ns de 5 não rej H0 Aproximação pela Normal com correção de continuidade Z0 15652 P Z 15652 09412 valorp 01175 Ao ns de 5 não rej H0 Isto é a mediana da tensão cisalhante é 2000 psi Comandos no Minitab Estat Nãoparamétricos Teste do sinal para 1 amostra Teste dos sinais para amostras emparelhadas ou pareadas n j X X D j j j 21 2 1 0 0 2 1 0 D H H 10 11 12 5 Exemplo do livro de Montgomery e Runger 2 ed p 350 4 ed p 384 Um engenheiro de automóveis está investigando dois tipos diferentes de instrumentos de medição para um sistema de injeção eletrônica de combustível de modo a determinar se eles diferem em seu desempenho de consumo de combustível O sistema está instalado em 12 carros diferentes e um teste é corrido com cada um dos instrumentos de medição em cada carro Os dados observados em milhas percorridas as diferenças correspondentes e seus sinais são mostrados na Tabela a seguir Desejamos usar o teste dos sinais para determinar se a mediana do desempenho do consumo de combustível é a mesma para ambos os instrumentos usando α 005 carro I II dif sinal 1 176 168 08 2 194 200 06 3 195 182 13 4 171 164 07 5 153 160 07 6 159 154 05 7 163 165 02 8 184 180 04 9 173 164 09 10 191 201 10 11 178 167 11 12 182 179 03 0 0 1 0 2 1 0 D D H H H Teste do sinal n 12 r 8 r 4 r 4 r 5 2 rej H0 se r r5 2 ao ns de 5 não se rejeita H0 Ao nível de significância de 5 não se rejeita H0 isto é a mediana do desempenho do consumo de combustível é a mesma para ambos os instrumentos 13 14 15 6 Comandos no Minitab Estat Nãoparamétricos Teste do sinal para 1 amostra Comentários Se X N o teste t é preferível ao teste dos sinais Se X tem uma distribuição simétrica não Normal com em geral é melhor usar o teste t do que o teste dos sinais a menos que a caudas sejam muito longas quando comparadas às da distribuição Normal O teste dos sinais é mais usado para testar medianas 0 Teste de Wilcoxon do posto com sinais Só se aplica no caso de distribuições contínuas e simétricas Procedimento Calcular Xi μ0 i 1 2 n Ordenar as diferenças Xi μ0i 12n Atribuir postos W soma dos postos das dif positivas W valor absoluto da soma dos postos das dif Negativas W min W W 16 17 18 7 Se houver empates no valor das diferenças atribuir postos médios Tabela X pg 423 2 ed ou pg 460 4 ed Rejeitar H0 se Rejeitar H0 se Rejeitar H0 se minw w 0 1 0 0 H H w w 0 1 0 0 H H w w 0 1 0 0 H H w w Aproximação para a Normal Se n 20 então W ou W Logo 24 1 1 2 4 1 n n n n n N 24 1 1 2 4 1 0 n n n n n W Z 2000 2000 1 0 H H observação Resistência Diferenças i xi xi 2000 1 215870 15870 3 2 167815 32185 14 3 231600 31600 13 4 206130 6130 2 5 220750 20750 6 6 170830 29170 12 7 178470 21530 7 8 257510 57510 19 9 235790 35790 16 10 225670 25670 11 11 216520 16520 4 12 239955 39955 17 13 177980 22020 8 14 233675 33675 15 15 176530 23470 9 16 205350 5350 1 17 241440 41440 18 18 220050 20050 5 19 265420 65420 20 20 175370 24630 10 Postos Exemplo do livro de Montgomery e Runger 2 ed p 348 4 ed p 387 5 ed p 225 6 ed p 281 W 60 W 150 W minW W 60 W 5 52 rej Ho se w 52 Ao ns de 5 não se rej H0 Isto é a média da tensão cisalhante é 2000 psi 19 20 21 8 Comandos no Minitab Estat Nãoparamétricos Teste de Wilcoxon para 1 amostra Observações emparelhadas ou pareadas X1j X2j j 12 n observ emparelhadas provenientes de duas distribuições contínuas que diferem somente com relação às suas médias Não é necessário que as distribuições sejam simétricas Dj X1j X2j é contínua e simétrica 0 0 2 1 0 D H H Exemplo do livro de Montgomery e Runger 2 ed p 354 4 ed p 387 carro I II dif Postos 1 176 168 08 8 2 194 200 06 5 3 195 182 13 12 4 171 164 07 65 5 153 160 07 65 6 159 154 05 4 7 163 165 02 1 8 184 180 04 3 9 173 164 09 9 10 191 201 10 10 11 178 167 11 11 12 182 179 03 2 22 23 24 9 0 0 1 0 2 1 0 D D H H H W 225 W 555 ou 555 W min W e W 225 W 5 13 rej H0 se W W 5 ao ns de 5 não se rejeita H0 isto é a média do desempenho do consumo de combustível é a mesma para ambos os instrumentos Comandos no Minitab Estat Nãoparamétricos Teste de Wilcoxon para 1 amostra Teste de Wilcoxon da soma dos postos ou Teste de MannWhitney para observações não emparelhadas X1 e X2 tem distrib contínuas e independ X1 e X2 tem distrib com mesma forma e dispersão e diferem possivelmente na localização X11 X12 X1n1 X21 X22 X2n2 com n1 n2 25 26 27 10 A Soma dos postos 27 Soma dos postos 28 B Soma dos postos 37 Soma dos postos 18 Procedimento Ordenar as n1 n2 observações e atribuir postos W1 soma dos postos da menor amostra W2 soma dos postos da outra amostra 1 2 1 2 1 2 2 1 W n n n n W Tabela XI pg 424 2 ed ou pg 461 4 ed Rejeitar H0 se Rejeitar H0 se Rejeitar H0 se minw1 w2 w 2 1 1 2 1 0 H H w w 1 2 1 1 2 1 0 H H w w 2 2 1 1 2 1 0 H H w 28 29 30 11 Aproximação para a Normal Se n1 e n2 são maiores que 8 então com Logo 1 2 1 1 W W N W 12 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 n n n n n n n W W 1 12 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 0 n n n n n n n W Z Exemplo do livro de Montgomery e Runger 2 ed p 355 4 ed p 389 5 ed p 245 6 ed p 309 A tensão média axial nos membros sob tensão em uma estrutura de avião está sendo estudada Duas ligas estão sendo investigadas A liga 1 é um material tradicional e a liga 2 é uma nova liga de alumíniolítio que é muito mais leve do que o material padrão Dez corpos de prova de cada tipo de liga são testados e a tensão axial é medida Os dados da amostra são apresentados na tabela a seguir Usando α 005 desejamos testar a hipótese de que as médias das duas distribuições de tensão sejam idênticas unidade psi liga 1 liga 2 Ligas Ligas Posto 3238 3261 3238 3187 1 3195 3187 3195 3190 2 3246 3209 3246 3195 3 3190 3212 3190 3204 4 3204 3258 3204 3209 5 3254 3248 3254 3212 6 3229 3215 3229 3215 7 3225 3226 3225 3217 8 3217 3240 3217 3225 9 3241 3234 3241 3226 10 3261 3229 11 3187 3234 12 3209 3238 13 3212 3240 14 3258 3241 15 3248 3246 16 3215 3248 17 3226 3254 18 3240 3258 19 3234 3261 20 31 32 33 12 Valores críticos para o Teste de Wilcoxon da Soma de Postos W005 n1 α n2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 10 5 11 17 6 12 18 26 7 13 20 27 36 8 14 21 29 38 49 9 15 22 31 40 51 63 10 15 23 32 42 53 65 78 11 16 24 34 44 55 68 81 96 12 17 26 35 46 58 71 85 99 115 13 18 27 37 48 60 73 88 103 119 137 14 19 28 38 50 63 76 91 106 123 141 160 15 20 29 40 52 65 79 94 110 127 145 164 185 16 21 31 42 54 67 82 97 114 131 150 169 17 21 32 43 56 70 84 100 117 135 154 18 22 33 45 58 72 87 103 121 139 19 23 34 46 60 74 90 107 124 20 24 35 48 62 77 93 110 21 25 37 50 64 79 95 22 26 38 51 66 82 23 27 39 53 68 24 28 40 55 25 28 42 26 29 W1 99 W2 111 ou 111 W minW1 W2 99 n1 10 n2 10 W 5 78 rej H0 se W W 5 ao ns de 5 não se rejeita H0 Z0 045356 RC Z Z 196 ou Z 196 ao ns de 5 não se rejeita H0 1 12 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 0 n n n n n n n W Z e afirmase que as médias das duas distribuições de tensão são idênticas unidade psi Comandos no Minitab Estat NãoParamétricos MannWhitney 34 35 36 13 Selecionar cada amostra o nível de confiança e a hipótese alternativa Comentário Se as distribuições forem Normais o teste t é ligeiramente melhor que o teste de MannWhitney Se não for o teste de MannWhitney é o teste que deve ser utilizado 37 38 39 14 Método nãoparamétrico de análise de variância teste de KruskalWallis Suposição εij tem a mesma distribuição contínua para todos os níveis i 1 2 a do fator Nº total de observações a i in N 1 a H 2 1 0 Procedimento Ordenar as N observações e atribuir postos Rij posto da observação Yij Calcule j 1 2 a Calcule Rj j 1 2 a j R Se H0 for verdadeira então Quanto difere de seu valor esperado Se não for preciso atribuir postos médios Se for preciso atribuir postos médios com 2 1 1 2 1 1 N E R n E R e N R E j n i ij j j ij j R 1 3 1 12 1 2 N n R N N H a j j j a j j j N N n R S H 1 2 2 2 4 1 1 a j n i ij j N N R N S 1 1 2 2 2 4 1 1 1 40 41 42 15 Se a 3 e nj 6 para j 12 e 3 ou se a 3 e nj 5 para j 1 2a então rejeitase H0 se Transformação de Posto Se for realizada uma análise de variância com os postos no lugar dos dados temse Se H cresce F cresce Se H decresce F decresce 2 1 a h 1 1 a N H N a H Fo Comentário Faça uma análise de variância para os dados originais e outra para os postos Se os resultados forem próximos então vale a suposição de distribuição Normal dos dados Exemplo do livro de Montgomery e Runger 2 ed p 357 4 ed p 391 Montgomery 1997 apresentou dados provenientes de um experimento em que cinco níveis diferentes de teor de algodão em uma fibra sintética foram testados para determinar se o teor de algodão tinha qualquer efeito na resistência da fibra à tensão Os dados da amostra e os postos provenientes desse experimento são mostrados nas tabelas a seguir H0 μ15 μ20 μ25 μ30 μ35 H1 Pelo menos uma destas igualdades não se verifica 15 20 25 30 35 7 12 14 19 7 7 17 18 25 10 15 12 18 22 11 11 18 19 19 15 9 18 19 23 11 43 44 45 16 15 20 25 30 35 porcentagem resistência resistência Postos 7 12 14 19 7 15 7 7 2 7 17 18 25 10 15 7 7 2 15 12 18 22 11 15 15 7 2 11 18 19 19 15 15 11 9 4 9 18 19 23 11 15 9 10 5 20 12 11 7 20 17 11 7 15 20 25 30 35 20 12 11 7 2 95 11 205 2 20 18 12 95 2 14 165 25 5 20 18 12 95 125 95 165 23 7 25 14 14 11 7 165 205 205 125 25 18 15 125 4 165 205 24 7 25 18 15 125 Rj 275 66 85 113 335 25 19 17 14 Rj médio 55 132 17 226 67 25 19 18 165 Rj 2ni 15125 8712 1445 25538 22445 52457 30 19 18 165 30 25 18 165 Soma Rij2 5510 30 22 18 165 N 25 30 19 19 205 30 23 19 205 35 7 19 205 35 10 19 205 S2 5354167 35 11 22 23 ou 5354167 35 15 23 24 35 11 25 25 H 1906366 Quiq 5 4 94877 ao ns de 5 rejeitase H0 a i n j ij j N N R N S 1 1 2 2 2 4 1 1 1 a i i i N N n R S H 1 2 2 2 4 1 1 o teor médio de algodão tem efeito na resistência da fibra à tensão ANOVA com os postos Anova fator único RESUMO H 1906366 Grupo Contagem Soma Média Variância 015 5 275 55 195 a 5 02 5 66 132 1245 025 5 85 17 1525 N 25 03 5 113 226 4175 035 5 335 67 147 Fo 193095 ANOVA Fonte da variação SQ gl MQ F valorP F crítico Entre grupos 10207 4 255175 193095 121E06 2866081 Dentro dos grupos 2643 20 13215 Total 1285 24 1 1 a N H N a H Fo Comandos no Minitab Estat Nãoparamétricos KruskalWallis 46 47 48 18 Teste de Friedman K amostras correspondentes mesmo grupo de indivíduos em k condições Dados no mínimo em escala ordinal H0 As k amostras foram extraídas da mesma população Procedimento N elementos linhas k medidas colunas Atribuise postos dentro de cada linha medidas de um mesmo elemento isto é para cada indivíduo atribuise postos para as k condições Rj soma dos postos na coluna j A prova de Friedman determina se os totais de postos Rj diferem significativamente Teste Se k 3 e N 10 ou se k 4 e N 5 ou se k 5 com k1 graus de liberdade Rejeitase H0 se 1 3 1 12 1 2 2 N k R k Nk k j j r 2 2 r 2 1 2 K r 52 53 54 19 1 2 3 4 5 nada import pouco import moderadae import muito import totale import dimensões externas X volume freezer X volume geladeira X design X torneira água X dimensões externas volume freezer volume geladeira design torneira água Raquel 5 4 4 2 1 Gabriel 3 3 3 3 3 Leonardo 5 5 5 5 5 Victor 5 3 4 5 3 dimensões externas volume freezer volume geladeira design torneira água Raquel 5 35 35 2 1 Gabriel 3 3 3 3 3 Leonardo 3 3 3 3 3 Victor 45 15 3 45 15 Atribuição da importância para as características de uma geladeira Exemplo autoria própria Dezesseis alunos atribuíram postos à importância do uso do Excel para o aprendizado de quatro conteúdos estudados Testar ao nível de significância de 5 se a importância média atribuída é igual para todos os conteúdos Planej exp Regressão CEP ASM 2 1 4 3 2 4 3 1 3 4 1 2 1 2 4 3 2 1 4 3 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 2 1 3 3 1 2 4 4 1 2 3 2 1 3 4 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 3 1 4 2 50 36 37 37 Planej exp Regressão CEP ASM 2 1 4 3 2 4 3 1 3 4 1 2 1 2 4 3 2 1 4 3 4 3 1 2 4 3 1 2 4 3 1 2 4 2 1 3 3 1 2 4 4 1 2 3 2 1 3 4 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 3 1 4 2 Rj 50 36 37 37 Rj 2 2500 1296 1369 1369 6534 N 16 k 4 Quiq obsv 5025 Quiqr cr 5 3 7815 valorp 0170 não rejeita H0 1 3 1 12 1 2 2 N k R k Nk k i j j r H0 As 4 amostras foram extraídas da mesma população Ao ns de 5 concluise que a importância média atribuída é igual para todos os conteúdos 55 56 57 20 Comandos no Minitab Estat Nãoparamétricos Friedman 58 59 60 21 Teste de QuiQuadrado para aderência O objetivo deste teste é comparar se uma distribuição de frequência é realmente a distribuição esperada teoricamente teste de aderência Sejam n o nº de observações ei a frequência esperada na classe i oi a frequência observada na classe i k o nº de classes O teste se baseia no grau de concordância entre ei valor esperado e oi valor observado A medida denominada QuiQuadrado é definida por Os valores esperados são baseados na distribuição da população Rejeitase a hipótese de aderência se tal valor for maior que o valor do QuiQuadrado crítico com o nível de significância estipulado e com graus de liberdade igual a k nº de parâmetros estimados 1 O teste QuiQuadrado só pode ser utilizado se todas as frequências esperadas forem maiores que 1 e se no máximo 20 das frequências esperadas forem menores que 5 Caso contrário devese agrupar as classes de forma a satisfazer tais condições n E O E E O k i i i k i i i i o 1 2 1 2 2 Exemplo minha autoria Suponha que a porcentagem de funcionários de um laboratório nos grupos de idades de 18 a 20 21 a 23 24 a 26 27 a 29 anos é de respectivamente 15 20 30 e 35 e que o nº de ocorrências de ações fora do padrão de segurança ocorridos em um ano nestas faixas etárias foram de 5 10 9 e 6 Podese afirmar que o número de ações fora do padrão de segurança para os funcionários segue a mesma distribuição das faixas etárias isto é que a distribuição observada é de respectivamente 15 20 30 e 35 das ações fora do padrão em cada faixa etária Testar utilizando 005 61 62 63 22 Temse por exemplo 45 é igual a 15 do total de número de ações fora do padrão de segurança 30 Como há uma célula com valor esperado inferior a 5 1 em 4 25 20 devese agrupar as células pertinentes gl k nº de parâmetros estimado 1 3 0 1 2 18 a 20 21 a 23 24 a 26 27 a 29 oi 5 10 9 6 ei 45 60 90 105 3 857 30 10 5 6 09 9 10 5 15 3 857 5 10 6 10 5 9 9 9 5 10 15 10 5 2 2 2 2 2 2 2 2 ou RC 2 2 5991 3857 RC logo ao nível de significância de 5 não se rejeita H0 e afirmase que houve aderência da distribuição do número de ações fora do padrão de segurança à distribuição das faixas etárias 5 991 2 2 cr Exemplo minha autoria Foi retirada uma amostra de 125 bolos industrializados Desejase saber se o peso dos bolos tem uma distribuição aproximadamente Normal 276 274 284 272 276 278 278 278 278 280 288 270 280 270 292 255 266 264 266 272 266 266 266 266 282 247 280 280 270 272 272 280 264 264 284 282 268 272 261 275 264 270 269 258 260 266 256 249 260 260 259 250 266 258 257 268 270 274 269 260 260 272 258 262 283 254 272 274 268 265 269 274 269 286 268 258 272 272 280 265 280 272 268 270 265 264 270 278 264 270 260 266 258 270 269 270 261 255 263 271 291 296 293 287 300 289 265 283 276 289 295 308 289 287 275 267 292 256 275 270 262 268 276 274 260 Peso dos 125 bolos amostrados 64 65 66 23 Temse Devese agrupar os dados em 8 classes de modo que estas classes sejam equiprováveis isto é todas as classes tenham a mesma probabilidade de ocorrência Para tanto desejase determinar os valores de z que deixam a sua esquerda 125 25 375 50 625 75 e 875 dos dados Estes valores são respectivamente 11503 06745 03186 00000 03186 06745 e 11503 Aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa Tabela da inversa da Normal Para o limite inferior da 1ª classe adotase z 5 e para o limite superior da última classe adotase z 5 g s g X 0076 11 24 271 Note que as classes não terão o mesmo tamanho e sim a mesma probabilidade de ocorrência Lembrando que então Xi μ zi σ e estimando μ por e σ por s temse por exemplo X 2712400 11503 x 110076 2585774 Procedendo da mesma forma encontramse todos os limites das classes e para cada classe sua respectiva frequência Z X X 14 13 20 23 15 12 11 17 125 2747475 I 2786645 2786645 I 2839026 2839026 I 10000000 Total Peso 2162019 I 2585774 2585774 I 2638155 2638155 I 2677325 2677325 I 2712400 2712400 I 2747475 67 68 69 24 Para o cálculo das frequências no Excel Em uma coluna escrevese os limites superiores das classes limites reais Na coluna ao lado colocase como rótulo frequência Para começar o cálculo das frequências selecionase na coluna da frequência todas as células ao lado dos limites superiores Na função estatística Frequência selecionase em Matrizdados do 1º ao último endereço dos dados e em Matrizbin do 1º ao último limite superior Para finalizar o cálculo das frequências colocase o cursor no final da função e apertase ao mesmo tempo as teclas Control Shift e Enter No Excel mais recente é só clicar no Ok Prosseguese o cálculo e obtémse a seguinte tabela Todas as classes têm valor esperado maior que 5 logo é possível continuar a análise H0 A distribuição do peso dos bolos tem aderência à Normal H1 A distribuição do peso dos bolos não tem aderência à Normal gl k nº de parâmetros estimado 1 8 2 1 5 Ressaltase que foram estimados 2 parâmetros para o cálculo dos valores esperados média e desvio padrão Lim inf Lim sup oi ei o2e oe2e 2585774 14 15625 1254400 016900 2585774 2638155 13 15625 1081600 044100 2638155 2677325 20 15625 2560000 122500 2677325 2712400 23 15625 3385600 348100 2712400 2747475 15 15625 1440000 002500 2747475 2786645 12 15625 921600 084100 2786645 2839026 11 15625 774400 136900 2839026 17 15625 1849600 012100 125 125000 1326720 767200 7 6720 125 6720 132 8 1 2 2 n e o i i i Note que as classes não terão o mesmo tamanho e sim a mesma probabilidade de ocorrência Lembrando que então Xi μ zi σ e estimando μ por e σ por s temse por exemplo X 2712400 11503 x 110076 2585774 Procedendo da mesma forma encontramse todos os limites das classes e para cada classe sua respectiva frequência veja vídeo sobre cálculo de frequência no Excel Prosseguese o cálculo e obtémse a seguinte tabela X Z X Peso freqüência 2162019 I 2585774 14 2585774 I 2638155 13 2638155 I 2677325 20 2677325 I 2712400 23 2712400 I 2747475 15 2747475 I 2786645 12 2786645 I 2839026 11 2839026 I 3262781 17 total 125 70 71 72 25 Todas as classes têm valor esperado maior que 5 logo é possível continuar a análise gl k nº de parâmetros estimado 1 8 2 1 5 Ressaltase que foram estimados 2 parâmetros para o cálculo dos valores esperados média e desvio padrão Lim inf Lim sup oi ei o2e oe2e 2585774 14 15625 1254400 016900 2585774 2638155 13 15625 1081600 044100 2638155 2677325 20 15625 2560000 122500 2677325 2712400 23 15625 3385600 348100 2712400 2747475 15 15625 1440000 002500 2747475 2786645 12 15625 921600 084100 2786645 2839026 11 15625 774400 136900 2839026 17 15625 1849600 012100 125 125000 1326720 767200 7 6720 125 6720 132 8 1 2 2 n e o i i i RC 2 2 11070 76720 RC logo ao nível de significância de 5 não se rejeita H0 e afirmase que a distribuição do peso dos bolos é aproximadamente Normal 070 11 2 cr 5 622000 ϵ RC logo ao nível de significância de 5 rejeitase H0 e afirmase que a distribuição do peso dos bolos é não é aproximadamente Normal Se os dados fossem divididos em 24 classes divisão excessiva de classes 73 74 75 26 Teste de KolmogorovSmirnov O teste de KolmogorovSmirnov é um outro teste de aderência que parte de outro critério de comparação entre as distribuições observadas e esperadas Devese calcular a distribuição acumulada esperada segundo H0 com a distribuição acumulada observada Determinase o ponto em que estas distribuições têm maior diferença em módulo Rejeitase H0 se este valor for superior a um valor D tabelado o qual depende do tamanho n da amostra e do nível de significância utilizado Resumindose o procedimento Calcular d a diferença máxima em módulo entre a distribuição acumulada esperada e a distribuição acumulada observada Rejeitar H0 se d D O teste de KolmogorovSmirnov não tem suposições quanto à magnitude dos valores esperados para poder ser utilizado e é em geral mais poderoso que o teste Quiquadrado isto é tem maior probabilidade de rejeitar que a verdadeira distribuição de frequências é a distribuição testada segundo H0 quando esta hipótese for realmente falsa Mesmo exemplo dos funcionários No exemplo dos funcionários do laboratório desejase saber se a distribuição do número de ações fora do padrão de segurança por faixa etária é a mesma distribuição dos funcionários nestes grupos de idades de 18 a 20 21 a 23 24 a 26 27 a 29 anos isto é respectivamente 15 20 30 e 35 distr teórica oi distr observada distr acum teórica distr acum observada diferença 01500 5 01667 01500 01667 00167 02000 10 03333 03500 05000 01500 03000 9 03000 06500 08000 01500 03500 6 02000 10000 10000 00000 10000 30 10000 76 77 78 27 Para n 30 e nível de significância de 5 temse que D 024 Como 015 024 ao nível de significância de 5 não se rejeita H0 e afirmase que houve aderência da distribuição do número de ações fora do padrão de segurança à distribuição das faixas etárias Mesmo exemplo dos bolos Diferença máxima 006000 Para n125 e nível de significância de 5 temse que Como 006000 012164 ao nível de significância de 5 não se rejeita H0 e afirmase que o peso dos bolos tem uma distribuição aproximadamente Normal Peso ei distr esp oi distr obs distr esp ac distr obs ac dif 2162019 I 2585774 15625 012500 14 011200 012500 011200 001300 2585774 I 2638155 15625 012500 13 010400 025000 021600 003400 2638155 I 2677325 15625 012500 20 016000 037500 037600 000100 2677325 I 2712400 15625 012500 23 018400 050000 056000 006000 2712400 I 2747475 15625 012500 15 012000 062500 068000 005500 2747475 I 2786645 15625 012500 12 009600 075000 077600 002600 2786645 I 2839026 15625 012500 11 008800 087500 086400 001100 2839026 I 3262781 15625 012500 17 013600 100000 100000 000000 total 125000 100000 125 100000 12164 0 125 136 136 n D distr esperada Oi distr observ distr acum esperada distr acum observada dif em módulo 00417 3 00240 00417 00240 00177 00417 5 00400 00833 00640 00193 00417 6 00480 01250 01120 00130 00417 8 00640 01667 01760 00093 00417 4 00320 02083 02080 00003 00417 1 00080 02500 02160 00340 00417 10 00800 02917 02960 00043 00417 9 00720 03333 03680 00347 00417 1 00080 03750 03760 00010 00417 6 00480 04167 04240 00073 00417 16 01280 04583 05520 00937 00417 1 00080 05000 05600 00600 00417 10 00800 05417 06400 00983 00417 0 00000 05833 06400 00567 00417 5 00400 06250 06800 00550 00417 3 00240 06667 07040 00373 00417 4 00320 07083 07360 00277 00417 5 00400 07500 07760 00260 00417 7 00560 07917 08320 00403 00417 0 00000 08333 08320 00013 00417 4 00320 08750 08640 00110 00417 3 00240 09167 08880 00287 00417 6 00480 09583 09360 00223 00417 8 00640 10000 10000 00000 10000 125 10000 00983 D 0121642 Como 00983 012164 ao nível de significância de 5 não se rejeita H0 e afirma se que o peso dos bolos tem uma distribuição aproximadamente Normal 79 80 81 28 Teste de aderência no Minitab Comandos Estat Tabelas Teste QuiQuadrado de Ajuste Entrar com os valores observados e com as probabilidades esperadas Você forneceu ao Minitab os valores das probabilidades observadas e esperadas O programa não leva em conta que foram estimados 2 parâmetros para cálculo dos valores esperados Sendo assim o valor do QuiQuadrado 7672 coincide com o já calculado e deve ser utilizado na sua análise porém o valorp deve ser calculado com base em uma distribuição QuiQuadrado com 5 e não 7 graus de liberdade como o programa faz 82 83 84 29 Teste de QuiQuadrado de independência O Teste QuiQuadrado pode ser usado quando os dados provenientes de duas variáveis encontramse em uma tabela de dupla entrada tabela de contingência e se deseja testar se estas duas variáveis aleatórias são independentes Sejam r nº de níveis da primeira variável c nº de níveis da segunda variável ei a frequência esperada na classe i oi a frequência observada na classe i O teste se baseia no grau de concordância entre ei valor esperado e oi valor observado supondose para calcular o valor esperado que há independência entre estas duas variáveis aleatórias A medida denominada QuiQuadrado é definida por Rejeitase a hipótese de independência entre estas duas variáveis se tal valor for maior que o valor do QuiQuadrado crítico com o nível de significância estipulado e com graus de liberdade igual a r 1 c 1 O teste QuiQuadrado só pode ser utilizado se todas as frequências esperadas forem maiores que 1 e se no máximo 20 das frequências esperadas forem menores que 5 Caso contrário devese agrupar linhas ou colunas de forma a satisfazer tais condições Se em uma tabela 2 x 2 houver alguma frequência esperada inferior a 5 o teste QuiQuadrado não poderá ser usado 1 em 4 25 20 Neste caso recomendase a utilização do teste nãoparamétrico de Fisher n e o e e o ij ij c j r i ij ij ij c j r i 2 1 1 2 1 1 2 Exemplo minha autoria baseado em pesquisa realizada Em um estudo sobre tentativas de suicídio realizado em Campo Grande MS foi testado se havia independência entre as variáveis aleatórias motivo de tentativa de suicídio e sexo do suicida Os resultados encontrados foram os seguintes H0 As variáveis aleatórias motivo para a tentativa de suicídio e sexo são independentes Ha As variáveis aleatórias motivo para a tentativa de suicídio e sexo não são independentes Se A e B forem independentes então Se motivo for independente de sexo P A P B B P A 85 86 87 30 Como há duas células com valor esperado menor que 1 e 10 células com valor esperado menor que 5 devese agrupar as células pertinentes Há uma célula com valor esperado menor que 5 1 em 10 10 o que não ultrapassa 20 do total de células ou gl 51 21 4 MOTIVO X SEXO FEMININO MASCULINO TOTAL Briga com namoradocônjuge 40 7 47 3423 1277 Perda de emprego Problemas 9 9 18 financeiros 1311 489 Conflitos familiares 38 10 48 3496 1304 Motivos de saúde 17 13 30 2185 815 Perda de ente querido Não 14 5 19 informaProbl na escolaOutros 1384 516 TOTAL 118 44 162 13266 0 005 0 002 2 889 1 077 0 707 0 264 3 457 1 289 2 604 0 971 2 obs 13266 162 175266 162 516 5 11 13 9 77 12 7 3423 40 2 2 2 2 2 obs Tabela QuiQuadrado 9488 RC 2 2 9488 13266 RC logo ao nível de significância de 5 rejeitase H0 isto é ao nível de significância de 5 afirmase que as variáveis aleatórias motivo da tentativa de suicídio e sexo do suicida não são independentes 2 54 Proporcionalmente mulheres estão tentando se matar mais por Briga com Namoradocônjuge esperavamse 3423 mulheres nesta situação e ocorreram 40 e por Conflitos familiares esperavamse 3496 e ocorreram 38 Já os homens estão proporcionalmente tentando se matar mais por Perda de empregoProblemas familiares esperavamse 489 e ocorreram 9 e Motivos de saúde esperavamse 815 e ocorreram 13 88 89 90 31 Exemplo minha autoria Uma indústria fez uma pesquisa para saber se os funcionários mais antigos estavam mais satisfeitos com a empresa que os mais novos Definiuse como funcionário antigo aquele funcionário que tinha mais de 5 anos de casa Os resultados obtidos foram Desejase testar ao nível de significância de 5 a hipótese de que há independência entre as variáveis tempo de casa e satisfação H0 As variáveis aleatórias tempo de casa e satisfação são independentes Ha As variáveis aleatórias tempo de casa e satisfação não são independentes Satisfação Má Boa Total Tempo de Casa 17 33 50 2 77 79 19 110 129 Novo Antigo Total o11 17 e11 19 x 50 129 736 o12 33 e12 110 x 50 129 4264 o21 2 e21 19 x 79 129 1164 o22 77 e22 110 x 79 129 6736 ou gl 2 1 21 1 Satisfação Má Boa Total Tempo de Casa 17 33 50 736 4264 2 77 79 1164 6736 19 110 129 Antigo Total Novo 24143 1378 7 979 2178 12607 2 obs 24143 153143 129 129 6736 77 64 11 2 4264 33 7 36 17 2 2 2 2 2 obs 3841 RC 2 2 3841 Logo ao nível de significância de 5 rejeitase H0 isto é ao nível de significância de 5 afirmase que não há independência entre as variáveis aleatórias tempo de casa e satisfação com a empresa Os mais antigos estão proporcionalmente mais satisfeitos esperavamse 6736 e ocorreram 77 2 51 Tabela QuiQuadrado Satisfação Má Boa Total Tempo de Casa 17 33 50 736 4264 2 77 79 1164 6736 19 110 129 Antigo Total Novo 91 92 93 32 Teste de independência no Minitab Comandos Estat Tabelas Tabulação cruzada e Qui Quadrado 94 95 96 33 Ressaltase que o teste de Fisher só é realizado para tabelas de contingência 2 x 2 Só pode realizar o teste QuiQuadrado se não houver célula com valor esperado inferior a 1 e não houver mais de 20 das células com valor esperado inferior a 5 O Minitab indica quando houver o número de células com valor esperado inferior a 1 e inferior a 5 97 98 99 34 Valorp 0000 005 logo ao nível de significância de 5 rejeitase H0 isto é ao nível de significância de 5 afirmase que não há independência entre as variáveis aleatórias tempo de casa e satisfação com a empresa Esperavase 1164 funcionários antigos insatisfeitos e só ocorreram 2 Referências CONOVER W J Practical nonparametric statistics 3 ed New York John Wiley Sons 1999 MONTGOMERY D C RUNGER G C Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros 6 ed Rio de Janeiro LTC 2018 SIEGEL S CASTELLAN JR N J Estatística nãoparamétrica para ciências do comportamento Métodos de Pesquisa 2 ed Porto Alegra Bookman 2008 100 101