Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Integrais Indefinidas e Derivadas

1º Nos exercícios de 1 a 12 calcule a integral indefinida aplicando uma fórmula de integração 1 du 2 x53 dx 3 e10t dt 4 15t dt 5 tt24 dt 6 t22t1 dt 7 2t12 dt 8 3t et2 dt 9 2t3 tt4 t2 1 dt 10 12u 9 du 11 2et3 et dt 12 t2 1 et3 dt 2º Encontre uma função fx cuja tangente tem inclinação 3x2 1 para cada valor de x e cujo gráfico contém o ponto 26 3º Estimase que daqui a x meses a população de uma certa cidade estará variando a uma taxa de 2 6x pessoas por mês A população atual é de 5000 Qual será a população daqui a 9 meses 4º Após a aplicação dos freios um carro desacelera a uma taxa constante de 22 ms2 Se o carro está viajando a 66 ms no momento em que os freios são acionados que distância ele percorre antes de parar por completo 5º Calcule as integrais indefinidas a 18 dx b 3x2 5x 1 dx c 43x dx d 4y 3y dy e πsen5 π u4 du f t t2 5t3 4t 2 dt 6º Calcule as integrais por substituição a x x2 1 dx b e3x1 e3x dx c x x 1 dx d x 24 dx e 2t 92 dx f x 1 x dx g 12x 23 x2 x dx h 15x 13 dx i 1x 1 dx j e3x1 e3x dx k x2x 1 dx l x x2 4 dx m e5x dx n xx 14 dx 0 Calcule as derivadas das funções dos Problemas 126 Suponha que a b c e k sejam constantes 1 y 5 2 y 3x 3 y 5x 13 4 y x12 5 y x12 6 y x43 7 y 8t3 8 y 3t6 2t2 9 fx q3 10 10 y x2 5x 9 11 y 6x3 4x2 2x 12 y 3x2 7x 9 13 y 8t3 4t2 12t 3 14 fx 1x2 15 y 3x4 4x3 6x 2 16 y 42q2 05q 1127 17 y x2 12x 18 y 3t6 5t 7t 19 y 3t2 12t 1t2 20 fx kx2 21 y ax2 bx c 22 Q aP2 bP3 23 v at2 bt2 24 P a bt 25 V 13 π r2 b 26 w 3ab2 q 27 Seja fx x2 1 Calcule as derivadas f0 f1 f2 e f1 Verifique suas respostas graficamente 28 Seja ft t4 4t 5 a Calcule ft b Calcule f1 e f2 c Use o gráfico de ft para verificar se as respostas obtidas em b são razoáveis Explique 29 Seja fx x3 4x2 7x 11 Calcule f0 f2 e f1 30 Seja fx x2 3x 5 Calcule f0 f3 e f2 31 a Use o gráfico de Pq 6q q3 para determinar se as derivadas P1 P3 e P4 são positivas negativas ou nulas Justifique sua resposta b Calcule Pq e o valor das três derivadas na parte a 32 a Encontre a equação da reta tangente a fx x2 no ponto onde x 2 b Esboce o gráfico da reta tangente e da função no mesmo par de eixos coordenados Se utilizarmos a reta tangente para estimar a função obteremos superestimativas ou subestimativas 33 A função ft 700 3t representa a altura de uma duna de areia em centímetros onde o tempo t é medido em anos desde 1995 Calcule f5 e f5 Use unidades para explicar os resultados em termos da duna 34 Encontre a taxa de variação de uma população de tamanho Pt t4 4t 1 no instante t 2 35 Se ft 2t3 4t2 3t 1 calcule ft e ft 36 Se ft t4 3t2 5t calcule ft e ft 37 Os mexilhõeszebra uma espécie de moluscos de água doce apareceram originalmente no rio Saint Lawrence no início da década de 80 e se espalharam pelos Grandes Lagos Suponha que t meses depois de seu aparecimento em uma pequena baía o número de mexilhões seja dado por Zt 300t2 Quantos mexilhões existem na baía após quatro meses Qual é a taxa segundo a qual a população está crescendo nesse momento Quais são suas unidades 38 Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto 11 onde f é dada por fx 2x3 2x2 1 39 Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de ft 6t t2 no ponto t 4 Esboce o gráfico de ft e da reta tangente no mesmo par de eixos coordenados 40 Utilizando a regra do produto calcule a derivada das funções abaixo a y 2x 3x2 5x b w t 1t 3 c p t2 52t 3 41 Utilizando a regra do quociente determine a derivada das funções abaixo a y 2x 3x 5 b w t2 2t3t 4 c p 5t2 3t 5 42 No instante t 0 um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés de altura Como a velocidade inicial do mergulhador é de 16 pés por segundo sua função posição é H 16t2 16t 32 a Em que instante o mergulhador atinge a água b Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto 1 g 12x 23 x2 x dx h 15x 13 dx i 1x 1 dx j e3x1 e3x dx k x2x 1 dx l x x2 4 dx m e5x dx n xx 14 dx Problema 1 Utilizando 40 m de tela e um muro como um dos lados desejase construir um cercado de formato retangular Determine as dimensões do cercado para que a área seja máxima Problema 2 Um fazendeiro deseja usar 320 m de cerca para determinar um pasto retangular com a maior área possível Quais devem ser as dimensões do pasto se a os quatro lados do pasto são delimitados pela cerca b três lados do pasto são delimitados pela cerca e o outro lado é delimitado por um muro Problema 3 O departamento de estradas e rodagem está planejando construir uma área de piquenique para motoristas à beira de uma rodovia movimentada O terreno deve ser retangular com uma área de 5000 m² e deve ser cercado nos três lados que não dão para a rodovia Qual é o menor comprimento da cerca necessária para a obra Problema 4 Uma caixa sem tampa é feita a partir de um pedaço quadrado de cartolina de 60 cm de lado cortandose quadrados iguais de cada canto e dobrandose os lados Determine as dimensões da caixa para que seu volume seja máximo Problema 5 Uma lata cilíndrica sem tampa deve ter 250π cm³ de volume O preço do material usado para o fundo é de 4 centavos o cm² e o preço do material usado para o lado da lata é de 2 centavos o cm² Qual deve ser a medida do raio da base e a altura da lata de modo que o custo de matériaprima seja mínimo 2 y 3x 1 3 b l X 12 V 12 x 2 y 43 6 y x y G x s 8y SAP2A 1213 8A 2 S j 81fx x fx 1 S 16y 0 2g2 0 5 g 34PA A A 1 y 858 11 113 1 1 3 37 5 7 18 y A y 2 A 2 20fx kx fx 2kx 36fA A 37 5t 22R a b Q 2a 3b2 A 73 GA 5 28 a b p I 8A 22A2 6 38fx 2x 2 x 2 1 26w 3 abg w 3 ab f1 6 12 8 1 0 2 28fA A 2 07 5 y 2 x b 39 1 2 b b 5 a A 2 A 8 y 2x 5 bf1 2ef2 0 C 3 M 40 I a y 2 x 3x2 5x 2x 5x 2x 32x 5 U 2x 10x 1x2 16x 15 a y 6x 2 26x 15 2 yb w A 1A 3 30fx x 3x 5 fx 2x 3 w 1A 3 A 1 1 27 2 f0 3 c p A2 527 3 f3 9 p 2A27 3 2172 5 67 67 10 2 P 82 8 327 a Quando atinge a água 1 0 16716A 32 1 8 afx x 3 3 fk 3 2 A 2A 2 0 A 1 N A 0 2 j2 12 A 1 25 Legi 12x b 8 16 b0 00 at 1 Ide r a 22A3 A dt du 2Sx 5 dx x 5 u asfatifoattot e e dx da ndr 2 5 a 3 Se t OA u 2du dz 8 o Ver ee es t n 10 8 0 t Sear o e O 11 It 3 e du 4 55A5 A 2du 2m3 e g A At 5ht e 5 SA A at u A 1 12 A 2 1 et 37 t u A 3t 42 2 See du 2 t dt Ide du t 3 At A 133t e 3 3 312 27 2dt 1 12 t 2 f X 12 7 2 at A 2 m sis Site At de c 1 2 ba 2111 1 fx x 3 x 1 a 3 Px 2 6k 8 3 A etbt A u dx 2 tat du Px 2x 1x e 3dre e e P0 2 x 0 0 c 5000 2 c 5000 Arm 9 never 9 2 9 1 27 5000 9 5126 8 Sabemos de física eJes ex se Ed 1S v A 1 a A 2 e 2 onde t 1 3 e e A S 36 3 1 22 9 c xxfdx x 1 u 2 Su 1 u de x u 1rdx de 321 1 S 99m Sa e 2 de 1 32 I 2x 1 zx 1 5 3 5 aS18dx 18 x e b3 2 5 x 2dx 6 x 2 dx x 2 u x 2x x e dx du 2 c x Es dx GY3 a Sid e X d 1y x 3 f dy 6 V 5 y Ye du egax 1gex 9 e S ven Sr e 0 0 fSA12 513 17 2 At As GA A e d e e a1 e x a 1edx da 2 E e 22 xr21 x2 c 5 6 a x 2 1 de x 2 1 u X S de 2 x dx de du 6x 1dx Ix 1 e 2oi Ee 25138x 5x 1 a dx f 2 x 1 z e i dx u x 1 de fx 1 e I ex ex ex d x de 3 e fer e C K e Ex x 1 u x a 1 R dx de e de 2 E de 2u ha f 2x e h f 1 x ydx 2 a 2 x dx d er 32 a v 1 C 3 u 5x da 5dx mesje 5 A e 5x e ajedxx 2 a x a 1 e dx de grande ee e 1 A area da tela será g2 2 2 R R 2 A a b e gels relume V R R and 2a b 10 b 20 a Anim A a20 a 3 Amo A 0 2 1 32 0 0 da 125 I 250 0 20 a a 2 0 a 10 X RR eb 0 2 1 e 26 e a Novamente pela meume ideia A a b 320 2a b b 160 a A a160 a at 0 1 80m b A a b 320 2a b b 324 2a A a320 2a 3202a20 0 a 80m b 160m 3 A a b 5000m2 a L 20 b Querense minima 6 A b 10 1 0 l 100 Assim 1 2 500 100 1100 B Temss entre 2 V x y R x 2y 60 y 30 V x30 0 2 x 30 2 x E 2 22 60 x 0 dx 3x 120x 0 10 amey 0