Lista de Exercícios Resolvendo Problemas de Cálculo - Integrais e Equações Diferenciais

Problemas de valor inicial e as seguintes informações sobre um corpo em movimento retilíneo I Posição inicial 4m II Velocidade inicial 20ms III Aceleração constante e igual a 2 ms² a Determine a equação da velocidade em função do tempo b Encontre a equação horária da posição desse corpo no instante t Questão 05 Em vários problemas nos deparamos com equações que envolvem derivadas Essas equações são chamadas Equações Diferenciais A solução de uma equação diferencial é uma função cuja derivada satisfaz a igualdade dada Resolva as seguintes equações diferenciais a dsdt 2t³ 5t s0 3 b dydx 3ex y0 1 c dvdt 5t 2 v1 3 Questão 06 As marcas de frenagem deixadas por um automóvel indicam que o freio foi plenamente aplicado por uma distância de 160 pés até parar Suponha que o carro em questão tenha uma desaceleração constante de 20 péss² sob as condições de frenagem Qual era a velocidade do carro quando o freio foi aplicado Questão 07 Jogase uma bola para cima de uma altura inicial de 80 pés com uma velocidade inicial de 64 péss Deduz a função posição que dá a altura s em pés como função do tempo t em segundos Em que instante a bola atinge o solo Dado g 32 péss² aceleração da gravidade Questão 08 Aplicase o freio de um carro quando este está se deslocando exatamente a 88 péss O freio causa uma desaceleração constante de 40 péss² Que distância o carro ainda percorre até parar totalmente Questão 01 Utilizando as regras básicas de integração calcule as integrais indefinidas abaixo a 6dx b t²dt c 5x³ dx d du e x³ dx f x³ 2dx g 3x² 2x 1dx h 1x³ dx i t² 2t dt j 3x³ xdx k x16x 5dx l x³xdx m 3ex dx n x 1xdx o edx p 2 sen xdx q 6x dx r t1t dt s cos tdt t 2 3 cos tdt u 1 2tdt v mdm Questão 02 Verifique por diferenciação que as fórmulas integrais abaixo são válidas a sen kxdx 1k cos kx C onde k é uma constante não nula b cos kxdx 1k sen kx C onde k é uma constante não nula c ekx dx 1k ekx C onde k é uma constante não nula Questão 03 Utilizando as fórmulas apresentadas no exercício anterior calcule as integrais abaixo a cos 2x dx b sen 3x dx c e5t dt d 5 sen 5x dx e 3 2 cos 2x dx f 4e2s ds ① a y 5x 2³ y 35x 2² 5x 2 y 35x 2² 5 y 15 5x 2² b w 2t² 5t 2t² 5t12 w 12 2t² 5t122t² 5t w 12 12t² 5t 4t 5 c p 32t 5² 32t 52 p 322t 53 2t 5 p 62t 5³ 2 122t 5³ 2 a Temos s0 430² 40 4 2 s2 432² 434 412 16 4 Logo vm ΔsΔt 4220 22 vm 1 ms b Temse vt st ddt 43t²12 ou seja vt 12 43t²12 43t² 1243t² 6t Assim v2 12432² 62 12216 64 v2 15 ms 3 Temos a seguinte situaçã h 2r O volume do cone é dado por V 13 Ab h V 13 πr² 2r V 2πr³ 3 Assim pela regra da cadeia dVdt 2πr² drdt 2πr² drdt onde dVdt taxa do despejo da areia em m³min drdt taxa do raio do cone em mmin Pelo enunciado se h3 entã dVdt 001 Buscase dhdt para h3 Temos que 2r 3 r 32 e assim dVdt 2πr² drdt 001 2π 32² drdt 001 2π 94 drdt drdt 002 9π Sendo h 2r então dhdt 2 drdt 2 002 9π dhdt 1 225π mmin 4 a Tem se A l² A25 25² 6 25 A3 3² 9 Logo a taxa de variacão média será ΔAΔl 9 6253 25 27505 55 b sendo Al l² Al 2l e assim A4 2 4 8 5 a Temos que V0 50 80 0² 50 80² 50 6400 V0 320000 e V10 50 80 10² 50 70² V10 245000 A taxa média será 245000 32000010 0 7500010 7500 lh b sendo Vt 50 80 t² segue que Vt 50 280 t 1 Vt 100 80 t Logo V8 100 80 8 100 72 V8 7200 lh c sendo V5 50 80 5² 50 75² V5 281250 e como V0 320000 item a entаo saem 320000 281250 38750 litros 6 L 2 t² então sua área será A L² A 2 t²² 4 4t² t⁴ Logo At 8t 4t³ e portanto A2 8 2 4 2³ 16 4 8 A2 48 Assim como no exercício 2 temos h r e entao V 13πr2r πr33 dVdt π3r23drdt πr2drdt Quando h 4 r 4 e para dVdt 10 obter 10 π42drdt drdt 10 16π 5 8π Assim a área da base aumentará a uma taxa tal que Δb πr2 dΔbdt π2rdrdt π2458π dΔbdt 5 m2h 8 Temos Por Pitágoras x2 y2 52 x2 y2 25 Assim ddtx2 y2 ddt25 2xdxdt 2ydydt 0 Pelo enunciado dxdt 1 e buscase dydt quando x 3 Temos 32 y2 25 9 y2 25 y2 16 y 4 e assim 231 24dydt 0 6 8dydt 0 dydt 68 dydt 075 ms desliza para baixo 1 st 4t3 5t2 1 4t3 5t2 1 vt st 12t2 10t3 vt 12t2 10t3 Assim v3 1232 1033 129 1027 v3 108 1027 292627 v3 10837 ms Alternativa C 2 Temse fx 2x 5 logo f6 26 5 12 5 7 e f6 62 56 6 36 30 6 12 Entao y 12 7x 6 y 12 7x 42 7x y 30 0 Alternativa B 3 Tendo fx 3x2 8x queremos ter fx 0 3x2 8x 0 x3x 8 0 x 0 ou 3x 8 0 x 83 Alternativa B 4 O volume é Vx 8 2x8 2xx 8 2x2 x Vx 28 2x2x 8 2x2 1 Vx 8 2x4x 8 2x 8 2x8 6x de modo que V 0 8 2x 0 ou 8 6x 0 2x 8 6x 8 x 4 x 86 43 E ainda Vx 28 6x 8 2x6 Vx 16 12x 48 12x Vx 24x 64 Logo V4 244 64 96 64 32 V43 2443 64 32 64 32 Como V43 0 entao x 43 maximiza o volume Alternativa B 5 Sem x y log7 5x2 3x y 1 5x2 3x ln7 5x2 3x y 10x 3 5x2 3x ln7 Logo y2 10 2 3 5 22 3 2 ln7 23 20 6 ln7 y2 23 26 ln7 Alternativa 4 6 y ln 7x3 5x25 dydx 1 7x3 5x25 7x3 5x25 dydx 1 7x3 5x25 5 7x3 5x24 7x3 5x2 dydx 1 7x3 5x25 5 7x3 5x24 21x2 10x Para x 1 7 13 5 12 12 Assim dydx 1 1 125 5 124 21 12 10 1 dydx 1 512 31 15512 Alternativa D 7 y cos2 sqrt1x3 cos2 1x312 Assim y 2 cos sqrt1x3 cos sqrt1x3 y 2 cos sqrt1x3 sen sqrt1x3 1x312 y 2 cos sqrt1x3 sen sqrt1x3 12 1x312 1x3 y 2 cos sqrt1x3 sen sqrt1x3 12 1 sqrt1x3 3x2 Para x 1 sqrt113 sqrt11 sqrt2 Logo y1 2 cos sqrt2 sen sqrt2 12 1sqrt2 3 12 y1 3 cos sqrt2 sen sqrt2 sqrt2 Alternativa E Temos que v st ddt 081 t2 2 v 162 t e a ddt 162 t a 162 m s2 logo 162 98 0165 Alternativa D 9 se Pt 5001 4 t 50 t2 entao Pt 500450 t2 4 t 2 t 50 t22 Pt 500200 4 t2 8 t2 50 t22 Pt 500 200 4 t2 50 t22 Logo P1 500 200 412 50 122 P1 500 196 512 P1 3768 Alternativa C Q4 a 6 dx 6 x c c R b t2 dt t3 3 c c R c 5x3 dx 5 x3 dx 5 x2 2 5 2 x2 c c R d du u c c R e x3 dx x43 dx x43 1 43 34 ³x4 c c R f x3 2 dx x4 4 2 x c c R g 3 x2 2 x 1 dx x3 x2 x c c R h 1 x3 dx x3 dx x2 2 1 2 x2 c c R i t2 2t dt t2 t 2 t dt t 2t dt t2 2 2 lnt c c R j 3 x3 x dx 3 x4 4 x2 2 c c R k x 16 x 5 dx 6 x2 5 x 6 x 5 dx 6 x2 11 x 5 dx 2 x3 11 x2 2 5 x c c R l x3 x dx x3 x12 dx x72 dx x92 92 29 x9 c c R m 3 ex dx 3 ex c c R n x 1x dx x12 x12 dx x32 32 x12 12 23 x3 2x c c R o e dx e x c c R p 2 senx dx 2 cosx c c R q 6x dx 6 lnx c c R r t 1t dt tt 1t dt 1 1t dt t lnt c c R s cos t dt sen t c c R t 2 3cos t dt 2t 3 sen t c c R u 1 2t dt t t2 c c R v m dm m2 2 c c R Q2 a Pela regra da cadeia 1k coskx C 1k senkx kx 0 1k senkx k senkx b Pela regra da cadeia 1k senkx C 1k coskx kx 0 1k coskx k coskx c Pela regra da cadeia 1k ekx C 1k ekx kx 0 1k ekx k ekx Q3 a cos2x dx 12 sen2x C C R b sen3x dx 13 cos3x C1 C R c e5t dt 15 e5t c c R d 5 sen5x dx 5 15 cos5x cos5x c c R e 3 2 cos2x dx 3x 2 12 sen2x 3x sen2x c c R f 4 e2s dx 4 12 e2s 2 e2s c c R Q4 a s0 4 v0 20 a 2 v v0 at v 20 2t b s v dt 20 2t dt 20 t t2 c c R Como s0 s0 4 estas 4 20 0 02 c c 4 Logo s 20 t t2 4 Q5 a dsdt 2 t3 5 t s 2 t3 5 t2 dt s t42 5 t33 c c R Sendo s0 3 estas 3 02 03 c c 3 Logo st t42 5 t33 3 b dydx 3 ex y 3 ex dx y 3 ex c c R Como y0 1 temos 1 3 e0 c 1 3 1 c 1 3 c c 2 Logo yt 3 ex 2 c dvdt 5 t 2 v 5 t 2 dt v 5 t22 2t c Sendo v1 3 estas 5 122 2 1 c 3 c 3 2 52 52 2 c 3 c 52 Logo vt 5 t22 2t 52 Q6 Como a 20 péss2 estas v a dt 20 dt v 20 t c c R e s v dt 20t c dt s 10 t2 ct d d R A distancia que percorreu Δs 160 é dada por note que c v0 e d s0 s d 10 t2 ct Δs 10 t2 ct 160 10 t2 ct I Além disso ao fim dos 160 pés ma velocidade se anulou o carro parou v 20 t c 0 20 t c c 20 t II subistitindo II em I 160 10 t2 20 tt 160 10 t2 20 t2 160 10 t2 t2 16 t 16 t 4s Logo a velocidade será c 20 4 c 80 ms 7 Temos s₀ 80 vo 64 Assim como g 32 segue que v a dt g dt 32 dt v 32 t c c R Como v0 64 então 64 32 0 c c 64 e assim v 32 t 64 Logo s v dt 32 t 64 dt s 16 t² 64 t d d R Sendo s0 80 segue que 80 160² 640 d d 80 Portanto st 16 t² 64 t 80 Assim atingirá o solo quando st 0 16 t² 64 t 80 0 16 t² 4 t 5 0 t 5t 1 0 t 5 s 8 Temos vo 88 a 40 vf 0 vt a dt 40 dt vt 40 t c c R v0 40 0 c 88 0 c c 88 ou seja vt 40 t 88 e ainda 0 40 t 88 40 t 88 t 8840 t 22s inicio da desaceleração Temos que st vt dt 40 t 88 dt st 20 t² 88 t d d R st d 20 t² 88 t Δs 20 t² 88 t t 22 Δs 20 22² 88 22 Δs 20 484 1936 Δs 968 1936 Δs 968 m I 1 fx 15 x 4x² 5x4 fx 1 8x 20 x3 2 gx x4 4 x³ gx x4 x34 gx 4x³ 34 x34 1 gx 4x³ 34 x14 gx 4x³ 34 4x 3 Pela regra do produto gx x³ 7 2x² 3 x³ 7 2x² 3 gx 3x² 2x² 3 x³ 7 4x gx 6x4 9x² 4x4 28x gx 10 x4 9 x² 28 x 4 Pela regra do quociente ft 8t 15 t2 2t 3 8t 15 t2 2t 3 t2 2t 32 ft 8 t2 2t 3 8t 15 2t 2 t2 2t 32 ft 8t2 16t 24 16t2 30t 16t 30 t2 2t 32 ft 8t2 30t 54 t2 2t 32 5 px 1 1x 1x2 1x3 px 1 x1 x2 x3 px x2 2x3 3x4 px 1x2 2x3 3x4 6 Pela regra da cadeia hx 3 5x 42 5x 4 hx 3 5x 42 5 hx 15 5x 42 7 Tz 5z4 z3 2z z3 Tz 5z 1 2z2 Tz 5 4z3 Tz 5 4z3 8 fx 3 x2 4x 52 x2 4x 5 fx 3 x2 4x 52 2x 4 9 y e4x x cos2x y e4x 4x cos2x 2x y 4e4x 2cos2x 10 y log5x2 3x 3x 4 lnx2 5x y 1 x2 3x ln5 x2 3x 3x ln3 4 x2 5x x2 5x y 1 x2 3x ln5 2x 3 3x ln3 4 x2 5x 2x 5 y 2x 3 x2 3x ln5 3x ln3 8x 20 x2 5x II Como y ex2 3x entos y ex2 3x x2 3x y ex2 3x 2x 3 Assim para x 0 y0 e02 30 20 3 y0 e1 3 y0 3 coeficiente angular III Temse st 100 49 t2 vt s 98t Assim v1 98 1 v1 98 ms IV a Como x 2t3 3t2 4 entos vt x 6t2 6t Assim v2 6 22 6 2 64 12 v2 36 cms b Temse 6t2 6t 30 6 t2 t 5 t2 t 5 0 entos t 1 12 4 1 5 2 1 1 21 2 Como t 0 entos t 1 21 2 V Senx vt 5000 2t1 t1 vt 10000 t1 1 vt 10000 t1 Assim v0 10000 01 v0 10000 m3 mês v2 10000 21 v2 10000 3 v2 30000 m3 mês Quando V 11250 então 5000 t12 11250 t12 225 t1 225 t 1 15 t 05 ano Logo v05 10000 051 v05 10000 15 v05 15000 m3 mês VI a sendo v st então v 10t 30 v2 10 2 30 20 30 v2 10 ms b A altura máxima ocorre quando v 0 10t 30 0 10t 30 t 3 s ou seja s3 5 32 30 3 35 s3 5 9 90 35 s3 80 m c Para s0 obtemos 5t2 30t 35 0 5 t2 6t 7 0 t 7t 9 0 t 7 s VII a 3x52x3x5 dx 3x66 2x44 x22 5x x62 x42 x22 5x c c R b 3x 1x5 dx x13 x5 dx x131131 x5151 x4343 x44 34 x4 14x4 c c R c sen x e4x 5 cos x dx sen x dx e4x dx 5 cos x dx se u 4x du 4 dx dx du4 e4x dx eu du4 eu4 e4x4 Assim sen x e4x 5 cos x dx cos x e4x4 5 sen x c c R d se u 7x du 7 dx dx du7 cos 7x dx cos u du7 senu7 sen7x7 c c R e Como feito no item c e4x dx e4x4 c c R IV Temos que yx 8 x 8 x12 então yx 8 x12 dx 8 x12 1 12 1 8 x32 32 23 8 x32 c c R Como 16 4 está na curva segue que 4 163 1632 c c 4 10243 4 163 64 c 4 10243 c c 10123 Logo yx 163 x3 10123 IX Temos vt at dt 2t 1 dt vt t2 t c c R Sendo v1 3 segue que 3 12 1 c 3 0 c c 3 Logo vt t2 t 3 e st vt dt t2 t 3 dt st t33 t22 3t c c R Como s1 4 obtemos 4 133 122 31 c 4 13 12 3 c c 4 13 12 3 24 2 3 186 76 Logo st t33 t22 3t 76 X Px populacao daqui x meses Temos que Px 4 3 raiz x Px integral 4 3 raiz x dx 4x 3 23 raiz x3 c c em R Px 4x 2 raiz x3 c Como P0 3000 entao 3000 4 0 2 raiz 03 c c 3000 Assim Px 4x 2 raiz x3 3000 e portanto P16 4 16 2 raiz 163 3000 64 2 64 3000 P16 3192 pessoas XI Sem x dcdx 120 raiz x 4 dc 120 x12 4 dx integral dc integral 120 x12 4 dx Assim C 110 x12 4x k k em R C raiz x 10 4x k Sendo C0 750 750 raiz 0 10 4 0 k k 750 Logo Cx raiz x 10 4x 750 e portanto C100 raiz 100 10 4 100 750 1 400 750 C100 1151 reais VIII A inclinacao da reta tangente em um ponto qualquer xy de uma curva e 18 raiz x Se o ponto 164 esta na curva encontre a equacao da curva IX Uma particula movese sobre uma reta S m V ms a ms2 Se a 12 t 1 v 3 ms e S 4 m quando t 1s encontre a funcao do espaco e a da velocidade X Estimase que daqui a x meses a populacao de uma certa cidade variando a uma taxa de 4 3 raiz x pessoas por mes A populacao atual e de 3000 pessoas Qual sera a populacao daqui 16 meses XI O custo marginal da fabricacao de x unidades de um produto tem como modelo dCdx 120 raiz x 4 Custo Marginal Custo fixo e de R 75000 x0 Ache o custo total da producao de 100 V Volume V em m³ de água em um pequeno reservatório durante o verão da primavera é dado por V 5000 t 1² para t meses 0 t 3 A taxa de variação do volume em relação ao tempo t é a taxa de fluxo para o reservatório Ache a taxa de fluxo para os instantes t 0 e t 2 Qual é a taxa de fluxo quando o volume é 11250 m³ VI Uma bola é lançada verticalmente para cima do topo de um prédio de 35 m de altura Sua equação de movimento é S 5t² 30t 35 onde S é medido em metros Encontre a a velocidade instantânea da bola após 5 b a altura máxima que a bola alcança c quanto tempo a bola demora para chegar ao solo VII Encontre a antiderivada a 3x⁵ 2x³ x 5 dx b ³x 1x⁵ dx c senx e⁴ˣ 5cosx dx d cos7x dx e e⁴ˣ dx I Determine a derivada 1 fs 15 s 4s² 5s⁴ 2 gx x⁴ 4x³ 3 gx x³ 72x² 3 4 ft 8t 15 t² 2t 3 5 px 1 1x 1x² 1x³ 6 hx 5x 4³ 7 Ty 5y⁴2 y³3 2y 8 fx x² 4x 5³ 9 y e⁴ˣ sen2x 10 y log₅x² 3x 3ˣ 4 ln x² 5x II Obtenha o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y eˣ² 3x no ponto 0 1 III Um balonista deixa cair de um balão um saco de areia que se encontra a 160 m do solo Depois t segundos o saco está a 100 49 t² do solo Qual a velocidade do saco após 1s IV Uma bola desce um plano inclinado de modo que a distância m que ela percorre em t segundos é dada por 5 2t³ 3 t² 4 para 0 t 3 a Determine a velocidade da bola t 2 b Em que instante a velocidade é 30 cms Questão 01 Utilizando a regra da cadeia diferencie as funções abaixo a y 5x 2³ b w 2t² 5t c p 32t 5² Questão 02 Um corpo se move em linha reta de acordo com a equação S 4 3t² onde S é dado em metros e t em segundos a Determine a velocidade média desse corpo no intervalo 0 2 b Determine a velocidade do corpo no instante t 2s Questão 03 Despejase areia sobre o chão fazendo um monte que tem a cada instante a forma de um cone com diâmetro de base igual à altura Quando a altura do monte é de 3 m a taxa de variação com que a areia é despejada é de 001 m³min Qual a taxa de variação da altura do monte quando esta for de 3 m Questão 04 Sabemos que a área de um quadrado é função do seu lado Determinar a A taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando este varia de 25 para 3 m b A taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4 m Questão 05 Um reservatório de água está sendo esvaziado para limpeza A quantidade de água no reservatório em litros t horas após o escoamento ter começado é dada por V 5080 t² Determinar a A taxa de variação média do volume de água no reservatório durante as 10 primeiras horas de escoamento b A taxa de variação do volume de água no reservatório após 8 horas de escoamento c A quantidade de água que sai do reservatório nas 5 primeiras horas de escoamento Questão 06 Um quadrado de lado L está se expandindo segundo a equação L 2 t² onde a variável t representa o tempo Determinar a taxa de variação da área desse quadrado quando t 2 Questão 07 Acumulase areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m³h a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é de 4 m Questão 08 Uma escada de 5 m de comprimento está apoiada contra a parede de uma casa A base da escada é afastada da casa à razão de 1 ms Com que rapidez o topo da escada se move ao longo da parede quando a base está a 3 m da casa 4 Devese construir uma caixa sem tampa com um papelão quadrado de 8 cm de lado Cortase em cada um dos 4 cantos pequenos quadrados de lado x As quatro abas resultantes são dobradas para cima Qual deve ser o valor de x para que o volume da caixa seja máximo a x 1 b x 43 c x 34 d x3 e x4 5 Se y log75x2 3x quanto vale y2 a 2326 ln 7 b 326 ln 7 c 2613 ln 7 d 2 ln 713 e 12 ln 713 8 A ausência de atmosfera na Lua implica que um objeto em queda livre não sofrerá resistência do ar Em 1971 o astronauta David Scott mostrou experimentalmente que na Lua um martelo e uma pena caem com a mesma velocidade A função posição para ambos é dada por St 081t2 2 onde St é a altura medida em metros e t é o tempo medido em segundos Supondo que a aceleração gravitacional da Terra seja 98ms2 qual a razão aproximadamente entre a aceleração gravitacional da Lua e a aceleração gravitacional da Terra a 0160 b 0610 c 0156 d 0165 e 0556 9 Uma população de 500 bactérias é colocada em uma cultura e passa a crescer segundo a equação Pt 5001 4t50 t2 onde t é o tempo medido em horas Qual a taxa de variação de crescimento da população para t 1 a 3013 b 3142 c 3768 d 4213 e 5107 6 Se y ln7x3 5x25 quanto vale dydx 1 a 512 b 1512 c 5512 d 15512 e 22512 7 Se y cos2 1 x3 quanto vale dydx 1 a 3cos 2 b 3cos 2 sen 2 c 32 d cos 2 sen 22 e 3cos 2 sen 22 Questões 1 Uma partícula caminha sobre uma trajetória qualquer obedecendo à equação horária St 4t3 5t2 1 Qual o valor da velocidade após 3 segundos a 1037 b 1137 c 10837 d 20137 e 20839 2 Qual a equação da reta tangente ao gráfico da função fx x2 5x 6 no ponto de abscissa x 6 a y 7x 30 b 7x y 30 0 c 3x 7y 10 0 d 4x 3y 0 e y 30 7x 3 Quais são os valores das abscissas dos pontos da curva y fx nos quais a reta tangente à curva é horizontal sendo fx x3 4x2 2 a 0 e 23 b 0 e 38 c 0 e 38 d 0 e 83 e 0 e 13