Derivadas Direcionais e Taxas de Variação em Funções de Múltiplas Variáveis

D E R I V A D a s direcional É um valor escalar que representa a derivada de um campo escalar ao longo de um vetor OBJETIVO Permite encontrar uma taxa de variação de uma função de duas ou mais variáveis em qualquer direção reta R u cos 0 i sen 0j versos ao longo da reta R i u u Derivada direcional f em P0 na u Duf x0y0 fxx0y0 cos0 fyx0y0 sen0 Operador Gradiente grad f ou vf O gradiente pode ser usado para determinar direção de máximo crescimento ou decrescimento de um fluxo de um campo escalar é um vetor dá a direção do maior aumento de f NABLA v 2 variáveis 3 variáveis GRAD F OU VF Vf ou grand f 2 variáveis Vf ou grand f 2 variáveis Relação entre vetor gradiente e derivada direcional Duf x0y0 vfx0y0 u onde u u u Derivada direcional máxima taxa máxima de crescimento Duf x0y0 Vf x0y0 max Derivada direcional mínima taxa mínima de crescimento Duf x0y0 Vf x0y0 min 4x In 1 jogsoe 7 I E 3 6i 6j 6567 t 6x 6 Y 6 98 72 158 6f 1 ⑳ Deri va da s direcional exemplos 01 determine a derivada direcional da função fxy xy 4y no ponto 21 na direção do vetor v 2i 5j 02 a Se fxy 5x 3x y 1 determine a taxa de variação de f no ponto P12 em direção ao ponto Q55 b Em que direção f tem a máxima taxa de variação Qual é a máxima taxa de variação na direção do gradiente 03 A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola que tomamos como origem A temperatura no ponto 122 é 120C a Determine a taxa de variação de T em P122 em direção ao ponto Q215 s 23 1 7 Drfx040 fx04005f 82 278 661 1e Duf2 1 fG 1 6f 2xy x2 1 22 1 367 3xy242 1 322 1 5 8 3x vGI 5 i 0 y 2i 58 4ca Drf21 1482aa 5 49 32 S 29 2 Duf 12 f 12 fx 10x 3 fx12 7 5 P a P 55 12 43 fy 1fy12 1 i 5s f 1 7 1Duf12 71313 685 Dufmax 1 f121 172 12 50 xyz 360 360x 4 zi k x 2 y2 22 DrT 162 valores máximos e mínimos OBJETIVO Usar as derivadas parciais para localizar os pontos de máximo e mínimo de uma função de 2 variáveis PONTO MÁXIMO Uma função de duas variáveis tem um máximo local em a b se fxy fab quando xy está próximo de ab PONTO MÍNIMO Uma função de duas variáveis tem um mínimo local em a b se fxy fab quando xy está próximo de ab pontos críticos o ponto critico a b pertence ao domínio fxy para os quais fxab 0 e fyab 0 critérios para classificação de pontos críticos Teste da segunda derivada seja f uma função de duas variáveis x e y e continua com derivadas parciais até a segunda ordem continuas Seja ab um ponto critico de f Assim HESSEANO Hab é o determinante de fxy no ponto ab Se fxx ab fxy ab fyx ab fyy ab 1 Hab 0 o teste não se aplica 2 Hab 0 e fxx ab 0 ab será um ponto de mínimo 3 Hab 0 ab será um ponto de sela EXEMPLOS a fxy x y 2x 6y 14 pontos críticos Fx 0 Fy 0 classificação pto crítico 2 0 4 0 2 H130 e fxx13 2 0 ponto de mínimo b fxy y x pto crítico fx 0 fy 0 pto crítico 00 ou 000 classificação H00 2 0 4 0 2 H00 0 ponto de sela c fxy z x 3xy 3x 3y 4 pto crítico fx 0 fy 0 pontos 00 e 20 11 e 11 I z Y E d 22 fx 2x 2 0 xx 2x 1 fy xy 6 0 2y 6y 3 ptocriticos134 2 2 2x 0x 0 2y 0y 0 3 22 2 fx 3x 2342 6x 070 fy 6x4 Gy 0 6x 1 01 3x26 x 0 x 0 x 1 3 342 6 0 x 2 3xx 2 0 y 2 1y 1 classificação dos pontos críticos pto crítico 00 20 11 11 Hab 36 36 36 36 classificação máximo mínimo sela sela fab 4 0 determinar hesseano Hab 6x 6 6y 6x6 36y 6y 6x6 02 determine a menor distancia entre o ponto 211 e o plano x y z 1 o ponto pertence ao ponto x y z 1 z x y 1 pto crítico fx0 fy0 pontos x1 y0 zxy10 classificação H10 4 2 16 4 12 0 fxx 4 0 2 4 distância entre 2 pontos d xx0 yy0 zz0 fx 3 x 2 3y2 6 xfy 6xy 64 12 fxx 6x 6 fyy 6x 6 fxy 64 fyx 6y a x 2y 12z 12 D 02 x 2 y 12 z 12 ofx 2x 2 2x y1 fu 2y 11 2x 41 fx 2x 4 2x 24 fy 2y 2 2x 24 fx 4x 24 41 fy 2 x 442 E 4x 24 4 E 4x 2y 4 x 64 0 2x 0 2 2x 44 2 2x 4y 4 4 0 x 1 2 2 it a x 2y 122 12 1 22 1 112 5 multiplicadores de lagrange objetivo Serve para maximizar uma funcao generica fxyz sujeita a uma restricao ou vinculo da forma gxyz K funcao de duas variaveis Determinar os valores extremos de fxyz quando o ponto xy pertencer a curva de nivel gxy K curva de nivel fxy C C78910 gxy K gxy K restricao Determinar o valor de c tal que a curva de nivel fxy intercepta gxy K Isso acontece quando essas curvas tem uma reta tangente comum isto e as retas normais no ponto xy devem ser as mesmas Logo os vetores gradientes f e g sao paralelos para algum valor escalar de x otimizar restricao multiplicador de lagrange metodo multiplicadores de lagrange duas variaveis tres variaveis exemplos 1 Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 cm de papelao Determine o volume maximo dessa caixa substituindo xy2z em 4 Vmaximo xyz4 m E w 1 fxy 10 K fix fxy 7 7 7 x1g I Dfi Dfy Dx BY I A fx f4y xgxi g4I fx fyy fzk Agxi gyy g2k fx 1gx fx Agx fu 184 fy xg4 gxy k fz Agz gxyz k w max fxyz x4z I fxi fyj fzk gxi gyy g2k gxyz 12 y2i x2y xy y 22i x 2zy 2x 2yk gxyz 12m2 rea 42 x2xy y 2zx 222x 24 crea x4 2x 2 242 12 42x2xy xy 2xx 222x 2y x42 1y 2x x Axy72x2 11xy2x2 1xy 2x2 4x2 Ax2z4 122 xy 2x2 xy 242 X 4 2 2 x 4 12x 24z 223 x4 2x2 2x2 2yzy 22 X42x2 2y2 12 x 4 22 222z 2222 2222 12 42422422 12 22 12 1 2 Determine a menor distancia entre o ponto 203 e o plano xyz1 F d x 21y 012 z 32 Efxi fyj fzE j gxi g4j gzk d x 21y 012 z 32 E 2x 2i 24j 2z 3k 5 1 1 1 gxyz x y z 1 2x22y2z 3 111 2x22422 3 1111 2x 2 1x E 2 5 1 2 1 5 3 1 24 1y E A 2x 1 2z3 12 2 3 5 x y z 1 d 2221 5 32 25