Aula 6: Funções Exponencial e Logarítmica

Matemática e Estatística Professor Carlos Henrique de Jesus Costa AULA 6 Fungoes Exponencial e Logaritmica Me en dar h ON revel reeds necbno Fungao Exponencial CS eereren Densnel LOY Ls rslsclnehenn aerator onl FUMGAO LOGATITINICA ssssssscesssssssssssscsscssceessnssnsccsseseconscssssessnsscescnscssscsescesenscsescessssseeseeeses 18 ReFErENCIAS cacususesnsnmeneutetesemenetteeneuuenenenemieneneueeeemeneenn hed AULA 6 Matematica e Estatistica AULA 6 Matemática e Estatística Funções Exponencial e Logarítmica Função Exponencial 𝒚 𝑨 𝒙 ou 𝒇𝒙 𝑨 𝒙 Uma função dada por 𝑓𝑥 𝐴 𝑥 com 𝐴 1 e 𝐴 0 é denominada função exponencial de base 𝐴 e definida para todo x real 𝑥 𝑅 Então podemos dizer que qualquer função na qual a variável independente x é o expoente potência é uma função exponencial Exemplos 1 𝑓𝑥 3 𝑥 2 𝑦 1 2 𝑥 3 𝑓𝑥 09 𝑥 4 𝑦 10 𝑥 Importante Na definição a obrigatoriedade de que a base 𝑨 seja positiva 𝑨 𝟎 é porque por exemplo podemos ter o seguinte caso 𝑓𝑥 𝐴 𝑥 𝑓𝑥 4 1 2 𝑓𝑥 4 1 2 ou 𝑓𝑥 4 3 Lembrando Veja que podemos transformar uma operação de potenciação com um expoente fracionário em uma operação envolvendo raiz 𝑨 𝒎 𝒏 𝑨𝒏 𝒎 AULA 6 Matemática e Estatística Portanto temos uma raiz quadrada índice par de um número negativo e consequentemente não é um número real Gráfico O gráfico da função exponencial é uma curva que tem sua forma CRESCENTE caso sua base 𝑨 seja maior que 1 um ou 𝑨 𝟏 e sua forma DECRESCENTE caso sua base 𝑨 esteja entre 0 zero e 1 um ou 𝟎 𝑨 𝟏 Resumo esboço gráfico Exemplos 1 Construir o gráfico da função exponencial 𝑓𝑥 2𝑥 dentro do intervalo 3 3 Obs Lembrando que uma estratégia para construir o gráfico de uma função consiste em atribuir valores para a variável x dentro de um determinado intervalo domínio da função de forma que os valores de x estejam próximos uns dos outros 4 AULA 6 Matemática e Estatística Resolução Atribuiremos a x os valores no intervalo aleatório de 3 3 Assim temos 𝒙 𝒇𝒙 𝟐𝒙 𝒚 𝒇𝒙 Pontos 3 𝑓𝑥 23 1 23 1 8 𝑜𝑢 0125 0125 𝑃1 3 0125 2 𝑓𝑥 22 1 22 1 4 𝑜𝑢 025 025 𝑃2 2 025 1 𝑓𝑥 21 1 21 1 2 𝑜𝑢 05 05 𝑃3 1 05 0 𝑓𝑥 20 1 1 𝑃4 0 1 1 𝑓𝑥 21 2 2 𝑃5 1 2 2 𝑓𝑥 22 4 4 𝑃6 2 4 3 𝑓𝑥 23 8 8 𝑃7 3 8 Lembrando Veja que quando temos um expoente negativo antes de efetuarmos o cálculo da potência o primeiro passo é inverter a base com seu expoente e mudar o sinal do expoente para só depois efetuarmos o cálculo da potência 𝑨𝒃 𝟏 𝑨 𝒃 5 AULA 6 Matemática e Estatística 2 Construir o gráfico da função exponencial 𝑓𝑥 1 2 𝑥 dentro do intervalo 3 3 Resolução Atribuiremos a x os valores no intervalo aleatório de 3 3 Assim temos 𝒙 𝒇𝒙 𝟏 𝟐 𝒙 𝒚 𝒇𝒙 Pontos 3 𝑓𝑥 1 2 3 2 1 3 23 8 8 𝑃1 3 8 2 𝑓𝑥 1 2 2 2 1 2 22 4 4 𝑃2 2 4 1 𝑓𝑥 1 2 1 2 1 1 21 2 2 𝑃3 1 2 0 𝑓𝑥 1 2 0 1 1 𝑃4 0 1 1 𝑓𝑥 1 2 1 1 2 𝑜𝑢 05 05 𝑃5 1 05 2 𝑓𝑥 1 2 2 1 4 𝑜𝑢 025 025 𝑃6 2 025 3 𝑓𝑥 1 2 3 1 8 𝑜𝑢 0125 0125 𝑃7 3 0125 6 AULA 6 Matemática e Estatística 3 Classifique cada uma das funções exponenciais em crescente ou decrescente a 𝑓𝑥 1 5 𝑥 Resposta Como a base é 𝟏 𝟓 ou seja equivale a 1 5 02 portanto o resultado está entre 0 e 1 Então o gráfico dessa função exponencial é decrescente b 𝑦 7 𝑥 Resposta Como a base é 𝟕 maior que 1 portanto o gráfico dessa função exponencial é crescente c 𝑦 2 𝑥 7 AULA 6 Matemática e Estatística Resposta Como a base é 𝟐 ou seja equivale a aproximadamente 142 portanto o resultado é maior que 1 Então o gráfico dessa função exponencial é crescente d 𝑓𝑥 2 2 𝑥 Resposta Como a base é 𝟐 𝟐 ou seja equivale a aproximadamente 2 2 07 portanto o resultado está entre 0 e 1 Então o gráfico dessa função exponencial é decrescente Importante Agora se possível tente acessar o aplicativo chamado GEOGEBRA disponível gratuitamente na Internet digitando apenas o nome GEOGEBRA em seu navegador ou pelo seguinte endereço Erro A referência de hiperlink não é válida httpswwwgeogebraorggraphing acesso em jul 2022 Em seguida digite cada uma dessas funções do Exemplo 3 na parte superior da tela e confirme se o gráfico que está sendo formado é crescente ou decrescente ok Aplicação 4 A tabela a seguir traz o cálculo do aumento da produção anual em 10 de um certo produto em uma empresa no ramo de cosméticos cuja produção inicial era de 20000 unidades em 2018 Calcule a quantidade total de unidades desse produto a ser fabricada após quatro anos e estabeleça uma função que representa essa atualização da produção a cada ano sendo x o tempo em anos 8 AULA 6 Matemática e Estatística Anos ou x Período Produção em unidades 0 2018 20000 1 2019 2 2020 3 2021 4 2022 Resolução 1 cálculo efetuado com o auxílio da tabela a seguir e com a quantidade inicial de 20000 unidades de produção no ano de 2018 Anos ou x Período Aumento de produção de 10 ao ano Produção total 0 2018 20000 20000 1 2019 20000 x 10 2000 20000 2000 22000 2 2020 22000 x 10 2200 22000 2200 24200 3 2021 24200 x 10 2420 24200 2420 26620 4 2022 26620 x 10 2662 26620 2662 29282 2 cálculo por meio da função com 10 ou 010 de aumento anual na produção Importante Podemos dizer que as 20000 unidades representam 100 da produção inicial e se somarmos mais 10 a cada ano temos então 100 10 110 Se dividirmos por 100 obtemos 110 100 110 de aumento por ano na linha de produção desse cosmético 9 AULA 6 Matemática e Estatística Anos ou x Período Aumento de produção de 10 ao ano Produção total Função fx 0 2018 20000 20000 f0 20000 x 110 0 1 2019 20000 x 10 2000 22000 f1 20000 x 110 1 2 2020 22000 x 10 2200 24200 f2 20000 x 110 2 3 2021 24200 x 10 2420 26620 f3 20000 x 110 3 4 2022 26620 x 10 2662 29282 f4 20000 x 110 4 x fx 20000 x 110 x Agora com a função exponencial obtida a qual representa a atualização da quantidade total de produção a cada ano podemos calcular diretamente o total de produção em unidades após 4 quatro anos assim 𝑓𝑥 20000 𝑥 110𝑥 𝑓4 20000 𝑥 1104 𝑓4 20000 𝑥 14641 𝑓4 29282 Equações exponenciais Chamase equação exponencial toda equação que contém incógnita no expoente Exemplos 1 2 𝑥 128 2 1 27 𝑥 9 3 5 𝑥 25 3 10 AULA 6 Matemática e Estatística 4 72 𝑥7 112 5 2 2𝑥 5 2𝑥 4 0 Para resolver uma equação exponencial devemos transformar a equação dada em igualdade de mesma base ou seja devemos obter potências de mesma base no primeiro e no segundo membro da equação Para isso aplicaremos as definições e propriedades da potenciação Exemplos 1 Resolver a equação 2 𝑥 128 Resolução 1 passo igualaremos as bases nos dois membros da equação Para isso veja que o 128 maior valor dá para decompor em bases 2 menor valor então 2 𝑥 128 2 𝑥 2 7 11 AULA 6 Matemática e Estatística 2 passo como as bases nos dois membros são iguais cancelamos e apenas igualamos os expoentes então 𝑥 7 𝑆 7 2 Resolver a equação 1 27 𝑥 9 Resolução 1 passo igualaremos as bases nos dois membros da equação Para isso veja que desta vez devemos decompor tanto o valor 27 como o valor 9 em bases 3 então 1 27 𝑥 9 1 3³ 𝑥 3² 33𝑥 32 33𝑥 32 2 passo como as bases nos dois membros são iguais cancelamos e apenas igualamos os expoentes então 3𝑥 2 𝑥 2 3 𝑜𝑢 𝑥 2 3 𝑆 2 3 12 AULA 6 Matemática e Estatística 3 Resolver a equação 5 𝑥 25 3 Resolução 1 passo igualaremos as bases nos dois membros da equação Para isso veja que o 25 maior valor dá para decompor em bases 5 menor valor então 5 𝑥 25 3 5 𝑥 5² 3 5 𝑥 5 2 3 2 passo como as bases nos dois membros são iguais cancelamos e apenas igualamos os expoentes então 𝑥 2 3 𝑆 2 3 4 Resolver a equação 72 𝑥7 112 Resolução 1 passo antes de igualar as bases passaremos o valor 7 para o outro lado da equação então 72 𝑥7 112 2 𝑥7 112 7 2 𝑥7 16 13 AULA 6 Matemática e Estatística 2 passo igualaremos as bases nos dois membros da equação Para isso veja que o 16 maior valor dá para decompor em bases 2 menor valor então 2 𝑥7 16 2 𝑥7 2 4 3 passo como as bases nos dois membros são iguais cancelamos e apenas igualamos os expoentes então 𝑥 7 4 𝑥 4 7 𝑥 11 𝑆 11 5 Resolver a equação 2 2𝑥 5 2𝑥 4 0 Resolução Nesse tipo de equação devemos usar outra estratégia de resolução Transformaremos essa equação exponencial em uma equação do 2 grau do seguinte modo 1 passo trocaremos 2𝑥 por outra variável y então 2 2𝑥 5 2𝑥 4 0 2𝑥 2 5 2 𝑥 4 0 14 AULA 6 Matemática e Estatística Fazendo 2 𝑥 𝑦 teremos a equação 𝑦2 5 𝑦 4 0 resolução da equação do 2 grau Como 2 𝑥 𝑦 temos 𝑆 0 2 Aplicação 6 Sabendo que em uma pesquisa constatouse que a população P de determinada bactéria cresce segundo a função 𝑃𝑡 125 2𝑡 em que t é o tempo em horas o valor 125 é a população inicial de bactérias e a base 2 indica que a cada hora uma bactéria se reproduz em duas Portanto calcule o tempo em horas que essa população inicial de 125 bactérias demora para atingir uma população de 4000 bactérias 15 AULA 6 Matemática e Estatística Resolução De maneira bem simples trocaremos as informações na função dada então 𝑃𝑡 125 2𝑡 4000 25 2𝑡 ou 125 2𝑡 4000 2𝑡 4000 125 2𝑡 32 2𝑡 25 𝑡 5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Resposta Em cinco horas a população inicial de 125 bactérias se transformará em 4000 bactérias Agora é sua vez Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados Atividades práticas 1 Resolva as equações exponenciais a seguir a 5 𝑥2 125 Resposta 𝑆 5 b 10 3𝑥 1 1000000 Resposta 𝑆 2 c 1 343 𝑥 49 Resposta 𝑆 2 3 16 AULA 6 Matemática e Estatística d 10010 3 10005 𝑥 Resposta 𝑆 3 e 3 2𝑥 4 3𝑥 3 0 Resposta 𝑆 0 1 2 Aplicamse R 500000 a 12 de juro anual durante oito anos lembrando que são juros sobre juros Quanto dinheiro haverá ao final desses oito anos Dado 𝑀 𝐶 1 𝑖𝑛 Resposta Ao final de oito anos teremos o montante de R 1237982 3 Em uma cidade temos 12000 habitantes na data de hoje Sabendo que essa população cresce a uma taxa de 24 ao ano responda às questões a seguir a Qual é a função exponencial que representa essa taxa Resposta 𝑓𝑥 12000 1024𝑥 a Qual é o número aproximado de habitantes daqui a seis anos Resposta 13835 b Qual é o número aproximado de habitantes daqui a 22 anos Resposta 20220 4 A tabela a seguir traz o cálculo da depreciação de um grande equipamento cujo valor inicial era de R 600000000 em janeiro de 2017 e que apresenta uma perda anual de 5 ao ano Qual seria a função que representa o valor atual deste equipamento a cada ano após a depreciação sendo x o tempo em anos e calcule o valor atual do equipamento em janeiro de 2021 após quatro anos 17 AULA 6 Matemática e Estatística Obs Depreciação é um conceito utilizado em contabilidade para se referir à perda de valor de um bem resultante de seu uso Resposta Função 𝑓𝑥 6000000 095 𝑥 e após quatro anos em janeiro de 2021 o valor atual desse equipamento é de R 488703750 Função Logarítmica 𝒚 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒙 ou 𝒇𝒙 𝐥𝐨𝐠 𝒃 𝒙 A função inversa da função exponencial é a função logarítmica definida por 𝑓𝑥 log 𝑏 𝑥 com 𝑏 0 e 𝑏 1 Devemos lembrar que para existir o logaritmo é preciso que x seja positivo ou 𝑥 0 Exemplos 1 𝑓𝑥 log 2 𝑥 2 𝑦 log 1 2 𝑥 3 𝑓𝑥 log 3 𝑥 1 4 𝑦 log 𝑥 Gráfico O gráfico da função logarítmica é uma curva que tem sua forma CRESCENTE caso sua base 𝒃 seja maior que 1 um ou 𝒃 𝟏 e sua forma DECRESCENTE caso sua base 𝒃 esteja entre 0 zero e 1 um ou 𝟎 𝒃 𝟏 18 AULA 6 Matemática e Estatística Resumo esboço gráfico Exemplos 1 Construir o gráfico da função logarítmica 𝑓𝑥 log 2 𝑥 Obs Nesse caso também atribuiremos valores para a variável x mas como sabemos que o inverso da função logarítmica é a função exponencial então para facilitar nossos cálculos já atribuiremos valores para x que se transformam na base 2 Resolução Atribuiremos a x os valores que formam base 2 Assim temos 𝒙 𝒇𝒙 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝒙 ou 𝒚 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 𝒚 𝒇𝒙 Pontos 1 8 𝑦 log2 1 8 𝟐𝒚 𝟏 𝟖 2𝑦 1 23 2𝑦 23 𝑦 3 3 𝑃1 1 8 3 1 4 𝑦 log2 1 4 𝟐𝒚 𝟏 𝟒 2𝑦 1 22 2𝑦 22 𝑦 2 2 𝑃2 1 4 2 1 2 𝑦 log2 1 2 𝟐𝒚 𝟏 𝟐 2𝑦 1 21 2𝑦 21 𝑦 1 1 𝑃3 1 2 1 1 𝑦 log2 1 𝟐𝒚 𝟏 2𝑦 20 𝑦 0 0 𝑃4 1 0 2 𝑦 log2 2 𝟐𝒚 𝟐¹ 𝑦 1 1 𝑃5 2 1 4 𝑦 log2 4 𝟐𝒚 𝟒 2𝑦 22 𝑦 2 2 𝑃6 4 2 8 𝑦 log2 8 𝟐𝒚 𝟖 2𝑦 23 𝑦 3 3 𝑃7 8 3 18 19 AULA 6 Matemática e Estatística 2 Construir o gráfico da função logarítmica 𝑓𝑥 log 1 2 𝑥 Resolução Atribuiremos a x os valores que formam base 1 2 Assim temos 𝒙 𝒇𝒙 𝐥𝐨𝐠 𝟏 𝟐 𝒙 ou 𝒚 𝐥𝐨𝐠 𝟏 𝟐 𝒙 𝒚 𝒇𝒙 Pontos 8 𝑦 log 1 2 8 𝟏 𝟐 𝒚 𝟖 1 2 𝑦 2³ 1 2 𝑦 1 2 3 𝑦 3 3 𝑃1 8 3 4 𝑦 log 1 2 4 𝟏 𝟐 𝒚 𝟒 1 2 𝑦 2² 1 2 𝑦 1 2 2 𝑦 2 2 𝑃2 4 2 2 𝑦 log 1 2 2 𝟏 𝟐 𝒚 𝟐 1 2 𝑦 1 2 1 𝑦 1 1 𝑃3 2 1 1 𝑦 log 1 2 1 𝟏 𝟐 𝒚 𝟏 1 2 𝑦 1 2 0 𝑦 0 0 𝑃4 1 0 1 2 𝑦 log 1 2 1 2 𝟏 𝟐 𝒚 𝟏 𝟐 1 2 𝑦 1 2 1 𝑦 1 1 𝑃5 1 2 1 1 4 𝑦 log 1 2 1 4 𝟏 𝟐 𝒚 𝟏 𝟒 1 2 𝑦 1 22 1 2 𝑦 1 2 2 𝑦 2 2 𝑃6 1 4 2 1 8 𝑦 log 1 2 1 8 𝟏 𝟐 𝒚 𝟏 𝟖 1 2 𝑦 1 23 1 2 𝑦 1 2 3 𝑦 3 3 𝑃7 1 8 3 20 AULA 6 Matemática e Estatística Aplicação Uma única bactéria duplica a cada quatro horas Quanto tempo levará para essa única bactéria atingir uma população de 1024 bactérias Dados Modelo para o cálculo 𝑃𝑡 1 2 𝑡 4 Sendo P população de bactérias t tempo em horas e o valor 1 se refere a uma única bactéria Com uma calculadora científica obtemos log 1024 30103 e log 2 03010 21 AULA 6 Matemática e Estatística Resolução 1 passo trocaremos os dados no modelo apresentado para o cálculo da população de bactérias 𝑃𝑡 1 2 𝑡 4 1000 1 2 𝑡 4 ou 1 2 𝑡 4 1000 2 𝑡 4 1000 1 2 𝑡 4 1000 log 2 𝑡 4 log 1000 𝑡 4 log 2 log 1000 𝑡 4 log 1000 log 2 𝑡 4 30103 03010 03010 𝑡 301034 𝑡 120412 03010 𝑡 40 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Resposta Então temos que após 40 horas uma bactéria chegará a uma população de 1024 bactérias Utilizamos o logaritmo dos dois lados da equação para tombar o expoente t4 Trocamos os valores dados no enunciado do exercício multiplicando em xis 22 AULA 6 Matemática e Estatística Equações logarítmicas As equações logarítmicas são solucionadas por meio da definição de logaritmo Devemos determinar o valor ou os valores da incógnita que tornam a sentença verdadeira Para resolvermos uma equação devemos obter 1 passo condição de existência 2 passo cálculo da equação 3 passo verificação com as soluções da equação nas condições de existência Condições de existência dos logaritmos Por exemplo os logaritmos a seguir NÃO EXISTEM 𝐥𝐨𝐠 𝟐 𝟑𝟐 𝐥𝐨𝐠 𝟕 𝟎 𝐥𝐨𝐠 𝟎 𝟖 𝐥𝐨𝐠 𝟏 𝟓 Assim para que os logaritmos sempre existam devemos ter Exemplos 1 Solucione a equação logarítmica log 2 2𝑥 1 3 23 AULA 6 Matemática e Estatística Resolução 1 passo condição de existência 2 passo cálculo da equação 3 passo verificação com a solução da equação x 45 nas condições de existência Resposta Portanto como o resultado 8 é maior que zero confirmamos que a solução da equação é 𝑆 45 2 Solucione a equação logarítmica log 3 𝑥 4 24 AULA 6 Matemática e Estatística Resolução 1 passo condição de existência 2 passo cálculo da equação 3 passo verificação com a solução da equação x 81 nas condições de existência Resposta Portanto como o resultado 81 é maior que zero confirmamos que a solução da equação é 𝑆 81 3 Solucione a equação logarítmica log 5 𝑥2 4𝑥 20 0 25 AULA 6 Matemática e Estatística Resolução 1 passo condição de existência 2 passo cálculo da equação 26 AULA 6 Matemática e Estatística 3 passo verificação com as soluções da equação x 3 e x 7 nas condições de existência Resposta Portanto como nos dois casos o resultado foi 1 e é maior que zero confirmamos que a solução da equação é 𝑆 7 3 Agora é sua vez Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados Atividades práticas 1 Resolva as equações logarítmicas a seguir a log 1 5 𝑥 2 Resposta S 25 b log 2 𝑥3 𝑥1 1 Resposta S 5 c log 12 𝑥2 𝑥 1 Resposta S 3 4 d log 3 𝑥 10 4 Resposta S 91 2 Após um certo período de tempo uma aplicação financeira de R 230000 foi resgatada por R 415000 Sabendo que a taxa de juros compostos praticada nessa operação foi de 9 ao ano qual foi o prazo dessa aplicação 27 AULA 6 Matemática e Estatística Dados Modelo para o cálculo 4150 2300 109 𝑛 sendo n o prazo da aplicação em anos Com uma calculadora científica obtemos log 18043 02563 e log 109 003742 Resposta O prazo dessa aplicação foi de 685 anos ou aproximadamente sete anos Conclusão Espero que o conceito das funções exponencial e logarítmica apresentado nesta aula tenha facilitado seu entendimento na construção e análise de modelos matemáticos em curvas crescente ou decrescente além de o utilizarmos em situações do dia a dia como no cálculo de depreciação de equipamentos ou no aumento anual de uma linha de produção dentro de uma empresa a evolução populacional de pessoas ou bactérias e ainda no cálculo de prazos de aplicações financeiras Então para um melhor aproveitamento procure reler o material teórico e refazer todos os exemplos do material Para complementar seus estudos ou aprofundálos não deixe de fazer as Atividades Práticas propostas ok Bons estudos 28 AULA 6 Matemática e Estatística Referências DEMANA F D et al Précálculo 2 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2013 GOLDSTEIN L J et al Matemática aplicada economia administração e contabilidade 12 ed Porto Alegre Bookman 2012 JACQUES I Matemática para economia e administração 6 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 JOHNSON R KUBY P Estat São Paulo Cengage Learning 2013 LAPA N Matemática aplicada São Paulo Saraiva 2012 SWEENEY D J WILLIAMS T A ANDERSON D R Estatística aplicada à administração e economia 3 ed São Paulo Cengage Learning 2013 VERAS L L Matemática aplicada à economia síntese da teoria 3 ed São Paulo Atlas 2011 VIEIRA S Estatística básica São Paulo Cengage Learning 2015 29