Atividades de Teoria dos Conjuntos - Princípio da Indução

ATIVIDADE DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Teoria dos conjuntos princípio da indução matemática 150 Fazendo indução em n Base n1 é claro que 21 111 Passo Supndo que é valido para n1 2 4 2n1 n1n11 adicionando 2n 2 4 2n1 2n n1n 2n 2 4 2n n2 n 2n 2 4 2n n2 n 2 4 2n nn1 logo é válido para n 151 Fazendo indução em n Base Para n1 é claro que 31 2 1 131 12 Passo Supndo válido para n1 1 4 3n1 2 n13n112 somando 3n 2 1 4 3n1 2 3n 2 n13n112 3n 2 1 4 3n 2 n13n 4 6n 42 1 4 3n 2 3n2 4n 3n 4 6n 42 1 4 3n 2 3n2 n2 1 4 3n 2 n3n 12 logo é válido para n 152 Fazendo indução em n Base Para n1 é claro que 12 1 1112116 Passo Supndo válido para n1 12 22 n12 n1n112n116 somando n2 12 22 n12 n2 n1n2n16 n2 12 22 n2 n2n2 n 2n 1 6n26 12 22 n2 n2n2 3n 1 6n6 12 22 n2 n2n2 3n 16 12 22 n2 nn12n16 logo é válido para n 153 Fazendo indução em n Base Para n1 é claro que 1211211 13 1211 Passo Suponho válido para n1 113 135 12n112n11 n12n11 somando 12n12n1 113 135 12n112n11 12n12n1 n12n11 12n12n1 113 135 12n12n1 n12n1 12n12n1 113 135 12n12n1 n12n1 12n12n1 113 135 12n12n1 2n2 n 2n 1 12n12n1 113 135 12n12n1 n2n12n12n1 113 135 12n12n1 n2n1 logo é válido para n 156 Fazendo indução em n Base Para n1 n3 4n 6 13 41 6 3 que é divisível por 3 Passo Suponha que é válido para n1 isto é n13 4n1 6 é divisível por 3 Assim n3 4n 6 n13 4n1 6 n3 4n 6 n3 3n2 3n 1 4n 4 6 3n2 3n 3 3n2 n 1 logo é divisível por 3 como é divisível por 3 por hipótese de indução então n3 4n 6 é Portanto é válido para n 157 Fazendo indução em n Base Para n1 é claro que 13 12 Passo Supondo válido para n1 13 23 n13 12n12 usando a identidade 13 23 n13 n1n1122 somando n3 13 23 n13 n3 nn122 n3 13 23 n3 n2n12 4n34 n2n2 2n 1 4n34 13 23 n3 n4 2n3 n2 4n34 n4 2n3 n24 13 23 n3 n2n2 2n 122 13 23 n3 n2 n1222 nn122 usando a identidade 13 23 n3 12n2 logo é válido para n 1 Fazendo indução em n Base Para n1 P1 é válido pois 1 41 341 1 15 141 1 Passo Supondo Pn1 é válido Assim 115 159 1 4n1 34n1 1 1 4n 34n 1 n14n1 1 1 4n 34n 1 n14n 3 1 4n 34n 1 4n 1n1 1 4n 34n 1 4n² 4n n 1 1 4n 34n 1 4n² 3n 4n 34n 1 n4n 3 4n 34n 1 n 4n 1 Logo Pn é válido 2 Fazendo indução em n Base Para n1 P1 é válido pois 1³ 21 3 que é divisível por 3 Passo Supondo Pn1 válido assim n³ 2n n1³ 2n1 n³ 2n n³ 3n² 3n 1 2n 2 3 n² 3n 3 3 n² n 1 é divisível por 3 como Pn1 é válido é divisível por 3 assim n³ 2n é divisível por 3 Portanto Pn é válido