Autovalores e Autovetores - Definições, Exemplos e Determinação

Autovalores e autovetores de um operador linear Professor Christiano Definições Definição Um operador linear é uma transformação linear T V V Definição Um vetor é um autovetor do operador linear T se existe uma constante denominada de autovalor de T se T Exemplos Considere a transformação linear 1 Temos que o vetor é um autovetor do operador linear T relacionado ao autovalor Com efeito Nem todo operador linear tem autovetores ou seja há operadores lineares que não conserva ou mantém nenhuma direção Este operador linear não possui nenhum autovetor anti horária O Determinação de Autovalores e autovetores Observação Em alguns livros como no Steinbruch os autovalores são denominados de valores próprios e os autovetores de vetores próprios Definição Seja A uma matriz de ordem n Um vetor coluna v de ordem n x 1 é um autovetor da matriz A se existe um número real denominado de autovalor da matriz tal que Av v Dizemos que o autovetor v da matriz relacionado ao autovalor Determinação de autovalores 1º passo Determine a matriz A T 2º passo Resolva a equação p polinômio característico p Exemplo Determine os autovalores do operador linear T IR² IR² 1º passo 2º passo Resolva a equação Assim os autovalores do operador linear são Determinação dos autovetores 1º passo Determine os autovalores da matriz A T 2º passo Para cada autovalor resolva o sistema linear homogêneo Estamos interessado em que Exemplo Determine os autovalores do operador linear T IR² IR² 1º passo Os autovalores do operador linear T ou da matriz são 2º passo Considere autovetores associados ao autovalor 1 Considere Portanto são autovetores do autovalor 2 𝑥2é 𝑢𝑚𝑎𝑣𝑎 𝑙𝑖𝑣𝑟𝑒 Teorema Se A é a matriz do operador linear T V V e p é o polinômio característico da matriz A então p A O matriz nula Exemplo T IR² IR² 2 e