Transformações Lineares - Núcleo e Imagem: Conceitos, Teoremas e Exercícios

Núcleo e imagem de uma transformação linear Professor Christiano Núcleo de uma transformação linear Definição O núcleo de uma transformação linear T V W é o conjunto de todos os vetores tais que Denotação Assim Resultados e teoremas 1 Teorema Dada a transformação linear T V W O núcleo da transformação linear T denotado por é um subespaço vetorial de V Prova Como então Admita que Admita que Logo o é um subespaço vetorial do espaço vetorial V Definição Dizemos que uma transformação linear T é injetora se vetores diferentes tem imagens diferentes ou seja Teorema Seja T V W uma transformação linear é injetora se somente se Prova Logo Admita que Segue que Exemplos Dada a transformação T determine o núcleo da transformação linear T denotado por também determine uma base para e verifique se a transformação linear é injetora A B Soluções Como então T é injetora Como então não existe uma base para o Determinação de uma base para o é uma base para o subespaço vetorial Teorema e resultado Teorema T V W é injetora se somente se T leva conjunto de vetores LI de V em conjunto de vetores LI de W Prova Seja um conjunto LI Considere a seguinte combinação nula Logo o conjunto é um conjunto LI Prova Seja Como a transformação linear T leva conjunto de vetores LI de V em conjunto de vetores de W então pois é um conjunto de vetores LI Segue que Logo Como então T é uma transformação linear injetora Exemplo LI LD 100 010 001 11 0 1 9 1 0 T100 1 1 T0 1 0 0 1 e T0 0 1 9 1 0 Aplicação comentário A equação diferencial é uma constante positiva surge em muitos problemas em engenharia que envolve vibrações A solução da equação diferencia é o núcleo da transformação linear A base do núcleo da transformação linear D é Assim solução geral da equação diferencial é dada por Exercícios no word Imagem de uma transformação linear Seja T V W uma transformação linear A imagem de uma transformação linear são todos os vetores do espaço vetorial W que são imagem de algum vetor do espaço vetorial V Notação ImT ou TV ImT w ϵ W existe v ϵ V tal que Tv w Teoremas e resultados Teorema Seja T V W uma transformação linear então ImT é um subespaço vetorial do espaço vetorial W Prova Temos que Admita que Exemplo Determine a imagem da transformação linear dada Também determine uma base para ImT A B Solução Item A Admita que Segue que a a b b x y z Donde obtemos que Assim para que o sistema seja possível devemos ter Logo Determinação de uma base para ImT Temos que Assim Daí temos que B é uma base para subespaço vetorial Solução B Considere Donde obtemos que Temos que Uma base para a neste caso Teorema e resultado Teorema Se T V W é uma transformação linear sobrejetora se somente se T leva conjunto gerador em conjunto gerador Prova Seja A um conjunto gerador do espaço vetorial V ou seja SA V Considere o conjunto um vetor qualquer Como T é uma transformação linear sobrejetora então existe Daí Logo STA W Daí TA é um conjunto gerador Prova Seja um conjunto gerador do espaço vetorial V Por hipótese temos que é um conjunto gerador do espaço vetorial W Considere Temos que existem Tais que Logo T é sobrejetora Exemplo Aplicação T IR² IR³ dada por Tx y x y x y não é sobrejetora Com efeito considere B 1 0 0 1 Temos que B é um conjunto gerador do espaço vetorial IR² Segue que TB 1 0 1 0 1 1 não é um conjunto gerador do espaço vetorial IR³ Como T não leva conjunto gerador em conjunto gerador então T não é uma transformação linear sobrejetora Teorema do núcleo e da imagem Teorema Sejam V e W espaços vetoriais Se T V W é uma transformação linear então dim V dim NT dim ImT Prova demonstração prova consulte o livro de álgebra linear Steinbruch Aplicação Verifique o teorema do núcleo e da imagem para a transformação linear T dada T IR² IR³ Tx y x y x y Solução Núcleo da transformação linear Logo a única solução é x y 0 Portanto Determinação da Imagem Admita que Segue que O sistema tem solução somente se Logo Segue que dim IR² 2 dim NT 0 e dim ImT 2 Portanto dim IR² dim NT dim ImT Isomorfismo entre espaços vetoriais Definição Uma transformação linear T V W é uma transformação linear bijetora se a transformação linear T for uma transformação linear injetora e sobrejetora Definição Dados dois espaços vetoriais V e W dizemos que os espaços vetoriais V e W são espaços vetoriais isomorfos se existe uma transformação linear bijetora Notação V W Observação Espaços vetoriais isomorfos possuem as mesmas propriedades ou seja do ponto de vista da álgebra linear são dois espaços vetoriais indistinguíveis Exemplos de espaços vetoriais isomorfos 1 2 EXERCÍCIOS NO WORD MUY BIEN