Diagonalizacao de Matriz Simetrica Autovalores e Autovetores - Guia Completo

Diagonalização de matriz simétrica e aplicação de autovalores e autovetores Professor Christiano Garcia Diagonalização de matriz simétrica Definição Uma matriz A de ordem n é uma matriz simétrica se Definição Dizemos que um operador linear é um operador simétrico se a matriz é uma matriz simétrica ou seja ou auto adjunto Definição Uma matriz P de ordem n é uma matriz ortogonal se Exemplo temos que Logo Portanto é uma matriz ortogonal Diagonalização ortogonal de matrizes simétricas Teorema Se é um operador linear simétrico então existe uma base formada por autovetores unitários tal que a matriz P ortogonal diagonaliza ortogonalmente a matriz ou seja Teorema Seja é um operador linear simétrico com autovalores distintos Se o autovetor relacionado com autovalor e o autovetor relacionado com autovalor então os autovetores são vetores ortogonais ou seja Exemplos Dadas as matrizes simétricas baixo determine uma matriz P ortogonal que diagonaliza ortogonalmente a matriz A e calcule A Solução do exemplo A 1º Passo Calcule os autovalores da matriz A Daí os autovalores da matriz A são 2º passo Determine os autovetores da matriz A relacionados aos autovalores obtidos no passo anterior Fazendo Fazendo obtemos que 3º passo Normalizar os autovetores obtido no passo anterior 4º passo Determinar a matriz ortogonal P onde as colunas são os autovetores normalizados de cada autovalor 5º passo Determine Solução do exemplo B 1º Passo Calcule os autovalores da matriz A Os autovalores da matriz A são 2º passo Determine os autovetores da matriz A associado a cada autovalor da matriz A obtidos no passo anterior com Fazendo obtemos que com Fazendo obtemos que Fazendo 3º passo Normalize os autovetores obtidos no 2º passo 4º passo Obtenha a matriz em que as colunas desta matriz são as coordenadas dos autovetores da matriz A normalizado de cada autovalor 5º passo Determine The end