Analise de Fluxo de Potencia em Sistemas Eletricos de Potencia SEP

com ip a corrente injetada no nó Efetuandose o produto YE da Equação 66 considerandose a equação obtida para o nó p vem ip Sp Ep YP1E1 YP2E2 YPPEPP YpnEn 68 da qual remanejandose os termos resulta Ep Sp Ep Yp1E1 Yp2E2 YpnEn Ypp 69 generalizandose para qualquer nó temse Ep Sp Ep p1 n pq YpqEq Ypp 610 Considerandose que um nó de um circuito elétrico é um ponto de conexão de linhas geradores transformadores e cargas este nó nada mais é do que a barra ou barramento de uma subestação daí a nomenclatura de sistemas elétricos utilizar o termo barra A Equação 65 indica que para um sistema de n barras são necessárias n equações semelhantes à Equação 610 Na prática entretanto uma das barras é tomada como referência considerandose esta tensão como conhecida Como dito anteriormente o somatório das potências geradas deve igualar o somatório das potências das cargas mais o total das perdas mas como as perdas são função do quadrado da corrente e como a corrente nos ramos é uma das incógnitas do problema o que se faz é fixar a potência das cargas e das gerações exceto uma a qual fornecerá a diferença de potência necessária para que a Equação 61 seja verificada considerandose 207 Um sistema elétrico de potência SEP deve ser adequado para transmitir a potência dos geradores a ele conectados e suprir a carga dos consumidores a qualquer instante sob condição adequada de tensão e manter a continuidade do suprimento em regime permanente Para assegurar que os consumidores serão sempre supridos é necessário verificar as condições de operação do SEP para todas as condições de carga a que o mesmo estará submetido no período considerado A verificação ou análise das condições operacionais dos SEP que podem ocorrer na prática de modo a se conhecer de antemão qual será o seu desempenho é feita pela determinação dos valores das tensões nos nós barras e das correntes nos ramos linhas e transformadores do sistema e denominase simulação do sistema e é feita para a condição de regime permanente em um determinado instante ou seja em que a geração e a carga não variam Embora se tenham correntes nos ramos preferese trabalhar com potências em virtude de tanto as cargas como as gerações serem expressas em termos de potências e com isso se facilita a análise daí o termo fluxo de potência A simulação de Fluxo de Potência é uma das mais poderosas ferramentas de análise de SEP sendo utilizada para a análise de sistemas existentes operação de sistemas ou de sistemas futuros planejamento de sistemas No primeiro caso verificase a possibilidade de suprir as cargas em condições normais e as ações corretivas no caso de falhas que venham a ocorrer em algum equipamento do sistema enquanto que no segundo caso determinamse os novos componentes a adicionar ao sistema para que este possa atender as cargas futuras 61 HISTÓRICO A análise do comportamento de um SEP por mais simples que seja representa um tremendo volume de cálculo tornandose inviável a sua solução por meio de cálculos manuais A partir do momento em que devido ao aumento das cargas dos consumidores tornouse necessário suprilos a partir de mais de uma usina e com mais de uma linha de transmissão formandose assim um sistema elétrico ou também uma rede ou uma malha não foi mais possível utilizar simplesmente as equações de linhas de transmissão já que estas possibilitam a determinação das condições de apenas um dos ramos da malha 208 A necessidade de método de cálculo mais rápido levou ao desenvolvimento já em 1929 do analisador de circuitos que era um computador analógico especialmente projetado para a análise das condições de um circuito de CA Por meio da utilização de um circuito elétrico em escala reduzida semelhante ao circuito do sistema elétrico real esse equipamento possibilitava determinar os fluxos de potência nas linhas e transformadores e as tensões das barras da malha para a condição de operação em regime permanente tanto em condição normal como em condições de emergência ou falha de algum equipamento possibilitando ainda obter as condições do sistema durante transitórios resultantes de curtoscircuitos ou de chaveamentos A utilização destes equipamentos como ferramentas de planejamento dos SEP durou até meados da década de 1950 Embora os analisadores de circuitos atendessem às necessidades de cálculo da época eram equipamentos enormes caros e só disponíveis em grandes empresas concessionárias ou consultoras sendo de utilização demorada face à necessidade de se executar toda a montagem e os testes do circuito elétrico análogo ao sistema real antes de se efetuarem os estudos Já no final da década de 1940 houve utilização de computadores digitais na área de eletricidade porém somente em meados da década de 1950 foi que com o aparecimento de computadores digitais de grande porte para a época tornouse possível sua utilização prática em SEP sendo que em 1956 Ward e Hale apresentaram um algoritmo prático para a solução dos cálculos Isso também provocou uma modificação dos métodos de cálculo passandose a utilizar principalmente métodos matriciais na solução de equações 62 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA Em um SEP temse um conjunto de cargas ou potências determinadas pelos consumidores e que constituem impedâncias em derivação para a terra em determinados pontos do sistema barras ou nós da malha que deverão ser supridas por usinas situadas em outros pontos do sistema distantes das cargas sendo que entre as barras de geração e de carga têmse as linhas de transmissão e os transformadores de subestações do sistema que formam os ramos da malha e constituem as impedâncias série do circuito elétrico Além destes componentes têmse ainda outras impedâncias em derivação para a terra constituídas pelos reatores e pelos bancos de capacitores Em regime permanente o somatório das potências das cargas mais o somatório das perdas deverá igualar o somatório das potências geradas pelas usinas arg P P P gerada c a perdas 61 209 Porém embora as cargas sejam constantes e a configuração do sistema seja única a potência gerada em cada usina potência despachada bem como a tensão terminal dos geradores pode variar dentro de uma faixa relativamente ampla dando origem desta forma a uma infinidade de soluções ao problema de fluxo de potência de um SEP que atendem a Equação 61 Para cada conjunto de condições de potências geradas e tensões dos nós há um conjunto de tensões nos demais nós e de fluxos no sistema e consequentemente diferentes perdas Considerandose as variáveis envolvidas têmse como elementos conhecidos a potência ativa e reativa das cargas valor constante a configuração topologia do sistema a potência ativa e reativa que cada usina ou máquina pode gerar e a tensão em seus terminais como elementos desconhecidos a tensão em cada barra de carga o fluxo de potência em cada linha ou transformador e as perdas no sistema 63 EQUACIONAMENTO DO PROBLEMA As equações utilizadas para a solução de problemas de fluxo de potência são obtidas com base na aplicação das leis de Kirchhoff aos nós e às malhas do sistema Estando o sistema em regime permanente com tensões senoidais na frequência nominal do sistema a soma algébrica das correntes em cada nó deve ser nula A solução das equações escritas uma para cada nó do sistema fornecerá a tensão de cada nó Com as tensões calculadas e com as admitâncias dos ramos do sistema calculase então a corrente dos ramos Na prática como se trabalha com potência dos geradores e das cargas preferese trabalhar com potência que flui nos ramos linhas e transformadores e por isso calculamse as potências com estas correntes e as tensões das barras daí o nome fluxo de potência ou também fluxo de carga em inglês load flow Tomando parte de um sistema com uma barra nó na qual um gerador injeta potência sob determinada tensão e à qual estão conectadas duas linhas de transmissão ligando outras duas barras conforme a Figura 61 Figura 61 Segmento de sistema 210 E aplicando a primeira Lei de Kirchhoff ao nó p temse 0 I I I p pq pr 62 onde pI corrente de nó Ipq e Ipr correntes de ramos e considerandose a tensão dos nós p E q E e rE e as admitâncias série das linhas ypq e ypr temse 0 p p q p r pq pr p S E E y E E y E 63 rearranjando os termos e explicitando a tensão Ep vem p q r pq pr p p pq pr S E y E y E E y y 64 A aplicação do método em um sistema generalizado implica utilizar as equações das correntes nos nós do sistema Considerandose um sistema de n nós temse a seguinte equação que relaciona correntes e tensões nodais por meio da matriz de admitâncias nodais 211 11 12 13 14 15 1 1 1 21 22 23 24 25 2 2 2 31 32 33 34 35 3 3 3 41 42 43 44 45 4 4 4 51 52 53 54 5 p n p n p n p n p n Y Y Y Y Y Y Y I Y Y Y Y Y Y Y I Y Y Y Y Y Y Y I Y Y Y Y Y Y Y I Y Y Y Y Y I I I 1 2 3 4 55 5 5 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 p n p p p p p pp pn p n n n n n np nn n E E E E Y Y E Y Y Y Y Y Y Y E Y Y Y Y Y Y Y E 65 ou I Y E 66 onde I vetor de correntes dos nós Y matriz de admitâncias nodais ou matriz Ybarra E vetor de tensões dos nós sendo S E I p p P I S E p p p 67 6 FLUXO DE POTÊNCIA 213 a tensão desta barra como a referência para os cálculos Esta barra é denominada de barra de referência ou barra swing do inglês swing bus ou barra oscilante A Equação 66 relaciona correntes e tensões por meio da matriz de admitâncias nodais do sistema Nesta equação temse como conhecida a matriz Y e como incógnitas as tensões e as correntes nas barras A Equação 610 é obtida para cada barra resultante do produto indicado pela Equação 66 Decomposta em suas partes real e imaginária resulta em duas equações para cada barra com quatro incógnitas Neste caso para que seja possível obter uma solução para o sistema de equações tornase necessário conhecer duas das incógnitas de cada barra resultando em um número de incógnitas igual ao número de equações As variáveis associadas a cada barra do sistema são potência ativa e reativa corrente na Equação 68 módulo e ângulo da tensão Assim considerando as variáveis existentes em cada barra podese caracterizar três tipos de barra nos SEP a barras PQ barra de carga onde são conhecidas as potências ativa e reativa das cargas e são desconhecidos o módulo e o ângulo da tensão b barras PV barra de geração onde são conhecidas a potência ativa e o módulo da tensão e são desconhecidas a potência reativa e o ângulo da tensão c barras Vθ barra de referência onde são conhecidos o módulo e o ângulo da tensão e são desconhecidas a potência ativa e a potência reativa Temse assim o Quadro 61 de tipos de variáveis Barra tipo Variáveis conhecidas Variáveis desconhecidas PQ P Q E θ PV P E Q θ Vθ E θ P Q Quadro 61 Tipos de variáveis As equações necessárias à obtenção da tensão das barras embora sejam algébricas não são lineares e assim não é possível utilizar os métodos diretos de solução de circuitos elétricos sendo para tanto utilizados métodos iterativos A não linearidade das equações se deve basicamente ao fato de que tanto os geradores como as cargas são modelados como potência constante e não como tensão constante ou impedância constante como consideradas em circuitos elétricos A consideração de potência constante em vez de impedância constante implica na não linearidade do problema e também em que as cargas e as gerações são especificadas mas 214 as perdas são desconhecidas sendo que a Equação 61 deve ser atendida Uma solução para este problema é especificar a potência ativa de todos os geradores exceto um e neste gerador especificar a tensão módulo ou seja mudar as variáveis desconhecidas nesta barra de Qθ para PQ Após a solução do problema com a determinação das tensões em todas as barras calculase a corrente nos ramos linhas e transformadores e a potência ativa e reativa na barra de referência de forma a atender a Equação 61 e determinar as perdas do sistema A solução das equações de fluxo de potência somente é possível por meio de métodos iterativos não havendo uma solução exata mas sim uma solução com um erro menor do que um valor muito pequeno tolerância especificado a priori Dentre os métodos iterativos usados citamse Gauss GaussSeidel NewtonRaphson matriz Zbarra desacoplado rápido e CC corrente contínua Métodos iterativos para a solução de equações podem ser convergentes ou divergentes mas no caso da aplicação a sistemas elétricos de uma maneira geral obtémse convergência Uma vez obtida uma Equação do tipo 610 para cada barra do sistema iniciase o processo iterativo arbitrando um valor provável para o módulo da tensão em cada barra com os quais resolvendose as equações obtémse um primeiro resultado módulo e ângulo para a tensão de cada barra Os valores arbitrados serão considerados como iteração zero e os resultados do primeiro cálculo como iteração 1 Comparamse agora os dois valores do módulo da tensão em cada barra e se a diferença for menor do que a tolerância arbitrada ε temse a solução caso contrário é necessária uma nova iteração Na segunda iteração o valor do módulo e do ângulo da tensão a serem utilizados nas equações serão aqueles obtidos na primeira iteração e assim sucessivamente até que se obtenha uma solução diferenças entre valores do módulo da tensão em cada barra entre as iterações sucessivas menor do que a tolerância Em condição normal de funcionamento do SEP a tensão em cada barra deve ser a mais próxima possível da nominal ou 10 pu Desta forma como valor inicial arbitrado para iniciar o processo iterativo usase o valor de 10 pu com ângulo zero para todas as barras onde a tensão é uma incógnita somente sendo utilizados valores diferentes deste nas barras terminais de geradores onde se conhece o módulo e na barra oscilante referência onde se conhece o módulo e o ângulo da tensão normalmente arbitrado como 0o zero grau Serão examinadas as técnicas numéricas de solução de sistemas de equações de fluxo de potência mais frequentemente utilizadas nos programas digitais existentes Alguns destes métodos já caíram em desuso como os métodos de Gauss e de GaussSeidel pois conforme será analisado o método de NewtonRaphson se comporta muito melhor no 215 caso de grandes sistemas No entanto devido ao seu grande valor didático os métodos de Gauss e de GaussSeidel serão discutidos de forma resumida a seguir 64 MÉTODO DE GAUSS Um método para a solução de equações não lineares ou transcendentais ou de sistemas de equações não lineares como é o caso de SEP é o método de Gauss Tratase de um método iterativo e como tal possibilita obter não uma solução exata mas uma solução com uma precisão dentro de uma tolerância especificada Este método sendo iterativo pode não ser convergente e neste caso não possibilitar obter uma solução situação esta que pode ocorrer quando da solução de sistemas elétricos O método de Gauss foi utilizado no primeiro programa computacional desenvolvido para a solução do problema de fluxo de potência Este método tem a vantagem de não necessitar de muita memória de computador já que a matriz Ybarra não precisa ser armazenada Sua desvantagem porém é não poder apresentar impedâncias negativas como é o caso da representação das impedâncias de transformadores de três enrolamentos na forma de estrela e utilizar muito tempo de computação para obter a convergência além de às vezes apresentar dificuldade em convergir para uma solução EXEMPLO 61 Resolver a equação transcendental pelo método de Gauss considerando uma tolerância de 106 2 0 4 ex x x SOLUÇÃO Essa equação deve ser reescrita na forma x f x 2 4 ex x x a qual permite que se proponha um processo iterativo para a solução 216 2 1 4 xk k k e x x que se traduz em A partir da estimativa de x na iteração k xk obtémse o novo valor de x com o auxílio da equação para xk1 determinase a diferença entre a estimativa feita e o valor determinado xk1 xk Se a diferença obtida for menor do que um valor tolerância preestabelecido temse a solução e em caso contrário repetese o processo utilizando agora o valor anteriormente determinado até que se atinja a tolerância estabelecida A Tabela 61 representa os resultados obtidos das iterações feitas O resultado correto com precisão superior a 106 é 0177714 Observese que foi obtida uma das soluções da equação Tabela 61 Resultados do cálculo da variável x Iteração Xk1 X Erro 0 1500000 0 1 1500000 1129578 03704223 2 1129578 0502358 06272193 3 0502358 0160790 06631480 4 0160790 0187015 00262250 5 0187015 0172383 00146310 20 0177712 017714 00000028 21 0177714 017713 00000016 22 0177713 017714 00000009 23 0177714 017713 00000005 24 0177713 017714 00000003 25 0177714 017713 00000002 217 A Figura 62 ilustra a aplicação do método de Gauss Figura 62 Método de Gauss Nota a solução gráfica b processo de convergência No caso de SEP como mostrado anteriormente temse um sistema de equações não lineares e o método de Gauss pode ser generalizado para a solução deste sistema de equações em um processo iterativo resolvendose o sistema de n equações do tipo 610 onde n é o número de barras do sistema elétrico obtendose o valor das tensões dos nós Assim seja o sistema de equações obtido para um sistema elétrico de n barras na forma da Equação 63 onde as variáveis são as tensões das barras 1 1 2 3 2 1 2 3 1 2 3 0 0 0 n n n n F E E E E F E E E E F E E E E 611 Seguindo os mesmos passos como mostrado no caso da solução de uma equação vem a reescrever o sistema de equações na forma da Equação 610 E₁ f₁E₁ E₂ E₃ E n E₂ f₂E₁ E₂ E₃ E n E n fₙE₁ E₂ E₃ E n 612 b executar o processo iterativo iniciando com uma estimativa para a tensão de cada barra e obter um novo valor de tensão comparar então com o valor estimado inicialmente com o valor obtido e verificar se a condição Eₚᵏ¹ Eₚᵏ ε é atendida em caso afirmativo temse a solução e em caso negativo repetir o processo até que todos os valores obtidos sejam menores que a tolerância ε predefinida E₁ᵏ¹ f₁E₁ᵏ E₂ᵏ E₃ᵏ Eₙᵏ E₂ᵏ¹ f₂E₁ᵏ E₂ᵏ E₃ᵏ Eₙᵏ Eₙᵏ¹ fₙE₁ᵏ E₂ᵏ E₃ᵏ Eₙᵏ 613 EXEMPLO 62 Determinar as tensões das barras do sistema elétrico de transmissão mostrado no diagrama da Figura 63 utilizando o método de Gauss O sistema está em regime permanente e supre as cargas indicadas em um determinado momento como por exemplo na hora da ponta de carga de um determinado dia As tensões estão em pu na base de tensão nominal e a tensão da barra 4 é tomada como referência A potência das cargas e a potência do gerador da barra 1 estão em MW e Mvar e as impedâncias e admitâncias das linhas e do transformador estão em pu na base de tensão nominal dos equipamentos e na base de potência de 100 MVA Executar três iterações e verificar se houve a convergência do processo iterativo considerando uma tolerância erro de 10⁴ Nota A barra 1 é o equivalente de um sistema vizinho de grande porte 219 Figura 63 Diagrama unifilar com os dados do sistema impedâncias gerações e cargas SOLUÇÃO Para o sistema dado têmse os tipos de barras e os dados na Tabela 62 com os dados em pu Tabela 62 Dados das barras Barra Tipo P Q CapReat E θ 1 PV 030 101 2 PQ 154 0528 006 3 PQ 015 0040 4 Vθ 102 000 E os dados dos ramos linhas e transformadores na Tabela 63 com os dados em pu Tabela 63 Dados dos ramos LinhaTransformador R X B TAP 1 2 00035 00170 00300 1 3 00105 00510 00900 2 3 00070 00340 00600 3 4 00000 02000 00000 10500 Escrevendose uma equação na forma da Equação 610 para cada barra do sistema temse o sistema de equações já no formato adequado para o processo iterativo pelo método de Gauss Nestas equações Ẏₚₚ e Ẏₚq são os elementos da matriz de admitâncias nodais ou matriz Ẏbarra Para o cálculo da matriz Ẏbarra utilizamse os valores das admitâncias dos ramos como mostrado na Figura 64 obtendose a matriz Ẏbarra 154911 j751220 116183 j564315 38728 j188105 00000 j00000 116183 j564315 174274 j844973 58091 j282158 00000 j00000 38728 j188105 58091 j282158 96819 j514114 00000 j47619 00000 j00000 00000 j00000 00000 j47619 00000 j50000 Figura 64 Diagrama unifilar de admitâncias dos modelos de linhas e transformadores Observese que na matriz Ẏbarra a admitância do banco de capacitores foi incluída como ramo porém as cargas e as gerações consideradas como potências constantes não foram incluídas Tomandose a barra 4 de geração como referência barra oscilante temse a tensões das barras barras de geração Ẋ₁ 101pu módulo conhecido e ângulo a determinar Ẋ₄ 102 00⁰pu módulo e ângulo conhecidos nestas barras o módulo da tensão é conhecido por ser geração e será mantido pelo gerador que pode controlar a tensão o ângulo só é conhecido na barra de referência 00⁰ e para as demais barras de geração é estimado arbitrado o valor de 00⁰ para iniciar o processo iterativo barras de carga Ẋ₂ módulo e ângulo a determinar Ẋ₃ módulo e ângulo a determinar nestas barras o módulo e o ângulo da tensão não são conhecidos e será utilizado o valor 100 00⁰pu para iniciar o processo iterativo b potência das barras a potência da barra é sempre a soma algébrica da potência da geração com a potência da carga da barra Ṡₚ ṠGp₁ ṠCp pu sendo ṠG positiva e ṠC negativa barras de geração Ṡ₁ P₁ jQ₁ pu sendo P₁ conhecido e Q₁ a determinar em cada iteração Ṡ₄ P₄ jQ₄ pu sendo P₄ e Q₄ desconhecidos a serem determinados ao final do processo iterativo pois esta é a barra de referência oscilante e deve suprir a potência necessária para atender a equação Pgerada Pcargo Pperdas barras de carga Ṡ₂ P₂ e Q₂ conhecidos Ṡ₃ P₃ e Q₃ conhecidos Para o cálculo das tensões com as equações na forma da Equação 610 é necessário antes determinar os valores de potência ativa e reativa e o ângulo da tensão que ainda não são conhecidos 641 Primeira Iteração Calculando as potências das barras temse S1030jQ1 pu sendo P o valor dado e Q o valor a ser gerado para manter a tensão na barra em 101 pu S1E1E1E2Y12E1E3Y13E1Y1010110110011618j564321011003873j1881101000j012 pu 01565j06375 pu 030j06375 a potência ativa é a definida para o gerador desta barra e a reativa é a calculada S2S2geradoS2carga 0j0154j0528 pu 154j0528pu S3S3geradoS3carga S30j0015j004 pu 015j004 pu S4 somente será calculada ao final do processo iterativo Escrevendo as equações para o cálculo da tensão nas barras temse E1S1γ12E2γ13E3γ11 030j06375 101j000 11618j564321000o3873j188111000o154910j7512201010401029o pu desse valor é utilizado apenas o argumento já que o módulo de tensão em E1 deve ser sempre 101 pu pois é uma barra de geração e o gerador controlará a tensão gerando o reativo necessário E2S2γ21E1γ23E3γ22 154j0528 100j000 116180j564320101000o58090j282160100000o 174270j844970 0998909521o pu E3S3γ31E1γ32E2γ34E4γ33 015j004 10000o3873j1881110100o5809j2821610000o0j476210200o9682j5141161011302427o pu E41020000000o pu A tensão da barra E4 é sempre mantida constante e igual ao valor dado pois é a barra de referência e de geração Comparandose o valor do módulo da tensão arbitrado para cada barra para o início do cálculo iterativo com o valor calculado na primeira iteração temse a barra 1 1010010104 erro 00004 b barra 2 1000009989 erro 00011 c barra 3 1000010113 erro 00113 Verificandose portanto um erro maior do que a tolerância estipulada Assim não foi obtida a solução para o valor das tensões dizse não houve convergência do processo iterativo 224 642 Segunda Iteração Calculase a potência para as barras utilizando os valores de tensão calculados na primeira iteração substituise nas equações para a tensão das barras e calculase a tensão resultante nesta iteração com o valor obtido na primeira iteração Determinase então o erro entre o módulo das tensões entre os valores da primeira e da segunda iterações se o erro para todas as barras for menor do que a tolerância temse a solução e caso contrário seguese para a terceira iteração e assim sucessivamente até ser atingida a tolerância predeterminada Efetuandose o cálculo iterativo após 350 iterações obtémse a convergência para os valores de tensão com uma tolerância de 104 pu 1 2 3 4 10100 175150 10035 181040 10144 164789 10200 00000 o E pu o E pu o E pu o E pu Com as tensões das barras calculadas temse a primeira parte do problema resolvido A seguir com as tensões das barras e com a admitância dos ramos linhas e transformadores conforme o modelo utilizado para representálos calculase a potência em cada ramo do sistema como é mostrado na Seção 610 65 MÉTODO DE GAUSSSEIDEL O método de GaussSeidel é um aperfeiçoamento do Método de Gauss e possibilita uma convergência mais rápida do processo No método de GaussSeidel o valor calculado k iE para a tensão da barra i na iteração k é utilizado para o cálculo da tensão das demais barras na própria iteração k o mesmo sendo feito para cada tensão calculada Assim temse E1k1 f1E1kE2kE3kEnk E2k1 f2E1k1E2kE3kEnk Eik1 fiE1k1E2k1Ej1k1EikjEnk Enk1 fnE1k1E2k1Eik1En1k1Enk 614 Ambos os métodos são usados na solução do sistema de equações de fluxo de potência mas por sua maior velocidade de convergência o método de GaussSeidel é mais indicado O método de GaussSeidel converge mais rapidamente quando se utiliza um fator de aceleração α para determinar a tensão de uma barra a ser utilizada nas equações das tensões das demais barras na mesma iteração Ek1aceleradoEkαΔE 615 com ΔEEk1Ek 616 onde α é um número empírico que pode assumir o valor entre 1 e 2 O método de GaussSeidel tem as mesmas vantagens e desvantagens do método de Gauss somente apresentando um menor tempo de computação para convergir para uma solução 66 MÉTODO DE NEWTONRAPHSON O método de NewtonRaphson para a solução de fluxo de potência se baseia na expansão em série de Taylor de uma função de duas ou mais variáveis Para um melhor entendimento do método este será aplicado inicialmente para a solução de um sistema de equações não lineares e posteriormente será feita a aplicação do método para a solução do problema do fluxo de potência Seja o sistema de equações fxy 617 226 Sendo f o vetor das funções 1f e 2f x é o vetor das variáveis x1 e x2 e y é o vetor de constantes Desejase obter x1 e x2 tal que 1 1 1 2 f x x y 1 2 2 2 f x x y 618 sendo x1 0 e x2 0 as estimativas iniciais para as variáveis e Δx1 e Δx2 as correções necessárias para que se atenda às Equações 618 vem 0 0 1 1 1 2 2 1 f x x x x y 0 0 2 1 1 2 2 2 f x x x x y 619 Expandindose as Equações 619 em série de Taylor temse 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 0 0 sup derivadas parciais de ordem erior f f f x x x x f x x x x x x 620 0 0 0 0 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 0 0 sup derivadas parciais de ordem erior f f f x x x x f x x x x x x Se a estimativa inicial para as variáveis 1x e 2x for boa o valor das correções 1x e 2x será pequeno e os termos com derivadas parciais de ordem superior à primeira poderão ser desprezados Temse então 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 0 0 f f f x x x x y x x 0 0 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 0 0 f f f x x x x y x x 621 que remanejando os termos e colocando na forma matricial resulta em 227 1 1 0 0 1 1 1 1 2 1 2 0 0 0 0 2 2 2 1 2 2 2 1 2 0 0 f f y f x x x x x f f x y f x x x x 622 ou abreviadamente D J C 623 onde D vetor de diferenças J Jacobiano das funções 1 2 f e f C vetor das correções 1 2 x e x Resolvendose a Equação 623 para obter as correções vem 1 C J D 624 Com o que se obtém os valores das correções 1 2 x e x que somados às estimativas iniciais resultam em um novo valor para 1 e 2 x x 1 0 1 1 1 1 0 2 2 2 x x x x x x 625 Se a diferença entre o valor efetivo da função 1y e 2 y e o valor calculado 1f e 2f for suficientemente pequeno menor do que um ε arbitrado temse a solução caso contrário o processo de solução é iterativo e consiste no cálculo das matrizes D e J a partir dos últimos valores calculados 1 1 1 e 2 x x para 1 2 e x x resolução das Equações 623 e 624 obtenção de novas correções 1 2 x e x e assim de novos valores de 2 2 1 e 2 x x até que a diferença entre o valor de 1 1 y f e 2 2 y f em duas iterações sucessivas seja menor do que a tolerância ε estipulada 228 As diferenças x não constituem fator suficiente para assegurar a convergência e sim as diferenças 1 1 y f e 2 2 y f Assim na solução de fluxo de potência usase como critério de convergência P e Q e não E e θ Para aplicar o método à solução do problema de fluxo de potência é necessário definir o sistema de equações a ser resolvido e as condições iniciais a serem utilizadas para que se obtenha a solução pelo método iterativo Em um sistema de potência as incógnitas são as tensões das barras E δ módulo e ângulo em barra de carga ou ângulo em barra de geração e são conhecidas as potências PQ correntes injetadas nas barras devidas às cargas ou gerações Utilizandose as equações da potência nas barras que são conhecidas nas quais as tensões das barras são as incógnitas e para um sistema de n barras e tendose p p p E E δ tensão da barra p q q q E E δ tensão na barra q pq pq pq pq pq Y Y G jB ϕ elemento da matriz de admitâncias nodais barra Y As equações necessárias para a solução do sistema são 1 1 1 1 1 1 n q q q S P jQ E E Y 1 n p pq p p p q q S P jQ E E Y 1 n n nq n n n q q S P jQ E E Y 626 que usandose a barra genérica p podem ser colocadas na forma polar como 1 1 n n p pq p p p p q pq p q pq q q q S P jQ E E Y E E Y δ δ ϕ 627 e separandose a parte real da parte imaginária e fazendose θpδpδq PpEpq1nEqYpqcosθpφpq QpEpq1nEqYpqsenθpφpq ou utilizandose a parte real e imaginária dos elementos da Matriz de admitâncias PpEpq1nEqGpqcosθpqBpqsenθpq QpEpq1nEqGpqsenθpqBpqcosθpq Para a solução do problema de fluxo de potência do sistema é necessário determinar o valor das tensões das barras em módulo e ângulo com as quais posteriormente se calculam os fluxos nos ramos que são as linhas e transformadores que formam o sistema A solução do sistema de equações consiste em iniciar o processo iterativo com valores arbitrados para as tensões Ep0valores iniciais e calcular as correções necessárias ΔEp que somadas aos valores iniciais determinam os valores Ep1 e assim sucessivamente até que as diferenças ΔEpEp1Ep0 sejam menores que um valor ε estipulado Utilizandose o sistema de Equações 626 o processo de solução consiste nos seguintes passos a arbitrase o valor inicial das tensões das barras Ep0E0pθ0p b com as tensões arbitradas para as barras calculamse as potências das barras Sp1P1pQ1p com as Equações 626 e calculase ΔSpΔPpΔQpP1pQ1pP0pQ0p 230 c se Sp ε temse a solução que é o vetor de tensões 0 0 p p E θ d se não foi obtida a solução calculase a matriz Jacobiana utilizandose o vetor de tensões de c acima e invertese a matriz Jacobiana f resolvese a Equação 624 1 p p p p E P J Q θ obtendose o vetor de correções das tensões g calculase o novo valor das tensões 1 0 1 0 p p p p p p E E E θ θ θ h voltase ao passo b e utilizamse os novos valores calculados para as tensões das barras Para o cálculo do Jacobiano determinamse as derivadas parciais das equações de potência da Equação 628 em relação às variáveis E e θ módulo e ao ângulo da tensão ou seja p q P θ p q P E p q Q θ p q Q E 631 obtendose p p q q p p q q P P E J Q Q E θ θ 632 Para simplificar a notação descrevendo a programação é conveniente utilizar símbolos alfabéticos para as derivadas parciais Os símbolos mostrados na sequência foram os primeiros utilizados e são aceitos agora geralmente como padrão sendo as submatrizes representadas da seguinte forma p q P H θ p q P N E p q Q M θ p q Q L E 633 231 podendose escrever P H N Q M L E θ 634 As componentes das submatrizes H N M e L da matriz Jacobiana são obtidas pela diferenciação das Equações 629 resultando nas equações a seguir onde os subíndices iguais pp indicam elemento da diagonal e subíndices diferentes pq indicam elemento fora da diagonal da submatriz a submatriz H 2 1 cos n pp p pp p q pq pq pq pq q H E B E E G sen B θ θ cos pq p q pq pq pq pq H E E G sen B θ θ 635 b submatriz M 2 1 cos n pp p pp p q pq pq pq pq q M E G E E G B sen θ θ cos pq p q pq pq pq pq M E E G B sen θ θ 636 c submatriz N 1 cos n pp p pp q pq pq pq pq q N E G E G B sen θ θ cos pq p pq pq pq pq N E G B sen θ θ 637 d submatriz L 1 cos n pp p pp q pq pq pq pq q L E B E G sen B θ θ cos pq p pq pq pq pq L E G sen B θ θ 638 Comparandose as Equações 635 a 638 das submatrizes H N M e L com as Equações 634 das potências verificase que as equações das diagonais das submatrizes podem ser escritas em função das potências ativas e reativas nas barras 232 2 pp p p pp H Q E B 2 pp p p pp N P E G 2 pp p p pp M P E G 2 pp p p pp L Q E B 639 Um sistema com n barras terá uma matriz Jacobiana com dimensão 2n já que a mesma é calculada em termos de P e Q como mostra a Equação 634 que relaciona as diferenças P e Q às correções E e θ É necessário considerar que a barra de referência tem sua tensão fixa em módulo e ângulo e não é necessário calculálos e assim as equações relativas a estes termos não precisam ser consideradas e não são colocadas na matriz Jacobiana Também as barras de tensão controlada barras geradoras têm o módulo da tensão mantido fixo variando apenas o ângulo e assim a equação referente ao módulo da tensão não necessita ser considerada e não é colocada na matriz Jacobiana A solução do problema de fluxo de potência pelo método de NewtonRaphson é obtida com poucas iterações porém necessita armazenar a matriz de admitâncias nodais na memória do computador e utiliza a matriz Jacobiana que deverá ser obtida e invertida a cada iteração Considerando que a matriz de admitâncias nodais é esparsa com a maior parte dos elementos nulos e para facilitar e acelerar a solução do problema foram desenvolvidos métodos computacionais para o armazenamento da matriz de admitâncias nodais com apenas os elementos não nulos e do Jacobiano que também têm as mesmas características de forma a diminuir a capacidade de memória computacional necessária também foram desenvolvidos métodos para a inversão do Jacobiano para diminuir o tempo necessário para cada iteração 233 EXEMPLO 63 Resolver o sistema do Exemplo 62 pelo método de NewtonRaphson SOLUÇÃO Para o Sistema dado no qual se considera a barra 4 como referência e que tem como incógnitas δ1 δ2 δ3 E2 e E3 o Jacobiano tem a forma apresentada a seguir P H N Q M L E θ 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 1 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 2 3 P P P P P P E E P P P P P P E E P P P P P P E E Q Q Q Q Q Q E E Q Q Q Q Q Q E E θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ 1 2 3 2 3 E E θ θ θ As componentes das submatrizes do Jacobiano H M N L são dadas pelas Equações 635 a 638 Os elementos das submatrizes kk kk kk kk H M N L podem ser colocados em função das injeções de potência ativa e reativa na barra k conforme se deduz das expressões anteriores Primeira iteração tensão nas barras dados do Exemplo 62 módulo da tensão em pu e ângulo em graus 1 1 101 000o E E21100000 valor inicial arbitrado E31100000 valor inicial arbitrado E41102000 potências nas barras com os valores das tensões e dos elementos da matriz de admitâncias nodais calculamse as potências nas barras com as seguintes expressões S1E1Y11E1Y122E2Y133E3Y144E4 S11010000000154911j75122010100j00000116183j5643151000j00000 38728j18810510000j0000000000j0000010200j0000 S101565j06375 pu S2E2Y21E1Y22E2Y23E3Y24E4 S21000000000116183j56431510100j00000174274j8449731000j00000 58091j28215810000j0000000000j0000010200j0000 S201162j07143 pu S3E3Y31E1Y32E2Y33E3Y34E4 S3100000000038728j18810510100j0000058091j28215810000j00000 96819j51411410000j0000000000j4761910000j00000 S300387j06601 pu do que resultam as diferenças ΔP1030000156501435 pu ΔQ106375063750 pu 235 2 15400 01162 14238 pu P 2 05280 07143 01863 pu Q 3 01500 00387 01113 pu P 3 00400 06601 06201 pu Q determinação dos elementos do Jacobiano submatriz H 2 2 1 1 1 11 1 06375 10 751220 759945 pu P Q E B δ 2 2 2 2 2 22 2 07143 10 844973 852116 pu P Q E B δ 2 2 3 3 3 33 3 06601 10 514114 520715 pu P Q E B δ x x 1 1 2 12 12 12 12 2 cos 101 10 116183sen0 564315cos0 569958 o o P E E G sen B pu θ θ δ x x 1 1 3 13 13 13 13 3 cos 1011 1000 38728sen0 188105cos0 189986 o o P E E G sen B pu θ θ δ x x 2 2 1 21 21 21 21 1 cos 1000 1010 116183sen0 564315cos0 569986 o o P E E G sen B pu θ θ δ x x 2 2 3 23 23 23 23 3 cos 1010 1000 58091sen0 282158cos0 282158 o o P E E G sen B pu θ θ δ 236 x x 3 3 1 31 31 31 31 1 cos 1000 1010 38728sen0 188105cos0 189986 o o P E E G sen B pu θ θ δ x x 3 3 2 32 32 32 32 2 cos 1000 1000 58091sen0 282158cos0 282158 o o P E E G sen B pu θ θ δ submatriz M 2 2 2 2 2 22 2 01161 10 174274 175435 pu Q P E G δ x 2 2 3 3 3 33 3 00387 10 96819 97206 pu Q P E G δ x x x 2 2 1 21 21 21 21 1 cos 1000 1010 116183cos0 564315 0 117344 o o Q E E G B sen sen pu θ θ δ x x 3 3 1 31 31 31 31 1 cos 1000 1010 38728cos0 188305 0 39115 o o Q E E G B sen sen pu θ θ δ x x 3 3 2 32 32 32 32 2 cos 1000 1000 58091cos0 282158 0 58091 o o Q E E G B sen sen pu θ θ δ x x 2 2 3 23 23 23 23 3 cos 1000 1000 58091cos0 282158 0 58091 o o Q E E G B sen sen pu θ θ δ 237 submatriz N 1 2 1 2 2 2 2 2 22 2 1000 011611000 174274 173112 pu P E P E G E x x 1 2 1 2 3 3 3 3 33 3 1000 003871000 96819 96431 pu P E P E G E x x x 1 1 12 12 12 12 2 cos 1 1010 116183cos0 564315 0 117344 o o P E G B sen sen E pu θ θ x 1 1 13 13 13 13 3 cos 1010 38728cos0 188105 0 39115 o o P E G B sen sen E pu θ θ x 2 2 23 23 23 23 3 cos 1000 58091cos0 282158 0 58091 o o P E G B sen sen E pu θ θ x 3 3 32 32 32 32 2 cos 1000 58091cos0 282158 0 58091 o o P E G B sen sen E pu θ θ submatriz L 1 2 1 2 2 2 2 2 22 2 1000 071431000 844973 837829 pu Q E Q E B E x x 1 2 1 2 3 3 3 3 33 3 1000 066011000 514114 507512 pu Q E Q E B E x x 238 x x 2 2 23 23 23 23 3 cos 1000 1000 58091sen0 282158cos0 28215 o o Q E G sen B E pu θ θ x x 3 3 32 32 32 32 2 cos 1000 1000 58091sen0 282158cos0 282158 o o Q E G sen B E pu θ θ do que resulta o Jacobiano 759944 569958 189986 117345 39115 569958 852116 282158 173112 58091 189986 282158 520715 58091 96432 117345 175436 58091 837829 282158 39115 58091 97206 282158 507512 J e a inversa do Jacobiano 1 023113823 022290366 020588256 000247161 000558313 022272556 022852841 020588256 000040988 000397656 020572859 020589311 020588256 000079910 000074783 000161731 000128345 0000000 J 00 001408938 000785543 000480306 000318838 000000000 000784265 002332903 considerando que 1 1 1 2 2 3 3 2 2 3 3 P P P J E Q E Q δ δ δ e sendo 1 2 3 2 3 0143540 1423820 0111270 0186315 0620143 P P P Q Q 239 determinamse os valores 1 2 3 2 3 0303182 0313931 0285920 0005437 0019778 E E δ δ δ sendo os ângulos em radianos obtêmse os valores das tensões das barras calculados na primeira iteração 1 10100 173710 o pu E 2 10054 179869 o pu E 3 10198 163820 o pu E Comparandose os valores obtidos para as tensões com aqueles do item a verificase que são diferentes e portanto não se tem a solução do problema sendo necessário continuar o processo iterativo Com os valores das tensões obtidos na primeira iteração voltase ao item b e efetuase uma nova iteração e assim sucessivamente até se obter a convergência do processo iterativo a menos de um erro ε preestabelecido Efetuandose o processo iterativo ao final da terceira iteração temse a solução 1 1010 175 o pu E 2 1003 181 o pu E 3 1014 165 o pu E 240 67 MÉTODO DE NEWTONRAPHSON DESACOPLADO Embora o método de NewtonRaphson possibilite a solução do problema de fluxo de potência com poucas iterações com a utilização de técnicas computacionais de armazenamento e de inversão de matrizes ainda é significativo o tempo necessário para a solução de fluxo de potência de grandes sistemas com milhares de barras Assim visando diminuir o tempo de solução principalmente para o caso de análise de emergências no sistema elétrico desenvolveramse métodos mais rápidos de cálculo embora com menor precisão nos resultados Estes métodos designados desacoplado e desacoplado rápido são aproximados e assumem certas simplificações mas oferecem precisão suficiente para as análises de fluxo de potência O método desacoplado resulta da observação de que é pequena a variação dos fluxos de potência ativa com a variação do módulo das tensões bem como é pequena a variação dos fluxos de potência reativa com a variação dos ângulos das tensões Assim considerando a Equação 639 desprezamse as submatrizes M e N tendose então P H Q L E θ 640 0 0 P H Q L E θ 641 do que resultam dois sistemas de equações independentes Com os elementos das submatrizes H e L calculados pelas Equações 635 e 638 e cuja solução requer menor capacidade de memória para armazenamento de matrizes e de menor quantidade de processamento para a solução do fluxo de potência A solução do problema é obtida seguindo os passos indicados no método de Newton Raphson porém com dois sistemas de equações independentes que podem ser resolvidos ao mesmo tempo em cada iteração ou então primeiramente o sistema de equações para ΔP e depois o sistema de equações para Q em que a solução de um realimenta o outro em uma mesma iteração pois os elementos θ e E estão presentes nas matrizes H e L O método desacoplado rápido deriva do método desacoplado mostrado com a introdução de mais simplificações além de se desprezarem as submatrizes M e N considerandose as Equações 640 635 e 638 e fazendose as aproximações cosθ10 GpqsenθBpq QpBppE2p têmse as matrizes H e L cujos elementos são obtidos pelas equações HppE2pBpp HpqEpBpqEq LppE2pBpp HpqEpBpqEq sendo que os elementos B e B são obtidos da matriz B de susceptâncias a partir da matriz de admitâncias nodais Ybarra considerandose apenas a parte imaginária ou susceptância de cada elemento da matriz multiplicadas por 1 As duas primeiras aproximações são válidas para sistemas de transmissão em particular para EAT e UAT pois para linhas de transmissão acima de 230 kV a relação Bpq Gpq tem magnitude maior que 5 podendo ser da ordem de 20 em linhas de 500 kV A terceira aproximação em geral também é válida pois se baseia no fato de as reatâncias em derivação shunt reatores capacitores capacitâncias de linhas de uma rede de transmissão serem muito maiores que as reatâncias série de linhas e transformadores Considerandose nas expressões todas as aproximações mencionadas têmse os jacobianos HB LB Em que as matrizes B e B só dependem dos parâmetros da rede e são portanto constantes não dependendo portanto das variáveis de estado do sistema ângulos e magnitudes das tensões nodais Essas duas matrizes são semelhantes à matriz de susceptâncias B lembrar que a matriz de admitâncias nodais Ybarra é colocada na forma YGjB com a diferença de que em B não aparecem as linhas e colunas referentes às barras Vθ e em B não aparecem as linhas e colunas referentes às barras PV e às barras Vθ ou seja as matrizes B e B mantêm as estruturas das submatrizes jacobianas H e L e são reais e esparsas 242 As matrizes B e B têm estruturas diferentes devido à existência de barras PV as colunas e linhas correspondentes a essas barras não aparecem na matriz B da mesma forma que não aparecem na matriz jacobiana Podese entretanto trabalhar com matrizes B e B de dimensões e estruturas semelhantes desde que se utilize o artifício de construir a matriz B como se todas as barras PV fossem do tipo P Q e adicionarse um número muito grande aos elementos da diagonal principal correspondentes às barras que de fato são do tipo PV Outra aproximação possível neste método é de na formação da matriz B desprezaremse as resistências dos elementos série do sistema linhas e transformadores aproximando se bpq por 1 xpq Têmse então os elementos das matrizes B e B determinados respectivamente por 1 1 nb pp pq p B x 1 pq pq B x pp pp B B pq pq B B 645 O cálculo iterativo para este método é o mesmo que o mostrado para o método de NewtonRaphson desacoplado EXEMPLO 64 Resolver o sistema do Exemplo 62 pelo método desacoplado rápido SOLUÇÃO Da matriz de admitâncias nodais calculada no Exemplo 63 sem considerar os ramos em derivação shunt obtémse a matriz de susceptâncias B 752420 564315 188105 00000 564315 846473 282158 00000 188105 282158 520263 50000 00000 00000 50000 50000 j j j j j j j j B j j j j j j j j 243 e desta eliminandose a linha e a coluna referentes à barra de referência resulta a matriz B 752420 564315 188105 564315 846473 282158 188105 282158 520263 B e a matriz B 846473 282158 282158 520263 B invertendose as matrizes B e B e com os valores de P e Q calculados no Exemplo 63 temse 1 2 3 0226581 0217721 0200000 0143540 0217721 0223627 0200000 1423820 0200000 0200000 0200000 0111270 θ θ θ 1 2 0014421 0007821 0186315 0007821 0023463 0620143 E E obtendose 1 2 3 2 3 0363622 0373248 0340054 0007632 0016251 E E θ θ θ que somados aos valores iniciais resultam em 1 1 1 2 1 3 1 2 1 3 0363622 0373248 0340054 1007632 1016251 E E θ θ θ com os ângulos em radianos Continuandose o processo iterativo ao final de 12 iterações temse o resultado das tensões E₁ 10100175150 pu E₂ 10035181040 pu E₃ 10144164789 pu E₄ 10200 00000 pu 68 MÉTODO CC O método CC é um método linear de cálculo de fluxo de potência ativa simplificado baseado na condição observada de que o em uma linha de transmissão é aproximadamente proporcional à abertura angular das tensões terminais da linha e se desloca no sentido dos ângulos maiores para os ângulos menores O fluxo de potência em uma linha de transmissão no sentido pq é calculado por Spq EₚEₚ Eq ẏpq EₚEₚyₚ₀ 646 Sendo que o fluxo de potência ativa é Ppq ReEₚEₚ Eq ẏpq EₚEₚyₚ₀ ReEₚ²ẏₚq EₚEqẏₚq Eₚ²ẏₚ₀ 647 Eₚ²gpq EₚEqgpq cosθpq EₚEqbpq senθpq Sendo gpq rpq r²pq x²q e bpq xpq r²pq x²pq e considerandose as aproximações Resistências das linhas nulas rpq 0 senθpq θpq Ep Ep 10 pu 648 obtémse o fluxo de potência ativa Ppq Ppq θp θq xpq x¹pqθpq 649 A Equação 649 é semelhante à equação para o cálculo da corrente em um circuito resistivo em corrente contínua com a diferença angular comparada com a diferença de tensões terminais e com a reatância comparada com a resistência do elemento série e com a aplicação deste princípio desenvolvese um modelo de solução de fluxo de potência em sistemas elétricos de corrente alternada aproximado mas muito rápido e apenas para a determinação do fluxo de potência ativa denominado fluxo de potência CC O modelo CC é aplicável em sistemas de alta e extraalta tensão em que a relação xr das linhas é muito alta maior do que 5 normalmente e no caso em que determinação das tensões dos nós não é importante mas sim o fluxo de potência como é o caso dos estudos de emergências ou contingências como o desligamento de linhas de transmissão ou de transformadores que leva a uma redistribuição do fluxo e pode provocar uma sobrecarga nos elementos remanescentes Uma vez determinados os casos críticos de emergência utilizase então um dos métodos exatos para a solução do problema com a determinação das tensões e dos fluxos de potência reativa Este método apesar de ser aproximado tem a vantagem de ser muito rápido e de sempre apresentar uma solução o que nem sempre ocorre com os outros modelos em que pode ocorrer a divergência durante a solução devido à falta de reativo no sistema ou de sobrecarga em linhas ou transformadores Considerando a Equação 649 do modelo linearizado desenvolvido determinase a potência de barra Pp Σ q1 até n x¹pqθpq 650 que pode ser escrita na forma matricial P Bθ 651 247 perdas nas linhas de transmissão e transformadores do sistema Entretanto no caso de sistemas muito grandes com grandes gerações e cargas pode ocorrer um erro significativo no valor de geração da barra de referência já que na solução do problema esta barra deve fechar o balanço geração carga conforme a Equação 61 Para aumentar a precisão do método CC desenvolveuse uma maneira aproximada e de baixo custo computacional para incluir o efeito das perdas de transmissão O método desenvolvido consiste em calcular a perda em cada linha de forma aproximada e somar a metade deste valor em cada lado da linha ao fluxo de potência calculado para a linha e então utilizarse o modelo matricial desenvolvido conforme a Equação 651 A perda em uma linha é obtida pela soma das potências das barras terminais para a linha lembrar a convenção de sinais para o fluxo de potência saindo ou chegando da linha para a barra pq qp P P P 653 e conforme a Equação 646 e as aproximações 647 a perda na linha é determinada por θ 2 pq qp pq pq P P P g 654 Assim para a solução do modelo de fluxo de potência CC considerando as perdas nas linhas e transformadores temse o seguinte procedimento utilizandose o sistema de Equações 651 com os passos a calcular uma solução temporária utilizando os ângulos determinados sem considerar as perdas temp P B θ 655 b calcular as perdas aproximadas nos ramos pela expressão 2 temp pq pq pq P g θ 656 e acrescentar a metade deste valor em cada extremidade da linha ou transformador ao fluxo de potência calculado e determinar o novo vetor de injeções líquidas nas barras pnovo p p P P P 657 c recalcular os ângulos considerando o valor corrigido para a injeção de potência nas barras Temse então um sistema elétrico de corrente alternada que pode ser representado na forma da Equação 651 por um modelo de corrente contínua formado por um circuito de resistores alimentado por fontes de corrente contínua em que P é o vetor das potências ativas das barras como se fossem injeções de corrente θ é o vetor dos ângulos das tensões como se fossem as tensões nodais e B é a matriz admitâncias formada apenas com as susceptâncias nodais como se fossem resistores Assim sendo todas as propriedades válidas para circuitos em corrente contínua podem ser utilizadas Por não se levar em conta as perdas nas linhas de transmissão e transformadores do sistema nem os elementos em derivação para a terra capacitâncias de linhas e reatores e capacitores de barra a matriz B é singular A maneira encontrada para a solução do problema é a eliminação de uma das equações do sistema de equações da 651 correspondente a uma das barras do sistema tomando esta barra como referência com θ 0 e ligandoa à terra como mostrado na Figura 65 para o sistema do Exemplo 62 Figura 65 Modelo CC para o sistema exemplo de quatro barras A solução do problema é obtida resolvendose θ B¹P 652 sendo B a matriz reduzida de B com o que se determinam os ângulos θp das tensões das barras Com as reatâncias dos ramos xpq na Equação 649 determinamse os fluxos de potências ativas nos ramos Ppq A solução do problema de fluxo de potência com o modelo CC apresenta precisão suficiente para uma análise rápida de emergências ou mesmo para estudos de planejamento da expansão de sistemas embora na formulação do modelo tenham sido desprezadas as 248 novo novo p p B P θ 658 Na análise de contingências de linhastransformadores é necessário resolver vários sistemas semelhantes que correspondem a uma série de configurações da rede obtidas a partir de uma configuração básica pela remoção de uma ou mais linhatransformador por vez Neste tipo de aplicação podese considerar sem deteriorar a qualidade dos resultados que o vetor Pperdas permanece o mesmo para todas as contingências Isso significa que basta calcular o vetor de perdas para a configuração básica EXEMPLO 65 Resolver o sistema do Exemplo 62 pelo método CC SOLUÇÃO Do Exemplo 64 temse a matriz B 752420 564315 188105 564315 846473 282158 188105 282158 520263 B cuja inversa é 1 0226581 0217721 0200000 0217721 0223627 0200000 0200000 0200000 0200000 B que multiplicada pelo vetor de potências das barras 030 154 015 P resulta no vetor de ângulos das barras 0297315 0309070 0278000 θ 249 com os quais obtémse o defasamento angular entre as tensões das barras 1 2 1 2 0011715 θ θ θ 1 3 1 3 0019315 θ θ θ 2 3 2 3 0031070 θ θ θ 3 4 3 4 0278000 θ θ θ e com os defasamentos angulares e com os elementos da matriz B calculamse os fluxos nas linhas e transformadores 1 1 2 1 2 1 2 06914pu 6914MW P x θ 1 1 3 1 3 1 3 03633pu 3633 MW P x θ 1 2 3 2 3 2 3 08767pu 8767 MW P x θ 1 3 4 3 4 3 4 13900pu 13900 MW P x θ 69 MÉTODO DA MATRIZ Zbarra Este método como o próprio nome indica utiliza a matriz Zbarra do sistema para definir as equações de tensão para cada barra do sistema Com o valor das cargas de cada barra e com o valor inicial de tensão disponível ou arbitrado calculase o valor da corrente em cada barra Resolvese então a equação barra E Z I 659 Obtendose um novo valor de tensão para cada barra Comparamse os valores das tensões entre iterações sucessivas verificandose se a diferença é menor do que uma tolerância ε especificada Não havendo convergência calculamse novos valores de corrente com os valores de tensão calculados na iteração anterior e assim sucessivamente 250 610 CÁLCULO DO FLUXO DE POTÊNCIA EM LINHAS E EM TRANSFORMADORES DO SISTEMA Uma vez calculadas as tensões das barras e tendose as admitâncias dos ramos do sistema linhas e transformadores conforme o modelo de representação adotado para os mesmos calculamse as correntes nestes ramos e com as tensões e correntes calculam se as potências ativas e reativas nos mesmos tendose então a solução do problema com o que se pode efetuar a análise da operação do sistema para a condição de geração e carga dada A Figura 66 mostra um segmento de um sistema elétrico onde em uma barra estão ligados um gerador e uma carga e através de uma linha de transmissão e de um transformador esta barra está conectada ao restante do sistema Figura 66 Barra e conexões Nota a diagrama unifilar b modelos π de linha e transformador Para a solução dos problemas de fluxo de potência utilizase normalmente o modelo π nominal para linhas e transformadores como mostrado na Figura 66b Com as tensões calculadas na primeira fase da solução do problema de fluxo de potência e com as admitâncias dos modelos de linhas e transformadores calculamse as correntes no elemento série e nos elementos em derivação dos modelos e somandose a corrente no elemento série com a corrente no elemento em derivação de um lado e de outro tem se a corrente total injetada na barra 251 Para determinar o sentido das correntes injetadas nas barras e dos fluxos de potência nos ramos considerase a seguinte convenção de sinais a corrente de barra corrente injetada por geração carga ou elemento em derivação positiva quando entra na barra caso de geração e negativa quando sai da barra caso de carga o mesmo valendo para os elementos em derivação reator corrente negativa e capacitor corrente positiva b corrente de ramo corrente em linha de transmissão ou em transformador positiva quando sai da barra e negativa quando entra na barra As correntes para o segmento de sistema da Figura 66 estão mostradas com o sentido indicado por uma seta Observese que na representação de linha ou transformador pelo modelo π nominal têmse elementos em série e em derivação conectados por condutor ideal e assim tudo o que está conectado a uma barra está em um mesmo nó conforme indicado pela linha fechada indicada na Figura 66 Tomandose a linha pq da Figura 66b onde no modelo π nominal se tem a admitância série ypq b admitâncias em derivação 2 ybpq do lado da barra p e 2 ybqp do lado da barra q sendo ybpq a admitância total em derivação da linha temse a corrente no elemento série e a corrente nos elementos em derivação do modelo obtidas pelas seguintes equações corrente no ramo série pq i E E y pq p q pq i E E y qp q p qp 660 corrente no ramo derivação do lado da barra p 0 2 ybpq i E bpq p 661 corrente no ramo derivação do lado da barra q 0 2 ybqp i E bqp q 662 donde se obtêm as correntes injetadas nas barras p e q 𝑖𝑝𝑖𝑝𝑞𝑖𝑏𝑝𝑞 𝑖𝑞𝑖𝑞𝑝𝑖𝑏𝑞𝑝 e as potências injetadas nas barras 𝑆𝑝𝑞𝐸𝑝𝑖𝑝𝑞𝐸𝑝𝑖𝑝𝑞𝑖𝑏𝑝𝑞 𝑆𝑞𝑝𝐸𝑞𝑖𝑞𝑝𝐸𝑞𝑖𝑞𝑝𝑖𝑏𝑝𝑞 Tendose a potência injetada na barra por cada um dos ramos e a corrente injetada na barra pela geração e pela carga da barra obtémse a potência total da barra 𝑆𝑝𝑆𝑝𝑔𝑆𝑝𝑐𝑆𝑝𝑞 e considerandose que o processo de solução do fluxo de potência é um cálculo iterativo e portanto aproximado a menos de um a tolerância 𝜖 determinase o erro na barra por Δ𝑆𝑝𝑆𝑝𝐷𝐴𝐷𝑂𝑆𝑝𝐶𝐴𝐿𝐶 Sendo utilizado o termo em inglês mismatch para o erro determinado para a potência da barra o qual será utilizado como um dos critérios para determinar a convergência do cálculo do fluxo de potência do sistema 253 EXEMPLO 66 Calcular o fluxo de potência nos ramos do sistema do Exemplo 62 Calcular também o erro em cada barra Apresentar em um diagrama unifilar o resultado do fluxo de potência indicando o valor e o sentido das potências em cada ramo e as tensões das barras SOLUÇÃO Com as tensões calculadas no Exemplo 62 1 2 3 4 10100 175150 10035 181040 10144 164789 10200 00000 o E pu o E pu o E pu o E pu e os valores das admitâncias das linhas e transformadores do sistema de acordo com o modelo π adotado para os mesmos 254 têmse os fluxos nas linhas e transformador 12 1 2 12 12 2 12 1 2 yb S y E E y E 12 06654 j02244 pu S 12 6654 2244 S j MVA 21 2 1 21 21 2 21 2 2 yb S y E E y E 21 06626 02717 S j pu 21 6626 2717 S j MVA 13 1 3 13 13 2 13 1 2 yb S y E E y E 13 03651 01005 S j pu 3651 1005 13 j MVA S 31 3 1 31 31 2 31 3 2 yb S y E E y E 31 03664 00773 S j pu 31 3664 773 S j MVA 𝑆32𝐸32𝑦32𝑦𝑏322𝐸3𝐸2𝑦32 𝑆3208814𝑗00953pu 𝑆328814𝑗953𝑀𝑉𝐴 𝑆23𝐸22𝑦23𝑦𝑏232𝐸2𝐸3𝑦23 𝑆2308760𝑗02514pu 𝑆238760𝑗2514𝑀𝑉𝐴 𝑆34𝐸32𝑦34𝑦𝑏342𝐸3𝐸4𝑦34 𝑆3413982𝑗00579pu 𝑆3413982𝑗579𝑀𝑉𝐴 𝑆43𝐸42𝑦43𝑦𝑏432𝐸4𝐸3𝑦43 𝑆4313982𝑗04775pu 𝑆4313982𝑗4775𝑀𝑉𝐴 a potência nas barras 𝑆103004𝑗01239pu3004𝑗1239𝑀𝑉𝐴 𝑆215395𝑗05281pu15395𝑗5281𝑀𝑉𝐴 𝑆301497𝑗00400pu1497𝑗400𝑀𝑉𝐴 𝑆413975𝑗04772pu13975𝑗4772𝑀𝑉𝐴 256 e as diferenças ou erros mismatches nas barras 1 1 2 2 3 1 2 arg 3 arg 3000 1239 3000 3004 004 1239 1239 000 var 15400 5280 15400 15395 005 5280 5281 001 var 1500 400 015 14 geração c a c a j MVA MW M j MVA MW M j MVA P Q P Q S P S S 3 97 003 400 400 000 var MW M Q 611 CÁLCULO DO FLUXO DE POTÊNCIA COM PROGRAMAS COMPUTACIONAIS Programas computacionais de cálculo de fluxo de potência utilizam a matriz Ybarra calculada diretamente a partir dos dados de barras e de ramos fornecidos e armazenados com técnicas de esparsidade possibilitando a redução do espaço de memória necessária e do tempo de processamento Os dados de barra tensões potências de geração e carga e de ramos impedância das linhas e transformadores devem ser codificados conforme uma formatação pré definida diretamente ou através de uma interface gráfica como mostrado na Figura 67 257 Figura 67 Fluxo de potência Nota a arquivos de dados b resultados c apresentação gráfica 258 A Figura 67 mostra o arquivo de dados necessário para calcular o fluxo de potência do sistema do Exemplo 62 com um programa computacional comercial de fluxo de potência e o resultado numérico impresso obtido com o mesmo para os valores das tensões das barras e para os fluxos de potência ativa e reativa nas linhas e transformadores sendo a direção dos fluxos de potência ativa e reativa indicada pelo sinal dos valores Os resultados podem ser apresentados de forma gráfica como na Figura 67 lançados manualmente em um diagrama unifilar ou com uma interface gráfica para melhor visualização e entendimento com os valores de potência ativa e reativa com a direção indicada por uma seta indicativa da potência reativa marcada com um traço inclinado no meio Atualmente os programas computacionais de fluxo de potência permitem a visualização gráfica dos resultados diretamente na tela 612 ANÁLISE COMPARATIVA DOS MÉTODOS DE SOLUÇÃO DO FLUXO DE POTÊNCIA A solução do fluxo de potência é obtida por métodos iterativos e apresenta peculiaridades específicas para cada método e que devem ser utilizadas adequadamente para a maior eficiência na solução de um problema Métodos de Gauss e GaussSeidel a número de iterações que varia com o número de barras b tempo computacional função do quadrado do número de barras c não requer o armazenamento de matrizes exigindo menor memória computacional d na determinação dos elementos da matriz Y é necessária uma equação para cada barra do sistema exceto para a barra de referência e não requer a inversão de matrizes f tempo de solução grande se comparado com método de NewtonRaphson g impossibilidade de utilizar reatâncias negativas h pouca sensibilidade aos valores iniciais i facilidade para encontrar erros de dados e problemas no sistema pois mesmo um caso não convergente apresenta resultado coerente j apresenta uma convergência oscilatória e lenta k requer fator de aceleração para tornar a convergência mais rápida l dificuldade de convergência para grandes sistemas m n sensibilidade à escolha da barra de referência o dificuldade para obter a convergência em sistemas onde existam linhas radiais muito longas m convergência lenta ou impossível em casos onde existam admitâncias de ramos com ordem de grandeza muito diferente 259 Método de Newton Raphson a número de iterações praticamente independentemente do número de barras do sistema b tempo computacional linearmente proporcional ao número de barras c necessidade de armazenar a matriz Jacobiana do sistema que é muito esparsa e utiliza muita memória exigindo por isso técnicas de esparsidade no trabalho com matrizes d na montagem do Jacobiano para um sistema elétrico são necessárias duas equações para cada barra de carga do sistema para P e Q e uma equação para cada barra de geração para Q já que a potência ativa e o módulo da tensão são conhecidos não sendo necessárias as equações para a barra de referência pois tanto o módulo quanto o ângulo da tensão são conhecidos e necessidade de inverter o Jacobiano várias vezes durante a solução normalmente a cada certo número de iterações f tempo de solução pequeno se comparado com o método de GaussSeidel se utilizadas as técnicas de esparsidade com as matrizes g possibilidade de utilizar reatâncias negativas h possibilidade de resolver casos que não têm solução por GaussSeidel i grande sensibilidade aos valores iniciais para ser convergente j critérios de convergência mais precisos k pouca sensibilidade à escolha da barra de referência l dificuldade em localizar problemas no sistema e erro nos dados pois os casos não convergentes apresentam resultados totalmente incoerentes Método desacoplado rápido a a solução é aproximada com maiores erros para os valores determinados para um mesmo valor de tolerância adotado b número de iterações praticamente independente do número de barras do sistema c tempo computacional pequeno menor do que para o método de NewtonRaphson d necessidade de armazenar as submatrizes do Jacobiano do sistema que são muito esparsas e utilizam muita memória exigindo por isso técnicas de esparsidade no trabalho com matrizes entretanto como utiliza somente duas submatrizes do Jacobiano a necessidade de armazenamento é menor do que no caso do método de NewtonRaphson e na montagem do Jacobiano para um sistema elétrico são necessárias duas equações para cada barra de carga do sistema para P e Q e uma equação para cada barra de geração para Q já que a potência ativa e o módulo da tensão são conhecidos não sendo necessárias as equações para a barra de referência pois tanto o módulo quanto o ângulo da tensão são conhecidos f necessidade de inverter as submatrizes do Jacobiano várias vezes durante a solução normalmente a cada certo número de iterações 260 g tempo de solução pequeno se comparado com os outros métodos se utilizadas as técnicas de esparsidade com as matrizes h possibilidade de utilizar reatâncias negativas i possibilidade de resolver casos que não têm solução por GaussSeidel j grande sensibilidade aos valores iniciais para ser convergente k critérios de convergência mais precisos l pouca sensibilidade à escolha da barra de referência m Método CC a a solução é aproximada impreciso b a solução é somente para a potência ativa c não fornece informações sobre tensões módulo e ângulo d fornece sempre uma solução e extremamente rápido f fácil de elaborar um programa computacional g útil para fornecer uma ideia do comportamento dos fluxos fornecendo solução mesmo para soluções inviáveis o que o Fluxo CA não possibilita sendo muito interessante neste caso para estudos de planejamento de longo prazo Método da matriz barra Z a fornece sempre uma solução b requer muita memória de computador pois necessita armazenar inteiramente a matriz Zbarra c independe dos valores iniciais de tensão arbitrados d permite considerar valores de impedâncias nulos para os ramos possibilitando a simulação de chaves fechadas e abertas considerando impedância infinita sem modificar a configuração do sistema m dificuldade em localizar problemas no sistema e erro nos dados pois os casos não convergentes apresentam resultados totalmente incoerentes 261 PROBLEMAS 1 Resolver o sistema do Exemplo 62 pelo método de GaussSeidel a sem utilizar o fator de aceleração b utilizando o fator de aceleração 2 Utilizando o método de NewtonRaphson resolver o sistema de equações 3 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 5 6 57 x x F x x x x x 3 Resolver o sistema do Exemplo 62 pelo método desacoplado rápido considerando o sistema em condição de emergência e sem a linha 2 3 4 Resolver o sistema do Exemplo 62 pelo método desacoplado rápido considerando o sistema em condição de emergência e sem a linha 2 3 e com a tensão do gerador da barra 1 igual a 105 pu 5 Resolver o sistema do Exemplo 62 pelo método CC mas considerando as perdas 6 Resolver o sistema do Exemplo 62 pelo método da Zbarra REFERÊNCIAS BROWN H E Solution of large networks by matrix methods New York Wiley Interscience 1975 CENTRO DE PESQUISAS DE ENERGIA ELÉTRICA Programa de análise de redes v090705 manual do usuário 2011 Disponível em httpsptscribdcomdoc237119247ManualAnaredev09 Acesso em 31 jul 2017 ELGERD O I Introdução à teoria de sistemas de energia elétrica São Paulo McGrawHill do Brasil 1976 MONTICELLI A Fluxo de carga em redes de energia elétrica São Paulo Edgard Blücher 1983 PASINI J C L Implementação de um simulador de fluxo de potência em regime permanente usando interface gráfica interativa 1998 102 f Dissertação Mestrado em Programação Matemática Universidade Federal do Paraná Curitiba 1998 RAMOS D S DIAS E M Sistemas elétricos de potência regime permanente Rio de Janeiro Guanabara Dois 1983 v 2 STEVENSON JR W D Elements of power system analysis New York McGrawHill 1982 262 TINNEY W HART C E Power flow solution by Newtons Method IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems v PAS 86 n 11 p 14491456 Nov 1967 Disponível em httpwww academiaedu3133959PowerflowsolutionbyNewtonsmethod Acesso em 18 jun 2017 WARD J B HALE H W Digital computer solution of powerflow problems AIEE Transactions v 75 p 398340 June 1956 ZOLLENKOPF K BiFactorisation basic computational algorithm and programming techniques Oxford Large Sparse Sets of Linear Equations 1970 7 CURTOCIRCUITO da reatância indutiva Esta conclusão no entanto somente é válida totalmente para sistemas com linhas de transmissão com tensão de 138 kV e acima pois no caso de linhas de tensão de 69 kV e inferiores e que utilizam condutores relativamente finos a resistência pode ser até maior do que a reatância indutiva A corrente de curtocircuito total é composta das contribuições de corrente que vêm da linha 56 e do transformador 68 já que da linha 67 não vem contribuição alguma Usando o divisor de correntes calculase as contribuições para a corrente de falta I56 17871 791598 02298 850602 17871 791598 49095 843894 43524 850609 pu 109255 A 43525 MVA I86 02298 850602 02298 850602 17871 791598 49095 843894 05597 791605 pu 14050 A 5597 MVA Efetuandose cálculo semelhante para os demais ramos obtémse a corrente de curtocircuito que circulará em todos os ramos do sistema e que contribuem para a corrente de curtocircuito total no barramento 6 77 EQUIVALENTES DE CURTOCIRCUITO Muitas vezes é necessário calcular a corrente de curtocircuito em uma instalação industrial que está conectada a um sistema de potência ou mesmo em um sistema que está conectado a outro cujos dados não se conhecem ou não se dispõe Como somente interessam as correntes de curtocircuito nos equipamentos da instalação ou sistema em estudo é necessário obter a impedância equivalente do sistema vizinho de forma a representálo adequadamente Observandose o cálculo da corrente de curtocircuito efetuado no exemplo anterior verificase que a corrente total no barramento 6 é composta de duas parcelas I56 e I86 Admitindose que a parte do sistema que vai do barramento 1 a 6 constitua um sistema A e que a parte que vai do barramento 6 a 10 constitua um sistema B estando os dois conectados pela linha 56 temos do exemplo anterior que o sistema A contribui com 10926 A ou 43525 MVA para o curtocircuito no barramento 6 Esta contribuição por sua vez pode ser 265 Os sistemas elétricos de potência SEP operam normalmente na condição ou estado de regime permanente a condição normal de operação Ocorre que por mais bemfeita que tenha sido a construção dos equipamentos das linhas das subestações etc e por melhor que seja a manutenção dos equipamentos sempre haverá defeitos que levarão o sistema a um estado transitório de curta duração denominados de curtocircuito durante os quais ocorrem sobrecorrentes e sobretensões Após a eliminação destes defeitos o sistema volta à condição normal geralmente em outro estado ou seja sem uma linha transformador ou gerador ou vários destes equipamentos 71 INTRODUÇÃO Todo e qualquer sistema estará sempre sujeito à ocorrência de curtoscircuitos em qualquer um dos seus componentes e deverá portanto estar devidamente preparado para detectar suportar e ter condições de eliminar o mais rápido possível os curtoscircuitos que causam a circulação de grandes correntes nos equipamentos isto porque se estas correntes permanecerem durante muito tempo milissegundos ou segundos circulando nos equipamentos irão destruilos podendo também colocar em risco a vida de pessoas Os estudos de curtocircuito em SEP ou em sistemas elétricos industriais são necessários para a possibilitar o correto ajuste dos relés de proteção ou a seleção de fusíveis para a eliminação de curtoscircuitos b selecionar os disjuntores que irão interromper as correntes de curtocircuito c verificar as consequências das correntes de curtocircuito sobre cabos transformadores de força e de corrente seccionadoras cabos pararaios barramentos etc d calcular as sobretensões nos vários pontos do sistema quando da ocorrência de curtos circuitos assimétricos a fim de especificar corretamente os pararaios e determinar as características das malhas de terra dos cabos pararaios e dos cabos contrapeso de linhas de transmissão f determinar as características dos equipamentos para a limitação das correntes de curtocircuito g determinar a correta impedância dos transformadores de força 266 Curtoscircuitos podem ocorrer em qualquer local do sistema entre quaisquer dois pontos energizados ou entre um ponto energizado e a terra tendose assim os diversos tipos de curtocircuito trifásico bifásico fasefase trifásico à terra bifásico à terra fasefase terra monofásico faseterra como mostrado na Figura 71 Figura 71 Tipos de curtocircuito Nota a trifásico b bifásico c bifásico à terra d monofásico Levantamentos estatísticos mostram que todos estes tipos de curtoscircuitos ocorrem embora com diferentes frequências como mostra a Tabela 71 que apresenta a frequência de ocorrência dos diversos tipos de curtocircuito em um sistema de transmissão com tensões de 69 kV 138 kV e de 230 kV e comprimentos de linha somatório total respectivamente de 19254 km 12213 km e 10275 km Tabela 71 Estatística de curtocircuito ocorrências por 100 km de linha por ano Tipo de sistema 69 kV 138 kV 230 kV Tipo de curtocircuito Freq Freq Freq Faseterra 183 386 55 367 68 466 Bifásico 56 118 15 100 12 82 Bifásico à terra 121 255 19 127 07 48 Trifásico 30 63 03 20 01 07 Trifásico à terra 05 11 01 07 02 14 Causa desconhecida 79 167 57 380 56 384 Total 474 1000 150 1000 146 1000 267 Os sistemas elétricos operam em regime permanente com os geradores suprindo as cargas através de linhas e transformadores que formam a rede de transmissão e distribuição e com correntes e tensões trifásicas e simétricas variando em pequenos incrementos ou decrementos Ao ocorrer um curtocircuito temse inicialmente um transitório eletromagnético de curta duração alguns milissegundos que provoca grandes variações de correntes e tensão e que leva a um novo estado regime permanente com correntes e tensões estáveis simétricas ou assimétricas conforme o tipo de curtocircuito que ocorreu A análise dos sistemas elétricos trifásicos quando em regime permanente é feita tratando se os mesmos como se fossem monofásicos e utilizandose a corrente de fase a tensão faseneutro e a potência de fase para os cálculos Isso é possível porque se admite que os sistemas trifásicos são simétricos e equilibrados o que é muito próximo da realidade de forma que se têm potências iguais nas três fases e correntes e tensões de igual magnitude nas fases porém com defasamento de 120o elétricos entre os fasores Para possibilitar os cálculos dos sistemas trifásicos como se fossem monofásicos é preciso ainda que os parâmetros resistência reatância indutiva e reatância capacitiva de linha transformadores geradores etc sejam obtidos por fase Ocorre que em virtude do acoplamento elétrico e magnético que existe entre as fases estes parâmetros são na verdade matrizes de dimensão 3x3 e não apenas um valor real sendo porém os sistemas trifásicos simétricos e equilibrados onde 0 1 2 3 0 1 2 3 I I I E E E 71 É possível por meios de transformações matemáticas obter um desacoplamento entre as três fases e obter um valor de indutância e capacitância por fase A resistência naturalmente é um valor por fase Entretanto quando o sistema deixa de ser simétrico e equilibrado o que ocorre em caso de desequilíbrio das cargas ou de curtocircuito assimétrico no sistema o desacoplamento entre fases não é mais possível e a análise do sistema de forma monofásica não é mais viável a análise do sistema então somente é possível por meio das componentes simétricas ou das componentes de Clark Há ainda que considerar o período do transitório eletromagnético entre o regime permanente sob carga e o novo regime permanente sob curtocircuito em que há variações muito rápidas de intensidade de correntes e tensões com implicações sobre o comportamento e sobre o isolamento dos equipamentos Como neste período transitório as correntes e tensões não estão em regime permanente o seu cálculo 268 deve ser feito em função do tempo e para cada fase tendo em vista que a condição da Equação 71 não se verifica 72 CURTOCIRCUITO SIMÉTRICO TRIFÁSICO Durante a operação do sistema em regime permanente temse um equilíbrio entre as potências geradas pelas máquinas e as potências das cargas mais as perdas no sistema A fim de ter condições adequadas de tensão em cada um dos barramentos os diversos geradores do sistema são excitados adequadamente para manter uma tensão terminal determinada Ao ocorrer um curtocircuito rompese o equilíbrio entre geração e carga e a tensão no local do curtocircuito cai a zero ou a um valor próximo a zero pois o curtocircuito nada mais é do que uma conexão curta de um ponto do sistema à referência ou à terra com uma impedância muito pequena próxima de zero o que para o sistema tem o mesmo efeito que a ligação de uma carga infinita ou seja uma carga com uma impedância muito pequena ou próxima de zero e o perfil de tensões e correntes se altera em todo o sistema Figura 72 Figura 72 Perfil de tensão durante um curtocircuito Nota a diagrama unifilar com local da falta b perfil de tensão no sistema Durante o curtocircuito os geradores que forneciam potência ativa para a carga passam a fornecer uma potência praticamente reativa já que a impedância entre o gerador e o ponto de curto é quase que totalmente indutiva em virtude de restarem apenas as impedâncias das linhas e transformadores entre os geradores e o ponto de curto pois 269 as cargas deixam de ter efeito já que a tensão cai a zero ou próximo a zero A energia fornecida pelos geradores inicialmente é função da energia armazenada no campo magnético dos mesmos e a corrente que circula entre os geradores e o ponto de curto é função da tensão interna dos geradores fem e da impedância total entre a tensão interna dos geradores e o ponto de curtocircuito impedância esta constituída pelas impedâncias dos geradores linhas de transmissão e transformadores 73 CORRENTE DE CURTOCIRCUITO NO PERÍODO TRANSITÓRIO A passagem das tensões e correntes da condição de regime permanente para a condição de curtocircuito caracteriza um transitório durante o qual há uma variação da amplitude da corrente devido à reação da armadura das máquinas fazendo com que a amplitude da corrente varie de um valor máximo que ocorre imediatamente após o curto até um valor de regime que ocorre alguns ciclos depois O transitório que ocorre nos sistemas elétricos devido a curtoscircuitos é função da resistência e da indutância dos componentes do sistema e que compõem a impedância série do circuito elétrico Uma análise sucinta do comportamento da corrente de curtocircuito em um sistema elétrico desde o instante em que ocorre o curtocircuito até que esta corrente se estabilize em um valor pode ser feita por meio da análise de um curtocircuito nos terminais de um gerador síncrono com parâmetros R e L e com os terminais abertos sem carga e cuja tensão terminal seja max e E sen ωt α como mostrado na Figura 73 simulandose o curtocircuito pelo fechamento de uma chave em seus terminais Figura 73 Gerador síncrono com parâmetros R e L e com fonte de tensão senoidal Nota a circuito modelo do gerador b tensão interna do gerador 270 Antes do fechamento da chave a corrente é nula e após o transitório a corrente será max E i t sen t Z ω α θ 72 onde Z módulo da impedância constituída pela resistência e pela reatância do circuito α ângulo de defasamento do fasor de tensão no instante inicial θ ângulo da impedância L Z R jX A corrente durante o período transitório imediatamente após o fechamento da chave é obtida pela solução da equação diferencial que se obtém do circuito da Figura 73 max di E sen t Ri Ldt ω α 73 e cuja solução tem a forma mostrada adiante max Rt L E i t sen t e sen Z ω α θ α θ 74 que pode ser colocada na forma a seguir admitindose que no instante t 0 se tenha 900 α θ max max cos Rt L i t I t I e ω 75 Que mostra ser a corrente inicial de curtocircuito constituída de uma componente senoidal e de uma componente exponencial cujo valor decai a zero após algum tempo ou seja a componente senoidal é a própria corrente de curtocircuito que permanecerá após o transitório e cujo valor de pico é max max E i Z 76 Enquanto que a componente exponencial pode ser interpretada como uma componente de corrente contínua decrescente com o tempo desde um valor máximo até zero com uma constante de tempo 271 L T R 77 Como se pode observar da Equação 74 a amplitude da corrente de curtocircuito no período transitório vai depender da impedância Z do circuito do instante de fechamento da chave em relação à tensão aplicada ângulo α e do tempo transcorrido desde o instante do fechamento da chave bem como da tensão aplicada ao circuito e varia com o tempo A amplitude da corrente varia também de um ponto para outro do circuito pois é função da tensão máxima e da impedância O tempo que a componente de corrente contínua demora para cair a zero é função da resistência R e da indutância L do circuito relação L R Este tempo será tanto menor quanto maior for a resistência maior amortecimento e menor for a indutância do circuito e viceversa ou seja será menor nos circuitos de mais baixa tensão e maior nos circuitos de mais alta tensão As duas componentes da corrente conforme a Equação 75 se somam para resultar na corrente assimétrica do período inicial do curtocircuito conforme mostrado na Figura 74 Figura 74 Corrente de curtocircuito assimétrica máxima para a condição de fechamento da chave com a tensão no valor máximo Nota a componente senoidal b componente contínua c corrente de curtocircuito 272 74 REATÂNCIAS DE MÁQUINAS SÍNCRONAS A condição mostrada anteriormente é resultado de uma solução matemática e não se verifica exatamente na prática pois além do decréscimo da componente de corrente contínua também a componente senoidal sofre um decréscimo devido à reação da armadura fenômeno que ocorre quando há uma variação da corrente no estator da máquina e da ação dos enrolamentos amortecedores quando existentes nos polos do rotor e o valor da corrente decresce até atingir o valor de regime permanente A Figura 75 mostra a característica de amortecimento da componente de corrente alternada da corrente de curtocircuito para uma condição em que a componente de corrente contínua é nula Figura 75 Decréscimo da corrente de curtocircuito em uma máquina síncrona Na condição utilizada para a análise temse o gerador a vazio e com a corrente de excitação do rotor mantendo a tensão terminal no valor nominal e também a tensão interna no mesmo valor pelo fluxo no entreferro No instante do curtocircuito inicia a circulação da corrente de curto que causa um fluxo em sentido contrário Lei de Lenz levando à variação do fluxo ao longo do tempo o que resulta em uma reatância variável com o tempo A força eletromotriz pela sua correspondência com o fluxo permanece praticamente constante durante o período considerado para o curtocircuito assim com a tensão interna constante e com a reatância variando com o tempo resulta uma corrente variável com o tempo Observase que há um amortecimento muito acentuado da corrente nos primeiros ciclos um amortecimento mais suave nos ciclos seguintes e que a partir daí a corrente se 273 estabiliza em um valor como mostra a Figura 75 Isso permite caracterizar três períodos distintos para a corrente após a ocorrência do curtocircuito designados de subtransitório transitório e de regime permanente e que são função das características de cada máquina embora variem pouco de uma máquina para outraO oscilograma mostrado na Figura 75 mostra o comportamento da corrente de curtocircuito desde imediatamente após o curtocircuito até a situação de regime permanente ou seja mostra todo o transitório eletromagnético que ocorre devido ao curtocircuito Tendo em vista que a solução deste problema não é simples visualizouse uma maneira simplificada de obter a amplitude correta da corrente de curtocircuito para qualquer um dos períodos considerados por meio de cálculos algébricos apenas que é o cálculo de curtocircuito que será visto a seguir Considerandose que a máquina está excitada em vazio e com uma determinada tensão interna no instante do curtocircuito e que em função desta tensão é que circula uma corrente definese uma reatância tal que E X I 78 e assim utilizando um valor de reatância para cada período da corrente de curtocircuito podese calcular o valor correto da amplitude máxima dessa corrente Este método de cálculo é uma simplificação do problema pois temse uma curva contínua e o método permite obter apenas um ponto da curva em cada período Considerando os três períodos já definidos para a corrente de curtocircuito têmse então três reatâncias para uma máquina síncrona que são reatância subtransitória reatância transitória e reatância síncrona da máquina A determinação das reatâncias de uma máquina síncrona pode ser feita por um ensaio em que se aplica um curtocircuito trifásico nos terminais da mesma com a máquina em vazio e com tensão reduzida registrandose por meio de equipamentos especiais a corrente de curtocircuito ao longo do tempo obtendose um oscilograma como o da Figura 76 com a corrente em cada fase Atualmente utilizamse também métodos matemáticos que simulam testes de campo e permitem obter todos os parâmetros da máquina sob análise 274 Figura 76 Oscilograma das correntes de curtocircuito de uma máquina síncrona Tomandose o oscilograma da fase que se apresentar simétrica em relação ao eixo dos tempos fase A da Figura 76 percebemse os diferentes amortecimentos da corrente ao longo do tempo Traçandose uma tangente pelos picos da corrente até que a mesma intercepte o eixo das coordenadas como mostrado na Figura 75 temse neste eixo um valor de corrente Com os três valores de corrente obtidos podese calcular o valor das três reatâncias anteriormente definidas como a seguir d d E X I reatância subtransitória 79 d d E X I reatância transitória d d E X I reatância síncrona onde o subíndice d referese ao eixo direto indicando que as reatâncias são determinadas para uma posição do rotor na qual o eixo do enrolamento do rotor e do estator estão alinhados da teoria das duas reações de Robert Park 275 75 CÁLCULO DA CORRENTE DE CURTOCIRCUITO Durante o funcionamento em regime permanente temse as fontes suprindo as cargas por meio do sistema de transmissão Onde há fontes temse uma tensão conectada entre o nó e a referência terra ou o neutro através de uma reatância e nesse nó é injetada uma corrente Onde há carga temse uma reatância entre o nó e a referência e a corrente sai do nó como mostrado na Figura 77 As fontes e as cargas são os elementos de derivação enquanto que o sistema de transmissão ou de subtransmissão ou de distribuição é constituído pelos elementos série R e L que estão entre as fontes e as cargas Há ainda que considerar as capacitâncias das linhas de transmissão que são elementos em derivação entre os nós e a referência Figura 77 Elementos que constituem o sistema Nota a representação trifásica b representação monofásica Quando ocorre um curtocircuito a tensão naquele ponto ou nó cai a zero e as fontes de tensão fornecem corrente para o ponto em curto 276 O curtocircuito é sentido pelas máquinas como uma severa redução da impedância entre a fonte e a terra o que faz com que a corrente aumente na proporção inversa e de forma rápida A rápida variação da corrente de um valor de regime para um valor de curtocircuito ocorre pela transferência da energia armazenada no circuito magnético das máquinas dando origem ao fenômeno transitório supracitado Também as cargas constituídas por motores síncronos e de indução contribuem com corrente para o ponto de curto porém a corrente dos motores de indução é rapidamente amortecida porque estes motores não têm excitação como ocorre com as máquinas síncronas Figura 78 Figura 78 Composição da corrente de curtocircuito total Nota a corrente da fonte 1 b corrente da fonte 2 c corrente de motor síncrono d corrente total A análise do problema à luz das leis dos circuitos elétricos no entanto permite resolver o problema de curtocircuito de forma mais simples por meio do Teorema de Thevenin substituindo o sistema de transmissão por uma fonte e por uma impedância equivalente Em virtude das características dos sistemas elétricos e das condições de curtocircuito são possíveis algumas simplificações para o cálculo das correntes de curto que embora simplifiquem enormemente o problema não introduzem erro significativo nos resultados obtidos Estas simplificações são a desprezamse as cargas e os elementos em derivação no sistema isso é possível devido a que 277 as correntes de carga são muito menores do que as correntes de curtocircuito ao ocorrer o curtocircuito a tensão no ponto de curto cai a zero e a tensão nos pontos próximos fica muito pequena de forma que a corrente das cargas e das capacitâncias se torna desprezível as correntes de carga têm alto fator de potência enquanto que a corrente das fontes tem fator de potência praticamente zero devido ao fato de entre as fontes e o ponto de curto só haver impedâncias série constituídas por impedâncias de linhas e transformadores com resistências muito pequenas e altas indutâncias b admitese que as correntes no sistema são nulas e por se considerar que todas as fontes têm tensões atrás da reatância iguais a 10 pu e com ângulo de fase 0o Considerase a tensão das fontes igual a 10 pu isso se deve ao fato de em regime permanente a tensão das fontes ser mantida entre 095 e 105 pu e nos demais nós do sistema a tensão ser mantida em torno de 10 pu e se utiliza para o cálculo a tensão equivalente de Thevenin que é a tensão no ponto do curto antes de o curto ocorrer c representamse os geradores por uma tensão constante atrás da reatância subtransitória ou transitória conforme mostrado na Seção 74 d considerase que todos os transformadores com relação de transformação fora da nominal estejam na posição nominal de derivação e admitese que as linhas de transmissão sejam perfeitamente equilibradas ou transpostas de forma a não haver acoplamento mútuo entre as sequências positiva e negativa das componentes simétricas impedâncias mútuas nulas exceto na sequência zero permitindo assim o cálculo de curtoscircuitos assimétricos com o uso das componentes simétricas 76 CÁLCULO DA CORRENTE DE CURTOCIRCUITO TRIFÁSICO O cálculo das correntes de curtocircuito para o curto trifásico é feito de forma análoga ao cálculo da corrente de regime pois no caso de curto trifásico as correntes e tensões são simétricas e equilibradas e portanto podese utilizar uma representação unifilar e a sistemática de cálculo tradicional aos circuitos elétricos De forma similar ao problema de fluxo de potência têmse fontes em diversos nós do sistema suprindo no caso de curtocircuito apenas uma carga de impedância zero através da impedância série das linhas e transformadores Uma forma de resolver este problema é utilizar as equações de fluxo de potência mantendo a tensão das fontes com o valor existente antes do curtocircuito e mantendo a tensão do ponto de curto em zero Este método de solução entretanto utiliza um processo iterativo mais complexo e mais demorado e portanto não prático 278 A solução do problema de curtocircuito utilizando o Teorema de Thevenin é obtida pela Equação 710 3 10 Th CC F Th Th E I Z Z 710 e então a solução de um curtocircuito trifásico consiste basicamente na obtenção da impedância equivalente de Thevenin vista do ponto de curtocircuito Figura 79 Figura 79 Aplicação do teorema de Thevenin Nota a sistema b equivalente de Thevenin É importante observar que considerando que em um curtocircuito trifásico se tem uma condição de correntes e tensões simétricas e equilibradas podese utilizar um circuito monofásico unifilar para os cálculos e os dados em pu Ocorre que nestas condições onde há transformadores com enrolamentos em delta isso não fica evidente nos diagramas e pode levar a erros no cálculo das correntes e tensões por não levar em conta o defasamento e o fator 1 3 nos valores numéricos em ampère e volt O mesmo vale para o cálculo de curtoscircuitos assimétricos porém com a aplicação das componentes simétricas O cálculo da impedância de Thevenin vista de um ponto qualquer de um sistema real de grande porte é praticamente impossível fazer com cálculos manuais em virtude da quantidade de malhas que existem Para a solução desse problema foram desenvolvidos métodos matriciais matriz de impedâncias Zbarra ou matriz de admitâncias Ybarra os quais utilizados em programas computacionais possibilitam a obtenção do equivalente de Thevenin para todos os pontos do sistema de forma rápida e portanto da corrente de curtocircuito em todos os nós do sistema ou barramentos corrente de curtocircuito total para um curtocircuito na barra e em todas as linhas contribuições de corrente de curtocircuito das linhas para a corrente de curtocircuito total na barra O exemplo a seguir ilustra o cálculo de curtocircuito de forma tradicional com cálculos manuais 279 EXEMPLO 71 Calcular a corrente de curtocircuito total e as contribuições de corrente para um curtocircuito trifásico no barramento 6 do sistema mostrado no diagrama unifilar SOLUÇÃO Para o cálculo da corrente de curtocircuito trifásico é necessário definir para que instante se quer os valores de corrente já que há um amortecimento desta corrente ao longo do tempo logo após a ocorrência do curtocircuito Em função do período adotado para o cálculo serão utilizadas as reatâncias subtransitórias transitórias ou síncronas das máquinas Se o que se deseja é o valor das correntes no período transitório serão utilizadas então as reatâncias transitórias Tendose todos os dados do sistema de transmissão a ser estudado configuração do sistema e parâmetros dos equipamentos geradores transformadores e linhas de transmissão calculamse os dados em pu e lançamse os mesmos em um diagrama 280 unifilar como mostrado no diagrama de impedâncias de sequência positiva neste exemplo são utilizadas as bases de tensão nominal dos equipamentos e a base de potência de 100 MVA Para se obter a impedância equivalente de Thevenin curtocircuitamse as fontes e obtémse a impedância vista desde o ponto de curtocircuito até a referência utilizando se o cálculo de circuitos elétricos para a eliminação das malhas e simplificandose os ramos em paralelo e em série A partir do diagrama anterior obtémse o diagrama em uma primeira simplificação e a partir deste o diagrama e finalmente a impedância equivalente de Thevenin de sequência positiva Observese que a linha 67 não entra no cômputo da impedância equivalente de Thevenin pois no barramento 7 não há fonte máquina síncrona e portanto pela linha 67 não virá contribuição de corrente de curtocircuito A corrente total de curtocircuito será 3 10 49095 843894 02037 843894 o CC F o I pu o que resulta em 123242 A O ângulo da corrente mostra que a mesma é praticamente indutiva e isso ocorre porque a resistência das linhas é muito pequena e a impedância é função principalmente 782 CurtoCircuito FaseFase Bifásico De forma semelhante ao desenvolvimento feito para o caso de curtocircuito faseterra admitindose um curtocircuito entre as fases B e C nos terminais de um gerador em vazio com tensão nominal como mostrado na Figura 712 Figura 712 Curtocircuito fasefase nos terminais de um gerador Têmse as seguintes condições que definem o problema Vb Vc ia 0 ib ic 723 As componentes simétricas da tensão serão Va1 Va2 Va0 13 1 ȧ ȧ2 1 ȧ2 ȧ 1 1 1 Va Vb Vc 724 do que resulta Va1 Va2 725 282 considerada como se o sistema A fosse uma máquina síncrona conectada ao barramento 6 ou seja um equivalente ao sistema A Da teoria de curtocircuito trifásico temse 3 Th CC F Th E I Z 711 donde se tem que 3 Th Th CC F E Z I 712 e da teoria de pu temse que Ipu Spu numericamente se Epu 10 pu que é o que ocorre no caso de curtocircuito Para se obter a impedância equivalente de um sistema elétrico em um determinado barramento basta que se tenha a contribuição de corrente ou de potência de curto circuito vinda do sistema vizinho para o barramento em análise Geralmente se dispõe da contribuição de curtocircuito de um sistema vizinho na forma de potência aparente MVA e disso resulta que o equivalente deste sistema será uma reatância indutiva pura Esta aproximação pode ser considerada satisfatória tendo em vista que como visto anteriormente a impedância equivalente de Thevenin tem um ângulo muito próximo de 90 graus Para cálculos mais exatos entretanto será necessário obter a contribuição de potência de curtocircuito na forma complexa módulo e ângulo EXEMPLO 72 Calcular a corrente de curtocircuito total para um curtocircuito trifásico no barramento 6 do sistema do Exemplo 71 Sabese que a contribuição de curtocircuito do sistema A para curtocircuito trifásico é de 43525 MVA SOLUÇÃO Dada a contribuição de curtocircuito trifásico do sistema cujos dados se desconhece mas como estão em pu na base de 100 MVA temse 43525 43525 9000 100 o CC CC pu pu I S 283 A impedância equivalente de Thevenin do sistema A cuja contribuição I56 foi dada é obtida por 3 10 10 022975 9000 43525 9000 o eq o A CC Fpu Z pu I Podese agora calcular a corrente de curtocircuito trifásico total no barramento 6 do sistema em questão uma vez que a impedância do sistema B é conhecida ZeqB 1 7871 79 1598o 6 022975 9000 17871 791598 020395 887702 022975 9000 17871 791598 o o o Th o o x Z pu do que resulta 3 6 10 490327 887702 020395 887702 o CC o F I pu Verificase do resultado que a diferença entre este resultado e o do Exemplo 71 é muito pequena ou seja a imprecisão havida por não se ter o ângulo da impedância equivalente é desprezível face às simplificações que se faz para os cálculos de curto circuito O cálculo da corrente de curtocircuito em qualquer outro barramento do sistema pode ser feito agora normalmente pois se dispõe de todos os dados necessários para os cálculos como já foi feito para o barramento 6 Para o cálculo no barramento 7 temse o diagrama unifilar 284 a partir do qual se obtém 7 022882 869905o ZTh pu obtendose 3 43703 869995o ICC F pu Dos resultados dos Exemplos 71 e 72 podemse tirar algumas conclusões válidas para o cálculo de curtocircuito em qualquer sistema a a corrente de curtocircuito aumenta com o número de fontes conectadas ao sistema b a corrente de curtocircuito aumenta à medida que aumenta o número de elementos linhas e transformadores conectados ao sistema pois diminui a impedância equivalente de Thevenin 78 CÁLCULO DA CORRENTE DE CURTOCIRCUITO ASSIMÉTRICO Curtoscircuitos assimétricos são aqueles que envolvem apenas uma ou duas fases com ou sem contato com a terra ou seja curtoscircuitos do tipo faseterra ou monofásico fasefaseterra ou bifásico à terra e fasefase ou bifásico Por serem assimétricos não é mais possível utilizar o método tradicional de cálculo de circuitos isto é efetuar os cálculos para apenas uma fase de circuitos trifásicos sendo então necessário fazer uso das componentes simétricas Nesses tipos de curtoscircuitos em virtude dos desequilíbrios que ocorrem das conexões dos enrolamentos dos transformadores e dos aterramentos dos diversos equipamentos do 285 sistema surgem sobretensões durante a permanência do curtocircuito as quais podem ser até mais prejudiciais aos equipamentos do que a própria corrente de curtocircuito devendo então ser devidamente consideradas na especificação dos equipamentos Na dedução das equações para o cálculo das correntes de curto nos diversos tipos de curtocircuito será considerada a ocorrência de curtocircuito nos terminais de um gerador a vazio Para efetuar os cálculos de um sistema real utilizase a tensão e a impedância equivalente de Thevenin em lugar da tensão interna e da impedância da máquina 781 CurtoCircuito FaseTerra Monofásico Para a análise desse tipo de curtocircuito admitese que a fase a tenha contato direto franco ou com impedância nula com a terra A Figura 710 mostra a condição de curto circuito no terminal de um gerador da fase a para a terra Figura 710 Condição de curtocircuito faseterra Para essa situação temse 0 0 ft a a cc c b V I I I I 713 286 as componentes simétricas de corrente serão 2 1 2 2 0 1 1 1 3 1 1 1 a a a b a c a a I I I a a I I I 714 1 2 0 1 3 a a a a I I I I 715 substituindose Ia1 Ia2 e Ia0 calculados na Equação 544 temse 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 0 0 a a a a a a a a a a V I Z E V Z I Z V I 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 a a a a a a a a a a V E Z I V Z I V Z I 716 prémultiplicando ambos os lados da equação pela matriz linha 1 1 1 resulta 1 2 0 1 1 1 2 2 0 0 1 1 2 0 0 a a a a a a a a a a a a a a a V V V E Z I Z I Z I E Z Z Z I 717 como 1 2 0 0 a a a V V V 718 pois a fase a está em curto para a terra vem 1 1 2 0 0 a a a a a E Z Z Z I 719 0 1 1 2 0 a a a a a I E Z Z Z 720 287 A Equação 720 permite calcular a componente de sequência zero da corrente de curto circuito faseterra a partir dos elementos conhecidos que são a tensão na fonte e as impedâncias do circuito em consideração no caso o gerador Considerandose agora que em vez de um gerador simplesmente se tenha um sistema devese utilizar o equivalente de Thevenin e a Equação 720 é escrita como 0 1 1 2 0 a Th Th Th Th I E Z Z Z 721 Da Equação 715 têmse que as componentes de sequência positiva negativa e zero da corrente para esse tipo de curtocircuito são iguais e portanto a corrente de curto circuito faseterra será 1 2 0 0 3 a a a a ICCft I I I I 722 Usualmente é utilizado um circuito com as impedâncias de sequência positiva negativa e zero e com a fonte de tensão a1 E para representar mnemonicamente a expressão obtida para o cálculo da corrente de curtocircuito Para o caso de curtocircuito fase terra temse o diagrama da Figura 711 Figura 711 Circuito mnemônico para representar curtocircuito faseterra image contains only a circuit diagram and no text for extraction considerandose os valores das correntes determinadas pelas condições de definição do problema temse do que resulta como resulta que Substituindose agora na Equação 544 os valores anteriormente obtidos temse e efetuandose as operações matriciais indicadas e prémultiplicando ambos os lados pela matriz linha resulta Também neste caso quando se tem um curtocircuito fasefase em um ponto qualquer de um sistema na equação para o cálculo da corrente devem ser utilizadas as impedâncias equivalentes de Thevenin A Figura 713 ilustra o circuito mnemônico utilizado para representar o curtocircuito fasefase 290 Figura 713 Circuito mnemônico para curtocircuito fasefase 783 CurtoCircuito FaseFaseTerra Bifásico à Terra Da mesma forma que para os outros dois tipos de curtocircuito assimétrico considerando se um curtocircuito entre as fases b e c nos terminais de um gerador em vazio e com tensão nominal como mostrado na Figura 714 têmse as seguintes condições de definição do problema I V V a b c 0 0 730 Figura 714 Curtocircuito fasefaseterra nos terminais de um gerador a vazio e as componentes simétricas de tensão podem ser obtidas por substituindose esses resultados na Equação 545 considerandose que e prémultiplicando ambos os lados da equação resultante pela inversa da matriz de impedâncias de sequência temse prémultiplicando ambos os lados pela matriz linha resulta do que se obtém 292 Para um curtocircuito em um ponto do sistema devese utilizar as impedâncias equivalentes de Thevenin Levandose o resultado da Equação 731 à Equação 545 obtémse 2 2 2 a a a V I Z 0 0 0 a a a V I Z 736 tendose então todos os elementos para calcular as correntes e as tensões de fase O circuito mnemônico utilizado para representar a condição de curtocircuito fasefase terra é apresentado na Figura 715 Figura 715 Circuito mnemônico para a condição de curto fasefaseterra EXEMPLO 73 Calcular a corrente de curtocircuito no barramento 6 do sistema do Exemplo 71 para o caso de a curtocircuito faseterra b curtocircuito fasefase c curtocircuito fasefaseterra Para cada um dos tipos de curtoscircuitos calcular também as tensões faseterra em todas as fases e fasefase no barramento 6 293 SOLUÇÃO Para o cálculo dos curtoscircuitos assimétricos é necessário terse as impedâncias equivalentes de Thevenin de sequência negativa e de sequência zero além da de sequência positiva já calculada para o curtocircuito trifásico Neste caso as impedâncias de sequência negativa das máquinas serão consideradas iguais às impedâncias de sequência positiva Os diagramas unifilares a seguir mostram os diagramas de impedância de sequência negativa e de sequência zero para o sistema dado com as respectivas impedâncias em pu a partir dos quais são obtidas as impedâncias de Thevenin de sequência negativa e zero para o barramento 6 a diagrama de sequência negativa b diagrama unifilar de sequência zero Efetuandose a redução dos circuitos de sequência negativa e zero obtémse Z pu Z Z pu Th o Th Th o 2 1 0 0 2037 84 3894 0 1287 85 9461 a curtocircuito faseterra A componente de sequência zero da corrente de curtocircuito é obtida pela Equação 720 tendose a corrente de sequência zero obtémse e com as componentes de sequência da corrente calculamse as componentes de sequência da tensão com a Equação 544 das componentes simétricas com as componentes de sequência de tensão podese agora calcular as tensões faseterra e fasefase 295 e com os valores obtidos podemse traçar os diagramas fasoriais correspondentes Nota a antes do curtocircuito b após o curtocircuito b curtocircuito fasefase Para este tipo de curtocircuito temse 1 1 10 02037 843894 02037 843894 24546 843894 a o o o a I I pu temse também que 2 1 0 0 a a a I I I a corrente de curtocircuito será então 2 1 2 0 1 2 0 42515 1743894o c a a a b b b b b I I I I I a I aI I I pu para o cálculo das tensões utilizase a Equação 544 das componentes simétricas tendose 1 2 0 05000 00 05000 00 00 o a o a a V V pu V e com as componentes de sequência da tensão calculamse as tensões faseterra e fasefase obtendose Vf AVs 10 0500018000 0500018000T pu e Vab Vbc VcaTVa Vb Vb Vc Vc VaT1500000 00 1500000T pu Os diagramas fasoriais de tensão são mostrados a seguir Nota a sem curtocircuito b com curtocircuito c curtocircuito fasefaseterra A componente de sequência positiva da corrente de curtocircuito fasefaseterra é obtida com a Equação 735 a1 10 02037843894 02037843894 x 01287859461 02037843894 01287859461 a1 35384846557 pu levandose Ia1 à Equação 545 obtémse a tensão de sequência positiva da tensão Ṽa1 Ėa1 Ża1 ĩa1 Ṽa2 Ṽa0 Ṽa1 10 02037843894 x 35384846557 Ṽa1 0279206876 pu tendose Ṽa1 podese calcular as demais componentes de sequência da corrente com a Equação 736 ĩa2 Ṽa2 Ża2 0279206876 02037843894 ĩa2 13705837018 e ĩa0 Ṽa0 Ża0 0279206876 01081865691 ĩa0 21687852585 com as quais calculamse as correntes de curtocircuito em cada uma das fases em curto b e c Ib ib1 ib2 ib0 Ib â2 ia1 â ia2 ia0 531391478686 pu Ic ic1 ic2 ic0 Ic â ia1 â2 ia2 ia0 53919427108 pu a corrente de curtocircuito total para a terra será ICCfft Ib Ic 65059947441 com as componentes de sequência da tensão calculamse as tensões faseterra e fasefase no ponto de curto Vf AVs 0837606876 00 00T pu Vab Vbc VcaTVaVb VbVc VcVaT0837606876 00 083761793124T pu e têmse os diagramas fasoriais Nota a antes do curtocircuito b após o curtocircuito 79 CURTOCIRCUITO ATRAVÉS DE UMA IMPEDÂNCIA DE FALTA Todos os tipos de curtoscircuitos discutidos nas seções precedentes consistem em curtoscircuitos diretos entre linhas e em uma ou duas linhas para a terra Embora um curtocircuito direto destes resulte no mais alto valor de corrente de falta e seja portanto o mais conservativo para uso na determinação dos efeitos de faltas previstas o valor da impedância de falta é raramente igual a zero A maioria das faltas resulta de descargas através dos isoladores onde a impedância entre a linha e a terra depende das resistências do arco da própria torre e da sapata da torre quando não são usados condutores de terra As resistências das sapatas da torre formam a parte principal da resistência entre a linha e a terra e dependem das condições do solo A resistência do solo seco é 10 a 100 vezes maior do que a do solo encharcado Na Figura 716 são mostradas as conexões dos fios hipotéticos para faltas através de impedâncias 299 Figura 716 Diagramas de ligações dos fios hipotéticos para diversos tipos de curtocircuito através de impedância Nota a falta trifásica b falta fasefase c falta fasefaseterra d falta faseterra Um sistema equilibrado permanece simétrico após a ocorrência de uma falta trifásica que tenha a mesma impedância entre cada linha e um ponto comum e circularão apenas correntes de sequência positiva Com a impedância de falta Zf igual em todas as fases como se vê na Figura 716a a tensão na falta é a a f V I Z 737 e como circulam apenas correntes de sequência positiva 1 1 1 a a f f a f V I Z V I Z 738 e 1 1 f a f V I Z Z 739 A conexão da rede de sequência é mostrada na Figura 717 300 Figura 717 Conexão das redes de sequência para simular diversos tipos de faltas através de uma impedância no ponto P Nota a falta trifásica b falta faseterra c falta fasefase d falta fasefaseterra Pode ser feita uma dedução formal para as faltas faseterra simples e entre duas fases e terra mostradas nas Figuras 717 mas a conexão correta das redes de sequência pode ser encontrada por comparação com as faltas sem impedância considerando um gerador com todos os terminais em aberto e com o neutro aterrado Neste gerador uma falta faseterra simples ou entre duas fases e terra através de uma impedância Zf não difere no tocante à corrente de falta do mesmo tipo de falta sem impedância mas com Zf conectado entre o neutro do gerador e a terra Para considerar uma impedância Zf no neutro de um gerador acrescentase 3Zf à rede de sequência zero O teorema de Thévenin permite aplicar o mesmo tipo de raciocínio para estes tipos de faltas em um sistema de potência e assim mostramos na Figura 717b e d as conexões das redes de sequência para uma falta fase terra simples e para uma falta entre duas fases e terra Por estas figuras para uma falta faseterra simples através de Zf 1 2 0 a a a I I I 740 1 1 2 0 3 f a f V I Z Z Z Z 741 301 E para uma falta entre duas fases e terra através de Zf 1 2 a a V V 742 1 1 2 0 2 0 3 3 f a f f V I Z Z Z Z Z Z Z 743 Uma falta fasefase é mostrada na Figura 716 As condições na falta são 0 a c b c b b f I I I V V I Z 744 As correntes aI bI bI guardam entre si as mesmas relações que apresentavam na falta linhalinha sem impedância e portanto 1 2 a a I I 745 As componentes de sequência da tensão serão dadas por 0 2 1 2 2 1 1 1 1 1 3 1 a a a b b b a f V V V a a V V I Z V a a 746 ou 2 2 1 3 a a b b f V V a a V a I Z 2 2 3 a a b b f V V a a V aI Z 747 portanto 2 1 2 3 3 a a b b f f V V a a I Z j I Z 748 e como 1 2 a a I I 2 2 1 2 1 1 3 b a a a a I a I aI a a I j I 749 302 e após entrar com o valor de Ib da Equação 749 na Equação 748 obtémse 1 2 1 a a a f V V I Z 750 De acordo com a Equação 750 para que sejam preenchidos os requisitos de falta faz se necessária a inserção de Zf entre os pontos de falta nas redes de sequência positiva e negativa As conexões das redes de sequência para falta linhalinha através de uma impedância são mostradas na Figura 717 As faltas através de impedâncias são semelhantes a cargas monofásicas A impedância Zf de uma falta faseterra simples é equivalente à conexão de uma carga monofásica Zf entre a fase a e o neutro A impedância Zf da falta linhalinha é equivalente à conexão de uma carga monofásica Zf entre as fases b e c 710 CÁLCULO MATRICIAL DE CURTOCIRCUITO O cálculo das correntes de curtocircuito em um SEP de grande porte somente é possível com a utilização de matrizes em programas computacionais Podem ser utilizadas tanto a matriz de impedâncias nodais Zbarra como a matriz de admitâncias nodais Y barra sendo necessário obter as matrizes para as sequências positiva negativa e zero conforme o tipo de curtocircuito a ser calculado Tais programas estão disponíveis para a utilização em microcomputadores e podem calcular curtoscircuitos em sistemas de até 3000 barras e 5000 ramos linhas e transformadores ou mais o que é mais do que suficiente para as necessidades normais dos grandes sistemas interligados como é o caso dos sistemas brasileiros Para a obtenção das matrizes há técnicas computacionais específicas não apresentadas neste texto que permitem otimizar o tempo de cálculo e de memória computacional necessários As características básicas das matrizes citadas são principalmente a a matriz Zbarra é cheia necessitando de maior memória computacional e seus elementos são utilizados diretamente para o cálculo do curtocircuito b a matriz Y barra é esparsa necessitando de menor memória computacional porém de técnicas de esparsidade para o armazenamento e cálculo e para o cálculo do curto circuito é necessário utilizar inversão parcial da matriz para a obtenção dos elementos necessários ao cálculo do curtocircuito O cálculo da corrente de curtocircuito total e das correntes de ramo contribuições de corrente para a corrente total é feito utilizandose agora os elementos das matrizes da diagonal principal para a determinação da corrente total e dos elementos de fora da diagonal principal para o cálculo das contribuições de corrente dos ramos utilizandose os mesmos nas fórmulas apresentadas nas Seções 76 78 e 79 Se utilizadas as matrizes 303 Zbarra têmse diretamente os elementos Zkk da diagonal principal e Zij fora da diagonal principal e se utilizadas as matrizes Y barra estes elementos de matriz são obtidos pela inversão parcial da matriz EXEMPLO 74 Calcular a corrente de curtocircuito no barramento 3 do sistema mostrado no diagrama unifilar para curtocircuito trifásico e faseterra utilizando o cálculo matricial com a matriz Zbarra Nota Sistema do Exemplo 62 considerandose a barra 1 conectada a um sistema vizinho de grande porte SOLUÇÃO Com a configuração e os dados do sistema obtêmse as impedâncias de todos os circuitos e os diagramas unifilares de sequência positiva negativa e zero como mostrado a seguir 304 a dados de impedâncias e diagrama de sequência positiva negativa Nota No diagrama de sequência negativa as fontes não existem b dados de impedâncias e diagrama de sequência zero Com os dados de impedâncias e configuração dos diagramas unifilares obtêmse as matrizes Zbarra de sequência aqui obtidas a partir da inversa das matrizes barra Y 305 barra1 Z 00010 j00222 00008 j00212 00004 j00194 00003 j00141 00008 j00212 00033 j00347 00016 j00263 00011 j00191 00004 j00194 00016 j00263 00039 1 2 3 4 j00401 00 028 j00291 00003 j00141 00011 j00191 00028 j00291 00020 j00575 pu barra 0 Z 00018 j00221 00010 j00177 00006 j00089 00000 j00000 00010 j00177 00092 j00498 00003 j00172 00000 j00000 00006 j00089 00003 j00172 00023 j00336 0000 1 2 3 4 0 j00000 00000 j00000 00000 j00000 00000 j00000 787353 j06200 pu A corrente de curtocircuito total é calculada utilizandose os elementos da diagonal principal das matrizes de sequência positiva e zero para a barra considerada sendo curto trifásico 3 1 CC Ftotal barra i ii I Z curto faseterra 1 3 CCFTtotal barra i ii ii iio I x Z Z Z obtendose 3 3 33 1 ICC Ftotal barra Z 0 1 248205 84445 00039 j0040 1 623 2482 1 05 pu kA MVA 3 33 33 33 1 3 CCFTtotal barra o I x Z Z Z 00039 j00401 00039 1 3 j00401 00023 j00336 x 3 00101 j01138 262588 849282 659 kA 262588 MVA As contribuições de corrente de curtocircuito que resultam na corrente total são calculadas utilizandose os elementos da diagonal principal e os elementos correspondentes ao ramo linha ou transformador conectado à barra das matrizes de sequência positiva e zero e a impedância do ramo em questão sendo curto trifásico contribuição da linha 31 iCC3F31 Z33 Z31 Zlinha31 1 Z33 00039 j00401 00004 j00194 00103 j00527 1 00039 j00401 97040 829829 242 kA 97040 MVA contribuição da linha 32 iCC3F32 Z33 Z32 Zlinha32 1 Z33 00039 j00401 00016 j00263 00069 j00351 1 00039 j00401 Zij 97040 829829 242 kA 97040 MVA contribuição do transformador 34 iCC3F34 Z33 Z34 Ztransf34 1 Z33 54877 901556 138 kA 54877 MVA curto faseterra contribuição da linha 31 iCCFT31 Z33 Z31 Zlinha31 Z33 Z31 Zlinha31 Z33o Z31o Zlinha31o 1 Z33 Z33 Z33o 34224 834663 34224 834663 14511 768927 208 kA 82846 MVA contribuição da linha 32 iCCFT32 Z33 Z32 Zlinha32 Z33 Z32 Zlinha32 Z33o Z32o Zlinha32o 1 Z33 Z33 Z33o 34224 834663 34224 834663 14511 768927 208 kA 82846 MVA contribuição do transformador 34 iCCFT34 Z33 Z34 Ztrafo34 Z33 Z34 Ztrafo34 Z330 Z340 Ztrafo34o 1 Z33 Z33 Z330 19361 905391 19361 905391 58982 887451 245 kA 97693 MVA 711 CÁLCULO DE CURTOCIRCUITO COM PROGRAMAS COMPUTACIONAIS Programas computacionais de cálculo de curtocircuito utilizam a matriz Zbarra calculada diretamente ou obtida a partir da matriz Ybarra para sequência positiva e sequência zero Os dados de impedância das linhas e transformadores devem ser codificados conforme uma formatação predefinida diretamente ou através de uma interface gráfica conforme mostrado na Figura 718 308 Figura 718 Formatação de dados para uso em programas de curtocircuito Os resultados obtidos após o cálculo do curtocircuito nas barras determinadas são apresentados em valores de MVA ou kA ou pu para curtocircuito monofásico e trifásico como mostrado na Figura 719 os valores de curtocircuito total e nas Figuras 720 e 721 as contribuições em MVA nas linhas e transformadores para curto trifásico e monofásico Figura 719 Resultados calculados potência de curtocircuito total 309 Figura 720 Resultados calculados contribuições para curto trifásico 310 Figura 721 Resultados calculados contribuições para curto monofásico 311 Os resultados do cálculo de curtocircuito na barra 3 do sistema do Exemplo 74 para o curto total e as contribuições nas linhas e transformadores são mostrados na Figura 722 Figura 722 Resultados calculados apresentação gráfica 712 MEDIÇÕES E REGISTROS DE CORRENTE DE CURTOCIRCUITO Em virtude das simplificações feitas para os cálculos das correntes de curtocircuito e de outras imprecisões existentes em dados de equipamentos e parâmetros de linhas de transmissão não se pode tomar os valores calculados como absolutos embora a precisão dos resultados seja suficiente para os trabalhos normais necessários ao planejamento e à operação dos SEP Muitas vezes há dúvidas quanto à operação correta da proteção durante um curtocircuito A dúvida pode ser quanto ao valor da corrente de curtocircuito ou quanto ao ajuste do relé ou mesmo quanto à sequência de operação de vários relés Para resolver este tipo de dúvida não é suficiente apenas a ferramenta de cálculo das correntes de curtocircuito Com a utilização de equipamentos denominados osciloperturbógrafos é possível obter o registro na forma gráfica das correntes e tensões de curtocircuito no ponto do sistema onde está instalado o equipamento tendose então os valores reais das correntes de curtocircuito podendose com estes resultados gráficos 312 a aferir a precisão dos cálculos de curtocircuito b determinar o instante da atuação de cada tipo de relé envolvido c determinar se a atuação de cada relé foi correta ou incorreta A Figura 723 ilustra o registro gráfico de um curtocircuito trifásico e a Figura 724 ilustra o registro de um curtocircuito faseterra Figura 723 Registro gráfico de um curtocircuito trifásico ponto de curto distante Fonte Companhia Paranaense de Energia 2014 Nota a tensão das fases b corrente das fases Figura 724 Registro gráfico de um curtocircuito faseterra ponto de curto distante Fonte Companhia Paranaense de Energia 2014 Nota a tensão das fases b corrente das fases 313 713 UTILIZAÇÃO DE CÁLCULOS DE CURTOCIRCUITO O cálculo das correntes de curtocircuito em um SEP é extremamente importante para se obterem as informações necessárias ao projeto adequado de um SEP conforme mostrado a seguir para determinar a o ajuste da proteção do sistema proteção de linhas transformadores geradores b as características de malhas de terra c as características de disjuntores d os meios para reduzir as correntes de curtocircuito e as condições de aterramento do sistema f as correntes nos cabos pararaios de linhas de transmissão g as sobretensões de regime permanente 7131 Ajuste da Proteção do Sistema Curtoscircuitos em um sistema sempre ocorrem devido a falha de isolamento descargas atmosféricas rompimento de cabos ou por acidente falha humana Tornase necessário assim minimizar o efeito do curtocircuito altas correntes e altas tensões resultando em calor arcos voltaicos e esforços mecânicos e a consequente destruição de equipamentos e acidentes com pessoas que podem provocar graves consequências e até morte O efeito do curtocircuito é minimizado se for eliminado o mais rápido possível desligando se o equipamento ou instalação sob falta por meio de disjuntores que são ativados por sistemas de proteção constituídos por relés dos mais variados tipos e em diferentes pontos do sistema e que deverão atuar no menor tempo possível e de forma coordenada para desligar somente a parte afetada e não prejudicar o restante do sistema A eficiência da proteção é obtida pelo denominado ajuste da proteção que consiste em determinar as correntes de curtocircuito em todas as condições possíveis e com o valor destas correntes efetuar o ajuste de cada relé para a operação do relé no tempo e na forma corretos 7132 Determinação das Características de Malhas de Terra As malhas de terra são instalações constituídas por cabos e hastes nus enterrados sob usinas subestações e torres de linhas de transmissão e que possibilitam o escoamento das altas correntes de curtoscircuitos assimétricos com o contato à terra faseterra e fasefaseterra devido a contato direto à terra de elementos energizados ou devido a arco voltaico causado por sobretensões 314 As malhas de terra devem ter dimensões adequadas para abranger toda a área das instalações com equipamentos energizados e cabos e hastes com dimensões bitola ou área da seção transversal suficientes para permitir a circulação das altas correntes sem serem destruídas O cálculo e o dimensionamento das malhas de terra utilizam os valores das correntes máximas de curtocircuito calculadas e os valores de resistência de terra do local onde serão instaladas 7133 Determinação das Características de Disjuntores Para determinar a característica de um disjuntor é preciso verificar a corrente máxima que ele deverá interromper que juntamente com a tensão nominal do sistema naquele ponto determinará a capacidade disruptiva da câmara de extinção do arco voltaico no interior da mesma valor este expresso em MVA de capacidade de ruptura Este valor de capacidade de ruptura não pode ser excedido sob pena de explosão destruição do disjuntor É importante conhecer qual a parcela da componente de corrente contínua que compõe a corrente de curtocircuito total porque os disjuntores deverão interromper esta corrente e portanto serão mais solicitados quanto mais rapidamente se der a interrupção já que a componente de corrente contínua terá sofrido pouco amortecimento Nos circuitos de alta tensão podese considerar o amortecimento da componente de corrente contínua como mostrado na Tabela 72 Tabela 72 Componente de corrente contínua remanescente após o curtocircuito Ciclos após o curtocircuito Percentual remanescente 1 60 2 40 3 20 5 10 8 0 7134 Redução das Correntes de CurtoCircuito Uma das grandes preocupações do planejamento e da operação dos sistemas atualmente é o acompanhamento da evolução da potência de curtocircuito nos barramentos das subestações dos sistemas de transmissão a fim de verificar se as mesmas não ultrapassam a capacidade de interrupção dos disjuntores instalados nestas subestações pois se isso ocorrer os mesmos serão destruídos quando interromperem a corrente durante um curtocircuito 315 Como visto nos Exemplos 71 e 72 a a corrente de curtocircuito aumenta com o número de fontes conectadas ao sistema b a corrente de curtocircuito aumenta à medida que aumenta o número de elementos linhas e transformadores conectados ao sistema pois diminui a impedância equivalente de Thevenin Caso se verifique que num ano futuro a potência de curtocircuito em uma subestação ultrapassará a capacidade de interrupção dos disjuntores instalados nessa subestação é necessário que se tomem providências antes que isso aconteça Dentre as providências possíveis estão a aumento da impedância de transformadores b seccionamento de barramentos c abertura de linhas d colocação de reatores limitadores de corrente e várias das opções simultaneamente Caso nenhuma das alternativas citadas seja suficiente para limitar a potência de curto circuito abaixo da capacidade de interrupção dos disjuntores a única solução será a troca dos disjuntores por outros de maior capacidade de interrupção 7135 Condições de Aterramento do Sistema Quando ocorrem curtoscircuitos os sistemas são submetidos a altas correntes e a tensões de regime permanente diferentes da tensão nominal mais altas ou mais baixas Estes valores de corrente e de tensão serão função do tipo de aterramento adotado para o sistema e impactarão não só as condições de curtocircuito como também as características e custos dos equipamentos a serem utilizados e as características da proteção a ser adotada no sistema Os tipos de aterramento são solidamente aterrado aterrado por impedância ou por resistência e isolado Os sistemas solidamente aterrados apresentam as correntes de curtocircuito mais altas as tensões mais baixas e as melhores condições de proteção ao passo que os sistemas isolados apresentam as menores correntes e as tensões mais altas ou sobretensões de frequência fundamental e maiores dificuldades de proteção enquanto os sistemas aterrados por impedância ou por resistência apresentam condições intermediárias 316 A adoção de um ou outro tipo de condição de aterramento depende de estudos detalhados de todas as condições envolvidas no sistema de transmissão distribuição ou mesmo de uma indústria e que vai definir qual o mais adequado para aquele sistema 7136 Correntes de CurtoCircuito em Cabos ParaRaios de Linhas de Transmissão A ocorrência de um curtocircuito à terra em uma linha de transmissão leva à circulação de altas correntes pelo solo e pelos cabos pararaios e pelas torres da linha As correntes nas torres e no solo podem levar a tensões de toque e de passo respectivamente que podem ser mortais Já as correntes circulando nos cabos pararaios da linha podem levar ao aquecimento extremo nestes cabos fazendoos se expandir e tocar nos cabos fase e até mesmo a perder sua resistência mecânica à tração não mais voltando à sua característica nominal e permanecendo na condição aonde foram com o sobreaquecimento muito baixos devendo ser substituídos por novos cabos 7137 Cálculo de Sobretensões de Regime Permanente Conforme o aterramento do sistema durante o curtocircuito poderão ocorrer sobretensões de frequência fundamental em regime permanente que estarão aplicadas aos equipamentos do sistema até a eliminação do curtocircuito e que poderão ser críticas a estes equipamentos podendo leválos à destruição Estas sobretensões deverão ser estudadas detalhadamente para se determinar seus valores máximos e ser levadas em consideração para a especificação dos equipamentos principalmente dos pararaios levando a maiores ou menores níveis de isolamento do sistema NBI ou NBS 317 PROBLEMAS 1 Para o sistema de transmissão mostrado no diagrama a passar os dados para pu utilizando as bases de 138 kV e 100 MVA no barramento 1 Apresentar os resultados em um diagrama unifilar com os dados na forma cartesiana b apresentar os diagramas de sequência positiva negativa e zero com os respectivos dados em pu c calcular a corrente e a potência de curtocircuito para curtocircuito trifásico e monofásico no barramento 3 curtocircuito trifásico monofásico bifásico e bifásico à terra no barramento 6 equivalente de curtocircuito do sistema em MVA para o sistema vizinho à esquerda do barramento 6 2 Para o sistema de transmissão mostrado no Exemplo 74 a calcular a corrente de curtocircuito trifásico e monofásico no barramento 3 por meio de cálculo manual b apresentar considerações sobre a possibilidade e facilidade de cálculos das impedâncias equivalentes de Thevenin de sequência positiva e zero para o cálculo do item a c refazer o cálculo considerando apenas o módulo das impedâncias como se fossem resistências d refazer o cálculo considerando apenas a parte da reatância das impedâncias abandonando a parte da resistência 318 e apresentar considerações comparando os resultados obtidos em a b e c 3 Para o sistema de transmissão mostrado no Exemplo 74 determinar a em que condição ocorrerá o pico máximo da corrente para um curtocircuito trifásico no barramento 3 b qual o valor de corrente de pico a ser interrompida para a condição a 4 Para o sistema de transmissão mostrado no Exemplo 74 determinar a o valor da corrente para um curtocircuito monofásico no barramento 3 considerando uma resistência de falta de 50 ohm terreno rochoso no local da falta à terra b o valor das tensões das fases b e c de regime permanente durante o curto REFERÊNCIAS ANDERSON P M Analysis of faulted power systems Iowa Iowa State University Press 1973 BARTHOLD L O REPPEN N D Power circuit analysis New York Power Technologies Inc Schnectady 1973 BROWN H E Solution of large networks by matrix methods New York Wiley Interscience 1975 COMPANHIA PARANAENSE DE ENERGIA Registro de correntes de curtocircuito Curitiba 2014 GLOVER J D SARMA M S Power system analysis and design 2nd ed Boston PWS Publishing Company 1994 GROSS C A Power system analysis 2nd ed New York J Wiley 1986 KINDERMANN G Curtocircuito Porto Alegre SagraDcluzzato LivreirosEditoresDistribuidores 1999 LINDENHOLM J LUNDIN U Estimation of hydropower generator parameters through field simulations of standard tests IEEE Energy Conversion v 25 n 4 Dec 2010 NEUESWANDER J R Modern power systems Pensilvânia International Textbook Company 1971 NIEDERHEITMANN JR H A Interface gráfica para simulação de curto circuito In SEMINÁRIO TÉCNICO DE PROTEÇÃO E CONTROLE 1998 Natal Anais Natal STPC 1998 NIEDERHEITMANN JR H A Um método computacional eficiente para a análise de falhas em sistemas elétricos 1987 Dissertação Mestrado em Sistemas Elétricos Itajubá 1987 OLIVEIRA C S B SCHMIDT H P KAGAN N ROBBA E J Introdução a sistemas elétricos de potência componentes simétricas 2 ed São Paulo Edgard Blücher 1995 SHOULTS R R Short circuit analysis Texas University of Texas at Arlington 1987 SIEMENS A G Correntes de curtocircuito em redes trifásicas São Paulo Edgard Blücher 1975 STEVENSON JR W D Elements of power system analysis New York McGrawHill 1982 WESTINGHOUSE ELECTRIC CORPORATION Electrical transmission and distribution reference book Pensilvânia 1950 3 CONCEITOS BÁSICOS DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 55 Para a análise de um sistema elétrico é necessário obter ou calcular os valores das grandezas envolvidas no problema e para tanto este capítulo revisa fundamentos importantes para o desenvolvimento dos capítulos seguintes e devem ser totalmente entendidos antes de prosseguir Ainda que um entendimento superficial da terminologia e nomenclatura seja em geral suficiente para trabalhos de rotina constitui um fraco fundamento para estender os estudos de aspectos mais sofisticados da análise de sistemas de potência Este capítulo serve para apresentar a notação que será utilizada nos capítulos seguintes e para esclarecer alguns tópicos importantes 31 REDES ELÉTRICAS 311 Definições e Convenções Uma rede elétrica consiste em nós barramentos e ramos impedâncias interconectados como mostrado na Figura 31 Esta figura forma a base lógica para os sentidos de referência das tensões e correntes nos ramos com as seguintes convenções que são universalmente aceitas a os barramentos são numerados de 1 a 4 e os ramos são denominados por letras de a a e como na Figura 31a b o ramo entre p e q traz associado o sentido do ramo como na Figura 31c por definição o sentido de referência para a corrente de ramo I é o sentido do ramo um valor negativo de I significa que o sentido real é oposto ao sentido de referência c a tensão de ramo V tem sentido oposto ao da corrente como na Figura 31d se não existe fonte de tensão ou outro elemento ativo no ramo a tensão do ramo V é igual à queda de tensão através do ramo Z I d para um ramo constituído de uma fonte de tensão em série com uma impedância Figura 31d a fonte de tensão tem o sentido da corrente Tensão ou Força Eletromotriz fem Para o ramo na Figura 31d as seguintes equações relacionam V e I 56 Figura 31 Definições e convenções de redes Nota a representação de um circuito gráfico orientado b representação π de uma linha de transmissão c sentido de referência para um ramo passivo d sentido de referência para um ramo ativo e carga conectada a um gerador por uma linha de transmissão V ZI Es V V Es I Z A 31 32 Se ambas as barras p e q estão conectadas a uma barra comum terra resultam em uma malha simples isto é V 0 e I EZ Na Figura 31e um gerador representado por um ramo ativo a é conectado a uma impedância de carga Zc através de uma linha de transmissão representada por seu circuito π equivalente A rede tem 3 nós um dos quais é a terra e 5 ramos com os sentidos de referência corrente indicados 57 312 Tipos de Ramos Os ramos podem ser ativos ou passivos mas o princípio básico de cálculo é a Lei de Ohm Em um ramo passivo com impedância pq Z no qual exista uma queda de tensão V pq circulará uma corrente pq I no sentido de p para q sendo o sentido da tensão de q para p como mostrado na Figura 32 Da Figura 32a temse V Z I V V pq pq pq p q 33 ou 34 onde p V e q V são as tensões de nó ou tensões de barra ou seja as tensões do nó para o neutro ou do nó para a terra quando o neutro está solidamente aterrado Em um ramo ativo com uma fonte de tensão em série com uma impedância a corrente tem o mesmo sentido da tensão e assim a tensão do ramo tem sentido contrário ao da tensão da fonte Temse então V Z I E pq pq pq s 35 A convenção adotada para correntes e potências é sentido positivo para corrente ou potência saindo do nó Figura 32 Sentido de correntes e tensões nos ramos Nota a ramo passivo b ramo ativo V V V pq p q Ipq Z Z pq pq 58 Em uma malha com vários ramos ativos e passivos conectados a um nó será necessário obter a corrente ou a potência total resultante em cada nó considerado e a tensão de cada nó e de cada ramo Em redes de corrente alternada a frequência será a mesma em todos os ramos e nós e será considerada sempre igual a 60 Hz no Brasil de forma que é possível somar ou subtrair correntes e tensões como em circuitos de corrente contínua somente que no caso de redes de corrente alternada são fasores e portanto as operações devem obedecer às regras de operação com vetores Para a solução das redes de sistemas elétricos de corrente alternada são utilizadas as duas leis de Kirchhoff somente que neste caso com fasores 313 Elementos de Ramos Os componentes passivos de um sistema de transmissão com linhas de transmissão transformadores reatores capacitores ou cargas são normalmente lineares e os modelos utilizados para representálos são compostos por uma ou mais resistências indutâncias e capacitâncias de forma a representar o mais fielmente possível o comportamento do componente real O Quadro 31 apresenta as grandezas citadas Nome Símbolo Unidade SI Símbolo da unidade SI Resistência R ohm Ω Indutância L henry H Capacitância C farad F Quadro 31 Definições de algumas grandezas elétricas básicas No Quadro 32 são mostradas as equações que relacionam a tensão e a corrente nestes elementos em circuitos de corrente alternada onde as letras minúsculas para a tensão e para a corrente indicam valor instantâneo enquanto as letras maiúsculas indicam valor eficaz sendo ω2πf cujo valor em sistemas com a frequência de 60 Hz é de 377 rads 59 Elemento Valor instantâneo Valor eficaz em regime permanente Resistência 36 37 Indutância 38 39 Capacitância 310 311 Quadro 32 Relações entre tensões e correntes O Quadro 33 demonstra as demais grandezas utilizadas nas Equações 36 a 311 Nome Símbolo Unidade SI Símbolo da unidade SI Reatância indutiva XL ohm Ω Reatância capacitiva XC ohm Ω Impedância Z R jX ohm Ω Admitância Y G jB siemens S Condutância G 1R siemens S Susceptância B 1X siemens S Quadro 33 Definições das demais grandezas elétricas C I V X I j C ω 1 v C idt dv i C dt V I j CV VYC XC ω v R i V R I v i R V I R di v L dt V j LI X I L ω 1 i L vdt L L V V I VY j L X ω 60 Para efeitos práticos em trabalhos efetuados em sistemas elétricos é usual terse os dados dos ramos em série dos modelos dos componentes na forma de impedância e os ramos em paralelo na forma de admitância embora para os cálculos a não ser em computadores sejam utilizados em qualquer uma das formas ou convertidos de uma forma para outra Os elementos ativos de um sistema de transmissão vêm a ser as máquinas síncronas geradores motores fornos a arco motores de velocidade variável e retificadores Estes elementos são normalmente nãolineares embora se comportem linearmente em determinadas faixas de operação Nos elementos ativos um ou mais parâmetros variam com o tempo como a frequência velocidade ângulo de fase etc sendo necessária uma equação que defina a grandeza variável em função do tempo de forma a modelálos adequadamente Dentre os vários estudos necessários à análise de um sistema elétrico de potência SEP há aqueles que analisam o sistema em regime permanente como por exemplo fluxo de potência e aqueles que o fazem em condições transitórias como por exemplo estabilidade e transitórios eletromagnéticos Nos estudos de regime permanente embora se considere o sistema estático ocorrem pequenas variações incrementais de instante a instante sendo a frequência invariável para efeitos práticos assim um estudo para este sistema considera as condições de um determinado momento instante utilizando os valores de tensão das fontes cargas derivações de transformadores etc daquele instante os quais serão considerados invariáveis nos cálculos Os resultados destes estudos são sempre valores de tensão e corrente nos ramos e nós para o instante considerado no estudo Já no caso de estudos de transitórios todas as grandezas ou quase todas variam com o tempo e os modelos dos componentes do sistema devem então levar em conta a variação das grandezas intrínsecas das mesmas em função do tempo Desta forma este tipo de estudo varre um determinado período de tempo e apresenta como resultado as tensões e correntes de ramos e nós instante a instante ao longo do período de tempo considerado Os modelos adequados a cada tipo de estudo são apresentados no Capítulo 4 61 32 REPRESENTAÇÃO FASORIAL As considerações anteriores aplicamse igualmente bem para circuitos de corrente contínua e de corrente alternada mas cabe uma cuidadosa revisão do significado dos símbolos em corrente alternada 321 Tensão e Corrente As tensões alternadas variam senoidalmente com o tempo isto é max v V sen ωt V 312 onde v é o valor instantâneo da tensão Vmax é o seu valor quando sen ωt 10 e ω 2π f é a sua velocidade angular em radianos por segundo para sistemas em 60 Hz ω 377 rads Em geral as letras minúsculas serão usadas somente para valores instantâneos ou transitórios É conveniente representar o valor instantâneo v como a projeção de um vetor rotativo como mostra a Figura 33 podendose obter o valor instantâneo com a expressão max v V sen ωt α V 313 onde valor instantâneo V Vmax valor máximo V ω velocidade angular rads t tempo s α deslocamento angular em relação à referência ω 0t rad v 62 Figura 33 Representação da tensão senoidal Nota a representação fasorial b representação no tempo O valor instantâneo da tensão pode ser obtido como a projeção de um vetor sobre o eixo x de um sistema de eixos cartesianos como mostrado na Figura 33b na qual a referência de tempo foi deslocada Assim para um instante t ti temse max v V sen t i ω i α V 314 A escolha do eixo para projeção do vetor V é arbitrária e a posição angular instantânea do vetor rotativo é de pouco interesse prático exceto quando comparado com a posição angular de outros vetores rotativos Uma vez que o tempo de fase dos vetores rotativos é de fundamental importância eles são frequentamente denominados fasores para distinguilos dos vetores não rotativos como mostrado na Figura 33a onde o vetor V girando no sentido antihorário tomado como sentido positivo projeta ao longo do tempo sobre o eixo x diferentes valores para Vi Há assim uma correspondência entre as Figuras 33a e 33b A escolha da posição da referência é arbitrária e o valor instantâneo do fasor não é importante e sim sua posição relativa com os demais pois todos estão girando no sentido positivo com a mesma velocidade angular Figura 34 onde estão representadas a tensão dos terminais de uma linha de transmissão e a corrente na mesma 63 Um fasor é caracterizado por sua amplitude e seu ângulo relacionado a um fasor referência Assim na forma polar o fasor a V da Figura 34 é escrito como V V a a α 315 onde a a V V magnitude ou módulo do fasor V α ângulo ou argumento do fasor em relação ao fasor referência rad e na forma cartesiana como V V cos jV sen a a a α α V 316 ou ŽŽŽŽ a a α α V 317 onde o termo entre parênteses é a fórmula de Euler je cos jsen α α α 318 Figura 34 Posição relativa dos fasores tensão e corrente 64 Sendo 1 j um operador matemático que ao ser aplicado a um fasor faz com que o mesmo sofra uma rotação de π2 rad ou 90 322 Impedância e Admitância É usada a mesma convenção para assinalar a queda de tensão tanto para os circuitos CA como para os CC isto é uma corrente fluindo em um determinado sentido produz uma queda no potencial naquela direção para quantidades senoidais Impedâncias são na maioria das vezes parcialmente resistivas e parcialmente reativas de tal forma que elas podem também ser representadas em coordenadas cartesianas ou polares Z R jX Z θ Ω 319 Na Equação 319 Z não é um fasor mas simplesmente um número complexo pois seu valor instantâneo não é função senoidal do tempo A admitância Y é definida como o inverso da impedância Z 1 Y G jB Z S 320 onde G é a condutância e B a susceptância Da mesma forma que ocorre com Z Y não é um fasor mas apenas um número complexo 323 Potência A finalidade básica de um sistema elétrico é suprir energia aos consumidores a ele conectados Considerando que para os estudos de regime permanente se escolhe um determinado instante para a análise temse para efeito de cálculos uma potência pois potência energia em um intervalo de tempo Assim os equipamentos e aparelhos vêm todos com valor nominal expresso como potência tendose assim tanto do lado do consumidor a carga como do lado do sistema supridor a geração a potência como elemento de referência Para facilitar o trabalho e a análise de sistemas de potência normalmente se apresentam os resultados dos cálculos e dos programas de computador com os valores de potência normalmente já em kVA ou MVA em função dos valores existentes em sistemas de modo que se pode comparar estes resultados com a potência nominal dos equipamentos como por exemplo fluxo de potência em linhas de transmissão e em transformadores ao invés de corrente e potência de curtocircuito ao invés de corrente de curtocircuito Esta é a razão da importância da potência em sistemas elétricos A potência instantânea em circuito CA é o produto da tensão e corrente instantâneas ou seja pvi 321 Uma vez que v e i estão variando senoidalmente com o tempo a Equação 321 pode ser escrita da seguinte forma pV cosωtθ1cosωtθ2 322 onde θ1 e θ2 são os ângulos de fase de V e I Adotandose o fasor V como referência e fazendose φ igual ao deslocamento angular entre V e I vem pV cosωtcosωtφ 323 A Equação 323 pode ser expandida por identidades trigonométricas nas seguintes componentes de potência instantânea pVI2 cosφ1cos2ωt VI2 senφsen2ωt 324 Quando φ0 o segundo termo desaparece e o primeiro temo representa a potência instantânea absorvida pelos elementos resistivos Quando o segundo termo φ90 o primeiro termo desaparece e a potência instantânea é a trocada entre os elementos reativos do circuito Ambos os componentes têm um termo senoidal com frequência dupla mas a potência real é completamente deslocada e nunca se torna negativa 65 66 A potência instantânea é de pouco interesse uma vez que a potência média ou efetiva é uma descrição mais significativa de cargas e fluxos de potência O valor médio da potência instantânea é a magnitude do deslocamento cos 2 média VI P ϕ W 325 O termo Pmédia ou simplesmente P denominase potência ativa ou potência real e é expresso em watt Por outro lado o valor máximo do segundo termo da Equação 324 denominado potência reativa ou potência em quadratura Q é expresso em var 2 VI Q senϕ var 326 As Equações 325 e 326 podem ser escritas em termos de quantidades eficazes ou RMS valor médio quadrático root mean square cos 2 2 V I P ϕ 327 2 2 V I Q senϕ 328 É vantajoso manter P e Q com suas respectivas definições de médio e máximo visto que eles são equivalentes em forma e permitem a definição da potência complexa tal que S P jQ cos 2 2 2 2 V I V I S j sen ϕ ϕ 329 onde 2 2 V I S 330 67 Embora P e Q não sejam considerados fasores podem ser plotados como números complexos como mostra a Figura 35 Figura 35 Representação da potência complexa S A Equação 330 é normalmente escrita como cos S VI jVIsen ϕ ϕ 331 onde V e I são agora tomados como valores eficazes Especificamente falando os fasores de magnitude RMS não têm significado embora se possa tanto dividir a magnitude de um fasor por 2 no princípio quanto esperar para fazer isso quando da resolução de P ou Q Embora a Equação 331 forneça valores para P e Q com a relação de fasores é mais conveniente expressar a potência complexa diretamente como função de V e I S P jQ V I 332 onde I I conjugado tem o mesmo módulo de I mas possui um ângulo de fase igual e oposto ao de I isto é I I θ 333 I I θ Se Ṽ e ṽi se referem a um ramo passivo de impedância Z algumas alternativas para expressar a Equação 332 são SṼṽi ṼṼZṼṽV ṼṼṼV2 334 e SṼṽi Zṽiṽi Ẑ ṽi2 335 33 SISTEMAS TRIFÁSICOS Os SEP são trifásicos Essa condição demonstrada e desenvolvida por Tesla já em 1890 para sistemas polifásicos apresenta o maior benefício econômico pois possibilita a maior transmissão de potência com o menor número de condutores e sem a necessidade de condutor neutro tendo tensões e correntes simétricas e equilibradas 331 Representação Monofásica Unifilar Em um SEP todos os componentes geradores linhas transformadores e cargas operam de forma simétrica e equilibrada embora as cargas nos níveis de tensão mais baixos como alimentadores de distribuição em alta tensão e circuitos de distribuição aos consumidores em baixa tensão possam ter algum desequilíbrio entre as fases As linhas de transmissão são supridas por tensões equilibradas do lado da geração e atendem a cargas trifásicas equilibradas na outra extremidade e ainda que não apresentem espaçamento equilateral ou que não estejam transpostas a assimetria resultante será pequena e as fases podem ser consideradas em equilíbrio A Figura 36 mostra um gerador ligado em Y alimentando uma carga equilibrada também ligada em Y através de uma linha de transmissão O circuito equivalente da linha de transmissão apresentase simplificado nele aparecendo apenas a resistência e a reatância ligadas em série consideradas como parâmetros concentrados e não distribuídas ao longo da linha Quando se trata de medidas nos extremos da linha não faz diferença o fato de considerar os parâmetros concentrados ou uniformemente distribuídos desde que se despreze a admitância em paralelo uma vez que a corrente na linha será a mesma em ambos os casos O gerador é representado pela impedância ligada em série com a fem gerada em cada fase 68 69 Figura 36 Gerador alimentando uma carga equilibrada ligada em Y através de uma linha de transmissão De acordo com a teoria dos circuitos polifásicos num sistema equilibrado não circula corrente pelo condutor que une o neutro ng do gerador ao neutro nc da carga uma vez que a soma das correntes que converge para n é zero Portanto os pontos ng e nc estão no mesmo potencial não circulando corrente pelo condutor neutro e que pode ser eliminado sem que ocorra qualquer mudança no circuito sempre considerando o caso equilibrado Para resolver o circuito supõese que exista o condutor neutro e considerase que por ele circule a soma das três correntes de fase que é zero em condições de equilibrio e aplica se a Lei de Kirchhoff das tensões na malha que contém uma fase e o neutro Essa malha é mostrada na Figura 36 onde Va e Va são tensões entre fase e neutro Os cálculos feitos para essa malha são estendidos ao circuito trifásico todo lembrando que as correntes nas outras duas fases têm mesmo módulo e apresentam defasagens de 120 e 240 Não importa se a carga dada por sua tensão potência e fator de potência esteja ligada em ou em Y uma vez que a ligação pode sempre ser substituida para efeito de cálculo pela ligação Y equivalente Da Figura 36 temse a tensões internas da fonte a a E E α ϕ 336 120 b b E E α ϕ 120 c c E E α ϕ b tensões dos terminais da fonte Ṽa Ṽa α Ṽb Ṽb α 120 337 Ṽc Ṽc α 120 c tensões nos terminais da carga Ṽa Ṽa β Ṽb Ṽb β 120 338 Ṽc Ṽc β 120 d correntes nos terminais da fonte ia ia γ ib ib γ 120 339 ic ic γ 120 e impedâncias por fase da linha ẐLTabc ẐLT θ 340 f impedâncias por fase da carga Ẑcabc Ẑc φ 341 Sendo a fonte de tensões senoidais podese obter o valor instantâneo da tensão terminal a qualquer momento utilizandose as expressões 70 71 cos v V t a a ω α 342 cos 120 v V t b b ω α cos 120 v V t c c ω α Considerandose um determinado instante podese representar as tensões e correntes nos terminais da fonte de forma fasorial utilizando um sistema de eixos cartesianos como referência como mostrado na Figura 37 Figura 37 Representação fasorial das tensões e correntes Também os cálculos necessários à solução dos sistemas trifásicos equilibrados podem ser simplificados já que o módulo da corrente ou da tensão é o mesmo nas três fases havendo apenas um defasamento de 120 entre elas Assim é possível efetuar o cálculo para uma fase e ter o valor para as demais fases bastando apenas acrescentar o defasamento correto 72 332 Diagrama Unifilar Um sistema trifásico equilibrado pode sempre ser resolvido por meio de um circuito monofásico composto por uma das três fases e pelo neutro conforme Figura 38 que corresponde ao circuito da Figura 36 Normalmente o diagrama é mais simplificado substituindose o neutro e indicandose as partes componentes por símbolos padronizados ao invés de fazêlos pelos respectivos circuitos equivalentes O resultado dessa simplificação é chamado diagrama unifilar e indica por uma única linha e símbolos apropriados as fontes linhas de transmissão transformadores e cargas com os dispositivos a eles associados Os símbolos padronizados são mostrados no Apêndice A Figura 38 Diagrama unifilar monofásico O objetivo de um diagrama unifilar é fornecer de maneira concisa os dados mais significativos e importantes de um sistema de potência A importância da representação com maior ou menor detalhe das características de um sistema varia segundo o problema em estudo pois a quantidade de informação contida no diagrama depende do objetivo desejado Por exemplo a localização dos disjuntores e dos relés não é importante quando se faz um estudo de carregamento do sistema para esse estudo não há necessidade de representar tais dispositivos no diagrama Por outro lado a determinação da estabilidade de um sistema sob condições transitórias resultantes de uma falta depende da velocidade com que operam os relés e disjuntores a fim de isolar a parte atingida do resto do sistema e portanto informações sobre tais dispositivos são nesse caso de grande importância e devem ser representadas nos diagramas e utilizadas nos cálculos e simulações É importante conhecer a localização dos pontos onde o sistema é ligado à terra a fim de poder calcular a corrente que circula quando da ocorrência de um curtocircuito assimétrico envolvendo a terra O símbolo padronizado que representa uma ligação trifásica em Y com o neutro aterrado é mostrado na Figura 39 73 Figura 39 Diagrama unifilar de um SEP Nota a diagrama unifilar com a topologia do sistema elétrico e descrição dos equipamentos b diagrama unifilar com a conexão elétrica dos equipamentos utilizando os modelos elétricos dos componentes Se entre o neutro e a terra for colocado um resistor ou um indutor reator a fim de limitar a corrente de curtocircuito o símbolo correspondente a um ou a outro deve ser acrescentado ao símbolo do Y aterrado Nos geradores o neutro em geral é aterrado através de resistor ou reator O neutro da maioria dos transformadores em sistemas de transmissão acima de 70 kV é solidamente aterrado abaixo dessa tensão o neutro dos transformadores pode ser ligado diretamente à terra ou através de resistor ou de reator 74 A Figura 39a mostra o diagrama unifilar de um sistema de potência muito simples Dois geradores aterrados através de um reator são ligados a uma barra por um transformador elevador e deste a uma linha de transmissão Outro gerador aterrado por um resistor é ligado a outra barra e por meio de um transformador elevador ao extremo oposto da linha de transmissão Uma carga é ligada a cada barra No diagrama são mostradas as características nominais dos geradores dos transformadores e da linha de transmissão e os parâmetros dos diversos componentes do sistema e as informações sobre as cargas A Figura 39b mostra o diagrama unifilar monofásico com os componentes do sistema representados por seus modelos elétricos 333 Diagrama de Impedâncias Os estudos de operação e planejamento de um SEP implicam na análise do circuito elétrico e na determinação das tensões dos barramentos e nas correntes dos ramos linhas e transformadores Os estudos necessários são fluxo de potência curtocircuito e estabilidade Para cada um destes estudos são necessários os parâmetros dos componentes do circuito elétrico e a configuração ou topologia do circuito elétrico A Figura 310 mostra a topologia do sistema e os componentes que devem ser representados para estudos de fluxo de potência na forma de topologia componentes e parâmetros elétricos destes componentes em um diagrama superior e na forma de topologia componentes modelo e parâmetros elétricos dos componentes em outro diagrama inferior enquanto que a Figura 311 mostra o mesmo para os estudos de curtocircuito Visando facilitar a apresentação da topologia do circuito e dos parâmetros dos equipamentos componentes são utilizados diagramas unifilares com os parâmetros dos equipamentos junto a cada um deles sendo então denominados diagramas de impedâncias O diagrama de impedâncias pode mostrar também o circuito elétrico equivalente de cada componente do sistema O diagrama de impedâncias relativo ao sistema da Figura 39 é mostrado na Figura 310 com as informações necessárias para estudos de operação normal em carga fluxo de potência e na Figura 311 com as informações necessárias para estudos de curtocircuito 75 Figura 310 Diagrama monofásico unifilar para estudos de fluxo de potência Nota a topologia com componentes b diagrama de impedâncias com modelo elétrico e parâmetros dos componentes 76 Figura 311 Diagrama monofásico unifilar para estudos de curtocircuito Nota a topologia com componentes b diagrama de impedâncias com modelo elétrico e parâmetros dos componentes A representação adequada do sistema por meio de um diagrama unifilar com a topologia e de um diagrama de impedâncias é necessária para efetuar os estudos e cálculos para a análise do problema em pauta fluxo de potência curtocircuito ou estabilidade A magnitude dos sistemas e a quantidade de cálculos necessários impedem que a solução seja obtida manualmente sendo necessário o uso de computadores com programas computacionais adequados Os programas computacionais utilizados possibilitam o fornecimento dos dados elétricos dos componentes do sistema de forma adequada ao modelo elétrico de cada componente com a utilização de interface gráfica ou de arquivos no formato texto bastando para tanto ter o diagrama unifilar com a topologia os componentes e os parâmetros elétricos que são os diagramas mostrados nas Figuras 310a e 311a Assim para efeito de cálculo em um sistema trifásico simétrico e equilibrado tomandose a fase a do sistema da Figura 36 temse o diagrama unifilar da Figura 312 Figura 312 Representação monofásica unifilar de um sistema trifásico Nota a diagrama unifilar b diagrama fasorial 77 Da teoria de linhas de transmissão sabese que em uma linha trifásica o acoplamento magnético entre os condutores leva à obtenção de uma matriz de indutâncias e o acoplamento elétrico leva à obtenção de uma matriz de capacitâncias Para linhas operando com tensões senoidais temse como resultado uma matriz de reatâncias série L X e uma matriz de admitância em derivação CY de forma que se pode escrever para o sistema da Figura 34 desprezando as capacitâncias e considerando os cabos dispostos nos vértices de um triângulo equilátero ou a linha totalmente transposta quando as matrizes de reatância e de admitância são matrizes com os elementos da diagonal iguais e diferentes de zero e os demais elementos são nulos a a a a b b b b c c c c V R X I V R j X I V R X I V 343 ou a a a b b b c c c V Z I V Z I V Z I V 344 Na qual a Z b Z e c Z são as impedâncias das fases a b e c resultando em um desacoplamento entre as fases de onde se conclui que os cálculos podem ser feitos considerando o sistema como monofásico unifilar e com equações algébricas e com números complexos não sendo necessário o cálculo matricial A mesma consideração pode ser feita para a capacitância em derivação da linha ca a ca cb b cb cc c cc I Y V I Y V I Y V A 345 34 REDES ELÉTRICAS Nos primórdios da utilização da energia elétrica os sistemas eram radiais constituídos basicamente por geração transmissão e carga e posteriormente transformação para elevar a tensão em um extremo e abaixála no outro Com o crescimento da utilização da energia 78 elétrica os sistemas evoluíram e atualmente para que seja possível atender às cargas e por questão de confiabilidade todos os sistemas formam gigantescas redes ou malhas elétricas Os elementos que formam a rede elétrica são os ramos e no ponto em que dois ou mais ramos se conectam temse um nó A interligação dos vários ramos define a configuração ou topologia da rede Um ramo de uma rede elétrica é toda linha de transmissão transformador reator capacitor ou carga representado pela impedância ou admitância do mesmo ou qualquer elemento que apresente uma impedância significativa para o problema em análise Um nó é todo barramento de uma subestação de tal forma que entre dois nós sempre há um ramo ou seja uma impedância ou admitância Para o cálculo das correntes e tensões nos vários ramos e nós do sistema elétrico torna se necessário utilizar modelos matemáticos que representem adequadamente os vários equipamentos que o compõem Isso é feito partindose das características de cada equipamento e utilizandose impedâncias ou admitâncias no modelo que é formado por um ou mais ramos Como exemplo temse o modelo π de linhas de transmissão e de transformadores como mostrado na Figura 313 que são formados por três ramos cada um Para facilitar o trabalho com redes elétricas todo nó é identificado por uma letra ou por um número e todo ramo entre dois nós é identificado pelas letras ou números dos nós em seus terminais Assim na Figura 313 temse os nós p e q nos terminais da linha e a impedância do ramo Z pq que é a impedância Z LT da linha de transmissão Figura 313 Modelos de equipamentos de sistemas elétricos Nota a modelo π de uma linha de transmissão b modelo π de um transformador com derivação 79 REFERÊNCIAS BARTHOLD L O REPPEN N D HEDMAN D E Análise de circuitos de sistemas de potência 2 ed Santa Maria Universidade Federal de Santa Maria 1983 GROSS C A Power system analysis 2nd ed New York J Wiley 1986 JACKSON L G IEEE Working Group Coordinator Recommended practice for industrial and commercial power system analysis Brown Book John Wiley Sons 1998 STEVENSON JR W D Elements of power system analysis New York McGrawHill 1982 4 MODELOS PARA A SIMULAÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA consideradas na determinação dos parâmetros da linha e do modelo matemático com o que são determinadas as equações que possibilitam o cálculo das condições de operação em termos de tensões e correntes nos seus terminais e ao longo da linha como mostrado na Figura 42 de forma simplificada e na Figura 43 de forma detalhada em uma seção infinitesimal Figura 42 Características e parâmetros de uma linha de transmissão Na qual se tem Ėₑ tensão faseterra no terminal emissor Ėᵣ tensão faseterra no terminal receptor 𝑖ₑ corrente de fase no terminal emissor 𝑖ᵣ corrente de fase no terminal receptor R resistência da linha L indutância da linha C capacitância da linha G condutância da linha B susceptância da linha Ż R jXₗ R jω L impedância série Ẏ G jBₙ G 1 jω C admitância derivação ℓ comprimento da linha x distância do ponto ao final da linha 83 A análise do desempenho de um SEP se faz por meio da simulação da condição de operação deste com a representação dos diversos componentes por modelos matemáticos que o representem adequadamente por meio de equações Fornecidos os parâmetros dos componentes e as condições de operação e resolvidas as equações temse o resultado para aquela condição ou estado do sistema em termos de tensões dos nós e correntes dos ramos Para a representação dos vários componentes do sistema são necessários modelos adequados a cada componente e a cada tipo de estudo tendose normalmente modelos mais simples para estudos em regime permanente e modelos mais complexos para estudos de transitórios Neste capítulo são apresentados os modelos mais comuns para linhas de transmissão transformadores geradores máquinas síncronas cargas reguladores de tensão e reguladores de velocidade que são geralmente utilizados nos estudos de fluxo de potência curtocircuito e estabilidade Os sistemas elétricos de potência SEP são trifásicos simétricos e equilibrados e operam em regime permanente com a frequência nominal e são sempre estudados utilizandose a representação monofásica devido à enorme simplificação que advém de tal procedimento Assim os modelos matemáticos desenvolvidos para a representação dos vários componentes do sistema são também modelos monofásicos Quando porém ocorre algum desequilíbrio assimetria ou variação de frequência tornase necessária uma representação que leve em conta estas condições sendo então necessário utilizar modelos trifásicos que permitam considerar as interações e acoplamentos entre as três fases e as variações de frequência Na representação de um SEP para efeito de estudo do desempenho em regime permanente com frequência nominal ou muito próxima desta devem ser considerados todos os componentes que tenham efeito significativo no sistema em termos de tensão e corrente quer como causa ativa como geradores cargas reatores e capacitores ou passiva como linhas de transmissão e transformadores No diagrama unifilar de impedâncias cada componente do sistema em estudo linha gerador transformador etc deve ser representado por um circuito equivalente 84 monofásico ou seja representativo de uma fase do componente O grau de precisão deste circuito equivalente vai depender da finalidade do estudo No circuito representativo do sistema de forma monofásica unifilar os elementos ativos geradores e cargas estão conectados de um nófase para um nóterra e os elementos passivos linhas e transformadores estão conectados entre dois nósfase e são utilizadas as tensões faseterra e as correntes de linha nos modelos e para os cálculos como mostrado na Figura 41 Conforme o estudo que se pretende fazer temse uma representação específica dos vários componentes do sistema representando com maiores detalhes os aspectos que interessam ao estudo Para um estudo de fluxo de potência a localização o número e as características dos disjuntores ou relés não interessam não sendo necessário representar estes equipamentos Entretanto num estudo de estabilidade dinâmica é necessário representar os relés das linhas de transmissão pois ao longo do período da ocorrência do fenômeno alguns relés podem atuar alterando a configuração do sistema e com isso seu comportamento final Figura 41 Circuito representativo de um SEP Determinados estudos requerem representações mais completas e detalhadas enquanto outros admitem maiores simplificações Assim em diferentes estudos um mesmo elemento do sistema pode ser representado por circuitos equivalentes diferentes 41 MODELOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO Uma linha de transmissão possui características elétricas que são resistência e indutância que constituem a impedância série da linha capacitância e condutância que constituem a admitância em paralelo entre fases ou entre fase e terra Essas características devem ser 86 Normalmente as linhas de transmissão funcionam como cargas trifásicas simétricas e equilibradas e embora às vezes não apresentem espaçamento equilateral entre os cabos ou não sejam transpostas a assimetria resultante é pequena e as fases podem ser consideradas em equilíbrio Os elementos significativos de uma linha de transmissão para estudos de regime permanente são a resistência a indutância a capacitância e a condutância e são uniformemente distribuídos ao longo de toda a linha A condutância é muito pequena e pode ser desprezada Na determinação de um modelo matemático para uma linha de transmissão considerando se uma seção infinitesimal de linha representada por elementos infinitesimais de seus parâmetros como mostrado na Figura 43 obtêmse as relações entre correntes e tensões nos terminais desta seção Figura 43 Seção infinitesimal de uma linha de transmissão Resolvendose as equações em termos de tensão e corrente nos terminais da seção infinitesimal e estendendose depois para a linha toda de comprimento km obtêm se as tensões nos terminais emissor e receptor da linha O circuito da seção infinitesimal utilizada para a dedução das equações da linha com parâmetros distribuídos pode ser transformado em dois circuitos equivalentes que permitem modelar a linha como mostrado na Figura 44 considerando os parâmetros concentrados sendo o modelo T nominal com a impedância série dividida em duas partes iguais e a admitância total em derivação no meio e o modelo π nominal com a impedância série total no meio e a admitância em derivação dividida em duas partes iguais nos extremos 87 Figura 44 Circuitos equivalentes de uma linha de transmissão Nota a T nominal b π nominal Utilizandose o modelo π usualmente empregado com parâmetros concentrados e partindose das condições de tensão e corrente no terminal receptor obtêmse as equações para a tensão e a corrente no terminal emissor da linha com o que se denomina modelo π nominal 1 2 e r r ZY E E ZI V 41 1 1 4 2 e r r ZY ZY I E Y I A 42 As Equações 41 e 42 possibilitam a solução das condições de operação de uma linha isolada e no sentido inverso da realidade na qual se tem tensão e corrente no terminal 88 emissor e querse a tensão e a corrente no terminal receptor Para a solução na condição real é necessário o uso de cálculo iterativo como será mostrado no Capítulo 6 Fluxo de Potência As Equações 41 e 42 apresentam precisão suficiente para os cálculos das linhas de transmissão com comprimentos de até 200 km e com tensões de até 230 kV usualmente encontradas em sistemas de transmissão reais No caso de linhas muito maiores do que 200 km e de tensões superiores a 230 kV devese utilizar cálculos mais precisos para evitar que em grandes sistemas de transmissão se tenham erros consideráveis para os valores de tensão das barras Observação É comum utilizarse os termos linha curta média ou longa para efeito de determinar as equações para o cálculo das tensões e correntes em uma linha de transmissão porém mesmo para uma linha curta até 50 km devese utilizar as Equações 41 e 42 completas sem desprezar nem a resistência nem a capacitância pois isso pode levar a erros consideráveis Utilizandose o modelo de linha com os parâmetros distribuídos como mostrado na Figura 43 obtêmse as Equações 43 e 44 cosh senh e r C r E E Z I γ γ V 43 cosh senh r e r C V I I Z γ γ A 44 onde C Z Z Y Ω 45 ZY j γ α β 46 onde C Z impedância característica Ω γ constante de propagação 89 α constante de atenuação neper β constante de fase radianos Com as Equações 43 e 44 obtidas para o modelo de linha com parâmetros distribuídos podese obter a tensão e a corrente em qualquer ponto de uma linha bastando que se substitua por x onde x é a distância do receptor ao ponto considerado Essas equações são transcendentais com variáveis complexas e permitem o cálculo dos valores exatos de tensão e corrente nos terminais ou em qualquer ponto de uma linha de transmissão de qualquer comprimento As Equações 43 e 44 por serem transcendentais com variáveis complexas exigem mais cálculos ou maior tempo de computação para a solução da linha de transmissão em termos de tensão e corrente em seus terminais e por isso não são utilizadas para a análise de sistemas elétricos de grande porte com centenas ou milhares de linhas de transmissão sendo utilizadas as Equações 41 e 42 com parâmetros concentrados Para obter precisão nos cálculos das tensões e correntes em linhas de transmissão de forma mais simples e rápida desenvolveramse equações para a obtenção dos parâmetros das linhas corrigidos com as equações de linhas com parâmetros distribuídos de forma a utilizálos nas Equações 41 e 42 para parâmetros concentrados obtendo resultados exatos Comparandose as Equações 41 e 43 para o cálculo da tensão e 42 e 44 para o cálculo da corrente obtêmse Z e Y que são os parâmetros corrigidos a serem utilizados para o cálculo das linhas com equações algébricas porém senh Z Z γ γ Ω 47 tanh 2 2 2 2 Y Y γ γ S 48 Conforme as Equações 47 e 48 definese o modelo π equivalente conforme mostrado na Figura 45 90 Figura 45 Circuito π equivalente de uma linha de transmissão Os parâmetros utilizados nos modelos apresentados anteriormente são calculados considerando as linhas simétricas e equilibradas com os cabos dispostos segundo os vértices de um triângulo equilátero e com as tensões e correntes iguais em cada fase Quando os cabos não estão dispostos nos vértices de um triângulo equilátero para se ter a condição de simetria e equilíbrio é necessário transpor as linhas com a troca da posição das fases ao longo da linha como mostrado na Figura 46 Quando não se utiliza a disposição dos condutores segundo um triângulo equilátero ou a transposição de fases em linhas longas maiores do que 200 km e radiais podem ocorrer diferenças significativas entre as tensões e as correntes das fases Em grandes sistemas e com as linhas de menor comprimento e formando malhas praticamente desaparecem os desequilíbrios de tensão e corrente nas fases 91 Figura 46 Transposição de fases de uma linha de transmissão Nota a transposição a 13 e 23 da linha b transposição a 16 36 56 da linha Os modelos apresentados para linhas de transmissão são adequados tanto para os estudos de regime permanente fluxo de potência e curtocircuito quanto para os estudos de transitórios eletromecânicos estabilidade EXEMPLO 41 Uma linha de transmissão de tensão 500 kV circuito simples com um condutor ACSR 11925 MCM CAA 5419 por fase tem 300 km de comprimento e tem seus cabos dispostos na horizontal e com separação de 11 metros entre o cabo central e os cabos laterais e a uma altura média de 30 metros acima do solo A linha atende uma carga de 4000 j80 MVA com fator de potência 098 indutivo sob tensão nominal Calcular a tensão a corrente e a potência no terminal emissor da linha considerando o modelo π e as equações para a parâmetros distribuídos b parâmetros concentrados corrigidos c parâmetros concentrados SOLUÇÃO Parâmetros 300 d km 3 11 22 11 13859 DS x x m 00563 r km cond Ω xL 0323484 Ω km cond xL 019810 Ω km cond xC 194550 Ω km cond xC 125460 Ω km cond xL xL xL 0521584 Ω km cond xC xC xC 320010 Ω km cond Ẑ r jxL 00563 j05216 05246 838395º Ω km cond ɣ 1 jxC 31249x106 90º S km cond Corrente no receptor iR 400 j80x103 3x500 4710411 A e θiR arcth 80 400 113099º iR 4710411 113099º Tensão no receptor para o cálculo da tensão no emissor necessitase da tensão faseneutro no receptor ERff 500000 V ERft 500000 3 2886751 V e para efeitos práticos tomase agora esta tensão como referência ĖRft 2886751 00º V Função de propagação ɣ Ẑ ɣ 05246 838395º x 31249 900º ɣ 12804x103 869198º 68802x105 j12785x103 α 68802x105 N km 93 12785 10 3 x rad km β 03841 869198 002064 03835 o d j γ 002064 d N α 03835 d rad β Impedância característica o C 6 o z 05246 838395 Z y 31249x10 900 4097284 30803o C Z Ω Hiperbólicos cosh cosh cosh 1000213 0927337 0020642 0374228 0927535 0007725 09276 04772 d d d d d o jsenh senh x j x j γ α β α β h cosh cosh 0020642 0927337 1000213 0374228 0019142 0374308 03748 870724 d d d d d o sen senh j senh x j x j γ α β α β Com parâmeteros distribuídos Tensão no emissor cosh h 2886751 00 09276 04772 4097284 30803 4710411 113099 03748 870724 2979484948 138401 3 5160619310 138401 5160619 R C R d d Sft o Sft o Sff Sft o o o o o E E Z I sen E V E E V kV γ γ 94 Corrente no emissor cosh h 4710411 113099 0927567 0477167 2886836 00 0374792 87072447 4097284 30803 4654842 230098 R S R d d C o o o o o o S E I I sen Z I A γ γ Potência no emissor 3 35160619310 138401 4654842 230098 4107538454590 663047060516 4160709502040 91696 4107538 663047 4160709 91696 S S S S Sff o o S o S o S S P jQ E I S S W j var VA S MW j Mvar MVA Com parâmetros concentrados corrigidos Parâmetros distribuídos 0 6 0 03841 869198 05246 838395 31249 10 900 o d z km cond y x S km cond γ Ω Parâmetros concentrados 0 6 0 4 05246 838395 300 1573800 838395 31249 10 900 300 93747 10 900 o o Z zd cond Y yd x x S cond Ω Parâmetros corrigidos Ẑ Ẑ senzɣd ɣd 15738 838395º 03748 870724º 03841 869198º 1535700 839921º Ω cond ɣ 2 coshɣd 1ɣd Ẑ senzɣd 09276 04772º 103841 869198º 1573800 838395º0748 870724º ɣ 2 47455x104 899231º S cond ɣ 94910x104 899231º S cond Tensão no emissor ĖE ĖR 1 Ẑ Ẏ 2 Ẑ iR ĖE 2886751 00º 1 1535682 838391º94912x104 899231º 2 1535682 838391º4710411 113099º ĖEft 2894787647 j712855105 2981267838 138341º V ĖEff 3 ĖSft ĖEff 5013919282 j1234701261 5163707367 138341º V 5163707 kV Corrente no emissor is iR 1 Ẑ Ẏ 2 ĖR ɣ 1 Ẑ Ẏ 4 is 4710411 113099º 1 1535682 838391º94912x104 899231º 2 2886751 00º 94912x104 899231º 1 1535682 838391º94912x104 899231º 4 is 4284327 j1820354 4655013 230199º A Potência no emissor Ṡs Ps jQs 3 ĖSff is Ṡs 3 5163707367 138341º4655013 230199º Ṡs 4109960748830 W j664623109722 var 4163352163210 91858º VA Ṡs 4109961 MW j664623 Mvar 4163352 91858º MVA Com parâmetros concentrados Parâmetros distribuídos Ẑ 05246 838395º Ω km cond ɣ 31249x106 900º S km cond Parâmetros concentrados Ẑ Ẑd 05246 838395º300 1573800 838395º Ω cond ɣ ɣd 31249x106 900º300 93747x104 900º Ω cond Tensão no emissor Ės ĖR 1 ŻY2 ŻiR Ės 288675100 1 157380083839593747x104900 2 15738008383954710411113099 Ėsft 2897581839 j729981756 2988118785141402 V Ėsff 3Ėsft Ėsff 5018758079 j1264368996 5175573555141402 V 5175524 kV Corrente no emissor iE iR 1 ŻY2 ĖR Y 1 ŻY4 iE 4710411113099 1 157380083839593747x1049002 28867510093747x104900 1 157380083839593747x1049004 iE 4276770 j1787534 4635304226832 A Potência no emissor Ṡs Ps jQs 3Ėssff is Ṡs 351755735551414024635304226832 Ṡs 4109147736740 W j617269359309 var 415525168724085430 VA Ṡs 4109148 MW j617269 Mvar 415525285430 MVA 98 42 MODELOS DE TRANSFORMADOR Os transformadores utilizados em SEP podem ser de dois ou de três enrolamentos monofásicos ou trifásicos e com relação de transformação fixa ou variável Normalmente transformadores de dois enrolamentos são utilizados como elevadores de tensão em usinas ou como abaixadores de tensão em subestações de carga Já os transformadores de três enrolamentos são normalmente utilizados como interligadores de tensão em subestações do sistema de transmissão mas são também utilizados como abaixadores de tensão em subestações de distribuição com duas tensões de suprimento às cargas Nos transformadores tanto de dois como de três enrolamentos o enrolamento com ligação em triângulo ou delta visa evitar a circulação de correntes de terceiro harmônico no sistema mas é utilizado também para o suprimento às cargas A fim de possibilitar uma melhor regulação de tensão no sistema os transformadores podem ter um comutador de derivações sob carga ou sob tensão que permite aumentar ou diminuir o número de espiras utilizadas em um determinado enrolamento regulando assim a tensão do lado oposto 421 Transformador de Dois Enrolamentos No desenvolvimento apresentado a seguir serão utilizados os termos alta tensão AT média tensão MT e baixa tensão BT em vez dos termos primário secundário e terciário que podem induzir a engano Será utilizado um transformador monofásico mas as informações obtidas podem ser utilizadas em estudos de sistemas trifásicos já que os valores obtidos são por fase e os cálculos de sistemas trifásicos simétricos e equilibrados são efetuados para uma fase apenas utilizandose circuitos monofásicos unifilares Um transformador de dois enrolamentos tem quatro terminais por fase sendo dois do lado da alta tensão e dois do lado da baixa tensão e as impedâncias dos enrolamentos de alta e de baixa tensão e a impedância relativa às perdas no ferro e à magnetização como mostra a Figura 47 99 Figura 47 Circuito representativo de um transformador de dois enrolamentos Nota a modelo representativo b modelo elétrico As impedâncias são obtidas nos ensaios em vazio e em curtocircuito e as relações matemáticas são determinadas a partir de diagramas de impedâncias Devido ao acoplamento magnético entre os enrolamentos não é possível determinar o valor da impedância de alta e de baixa tensão independentemente mas somente o valor da impedância total entre a alta e a baixa tensão Assim a representação é feita considerando a metade da impedância entre a alta e a baixa para cada lado como mostrado na Figura 48 100 Figura 48 Circuito equivalente de um transformador de dois enrolamentos onde A A A B B B A B AB A B Z R jX Z R jX Z Z Z Z Z 49 Os valores de o R e de o X são pequenos e podem ser desprezados nos estudos utilizados para a análise da operação e expansão dos SEP e assim a representação de um transformador de dois enrolamentos pode ser feita considerando uma impedância única entre a alta e a baixa tensão conforme a Figura 49 Figura 49 Circuito equivalente de um transformador de dois enrolamentos 101 422 Transformador de Três Enrolamentos Em um transformador de três enrolamentos temse o acoplamento dos enrolamentos de alta de média e de baixa tensão como mostrado na Figura 410a Figura 410 Circuito representativo de um transformador de três enrolamentos Nota a modelo representativo b modelo elétrico em delta De maneira semelhante considerando os valores obtidos pelo ensaio de curtocircuito e com a corrente de excitação desprezada o circuito equivalente de um transformador de três enrolamentos para uso no diagrama monofásico de impedâncias será um circuito a três terminais como mostrado na Figura 410b na forma de delta e tendose as impedâncias dos ramos dadas pela Equação 410 102 AM A M AB A B MB M B Z Z Z Z Z Z Z Z Z 410 onde ZAM impedância de dispersão entre alta e média com a baixa aberta ZAB impedância de dispersão entre alta e baixa com a média aberta ZMB impedância de dispersão entre média e baixa com a alta aberta Usualmente para efeito prático de cálculo transformase o circuito delta em um circuito estrela como mostrado na Figura 411 Figura 411 Circuito representativo de um transformador e três enrolamentos modelo elétrico em estrela Em um transformador de três enrolamentos a potência de cada um deles poderá ser diferente da dos demais enrolamentos As impedâncias fornecidas pelos fabricantes geralmente se referem à tensão e à potência de cada enrolamento Desse modo é necessário antes de tudo referir todas as impedâncias à potência comum do estudo denominada potência base como será mostrado no Capítulo 5 Métodos de Análise e Solução Como as tensões bases serão as tensões nominais dos respectivos enrolamentos do transformador as impedâncias em pu serão as mesmas referidas a qualquer lado do mesmo de modo que as impedâncias já estão nas tensões adequadas Do circuito equivalente em estrela temse A Z impedância da alta 103 ZM impedância da média B Z impedância da baixa e considerandose a Equação 410 para o circuito em triângulo obtémse a Equação 411 para as impedâncias dos enrolamentos em estrela 1 2 A AM AB MB Z Z Z Z 1 2 M AM MB AB Z Z Z Z 1 2 B AB MB AM Z Z Z Z 411 A solução das Equações 411 leva muitas vezes a um valor negativo para ZM Esta impedância negativa não tem nenhum significado físico constituindose tão somente em um artifício matemático para que se possa obter com o circuito equivalente a real transferência de potência e as tensões terminais do transformador EXEMPLO 42 Um transformador de três enrolamentos tem as tensões 230138138 kV as potências 750750250 MVA e as reatâncias XAM 112 XAB 238 XMB 71 valores obtidos do ensaio de curtocircuito e já nas bases nominais de tensão e potência Calcular as impedâncias da alta da média e da baixa tensão do modelo em estrela SOLUÇÃO Convertendo os valores percentuais obtidos do ensaio para valores em ohm temse 112 789973 XAM j j Ω 238 1678693 XAB j j Ω 71 500787 XMB j j Ω 104 transformando de triângulo para estrela temse 1 1 789973 1678693 500787 983940 2 2 A AM AB MB Z Z Z Z j j j j Ω 1 1 789973 500787 1678693 193967 2 2 M AM MB AB Z Z Z Z j j j j Ω 1 1 1678693 500787 789973 694754 2 2 B AB MB AM Z Z Z Z j j j j Ω Observação O valor negativo obtido para a reatância da média tensão no modelo estrela não é uma condição física e sim um valor matemático obtido em função da mudança do modelo triângulo para o modelo estrela Esta reatância negativa deverá ser adequadamente considerada dependendo do estudo que se vai executar 423 Modelo de Transformador com Relação de Transformação Fora da Nominal Os transformadores normalmente têm várias derivações em um dos enrolamentos ou em mais de um enrolamento o que possibilita a regulação da tensão com a operação fora da relação de transformação nominal por meio da mudança do número de espiras em um dos enrolamentos como mostrado na Figura 412 Figura 412 Circuito representativo de um transformador de dois enrolamentos com derivações A comutação das derivações do enrolamento pode ser feita sob carga sob tensão por meio de um comutador especial ou então apenas sem tensão com o transformador desligado O mais usual nos transformadores das subestações de transmissão dos sistemas elétricos é o primeiro caso enquanto o segundo caso é o dos transformadores elevadores de usinas Os transformadores com relação de transformação nominal são representados em pu por uma reatância série apenas como visto no item anterior Já os transformadores com relação fora da nominal necessitam ser adequadamente modelados para poderem levar em conta a derivação em que o comutador está conectado Considerandose as tensões do lado de alta e do lado de baixa em cada derivação e as respectivas tensões bases e admitindo que haja derivações de ambos os lados obtémse o valor da derivação t ou tap em pu t AB pu 412 onde A Tensão da derivação da AT Tensão nominal da AT B Tensão da derivação da BT Tensão nominal da BT 413 O transformador com relação de transformação fora da nominal pode ser representado por um autotransformador ideal com relação de transformação t 1 em série com uma admitância como mostrado na Figura 413 Figura 413 Modelo de transformador com relação fora da nominal 106 No qual temse p E tensão faseterra no terminal p rE tensão faseterra no terminal r q E tensão faseterra no terminal q pI corrente de fase no terminal p qI corrente de fase no terminal q Ipq corrente de fase no ramo série Ty admitância série ypq admitância série equivalente p y admitância em derivação do lado p qy admitância em derivação do lado q t relação de transformação Eliminandose a barra fictícia r obtémse um equivalente na forma de um modelo π como mostrado na Figura 414 Figura 414 Modelo π de um transformador com relação fora da nominal Para o qual se obtém a matriz de admitâncias nodais da Equação 414 107 p pp pq p q qp qq q I Y Y E I Y Y E 414 sendo os elementos da matriz de admitância pp p pq Y y y qq q qp Y y y pq qp pq Y Y y 415 Efetuandose o produto matricial da Equação 414 obtémse p pp p pq q q qp p qq q I Y E Y E I Y E Y E 416 Calculandose a potência para cada lado do transformador e considerando que t t pq qp Y Y 417 chegase às Equações 418 para o cálculo das admitâncias série e paralelo do modelo π mostrado na Figura 415 no qual a relação de transformação t está inserida nas equações para o cálculo dos elementos do modelo 2 1 p T t y y t 1 q T t y y t 1 pq T y t y 418 108 Figura 415 Modelo π de um transformador com relação fora da nominal Os componentes do modelo π obtidos anteriormente somente são válidos se t t ou seja somente quando t é real que é o que se verifica para transformadores em que há mudança apenas da magnitude da tensão e não da fase da mesma No caso em que t t temse um transformador defasador com o qual é possível obter tanto a mudança da amplitude da tensão como de seu ângulo de fase e com isso regular a tensão e forçar o fluxo de potência corrente da forma desejada EXEMPLO 43 Calcular os elementos do modelo π para um transformador de tensões 230138 kV potência 75 MVA e reatância 124 desprezando a resistência considerando a relação nominal de transformação b a relação fora do nominal e o tap do transformador na posição 220 kV SOLUÇÃO Com a relação de transformação nominal 0124 2302 8746 75 1 00114 8746 T T x j x j y j S j Ω 230 10000 A 230 109 138 10000 B 138 10000 10000 t 10000 000 p y 000 q y 0011400 pq qp j pu y y Com a relação de transformação fora da nominal a 220 230 0 9565 138 10000 B 138 09565 09565 t 10000 2 1 09565 00114 0000542 09565 yp x j j pu 110 09565 1 00114 0000518 09565 yq x j j pu pq 1 x j00114 j0011918 pu 09565 y 0011918 pq qp j pu y y 424 Modelo de Transformador com Relação de Transformação Fora da Nominal Complexa com defasamento transformador defasador De forma semelhante aos transformadores com relação de transformação fora da nominal o transformador com relação fora da nominal complexa pode ser representado por um autotransformador ideal como mostrado na Figura 416 porém onde a relação de transformação é um número complexo Figura 416 Equivalente de transformador com relação fora da nominal complexa 111 Considerandose as tensões do lado de alta e do lado de baixa em cada derivação as respectivas tensões bases que resultam em uma relação de transformação não nominal e o defasamento angular da tensão e admitindo que haja derivações de ambos os lados obtémse o valor da derivação t ou tap em pu A B t t pu α β δ 419 onde min Tensão da derivação da AT A Tensão no al da AT α min Tensão da derivação da BT B Tensão no al da BT β 420 Procedendose da mesma forma que para o transformador com relação de transformação fora da nominal obtémse o modelo π para o transformador defasador como mostrado na Figura 417 e os elementos do modelo da Equação 421 2 1 1 p T y y t t 1 1 q T y y t 1 pq T y y t 1 qp T y y t 421 112 Figura 417 Modelo π de transformador com relação fora da nominal complexa EXEMPLO 44 Calcular os elementos do modelo π para um transformador defasador de tensões 230138 kV potência 75 MVA e reatância 124 desprezando a resistência considerando a relação fora da nominal e o tap do transformador na posição 220 kV e um defasamento de 5o SOLUÇÃO 2302 0124 8746 75 t j j x Ω 1 1 00114 8746 t t j S x j y 220 50 09565 50 230 o o A 138 00 10000 00 138 o o B 113 09565 50 10000 0 o o t pu 09565 50 09529 00834 o t j pu 09565 50 09529 00834 o t j pu 2 0 1 1 1 1 00114 900 09565 09565 50 10930 00 10455 50 00114 900 15071 1505 p t o p o o o o p y y t t y y pu 0 1 1 1 1 00114 900 09565 50 10000 00 10455 50 00114 900 11415 245 q t o q o o o o q y y t y y pu 0 1 1 00114 900 09565 50 10455 50 00114 900 11918 850 01039 11872 pq t o pq o o o pq pq y y t y y pu y j pu 114 0 1 1 00114 900 09565 50 10455 50 00114 900 11918 950 01039 11872 qp t o qp o o o qp qp y y t y y pu y j pu 425 Modelo de Autotransformador Analisandose o diagrama de ligação dos enrolamentos de um autotransformador denominados série e comum como mostrado na Figura 418 e considerandose os resultados dos ensaios em vazio e em curtocircuito verificase que a representação pode ser a mesma que para um transformador de dois ou de três enrolamentos como mostrado na Figura 419 para o caso de relação de transformação nominal ou da Figura 420 quando a relação de transformação estiver fora da nominal Figura 418 Circuito representativo de um autotransformador 115 Figura 419 Circuito equivalente de um autotransformador de dois enrolamentos Figura 420 Modelo π de autotransformador com relação fora da nominal Os modelos apresentados para autotransformadores são adequados tanto para os estudos de regime permanente quanto para os estudos de transitórios eletromecânicos estabilidade 43 MODELOS DE GERADOR SÍNCRONO Um gerador síncrono trifásico é constituído basicamente de uma parte fixa denominada armadura ou estator composta por 3 enrolamentos a b e c deslocados entre si de 120 graus elétricos e de uma parte móvel denominada rotor acoplada no eixo da turbina e girando no espaço circunscrito pelas bobinas da armadura Se o rotor é cilíndrico o espaço entre este e as bobinas da armadura air gap será uniforme em todos os pontos em torno do rotor 116 As duas modalidades construtivas do rotor produzem características que influenciam a operação do sistema de modos diferentes Nas máquinas de rotor de polos lisos os condutores que formam o campo são alojados em ranhuras axiais ao longo do comprimento do rotor Assim a máquina é apropriada para operar com alta rotação 1800 ou 3600 rpm para frequência de 60 Hz sendo acionada por uma turbina a vapor e denominado como turboalternador No rotor de polos salientes os polos se projetam da superfície cilíndrica operam com baixa rotação 60 a 300 rpm para frequência de 60 Hz sendo acionada por turbinas hidráulicas A frequência da fem gerada e a velocidade de rotação e o número de polos estão relacionados pela Equação 422 onde n é a velocidade de rotação em rpm 60 np f Hz 422 e p o número de pares de polos logo em igualdade de frequência um hidrogerador apresenta um número de polos elevado Na análise de SEP tornase necessário utilizar modelos circuitos e equações representativas de geradores síncronos de forma diferente para estudos de regime permanente fluxo de potência e curtocircuito e para regime transitório ou dinâmico estabilidade tendose a representação para análise de fluxo de potência regime permanente b representação para análise de curtocircuito regime permanente e período transitório c representação para análise de estabilidade regime permanente regime transitório e regime dinâmico Para as análises de sistemas em regime transitório e dinâmico há ainda que utilizar modelos diferentes para geradores de polos lisos e de polos salientes Outro aspecto a considerar para a seleção do modelo a adotar nas análises é o tempo de simulação do fenômeno sendo utilizados modelos mais simples para estudos de menor tempo de simulação geralmente considerando apenas a primeira oscilação após o distúrbio e modelos mais sofisticados para a análise de maiores tempos de simulação em que é necessário representar ainda os reguladores de tensão e de velocidade dos geradores como será visto no Capítulo 8 Estabilidade 431 Modelo de Gerador Síncrono para Análise em Regime Permanente de Fluxo de Potência Um sistema de transmissão é utilizado para transmitir a energia dos geradores às cargas a cada instante e para isso é necessário que a Equação 423 seja atendida com a potência 117 total gerada sendo igual à soma da potência total das cargas e da potência total das perdas na transmissão para que o sistema esteja na condição de regime permanente carg a gerada perdas P P P 423 Para efeito de análise de fluxo de potência em regime permanente em estudos de operação ou planejamento os geradores são representados como uma fonte de potência ativa e tensão constantes nos terminais para suprir as cargas do sistema também representadas como potências ativas e reativas constantes e invariáveis com a tensão do barramento e as perdas calculadas na solução das equações do sistema como será mostrado no Capítulo 6 Fluxo de potência Os geradores fornecem também potência reativa indutiva ou capacitiva ao sistema para compensar a potência reativa das cargas e das características do sistema de transmissão potência reativa de indutâncias e capacitâncias de linhas e transformadores e também para regular a tensão em seus terminais O modelo utilizado para os geradores nos estudos de fluxo de potência em regime permanente é de uma fonte de potência ativa constante e potência reativa variável e tensão constante nos terminais como mostrado na Figura 421 Figura 421 Modelo de gerador A tensão nos terminais é mantida constante com a excitação da máquina por meio do controle automático do regulador de tensão que fornece a potência reativa necessária indutiva ou capacitiva ao sistema A manutenção da tensão constante nos terminais é possível somente enquanto a potência reativa solicitada pelo sistema estiver dentro da curva de capabilidade do gerador como mostra a Figura 422 118 Figura 422 Curva de capabilidade de gerador Fonte Companhia Paranaense de Energia 1986 A consideração de cargas representadas como potência constante permite que se tenha o mesmo valor total de carga a ser suprido pelos geradores do sistema independentemente da configuração do sistema de transmissão e das tensões dos barramentos ficando apenas um gerador com a potência ativa variável para atender ao balanço de potências da Equação 423 após o cálculo da potência total das perdas evitando a variação das cargas com a viariação das tensões dos barramentos o que prejudicaria a análise da condição de operação do sistema da potência transmitida pelas linhas de transmissão e nos transformadores e das tensões dos barramentos 432 Modelo de Gerador Síncrono para Análise em Regime Permanente de CurtoCircuito Ao ocorrer um curtocircuito rompese o equilíbrio entre geração e carga existente em regime permanente como mostrado no item anterior e a tensão no local do curtocircuito cai a zero Os geradores que forneciam potência ativa para a carga passam a fornecer uma potência praticamente reativa função da impedância indutiva entre o gerador e o ponto de curto pois a impedância das cargas e das capacitâncias das linhas deixam de ter efeito 119 já que a tensão cai a zero A energia fornecida pelos geradores inicialmente é função da energia armazenada no campo magnético dos mesmos e a corrente que circula entre os geradores e o ponto de curto é função da tensão interna dos geradores e da impedância total entre a tensão interna dos geradores e o ponto de curtocircuito impedância esta constituída pelas impedâncias dos geradores linhas de transmissão e transformadores Nesta condição temse a corrente de excitação do rotor mantendo a tensão interna no gerador e no instante do curtocircuito inicia a circulação da corrente de curto que causa um fluxo em sentido contrário Lei de Lenz levando à variação do fluxo ao longo do tempo o que resulta em uma reatância variável com o tempo A força eletromotriz pela sua correspondência com o fluxo permanece praticamente constante durante o período considerado para o curtocircuito Assim com a tensão interna constante e com a reatância variando com o tempo temse uma corrente variável com o tempo conforme mostrado na Figura 423 como será visto no Capítulo 7 CurtoCircuito Figura 423 Variação da corrente de curtocircuito em uma máquina síncrona A passagem das tensões e correntes da condição de regime permanente para a condição de curtocircuito caracteriza um transitório durante o qual há uma variação da amplitude da corrente devido à reação da armadura das máquinas fazendo com que a amplitude da corrente varie de um valor máximo que ocorre imediatamente após o curto até um valor de regime que ocorre alguns ciclos depois Em vista do comportamento da tensão interna das correntes e reatâncias dos geradores durante o curtocircuito o modelo utilizado para os geradores nos estudos de curto 120 circuito é de uma fonte de tensão interna constante atrás de uma reatância variável com o tempo como mostrado na Figura 424 Figura 424 Modelo de gerador para estudo de curtocircuito Como a variação da corrente é contínua ao longo do tempo utilizase uma maneira simplificada para calcular a corrente de curtocircuito considerando tempos típicos após o início do curtocircuito e calculando as correntes conforme será visto no Capítulo 7 Curto Circuito e com as Equações 424 determinando o valor das reatâncias para cada tempo considerado que são designadas por reatância subtransitória transitória e síncrona As reatâncias determinadas conforme supracitado são então utilizadas no modelo da Figura 424 para os cálculos de curtocircuito dos SEP conforme o valor de corrente que se deseje calcular se no período subtransitório transitório ou de regime tomando como referência o tempo de abertura dos disjuntores que vão interromper estas correntes d d E X I d d E X I d d E X I reatância subtransitória reatância transitória reatância síncrona 424 433 Modelo de Gerador Síncrono para Análise em Regime Transitório de Estabilidade Quando um SEP que estava operando em regime permanente mantendo o equilíbrio entre a potência total gerada e a potência total das cargas mais as perdas do sistema sofre um distúrbio como um curtocircuito a perda ou a conexão de uma grande carga a perda de uma linha de transmissão ou a perda de um gerador ocorre um desbalanço no sistema 121 porque diversas variáveis ou parâmetros do fluxo de potência em regime permanente são alterados Assim a perda de uma linha de transmissão modifica a impedância do circuito entre os geradores um curtocircuito altera a tensão e o ângulo dos barramentos e a perda de um gerador produzem um desequilíbrio entre a potência gerada e a potência consumida As alterações citadas anteriormente ocorrem rapidamente no sistema mudando a potência elétrica porém a potência mecânica fornecida aos geradores pelas turbinas hidro ou termo não varia com a mesma rapidez e a diferença entre a potência fornecida no eixo dos geradores e a potência fornecida em seus terminais resulta em um torque acelerante ou desacelerante aplicado no rotor Como as inércias dos diversos geradores são diferentes e também as potências mecânicas aplicadas aos rotores os geradores mudam a velocidade angular e a posição dos rotores em relação a um rotor girando a velocidade síncrona provocando alteração da potência fornecida e da tensão nos terminais Este deslocamento angular pode ter uma grande magnitude e levar à perda de sincronismo entre os geradores do sistema e ao colapso do sistema Para determinar as condições que ocorrem no sistema durante os distúrbios e verificar sua estabilidade em sincronismo ou instabilidade é necessário representar adequadamente os geradores considerando as variações de velocidade e ângulo do rotor da tensão em módulo e ângulo nos terminais e da potência fornecida ao sistema Essas grandezas precisam ser determinadas instante a instante ao longo de um período de tempo que compreende a duração do fenômeno eletromecânico e para tanto são necessários modelos de máquinas síncronas que representem todas as variáveis envolvidas a interação entre elas e possibilitem o cálculo da variação das mesmas ao longo do tempo Os enrolamentos da armadura dos geradores síncronos são colocados no estator e no rotor são colocados os enrolamentos formando os polos do campo magnético Para obter a frequência desejada é necessário atender as condições da Equação 422 em termos de número de polos e de rotação do eixo sendo então utilizados rotores com polos salientes para geradores acionados por turbinas hidráulicas que têm menor rotação e rotores de polos lisos para geradores acionados por turbinas a vapor ou a gás que têm maior rotação Analisando a operação de um gerador com rotor de polos lisos e representando o efeito do fluxo da reação da armadura por uma reatância indutiva temse o diagrama fasorial da Figura 425 onde f E tensão de excitação Ear tensão da armadura rE tensão no entreferro 122 f φ fluxo da excitação ar φ fluxo da reação da armadura rφ fluxo no entreferro ar I corrente da armadura xφ reatância de magnetização Figura 425 Diagrama fasorial de gerador tendose ar ar E jx I φ 425 e r f ar E E jx I φ 426 O circuito correspondente à Equação 426 é apresentado na Figura 426 onde a reatância de magnetização xφ representa a reação da armadura do gerador A tensão terminal r E do gerador é obtida pela diferença entre a tensão do entreferro E f e a queda de tensão na impedância da armadura ar a Z r jx onde ar é a resistência e x é a reatância de dispersão da armadura Considerandose xφ ar e x obtémse a denominada impedância síncrona 123 s a Xs Z r j onde s l X x x φ 427 tendose assim f t s a E E Z I 428 Figura 426 Circuito representativo de gerador A derivação dos modelos e equações adequados aos estudos de estabilidade transitórios eletromecânicos considera inicialmente uma máquina ideal na qual somente são geradas tensões de frequência fundamental equilibradas sob velocidade síncrona e em regime permanente e sem saturação A Figura 427a apresenta a configuração de uma máquina síncrona com um par de polos salientes com o enrolamento de campo configuração que pode ser utilizada para máquinas com mais de um par de polos se todos os ângulos forem medidos em graus elétricos ao invés de graus mecânicos Para a condição mostrada na Figura 427a temse a linha de centro dos enrolamentos das fases no estator e no rotor dois eixos de simetria com um passando pela linha de centro do polo norte denominado eixo direto ou eixo d e outro a 90º avançado denominado eixo em quadratura ou eixo q da teoria desenvolvida por R H Park para máquinas síncronas Tendo em vista que máquinas de polos salientes têm enrolamentos amortecedores no rotor esta configuração é mostrada na Figura 427b com um no eixo direto e outro no eixo em quadratura 124 Figura 427 Máquina síncrona rotor com polos salientes Nota a enrolamentos de campo b enrolamentos de campo e de amortecimento Em máquinas síncronas de polos lisos o próprio rotor de aço sólido tem o mesmo efeito dos enrolamentos amortecedores dos rotores de polos salientes Neste caso temse infinitos enrolamentos amortecedores que podem ser representados por um enrolamento no eixo direto e dois enrolamentos no eixo em quadratura Com a máquina operando em regime permanente e em sincronismo não há correntes circulando nos enrolamentos amortecedores porém quando ocorre um distúrbio que leve o rotor a sair da velocidade síncrona as correntes que circularão nestes enrolamentos produzirão torques elétricos que levarão ao amortecimento das oscilações e à manutenção da estabilidade Outro efeito a ser considerado na modelagem de máquinas síncronas é a saturação da corrente de excitação que influi na determinação da tensão terminal da máquina tanto na condição de regime permanente como durante oscilações causadas por distúrbios Para a representação das máquinas síncronas nos estudos de estabilidade utilizamse três modelos que permitem a representação da máquina com o grau de precisão necessário ao estudo conforme mostrado a seguir O objetivo é representar a máquina por um circuito equivalente que retrate as características externas da máquina com razoável precisão Os efeitos da reação da armadura e do fluxo de dispersão são simulados por duas reatâncias em série como mostra a Figura 426 com 125 a reatância da associação sendo designada por reatância síncrona sx e a resistência de fase do enrolamento da armadura ar geralmente desprezada face ao valor de sx Para os modelos de máquinas síncronas desenvolvidos segundo a teoria de R H Park as reatâncias de eixo direto levam o subíndice d e as de eixo em quadratura levam o subíndice q o mesmo sendo utilizado para as constantes de tempo As reatâncias bem como as constantes de tempo são também determinadas para os períodos transitório e subtransitório sendo utilizados os sobreíndices e cujos símbolos e equações são mostrados no Adendo deste capítulo 4331 Modelo I O modelo I é a representação clássica de máquinas síncronas para estudos de estabilidade como mostrado na Figura 428 para o qual a assumese que fluxo da excitação permanece constante assim como a tensão interna atrás da reatância transitória b desprezase o efeito dos enrolamentos de amortecimento Figura 428 Modelo I de máquinas síncronas Neste modelo é necessário determinar a tensão atrás da reatância transitória pela Equação 428 e a aceleração do rotor pela solução da equação de oscilação equação diferencial que será vista no Capítulo 8 Estabilidade cujos símbolos e equações são mostrados no Adendo deste capítulo Eixo de referência 126 4332 Modelo II O modelo II é a representação clássica de máquinas síncronas para estudos de estabilidade como mostrado na Figura 429 para o qual a considerase o efeito da variação do fluxo da excitação b representase o efeito de um enrolamento amortecedor no eixo em quadratura Neste modelo é necessário resolver outras equações e a aceleração do rotor pela solução da equação de oscilação cujos símbolos e equações são mostrados no Adendo deste capítulo Figura 429 Modelo II de máquinas síncronas 4333 Modelo III O modelo III é a representação clássica de máquinas síncronas para estudos de estabilidade como mostrado na Figura 430 para o qual a considerase o efeito da variação do fluxo da excitação b representase o efeito dos enrolamentos amortecedores nos eixos direto e em quadratura Neste modelo é necessário resolver outras equações e a aceleração do rotor pela solução da equação de oscilação cujos símbolos e equações são mostrados no Adendo deste capítulo Eixo de referência 127 Figura 430 Modelo III de máquinas síncronas A relação tensão no estator para a corrente de campo não é linear pois a partir de um certo valor de corrente ocorre o efeito de saturação A saturação tem um efeito significativo sobre o valor real da corrente de campo necessária para obter um determinado valor de tensão terminal Este efeito é importante também quando é representado o sistema de excitação da máquina e o regulador de tensão como no caso dos modelos II e III A característica em vazio é a curva que dá a tensão do estator em função da corrente de excitação com a máquina girando na velocidade síncrona e em vazio A característica de curtocircuito é a curva que relaciona a corrente de curtocircuito do estator com a de excitação para a máquina girando com sua velocidade síncrona e com os terminais da armadura curtocircuitados Na Figura 431 estão representadas essas curvas para uma máquina síncrona 128 Figura 431 Características de vazio e curtocircuito para uma máquina síncrona Um método utilizado para determinar esta curva é o de Potier como um índice de saturação juntamente com a curva de saturação a vazio normalmente determinada por uma equação quadrática com dois coeficientes 08 g B E g fI A e 429 A reatância síncrona é a relação entre a tensão em vazio com corrente de excitação igual à que produz a corrente nominal na condição de curtocircuito e a corrente nominal de curtocircuito O valor de Xs é constante ao longo do trecho linear da característica em vazio reta do entreferro e não leva em conta o efeito de saturação da máquina O valor real de Xs para a corrente de plena carga é menor que aquele valor existindo em sua determinação vários métodos que levam em conta o efeito da saturação A relação de curtocircuito RCC de um gerador é definida pela relação entre a corrente de excitação necessária a produzir a tensão nominal a vazio e a necessária para produzir na armadura ligada em curtocircuito a circulação da corrente nominal Na Figura 431 a relação de curtocircuito é AH AK que no caso da Figura 431 é de uma máquina síncrona real e é igual a 063 Para levar em conta o efeito da saturação é normal na prática admitirse que a reatância síncrona é o inverso da relação de curtocircuito que nessa máquina seria 158 pu Economia exige o projeto de máquinas com valor de RCC baixo sendo 055 um valor corrente para as máquinas atuais 129 EXEMPLO 45 Um gerador síncrono de polos salientes para turbinas hidráulicas de potência 70 MVA tensão 138 kV e fator de potência 090 indutivo e capacitivo tem como parâmetros reatância síncrona Xd 14577 reatância transitória Xd 3644 reatância subtransitória Xd 2551 resistência Ra 020 Calcular a tensão interna da máquina atrás da reatância síncrona para a condição de regime permanente e potência tensão e fator de potência indutivo nominais nos terminais SOLUÇÃO 2 2 2 2 14577 138 27760 100 70 3644 138 06940 100 70 2551 138 04858 100 70 020 138 00038 100 70 d d d a X X X R Ω Ω Ω Ω 0 t t t t o o t o t S 700 258419 MVA630000 MWj305123 Mvar S 3E I I 700 258419 29285883258419 3 13800 I 29285883 258419 A Ė Ėt Xd it Ė 13800000 2776090029285883258419 Ė 188238808228735 V EXEMPLO 46 Um gerador síncrono de polos salientes para turbinas hidráulicas de potência 70 MVA tensão 138 kV e fator de potência 090 indutivo e capacitivo tem como parâmetros reatância síncrona Xd 14577 reatância transitória Xd 3644 reatância subtransitória Xd 2551 resistência Ra 020 Os coeficientes da equação da curva de saturação em vazio são Ag 001 e Bg 852 Calcular os valores e traçar a curva de saturação tensão de saturação versus corrente de carga em vazio para valores de tensão do estator entre 50 e 150 da nominal SOLUÇÃO Xd 06940 Ω Ėt 13800000 V it 29285883258419 A Ė Ėt Xd it ΔIf Ag eBgE 08 E ĖkV ĖtkV pu Et pu E kV φ Eq pu Ifef pu ΔIf If pu 050 79979 13221 05796 050 00015 05015 060 93467 112859 06773 060 00035 06035 070 107034 98400 07756 070 00081 07081 080 120654 87200 08743 080 00188 08188 090 134310 78275 09733 090 00437 09437 131 tE pu E kV φ q E pu fI ef pu fI fI pu 100 147994 70998o 10724 100 01018 11018 110 161697 6 4954o 11717 110 02373 13373 120 175416 59855o 12711 120 05535 17535 130 189146 55496o 13706 130 12921 25929 140 202885 51727o 14702 140 30190 44190 150 216633 48436o 15698 150 70535 85535 Base de tensão para cálculo em pu E t 138 kV 44 MODELOS DE REGULADORES DE TENSÃO E DE VELOCIDADE Quando ocorre um distúrbio no sistema elétrico surge uma variação de correntes e tensões em todo o sistema atingindo os terminais dos geradores máquinas síncronas que estão em equilíbrio mantendo a tensão terminal com uma corrente de excitação e mantendo a potência fornecida nos terminais com uma potência fornecida no eixo pela turbina A variação da potência e da corrente nos terminais leva à variação da tensão nos terminais da máquina com a tensão interna mantendose constante e a variação da potência nos terminais leva ao aparecimento de uma potência acelerante no eixo do rotor devido à 132 diferença entre a potência fornecida no eixo e a potência fornecida nos terminais pois nem a tensão interna nem a potência fornecida no eixo podem variar instantaneamente 441 Reguladores de Tensão Para manter a tensão terminal de uma máquina síncrona em seu valor anterior ao distúrbio é necessário variar a corrente de excitação Para isso são utilizados reguladores de tensão que comparando a tensão nos terminais quando ocorre o distúrbio com a tensão de referência anterior ao distúrbio ou a tensão nominal variam a corrente de excitação e corrigem a tensão terminal A Figura 432 mostra um modelo típico utilizado para representar um regulador de tensão em simulações de distúrbio em estudos de estabilidade de sistemas Figura 432 Modelo de regulador de tensão para uma máquina síncrona 442 Reguladores de Velocidade Os reguladores de velocidade são utilizados para variar a potência fornecida no eixo do rotor das máquinas síncronas de forma a eliminar ou diminuir a diferença entre a potência fornecida no eixo e a potência fornecida nos terminais que causam a aceleração ou desaceleração das máquinas e que causam oscilações de potência levando à instabilidade do sistema A Figura 433 mostra um modelo típico utilizado para representar um regulador de velocidade e a dinâmica das turbinas hidráulicas ou a vapor em simulações de distúrbio em estudos de estabilidade de sistemas 133 Figura 433 Modelo de regulador de velocidade para uma máquina síncrona 45 MODELOS DE CARGA Podese conceituar carga de um sistema elétrico como qualquer dispositivo elétrico que consuma energia ativa e reativa do sistema transformandoa em outro tipo de energia luminosa mecânica calorífica etc Como definido pelo Operador Nacional do Sistema 2016 p 12 carga de demanda é a Potência elétrica média solicitada por um equipamento barramento subestação agentes da operação subsistema ou sistema elétrico durante um determinado intervalo de tempo Dizse também demanda Sendo assim as perdas do sistema elétrico são também cargas Quando se está tratando da análise e operação de um SEP a carga deste surge como um parâmetro de altíssimo interesse e importância visto que o objetivo básico do sistema é atender os consumidores com a energia fornecida pelos geradores dentro dos padrões adequados de qualidade confiabilidade e continuidade Dentre os vários parâmetros de um SEP a carga absorvida pelos consumidores é a de determinação numérica mais difícil O valor da carga varia de segundo em segundos e em milhões de consumidores cada um absorvendo energia de acordo com sua exigência individual a determinação das exigências futuras é um problema estatístico Essa curva de valores futuros é uma indicação das condições econômicas do país e dos hábitos sociais da população A composição da carga total do sistema pode a grosso modo ser dividida em usuários industriais comerciais e residenciais apresentando diferentes curvas de carga potência ao longo do tempo dia e características elétricas destas cargas como motores ou iluminação As cargas em termos de quantidade característica e comportamento influem no projeto e na operação do sistema de potência quer eletricamente quer economicamente A modelagem adequada das cargas é necessária porque variam de valor em função da variação da tensão e da frequência das barras de um sistema Enquanto a variação da 134 tensão pode ser de 5 na maioria dos sistemas a variação da frequência pode ser de 01 Hz Considerando o comportamento da carga composta de um SEP com a tensão e com a frequência temse P g E f Q h E f 430 e como a variação da frequência é mínima os modelos resumemse a funções dependentes apenas da magnitude da tensão O modelo polinominal denominado ZIP impedância corrente potência e exponencial é o mais utilizado sendo 0 0 0 0 Q P E P P E E Q Q E α α 431 onde E tensão do barramento 0 E tensão de referência P Q potência ativa e reativa 0 0 P Q potência ativa e reativa na tensão de referência P Q α α fator de sensibilidade da potência ativa e reativa Tendose três casos particulares para o modelo exponencial a impedância constante onde a variação da potência consumida é função do quadrado da tensão 2 P Q α α como por exemplo aquecedores ou mesmo a carga geral de um SEP b corrente constante onde a variação da potência consumida é função linear da tensão 1 P Q α α como por exemplo lâmpadas fluorescentes c potência constante onde a potência consumida independe da variação da tensão 0 P Q α α como por exemplo motores síncronos e de indução 135 A variação geral da carga global de um SEP com a tensão pode ser caracterizada pela expressão genérica 1 2 3 1 2 3 01 02 03 0 0 0 01 02 03 0 0 0 P P P Q Q Q E E E P P P P E E E E E E Q Q Q Q E E E α α α α α α 432 Os programas computacionais permitem a representação matemática do tipo de carga dos barramentos com relação a sua dependência com a tensão normalmente utilizado apenas nos programas de simulação de estabilidade A Figura 434 mostra o comportamento das cargas com a variação da tensão para duas condições variação da corrente com a tensão e variação da potência aparente com a tensão Figura 434 Comportamento de três tipos de carga com a tensão Nota a variação da corrente com a tensão b variação da potência aparente com a tensão Usualmente nesses estudos representase a carga numa subestação onde ela é uma carga composta constituída por consumidores residenciais comerciais e industriais Levantamentos estatísticos têm mostrado que a composição típica das cargas de um SEP parcelas P e Q têm valores como mostrado nas Tabelas 41 e 42 136 Tabela 41 Valores típicos das parcelas componentes da carga do modelo ZIP Motores de indução 50 a 70 Iluminação e aquecimento 20 a 25 Motores síncronos 5 a 10 Perdas na transmissão 2 a 3 Tabela 42 Valores típicos das parcelas componentes da carga do modelo ZIP de uma montadora de veículos com potência da ordem de 50 MVA Motores assíncronos 75 Retificadores 5 Iluminação 10 Fornos 5 Soldagem 5 Os valores típicos de P Q α α para alguns aparelhos e equipamentos elétricos são mostrados na Tabela 43 Tabela 43 Valores típicos dos parâmetros de componente de carga do modelo exponencial Componente de carga αPPotência ativa αQ Potência reativa Resistência para aquecimento ambiente 200 000 Bomba do sistema de aquecimento 020 250 Bomba de ar condicionado 020 250 Ar condicionado central 020 220 Ar condicionado para quartos 020 250 Aquecedor de água 200 000 Refrigerador e freezer 080 250 Lavalouças 180 350 Máquina de lavar roupas 008 160 Máquina de secar roupas 200 330 continua 137 Componente de carga αPPotência ativa αQ Potência reativa Lâmpada incandescente 154 000 Lâmpada fluorescente convencional 207 321 Lâmpada fluorescente compacta 095103 031046 Pequenos motores industriais 010 060 Grandes motores industriais 006 050 Bomba dágua para irrigação 140 140 451 Modelo de Carga para Análise em Regime Permanente de Fluxo de Potência A análise de fluxo de potência em um sistema em regime permanente visa determinar a distribuição de corrente nos ramos linhas e transformadores vinda dos geradores para atender as cargas Para maior facilidade de análise as correntes são colocadas na forma de potência o que permite trabalhar com todas as variáveis na forma de potência nos geradores linhas transformadores e cargas Para estudos e simulações as cargas são consideradas como um valor fixo a ser suprido em um dado momento de uma curva de carga diária quer seja no presente no caso da operação do sistema quer seja no futuro no caso do planejamento do sistema Considerando que a tensão das barras varia com a curva de carga as cargas também variam ao longo do tempo não sendo mais um valor fixo e assim a potência fornecida pelos geradores e que circula nas linhas e transformadores também varia As cargas podem também variar com a frequência dependendo do tipo Como em regime permanente a frequência é mantida constante a menos de variações mínimas causadas pela maior ou menor potência solicitada dos geradores considerase a frequência como constante e assim as cargas invariáveis com a frequência Para evitar a dificuldade de análise na simulação de uma condição do sistema em que uma carga projetada com maior valor resulte em um menor valor quando determinada uma tensão inferior à nominal na barra de suprimento da carga convencionouse representar as cargas nos estudos de fluxo de potência de sistemas sempre como tipo potência constante Esta condição por sua vez leva a resultados mais conservadores conclusão Tabela 43 Valores típicos dos parâmetros de componente de carga do modelo exponencial 138 452 Modelo de Carga para Análise em Regime Permanente de CurtoCircuito Na ocorrência de um curtocircuito a tensão no local cai a zero e para valores muito próximos de zero na região em torno até uma distância considerável Assim podese considerar que a carga e a corrente da carga cai a zero e portanto a carga pode ser desconsiderada nos estudos de curtocircuito Outra razão para desconsiderar a corrente da carga em estudos de curtocircuito é que o valor da corrente de carga é muito pequeno comparado com o valor da corrente de curtocircuito No caso de cargas com grandes motores síncronos ou grandes motores de indução é necessário modelar estas cargas como geradores como será visto no Capítulo 7 Curto Circuito porque quando a tensão cai a zero os motores com a massa girante dos rotores e com excitação no caso de motores síncronos passam a entregar a energia armazenada na forma de corrente fornecida para o ponto de curtocircuito aumentando a corrente total de curtocircuito 453 Modelo de Carga para Análise em Regime Transitório e Dinâmico de Estabilidade Em caso de uma anormalidade no sistema como no caso de um impacto severo causado por um curtocircuito ligação ou desligamento de uma grande carga desligamento de um gerador ou desligamento de uma linha de transmissão temse um desbalanço entre geração e carga causando um desequilíbrio entre a potência elétrica fornecida nos terminais dos geradores e a potência mecânica fornecida nos eixos e inicia um transitório que causa uma oscilação nos rotores das máquinas síncronas devida aos conjugados de aceleração e desaceleração que atuam nestes rotores Se estes conjugados são suficientemente altos para fazer alguns dos rotores oscilar o suficiente para deslizar um polo o sincronismo será perdido ocorrendo uma instabilidade no sistema Para assegurar a estabilidade do SEP outro ponto de equilíbrio deve ser atingido antes que as máquinas sofram oscilações de tal amplitude A potência mecânica no eixo do gerador se mantém constante logo após o distúrbio e começa a variar pela atuação do regulador de velocidade da máquina cuja constante de tempo é grande Já a potência elétrica nos terminais dos geradores varia rapidamente e é função das condições do distúrbio ocorrido curtocircuito desligamento etc que leva a uma redistribuição do fluxo de potência nas linhas e transformadores do sistema e que tem como consequência a variação da tensão dos barramentos e também a variação da frequência no sistema todo Surge assim uma potência acelerante ou desacelerante nos rotores dos geradores que levam a oscilações de potência no sistema e a variações de tensão e de frequência nos barramentos 139 Durante as oscilações de potência no sistema as cargas estáticas aparelhos estáticos ou pequenos motores de indução variam pouco com a frequência e muito com a tensão ao passo que as cargas dinâmicas motores síncronos ou grandes motores de indução variam muito com a frequência e pouco com a tensão Para efeitos práticos e devido à pequena variação da frequência considerase apenas a variação das cargas com a variação da tensão As variações de tensão e de frequência nos barramentos do sistema levam a variações das cargas nestes barramentos o que leva à variação da potência elétrica nos terminais dos geradores e que causam maior ou menor desequilíbrio entre a potência mecânica e a potência elétrica e levando às oscilações nos rotores podendo causar instabilidade no sistema Para os estudos de estabilidade do sistema é necessário representar as cargas por modelos que considerem a variação da carga com a tensão instante a instante e durante todo o período de simulação do transitório EXEMPLO 47 A carga de uma subestação de 230 kV que supre uma região urbana e uma região industrial próxima é de 120 5 MVA com fator de potência indutivo de 096 e com tensão nominal A característica da carga é de 75 residencial que pode ser considerada como iluminação e aquecimento e de 25 industrial como motores de indução Calcular o valor da carga total quando ocorre uma variação de tensão de 15 durante um distúrbio no sistema Utilizar o modelo ZIP SOLUÇÃO Carga total inicial 1 2 cte cte Carga 1 S 90375 MVA Carga S 12050 MVA Carga 2 S 30125 MVA 75 residencial Z total 25 industrial P 23000 15 19550 Eo kV E E kV cos 096 cos 096 1626o P fp fp S φ φ φ 140 1 1 2 1 90375 arg 1 1626 90375 1626 8676 2530 var 30125 arg 2 1626 30125 1626 2892 843 var o o o o S MVA C a S MVA MW j M S MVA C a S MVA MW j M φ φ 1 2 3 01 02 03 0 0 0 2 1 0 3 3 3 6 6 3 3 3 19550 10 19550 10 19550 10 8676 10 000 2892 10 23000 10 23000 10 23000 10 91604100 9160 P P P E E E P P P P E E E x x x P x x x x x P W MW α α α 1 2 3 01 02 03 0 0 0 2 1 0 3 3 3 6 6 3 3 3 19550 10 19550 10 19550 10 2530 10 000 843 10 23000 10 23000 10 23000 10 26709250 var 2671 var Q Q Q E E E Q Q Q Q E E E x x x Q x x x x x Q M α α α Carga total final 9160 2671 var 9541 1626 9541 o S P jQ S MW j M S MVA CARGA TOTAL MVA 141 46 MODELOS DE RELÉS As linhas de transmissão são protegidas por relés para serem desligadas na ocorrência de curtocircuito Quando ocorrem distúrbios no sistema as variações de tensão e potência nos vários pontos do sistema poderão levar à operação de vários relés e ao desligamento de várias linhas Em simulações do sistema para estudos de estabilidade é necessário representar o funcionamento dos relés de linhas de transmissão por meio de modelos adequados que são de cinco tipos e que são utilizados para as simulações de estabilidade a relé de impedância b relé direcional de sobrecorrente c relé de perda de sincronismo d relé de sobrepotência e relé de subfrequência Estes modelos não são objeto deste capítulo e não serão apresentados PROBLEMAS 1 Uma linha de transmissão de 138 kV circuito simples com um cabo ACSR 3975 MCM por fase tem 97 km de comprimento e seus parâmetros são R 01611 Ω km L 00013 Hkm C 88587x109 Fkm A linha atende uma carga de 760 MW com fator de potência 097 indutivo sob tensão nominal Calcular a tensão e a corrente no emissor da linha considerando o modelo π e as equações para a parâmetros distribuídos b parâmetros concentrados c parâmetros concentrados corrigidos Calcular o erro percentual das tensões calculadas nos casos b e c em relação aos resultados do cálculo do caso a com o modelo exato Comparar os resultados obtidos para esta linha com os do Exemplo 41 O erro resultante com o cálculo utilizando parâmetros concentrados é significativo para a linha de 138 kV É justificável a utilização do cálculo com parâmetros distribuídos para linhas com características semelhantes à de 138 kV E para a linha de 500 kV 142 2 Um transformador de três enrolamentos tem as tensões 138345138 kV as potências 400400150 MVA e as reatâncias XA 700 Ω XM 150 Ω XB 500 Ω valores já referidos à alta tensão e em uma mesma base de potência Calcular as reatâncias XAB XMB XAM em valores percentuais correspondentes aos valores obtidos do ensaio de curtocircuito Comparar com o valor percentual da reatância XAB do transformador do Exemplo 42 e analisar o efeito desta reatância sob a operação em termos de queda de tensão deste transformador Qual a razão da diferença das reatâncias percentuais destes transformadores 3 Calcular os elementos do modelo π para o transformador do Exemplo 43 para a relação fora do nominal e o tap do transformador na posição 240 kV Comparar os valores obtidos e as características dos elementos do modelo π em termos de admitâncias indutivas e capacitivas REFERÊNCIAS BARTHOLD L O REPPEN N D HEDMAN D E Análise de circuitos de sistemas de potência 2 ed Santa Maria Universidade Federal de Santa Maria 1983 BROWN H E Solution of large networks by matrix methods New York Wiley Interscience 1975 COMPANHIA PARANAENSE DE ENERGIA Curva de capabilidade de um gerador da Usina Governador Bento Munhoz Foz do Areia Curitiba 1986 ELHAWARY M E Electric power systems design and analysis New York John Wiley Sons 1983 IEEE Computer representation of excitation systems IEEE Transactions Power Apparatus and Systems v PAS87 n 6 June 1968 KENT M H et al Dynamic modeling of loads in stability studies IEEE Transactions on Power Apparatus and Systems v PAS88 n 5 May 1969 NEVES M S Modelagem de carga em sistemas de energia elétrica modelo matemático e sua validação com testes de campo 2008 72 p Dissertação Mestrado em Engenharia Elétrica Universidade Federal de Juiz de Fora Juiz de Fora 2008 Disponível em httpwwwufjfbr ppeefiles200812211068pdf Acesso em 18 jun 2017 OPERADOR NACIONAL DO SISTEMA ELÉTRICO ONS Módulo 20 submódulo 201 glossário de termos técnicos 2016 Disponível em httponsorgbrpaginassobreoonsprocedimentos deredevigentes Acesso em 12 fev 2018 STEVENSON JR W D Elements of power system analysis New York McGrawHill 1982 WEEDY B M Sistemas elétricos de potência São Paulo Polígono 1973 YOUNG C C Equipment and system modelling for largescale stability studies IEEE Transaction on Power Apparatus and Systems v PAS91 n 1 p 99109 JanFeb 1972 143 ADENDO Modelos de Máquinas Síncronas Símbolos Símbolo Descrição δ ângulo entre o eixo q e o eixo de referência graus t tempo segundos f frequência base herz H coeficiente de inércia MWsegundoMVA K coeficiente de amortecimento Tm torque mecânico pu Te torque elétrico pu X reatância de dispersão do estator pu Xd reatância síncrona de eixo direto pu Xd reatância transitória de eixo direto pu Xd reatância subtransitória de eixo direto pu Xq reatância síncrona de eixo em quadratura pu Xq reatância transitória de eixo em quadratura pu Xq reatância subtransitória de eixo em quadratura pu Xp reatância de Potier pu Td0 constante de tempo transitória de eixo direto de circuito aberto segundo Td0 constante de tempo subtransitória de eixo direto de circuito aberto segundo Tq0 constante de tempo transitória de eixo em quadratura de circuito aberto segundo Tq0 constante de tempo subtransitória de eixo em quadratura de circuito aberto segundo 144 Símbolo Descrição dI componente da corrente do estator de eixo direto pu qI componente da corrente do estator de eixo em quadratura pu Ikd corrente de amortecimento de eixo direto pu Ikq corrente de amortecimento de eixo em quadratura pu fI corrente de campo pu IqI corrente do ferro de eixo em quadratura pu fI correção da corrente de campo para a saturação pu E tensão atrás da reatância transitória pu E tensão atrás da reatância subtransitória pu E d fluxo de campo pu E q fluxo no ferro do eixo em quadratura pu Efd tensão de campo pu Ep tensão de Potier pu φkd fluxo do enrolamento amortecedor de eixo diretor pu φkq fluxo do enrolamento amortecedor de eixo em quadratura pu φ d componente de eixo direto do fluxo subtransitório do rotor pu φ q componente de eixo em quadratura do fluxo subtransitório do rotor pu Ag Bg coeficientes da equação da curva de saturação em vazio Observação E indica fasor E indica magnitude 145 EQUAÇÕES Modelo I de máquinas síncronas t d t E E X I Modelo II de máquinas síncronas j q q d d E E j E X X I e δ 146 0 1 q fd f d dE E I dt T 0 1 d kq q dE I dt T q q q kq Ed X X I I 08 g B Ep g fI A e q d d d f f I E X X I I 2 2 180 m e d f d T T K H dt dt δ δ Modelo III de máquinas síncronas d l d kd d kd d l X X E X X φ φ φ d l q kq d kq d l X X E X X φ φ φ 147 0 1 q fd f d dE E I dt T 0 1 d Iq q dE I dt T 2 0 d l kd kd d d d X X d I dt X X T φ q d d d kd f f I E X X I I I φ d d kd kd q d l d 2 d l X X I E X X I X X 0 1 kq Iq q d I dt T φ 2 q q q q Iq d q q q kq q l X X X X I E X X I I X X q q q kq kq l d I E X X I φ 08 g p f g B E I A e 2 2 180 m e d f d T T K H dt dt δ δ SOLUÇÃO Valores em pu Utilizando como base de potência o valor de 10 MVA e como base de tensão o valor de 138 kV no barramento A vem para os transformadores AB e CD XAB j 011 pu XCD j 008 pu para a linha BC ZB 138210 19044 ohms XBC j 15019044 j 000788 pu para a carga no barramento D P 6010 060 pu Q 29 10 029 pu S 060 j 029 0672584 pu I SpuEpu 06710 0672584 pu Diagrama unifilar com as reatâncias em pu 5 MÉTODOS DE ANÁLISE E SOLUÇÃO DE SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA 151 Um sistema elétrico de potência SEP nada mais é do que um circuito elétrico de grande porte onde existem fontes geradores e impedâncias linhas de transmissão e transformadores em série e cargas em derivação A análise do desempenho desse sistema consiste em determinar a tensão em cada nó barramento e a corrente em cada ramo linha ou transformador e implica em resolver o circuito elétrico correspondente ao sistema para determinadas condições das fontes linhas transformadores e cargas e para tanto utilizamse os métodos estudados em circuitos elétricos matrizes de impedâncias ou de admitâncias Em um SEP existem transformadores que mudam a tensão e a corrente nos pontos onde estão conectados e para a solução do circuito é necessário considerar as relações de transformação dos vários transformadores passando inicialmente todos os dados das impedâncias do circuito em unidades físicas ohm para um mesmo nível de tensão um determinado lado do transformador para somente então resolver o circuito com a utilização dos métodos matriciais Para eliminar a necessidade de transferir os valores das impedâncias de um lado para outro dos transformadores foi desenvolvido o método de cálculo com os valores em por unidade ou pu que simplifica esta uniformização dos dados das impedâncias tornando os independentes do lado do transformador ao qual estão sendo calculados e facilitando todo o processo de cálculo 51 POR UNIDADE As próximas seções apresentam especificidades de pu 511 Definição O valor numérico em pu de uma grandeza qualquer é a relação entre o valor real desta grandeza na sua unidade e um valor base da mesma grandeza e na mesma unidade expresso como um número decimal Valorreal Valorpu Valorbase 51 152 Por exemplo se a tensão em um barramento é 145 kV Er valor real ou tensão de operação do barramento e a tensão base Eb for 138 kV a tensão em pu será 145 105 138 E pu pu O sistema pu é semelhante ao sistema percentual sem as desvantagens deste pois quando dois valores percentuais são multiplicados ou divididos o resultado deverá ser dividido ou multiplicado respectivamente por 100 para se obter o resultado correto o que não é necessário no sistema pu Um valor percentual é um valor em pu multiplicado por 100 Assim a tensão do exemplo dado seria 105 Em aplicações práticas é muito comum utilizaremse valores percentuais para reatâncias de transformadores e geradores ou parâmetros R L C de linhas de transmissão apenas para escrever os valores bastando dividir os valores percentuais por 100 para transformá los para pu para daí poder efetuar os cálculos com os mesmos 512 Vantagens da Utilização de PU Além de facilitar a solução de circuitos onde há transformadores a utilização de pu apresenta algumas vantagens adicionais como será mostrado a seguir Normalmente a reatância dos equipamentos elétricos como geradores e transformadores é fornecida pelos fabricantes na forma de valores percentuais pu multiplicado por 100 valores estes calculados tendo por base os valores nominais de tensão e potência do equipamento em questão Expressos dessas maneiras as características dos equipamentos elétricos podem ser facilmente comparadas e o que se verifica é que a reatância das máquinas elétricas de diferentes potências mas do mesmo tipo estão dentro de limites bem definidos e que a reatância de transformadores de mesmas tensões nominais não difere significativamente Desta forma é possível efetuar estudos bastante precisos assumindo valores típicos para reatâncias de equipamentos futuros dentro da faixa de valores característicos para os mesmos Na análise de um sistema em condição normal é necessário verificar as condições de tensão nos vários barramentos do mesmo e sabendose que a tensão em um barramento deve estar entre mais ou menos 5 do valor nominal fica mais fácil efetuar a análise quando os valores estão em pu pois basta ter em mente que os limites extremos da tensão são 105 pu no máximo e 095 pu no mínimo para qualquer barramento não sendo necessário memorizar todos os valores em kV para todas as classes de tensão 153 Nos estudos de curtocircuito com a utilização de pu os resultados de corrente e de potência de curtocircuito são numericamente iguais de forma que basta multiplicálos pelas respectivas bases para se obter os valores de corrente em Ampère ou potência em MVA 513 Escolha de Bases Para o cálculo dos valores em pu são necessárias bases as quais como em um sistema de unidades são arbitrariamente escolhidas porém uma vez escolhidas devem ser mantidas inalteradas no decorrer da solução de todo o problema Na solução dos problemas de sistemas elétricos são necessárias quatro bases a saber tensão corrente impedância e potência Tendo em vista as relações fundamentais entre estas grandezas elétricas verificase que duas delas podem ser sempre escolhidas arbitrariamente enquanto as outras duas são obrigatórias em função das duas arbitradas Na maioria dos problemas práticos de SEP é normal escolheremse as bases de potência e de tensão e calculamse as bases de corrente e de impedância sendo que comumente a base de potência utilizada é 100 MVA e a base de tensão é o valor nominal do equipamento considerado Os resultados obtidos em pu são função das bases escolhidas porém os resultados em grandezas elétricas independem das bases obtendose o mesmo valor para qualquer conjunto de base adotado Os SEP são sempre trifásicos e para o cálculo em pu são normalmente utilizadas bases trifásicas mas podem também ser utilizadas bases monofásicas Em sistemas monofásicos ou trifásicos tomandose a corrente de linha em A a tensão de fase faseterra em kV e a potência de uma fase em MVA vem b b b S I E A 52 2 b b b E Z S Ω 53 É usual entretanto trabalharse apenas com sistemas trifásicos simétricos e equilibrados nos quais tomandose a corrente de linha em A a tensão entre fases em kV e a potência trifásica em MVA 154 3 b b b S I E A 54 e 2 b b b E Z S Ω 55 De uma maneira geral esta segunda condição é a mais utilizada nos trabalhos de SEP Em sistemas trifásicos a relação entre a tensão fasefase e a tensão faseterra é 3 e da mesma forma a relação entre a tensão base fasefase e a tensão base faseterra é 3 Verifica se assim que em um mesmo ponto o valor numérico da tensão em pu é o mesmo quer se considere a tensão fasefase ou a tensão faseterra Da mesma forma o valor da potência trifásica em pu é numericamente igual à potência monofásica em pu O sistema pu apresenta também outra característica que é a de resultar um mesmo valor numérico para a corrente e para a potência quando a tensão base é igual a 10 pu Temse 3 b b b S E I 56 e 3 S E I 57 3 3 pu pu pu b b EI S E I E I 58 Observese ainda que em pu o valor da potência trifásica é obtido pela multiplicação do valor da tensão em pu pelo valor da corrente em pu sem o fator 3 514 Mudança de Bases A impedância dos equipamentos elétricos como geradores e transformadores é fornecida pelos fabricantes em valores percentuais calculados com as bases nominais dos equipamentos Considerando o que foi visto anteriormente que a base de potência deve ser mantida única em toda a solução do problema e que normalmente a base de tensão 155 é igual ao valor da tensão nominal do equipamento no ponto considerado verificase que o valor das grandezas dos equipamentos deve ser colocado em um mesmo conjunto de bases de tensão e potência antes de se iniciar a solução do problema elétrico a esse processo se denomina mudança de bases A mudança de bases deve ser sempre das bases com as quais o valor da reatância fornecida em pu ou por cento foi calculada para as bases de potência escolhida para a solução do problema e de tensão obtida para o ponto nó ou barramento em questão Seja um equipamento construído para operar na tensão nominal E e que tem uma potência nominal S e cuja impedância é Z Esta impedância percentual foi calculada pelo fabricante ou obtida de ensaio com as bases nominais do equipamento que serão denominadas Eb1 e Sb1 respectivamente Calculandose a impedância base e multiplicandose por Z dividido por 100 obtémse o valor da impedância em ohm Z ao passo que o valor Z dividido por 100 fornece o valor em pu Z1 Desejase agora o valor da impedância do equipamento em pu nas bases Eb2 e Sb2 para a solução do sistema A impedância base com os valores nominais do equipamento é 2 1 1 1 b b b E Z S Ω 59 e o valor da impedância do equipamento em ohm é 2 1 1 1 1 1 b b b E Z Z Z Z S Ω Ω 510 a impedância base com as novas bases é 2 2 2 2 b b b E Z S Ω 511 e o valor da impedância em pu no novo conjunto de bases é 2 2 2 2 2 b b b E Z Z Z Z S Ω Ω pu 512 156 de forma que substituindose agora a Equação 510 em 512 obtémse o valor da impedância em pu com as novas bases 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 E E E S E S b b b b b b Z Z Z Z S S S S E E b b b b b b pu 513 A Equação 513 mostra que dado um valor de impedância em pu calculada com um conjunto de bases podese obter o valor desta impedância em pu em outro conjunto de bases diretamente 515 Tensão e Potência Bases na Solução de Problemas em PU Nos SEP a tensão nominal nos diversos barramentos é função da tensão nominal dos equipamentos como geradores e transformadores e também da relação de transformação dos transformadores A tensão base por sua vez é arbitrariamente escolhida e fixada em um determinado barramento do sistema e muda de um barramento para outro em função da relação de transformação dos transformadores Assim a tensão base nos demais pontos fica atrelada à tensão escolhida inicialmente pelas diversas relações de transformação dos transformadores existentes no sistema Já a potência base será uma só para todo o sistema todo o problema que está sendo resolvido A tensão de operação em cada ponto do sistema por sua vez é função da tensão fixada nos terminais dos geradores da relação de transformação dos transformadores da impedância das linhas e transformadores do sistema bem como das cargas reatores e capacitores existentes no sistema no instante considerado Assim é importante distinguir na análise de um SEP a tensão nominal da tensão base e da tensão de operação em cada barramento do sistema Verificase entretanto que em sistemas em que existe padronização de equipamentos e de tensões há coincidência entre tensão nominal e tensão base em cada barramento de forma que não é necessário efetuar a mudança de bases de tensão bastando apenas efetuar a mudança de bases de potência para a determinação do valor em pu da impedância dos equipamentos 157 516 Impedância de Transformadores em PU No caso de transformadores temse uma tensão nominal do lado da alta tensão AT e outra tensão nominal do lado da baixa tensão BT Mediante ensaios obtémse o valor da reatância referida a um dos lados do transformador AT ou BT independentemente do lado em que foram feitas as medições sendo esse valor fornecido em porcentagem nas bases da potência nominal do equipamento e da tensão do lado em que foi feito o ensaio Ocorre que o valor percentual ou em pu da reatância resulta no mesmo quer se faça medição do lado da AT ou da BT como mostrado no desenvolvimento a seguir onde Z a impedância referida a AT Z b impedância referida a BT E a tensão da AT E b tensão da BT Z bA impedância base na AT Z bB impedância base na BT b S potência base pot nominal neste caso MVA e em ohm temse Ω 2 2 E b Z Z b a E a 514 2 2 2 2 Z E E S Z b b bB b a Z Z Z Z bpu a a apu Z S Z E E bB b bA a a 515 No caso de transformadores de três enrolamentos são válidas as mesmas considerações feitas para transformadores 158 EXEMPLO 51 Um gerador de 30 MVA e 138 kV tem uma reatância síncrona de 11 Determinar a o valor da reatância em ohm b o valor da reatância em pu nas bases de 100 MVA e 138 kV c o valor da reatância em pu nas bases de 100 MVA e 150 kV SOLUÇÃO Valor da reatância em ohm Xs 110 011 pu nas bases de 30 MVA e 138 kV que são os valores nominais do gerador Zb 1382 300 635 Ω XΩ Xpu Zb 011 x 635 070 Ω Valor da reatância em pu com bases de 100 MVA e 138 kV Xpu 011 x 1000 300 037 pu Valor da reatância em pu com bases de 100 MVA e 150 kV Xpu 011 x 1382 100 1502 300 x x 031 pu 159 EXEMPLO 52 Determinar a potência reativa natural capacitiva de uma linha de transmissão de 500 kV cuja admitância capacitiva é 00009412 S SOLUÇÃO Utilizando as bases de 500 kV e 100 MVA temse Zb 5002 100 2500 Ω Ypu Ys Zb 00009412 x 2500 2353 pu 2353 QMvar Ypux Sb 2353 x 100 2353 Mvar Observação O valor da potência reativa natural de uma linha de transmissão operando em sua tensão nominal é igual à sua admitância capacitiva em pu multiplicado por cem ou seja seu valor percentual EXEMPLO 53 Calcular a tensão que deverá ser mantida nos terminais do gerador do sistema mostrado no diagrama para que a tensão de suprimento da carga seja mantida em 69 kV Sabese que a carga a ser atendida é de 6 MW e que seu fator de potência é 09 indutivo 161 Cálculo da tensão nos terminais do gerador A D ADI E E X 1000 019788900 067 2584 o o o EA 1064 64o E pu A 1064 138 1468 E x kV A EXEMPLO 54 Dado o sistema mostrado no diagrama unifilar calcular as reatâncias em pu tomando como base a potência de 30 MVA e a tensão de 69 kV nos terminais do gerador 1 SOLUÇÃO Cálculo das reatâncias em pu 015 30 02250 1 20 X j j pu G 010 30 01200 1 2 25 X j j pu T 1000 02268 2 3 2 115 30 j X j pu LT 162 1152 30 800 01815 2 3 j X j pu LT 2 2 750 10 1299 30 010 010 01276 5 6 664 10 1150 30 X j j j pu T 4 015 30 04500 10 XG j j pu 2 6 015 138 02160 115 XG j j pu Diagrama unifilar com as reatâncias em pu 52 COMPONENTES SIMÉTRICAS A teoria das componentes simétricas desenvolvida por C L Fortescue e apresentada em 1918 ao American Institute of Eletrical Engineers AIEE atual Institute of Eletrical and Eletronic Engineers IEEE EUA WAGER EVANS FORTESCUE 1986 Essa teoria prova que o sistema desequilibrado de n fasores pode ser decomposto em n sistemas equilibrados cada um com n fasores Cada um destes n sistemas por ser equilibrado pode ser tratado de forma monofásica como normalmente se trabalha em sistemas simétricos e equilibrados pois as correntes e tensões são iguais em todas as fases havendo um defasamento igual entre os fasores Aplicandose a teoria a um sistema trifásico temse que este pode ser decomposto em três sistemas trifásicos simétricos e equilibrados Um destes sistemas tem a mesma sequência de fases que aquele que lhe deu origem e recebe o nome de sistema de sequência 163 positiva o outro tem uma sequência de fases oposta ao original e recebe o nome de sistema de sequência negativa o terceiro é formado por três fasores sem defasamento entre si e recebe o nome de sistema de sequência zero A caracterização destes sistemas é feita pelos símbolos ou 1 ou 2 e zero respectivamente A Figura 51 mostra esta decomposição Figura 51 Decomposição de tensões desiquilibradas Nota a fasores condição existente b decomposição em 1 2 0 c composição dos fasores 521 Operador a Para simplificar o trabalho com componentes simétricas utilizase o operador a definido como a 1 120º 516 tendose ainda as seguintes identidades Ec 164 2 1 a a º 3 a 1 0 2 1 0 a a 517 518 519 522 Equações Básicas Do que foi exposto na Seção 521 e da Figura 51 podese escrever as equações 1 2 0 a a a a E E E E 1 2 0 b b b b E E E E 1 2 0 c c c c E E E E 520 521 522 Utilizando o operador a e observando a Figura 51 podese reescrever as Equações 520 a 522 como segue 1 2 0 a a a a E E E E 2 1 2 0 b a a a E a E aE E 2 1 2 0 c a a a E aE a E E 523 524 525 as quais por sua vez podem ser escritas na forma matricial com a equação 1 2 2 2 0 1 1 1 1 1 a a a b c a E E E a a E a E E a 526 ou de maneira simplificada como s Ef A E 527 165 onde o vetor Ef é o vetor de tensões de fase do sistema desequilibrado original e Es é o vetor de tensões de sequência da fase a dos três sistemas de sequência equilibrados sistema de sequência positiva de sequência negativa de sequência zero Notese que o vetor Es poderia ter sido escrito em função das tensões da fase b ou da fase c dos três sistemas A matriz A é denominada matriz de transformação de componentes simétricas porque possibilita a transformação das componentes simétricas das tensões em tensões de fase do sistema O mesmo desenvolvimento pode ser aplicado às correntes obtendose assim uma equação semelhante à Equação 527 s fI A I 528 Existindo a matriz A1 podese escrever a partir da Equação 527 1 1 s f A E A A E donde 1 s f E A E 529 e da mesma forma 1 s f I A I 530 A matriz A1 existe e tem a forma 2 1 2 1 1 1 3 1 1 1 s a a A a a De forma que tendose as tensões ou correntes de fase podese obter as tensões ou correntes de sequência diretamente empregandose as Equações 529 e 530 respectivamente EXEMPLO 55 Dadas as tensões de fase Ėa 3 280 pu Ėb 4 260 pu e Ėc 1 165 pu calcular as tensões das fases a b e c dos sistemas de sequência positiva negativa e zero SOLUÇÃO 167 523 Desacoplamento entre Sistemas de Sequência As tensões e correntes de um sistema equilibrado estão relacionadas entre si pelas equações E Z I 531 e I Y E 532 Onde Z e Y são as matrizes de impedância e de admitância nodais do sistema respectivamente Em um sistema equilibrado em que o somatório dos fasores de corrente e dos fasores de tensão é nulo é possível determinar através de transformações matriciais um valor de impedância e de admitância por fase que possibilita efetuar os cálculos para apenas uma fase do sistema tendo em vista que os valores das duas outras fases serão iguais em módulo porém com defasamento de 120o e 240o Quando o sistema é desequilibrado porém tal procedimento não é possível Substituindose nas Equações 531 e 532 as Equações 527 e 528 obtidas para as tensões e correntes respectivamente temse a equação s s A E Z A I 533 que prémultiplicada pela matriz A1 resulta 1 1 s s A A E A Z A I 534 ou s s s E Z I 535 e da mesma forma obtémse s s s I Y E 536 168 sendo que as matrizes 1 sZ A Z A e 1 sY A Y A são denominadas matrizes de impedância e de admitância de sequência Figura 52 Correntes em sistemas equilibrados e desequilibrados Nota a carga equilibrada b carga desequilibrada 169 Admitindose uma linha de transmissão trifásica transposta suprida por uma fonte de tensões equilibradas se a carga conectada a esta linha for simétrica e equilibrada as tensões e correntes em ambos os extremos da linha serão equilibradas e simétricas e não haverá corrente pelo neutro Figura 52a porém se a carga for desequilibrada este desequilíbrio causará a circulação de corrente pelo neutro e o desequilíbrio das tensões e correntes Figura 52b sendo que a corrente do neutro é a resultante da soma fasorial das três correntes de fase No primeiro caso a queda de tensão na linha poderá ser calculada por LT ag ac LTa a E E E Z I 537 já que cada fase terá a mesma queda de tensão já no segundo caso há diferentes quedas de tensão nas fases e além disso há queda de tensão na impedância de retorno resistência de terra Temse as equações LTa ag ac LT a T a c b E E E Z I Z I I I LT T a c LTb bg bc b b E E E Z I Z I I I LTc cg cc LT c T a c b E E E Z I Z I I I 538 em que ZLT ZLTa ZLTb ZLTc pois as impedâncias das fases são iguais Colocandose na forma matricial vem ac T T T bc T T T cc T T T E Z Z Z E Z Z Z E Z Z Z LTa ag LTa LTb bg LTb LTc cg LTc E E Z E E Z E E Z I I I a b c 539 Prémultiplicandose a matriz de impedância da Equação 540 por 1 A e pós multiplicandose por A resulta 170 T T T Z 0 0 0 Z 0 0 0 3Z LTa s LTb LT Z Z Z Z 540 A matriz de impedâncias de sequência obtida é uma matriz diagonal de onde se conclui que os três sistemas de sequência são totalmente desacoplados Temse então que 1 LT Z Z 2 LT Z Z 0 3 LT T Z Z Z 541 Com as Equações 531 a 541 podese resolver os circuitos elétricos trifásicos que apresentam desequilíbrios através da solução dos três circuitos de sequência na forma unifilar já que os mesmos são desacoplados É necessário porém obter as impedâncias de sequência dos vários equipamentos do sistema 524 Impedâncias e Circuitos de Sequência dos Equipamentos dos SEP Os principais equipamentos considerados na análise dos sistemas elétricos são geradores e compensadores síncronos transformadores e linhas de transmissão reatores capacitores e cargas 5241 Máquinas síncronas Os geradores máquinas síncronas são essencialmente fontes de tensão e corrente de sequência positiva já que são projetados para operar a uma rotação fixa e com uma determinada sequência de fases A impedância apresentada por um gerador quando percorrido apenas por correntes de sequência positiva é denominada de impedância de sequência positiva ou impedância síncrona do gerador Essa impedância é determinada por testes de curtocircuito conforme será visto no Capítulo 7 CurtoCircuito As impedâncias de sequência negativa ou de sequência zero dos geradores são diferentes da sequência positiva já que as máquinas não foram projetadas para a circulação destas correntes 171 Essas impedâncias podem ser determinadas por meio de testes em que se aplicam correntes de sequência negativa ou zero respectivamente à máquina e medemse as quedas de tensão calculandose então as impedâncias A Figura 53 ilustra a forma de efetuar os testes citados Para ambos os testes a máquina deverá ter seu enrolamento de excitação curtocircuitado e girar à rotação nominal no sentido normal de sequência positiva 172 Figura 53 Determinação das impedâncias de sequência de uma máquina síncrona Nota a sequência positiva b sequência negativa c sequência zero As impedâncias de sequência negativa e zero são sensivelmente menores que a impedância síncrona No caso da impedância de sequência zero vêse que a corrente circula também pela impedância de neutro do gerador já que as três correntes estão em fase e a soma dos três fasores não resulta zero a cada instante Se a impedância de neutro realmente existe ela deverá ser adequadamente considerada nos cálculos e para tanto quando se trabalha na forma de circuitos monofásicos unifilares é preciso multiplicála por três pois no circuito unifilar a fase do gerador que é considerada é percorrida apenas pela corrente da própria fase enquanto a impedância de neutro é percorrida pela corrente das três fases A impedância de sequência zero dos geradores e a impedância de sequência zero do neutro dos mesmos costuma ser representada por apenas um valor nos cálculos dos sistemas elétricos sendo portanto igual a 0 0 0 3 g n Z Z Z 542 Como mostrado na Seção 54 também para os geradores resulta uma matriz diagonal indicando o desacoplamento entre os sistemas de sequência 173 1 2 0 0 3 g gs g g n Z Z Z Z Z 543 Do que foi mostrado anteriormente podemse traçar circuitos de sequência dos geradores como mostrado na Figura 54 174 Figura 54 Diagramas de sequência de uma máquina síncrona Nota a sequência positiva b sequência negativa c sequência zero Nos circuitos de sequência da Figura 54 observase que apenas no circuito de sequência positiva é que há fonte Isso se deve ao fato de que uma máquina síncrona projetada para fornecer tensões de sequência positiva simétricas e equilibradas não poderá fornecer tensões de outras sequências 5242 Linhas de transmissão As linhas de transmissão são elementos passivos estáticos e não possuem tensões próprias Dessa forma o comportamento das mesmas é idêntico quer para tensões e correntes de sequência positiva quer para tensões de sequência negativa resultando em impedâncias de sequência positiva e negativa iguais A impedância de sequência zero entretanto é completamente diferente em virtude de haver circulação de corrente pelos condutores pararaios blindagem que normalmente são aterrados em cada torre como pela própria terra conforme mostrado na Figura 55 A distribuição de correntes pelos cabos pararaios e pela terra depende da impedância dos cabos pararaios e da resistividade do solo A impedância de sequência zero das linhas de transmissão vai depender então tanto das características da própria linha cabos fase e pararaios como do próprio solo O valor dessa impedância é bem superior ao das impedâncias de sequência positiva e negativa 175 Figura 55 Distribuição de correntes de curtocircuito nos cabos de uma linha de transmissão Na Seção 523 usando como exemplo uma linha de transmissão mostrouse que há desacoplamento entre os sistemas de sequência e que resulta uma matriz diagonal de impedâncias de sequência sendo que as impedâncias de sequência negativa e positiva são iguais Os circuitos de sequência de linhas de transmissão são mostrados na Figura 56 Figura 56 Circuitos de sequência de linhas de transmissão Nota a sequência positiva b sequência negativa c sequência zero Em virtude de as características do solo variarem muito de um local para outro mesmo ao longo de uma linha normalmente se admite um valor único para a resistividade do solo valor usual é 100 Ωm 176 5243 Transformadores Da mesma forma que as linhas de transmissão os transformadores têm comportamento idêntico para as tensões e correntes de sequência positiva e negativa enquanto o comportamento para a sequência zero depende do tipo de ligação dos enrolamentos do transformador e do tipo de núcleo envolvido core envolvente shell do mesmo Para efeito de análise será utilizado um transformador com ligação em estrela na alta tensão e estrela na baixa tensão com ambos os neutros aterrados solidamente como mostrado na Figura 57 Para correntes de sequência positiva e negativa a soma a cada instante é zero e não há circulação de corrente pelo neutro A transferência de energia se dá pelo acoplamento magnético e resulta uma reatância de dispersão entre a alta e a baixa tensão Ao serem aplicadas correntes de sequência zero no lado da alta tensão do transformador porém estas não somaram zero em instante algum e a corrente no neutro será 0 0 0 neutro a b c I I I I 544 Esta corrente irá para a terra através do neutro e retornará à fonte pela terra Devido ao acoplamento magnético também circulam correntes no circuito de baixa tensão as quais passam pelo neutro e pela terra como mostrado na Figura 57 Figura 57 Determinação da impedância de sequência zero em transformadores com enrolamentos ligados em estrela 177 Do que foi exposto anteriormente é importante ressaltar que a como o transformador funciona pelo princípio da compensação de ampèreespira há corrente na alta porque é possível haver corrente na baixa tensão b como há corrente na alta e na baixa e estes enrolamentos estão acoplados magneticamente há uma reatância de dispersão entre a alta e a baixa tensão para correntes de sequência zero que é a reatância de sequência zero entre a alta e a baixa tensão Os circuitos de sequência positiva negativa e zero de um transformador com ligação estrela aterrada na alta e na baixa tensão são mostrados na Figura 58 Figura 58 Circuitos de sequência de transformadores conectados em estrela aterrada em ambos os lados Nota a sequência positiva b sequência negativa c sequência zero Tomandose um transformador com ligação estrela aterrada na alta e estrela isolada na baixa tensão como mostrado na Figura 59 não pode haver circulação de correntes de sequência zero na baixa tensão o que implica em não haver correntes na alta tensão embora o neutro deste enrolamento esteja aterrado e assim a reatância entre a alta e a baixa tensão é infinita ou seja um circuito aberto Figura 59 Transformador com ligação em estrelaestrela com o neutro de um dos lados isolado da terra 178 Já no caso de transformador com ligação estrela aterrada na alta e delta na baixa tensão como os enrolamentos da baixa tensão fecham um circuito as correntes de sequência zero podem circular dentro do delta como é mostrado na Figura 510 Neste caso as correntes não circulam nos circuitos de alta e da baixa tensão como no caso do transformador com ligação estrela aterrada em ambos os enrolamentos mas apenas no circuito da alta tensão e no delta da baixa tensão e não há correntes de sequência zero no circuito de baixa tensão Figura 510 Transformador com as conexões em estrela e delta Os circuitos de sequência positiva e negativa são sempre idênticos ou seja a conexão entre os terminais de alta e de baixa tensão através da reatância de dispersão enquanto que os circuitos de sequência zero são função do tipo de ligação dos enrolamentos do transformador como mostrado nas Figuras 511 e 512 para transformadores de dois e de três enrolamentos 179 Figura 511 Diagramas de sequência de transformadores de dois enrolamentos sequência zero e sequência positiva 180 Figura 512 Diagramas de sequência de transformadores de três enrolamentos sequência zero e sequência positiva e negativa 181 No que diz respeito ao tipo de núcleo dos transformadores envolvido core ou envolvente shell estes apresentam um caminho diferente ao fluxo de sequência zero um valor diferente para a impedância de sequência zero como mostrado na Figura 513 Em transformadores com núcleo envolvente o fluxo fica todo contido no núcleo enquanto em transformadores com núcleo envolvido parte do fluxo fecha o circuito pelo ar e pelo tanque do transformador resultando em uma impedância de sequência zero menor para transformadores com este tipo de núcleo Normalmente se considera como infinita a impedância de sequência zero de transformadores em que a conexão dos enrolamentos é em estrela isolada porém como mostrado anteriormente poderá ocorrer um encadeamento de fluxo pelo núcleo e pelo tanque do transformador possibilitando a circulação de uma pequena corrente que poderá causar problemas a exemplo da atuação indevida da proteção Figura 513 Tipos de núcleo de transformadores Nota a envolvido b envolvente 525 Tensões de Sequência Os únicos componentes ativos nos sistemas elétricos são máquinas síncronas e estas por construção são apenas fontes de sequência positiva já que os fasores de tensão são simétricos e equilibrados e o sentido de rotação é positivo Assim não há fontes de sequência negativa nem de sequência zero Dos circuitos de sequência para um gerador a vazio Figura 54 podese escrever 182 1 1 1 1 a a a a V E Z I 2 2 2 0 a a a V Z I 0 0 0 0 3 a a n a V Z Z I 545 ou na forma matricial 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 I 0 I 0 I a a a a a a a a a a V E Z V Z V Z 546 e considerando que esta equação é válida para qualquer uma das três fases do sistema temse abreviadamente 1 1 1 1 2 2 2 0 0 0 I 0 I 0 I V E Z V Z V Z 547 526 Circuitos de Sequência A solução de um problema de um circuito com a condição de desequilíbrio seja um curto circuito uma carga desequilibrada uma linha não transposta etc utilizando componentes simétricas implica na solução de três circuitos de sequência positiva negativa e sequência zero Estes três circuitos são obtidos pela conexão das impedâncias dos equipamentos do sistema em estudo impedâncias estas analisadas na Seção 525 Efetuadas as conexões das impedâncias e obtidos os circuitos são então obtidas as impedâncias de sequência positiva negativa e zero vistas do ponto de curtocircuito A aplicação das equações das componentes simétricas 526 e 529 e das condições de curto circuito possibilita obter as correntes e tensões de curtocircuito para todo o sistema 183 EXEMPLO 57 Traçar os diagramas de sequência positiva negativa e zero para o sistema mostrado no diagrama SOLUÇÃO a diagrama de sequência positiva b diagrama de sequência negativa 184 c diagrama de sequência zero Observandose os circuitos de sequência do Exemplo 57 verificase que os circuitos de sequência positiva e negativa são idênticos a menos das fontes o circuito de sequência zero porém difere totalmente dos circuitos de sequência positiva e negativa em virtude dos tipos de conexão dos enrolamentos dos transformadores dos geradores e dos tipos de aterramento destes equipamentos É importante ressaltar também que nos circuitos de sequência positiva e negativa não havendo desequilíbrio não haverá corrente pelo neutro mas no circuito de sequência zero como a c b I I I não somam zero a cada instante estas correntes circularão pelo neutro e causarão quedas de tensão nas impedâncias que houver entre o neutro e a terra daí a necessidade de se considerar corretamente as impedâncias que houver entre o neutro dos equipamentos e a terra potencial nulo efetivo inclusive a resistência da própria terra 527 Potência em Termos de Componentes de Sequência Para se obter a potência total de um sistema trifásico quando este é desequilibrado é necessário obter a potência de cada uma das fases e depois somálas a c a a c c t b b b S S S S E I E I E I 548 Eventualmente poderá ser mais interessante calcular a potência diretamente a partir das componentes simétricas do que a partir das tensões e correntes de fase t a a t a a c c b b b b c c I E S E I E I E I E I E I EXEMPLO 56 Dadas as correntes de sequência ia1 5121º pu ia2 143733 pu ia0 68468º pu calcular as correntes das fases a b e c do sistema desequilibrado SOLUÇÃO Ėft if 549 Das Equações 527 e 528 têmse as tensões e correntes de fase em função das respectivas componentes simétricas que substituídas na Equação 549 resultam st A Ės t A is 550 Usando a propriedade das matrizes vem st Ėst A A is 551 efetuandose o produto At A temse como resultado a matriz identidade multiplicada por 3 ou seja 3I do que resulta ṡt 3 Ėst is 3Ėa1 ia1 3Ėa2 ia2 3Ėa0 ia0 552 EXEMPLO 58 Calcular a potência da carga de um circuito trifásico na qual as tensões são as dadas no Exemplo 51 e as correntes são as dadas no Exemplo 52 SOLUÇÃO Utilizando tensões e correntes de fase st 30280 x 10771222 40260 x 9807482 10165 x 3257451 st 323129222 392033482 32523951 st 675234470073 460445 j493894 pu Utilizando tensões e correntes em componentes simétricas st 3 x 16881000 x 51002100 3 x 088421057 x 14003733 3 x 224426025 x 6800468 st 25833100 371317327 457830705 st 675239470024 460319 j494019 pu 53 EQUAÇÕES NODAIS Os SEP são constituídos por fontes geradores síncronos que alimentam cargas impedâncias através de linhas de transmissão e transformadores impedâncias Têmse assim circuitos elétricos com tensões nos terminais dos diversos equipamentos nós ou barramentos e correntes fluindo nos equipamentos que interligam dois nós ramos Esses circuitos na sua forma mais simples são radiais e quando mais complexos formam malhas com vários nós e vários ramos Nesses circuitos têmse conhecidas as tensões das fontes aplicadas em determinados nós que fazem circular correntes nos ramos e que irão determinar tensão dos demais nós do circuito como os nós onde estão conectadas as cargas A solução desses circuitos implica em determinar a tensão de todos os nós do circuito e de todas as correntes dos ramos para verificar se as tensões dos nós estão adequadas dentro da faixa normal de operação do sistema e se as correntes estão dentro da capacidade dos equipamentos Para a solução de problemas de sistemas de potência de grande porte com grande número de nós e de ramos que formam malhas são utilizados sistemas de equações determinadas para os nós do circuito mediante a aplicação das leis de Kirchhoff das tensões ou das malhas e das correntes ou dos nós e são utilizados métodos matriciais com o uso de programas computacionais Os métodos matriciais utilizados são da matriz de admitâncias nodais e da matriz de impedâncias nodais 187 531 Matriz de Admitâncias Nodais A lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma das correntes em um nó é igual a zero sendo considerada positiva a corrente que entra e negativa a corrente que sai do nó As correntes que chegam e saem de um nó ou barramento de subestação são as correntes dos ramos que estão conectados ao nó e são determinadas pela diferença das tensões dos terminais de cada ramo multiplicada pela admitância do ramo Considerando o circuito formado pelos componentes do sistema elétrico utilizando se os modelos elétricos correspondentes a cada tipo de equipamento têmse fontes e cargas ligadas do nó para a referência ou terra bem como as admitâncias dos modelos dos equipamentos ligadas para a referência e impedâncias ligadas de um nó para outro Assim a tensão de nó é a tensão do nó para a referência e a corrente de nó é a corrente da fonte ligada ao nó da referência para o nó ou a corrente da carga ligada ao nó do nó para a referência ou ainda a soma das correntes dos ramos da referência para o nó devidas aos ramos para a referência dos modelos dos componentes do sistema Escrevendose as equações das correntes em cada nó independente do circuito do sistema obtémse um sistema de equações no qual são conhecidas as tensões dos nós e as admitâncias dos ramos Resolvendose o sistema de equações determinamse as correntes dos ramos Figura 514 Sistema elétrico Nota a sistema elétrico b circuitos malhas do circuito elétrico e admitâncias A Figura 514 mostra o diagrama unifilar de um sistema elétrico radial com gerador transformador elevador linha de transmissão transformador abaixador e carga com a fonte e a carga ligadas à terra referência e os elementos do sistema ligados entre dois nós Considerando a fonte sem impedância fonte ideal a carga e os componentes do sistema transformadores e de linha de transmissão como admitância e com os modelos considerados para os componentes do sistema obtémse o circuito elétrico no qual se tem cinco nós quatro do sistema mais um que é a referência as tensões e as correntes dos nós Escrevendo as equações para os nós temse E1E2 y12 E1 y12 E2 y12 i1 E2E1 y12 E2E3 y23 E2 y20 y12 E1 y12 y20 y23 E2 y23 E3 i2 E3E2 y23 E3E4 y34 E3 y30 y23 E2 y23 y30 y34 E3 y34 E4 i3 E4E3 y34 E4 y40 y34 E3 y34 y40 E4 i4 que colocadas na forma matricial resultam i1 i2 i3 i4 y12 y12 0 0 y12 y12 y20 y23 y23 0 0 y23 y23 y30 y34 y34 0 0 y34 y34 y40 E1 E2 E3 E4 e utilizandose a notação matricial temse a equação matricial i1 i2 i3 i4 y11 y12 y13 y14 y21 y22 y23 y24 y31 y32 y33 y34 y41 y42 y43 y44 E1 E2 E3 E4 ou matriz de admitâncias nodais usualmente denominada de matriz Ybarra Para a solução de circuitos utilizandose a matriz de admitâncias nodais Ybarra é necessário inicialmente obterse os elementos da matriz para o que há algoritmos próprios ou pela inversão da matriz Zbarra 189 O produto da matriz barra Y pelo vetor de tensões de nó resulta no vetor de correntes de nó do circuito A matriz de admitâncias nodais de um sistema elétrico é quadrada de dimensão n onde n é o número de nós do sistema sem contar o nó de referência simétrica exceto quando há transformadores defasadores no sistema e esparsa ou seja com muitos elementos nulos que em grandes sistemas pode chegar a mais de 95 dos elementos da matriz Para a utilização da matriz Ybarra na solução de problemas de SEP é usual utilizaremse algoritmos de armazenamento e de operações com matrizes esparsas o que possibilita utilizar menos memória computacional e também reduzir o tempo de computação para a solução do problema 532 Matriz de Impedâncias Nodais Utilizando a lei das tensões de malha de Kirchhoff e escrevendose as equações das tensões em cada malha independente do circuito do sistema obtémse um sistema de equações no qual são conhecidas as tensões e as impedâncias dos ramos Resolvendose o sistema de equações determinamse as correntes dos ramos Considerando o circuito formado pelos componentes do sistema elétrico e utilizando se os modelos elétricos correspondentes a cada tipo de equipamento têmse fontes e cargas ligadas do nó para a referência ou terra bem como as impedâncias dos modelos dos equipamentos ligadas para a referência e impedâncias ligadas de um nó para outro Assim a tensão de nó é a tensão do nó para a referência e a corrente de nó é a corrente da fonte ligada ao nó da referência para o nó ou a corrente da carga ligada ao nó do nó para a referência A Figura 515 mostra o circuito do sistema elétrico da Figura 514 o qual apresenta quatro nós independentes conectados pelas impedâncias dos componentes do sistema 190 Figura 515 Sistema elétrico Nota a sistema elétrico b circuitos malhas do circuito elétrico e impedâncias E utilizandose a notação matricial temse a equação 11 12 13 14 1 1 21 22 23 24 2 2 31 32 33 34 3 3 41 42 43 44 4 4 Z Z Z Z E I Z Z Z Z E I Z Z Z Z E I Z Z Z Z E I 556 ou matriz de impedâncias nodais usualmente denominada de matriz Zbarra Para obter a matriz de impedâncias nodais Zbarra utilizase um algoritmo próprio BROWN 1975 A matriz Zbarra também pode ser obtida pela inversão da matriz barra Y A matriz de impedâncias nodais de um sistema elétrico é quadrada de dimensão n onde n é o número de nós do sistema sem contar o nó de referência simétrica exceto quando há transformadores defasadores no sistema e cheia todos os elementos são diferentes de zero O produto da matriz Zbarra pelo vetor de correntes de nó resulta no vetor de tensões de nó do circuito 533 Formação de Matrizes Nodais Algoritmos desenvolvidos permitem a obtenção tanto da matriz Zbarra como da matriz Ybarra diretamente a partir da configuração do circuito do sistema sob análise e utilizando os parâmetros dos componentes do sistema e os respectivos modelos 191 5331 Formação da matriz Ybarra A formação da matriz Ybarra é preferida porque o algoritmo existente apresenta mais facilidade do que o algoritmo utilizado para a formação da matriz Zbarra e também porque esta matriz é esparsa exigindo menor quantidade de memória de armazenamento e maior velocidade de operações nos cálculos Das equações desenvolvidas para o circuito do sistema da Figura 514 obtémse o algoritmo para a formação da matriz barra Y com a obtenção dos elementos Yij a elementos da diagonal principal Yii soma das admitâncias conectadas ao nó i com i 1 2 n b elementos fora da diagonal principal Yij admitância conectada entre os nós i e j com j i com o sinal trocado sendo a soma das admitâncias conectadas entre os nós i e j no caso de circuitos em paralelo 5332 Formação da matriz Zbarra A formação da matriz Zbarra utiliza um algoritmo mais trabalhoso e mais demorado e leva à obtenção de uma matriz cheia o que implica em maior necessidade de memória de armazenamento da matriz e em maior tempo na execução dos cálculos BROWN 1975 A matriz Zbarra é também obtida pela inversão total da matriz Ybarra ou pela inversão parcial quando necessária apenas para alguns nós do sistema EXEMPLO 59 Para o sistema apresentado considerando SB 100 MVA a calcular a matriz barra Y b calcular a matriz Zbarra c calcular as tensões e correntes dos nós para a tensão no nó 4 carga igual a 100 000o pu d calcular as tensões e correntes dos nós para a tensão no nó 1 gerador igual a 103 000o pu 192 SOLUÇÃO Dados em pu Matriz de admitâncias Ybarra Colocando todos os dados do sistema na forma de admitâncias temse 193 Com o algoritmo de formação da matriz barra Y obtêmse os elementos da matriz e a matriz completa 11 12 12 12 21 12 22 12 20 23 23 23 32 23 33 23 30 34 34 12500 12500 12500 16080 206236 16080 82252 16080 82252 16080 206236 j j j j j j j Y y pu Y y pu Y y pu Y y y y pu Y y pu Y y pu Y y y y pu Y 34 43 34 44 34 40 12500 12500 12500 j j j y pu Y y pu Y y y pu 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 barra Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y 12 12 12 12 20 23 23 23 23 30 34 34 34 34 40 y y 0 0 y y y y y 0 0 y y y y y 0 0 y y y barra Y 00000 125000 00000 125000 00000 00000 00000 00000 00000 125000 16080 206236 16080 82252 00000 00000 00000 00000 16080 82252 16080 206236 00000 125000 00000 0000 barra j j j j j j j j Y j j j j j 0 00000 00000 00000 125000 00000 125000 j j j 194 Matriz de impedâncias Zbarra Colocando todos os dados do sistema na forma de impedâncias temse Com o algoritmo de formação da matriz Zbarra ou pela inversão da matriz Ybarra obtêmse os elementos da matriz e a matriz completa 1 barra barra Z Y 00058 j48094 00058 j48894 00058 j49483 00058 j49483 00058 j48894 00058 j48894 00058 j49483 00058 j49483 00058 j49483 00058 j49483 00058 j48894 00058 Zbarra j48894 00058 j49483 00058 j49483 00058 j48894 00058 j48094 Tensões e correntes dos nós para a tensão no nó 4 carga igual a 100 000o pu 11 12 13 14 1 1 21 22 23 24 2 2 31 32 33 34 3 3 41 42 43 44 4 4 Z Z Z Z E I Z Z Z Z E I Z Z Z Z E I Z Z Z Z E I Calculando as correntes dos nós considerando as tensões dos nós iguais a o 100 000 temse 1 2 3 4 04750 j00500 00000 j00000 00000 j00000 04750 j01562 I I I I 195 1 2 3 4 00058 j48094 00058 j48894 00058 j49483 00058 j49483 00058 j48894 00058 j48894 00058 j49483 00058 j49483 00058 j49483 00058 j49483 00058 E E E E 04750 j00500 00000 j00000 j48894 00058 j48894 00000 j00000 00058 j49483 00058 j49483 00058 j48894 00058 j48094 04750 j01562 1 2 3 4 10210 36670 10189 j00653 10233 15288 10229 j00273 10056 j00274 10060 15608 09931 j00654 09953 37677 o o o o E E pu E E Observações As correntes foram calculadas considerando para o nó 4 as condições de tensão e carga dadas e para o nó 1 considerando o reativo natural capacitivo da linha que causa uma corrente capacitiva no gerador Os resultados obtidos para as tensões não são corretos porque a corrente do nó 1 não é conhecida e não pode ser calculada isoladamente As tensões dos nós somente podem ser calculadas por meio de um processo iterativo como será mostrado no Capítulo 7 CurtoCircuito Tensões e correntes dos nós para a tensão no nó 1 gerador igual a 103 000o pu 11 12 13 14 1 1 21 22 23 24 2 2 31 32 33 34 3 3 41 42 43 44 4 4 Y Y Y Y I E Y Y Y Y I E Y Y Y Y I E Y Y Y Y I E Considerando as tensões dos demais nós iguais a 100 000 o temse 1 2 3 4 00000 125000 00000 125000 00000 00000 00000 00000 00000 125000 16080 206236 16080 82252 00000 00000 00000 00000 16080 82252 16080 206236 00000 125 I j j j j I j j j j j j j j I I 10189 j00653 10229 j00273 000 10056 j00274 00000 00000 00000 00000 00000 125000 00000 125000 09931 j00654 j j j j 196 1 2 3 4 04776 600 04750 j00500 00000 000 00000 j00000 00000 j00000 00000 000 04750 j01562 05000 16180 o o o o I I pu I I Observação São válidas as mesmas considerações do item Tensões e correntes dos nós para a tensão no nó 4 carga igual a 100 000o pu 5333 Inversão parcial de matrizes nodais As matrizes Ybarra podem ser invertidas parcialmente permitindo o cálculo de circuitos com a utilização simultânea de correntes e tensões de nó em um mesmo vetor O algoritmo para a inversão parcial de uma matriz é apresentado em Brown 1975 Tomandose a matriz Zbarra da Equação 556 e invertendose parcialmente para o nó 1 temse 11 12 13 14 1 1 21 22 23 24 2 2 31 32 33 34 3 3 41 42 43 44 4 4 Y Z Z Z I E Y Z Z Z E I Y Z Z Z E I Y Z Z Z E I 557 Com o que é possível calcular as tensões dos nós 2 3 e 4 de carga tendose a tensão E1 do gerador do nó 1 EXEMPLO 510 Calcular a inversa parcial da matriz Zbarra do Exemplo 59 para o nó 1 Calcular a corrente do nó 1 e a tensão dos nós 2 3 e 4 considerando a tensão do nó 1 e a corrente do nó 4 obtidas no Exemplo 59 197 SOLUÇÃO 00058 j48094 00058 j48894 00058 j49483 00058 j49483 00058 j48894 00058 j48894 00058 j49483 00058 j49483 00058 j49483 00058 j49483 00058 j48894 00058 Zbarra j48894 00058 j49483 00058 j49483 00058 j48894 00058 j48094 Com a inversão parcial da matriz Zbarra para o nó 1 temse 1 2 3 4 00003 j02079 10166 j00000 10289 j00024 10289 j00024 10166 j00000 00000 j00813 00002 j00823 00002 j00823 10289 j0 I E E E 10253 j01288 00000 00000 0024 00002 j00823 00238 j02018 00238 j02018 00000 00000 10289 j00024 00002 j00823 00238 j02018 00238 j02818 0475 j j 0 j01562 1 2 3 4 04646 634 04618 j00513 10335 510 10294 j00919 10124 j00379 10131214 09999 j00001 10000 000 o o o o I E E E pu 5334 Redução de matrizes nodais Quando não é necessário utilizar as condições de todos os nós do circuito para a realização dos cálculos necessários à solução do sistema as matrizes nodais podem ser reduzidas pela eliminação de linhas e colunas referentes aos nós não necessários com a utilização da redução de Kron como apresentado em Brown 1975 A matriz de impedâncias de uma linha de transmissão trifásica e com um cabo pararaios tem dimensão 4 x 4 aa ac ap ab ba bb bc bp ca cc cp cb pa pc pp pb Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z 198 Considerando que o cabo pararaios é aterrado em cada torre a tensão neste cabo é zero Para a obtenção da impedância da linha necessitase dos termos da matriz referentes apenas aos cabos fase mas que levem em consideração o efeito do acoplamento magnético com o cabo pararaios Efetuandose a redução de Kron para a linha e coluna referente ao pararaios temse 1 aa ac ap ab ap cp pp abc ba bb bc bp bp ca cc cp cb Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z EXEMPLO 511 Uma linha de transmissão de 230 kV utiliza condutores CAA 636 MCM e um cabo para raios de aço 38HS Os cabos fase estão em um plano horizontal separados por 78 m e a 248 m do solo e o cabo pararaios está no centro da torre a 340 m de altura Calcular a matriz de indutâncias para a linha dada por quilômetro considerando os cabos fase e o cabo pararaios e reduzir a matriz L pela eliminação do nó referente ao pararaios SOLUÇÃO Utilizando as equações para o cálculo de indutâncias de linhas de transmissão obtém se a matriz 00015 00001 00000 00004 00000 00013 00000 00003 00000 00001 00015 00004 00004 00003 00004 00016 ABCP L Hkm e efetuandose a redução de Kron para o nó referente ao pararaios temse 00015 00001 00000 00004 1 00000 00013 00000 00003 00004 00003 00004 00016 00000 00001 00015 00004 ABC L 199 00015 00001 00000 0000100 0000075 0000100 00000 00013 00000 0000075 0000056 0000075 00000 00001 00015 0000100 0000075 0000100 ABC L 00014 00000 00001 00001 00012 00001 00001 00000 00014 LABC Considerando os valores de indutância próprios elementos da diagonal principal e multiplicando por ω temse a reatância de serviço 05027 XLT km Ω PROBLEMAS 1 Calcular os parâmetros em pu considerando as bases de 100 MVA e 138 kV no barramento 1 Apresentar os resultados em diagrama unifilar na forma cartesiana 2 Calcular em pu os valores dos parâmetros dos componentes do sistema utilizando a base de 50 MVA e a base de tensão no barramento A igual a 138 kV 200 3 Calcular a tensão que deverá ser mantida no barramento A do sistema para que a tensão no barramento D seja 20 kV A carga nesse barramento é 110 MW com FP098 capacitivo Utilizar a potência base de 100 MVA e a tensão base de 138 kV no barramento A 4 Passar para pu os parâmetros do sistema mostrado no diagrama considerando as bases de 138 kV e 100 MVA no barramento 1 Apresentar os resultados na forma cartesiana sobre um diagrama unifilar Indicar no diagrama a tensão base de cada barramento 5 Para o diagrama dado passar para pu os parâmetros do sistema considerando as bases de 138 kV e 200 MVA no barramento 1 Apresentar os resultados na forma cartesiana sobre um diagrama unifilar 201 6 Passar para pu os parâmetros do sistema mostrado no diagrama considerando as bases de 345 kV e 50 MVA no barramento 1 Apresentar os resultados na forma cartes iana sobre um diagrama unifilar Indicar no diagrama a tensão base de cada barramento 7 Para o sistema mostrado no diagrama unifilar a seguir calcular a tensão no barramento 1 para que a tensão no barramento 4 seja mantida em 35 kV Os parâmetros já estão em pu nas bases 138 kV e 100 MVA no barramento 1 Apresentar o resultado final em pu módulo e ângulo e em kV na forma polar 8 Para o sistema mostrado no diagrama unifilar a seguir calcular a tensão no barramento 1 para que a tensão no barramento 5 seja mantida em 235 kV Utilizar as bases 138 kV e 100 MVA no barramento 1 Apresentar os parâmetros em pu 202 9 Calcular a tensão nos barramentos 1 e 2 do sistema a seguir A tensão no barramento 3 é mantida em o 1015 50 pu Utilizar as bases de 230 kV e 100 MVA no barramento 1 Apresentar os parâmetros em pu e o resultado final em pu módulo e ângulo e em kV na forma polar Considerar o tap do transformador em 220 kV Determinar as correntes de sequência positiva negativa e zero em que as correntes de fase são I I I a b o o C o 1 5 0 0 1 7 36 7 1 2 109 0 em pu Para o sistema dado determinar a diagrama unifilar com os dados em pu nas bases de tensão nominal e 100 MVA b diagrama unifilar de admitâncias com modelos pi de linhas e transformadores c matriz de admitâncias nodais d matriz de impedâncias nodais 10 11 203 REFERÊNCIAS BARTHOLD L O REPPEN N D HEDMAN D E Análise de circuitos de sistemas de potência 2 ed Santa Maria Universidade Federal de Santa Maria 1983 BROWN H E Solution of large networks by matrix methods New York Wiley 1975 GROSS C A Power system analysis 2nd ed New York J Wiley 1986 IEEE Recommended practice for power system analysis 1980 Disponível em http ieeexploreieeeorgdocument18478citations Acesso em 17 ago 2017 NEUENSWANDER J R Modern power systems New York International Textbook Company 1971 STEVENSON JR W D Elements of power system analysis New York McGrawHill 1982 WAGER C L EVANS R D FORTESCUE C L Symmetrical components as applied to the analysis of unbalanced electrical circuits Malabar EUA Robert E Krieger Publishing Company 1986 Disponível em httpsbooksgooglecombrbooksaboutSymmetricalcomponentsas appliedtothehtmlid3GUhAAAAMAAJredirescy Acesso em 01 fev 2018 ZANETTA JÚNIOR L C Fundamentos de sistemas elétricos de potência São Paulo Livraria da Física 2006 Esta página está em branco Análise de Sistemas Elétricos de Potência 1 INTRODUÇÃO Para a energia elétrica estar disponível para o consumidor final seja ele um simples domicílio comércio ou indústria são necessários diversos processos Esses processos estão relacionados a geração de energia transmissão e distribuição Garantir que a energia seja gerada com qualidade não é suficiente uma vez que na maioria dos casos a geração se encontra a grandes distâncias de onde a energia será utilizada Por essa razão há a linhas de transmissão que em altatensão tem como objetivo a condução de energia elétrica minimizando as perdas Para isso diversos mecanismos são utilizados envolvendo a redução da correnteuso de transformadores dimensionamento correto dos condutores cálculo de impedâncias entre outros Ainda assim perdas são inevitáveis e além delas a possibilidade de ocorrência de curtoscircuitos é significativa mesmo com um bom dimensionamento A análise de Sistemas Elétricos de PotênciaSEP geralmente é feita considerando o regime permanente Quando há a referência a curtoscircuitos deve se considerar que ele ocorre de forma rápidaidealmente e com grandes valores de tensão e corrente sendo assim tratase de um regime transitório O estudo desse tipo de condição é fundamental para correta projeção de dispositivos de proteção como relés fusíveis e disjuntores determinação de malhas para pararaios sobretensões no sistema entre outrosHIRT 2015 2 CURTO CIRCUITO Como referência será considerada uma potência de 500MVA e tensão de 500kV Será calculado curto circuito monofásico bifásico e trifásico Os valores base adotados serão de S 500MVA e V 500kV A Figura 1 representa o diagrama unifilar adotado como referência Figura 1 Diagrama Unifilar de Referência Fonte Kindermann 1997 O curto ocorrerá na barra c Assim Zbase 5000002500000000 500Ω Será adotado Z1pu 01 e Z0pu 03 e a impedância do transformador igual a 01 Impedância do gerador X1 015 e X0 005 Primeiramente é necessário esquematizar o circuito equivalente para as sequências positivas negativas e zero isso pode ser visto respectivamente na Figura 2 Figura 2 Sequência Positiva Negativa e zero Fonte Próprio autor 2023 21 CURTO MONOFÁSICO Para o curto monofásico o esquema na Figura 2 deve ser considerado como ligado em série Como a impedância no circuito de fase 0 é infinitacircuito aberto devido a configuração do transformador a corrente circulante será 0 O circuito modelo pode ser visto na Figura 3 Figura 3 Circuito para curto monofásico Fonte Próprio autor 2023 22 CURTO BIFÁSICO O esquema para o curto bifásico pode ser visto na Figura 4 Figura 4 Circuito para curto bifásico Fonte Próprio autor 2023 Ia1 Ia2 1 L 90º j035 j035 1428pu A corrente de cada fase pode ser calculada por meio de Ia 1 1 1 0 Ib 1 a² a 143 Ic 1 a a² 1428 L180º Desse modo Ia 0 Ib 2473 L 90ºpu e Ic 2473 L 90ºpu 23 CURTO TRIFÁSICO É esperado que o curtocircuito trifásico seja equilibrado não necessitando da análise de componentes simétricas Desse modo Ia 1 L 90 j035 2857pu Ib 2857 L120 pu Ic 2857 L120 pu 3 CONCLUSÕES A ocorrência de curto nas linhas de transmissão apesar de indesejado é um fenômeno que ocorre com relativa frequência Sendo assim dominar por meio da modelagem física e matemática o que ocorre se torna fundamental Nesse sentido a engenharia elétrica atualmente permite a utilização de circuitos equivalentes Para isso é necessário o conhecimento a respeito das configurações do transformador A partir disso é possível reconhecer a configuração que o circuito tomará Além disso nas faltas não equilibradas é necessário a determinação das componentes simétricas Caso não necessário nos circuitos trifásicos que são equilibrados Por meio das componentes simétricas juntamente as configurações assumidas pelo gerador e transformador é possível a resolução do problema de curtos como um circuito simples REFERÊNCIAS HIRT Wilson Eduardo Dreissig Análise de curtocircuito e afundamentos de tensão em sistemas elétricos de potência um estudo aplicado à expansão da geração no Rio Grande do Sul 2015 KINDERMANN Geraldo CURTOCIRCUITO Porto Alegre 1997