Dimensionamento de Peças Fletidas em Estruturas de Madeira

Estruturas de madeira 86 10 DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS FLETIDAS A verificação da segurança de peças fletidas consiste nas verificações dos estados limites últimos e dos estados limites de utilização Nos estados limites últimos são verificadas as tensões normais de tração e compressão as tensões cisalhantes e a estabilidade lateral para vigas esbeltas Nos estados limites de utilização são verificadas as deformações e vibrações limites 101 ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS PARA MOMENTO FLETOR 1011 Flexão simples reta Nas peças submetidas à flexão simples o plano de incidência do carregamento coincide com um dos eixos principais de inércia e não sofrem efeito do esforço normal Para peças com pelo menos um eixo de simetria um eixo principal de inércia coincide com o eixo de simetria A verificação dos estados limites últimos de esmagamento da borda comprimida e ruptura da borda tracionada ficam garantidos respectivamente pelas condições d c c sd c d f W M 0 0 σ e 101 d t t sd t d f W M 0 0 σ 102 onde c d σ 0 e σt 0 d são respectivamente as tensões atuantes de cálculo nas bordas comprimida e tracionada da seção transversal considerada conforme a Figura 43 com c W e t W correspondentes aos respectivos módulos de resistência da seção transversal da peça definidos por c c y W I e 103 t t y W I 104 I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo central de inércia perpendicular ao plano de ação do momento fletor atuante d cf 0 e d tf 0 são as resistência de cálculo à compressão e à tração paralela às fibras respectivamente Estruturas de madeira 87 Para cálculos das barras fletidas adotase para o vão teórico L o menor dos valores definidos a seguir L distância entre eixos apoiados vãolivre acrescido da altura da seção transversal da peça no meio do vão não se consideram acréscimo maior que 10 cm Figura 43 Tensões atuantes em peça seção T 1012 Flexão simples oblíqua Verificase a condição de segurança nas peças submetidos à flexão simples oblíqua observandose a mais rigorosa das condições expressas a seguir 1 wd Myd M wd Mxd f k f σ σ e 105 1 wd Myd wd Mxd M f f k σ σ 106 onde σMxd e σ Myd são as tensões máximas devidas às componentes de flexão atuantes segundo às direções principais de seção transversal da peça fwd é a resistência de cálculo que conforme a borda verificada corresponde à tração ou à compressão M k é um coeficiente de correção correspondente à forma geométrica da seção transversal considerada Seção Retangular 50 kM Outras Seções 01 kM d ação de plano de d M yt2 c1 y G M borda 2 t2d σ borda 1 σc1d Estruturas de madeira 88 1013 Estado limite último de instabilidade lateral A estabilidade lateral de peças fletidas deve ser verificada por teoria cuja validade tenha sido comprovada experimentalmente Nas vigas de seção retangular garantese esta verificação quando os apoios de extremidade da viga impedirem a rotação de suas seções externas em torno do eixo longitudinal da peça existir um conjunto de elementos de travamento ao longo do comprimento L da viga afastados de uma distância menor ou igual a L1 que também impeçam a rotação dessas seções transversais em torno do eixo longitudinal da peça atender a condição co d M co ef o b b f E b L β λ λ 107 onde b L é a distância entre os elementos de travamento b é a largura da seção transversal da viga βM é um coeficiente de correção expresso por 2 1 2 3 0 63 0 26 1 b h b h wc E M γ β π β 108 onde h é a altura da seção transversal da viga E β é um coeficiente de correção γwc é um coeficiente de ponderação de resistência à compressão Para 41 γwc e βE 4 a norma explicita os valores de βM dados na Tabela 18 Nas peças em que co d M co ef o b b f E b L β λ λ 109 devem ser satisfeitas as verificações de segurança para flexão simples reta com valor de c d σ 0 atendendo a M b co ef c d E λ β σ 0 1010 Tabela 18 Coeficiente de correlação βM Estruturas de madeira 89 h b βM 1 60 2 88 3 123 4 159 5 195 6 231 7 267 8 303 9 340 10 376 11 412 12 448 13 485 14 521 15 558 16 594 17 630 18 667 19 703 20 740 102 ESTADOS LIMITES ÚLTIMO PARA SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS 1021 Estado limite último para esforço cortante na flexão simples reta A condição de segurança em relação às tensões cisalhantes em peças submetidas à flexão com força cortante é expressa por vo d d f τ 1011 onde d τ é a máxima tensão de cisalhamento atuando no ponto mais solicitado da peça fvo d é a resistência ao cisalhamento paralelo as fibras Em vigas com seção retangular de largura b e altura h d τ é expresso por bh Vd d 2 3 τ 1012 onde d v é o esforço cortante de cálculo Em vigas de altura h que recebem cargas concentradas e por sua vez geram tensões de compressão nos planos longitudinais o calculo de d τ utiliza um valor reduzido para o esforço cortante expresso por Estruturas de madeira 90 h a v v red 2 1013 onde a é a distância do ponto de aplicação da carga ao eixo do apoio limitada por h a 2 Em vigas cuja seção transversal sofre bruscas variações decorrentes de entalhes Figura 44 d τ é dado por 1 2 3 h h bh Vd τd 1014 onde 1 h é a altura da seção mais fraca ou seja que sofreu redução por entalhe hh1 é um fator de amplificação para d τ cujo valor se restringe 3 4 hh1 Figura 44 Variação de seção devido a entalhe NBR 71901997 Nos casos em que 3 4 hh1 recomendase utilizar parafusos verticais dimensionados à tração axial obtida pela totalidade do esforço cisalhante atuante ou adotar variações de seção através do emprego de mísulas cujo comprimento seja maior ou igual a três vezes ao altura do entalhe contudo devese respeitar o limite absoluto h h1 2 Figura 45 Variação de seção duplo T devido a entalhe NBR 71901997 1022 Estado limite último para esforço cortante na flexão oblíqua Recomendase neste caso determinar para o mesmo ponto as tensões cisalhantes para cada componente de esforço cortante dx V e Vdy de acordo com a fórmula de Zuravischi calculando em seguida a tensão tangencial resultante h1 h h1 h h h1 h 3hh 1 1 h Estruturas de madeira 91 t I S V x x dy τdy 1015 t I S V y y dx τdx e 1016 2 2 dy dx d τ τ τ 1017 103 ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO 1031 Estados limites de deformações 10311 Deformações limites para construções correntes É verificado o estado limite de deformações excessivas que possam afetar a utilização normal da construção ou seu aspecto estético Para as ações permanentes as flechas podem ser compensadas por contra flechas dadas na construção A flecha efetiva obtida com a combinação de ações do item 6421 deve atender às seguintes limitações balanço do o compriment vão do fd 100 1 200 1 No caso de flexão oblíqua permitese atender os limites anteriores para cada plano de flexão isoladamente 10312 Deformações limites para construção com materiais frágeis não estruturais É verificado o estado limite de deformações que possam causar danos aos materiais frágeis não estruturais ligados à estrutura As flechas totais obtidas com a combinação de média ou curta duração itens 6422 e 6423 incluindo efeito da fluência têm seus valores limitados por o do balanço compriment vao do 175 1 350 1 f Estruturas de madeira 92 As flechas que correspondem somente às ações variáveis têm seus limites fixados em comprimento do balanço do cm vao do 150 1 51 300 1 f 10313 Deformações limites para construções especiais As deformações têm seus limites estabelecidos pelo proprietário da construção ou por normas especiais referentes às mesmas 104 ESTADOS LIMITES DE VIBRAÇÕES Devem ser evitadas as vibrações excessivas nas estruturas através das disposições construtivas adequadas de modo que assegure o conforto e a segurança dos usuários na utilização das mesmas Estruturas regularmente utilizadas tais como pisos de residências e de escritórios deve ser obedecido o limite de freqüência natural de vibração igual a 8 Hz Em construções correntes tal condição é satisfeita se a aplicação do carregamento correspondente à combinação de curta duração resultar uma flecha imediata que não exceda o valor de 15 cm 105 EXEMPLOS 1051 Dimensionamento de viga submetida à flexão simples Uma viga biarticulada de 6 cm de largura está submetida a um carregamento permanente distribuído de 65 daNm e uma carga concentrada permanente de 130 daN no ponto médio do vão de 420 cm Calcular a altura necessária da viga considerando madeira da classe C 40 e ações permanentes de grande variabilidade considerando situação duradoura de projeto com carregamento de longa duração e a classe de umidade igual a 2 Estruturas de madeira 93 Figura 46 Viga biapoiada Esforços atuantes Momento fletor M daNm Valor característico Cortante função de h redução na região próxima aos apoios V daN Valores característicos Redução da força cortante na região do apoio Valores de cálculo n j Qj k j Q k Q k Gi m i Gi d F F F F 2 0 1 1 ψ γ γ daN cm M M d d 39200 28000 41 daN daN Vd 2821 2015 41 2 2 0 109200 19500 0 56 cm daN cm daN E c ef Tensões 2 3 39200 2 6 12 39200 h daN cm h h daN cm I y M c d Md σ 6 h 420 130 65 280 2015 2h 201513h 65 65 2h 2015 Estruturas de madeira 94 V 2821 g 3 Me 3 2821 daN 705 daN ys 377m 2bh 2 6cmh h cm Condig6es de seguranga tr Piva Kinod et Yw foo 056 400 160 aN 14 cm Tensao normal 39200 daN God Ong Oa Seoa 39200 daN 1 69 AN h2156 cm h cm Cisalhamento 60 daN 056 187 Svoa 18 cm 705 daN tq h cm Tia Sood 2 105 dan 137 oN h377cm h cm cm Flecha Ua util Lu LW ou Ua tit Lu 4 3 Fak Fak 6 Le 384E gpl 48E oy 200 5 065 daN cm420 cm 130 daN 420 cm 420cm 3 3 200 384 109200 Gcmn 4g 109200 0 6cmn cm 12 cm 12 h21594 cm Adotase a maior altura encontrada ou seja 1 1594 cm 1052 Verificagao de viga submetida a flexao simples Verificar a viga em angelim pedra que sera executada em local com classe de umidade 2 sabendo que a acao permanente é de grande variabilidade e que as agdes variaveis sao causadas por sobrecargas acidentais Angelim pedra fiok Estruturas de madeira 95 598 MPa Eom 12912 MPa a secao transversal de 6 cm x 16 cm os carregamentos atuantes sao dados pelo peso prdprio e o piso g 65 daNmea sobrecarga Q 130 daN Kmog 056 O A Z Z B 21m 21m Roteiro Calculo da combinagao de carregamentos normais para estado limite ultimo e estado limite de utilizagao Verificagao de cada um dos trés critérios de projeto de pecas submetidas a flexao simples Tensodes normais Od S feo O04 S Tio Yc 14 solicitagao de compressao Tensao de cisalhamento TiS fv0d YW 18 solicitagao de cisalhamento Deformacoes limites Ues Combinagao de estado limite de utilizagao entre UgtUQ S Ulm ONde Ulm dado por L200 nos vaos e L100 nos balancos Uma vez que todas as condigoes de segurana para flexao simples sejam atendidas tensdes normais tensdes de cisalhamento e deformagoées limites a peca pode ser classificada como segura de acordo com a NBR 71901997 1053 Dimensionamento do vao de uma ripa Para uma cobertura em madeira serrada localizada em uma regiao de classe de umidade 2 determinar 0 vao de uma ripa de 60 mm x 30 mm em Pinus taeda de 25 anos considerandoa isostatica e submetida ao seguinte carregamento peso de telha de 01856 Nmm peso da ripa de 00079 Nmm e sobrecarga de 00897 Nmm Considerar as combinagoes Ultimas normais Estruturas de madeira 96 As características físicomecânicas da madeira são as seguintes ρap 440 kgm³ Ecom 8550 MPa fcok 33 MPa ftok 57 MPa fvok 284 MPa fMk 47 MPa a Vista em planta b Vista em corte c Esquema estrutural Figura 47 Ripas A ripa ilustrada na Figura 47 está submetida à flexão oblíqua e para determinarse o máximo vão a que ela pode estar submetida devem ser observados os critérios de segurança para os estados limites de último e de utilização simultaneamente Quanto ao estado limite último têmse os critérios de segurança às tensões normais em flexão oblíqua e ao cisalhamento paralelo às fibras Quanto ao estado limite de utilização temse a verificação da flecha nas direções x e y da ripa considerando uma combinação de longa duração visto que não foi especificada a existência de materiais frágeis fixados às ripas Estado limite último Tensões normais 1 wd Myd M wd Mxd f k f σ σ 1 wd Myd wd Mxd M f f k σ σ 1 Tensões cisalhantes d v d f 0 τ 2 Estado limite de utilização lim max f f 3 Inicialmente determinarseão as resistências de cálculo do Pinus taeda A resistência de cálculo é dada por γ k d f k f mod 4 sendo kmod o produto de vários coeficientes modificativos determinados em função da duração do carregamento da classe de umidade do local e da categoria da madeira utilizada L Ripas Caibros Corte AA L Ripas Caibros Corte AA x x y y 30 mm 25 Corte AA 60 mm 25 x x y y 30 mm 25 Corte AA 60 mm 25 L A L A Estruturas de madeira 97 mod 3 mod 2 mod1 mod k k k k 5 Para combinações últimas normais a NBR 71901997 prescreve que as ações variáveis devem ser consideradas de longa duração portanto kmod1 07 Para classe de umidade 2 kmod2 10 e para coníferas kmod3 08 Substituindo esses valores na eq 5 temse kmod 0 56 6 Dessa forma as resistências de cálculo são c k c c d f k f γ 0 mod 0 7 2 6 0 10 13 2 13 2 41 0 56 33 m N MPa MPa f c d 8 v k v v d f k f γ 0 mod 0 9 MPa MPa f c d 0 883 81 2 84 0 56 0 10 m c c ef E k E 0 mod 0 11 MPa MPa E c ef 4788 0 56 8550 0 12 A Figura 48 ilustra as ações atuantes sobre a ripa A ação devida ao vento v 0144 Nmm atua no plano principal yy da ripa Figura 48a enquanto que as ações permanentes devidas ao peso da telha e da ripa g 01935 Nmm e a sobrecarga q 00897 Nmm atuam no plano vertical Figura 48b As ações verticais devem ser decompostas segundo as direções principais de inércia da ripa a fim de serem determinados os momentos fletores e esforços cisalhantes atuantes em cada plano Figura 48bc a Ação de vento b Ações permanentes c Sobrecarga Figura 48 Ações atuantes na ripa As componentes x e y das ações permanentes g 1935 Nm Figura 48b são x x y y 25 Corte AA v x x y y 25 Corte AA v x x y y 25 gy 25 Corte AA gx g x x y y 25 gy 25 Corte AA gx g x y y 25 25 Corte AA qx q x y y 25 25 Corte AA qx q Estruturas de madeira 98 N m sen N m g sen g x 8178 25 193 5 25 e 13 N m N m g g y 17537 cos 25 193 5 cos 25 14 enquanto que as componentes x e y da ação variável q 897 Nm Figura 48c são N m sen N m q sen qx 3791 25 89 7 25 e 15 N m m N q q y 81 3 cos 25 89 7 cos 25 16 De posse das componentes das ações nas direções principais de inércia da ripa podem ser determinados os esforços internos necessários para o dimensionamento O esquema estrutural da ripa tanto na direção x quanto na direção y é o de uma viga biapoiada com carregamento uniformemente distribuído cujos diagramas de esforços internos estão ilustrados na Figura 49 Figura 49 Diagrama de esforços da ripa Os momentos fletores máximos atuantes nas ripas nas direções x e y devidos às ações permanentes Figura 48b são 2 2 2 1023 8 78 81 8 N m l N m l g l M x yg e 17 2 2 2 2192 8 35 175 8 N m l N m l g l M y xg 18 B A V 0 M x x 0 aL2 aL2 a L a aL 2 aL 2 Estruturas de madeira 99 Os momentos fletores atuantes nas ripas devidos à sobrecarga Figura 48c são 2 2 2 4 74 8 91 37 8 N m l N m l q l M x yq e 19 2 2 2 1016 8 3 81 8 N m l N m l q l M y xq 20 O momento fletor devido ao vento Figura 48a é 2 2 18 0 8 144 0 l N m N m l M vx 21 Os esforços cortantes máximos devidos às ações permanentes são N ml l N m V yg 8768 2 17535 e 22 N ml l N m V xg 4089 2 8178 23 Os esforços cortantes máximos devidos à ação variável são N ml l N m V yq 4065 2 81 3 e 24 N ml l N m V xg 1896 2 3791 25 O esforço cortante máximo devido ao vento é N ml l N m V xg 72 0 2 144 0 26 Para a determinação do vão L da ripa considerandose os estados limites últimos temse que verificar duas combinações possíveis de ações para uma situação duradoura de projeto a combinação peso próprio e sobrecarga e a combinação peso próprio e vento para as direções x e y Assim sendo obtémse Q Q G G d M M M γ γ 27 V Q G G d M M M γ γ 0 75 28 Q Q G G d V V V γ γ 29 V Q G G d V V V γ γ 0 75 30 Portanto as combinações nas direções x e y são dadas por 2 2 2 2096 4 74 41 1023 41 N m l N m l N m l M yd 31 2 2 2 4491 1016 41 2192 41 N m l N m l N m l M xd 32 2 2 2 1432 0 41 0 75 1023 41 N m l N m l N m l M yd 33 2 2 2 4959 18 0 41 0 75 2192 41 m l N N m l N m l M xd 34 Estruturas de madeira 100 N ml m l N N m l V yd 17966 4065 41 8768 41 35 N ml N m l N m l Vxd 8379 1896 41 4089 41 36 N ml N m l N m l Vxd 5725 0 41 0 75 4089 41 37 N ml N m l N m l V yd 19837 72 0 41 0 75 8768 41 38 A partir dos esforços de cálculo determinados podese verificar os estados limites últimos A verificação do estado limite último para as tensões normais às fibras para a flexão oblíqua é dada pela Equação 1 Portanto determinarseão as variáveis da equação xx c x d M I y M d x 1 σ 39 4 6 3 0135 10 12 0 03 0 06 m m m I xx 40 4 6 3 0 54 10 12 0 06 0 03 m m m I yy 41 2 6 4 6 2 10 4 99 0135 10 0 015 91 44 l N m m m m l N Mx d σ 42 2 6 4 6 2 1 10 1164 0 54 10 0 03 96 20 l N m m m l N m I x M yy c y d M y d σ 43 Para seções retangulares a NBR 71901997 prescreve kM 05 Então substituindo as variáveis nas Eq 1a e b têm se duas inequações d cf l N m l m N 0 2 6 2 6 10 1164 50 10 4 99 44 N m N m l 5 572 10 10 2 13 6 2 6 2 45 m l 1 54 46 e d cf l N m l m N 0 2 6 2 6 10 1164 10 4 99 50 47 N m N m l 3 659 10 10 2 13 6 2 6 2 48 m l 1 90 49 Estruturas de madeira 101 A condição de segurança do estado limite último de cisalhamento Eq 2 fornece outra inequação que também deve ser atendida Para uma seção retangular a tensão cisalhante máxima é dada por A V f d vo d d 2 3 τ 50 A combinação mais desfavorável quanto ao cisalhamento é a do peso próprio e do vento Dessa forma efetuarseá a verificação desta combinação Para a direção y temse N m l m l N m A Vyd yd 3 2 1653083 0 0018 19837 2 3 2 3 τ e 51 para a direção y temse N m l m N m l A Vxd xd 3 2 477083 0 0018 5725 2 3 2 3 τ 52 sendo a tensão cisalhante resultante é dada por m l N y d x d d 3 2 2 172055 0 τ τ τ 53 Substituído os valores na Eq 2 temse 2 6 3 0 883 10 172055 0 m N l m N d τ 54 m l 513 55 Utilizando as condições de segurança para o estado limite de utilização para a combinação de longa duração na qual a flecha limite é de 200 lim l f 56 Esta condição tem que ser obedecida tanto na direção x como na direção y Empregando o princípio da superposição dos efeitos a flecha máxima na ripa é obtida pela combinação ponderada das flechas originadas pelas ações permanentes e variável A flecha máxima provocada por uma carga uniformemente distribuída é dada pela Eq 3 As flechas máximas originadas pelas ações permanentes nas direções x e y são 4 3 4 4 6 2 6 4 412 10 0 54 10 4788 10 8178 384 5 l N m m N m N m l f xG e 57 Estruturas de madeira 102 4 3 4 4 6 2 6 4 3533 10 0135 10 4788 10 17537 384 5 l N m m N m N m l f yG 58 As flechas máximas originadas pela ação variável nas direções x e y são 4 3 4 4 6 2 6 4 191 10 0 54 10 4788 10 3791 384 5 l N m m N m N m l f xQ e 59 4 3 4 4 6 2 6 4 1638 10 0135 10 4788 10 813 384 5 l N m m N m N m l f yQ 60 Comparando a flecha máxima na direção x com a flecha limite temse xQ xG xd f f f ψ 61 200 191 10 20 412 10 4 3 4 4 3 4 l l N m l N m f xd 62 3 3 1111 m l 63 m l 2 33 64 Comparando a flecha máxima na direção y com a flecha limite temse yQ yG yd f f f ψ 65 200 1638 10 20 3533 10 4 3 4 4 3 4 l l N m l N m f xd 66 3 4 3 200 38606 10 m l 67 m l 1 09 68 O máximo vão da ripa é o menor valor de l encontrado pelas expressões 46 49 55 64 e 68 ou seja l 109 m Adotarseá l 10 m 1054 Dimensionamento de terça Dimensionar uma terça submetida a uma carga permanente vertical distribuída de 50 daNm e uma carga acidental vertical de 65 daN concentrada no ponto médio do vão livre de 375 m para situação duradoura de projeto Considerar uma inclinação no telhado de 22 madeira da classe C 60 classe de umidade igual a 2 e classe de carregamento de longa duração Estruturas de madeira 103 Esforços atuantes Na direção x daNcm M M xd xd 19319 5650 41 8149 41 2 3 115914 2 12 19319 bh bh h xc xt σ σ Na direção y daNcm M M yd yd 7805 2283 41 3292 41 b h h b b M yc M yt 2 3 115914 2 7805 12 σ σ Valores de resistência 2 0 0 240 daN cm f f d c t d Condições de segurança 1 1 wd d My wd Mx d M wd My d M wd Mx d f f k f k f σ σ σ σ 1 195 483 50 1 195 50 483 2 2 2 2 b h bh b h bh Adotandose seção de 6 cm 12 cm temse 1 0 45 0 28 1 0 23 0 56 OK 1055 Verificação de terça Para a seção adotada no exemplo 2 verificar a terça para o estado limite de utilização Combinações para construção corrente Ψ q g d util F F F 2 onde Ψ 20 2 Não há predominância de pesos de equipamentos fixos 50 daNm 65 daN 375 cm h b 22 x y Estruturas de madeira 104 q g d util F F F 20 Separar na direção x e y 121 46 4 60 3 20 46 4 Fx 94 18 7 24 2 20 18 7 Fy cm cm L v I E L F I E L F v ef c d qx ef c gx d x d 188 114 019 103 200 48 1 384 5 0 3 0 4 OK cm cm L v I E L F I E L F v ef c d qy ef c gy d y d 188 185 019 166 200 48 384 5 0 3 0 4 OK Estruturas de madeira 105 11 DIMENSIONAMENTO DE PEÇAS EM FLEXÃO COMPOSTA 111 ESTADOS LIMITES ÚLTIMO 1111 Flexotração Nas barras submetidas à flexotração oblíqua a segurança deve ser verificada por meio de duas condições de resistência aplicadas ao ponto mais solicitado da borda mais tracionada considerandose a influência linear para as tensões decorrentes do esforço normal de tração 1 0 0 0 d t Myd M d t d Mx d t Nt d f k f f σ σ σ e 111 1 0 0 0 d t Myd d t Mx d M d t Nt d f f k f σ σ σ 112 onde σNtd é o valor de cálculo da parcela de tensão normal atuante em virtude apenas da força normal de tração ft0d é a resistência de cálculo à tração paralelas às fibras σMxd e σ Myd são as tensões máximas devidas às componentes de flexão atuantes segundo as direções principais KM é o coeficiente de correção relacionado à forma geométrica da seção transversal da peça caracterizado no item referente à flexão simples oblíqua 1112 Flexocompressão 11121 Condições de resistência A segurança de barras submetidas à flexocompressão oblíqua é assegurada pelo atendimento de duas condições de resistências aplicadas ao ponto mais solicitado da borda mais comprimida considerandose uma função quadrática para a influência das tensões devidas ao esforço normal 1 0 0 2 0 d c M M d c M d c Nc d f k f f yd x d σ σ σ e 113 1 0 0 2 0 d c M d c M M d c Nc d f f k f yd x d σ σ σ 114 onde σNcd é o valor de cálculo da parcela da tensão normal atuante em virtude apenas dos esforços de compressão fc0d é a resistência de cálculo à compressão Estruturas de madeira 106 paralela às fibras σMxd e σMyd são as tensões máximas devido às componentes de flexão atuantes segundo as direções principais KM é o coeficiente de correção relacionado à forma geométrica da seção transversal da peça caracterizada no item referente à flexão simples oblíqua 11122 Condições de estabilidade Além das condições de resistências estabelecidas acima as barras submetidas à flexão composta oblíqua devem atender duas condições de estabilidade 1 0 0 0 d c M M d c M d c Nc d f k f f yd x d σ σ σ e 115 1 0 0 0 d c M d c M M d c Nc d f f k f yd x d σ σ σ 116 Com as tensões normais devidas aos momentos fletores Mxd e Myd amplificadas pelos efeitos de segunda ordem correspondentes as peças esbeltas e semiesbeltas de acordo com as definições estabelecidas no Capítulo 9 para o dimensionamento das barras axialmente comprimidas Considerandose naquelas expressões que a i e e e 1 para peças semiesbeltas 117 c a c i ef e e e e e 1 para peças esbeltas 118 onde sd sd i N e M 119 sendo Msd o momento fletor de cálculo de primeira ordem x ou y dependendo do eixo que esteja sendo verificado e Nsd o esforço normal solicitante de cálculo Em cada uma das expressões acima somente a parcela não minorada pelo fator KM deve ser amplificada pelo efeito de segunda ordem No caso das peças esbeltas a excentricidade de fluência é determinada pela expressão Ψ Ψ Ψ Ψ Φ 1 exp 2 1 2 1 qk gk E qk gk a ig c N N N N N e e e 1110 com gd gd ig N M e e as demais exatamente como definidas no Capítulo 9 Estruturas de madeira 107 112 ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO Resumese nas limitações de deslocamentos tal como visto no Capítulo 10 113 EXEMPLO Um pilar com madeira da classe C 60 seção quadrada de 12 cm x 12 cm altura de 360 cm biarticulado está submetido a uma ação permanente de grande variabilidade de 1285 daN com excentricidade de 3 cm como apresentado abaixo e a uma ação variável distribuída devida a vento de 35 daNm Figura 50 Verificar se a seção é suficiente para resistir às tensões atuantes Figura 50 Pilar em madeira Esforços atuantes Tensão normal 2 12 5 12 12 41 1285 cm daN A N d d d σ σ Tensão de flexão Ação permanente 3855 daNcm 1285 3 M kp Ação variável 5670 daNcm 8 0 35 360 M 2 k v 360 cm Ngk1285 daN com e3 cm 35 daN 12 cm 12 cm Estruturas de madeira 108 2 3 Md d cm 394 daN 6 12 11351 11351 daNcm 14 5670 0 75 14 3855 M σ Verificação da resistência Como σMyd 0 e M K 05 para seções retangulares a situação mais crítica é 1 0 33 01 240 394 240 12 5 01 f f 2 0d c Md 2 0d c Ncd σ σ OK Verificação da estabilidade Índice de esbeltez 80 104 12 12 360 i L mín 0 λ Peça esbelta As tensões atuantes são devidas ao esforço normal e à flexão A devido ao esforço normal é 2 Nd cm 12 5 daN σ A devido à flexão apresenta uma parcela devida à carga distribuída e outra devido à carga concentrada A parcela devida à carga distribuída é 2 Mkx 2 kx 20 daN cm 5670 daN cm M σ A parcela devida à carga concentrada é d E E 1ef d d x N F F e N M 18055 daN 360 56 245000 12 0 L E F 2 3 2 2 0 c0ef 2 E π Ι π c a i 1ef e e e e cm 36 1800 11351 N M M N M e d 1 q d g d 1 d 1d i ea L0300 12 cm ec devido à fluência 1 e e e e n a ig c Com Estruturas de madeira 109 qk 2 1 gk E qk 2 1 gk N N F N N n ψ ψ ψ ψ φ cm 03 1800 14 3855 N M e d g 1 g d ig cm 30 1 e 21 03 e 0 06 0 20 0 1285 18055 0 0 2 0 1285 80 n 006 c cm 87 30 21 36 e ef 1 2 3 Mdx dx cm 54 daN 6 12 15595 15595 daNcm 18055 1800 18055 87 1800 M σ Esforço crítico na direção x 1 30 240 54 240 13 01 f f 0d c Md 0d c Nd σ σ OK 12 PEÇAS COMPOSTAS As seções comercialmente disponíveis de peças de madeira possuem dimensões limitadas Esta limitação pode ser contornada com o uso de peças compostas que ao serem solicitadas atuam como um elemento único O uso de peças compostas ou peças múltiplas cuja seção é formada por duas ou mais peças é usual em treliças pilares ou vigas A união entre as peças pode ser feita pelo uso de adesivo adequado ou por dispositivos de ligação tais como cavilhas pinos metálicos parafusos ou pregos e conectores anéis metálicos Os critérios de segurança para verificação dos estados limites são os mesmos apresentados anteriormente para elemento maciço porém com redução da rigidez do elemento em função da deformabilidade das ligações entre as peças que compõem a seção transversal As peças compostas por elementos justapostos solidarizados continuamente podem ser consideradas como se fossem peças maciças com as restrições adiante estabelecidas Estruturas de madeira 110 121 PEÇAS COMPOSTAS DE SEÇÃO T I OU CAIXÃO LIGADAS POR PREGOS As peças compostas por peças serradas formando seção T I ou caixão Figura 51 solidarizadas permanentemente por ligações rígidas por pregos dimensionadas ao cisalhamento como se a viga fosse de seção maciça solicitadas a flexão simples ou composta podem ser dimensionadas como peças maciças com seção transversal de área igual à soma das áreas das seções dos elementos componentes e momento de inércia efetivo dado por th r ef I I α 121 onde Ith é o momento de inércia da seção total da peça como se ela fosse maciça sendo para seções T αr 095 Figura 51a para seções I ou caixão αr 085 Figura 51bcd a b c d Figura 51 Secções compostas Na falta de verificação específica da segurança em relação à estabilidade da alma recomendase o emprego de enrijecedores perpendiculares ao eixo da viga com espaçamento máximo de duas vezes a altura total da viga 122 PEÇAS COMPOSTAS COM ALMA EM TRELIÇA OU DE CHAPA DE MADEIRA COMPENSADA OU OSB As peças compostas com alma em treliça formada por tábuas diagonais e as peças compostas com alma formada por chapa de madeira compensada ou por OSB Oriented Strand Board devem ser dimensionadas à flexão simples ou composta considerando exclusivamente as peças dos banzos tracionadas e comprimido sem redução de suas dimensões A alma dessas vigas e as suas ligações com os respectivos banzos devem ser dimensionadas ao cisalhamento como se a viga fosse de seção maciça Estruturas de madeira 111 123 PEÇAS COMPOSTAS DE SEÇÃO RETANGULAR LIGADAS POR CONECTORES METÁLICOS As vigas compostas de seção retangular ligadas por conectores metálicos solicitadas à flexão simples ou composta suposta uma execução cuidadosa e a existência de parafusos suplementares que solidarizem permanentemente o sistema podem ser dimensionadas à flexão em estado limite último como se fossem peças maciças reduzindose o momento de inércia da seção composta adotando th r ef I I α 122 é o valor efetivo e Ith o seu valor teórico Para dois elementos superpostos αr 085 e para três elementos superpostos αr 070 Os conectores metálicos devem ser dimensionados para resistirem ao cisalhamento que existiria nos planos de contato das diferentes peças como se a peça fosse maciça 124 ESTABILIDADE DE PEÇAS COMPOSTAS 1241 Peças solidarizadas continuamente A estabilidade das peças compostas por elementos justapostos solidarizados continuamente pode ser verificada como se elas fossem maciças com as restrições impostas anteriormente 1242 Peças solidarizadas descontinuamente As peças compostas solidarizadas descontinuamente por espaçadores interpostos ou por chapas laterais de fixação Figura 52 devem ter sua segurança verificada em relação ao estado limite último de instabilidade global Para as peças compostas por dois ou três elementos de seção transversal retangular permitese a verificação da estabilidade como se elas fossem de seção maciça nas condições adiante estabelecidas Estruturas de madeira 112 Figura 52 Peças solidarizadas descontinuamente NBR 71901997 Os espaçadores devem estar igualmente afastados entre si ao longo do comprimento L da peça A sua fixação aos elementos componentes deve ser feita por ligações rígidas com pregos ou parafusos Permitese que estas ligações sejam feitas com apenas 2 parafusos ajustados dispostos ao longo da direção do eixo longitudinal da peça afastados entre si de no mínimo 4d e das bordas do espaçador de pelo menos 7d desde que o diâmetro de préfuração do seja feito igual ao diâmetro d do parafuso Nessa verificação para as seções mostradas na Figura 52 admitemse as seguintes relações Estruturas de madeira 113 Figura 53 Seções compostas por dois ou três elementos iguais NBR 71901997 Seção do elemento componente 1 1 1 A b h 123 12 3 1 1 1 I b h 124 12 3 1 1 2 h b I Seção composta y I ef y 2 1 1 2 y 1 x 1 I I 2 A a n I I n I I n A A β com 125 y y 2 2 2 2 I I I m I m α β 126 Onde m número de intervalos de comprimento L1 em que fica dividido o comprimento L total da peça αy 125 para espaçadores interpostos αy 225 para chapas laterais de fixação L1 m L Estruturas de madeira 114 A verificação deve ser feita como se a peça fosse maciça de seção transversal com área A e momentos de inércia Ix e Iyef Nessa verificação as condições de segurança especificadas com relação à estabilidade são representadas por cod ef y 2 1 1 d 2 ef y 2 d d f I 1 n I 2 a A M W I M I A N 127 Onde b 2 I W 1 2 2 128 A segurança dos espaçadores e de suas ligações com os elementos componentes deve ser verificada para um esforço de cisalhamento cujo valor convencional de cálculo é dado por 1 1 vod 1 d a L V A f 129 Dispensase a verificação da estabilidade local dos trechos de comprimento L1 dos elementos componentes desde que respeitas as limitações 6b peças com chapas laterais a 3b peças interpostas a 18b L b 9 1 1 1 1 1 125 EXEMPLOS 1281 Determinação da distância entre espaçadores de um pilar Para o pilar esquematizado abaixo pedese o posicionamento dos espaçadores e o cálculo da inércia mínima Nd 14 x 2140 2996 daN L 300 x cm altura do pilar Estruturas de madeira 115 Disposição dos espaçadores De acordo com a NBR 7190 1997 12 cm Adotado a 18 cm a 6 3 a b 3 a 1 Se o valor de L1 estiver dentro do intervalo 9b1 L1 18b1 podese dispensar a verificação da estabilidade local dos trechos de comprimento L1 Com isso temse 108 cm L 54 cm 6 18 L 6 9 1 1 Portanto adotando L1 100 cm dispensase à verificação da estabilidade local de cada trecho Estruturas de madeira 116 Cálculo dos momentos de inércia 4 y ef 1 y 1 4 3 2 y y 2 2 2 2 1 4 2 3 y y 1 ef y 4 x 3 x 133056 cm 011 12096 I 11 0 125 3 100 300 L L m 216 cm 12 12 6 I 011 15 120 1944 1944 I m I m I 12096 cm 9 6 12 2 12 6 2 12 I I I 1728 cm I 12 6 12 2 I β α α β β Portanto a direção crítica é a y e a verificação da estabilidade é feita de acordo com os critérios apresentados no Capítulo 9 1282 Verificação de barra de treliça Verificar se uma barra de treliça L0 133 cm seção transversal de 2 3 cm x 12 cm é suficiente para resistir a uma solicitação de Carga permanente 675 daN Vento de pressão 294 daN Considerar Dicotiledônea classe C 60 Propriedades geométricas A72 cm2 Imín864 cm4 imín 346 cm λ 38 40 Peça curta Combinação das ações Permanente Vento Comb última normal 3 12 3 12 Estruturas de madeira 117 F toe Yo Fou EVP Nao existe agao variavel secundaria Coeficientes Vg 14 Acao permanente de grande variabilidade Yq 14 Agao variavel normal Agcao variavel de curta duracgao redugao 075 F 14x675 075 x14x 294 1254 daN Propriedades da madeira Calculo de frog Feok Food moa my K vod K nod1 K od2 K od3 Kmoa1 Fungao da agao variavel principal e classe de carregamento Vento Longa duragao Kmoa1 070 Kmoa2 Fungao da classe de umidade e tipo de material Classe de umidade 1 Madeira serrada Kmog2 10 Kmoa3 Categoria da madeira Madeira de 2 categoria Kmoa3 08 Knog 07 X1008 056 Yw Fungao do tipo de solicitagao Compressao ELU ywo 14 Madeira classe C 60 foo 600 daNcm foog 056 foo4 240 S Tensao atuante Ocog 2 O94 1 74 Estruturas de madeira 118 Verificação 240 174 0 0 d c c d f σ OK Como será apresentado mais adiante seria necessária alguma verificação referente à peça composta 1283 Verificação do banzo da treliça Verificar se a barra do banzo da treliça abaixo L0 169 cm seção transversal 2 6 cm x 12 cm é suficiente para resistir a uma solicitação de Carga permanente 7097 daN Vento de pressão 31148 daN Considerar Madeira Dicotiledônea classe C 60 Propriedades geométricas A 144 cm2 Imín 1728 cm4 imín 346 cm Combinação das ações Permanente Vento Comb Última normal Qj k oj n j Q K Q gi k gi m i d F F F F 2 1 1 ψ γ γ Não existe ação variável secundária Coeficientes γg 14 Ação permanente de grande variabilidade γQ 14 Ação variável normal Ação variável de curta duração redução 075 daN Fd 13241 3148 14 0 75 7097 14 6 6 6 12 Estruturas de madeira 119 Propriedades da madeira Calculo de feod I Soa Knog Yw K nod K nod1 K nod 2 K nod3 Kmoa1 Fungao da agao variavel principal e classe de carregamento Vento Longa duragao Kmoa1 070 Kmod2 Fungao da classe de umidade e tipo de material Classe de umidade 1 Madeira serrada kmog2 10 Kmod3 Categoria da madeira Madeira de 2 categoria Kmoa3 08 Koa 07 10 08 056 Yw Fungao do tipo de solicitagao Compressao ELU ywc 14 Madeira classe C 60 foo 600 daNcm 600 daN food 006 food 240 cm Tensoes atuantes Devido a forga normal F 13241 daN Ong Ong 92 NO A 144 No cm Devido ao momento fungao de excentricidades que podem ocorrer na pega M ond EY Ma N Portanto devese determinar o valor da excentricidade de calculo eq e e Fe F Ng e e e Soma das excentricidades inicial e acidental Fe Ng Carga critica de Euler e carga atuante No caso de trelias e 0 e v 169 56 cm e 0056056 cm 300 300 Estruturas de madeira 120 2 0 mod 0 137200 245000 80 01 70 cm daN E k E m c c ef IImín 1728 cm4 Perda de estabilidade na direção de menor inércia daN FE 81926 169 1728 137200 2 2 π cm ed 0 67 13241 81926 81926 0 56 daN cm Md 8871 0 67 13241 2 31 1728 6 8871 cm daN Md σ Verificação da estabilidade 1 0 51 240 31 240 92 01 0 0 d c Md d c Nd f f σ σ OK